相互垂直的简谐振动的合成
互相垂直简谐振动的合成
sin2 (2
1
)
(3) 2
1
y
π 2
A2
x2
2
y
1
正椭圆方程
A12
A22
y 超前 /2
0 A1 x 轨迹顺时针——右旋
(4)
2
1
y
π 2
A2
0
A1 x
x2 A2
1
2
y
A
2 2
1
正椭圆方程
y 落后 /2 轨迹顺时针——左旋
(5) 2 1 为其它值时
质点的运动轨迹是斜椭圆，其具体形状(长、短轴的方向和大 小)和运动方向由分振动的振幅的大小和相差决定。质点运动 轨迹随的变化情况如下图：
y
A2
0
x2
2
y
2 xy
0
A2 1
A2 2
A1 A2
A1 x
x y 0 直线方程 A1 A2
( 2) 2 1 π y A2
x2
2
y
2 xy
A2 1
A2 2
A1 A2
0
0
A1 x
x y 0 直线方程 A1 A2
3. 讨论
x 2 y 2 A12 A22
2
xy A1 A2
cos( 2
1 )
d
A1 cos2
代入d d(tg ) cos2 式中，可得：
d d
d A2 cos2 sin
d
A1 cos2
d d
的正负由
sin 决定
当 在第一、 d 0 此时顺时针方向运动；
二象限时：
d
当 在第三、
四象限时：
d 0 d
医用物理学试题大全(含答案)
医用物理学试题A 卷姓名： 年级： 专业：一、填空题（每小题2分，共20分）1、水在截面不同的水平管内做稳定流动，出口处的截面积为管最细处的3倍。
若出口处的流速为2m/s ，则最细处的压强 。
2、一沿X 轴作简谐振动的物体，振幅为2cm ，频率为2Hz ，在时间t=0时，振动物体在正向最大位移处，则振动方程的表达式为 。
3、在温度为T 的平衡状态下，物体分子每个自由度的平均动能都相等，都等于__________。
4、中空的肥皂泡，其附加压强为: 。
5、透镜的焦距越短，它对光线的会聚或发散的本领越强，通常用焦距的倒数来表示透镜的会聚或发散的本领，称为透镜的 。
6、基尔霍夫第一定理的内容是 。
7、电流的周围空间存在着磁场，为了求任意形状的电流分布所产生的磁场，可以把电流分割成无穷小段dl ，每一小段中的电流强度为I ，我们称Idl 为 。
8、劳埃镜实验得出一个重要结论，那就是当光从光疏媒质射向光密媒质时，会在界面上发生 。
9、多普勒效应是指由于声源与接收器间存在相互运动而造成的接收器接收到的声波 与声源不同的现象。
10、单球面成像规律是_________________________________。
1、某物体的运动规律为t k t 2d /d v v -=，式中的k 为大于零的常量。
当0=t 时，初速为v 0，则速度v 与时间t 的函数关系是( )A 、 0221v v +=kt , B 、 0221v v+-=kt ,C 、 02121v v +=kt ,D 、 02121v v +-=kt 2、水平自来水管粗处的直径是细处的两倍。
如果水在粗处的流速是2m/s ，则水在细处的流速为A 、2m/sB 、1m/sC 、4m/sD 、8m/s3、已知波动方程为y=Acos (Bt －Cx ) 其中A 、B 、C 为正值常数，则： A 、波速为C ／B ； B 、周期为1／B ； C 、波长为C / 2π； D 、圆频率为B4、两个同方向同频率的简谐振动：cm t x )cos(0.2321ππ+=，cm t x )cos(0.8341ππ-=，则合振动振幅为（ ）。
大学物理互相垂直简谐振动的合成
sin
d 的正负由 s in 决定
d
当 在第一、 d 0 此时顺时针方向运动；
二象限时：
d
当 在第三、
四象限时：
d 0 d
此时逆时针方向运动。
4.作图法-------同频率两垂直方向振动合成
y
y
A2
x
x A1 cos t
y
A2
co s( t
ny——曲线与 y 轴的交点。
x
本例：n x = 2 ; n y= 4
Tx ：Ty = 1：2
x = 2y
李萨茹图形
1
1
y( t) 0
y(t) 0
1
1
0
1
x( t)
nx=8 ny=5
Tx / Ty= 8 / 5
1
1
0
1
x(t)
