讲座 曲线积分

第十章 曲线积分第一节 第一型曲线积分（对弧长的曲线积分） 一、例 物质曲线的质量在xOy 平面上有一条可求长的曲线L 上，已知曲线L 上点(,)x y 的线密度是(,)x y ρ，求曲线L 的质量. 1)分割 在曲线L 上依次任取一组点A A =，1A ，2A ， ，1n A -，nA B=，表为分法T ，它将曲线L 分成n 个小弧：01A A ，12A A ， ，1i i A A -， ， 1n n A A -； 2）近似代替 在第i 个小弧1i i A A -上任取一点(,)i iP ξη，以点P 的线密度(,)i i ρξη近似代替第i 个小弧 1i i A A -上每一点的线密度，于是第i 个小弧1i i A A -的质量的近似值(,)i i iim s ρξη∆≈∆ 其中i s ∆是第i 个小弧1i i A A -的长； 3）求和 11(,)nniiii i i m ms ρξη===∆≈∆∑∑；4）取极限 设()T λ是分法T 的n 个小弧之长的最大者，即12(){,,,,,}i n T s s s s λ=∆∆∆∆ ，则曲线L 的质量应该是()01lim(,)niii T i m s λρξη→==∆∑.二、定义如果在xOy 平面上有一条可求长的曲线L ：()x t ϕ=，()y t ψ=，[,]t αβ∈，端点A 、B 对应的参数值分别为t α=，t β=，函数(,)f x y 在曲线L 上有定义.首先，用任意分法T ，将曲线L 依次分成n 个小弧：01A A ，12A A ， ，1i i A A -， ， 1n n A A -， 其中0A A =，nA B=，用i s ∆表示第i 个小弧1i i A A -的长，设()T λ是分法T 的n 个小弧之长的最大者，即12(){,,,,,}i n T s s s s λ=∆∆∆∆ ；其次，在第i 个小弧1i iA A -上任取一点(,)iiξη，作和1(,)ni i ii f s ξη=∆∑，显然和数与曲线L 的分法T 及点(,)i i ξη的取法有关，如果不论分法T及点的取法如何，当()0T λ→时，和数存在极限，设()01lim(,)ni i i T i f s Iλξη→=∆=∑称I 时函数(,)f x y 沿曲线L 的第一型曲线积分，表为(,)(,)L A B f x y ds ⎰，其中ds 是弧长微元.由定义可知，在xOy 平面上有一条物质曲线(,)L A B 上，已知其上每一点(,)x y 的线密度是(,)x y ρ，则物质曲线L 的质量m 是第一型曲线积分，即(,)()01lim(,)(,)niii L A B T i m s x y ds λρξηρ→==∆=∑⎰.三、性质 1 (,)(,)(,)(,)L A B L B A f x y ds f x y ds=⎰⎰,即第一型曲线积分与曲线L 的方向（由A 到B 或由B 到A ）无关； 2 (,)(,)(,)[(,)(,)](,)(,)L A B L A B L A B f x y g x y ds f x y ds g x y ds±=±⎰⎰⎰；3 (,)(,)(,)(,)L A B L A B kf x y ds k f x y ds =⎰⎰，其中k 是常数；4 (,)(,)(,)(,)(,)(,)L A B L A F L F B f x y ds f x y ds f x y ds=+⎰⎰⎰.由定义可知，在xOy 平面上有一条物质曲线(,)L A B 上，已知其上每一点(,)x y 的线密度是(,)x y ρ，则物质曲线L 的质量m 是第一型曲线积分，即(,)()01lim(,)(,)niii L A B T i m s x y ds λρξηρ→==∆=∑⎰.四、平面曲线的弧长 1 直角坐标系设曲线弧由直角坐标方程()y f x =()a xb ≤≤给出，其中()y f x =在[,]a b 上具有一阶连续导数，计算这段曲线弧的长度.微元法：取x 为积分变量，它的变化区间为[,]a b ，在[,]a b 上任取一小区间[,]x x dx +，在小区间[,]x x dx +内用切线段M T 近似代替小弧段M N ，从而得到弧长微元ds ==b b aas ds ∴==⎰⎰图12 参数方程若曲线由参数方程()()()x t t y t ϕαβψ=⎧≤≤⎨=⎩给出，并且()t ϕ，()t ψ在[,]αβ上具有连续导数，这时弧长微元ds ==s ds ββαα∴==⎰⎰3 极坐标设曲线是极坐标方程()r f θαθβ=≤≤，可将极坐标方程化为以θ为参数的参数方程()cos ()sin x f y f θθαθβθθ=⎧≤≤⎨=⎩，当()f θ可导时，有()cos ()sin ()sin ()cos x f f y f f θθθθθθθθ''=-⎧⎨''=+⎩若()f θ'在[,]αβ连续，则曲线的弧长微元ds θ==s ds ββααθ∴==⎰⎰注：计算弧长时，由于被积函数都是正的，为使弧长是正值，定积分应保持积分的下限小于上限. 