广东省深圳市2020届高三上学期第二次教学质量检测数学(文)试卷

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2020年广东深圳高三二模文科数学试卷-学生用卷

2020年广东深圳高三二模文科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第1题5分已知集合A ={x|−1<x <5}，B ={1,3,5}，则A ∩B =（）．A. {1,3}B. {1,3,5}C. {1,2,3,4}D. {0,1,2,3,4,5}2、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第2题5分2020年广东深圳高三二模理科第1题5分设z =1+i(1−i)2，则|z|=（）．A. 12B. √22C. 1D. √23、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第3题5分已知a =ln 22，b =log 2⁡2e ，c =22e ，则（）．A. a <b <cB. b <c <aC. c <b <aD. b <a <c4、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第4题5分设x ，y 满足约束条件{x −y ⩽1，x +y ⩽3，x ⩾0，则z =2x −y 的最大值为（）．A. −3B. 1C. 2D. 35、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第5题5分已知m，n是两条不同直线，a，β是两个不同平面，有下列四个命题：①若m//α，n//α，则m//n；②若n⊥α，m⊥β，m//n，则α//β；③若α⊥β，m//α，n⊥β，则m//n；④若α//β，m⊂α，m⊥n，则n⊥β．其中，正确的命题个数是（）．A. 3B. 2C. 1D. 06、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第6题5分已知双曲线C: x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦点分别为F1(−5,0)，F2(5,0)，P为C上一点，PF1⊥PF2，tan⁡∠PF1F2=34，则C的方程为（）．A. x2−y224=1B. x 224−y2=1C. x 29−y216=1D. x 216−y29=17、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第7题5分执行右边的程序框图，如果输入的k=0.4，则输出的n=（）．A. 5B. 4C. 3D. 28、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第8题5分函数f(x)=x2−2x+1的图象与函数g(x)=3cos⁡πx的图象所有交点的横坐标之和等于（）．A. 2 B. 4 C. 6 D. 89、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第9题5分已知正方体的六个面的中心可构成一个正八面体，现从正方体内部任取一个点，则该点落在这个正八面体内部的概率为（）．A. 12B. 13C. 16D. 11210、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第10题5分2020~2021学年6月四川成都锦江区四川省成都市第十七中学高二下学期月考文科第7题函数f(x)=(1−4x)sin⁡x2x的部分图象大致为（）．A.B.C.D.11、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第11题5分2020~2021学年11月内蒙古呼和浩特高三上学期月考理科第11题5分下面左图是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如下面右图所示，右图中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A，B，C，D是其中四个圆的圆心，则AB→⋅CD→=（）．A. 32B. 28C. 26D. 2412、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第12题5分2020~2021学年湖南长沙岳麓区湖南师范大学附属中学高二上学期期末第8题3分在三棱锥P−ABC中，平面PBC⊥平面ABC，∠ACB=90°，BC=PC=2，若AC=PB，则三棱锥P−ABC体积的最大值为（）．A. 4√23B. 16√39C. 16√327D. 32√327二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第13题5分2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足，医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援．若某医疗团队从甲，乙，丙，丁4名医生志愿者中，随机选取2名医生赴湖北支援，则甲被选中的概率为．14、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第14题5分2020~2021学年陕西西安雁塔区高新第一中学国际部高一下学期开学考试第13题5分在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为b 2+c2−a24，bsin⁡C=csin⁡A+C2，则角C=．15、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第15题5分《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半，1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只：2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只，以此类推，假设n个月后共有老鼠a n只，则a n=．16、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第16题5分已知A，F分别是椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的下顶点和左焦点，过A且倾斜角为60°的直线l分别交x轴和椭圆C于M，N两点，且N点的纵坐标为35b，若△FMN的周长为6，则△FMN的面积为．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第17题12分已知各项都为正数的等比数列{a n}，a2=32，a3a4a5=8．(1) 求数列{a n}的通项公式．(2) 设b n=log2a n，T n=|b1|+|b2|+|b3|+⋯+|b n|，求T n．18、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第18题12分为了比较两种治疗某病毒的药（分别称为甲药，乙药）的疗效，某医疗团队随机地选取了服用甲药的患者和服用乙药的患者进行研究，根据研究的数据，绘制了如下等高条形图．(1) 根据等高条形图，判断哪一种药的治愈率更高，不用说明理由；(2) 为了进一步研究两种药的疗效，从服用甲药的治愈患者和服用乙药的治愈患者中，分别抽取了10名，记录他们的治疗时间（单位：天），统计并绘制了如下茎叶图，从茎叶图看，哪一种药的疗效更好，并说明理由；(3) 标准差s除了可以用来刻画一组数据的离散程度外，还可以刻画每个数据偏离平均水平的程度．如果出现了治疗时间在(x−3s,x+3s)之外的患者，就认为病毒有可能发生了变异，需要对该患者进行进一步检查，若某服用甲药的患者已经治疗了26天还未痊愈，请结合（2）中甲药的数据，判断是否应该对该患者进行进一步检查？⋅[(x1−x)2+(x2−x)2+⋯+(x n−x)2]．参考公式：s=√1n参考数据：√2340≈48．19、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第19题12分如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60∘，AA1=√2AB，M，N分别为AB，AA1的中点．(1) 求证：平面B1NC⊥平面CMN．(2) 若AB=2，求点N到平面B1MC的距离．20、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第20题12分2020~2021学年9月广东广州越秀区广州大学附属中学高三上学期月考第22题12分2020~2021学年9月广东广州南沙区广州外国语学校高三上学期月考第22题12分2020~2021学年9月广东广州越秀区广州市铁一中学高三上学期月考第22题12分在平面直角坐标系xOy中，已知定点F(1,0)，点A在x轴的非正半轴上运动，点B在y轴上运动，满足AB→⋅BF→=0，点A关于点B的对称点为M，设点M的轨迹为曲线C．(1) 求曲线C的方程．(2) 已知点G(3,−2)，动直线x=t(t>3)与C相交于P，Q两点，求过G，P，Q三点的圆在直线y=−2上截得的弦长的最小值．21、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第21题12分已知函数f(x)=xe xe−3，g(x)=aln⁡x−2x(a∈R)．(1) 讨论g(x)的单调性．(2) 是否存在实数a，使不等式f(x)⩾g(x)恒成立？如果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第22题10分2020年广东深圳高三二模理科第22题10分椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定的滑块A，B，它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M处用套管装上铅笔，使直尺转动一周，则点M的轨迹C是一个椭圆，其中|MA|=2，|MB|=1，如图，以两条导槽的交点为原点O，横槽所在直线为x轴，建立直角坐标系．(1) 将以射线Bx为始边，射线BM为终边的角xBM记为φ（0⩽φ<2π），用φ表示点M的坐标，并求出C的普通方程；(2) 已知过C的左焦点F，且倾斜角为α（0⩽α<π2）的直线l1与C交于D，E两点，过点F且垂直于l1的直线l2与C交于G，H两点，当1|FE|，|GH|，1|FD|依次成等差数列时，求直线l2的普通方程．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年广东深圳高三二模文科第23题10分已知a，b，c为正实数，且满足a+b+c=1．证明：(1) |a−12|+|b+c−1|⩾12．(2) (a3+b3+c3)(1a2+1b2+1c2)⩾3．1 、【答案】 A;2 、【答案】 B;3 、【答案】 D;4 、【答案】 D;5 、【答案】 C;6 、【答案】 A;7 、【答案】 C;8 、【答案】 B;9 、【答案】 C;10 、【答案】 B;11 、【答案】 C;12 、【答案】 D;13 、【答案】12;14 、【答案】512π;15 、【答案】2⋅7n;16 、【答案】8√35;17 、【答案】 (1) a n=29−2n，n∈N∗．;(2) T n={8n−n2,1⩽n⩽4n2−8n+32,n>4．;18 、【答案】 (1) 甲药．;(2) 甲药．;(3) 是．;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) √2．;20 、【答案】 (1) y2=4x．;(2) 4√2+4．;21 、【答案】 (1) 当a⩽0时，g(x)在(0,+∞)上单调递减；当a>0时，函数g(x)在(0,a2)上为增函数，在(a2,+∞)上为减函数．;(2) 存在；a=4．;22 、【答案】 (1) M(2cos⁡φ,sin⁡φ)，x24+y2=1．;(2) x+√2y+√3=0．;23 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 证明见解析．;第11页，共11页。

2020年广东省深圳市高考数学二模试卷(文科) (含答案解析)

2020年广东省深圳市高考数学二模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|0<x ≤1}，B ={x|x 2<1}，则(∁R A)∩B =( )A. (0,1)B. [0,1]C. (−1,1]D. (−1,0]2. 若复数(x 2−1)+(x −1)i 对应的点在虚轴上，则实数x 的值为( )A. −1或1B. 0C. 1D. −13. 已知点(−3,−1)和点(4,−6)在直线3x −2y −a =0的两侧，则a 的取值范围为( )A. (−24,7)B. (−7,24)C. (−∞,−7)∪(24,+∞)D. (−∞,−24)∪(7,+∞)4. 已知函数f(x)={(1−2a)x ,x ≤1log a x +13,x >1，当x 1≠x 2时，f(x1)−f(x 2)x 1−x 2<0，则a 的取值范围是()A. (0,13]B. [13,12] C. (0,12] D. [14,13]5. 容量为20的样本数据，分组后的频数如下表所示：分组 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70)频数 2 3 4 5 4 2则样本数据落在[20,50)的频率为( )A. 0.4B. 0.5C. 0.6D. 0.756. 如图，在ΔABC 中，，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. √3B. √32C. √33 D. 2√37. cos50°cos20°+sin130°sin20°的值为( )A. 12B. 13C. √32D. √338.已知抛物线y2=4x，直线x+2y−1=0与该抛物线交于A，B两点，则弦AB的长为()A. 24B. 20C. 16D. 129.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E在棱CC1上，且CE=2EC1，则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A. √72B. √52C. √132D. √13310.已知ω>0，|φ|<π2，若x=π6和x=7π6是函数f(x)=cos(ωx+φ)的两个相邻的极值点，将y=f(x)的图象向左平移π6个单位得到函数y=g(x)的图象，则下列说法正确的是()A. y=g(x)是奇函数B. y=g(x)的图象关于点(−π2,0)对称C. y=g(x)的图象关于直线x=π2对称D. y=g(x)的周期为π11.已知函数y=f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)=x2−3x+1，则f(3)=()A. 17B. −17C. 19D. −1912.设F1，F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1的左、右焦点．若双曲线上存在点M，使∠F1MF2=60°，且|MF1|=2|MF2|，则双曲线离心率为()A. √2B. √3C. 2D. √5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线f(x)=ax3+2x−1在点(1,f(1))处的切线过点(3,4)，则a=______．14.已知数列{a n}的前n项积为T n=5n2，n∈N∗，则a2009=____。

2020届广东省深圳市高三二模数学(文)试题(含解析)