nx=3 ny=2
Tx / Ty= 3 / 2
最后应指出：和合成相 反，一个圆运动或椭圆运动 可以分解为相互垂直的两个 简谐振动，这种运动的分解 法在研究光的偏振以及其它 现象时都常用到。
)
质点在任意时刻与 x 轴的夹角：
tg y A2 cos( )
x
A1 cos
d d
(tg )
d d
(tg ) d d
1 cos 2
d d
d 0 逆时针 d d 0 顺时针 d
d d( tg ) cos2 d d
=
= 5/4 = 3/2 = 7/4
(4) 质点椭圆运动方向的普遍判据
由：xy==AA21ccooss((
t+ t+
第二节 两个简谐振动的合成
A12 A22 2A1A2 cos(02 01)
A A12 A22 2A1A2 cos
[注：cos( ) cos cos sin sin ]
A值的讨论，有三种情况：
(1) 2k
cos 1
A A1 A2
A值最大
(2) (2k 1) cos 1
A A1 A2 (3) 为其它值
波器显示屏上出现合成结果的图形，见右图。求x ?
解：
x y
m n
Y方向切点数 X方向切点数
x 3 x y 2 1000
x 1500 Hz
本节小结
同方向
1
2
简谐振动 A A12 A22 2A1A2 cos
同方向 1 2 拍 2 1
垂直方向
x m y n
李萨如图
x y
两个简谐振动的步调比较
同相：若两个简谐振动的频率相同、初相位相同，则两个简谐 振动的位移同时达到最大和最小。
x
1
2
t3
t1
t2
t4
t
0 ,同相
反相：若两个简谐振动的频率相同、初相位相差π，则一个振
动到达最大位移处时，另一个振动到达反向最大位移处。
1
x
t1
t2
t3
t4
t
2
,反相
超前与落后：若两个简谐振动的频率相同，初相位之差为
Y2 B2
1
X 0 t1 0 Y B
t2
2
X A Y 0
X 0 t3 Y B
t4
3 2
X A Y 0
t4 t3
t2
t1 Y超前π/2
右旋振动
t1 t2
t3
t4 Y落后π/2
§11-4相互垂直的简谐振动的合成
x
20 10 π 2
20 10 π 2
合振动运动轨迹为园
二、两个频率不同的相互垂直的简谐振动的合成
两个频率不同的相互垂直的简谐振动合成之后运动轨迹 随时间变化，不是稳定曲线。
1.频率相差很小，合运动轨迹缓慢变化。
2.频率相差较大，数值有简单的整数比值关系时，运动轨迹
为闭合曲线，称为李萨如图形。
y A2 x A1
合振动运动轨迹为直线
2、 20 10 π
y A2 x A1
合振动运动轨迹为直线
y
A2
A1 x
y
x A2
o A1
3、20 10 π 2
x2 A12
y2 A22
1
合振动运动轨迹为正椭圆
4、 两个简谐振动振幅相同时 y
A2 y
o A1 x
y
x
10 )
两个频率相同的相互垂直的简谐振动的合成为椭圆
椭圆的形状由两个振动的初相位差 20 决1定0
用旋转矢量描绘振动合成动画
两个频率相同的相互垂直的简谐振动的合成为椭圆
当初相位差不同时两个沿垂直方向的同频简谐振动的合成
或
讨论几种特殊情形 1、20 10 0 或 2 π
如图所示，图中所描绘的是
yA
x :y=3:2， 2 0= 0， 10 = /4 时的
李萨如图形。
图形与y轴切点数 图形与x轴切点数
-A2
nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x 3 nx y 2
1
x
o
A2
- A1
不同频率比不同初相位差的李萨如图
在电子技术中常用李萨如图测定未知频率
完
第二篇
相互垂直简谐运动合成
A1A 2
2
1
2 2 1
2 1 4
斜椭圆方程
x2 A2
1
y2 m A22
xy 2
AA 12
1 2
2 1 4
2
1
74
4
顺时针 逆时针
相互垂直的简谐运动的合成
2
1
3
4
x2 y2 A12 A22
2 xy 1 斜椭圆方程 A1A 2 2
2 1 3 4
顺时针
2
1
5434
逆时针
一般情况21====任意值任意值任意值任
意值,,都为椭圆方程都为椭圆方程都为椭 圆方程都为椭圆 方程..
