2020届高三数学摸底考试试题 文

2019届高三摸底考试数 学(文科)得分：______________本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |－4≤x －1≤4}和N ＝{x |x ＝2k －1，k ＝1，2，…}的关系的韦恩(Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有A ．2个B ．3个C ．1个D ．无穷多个2．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．设i 为虚数单位，m ∈R ，“复数z ＝(m 2－1)＋(m －1)i 是纯虚数”是“m ＝±1”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件4．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线的方程为A ．22y ±x ＝0B ．22x ±y ＝0C ．8x ±y ＝0D ．x ±8y ＝05．下列函数的最小正周期为π的是 A ．y ＝cos 2x B ．y ＝|sin x2|C ．y ＝sin xD ．y ＝tan x26．如图是某空间几何体的三视图其中主视图、侧视图、俯视图依次为直角三角形、直角梯形、等边三角形，则该几何体的体积为A.33B.32C.233D. 3 7．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x－a －x＋2 (a >0，a ≠1)，若g (2)＝a ，则f (2)＝A ．2 B.154 C.174D ．a 28．已知向量m ＝(λ＋1，1)，n ＝(λ＋2，2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝A ．－4B ．－3C ．－2D ．－19．已知某程序框图如图所示，当输入的x 的值为5时，输出的y 的值恰好是13，则在空白的赋值框处应填入的关系式可以是A ．y ＝x 3B ．y ＝13xC ．y ＝3xD ．y ＝3－x10．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0x －y ＋2≥0x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为12，则2a ＋3b的最小值为A ．4 B.83 C.113 D.25611．过点P ()－1，1作圆C ：()x －t 2＋()y －t ＋22＝1()t ∈R 的切线，切点分别为A 、B ，则PA →·PB →的最小值为A.103 B.403 C.214D ．22－3 12．已知函数f ()x ＝ln x ＋()x －b 2x(b ∈R )．若存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得f (x )＞－x ·f ′(x )，则实数b 的取值范围是A.()－∞，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，94 D.()－∞，3选择题答题卡第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在一个盒子中有分别标有数字1，2，3，4的4张卡片，现从中一次取出2张卡片，则取到的卡片上的数字之和为5的概率是________．14．在△ABC 中，若∠B ＝60°，sin A ＝13，BC ＝2，则AC ＝________．15．已知函数f ()x ＝⎩⎨⎧||x ，x ≤mx 2－2mx ＋4m ，x >m，其中m >0，若存在实数b ，使得关于x 的方程f ()x ＝b 有三个不同的零点，则m 的取值范围是________．16．给出如下定理：“若Rt △ABC 斜边AB 上的高为h ，则有1h 2＝1CA 2＋1CB2”．在空间四面体P －ABC 中，若PA 、PB 、PC 两两垂直，底面ABC 上的高为h ，类比上述定理，得到的正确结论是________________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x cos(2π－x )． (Ⅰ)求函数f (x )的最小正周期；(Ⅱ)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数y ＝f (x )＋cos2x 的最大值和最小值．18.(本小题满分12分)若数列{a n }是递增的等差数列，其中的a 3＝5，且a 1、a 2、a 5成等比数列． (Ⅰ)设b n ＝1（a n ＋1）（a n ＋1＋1），求数列{b n }的前n 项的和T n .(Ⅱ)是否存在自然数m ，使得m －24<T n <m5对一切n ∈N *恒成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．19．