五、计算1 定理 设(,)f x y 在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为()()()x t t y t ϕαβψ=⎧≤≤⎨=⎩其中()t ϕ，()t ψ在[,]αβ上具有一阶连续导数，且22[()][()]0t t ϕψ''+≠，则曲线积分(,)Lf x y ds⎰存在，且(,)[(),(()Lf x y ds f t t βαϕψαβ=<⎰⎰ （1）公式（1）表明，计算对弧长的曲线积分(,)Lf x y ds⎰时，只要把x ，y ，ds 依次换为()t ϕ，()t ψ，，然后从α到β作定积分.必须注意，定积分的下限α一定要小于上限β.2 如果曲线L 由方程()()y x a x b ϕ=≤≤给出，则(,)[,(()b Laf x y ds f x x a b ϕ=<⎰⎰.3 如果曲线L 由方程()()x y c y d ψ=≤≤给出，则(,)[(),()dLcf x y ds f y y c d ψ=<⎰⎰.4公式（1）可推广到空间，曲线弧Γ由参数方程()()()()x t y t t z t ϕψαβω=⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩给出，则(,,)[(),(),(()f x y z ds f t t t βαϕψωαβΓ=<⎰⎰.第二节 第二型曲线积分（对坐标的曲线积分） 一、例 变力沿曲线作功质点m 在变力F的作用下由A 沿平面曲线L 运动到点B ，力F为(,)(,)F P x y i Q x y j =+其中(,)P x y ，(,)Q x y 分别是力F在x 轴、y 轴上的投影.求出力F对质点m 所作的功.1)分割 在曲线L 上依次任取一组点A A =，1A ，2A ， ，1n A -，n AB =，表为分法T ，它将曲线L 分成n 个小弧：01A A ， 12A A ， ， 1i i A A -， ， 1n n A A -；2）近似代替先考察在力F作用下，质点从1i A -沿曲线L 运动到i A 时所作的功i W ∆，当弧长1i i A A -很小时，在该弧上任取一点(,)i i ξη，，将i W ∆近似视为常力 (,)(,){(,),i i i i i i i i iF P i Q jP Q ξηξηξηξη=+=作用于质点，使之沿弦1i i A A -运动所作的功1i i ii W F A A -∆≈， 其中1i i A A -表示位移向量1{,}i i i i i iA A x i y j x y -=∆+∆=∆∆ ， 于是(,)(,)i i i iiiiW P xQ y ξηξη∆≈∆+∆；3）求和 所求的总功11(,)(,)nniiii i i ii i W WP x Q y ξηξη===∆≈∆+∆∑∑；4）取极限 设()T λ是分法T 的n 个小弧之长的最大者，即11()m ax{}i i i nT A A λ-≤≤=的弧长，则()01lim(,)(,)niii i i i T i W P x Q y λξηξη→==∆+∆∑.二、定义设L 是以A 为起点，B 为终点的平面有向曲线，(,)(,)(,)f x y P x y i Q x y j=+为定义在L 上的有向函数，用点0A A =，1A ，2A ， ，1n A -，nA B=，将L 分成n 段有方向的小弧段01A A ， 12A A ， ， 1i i A A -， ， 1n n A A -，记相应于有向弧段1i i A A -的有向弦为1i i A A -， 1{,}i i i i i i A A x i y j x y -=∆+∆=∆∆，在每一小弧段1i i A A -上任取一点(,)i i ξη，作和式 1(,)(,)niii i i ii P x Q y ξηξη=∆+∆∑，记11()m ax{}i i i nT A A λ-≤≤=的弧长 如果 ()01lim (,)(,)ni i i i i iT i P x Q y λξηξη→=∆+∆∑存在，则称此极限值为向量函数(,)f x y沿有向曲线L AB=的第二类曲线积分或对坐标的曲线积分，记为(,)(,)ABP x y dx Q x y dy +⎰.注： (,)(,)(,)(,)AB ABABP x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy+=+⎰⎰⎰.三、性质1 12121122()()AB AB ABP P dx Q Q dy P dx Q dy P dx Q dy +++=+++⎰⎰⎰； 2AB ABkPdx kQdy k Pdx Qdy +=+⎰⎰，其中k 是常数； 3 设C 是曲线AB 上一点，则 ABACCBPdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy+=+++⎰⎰⎰；4 AB BAPdx Qdy Pdx Qdy +=-+⎰⎰. 其中， BA表示 AB 相同的曲线弧，但是起点为B ，终点为A .性质4的成立是因为改变积分路径的方向，就改变了第二类曲线积分定义中i x ∆，i y ∆的符号，性质4表明，第二类曲线积分依赖于曲线的走向.