相互垂直的简谐运动的合成
二、两个不同频率相互垂直简谐运动的合成 李萨如图形（Lissajou figure）
一般情况下, 合振动的轨迹是不稳定的. 当两个分振动 的频率成简单整数比时, 将形成稳定闭合曲线.
相互垂直的简谐运动的合成
不同频率相互垂直的简谐运动的合成
x A1 cost1 1 y A2 cost2 2
任意时刻 t::由坐标由坐标(x，y)确定质点的
位 置.确定质点的位置确定质点的位置确
定质点Ax22的 1
Ay位222 置 )y，A2，1xA，yx(由2 c坐os标由2 坐1标消si去n 2
t得2 (1
推导从略)
——轨迹方程（椭圆方程）
相互垂直的简谐运动的合成
大学物理
振动学基础
第8讲 相互垂直的简谐运动的合成
相互垂直的简谐运动的合成
相互垂直的简谐运动的合成
激光李萨如图形演示 两个相互垂直简谐运动的合运动仍是简谐运动吗?
相互垂直的简谐运动的合成
简谐振动的合成
(A1 sin1 A2 sin2 )sint
合振幅
令： A1 cos1 A2 cos2 Acos 代入上式：
A1 sin1 A2 sin2 Asin
2
x ( A1 cos1 A2 cos2)cost (A1 sin1 A2 sin2 )sint
Acos cost Asin sint Acos(t ) x Acos(t )
x1(t) a cost
M aN
x2 (t) a cos(t ) x3(t) a cos(t 2 )
C
R N
A
a3
xN (t) a cos[t (N 1) ]O a1 P
在COM中：A 2R sin(N / 2)
上两式相除得：
在OCP中： a 2Rsin( / 2)
7
A a sin(N / 2) sin / 2
若 A1 A2, A 2A1
2.当 2 1 （2k 1） (k 0,1,2, ) 时,
A
A12
A
2 2
2 A1
A2
cos(
2
1
)
| A1 A2 | 合振动振幅最小。
若 A1 A2, A 0
A2
3.一般情况 | A1 A2 | A | A1 A2 |
5
A A2 A1
A2 A A1 A A1
第二节
简谐振动的合成
1
一、同方向同频率简谐振动的合成
在同一直线上同频率的两个简谐振
动分别为：
x1 A1 cos(t 1),
x2 A2 cos( t 2 )
• 代数方法： 振动合成
x x1 x2 A1 cos(t 1) A2 cos(t 2 )
(A1 cos1 A2 cos2) cost
5.5 简谐振动的合成
萨在 如电 图子 测技 定术 未中 知常 频用 率李
例 （P151：例5-6）两同向、同频谐振动合成，合振动A=0.2m，
与1振动相位差π/6，1振动A1= 3 101m
求：用振幅矢量法求2振动的A2及
A
A12 A22 2A1A2 cos(20 10 )
相位差： (t 20 ) (t 10 ) 20 10
(1) 当 2k (k 0,1,2,)时 A A1 A2 Amax振动加强
(2) 当 (2k 1) (k 0,1,2,)时 A A1 A2 Amin振动减弱
(3) 当 其他值时
x1 A1 cos(t 10 ) x2 A2 cos(t 20 )
A2
(1)用解析法可证
x x1 x2 Acos(t 0 )
(2)用两旋谐转振矢表量示法旋证A1 谐振x1 O
20 10 0
A1
x2
x1
x
x
旋A2 谐振x2
合矢量 A ——可表示同频谐振动 x Acos(t 0 )
3
PQ A2 sin 3 A3 sin 3
3 2
(
A2
A3
)
OP A1 A2 cos 3 A3 cos 3
A1
1 2
( A2
A3 )
可得
§5.5 简谐振动的合成——习题
