二次函数图象性质应用(二)(含答案)

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九年级数学下册知识讲义-30二次函数的图像与性质2(附练习及答案)-冀教版

初中数学二次函数的图象与性质2学习目标一、考点突破1. 理解并掌握系数a、b、c与函数图象的关系。

2. 掌握图象与坐标轴交点坐标、对称轴的计算方法。

二、重难点提示重点：系数a、b、c与函数图象的关系。

难点：应用系数与函数图象的关系解决问题。

考点精讲二次函数图象的开口方向，对称轴，与y轴的交点的决定因素（以为例）1.决定了抛物线开口的大小和方向的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小。

2. b与a同时决定对称轴位置同号时，对称轴位置在y轴左侧；异号时，对称轴位置在y轴右侧。

总结：“左同右异”【综合拓展】关于对称轴：①；②当图象过（a，b）（c，b）时，则对称轴为。

3.决定了抛物线与轴交点的位置①当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；②当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；③当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负。

典例精讲例题1（绵阳）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，给出下列结论：①2a＋b＞0；②b＞a＞c；③若－1＜m＜n＜1，则m＋n＜－；④3|a|＋|c|＜2|b|，其中正确的结论（写出你认为正确的所有结论序号）。

思路分析：分别根据二次函数开口方向以及对称轴位置和图象与y轴交点得出a，b，c 的符号，再利用特殊值法分析得出各选项。

答案：解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴2a＜0，对称轴x ＝－＞1，－b ＜2a ，∴2a ＋b ＞0，故选项①正确；∵－b ＜2a ，∴b ＞－2a ＞0＞a ，令抛物线解析式为y ＝－x 2＋bx －，此时a ＝c ，要使抛物线与x 轴交点的横坐标分别为和2，则2221+＝－)21(2-⨯b ，解得：b ＝，∴抛物线y ＝－x 2＋x －，符合“开口向下，与x 轴的一个交点的横坐标在0与1之间，对称轴在直线x ＝1右侧”的特点，而此时a ＝c ，（其实a ＞c ，a ＜c ，a ＝c 都有可能），故②选项错误；∵－1＜m ＜n ＜1，－2＜m ＋n ＜2，∴抛物线对称轴为：x ＝－＞1，＞2，m ＋n ＜，故选项③正确；当x ＝1时，a ＋b ＋c ＞0，2a ＋b ＞0，3a ＋2b ＋c ＞0，∴3a ＋c ＞－2b ，∴－3a －c ＜2b ， ∵a ＜0，b ＞0，c ＜0（图象与y 轴交于负半轴），∴3|a|＋|c|＝－3a －c ＜2b ＝2|b|，故④选项正确，故答案为①③④。

二次函数的图像与性质(含答案)

九年级数学竞赛专题 ---二次函数的图像与性质一、内容概述二次函数有丰富的内容，下面从四个方面加以总结1．定义：形如函数2(0)y ax bx c a =++≠称为二次函数，对实际问题二次函数也有定义域.2．图像二次函数的图像为抛物线，一般作二次函数图像，取五个点，先确定顶点的横坐标，再以它为中心向左、向右对称取点.3．性质对2(0)y ax bx c a =++≠的图像来讲，（1）开口方向：当0a >时，抛物线开口向上；当0a <时，抛物线开口向下。

（2）对称轴方程：2bx a=-（3）顶点坐标：24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（4）抛物线与坐标轴的交点情况：若240bac -<，则抛物线与x 轴没有交点；若240b ac -=，则抛物线与x 轴有一个交点；若240b ac ->，则抛物线与x 轴有两个交点，分别为，；另外，抛物线与y 轴的交点为()0,c .（5）抛物线在x a=（6）y 与x 的增减关系：当0a >，2b x a >-时，y 随x 的增大而增大，2bx a <-时，y 随x 的增大而减小；当0a <，2b x a >-时，y 随x 的增大而减小，2bx a<-时，y 随x 的增大而增大.（7）最值：当0a >时，y 有最小值，当2b x a =-时，244ac b y a -最小值＝；当0a <时，y 有最大值，当2b x a =-时，244ac b y a-最大值＝（8）若抛物线与x 轴两交点的横坐标为1x 、2x （12x x <），则：当0a >时，12x x x <<时，0y <；12x x x x <>或时，0y >；当0a<时，12x x x <<时，0y >；12x x x x <>或时，0y <.4．求解析式抛物线的解析式常用的有三种形式：（1）一般式：2(0)y ax bx c a =++≠（2）顶点式：2()(0)y a x h k a =-+≠，其中(,)h k 是抛物线的顶点坐标。

中考数学真题《二次函数图象性质与应用》专项测试卷(附答案)

