21.3二次根式的加减1课件
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新人教版九上课件21.3 .1二次根式的加减(1)-
21.3二次根式的加减（1） 二次根式的加减（ ） 二次根式的加减
问题： 问题：
现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用 、 的木板， 现有一块长 的木板 如图的方式， 如图的方式，在这块木板上截出两个分别是 8dm2和18dm2的正方形木板？ 的正方形木板？
8 + 18 化成最简二次根式） = 2 2 + 3 2 （化成最简二次根式）
先化简, 先化简,后合并
练习1： 练习 ： (1) 18 − 8
= 2
(2) 75 + 27 = 8 3 1 (3) 48 + 6 =6 3 3
(4)下列计算正确的是（ ） (4)下列计算正确的是（Ｄ A. 5 − 2 = 3 B.8 + 3 2 = 11 2 C.4 5 − 5 = 4
3 1 D. a − a =− a 2 2
3
解：
3 4
x
=3 3+ 5
练习2计算： （1） 80 − 20 + 5
= 5
（2） 18 + 98 − 27） = 10 2 − 3 3 （ 1 1 （3）( 24 + 0. − ( 5) − 6) = 3 6 + 2 4 8 1 1 (4) 32 − 3 + 10 0.08 − 48 = 4 2 − 3 3 2
π
d
练习4下列计算正确的是（B） A. 2x + 3 x = 5 x B.2a x − 3b x = (2a − 3b) x C.4 5 × 5 5 = 20 5 14a − 22b D. = 7 a − 11b 2
5计算： (1) 75 + 2 8 − 200 (2)2 20 − 3 45 + 80 (3)2 48 − ( 27 + 243) (4)(5 75 − 4 12) − (5 108 − 3 27)
问题： 问题：
现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用 、 的木板， 现有一块长 的木板 如图的方式， 如图的方式，在这块木板上截出两个分别是 8dm2和18dm2的正方形木板？ 的正方形木板？
8 + 18 化成最简二次根式） = 2 2 + 3 2 （化成最简二次根式）
先化简, 先化简,后合并
练习1： 练习 ： (1) 18 − 8
= 2
(2) 75 + 27 = 8 3 1 (3) 48 + 6 =6 3 3
(4)下列计算正确的是（ ） (4)下列计算正确的是（Ｄ A. 5 − 2 = 3 B.8 + 3 2 = 11 2 C.4 5 − 5 = 4
3 1 D. a − a =− a 2 2
3
解：
3 4
x
=3 3+ 5
练习2计算： （1） 80 − 20 + 5
= 5
（2） 18 + 98 − 27） = 10 2 − 3 3 （ 1 1 （3）( 24 + 0. − ( 5) − 6) = 3 6 + 2 4 8 1 1 (4) 32 − 3 + 10 0.08 − 48 = 4 2 − 3 3 2
π
d
练习4下列计算正确的是（B） A. 2x + 3 x = 5 x B.2a x − 3b x = (2a − 3b) x C.4 5 × 5 5 = 20 5 14a − 22b D. = 7 a − 11b 2
5计算： (1) 75 + 2 8 − 200 (2)2 20 − 3 45 + 80 (3)2 48 − ( 27 + 243) (4)(5 75 − 4 12) − (5 108 − 3 27)
华师大版初中数学九年级上册 21.3 二次根式的加减课件 (共24张PPT)
1 3a 2 3, a
45 3 5,
12
4 2 12 3 8 3 3 3
（2）将被开方数相同的二次根式相加. 解： 3 48 1 3a 2 12 4 2 a 3
6 3 3 8 3
(6 1 8) 3
3
经典例题
例3. 已知：最简根式2x-y-2 3x-y+2与3y-x-1 2x-5y+13
2 2 54(a 3 +2a 2 +a) 3 6a(a 1) 观察 5 5 6a =3 (a +1) 5 6a 5 =3 (a +1) 55 3 (a +1) = 30a. 5
新识导入
同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方 数相同，这几个二次根式叫同类二次根式.
②要求被开方数中各因式的指数应该小于根指数2.
如 27x，
知识回顾
最简二次根式
化简二次根式的一般步骤： ①将被开方数分解质因数或因式分解，写成幂的积的形式. ②根据被开方数每个因式的指数小于2的要求，把开得尽方的因式用算术根 代替移到根号外面. ③根据根号内不含分母的要求，利用分式的性质，化去根号内的分母.
知识回顾
1. 最简二次根式 (1)什么叫做最简二次根式？ 满足下列两个条件： ①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. (2)如何理解这两个条件？ ①要求被开方数中不含分母或分母中不含根号.
y 如 , x a 都不符合这个条件. 5
1 2a 3 都不符合这个条件，而 m 2 9是最简二次根式. 3
3
4x 2x 35x
2
3x 2x 2x 2
21.3.1二次根式的加减优秀课件
学习------始于知识梳理； 行于题型巩固； 终于方法提炼.
温馨提示：请做好课前准备！
华师大版九年级数学上册 21.3.1
县初中中学
刘晓颖
(X)
复习巩固
二次根式计算、化简的结果符合什
么要求？
1
2
（1）被开方数不含分母；分母不含根号；
1
（X）
2
（2）被开方数中不含能开得 方的因数或因式.
12 （X）
C. 4ab, ab2
D. a 1, a 1
2. 与 12 是同类二次根式的是( )
A. 32 B. 24 C. 125 D. 6 1
27
3.如果最简二次根式 mn2 2 与 m n 是同类二次根式,求m、n 的值.
练习1：
(4)下列计算正确的是（ ）
A. 5 2 3 B.8 3 2 11 2
互助活动：请互助组相互纠错，分析易错点，并展 示分享.
例3：计算
(1)x 1 4 y x y 1 (x 0, y 0);
x
2
y
（2）2 9x 6 x 2x 1
3
4
x
互助活动：请互助组相互纠错，分析易错点，并展 示分享.
小结分享
请谈一谈通过本节课的复习你有哪些收获？
1.知识：........................................................... 2.思想、方法：...............................................