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ABE为等腰三角形，AE＝BE，平面ABCD⊥平面ABE，点F在CE上，且BF⊥平面ACE.(Ⅰ)判断平面ADE与平面BCE是否垂直，并说明理由；(Ⅱ)求点D到平面ACE的距离．已知圆M：(x＋5)2＋y2＝36，N(5，0)，点P是圆M上的任意一点，线段NP的垂直平分线和半径MP相交于点Q.(Ⅰ)当点P在圆M上运动时，试证明|QM|＋|QN|为定值，并求出点Q的轨迹C的方程；(Ⅱ)若圆x2＋y2＝4的切线l与曲线C相交于A、B两点，求△AOB面积的最大值．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )对任意实数x ，都有x ≤f (x )≤14(x ＋1)2恒成立．(Ⅰ)证明：f (1)＝1；(Ⅱ)若f (－1)＝0，求f (x )的表达式；(Ⅲ)在题(Ⅱ)的条件下设g (x )＝f (x )－m2x ，x ∈[0，＋∞)，若g (x )图象上的点都位于直线y ＝－34的上方，求实数m 的取值范围。

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝31＋2cos 2x ，直线l 的极坐标方程为ρ＝4sin θ＋cos θ. (Ⅰ)写出曲线C 1与直线l 的直角坐标方程；(Ⅱ)设Q 为曲线C 1上一动点，求Q 点到直线l 距离的最小值． 23．(本小题满分10分)选修4－5: 不等式选讲已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ， x ≥11x， 0<x <1，g (x )＝af (x )－|x －2|，a ∈R .(Ⅰ)当a ＝0时，若g (x )≤|x －1|＋b 对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，求实数b 的取值范围；(Ⅱ)当a ＝1时，求函数y ＝g (x )的最小值．炎德·英才大联考湖南师大附中2019届高三摸底考试 数学(文科)参考答案一、选择题1．B 【解析】由M ＝{x |－4≤x －1≤4}＝{x |－3≤x ≤5}，则M ∩N ＝{1，3，5}，有3个元素，故选B.2．B3．A 【解析】因为复数z ＝(m 2－1)＋(m －1)i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝0m －1≠0，显然m ＝－1，所以，“复数z ＝(m 2－1)＋(m －1)i 是纯虚数”是“m ＝±1”的充分不必要条件．故答案选A.4．B 【解析】双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率是3，可得ca＝3＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，∴b a＝22，则其渐近线的方程为：22x ±y ＝0，故选B.5．A6．D 【解析】如图所示，该几何体为四棱锥，其中侧面ACBD ⊥底面PAB .侧面ACBD 为直角梯形，DA ⊥AB .该几何体的体积V ＝13×（1＋2）×32×2＝ 3.故答案选D.7．B8．B9．C 【解析】由程序框图可知，当输入的x 的值为5时，第一次运行，x ＝5－2＝3；第二次运行，x ＝3－2＝1；第三次运行，x ＝1－2＝－1，此时x ≤0，退出循环，要使输出的y 的值为13，只有C 中的函数y ＝3x符合要求．10．D 【解析】由不等式组作出可行域如图，由a >0，b >0，可知当直线z ＝ax ＋by 经过点P (4，6)时，z 取得最大值，由已知得4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6，所以2a ＋3b ＝2a ＋3b3a＋2a ＋3b 2b ＝136＋b a ＋a b ≥256，当且仅当b a ＝a b，即a＝b ＝65时取得等号，故2a ＋3b 的最小值为256，故选D.11．C 【解析】PA →·PB →＝(PC 2－1)2cos ∠APB ＝(PC 2－1)×(2cos 2∠APC －1)＝(PC 2－1)(1－2PC2)＝PC 2＋2PC2－3，∵PC 2＝(t ＋1)2＋(3－t )2＝2t 2－4t ＋10≥8，∴PC 2＋2PC 2－3≥8＋28－3＝214.故选C. 12．C 【解析】f ()x ＋xf ′()x >0[]xf ()x ′>0，设g ()x ＝xf ()x ＝ln x ＋()x －b 2，若存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得f ()x ＋xf ′()x >0，则函数g ()x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上存在子区间使得g ′()x >0成立，g ′()x ＝1x ＋2()x －b ＝2x 2－2bx ＋1x，设h ()x ＝2x 2－2bx ＋1，则h ()2>0或h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，即8－4b ＋1>0或12－b ＋1>0，得b <94，故选C.