P163: 5-11；5-12；5-14
完
√ 需证 x x1 x2
A A12 A22 2A1A2 cos(20 10 )
其中：
0
arctan
A1 sin 10 A1 cos10
相互垂直的简谐振动的合成
相互垂直的简谐振动的合成简谐振动是一种重要的物理现象，在许多领域都有广泛的应用，如机械、光学、电磁等领域。
在某些情况下，需要对两个或更多相互垂直的简谐振动进行合成，以产生一个新的复合振动。
本文将介绍相互垂直的简谐振动的合成，并阐述其原理和应用。
简谐振动的定义简谐振动是指一个对象以一个周期性的方式在其平衡位置周围运动的物理现象。
这种振动是由于弹性力的作用而产生的，例如弹簧、摆线、声波等。
一个简谐振动的特点是在相同的时间内，运动具有相同的加速度和速度。
简谐振动的运动方程可以用以下公式表示：x = A sin(ωt)其中，x代表位移，A代表振幅，ω代表角速度，t代表时间。
由于简谐振动的周期（T）与角速度有关系，因此可以用以下公式表示：T = 2π/ω当存在两个或更多个以不同的频率振动的物体时，它们的振动将会互相影响。
考虑一个垂直向上运动的弹簧振子和一个水平运动的弹簧振子。
如果它们同时振动，将会出现一个垂直方向上的复合振动。
其中，y1代表第一个弹簧振子的位移，y2代表第二个弹簧振子的位移。
为了合成垂直方向的复合振动，需要执行以下步骤：1. 确定两个振动的振幅和角频率。
2. 计算两个振动的周期。
3. 将两个振幅和周期代入以下公式中：y = A1 sin(ω1t) + A2 sin(ω2t)其中，y代表合成振动的位移。
4. 对于每个时刻t，计算出合成振动的振幅y。
合成垂直方向振动的物理意义当两个垂直方向上的简谐振动相互作用时，它们的复合振动将形成一个网格图形，每个节点表示一个特定的振幅和相位差。
相位差表示两个振动之间的时间差，其中一个振动的周期相对于另一个振动周期的时间差。
合成振动的频率与原始简谐振动的差异通常很小，因此可以将它们看作共振现象。
在许多现实情况下，相互垂直的简谐振动产生的复合振动是非常有用的，例如在音乐和声学领域。
应用和例子1. 双摆双摆是指两个以不同长度的摆绳悬挂并以不同频率振动的摆。
当它们相互作用时，将产生一个复合振动，其中一个摆的振动会影响另一个摆的振动，并且它们最终会形成一个规律的图案。
简谐运动的合成与分解
m
(
2 0
2
)2
4
2
2
共振
A
（1）位移共振（图1）
在一定条件下，振幅出现极大值，振动 剧烈的现象。
共振
2 0
2
2
（2）速度共振（图2）
0
一定条件下，速度幅A极大的现象。
vm
共振 0
即速度共振时，速度与策动力同相，一周期内策动力
总作正功，此时向系统输入的能量最大。
0
总结：
两个同方向频率相同的简谐振动的合成仍为简谐振动。 合振幅与两振动的相位差有关，可用旋转矢量图求得。
如果两振动的频率相差较大但有简单的整数比五谐振分析和频谱在自然界和工程技术中我们所遇到的振动大多不是简谐振动而是复杂的振动处理这类问题往往把复杂振动看成由一系列不同频率的间谐振动组合而成也就是把复杂振动分解为一系列不同频率的间谐振动这样分解在数学上的依据是傅立叶
本讲主要内容： 一、同方向同频率两个简谐振动的合成 二、同方向不同频率两个简谐振动的合成 三、两个互相垂直同频率简谐振动的合成 四、两个互相垂直不同频率简谐振动的合成 五、谐振分析和频谱
A1 sin10 A2 sin20 A1 cos10 A2 cos20
2010
x20
0
x10
AM
A1
x0
t o .P x
同方向同频率两个简谐振动的合成仍为简谐振动。
讨论两个特例 x
(1)两个振动同相
20 10 2k , k 0,1,2,...