其物理意义是：若(,)(,)ABP x y dx Q x y dy +⎰表示力(,)f x y使质点从A 沿曲线到B 所作的功，则(,)(,)BA P x y dx Q x y dy +⎰表示力(,)f x y使质点从B 沿曲线到A 克服力(,)f x y所作的功，两者相差一个符号.四、计算1 定理 设(,)P x y 、(,)Q x y 在有向曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为()()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩当参数t 单调地由α变到β时，点(,)M x y 从L 的起点A 沿L 运动到终点B ，()t ϕ，()t ψ在以α及β为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且22[()][()]0t t ϕψ''+≠，则曲线积分(,)(,)L P x y dx Q x y dy+⎰存在，且(,)(,)[(),()]()[(),()]()LP x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt βαϕψϕϕψψ''+=+⎰⎰（1）公式（1）表明，计算对坐标的曲线积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy+⎰时，只要把x ，y ，dx ，dy 依次换为()t ϕ，()t ψ，()t dt ϕ'，()t dt ψ'，然后从L 的起点所对应的参数值α到L 的终点所对应的参数值β作定积分.必须注意，定积分的下限α对应于L 的起点，上限β对应于L 的终点，α不一定小于β. 2 如果曲线L 由方程()y x ϕ=给出，则(,)(,){[,()][,()]()}b LaP x y dx Q x y dy P x x Q x x x dxϕϕϕ'+=+⎰⎰，这里下限a 对应于L 的起点，上限b 对应于L 的终点.3 如果曲线L 由方程()x y ψ=给出，则(,)(,){[(),]()[(),]}d L c P x y dx Q x y dy P y y y Q y y dy ψψψ'+=+⎰⎰，这里下限c 对应于L 的起点，上限d 对应于L 的终点.4 公式（1）可推广到空间，曲线弧Γ由参数方程()()()x t y t z t ϕψω=⎧⎪=⎨⎪=⎩给出，则 (,,)(,,)(,,)P x y z dx Q x y z dy Z x y z dz Γ++⎰{[(),(),()]()[(),(),()]()[(),(),()]()}P t t t t Q t t t t Z t t t t dt βαϕψωϕϕψωψϕψωω'''++⎰， 这里下限α对应于Γ的起点，上限β对应于Γ的终点.第三节 格林公式及应用一、格林公式在一元函数积分学中，牛顿——莱布尼兹公式()()()ba F x dx Fb F a '=-⎰表示：()F x '在区间[,]a b 上的积分可以通过它的原函数()F x 在这个区间端点上的值来表达.格林公式表示在平面闭区域D 上的二重积分可以通过沿闭区域D 的边界曲线上的曲线积分来表达.定义：设D 为平面区域，如果D 内任一闭曲线所围的部分都属于D ，则称D 为平面单连通区域，否则称为复连通区域.通俗地说，平面单连通区域就是不含“洞”（包括点“洞”）的区域，复连通区域是含“洞” （包括点“洞”）的区域.例如，平面上的圆形区域22{(,)1}x y x y +<、上半平面{(,)0}x y y >都是单连通区域，圆环型区域22{(,)14}x y x y <+<是复连通区域.规定区域D 的边界曲线L 的正方向：当一质点沿着曲线L 前进时，区域D 始终在质点的左侧，则该方向称为曲线L 的正方向.定理 1 设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，函数(,)P x y 及(,)Q x y 在D 上具有一阶连续偏导数，则有L D Q P dxdy Pdx Qdy x y ⎛⎫∂∂-=+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰ （1）其中L 是D 的取正向的边界曲线.公式（1）叫作格林公式.一个简单的应用：在公式（1）中取P y =-，Q x =，得122L D dxdy xdy ydx =-⎰⎰⎰ .格林公式注意：1.忽视(,)P x y 及(,)Q x y 在闭区域D 上一阶偏导数的连续性；2.忘记曲线L 是封闭的，并且是取正向的.二、平面上曲线积分与路径无关的条件定理2 设函数(,)P x y 及(,)Q x y 在单连通区域D 上具有一阶连续偏导数，则曲线积分L Pdx Qdy +⎰与路径无关的充要条件是：沿D 内任意一条闭曲线L 的积分为零，即0LPdx Q dy +=⎰. 定理3设函数(,)P x y 及(,)Q x y 在单连通区域D 上具有一阶连续偏导数，曲线L D ⊆，则曲线积分L Pdx Qdy +⎰在D 内与路径无关的充要条件是(,)PQx y D y x ∂∂=∈∂∂.。