二、填空题 13.1314．3 3 【解析】由正弦定理得，BC sin A ＝AC sin B ，即213＝AC sin 60°，所以AC ＝6×32＝3 3.15．(3，＋∞) 【解析】函数y ＝||x 为偶函数，且左减右增．函数y ＝x 2－2mx ＋4m ()x >m 的对称轴为x ＝m ，且向右单调递增．故当x ≤m 时函数f ()x 先减后增，当时函数f ()x 单调递增，要f ()x ＝b 有三个不同的零点则必须满足m >m 2－2m 2＋4m ，解得m >3.16.1h 2＝1PA 2＋1PB 2＋1PC2【解析】如图，连接CO ，延长交AB 于点D ，连PD ，由已知可得，PC ⊥PD ，PO ⊥CD ，PA ⊥PB ，PD ⊥AB ， 由定理，得1h 2＝1PD 2＋1PC 2＝1PA 2＋1PB 2＋1PC2.三、解答题17．【解析】(Ⅰ)因为f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x cos(2π－x )＝2sin x cos x ＝sin 2x .(4分)所以函数f (x )的最小正周期为π.(6分)(Ⅱ)因为y ＝f (x )＋cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin(2x ＋π4)．(8分)由0≤x ≤π2π4≤2x ＋π4≤5π4，从而－22≤sin(2x ＋π4)≤1.(10分)所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为2，最小值为－1.(12分)18．【解析】(Ⅰ)在等差数列中，设公差为d ≠0，由题意⎩⎪⎨⎪⎧a 22＝a 1a 5a 3＝5⎩⎪⎨⎪⎧（a 1＋d ）2＝a 1（a 1＋4d ）a 1＋2d ＝5(2分) ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1(3分)则b n ＝1（a n ＋1）（a n ＋1＋1）＝12n ×（2n ＋2）＝14(1n －1n ＋1)(4分)所以T n ＝14(11－12)＋14(12－13)＋…14(1n －1n ＋1)＝14(1－1n ＋1)＝n4（n ＋1）(6分)(Ⅱ)T n ＋1－T n ＝14（n ＋1）（n ＋2）>0，∴{T n }单调递增．(7分)∴T n ≥T 1＝18.(8分)T n ＝14(1－1n ＋1)＝14－14（n ＋1）<14(9分)要使得m －24<T n<m 5对一切n ∈N *恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧m －24<18m 5≥14，∴54≤m <52(11分)∵m 是自然数，∴m ＝2.(12分)19．【解析】(Ⅰ)因为BF ⊥平面ACE ，所以BF ⊥AE .(2分) 因为平面ABCD ⊥平面ABE ，BC ⊥AB ，平面ABCD ∩平面ABE ＝AB ，所以BC ⊥平面ABE ， 从而BC ⊥AE .(5分)于是AE ⊥平面BCE ，故平面ADE ⊥平面BCE .(6分)(Ⅱ)方法一：连结BD 交AC 于点M ，则点M 是BD 的中点， 所以点D 与点B 到平面ACE 的距离相等．因为BF ⊥平面ACE ，所以BF 为点B 到平面ACE 的距离．(8分) 因为AE ⊥平面BCE ，所以AE ⊥BE .又AE ＝BE ，所以△AEB 是等腰直角三角形． 因为AB ＝2，所以BE ＝2sin 45°＝ 2.(9分)在Rt △CBE 中，CE ＝BC 2＋BE 2＝ 6.(10分) 所以BF ＝BC ×BE CE ＝226＝233. 故点D 到平面ACE 的距离是233.(12分)方法二：过点E 作EG ⊥AB ，垂足为G ，因为平面ABCD ⊥平面ABE ，所以EG ⊥平面ABCD . 因为AE ⊥平面BCE ，所以AE ⊥BE .又AE ＝BE ，所以△AEB 是等腰直角三角形，从而G 为AB 的中点．又AB ＝2，所以EG ＝1.(8分)因为AE ⊥平面BCE ，所以AE ⊥EC .又AE ＝BE ＝2sin 45°＝2，CE ＝BC 2＋BE 2＝ 6.(10分)设点D 到平面ACE 的距离为h ，因为V D －ACE ＝V E －ACD ，则13S △ACE ·h ＝13S △ACD ·EG .所以h ＝12AD ·DC ·EG 12AE ·EC ＝2×2×12×6＝233，故点D 到平面ACE 的距离是233.(12分)20．【解析】(Ⅰ)证明：由已知条件得|QN |＝|QP |，又|QM |＋|QP |＝6， ∴|QM |＋|QN |＝6为定值．(2分)根据椭圆定义得动点Q 的轨迹是以点M 、N 为焦点的椭圆．(3分) 且2a ＝6，a ＝3，c ＝5，b ＝2，(5分) ∴点Q 的轨迹C 的方程为：x 29＋y 24＝1.