合成振动
由 A A12 A22 2A1 A2 cos(20 10 ) o
解：
A A1 A2
A2
A1 A2 A
O
2
物理-相互垂直的简谐运动的合成
y A2 x A1
质点离开 平衡位置 的位移
r(t) A12 A22 cos(t 1 )
y
A2
o A1 x
合振动是与分振动同频率的简谐振动
一、两个相互垂直的谐振动的合成
x A1
2
y A2
2
2xy cos(2 A1 A2
1 )
s in2 ( 2
1 )
(3)
若
2
1
2
x2 A12
y2 A22
合运动的 轨道方程
( x )2 ( y )2 2xycos sin2
A1
A2
A1 A2
其中： (2 1 )t (2 1 ) ——随时间变化
一般情况下，合运动的轨迹是不稳定的。
一、两个相互垂直的谐振动的合成
分振动： x A1 cos(ω1t φ1 ) y A2 cos(ω2t φ2 )
二、振动频谱分析
数学上已经证明：
任意周期函数（周期为T）：x(ωt) 其中 ω 2π /T
均可展开为三角级数
基频
x(ωt ) a0 (ak cos kωt bk sin kωt )
k 1
k次谐频
1 T/2
a0 T
f (ωt )dt
T / 2
2
ak T
T /2
f (ωt)cos kωtdt (k 0)
x A1
2
y A2
2
2xy cos(2
A1 A2
1 )
s in2 ( 2
1 )
合运动一般是在 x A1, y A2 范围内的一个椭圆。
一、两个相互垂直的谐振动的合成
2
2
x A1
y A2
简谐运动的合成和分解
A A12 A22 2 A1A2 cos tan y A1 sin 1 A2 sin 2
x A1 cos1 A2 cos2
A
A2
A1
的具体象限要根
据
1
,
确定。
2
讨论 合振动的强弱与两分振动相位差的关系
O
t
O
t
n ：n 次谐频
O
t
频 谱 分 析
§4-3 阻尼振动、受迫振动和共振
4-3-1 阻尼振动
阻尼振动：振动系统在回复力和阻力作用下发 生的减幅振动。
F
v
dx dt
γ ：阻尼系数
fr
f
kx
x
o
x
动力学方程 m d2 x kx dx
dt 2
dt
x A1
cos t cos
1 sin
t sin
1
x
y A2
cos t cos
2 sin t sin 2
x2 A12
y2 A22
2xy A1 A2
cos(2
1 )
sin 2 (2
1 )
结论：两相互垂直同频率简谐振动的合成，其振动轨
迹为一椭圆(又称“椭圆运动”)。椭圆轨迹的形状取 决于振幅和相位差。
A
2 0
2
sin t 2
A 2 cos t f sin t
A
2 0
2
sin t 2
两个互相垂直的简谐振动合成的几个问题
两个互相垂直的简谐振动合成的几个问题
关于两互相垂直的简谐振动合成的几个问题，笔者在此对此话题进行深入探讨。
简谐振动与传统弹性振动有着很大的不同，它依赖于应力和拉力的作用，而非仅凭于回复力，也因而改变了原振动的对称和规律性。
互相垂直的简谐振动合成，指的是两个相互垂直的振动的合成，它的定义是令一定的力测出一定的位移，以产生向后的非线性振动。
这种特性可以让原有简谐振动有着不同的形态，也带来了更多实用价值。
重点探讨可以归纳为：首先，它究竟可以应用于哪些领域？其次，如何通过互相垂直的简谐振动合成来获得理想的振动状态？“
从实用角度来看，有许多领域可以运用互相垂直的简谐振动合成，如汽车底盘的粘滞振动吸收、电梯的非线性振动消噪、离心泵轴的驱动突现等。