新课引入
(1)2x 3x =5x (2)3x 3y；
以下问题你能用同样的方法计算吗？
(1)3 3 2 3
(2)3 a 2 a
温馨提示：请做好课前准备！
华师大版九年级数学上册 21.3.1
县初中中学
刘晓颖
(X)
复习巩固
二次根式计算、化简的结果符合什
么要求？
1
2
（1）被开方数不含分母；分母不含根号；
1
（X）
2
（2）被开方数中不含能开得 方的因数或因式.
12 （X）
C. 4ab, ab2
D. a 1, a 1
2. 与 12 是同类二次根式的是( )
A. 32 B. 24 C. 125 D. 6 1
27
3.如果最简二次根式 mn2 2 与 m n 是同类二次根式,求m、n 的值.
练习1：
(4)下列计算正确的是（ ）
A. 5 2 3 B.8 3 2 11 2
互助活动：请互助组相互纠错，分析易错点，并展 示分享.
例3：计算
(1)x 1 4 y x y 1 (x 0, y 0);
x
2
y
（2）2 9x 6 x 2x 1
3
4
x
互助活动：请互助组相互纠错，分析易错点，并展 示分享.
小结分享
请谈一谈通过本节课的复习你有哪些收获？
1.知识：........................................................... 2.思想、方法：...............................................
新课引入
(1)2x 3x =5x (2)3x 3y；
以下问题你能用同样的方法计算吗？
(1)3 3 2 3
(2)3 a 2 a
二次根式的加减PPT课件
1＋912＋1102
人教版 九年级上
第十九章 生活用电
第1节 家庭电路
课堂导练
3．下图是家庭电路的组成，请填出各组成部分的名称。
①__电__能__表__；②_总__开__关__；③_保__险__装__置__；④_三__孔__插__座__； ⑤__火__线____；⑥__零__线____；⑦___地__线___。
19 见习题
15 C
答案显示
1．同类二次根式：将几个二次根式化成_最__简__二__次__根__式___， 如果被开方数__相__同____，那么这样的二次根式称为同类 二次根式．
2．二次根式的加减，与整式的加减类似，关键是将 _同__类__二__次__根__式_ 合 并 ． 其 步 骤 为 先 将 二 次 根 式 化 为 最__简__二__次__根__式__，再将同类二次根式合并．
课后训练
13．(2020·常州)请以笔画线代替导线，将三孔插座、开关控 制的电灯接入电路。 解：如图所示。
课堂导练
【点拨】开关应安装在火线上，当断开开关时，用电器与 火线断开，不会发生触电事故； 空气开关“跳闸”后，电 流无法形成通路，故家庭电路整体上处于断路状态；零线、 地线和大地间的电压都是0 V，用试电笔分别接触零线与 地线时，氖管都不发光，所以试电笔不能辨别零线与地线， 但试电笔可以辨别火线和零线。 【答案】火；断路；不能
【答案】会；44
课后训练
1．下列各式中，与 2 是同类二次根式的是( C ) A. 3 B. 4 C. 8 D. 12
2.下列二次根式中，与 a 是同类二次根式的是( C ) A. a2 B. 2a C. 4a D. 4＋a
3.下列二次根式中，与 20是同类二次根式的是( B )
21.3 二次根式的加减(课件)华东师大版数学九年级上册
第一课时 二次根式的加减
返回目录
归纳总结
考
点
判断几个二次根式是否可以合并，只与化为最简二次根
清
单 式之后的被开方数和根指数有关，而与根号外的因式无关.
解
读
第一课时 二次根式的加减
考
点
清
单
解
读
对点典例剖析
典例2
（1）
计算：
+
；
（2） - + ；
（3） +
被开方数相同的最简二次根式时，常采用作差法比较大小
）
第一课时 二次根式的加减
返回目录
方
例 比较大小：7- ______3- （选填“＞”“=”
法
技 或“＜”）.
巧
点
［解析］∵（7- ）-（3- ）=7-2 -3+ =4拨
＞0，∴7- ＞3- .
［答案］ >
第二课时 二次根式的混合运算
的方法
几个二次根式化成最简二次根式以后，若被开
方数相同，则这几个二次根式是同类二次根式
第一课时 二次根式的加减
返回目录
考
点
清 合并同 将同类二次根式的系数相加作为结果的系数，
单
解 类二次 被开方数和根指数不变
读 根式 如m +n =（m+n） ，
的法则 m -n =（m-n）
第一课时 二次根式的加减
易
错
易
混
分
析
返回目录
［答案］ D
［易错］ B 或 C
［错因］ 忽略 和 不能合并，直接把根号下
的数按有理数相加减.
21.3二次根式的加减 课件1(人教版九年级上册)
句容市郭庄中学 戚甜甜
同类二次根式
1.问题的提出：
两地点间的路程由多条线段首尾相接而成， 等于 a a 4 2 b a b ， 则路程可简单表示为 ？
若a
8, b 18 , 则 ？
(1)
（1）式的化简过程与整式加减运算中的 合并同类项类似。
同类二次根式
2.问题的延续：
若路程等于 8 18 4 2 ， 则如何化简？zxxk
③ 是
2 ④ 3
② 12
2
3
27
是同类二次根式的 （C ）
A．①主探究:
2、下列各式，哪些是同类二次根式：
1 1 2 a 3 2, 48, , , 3, , 8ab , 6b 2 27 3 2b
3、说出 20 的三个同类二次根 式;
自主合作:
讨论: (1)要进行二次根式加减运算,它们具备 什么特征才能进行合并？
注意:不是同类二次根式的二 次根式(如 2 与 3 不能合并)
例1：计算
（4）
1 1 (2 3 8 ) ( 12 50 ) （5） 2 5
自主探究:
例2 如图，两个圆的 圆心相同，面积分别 为8cm2,18cm2.求圆 环的宽度（两圆半径 之差）.
计算
• 4.
1 1 (1) 75 2 5 3 108 3 3 1 1 5 4 (2)(5 20) ( 45) 5 2 4 5 1 a 2 2 (3) 32a 6a 3a ( a 0) 4 18 a
自主拓展:
请同学们完成： 课本p72 练习1，2，3
自主评价:
1.同类二次根式的定义. 2.如何合并同类二次根式?合并同类 二次根式与合并同类项类似. 3.二次根式加减运算的步骤.