(6分)(Ⅱ)∵直线l 不可能与x 轴平行，∴设切线方程为x ＝ty ＋m ， 由直线与圆相切，得||m 1＋t2＝2，∴m 2＝4(1＋t 2)．(7分) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋mx 29＋y 24＝1，消去x 得：(4t 2＋9)y 2＋8tmy ＋4m 2－36＝0，Δ＝(8tm )2－4(4t 2＋9)(4m 2－36)＝144(4t 2－m 2＋9)＝144×5，∴y 1＋y 2＝－8tm 4t 2＋9，y 1y 2＝4m 2－364t 2＋9.(8分)又因为||AB ＝1＋t2||y 1－y 2＝1＋t2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝144（4t 2－m 2）＋144×94t 2＋9 ＝1＋t 2·1254t 2＋9＝12541＋t 2＋51＋t2≤12545＝3.(9分) 当且仅当41＋t 2＝51＋t 2，即t 2＝14时等号成立．(10分) 此时|m |＝5，|AB |max ＝3，又∵S △AOB ＝12×2×|AB |＝|AB |，(11分)∴|m |＝5，|t |＝12时，△AOB 的面积最大，最大值为3.(12分)21．【解析】(Ⅰ)证明：由题意可得1≤f (1)≤14×(1＋1)2＝1，则f (1)＝1；(3分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知：f (1)＝1，即a ＋b ＋c ＝1，(4分) 又f (－1)＝0，即a －b ＋c ＝0，(5分) 两式相减可得，b ＝12，a ＋c ＝12即c ＝12－a ，所以f (x )＝ax 2＋12x ＋12－a ，对任意实数x ，都有f (x )≥x ，即为ax 2－12x ＋12－a ≥0恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝（－12）2－4a （12－a ）≤0， 化简得⎩⎪⎨⎪⎧a >0（4a －1）2≤0，所以a ＝14，c ＝12－a ＝14， 所以f (x )＝14x 2＋12x ＋14.(9分)(Ⅲ)法1：由题意知g (x )＝f (x )－m 2x ＝14x 2＋(12－m 2)x ＋14>－34在[0，＋∞)上恒成立．即x 2＋2(1－m )x ＋4>0在[0，＋∞)上恒成立．记h (x )＝x 2＋2(1－m )x ＋4.(ⅰ)由Δ<0，即[2(1－m )]2－4×4<0，解得－1<m <3； (ⅱ)由⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0－2（1－m ）2h （0）＝4>0≤0，解得m ≤－1.综上可知，m ∈(－∞，3)．(12分)法2：由题意知g (x )＝f (x )－m 2x ＝14x 2＋(12－m 2)x ＋14>－34在[0，＋∞)上恒成立．(ⅰ)当x ＝0时，g (0)＝14>－34成立；(ⅱ)当x >0时，2(m －1)<x 2＋4x ＝x ＋4x在x ∈(0，＋∞)上恒成立，又当x >0时，x ＋4x≥2x ·4x＝4(当且仅当x ＝2时取得最小值)所以2(m －1)<4，解得m ∈(－∞，3)．(12分)请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．22．【解析】(Ⅰ)C 1：3x 2＋y 2＝3，l ：x ＋y ＝4.(4分) (Ⅱ)法1：设Q (cos θ，3sin θ)，则点Q 到直线l 的距离d ＝|cos θ＋3sin θ－4|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ－42＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6－42≥22＝2当且仅当θ＋π6＝2k π＋π2，即θ＝2k π＋π3(k ∈Z )时，Q 点到直线l 距离的最小值为 2.(10分)法2：设Q (x ，y )，直线l ：x ＋y ＝c 与椭圆方程联立，利用直线与椭圆相切求出c ，则Q 点到直线l 距离的最小值为两平行直线间的距离．23．【解析】(Ⅰ)当a ＝0时，g (x )＝－|x －2|(x >0)， g (x )≤|x －1|＋b －b ≤|x －1|＋|x －2|(1分)|x －1|＋|x －2|≥|(x －1)－(x －2)|＝1，当且仅当1≤x ≤2时等号成立，(4分) 实数b 的取值范围是[－1，＋∞)．(5分)(Ⅱ)当a ＝1时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋x －2， 0<x <12x －2， 1≤x ≤22， x >2，(7分)当0<x <1时，g (x )＝1x＋x －2>2x ·1x－2＝0；(8分) 当x ≥1时，g (x )≥0，当且仅当x ＝1等号成立；(9分) 故当x ＝1时，函数y ＝g (x )取得最小值0.(10分)。