空军工程大学最优控制2013--2017年考博真题

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空军工程大学2013年博士研究生入学试题
考试科目： 最优控制 （A 卷） 科目代码 3033 说明：答题时必须答在配发的空白答题纸上，答题可不抄题，但必须写清题号，写在试题上不给分; 考生不得在试题及试卷上做任何其它标记，否则试卷作废，试题必须同试卷一起交回。

一、基础理论题（共20分）
1．名词解释
（1）多级决策过程（3分）
（2）时间最优控制（3分）
（3）角点（3分）
2．简述题
（1）变分法的优点及局限性（5分）
（2）动态规划的局限性及重要性（6分）
二．证明题（每小题15分，共30分）
1．设系统运动方程为n 维向量函数0),,(=t x x f &，其中n R x ∈；泛函
⎰=f
t t dt t x x g x J 0),,()(&，
其中)(t x 及),,(t x x g &在],[0f t t 上连续可微，0t 、f t 固定，00)(x t x =，f f x t x =)(。

证明：使)(x J 取极值的必要条件是轨线)(t x 满足欧拉方程0=∂∂⋅-∂∂x
L dt d x L &，其中),,()(),,(),,,(t x x f t t x x g t x
x L T &&&λλ+=，n R ∈λ为待定拉格朗日乘子向量。

2．某物体以运动速度),(Y X V 在直角坐标系XOY 平面中沿与OX 轴夹角为α的方向运动。

证明该物体以最短时间由点),(00Y X 运动到点),(11Y X 时，夹角α必须满足的条件是αααcos sin Y
V X V ∂∂-∂∂=&。

三．计算题（每小题10分，共50分）
1.已知0)0(=x ，1)1(=x ，求使[]
d t t x t x J ⎰+=1
022)()(&尽可能小的位移函数)(t x 。

2.已知状态变量)(t x 在t 分别等于0和
2π时的对应值为0和10，求使泛函⎰-=2
022)]()([)(π
dt t x t x x J &达到极值的轨线)(t x *。

3.设系统状态方程为)()(t u t x =&，且已知1t 和00)(x t x =，求反馈控制)(t u *使性能指标⎰+=1
0)(21)(21
212t t dt t u t x J 取极小。