2020年深圳市高三年级第二次调研考试数学（文科）本试卷共6页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.3.非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.5.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜5}，B ＝{1，3，5}，则A ∩B =（） A. {1，3} B. {1，3，5}C. {1，2，3，4}D. {0，1，2，3，4，5}2.设z 21(1)ii +=-,则|z |＝（） A.12B.2C. 1D.3.已知ln 22a =，22log b e=，22e c =，则（） A. a ＜b ＜c B. b ＜c ＜a C. c ＜b ＜a D. b ＜a ＜c4.设x ，y 满足约束条件130x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则z ＝2x ﹣y 最大值为（）A. ﹣3B. 1C. 2D. 35.已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，有下列四个命题：①若//m α，//n α，则//m n ；②若n α⊥，m β⊥，//m n ，则//αβ；③若αβ⊥，//m α，n β⊥，则//m n ；④若//αβ，m α⊂，m n ⊥，则n β⊥. 其中，正确的命题个数是（） A. 3B. 2C. 1D. 06.已知双曲线()2222:10, 0a yx C a b b =>>-的焦点分别为()15,0F -，()25,0F ，P 为C 上一点，12PF PF ⊥，123tan 4PF F ∠=，则C 的方程为（） A. 22124y x -=B. 22124x y -=C. 221916x y -=D. 221169x y -=7.执行如图的程序框图，如果输入的k ＝0.4，则输出的n ＝（）A. 5B. 4C. 3D. 28.函数f （x ）＝x 2﹣2x +1的图象与函数g （x ）＝3cos πx 的图象所有交点的横坐标之和等于（） A. 2B. 4C. 6D. 89.已知正方体六个面的中心可构成一个正八面体,现从正方体内部任取一个点,则该点落在这个正八面体内部的概率为（） A.12B.13C.16D.11210.函数f （x ）()142xxsinx -=的部分图象大致为（）A. B.C. D.11.下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图.其阴离子排列如图2所示,图2中圆的半径均为1,且相邻的圆都相切,A ,B ,C ,D 是其中四个圆的圆心,则AB u u u r •CD =u u ur （）A. 32B. 28C. 26D. 2412.在三棱锥P ﹣ABC 中，平面PBC ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，BC ＝PC ＝2，若AC ＝PB ，则三棱锥P ﹣ABC 体积的最大值为（） A .23B.39C.16327D.323二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.2020年初,湖北成为全国新冠疫情最严重的省份,面临医务人员不足,医疗物资紧缺等诸多困难,全国人民心系湖北,志愿者纷纷驰援.若某医疗团队从甲,乙,丙,丁4名医生志愿者中,随机选取2名医生赴湖北支援,则甲被选中的概率为_____.14.在△ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为2224b c a +-，sin sin 2A C b C c +=，则角C ＝_____.15.《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只.以此类推，假设n 个月后共有老鼠n a 只，则n a =_____.16.已知A 、F 分别是椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的下顶点和左焦点，过A 且倾斜角为60︒的直线l 分别交x 轴和椭圆C 于M ，N 两点，且N 点的纵坐标为35b ，若FMN V 的周长为6，则FAN V 的面积为_____.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知各项都为正数的等比数列{}n a ，232a =，3458a a a =. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设2log n n b a =，123n n T b b b b =++++L ，求n T .18.为了比较两种治疗某病毒的药（分别称为甲药，乙药）的疗效，某医疗团队随机地选取了服用甲药的患者和服用乙药的患者进行研究，根据研究的数据，绘制了如图1等高条形图.（1）根据等高条形图，判断哪一种药的治愈率更高，不用说明理由；（2）为了进一步研究两种药的疗效，从服用甲药的治愈患者和服用乙药的治愈患者中，分别抽取了10名，记录他们的治疗时间（单位：天），统计并绘制了如图2茎叶图，从茎叶图看，哪一种药的疗效更好，并说明理由；（3）标准差s 除了可以用来刻画一组数据的离散程度外，还可以刻画每个数据偏离平均水平的程度，如果出现了治疗时间在（x -3s ，x +3s ）之外的患者，就认为病毒有可能发生了变异，需要对该患者进行进一步检查，若某服用甲药的患者已经治疗了26天还未痊愈，请结合（2）中甲药的数据，判断是否应该对该患者进行进一步检查？参考公式：s (222121[()())n x x x x x x n⎤=⋅-+-++-⎦L ，参考数据：2340≈48.19.如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，∠ABC ＝60°，AA 12=AB ，M ，N 分别为AB ，AA 1的中点.（1）求证：平面B 1NC ⊥平面CMN ；（2）若AB ＝2，求点N 到平面B 1MC 的距离.20.在平面直角坐标系xOy 中，已知定点()1,0F ，点A 在x 轴的非正半轴上运动，点B 在y 轴上运动，满足0AB BF ⋅=u u u r u u u r，A 关于点B 的对称点为M ，设点M 的轨迹为曲线C.（1）求C 的方程；（2）已知点()3,2G -，动直线()3x t t =>与C 相交于P ，Q 两点，求过G ，P ，Q 三点的圆在直线2y =-上截得的弦长的最小值.21.已知函数f （x ）xxe e=-3,g （x ）＝alnx ﹣2x （a ∈R ）.（1）讨论g （x ）单调性；（2）是否存在实数a ,使不等式f （x ）≥g （x ）恒成立？如果存在,求出a 的值；如果不存在,请说明理由.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 选修4－4：坐标系与参数方程22.椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定的滑块A ，B ，它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M 处用套管装上铅笔，使直尺转动一周，则点M 的轨迹C 是一个椭圆，其中|MA |＝2，|MB |＝1，如图，以两条导槽的交点为原点O ，横槽所在直线为x 轴，建立直角坐标系.（1）将以射线Bx 为始边，射线BM 为终边的角xBM 记为φ（0≤φ＜2π），用ϕ表示点M 的坐标，并求出C 的普通方程；（2）已知过C 的左焦点F ，且倾斜角为α（0≤α2π＜）的直线l 1与C 交于D ，E 两点，过点F 且垂直于l 1的直线l 2与C 交于G ，H 两点.当1FE ，|GH |，1FD依次成等差数列时，求直线l 2的普通方程.选修4－5：不等式选讲23.已知a ，b ，c 为正实数，且满足a +b +c ＝1.证明：（1）|a 12-|+|b +c ﹣1|12≥；（2）（a 3+b 3+c 3）（222111a b c++）≥3.2020年深圳市高三年级第二次调研考试数学（文科）本试卷共6页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.3.非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.5.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜5}，B ＝{1，3，5}，则A ∩B =（） A. {1，3} B. {1，3，5}C. {1，2，3，4}D. {0，1，2，3，4，5}【答案】A 【解析】【分析】直接进行交集的运算即可.【详解】∵A ＝{x |﹣1＜x ＜5}，B ＝{1，3，5}，∴A ∩B ＝{1，3}. 故选：A.【点睛】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题. 2.设z 21(1)ii +=-,则|z |＝（）A.12B.2C. 1D.【答案】B 【解析】【分析】把已知等式变形,再由商的模等于模的商求解即可. 【详解】解：∵z 211(1)2i ii i++==--,∴|z |＝|12ii+-|122i i +==-. 故选：B.【点睛】本题考查复数模的求法,考查数学转化思想方法,是基础题. 3.已知ln 22a =，22log b e=，22e c =，则（） A. a ＜b ＜c B. b ＜c ＜a C. c ＜b ＜a D. b ＜a ＜c【答案】D 【解析】【分析】容易得出22ln 2201log 0212e e<><<，，，从而可得出a ，b ，c 的大小关系.【详解】∵ln 20ln 12e <=<=，222log log 10e<=，20221e =＞，∴b ＜a ＜c .故选：D.【点睛】本题考查了对数函数和指数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题.4.设x ，y 满足约束条件130x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则z ＝2x ﹣y 的最大值为（）A. ﹣3B. 1C. 2D. 3【答案】D 【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z ＝2x ﹣y 表示直线在y 轴上的截距的相反数，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最小值即可.【详解】不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z ＝2x ﹣y 过点A 时，目标函数z ＝2x ﹣y 的纵截距最小，此时z 取得最大值，由13x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得A （2，1）时，在y 轴上截距最小，此时z 取得最大值3.故选：D.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，画出图像是解题的关键. 5.已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，有下列四个命题： ①若//m α，//n α，则//m n ；②若n α⊥，m β⊥，//m n ，则//αβ；③若αβ⊥，//m α，n β⊥，则//m n ；④若//αβ，m α⊂，m n ⊥，则n β⊥. 其中，正确的命题个数是（） A. 3 B. 2C. 1D. 0【答案】C 【解析】【分析】根据空间中点、线、面的位置关系逐一判断即可.【详解】若//m α，//n α，则m 与n 可以平行、相交、异面，故①错误；若n α⊥，m β⊥，//m n ，则//αβ，故②正确；若αβ⊥，//m α，n β⊥，则m 与n 可以平行、相交、异面，故③错误；若//αβ，m α⊂，m n ⊥，则n 与β可以平行、相交或n β⊂，故④错误所以正确的命题个数是1 故选：C【点睛】本题考查的是空间中点、线、面的位置关系，属于基础题.6.已知双曲线()2222:10, 0a y x C a b b =>>-的焦点分别为()15,0F -，()25,0F ，P 为C 上一点，12PF PF ⊥，123tan 4PF F ∠=，则C 的方程为（） A. 22124y x -=B. 22124x y -=C. 221916x y -=D. 221169x y -=【答案】A 【解析】【分析】由12PF PF ⊥，123tan 4PF F ∠=，1210F F =可得18PF =，26PF =，然后根据双曲线的定义求出a ，然后再根据222b c a =-求出b 即可．【详解】如图，因为12PF PF ⊥，123tan 4PF F ∠=，1210F F = 所以可得18PF =，26PF =根据双曲线的定义可得1222a PF PF -==，即1a = 所以22225124b c a =-=-=所以C 的方程为22124y x -=故选：A【点睛】本题主要考查的是双曲线定义的应用，较简单．7.执行如图的程序框图，如果输入的k ＝0.4，则输出的n ＝（）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S的值并输出相应变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【详解】模拟程序的运行，可得k＝0.4，S＝0，n＝1S11 133 ==⨯，不满足条件S＞0.4，执行循环体，n＝2，S11113352=+=⨯⨯（1111335-+-）25=，不满足条件S＞0.4，执行循环体，n＝3，S11111335572=++=⨯⨯⨯（11111133557-+-+-）37=，此时，满足条件S＞0.4，退出循环，输出n的值为3.故选：C.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题.8.函数f（x）＝x2﹣2x+1的图象与函数g（x）＝3cosπx的图象所有交点的横坐标之和等于（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】【分析】直接利用三角函数的图象和性质的应用和二次函数性质的应用在同一坐标系内画出函数的图象，进一步利用对称性的应用求出结果.【详解】函数f （x ）＝x 2﹣2x +1的图象与函数g （x ）＝3cos πx 的图象在同一坐标系内的位置和交点坐标为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），由于f （x ）＝（x ﹣1）2，的对称轴为x ＝1，函数的图象与x 轴相切，函数g （x ）的图象的最小正周期为T 22ππ==，函数的图象关于y 轴对称，如图所示：所以1412x x +=，2312x x +=，则：x 1+x 2+x 3+x 4＝4，故选：B.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数的图象和性质的应用，二次函数的图象和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.9.已知正方体的六个面的中心可构成一个正八面体,现从正方体内部任取一个点,则该点落在这个正八面体内部的概率为（） A.12B.13C.16D.112【答案】C 【解析】【分析】设正方体的棱长是1,构成的八面体可以看作是由两个正四棱锥组成,一个正四棱锥的高等于正方体棱长的一半12,正四棱锥的底面边长根据勾股定理可知是22,求出正四棱锥的体积,得到正八面体的体积,得到比值.【详解】解：设正方体的棱长是1,构成的八面体可以看作是由两个正四棱锥组成, 以上面一个正四棱锥为例,它的高等于正方体棱长的一半12,正四棱锥的底面边长根据勾股定理可知是22,∴这个正四棱锥的体积是12211 3212⨯⨯⨯=；∴构成的八面体的体积是211 126⨯=；∴八面体的体积是V1,正方体体积是V2,V1：V2＝1：6故从正方体内部任取一个点,则该点落在这个正八面体内部的概率为：16；故选：C【点睛】本题考查组合几何体的体积,面积,考查棱锥,正方体的体积以及立体类的几何概型问题.属于基础题.10.函数f（x）()142xxsinx-=的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，结合选项中函数图象的对称性，先排除不符合题意的，然后结合特殊点函数值的正负即可判断.【详解】因为f（﹣x）()()()() 144114222------==-==x x xx x xsin x sinx sinxf（x），所以f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，排除选项A，C，又f（2）()2214215sin224-==-sin，因为22ππ<<，所以sin20>，所以f（2）＜0，排除选项D.故选：B.【点睛】本题主要考查函数图象与性质及其应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.11.下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图.其阴离子排列如图2所示,图2中圆的半径均为1,且相邻的圆都相切,A,B,C,D是其中四个圆的圆心,则ABu u u r•CD=u u u r（）A. 32B. 28C. 26D. 24【答案】C【解析】【分析】建立以,a br r为一组基底的基向量,其中1a b==rr且,a br r的夹角为60°,根据平面向量的基本定理可知,向量ABu u u r和CDuuu r均可以用a brr，表示,再结合平面向量数量积运算法则即可得解.【详解】解：如图所示,建立以,a br r为一组基底的基向量,其中1a b==rr且,a br r的夹角为60°,∴24AB a b=+u u u r rr,42CD a b=+u u u r rr,∴()()22124428820882011262AB CD a b a b a b a b =+⋅+=++⋅=++⨯⨯⨯⋅=u u u r u u u r r r r rr r r r .故选：C.【点睛】本题考查平面向量的混合运算,观察图形特征,建立基向量是解题的关键,考查学生的分析能力和运算能力,属于中档题.12.在三棱锥P ﹣ABC 中，平面PBC ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，BC ＝PC ＝2，若AC ＝PB ，则三棱锥P ﹣ABC 体积的最大值为（）A.3B.9C.27D.【答案】D 【解析】【分析】取PB 中点M ，连结CM ，得到AC ⊥平面PBC ，设点A 到平面PBC 的距离为h ＝AC ＝2x ，则CM ⊥PB ，求出V A ﹣PBC 23x =，设t =，（0＜t ＜2），从而V A ﹣PBC 3823t t -=，（0＜t ＜2），利用导数求出三棱锥P ﹣ABC 体积的最大值.【详解】解：如图，取PB 中点M ，连结CM ，∵平面PBC ⊥平面ABC ，平面PBC ∩平面ABC ＝BC ，AC ⊂平面ABC ，AC ⊥BC ， ∴AC ⊥平面PBC ，设点A 到平面PBC 的距离为h ＝AC ＝2x ，∵PC ＝BC ＝2，PB ＝2x ，（0＜x ＜2），M 为PB 的中点，∴CM ⊥PB ，CM解得122PBC S x =⨯=V所以V A ﹣PBC (123x =⨯⨯=，设t =，（0＜t ＜2），则x 2＝4﹣t 2， ∴V A ﹣PBC ()23248233t t t t--==，（0＜t ＜2），关于t 求导，得()2863t V t -'=，所以函数在2(0,3)3单调递增，在2(3,)3+∞单调递减.所以当t23=时，（V A﹣PBC）max323=.故选：D.【点睛】本题考查三棱锥的体积的求法，考查利用导数研究函数的最值，考查直线平面位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.2020年初,湖北成为全国新冠疫情最严重的省份,面临医务人员不足,医疗物资紧缺等诸多困难,全国人民心系湖北,志愿者纷纷驰援.若某医疗团队从甲,乙,丙,丁4名医生志愿者中,随机选取2名医生赴湖北支援,则甲被选中的概率为_____.【答案】1 2【解析】【分析】根据基本事件总数,与甲被选中包含的基本事件求解概率即可.【详解】解：某医疗团队从甲,乙,丙,丁4名医生志愿者中,随机选取2名医生赴湖北支援, 基本事件有（甲,乙）,（甲,丙）,（甲,丁）,（乙,丙）,（乙,丁）,（丙,丁）共6个.甲被选中包含的基本事件有（甲,乙）,（甲,丙）,（甲,丁）共3个,∴甲被选中的概率为p31 62 ==.故答案为：1 2 .【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为2224b c a+-，sin sin2A Cb C c+=，则角C＝_____.【答案】512π 【解析】【分析】由已知结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简可求A ，然后结合二倍角公式化简可求B ，再结合三角形的内角和定理即可求解.【详解】解：由题意2224b c a S +-=，又222cos 2b c a A bc +-=，所以11sin 2cos 24bc A bc A =⨯即tan 1A =，因为A 为三角形内角，故A 4π=，又sin sinsin cos 2222A B C B b C c c c π+⎛⎫==-= ⎪⎝⎭由正弦定理可得，sin sin sin cos 2BB C C =，因为sin 0C ≠，所以sin cos2sin cos 222B B B B ==，因为cos02B≠，所以1sin22B =，又022B π<<612B π∴=，即3B π=，53412C ππππ∴=--=. 故答案为：512π. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式，二倍角公式在求解三角形中的应用，属于中档题.15.《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只.以此类推，假设n 个月后共有老鼠n a 只，则n a =_____. 【答案】27n ⨯ 【解析】【分析】根据1个月后的老鼠为原来雌雄两只老鼠和新出生的小鼠有(16)227+⨯=⨯只，类似的方法得到2个月后有22(16)727+⨯=⨯只，3个月后有327⨯只，根据以上分析进行归纳推理即可得n 个月后老鼠的只数n a . 【详解】由题意可得1个月后的老鼠的只数1(16)227a =+⨯=⨯,2个月后老鼠的只数222(16)727a =+⨯=⨯, 3个月后老鼠的只数2332(16)727a =+⨯=⨯…， n 个月后老鼠的只数27nn a =⨯.故答案为：27n ⨯.【点睛】本题考查利用不完全归纳法求数列的通项公式，考查运算求解能力.16.已知A 、F 分别是椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的下顶点和左焦点，过A 且倾斜角为60︒的直线l 分别交x 轴和椭圆C 于M ，N 两点，且N 点的纵坐标为35b ，若FMN V 的周长为6，则FAN V 的面积为_____.【解析】【分析】画出图形，由条件可得出b a =b =，然后可得出M 为椭圆的右焦点，然后由椭圆的定义可得226ac +=，从而可算出,,a b c 的值，然后利用()1325FAN S FM b b ⎡⎤=⋅⋅--⎢⎥⎣⎦V 算出答案即可.【详解】如图所示，由题意得，()0,A b -，(),0F c -，直线MN 的方程为3y x b =-，把35y b =代入椭圆方程解得45x a =，∴4355N a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ∵N 在直线MN 上，∴34355b a b =-，解得32b a =. 又222a b c =+，∴222)3b c =+，解得3b c =，令3y x b =-=0，则3M ⎫⎪⎭，即(),0M c ，∴M 为椭圆的右焦点，∴2FM c =，由椭圆的定义可知，2NF NM a +=， ∵FMN V 的周长为6，∴226a c +=， ∵3b a =2a c =，∴1,2,3c a b == ∴()13883255FAN S FM b b c b ⎡⎤=⋅⋅--=⋅=⎢⎥⎣⎦V 83【点睛】本题考查椭圆的定义与性质，熟练掌握椭圆中的基本关系式是解题的关键，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知各项都为正数的等比数列{}n a ，232a =，3458a a a =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设2log n n b a =，123n n T b b b b =++++L ，求n T . 【答案】(1)922nn a -=；(2)22814832,4n n n n T n n n ⎧-≤≤=⎨-+>⎩，【解析】【分析】(1)本题可设等比数列{}n a 的公比为q ，由题设条件列出q 与首项1a 的方程组，解出q 和1a ，即可求得通项公式；(2)先由(1)中求得的n a 求出n b ，再求n b ，最后通过等差数列前n 项和公式即可求得n T . 【详解】(1)设各项都为正数的等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，因为232a =，3458a a a =，所以213333454132()8a a q a a a a a q ==⎧⎨===⎩，解得712a =，14q =，所以()922nn n a N -*=∈，(2)由(1)知，2922log log 292n n nb a n -===-，故9214294n n n b n n -≤≤⎧=⎨-⎩，，＞，当14n ≤≤时，279282n nT n n n +-=?-；当4n >时，()()2129753148322n n T n n n ++=++++?=-+，故22814832,4n n n n T n n n ⎧-≤≤=⎨-+>⎩，. 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式、等比中项的性质、等差数列的前n 项和公式、对数运算等知识点，等差数列的前n 项和公式为12n na n S a +=⨯，考查计算能力，体现了基础性与综合性，是中档题. 18.为了比较两种治疗某病毒的药（分别称为甲药，乙药）的疗效，某医疗团队随机地选取了服用甲药的患者和服用乙药的患者进行研究，根据研究的数据，绘制了如图1等高条形图.（1）根据等高条形图，判断哪一种药的治愈率更高，不用说明理由；（2）为了进一步研究两种药的疗效，从服用甲药的治愈患者和服用乙药的治愈患者中，分别抽取了10名，记录他们的治疗时间（单位：天），统计并绘制了如图2茎叶图，从茎叶图看，哪一种药的疗效更好，并说明理由；（3）标准差s 除了可以用来刻画一组数据的离散程度外，还可以刻画每个数据偏离平均水平的程度，如果出现了治疗时间在（x -3s ，x +3s ）之外的患者，就认为病毒有可能发生了变异，需要对该患者进行进一步检查，若某服用甲药的患者已经治疗了26天还未痊愈，请结合（2）中甲药的数据，判断是否应该对该患者进行进一步检查？参考公式：s (222121[()())n x x x x x x n ⎤=⋅-+-++-⎦L 2340≈48.【答案】（1）甲药的治愈率更高；（2）甲药的疗效更好，理由见解析；（3）应该对该患者进行进一步检查【解析】【分析】（1）结合条形等高图即可直接判断；（2）从茎叶图的集中趋势，中位数，平均值方面分析即可判断；（3）分别求出x ，s ，然后代入公式即可求解，作出判断即可.【详解】（1）甲药的治愈率更高;（2）甲药的疗效更好，理由一：从茎叶图可以看出，有910的叶集中在茎0，1上，而服用乙药患者的治疗时间有35的叶集中在茎1，2上，还有110的叶集中在茎3上，所以甲药的疗效更好. 理由二：从茎叶图可以看出，服用甲药患者的治疗的时间的中位数为10天，而服用乙药患者的治疗时间的中位数为12.5天，所以甲药的疗效更好.理由三：从茎叶图可以看出，服用甲药患者的治疗的时间的平均值为10天，而服用乙药患者的治疗时间的平均值为15天，所以甲药的疗效更好.（3）由（2）中茎叶图可知，服用甲药患者的治疗时间的平均值和方差分别为456810101112122210x +++++++++==10， s 36251640014414423.410+++++++++==≈4.8，则x -3s ≈﹣4.4，3x s +≈24.3，而26＞24.4，应该对该患者进行进一步检查.【点评】本题主要考查了利用等高条形图，茎叶图，平均值，方差等知识，体现了数据分析，数学核心素养.19.如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，∠ABC ＝60°，AA 12=AB ，M ，N 分别为AB ，AA 1的中点.（1）求证：平面B 1NC ⊥平面CMN ；（2）若AB ＝2，求点N 到平面B 1MC 的距离.【答案】（1）见解析；（22【解析】【分析】（1）推导出AA 1⊥平面ABCD ，AA 1⊥CM ，CM ⊥AB ，从而CM ⊥平面ABB 1A 1，进而CM ⊥B 1N ，推导出△A 1B 1N ∽△ANM ，从而∠A 1B 1N ＝∠ANM ，∠A 1NB 1＝∠AMN ，进而B 1N ⊥MN ，B 1N ⊥平面CMN ，由此能证明平面B 1NC ⊥平面CMN .（2）求出点B 1到平面CMN 的距离为h 16=N 到平面B 1CM 的距离为h 2，由111213B CMN N B CM B CM V V S h --==⨯⨯V ，能求出点N 到平面B 1MC 的距离. 【详解】（1）证明：∵直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，∴AA 1⊥平面ABCD ，∵CM ⊂平面ABCD ，∴AA 1⊥CM ，∵底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，M 是AB 的中点，∴CM ⊥AB ，∵AA 1∩AB ＝A ，AA 1⊂平面ABB 1A 1，AB ⊂平面ABB 1A 1，∴CM ⊥平面ABB 1A 1，∵B 1N ⊂平面ABB 1A 1，∴CM ⊥B 1N ，∵M 是AB 中点，N 为AA 1中点，AA1=，∴11112A B AB AN AA ==111212AA A N AM AB ==， ∵∠B 1A 1N ＝∠NAM ＝90°，∴△A 1B 1N ∽△ANM ，∴∠A 1B 1N ＝∠ANM ，∠A 1NB 1＝∠AMN ，∴∠A 1NB 1+∠ANM ＝90°，∴B 1N ⊥MN ，∵MN ∩CM ＝M ，∴B 1N ⊥平面CMN ，∵B 1N ⊂平面B 1NC ，∴平面B 1NC ⊥平面CMN .（2）∵在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，∠ABC ＝60°，AA1=，AB ＝2，M ，N 分别为AB ，AA 1的中点. ∴MN ==B 1M ==3，B 1C == B 1N == ∵底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°， ∴CM =CN = 由（1）知B 1N ⊥平面CMN ，设点B 1到平面CMN 的距离为h 1，h1=∵CN 2＝MN 2+CM 2，∴1322CMN S ==V ，∴1113B CMN CMN V S h -=⨯⨯=V ∵B 1M ＝3，1BC CN ==，∴1132B CM S ==V ，设N 到平面B 1CM 的距离为h 2，∵111213B CMN N B CM B CM V V S h --==⨯⨯V ， ∴213363h ⨯⨯=，解得h 22=.∴点N 到平面B 1MC 的距离为2.【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.20.在平面直角坐标系xOy 中，已知定点()1,0F ，点A 在x 轴的非正半轴上运动，点B 在y 轴上运动，满足0AB BF ⋅=u u u r u u u r ，A 关于点B 的对称点为M ，设点M 的轨迹为曲线C.（1）求C 的方程；（2）已知点()3,2G -，动直线()3x t t =>与C 相交于P ，Q 两点，求过G ，P ，Q 三点的圆在直线2y =-上截得的弦长的最小值.【答案】（1）24y x =；（2）442+.【解析】【分析】（1）根据点A 在x 轴的非正半轴上运动，点B 在y 轴上运动，设()()(),0,0,,,A a B b M x y ，再由 ()1,0F ，0AB BF ⋅=u u u r u u u r ，得到a ，b 的关系式，然后由A 关于点B 的对称点为M ，得到0,22x a y b +==，利用代入法化简求解.（2）由抛物线与直线()3x t t =>相交，设((,,,P t t Q t t -，根据,P Q 关于x 轴对称，得到过G ，P ，Q 三点的圆的圆心在x 轴上，设圆心为(),0E m ，由EG EP =，运用两点间的距离公式求得圆的方程，令2y =-，得到圆E 在直线2y =-上截得的弦长，再结合基本不等式求最小值.【详解】（1）因为点A 在x 轴的非正半轴上运动，点B 在y 轴上运动，所以设()()(),0,0,,,A a B b M x y ，因为 ()1,0F ，0AB BF ⋅=u u u r u u u r ，所以()()2,1,0-⋅-=--=*a b b a b ，因为A 关于点B 的对称点为M ，所以0,22x a y b +==，即 ,2y a x b =-=，代入*式得24y x =，所以曲线C 的方程是24y x =.（2）由（1）知抛物线的方程为24y x =，直线()3x t t =>与抛物线方程联立解得，y =±设((,,,P t Q t -，因为,P Q 关于x 轴对称，所以过G ，P ，Q 三点的圆的圆心在x 轴上，设圆心为(),0E m ，所以EG EP == 解得241326t t m t +-=-，所以圆E 的方程为()()22234x m y m -+=-+，令2y =-，的1223,3x m x =-=，所以圆E 在直线2y =-上截得的弦长为221241325233633t t t t x x m t t +--+-=--=-=--，因为()2230,25140t t t t ->-+=-+>，所以2122583433t t x x t t t -+-==-++--，44≥=+当且仅当833t t -=-，即3t =+时，取等号，所以当3t =+时，圆E 在直线2y =-上截得的弦长的最小值为4+. 【点睛】本题主要考查抛物线轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系，弦长问题以及基本不等式的应用，还考查了逻辑推理、运算求解的能力，属于难题.21.已知函数f （x ）xxe e=-3,g （x ）＝alnx ﹣2x （a ∈R ）. （1）讨论g （x ）的单调性；（2）是否存在实数a ,使不等式f （x ）≥g （x ）恒成立？如果存在,求出a 的值；如果不存在,请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）存在,4a =【解析】【分析】（1）先对函数求导,然后结合导数与单调性关系对a 进行分类讨论即可求解；（2）要使不等式f （x ）≥g （x ）恒成立即xe x ﹣aelnx +2ex ﹣3e ≥0,构造函数u （x ）＝xe x ﹣aelnx +2ex ﹣3e ,结合函数的性质及导数即可求解.【详解】解：（1）()'2a x g x x-=,x ＞0, （i ）当a ≤0时,g ′（x ）＜0,函数在（0,+∞）上单调递减,（ii ）当a ＞0时,令()'0g x >得102x a <<，令()'0g x <，得12x a >，所以函数g （x ）在（0,12a ）上单调递增,在（12a +∞，）上单调递减, （2）要使不等式f （x ）≥g （x ）恒成立即32xxe alnx x e-≥-恒成立, 即xe x ﹣aelnx +2ex ﹣3e ≥0,令u （x ）＝xe x ﹣aelnx +2ex ﹣3e ,则u （1）＝0,要使得原不等式成立,则u （x ）在x ＝1处取得极小值,因为()()'12x x xe ex ae u x x++-=, 所以u ′（1）＝0可得a ＝4,检验a ＝4时,u ′（x ）()124x x x e ex ex ++-=,设v （x ）＝x （x +1）e x +2ex ﹣4e ,且v （1）＝0,显然v （x ）在（0,+∞）上单调递增,当x ∈（0,1）时,v （x ）＜0,即u ′（x ）＜0,u （x ）单调递减,当x ∈（1,+∞）时,v （x ）＞0,即u ′（x ）＞0,u （x ）单调递增,故u （x ）的最小值u （1）＝0,满足题意,综上，a ＝4.【点睛】本题主要考查了导数在研究函数中的应用,用导数研究函数的单调性及不等式的恒成立为载体,综合考查分类讨论及转化思想的应用.属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 选修4－4：坐标系与参数方程22.椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定的滑块A ，B ，它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M 处用套管装上铅笔，使直尺转动一周，则点M 的轨迹C 是一个椭圆，其中|MA |＝2，|MB |＝1，如图，以两条导槽的交点为原点O ，横槽所在直线为x 轴，建立直角坐标系.（1）将以射线Bx 为始边，射线BM 为终边的角xBM 记为φ（0≤φ＜2π），用ϕ表示点M 的坐标，并求出C 的普通方程；（2）已知过C 的左焦点F ，且倾斜角为α（0≤α2π＜）的直线l 1与C 交于D ，E 两点，过点F 且垂直于l 1的直线l 2与C 交于G ，H 两点.当1FE ，|GH |，1FD依次成等差数列时，求直线l 2的普通方程. 【答案】（1）()2,M cos sin ϕϕ，2214x y +=；（2）230x ++= 【解析】。