中考数学真题《二次函数图象性质与应用》专项测试卷(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________（55题）一、单选题1．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）已知二次函数()2323y x =--- 下列说法正确的是（） A ．对称轴为2x =-B ．顶点坐标为()2,3C ．函数的最大值是－3D ．函数的最小值是－32．（2023·广西·统考中考真题）将抛物线2y x 向右平移3个单位再向上平移4个单位得到的抛物线是（）A ．2(3)4y x =-+B ．2(3)4y x =++C ．2(3)4y x =+-D ．2(3)4y x =--3．（2023·湖南·统考中考真题）如图所示直线l 为二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像的对称轴，则下列说法正确的是（）A ．b 恒大于0B ．a b 同号C ．a b 异号D ．以上说法都不对4．（2023·辽宁大连·统考中考真题）已知抛物线221y x x =--，则当03x ≤≤时函数的最大值为（）A ．2-B ．1-C ．0D ．25．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，二次函数26y ax x =+-的图象与x 轴交于(3,0)A - B 两点下列说法正确的是（）A ．抛物线的对称轴为直线1x =B ．抛物线的顶点坐标为1,62⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．A B 两点之间的距离为5D ．当1x <-时 y 的值随x 值的增大而增大6．（2023·河南·统考中考真题）二次函数2y ax bx =+的图象如图所示，则一次函数y x b =+的图象一定不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()()1020x ，，，其中101x << 下列四个结论：①0abc < ①0a b c ++> ①230b c +< ①不等式22cax bx c x c ++<-+的解集为02x <<．其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．48．（2023·四川自贡·统考中考真题）经过23,()41,),(A b m B b c m -+-两点的抛物线22122y x bx b c =-+-+（x为自变量）与x 轴有交点，则线段AB 长为（） A ．10B ．12C ．13D ．159．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，拋物线2y ax bx c =++（,,a b c 为常数）关于直线1x =对称．下列五个结论：①0abc > ①20a b += ①420a b c ++> ①2am bm a b +>+ ①30a c +>．其中正确的有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个10．（2023·四川泸州·统考中考真题）已知二次函数223y ax ax =-+（其中x 是自变量）当03x <<时对应的函数值y 均为正数，则a 的取值范围为（） A ．01a <<B ．1a <-或3a >C ．30a -<<或0<<3aD ．10a -≤<或0<<3a11．（2023·四川凉山·统考中考真题）已知抛物线()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A ．<0abcB ．420a b c -+<C ．30a c +=D ．20am bm a ++≤（m 为实数）12．（2023·四川南充·统考中考真题）抛物线254y x kx k =-++-与x 轴的一个交点为(,0)A m 若21m -≤≤，则实数k 的取值范围是( ) A ．2114k -≤≤ B ．k ≤214-或1k ≥ C ．5k -≤≤98D ．5k ≤-或k ≥9813．（2023·安徽·统考中考真题）已知反比例函数()0ky k x=≠在第一象限内的图象与一次函数y x b =-+的图象如图所示，则函数21y x bx k =-+-的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．14．（2023·四川广安·统考中考真题）如图所示二次函数2(y ax bx c a b c =++、、为常数 0)a ≠的图象与x 轴交于点()()3,0,1,0A B -．有下列结论：①0abc > ①若点()12,y -和()20.5,y -均在抛物线上，则12y y < ①50a b c -+= ①40a c +>．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15．（2023·四川遂宁·统考中考真题）抛物线()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示对称轴为直线2x =-．下列说法：①0abc < ①30c a -> ①()242a ab at at b -+≥（t 为全体实数） ①若图象上存在点()11,A x y 和点()22,B x y 当123m x x m <<<+时满足12y y =，则m 的取值范围为52m -<<-．其中正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个16．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴的一个交点坐标为()1,0 对称轴为直线=1x - 下列四个结论：①<0abc ①420a b c -+< ①30a c += ①当31x -<<时20ax bx c ++< 其中正确结论的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个17．（2023·浙江宁波·统考中考真题）已知二次函数2(31)3(0)y ax a x a =-++≠ 下列说法正确的是( ) A ．点(1,2)在该函数的图象上 B ．当1a =且13x -≤≤时 08y ≤≤ C ．该函数的图象与x 轴一定有交点D ．当0a >时该函数图象的对称轴一定在直线32x =的左侧 18．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中直线1y mx n =+与抛物线223y ax bx =+-相交于点A B ．结合图象判断下列结论：①当23x -<<时 12y y > ①3x =是方程230ax bx +-=的一个解①若()11,t - ()24,t 是抛物线上的两点，则12t t < ①对于抛物线 223y ax bx =+- 当23x -<<时 2y 的取值范围是205y <<．其中正确结论的个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个19．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于点A B 与y 轴交于点C 对称轴为直线=1x - 若点A 的坐标为()4,0-，则下列结论正确的是（）A ．20a b +=B ．420a b c -+>C ．2x =是关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的一个根D ．点()11,x y ()22,x y 在抛物线上当121x x >>-时120y y <<20．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++经过点(1,0)(,0)A B m -、且12m << 有下列结论：①0b < ①0a b +> ①0a c <<- ①若点1225,,,33C y D y ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在抛物线上，则12y y >．其中正确的结论有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个21．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）若一个点的坐标满足(),2k k 我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于x 的二次函数()()212y t x t x s =++++（,s t 为常数 1t ≠-）总有两个不同的倍值点，则s 的取值范围是（） A ．1s <- B ．0s < C ．01s << D ．10s -<<22．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++的顶点A 的坐标为1,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭与x 轴的一个交点位于0合和1之间，则以下结论：①0abc > ①20b c +> ①若图象经过点()()123,,3,y y -，则12y y > ①若关于x 的一元二次方程230ax bx c ++-=无实数根，则3m <．其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．423．（2023·湖南·统考中考真题）已知0m n >> 若关于x 的方程2230x x m +--=的解为()1212,x x x x <．关于x 的方程2230x x n +--=的解为3434,()x x x x <．则下列结论正确的是（） A ．3124x x x x <<<B ．1342x x x x <<<C ．1234x x x x <<<D ．3412x x x x <<<24．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图，已知开口向下的抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(60)，对称轴为直线2x =．则下列结论正确的有（） ①0abc < ①0a b c -+>①方程20cx bx a ++=的两个根为1211,26x x ==-①抛物线上有两点()11,P x y 和()22,Q x y 若122x x <<且124x x +>，则12y y <．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个25．（2023·浙江杭州·统考中考真题）设二次函数()()(0,,y a x m x m k a m k =--->是实数)，则（） A ．当2k =时函数y 的最小值为a - B ．当2k =时函数y 的最小值为2a - C ．当4k =时函数y 的最小值为a - D ．当4k =时函数y 的最小值为2a -26．（2023·湖南·统考中考真题）已知()()111222,,,P x y P x y 是抛物线243y ax ax =++（a 是常数 )0a ≠上的点现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线2x =- ①点()0,3在抛物线上 ①若122x x >>-，则12y y > ①若12y y =，则122x x +=-其中正确结论的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个27．（2023·山东聊城·统考中考真题）已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示图象经过点()0,2 其对称轴为直线=1x -．下列结论：①30a c +> ①若点()14,y - ()23,y 均在二次函数图象上，则12y y > ①关于x 的一元二次方程21ax bx c ++=-有两个相等的实数根 ①满足22ax bx c ++>的x 的取值范围为20x -<<．其中正确结论的个数为（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个28．（2023·山东·统考中考真题）若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点” 如：(1,3),(2,6),(0,0)A B C --等都是三倍点” 在31x -<<的范围内若二次函数2y x x c =--+的图象上至少存在一个“三倍点”，则c 的取值范围是（） A ．114c -≤< B ．43c -≤<-C ．154c -<<D ．45c -≤<29．（2023·广东·统考中考真题）如图，抛物线2y ax c =+经过正方形OABC 的三个顶点A B C 点B 在y 轴上，则ac 的值为（）A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-30．（2023·湖北·统考中考真题）拋物线2(0)y ax bx c a =++<与x 轴相交于点()()3010A B -，，，．下列结论： ①0abc < ①240b ac -> ①320b c += ①若点()()122P m y Q m y -，，，在抛物线上且12y y <，则1m ≤-．其中正确的结论有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个31．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠图像的一部分与x 轴的一个交点坐标为()3,0 对称轴为直线1x = 结合图像给出下列结论： ①0abc > ①2b a = ①30a c +=①关于x 的一元二次方程220(0)ax bx c k a +++=≠有两个不相等的实数根①若点()1,m y ()22,y m -+均在该二次函数图像上，则12y y =．其中正确结论的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．132．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，已知抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴是直线1x = 且过点()1,0- 顶点在第一象限其部分图象如图所示给出以下结论：①0ab < ①420a b c ++> ①30a c +>①若()11,A x y ()22,B x y （其中12x x <）是抛物线上的两点且122x x +>，则12y y > 其中正确的选项是（）A ．①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①①33．（2023·山东枣庄·统考中考真题）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示对称轴是直线1x = 下列结论：①0abc < ①方程20ax bx c ++=（0a ≠）必有一个根大于2且小于3 ①若()1230,,,2y y ⎛⎫⎪⎝⎭是抛物线上的两点那么12y y < ①1120a c +> ①对于任意实数m 都有()m am b a b +≥+ 其中正确结论的个数是（）A ．5B ．4C ．3D ．234．（2023·湖北十堰·统考中考真题）已知点()11,A x y 在直线319y x =+上点()()2233,,,B x y C x y 在抛物线241y x x =+-上若123y y y ==且123x x x <<，则123x x x ++的取值范围是（）A ．123129x x x -<++<-B ．12386x x x -<++<-C ．12390x x x -<++<D ．12361x x x -<++<35．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++<的图象与x 轴的一个交点坐标为(1,0)-对称轴为直线1x = 下列论中：①0a b c -+= ①若点()()()1233,,2,,4,y y y -均在该二次函数图象上，则123y y y << ①若m 为任意实数，则24am bm c a ++≤- ①方程210ax bx c +++=的两实数根为12,x x 且12x x <，则121,3x x <->．正确结论的序号为（）A ．①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①36．（2023·四川·统考中考真题）已知抛物线2y ax bx c =++（a b c 是常数且a<0）过()1,0-和()0m ,两点且34m << 下列四个结论：0abc >① 30a c +>② ③若抛物线过点()1,4，则213a -<<- ④关于x 的方程()()13a x x m +-=有实数根，则其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二多选题37．（2023·湖南·统考中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()3,0，则下列结论中正确的是（）A ．0a >B ．0c >C ．240b ac -<D ．930a b c ++=三填空题38．（2023·内蒙古·统考中考真题）已知二次函数223(0)y ax ax a =-++> 若点(,3)P m 在该函数的图象上且0m ≠，则m 的值为________．39．（2023·山东滨州·统考中考真题）要修一个圆形喷水池在池中心竖直安装一根水管水管的顶端安一个喷水头使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m 处达到最高高度为3m 水柱落地处离池中心3m 水管长度应为____________．40．（2023·湖南郴州·统考中考真题）抛物线26y x x c =-+与x 轴只有一个交点，则c =________．41．（2023·上海·统考中考真题）一个二次函数2y ax bx c =++的顶点在y 轴正半轴上且其对称轴左侧的部分是上升的那么这个二次函数的解析式可以是________．42．（2023·吉林长春·统考中考真题）2023年5月8日 C919商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．12时31分航班抵达北京首都机场穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘” 是国际民航中高级别的礼仪）．如图① 在一次“水门礼”的预演中两辆消防车面向飞机喷射水柱喷射的两条水柱近似看作形状相同的地物线的一部分．如图① 当两辆消防车喷水口A B 的水平距离为80米时两条水柱在物线的顶点H 处相遇此时相遇点H 距地面20米喷水口A B 距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米两条水柱的形状及喷水口A ' B '到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H '距地面__________米．43．（2023·福建·统考中考真题）已知抛物线22(0)y ax ax b a =-+>经过()()1223,,1,A n y B n y +-两点若,A B 分别位于抛物线对称轴的两侧且12y y <，则n 的取值范围是___________．44．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，抛物线265y x x =-+与x 轴交于点A B 与y 轴交于点C 点()2,D m 在抛物线上点E 在直线BC 上若2DEB DCB ∠=∠，则点E 的坐标是____________．45．（2023·湖北武汉·统考中考真题）抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 是常数 0c <）经过(1,1),(,0),(,0)m n 三点且3n ≥．下列四个结论：①0b <①244ac b a -<①当3n =时若点(2,)t 在该抛物线上，则1t >①若关于x 的一元二次方程2ax bx c x ++=有两个相等的实数根，则103m <≤．其中正确的是________（填写序号）．46．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++经过点()30A -,顶点为()1,M m - 且抛物线与y 轴的交点B 在()02-，和()03-，之间（不含端点），则下列结论：①当31x -≤≤时 0y ≤①当ABM 33 3a = ①当ABM 为直角三角形时在AOB 内存在唯一点P 使得PA PO PB ++的值最小最小值的平方为1893+其中正确的结论是___________．（填写所有正确结论的序号）四解答题47．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，已知二次函数2y x bx c =++图象经过点(1,2)A -和(0,5)B -．(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．y≤-时请根据图象直接写出x的取值范围．(2)当248．（2023·浙江温州·统考中考真题）一次足球训练中小明从球门正前方8m的A处射门球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时球达到最高点此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m 现以O为原点建立如图所示直角坐标系．(1)求抛物线的函数表达式并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．(2)对本次训练进行分析若射门路线的形状最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门才能让足球经过点O正上方2.25m处？49．（2023·湖北武汉·统考中考真题）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x （单位：m ）以飞行高度y （单位：m ）随飞行时间t （单位：s ）变化的数据如下表．飞行时间/s t 0 2 4 6 8 …飞行水平距离/m x 0 10 20 30 40 …飞行高度/m y 0 22 40 54 64 …探究发现：x 与t y 与t 之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出x 关于t 的函数解析式和y 关于t 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．问题解决：如图，活动小组在水平安全线上A 处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．（1）若发射平台相对于安全线的高度为0m 求飞机落到安全线时飞行的水平距离（2）在安全线上设置回收区域,125m,5m ==MN AM MN ．若飞机落到MN 内（不包括端点,M N ）求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．50．（2023·河北·统考中考真题）嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题请解答这道题．如图，在平面直角坐标系中一个单位长度代表1m 长．嘉嘉在点(6,1)A 处将沙包（看成点）抛出并运动路线为抛物线21:(3)2C y a x =-+的一部分淇淇恰在点(0)B c ，处接住然后跳起将沙包回传其运动路线为抛物线221:188n C y x x c =-+++的一部分．(1)写出1C 的最高点坐标并求a c 的值(2)若嘉嘉在x 轴上方1m 的高度上且到点A 水平距离不超过1m 的范围内可以接到沙包求符合条件的n 的整数值．51．（2023·河南·统考中考真题）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中点A C 在x 轴上球网AB 与y 轴的水平距离3m OA = 2m CA = 击球点P 在y 轴上．若选择扣球羽毛球的飞行高度()m y 与水平距离()m x 近似满足一次函数关系0.4 2.8y x =-+ 若选择吊球羽毛球的飞行高度()m y 与水平距离()m x 近似满足二次函数关系()21 3.2y a x =-+．(1)求点P 的坐标和a 的值．(2)小林分析发现上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C 点的距离更近请通过计算判断应选择哪种击球方式．52．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中中国队包揽了五个项目的冠军成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图一位运动员从球台边缘正上方以击球高度OA为28.75cm的高度将乒乓球向正前方击打到对面球台乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：cm）乒乓球运行的水平距离记为x（单位：cm）．测得如下数据：(1)在平面直角坐标系xOy中描出表格中各组数值所对应的点(),x y并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象(2)①当乒乓球到达最高点时与球台之间的距离是__________cm当乒乓球落在对面球台上时到起始点的水平距离是__________cm①求满足条件的抛物线解析式(3)技术分析：如果只上下调整击球高度OA乒乓球的运行轨迹形状不变那么为了确保乒乓球既能过网又能落在对面球台上需要计算出OA的取值范围以利于有针对性的训练．如图①．乒乓球台长OB为274cm 球网高CD 为15.25cm ．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度OA 的值约为1.27cm ．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B 处时击球高度OA 的值（乒乓球大小忽略不计）．53．（2023·浙江台州·统考中考真题）【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水此时水面高度为30cm 开始放水后每隔10min 观察一次甲容器中的水面高度获得的数据如下表：流水时间t /min 0 10 20 30 40水面高度h /cm （观察值） 30 29 28.1 27 25.8任务1 分别计算表中每隔10min 水面高度观察值的变化量．【建立模型】小组讨论发现：“0=t 30h =”是初始状态下的准确数据水面高度值的变化不均匀但可以用一次函数近似地刻画水面高度h 与流水时间t 的关系．任务2 利用0=t 时 30h = 10t =时 29h =这两组数据求水面高度h 与流水时间t 的函数解析式．【反思优化】经检验发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式存在偏差．小组决定优化函数解析式减少偏差．通过查阅资料后知道：t 为表中数据时根据解析式求出所对应的函数值计算这些函数值与对应h 的观察值之差的平方和．．．．．．记为w w 越小偏差越小．任务3 （1）计算任务2得到的函数解析式的w 值．（2）请确定经过()0,30的一次函数解析式使得w 的值最小．【设计刻度】得到优化的函数解析式后综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度通过刻度直接读取时间．任务4 请你简要写出时间刻度的设计方案．54．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于()()3,0,1,0A B -两点交y 轴于点C ．(1)求抛物线的解析式．(2)拋物线上是否存在一点P 使得12PBC ABC S S = 若存在请直接写出点P 的坐标若不存在请说明理由．55．（2023·广东深圳·统考中考真题）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架上面覆上一层或多层保温塑料膜这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD 和抛物线AED 构成其中3m AB = 4m BC = 取BC 中点O 过点O 作线段BC 的垂直平分线OE 交抛物线AED 于点E 若以O 点为原点 BC 所在直线为x 轴 OE 为y 轴建立如图所示平面直角坐标系．请回答下列问题：(1)如图，抛物线AED 的顶点()0,4E 求抛物线的解析式(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT SMNR 若0.75m FL NR == 求两个正方形装置的间距GM 的长(3)如图，在某一时刻太阳光线透过A 点恰好照射到C 点此时大棚截面的阴影为BK 求BK 的长．参考答案一单选题1．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）已知二次函数()2323y x =--- 下列说法正确的是（） A ．对称轴为2x =-B ．顶点坐标为()2,3C ．函数的最大值是－3D ．函数的最小值是－3 【答案】C【分析】根据二次函数的图象及性质进行判断即可．【详解】二次函数()2323y x =---的对称轴为2x = 顶点坐标为()2,3-①30-<①二次函数图象开口向下函数有最大值为=3y -①A B D 选项错误 C 选项正确故选：C.【点睛】本题考查二次函数的图象及性质熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．2．（2023·广西·统考中考真题）将抛物线2y x 向右平移3个单位再向上平移4个单位得到的抛物线是（）A ．2(3)4y x =-+B ．2(3)4y x =++C ．2(3)4y x =+-D ．2(3)4y x =--【答案】A【分析】根据“左加右减上加下减”的法则进行解答即可．【详解】解：将抛物线2y x 向右平移3个单位再向上平移4个单位得到的抛物线的函数表达式为：2(3)4y x =-+．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．3．（2023·湖南·统考中考真题）如图所示直线l 为二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像的对称轴，则下列说法正确的是（）A ．b 恒大于0B ．a b 同号C ．a b 异号D ．以上说法都不对【答案】C 【分析】先写出抛物线的对称轴方程再列不等式再分a<0 >0a 两种情况讨论即可．【详解】解：①直线l 为二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像的对称轴①对称轴为直线>02b x a=-当a<0时，则>0b当>0a 时，则0b <①a b 异号故选：C ．【点睛】本题考查的是二次函数的性质熟练的利用对称轴在y 轴的右侧列不等式是解本题的关键．4．（2023·辽宁大连·统考中考真题）已知抛物线221y x x =--，则当03x ≤≤时函数的最大值为（） A ．2-B ．1-C ．0D ．2【答案】D 【分析】把抛物线221y x x =--化为顶点式得到对称轴为1x = 当1x =时函数的最小值为2- 再分别求出0x =和3x =时的函数值即可得到答案．【详解】解：①()222112y x x x =--=--①对称轴为1x = 当1x =时函数的最小值为2-当0x =时 2211y x x =--=- 当3x =时 232312y =-⨯-=①当03x ≤≤时函数的最大值为2故选：D.【点睛】此题考查了二次函数的最值熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．5．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，二次函数26y ax x =+-的图象与x 轴交于(3,0)A - B 两点下列说法正确的是（）A ．抛物线的对称轴为直线1x =B ．抛物线的顶点坐标为1,62⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．A B 两点之间的距离为5D ．当1x <-时 y 的值随x 值的增大而增大【答案】C 【分析】待定系数法求得二次函数解析式进而逐项分析判断即可求解．【详解】解：①二次函数26y ax x =+-的图象与x 轴交于(3,0)A - B 两点①0936a =--①1a =①二次函数解析式为26y x x =+-212524x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 对称轴为直线12x =- 顶点坐标为125,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 故A B 选项不正确不符合题意①10a => 抛物线开口向上当1x <-时 y 的值随x 值的增大而减小故D 选项不正确不符合题意当0y =时 260x x +-=即123,2x x =-=①()2,0B①5AB = 故C 选项正确符合题意故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质待定系数法求二次函数解析式抛物线与坐标轴的交点熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．6．（2023·河南·统考中考真题）二次函数2y ax bx =+的图象如图所示，则一次函数y x b =+的图象一定不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【分析】根据二次函数图象的开口方向对称轴判断出a b 的正负情况再由一次函数的性质解答．【详解】解：由图象开口向下可知a<0 由对称轴b x 02a=-> 得0b >． ①一次函数y x b =+的图象经过第一二三象限不经过第四象限．故选：D ．【点睛】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质解答本题的关键是求出a b 的正负情况要掌握它们的性质才能灵活解题此题难度不大．7．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()()1020x ，，，其中101x << 下列四个结论：①0abc < ①0a b c ++> ①230b c +< ①不等式22c ax bx c x c ++<-+的解集为02x <<．其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据函数图象可得出a b c 的符号即可判断① 当1x =时 0y <即可判断① 根据对称轴为12b x a=-> 0a >可判断① 21y ax bx c =++ 22c y x c =-+数形结合即可判断①．【详解】解：①抛物线开口向上对称轴在y 轴右边与y 轴交于正半轴①000a b c ><>，，①0abc < 故①正确．①当1x =时 0y <①0a b c ++< 故①错误．①抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于两点()()1020x ，，，其中101x << ①2021222b a ++<-< ①3122b a <-< 当322b a -<时 3b a >- 当2x =时 420y a bc =++=122b ac ∴=-- 1232a c a ∴-->- ①20a c ->①()234342220b c a c c a c a c +=--+=-+=--< 故①正确设21y ax bx c =++ 22c y x c =-+ 如图：由图得 12y y <时 02x << 故①正确．综上正确的有①①① 共3个故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质根据二次函数的图象及性质巧妙借助数学结合思想解决问题是解题的关键．8．（2023·四川自贡·统考中考真题）经过23,()41,),(A b m B b c m -+-两点的抛物线22122y x bx b c =-+-+（x 为自变量）与x 轴有交点，则线段AB 长为（）A ．10B ．12C ．13D ．15【答案】B【分析】根据题意求得对称轴进而得出1c b =- 求得抛物线解析式根据抛物线与x 轴有交点得出240b ac ∆=-≥ 进而得出2b =，则1c = 求得,A B 的横坐标即可求解．【详解】解：①抛物线22122y x bx b c =-+-+的对称轴为直线1222b b x b a =-=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭①抛物线经过23,()41,),(A b m B b c m -+-两点 ①23412b bc b -++-= 即1c b =- ①22221122222y x bx b c x bx b b =-+-+=-+-+- ①抛物线与x 轴有交点①240b ac ∆=-≥ 即()22142202b b b ⎛⎫-⨯-⨯-+-≥ ⎪⎝⎭即2440b b -+≤ 即()220b -≤①2b = 1211c b =-=-=①23264,418118b b c -=-=-+-=+-=①()()41238412AB b c b =+---=--=故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的对称性与x 轴交点问题熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 9．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，拋物线2y ax bx c =++（,,a b c 为常数）关于直线1x =对称．下列五个结论：①0abc > ①20a b += ①420a b c ++> ①2am bm a b +>+ ①30a c +>．其中正确的有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B 【分析】由抛物线的开口方向与y 轴交点以及对称轴的位置可判断a b c 的符号由此可判断①正确由抛物线的对称轴为1x = 得到12b a-= 即可判断① 可知2x =时和0x =时的y 值相等可判断①正确由图知1x =时二次函数有最小值可判断①错误由抛物线的对称轴为1x =可得2b a =- 因此22y ax ax c =-+ 根据图像可判断①正确．【详解】①①抛物线的开口向上0.a ∴>①抛物线与y 轴交点在y 轴的负半轴上0.c ∴< 由02b a->得 0b < 0abc ∴>故①正确 ①抛物线的对称轴为1x = ∴12b a-= ∴2b a =-∴20a b += 故①正确①由抛物线的对称轴为1x = 可知2x =时和0x =时的y 值相等．由图知0x =时 0y <①2x =时 0y <．即420a b c ++<．故①错误①由图知1x =时二次函数有最小值2a b c am bm c ∴++≤++2a b am bm ∴+≤+(a b m ax b +≤+）故①错误①由抛物线的对称轴为1x =可得12b a-= 2b a ∴=-①22y ax ax c =-+当=1x -时 23y a a c a c =++=+．由图知=1x -时0,y >30.a c ∴+>故①正确．综上所述：正确的是①①① 有3个故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与系数的关系二次函数的对称轴及顶点位置．熟练掌握二次函数图像的性质及数形结合是解题的关键．10．（2023·四川泸州·统考中考真题）已知二次函数223y ax ax =-+（其中x 是自变量）当03x <<时对应的函数值y 均为正数，则a 的取值范围为（）A ．01a <<B ．1a <-或3a >C ．30a -<<或0<<3aD ．10a -≤<或0<<3a 【答案】D【分析】首先根据题意求出对称轴212a x a -=-= 然后分两种情况：0a >和a<0 分别根据二次函数的性质求解即可．【详解】①二次函数223y ax ax =-+①对称轴212a x a-=-= 当0a >时①当03x <<时对应的函数值y 均为正数①此时抛物线与x 轴没有交点①()22430a a ∆=--⨯<①解得0<<3a当a<0时①当03x <<时对应的函数值y 均为正数①当3x =时 9630y a a =-+≥①解得1a ≥-①10a -≤<①综上所述当03x <<时对应的函数值y 均为正数，则a 的取值范围为10a -≤<或0<<3a ．故选：D ．【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质解题的关键是分两种情况讨论．11．（2023·四川凉山·统考中考真题）已知抛物线()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A ．<0abcB ．420a b c -+<C ．30a c +=D ．20am bm a ++≤（m 为实数）【答案】C 【分析】根据开口方向与y 轴交于负半轴和对称轴为直线1x =可得00a c ><， 20b a =-< 由此即可判断A 根据对称性可得当2x =-时 0y > 当=1x -时 0y = 由此即可判断B C 根据抛物线开口向上对称轴为直线1x = 可得抛物线的最小值为a c -+ 由此即可判断D ．【详解】解：①抛物线开口向上与y 轴交于负半轴①00a c ><，①抛物线对称轴为直线1x = ①12b a-= ①20b a =-<。

二次函数图像与性质总结(含答案)

二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+性质：上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)2【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象【解】 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。

2020年人教版九年级数学上册课时作业二次函数函数图象性质二(含答案)

