河北省邢台市临西实验中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题含答案

临西实验中学2019-2020学年高一下学期期末考试数 学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上．3．本试卷主要考试内容：人教A 版必修5，必修2前三章．第Ⅰ卷一、选择题1．下列几何体中是四棱锥的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且13a =，公差2d =，则5S =（ ） A ．30B ．35C ．40D ．453．在ABC △中，4B π=，sin 8A =，4AC =，则BC =（ ） A ．5B ．6C ．7D ．84．若关于x 的不等式220ax ax ++≥的解集为R ，则a 的取值范围为（ ） A ．(]0,4B ．[]0,4C ．(]0,8D ．[]0,85．已知点()2,5A ，()1,6B ，则直线AB 的倾斜角为（ ） А．34π B ．23πC ．3π D ．4π 6．在正项等比数列{}n a 中，2256892100a a a a ++=，则59a a +=（ ） A ．5B ．10C ．20D ．507．已知直线240x y +-=与直线230x my m +++=平行．则它们之间的距离为（ ）AB C D 8．已知a c >，b d >，则下列结论正确的是（ ）A ．()()22a b c d +>+ B ．0ab cd ad bc +-->C ．ab cd >D ．a b c d ->-9．已知直线:30l x y ++=，直线:260m x y -+=，则m 关于l 对称的直线方程为（ ） A ．630x y ++= B ．630x y -+= C ．260x y ++=D ．230x y -+=10．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给出下列命题： ①若//m α，n α⊥，则m n ⊥；②若m α⊥，//m β，则αβ⊥； ③若m α⊂，n β⊂，//αβ，则//m n ；④若m n ⊥，m α⊥，则//n α． 其中所有真命题的序号是（ ） A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．②11．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1cos 2c a b A =+，2b a c =+，则ABC △的形状为（ ） A ．等腰非等边三角形 B ．直角非等腰三角形 C ．等边三角形D ．钝角三角形12．在三棱锥S ABC -中，5SA BC ==，SB AC ==SC AB ==面积为（ ） A ．20πB ．25πC ．26πD ．34π第Ⅱ卷二、填空题13．已知直线l 的斜率为2，且经过点()2,5--，则直线l 的一般式方程为_____． 14．已知某圆柱的侧面展开图是边长为6的正方形，则该圆柱的体积为_____．15．有A ，B ，C 三座城市，其中A 在B 的正东方向，且与B 相距100km ，C 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距300km ．一架飞机从A 城市出发，以400/km h 的速度向C 城市飞行，飞行30min 后，接到命令改变航向，飞往B 城市，此时飞机距离B 城市_____km ． 16．已知正数a ，b 满足2a b +=，则2238a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为_____． 三、解答题17．在等差数列{}n a 中，已知24a =，410a =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设{}n a 的前n 项和为n S ，若70n S =，求n 的值． 18．求出满足下列条件的直线方程．（1）经过点()3,2A -且与直线340x y +-=垂直； （2）经过点()2,7B 且在两条坐标轴上的截距相等．19．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c，且sin cos b C B =． （1）求B ；（2）若b =，4ac =，求ABC △的周长．20．在三棱锥D ABC -中，AB BC ==4DA DC AC ===，平面ADC ⊥平面ABC ，点M 在棱BC 上．（1）若M 为BC 的中点，证明：BC DM ⊥．（2）若三棱锥A CDM -的体积为23，求M 到平面ABD 的距离．21．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，1AA ⊥平面ABCD ，O 为11A C 的中点，且2AB =．（1）证明：//OD 平面1AB C ．（2）若异面直线OD 与1AB 所成角的正切值为13，求三棱柱111ABC A B C -的体积． 22．在数列{}n a 中，114a =，1340n n a a +-+=． （1）证明：数列{}2n a -是等比数列． （2）设()()()113131nnn nn a b +-=++，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，若对任意的n N *∈，n m T ≥恒成立．求m的取值范围．数学参考答案1．C 由四棱锥的定义可知选C ．2．B因为13a =，2d =．所以5151035S a d =+=． 3．A由正弦定理知sin sin BC ACA B=，解得5BC =． 4．D由题知当0a =时符合条件；当0a ≠时，20,80,a a a >⎧⎨-≤⎩解得08a <≤．综上，a 的取值范围为[]0,8．5．A由题知直线AB 的斜率65112k -==--，故直线AB 的倾斜角为34π． 6．B因为数列{}n a 为等比数列，所以()22222568955995922100a a a a a a a a a a ++=++=+=，又0n a >，所以5910a a +=． 7．C因为直线240x y +-=与直线230x my m +++=平行，所以4m =，则它们之间的距离为=8．B因为a c >，b d >，所以()()0ab cd ad bc a c b d +--=-->，B 正确，其他选项可以用特值法判断出都是错误的． 9．D由题知直线l 与直线m 交于点()3,0P -，且点()0,6M 在m 上，设点M 关于l 对称的点的坐标为(),N a b ，则61,630,22b aa b -⎧=⎪⎪⎨+⎪++=⎪⎩解得9,3,a b =-⎧⎨=-⎩则直线MN 的方程为230x y -+=，即m 关于l 对称的直线方程为230x y -+=． 10．A易知①②正确；对于③，m ，n 可能平行，也可能异面，所以③错；对于④，n 可能平行于α，也可能n 在平面α内，所以④错，选A ．11．