2020年深二模(文科数学)试题Word版

试卷类型：（A ）2020年深圳市普通高中高三年级第二次测试文科数学本试卷共6页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共 12 小题，每小题5分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合12A x x =-<<，lg 1B x yx ==-A 2．棣莫弗公虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数6(cos isin )55+在复平面内所对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3的两侧，则实数a 的取值范围是A ．7a <或24>aB ．7=a 或24=aC ． 724<<-aD ． 247<<-a4．已知()3,1,()2,1,x a x a x f x a x ⎧-+<⎪=⎨⎪≥上的减函数，那么实数a 的取值范围是 B ．(0,)2C.[,)62 D ．[,1)65．一个容量为100的样本，其数据分组与各组的频数如下表：组别(]010，(]10,20 (]20,30 (]30,40(]40,50 (]50,60 (]60,70频数1213241516137则样本数据落在(]1040，上的频率为 A. 0.13 B. 0.52 C. 0.39 D. 0.64 6. 在ABC ∆中，D 是BC 边上一点，AD AB ⊥，，1AD =，则AC AD ⋅A ．23B ．32 C ．33D ．3 7．=︒︒+︒︒313sin 253sin 223sin 163sinA ． 12-B ．12C ．32-D ．32 8．已知抛物线x y 82=，过点(2,0)A )作倾斜角为π3的直线l ，若l 与抛物线交于B 、C 两点，弦BC 的中垂线交x 轴于点P ，则线段AP 的长为A ．163B ．83C.1633D. 839．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，现有下列结论:①AC BD ⊥ ②AC ∥截面PQMN③AC BD = ④异面直线PM 与BD 所成的角为45 其中所有正确结论的编号是A ．①③B ．①②④3BC =BD DA QBCPN MC ．③④D ．②③④10．已知函数()sin()(0,||)2f x x ωϕωϕ=+><的最小正周期是π，若其图象向右平移3个单位后得到的函数为奇函数，则下列结论正确的是A 3x =对称 B (,0)12对称 C ,212⎡⎤--⎢⎥上单调递减 D ,42⎡⎤⎢⎥上有3个零点 11R R 当20≤≤x 时，A ．1.5B ．8.5C ．－0.5D ．0.512．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，O 为坐标原点，点P 是双曲线在第一象限内的点，直线PO 、2分别交双曲线C 的左右支于另一点M 、N ，若120MF N ∠=A 3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共 20 分．13．已知x 轴为曲线()44(1)1f x x a x =+-+的切线，则a 的值为． 14a 的前n 项和，15．在ABC ∆中，若cos 3A =，则2sin cos22A +的值为 ____________ . 16．已知球O 的半径为r ，则它的外切圆锥体积的最小值为__________.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17 ～2 1 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22 、 23 题为选考题，考生根据要求作答． (一 ) 必考题：共 60 分． 17．（本小题满分12分）13a =11 （1）证明：数列{1}a -是等比数列；（2）数列{}a 的前n 项和n18．（本小题满分12分）随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品．现以x（单位：吨，100150x≤≤）表示下一个销售季度的市场需求量，T（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．（1）将T表示为x的函数，求出该函数表达式；（2）根据直方图估计利润T不少于57万元的概率；（3）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量x的平均数与中位数的大小（保留到小数点后一位）．19．（本小题满分12分）如图所示，四棱锥S ABCD-中，SA⊥平面ABCD，90ABC BAD∠=∠=︒，1AB AD SA===，2BC=，M为SB的中点．（1）求证：//AM平面SCD；需求量(x/t)0.0250.0200.0150.0101501401301201101000.030S（2）求点B 到平面SCD 的距离．20．（本小题满分12分）已知椭圆2:14x C y +=分别是椭圆的左、右焦点，M 为椭圆上的动点. （1（2）若A 、B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点，设直线AM 的斜率为k ，且(,)23k ∈--，求直线BM 的斜率的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数()(1)e xf x x=+（e 为自然对数的底数），其中0a >．（1）在区间(,]2-∞-理由．（22112x x a >+-+.（二）选考题：共 10 分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4 ― 4：坐标系与参数方程直线：cos sin x t y t α=⎧⎨=，t 02α<<），12cos 4+2sin x y β=⎧⎨=，（为参数），1相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求的极坐标方程及点A 的极坐标；（2）已知直线：=6θρ∈R ()2交于B ，C 两点，记△AOB12212S S +的值.23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲（1）当时，解不等式（2，使得关于x 的不等式有实数解，求实数m 的取值范围.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。

2020届广东省深圳市高三上学期第二次教学质量检测数学(文)试题(含答案解析)