2020年人教版九年级数学上册课时作业二次函数函数图象性质二一、选择题1.二次函数y=x 2+2x-3的开口方向、顶点坐标分别是（）A.开口向上,顶点坐标为（-1,-4）B.开口向下，顶点坐标为（1,4）C.开口向上,顶点坐标为（1,4）D.开口向下，顶点坐标为（-1,﹣4）2.点P 1(－1，y 1)，P 2(3，y 2)，P 3(5，y 3)均在二次函数y=－x 2＋2x＋c 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是()A.y 3＞y 2＞y 1 B.y 3＞y 1=y 2 C.y 1＞y 2＞y 3 D.y 1=y 2＞y 33.已知二次函数y=2(x+1)(x﹣a)，其中a＞0，且对称轴为直线x=2，则a 的值是()A.3 B.5 C.7 D.不确定4.函数y=﹣2x 2﹣8x+m 的图象上有两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，若x 1＜x 2＜﹣2，则()A.y 1＜y 2B.y 1＞y 2C.y 1=y 2D.y 1、y 2的大小不确定5.已知二次函数y=3(x-1)2+k 的图象上有A(，y 1)，B(2，y 2)，C(-，y 3)三个点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是()A.y 1>y 2>y 3 B.y 2>y 1>y 3C.y 3>y 1>y 2D.y 3>y 2>y 16.在下列二次函数中，其图象对称轴为x=2的是（）A.y=2x 2﹣4B.y=2(x-2)2C.y=2x 2+2D.y=2(x+2)27.抛物线y=ax 2+bx﹣3经过点（1，1），则代数式a+b 的值为()A.2B.3C.4D.68.对于抛物线y=﹣x 2+2x+3，有下列四个结论：①它的对称轴为x=1；②它的顶点坐标为（1，4）；③它与y 轴的交点坐标为（0，3），与x 轴的交点坐标为（﹣1，0）和（3，0）；④当x＞0时，y 随x 的增大而减小.其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．49.若将抛物线y=5x 2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为()A.y =5(x-2)2+1 B.y =5(x+2)2+1C.y =5(x-2)2-1D.y =5(x+2)2-110.把抛物线y=﹣2x 2+4x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是()A.y=﹣2(x﹣1)2+6B.y=﹣2(x﹣1)2﹣6C.y=﹣2(x+1)2+6D.y=﹣2(x+1)2﹣6二、填空题11.二次函数y=(a﹣1)x2﹣x+a2﹣1的图象经过原点，则a的值为．12.二次函数y＝x2＋2x－3的图象的顶点坐标是13.用配方法将二次函数y=﹣0.5x2+x﹣1化成y=a(x﹣h)2+k的形式，则y=．14.已知A(0，3)，B(2，3)是抛物线y=－x2＋bx＋c上两点，该抛物线的顶点坐标是________.15.二次函数y=2（x﹣3）2﹣4的最小值为．16.二次函数y=x2-3x+2的图像与x轴的交点坐标是,与y轴的交点坐标为17.把抛物线y=x2-4x+5的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是=﹣0.5x2+3向下平移2个单位后得抛18.如图，坐标系中正方形网格的单位长度为1，抛物线y1，则阴影部分的面积S=．物线y2三、解答题19.求出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标。

人教版九年级数学专题《二次函数图像和性质》(含答案及解析)

专题22.1 二次函数的图像和性质知识点解读 1.定义一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数。

其中x 是自变量，a 、b 、c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。

2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。

①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同。

②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x 。

3.几种特殊的二次函数的图像特征如下4.求抛物线的顶点、对称轴的方法①公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=， ∴顶点是），（ab ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=。

②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =。

③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。

若已知抛物线上两点12(,)(,)、x y x y （及y 值相同），则对称轴方程可以表示为：122x x x +=5.抛物线c bx ax y ++=2中， a 、b 、c 的作用①a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样。

②b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧。

③c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置。

当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴； ③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab6.用待定系数法求二次函数的解析式一般情况下设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c ，结合题中条件解出a 、b 、c 就可以求出二次函数的解析式。

苏教版必修一2.2二次函数的图象及性质(学案含答案)

2.2二次函数的图象及性质一、考点突破1. 求二次函数的解析式；2. 求二次函数的值域或最值及一元二次方程、一元二次不等式的综合应用；二、重难点提示1. 理解二次函数三种解析式的特征及应用；2. 分析二次函数要抓住几个关键环节：开口方向、对称轴、顶点，函数的定义域；3. 充分应用数形结合思想把握二次函数的性质。

1. 二次函数的定义与解析式（1）二次函数的定义形如：f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）的函数叫做二次函数。

（2）二次函数解析式的三种形式①一般式：f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）；②顶点式：f（x）＝a（x－m）2＋n（a≠0）；③零点式：f（x）＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）；3. 与二次函数有关的不等式恒成立问题①ax2＋bx＋c>0，a≠0恒成立的充要条件是2>-<0,40a b ac②ax 2＋bx ＋c <0，a ≠0恒成立的充要条件是20,40a b ac <-<例题1 已知函数f （x ）＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4，6]。

（1）当a ＝－2时，求f （x ）的最值；（2）求实数a 的取值范围，使y ＝f （x ）在区间[－4，6]上是单调函数；（3）当a ＝1时，求f （|x |）的单调区间。

思路分析：对于（1）和（2）可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于（3），应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用。

答案：解：（1）当a ＝－2时，f （x ）＝x 2－4x ＋3＝（x －2）2－1，由于x ∈[－4，6]，∴f （x ）在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增，∴f （x ）的最小值是f （2）＝－1，又f （－4）＝35，f （6）＝15，故f （x ）的最大值是35；（2）由于函数f （x ）的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f （x ）在[－4，6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4；（3）当a ＝1时，f （x ）＝x 2＋2x ＋3，∴f （|x |）＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6，6]，且f （x ）＝⎪⎩⎪⎨⎧-∈+-∈++]0,6[32]6,0(3222x x x x x x ，， ∴f （|x |）的单调递增区间是（0，6]。

人教版九年级上册数学同步练习《二次函数的图象和性质》(习题+答案)

22.1 二次函数的图象和性质内容提要1.一般地，形如2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ≠）的函数叫做二次函数.其中，x 是自变量，a ，b ，c 分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.2.二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象为抛物线，叫做抛物线2y ax bx c =++.3.二次函数()()20y a x h k a =-+≠的图象与性质：（1）二次函数()()20y a x h k a =-+≠的图象都可以由抛物线2y ax =向左（右）向上（下）平移得到，平移的方向、距离要根据h ，k 的值来决定.（2）抛物线()2y a x h k =-+的顶点为(),h k .当0a >时，开口向上；当0a <时，开口向下.对称轴为直线x h =.（3）二次函数()()20y a x h k a =-+≠的性质：①当0a >，在对称轴左侧()x h <，y 随着x 的增大而减小；在对称轴右侧()x h >，y 随着x 的增大而增大；当x h =时，y k =最小.②当0a <，在对称轴左侧()x h <，y 随着x 的增大而增大；在对称轴右侧()x h >，y 随着x 的增大而减小；当x h =时，y k =最大.4.研究二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象特征和性质，一般都用配方法将二次函数的表达式转化为()2y a x h k =-+的形式.若问题只要求对称轴或顶点坐标，也可以直接利用顶点坐标公式计算.5.用描点法画二次函数的图象，一般采用“五点法”（顶点及抛物线上的两组对称点）；若只需画二次函数的大致图象，且抛物线与x 轴有两个交点时，可用“四点法”（顶点及抛物线与坐标轴的三个交点）.6.研究与二次函数相关的实际问题，常常需要结合图象，运用“数形结合”的方法解决.7.求二次函数的解析式，一般采用“待定系数法”. 22.1.1 二次函数基础训练1．下列函数中是二次函数的为（） A ．31y x =-B ．231y x =-C ．()221y x x =+-D ．323y x x =+-2．若函数()23y a x x a =-++是二次函数，那么a 不可以取（） A ．0B ．1C ．2D ．33．下列问题中的两个变量，能构成二次函数关系的是（） A ．在一定时间内，汽车行驶的速度与行驶路 B ．底边长度一定，三角形的面积与高 C ．正方体的体积与边长D ．计算圆的面积时，面积与半径的关系4．已知二次函数2y ax c =+，当2x =时，9y =；当3x =时，19y =，则a c +的值是（） A ．4B ．2C ．1D ．35．若二次函数2y ax =的图象经过点()2,4P -，则该图象必经过点（） A ．()2,4B ．()2,4--C ．()4,2-D ．()4,2- 6．二次函数()()31y x x =+-化为一般形式后一次项系数为.7.在半径为4的圆中，挖去一个长为a 、宽为1a -的矩形，则余下部分的面积y 与a 的函数关系式为.8.正方形对角线长为x cm ，面积为y 2cm ，则y 与x 的函数关系式是.9.张燕存入银行人民币500元，年利率为x ，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存，那么两年后的本息和y 与x 的函数关系式是.10.已知函数()()222231y m m x m x m =--+-+.（1）当y 是x 的一次函数时，求m 的值并写出函数解析式；（2）当y 是x 的二次函数时，求m 的取值范围.22.1.2 二次函数2y ax =的图象和性质基础训练1．函数23y x =-的图象开口向，对称轴是，顶点是 .2.已知抛物线()20y ax a =≠经过点()2,8-，则a =.3.把函数22y x =-的图象沿x 轴翻折，得到的图象的解析式是 .4.函数2y x =，22y x =-图象的开口大小分别记为A ，B ，则A 与B 的大小关系为.5.若直线y ax =经过第一、三象限，则抛物线2y ax =（） A ．开口向上，且当0x <时，y 随x 的增大而增大 B ．开口向上，且当0x >时，y 随x 的增大而增大 C ．开口向下，且当0x <时，y 随x 的增大而增大 D ．开口向下，且当0x >时，y 随x 的增大而增大 6．已知二次函数2y ax =，下列说法不正确的是（） A ．对称轴为y 轴B ．当0a <，0x ≠时，y 总为负值C ．当0a >时，y 有最小值０D ．当0a <，0x <时，y 随x 的增大而减小７．已知点()11,x y ，()22,x y ，()33,x y 都在函数22y x =-的图象上，且1230x x x >>>，则（） A ．123y y y << B ．132y y y << C ．321y y y <<D ．213y y y <<８．苹果熟了，从树上落下所经过的路程s 与下落的时间t 满足212s gt =（g 是不为０的常数），则s 与t 的函数图象大致是（）9．函数()20y ax a =≠与直线y x =-交于点()1,b . （1）求a ，b 的值；（2）画出此二次函数的图象；x…2-1-0 1 2 …y……（3）结合图象，写出这个二次函数的性质.22.1.3二次函数()2=-+的图象和性质y a x h k基础训练（1）二次函数2=+的图象和性质y ax k1.抛物线2y x=-的顶点坐标为；当x时，y随x的增大而减少.212.请写出一个开口向上，并且与y轴交于点()0,1的抛物线的解析式y=.3.将抛物线23y x=+的图象向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式为. 4．函数21=+的图象大致是（）y x5．已知二次函数21=-的图象开口向下，则直线1y ax=-经过的象限是（）y axA．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限6．抛物线21y x 2=-+的对称轴是（） A ．直线12x =B ．直线12x =-C ．y 轴D ．直线2x =7．对于抛物线231y x =-，下列说法不正确的是（） A ．向上平移一个单位可得到抛物线23y x = B ．当0x =时，函数有最小值1- C ．当0x <时，y 随x 的增大而增大 D ．与抛物线231y x =-+关于x 轴对称8．（1）在同一坐标系中，画出下列函数的图象，并写出它们共同的性质：22y x =-； 21y x 2=-+； 221y x =--.x… 2- 1- 0 1 2 … 22y x =- … … 221y x =-+ … … 221y x =--……（2）写出抛物线2y ax k =+与2y ax =的关系.基础训练（2）二次函数()2y a x h =-的图象和性质1.函数()221y x =-的图象的对称轴是，顶点坐标是 .2.函数()221y x =-+的图象可以由函数22y x =-的图象向平移1个单位得到；当x时，y 有最大值是.3.一个顶点在x 轴上的抛物线，其形状和开口方向与抛物线212y x =的相同，并且对称轴是直线2x =，这个函数的解析式是.4.将抛物线2y x =-向右平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（） A ．()22y x =-+ B ．22y x =-+ C ．()22y x =--D ．22y x =--5．如果y kx b =+的图象在第一、二、三象限内，那么函数()2y k x b =-的图象大致是（）6．抛物线()21y x =-与直线1y x =-在同一坐标系中交点的个数为（） A ．0个B ．1个C ．2个D ．无法确定7．（1）在同一坐标系中画出下列函数的图象：2y x =-；()22y x =-+；()22y x =--.x… 4-3-2- 1- 0 1 2 3 4 … 2y x =- …… ()22y x =-+……()22y x =--… …（2）写出抛物线()2y a x h =-与2y ax =的关系.基础训练（3）二次函数()2y a x h k =--的图象和性质1．抛物线()2534y x =+-的对称轴是，顶点坐标是 . 2.二次函数()2425y x =-++，当x =时，y 有最大值是；当x时，y 随x 的增大而增大.3.将抛物线24y x =-先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为.4.已知抛物线()21433y x =--与x 轴的一个交点坐标为()1,0，则抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是（） A ．()5,0B ．()6,0C ．()7,0D ．()8,05．在不同坐标系中画出下列函数的图象：（1）()2211y x =+-；（2）()21252y x =+-.6．写出抛物线()2y a x h k =-+与()2y a x h =-及2y ax =的关系.7.已知抛物线()232y a x =-+经过点()1,2-. （1）求a 的值；（2）若点()1,A m y ，()2,B n y ()3m n <<都在该抛物线上，试比较1y 与2y 的大小.8.如图是一个抛物线形拱桥的示意图，桥的跨度AB 为100米，支撑桥的是一些等距的立柱，相邻立柱间的水平距离为10米（不考虑立柱的粗细），其中距A 点10米处的立柱EF 的高度为3.6米.（1）以AB 中点O 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，求抛物线顶点C 的坐标；（2）求与OC 相邻的立柱的高.22.1.4 二次函数2y ax bx c =++的图象和性质基础训练（1）二次函数2y ax bx c =++的顶点坐标与配方法1．二次函数221y x x =--+化成()2y a x h k =-+的形式是.2.抛物线2y ax bx c =++的顶点是()2,1A ，且经过点()1,0B ，则抛物线的函数关系式为.3.函数243y x x =-+，当x =时，y 有最小值是；当x时，y 随x 的增大而减小.4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为()22y x h k =--+，则下列结论正确的是（） A ．0h >，0k > B ．0h <，0k > C ．0h <，0k <D ．0h >，0k <5．抛物线24y x x =-的对称轴是直线（）. A ．2x =-B ．4x =C ．2x =D ．4x =-6．抛物线2221y x ax a a =-+++的顶点在第二象限，则常数a 的取值范围是（） A ．10a -<<B ．1a >C ．12a -<<D ．1a <-或2a >7．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数y bx a =+的图象不经过（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．用二次函数的顶点坐标公式求下列函数的顶点坐标. （1）221y x x =--；（2）2243y x x =-++.9．先将下列函数解析式化为()2y a x h k =-+形式，然后在不同坐标系内画出图象. （1）24y x x =-+；（2）2361y x x =++.基础训练（2）二次函数2y ax bx c =-+的图象和性质1．抛物线2253y x x =+-的对称轴是直线；顶点坐标是，与y 轴的交点坐标是.2.已知函数26y x x m =-+的最小值为1，那么m 的值为 .3.已知抛物线265y x x =-+的图象如图所示，当0y =时，x =.4.二次函数223=--的图象如图所示.当0y x xy<时，自变量x的取值范围是.5.二次函数2=++的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：y ax bx c①0a<；②0c>；③函数有最大值；④在对称轴左侧，y随x增大而增大.其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．在同一平面直角坐标系中，函数2=+与y bx ay ax bx=+的图象可能是（）7．将抛物线2=-++先向左平移2个单位，再向上平移1个单位.y x x365（1）求平移后抛物线的解析式；（2）求平移后抛物线的对称轴和抛物线与y轴的交点坐标；（3）在（1）的条件下，求当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？8.如图，抛物线()20y ax bx c c =++≠过点()1,0-和点()0,3-，且顶点在第四象限，设P a b c =++，求P 的取值范围.基础训练（3）用待定系数法求二次函数的解析式1.若二次函数2y x bx c =++，当2x =时，0y =；当1x =-时，3y =，则这个二次函数的解析式为.2.已知二次函数2y x bx c =++，当2x =时，0y =；当1x =-时，3y =，则这个二次函数的解析式为.3.抛物线的顶点在原点，且过点()3,27-，则这条抛物线的解析式为.4.已知二次函数的图象如图所示. （1）这个二次函数的解析式是；（2）根据图象回答：当x时，0y >.5.已知二次函数22y x bx =+-的图象与x 轴的一个交点为()1,0，则它与x 轴的另一个交点坐标是（） A ．()1,0B ．()2,0C ．()2,0-D ．()1,0-6．已知二次函数图象经过()1,0，()2,0和()0,2三点，则该函数的解析式是（ A ．222y x x =++ B ．232y x x =-+ C ．232y x x =++D ．223y x x =-+7．在下列条件下，分别求二次函数的解析式：（1）已知抛物线2y ax bx c =++与23y x =-形状相同，开口方向相反，顶点坐标为()2,4-；（2）当3x =时，最小值5y =，且过点()1,11；（3）对称轴为y 轴，且经过点()2,3，()1,6-.8.如图，抛物线()214y a x =-+与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C .过点C 作CD x ∥轴，交抛物线的对称轴于点D ，连接BD .已知点A 的坐标为()1,0-. （1）求该抛物线的解析式；（2）求梯形COBD 的面积.能力提高1．抛物线2251y ax x a =+-+过坐标原点，且开口方向向上，则a 的值是 .2.在二次函数221y x x =-++的图象中，若y 随x 的增大而增大，则x 的取值范围是.3.抛物线经过点()2,6-和()4,6，则抛物线的对称轴是（）4.已知二次函数222y x mx =++，当2x >时，y 随x 值的增大而增大，则实数m 的取值范围是.5.若抛物线22y x x c =-+与y 轴的交点为()0,3-，则下列说法不正确的是（） A ．抛物线开口向上B ．抛物线的对称轴是直线1x =C ．当1x =时，y 的最大值为4-D ．抛物线与x 轴的交点为()1,0-，()3,06．已知0b <，二次函数221y ax bx a =++-的图象为下列四个图象之一，试根据图象分析a 的值应等于（）7．二次函数()223y x =-++在43x -≤≤-范围内的最大值是 . 8.抛物线283y x x 2=-+关于x 轴对称的抛物线的解析式是.9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax =+与y 轴交于点A ，过点A 与x 轴平行的直线交抛物线213y x =于点B ，C ，求BC 的长度.10.在关于,x y 的二元一次方程组2,21x y a x y +=⎧⎨-=⎩中，（1）若3a =，求方程组的解；（2）若()3S a x y =+，当a 为何值时，S 有最小值？是多少？11.如图，抛物线2y ax bx c =++经过原点，与x 轴相交于点()8,0E ，抛物线的顶点A 在第四象限，点A 到x 的距离4AB =，点(),0P m 在线段OB 上，连接PA ，将线段PA 绕点P 逆时针旋转90︒得到线段PC ，过点C 作y 轴的平行线交x 轴于点G ，交抛物线于点D ，连接BC 和AD .（1）求抛物线的解析式；（2）求点C 的坐标（用含m 的代数式表示）；（3）当四边形ABCD 是平行四边形时，求点P 的坐标.拓展探究1.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2210y mx mx m m =-+->与x 轴的交点为A ，B . （1）求抛物线的顶点坐标.（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点. ①当1m =时，求线段AB 上整点的个数；②若抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m 的取值范围.2.已知关于x 的一元二次方程()2240x a x a +++=.（1）求证：无论a 为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（2）抛物线()21:24C y x a x a =+++与x 轴的一个交点的横坐标为2a，其中0a ≠，将抛物线1C 向右平移14个单位，再向上平移18个单位，得到抛物线2C ，求抛物线2C 的解析式；（3）点(),A m n 和(),B n m 都在（2）中抛物线2C 上，且A ，B 两点不重合，求代数式m n +的值.22.1 参考答案：22.1.1 二次函数基础训练1．B 2．D 3．D 4．D 5．A 6．2 7．216y a a π=-++ 8．212y x =9．2500(1)y x =+ 10．（1）13m =，21m =-，29y x =+或21y x =-+ （2）3m ≠且1m ≠- 22.1.2 二次函数2y ax =的图象和性质1．向下 y 轴坐标原点 2．2- 3．22y x = 4．A B > 5．B 6．D 7．A 8．B 9．（1）1a =-，1b =- （2）略（3）当0x >时，y 随x 的增大而减小；当0x <时，y 随x 的增大而增大；当0x =时，函数有最大值，是0．22.1.3 二次函数2()y a x h k =-+的图象与性质基础训练（1）1．(0,1)- 0< 2．答案不唯一 3．24y x =+ 4．A 5．D 6．C 7．C8．（1）图略，共同的性质有：开口向下；对称轴都是y 轴；在对称轴左边，y 随x 的增大而增大；在对称轴右边，y 随x 的增大而减小等．（2）开口对称轴相同，抛物线2y ax k =+由2y ax =向上平称k 个单位得到基础训练（2）1．直线1x = (1,0) 2．左 1=- 0 3．21(2)2y x =- 4．C 5．D 6．C7．（1）略（2）抛物线2y ax =向右平移h 个单位得到2()y a x h =+ 基础训练（3）1．直线3x =- (3,4)-- 2．2- 5 2<- 3．24(2)1y x =--- 4．C 5．略 6．略 7．（1）1a =- （2）12y y < 8．（1）(0,10)C （2）9.6米 22.1.4 二次函数2y ax bx c =++的图象和性质基础训练（1）1．2(1)2y x =-++ 2．2(2)1y x =--+ 3．2 1- 2< 4．A 5．C 6．A 7．D 8．（1）(1,2)- （2）(1,5) 9．（1）2(2)4y x =--+ （2）23(1)2y x =+- 图略基础训练（2）1．54x =- 549,48⎛⎫-- ⎪⎝⎭ (0,3)- 2．10 3．1或5 4．13x -<< 5．D 6．C7．（1）23(1)9y x =-++ （2）对称轴为直线1x =-，与y 轴交点坐标为(0,6) （3）1x >-时，y 随x 增大而减小8．抛物线2(0)y ax bx c c =++≠过点(1,0)-和点(0,3)-，0a b c ∴=-+，3c -=，3b a ∴=-．当1x =时，2y ax bx c a b c =++=++，3326P a b c a a a ∴=++=+--=-．顶点在第四象限，0a >，30b a ∴=-<，3a ∴<，03a ∴<<，6260a ∴-<-<，即60P -<<．基础训练（3）1．3 4- 2．22y x x =- 3．23y x =- 4．（1）22y x x =- （2）2x >或0x < 5．C 6．B7．（1）23(2)4y x =++ （2）23(3)52y x =-+ （3）27y x =-+8．（1）2(1)4y x =--+ （2）8 能力提高1．1 2．1x < 3．直线1x = 4．2m ≥- 5．C 6．C 7．2 8．22(2)5y x =--+ 9．6BC = 10．（1）1,1x y =⎧⎨=⎩ （2）2(1)S a a a a =+=+，当12a =-时，S 有最小值，是14-．11．（1）2124y x x =- （2）(AAS)PCG APB ∆∆≌，4PG AB ∴==，CG PB =． (,0)P m ，4PB m ∴=-，(4,0)G m +，(4,4)C m m ∴+-．（3）当四边形ABCD 是平行四边形时，CD AB =，AB CD ∥．AB x ⊥轴，CD x ∴⊥轴，∴点C ，D 的横坐标相同．把4x m =+代入2124y x =-得2144y m =-，21(4,4)4D m m ∴+-．21(4)(4)4CD m m ∴=---．又4CD AB ==，21(4)(4)=44m m ∴---，化简得24160m m +-=，225m =-+，225m =--（舍去），(225,0)P ∴-+．拓展探究1．（1）将抛物线表达式变为顶点式2(1)1y m x =--，则抛物线顶点坐标为(1,1)-．（2）①1m =时，抛物线表达式为22y x x =-，因此A ，B 的坐标分别为(0,0)和(2,0)，则线段AB 上的整点有(0,0)，(1,0)，(2,0)共3个；②抛物线顶点为(1,1)-，则由线段AB 之间的部分及线段AB 所围成的区域的整点的纵坐标只能为1-或者0，所以即要求AB 线段上（含AB 两点）必须有5个整点；又令抛物线表达式2210y mx mx m =-+-=，得到A ，B 两点坐标分别为1,0m ⎛⎫-⎪⎝⎭，1,0m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即5个整点是以(1,0)为中心向两侧分散，进而得到23m≤<，1194m ∴<≤．2．（1）22(4)4216a a a ∆=+-⨯=+，而20a ≥，2160a ∴+>，即0∆>．∴无论a 为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．（2）抛物线1C 与x 轴的一个交点的横坐标为2a ，∴当2a x =时，0y =，22()(4)22a aa ∴⨯++⨯+ 0a =．化简得230a a +=，即(3)0a a +=．0a ≠，3a ∴=-．∴抛物线1C 的解析式为223y x x =+-．又22125232()48y x x x =+-=+-．因此，抛物线1C 的顶点为125(,)48--．由题意得平移后抛物线2C 的顶点为(0,3)-，∴抛物线2C 的解析式223y x =-．（3）点(,)A m n 和(,)B n m 都在抛物线2C 上，223n m ∴=-，且223m n =-．222()n m m n ∴-=-．2()()n m m n m n ∴-=-+．()[2()1]0m n m n ∴-++=．A ，B 两点不重合，即m n ≠，2()10m n ∴++=．12m n ∴+=-．。

