(聚焦典型)2014届高三数学一轮复习《数系的扩充与复数的引入》理 新人教B版

[第66讲 数系的扩充与复数的引入]

(时间：45分钟 分值：100分)

基础热身

1．[2013·天津卷] i 是虚数单位，复数7－i

3＋i

＝( )

A ．2＋i

B ．2－i

C ．－2＋i

D ．－2－i

2．[2013·大连模拟] 复数（1－i ）

2

2i

＝( )

A ．1

B ．－1

C ．i

D ．－i

3．若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝－1，b ＝－1 D ．a ＝1，b ＝－1

4．[2013·吉林模拟] 设ω＝－12＋3

2

i ，则1＋ω等于( )

A ．－ω

B ．ω2

C.1ω2 D ．－1ω

能力提升

5．[2013·河南示范性高中检测] 已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝3－i ，其中i 是虚数单位，则复数z 1z 2

的实部与虚部之和为( )

A ．0 B.1

2

C ．1

D ．2

6．若i 为虚数单位，图K66－1中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z

1＋i

的点是( )

A ．E

B ．F

C ．G

D ．H

7．a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝( )

A ．2 B. 3 C. 2 D ．1

8．[2013·河南示范性高中检测] 若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( )

A ．3＋5i

B ．3－5i

C ．－3＋5i

D ．－3－5i

9．[2013·长春调研] 复数1＋i

（1－i ）

2的共轭复数为( )

A ．－12＋1

2i

B ．－12－12i

C.12－12i

D.12＋12

i 10．[2013·上海卷] 计算：3－i

1＋i

＝________(i 为虚数单位)．

11．若复数z ＝cos θ－sin θ·i 所对应的点在第四象限，则θ为第________象限角．

12．[2013·哈尔滨模拟] 已知M ＝{1，2，(a 2－3a －1)＋(a 2

－5a －6)i}，N ＝{－1，3}，M ∩N ＝{3}，则实数a ＝________．

13．[2013·大连模拟] 若(1＋a i)2

＝－1＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则|a ＋b i|＝________．

14．(10分)已知复数z 1＝3＋i ，|z 2|＝2，z 1×z 2

2是虚部为正数的纯虚数．

(1)求z 1×z 2

2的模； (2)求复数z 2.

15．(13分)已知复数z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2

－8m ＋3)i(m ∈R )的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合．

难点突破

16．(12分)已知z ∈C ，且z ＝1＋t i

1－t i

(t ∈R )，求复数z 对应的点的轨迹．

课时作业(六十六)

【基础热身】

1．B [解析] 本题考查复数的运算，考查运算求解能力，容易题． 7－i 3＋i ＝（7－i ）（3－i ）（3＋i ）（3－i ）＝（7×3－1）－（3＋7）i

32＋1

2

＝2－i. 2．B [解析] 由复数的代数运算，得(1－i)2

＝－2i ，故原式＝－1. 3．D [解析] 由(a ＋i)i ＝b ＋i 得－1＋a i ＝b ＋i ，根据复数相等的充要条件，得a ＝1，b ＝－1，故选D.

4．D [解析] 1＋ω＝12＋32i ，－ω＝12－32i ，ω2

＝－12－32i ，1ω2＝1－12－3

2i ＝－

12＋32

i ， －1

ω＝－－12－3

2

i ⎝ ⎛

⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12－32i ＝12＋3

2i.故选D.

【能力提升】

5．C [解析] z 1z 2＝2＋i 3－i ＝（2＋i ）（3＋i ）（3－i ）（3＋i ）＝5＋5i 10＝12＋1

2

i ，

∴其实部与虚部之和为12＋1

2

＝1.

6．D [解析] 由点Z (x ，y )的坐标知z ＝3＋i ，故z 1＋i ＝3＋i 1＋i ＝（3＋i ）（1－i ）

2＝2

－i ，因此表示复数z

1＋i

的点是H .

7．B [解析] ⎪⎪⎪⎪

⎪

⎪a ＋i i ＝|1－a i|＝1＋a 2＝2，由于a 为正实数，所以a ＝3，故选B.

8．A [解析] 本题考查复数的概念及运算，考查运算能力，容易题．

设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(2－i)＝(2a ＋b )＋(2b －a )i ＝11＋7i ，即 ⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝11，2b －a ＝7，解之得⎩

⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝5.∴z ＝3＋5i. 9．B [解析] 1＋i （1－i ）2

＝1＋i －2i ＝（1＋i ）×i －2i ×i ＝i －12＝－12＋12i ，其共轭复数为－12－1

2

i.

10．1－2i [解析] 考查复数的除法运算，是基础题，复数的除法运算实质就是分母实数化运算．

原式＝（3－i ）（1－i ）1－i

2

＝1－2i. 11．一 [解析] 由条件知cos θ>0，－sin θ<0，即cos θ>0，sin θ>0，故θ为第一象限角．

12．－1 [解析] 由题意知3∈M ，故(a 2－3a －1)＋(a 2

－5a －6)i ＝3，所以⎩

⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0，解得a ＝－1. 13.10 [解析] ∵(1＋a i)2

＝－1＋b i ，

∴1－a 2

＋2a i ＝－1＋b i ，∴⎩

⎪⎨⎪⎧1－a 2

＝－1，2a ＝b ，