同类二次根式
1.问题的提出：
两地点间的路程由多条线段首尾相接而成， 等于 a a 4 2 b a b ， 则路程可简单表示为 ？
若a
8, b 18 , 则 ？
(1)
（1）式的化简过程与整式加减运算中的 合并同类项类似。
同类二次根式
2.问题的延续：
若路程等于 8 18 4 2 ， 则如何化简？zxxk
③ 是
2 ④ 3
② 12
2
3
27
是同类二次根式的 （C ）
A．①主探究:
2、下列各式，哪些是同类二次根式：
1 1 2 a 3 2, 48, , , 3, , 8ab , 6b 2 27 3 2b
3、说出 20 的三个同类二次根 式;
自主合作:
讨论: (1)要进行二次根式加减运算,它们具备 什么特征才能进行合并？
注意:不是同类二次根式的二 次根式(如 2 与 3 不能合并)
例1：计算
（4）
1 1 (2 3 8 ) ( 12 50 ) （5） 2 5
自主探究:
例2 如图，两个圆的 圆心相同，面积分别 为8cm2,18cm2.求圆 环的宽度（两圆半径 之差）.
计算
• 4.
1 1 (1) 75 2 5 3 108 3 3 1 1 5 4 (2)(5 20) ( 45) 5 2 4 5 1 a 2 2 (3) 32a 6a 3a ( a 0) 4 18 a
自主拓展:
请同学们完成： 课本p72 练习1，2，3
自主评价:
1.同类二次根式的定义. 2.如何合并同类二次根式?合并同类 二次根式与合并同类项类似. 3.二次根式加减运算的步骤.
课题：21.3 二次根式的加减(第1课时)
徐闻县和安中学 数学教研组 ◆九年级数学导学案 ◆◆我们的约定：我的课堂 我作主！执笔：黄志强 校审：林朝清课题：21.3 二次根式的加减（第1课时）1、理解和掌握二次根式加减的合并，能进行．二次根式加减的合并。
2、掌握二次根式加减法则，会运用它进行根式的加减计算和化简．一、课前小测计算下列各式．（口答）（1）2x+3x ； （2）2x 2－3x 2+5x 2； （3）x+2x+3y ； （4）3a 2－2a 2+a 3二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一： 二次根式合并的条件 例1、下列各组二次根式中，哪些能合并，哪些不能合并？（1）2712和 （2）3231和（3）a 和a 12545●跟踪训练1. 下列二次根式中，能与3合并是 （ ）A. 24B. 32C. 23 D.432.已知二次根式42-a 与2可以合并，则a 的值是 （ ）A.5B.6C.7D.8探究任务二．二次根式的加减（1）2322+ （2）23233+-议一议：什么样的二次根式可以合并？举例说明。
归纳：二次根式加减时，先将二次根式化成______________，•再将_________相同的二次根式进行合并．同类二次根式：________________________.※ 典型例题例2．计算（1（2（3（4●跟踪训练1.） A.6B.C. 2D.2．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（ ）．A ．BC ．D ．以上都不对 例3．计算 （1）－（2）+● 跟踪训练（1）(2) -三、总结提升 ※ 学习小结本节课要掌握__________________________________________________。
21.3 二次根式的加减 课件(人教版九年级上)
4． 已知a， b是正整数， 且 a＋ b＝
1998 ，求a＋b的值．
则 m 222 ＋ n 222 ＝ 3 222 ，即 （m＋n） 222 ＝ 3 222 ， ∴ m＋n＝3． ∵ m，n是正整数， ∴ m＝1，n＝2或m＝2，n＝1． ∴ a＝222，b＝888 或a＝888，b ＝222． ∴ a＋b＝1110．
m 222 ，b＝ n 222 ，
3
5 xy ＝ x x ＋ 6 xy ＝
＝
1 1 1 3 6x - 1 ∴ 当x≥ 且x≠1时， 在实数 ＋6 2 2 2 6 1- x
范围内有意义．
1 2 ＋3 6 ． 4
3． 计算： （7＋ 2 5 ） （7－ 2 5 ） － 2．已知x＝ 3 － 2 ，y＝ 3 ＋ 2 ， （ 3 2 －1）2． 3 3 求x y＋xy 的值． 如果直接将x， y的值代入计算， 显 （7＋ 2 5 ） （7－ 2 5 ）可考虑使
2010 答案： 原式＝ （ 2 3 － 13 ） （2 3
得结果． 答案：因为a＝－ 3 ＜1，所以a－1＜0．
（a - 1 ） （a - 1） 原式＝ － ＝a－1－ a（a - 1） a -1
2
2
＋ 13 ）
2010
（ 2 3 ＋ 13 ）
2010
＝[（ 2 3 － 13 ） （ 2 3 ＋ 13 ）]2010 （ 2 3 ＋ 13 ） ＝ （－1） （ 2 3 ＋
一样， 需要注意运算的先后顺序； （ 3） 运用完全平方公式进行运算．
例3．计算：（ 2 3 － 13 ） ＋ 13 ）2011．
2010
（2 3
1 - 2a＋a 例4．先化简，再求值： － a -1
21.3 二次根式的加减 课件 2024-2025学年数学华东师大版九年级上册
（ A ）
A.
B. 12
C. 15
D. 30
典例导思
6. 计算：
（1）（ － ）×
解：原式＝（4 －5
＝－
＝－2.
×
；
）×
典例导思
（2） ×
− ＋ +
；
解：原式＝ －2 ＋1＋2 ＋5
＝ ＋6.
（3）（ － ）÷ －（ ＋1）（ －1）.
及乘法公式可以简化运算.
知识导航
注意：（1）判断同类二次根式前一定要先化简成最简
二次根式；
（2）计算的结果如果有二次根式一定要化简成最简二
次根式.
典例导思
题型一 同类二次根式
下列各组二次根式，是同类二次根式的是
（ D ）
A. 与
B. . 与
C. 与－2
D. 与
典例导思
题型三 二次根式的混合运算
计算：
（1） （ ＋ ）；
解：原式＝ × ＋ ×
＝3 ＋2 .
典例导思
（2）
＋
−
解：原式＝
＋
＝ ×2 ＋ × −
＝
＋1.