2020届广东省深圳市高三上学期第二次教学质量检测数学（文）试题一、单选题1．已知集合{|33}A x x =∈-<<N ，{4,2,0,2,4}B =--，则A B =I （） A ．{2,0,2}- B ．{0,2}C ．{0}D ．{2}【答案】B【解析】先计算{|33}{0,1,2}A x x =∈-<<=N ，再计算A B I 得到答案. 【详解】{|33}{0,1,2}A x x =∈-<<=N ，故{0,2}A B ⋂=故选：B 【点睛】本题考查了交集的运算，属于简单题.2．若在复平面内，复数2()z mi m =+∈R 对应的点位于第四象限，且||4z =，则m =（）A ．-B ．C ．2D ．【答案】A【解析】4=得到m =±，再根据对应的点位于第四象限得到答案. 【详解】4=，解得m =±在复平面内，z 所对应的点位于第四象限，故0m <，m =- 故选：A . 【点睛】本题考查了复数模的计算，复数对应的点，意在考查学生的计算能力.3．已知函数()f x 的图象关于原点对称，当0x >时，()23x f x e =-，则1ln 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（） A ．73-B ．73C ．3D ．-3【答案】D【解析】根据奇函数性质得到1ln (ln 3)3f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，代入计算得到答案. 【详解】函数()f x 为奇函数，故1ln (ln 3)(ln 3)23333f f f ⎛⎫=-=-=-⨯+=- ⎪⎝⎭故选：D . 【点睛】本题考查了函数值的计算，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 4．曲线()33ln y x x x =-⋅在点(1,0)处的切线方程为（） A ．220x y +-= B ．210x y +-= C ．10x y +-= D ．440x y +-=【答案】A【解析】求导得到()()23133ln 3y x x x x x'=-⋅+⋅-，代入数据计算斜率得到答案. 【详解】()()23133ln 3y x x x x x'=-⋅+⋅-，故切线斜率12x k y ='==- 故所求切线方程为2(1)y x =--，即220x y +-= 故选：A . 【点睛】本题考查了曲线的切线方程，意在考查学生的计算能力.5．2019年10月18日-27日，第七届世界军人运动会在湖北武汉举办，中国代表团共获得133金64银42铜，共239枚奖牌.为了调查各国参赛人员对主办方的满意程度，研究人员随机抽取了500名参赛运动员进行调查，所得数据如下所示，现有如下说法：①在参与调查的500名运动员中任取1人，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为12；②在犯错误的概率不超过1%的前提下可以认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；③没有99.9%的把握认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；则正确命题的个数为（）附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】依次判断每个选项：计算概率为25得到①错误；计算2 5.952K ≈得到②错，③对得到答案. 【详解】任取1名参赛人员，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为20025005=，故①错误；22(2003050220)5005.95225025042080K ⨯-⨯⨯=≈⨯⨯⨯，故②错，③对故选：B . 【点睛】本题考查了概率的计算和独立性检验，意在考查学生的综合应用能力.6．已知向量(,3)m x =u r ，(27,)n x =r ，若,m n u r r 共线且方向相反，则(2)()m n m n +⋅-=u r r u r r（） A ．-840 B ．-900C ．-360D ．-288【答案】C【解析】根据平行得到9x =±，再根据方向相反得到(9,3)m =-u r ，(27,9)n =-r，代入计算得到答案. 【详解】2810x -=，解得9x =±，因为,m n u r r 方向相反，故(9,3)m =-u r ，(27,9)n =-r，则(2)()(9,3)(36,12)360m n m n +⋅-=-⋅-=-u r r u r r【点睛】本题考查了向量的计算，意在考查学生的计算能力.7．在直三棱柱111ABC A B C -中，13AB AA ==，4BC =，且AB BC ⊥，则直线1B C 与平面1A BC 所成角的正弦值为（） A ．225B．35C ．3310D ．3210【答案】D【解析】如图所示，连接1AB ，交1A B 于O ，再连接OC ，证明1AB ⊥平面1A BC ，则1OCB ∠即为直线1B C 与平面1A BC 所成角，计算得到答案.【详解】如图所示：连接1AB ，交1A B 于O ，再连接OC ∵13AB AA ==，4BC =，且AB BC ⊥ ∴1AB ⊥平面1A BC ，故1OCB ∠即为直线1B C 与平面1A BC 所成角所以11132322sin 510OB OCB B C ∠===. 故选：D .本题查看了线面夹角，确定1OCB ∠即为直线1B C 与平面1A BC 所成角是解题的关键. 8．运行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为258.则n 的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】根据程序框图依次计算得到答案. 【详解】运行该程序，第一次，1i =，10122S =+⨯=；第二次，2i =，222210S =+⨯=；第三次，3i =，3103234S =+⨯=；第四次，4i =，4344298S =+⨯=；第五次，5i =，59852258S =+⨯=，此时要输出S 的值故选：B . 【点睛】本题考查了根据程序框图的输出结果计算输入值，意在考查学生的理解能力.9．已知抛物线2:4C x y =的准线为l ，记l 与y 轴交于点M ，过点M 作直线l '与C 相切，切点为N ，则以MN 为直径的圆的方程为（） A ．22(1)4x y ++=或22(1)4x y -+=B ．22(1)16x y ++=或22(1)16x x y -+=C ．22(1)2x y ++=或22(1)2x y -+=D ．22(1)8x y ++=或22(1)8x y -+=【答案】C【解析】设切线:1l y kx '=-，联立241x yy kx ⎧=⎨=-⎩，根据0∆=得到1k =±，计算(2,1)N或(2,1)N -，再计算圆方程得到答案. 【详解】(0,1)M -，设切线:1l y kx '=-，联立241x yy kx ⎧=⎨=-⎩，故2440x kx -+=，216160k ∆=-=，解得1k =±，故2x =±，则(2,1)N 或(2,1)N -故以MN 为直径的圆的方程为22(1)2x y =++或22(1)2x y -+= 故选：C . 【点睛】本题考查了圆方程，抛物线的切线，意在考查学生的综合应用能力. 10．已知ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且13a =，sin 1sin sin b Cc a A B=-+-.则ABC V 外接圆的半径为（）A ．133B ．3C ．132D ．2【答案】B【解析】根据正弦定理得到1b c c a a b=-+-，再利用余弦定理得到1cos 2A =-，最后计算半径得到答案. 【详解】1b c c a a b=-+-，整理得222b c a bc +-=-，所以2221cos 22b c a A bc +-==-，因为0A π<<，所以23A π=，故所求外接圆半径2sin 3a r A ===故选：B 【点睛】本题考查了利用正弦定理，余弦定理计算外接圆半径，意在考查学生的计算能力. 11．函数()sin cos (0)f x x x ωωω=+>的图象向右移动3π个单位后关于y 轴对称，则ω的值不可能为（）A ．34-B ．94C ．274-D ．174-【答案】D【解析】化简得到()4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据3f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭是偶函数得到33()4k k ω=--∈Z ，对比选项得到答案.【详解】()4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故334f x x πωππω⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故()342k k ωππππ-+=+∈Z ，解得33()4k k ω=--∈Z当0k =时，34ω=-；当1k =-，94ω=；当2k =时，274ω=-；74634731k k ω-=∴-==-，不成立；故选：D 【点睛】本题考查了三角函数的平移和奇偶性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.12．设函数1lg(1),1()11,142x x x f x x -⎧->⎪=⎨-≤⎪⎩，若函数|3()|4y f x m =--有5个零点，则实数m 的取值范围为（） A ．114,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．)5,2⎡-+∞⎢⎣C ．511,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．5,42⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】如图所示，画出函数()f x 的图像，令|3()|40f x m --=，解得4()3m f x ±=，根据有5个解对比图像得到答案. 【详解】如图所示：画出函数()f x 的图像，令|3()|40f x m --=，解得4()3m f x ±=则410324132m m -⎧<<⎪⎪⎨+⎪≥⎪⎩，解得1142m <<，故选：A .【点睛】本题考查了函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.二、填空题13．若tan(2)5αβ+=，tan()4αβ+=，则tan α=________. 【答案】121【解析】根据tan tan[(2)()]ααβαβ=+-+展开化简得到答案. 【详解】tan(2)tan()1tan tan[(2)()]1tan(2)tan()21αβαβααβαβαβαβ+-+=+-+==+++.故答案为：121【点睛】本题考查了正切的和差公式，意在考查学生的计算能力.14．已知实数x ，y 满足3402030x y x y x y --≤⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =-+的最大值为________.【答案】9【解析】画出可行域和目标函数，根据平移得到答案. 【详解】画出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示，观察可知，当直线z x y =-+过点A 时，z 有最大值，联立2030x y x y +=⎧⎨+-=⎩，解得36x y =-⎧⎨=⎩，即3,6x y =-=时z 有最大值为9.故答案为：9【点睛】本题考查了线性规划问题，画出可行域和目标函数是解题的关键.15．“方锥”，在《九章算术》卷商功中解释为正四棱锥.现有“方锥”S ABCD -，其中4AB =，SA 与平面ABCD 32，则此“方锥”的外接球表面积为________. 【答案】2899π【解析】如图所示，连接AC ，BD 相交于O ，连接SO ，计算得到3SO =，在Rt O OA '∆中，利用勾股定理计算半径176R =，代入球的表面积公式得到答案. 【详解】如图所示：连接AC ，BD 相交于O ，连接SO ，故SO ⊥平面ABCD 则32tan 4SO SAO AO ∠==，解得3SO = 易知四棱锥S ABCD -的外接球球心O '在直线SO 上设外接球半径为R ，则在Rt O OA 'V 中，222(3)(22)R R -+=，解得176R =，故所求外接球表面积228928944369S R πππ==⨯=. 故答案为：2899π【点睛】本题考查了四棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.16．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 满足212MF MF a -=，若点N 是双曲线虚轴的一个顶点，且2MNF V 的周长的最小值为实轴长的3倍，则双曲线C 的渐近线方程为________. 【答案】62y x =±【解析】212MF MF a =+，而2221NF NF b c ==+2MNF V 的周长122NF a ≥+，计算得到答案.【详解】212MF MF a =+，而2221NF NF b c ==+，故2MNF V 的周长为22111||||222MN MF NF MN MF a NF NF a ++=+++≥+，当且仅当M ，N ，1F 共线且M 在N ，1F 之间时，取得最小值，且22622a a b c =++222c a b =+得2223b a =.故2232b a =，故所求渐近线方程为62y x =±.故答案为：6y x = 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线问题，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.三、解答题17．随着金融市场的发展，越来越多人选择投资“黄金”作为理财的手段，下面将A 市把黄金作为理财产品的投资人的年龄情况统计如下图所示.（1）求把黄金作为理财产品的投资者的年龄的中位数；（结果用小数表示，小数点后保留两位有效数字）（2）现按照分层抽样的方法从年龄在[40,50)和[60,70]的投资者中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行投资调查，求恰有1人年龄在[60,70]的概率. 【答案】（1）48.33；（2）35P =【解析】（1）先利用频率和为1计算0.03a =，再求中位数得到答案.（2）年龄在[40,50)的投资者抽取3人，记为A ，B ，C ，年龄在[60,70]的投资者抽取2人.记为α，b ，列出所有情况，统计满足条件的情况，相除得到答案. 【详解】（1）依题意，0.070.18100.250.21a ++++=，解得0.03a =，故所求中位数为0.50.254048.330.03-+≈.（2）年龄在[40,50)的投资者抽取3人，记为A ，B ，C ，年龄在[60,70]的投资者抽取2人.记为α，b ，则任取2人，所有的情况为：(,)A B ，(A,C)，(,)B C ，(,)a b ，(A,a)，(A,b)，(,a)B ，(,b)B ，(C,a)，(C,b)，共10种，满足条件的为(A,a)，(A,b)，(,a)B ，(,b)B ，(C,a)，(C,b)，共6种，故所求概率35P =. 【点睛】本题考查了中位数的计算，概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.18．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，且223n S n n =-.递增的等比数列{}n b 满足，23a b =，3123a b b b =++，记数列{}n b 的前n 项和为n T .（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）求满足7n T S ≤的最大正整数n 的值. 【答案】（1）32n a n =-，12n nb -=；（2）6【解析】（1）当1n =时，解得11a =；2n ≥时，利用1n n n a S S -=-得到32n a n =-；再计算n b 得到答案.（2）计算770S =，21nn T =-，故2170n -≤，则271n ≤，计算得到答案.【详解】（1）当1n =时，122a =，解得11a =；当2n ≥时，223-n S n n =，2123(1)(1)n S n n -=---，两式相减，可得264n a n =-，故32n a n =-，故*n ∀∈N ，32n a n =-. 则34b =，1237b b b ++=，记数列{}n b 的公比为q ，则24447q q ++=，则23q =-或2q =，而数列{}n b 递增，故23q =-舍去，故12n n b -=. （2）依题意，()1777702a a S +⋅==，而21n nT=-，故2170n -≤，则271n ≤，因为*n ∈N ，且6264=，72128=，故满足7n T S ≤的最大正整数n 的值为6. 【点睛】本题考查了数列的通项公式，解数列不等式，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.19．四棱锥A BCED -中，DE BC ∥，90BCE ︒∠=，AE ED ⊥，AE EC =，BC CD =，12DE BC =.（1）求证：BC AC ⊥；（2）若4AB =，AB 与平面AEC 所成的角为45︒，求三棱锥A BCE -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）83【解析】（1）根据题意BC EC ⊥，AE ED ⊥得到BC ⊥平面AEC ，得到证明.（2）确定AB 与平面AEC 所成的角即为BAC ∠，计算得到BC CA ==，ACE S =V A BCE B ACE V V --=三棱锥三棱锥得到答案.【详解】（1）因为90BCE ︒∠=，故BC EC ⊥，又BC DE P ，故DE EC ⊥，又AE ED ⊥，而EC AE E ⋂=，故DE ⊥平面AEC ，即BC ⊥平面AEC ，因为AC ⊂平面AEC ，故BC AC ⊥.（2）因为DE BC ∥，由（1）可知，DE ⊥平面AEC ，所以BC ⊥平面AEC ，故AB 与平面AEC 所成的角即为BAC ∠，在Rt BCA V 中，45BAC ︒∠=，4AB =，所以BC CA ==故CD =，DE =CE =故12ACE S =⨯=V故1833A BCEB ACE V V --==⨯=三棱锥三棱锥.【点睛】本题考查了线线垂直和求三棱锥的体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.20．已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l 与椭圆C 交于P ，Q两点，且点M 满足PM MQ =u u u u r u u u u r.（1）若点M ⎛ ⎝⎭，求直线l 的方程；（2）若直线l 过点2F 且不与x 轴重合，过点M 作垂直于l 的直线l '与y 轴交于点(0,)A t ，求实数t 的取值范围.【答案】（1）y =+；（2）⎡⎢⎣⎦【解析】（1）设()11,P x y ，()22,Q x y ，则2211143x y +=，2222143x y +=，相减得到1212y y x x -=-，计算得到直线方程.（2）当直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，联立方程根据韦达定理得到221212228412,4343k k x x x x k k -+==++，计算得到134t k k=+，根据k 的范围计算得到答案. 【详解】（1）设()11,P x y ，()22,Q x y ，则2211143x y +=，2222143x y +=，两式相减可得，()()()()12121212043x x x x y y y y +-+-+=，因为122x x +=，122y y +=，则1212y y x x -=-，故直线l的方程为1)4y x -=-，即4y =+. （2）当直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，设()00,M x y ，由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()22224384120k x k x k +-+-=，则221212228412,4343k k x x x x k k -+==++，所以202443k x k =+，()0023143k y k x k -=-=+ 因为l '的方程为()001y y x x k-=--，令0x =，得002113434k t x y k k k k =+==++，当0k >时，34k k +≥t ⎛∈ ⎝⎦；当k 0<时，34k k +≤-,012t ⎡⎫∈-⎪⎢⎪⎣⎭，当l 的斜率不存在时，显然0t =，综上.t的取值范围是⎡⎢⎣⎦. 【点睛】本题考查了点差法求直线方程，参数的取值范围，意在考查学生的综合应用能力和转化能力.21．已知函数2()ln 1f x x a x =--.（1）当1a =时，证明：()0f x >在(1,)+∞上恒成立；（2）若函数()f x 有唯一零点，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）(,0]{2}-∞⋃【解析】（1）求导得到1()2f x x x'=-，得到函数的单调区间，计算最小值为()1f ，得到答案.（2）求导得到22()2a x a f x x x x-'=-=，讨论0a ≤和0a >两种情况，计算函数的最值得到答案. 【详解】（1）2()ln 1f x x x =--，1()2f x x x'=-，故当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，故函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，故()(1)0f x f >=，即()0f x >在(1,)+∞上恒成立.（2）依题意22()2a x af x x x x-'=-=，(0,)x ∈+∞，①当0a ≤时，()0f x '>恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，因为(1)0f =，所以()f x 有唯一零点，即0a ≤符合题意；②当0a >时，令()0f x '=，解得x =，故当x ⎛∈ ⎝时，()0f x '<，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()0f x '>，故min ()f x f =，（ⅰ1=，即2a =时，min ()(1)0f x f ==，故2a =符合题意；（ⅱ1<，即02a <<时，(1)0f f <=，因为122110a a af e e e ---⎛⎫=+-=> ⎪⎝⎭，且11a e -<，故1a e -<故存在11a x e -⎛∈ ⎝，使得()1(1)0f x f ==，故02a <<不符合题意；（ⅲ1>，即2a >时，(1)0f f <=，因为2(1)(1)ln(1)1[2ln(1)]f a a a a a a a -=----=---，设11a t -=>，则2ln(1)1ln ()a a t t h t ---=--=，故1()10h t t '=->，所以()h t 单调递增，即()(1)0h t h >=，故(1)0f a ->，又11a ->，所以1a ->21x a ⎫∈-⎪⎪⎭，使得()2(1)0f x f ==，所以2a >不符合题意.综上所述，实数a 的取值范围为(,0]{2}-∞⋃. 【点睛】本题考查了函数恒成立问题，函数的零点问题，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握.22．已知平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩，（α为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的极坐标方程以及直线l 的直角坐标方程；（2）若直线:3l y x '=与直线l 交于M ，与曲线C 交于O ，N ，若54,12A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，求AMN V 的面积.【答案】（1）:4cos C ρϕ=，:20l x -=；（2【解析】（1）化简得到2240x y x +-=，1:cos sin 12l ρθθ⎛⋅+= ⎝⎭，利用极坐标公式得到答案，（2）设,6M M πρ⎛⎫⎪⎝⎭，,6N N πρ⎛⎫⎪⎝⎭代入计算得到M ρ=N ρ=||M N MN ρρ=-，再计算点到直线的距离得到答案.【详解】（1）曲线22:(2)4C x y -+=，即2240x y x +-=，故24cos 0ρρϕ-=，即4cos ρϕ=；直线1:cos sin 122l ρθθ⎛⎫⋅+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭，则cos sin 2ρθθ+=故直线:20l x +-=.（2）直线l '的极坐标方程为6πθ=，设,6M M πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,6N N πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则cos 163M ππρ⎛⎫-=⎪⎝⎭，解得3M ρ=，又4cos6N πρ==||3M N MN ρρ=-=，则点A 到直线l 的距离54sin 41262d ππ⎛⎫=⨯-=⨯=⎪⎝⎭故AMN V 的面积为12⨯=. 【点睛】本题考查了普通方程，参数方程，极坐标方程的转化，利用极坐标方程计算面积，意在考查学生的计算能力.23．已知函数()|3||25|f x x x =++-. （1）求不等式()3f x x >的解集；（2）若关于x 的不等式()f x m ≥在R 上恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）(,2)-∞；（2）11,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】（1）讨论3x <-，532x -≤≤，52x >三种情况，分别计算得到答案.（2）计算得到5511|3||25||3|222x x x x x ++-=++-+-≥得到m 的取值范围.. 【详解】（1）当3x <-时，原式化为3253x x x ---+>，解得13x <，故3x <-；当532x -≤≤时，原式化为3523x x x ++->，解得2x <，故32x -≤<；当52x >时，原式化为3253x x x ++->，解得20->，无解，故不等式()3f x x >的解集为(,2)-∞. （2）555|3||25||3||3|222x x x x x x x ++-=++-+-≥++- 511322x x ⎛⎫≥+--= ⎪⎝⎭（当且仅当52x =时取等号）故实数m 的取值范围为11,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查了分类讨论解绝对值不等式，利用绝对值三角不等式求最值，将恒成立问题转化为最值问题是解题的关键.。