而如何获得理想的振动状态，则需依赖于智能测控设备，使用模拟系统加以测量和控制，建立交互式、可视化的仿真模型，以实现准确的测控管理。
最后，本文重点探讨了两个互相垂直的简谐振动合成的几个问题，其应用的范围广泛，即使是对于复杂的振动也可以采取有效的管理策略。
同时，需要搭配先进的测控设备和模拟系统，来实现对合成振动的有效控制。
合振动振幅计算公式
合振动振幅计算公式嘿，说起合振动振幅计算公式，这可是物理学中一个挺有意思的知识点呢！咱们先来说说啥是合振动。
想象一下，有两个或者更多的振动同时发生，它们就像是在舞台上一起表演的演员，各自有着自己的节奏和动作。
而合振动呢，就是把这些“演员”的表演综合起来呈现出的整体效果。
那合振动振幅的计算公式到底是啥呢？一般来说，对于两个同频率、互相垂直的简谐振动的合成，如果它们的振幅分别是 A1 和 A2，初相位分别是φ1 和φ2，那么合振动的振幅 A 可以通过下面这个公式来计算：A = √(A1² + A2² + 2A1A2cos(φ2 - φ1)) 。
这个公式看起来有点复杂，是不是？别担心，咱们来通过一个小例子来理解它。
就说有两个小球，在一个水平面上做简谐振动。
一个小球的振幅是5 厘米，初相位是 30 度；另一个小球的振幅是 8 厘米，初相位是 60 度。
那它们合起来的振动振幅是多少呢？咱们把数值代入公式里算算看。
这时候就会发现，通过计算得出的结果，能清晰地告诉我们这两个振动合起来到底会是个什么样的情况。
在学习这个公式的过程中，我还记得有一次，我给学生们讲解这个知识点。
当时有个学生一脸迷茫地看着我，说：“老师，这也太难懂啦！”我就笑着跟他说：“别着急，咱们一步一步来。
”我拿出两个小弹簧，一个长一点，一个短一点，就像那两个不同振幅的振动。
然后我慢慢地拉动它们，让学生们直观地看到它们的“合振动”效果。
那个学生眼睛一下子亮了，说：“老师，我好像有点明白了！”其实啊，合振动振幅计算公式就像是一把钥匙，能帮我们打开理解复杂振动现象的大门。
只要咱们耐心琢磨，多做练习，就能熟练掌握它，然后用它去探索更多有趣的物理世界。
不管是在生活中还是在更深入的科学研究里，这个公式都有着重要的作用。
比如说，在机械振动的分析中，通过这个公式，我们可以更好地了解机器零件的运动情况，从而提前发现可能存在的问题，进行维护和改进。
两个相互垂直同频率简谐运动的合成推导
两个相互垂直同频率简谐运动的合成推导好啦，今天咱们来聊聊两个相互垂直同频率简谐运动的合成。
你别看这名字听起来有点高大上，其实就是把两个上下或者左右的运动加在一起，看看它们会变成什么样的奇妙组合。
就像是你和你的朋友一起跳舞，虽然你们的舞步不同，但合在一起能跳出一种新花样。
这两种看似不相干的运动，如何在合成的过程中创造出新奇的结果呢？嘿，咱们慢慢往下聊。
首先啊，你想象一下，你有两个简单的摆动运动，一个在水平方向，一个在垂直方向。
这两个运动的频率是一样的，也就是说，它们每秒钟摇摆的次数是一样的。
每当一个摆动到最高点，另一个也在它的最高点摇晃。
是不是很有趣？就好像你左手跟右手同时开始做动作，虽然它们各自独立，但当合起来就能形成一种协调的美感。
现在问题来了，这俩摆动怎么加在一起呢？合成的原理并不复杂。
你可以把它想成一个在平面内活动的小球，这个小球每次摆动的方向都不一样，但它的速度、幅度却保持一致。
就像你用两根弹簧做实验，一个垂直拉伸，另一个水平方向拉伸，合起来以后，你会发现弹簧的运动方向变化了，但它们合成的结果给了你一个新的动力。
你看，不管是横着摆还是竖着摆，最终的结果就是一个新的路径。
假设你现在站在原点，左边那个摆动沿着x轴做运动，右边那个沿着y轴做运动。
