第五章 有限元法-1-泛函与变分(课堂PPT)
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是构成各种先进、实用计算软件包的基础。
5
5.1 概述
基本思想：传统的有限元法以变分原理为基础。
首先把所要求解的微分方程数学模型——边值问题， 转化为相应的变分问题，即泛函求极值问题；
然后利用剖分插值，离散化变分问题为普通多元函数 的极值问题，即最终归结为一组多元的代数方程组；
解之即得待求边值问题的数值解。
(4)从数学理论意义上讲，有限元法作为应用数学的一 个重要分支，很小有其它方法应用得这样广泛。
它使微分方程的解法与理论面目一新，推动了泛函分析与计算 方法的发展。
11
有限元法的内涵也在不断延拓：
自从1969年以来，在流体力学领域中，通过运用加权余量法导 出的伽辽金法或最小二乘法同样得到了有限元方程。
例如，鉴于三维静态磁场分析的需要，由有限元法与数值积分 法相组合而成的单标量磁位法，校正了三十余年来简化标量法 有误的构造模式。
数学理论的发展也为有限元法注入了新的活力，
1970年，以A. M. Arthurs为代表提出了互补变分原理， 形成了泛函的所谓双边值问题，产生了互补、对偶有限元法。 这样，通过泛函极大与极小值问题的近似数值解，简单地求其 算术平均值，即可获得充分逼近真实解的理想计算结果。
热传导、渗流、
流体力学、空气动力学、土壤力学、
机械零件强度分析、
电磁场工程问题等。
4
电气工程领域的应用
1965年Winslow首先将有限元法应用于电气工程问题，
1969年Silvester将有限元法推广应用于时谐电磁场问题。
至今
有限元法已经成为各类电磁场、电磁波工程问题定量 分析与优化设计的主导数值计算方法，
不同媒质分界面上的边界条件是自动满足的；二、三类边界条 件不必作单独的处理。
此外，离散点配置比较随意，并且取决于有限单元剖分密度和 单元插值函数的选取，可以充分保证所需的数值计算精度。
10
(3)可方便地编写通用计算程序，使之构成模块化的子 程序集合，适应计算功能延拓的需要，从而即可构成 各种高效能的计算软件包。
6
有限元法的核心在于：剖分插值。
将连续场分割为有限个单元，然用比较简单的插值函 数来表示每个单元的解，
但是，它并不要求每个单元的试探解都满足边界条件， 而是在全部单元总体合成后再引入边界条件。
这样，就有可能对于内部和边界上的单元采用同样的 插值函数，使方法构造极大地得到简化。
7
此外，由于变分原理的应用，使第二、三类及不同媒 质分界面上的边界条件作为自然边界条件在总体合成 时将隐含地得到满足。
取A点为坐标原点，y轴竖直向下（图5-1）。 则沿曲线y=y(x)滑行线段ds所需的时间为
16
因此滑行的总时间为
可见，积分值J=J[y(x)]不仅取决于定积分的两端点x1和x2， 而且取决于函数y=y(x)的选择。
对照函数的定义，变量J值取决于函数关系y(x)，因此J是函数的 函数，是含义更为广泛的函数，故称之为函数y(x)的泛函，记作 J[y(x)]。
即自然边界条件将被包含在泛函达到极值的要求之中，不必单 独列出，
惟一需考虑的仅是强制边界条件（第一类边界条件）的处理，
进一步简化了方法的构造。
8
有限元法的主要特点是：
（1）离散化过程保持了明显的物理意义。
因为变分原理描述了支配物理现象的物理学中的最小作用原理 （如力学中的最小势能原理、静电学中的汤姆逊定理等）。
例如，静电场的势函数f(r)是定义在坐标空间的 函数集，系统电场总能量U(ϕ(r))则是定义在该 函 数集中应，在几何、力学上的求解泛 函极值的问题。
最速降线问题。
研究当质点从定点A自由下滑到定点B时，为使滑行时间最短，试 求质点应沿着怎样形状的光滑轨道y=y(x)下滑。
为提高数值解的计算精度，在高阶有限元法的应用范畴中，除了 常用的基于拉格朗日多项式构造基函数的等参数有限元法外，还 延拓构成了以B样条函数基为基函数的B样条有限元法。
B样条有限元法的提出，不仅保证了以位函数为待求量的数值解的高 精度，而且保证了与物理场特性相一致的场量数值解的连续性。
12
把有限元法与其它数值方法相结合而构成的组合法， 经常是解决特定问题的有效途径。
2
历史
历史
1943年Courant提出有限元思想。
20世纪50年代初期，有限元法在复杂的航空结构分析 中最先得到应用，
1960年Clough(克拉夫 )在其著作中首先提出有限元法 （finite element method，简称FEM）这个名称。
3
应用
以变分原理为基础的有限元法，因其理论依据的 普遍性，广泛地被应用于各种工程领域：