2020年广东深圳高三二模数学试卷(文科)

，
∴
，
∴
．
15. 解析: 在
中，
11
若
，
则
，
．
16. 解析: 设圆锥底面半径为，圆锥高为，
显然有：又 ∴
∴
，，
，
，
，
，
令
，
∴
，
∴
或
，
又
，
12
∴
，
，
故
时，
体积取最小值为
．
故答案为：
．
17.（ 1 ）证明见解析．（2）
解析: （ 1 ）∵
∴
．
，，
∴
，
又
，
∴
，
∴数列
是以为首项，为公比的等比数列．
的频率为
，
所以下一个销售季度内的利润不少于万元的概率的估计值为．
（ 3 ）估计一个销售季度内市场需求量的平均数为
（吨）；
由频率分布直方图易知，由于
时，对应的频率为
，
而
时，对应的频率为
，
因此一个销售季度内市场需求量的中位数应属于区间
，于是估计中位数应为
（吨）．
19.（ 1 ）证明见解析．（ 2 ）点到平面的距离为．
解析: （ 1 ）取的中点，连接和：
14
∵ 为的中点，
∴
且
，
∵
，
，
，
∴
且
，
∴
且
，
∴四边形
为平行四边形，
∴
，
∵
平面，
平面，
∴
平面．
（ 2 ）∵
，为的中点，

22020年广东省深圳市高考数学二模试卷(文科)

2020年广东省深圳市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|12}A x x =-<<，{|(1)}B x y lg x ==-，则()(R A B =⋂ð ) A ．[1-，2)B ．[2，)+∞C ．(1-，1]D ．[1-，)+∞2．棣莫弗公式(cos sin )cos sin (n x i x nx i nx i +=+为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗(16671754)-发现的，根据棣莫弗公式可知，复数6(cossin )55i ππ+在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知点(3,1)和(4,6)-在直线320x y a -+=的两侧，则实数a 的取值范围是( ) A ．7a <-或24a > B ．7a = 或24a =C ．247a -<<D ．724a -<<4．已知1()3,1,()2,1,x a x a x f x a x ⎧-+<⎪=⎨⎪⎩…是(,)-∞+∞上的减函数，那么实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．1?(0,)?2C ．1[6，1)?2D ．1[6，1?)A ．0.13B ．0.52C ．0.39D ．0.646．在ABC ∆中，D 是BC 边上一点，AD AB ⊥，BC =u u ur u u r，||1AD =u u u r ，则(AC AD =u u u r u u u r g )A ．B CD7．sin163sin223sin253sin313︒︒+︒︒等于( ) A ．12-B ．12C ．D 8．已知抛物线28y x =，过点(2,0)A 作倾斜角为3π的直线l ，若l 与抛物线交于B 、C 两点，弦BC 的中垂线交x 轴于点P ，则线段AP 的长为( )A ．163B ．83CD ．9．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，现有下列结论：①AC BD ⊥②//AC 截面PQMN③AC BD =④异面直线PM 与BD 所成的角为45︒ 其中所有正确结论的编号是( )A ．①③B ．①②④C ．③④D ．②③④10．已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的最小正周期是π，若其图象向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则下列结论正确的是( )A ．函数()f x 的图象关于直线23x π=对称B ．函数()f x 的图象关于点11(12π，0)对称C ．函数()f x 在区间[,]212ππ--上单调递减D ．函数()f x 在3[,]42ππ上有3个零点11．已知函数()y f x =是R 上的奇函数，函数()y g x =是R 上的偶函数，且()(2)f x g x =+，当02x 剟时，()2g x x =-，则(10.5)g 的值为( ) A ．1.5B ．8.5C ．0.5-D ．0.512．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点P 是双曲线在第一象限内的点，直线PO ，2PF 分别交双曲线C 的左、右支于另一点M ，N ，若12||2||PF PF =，且2120MF N ∠=︒，则双曲线的离心率为( )A 22B 7C 3D 2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知x 轴为曲线3()44(1)1f x x a x =+-+的切线，则a 的值为． 14．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若22n n S a =-，则54S S -= ．15．在ABC ∆中，若1cos 3A =，则2sin cos22B CA ++的值为．16．已知球O 的半径为r ，则它的外切圆锥体积的最小值为三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{}n a 的首项123a =，*112(0,)n n n n n a a a a a n N +++=≠∈．（1）证明：数列1{1}na -是等比数列；（2）数列{}nna 的前n 项和n S ．18．（12分）随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品．现以x （单位：吨，100150)x 剟表示下一个销售季度的市场需求量，T （单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．（1）将T 表示为x 的函数，求出该函数表达式；（2）根据直方图估计利润T 不少于57万元的概率；（3）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量x 的平均数与中位数的大小（保留到小数点后一位）．19．（12分）如图所示，四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，90ABC BAD ∠=∠=︒，1AB AD SA ===，2BC =，M 为SB 的中点．（1）求证：//AM 平面SCD ；（2）求点B 到平面SCD 的距离．20．（12分）已知椭圆22:14xC y +=，1F 、2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，M 为椭圆上的动点．（1）求12F MF ∠的最大值，并证明你的结论；（2）若A 、B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点，设直线AM 的斜率为k ，且11(,)23k ∈--，求直线BM 的斜率的取值范围．21．（12分）已知函数()(1)(x af x e e x=+为自然对数的底数），其中0a >．（1）在区间(,]2a-∞-上，()f x 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．（2）若函数()f x 的两个极值点为1x ，212()x x x <，证明：2121()()212lnf x lnf x x x a ->+-+．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线1cos :(sin x t l t y t αα=⎧⎨=⎩为参数，0)2πα<<，曲线12cos :(42sin x C y βββ=⎧⎨=+⎩为参数），1l 与1C 相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求1C 的极坐标方程及点A 的极坐标；（2）已知直线2:()6l R πθρ=∈与圆22:cos 20C ρθ-+=交于B ，C 两点，记AOB ∆的面积为1S ，2COC ∆的面积为2S ，求1221S S S S +的值． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知()|2|f x x a =-．（1）当1a =时，解不等式()21f x x >+；（2）若存在实数(1,)a ∈+∞，使得关于x 的不等式2()||1f x x m a ++<-有实数解，求实数m 的取值范围．2020年广东省深圳市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|12}A x x =-<<，{|(1)}B x y lg x ==-，则()(R A B =⋂ð ) A ．[1-，2)B ．[2，)+∞C ．(1-，1]D ．[1-，)+∞【思路分析】求函数的定义域得集合B ，再根据补集与交集的定义运算即可．【解析】：集合{|12}A x x =-<<，{|(1)}{|10}{|1}B x y lg x x x x x ==-=->=>， {|1}R B x x ∴=„ð，(){|12}(1R A B x x ∴=-<=-I „ð，2]．故选：C ．【归纳与总结】本题考查了求函数的定义域和集合的运算问题，是基础题．2．棣莫弗公式(cos sin )cos sin (n x i x nx i nx i +=+为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗(16671754)-发现的，根据棣莫弗公式可知，复数6(cossin )55i ππ+在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【思路分析】由题意可得666(cos sin )cos sin cos sin 555555i i i ππππππ+=+=--，再由三角函数的符号得答案．【解析】：由(cos sin )cos sin n x i x nx i nx +=+，得666(cos sin )cos sin cos sin 555555i i i ππππππ+=+=--，∴复数6(cossin )55i ππ+在复平面内所对应的点的坐标为(cos 5π-，sin )5π-，位于第三象限．故选：C ．【归纳与总结】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查三角函数值的符号，是基础题．3．已知点(3,1)和(4,6)-在直线320x y a -+=的两侧，则实数a 的取值范围是( ) A ．7a <-或24a > B ．7a = 或24a = C ．247a -<< D ．724a -<<【思路分析】根据二元一次不等式组表示平面区域，以及两点在直线两侧，建立不等式即可求解．【解析】：Q 点(3,1)与(4,6)B -，在直线320x y a -+=的两侧，∴两点对应式子32x y a -+的符号相反，即(92)(1212)0a a -+--+<，即(7)(24)0a a +-<，解得724a -<<，故选：D ．【归纳与总结】题主要考查二元一次不等式表示平面区域，利用两点在直线的两侧得对应式子符号相反是解决本题的关键．4．已知1()3,1,()2,1,x a x a x f x a x ⎧-+<⎪=⎨⎪⎩…是(,)-∞+∞上的减函数，那么实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．1?(0,)?2C ．1[6，1)?2D ．1[6，1?)【思路分析】根据分段函数单调性的性质，列出不等式组，求解即可得到结论．【解析】：1()3,1,()2,1,x a x a x f x a x ⎧-+<⎪=⎨⎪⎩Q …是(,)-∞+∞上的减函数， ∴满足01102132a a a a a ⎧⎪<<⎪⎪-<⎨⎪⎪-+⎪⎩…，即011216a a a ⎧⎪<<⎪⎪<⎨⎪⎪⎪⎩…，解得1162a <„，故选：C ．【归纳与总结】本题主要考查函数的单调性的应用，根据复合函数单调性的性质是解决本题的关键．A ．0.13B ．0.52C ．0.39D ．0.64【思路分析】由频率分布表计算样本数据落在(10，40]上的频率值．【解析】：由频率分布表知，样本数据落在(10，40]上的频率为： 1324150.52100++=．故选：B ．【归纳与总结】本题考查了利用频率分布表计算样本数据的频率问题，是基础题．6．在ABC ∆中，D 是BC 边上一点，AD AB ⊥，BC =u u u r u u r，||1AD =u u u r ，则(AC AD =u u u r u u u r g)A ．23B ．3C ．3D ．3【思路分析】将AC AD u u u r u u u r g 转化成()AB BC AD +u u u r u u u r u u u r ，化简后得BC AD u u u r u u u rg ，然后转化成33()BD AD AD AB AD =-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g ，再进行化简可得结论．【解析】：Q 在ABC ∆中，AD AB ⊥， ∴0AB AD =u u u r u u u rg ()AC AD AB BC AD =+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g AB AD BC AD =+u u u r u u u r u u u r u u u r g g BC AD =u u u r u u u r g3BD AD =u u u r u u u r g3()AD AB AD =-u u u r u u u r u u u r g33AD AD AB AD =-u u u r u u u r u u u r u u u r g g 3=故选：D ．【归纳与总结】本题主要考查了向量在几何中的应用，以及平面向量数量积的运算，同时考查了转化的思想，属于中档题．7．sin163sin223sin253sin313︒︒+︒︒等于( )A ．12-B ．12C ．3D 3 【思路分析】通过两角和公式化简，转化成特殊角得出结果．【解析】：原式sin163sin223cos163cos223=︒︒+︒︒g cos(163223)=︒-︒ cos(60)=-︒ 12=．故选：B ．【归纳与总结】本题主要考查了正弦函数的两角和与差．要熟练掌握三角函数中的两角和公式．8．已知抛物线28y x =，过点(2,0)A 作倾斜角为3π的直线l ，若l 与抛物线交于B 、C 两点，弦BC 的中垂线交x 轴于点P ，则线段AP 的长为( )A ．163B ．83C 163D ．3【思路分析】先表示出直线方程，代入抛物线方程可得方程2320120x x -+=，利用韦达定理，可求弦BC 的中点坐标，求出弦BC 的中垂线的方程，可得P 的坐标，即可得出结论．【解析】：由题意，直线l 方程为：3(2)y x =-，代入抛物线28y x =整理得：2312128x x x -+=，2320120x x ∴-+=，设1(B x ，1)y 、2(C x ，2)y ，12203x x ∴+=， ∴弦BC 的中点坐标为10(3，43)，∴弦BC 的中垂线的方程为43310()3y x -=--，令0y =，可得223x =，22(3P ∴，0)，(2,0)A Q ，16||3AP ∴=．故选：A ．【归纳与总结】本题以抛物线为载体，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，解题的关键是联立方程，利用韦达定理．9．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，现有下列结论： ①AC BD ⊥②//AC 截面PQMN③AC BD =④异面直线PM 与BD 所成的角为45︒ 其中所有正确结论的编号是( )A ．①③B ．①②④C ．③④D ．②③④【思路分析】在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，由//AC MN ，可得：//AC 截面PQMN ．由//AC PQ ，//BD QM ，PQ QM ⊥，可得AC BD ⊥．进而判断出结论．【解析】：在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，由//AC MN ，可得：//AC 截面PQMN ．由//AC PQ ，//BD QM ，PQ QM ⊥，AC BD ∴⊥．PQ BP AC AB =，AP PNAB BD =，1BP AP +=，PN PQ =，可得：111AC BD PQ +=，AC 与BD 不一定相等．//BD QM Q ，PM 与QM 所成的角为45︒，∴异面直线PM 与BD 所成的角为45︒．其中所有正确结论的编号是①②④．故选：B ．【归纳与总结】本题考查了正方形的性质、空间位置关系、空间角、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 10．已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的最小正周期是π，若其图象向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则下列结论正确的是( )A ．函数()f x 的图象关于直线23x π=对称B ．函数()f x 的图象关于点11(12π，0)对称C ．函数()f x 在区间[,]212ππ--上单调递减D ．函数()f x 在3[,]42ππ上有3个零点【思路分析】函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的最小正周期是π，2ππω=，解得2ω=．()sin(2)f x x ϕ=+，若其图象向右平移3π个单位后得到的函数()g x 为奇函数，2()sin(2)3g x x πϕ=-+，可得2(0)sin()03g πϕ=-+=，可得ϕ，()f x ．利用三角函数的图象与性质即可判断出结论．【解析】：函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的最小正周期是π，∴2ππω=，解得2ω=． ()sin(2)f x x ϕ∴=+，若其图象向右平移3π个单位后得到的函数()g x 为奇函数， 2()sin(2)3g x x πϕ∴=-+，可得2(0)sin()03g πϕ=-+=，23k πϕπ∴-+=，k Z ∈，取1k =-，可得3πϕ=-．()sin(2)3f x x π∴=-，验证：2()03f π=，11()112f π=-，因此AB 不正确．若[,]212x ππ∈--，则4(2)[33x ππ-∈-，]2π-，因此函数()f x 在区间[,]212ππ--上单调递减，正确．若3[,]42x ππ∈，则(2)[36x ππ-∈，8]3π，因此函数()f x 在区间3[,]42x ππ∈上只有两个零点，不正确．故选：C ．【归纳与总结】本题考查了三角函数的图象与性质、方程的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知函数()y f x =是R 上的奇函数，函数()y g x =是R 上的偶函数，且()(2)f x g x =+，当02x 剟时，()2g x x =-，则(10.5)g 的值为( ) A ．1.5B ．8.5C ．0.5-D ．0.5【思路分析】根据函数()y f x =是R 上的奇函数，并且()(2)f x g x =+，得到(2)(2)g x g x -+=-+．结合()g x 是R 上的偶函数，得到(2)(2)g x g x +=--，进而推出函数的周期为8，再结合函数的奇偶性与解析式可得答案．【解析】：由题意可得：因为函数()y f x =是R 上的奇函数，并且()(2)f x g x =+，所以()()f x f x -=-，即(2)(2)g x g x -+=-+．又因为函数()y g x =是R 上的偶函数，所以(2)(2)g x g x +=--，所以()(4)g x g x =--，所以(4)(8)g x g x -=--，所以()(8)g x g x =-，所以函数()g x 是周期函数，并且周期为8．所以(10.5)(2.5)(1.5)(1.5)0.5g g g g ==--=-=．故选：D ．【归纳与总结】解决此类问题的关键是熟练掌握函数的有关性质，即奇偶性，单调性，周期性等性质．12．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点P 是双曲线在第一象限内的点，直线PO ，2PF 分别交双曲线C 的左、右支于另一点M ，N ，若12||2||PF PF =，且2120MF N ∠=︒，则双曲线的离心率为( )AB C D 【思路分析】由题意，12||2||PF PF =，12||||2PF PF a -=，可得1||4PF a =，2||2PF a =，由2120MF N ∠=︒，可得12120F PF ∠=︒，由余弦定理可得2224164242cos120c a a a a =+-︒g g g ，即可求出双曲线C 的离心率．【解析】：由题意，12||2||PF PF =，由双曲线的定义可得，12||||2PF PF a -=，可得1||4PF a =，2||2PF a = 由四边形12PF MF 为平行四边形，又2120MF N ∠=︒，可得12120F PF ∠=︒，在三角形12PF F 中，由余弦定理可得 2224164242cos120c a a a a =+-︒g g g ，即有2224208c a a =+，即227c a =，可得c =，即ce a==．故选：B ．【归纳与总结】本题考查双曲线C 的离心率，注意运用双曲线的定义和三角形的余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知x 轴为曲线3()44(1)1f x x a x =+-+的切线，则a 的值为14．【思路分析】先对()f x 求导，然后设切点为0(x ，0)，由切线斜率和切点在曲线上得到关于0x 和a 的方程，再求出a 的值．【解析】：由3()44(1)1f x x a x =+-+，得2()124(1)f x x a '=+-，x Q 轴为曲线()f x 的切线，()f x ∴的切线方程为0y =，设切点为0(x ，0)，则200()124(1)0f x x a '=+-=①，又3000()44(1)10f x x a x =+-+=②，由①②，得012x =，14a =，a ∴的值为14．故答案为：14．【归纳与总结】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了方程思想，属基础题．14．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若22n n S a =-，则54S S -= 32 ．【思路分析】根据数列的递推关系，求出数列的通项公式，然后即可求解结论．【解析】：因为n S 为数列{}n a 的前n 项和，若22n n S a =-，① 则111222a a a =-⇒=；则1122n n S a --=-，②①-②得：11222n n n n n a a a a a --=-⇒=⇒数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列；故2n n a =；554232S S ∴-==．故答案为：32．【归纳与总结】本题主要考查利用数列的递推关系求解通项公式，属于基础题目．15．在ABC ∆中，若1cos 3A =，则2sin cos22B C A ++的值为 19- ．【思路分析】在ABC ∆中，若1cos 3A =，利用诱导公式、二倍角公式把要求的式子化为21cos 2cos 12AA ++-，运算求得结果．【解析】：在ABC ∆中，若1cos 3A =，则22221cos 221sin cos2cos2cos cos22cos 112222399B C A A A A sin A A A π+-++=+=+=+-=+-=-，故答案为19-．【归纳与总结】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．16．已知球O 的半径为r ，则它的外切圆锥体积的最小值为383r π 【思路分析】由题意画出截面图，设圆锥的高为h ，圆锥的底面半径为R ，利用三角形相似可得R ，h ，r 的关系，写出圆锥的体积公式，再由导数求最值．【解析】：作出截面图如图，设圆锥的高为h ，圆锥的底面半径为R ，OC OD r ==， 90SCB SDO ∠=∠=︒，又OSD BSC ∠=∠， SOD SBC ∴∆∆∽，∴BC SCOD SD =，即22()R r h r r =--， 222()2R h r rh hr∴==---．∴圆锥体积222133(2)r h V R h h r ππ==-，22(4)3(2)r h h r V h r π-'=-g ．令()0h r '=，得4h r =． ∴38(4)3min V v r r π==．故答案为：383r π．【归纳与总结】本题考查球外接圆锥体积最值的求法，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用导数求最值，是中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{}n a 的首项123a =，*112(0,)n n n n n a a a a a n N +++=≠∈．（1）证明：数列1{1}na -是等比数列；（2）数列{}nna 的前n 项和n S ．【思路分析】（1）由112n n n n a a a a +++=，变形为1121n n a a ++=，可得11111(1)2n na a +-=-，即可证明；（2）由（1）可得：111111()()222n n n a --=⨯=，2n n n n n a =+．设231232222n n nT =+++⋯+，利用“错位相减法”可得n T ，即可得出数列{}n n a 的前n 项和(1)2n n n n S T +=+．【解答】（1）证明：112n n n n a a a a +++=Q ，∴1121n n a a ++=， ∴11111(1)2n na a +-=-，又123a =，∴11112a -=．∴数列1{1}na -为等比数列；（2）解：由（1）可得：111111()()222n n n a --=⨯=，化为111()2n n a =+， ∴2n n n nn a =+．设231232222n n nT =+++⋯+， 234111*********n n n n nT +-=+++⋯++， ∴2311111(1)11111222112222222212n n n n n n n n n T +++-+=+++⋯+-=-=--， 222n n nT +∴=-，∴数列{}n na 的前n 项和2(1)22222n n n n n n n n S T +++=+=+-．【归纳与总结】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n 项和公式、“错位相减法”，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．18．（12分）随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品．现以x （单位：吨，100150)x 剟表示下一个销售季度的市场需求量，T （单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．（1）将T 表示为x 的函数，求出该函数表达式；（2）根据直方图估计利润T 不少于57万元的概率；（3）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量x 的平均数与中位数的大小（保留到小数点后一位）．【思路分析】（1）计算[100x ∈，130)和[130x ∈，150]时T 的值，用分段函数表示T 的解析式；（2）计算利润T 不少于57万元时x 的取值范围，求出对应的频率值即可；（3）利用每一小组底边的中点乘以对应的频率求和得出平均数，根据中位数两边频率相等求出中位数的大小．【解析】：（1）当[100x ∈，130)时，0.839T x =-；⋯（1分）当[130x ∈，150]时，0.513065T =⨯=，⋯（2分）所以，0.839,10013065,130150x x T x -<⎧=⎨⎩„剟 ⋯（3分）（2）根据频率分布直方图及（Ⅰ）知，当[100x ∈，130)时，由0.83957T x =-…，得120130x <„，⋯（4分）当[130x ∈，150]时，由6557T =…，⋯所以，利润T 不少于57万元当且仅当120150x 剟，于是由频率分布直方图可知市场需求量[120x ∈，150]的频率为 (0.0300.0250.015)100.7++⨯=，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57万元的概率的估计值为0.7； ⋯（7分）（3）估计一个销售季度内市场需求量x 的平均数为1050.11150.21250.31350.251450.15126.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（吨)；⋯（9分）由频率分布直方图易知，由于[100x ∈，120)时，对应的频率为(0.010.02)100.30.5+⨯=<，而[100x ∈，130)时，对应的频率为(0.010.020.03)100.60.5++⨯=>，⋯（10分）因此一个销售季度内市场需求量x 的中位数应属于区间[120，130)，于是估计中位数应为120(0.50.10.2)0.03126.7+--÷≈（吨)．⋯（12分）【归纳与总结】本题考查了分段函数以及频率、平均数和中位数的计算问题，是基础题目． 19．（12分）如图所示，四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，90ABC BAD ∠=∠=︒，1AB AD SA ===，2BC =，M 为SB 的中点．（1）求证：//AM 平面SCD ；（2）求点B 到平面SCD 的距离．【思路分析】（1）取SC 的中点N ，连结MN 和DN ，可证明得到四边形AMND 是平行四边形，进而//AM 平面SCD ；（2）先证明得到AM ⊥平面SBC ，进而得到平面SCD ⊥平面SBC ，作BE SC ⊥交SC 于E ，则BE ⊥平面SCD ，在直角三角形中利用等面积法即可求出距离【解析】：（1）取SC 的中点N ，连结MN 和DN ，M Q 为SB 的中点，//MN BC ∴，且12MN BC =， 90ABC BAD ∠=∠=︒Q ，1AD =，2BC =，//AD BC ∴，且12AD BC =，AD ∴平行且等于MN ， ∴四边形AMND 是平行四边形，//AM DN ∴，AM ⊂/Q 平面SCD ，DN ⊂平面SCD ，//AM ∴平面SCD ．（2）1AB AS ==Q ，M 为SB 中点， AM SB ∴⊥，SA ⊥Q 平面ABCD ，SA BC ∴⊥， 90ABC BAD ∠=∠=︒Q ， BC AB ∴⊥， BC ∴⊥平面SAB ， BC AM ∴⊥，AM ∴⊥平面SBC ，由（1）可知//AM DN ，DN ∴⊥平面SBC ， DN ⊂Q 平面SCD ，∴平面SCD ⊥平面SBC ，作BE SC ⊥交SC 于E ，则BE ⊥平面SCD ，在直角三角形SBC 中，1122SB BC SC BE =g g ，22236SB BC BE SC ∴===g ，即点B 到平面SCD 的距离为23．【归纳与总结】本题考查线面平行的证明，考查求点到平面距离，数形结合思想，转化思想，等面积法，属于中档题20．（12分）已知椭圆22:14x C y +=，1F 、2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，M 为椭圆上的动点．（1）求12F MF ∠的最大值，并证明你的结论；（2）若A 、B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点，设直线AM 的斜率为k ，且11(,)23k ∈--，求直线BM 的斜率的取值范围．【思路分析】（1）由题意可知12||||4MF MF +=，在△12F MF 中，利用余弦定理可得：12122cos 1||||F MF MF MF ∠=-g ，再利用基本不等式得到121cos 2F MF ∠-…，当且仅当12||||MF MF =时等号成立，再结合120F MF π<∠< 以及余弦函数的图象，即可得到12F MF ∠的最大值；（2）设直线BM 的斜率为k '，0(M x ，0)y ，则14k k '=-g ，再根据k 的范围即可得到k '的范围．【解析】：（1）由椭圆的定义可知：12||||4MF MF +=，在△12F MF 中，由余弦定理可得：22212121212||||||cos 2||||MF MF F F F MF MF MF +-∠=2212121212(||||)||2||||2||||MF MF F F MF MF MF MF +--=g g12122||||||||MF MF MF MF -=g g2121222111||||||||2()2MF MF MF MF =--=-+g …，120F MF π<∠<Q ，12F MF ∴∠的最大值为23π，此时12||||MF MF =，即点M 为椭圆C 的上、下顶点时12F MF ∠取最大值，其最大值为23π；（2）设直线BM 的斜率为k '，0(M x ，0)y ，则002y k x =+，002y k x '=-，∴20204y k k x '=-g ，又220014x y +=，∴220044x y =-，∴14k k '=-g ，Q 11(,)23k ∈--，∴1324k '<<，故直线BM 的斜率的取值范围为1(2，3)4．【归纳与总结】本题主要考查了椭圆的定义，考查了余弦定理和基本不等式的应用，是中档题．21．（12分）已知函数()(1)(x af x e e x=+为自然对数的底数），其中0a >．（1）在区间(,]2a-∞-上，()f x 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．（2）若函数()f x 的两个极值点为1x ，212()x x x <，证明：2121()()212lnf x lnf x x x a ->+-+．【思路分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可求函数的单调性，进而可求最值；（2）由极值存在的条件及方程的根与系数关系，把不等式的左面式子进行变形后构造函数，结合导数研究新函数的范围可证．【解析】：（1）由条件可知，函数在(,0)-∞上有意义，22()xx ax a f x e x +-'=，0a >，令()0f x '=可得，10x =<，20x =>， 1x x <时，()0f x '>，函数单调递增，当10x x <<时，()0f x '<，函数单调递减，由()(1)x af x e x=+，可得()0f a -=，当x a <-时，()0f x >，当0a x -<<时，()0f x <，因为10a x a --=-+=>，所以10x a <-<，又函数在1(x ，0)上单调递减且1102x a a <-<-<，所以()f x 在1(,]2a -∞-上有最小值121()2a f a e --=-，（2）由（1）可知0a >时，()f x 存在两个极值点为1x ，212()x x x <，故1x ，2x 是20x ax a +-=的根，所以1212x x x x a +==-，且121x x <<，因为11121()(1)(1)x x af x e x e x =+=-，同理221()(1)x f x x e =-，212()(1)lnf x ln x x ∴=-+，121()(1)lnf x ln x x =-+， ∴2112212121()()(1)(1)lnf x lnf x ln x x ln x x x x x x --++--=-- 1212(1)(1)1(1)(1)ln x ln x x x ---=+---，又121222211122()(1)(1)a x x x x +=+=++-+-+-，由（1）知，12110x x ->->，设11m x =-，21n x =-，令2(1)()1t h t lnt t -=-+，1t …，则22(1)()0(1)t h t t t -'=>+，所以()h t 在(1,)+∞上单调递增，()h t h >（1）0=，即2(1)1t lnt t ->+，令m t n =则2lnm lnn m n m n ->-+ 从而2121()()212lnf x lnf x x x a ->+-+．【归纳与总结】本题主要考查了导数与函数性质的综合应用，还考查了考生的逻辑推理与运算的能力，属于中档题．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线1cos :(sin x t l t y t αα=⎧⎨=⎩为参数，0)2πα<<，曲线12cos :(42sin x C y βββ=⎧⎨=+⎩为参数），1l 与1C 相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求1C 的极坐标方程及点A 的极坐标；（2）已知直线2:()6l R πθρ=∈与圆22:cos 20C ρθ-+=交于B ，C 两点，记AOB ∆的面积为1S ，2COC ∆的面积为2S ，求1221S S S S +的值．【思路分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换求出结果．（2）利用三角形的面积公式的应用求出结果．【解析】：（1）曲线12cos :(42sin x C y βββ=⎧⎨=+⎩为参数），转换为直角坐标方程为22(2)4x y +-=．将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得到28sin 120ρρθ-+=．直线1cos :(sin x t l t y t αα=⎧⎨=⎩为参数，0)2πα<<，转换为极坐标方程为()R θαρ=∈．将θα=代入28sin 120ρρθ-+=得到28sin 120ρρα-+=，由于△2(8sin )4120α=-⨯=，解得3πα=，故此时ρ=所以点A的极坐标为)3π．（2）由于圆22:cos 20C ρθ-+=，转换为直角坐标方程为22(5x y -+=．所以圆心坐标为．设1(,)3B πρ，2(,)3C πρ，将6πθ=代入2cos 20ρθ-+=，得到2620ρρ-+=，所以126ρρ+=，122ρρ=．由于1111sin()236A S ππρρ=-g g g，22221||sin()236S OC ππρ=-=g g g ．所以2212121212212112()2622162S S S S ρρρρρρρρρρ+--⨯+=+===．【归纳与总结】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知()|2|f x x a =-．（1）当1a =时，解不等式()21f x x >+；（2）若存在实数(1,)a ∈+∞，使得关于x 的不等式2()||1f x x m a ++<-有实数解，求实数m 的取值范围．【思路分析】（1）由绝对值的定义，讨论2x <，2x …，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；（2）运用绝对值不等式的性质可得2()||1f x x a ++-的最小值，由题意可得m 大于这个最小值，解不等式可得所求范围．【解析】：（1）当1a =时，即解不等式|2|21x x ->+，当2x …时，原不等式等价为221x x ->+，所以3x <-，则原不等式的解集为∅；当2x <时，原不等式等价为221x x ->+，解得13x <，综上可得原不等式的解集为1(,)3-∞；（2）222()|||2||||2|111f x x x a x a a a a ++=-+++---…，显然等号可取，由1a >，故原问题等价为关于a 的不等式22a m +<在(1,)+∞有解，又因为2222(1)22611a a a a +=-++=--…，当且仅当2a =取得等号，即6m >，即m 的范围是(6,)+∞．【归纳与总结】本题考查绝对值不等式的解法，以及不等式有解的条件，考查分类讨论思想和转化思想，以及运算能力、推理能力，属于中档题．。