；
−
＋ ×2
＋
×
−
典例导思
（3）
＋ ÷ －6
A.
B. 12
C. 15
D. 30
典例导思
6. 计算：
（1）（ － ）×
解：原式＝（4 －5
＝－
＝－2.
×
；
）×
典例导思
（2） ×
− ＋ +
；
解：原式＝ －2 ＋1＋2 ＋5
＝ ＋6.
（3）（ － ）÷ －（ ＋1）（ －1）.
及乘法公式可以简化运算.
知识导航
注意：（1）判断同类二次根式前一定要先化简成最简
二次根式；
（2）计算的结果如果有二次根式一定要化简成最简二
次根式.
典例导思
题型一 同类二次根式
下列各组二次根式，是同类二次根式的是
（ D ）
A. 与
B. . 与
C. 与－2
D. 与
典例导思
题型三 二次根式的混合运算
计算：
（1） （ ＋ ）；
解：原式＝ × ＋ ×
＝3 ＋2 .
典例导思
（2）
＋
−
解：原式＝
＋
＝ ×2 ＋ × −
＝
＋1.
；
−
＋ ×2
＋
×
−
典例导思
（3）
＋ ÷ －6
21.3 二次根式的加减(课件)华师大版数学九年级上册
感悟新知
知3－练
解：(1) 原式＝( 2＋ 3－ 6＋ 2－ 3－ 6)×( 2＋ 3－
6－ 2＋ 3＋ 6)＝(2 2－2 6)×2 3＝4 6－12 2.
(2)原式＝[1＋( 2－ 3)]×[1－( 2－ 3)]＝12－( 2－ 3)2
＝1－(5－2 6)＝2 6－4.
(3)原式＝(3＋2 2)100(3－2 2)100(3－2 2)＝[(3＋2 2)·
原式＝6－3 6＋2 6－6＝－ 6；
知3－练
感悟新知
(4)(5＋ 7)×(5－ 7) ； 解：原式＝52－( 7)2＝25－7＝18；
(5)( 5＋2)2； 原式＝5＋4 5＋4＝9＋4 5；
(6)(2 3－ 2)2 . 原式＝12－4 6＋2＝14－4 6.
知3－练
课堂小结
二次根式的加减
同类二次 根式
知2－练
感悟新知
知识点 3 二次根式的混合运算
知3－讲
1. 二次根式的混合运算种类 二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算 .
2. 二次根式的混合运算顺序 与整式的混合运算顺序相同， 先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号就先算括 号里面的 .
感悟新知
知3－讲
3. 二次根式混合运算中的运算律 运算律(交换律、结合律、分配律)和整式乘法中的
(3)(4 8－8 18＋ 32÷2 2. 解题秘方：紧扣二次根式的混合运算顺序计算即可.
感悟新知
知3－练
解：(1)原式＝
8 27
×
6－5
3×
6＝
8 27
×6－5
3×6＝
43－15 2. (2)原式＝25 2－10 3＋5 12－2 18＝25 2－10 3＋10 3 －6 2＝19 2. (3)原式＝(8 2－2 2＋4 2)÷2 2＝10 2÷2 2＝5.
二次根式的加减(讲学练全套资料)精选教学PPT课件
聚焦中考
1． （ 2006． 衡 阳 ） 下 列 计 算 正 确 的 是 （
）
A 2 3＝ 5 B 2 3＝2 3
C 8 2 2＝0 D 5 1＝2
2． （ 2006． 枣 庄 ） 下 列 计 算 正 确 的 是 （
）
A 8 2＝ 2
B 27 12 ＝ 9 4＝1 3
C 2 52 5＝1
清晨，当欢快的小鸟把我从睡中唤醒，我推开窗户，放眼蓝蓝的天，绿绿的草，晶莹的露珠，清清爽爽的早晨，我感恩上天又给予我一个美好的一天。 入夜，夜幕中的天空繁星点点，我打开日记，用笨拙的笔描画着一天的生活感受，月光展露着温柔的笑容，四周笼罩着夜的温馨，我充满了感恩，感谢大地赋予的安宁。
朋友相聚，酒甜歌美，情浓意深，我感恩上苍，给了我这么多的好朋友，我享受着朋友的温暖，生活的香醇，如歌的友情。 走出家门，我走向自然。放眼花红草绿，我感恩大自然的无尽美好，感恩上天的无私给予，感恩大地的宽容浩博。生活的每一天，我都充满着感恩情怀，我学会了宽容，学会了承接，学会了付出，学会了感动，懂得了回报。用微笑去对待每一天，用微笑去对待世界，对待人生，对待朋友，对待困难。所以，每天，我都有一个好心情，我幸福的生活着每一天。
3
=12 3 -3 3 +6 3 =（12-3+6） 3 =15 3 （2）（ 48 + 20 ）+（ 12 - 5 ） = 48 + 20 + 12 - 5 =4 3 +2 5 +2 3 - 5 =6 3 + 5
反馈练习
课本 P19 练习第 1，2 题
补充练习
计练习算2:计算：
（1） 80 20 5
生活给予我挫折的同时，也赐予了我坚强，我也就有了另一种阅历。对于热爱生活的人，它从来不吝啬。 要看你有没有一颗包容的心，来接纳生活的恩赐。酸甜苦辣不是生活的追求，但一定是生活的全部。试着用一颗感恩的心来体会，你会发现不一样的人生。不要因为冬天的寒冷而失去对春天的希望。我们感谢上苍，是因为有了四季的轮回。拥有了一颗感恩的心，你就没有了埋怨，没有了嫉妒，没有了愤愤不平，你也就有了一颗从容淡然的心！ 我常常带着一颗虔诚的心感谢上苍的赋予，我感谢天，感谢地，感谢生命的存在，感谢阳光的照耀，感谢丰富多彩的生活。
人教版八年级数学下册优质课课件《二次根式的加减》
3 5 7 13.7
如图：平行四边形ABCD中，DE⊥AB，E 点在AB上，DE=AE=EB=5。求平行四边形 D C ABCD的周长？
解：∵ DE⊥AB
2
A
2 2
E
2
B
∴ AD= AE DE 5 5 5 2 ∴周长 =AB+BC+CD+AD= 10+10+ 5 2 5 2 = 20+ 10 2 答：周长为２０＋10 2
2、利用二次根式解决实际问题
再见
8m + 18m
∴在这块木板上可以截出两个分别是8m2和18m2的正方形木板．
二次根式加减运算的步骤:
(1)把各个二次根式化成最简二次 根式 (2)把被开方数相同的二次根式合 并.(只能合并被开方数相同的二次
根式）
例1 计算
12
2 3 2
2 3 2 5 2
25
34
a 6 a 5 6 a a
21.3二次根式的加减
(第1课时)
1、什么是最简二次根式？
被开方数不含分母
被开方数不含能开得尽方的因数或因式
2、下面哪些根式是最简二次根式，哪些不是？ 不是最简二次根式的，把它化简成最简二次根 式。
9 5
最简
20
2 5
1 5
5 5
80 4 5
5a a 0
2
a 5
问题引入：
有一个三角形,它的 两边长分别为 20 和 80 ,
9 5 ( 1)( 80 1 ) ( 3 45 ) 5 5 5 5
4
1
4
ab 3 a (2 ) 2 a 3ab ( 27 a 2 ab a) 2 6 4
九年级上数学《21.3 二次根式的加减》课件
回顾旧知
抢答
化简下列二次根式。
8
18
28
1 7
12 2 27
2 2 3 2
2 7
7 7
2 3
6 3
这些最简二次根式有什么特点？
新课导入
有一个三角形,它的两边长分别为 20 和 5 ， 如果该三角形的周长为 9 5 ，你能求出第三边吗?