2二次函数的图像及其性质(二)教案

A、①
B、②
C、③
D、④
3.在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB+BC=10m.拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S（m2）.
①如图1，若BC＝4m，则S＝________m.
②如图2，现考虑在(1)中的矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正△CDE区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其它条件不变.则在BC的变化过程中，当S取得最小值时，边BC的长为________m.
教学重点
1.函数形如y=a(x－h)2＋k图象的性质。
2.用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标。
3.会通过配方求出二次函数的最大或最小值
教学难点
1.识图能力的培养
2.学生能通过图象的观察，对比分析发现规律，从而归纳性质
理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x＝－、(－， )
当k＜0时，函数y=kx2开口向下，而y=kx﹣2的图象过二、三、四象限，
分析选项可得，只有B符合，
故选B．
5.【答案】﹣3
【解析】已知了抛物线的顶点横坐标为2，即抛物线的对称轴方程为x=﹣ =2，可据此求出m的值．
解：∵抛物线y=x2+（m﹣1）x﹣ 的顶点的横坐标是2，
∴ =2；
解得m=﹣3，
故答案为：﹣3．
答案与解析
1.【答案】A
【解析】∵抛物线的解析式为：y=x2+5x+6，
设原抛物线上有点(x,y),绕原点旋转180∘后,变为(−x,−y),点(−x,−y)在抛物线y=x2+5x+6上，

二次函数图像和性质习题精选(含答案)_百度文库

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23．（2012•北辰区一模）在﹣ 3≤x≤0 范围内，二次函数结论： ①y1 有最大值 1、没有最小值； ②y1 有最大值 1、最小值﹣3； y1 随 x 的增大而增大； ③函数值 2 ④方程 ax +bx+c=2 无解； ⑤若 y2=2x+4，则 y1≤y2．其中正确的个数是（） A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
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二次函数图像和性质习题精选(含答案) kongziaaa 上传于 2016-07-22 | 暂无评价 |30 32人阅读 | 1次下载 | 暂无简介 | 举报文档在手机打开一．选择题（共小题） 2 1．（2014•宁夏）已知 a≠0，在同一直角坐标系中，函数 y=ax 与 y=ax 的图象有可能是（ A． B． C． D．
2
D．无法可求
29．已知直线经过点 A（0，2），B（2，0），点 C 在抛物线 y=x 的图象上，则使得 S△ ABC=2 的点有（
A．4
B．3

二次函数图像与性质总结(含答案)

二次函数图像与性质总结(含答案)【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数的图象【解】以为中间值，取的一些值，列表如下：…-7-6-5-4-3-2-1……0-20…【例2】求作函数的图象。

【解】先画出图角在对称轴的右边部分，列表-2-101276543【点评】画二次函数图象步骤：(1)配方；(2)列表；(3)描点成图；也可利用图象的对称性，先画出函数的左（右）边部分图象，再利用对称性描出右（左）部分就可。

二、一元二次函数性质【例3】求函数的最小值及图象的对称轴和顶点坐标，并求它的单调区间。

【解】由配方结果可知：顶点坐标为，对称轴为；∴当时，函数在区间上是减函数，在区间上是增函数。

【例4】求函数图象的顶点坐标、对称轴、最值。

，∴函数图象的顶点坐标为，对称轴为∴当时，函数取得最大值函数在区间上是增函数，在区间上是减函数。

【点评】要研究二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性质时，方法有两个：(1)配方法；如例3(2)公式法：适用于不容易配方题目(二次项系数为负数或分数)如例4，可避免出错。

任何一个函数都可配方成如下形式：【二次函数题型总结】1.关于二次函数的概念例1如果函数是二次函数，那么m的值为。

例2抛物线的开口方向是；对称轴是；顶点为。

-1OX=1YX2.关于二次函数的性质及图象例3函数的图象如图所示，则a、b、c，，，的符号为，例4已知a－b＋c=09a＋3b＋c=0,则二次函数y=ax2＋bx＋c的图像的顶点可能在（）（A）第一或第二象限（B）第三或第四象限（C）第一或第四象限（D）第二或第三象限3o-13yx3.确定二次函数的解析式例5已知：函数的图象如图：那么函数解析式为（）（A）（B）（C）（D）4.一次函数图像与二次函数图像综合考查例6已知一次函数y=ax+c二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标系中的大致图象是().例7如图：△ABC是边长为4的等边三角形，AB在X轴上，点C在第一象限，AC与Y轴交于点D，点A的坐标为（-1，0）（1）求B、C、D三点的坐标；（2）抛物线经过B、C、D三点，求它的解析式；【练习题】一、选择题1.二次函数的顶点坐标是()A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D.（2，－3）2.把抛物线向上平移1个单位，得到的抛物线是（）A.B.C.D.3.函数和在同一直角坐标系中图象可能是图中的()4.已知二次函数的图象如图所示,则下列结论:①a,b同号;②当和时,函数值相等;③④当时,的值只能取0.其中正确的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个5.已知二次函数的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是（）Ａ．－１.３B.-2.3C.-0.3D.-3.36.已知二次函数的图象如图所示，则点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7.方程的正根的个数为（）A.0个B.1个C.2个.3个8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A.B.C.或D.或二、填空题9．二次函数的对称轴是，则_______。

二次函数的图像和性质练习(含答案)