它们的合成就是这样，合成的结果在某个时刻的位置，既有水平方向的位移，也有竖直方向的位移。
嗯，就像你既能向前跑也能向上跳，但最后你的位置是前面加上上面两者的结果。
合成后的运动轨迹就像是斜着的线，你根本猜不到它的样子，毕竟你只知道它是从两个方向合成来的。
你是不是有点懵了？别急，咱们先给这条轨迹取个名字，叫做“合成轨迹”。
你可以把它看作是从原点出发的小球，既向左又向上跳跃的轨迹。
这小球的运动，像是有点儿跳跃，但又不失稳重，给人一种干脆利落的感觉。
啥时候它能走得更远？当它的速度快、幅度大时，它就能从原点跳得越来越远，走得越来越快。
接下来嘛，咱们不妨再深入一点，看看合成的轨迹到底是啥样的。
同频率互相垂直简谐振动的合成
然在原点处速率 v 2 =
A
2 1
X2
+
A
2 2
X2
最大, 最大位移
时速率为零.
3 推广到三维
质点同时参与三个同频率互相垂直的简谐振 动
x = A 1 cos( Xt + U1 )
y = A 2 cos( Xt + U2 )
( 5)
z = A 3 cos( Xt + U3 )
质点的轨道方程:
z A3
E=
1 2
mA
2 2
X2 +
1 2
kA
2 1
=
1 2
mA
2 1
X2
+
1 2
k
A
2 2
=
1 2
k(
A
2 1
+
A
2 2
)
( 4)
2. 3 质点的速率
很易证明沿椭圆的长轴端点到短轴端点的过
程中 r = x2+ y2 随位置单调减小, 由机械能( 3)
式可知, v2 或 v 随位置单调增加. 在椭圆长轴的两
U( ra) | =
XB 2
|
r
2 b
-
r
2 a
|
,
从而只需考虑导
线两端点的位置, 而不必考虑导线的具体形状, 使 计算该情况下的动生电动势大为简化.
参考文献
[ 1] 马根源, 王松立, 金庆华. 物理学( 下册) . 天津: 南开大学出版 社, 1993. 255~ 262
[ 2] 陈仲. 大学数学 ( 下册) . 南京: 南京大学出版社, 1999. 44~ 47
Abstract T he angular mo ment um, rat e o f speed and energy o f t he particle involv ed in t w o perpendicular har monic w aves w ith the ident ical f requency , are discussed, and t he case is genera-l ized t o t hree- dim ension. Key Words harmo nic vibration; angular m omentum
高二物理竞赛课件：利用旋转矢量法求两垂直振动的合成
4
3 2
5
1x
6
8
7
相互垂直不同频率简谐振动的合成
x A1 cos(1t 1) y A2 cos(2t 2 )
一般是复杂的运动，轨道不是封闭曲线，即合成运 动不是周期性的运动。下面就两种简单情况讨论：
1. 两分振动频率相差很小 (2 1)t (2 1)
可看作两频率相等而 Δ 随 t 缓慢变化,合运动轨迹将
x2 A12
y2 A22
2xy A1 A2
0
2
x y 0 A1 A2
y A2 x A1
y
A2
o A1 x
为直线方程
x2 A12
y2 A22
2xy A1 A2
cos(2
1 )
sin2 (2
1 )
Δ = 2 - 1 = ±π/2
x2 A12
y2 A22
1
是X轴半轴长为 A1、Y 轴 半轴长为 A2 的椭圆方程， 质点运动轨迹为椭圆.