提示 根据三角形的周长公式 C = a＋ b＋ c 求解。
？
a 20
答：35 秒后△PBQ 的面积为 35 cm2 ， PQ的距离为 5 7 cm 。
例题
计算
8 3 6 8 6 3 6
8 6 3 6
注意
4 3 3 2
（1）加减与乘除的混合运算，先乘除， 后加减，使难点分散。 （2）在运算中，对于各根式不一定要先 化简，而是先乘除，进行约分，达到化简的 目的，但最后结果一定要化简。
【情感态度与价值观】
利用规定准确计算和化简的严谨的科 学精神。 经过探索二次根式的重要结论，发展 学生观察、分析、发现问题的能力。
教学重难点
二次根式化简为最简二次根式以及二 次根式的判定。
二次根式的加减、乘除、乘方等运算 规律。 由整式运算知识迁移到含二次根式的 运算。
我们可以这样来计算
一化
二找
三合并
例题
解答
如图所示的 Rt△ABC中，∠B=90°，点 P 从点 B 开始沿 BA 边以 1 cm/s 的速度向点 A 移动。同时， 点 Q 也从点 B 开始沿 BC 边以 2 cm/s 的速度向点 C 移动。问：几秒后△PBQ 的面积为 35 cm2 ？PQ 的 距离是多少厘米？（结果用最简二次根式）
抢答
化简下列二次根式。
8
18
28
1 7
12 2 27
2 2 3 2
2 7
7 7
2 3
6 3
这些最简二次根式有什么特点？
新课导入
有一个三角形,它的两边长分别为 20 和 5 ， 如果该三角形的周长为 9 5 ，你能求出第三边吗?
提示 根据三角形的周长公式 C = a＋ b＋ c 求解。
？
a 20
答：35 秒后△PBQ 的面积为 35 cm2 ， PQ的距离为 5 7 cm 。
例题
计算
8 3 6 8 6 3 6
8 6 3 6
注意
4 3 3 2
（1）加减与乘除的混合运算，先乘除， 后加减，使难点分散。 （2）在运算中，对于各根式不一定要先 化简，而是先乘除，进行约分，达到化简的 目的，但最后结果一定要化简。
【情感态度与价值观】
利用规定准确计算和化简的严谨的科 学精神。 经过探索二次根式的重要结论，发展 学生观察、分析、发现问题的能力。
教学重难点
二次根式化简为最简二次根式以及二 次根式的判定。
二次根式的加减、乘除、乘方等运算 规律。 由整式运算知识迁移到含二次根式的 运算。
我们可以这样来计算
一化
二找
三合并
例题
解答
如图所示的 Rt△ABC中，∠B=90°，点 P 从点 B 开始沿 BA 边以 1 cm/s 的速度向点 A 移动。同时， 点 Q 也从点 B 开始沿 BC 边以 2 cm/s 的速度向点 C 移动。问：几秒后△PBQ 的面积为 35 cm2 ？PQ 的 距离是多少厘米？（结果用最简二次根式）
21.3二次根式的加减法-华东师大版九年级数学上册课件(共22张PPT)
4、二次根式混合运算顺序是怎样的？
5、乘法分配律是怎样的？在二次根式运算中是否 适用？
6、多项式的乘法公式有哪些？在二次根式乘法中 是否适用？
课本P12: 1、计算： （1）( 3+ 2)( 3 2);(2)( 2a 3)( 2a 3)
【解】 （1）原式= ( 3)2 ( 2)2
32
1
（2）原式= ( 2a )2 ( 3)2
2a 3
课堂小结
1、什么是同类二次根式？如何识别？ 2、叙述合并同类二次根式的法则。
谈谈你 的收获
3、你知道二次根式加减的步骤吗？
课堂练习3 计算：
48 3- 1 12+ 24 2
【解】原式= 16- 6 + 24 =4- 6+2 6 =4+ 6
知识点4 运算律在二次根式运算中的应用
பைடு நூலகம்
例6 计算：(1)( 8 5 3) 6;(2)(5 15 3 ) 15.
27
5
【解】
（1）原式= 8 6 5 3 6
27
16 5 18 9
§21.3二次根式的加减法 ——加减法则
1、什么叫同类项？ 所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相等的项。
2、合并同类项法则的内容： 把同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和
字母的指数不变。
3、整式加减法的法则内容： 几个整式相加减，，如果有括号就先去括号，然后 再合并同类项。
试一试
仿照同类项的 合并你会做吗？
原式= 3 2-2 2 + 3-3 3
你能正确找出同 类二次根式吗？
=3-2 2+1-3 3
= 2-2 3
例3 计算：(1) 8+ 18 12
21.3.1 二次根式的加减
二次根式化成最简二次根式以后，被开方数相同，
这几个二次根式就叫做同类二次根式.