二次函数的图像和性质一、选择题（每题3分）1．下列四个函数中，一定是二次函数的是（）A ．21y x x=+ B ．y=ax 2+bx+c C ．y=x 2﹣（x+7）2 D ．y=（x+1）（2x ﹣1）【答案】D【解析】试题分析：因为形如y=ax 2+bx+c （0a ≠）的函数叫二次函数，所以选项A 、B 、C 错误，D 正确，故选：D ．考点：二次函数的概念.2．若函数y=-2(x-1)2+(a-1)x 2为二次函数，则a 的取值范围为（） A.a≠0 B.a≠1 C.a≠2 D.a≠3【答案】D ．【解析】试题分析：根据二次函数的定义化成一般式为()2342y a x x =-+-，则30a -≠3a ≠故选D ．考点：二次函数的定义．3.下列函数中，不是二次函数的是（）A ．y ＝1－x 2B ．y ＝2（x －1）2＋4C ．y ＝（x －1）（x ＋4）D ．y ＝（x －2）2－x 2【答案】D ．【解析】试题分析：选项A ，y=1-x 2=-x 2+1，是二次函数，选项A 正确；选项B ，y=2（x-1）2+4=2x 2-4x+6，是二次函数，选项B 正确；选项C ，y=（x-1）（x+4）=x 2+x-2，是二次函数，选项C 正确；选项 D ，y=（x-2）2-x 2=-4x+4，是一次函数，选项D 错误．故答案选D ．考点：二次函数的定义．二、填空题（每题3分）4.若函数y ＝（m －3）是二次函数，则m ＝______．【答案】5．【解析】试题分析：已知函数y ＝（m －3）是二次函数，可得且m －3≠0，解得m=-5．考点：二次函数的定义．5.．一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S 与底面半径r 的函数关系式为_________．【答案】S=4π2r【解析】试题分析：根据题意可得h=2r ，则S=2πrh=4π2r ．考点：二次函数的实际应用（时间：15分钟，满分25分）班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题（每题3分）1.下列函数中，不属于二次函数的是（）A ．y=（x ﹣2）2B ．y=﹣2（x+1）（x ﹣1）C ．y=1﹣x ﹣x 2D ．y=211x 【答案】D【解析】试题分析：整理一般形式后根据二次函数的定义判定即可：A 、整理为y=x 2﹣4x+4，是二次函数，不合题意；B 、整理为y=﹣2x 2+2，是二次函数，不合题意；C 、整理为y=﹣x 2﹣x+1，是二次函数，不合题意；D 、不是整式方程，符合题意．故选：D ．考点：二次函数的定义2．下列函数中属于二次函数的是（）A ．12-=x yB ．12-=ax yC ．222)1(2x x y --=D ．)2)(1(π+-=x x y【答案】D ．【解析】试题分析：A ．12-=x y 是一次函数，故本选项错误；B ．当0a =时，12-=ax y 不是二次函数，故本选项错误；C ．222)1(2x x y --==42x -+是一次函数，故本选项错误；D )2)(1(π+-=x x y 是二次函数，故本选项正确．故选D ．考点：二次函数的定义．3．若函数222(1)(1)y x a x =--+-为二次函数，则a 的取值范围为（）A ．0a ≠B ．1a ≠C ．2a ≠D ．3a ≠【答案】D ．【解析】试题分析：由原函数解析式得到：222(1)(1)y x a x =--+-=2(3)42a x x -+-．∵函数 222(1)(1)y x a x =--+-为二次函数，∴30a -≠，解得3a ≠．故选D ．考点：二次函数的定义．二、填空题（每题3分）4.在边长为16cm 的正方形铁皮上剪去一个圆，则剩下的铁皮的面积S （cm 2）与圆的半径r （cm ）之间的函数表达式为（不要求写自变量的取值范围）．【答案】2256r S π-=【解析】试题分析：剩下的面积为：正方形的面积-圆的面积=162-πr 2=256-πr 2故答案为：2256r S π-=考点：函数的表达式.5.．用长为8米的铝合金制成如图所示的窗框，若设窗框的宽为x 米，窗户的透光面积为S 平方米，则S 关于x 的函数关系式．【答案】S=x x 4232+-【解析】试题分析：设窗框的宽为x 米，则长为238x -米 ∴S=x x x x 4232382+-=⨯- 考点：实际问题抽象二次函数三、计算题（每题10分）6.已知，若函数2(1)3m y m x =-+是关于x 的一次函数．（1）求m 的值，并写出解析式；（2）若函数是关于x 的二次函数，求m 的值，．【答案】（1）1m =-；（2）m =．【解析】试题分析：（1）先根据一次函数的定义求出m 的值；（2）由22m =可得出m =试题解析：（1）∵函数2(1)3m y m x =-+是一次函数，∴21m =，解得1m =或1m =-，又∵10m -≠，∴1m ≠，∴1m =-，∴函数为：23y x =-+；m=可得出m=（2）由22考点：1．一次函数的定义；2．二次函数的定义．。

人教版九年级数学讲义二次函数的图像与性质(含解析)

第5讲二次函数的图象与性质知识定位讲解用时：2分钟A、适用范围：人教版初三，基础一般B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习二次函数的图象与性质，本节课的重点是掌握二次函数的平移法则，能够结合二次函数图象和性质判断a、b、c的之间的关系，而难点在于二次函数的图象和性质的综合考查，需要学生能够根据二次函数的图象与性质正确分析并解决问题。

希望同学们能够认真学习并掌握，为后面二次函数的应用打好基础。

知识梳理讲解用时：25分钟二次函数的图象（1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法：①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表；①描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点；①连线：用平滑的曲线按顺序连接各点；①在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可，连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来，画抛物线y=ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧。

x…-223--112-0121232…2y x= (4)491140141494…（2）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y=ax2的图象向右或向左平移|ab2|个单位，再向上或向下平移|abac442-|个单位得到的。

12341234xyxyOO1212----图1图2向上（）或向下（）平移个单位向上（）或向下（）平移个单位向左（）或向右（）平移个单位向左（）或向右（）平移个单位课堂精讲精练【例题1】抛物线212y x =向左平移8个单位，再向下平移9个单位，所得的抛物线的解析式是___________________。

【答案】218232y x x =++【解析】本题考查了二次函数平移规则，根据二次函数的平移法则，“上加下减，左加右减”，可知平移后的函数解析式为()21892y x =+-，整理即为218232y x x =++讲解用时：2分钟解题思路：牢记平移法则即可。

初中数学二次函数的图象与性质基础练习题2(附答案详解)