2020年深圳市高三年级第二次调研考试数学试题(文科)

D． x2 y2 1 16 9
7．执行右边的程序框图，如果输入的 k 0.4 ，
开始
则输出的 n ＝
A． 5
B． 4
输入 k S 0, n 1
C． 3
D． 2
S
S
(2n
1 1)(2n
1)
n n1
否 S k?
是输出 n
结束
（第 7 题图）
8．函数 f (x) x2 2x 1 的图象与函数 g(x) 3cos πx 的图象所有交点的横坐标之和等于
图看，哪一种药的疗效更好，并说明理由；
甲药
乙药
8 65 40678
2210011237
2223
31 （3）标准差 s 除了可以用来刻画一组数据的离散程度外，还可以刻画每个数据偏离平均水平的程度．如果出现了治疗时间在 (x 3s, x 3s) 之外的患者，就认为病毒有可能发生了
变异，需要对该患者进行进一步检查，若某服用甲药的患者已经治疗了 26 天还未痊愈，请
A． 2
B． 4
C． 6
D． 8
9．已知正方体的六个面的中心可构成一个正八面体，现从正方体内部任取一个点，则该点落在这个正八面体内部的概率为
A． 1 2
B． 1 3
C． 1 6
D． 1 12
深圳市 2020 年高三年级第二次调研考试数学（文科）试题第 2 页（共 6页）
10．函数
f
(x)
(1
轴上运动，满足 AB BF 0 ， A 关于点 B 的对称点为 M ，设点 M 的轨迹为曲线 C . （1）求 C 的方程；（2）已知点 G(3,2) ，动直线 x t(t 3) 与 C 相交于 P ， Q 两点，求过 G ， P ， Q 三

2020年广东省深圳市高考数学二模试卷(文科)