cos =1/2 sin >0
= -π/2
或3π/2
=π/ 3
ω
ω
o
Ax
(3)
v =- π/2
或 3π/2
v
=π/3
o
x
A/2
(4)
(5) t = 0, x = -A/2, v > 0
解: (5）x0=Acos = -A/2, v0=-ωAsin >0
cos =-1/2 sin <0
A2 y
左旋
右旋
o A1 x
Δ = 2 - 1 = π/2 时, sinΔ > 0, 为顺时针旋转(右旋). Δ = 2 - 1 = -π/2 时, sinΔ < 0, 为逆时针旋转(左旋).
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A y= 2 x (1) φ20−φ10=0, 两个分振动同相位，得 , 两个分振动同相位， A 1
在任一时刻离开坐标原点位移为： 在任一时刻离开坐标原点位移为：
s = A2 + A2 cos(ω +φ) t 1 2
(2) φ20−φ10=π, 两个分运动反相位，得 两个分运动反相位，
A y =− 2 x A 1
ωx :ωy = 3:1 ∆ =π 2 φ
§15-6 相互垂直的简谐振动的合成
两个同频率的相互垂直的分运动位移表达式
x = A cos(ω +φ ) t 10 1 y = A cos(ω +φ20) t 2
消时间参数， 消时间参数，得
x2 y2 x y 2 + 2 −2 cos(φ20 −φ ) = sin (φ20 −φ ) 10 10 2 A A AA 1 2 1 2
ωx :ωy = 3: 2 φ20 =π 4, φ10 = 0
-A2
O
A2
x
- A1
相互垂直的简谐振动的合成
几幅典型的利萨如图形
1:2 1:3 2:3
相互垂直的简谐振动的合成
ωx :ωy = 2:1 ∆ =π 2 φ
相互垂直的简谐振动的合成
ωx :ωy = 3: 2 ∆ =π 4 φ
相互垂直的简谐振动的合成
相互垂直的简谐振动的合成
∆φ =π 4
相互垂直的简谐振动的合成
∆ =7 4 φ π
相互垂直的简谐振动的合成
方向垂直的不同频率的简谐振动的合成 •
∆ = (ω2 −ω )t φ 1 可看作两频率相等而∆ 缓慢变化， 可看作两频率相等而 φ 随t 缓慢变化，合运动
y A1
两分振动频率相差很小
轨迹将按上页图依次缓慢变化 • 两振动的频率成整数比 两振动的频率成整数比 轨迹称为李萨如图形
合运动一般是在2A1( x 向)、 2( y 向)范围内的一 、 范围内的一 2A 个椭圆。 个椭圆。 椭圆的性质(方位、长短轴、 椭圆的性质 (方位、长短轴、左右旋 )在 A1 、A2 确定之后, 确定之后,主要决定于 ∆ =φ20 −φ 。 φ 10
相互垂直的简谐振动的合成
几种特殊情况： 几种特殊情况：
相互垂直的简谐振动的合成
几种特殊情况： 几种特殊情况：
x y + 2 =1 (3) φ20−φ10=π/2，得 2 A A 1 2
这是坐标轴为主轴的椭圆， 这是坐标轴为主轴的椭圆，质 点的轨迹是顺时针旋转。 点的轨迹是顺时针旋转。
2
2
x2 y2 + 2 =1 (4) φ20−φ10=3π/2，仍然得 2 A A 1 2
(3)相同 相同， 与(3)相同，只是质点的轨迹 沿逆时针旋转。 沿逆时针旋转。
相互垂直的简谐振动的合成
几种特殊情况： 几种特殊情况： ∆φ = 0 ∆φ =π 4
P
·
.
∆φ =π 2
∆φ = 3 4 π
Q∆φ Biblioteka π∆ =5 4 φ π∆ =3 2 φ π
∆ =7 4 φ π
∆ =φ20 −φ φ 10