初中数学二次函数的图象与性质基础练习题2（附答案详解） 1．二次函数y=(x-2)2+1的对称轴表达式是 A ．x=2B ．x=-2C ．x=1D ．x=-12．设A(－4，y 1)，B(－3，y 2)，C(0，y 3)是抛物线y ＝(x ＋1)2＋a 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为( ) A ．y 1＞y 2＞y 3 B ．y 1＞y 3＞y 2 C ．y 3＞y 2＞y 1D ．y 3＞y 1＞y 23．已知二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①abc＜0；②2a +b=0；③当x=﹣1或x=3时，函数y 的值都等于0；④4a +2b +c ＞0，其中正确结论的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．将抛物线y=﹣（x+1）2+3向右平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（） A ．y=﹣（x+1）2+1B ．y=﹣（x ﹣1）2+3C ．y=﹣（x+1）2+5D ．y=﹣（x+3）2+35．已知点()11,y -、213,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、31,2y ⎛⎫⎪⎝⎭在函数23612y x x =++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（）A ．123y y y >>B ．213y y y >>C ．231y y y >>D ．312y y y >>6．如图，在平面直角坐标系中，A （1，2），B （1，﹣1），C （2，2），抛物线y=ax 2（a≠0）经过△ABC 区域（包括边界），则a 的取值范围是（）A ．a≤﹣1或a≥2B ．12≤a≤2 C ．﹣1≤a ＜0或1＜a≤2D ．﹣1≤a ＜0或0＜a≤27．如图，抛物线的顶点坐标为P (2，5)，则函数y 随x 的增大而减小时x 的取值范围为( )A ．x ＞2B ．x ＜2C ．x ＞6D ．x ＜68．函数2122y x x =-++有最值为（） A ．最大值32B ．最小值32C ．最大值12-D ．最小值12-9．在同一直角坐标系中，函数y=2x +3与y=mx(0)m ≠的图象可能是（） A ． B ． C ． D ．10．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象所示，对称轴为x ＝1，给出下列结论：①abc ＞0；②当x ＞2时，y ＞0；③3a ＋c ＞0；④3a+b＞0．其中正确的结论有（）A ．①②B ．①④C ．①③④D ．②③④11．将二次函数y ＝x 2的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的新图象的函数表达式是____．12．将抛物线y=（x+m ）2向右平移2个单位后，对称轴是y 轴，那么m 的值是_____． 13．二次函数2y 2x 4x 1=--的图象是由2y 2x bx c =++的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的，则b =________，c =________． 14．抛物线2(1)y x =-的顶点坐标是__________．15．一条抛物线的顶点是A （2，1），且经过点B （1，0），则该抛物线的函数表达式是_____．16．二次函数222y x x -=-，当x ________时，y 有________值，这个值为________；当x ________时，y 随x 的增大而增大；当x ________时，y 随x 的增大而减小． 17．已知函数y=﹣2x 2+x ﹣4，当x________时，y 随x 增大而减少．18．抛物线y=﹣x 2+bx+c 的部分图象如图所示，若y ＞0，则x 的取值范围是_____．19．如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象经过点()1,2-且与x 轴交点的横坐标分别为1x ，2x ，其中121x -<<-，201x <<，下列结论：①0b <；②0a b c ++<；③420a b c -+<；④20a b -<，其中正确的有________．（填代号）20．将抛物线y ＝﹣5x 2先向左平移5个单位．再向下平移3个单位，可以得到新的抛物线是：_____21．观察表格：根据表格解答下列问题：(l) a ＝______，b ＝_____，c ＝_____；(2) 在下图的直角坐标系中画出函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，并根据图象，直接写出当x 取什么实数时，不等式ax 2＋bx ＋c > －3成立；（3）该图象与x 轴两交点从左到右依次分别为A 、B ，与y 轴交点为C ，求过这三个点的外接圆的半径．22．如图，顶点为C 的抛物线y=ax 2+bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，连接OC 、OA 、AB ，已知OA=OB=2，∠AOB=120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）过点C作CE⊥OB，垂足为E，点P为y轴上的动点，若以O、C、P为顶点的三角形与△AOE相似，求点P的坐标；（3）若将（2）的线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜120°），连接E′A、E′B，求E′A+12E′B的最小值．23．当行驶中的汽车撞到物体时，汽车的损坏程度通常用“撞击影响”来衡量．汽车的撞击影响I可以用汽车行驶速度v(km/min)来表示，下表是某种型号汽车的行驶速度与撞击影响的试验数据：v(km/min) 0 1 2 3 4I 0 2 8 18 32(1)请根据上表中的数据，在直角坐标系中描出坐标(v，I)所对应的点，并用光滑曲线将各点连接起来；(2)填写下表，并根据表中数据的呈现规律，猜想用v表示I的二次函数表达式；v(km/min) 1 2 3 42 v I 12121212(3)当汽车的速度分别是1.5 km/min，2.5 km/min，4.5 km/min时，利用你得到的撞击影响公式，计算撞击影响分别是多少？24．二次函数2y ax bx c =++的图象过()3,0A -，()1,0B ，()0,3C ，点D 在函数图象上，点C ，D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数图象过点B ，D ，求：()1一次函数和二次函数的解析式；() 2写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围．25．已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点()0,3a ，对称轴为1x =．()1试用含a 的代数式表示b 、c ．()2当抛物线与直线1y x =-交于点()2,1时，求此抛物线的解析式． ()3求当()6b c +取得最大值时的抛物线的顶点坐标．26．如图，已知抛物线y=ax 2+32x+4的对称轴是直线x=3，且与轴相交于A 、B 两点（B 点在A 点的右侧），与轴交于C 点．（1）A 点的坐标是；B 点坐标是；（2）直线BC 的解析式是：；（3）点P 是直线BC 上方的抛物线上的一动点（不与B 、C 重合），是否存在点P ，使△PBC 的面积最大．若存在，请求出△PBC 的最大面积，若不存在，试说明理由；（4）若点M 在x 轴上，点N 在抛物线上，以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M 点坐标．27．如图，抛物线y=ax 2+c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上，其中A （﹣2，0），B （﹣1，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标．28．己知二次函数221y x x =--.(1)写出其顶点坐标为，对称轴为 ; (2)在右边平面直角坐标系内画出该函数图像; (3)根据图像写出满足2y >的x 的取值范围 .参考答案1．A 【解析】【分析】根据二次函数2()y a x b c =-+的对称轴是直线x=b,顶点坐标分别为 (b, c) 判断即可. 【详解】解：二次函数y=(x-2)2+1的对称轴为直线x=2, 故选:A. 【点睛】本题主要考查二次函数的性质. 2．A 【解析】【分析】根据二次函数的对称性，可利用对称性，找出点A 的对称点A′，再利用二次函数的增减性可判断y 值的大小．【详解】∵函数的解析式是y=-（x+1）2+a ， ∴对称轴是x=-1，∴点A 关于对称轴的点A′是（-2，y 1），那么点A′、B 、C 都在对称轴的左边，而对称轴左边y 随x 的增大而减小，于是y 1＞y 2＞y 3．故选A ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是能画出二次函数的大致图象，据图判断． 3．D 【解析】根据函数图象，我们可以得到以下信息：a ＜0，c ＞0，对称轴x=1，b ＞0，与x 轴交于（﹣1，0）（3，0）两点．①abc ＜0，正确； ②∵对称轴x=﹣2ba=1时， ∴2a+b=0，正确；③当x=﹣1或x=3时，函数y 的值都等于0，正确； ④当x=2时，y=4a+2b+c ＞0，正确；故选D ． 4．B 【解析】解：∵将抛物线y =﹣（x +1）2+3向右平移2个单位，∴新抛物线的表达式为y =﹣（x +1﹣2）2+3=﹣（x ﹣1）2+3．故选B ． 5．C 【解析】【分析】)把点()11,y -、213,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、31,2y ⎛⎫⎪⎝⎭代入2361y x x =++,求出1y ，2y ，3y 的值,比较即可得到大小关系. 【详解】把点()11,y -、213,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、31,2y ⎛⎫⎪⎝⎭代入23612y x x =++得， y 1=9，y 2=3274，y 3=3154, ∴1y ，2y ，3y 的大小关系为23y y >>1y . 故选C. 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像上的点的坐标满足二次函数解析式. 6．D 【解析】【分析】分a<0和a>0两种情况，确定开口最小经过的点，代入解析式求出a 的取值范围即可. 【详解】解：若a<0，则抛物线开口向下，开口最小过点B（1，-1）∴-1=a×12∴a=-1∴-1≤a<0若a>0，则抛物线开口向上，开口最小过点A（1，2）∴2=a×12∴a=2∴0<a≤2∴a的取值范围是-1≤a<0或0<a≤2故选D【点睛】本题考查了二次函数的图象，有一定难度，进行分类讨论是解题的关键．7．A【解析】【分析】根据抛物线的顶点坐标是P（2，5），可得抛物线的对称轴为x=2；依据图象分析对称轴的左，右两侧是上升还是下降，即可确定x的取值范围. 【详解】∵抛物线的顶点坐标是P（2，5），∴对称轴为x=2.∵图象在对称轴x=2的右侧，是下降的，即函数y随自变量x的增大而减小，∴x的取值范围是x＞2.【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的性质. 8．A【解析】【分析】把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后根据二次函数的最值问题解答．【详解】∵y=-x 2+2x+12=-（x-1）2+32， ∴二次函数有最大值32．故选A ．【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式整理成顶点式形式是解题的关键． 9．A 【解析】试题解析：因为23y x =+的图象经过第一、二、三象限，故选A ． 10．C 【解析】【分析】由二次函数图象开口方向、对称轴的位置、图象与y 轴交点的位置得到a 、b 、c 的符号，即可判①；由图象可知，当x=0时，y ＜0，根据对称轴为x=1可得当x=2时，y ＜0，观察图象即可判定②；由图象可知，x=-1时，y ＞0，即可得a-b+c=0，根据对称轴-2ba=1，可得b=-2a ，代入即可判定③；由-2ba=1可得2a+b=0，所以3a+b=2a+b+a=a ＞0，即可判定④．【详解】由二次函数图象开口向上，得到a>0；与y 轴交于负半轴，得到c<0，对称轴在y 轴右侧，a 、b 异号，则b<0，所以abc>0，①正确；②由图象可知，当x=0时，y ＜0，根据对称轴为x=1可得当x=2时，y ＜0，当x ＞2时，y 值得符号不确定，∴②不正确；③∵当x=-1时，y ＞0， ∴a-b+c=0，∵-2b a=1， ∴b=-2a ，∴a+2a+c ＞0，∴3a+c ＞0，∴③正确；④∵-2b a=1， ∴2a+b=0，∴3a+b=2a+b+a=a ＞0，∴④正确．综上，正确的结论为①③④.故选C ．【点睛】本题考查了抛物线图象与系数的关系，熟练运用抛物线的图象与系数的关系是解决问题的关键．11．y ＝(x －1) 2＋3．【解析】根据二次函数图象平移规律,左加右减,上加下减的平移规律,所以将二次函数y ＝x 2的图像向右平移1个单位,再向上平移3个单位,得到的新图像的函数表达式是y ＝(x －1) 2＋3,故答案为: y ＝(x －1) 2＋3.12．2【解析】【分析】根据平移规律“左加右减，上加下减”填空.【详解】解：将抛物线y=（x+m ）2向右平移2个单位后，得到抛物线解析式为y=（x+m-2）2．其对称轴为：x=2-m=0，解得m=2．故答案是：2.【点睛】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式.13．-8, 7【解析】【分析】把y=2x 2-4x-1化为顶点坐标式，按照“左加右减，上加下减”的规律，右平移1个单位，再向上平移2个单位得抛物线跟y=2x 2+bx+c 的系数对比则可．【详解】把y=2x 2-4x-1=2（x-1）2-3，向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得y=2（x-2）2-1=2x 2-8x+7，所以b=-8，c=7．故答案为-8；7.【点睛】此题不仅考查了对平移的理解，同时考查了学生将一般式转化顶点式的能力．14．（1，0）【解析】试题解析：抛物线2(1)y x =-的顶点坐标是()1,0. 故答案为: ()1,0.点睛：根据抛物线()2y a x h k =-+的顶点坐标是(),h k 直接写出即可． 15．2(2)1y x =--+（或243y x x =-+-）【解析】设抛物线解析式为y=a （x-2）2+1，把B （1，0）代入得a+1=0，解得a=-1，所以抛物线解析式为y=-（x-2）2+1，即y=-x 2+4x-3故答案为：()221y x =--+（或y=-x 2+4x-3）．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，关键是在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．16．1= 最小 3- 1> 1<【解析】【分析】先把解析式配成顶点式得到y=（x-1）2-3，根据二次函数的性质得到当x=1时，y 有最小值，最小值为-3；当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；当x ＜1时，y 随x 的增大而减小．【详解】解：y=x 2-2x-2=（x-1）2-3，∵a=1＞0，∴当x=1时，y 有最小值，最小值为-3；当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；当x ＜1时，y 随x 的增大而减小．故答案为=1，最小，-3，＞1，＜1．【点评】本题考查了二次函数的最值：二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），当a ＞0时，抛物线在对称轴左侧，y 随x 的增大而减少；在对称轴右侧，y 随x 的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=−2b a时，y=244ac b a -；当a ＜0时，抛物线在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随x 的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=−2b a时，y=244ac b a -． 17．＞ 14【解析】【分析】把抛物线解析式化为顶点式，可求得其对称轴，再利用二次函数的增减性可求得答案．【详解】∵y=-2x 2+x-4=-2（x-14）2-318， ∴抛物线开口向下，对称轴为x=14，∴当x＞14时，y随x的增大而减小，故答案是：＞14．【点睛】考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，其顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．18．－3＜x＜1【解析】试题分析：根据抛物线的对称轴为x=﹣1，一个交点为（1，0），可推出另一交点为（﹣3，0），结合图象求出y＞0时，x的范围．解：根据抛物线的图象可知：抛物线的对称轴为x=﹣1，已知一个交点为（1，0），根据对称性，则另一交点为（﹣3，0），所以y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．故答案为﹣3＜x＜1．考点：二次函数的图象．19．①②③④【解析】【分析】观察图象，通过抛物线的开口方向，对称轴x＝−b2a＞−1，以及与x轴交于两点这些条件，即可解答出该题．【详解】①∵抛物线的开口方向向下，∴a＜0，由图象可看出抛物线的对称轴x＝b2a＜0，∴b＜0，故①正确．②由图象看出当x＝1时，y＝a＋b＋c＜0，故②正确．③由图象看出当x＝−2时，y＝4a−2b＋c＜0，故③正确．④∵抛物线的对称轴大于−1，即x＝b2a＞−1，得出2a−b＜0，故④正确．故答案为：①②③④．【点睛】本题综合考查了抛物线的性质，体现了数形结合的思想，同学们要熟练掌握．20．25(5)3y x =-+-【解析】【分析】根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可．【详解】∵抛物线y=-5x 2先向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，∴新抛物线顶点坐标为（-5，-3），∴所得到的新的抛物线的解析式为y=-5（x+5）2-3，故答案为y=-5（x+5）2-3．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，利用顶点的变化求解更简便．21．（1）1，-2，-3；（2）图象见解析，0x <或2x >；（3【解析】【分析】（1）直接将()11，代入求出a 即可，进而将2x =代入求出y ，再分别将()()03,23--，，代入求出b c ，的值；（2）再利用函数解析式进而得出函数图象，进而得出不等式的解集．（3）根据题意求得外接圆的圆心的坐标为()1,1-，进而求得圆的半径.【详解】(1)2y ax =过(1,1)，∴1=a ，∴当x =2时,224y ==， 2y ax bx c =++过(0,−3),(2,−3)，a =1，23,3223c b ∴=--=+-，解得：b =−2，223y x x ∴=--，当x =1时，y =−4，故答案为1，−2，−3；(2)如图所示：当0x <或2x >时,不等式2 3.ax bx c ++>-(3)由(2)可知A (−1,0),B (3,0),C (0,−3)，则作BC 、AB 的垂直平分线的交点Q (1,−1)，∴外接圆的半径()()223101 5.QB =-++= 22．(1)3223x ；（2）点P 坐标为（03043）；（321. 【解析】【分析】（1）根据AO=OB=2，∠AOB=120°，求出A 点坐标，以及B 点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式；（2）∠EOC=30°，由OA=2OE ，23，推出当OP=12OC 或OP′=2OC 时，△POC 与△AOE 相似；（3）如图，取Q （12，0）．连接AQ ，QE ′．由△OE′Q ∽△OBE ′，推出12E Q OE BE OB ''=='，推出E′Q=12BE ′，推出AE′+12BE′=AE′+QE ′，由AE′+E′Q≥AQ ，推出E′A+12E′B 的最小值就是线段AQ 的长.【详解】（1）过点A作AH⊥x轴于点H，∵AO=OB=2，∠AOB=120°，∴∠AOH=60°，∴OH=1，AH=3，∴A点坐标为：（-1，3），B点坐标为：（2，0），将两点代入y=ax2+bx得：3420a ba b⎧-⎪⎨+⎪⎩＝＝，解得：3323ab⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＝＝，∴抛物线的表达式为：y=33x2-23x；（2）如图，∵C（1，-33），∴tan∠EOC=33ECOE=，∴∠EOC=30°，∴∠POC=90°+30°=120°，∵∠AOE=120°，∴∠AOE=∠POC=120°，∵OA=2OE，OC=233，∴当OP=12OC或OP′=2OC时，△POC与△AOE相似，∴OP=3，OP′=433，∴点P坐标为（0，3）或（0，43）．（3）如图，取Q（12，0）．连接AQ，QE′．∵12 OE OQ OB OE'=='，∠QOE′=∠BOE′，∴△OE′Q∽△OBE′，∴12E Q OEBE OB''=='，∴E′Q=12 BE′，∴AE′+12BE′=AE′+QE′，∵AE′+E′Q≥AQ，∴E′A+12E′B的最小值就是线段AQ22321()(3)22+=．【点睛】本题考查二次函数综合题、解直角三角形、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会由分类讨论的思想思考问题，学会构造相似三角形解决最短问题，属于中考压轴题．23．解：(1)如图所示；(2)2v2；(3)4.5，12.5，40.5.【解析】试题分析：将表（1）里各个数据在直角坐标系里描出，连接各点，形成的光滑曲线就是速度与撞击影响之间的函数图象.从表格里可看出速度与撞击影响的函数表达式为I=2v2;当V=1.5,2.5,4.5时，代入函数表达式中可求得撞击影响.解：(1)如图所示．(2)由表格得I＝2v2.(3)当V=1.5,2.5,4.5时，I=4.5，12.5，40.5.所以撞击影响分别是4.5，12.5，40.5.24．()12123y x x=--+，21y x=-+；()22x<-或1x>【解析】【分析】（1）将A、B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得二次函数的解析式，进而可根据抛物线的对称轴求出D点的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式；（2）根据（1）画出函数图象，即可写出一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．【详解】()1二次函数21y ax bx c=++的图象经过点()A3,0-，()B1,0，()C0,3，则9303a b ca b cc-+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得123abc=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩．故二次函数图象的解析式为21y x 2x 3=--+，∵对称轴x 1=-，∴点D 的坐标为()2,3-，设2y kx b =+，∵2y kx b =+过B 、D 两点，∴023k b k b +=⎧⎨-+=⎩，解得11k b =-⎧⎨=⎩． ∴2y x 1=-+；()2函数的图象如图所示，∴当21y y >时，x 的取值范围是x 2<-或x 1>．【点睛】此题主要考查了一次函数和二次函数解析式的确定以及根据函数图象比较函数值大小，画出函数图象熟练运用数形结合是解决第2问的关键．25．（1）2b a =-；（2）抛物线为212133y x x =-+；（3）抛物线的顶点坐标为()1,2-．【解析】【分析】（1）根据抛物线与y 轴的交点可以得到c 与a 的关系，根据对称轴可以得到b 与a 的关系；（2）间已知点的坐标代入函数关系式并结合上题求得的系数的关系得到a 、b 、c 的值即可求得其解析式；（3）b （c+6）=-2a （3a+6）=-6a 2-12a=-6（a+1）2+6，从而确定a 的值，确定二次函数的解析式后即可确定其顶点坐标．【详解】解：()1∵抛物线与y 轴交于点()0,3a∴3c a =∵对称轴为1=， ∴12b x a=-= ∴2b a =-；()2∵抛物线与直线1y x =-交于点()2,1，∴()2,1在抛物线上，∴()212223a a a =⨯+-+ ∴13a = ∴223b a =-=-31c a == ∴抛物线为212133y x x =-+；()3∵()()2262366126(1)6b c a a a a a +=-+=--=-++ 当1a =-时，()6b c +的最大值为6；∴抛物线2223(1)2y x x x =-+-=---故抛物线的顶点坐标为()1,2-．【点睛】考查了二次函数的性质，二次函数最值以及待定系数法求二次函数解析式，正确的利用三个系数之间的关系是解题的关键.26．（1）A （2-，0） B （8，0）；（2）142y x =-+ ；（3）存在点P ，使△PBC 的面积最大，最大面积是16 ；（4）（8-，0），（4，0），（5+0），（50）.【解析】【分析】可得a 的值，求出解析式.由解析式可得出C 和B 的坐标，从而得出直线的解析式.运用假设法，连接辅助线可以设出P,D 的坐标，表达出相应△PBC 的面积解析式，分析可得出结果.由平行四边形的定义可求出答案.【详解】（1）A （2-，0） B （8，0）；（2）142y x =-+ ；（3）假设存在点P ，连结PB 、PC ，过点P 作PD ∥y 轴交直线BC 于点D ，设点P （m ，213442m m -++）则点D （m ，142m -+）所以PD =213442m m -++- 142m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ =2124m m -+ ∴211128224PBC S PD OB m m ⎛⎫=⨯⨯=⨯-+⨯ ⎪⎝⎭()228416m m m =-+=--+∵点P 是直线BC 上方的抛物线上的一动点（不与B 、C 重合）∴08m <<∴当4m =时，△PBC 的面积最大，最大面积是16∴存在点P ，使△PBC 的面积最大，最大面积是16（4）（8-，0），（4， 0），（541+0），（541，0） .【点睛】本题考查了一元二次方程的解析式的结构，和直线解析式的求解，以及品行四边形的定义，熟练掌握这些是解决本题的关键.27．（1）y=x 2﹣4；（2）M （0，﹣2）【解析】（1）将A 、B 点的坐标代入抛物线的解析式中即可求出待定系数的值；（2）由于A 、D 关于抛物线对称轴即y 轴对称，那么连接BD ，BD 与y 轴的交点即为所求的M 点，可先求出直线BD 的解析式，即可得到M 点的坐标；解：（1）由题意可得：403a c a c +=⎧⎨+=-⎩，解得14a c =⎧⎨=-⎩； ∴抛物线的解析式为：y =x 2﹣4；（2）由于A 、D 关于抛物线的对称轴（即y 轴）对称，连接BD ．则BD 与y 轴的交点即为M 点；设直线BD 的解析式为：y =kx +b （k ≠0），则有：320k b k b -+=-⎧⎨+=⎩，解得12k b =⎧⎨=-⎩； ∴直线BD 的解析式为y =x ﹣2，∴点M （0，﹣2）．点睛：本题主要考查待定系数法及二次函数的性质.利用二次函数的对称性是解题的关键. 28．（1，-2），直线x=1, x ＜-1或x ＞3．【解析】试题分析：（1）利用配方法将二次函数的解析式由一般式该写为顶点式，由此即可得出该函数的顶点坐标以及对称轴；（2）利用五点法画出函数图象即可；（3）观察函数图象，根据二次函数图象与2y =的上下位置关系即可得出不等式的解集．试题解析：()22121(1)2y x x x =--=--，∴该二次函数的顶点坐标为(1,−2)，对称轴为x =1.故答案为(1,−2)；x =1.(2)找出函数图象上部分点的坐标，如图所示：x… −1 0 1 2 3 … y… 2 −1 −2 −1 2 …描点、连线,画出函数图象如图所示.(3)观察函数图象可知：当x <−1或x >3时，函数图象在y =2的上方， ∴满足y >2的x 的取值范围为x <−1或x >3.故答案为x <−1或x >3.。