第五章 有限元法
内容：
基于变分原理，介绍有限元法。 以线性静态场中一阶有限元的应用为重点， 引伸到非线性场、时谐场中的分析，以及等参数有 限元法的应用。
1
特点
能处理复杂区域和复杂边界条件的求解问题。 是求解微分方程的系统化数值计算方法。 比传统解法具有理论完整可靠. 物理意义直观明确. 解题效能强。
故基于问题固有的物理特性而予以离散化处理，列出计算公式， 应当可保证方法的正确性、数值解的存在与稳定性等前提要素。
9
（2）优异的解题能力。
与其它数值计算方法相比较，有限元法在适应场域边界几何形 状以及媒质物理性质变异情况复杂的问题求解上，有突出的优 点。即方法应用不受上述二个方面复杂程度的限制。
13
5.2 变分原理
从介绍有关泛函、变分问题和变分法等数学概念 着手，阐述有限元法的变分原理，
为有限元法基本原理的讨论提供必要的数学基础。
以加权余量法为基础导出的伽辽金有限元法则将 在矩量法中展述。
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5.2.1 泛函与变分问题
数学上，通常变量与变量间的关系称为函数，而 泛函则是函数集合的函数，也就是函数的函数。
于是最速降线问题，在数学上，就归结为研究泛函J[y(x)]的极 值问题，即
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函数极值，求值； 泛函极值，求函数
泛函的极值（极大值或极小值）问题就称为变分问题。 对于一般问题，对应于一个自变量x的最简形式的泛函：
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5.1 概述
基本思想：传统的有限元法以变分原理为基础。
首先把所要求解的微分方程数学模型——边值问题， 转化为相应的变分问题，即泛函求极值问题；
然后利用剖分插值，离散化变分问题为普通多元函数 的极值问题，即最终归结为一组多元的代数方程组；
解之即得待求边值问题的数值解。
(4)从数学理论意义上讲，有限元法作为应用数学的一 个重要分支，很小有其它方法应用得这样广泛。
它使微分方程的解法与理论面目一新，推动了泛函分析与计算 方法的发展。
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有限元法的内涵也在不断延拓：
自从1969年以来，在流体力学领域中，通过运用加权余量法导 出的伽辽金法或最小二乘法同样得到了有限元方程。
例如，鉴于三维静态磁场分析的需要，由有限元法与数值积分 法相组合而成的单标量磁位法，校正了三十余年来简化标量法 有误的构造模式。
数学理论的发展也为有限元法注入了新的活力，
1970年，以A. M. Arthurs为代表提出了互补变分原理， 形成了泛函的所谓双边值问题，产生了互补、对偶有限元法。 这样，通过泛函极大与极小值问题的近似数值解，简单地求其 算术平均值，即可获得充分逼近真实解的理想计算结果。
热传导、渗流、
流体力学、空气动力学、土壤力学、
机械零件强度分析、
电磁场工程问题等。
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电气工程领域的应用
1965年Winslow首先将有限元法应用于电气工程问题，
1969年Silvester将有限元法推广应用于时谐电磁场问题。
至今
有限元法已经成为各类电磁场、电磁波工程问题定量 分析与优化设计的主导数值计算方法，
不同媒质分界面上的边界条件是自动满足的；二、三类边界条 件不必作单独的处理。
此外，离散点配置比较随意，并且取决于有限单元剖分密度和 单元插值函数的选取，可以充分保证所需的数值计算精度。
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(3)可方便地编写通用计算程序，使之构成模块化的子 程序集合，适应计算功能延拓的需要，从而即可构成 各种高效能的计算软件包。
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有限元法的核心在于：剖分插值。
将连续场分割为有限个单元，然用比较简单的插值函 数来表示每个单元的解，
但是，它并不要求每个单元的试探解都满足边界条件， 而是在全部单元总体合成后再引入边界条件。
这样，就有可能对于内部和边界上的单元采用同样的 插值函数，使方法构造极大地得到简化。