例: 下列各式中,哪些是同类二次根式?
同类二次根式
解:
注意：判断一组式子是否为同类二次根式，只需看化为最简二次根式后的被开 方数是否相同，与最简二次根式前面的因式及符号无关．
例.计算:
解:
二次根式的加减
二次根式的加减
第21章 二次根式
21.3.1 二次根式的加减
二次根式乘法法则
两个二次根式相乘，等于把被开方数相乘，作为积的被开方数。
积的算术平方根的性质
两个非负数的积的算术平方根等于这两个非负数的算术平方根的积。
二次根式除法法则
两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的被开方数。
商的算术平方根的性质
两个非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以 除式的算术平方根。
（1）将每个二次根式化为最简二次根式；
（2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式。
如何合并同类 二次根式?
与合并同类项类似,把同类二次根式的系数相加减,做为结果的系数, 根号及根号内部都不变,
本节课你的收获是什么？
最简二次根式
1、被开方数不含分母； 2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；
3、如果写作分数形式，分母中不含根号。
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。
注意：二次根式的运算中，最后结果中的二次根式一般要 化成最简二次根式。
解:
请同学们观察化简的结论，他们有什么共同的特点？
(3) 2 9x 6 x 2x 1
3
4
x
几个二次根式相加减先把各 个二次根式化成最简二次根式, 再把同类二次根式分别合并.
这几个二次根式就叫做同类二次根式.
例: 下列各式中,哪些是同类二次根式?
同类二次根式
解:
注意：判断一组式子是否为同类二次根式，只需看化为最简二次根式后的被开 方数是否相同，与最简二次根式前面的因式及符号无关．
例.计算:
解:
二次根式的加减
二次根式的加减
第21章 二次根式
21.3.1 二次根式的加减
二次根式乘法法则
两个二次根式相乘，等于把被开方数相乘，作为积的被开方数。
积的算术平方根的性质
两个非负数的积的算术平方根等于这两个非负数的算术平方根的积。
二次根式除法法则
两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的被开方数。
商的算术平方根的性质
两个非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以 除式的算术平方根。
（1）将每个二次根式化为最简二次根式；
（2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式。
如何合并同类 二次根式?
与合并同类项类似,把同类二次根式的系数相加减,做为结果的系数, 根号及根号内部都不变,
本节课你的收获是什么？
最简二次根式
1、被开方数不含分母； 2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；
3、如果写作分数形式，分母中不含根号。
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。
注意：二次根式的运算中，最后结果中的二次根式一般要 化成最简二次根式。
解:
请同学们观察化简的结论，他们有什么共同的特点？
(3) 2 9x 6 x 2x 1
3
4
x
几个二次根式相加减先把各 个二次根式化成最简二次根式, 再把同类二次根式分别合并.
华东师版初中九年级上册数学公开课授课课件 第21章 二次根式 21.3二次根式的加减
如图，学校要砌一个正方形花坛，已知外边的正方形边长为 cm，里面的正方形的边长为 cm,两个正方形的周长和为多少？
两个正方形的周长和为：
若两个正方形的面积分别为27cm2, 12cm2，则两正方形的周长和为多少？
两个正方形的周长和为：
观察 发现
二次根式的混合运算
观察下面两个题目的计算过程
计算
（1）
（2）
解：
（1）原式
（2）原式
想一想：还有其他方法吗？
1.同类二次根式的概念及判断 2二次根式的加减法 3二次根式的混合运算顺序及运算律 的应用
课堂小结
1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时的习题.
课后作业
在寻求真理的长河中，唯有学习，不断地学习，勤奋地学习，有创造性地学习，才能越重山跨峻岭。 —— 华罗庚
注意：同类二次根式的合并，实质是对同类二次根式的系数进行合并。
即：同类二次根式
例题讲解
例1 计算:
解：
二次根式加减运算的步骤:
(1)把各个二次根式化成最简二次根式; (2)再把ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ类二次根式合并.
注意:被开方数不相同的二次根式 (如 与 )不能合并
例2 计算:
以下是什么运算？如何计算？
二次根式的加法.
如何计算 呢？
分析： 类似8a+4a=12a，我们可以根据乘法分配律的逆用来进行运算。
探究
解：
观察 发现
计算:
有什么发现？
知识梳理
二次根式加减时，先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并。
下列计算哪些正确，哪些不正确？
⑴
⑵
⑶
⑷
（不正确）
相关主题
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《恒谦教育教学资源库》
教师备课、备考伴侣 专注中国基础教育资源建设
1
《恒谦教育教学资源库》
教师备课、备考伴侣 专注中国基础教育资源建设
二次根式计算、化简的 结果符合什么要求？
（1）被开方数不含分母；
分母不含根号；
（2）被开方数中不含能开得尽 方的因数或因式.
2
把下列各根式化简
《恒谦教育教学资源库》
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1.同类二次根式的定义? 2.二次根式加减运算的步骤?
3.如何合并同类二次根式? 合并同类二次根式与合并同类项类似.
22
小结
《恒谦教育教学资源库》
教师备课、备考伴侣 专注中国基础教育资源建设
1．同类二次根式是相对于一组二次根 式而言的．判断几个二次根式是否为 同类二次根式，首先要把这几个二次 根式化为最简二次根式，然后再看它 们的被开方数，如果被开方数相同， 那么原来的几个二次根式就是同类二 次根式． 2．同类二次根式不一定是最简二次根 8 50 2
教师备课、备考伴侣 专注中国基础教育资源建设
交流 归 纳 （1）将每个二次根式化为最简二次根式；
（2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式。
一化
二找
三合并
12
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注意:不是同类二次根式的二次根式
(如
与 2
)不能合并 3
练习
1
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a 1, a 1
)
1 27
1 2
A.