部编数学九年级上册专题05二次函数的图像和性质(解析版)含答案

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！2022-2023学年人教版数学九年级上册压轴题专题精选汇编专题05 二次函数的图像和性质考试时间：120分钟试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022春•长沙期末）抛物线y ＝2x 2﹣4x +c 经过三点（﹣4，y 1），（﹣2，y 2），（，y 3），则y 1，y 2，y 3的大小关系是（）A ．y 2＞y 3＞y 1B ．y 1＞y 2＞y 3C ．y 2＞y 1＞y 3D ．y 1＞y 3＞y 2【思路引导】利用配方法将已知抛物线方程转化为顶点式，根据抛物线的对称性质和增减性比较大小．【完整解答】解：∵y ＝2x 2﹣4x +c ＝2（x ﹣1）2+c ﹣2．∴抛物线开口向上，对称轴是直线x ＝1．∴当x ＜1时，y 随x 的增大而减小，∵抛物线y ＝2x 2﹣4x +c 经过三点（﹣4，y 1），（﹣2，y 2），（，y 3），﹣4＜﹣2＜＜1，∴y 1＞y 2＞y 3，故选：B ．2．（2分）（2022春•长沙期末）已知二次函数y ＝（x ﹣1）2+1，则关于该函数的下列说法正确的是（）A ．该函数图象与y 轴的交点坐标是（0，1）B ．当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小C ．当x 取0和2时，所得到的y 的值相同D ．当x ＝1时，y 有最大值是1【思路引导】在y ＝（x ﹣1）2+1中，令x ＝0得y ＝2，可判定A 不符合题意；由1＞0，对称轴直线x ＝1可判断B 不符合题意；根据当x ＝0时，y ＝2；当x ＝2时，y ＝2，可判定C 符合题意；由y ＝（x ﹣1）2+1，根据函数性质可判定D 不符合题意．【完整解答】解：令x ＝0，则y ＝（0﹣1）2+1＝2，∴二次函数y ＝（x ﹣1）2+1的图象与y 轴的交点坐标为（0，2），故A 不符合题意；∵二次函数y ＝（x ﹣1）2+1的对称轴为x ＝1，开口向上，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，故B 不符合题意；当x＝0时，y＝2，当x＝2时y＝（2﹣1）2+1＝2，故C符合题意；∵二次函数y＝（x﹣1）2+1的对称轴为x＝1，开口向上，∴当x＝1时，y有最小值，故D不符合题意．故选：C．3．（2分）（2022春•岳麓区校级期末）将抛物线y＝x2+1向下平移3个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线（）A．y＝（x+4）2+4B．y＝（x﹣4）2+4C．y＝（x+4）2﹣2D．y＝（x﹣4）2﹣2【思路引导】直接根据二次函数图象平移的法则即可得出结论．【完整解答】解：根据“上加下减，左加右减”的法则可知，将抛物线y＝x2+1向下平移3个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线的表达式是y＝（x+4）2+1﹣3，即y＝（x+4）2﹣2．故选：C．4．（2分）（2022春•岳麓区校级期末）抛物线y＝（x+1）2﹣3的对称轴是（）A．直线x＝﹣1B．直线x＝1C．直线x＝﹣3D．直线x＝3【思路引导】根据抛物线的顶点式，可以写出该抛物线的对称轴，本题得以解决．【完整解答】解：∵抛物线y＝（x+1）2﹣3，∴该抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，故选：A．5．（2分）（2021秋•雨花区期末）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+b与y＝ax+2b（ab≠0）的图象大致如图（）A．B．C．D．【思路引导】根据每一选项中a、b的符号是否相符，逐一判断．【完整解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；B、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；C、由抛物线可知a＞0，b＜0，由直线可知a＞0，b＞0，故本选项错误；D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＜0，故本选项错误．故选：B．6．（2分）（2018秋•天心区校级期末）已知函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，．则函数y＝cx2﹣bx+a的图象可能是下图中的（）A．B．C．D．【思路引导】当y＞0时，，所以可判断a＜0，可知﹣＝﹣+＝﹣，＝﹣×＝﹣，所以可知a＝6b，a＝﹣6c，则b＝﹣c，不妨设c＝1进而得出解析式，找出符合要求的答案．【完整解答】解：因为函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，所以可判断a＜0，可知﹣＝﹣+＝﹣，＝﹣×＝﹣所以可知a＝6b，a＝﹣6c，则b＝﹣c，不妨设c＝1则函数y＝cx2﹣bx+a为函数y＝x2+x﹣6即y＝（x﹣2）（x+3）则可判断与x轴的交点坐标是（2，0），（﹣3，0），故选：A．7．（2分）（2021秋•长沙月考）我们定义一种新函数：形如y＝|ax²+bx+c|（a≠0，b²﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x²﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列结论：①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；⑤当x＝1时，函数的最大值是4；⑥若点P（a，b）在该图象上，则当b＝2时，可以找到4个不同的点P．其中正确结论的个数是（）A．6B．5C．4D．3【思路引导】由（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|知①是正确的；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，②也是正确的；根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④也是正确的；从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤时不正确的；⑥根据图形判断即可；逐个判断之后，可得出答案．【完整解答】解：①∵（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|，∴①是正确的；②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，因此②也是正确的；③根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④也是正确的；⑤从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，存在函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤是不正确的；⑥从图象上看，若点P（a，b）在该图象上，则当b＝2时，可以找到4个不同的点P，因此⑥也是正确的．故答案为：①②③④⑥．故选：B．8．（2分）（2020秋•岳麓区校级期末）已知抛物线y＝x2+（2m﹣6）x+m2﹣3与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，当x＞2时，y值随x值的增大而增大．记抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两点），M为G上任意一点，设M的纵坐标为t，若t≥﹣3，则m的取值范围是（）A．m≥B．≤m≤3C．m≥3D．1≤m≤3【思路引导】根据题意，x＝﹣≤2，≥﹣3【完整解答】解：当对称轴在y轴的右侧时，，解得≤m＜3，当对称轴是y轴时，m＝3，符合题意，当对称轴在y轴的左侧时，2m﹣6＞0，解得m＞3，综上所述，满足条件的m的值为m≥．故选：A．9．（2分）（2016•长沙校级一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（）A．abc＞0B．b2﹣4ac＜0C．9a+3b+c＞0D．c+8a＜0【思路引导】根据二次函数的图象求出a＜0，c＞0，根据抛物线的对称轴求出b＝﹣2a＞0，即可得出abc＜0；根据图象与x轴有两个交点，推出b2﹣4ac＞0；对称轴是直线x＝1，与x轴一个交点是（﹣1，0），求出与x轴另一个交点的坐标是（3，0），把x＝3代入二次函数得出y＝9a+3b+c＝0；把x＝4代入得出y＝16a﹣8a+c＝8a+c，根据图象得出8a+c＜0．【完整解答】解：A．∵二次函数的图象开口向下，图象与y轴交于y轴的正半轴上，∴a＜0，c＞0，∵抛物线的对称轴是直线x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∴abc＜0，故本选项错误；B．∵图象与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故本选项错误；C．∵对称轴是直线x＝1，与x轴一个交点是（﹣1，0），∴与x轴另一个交点的坐标是（3，0），把x＝3代入二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）得：y＝9a+3b+c＝0，故本选项错误；D．∵当x＝3时，y＝0，∵b＝﹣2a，∴y＝ax2﹣2ax+c，把x＝4代入得：y＝16a﹣8a+c＝8a+c＜0，故选：D．10．（2分）（2021春•天心区期中）如图，抛物线G：y1＝a（x+1）2+2与H：y2＝﹣（x﹣2）2﹣1交于点B（1，﹣2），且分别与y轴交于点D、E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A、C，则以下结论：①无论x取何值，y2总是负数；②抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；③当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小；④四边形AECD为正方形．其中正确的是（）A．①③④B．①②④C．②③④D．①②③④【思路引导】①由非负数的性质，即可证得y2＝﹣（x﹣2）2﹣1≤﹣1＜0，即可得无论x取何值，y2总是负数；②由抛物线l1：y1＝a（x+1）2+2与l2：y2＝﹣（x﹣2）2﹣1交于点B（1，﹣2），可求得a的值，然后由抛物线的平移的性质，即可得l2可由l1向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；③由y1﹣y2＝﹣（x+1）2+2﹣[﹣（x﹣2）2﹣1]＝﹣6x+6，可得随着x的增大，y1﹣y2的值减小；④首先求得点A，C，D，E的坐标，即可证得AF＝CF＝DF＝EF，又由AC⊥DE，即可证得四边形AECD为正方形．【完整解答】解：①∵（x﹣2）2≥0，∴﹣（x﹣2）2≤0，∴y2＝﹣（x﹣2）2﹣1≤﹣1＜0，∴无论x取何值，y2总是负数；故①正确；②∵抛物线G：y1＝a（x+1）2+2与抛物线H：y2＝﹣（x﹣2）2﹣1交于点B（1，﹣2），∴当x＝1时，y＝﹣2，即﹣2＝a（1+1）2+2，解得：a＝﹣1；∴y1＝﹣（x+1）2+2，∴H可由G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；故②正确；③∵y1﹣y2＝﹣（x+1）2+2﹣[﹣（x﹣2）2﹣1]＝﹣6x+6，∴随着x的增大，y1﹣y2的值减小；故③错误；④设AC与DE交于点F，∵当y＝﹣2时，﹣（x+1）2+2＝﹣2，解得：x＝﹣3或x＝1，∴点A（﹣3，﹣2），当y＝﹣2时，﹣（x﹣2）2﹣1＝﹣2，解得：x＝3或x＝1，∴点C（3，﹣2），∴AF＝CF＝3，AC＝6，当x＝0时，y1＝1，y2＝﹣5，∴DE＝6，DF＝EF＝3，∴四边形AECD为平行四边形，∴AC＝DE，∴四边形AECD为矩形，∵AC⊥DE，∴四边形AECD为正方形．故④正确．故选：B．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2019春•雨花区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣5，0）、（﹣2，0）．点P在抛物线y＝﹣2x2+4x+8上，设点P的横坐标为m．当0≤m≤3时，△PAB的面积S的取值范围是　3≤S≤15　．【思路引导】根据坐标先求AB的长，所以△PAB的面积S的大小取决于P的纵坐标的大小，因此只要讨论当0≤m≤3时，P的纵坐标的最大值和最小值即可，根据顶点坐标D（1，4），由对称性可知：x＝1时，P的纵坐标最大，此时△PAB的面积S最大；当x＝3时，P的纵坐标最小，此时△PAB的面积S最小．【完整解答】解：∵点A、B的坐标分别为（﹣5，0）、（﹣2，0），∴AB＝3，y＝﹣2x2+4x+8＝﹣2（x﹣1）2+10，∴顶点D（1，10），由图象得：当0≤x≤1时，y随x的增大而增大，当1≤x≤3时，y随x的增大而减小，∴当x＝3时，即m＝3，P的纵坐标最小，y＝﹣2（3﹣1）2+10＝2，＝×2AB＝×2×3＝3，此时S△PAB当x＝1时，即m＝1，P的纵坐标最大是10，＝×10AB＝×10×3＝15，此时S△PAB∴当0≤m≤3时，△PAB的面积S的取值范围是3≤S≤15；故答案为：3≤S≤15．12．（2分）（2021•岳麓区开学）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③3a+c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；⑤4a+2b≥am2﹣bm（m为任意实数）．其中正确的结论有　①③⑤　．（填序号）【思路引导】由抛物线的对称轴为直线x＝2可得a与b的关系，从而判断①，由x＝﹣3时y＞0可判断②，由抛物线经过（﹣1，0）及a与b的关系可判断③，由抛物线对称轴及开口方向可判断④，由x＝2时y取最大值可判断⑤．【完整解答】解：∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，∴b＝﹣4a，即4a+b＝0，①正确．由图象可得x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜0，∴9a+c＜3b，②错误．∵抛物线经过（﹣1，0），∴a﹣b+c＝a+4a+c＝5a+c＝0，∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴3a+c＝5a+c﹣2a＞0，③正确．由图象可得x＜2时，y随x增大而增大，∴④错误．∵x＝2时，函数取最大值，∴4a+2b+c≥am2﹣bm+c，即4a+2b≥am2﹣bm，⑤正确．故答案为：①③⑤．13．（2分）（2020•天心区开学）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣，0），对称轴为直线x＝1，下列5个结论：①abc＜0；②a﹣2b+4c＝0；③2a+b＞0；④2c﹣3b＜0；⑤a+b≤m （am+b）．其中正确的结论为　②⑤　．（注：只填写正确结论的序号）【思路引导】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．【完整解答】解：①函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＜0，故abc＞0，故①错误，不符合题意；②将点（﹣，0）代入函数表达式得：a﹣2b+4c＝0，故②正确，符合题意；③函数的对称轴为直线x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，故2a+b＝0，故③错误，不符合题意；④由②③得：a﹣2b+4c＝0，b＝﹣2a，则c＝﹣，故2c﹣3b＝＞0，故④错误，不符合题意；⑤当x＝1时，函数取得最小值，即a+b+c≤m（am+b）+c，故⑤正确，符合题意；故答案为②⑤．14．（2分）（2019秋•浏阳市期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x＝﹣1，给出下列结果：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b＝0；④a﹣b+c＜0；⑤3a+c＞0．其中正确结论的序号是　①④⑤　．【思路引导】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴x＝﹣1计算2a+b与0的关系；再由根的判别式与根的关系，进而对所得结论进行判断．【完整解答】解：∵图象和x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，∴①正确；∵从图象可知：a＞0，c＜0，﹣＝﹣1，b＝2a＞0，∴abc＜0，∴②错误；∵b＝2a＞0∴2a+b＝4a＞0，∴③错误；∵x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，∴④正确；∵x＝1时，y＞0，∴a+b+c＞0，把b＝2a代入得：3a+c＞0，选项⑤正确；故答案为①④⑤．15．（2分）（2019•雨花区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+（a＞0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M．P为抛物线的顶点．若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则a的值为　2　．【思路引导】先根据抛物线解析式求出点A坐标和其对称轴，再根据对称性求出点M坐标，利用点M为线段AB中点，得出点B坐标；用含a的式子表示出点P坐标，写出直线OP的解析式，再将点B坐标代入即可求解出a的值．【完整解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+（a＞0）与y轴交于点A，∴A（0，），抛物线的对称轴为x＝1∴顶点P坐标为（1，﹣a），点M坐标为（2，）∵点M为线段AB的中点，∴点B坐标为（4，）设直线OP解析式为y＝kx（k为常数，且k≠0）将点P（1，）代入得＝k∴y＝（）x将点B（4，）代入得＝（）×4解得a＝2故答案为：2．16．（2分）（2021春•雨花区期末）如图，P是抛物线y＝x2﹣2x﹣3在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为．【思路引导】设P（x，x2﹣2x﹣3）根据矩形的周长公式得到C＝﹣2（x﹣）2+．根据二次函数的性质来求最值即可．【完整解答】解：设P（x，x2﹣2x﹣3），∵过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，∴四边形OAPB为矩形，∴四边形OAPB周长＝2PA+2OA＝﹣2（x2﹣2x﹣3）+2x＝﹣2x2+6x+6＝﹣2（x2﹣3x）+6，＝﹣2+．∴当x＝时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为．故答案为．17．（2分）（2019秋•天心区校级月考）如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，S＝．△PAB【思路引导】根据轴对称，可以求得使得△PAB的周长最小时点P的坐标，然后求出点P到直线AB的距离和AB的长度，即可求得△PAB的面积，本题得以解决．【完整解答】解：，解得，或，∴点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（4，5），∴AB＝＝3，作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B与y轴的交于P，则此时△PAB的周长最小，点A′的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（4，5），设直线A′B的函数解析式为y＝kx+b，，得，∴直线A′B的函数解析式为y＝x+，当x＝0时，y＝，即点P的坐标为（0，），将x＝0代入直线y＝x+1中，得y＝1，∵直线y＝x+1与y轴的夹角是45°，∴点P到直线AB的距离是：（﹣1）×sin45°＝＝，∴△PAB的面积是：＝，故答案为：．18．（2分）（2019秋•浏阳市期中）已知抛物线y＝ax2+2ax+m（a＞0）经过点（﹣4，y1）、（﹣2，y2），（1，y 3），则y1、y2、y3的大小关系是　y2＜y3＜y1　．【思路引导】把三点的坐标分别代入可求得y1、y2、y3，再比例其大小即可．【完整解答】解：∵抛物线y＝ax2+2ax+m（a＞0）经过点（﹣4，y1）、（﹣2，y2），（1，y3），∴y1＝16a﹣8a+m＝8a+m，y2＝4a﹣4a+m＝m，y3＝a+2a+m＝3a+m，∵a＞0，∴m＜3a+m＜8a+m，即y2＜y3＜y1，故答案为：y2＜y3＜y1．19．（2分）（2017秋•开福区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，经过点（0，1）有以下结论：①a+b+c＜0；②b2﹣4ac＞0；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤c﹣a＞1，其中所有正确结论的序号是　①②③⑤　．【思路引导】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【完整解答】解：①由图象可知：x＝1时，y＜0，∴y＝a+b+c＜0，故①正确；②由图象可知：Δ＞0，∴b2﹣4ac＞0，故②正确；③由图象可知：＜0，∴ab＞0，又∵c＝1，∴abc＞0，故③正确；④由图象可知：（0，0）关于x＝﹣1对称点为（﹣2，0）∴令x＝﹣2，y＞0，∴4a﹣2b+c＞0，故④错误；⑤由图象可知：a＜0，c＝1，∴c﹣a＝1﹣a＞1，故⑤正确；故答案为：①②③⑤20．（2分）（2015春•长沙校级期中）函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1＝0；③3b+c+6＝0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0；其中正确的个数有　2　个．【思路引导】由函数y＝x2+bx+c与x轴无交点，可得b2﹣4c＜0；当x＝1时，y＝1+b+c＝1；当x＝3时，y＝9+3b+c＝3；当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c＜x，继而可求得答案．【完整解答】解：∵函数y＝x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4ac＜0；故①错误；由图象知，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x的交点坐标为（1，1）和（3，3），当x＝1时，y＝1+b+c＝1，故②错误；∵当x＝3时，y＝9+3b+c＝3，∴3b+c+6＝0；③正确；∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正确．故答案是：2．三．解答题（共7小题，满分60分）21．（6分）（2021春•岳麓区校级期末）已知二次函数如图所示，M为抛物线的顶点，其中A（1，0），B （3，0），C（0，3）．（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标M的坐标．（2）求直线CM的解析式．【思路引导】根据待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式．【完整解答】解：（1）设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），将C（0，3）代入得：3＝a（0﹣1）（0﹣3），∴a＝1，∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，∴顶点坐标M（2，﹣1），（2）设直线CM的解析式为y＝kx+b，将C（0，3）、M（2，﹣1）代入得：，∴．∴y＝﹣2x+3．22．（8分）（2021春•天心区校级月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2+2x﹣1（a≠0）和直线l：y＝kx+b，点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）均在直线l上．（1）求出直线l的解析式；（2）当a＝﹣1，二次函数y＝ax2+2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为﹣4，求m的值；（3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，求a的取值范围．【思路引导】（1）利用待定系数法即可求出直线的解析式；（2）分x在对称轴右侧和左侧两种情况，分别求解即可；（3）分a＜0、a＞0两种情况，分别求解即可．【完整解答】解：（1）把点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）代入y＝kx+b中，得，解得，∴直线l的解析式为y＝x﹣；（2）根据题意可得，y＝﹣x2+2x﹣1，∵a＜0，∴抛物线开口向下，对称轴x＝1，∵m≤x≤m+2时，y有最大值﹣4，∴当y＝﹣4时，有﹣x2+2x﹣1＝﹣4，∴x＝﹣1或x＝3，①在x＝1左侧，y随x的增大而增大，∴x＝m+2＝﹣1时，y有最大值﹣4，∴m＝﹣3；②在对称轴x＝1右侧，y随x最大而减小，∴x＝m＝3时，y有最大值﹣4；综上所述：m＝﹣3或m＝3；（3））①a＜0时，x＝1时，y≤﹣1，即a+1≤﹣1，∴a≤﹣2；②a＞0时，x＝﹣3时，y≥﹣3，即9a﹣7≥﹣3，∴a≥，直线AB的解析式为y＝x﹣；抛物线与直线联立：ax2+2x﹣1＝x﹣，∴ax2+x+＝0，△＝﹣2a＞0，∴a＜，∴a的取值范围为≤a＜或a≤﹣2．23．（8分）（2020秋•长沙月考）已知抛物线y＝（2m﹣1）x2+（m+1）x+3（m为常数）．（1）若该抛物线经过点（1，m+7），求m的值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求满足条件的最大整数m；（3）将该抛物线向下平移若干个单位长度，所得的新抛物线经过P（﹣5，y1），Q（7，y2）（其中y1＜y2）两点，当﹣5≤x≤3时，点P是该部分函数图象的最低点，求m的取值范围．【思路引导】（1）将点（1，m+7）代入函数解析式即可；（2）设符合题意的两点分别是（x0，y），（﹣x，﹣y），代入解析式，两式相加即可得到2（2m﹣1）x2+6＝0，根据二次函数的性质即可求得；（3）当﹣5≤x≤3时，点P是该图象的最低点，①当2m﹣1＞0时，﹣≤﹣5②当2m﹣1＜0时，﹣＞1．【完整解答】解：（1）抛物线经过点（1，m+7），∴m+7＝2m﹣1+m+1+3，∴m＝2；（2）设抛物线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是（x0，y），（﹣x，﹣y），代入解析式可得：，∴两式相加可得：2（2m﹣1）x2+6＝0，化简得：x2＝﹣，又∵x≠0，∴﹣＞0，∴2m﹣1＜0，∴m＜，故满足条件的最大整数m＝0；（3）∵新抛物线经过P（﹣5，y1），Q（7，y2）（其中y1＜y2）两点，∵当﹣5≤x≤3时，点P是该图象的最低点，①当2m﹣1＞0时，﹣≤﹣5，∴＜m≤，②当2m﹣1＜0时，﹣＞1，∴＜m＜；综上所述：＜m≤且m≠；24．（8分）（2017春•雨花区校级期末）如图，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．【思路引导】（1）直接把A点和C点坐标代入y＝﹣x2+mx+n得m、n的方程组，然后解方程组求出m、n即可得到抛物线解析式；（2）先利用抛物线对称轴方程求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣，则D（，0），则利用勾股定理计算出CD＝，然后分类讨论：如图1，当CP＝CD时，利用等腰三角形的性质易得P1（，4）；当DP＝DC时，易得P2（，），P3（，﹣）；（3）先根据抛物线与x轴的交点问题求出B（4，0），再利用待定系数法求出直线BC的解析式为y＝﹣x+2，利用一次函数图象上点的坐标特征和二次函数图象上点的坐标特征，设E（x，﹣x+2）（0≤x≤4），则F（x，﹣x2+x+2），则FE＝﹣x2+2x，由于△BEF和△CEF共底边，高的和为4，则S△BCF＝S△BEF+S△CEF＝×4×EF＝﹣x2+4x，加上S△BCD＝，所以S四边形CDBF＝S△BCF+S△BCD＝﹣x2+4x+（0≤x ≤4），然后根据二次函数的性质求四边形CDBF 的面积最大，并得到此时E 点坐标．【完整解答】解：（1）把A （﹣1，0），C （0，2）代入y ＝﹣x 2+mx +n 得，解得，∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2+x +2；（2）存在．抛物线的对称轴为直线x ＝﹣＝，则D （，0），∴CD ＝＝＝，如图1，当CP ＝CD 时，则P 1（，4）；当DP ＝DC 时，则P 2（，），P 3（，﹣），综上所述，满足条件的P 点坐标为（，4）或（，）或（，﹣）；（3）当y ＝0时，﹣x 2+x +2＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝4，则B （4，0），设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ，把B （4，0），C （0，2）代入得，解得，∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x +2，设E （x ，﹣x +2）（0≤x ≤4），则F （x ，﹣x 2+x +2），∴FE ＝﹣x 2+x +2﹣（﹣x +2）＝﹣x 2+2x ，∵S △BCF ＝S △BEF +S △CEF ＝×4×EF ＝2（﹣x 2+2x ）＝﹣x 2+4x ，而S △BCD ＝×2×（4﹣）＝，∴S 四边形CDBF ＝S △BCF +S △BCD＝﹣x 2+4x +（0≤x ≤4），＝﹣（x﹣2）2+当x＝2时，S有最大值，最大值为，此时E点坐标为（2，1）．四边形CDBF25．（8分）（2021秋•雨花区期末）如图，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为A，交x轴于B、D两点，与y 轴交于点C．（1）求线段BD的长；（2）求△ABC的面积；（3）P是抛物线对称轴上一动点，求PC+PD的最小值．【思路引导】（1）分别求出D（﹣1，0），B（3，0），则可求BD；（2）连接AO ，求出顶点坐标为（1，﹣4），C （0，﹣3），再由S △CAB ＝S △OAB +S △OCA ﹣S △OCB 即可求解；（3）连接BC 交对称轴与点P ，由题意可知B 点与D 点关于对称轴x ＝1对称，则当P 、B 、C 三点共线时，PC +PD 的值最小，求出BC ＝3即为所求．【完整解答】解：（1）当y ＝0，则0＝x 2﹣2x ﹣3，则（x ﹣3）（x +1）＝0，解得：x 1＝﹣1，x 2＝3，∴D （﹣1，0），B （3，0），∴BD ＝4；故答案为：4．（2）连接AO ，∵y ＝x 2﹣2x ﹣3＝（x ﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），当x ＝0时，y ＝﹣3，∴C （0，﹣3），∴S △CAB ＝S △OAB +S △OCA ﹣S △OCB ＝×3×4+×3×1﹣×3×3＝3；故答案为：3．（3）连接BC 交对称轴与点P ，∵y ＝（x ﹣1）2﹣4，∴对称轴为直线x ＝1，∵B 点与D 点关于对称轴x ＝1对称，∴DP ＝PB ，∴PC +PD ＝PC +BP ≥BC ，∴当P 、B 、C 三点共线时，PC +PD 的值最小，∵B （3，0），C （0，﹣3），∴BC ＝3，∴PC +PD 的最小值即BC ＝．26．（10分）（2021•岳麓区开学）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在一次函数y＝kx+t（k≠0）的图象上，则称y＝ax2+bx+c（a≠0）为y＝kx+t（k≠0）的定顶抛物线，如：y＝x2+1是y＝x+1的定顶抛物线．（1）若y＝x2﹣4是y＝﹣x+p的定顶抛物线，求p的值；（2）若二次函数y＝﹣x2+4x+7是经过点（1，3）一次函数y＝kx+t（k≠0）的定顶抛物线，求直线y＝kx+t（k≠0）与两坐标轴围成的三角形的面积；（3）若函数y＝mx﹣3（m≠0）的定顶抛物线y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值．【思路引导】（1）由抛物线解析式可得顶点坐标，将顶点坐标代入直线解析式求解．（2）由抛物线解析式可得顶点坐标，由抛物线顶点坐标及（1，3）可得直线解析式，进而求解．（3）由线y＝x2+2x+n可得抛物线对称轴为直线x＝﹣1，由抛物线与x轴两个交点间的距离为4可得抛物线与x轴交点坐标，进而可得n的值，将抛物线顶点坐标代入直线解析式可得m的值．【完整解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣4的顶点坐标为（0，﹣4），∴（0，﹣4）在直线y＝﹣x+p上，∴p＝﹣4．（2）∵y＝﹣x2+4x+7＝﹣（x﹣2）2+11，∴抛物线顶点坐标为（2，11），将（2，11），（1，3）代入y＝kx+t得，解得，∴一次函数解析式为y＝8x﹣5．将x＝0代入y＝8x﹣5得y＝﹣5，将y＝0代入y＝8x﹣5得0＝8x﹣5，解得x＝，∴一次函数与坐标轴交点坐标为（0，﹣5），（，0），∴直线y＝8x﹣5与坐标轴围成的三角形面积为×＝．（3）∵y＝x2+2x+n，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∵抛物线与x轴的两个交点之间距离为4，﹣1+2＝1，﹣1﹣2＝﹣3，∴抛物线经过（1，0），（﹣5，0），将（1，0）代入y＝x2+2x+n得0＝1+2+n，解得n＝﹣3．∴y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣4），将（﹣1，﹣4）代入y＝mx﹣3得﹣4＝﹣m﹣3，解得m＝1．27．（12分）（2021春•长沙期末）如图①，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B，与y轴交于点C，若OA＝OC＝2OB＝2．（1）求抛物线的解析式及过点B、C的直线的解析式；（2）若P为线段AC上方抛物线上一动点，求△ACP面积的最大值；（3）如图②过点A作AD⊥BC于点D，过D作DH⊥x轴于H，若G为直线DH上的动点，N为抛物线上的动点，在x轴上是否存在点M，使得以M、N、G、H为顶点的四边形为正方形？若存在，求出M点坐标，若不存在，请说明理由．【思路引导】（1）由已知求出A（2，0），B（﹣1，0），C（0，2），再由待定系数法求解析式即可；（2）求出直线AC的解析式，再由铅锤法求出三角形△ACP面积；（3）求出直线AD的解析式，从而求出交点D的横坐标，即可求H点的坐标，设M（m，0），再由已知可确定GH和MN分别为正方形的边，则有MN＝|﹣m2+m+2|＝MH＝|m+|，求出M即可．【完整解答】解：（1）∵OA＝OC＝2OB＝2，∴A（2，0），B（﹣1，0），C（0，2），将点A、B、C代入y＝ax2+bx+c中，可得，解得，∴y＝﹣x2+x+2，设BC的直线解析式为y＝kx+b，将点B、C代入可得，，解得，∴y＝2x+2；（2）设直线AC的解析式为y＝k1x+b1，将点A（2，0），C（0，2）代入可得，，解得，∴y＝﹣x+2，设P（t，﹣t2+t+2），过P点作x轴的垂线交直线AC于点Q，则Q（t，﹣t+2），∴△ACP面积＝×2×（﹣t2+t+2+t﹣2）＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣1）2+1，∴当t＝1时，△ACP面积的最大值为1；（3）存在点M得以M、N、G、H为顶点的四边形为正方形，理由如下：∵AD⊥BC，DH⊥x轴，∴∠DAO＝∠BCO，∵tan∠BCO＝，∴AD与y轴的交点为（0，1），∴AD直线解析式为y＝﹣x+1，联立﹣x+1＝2x+2，解得x＝﹣，∴H（﹣，0），设M（m，0），∵GH⊥x轴，以M、N、G、H为顶点的四边形为正方形时，GH为正方形的边，∴MN也是正方形的边，∴N（m，﹣m2+m+2），∴MN＝|﹣m2+m+2|，MH＝|m+|，∵|﹣m2+m+2|＝|m+|，∴m＝±或m＝1±，∴M（，0）或M（﹣，0）或M（1+，0）或M（1﹣，0）。

