基于FBM分形特征的快速小波地形模拟算法 - 电子与信息学报200903

第31卷第3期电子与信息学报Vol.31No.3 2009年3月 Journal of Electronics & Information Technology Mar.2009基于FBM分形特征的快速小波地形模拟算法卜彦龙潘亮沈林成(国防科技大学机电工程与自动化学院长沙 410073)摘要：该文基于FBM分形原理，采用Haar小波对自然地形数据进行模拟构建。

在分析自然地形分形系数与小波系数之间关系的基础上，建立基于Haar小波的地形构建模型；通过对真实地形数据不同阶层小波系数统计计算得到分形特征参数；以构建模型为基础，结合分形特征参数，模拟生成自然地形。

该算法相对真实地形数据具有小的交叉熵，且计算复杂度较小，仿真数据验证了算法的有效性。

关键词：地形模拟；FBM模型；分形特征；Haar小波中图分类号：TP391 文献标识码：A 文章编号：1009-5896(2009)03-0537-05A Fast Algorithm for Terrain Simulation UsingWavelet Based on FBM Fractal FeaturesBu Yan-long Pan Liang Shen Lin-cheng(College of Mechatronics and Automation, National University of Defense Technology, Changsha 410073, China)Abstract: In this paper Haar wavelet is used to construct the simulated natural terrain based on the FBM model and fractal features. Relations between fractal coefficients of truly terrains and wavelet decomposition coefficients of which are anlysised firstly, which help to set up the Haar wavelet-based terrain construction model. Then the fractal features are statisticed through coefficients in different wavelet decomposition levels of truly natural terrain.And subsequently, the simulated terrain is constructed reling on the fractal features, connected with the terrain construction model established. The algorithm has less computational complexity with low cross-entropy, and simulation experiments show the effective of the algorithm.Key words:Terrain simulation; Fractional Brownian Motion (FBM) model; Fractal features;Haar wavelet1引言自然地形构建是图形学在计算机图像领域的一个重要应用。

自然地形表面细节复杂，地表起伏有很大的随机性，同时也具有一定的自相关性。

若将自然地形描述为一个随机过程，则该随机过程具有如下性质：在时域或空域上具有自相似性和长时相关性，在频域上功率谱密度在一定频率范围内基本符合1/fγ的多项式衰减规律[1]。

目前，自然地形构建的方法有很多，但总体可归纳为两类[2]：(1)依靠DEM提供初始数据集的方法；(2)完全由算法随机生成数据集的方法。

前者以真实DEM数据为基础，算法只是用于增强地形细节，因此构建简单，且较为符合真实的地表特征，而后者的全部数据都依靠特定算法产生，必须对真实地形的数学特征有更深入的了解和分析，因此较前者而言，后者的研究更富有挑战性。

本文重点关注地形随机生成算法。

在现有的研究成果2007-10-29收到，2008-04-25改回湖南省自然科学基金(07JJ3127)和国防科技大学博士创新基金(B070301)资助课题中，分形布朗运动(FBM)模型能够较好地描述1/f族随机过程的许多特性，因此在地形分析中被广泛采用[3,4]。

FBM最早由Mandelbrot和Ness提出[5]，基于该模型，现已发展出泊松阶跃法、逆Fourier变换法、随机函数法、中点位移法、逐次随机增量法、多重线性细分法、广义统计细分法、噪声合成法、随机圆盘法等众多的计算方法[6]−9，同时针对该模型的理论研究仍在不断深入[1012]−。

小波因其所具有多尺度特性，也成为FBM与1/f族随机过程估计与分析的有力工具[13]，Tewfik在对FBM进一步的研究中发现，FBM的小波变换系数可近似为高斯白噪声[14]，当选择的小波基具有R 阶消失矩时，1/f族的分形噪声小波系数序列是不相关或者弱相关的[15]。

这一结论给了我们很大的启发，可以通过合理设置小波系数，利用随机函数的小波正交构建过程来实现近似符合FBM特性的自然地形的构建。

在构建模拟地形时，本文选用Haar小波基，虽然其消失矩并不满足严格的分形理论要求，但是其仍保持了主要的分形特性，且具有计算复杂度小等突出优势。

本文结构如下：首先对自然地形的数学特征与FBM特性进行分析；在此基础上提出基于Haar小波的地形模拟构538 电 子 与 信 息 学 报 第31卷 建算法；然后结合对真实地形数据的统计分析合理设置小波系数及相关参数，生成模拟地形数据；最后对结果进行评价并给出结论。