12 是同类二次根式的是(D 32 B. 24 C. 125 D.6
4.如果最简二次根式 m n 2 2 与 是同类二次根式,求m、n 的值.
mn
14
《恒谦教育教学资源库》
例：计算
(1)3 2 3 2 2 3 3
教师备课、备考伴侣 专注中国基础教育资源建设
解：原式 3 2 2 2） 3 3 3） （ （
2 2 3
强调： 先化简， 再合并
(2) 8 18 12
解：原式 4 2 9 2 4 3
2 2 3 2 2 3
5 2 2 3
15
例2计算： 《恒谦教育教学资源库》 1 (1)2 12 6 3 48 3 (2)( 12 20) ( 3 5) 2 x 1 (3) 9x 6 2x 3 4 x
23
《恒谦教育教学资源库》
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(3)几个二次根式相加减先把各个二次 根式化成最简二次根式,再把同类二次 根式分别合并.
24
《恒谦教育教学资源库》
同类二次根式合并：
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把根号外系数或字母相加减,根 指数和被开方数不变
注意:不是同类二次根式的二次根式
2 (1) 2， 2， 2 2， 2， 2 3 15 3 2 (2) 3,5 3,6 3,17 3, 3 13
1 (3) 2 , 8 ,5 18 , 32 , 2
4
几个二次根式化成最简二次根式以 后，如果被开方数相同，这几个二 次根式就叫做同类二次根式.
判断同类二次根式的关键是什么？ (1)化成最简二次根式，
1 3
2 4 2
2
5 2
3
8 18 4 2
9
运用以前所学知识进行总结
例1计算：
《恒谦教育教学资源库》 专注中国基础教育资源建设 比较二次根式的加
教师备课、备考伴侣
（1）12 75 （2） 80 45 （3） 9a 25a
解：
减与整式的加减， 你能得出什么结论？ 二次根式的加减实质是 合并同类二次根式． 整式的加减的实质是合 并同类项．
《恒谦教育教学资源库》
教师备课、备考伴侣 专注中国基础教育资源建设
(2)被开方数相同,根指数相同(都等于 2)
5
例 题 解 析
《恒谦教育教学资源库》
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例1: 下列各式中,哪些是同类二 次根式?
2
75
1 27
3
2 3 8ab 3
1 50
6b
a 2b
6
解： 75 5 3 5 3
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2 23 24 2 2 3 4 2 9 2
如何合并 同类二次 根式?
与合并同类项类似,把同类二次根式的 系数相加减,做为结果的系数,根号及根号 内部都不变,
总结二次根式加减运算的步骤
11
二次根式加减法的步骤：
《恒谦教育教学资源库》
(2) 75 27 8 3 1 (3) 48 6 6 3 3
(4)下列计算正确的是（ Ｄ ） A. 5 2 3 B.8 3 2 11 2 C.4 5 5 4
3 1 D. a a a 2《恒谦教育教学资源库》
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75， ，3 是同类二次根式
1 27 3 2 3
8ab ，b 6
a 2b
是同类二次根式
7
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注意：判断一组式子是否为同类 二次根式，只需看化为最简二次 根式后的被开方数是否相同，与 最简二次根式前面的因式及符号 无关．
8
《恒谦教育教学资源库》
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要进行二次根式加减运算,它们 具备什么特征才能进行合并？ 同类二次根
(1)说出 2 5 式 的三个同类二次根式;
(2)试举出一组同类二次根式. (3)下列各式中哪些是同类二次根式?
1 1 2 a 3 3 2 , 75 , , , 3 , 8ab ,6b , 2 50 27 3 2b
（1） 80 20 5
5
（2） 18 98 27） 10 2 3 3 （
1 1 （3）( 24 0. ( 5) 6) 3 6 2 4 8 1 1 (4) 32 3 10 0.08 48 4 2 3 3 2
19
《恒谦教育教学资源库》
2 3
1.判断:下列计算是否正确?为什 么?
5 ; 22 2 2 2 ;
3
8 18 4 9 2 3 5 2
13
2.在下列各组根式中，是同类二次根式 B 的是（ ）
A . 2 , 12 C. 4ab , ab2 3. 与 B. D.
2,
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2 《恒谦教育教学资源库》 1 2 1 3 1 50 1 27 2 3
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5 3
2 3
2 10 3 9 4 b 2 ab 3
8ab 2b 2ab
3 a 2b
6b
6b
1 50
a · 2b 2b · 2b
3 2ab
2，
是同类二次根式
3 3 5
16
例3：
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如图，两个圆的圆心相同，它们的 面积分别是8cm2和18cm2，求圆环的 宽度d( 两圆半径之差).
R-r
17
练习1：(1) 18 8 2
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20
练习4下列计算正确的是（B） A. 2x 3x 5 x B.2a x 3b x (2a 3b) x C.4 5 5 5 20 5 14a 22b D. 7 a 11b 2
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21
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(1) 12
(2) 48
(3) 18 (4) 50
2 3
1 (5) 2
4 3
(6) 32
3 2
5 2
1 (7) 45 (8) 1 3
2 2
4 2
3 5
2 3 3
3
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下列3组根式各有什么特征?
(如
2与 3
)不能合并
25
《恒谦教育教学资源库》
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26
1. 12 2. 80
75 2 3 5 3 (2 5) 3 7 3
45 4 5 3 5 (4 3) 5 5
3.
9a 25a 3 a 5 a (3 5) a 8 a
先化简,后合并
10
计算:
8 18 4 2
《恒谦教育教学资源库》
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1 2 12 6 20x 3 3 4 32 2 3 12 33 145 3 3 5 1..2 12x 6 2 x 481 52 x 3 x2 2 x x 2. 9 3 3 3 3 4 x
解：
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(1)两列火车分别运煤2x吨和3x吨,问这两 2x +3x=5x吨 列火车共运多少？_______________
(2)两列火车分别运煤2x吨和3y吨,问这两 (2x +3y)吨 列火车共运多少？_______________
以下问题你能用同样的方法计算吗？
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1
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二次根式计算、化简的 结果符合什么要求？
（1）被开方数不含分母；
分母不含根号；
（2）被开方数中不含能开得尽 方的因数或因式.
2
把下列各根式化简
《恒谦教育教学资源库》
教师备课、备考伴侣 专注中国基础教育资源建设
1.同类二次根式的定义? 2.二次根式加减运算的步骤?