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此外，由于变分原理的应用，使第二、三类及不同媒 质分界面上的边界条件作为自然边界条件在总体合成 时将隐含地得到满足。
取A点为坐标原点，y轴竖直向下（图5-1）。 则沿曲线y=y(x)滑行线段ds所需的时间为
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因此滑行的总时间为
可见，积分值J=J[y(x)]不仅取决于定积分的两端点x1和x2， 而且取决于函数y=y(x)的选择。
对照函数的定义，变量J值取决于函数关系y(x)，因此J是函数的 函数，是含义更为广泛的函数，故称之为函数y(x)的泛函，记作 J[y(x)]。
即自然边界条件将被包含在泛函达到极值的要求之中，不必单 独列出，
惟一需考虑的仅是强制边界条件（第一类边界条件）的处理，
进一步简化了方法的构造。
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有限元法的主要特点是：
（1）离散化过程保持了明显的物理意义。
因为变分原理描述了支配物理现象的物理学中的最小作用原理 （如力学中的最小势能原理、静电学中的汤姆逊定理等）。
例如，静电场的势函数f(r)是定义在坐标空间的 函数集，系统电场总能量U(ϕ(r))则是定义在该 函 数集中应，在几何、力学上的求解泛 函极值的问题。
最速降线问题。
研究当质点从定点A自由下滑到定点B时，为使滑行时间最短，试 求质点应沿着怎样形状的光滑轨道y=y(x)下滑。
为提高数值解的计算精度，在高阶有限元法的应用范畴中，除了 常用的基于拉格朗日多项式构造基函数的等参数有限元法外，还 延拓构成了以B样条函数基为基函数的B样条有限元法。
B样条有限元法的提出，不仅保证了以位函数为待求量的数值解的高 精度，而且保证了与物理场特性相一致的场量数值解的连续性。
12
把有限元法与其它数值方法相结合而构成的组合法， 经常是解决特定问题的有效途径。
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历史
历史
1943年Courant提出有限元思想。
20世纪50年代初期，有限元法在复杂的航空结构分析 中最先得到应用，
1960年Clough(克拉夫 )在其著作中首先提出有限元法 （finite element method，简称FEM）这个名称。
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应用
以变分原理为基础的有限元法，因其理论依据的 普遍性，广泛地被应用于各种工程领域：
第五章 有限元法
内容：
基于变分原理，介绍有限元法。 以线性静态场中一阶有限元的应用为重点， 引伸到非线性场、时谐场中的分析，以及等参数有 限元法的应用。
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特点
能处理复杂区域和复杂边界条件的求解问题。 是求解微分方程的系统化数值计算方法。 比传统解法具有理论完整可靠. 物理意义直观明确. 解题效能强。
故基于问题固有的物理特性而予以离散化处理，列出计算公式， 应当可保证方法的正确性、数值解的存在与稳定性等前提要素。
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（2）优异的解题能力。
与其它数值计算方法相比较，有限元法在适应场域边界几何形 状以及媒质物理性质变异情况复杂的问题求解上，有突出的优 点。即方法应用不受上述二个方面复杂程度的限制。
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5.2 变分原理
从介绍有关泛函、变分问题和变分法等数学概念 着手，阐述有限元法的变分原理，
为有限元法基本原理的讨论提供必要的数学基础。
以加权余量法为基础导出的伽辽金有限元法则将 在矩量法中展述。
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5.2.1 泛函与变分问题
数学上，通常变量与变量间的关系称为函数，而 泛函则是函数集合的函数，也就是函数的函数。
于是最速降线问题，在数学上，就归结为研究泛函J[y(x)]的极 值问题，即
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函数极值，求值； 泛函极值，求函数
泛函的极值（极大值或极小值）问题就称为变分问题。 对于一般问题，对应于一个自变量x的最简形式的泛函：