2020年广东省深圳市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|15}A x x =-<<，{1B =，3，5}，则(A B =I ) A ．{1，3} B ．{1，3，5} C ．{1，2，3，4} D ．{0，1，2，3，4，5}2．（5分）设21(1)iz i +=-，则||(z = ) A ．12BC ．1 D3．（5分）已知22ln a =，22log b e=，22e c =，则( )A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．b a c <<4．（5分）设x ，y 满足约束条件130x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩„„…，则2z x y =-的最大值为( )A ．3-B ．1C ．2D ．35．（5分）已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，有下列四个命题： ①若//m α，//n α，则//m n ； ②若n α⊥，m β⊥，//m n ，则//αβ； ③若αβ⊥，//m α，n β⊥，则//m n ； ④若//αβ，m α⊂，m n ⊥，则n β⊥．其中，正确的命题个数是( ) A ．3B ．2C ．1D ．06．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点分别为1(5,0)F -，2(5,0)F ，P 为C 上一点，12PF PF ⊥，123tan 4PF F ∠=，则C 的方程为( )A ．22124y x -=B ．22124x y -=C ．221916x y -= D ．221169x y -= 7．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的0.4k =，则输出的(n = )A ．5B ．4C ．3D ．28．（5分）函数2()21f x x x =-+的图象与函数()3cos g x x π=的图象所有交点的横坐标之和等于( ) A ．2B ．4C ．6D ．89．（5分）已知正方体的六个面的中心可构成一个正八面体，现从正方体内部任取一个点，则该点落在这个正八面体内部的概率为( ) A ．12B ．13C ．16D ．11210．（5分）函数(14)sin ()2x xxf x -=的部分图象大致为( )A ．B ．C ．D ．11．（5分）下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A ，B ，C ，D 是其中四个圆的圆心，则(AB CD =u u u r u u u rg)A ．32B ．28C ．26D ．2412．（5分）在三棱锥P ABC -中，平面PBC ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，2BC PC ==，若AC PB =，则三棱锥P ABC -体积的最大值为( )A 42B 163C 163D 323二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足，医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援．若某医疗团队从甲，乙，丙，丁4名医生志愿者中，随机选取2名医生赴湖北支援，则甲被选中的概率为．14．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为2224b c a +-，sin sin 2A Cb Cc +=，则角C = ． 15．（5分）《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只．以此类推，假设n 个月后共有老鼠n a 只，则n a = ．16．（5分）已知A ，F 分别是椭圆2222:(0)x y C l a b a b+=>>的下顶点和左焦点，过A 且倾斜角为60︒的直线l 分别交x 轴和椭圆C 于M ，N 两点，且N 点的纵坐标为35b ，若FMN∆的周长为6，则FAN ∆的面积为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知各项都为正数的等比数列{}n a ，232a =，3458a a a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，123||||||||n n T b b b b =+++⋯+，求n T ．18．（12分）为了比较两种治疗某病毒的药（分别称为甲药，乙药）的疗效，某医疗团队随机地选取了服用甲药的患者和服用乙药的患者进行研究，根据研究的数据，绘制了如图1等高条形图．（1）根据等高条形图，判断哪一种药的治愈率更高，不用说明理由；（2）为了进一步研究两种药的疗效，从服用甲药的治愈患者和服用乙药的治愈患者中，分别抽取了10名，记录他们的治疗时间（单位：天），统计并绘制了如图2茎叶图，从茎叶图看，哪一种药的疗效更好，并说明理由；（3）标准差s 除了可以用来刻画一组数据的离散程度外，还可以刻画每个数据偏离平均水平的程度，如果出现了治疗时间在(3x s -，3)x s +之外的患者，就认为病毒有可能发生了变异，需要对该患者进行进一步检查，若某服用甲药的患者已经治疗了26天还未痊愈，请结合（2）中甲药的数据，判断是否应该对该患者进行进一步检查？参考公式：222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-+⋯+-g 234048≈．19．（12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，12AA =，M ，N 分别为AB ，1AA 的中点．（1）求证：平面1B NC ⊥平面CMN ；（2）若2AB =，求点N 到平面1B MC 的距离．。

2020年广东省深圳市高考数学二模试卷(文科)