C 因为1cos 2c a b A =+，所以1sin sin sin cos sin cos cos sin 2C A B A A B A B =+=+，又sin 0A ≠，所以1cos 2B =，3B π=，又因为2b a c =+，所以2sin sin sin B A C =+=，即sin sin 3C C π⎛⎫++= ⎪⎝⎭3C π=，故ABC △的形状为等边三角形．12．C因为5SA BC ==，SB AC ==，SC AB ==S ABC -如图放置于一个长方体中，设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，则有22222217,25,10,a b a c b c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩整理得22226a b c ++=，则该棱锥外接球的半径2R =，2426S R ππ==球． 13．210x y --= 因为直线l 的斜率为2，且经过点()2,5--，所以直线l 的方程为()522y x +=+，即210x y --=．14．54π 由题意知该圆柱的底面半径为3π，高为6，故该圆柱的体积为23546πππ⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭．15．如图，由题意可知100AB km =，300AC km =，200AD km =，120BAD ∠=︒，则22212cos 10000400002100200700002BD AB AD AB AD BAD ⎛⎫=+-⋅∠=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，故BD =．16．49 因为正数a ，b 满足2a b +=，所以229438493749b a b aa b a b a b⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++≥ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．当且仅当65a =，45b =时，等号成立 17．解：1．设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得114,310,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得11,3,a d =⎧⎨=⎩故()1132n a a n d n =+-=-．2．因为{}n a 的前n 项和为n S ，所以()2137022n n n a a n n S +-===，整理得()()32070n n +-=，故203n =-（舍去）或7n =． 18．解：1．因为所求的直线与直线340x y +-=垂直，所以所求的直线的斜率为3，又直线经过点()3,2A -，所以该直线方程为()233y x -=+，即3110x y -+=．2．当所求的直线与两条坐标轴上的截距均为0时，因为直线经过点()2,7B ，所以该直线方程为720x y -=；当所求的直线与两条坐标轴上的截距相等且不为0时，则设该直线方程为0x y b ++=，将点()2,7B 代入方程得9b =-，即所求的直线方程为90x y +-=．19．解：1．因为sin cos b C B =，所以sin sin cos B C C B =．又sin 0C ≠，所以sin B B =，即tan B =0B π<<，所以23B π=．2．由余弦定理得()22222cos b a c ac B a c ac =+-=+-．因为b =，4ac =，所以4a c +=．故ABC △的周长为4+20．1．证明：取AC 的中点O ，连接OB ，OD ，因为DA DC =，所以OD AC ⊥．又因为平面ADC ⊥平面ABC ，且相交于AC ，所以OD ⊥平面ABC ，所以OD OB ⊥．因为222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥，所以OB OC =，所以OBD OCD △△≌，所以DB DC =，且M 为BC 的中点，所以BC DM ⊥．2．解：163D ABC V DO BC AB -=⋅⋅=，所以33D ABM V -=-=．在ABD △中，12ABDS =⨯=△，设M 到平面ABD 的距离为h ，则13ABD D ABM S h V -⋅=△，解得7h =．所以M 到平面ABD 的距离为7．21．1．证明：连接1OB ，连接BD 交AC 于G ，连接1B G ．易证1//OB DG ，且1OB DG =，所以四边形1OB GD 为平行四边形，所以1//OD B G ．因为1B G ⊂平面1AB C ，OD ⊄平面1AB C ，所以//OD 平面1AB C ．2．解：由1知，1//OD B G ，所以异面直线OD 与1AB 所成角即直线1B G 与1AB 所成角，所以11tan 3AB G ∠=．因为底面ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥，又侧棱垂直底面，所以1BB AC ⊥．因为1BB BD B ⋂=，所以AC ⊥平面11BB D D ，所以1AC B G ⊥．因为AG =11tan 3AB G ∠=所以1B G =14BB ==． 故三棱柱111ABC A B C -的体积212482V =⨯⨯=． 22．解：1．证明：因为1340n n a a +-+=，所以134n n a a +=-，所以()1232n n a a +-=-，即()1232n n a n N a *+-=∈-．因为114a =，所以1212a -=，故数列{}2n a -是以12为首项，3为公比的等比数列． 2．解：由1可得1212343n n n a --=⨯=⨯，即432n n a =⨯+，则()()()()()()()()11114321111313131313131nnnn nn n n nn nn a b +++-⨯+-⎛⎫===-+ ⎪++++++⎝⎭． 当n 为偶数时，223111111111111111131313131313131313131431n n n n n n n T -+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+++⋅⋅⋅+--++=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为111431n n T +=-++是递减的，所以13414n T -<≤-． 当n 为奇数时，223111111111111111131313131313131313131431n n n n n n n T -+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+++⋅⋅⋅+++--=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为11031n +>+，所以14nT <-． 要使对任意的n N *∈，n m T ≥恒成立，只需()max n m T ≥，即314m ≥-， 故m 的取值范围是3,14⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．。