2 自然地形特征的分形描述2.1 自然地形的数学特征自然地形主要数学特征归纳如下[2]：具有分数维；多级分形特征；各向异性；一定标度范围内具有统计自相似，如式(1)；变异差满足式(2)；剖面功率谱密度满足式(3)；属于非平稳过程；具有增量平稳性质。

()()()()p X t x p X t x αγγ<=< (1) ()()[]22E X t h X t k hα+−= (2)()2G k αωπω−= (3)描述自然地形需要有符合其数学特征的模型，研究表明，自然地形虽然并非100%具有分形性，但是绝大多数纹理在局部区域内能够较好地满足FBM 的统计特性[16]。

2.2 二维FBM一维FBM 描述了分形的基本特性，但在自然地形研究中需要进行二维分析，文献[1]在Mandelbrot 等人[5]对一维FBM 研究基础上，将二维分形布朗函数定义如下：()()()()()1/21/2()1/2001/21/21()(,)1/2 d ()1 d ()1/2 ,d d H H x y H H B H B H H B B u u H B B H x y x y ττΓΓω−−−−−∞−∞−==+⎡⎢⋅−−⎢⎢⎣⎤⎥+−=⎥+⎥⎦⎧⎡⎪⎪⎢⋅⎨⎢⎪⎢⎪⎣⎪⎩⎤⎥−⎥⎦∫∫∫∫u u u τττττ1/2(,)d d yx u u H x y x y ω−⎫⎪⎪+⎬⎪⎪⎪⎭∫∫(4)其中(),x y ω为二维高斯白噪，H 为分形维数。

式(4)描述了自然地形的许多特性，包括：(1)非平稳随机过程；(2)增量()B Δu 是一个平稳零均值高斯过程；(3)增量方差仅依赖于距离，即()()H22⎡⎤Δ=Δ⎢⎥⎣⎦u u E B C (5)(4)平均功率谱密度具有如下形式：()2222()γ+==H C C S ωω (6)2.3 FBM 的小波特性虽然式(4)的FBM 能够较好地描述自然地形特性，但是将其直接应用却是非常困难的。

进一步研究发现，FBM 的小波变换系数可近似为高斯白噪声。

当选择的小波基具有R 阶消失矩时，1/f 类的分形噪声的小波系数序列是不相关或弱相关的[15]。

()()2()()~22−⎡⎤−⎢⎥⎣⎦H R j k j k E d n d m O n m (7)如果给定不相关的高斯序列，其方差满足式(8)：()212()2σ+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦H j j V d n (8) 那么利用小波合成的近似FBM 为式(9)，且其功率谱满足式(10) [14]：l ()()/212()2ψ+∞−−==−∞=−∑∑Mj j H j j n B t d n k n (9)222121σσωω++≤≤HB H H k'k S (10) 这里()j d n 是()H B t 的j 阶离散小波系数。

通过以上分析，在关于地形的应用中，可以用符合式(8)的多层离散小波来构造自然地形，此时小波系数序列的长程相关性与自相关性则被大大减弱，可以认为是不相关的或弱相关，从而可以用传统的平稳信号处理方法对地形做更深入的分析。

3 基于Haar 小波的地形构建算法基于以上对自然地形与FBM 特性的理论分析，选取Haar 小波模拟构建自然地形。

Haar 小波表达方便，计算简单而且完全正交，因此是分析时较为理想的工具。

地形构建算法主要分为两个步骤，即小波系数的生成及模拟地形的构建。

首先需要模拟符合自然地形分形特点的小波系数，它是以FBM 的小波特性为理论依据，结合对真实地形数据的分形特性的统计分析结果进行模拟生成的；然后进行基于二维Haar 小波的模拟地形构建，以生成的各阶小波系数作为输入，而实现则以小波构建理论为基础。

3.1 基于Haar 小波的真实地形分形特性自然地形的小波分解系数可近似认为是高斯白噪声，且满足式(7)、式(8)。

下边以真实地形数据为基础，分析其小波分解系数的统计特性，以确定高斯分布的参数作为生成合理小波系数的依据。

采用Haar 小波对真实DEM 进行分解，得到各层高频系数，分别统计其方差和均值，图1为对某区域DEM 分别在纵向、横向和斜向不同分解层下的均值曲线。

分别对式(8)两边取对数将其化为线性形式，如式(11)：2lg (21)lg22lg j j H σσ=++ (11)其中2j σ表示第j 层小波系数的方差，而H 与σ是该区域地形的固有特性参数。

将统计方差序列代入式(11)，可得3个高频方向不同分解层的对数方差变化规律曲线，如图2所示。

由图2可以看出，纵向、横向和斜向的方差对数变化在低阶基本呈线性关系，验证了自然地形经Haar 小波分解后方差变化满足关系式(8)。