2020年广东省深圳市高考数学二模试卷（文科）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|−1<x <5}，B ={1,3，5}，则A ∩B =( )A. {1,3}B. {1,3，5}C. {1,2，3，4}D. {0,1，2，3，4，5} 2. 设z =1+i(1−i)2，则|z|=( )A. 12B. √22 C. 1 D. √23. 已知a =ln22，b =log 22e ，c =22e ，则( )A. a <b <cB. b <c <aC. c <b <aD. b <a <c4. 设x ，y 满足约束条件{x −y ≤1x +y ≤3x ≥0，则z =2x −y 的最大值为( )A. −3B. 1C. 2D. 35. 已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，有下列四个命题：①若m//α，n//α，则m//n ；②若n ⊥α，m ⊥β，m//n ，则α//β； ③若α⊥β，m//α，n ⊥β，则m//n ； ④若α//β，m ⊂α，m ⊥n ，则n ⊥β．其中，正确的命题个数是( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 6. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦点分别为F 1(−5,0)，F 2(5,0)，P 为C 上一点，PF 1⊥PF 2，tan∠PF 1F 2=34，则C 的方程为( )A. x 2−y 224=1 B. x 224−y 2=1 C. x 29−y 216=1 D. x 216−y29=1 7. 执行如图的程序框图，如果输入的k =0.4，则输出的n =( )A. 5B. 4C. 3D. 28. 函数f(x)=x 2−2x +1的图象与函数g(x)=3cosπx 的图象所有交点的横坐标之和等于( )A. 2B. 4C. 6D. 89. 已知正方体的六个面的中心可构成一个正八面体，现从正方体内部任取一个点，则该点落在这个正八面体内部的概率为( )A. 12B. 13C. 16D. 11210. 函数f(x)=(1−4x )sinx2x的部分图象大致为( )A.B.C.D.11. 下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A ，B ，C ，D 是其中四个圆的圆心，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 32B. 28C. 26D. 2412. 在三棱锥P −ABC 中，平面PBC ⊥平面ABC ，∠ACB =90°，BC =PC =2，若AC =PB ，则三棱锥P −ABC 体积的最大值为( )A. 4√23B. 16√39C. 16√327D. 32√327二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足，医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援．若某医疗团队从甲，乙，丙，丁4名医生志愿者中，随机选取2名医生赴湖北支援，则甲被选中的概率为______．14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为b2+c2−a24，bsinC=csin A+C2，则角C=______．15.《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只．以此类推，假设n个月后共有老鼠a n只，则a n=______．16.已知A，F分别是椭圆C：x2a2+y2b2=l(a>b>0)的下顶点和左焦点，过A且倾斜角为60°的直线l分别交x轴和椭圆C于M，N两点，且N点的纵坐标为35b，若△FMN的周长为6，则△FAN的面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知各项都为正数的等比数列{a n}，a2=32，a3a4a5=8．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=log2a n，T n=|b1|+|b2|+|b3|+⋯+|b n|，求T n．18.为了比较两种治疗某病毒的药(分别称为甲药，乙药)的疗效，某医疗团队随机地选取了服用甲药的患者和服用乙药的患者进行研究，根据研究的数据，绘制了如图1等高条形图．(1)根据等高条形图，判断哪一种药的治愈率更高，不用说明理由；(2)为了进一步研究两种药的疗效，从服用甲药的治愈患者和服用乙药的治愈患者中，分别抽取了10名，记录他们的治疗时间(单位：天)，统计并绘制了如图2茎叶图，从茎叶图看，哪一种药的疗效更好，并说明理由；(3)标准差s除了可以用来刻画一组数据的离散程度外，还可以刻画每个数据偏离平均水平的程度，如果出现了治疗时间在(x −−3s,x −+3s)之外的患者，就认为病毒有可能发生了变异，需要对该患者进行进一步检查，若某服用甲药的患者已经治疗了26天还未痊愈，请结合(2)中甲药的数据，判断是否应该对该患者进行进一步检查？参考公式：s =√1n⋅[(x 1−x −)2+(x 2−x −)2+⋯+(x n −x −)2]，参考数据：√2340≈48．19. 如图，在直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，∠ABC =60°，AA 1=√2AB ，M ，N 分别为AB ，AA 1的中点． (1)求证：平面B 1NC ⊥平面CMN ；(2)若AB =2，求点N 到平面B 1MC 的距离．20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知定点F(1,0)，点A 在x 轴的非正半轴上运动，点B 在y 轴上运动，满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，A 关于点B 的对称点为M ，设点M 的轨迹为曲线C ． (1)求C 的方程；(2)已知点G(3,−2)，动直线x =t(t >3)与C 相交于P ，Q 两点，求过G ，P ，Q 三点的圆在直线y =−2上截得的弦长的最小值． 21. 已知函数f(x)=xe x e−3，g(x)=alnx −2x(a ∈R)．(1)讨论g(x)的单调性； (2)是否存在实数a ，使不等式f(x)≥g(x)恒成立？如果存在，求出a 的值；如果不存在，请说明理由．22.椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定的滑块A，B，它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M处用套管装上铅笔，使直尺转动一周，则点M的轨迹C是一个椭圆，其中|MA|=2，|MB|=1，如图，以两条导槽的交点为原点O，横槽所在直线为x轴，建立直角坐标系．(1)将以射线Bx为始边，射线BM为终边的角xBM记为φ(0≤φ<2π)，用φ表示点M的坐标，并求出C的普通方程；(2)已知过C的左焦点F，且倾斜角为α(0≤α<π2)的直线l1与C交于D，E两点，过点F且垂直于l1的直线l2与C交于G，H两点．当1|FE|，|GH|，1|FD|依次成等差数列时，求直线l2的普通方程．23.已知a，b，c为正实数，且满足a+b+c=1.证明：(1)|a−12|+|b+c−1|≥12；(2)(a3+b3+c3)(1a2+1b2+1c2)≥3．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查了交集的定义及运算，属于基础题．【解答】解：∵A={x|−1<x<5}，B={1,3，5}，∴A∩B={1,3}．故选：A．2.【答案】B【解析】【分析】把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．【解答】解：∵z=1+i(1−i)2=1+i−2i，∴|z|=|1+i−2i |=|1+i||−2i|=√22．故选：B．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查了对数函数和指数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．容易得出0<ln22<1,log22e<0,22e>1，从而可得出a，b，c的大小关系．【解答】解：∵0=ln1<ln22=ln√2<lne=1，log22e<log21=0，22e>20=1，∴b<a<c．故选：D．4.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x−y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域内直线在y 轴上的截距最小值即可．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z =2x −y 过点A 点时，目标函数z =2x −y 的纵截距最小，此时z 取得最大值，由{x −y =1x +y =3，解得A(2,1)时，直线在y 轴上截距最小，此时z 取得最大值3．故选：D ． 5.【答案】C【解析】解：已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，①若m//α，n//α，则直线m 和n 可能相交也可能异面，故m//n 错误．②若n ⊥α，m ⊥β，m//n ，则直线m 和n 可以看成是平面α和β的法向量，由于m//n ，则α//β，故正确； ③若α⊥β，m//α，n ⊥β，则m//n 也可能m ⊥n ，故错误；④若α//β，m ⊂α，m ⊥n ，没说明直线n 的位置，也有可能n//β，故n ⊥β错误．故选：C ．直接利用线面平行和线面垂直的判定和性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：线面垂直和线面平行的判定和性质的应用，主要考查学生的转换能力及思维能力，属于基础题型． 6.【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线方程的求法、双曲线的定义与性质，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．由题可知，c =5，F 1F 2=10，因为PF 1⊥PF 2，tan∠PF 1F 2=34，所以cos∠PF 1F 2=45=PF1F 1F 2，于是可得|PF 1|=8，|PF 2|=6，再结合双曲线的定义，有|PF 1|−|PF 2|=a ，知a =1，所以b 2=c 2−a 2=25−1=24，故而可得双曲线的方程．【解答】解：∵F 1(−5,0)，F 2(5,0)，∴c =5，F 1F 2=10，∵PF 1⊥PF 2，tan∠PF 1F 2=34，∴cos∠PF 1F 2=45=PF1F 1F 2，∴|PF 1|=8，|PF 2|=6，由双曲线的定义可知，|PF 1|−|PF 2|=2=2a ，∴a =1， ∴b 2=c 2−a 2=25−1=24． ∴双曲线的方程为x 2−y 224=1．故选：A ． 7.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得 k =0.4，S =0，n =1 S =11×3=13，不满足条件S >0.4，执行循环体，n =2，S =11×3+13×5=12(1−13+13−15)=25，不满足条件S >0.4，执行循环体，n =3，S =11×3+13×5+15×7=12(1−13+13−15+15−17)=37，此时，满足条件S >0.4，退出循环，输出n 的值为3．故选：C ．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S 的值并输出相应变量n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8.【答案】B【解析】解：函数f(x)=x2−2x+1的图象与函数g(x)=3cosπx的图象在同一坐标系内的位置和交点坐标为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，D(x4,y4)，由于f(x)=(x−1)2，的对称轴为x=1，函数的图象与x轴相切，函数g(x)的图象的最小正周期为T=2ππ=2，函数的图象关于y轴对称，如图所示：所以x1+x42=1，x2+x32=1，则：x1+x2+x3+x4=4，故选：B．直接利用三角函数的图象和性质的应用和二次函数性质的应用在同一坐标系内画出函数的图象，进一步利用对称性的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的图象和性质的应用，二次函数的图象和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查组合几何体的体积，面积，考查棱锥，正方体的体积，属于简单题．设正方体的棱长是1，构成的八面体可以看作是由两个正四棱锥组成，一个正四棱锥的高等于正方体棱长的一半，正四棱锥的底面边长根据勾股定理可知是√22，求出正四棱锥的体积，得到正八面体的体积，得到比值．【解答】解：设正方体的棱长是1，构成的八面体可以看作是由两个正四棱锥组成，以上面一个正四棱锥为例，它的高等于正方体棱长的一半，即12，正四棱锥的底面边长根据勾股定理可知是√22，∴这个正四棱锥的体积是13×√22×√22×12=112；∴构成的八面体的体积是2×112=16；∴八面体的体积是V 1，正方体体积是V 2，V 1：V 2=1：6故从正方体内部任取一个点，则该点落在这个正八面体内部的概率为：16；故选：C ． 10.【答案】B【解析】解：f(−x)=(1−4−x )(−sinx)2−x=−(4x −1)sinx2x=f(x)，故f(x)为偶函数，图象关于y 轴对称，排除选项B ，D ，因为f(2)<0，排除选项A ．故选：B ．先检验函数的奇偶性，结合选项中函数图象的对称性，先排除不符合题意的，然后结合特殊点函数值的正负即可判断．本题主要考查了函数图象与性质的对应关系的应用，排除法的应用是解决问题的关键． 11.【答案】C【解析】解：如图所示，建立以a ⃗ ,b ⃗ 为一组基底的基向量，其中|a ⃗ |=|b ⃗ |=1且a ⃗ ,b ⃗ 的夹角为60°，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ +4b ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =4a ⃗ +2b ⃗ ，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2a ⃗ +4b ⃗ )⋅(4a ⃗ +2b ⃗ )=8a ⃗ 2+8b ⃗ 2+20a ⃗ ⋅b ⃗ =8+8+20×1×1×12=26．故选：C ．建立以a ⃗ ,b ⃗ 为一组基底的基向量，其中|a ⃗ |=|b ⃗ |=1且a ⃗ ,b ⃗ 的夹角为60°，根据平面向量的基本定理可知，向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 均可以用a ⃗ ,b⃗ 表示，再结合平面向量数量积运算法则即可得解．本题考查平面向量的混合运算，观察图形特征，建立基向量是解题的关键，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题． 12.【答案】D【解析】解：如图，取PB 中点M ，连结CM ，∵平面PBC ⊥平面ABC ，平面PBC ∩平面ABC =BC ， AC ⊂平面ABC ，AC ⊥BC ， ∴AC ⊥平面PBC ，设点A 到平面PBC 的距离为ℎ=AC =2x ，∵PC =BC =2，PB =2x ，(0<x <2)，M 为PB 的中点， ∴CM ⊥PB ，CM =√4−x 2，解得S △PBC =12×2x ×√4−x 2=x√4−x 2， V A−PBC =13×(x√4−x 2)×2x =2x 2√4−x 23，设t =√4−x 2，(0<t <2)，则x 2=4−t 2， ∴V A−PBC =2t(4−2)2=8t−2t 33，(0<t <2)，关于t 求导，得V′(t)=8−6t 23，令V′(t)=0，解得t =2√33或t =−2√33(舍)，由V(t)单调性得当t =2√33时，(V A−PBC )max =32√327．故选：D ．取PB 中点M ，连结CM ，推导出AC ⊥平面PBC ，设点A 到平面PBC 的距离为ℎ=AC =2x ，则CM ⊥PB ，CM =√4−x 2，从而S △PBC =12×2x ×√4−x 2=x√4−x 2，V A−PBC =13×(x√4−x 2)×2x =2x 2√4−x 23，设t =√4−x 2，(0<t <2)，则x 2=4−t 2，从而V A−PBC =2t(4−2)2=8t−2t 33，(0<t <2)，关于t 求导，得V′(t)=8−6t 23，利用导数性质能求出三棱锥P −ABC 体积的最大值．本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间向量坐标运算、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】12【解析】【分析】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．基本事件总数n =C 42=6，甲被选中包含的基本事件有m =C 11C 31=3，由此能求出甲被选中的概率．【解答】解：某医疗团队从甲，乙，丙，丁4名医生志愿者中，随机选取2名医生赴湖北支援，基本事件总数n =C 42=6，甲被选中包含的基本事件有m =C 11C 31=3， ∴甲被选中的概率为p =36=12．故答案为：12．14.【答案】5π12【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式，二倍角公式，诱导公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．由已知结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简可求A ，然后结合二倍角公式化简可求B ，再结合三角形的内角和定理即可求解．【解答】解：由题意S △ABC =b 2+c 2−a 24，所以12bcsinA =14×2bccosA 即tanA =1，因为A 为三角形的内角，故A =π4，又bsinC =csinA+C 2=csin(π2−B 2)=ccos B2，由正弦定理可得，sinBsinC=sinCcos B2，因为sinC≠0，所以sinB=cos B2=2sin B2cos B2，因为cos B2≠0，所以sin B2=12，即，C=π−π3−π4=5π12．故答案为：5π12．15.【答案】2×7n【解析】解：由题意可得1个月后的老鼠的只数a1=(1+6)×2=2×7，2个月后老鼠的只数a2=2(1+ 6)×7=2×72，3个月后老鼠的只数a3=2(1+6)×72=2×73，…，n个月后老鼠的只数a n=2×7n．故答案为：2×7n．根据1个月后的老鼠为原来雌雄两只老鼠和新出生的小鼠有(1+6)×2=2×7只，类似的方法得到2个月后有2(1+6)×7=2×72只，3个月后有2×73只，根据以上分析进行归纳推理即可得n个月后老鼠的只数a n．本题主要考查归纳推理，掌握题目中的数量关系是解决本题的关键，属于基础题．16.【答案】8√35【解析】解：如图所示，由题意得，A(0,−b)，F(−c,0)，直线MN的方程为y=√3x−b，把y=35b代入椭圆方程解得x=45a，∴N(45a,35b)，∵N在直线MN上，∴35b=√3×45a−b，解得ba=√32．又a2=b2+c2，∴(√32=b2+c2，解得b=√3c，令y=√3x−b=0，则M(√30)，即M(c,0)，∴M为椭圆的右焦点，∴|FM|=2c，由椭圆的定义可知，|NF|+|NM|=2a，∵△FMN的周长为6，∴2a+2c=6，∵ba =√32，∴a=2c，∴c=1，a=2，b=√3，∴S△FAN=12⋅|FM|⋅[35b−(−b)]=c⋅85b=8√35．故答案为：8√35．由题意得，A(0,−b)，F(−c,0)，直线MN 的方程为y =√3x −b ，把y =35b 代入椭圆方程可求得N(45a,35b)，于是有35b =√3×45a −b ，解得b a=√32，结合a 2=b 2+c 2，可得b =√3c.令y =√3x −b =0，则M(√30)，即M(c,0)，所以M 为椭圆的右焦点，|FM|=2c.由椭圆的定义可知，|NF|+|NM|=2a ，由于△FMN 的周长为6，所以2a +2c =6，因此c =1，a =2，b =√3，所以S △FAN =12⋅|FM|⋅[35b −(−b)]=c ⋅85b =8√35．本题考查椭圆的定义与性质，熟练掌握椭圆中的基本关系式是解题的关键，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)设各项都为正数的等比数列{a n }的公比为q ，则q >0．∵a 2=32，a 3a 4a 5=8，∴{a 2=a 1q =32a 3a 4a 5=a 43=(a 1q 3)3=8，解得：a 1=27，q =14，所以a n =29−2n ，n ∈N ∗； (2)由(1)知b n =log 2a n =9−2n ，|b n |={9−2n,1≤n ≤42n −9,n >4，当1≤n ≤4时，T n =n ×7+9−2n2=8n −n 2；当n >4时，T n =(7+5+3+1)+1+2n−92×(n −4)=n 2−8n +32，所以T n ={8n −n 2,1≤n ≤4n 2−8n +32,n >4．【解析】(1)设等比数列{a n }的公比为q ，由题设条件列出q 与首项a 1的方程组，解出q ，a 1，即可求得通项公式；(2)先由(1)中求得的a n 求出b n ，再求|b n |，最后求得T n ．本题主要考查等比数列的通项公式、等比中项的性质、等差数列的前n 项和公式、指数化简、分段函数等知识点，属于基础题．18.【答案】解：(1)甲药的治愈率更高， (2)甲药的疗效更好，理由一：从茎叶图可以看出，有910的叶集中在茎0，1上，而服用乙药患者的治疗时间有35的叶集中在茎1，2上，还有110的叶集中在茎3上，所以甲药的疗效更好．理由二：从茎叶图可以看出，服用甲药患者的治疗的时间的中位数为10天，而服用乙药患者的治疗时间的中位数为12.5天，所以甲药的疗效更好．理由三：从茎叶图可以看出，服用甲药患者的治疗的时间的平均值为10天，而服用乙药患者的治疗时间的平均值为15天，所以甲药的疗效更好．(3)由(2)中茎叶图可知，服用甲药患者的治疗时间的平均值和方差分别为x −=4+5+6+8+10+10+11+12+12+2210=10， s =√36+25+16+4+0+0+1+4+4+14410=√23.4≈4.8，则x −−3s ≈−4.4，x −+3s ≈24.4，而26>24.4，应该对该患者进行进一步检查．【解析】(1)结合条形等高图即可直接判断；(2)从茎叶图的集中趋势，中位数，平均值方面分析即可判断；(3)分别求出x−，s，然后代入公式即可求解，作出判断即可．本题主要考查了利用等高条形图，茎叶图，平均值，方差等知识，体现了数据分析，数学核心素养．19.【答案】解：(1)证明：∵直四棱柱ABCD−A1B1C1D1，∴AA1⊥平面ABCD，∵CM⊂平面ABCD，∴AA1⊥CM，∵底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，M是AB的中点，∴CM⊥AB，∵AA1∩AB=A，AA1⊂平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1，∴CM⊥平面ABB1A1，∵B1N⊂平面ABB1A1，∴CM⊥B1N，∵M是AB中点，N为AA1中点，AA1=√2AB，∴A1B1AN =AB12AA1=√2，A1NAM=12AA112AB=√2，∵∠B1A1N=∠NAM=90°，∴△A1B1N∽△ANM，∴∠A1B1N=∠ANM，∠A1NB1=∠AMN，∴∠A1NB1+∠ANM=90°，∴B1N⊥MN，∵MN∩CM=M，∴B1N⊥平面CMN，∵B1N⊂平面B1NC，∴平面B1NC⊥平面CMN．(2)∵在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，AA1=√2AB，AB=2，M，N分别为AB，AA1的中点．∴MN=√AM2+AN2=√3，B1M=√BM2+B1B2=3，B1C=√BC2+B1B2=2√3，B1N=√A1B12+A1N2=√6，∵底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴CM=√3，CN=√AC2+AN2=√6，由(1)知B1N⊥平面CMN，设点B1到平面CMN的距离为ℎ1，ℎ1=√6，∵CN2=MN2+CM2，∴S△CMN=12×√3×√3=32，∴V B1−CMN =13×S△CMN×ℎ1=√62，∵B1M=3，B1C=2√3,CN=√3，∴S△B1CM =12×√3×3=3√32，设N到平面B1CM的距离为ℎ2，∵V B1−CMN =V N−B1CM=13×S△B1CM×ℎ2，∴13×3√32×ℎ2=√62，解得ℎ2=√2．∴点N到平面B1MC的距离为√2．【解析】(1)推导出AA1⊥平面ABCD，AA1⊥CM，CM⊥AB，从而CM⊥平面ABB1A1，进而CM⊥B1N，推导出△A1B1N∽△ANM，从而∠A1B1N=∠ANM，∠A1NB1=∠AMN，进而B1N⊥MN，B1N⊥平面CMN，由此能证明平面B1NC⊥平面CMN．(2)求出点B1到平面CMN的距离为ℎ1=√6，设N到平面B1CM的距离为ℎ2，由V B1−CMN =V N−B1CM=1 3×S△B1CM×ℎ2，能求出点N到平面B1MC的距离．本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)设A(a,0)，B(0,b)，M(x,y)，由点F(1,0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以(−a,b)⋅(1,−b)=−a −b 2=0，又B 为AM 的中点，所以x+a 2=0，y2=b ，所以a =−x ，将a =−x ，b =y2代入a =−b 2，可得y 2=4x ，所以C 的方程为y 2=4x ；(2)由(1)可得抛物线C 的方程为y 2=4x ，令x =t ，可得y =±2√t ，设P(t,2√t)，Q(t,−2√t)，由P ，Q 关于x 轴对称，所以过G ，P ，Q 三点的圆E 的圆心在x 轴上，设E(m,0)，由|EG|=|EP|，G(3,−2)，可得√(m −3)2+(0+2)2=√(m −t)2+(0−2√t)2，化简整理可得m =t 2+4t−132t−6，圆E 的方程为(x −m)2+y 2=(m −3)2+4，令y =−2，可得x 1=2m −3，x 2=3，所以圆E 在直线y =−2上截得的弦长为|x 1−x 2|=|2m −3−3|=|t 2+4t−132t−6−6|=|t 2−2t+5t−3|，又因为t −3>0，且t 2−2t +5>0，所以t 2−2t+5t−3>0，所以|x 1−x 2|=t 2−2t+5t−3=(t −3)+8t−3+4≥2√(t −3)⋅8t−3+4=4+4√2，当且仅当t −3=8t−3，即t =3+2√2(3−2√2舍去)时取得等号．所以当t =3+2√2时，圆E 在直线y =−2上截得的弦长的最小值为4+4√2．【解析】(1)设A(a,0)，B(0,b)，M(x,y)，运用向量的数量积的坐标表示和中点坐标公式，结合代入法，化简可得所求曲线C 的方程； (2)设P(t,2√t)，Q(t,−2√t)，设E(m,0)，由|EG|=|EP|，运用两点的距离公式，求得圆E 的方程，再令y =−2，求得圆在直线y =−2上截得的弦长，结合基本不等式，即可得到所求最小值．本题以直线和抛物线、圆为载体，借助动圆在定直线截得的弦长为背景，利用函数与方程思想和基本不等式解决几何问题，主要考查抛物线的定义、几何性质、直线和抛物线的位置关系和圆的弦长及最值问题等知识，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思维能力．21.【答案】解：(1)g′(x)=a−2x x，x >0，(i)当a ≤0时，g′(x)<0，函数在(0,+∞)上单调递减，(ii)当a >0时，易得函数在(0,12a)上单调递增，在(12a,+∞)上单调递减， (2)要使不等式f(x)≥g(x)恒成立即xe x e−3≥alnx −2x 恒成立，即xe x −aelnx +2ex −3e ≥0，令u(x)=xe x −aelnx +2ex −3e ，则u(1)=0，要使得原不等式成立，则u(x)在x =1处取得极小值，因为u′(x)=(x+1)xe x +2ex−aex，所以u′(1)=0可得a =4，检验a =4时，u′(x)=x(x+1)e x +2ex−4ex，设v(x)=x(x +1)e x +2ex −4e ，且v(1)=0，显然v(x)在(0,+∞)上单调递增，当x ∈(0,1)时，v(x)<0，即u′(x)<0，u(x)单调递减，当x ∈(1,+∞)时，v(x)>0，即u′(x)>0，u(x)单调递增，故u(x)的最小值u(1)=0，满足题意，综上a =4．【解析】(1)先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a 进行分类讨论即可求解；(2)要使不等式f(x)≥g(x)恒成立即xe x −aelnx +2ex −3e ≥0，构造函数u(x)=xe x −aelnx +2ex −3e ，结合函数的性质及导数即可求解．本题主要考查了导数在研究函数中的应用，用导数研究函数的单调性及不等式的恒成立为载体，综合考查分类讨论及转化思想的应用．22.【答案】解：(1)设M(x,y)依题意得：x =2cosφ，y =sinφ，所以M(2cosφ,sinφ)，由于cos 2φ+sin 2φ=1，整理得x 24+y 2=1．(2)由于直线l 1的倾斜角为α(0≤α<π2)，且l 1⊥l 2，所以直线l 2的倾斜角为α+π2．依题意易知：F(−√3,0).可设直线l 1的方程为{x =−√3+tcosαy =tsinα(t 为参数)，代入x 24+y 2=1得到：(1+3sin 2α)t 2−2√3tcosα−1=0，易知△=12cos 2α+4(1+3sin 2α)=16>0．点D 和点E 对应的参数为t 1和t 2，所以t 1+t 2=2√3cosα1+3sin 2α，t 1t 2=−11+3sin 2α．则|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=41+3sin 2α，由参数的几何意义：1|EF|+1|FD|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1−t 2||t 1t 2|=4．设G 、H 对应的参数为t 3和t 4，同理对于直线l 2，将α换为α+π2，所以|GH|=|t 3−t 4|=√(t 3+t 4)2−4t 3t 4=41+3cos α．由于1|FE|，|GH|，1|FD|依次成等差数列，所以1|EF|+1|FD|=2|GH|，则：41+3cos 2α=2，所以cos 2α=13，解得tanα=√2，所以直线l2的斜率为−√22．所以直线l2的直角坐标方程为x+√2y+√3=0．【解析】(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用直线和椭圆的位置关系的应用和一元二次方程根和系数关系式的应用及等差数列的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，一元二次方程根和系数关系式的应用，等差数列的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．23.【答案】证明：(1)∵a，b，c为正实数，且满足a+b+c=1，∴b+c−1=−a<0，∴|a−12|+|b+c−1|=|a−12|+|−a|≥|(a−12)+(−a)|=12．当且仅当(a−12)(−a)≥0，即0≤a≤12时，等号成立．∴|a−12|+|b+c−1|≥12；(2)(a3+b3+c3)(1a2+1b2+1c2)≥3abc(1a2+1b2+1c2) =3bca+3acb+3abc=32(2bca+2acb+2abc)=32[a(cb+bc)+b(ca+ac)+c(ab+ba)]≥32(2a√cb⋅cb+2b√ca⋅ac+2c√ab⋅ba)=3(a+b+c)=3．当且仅当a=b=c=13时等号成立．∴(a3+b3+c3)(1a2+1b2+1c2)≥3．【解析】(1)由a，b，c为正实数，且满足a+b+c=1，得到b+c−1=−a<0，由绝对值不等式的性质可得|a−12|+|b+c−1|=|a−12|+|−a|≥|(a−12)+(−a)|=12；(2)(a3+b3+c3)(1a2+1b2+1c2)≥3abc(1a2+1b2+1c2)=32(2bca+2acb+2abc)，拆项后再由基本不等式的性质证明．本题考查绝对值不等式的应用，考查基本不等式性质的应用，考查灵活变形能力，是中档题．。

2020年深圳市普通高中高三年级第二次调研考试文科数学试题(含答案)

所以
A1B1 AN
=
AB 1 2 AA1
=
2，
A1 N AM
=
1 2
AA1
1 AB
=
2
2，
因为 B1A1N = NAM = 90 ，所以 A1B1N ∽ ANM ，
所以 A1B1N = ANM ， A1NB1 = AMN ，
所以 A1NB1 + ANM = 90 ，所以 B1N ⊥ MN ，因为 MN CM = M ， MN 平面 CMN ， CM 平面 CMN ，
………………10 分
所以 SB1CM
=
1 2
33= 3 3 ， 2
设点 N 到平面 B1CM 的距离为 h 2 ，
因为 VB1 −CMN
= VN −B1CM
1 = 3 SB1CM
h2 ，
………………11 分
所以
1 3
33 2
h2
=
6， 2
因此 h2 = 2 ．
………………12 分
方法二：因为直四棱柱 ABCD − A1B1C1D1 ， AB = 2 ， M 为 AB 中点， N 为 AA1 中点
由（1）知 B1N ⊥ 平面 CMN ，设点 B1 到平面 CMN 的距离为 h1 ，则 h1 = 6 ，………9 分
因为 CN 2
=
MN 2
+ CM 2 ，所以 SCMN
=
1 2
3
3=3， 2
因此 VB1 −CMN
=
1 3 SCMN
h1
=
6． 2
因为 B1M = 3 ， B1C = 2 3 ， CM = 3 ，
5
5
a2
所以 e =

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