3.如何合并同类二次根式? 合并同类二次根式与合并同类项类似.
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小结
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1．同类二次根式是相对于一组二次根 式而言的．判断几个二次根式是否为 同类二次根式，首先要把这几个二次 根式化为最简二次根式，然后再看它 们的被开方数，如果被开方数相同， 那么原来的几个二次根式就是同类二 次根式． 2．同类二次根式不一定是最简二次根 8 50 2
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交流 归 纳 （1）将每个二次根式化为最简二次根式；
（2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式。
一化
二找
三合并
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注意:不是同类二次根式的二次根式
(如
与 2
)不能合并 3
练习
1
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a 1, a 1
)
1 27
1 2
A.
12 是同类二次根式的是(D 32 B. 24 C. 125 D.6
4.如果最简二次根式 m n 2 2 与 是同类二次根式,求m、n 的值.
mn
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例：计算
(1)3 2 3 2 2 3 3
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解：原式 3 2 2 2） 3 3 3） （ （
2 2 3
强调： 先化简， 再合并
(2) 8 18 12
解：原式 4 2 9 2 4 3
2 2 3 2 2 3
5 2 2 3
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例2计算： 《恒谦教育教学资源库》 1 (1)2 12 6 3 48 3 (2)( 12 20) ( 3 5) 2 x 1 (3) 9x 6 2x 3 4 x
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(3)几个二次根式相加减先把各个二次 根式化成最简二次根式,再把同类二次 根式分别合并.
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同类二次根式合并：
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把根号外系数或字母相加减,根 指数和被开方数不变
注意:不是同类二次根式的二次根式
2 (1) 2， 2， 2 2， 2， 2 3 15 3 2 (2) 3,5 3,6 3,17 3, 3 13
1 (3) 2 , 8 ,5 18 , 32 , 2
4
几个二次根式化成最简二次根式以 后，如果被开方数相同，这几个二 次根式就叫做同类二次根式.
判断同类二次根式的关键是什么？ (1)化成最简二次根式，
1 3
2 4 2
2
5 2
3
8 18 4 2
9
运用以前所学知识进行总结
例1计算：
《恒谦教育教学资源库》 专注中国基础教育资源建设 比较二次根式的加
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（1）12 75 （2） 80 45 （3） 9a 25a
解：
减与整式的加减， 你能得出什么结论？ 二次根式的加减实质是 合并同类二次根式． 整式的加减的实质是合 并同类项．
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(2)被开方数相同,根指数相同(都等于 2)
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例 题 解 析
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例1: 下列各式中,哪些是同类二 次根式?
2
75
1 27
3
2 3 8ab 3
1 50
6b
a 2b
6
解： 75 5 3 5 3
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2 23 24 2 2 3 4 2 9 2
如何合并 同类二次 根式?
与合并同类项类似,把同类二次根式的 系数相加减,做为结果的系数,根号及根号 内部都不变,
总结二次根式加减运算的步骤
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二次根式加减法的步骤：
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(2) 75 27 8 3 1 (3) 48 6 6 3 3
(4)下列计算正确的是（ Ｄ ） A. 5 2 3 B.8 3 2 11 2 C.4 5 5 4
3 1 D. a a a 2《恒谦教育教学资源库》
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75， ，3 是同类二次根式
1 27 3 2 3
8ab ，b 6
a 2b
是同类二次根式
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注意：判断一组式子是否为同类 二次根式，只需看化为最简二次 根式后的被开方数是否相同，与 最简二次根式前面的因式及符号 无关．
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要进行二次根式加减运算,它们 具备什么特征才能进行合并？ 同类二次根
(1)说出 2 5 式 的三个同类二次根式;
(2)试举出一组同类二次根式. (3)下列各式中哪些是同类二次根式?
1 1 2 a 3 3 2 , 75 , , , 3 , 8ab ,6b , 2 50 27 3 2b
（1） 80 20 5
5
（2） 18 98 27） 10 2 3 3 （
1 1 （3）( 24 0. ( 5) 6) 3 6 2 4 8 1 1 (4) 32 3 10 0.08 48 4 2 3 3 2
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2 3
1.判断:下列计算是否正确?为什 么?
5 ; 22 2 2 2 ;
3
8 18 4 9 2 3 5 2
13
2.在下列各组根式中，是同类二次根式 B 的是（ ）
A . 2 , 12 C. 4ab , ab2 3. 与 B. D.
2,
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2 《恒谦教育教学资源库》 1 2 1 3 1 50 1 27 2 3
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5 3
2 3
2 10 3 9 4 b 2 ab 3
8ab 2b 2ab
3 a 2b
6b
6b
1 50
a · 2b 2b · 2b
3 2ab
2，
是同类二次根式
3 3 5
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例3：
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如图，两个圆的圆心相同，它们的 面积分别是8cm2和18cm2，求圆环的 宽度d( 两圆半径之差).
R-r
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练习1：(1) 18 8 2
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练习4下列计算正确的是（B） A. 2x 3x 5 x B.2a x 3b x (2a 3b) x C.4 5 5 5 20 5 14a 22b D. 7 a 11b 2
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(1) 12
(2) 48
(3) 18 (4) 50
2 3
1 (5) 2
4 3
(6) 32
3 2
5 2
1 (7) 45 (8) 1 3
2 2
4 2
3 5
2 3 3
3
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下列3组根式各有什么特征?
(如
2与 3
)不能合并
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1. 12 2. 80
75 2 3 5 3 (2 5) 3 7 3
45 4 5 3 5 (4 3) 5 5
3.
9a 25a 3 a 5 a (3 5) a 8 a
先化简,后合并
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计算:
8 18 4 2
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1 2 12 6 20x 3 3 4 32 2 3 12 33 145 3 3 5 1..2 12x 6 2 x 481 52 x 3 x2 2 x x 2. 9 3 3 3 3 4 x
解：
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(1)两列火车分别运煤2x吨和3x吨,问这两 2x +3x=5x吨 列火车共运多少？_______________
(2)两列火车分别运煤2x吨和3y吨,问这两 (2x +3y)吨 列火车共运多少？_______________
以下问题你能用同样的方法计算吗？