人教版(五四制)2019-2020九年级数学上册28.1二次函数的图象与性质自主学习达标2(基础含答案)

人教版（五四制）2019-2020九年级数学上册28.1二次函数的图象与性质自主学习达标2（基础含答案）1．设A （-2，y 1），B （1，y 2），C （2，y 3）是抛物线y=-（x+1）2+a 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（）A ．123y y y >>B ．132y y y >>C ．321y y y >>D ．312y y y >> 2．二次函数的图象如图所示，则下列结论：①，②，③，④，⑤，⑥其中正确的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．关于二次函数y ＝(x ＋2)2的图象，下列说法正确的是( )A ．开口向下B ．最低点是A(2，0)C ．对称轴是直线x ＝2D ．对称轴的右侧部分y 随x 的增大而增大4．已知抛物线2y ax bx c =++（x 为任意实数）经过下图中两点M （1，－2）、N （m ，0），其中M 为抛物线的顶点，N 为定点．下列结论：①若方程20ax bx c ++=的两根为1x ， 2x （12x x <），则110x -<<， 223x <<； ②当x m <时，函数值y 随自变量x 的减小而减小．③0a >， 0b <， 0c >.④垂直于y 轴的直线与抛物线交于C 、D 两点，其C 、D 两点的横坐标分别为s 、t ，则s t +=2 ．其中正确的是（）A ．①②B ．①④C ．②③D ．②④5．将抛物线 y =+1 向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位，所得的抛物线为（）A ．y =﹣2（x ﹣1）2﹣2B ．y =﹣2（x +1）2﹣2C ．y =﹣2（x ﹣1）2+4D ．y =﹣2（x +1）2+46．将抛物线y 1＝x 2﹣2x ﹣3先向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，与抛物线y 2＝ax 2+bx+c 重合，现有一直线y 3＝2x+3与抛物线y 2＝ax 2+bx+c 相交，当y 2≤y 3时，利用图象写出此时x 的取值范围是( )A ．x≤﹣1B ．x≥3C ．﹣1≤x≤3D ．x≥07．已知点(3,y 1),(4,y 2),(5,y 3)在函数y=2x 2+8x+7的图象上,则y 1,y 2,y 3的大小关系是（） A ．y 1>y 2>y 3 B ．y 2>y 1>y 3 C ．y 3>y 2>y 1 D ．y 2>y 3>y 18．抛物线y=﹣2（x ﹣1）2的图象上有三个点A （﹣1，y 1），B （1，y 2），C （2，y 3），则y 1，y 2，y 3的大小关系是（）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 3＞y 1＞y 2D ．y 2＞y 3＞y 19．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，若，则下列各式成立的是（）A ．b+c-1=0B ．b+c+1=0C ．b-c+1=0D ．b-c-1=010．已知二次函数y=x 2﹣2mx+m 2+3（m 是常数），把该函数的图象沿y轴平移后，得到的函数图象与x 轴只有一个公共点，则应把该函数的图象（） A ．向上平移3个单位 B ．向下平移3个单位C ．向上平移1个单位D ．向下平移1个单位11．抛物线2y x bx c =-++的最高点为（-1，-3），则b+c=____________。

二次函数表达式、图象及性质(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：二次函数的定义问题2：二次函数的表达式有几种？用法分别是什么？问题3：二次函数图象、对称轴以及顶点坐标问题4：描述二次函数的最值问题5：描述二次函数的增减性问题6：二次函数中a，b，c的符号与其图象的关系二次函数表达式、图象及性质一、单选题(共14道，每道6分)1.已知函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中二次函数的个数为( )A.2个B.3个C.4个D.5个答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数的定义2.若函数是二次函数，则m的值一定是( )A.3B.0C.3或0D.1或2答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数的定义3.若正比例函数，y随x的增大而减小，则它和二次函数的图象大致是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数的图象与系数的关系4.函数与，在同一坐标系中的图象可能是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：反比例函数图象5.二次函数的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数的图象与系数的关系6.已知正比例函数y=ax与反比例函数在同一坐标系中的图象如图所示，判断二次函数在坐标系中的大致图象是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数的图象与系数的关系7.一次函数二次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，已知A点的坐标为(-2，0)，则下列结论中，正确的是( )A.b=2a+kB.a=b+kC. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数的图象与系数的关系8.二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数的图象与系数的关系9.设a，b是常数，且b＞0，抛物线为下图中四个图象之一，则a 的值为( )A.6或-1B.-6或1C.6D.-1答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数的图象与系数的关系10.判断下列哪一组的，，可使二次函数在平面直角坐标系中的图象有最低点( )A.，B.，C.，D.，答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数的性质11.对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为(-1，3)；④时，y随x的增大而减小；⑤抛物线与y轴的交点坐标为(0，3)．其中正确的结论有( )个．A.1B.2C.3D.4答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数的性质12.已知m，n，k为非负实数，且m-k+1=2k+n=1，则代数式的最小值为( )A.-2B.0C.2D.2.5答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数的最值13.已知M，N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y=x+3上，设点M的坐标为(a，b)，下面对于二次函数的描述正确的是( )A.有最大值，最大值为B.有最大值，最大值为C.有最小值，最小值为D.有最小值，最小值为答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：反比例函数图象上点的坐标特征14.如图，已知点A(4，0)，O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P，O两点的二次函数和过P，A两点的二次函数的图象开口均向下，它们的顶点分别为B，C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于( )A. B.C.3D.4答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的判定和性质。

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