概率论课件2.5

令 y 表示产量，Y 表示获利，则 Y g( X ) Xy 3 y 获利Y g( X ) 3 X 1( y X ) X y
EY
4000
y 4000 1 { [ 3 x ( y x )]dx 3 ydx } y 2000 2000 1 ( y 2 7000 y 4000000) 1000 0, 得唯一驻点 y 3500吨. ( EY ) 0, 令（EY）
我们知道，级数的收敛性有两种，一种是绝对收敛， 一种是条件收敛，对于绝对收敛的级数，无论怎样交换 求和顺序，其和不变；而对于条件收敛的级数 ，通过
交换顺序，可以得到不 同的值 .
数学期望是r .v . 固有的数字特征，是一 个恒定的值， 应与求和顺序无关，因 此，必须要求相应的级 数绝对 收敛 . 举例如下:
3. E (aX bY ) aEX bEY
二、r .v .函数的数学期望
设已知随机变量 X 的分布,我们需要计算X的某个函数g(X)的期望. 一种方法是，因为g(X)也是随机变量，它的分布列(或者密 度函数)可以由已知的X的分布列(密度)求出来，然后按照期望 的定义把E[g(X)]计算出来. 使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布列，一般 是比较复杂的 . 那么是否可以不先求g(X)的分布列而只根据X的 分布列求得E[g(X)]呢？ Yes! 定理 设 X 为 r .v ., Y g( X ), 则

| x EX |

概率意义：X 落在 EX 附近的概率随 DX 的变小而增大. 或 DX 越小，X 越集中在 EX 附近.
五 矩 1. 原点矩, 绝对矩(定义2.9)
对于正整数 k , 如果E | X |k , 称EX k k 1,2, 为随机变量 X的k阶原点矩, 称E | X |k 为X的k阶绝对矩.
例 3 X ～exp{ }，求 EX
key : EX
1

几个重要连续型 r .v .分布的数学期望
1. 均匀分布 2. 指数分布 3. 正态分布
~ U[a, b]
~ exp{ }
~ N ( , 2 )
ab E 2 1 E
E
EX的简单性质： 1. E (c ) c 2. E (aX ) aEX
设 r .v . 表示从100人中任选一名的年龄 , 则其分布列为

17 18 19 20 21 pi 2 / 100 2 / 100 30 / 100 56 / 100 10 / 100 这时以概率为权重的加权平均 2 2 30 56 10 17 18 19 20 21 19.7 100 100 100 100 100 就称为 离散型 r .v . 的数学期望
i 1
i 1
也就是说,离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的 级数的和. 注1 形式上，Eξ 是ξ 的各可能取值的加权平均 .实质上，Eξ 刻 划了ξ 取值的真正的“平均”，因此，Eξ 也被称为ξ 的均值或 分布的均值.
注2 对于取有限个值的离散型 r .v . , 其数学期望一定存
在，而对于取可列个值的离散型 r .v . , 其数学期望是一 个无穷级数的和 . 所以我们必须考虑这个 级数的敛散性.
2000
g( x ) f ( x )dx
作业：p.55 3,
p.68 2
即年产量为 3500吨时，期望获利最大 .
三、r .v . 的方差 例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各 测量10次，将测量结果ξ 用坐标上的点表示如图：

甲仪器测量结果

2. 中心矩, 绝对中心矩 .(定义2.10)
对于正整数k , 如果E | X |k , 称E ( X EX )k 为随机变量X的k阶中心矩,称E X EX 为X的k阶绝对中心矩。
k
例1 设 r .v . 服从参数为 p 的 0 1 分布，求 E 解：E 0 (1 p) 1 p p 例2 ~ b( n, p)，求 E
设 X i 1, 第 i 次成功 ， i 1, 2, , n 0， 第 i 次失败

则 E E X i EX i np
g ( x k ) pk (绝对收敛) EY Eg( X ) k g( x ) f ( x )dx
例4 r .v . X 的分布如下表， Y X 2 , 求 EY
X pi
4 2 i 1
1 0.4
2 0.3
3 0.2
4 0.1
EY xi pi (1 0.4 4 0.3 9 0.2 16 0.1) 5
前者易证明，后者易说明概率意义 。
即证 2 P{| X EX | } DX
2 2 | x EX | f ( x ) dx ( x EX ) f ( x )dx DX R
| x EX | 2 f ( x )dx
2 P{| X EX | }
四.契贝晓夫不等式
方差反映了r .v . 离开数学期望的平均偏 离程度， 则 P (| X EX | ) 应与 DX 有一定关系，如果 DX 越大, 那么 P (| X EX | ) 也会大一些，严格化便是下述
契贝晓夫不等式
P {| X EX | }
证明
DX

2
，或 P {| X EX | } 1 DX 2
例5 设 X 服从U[0,2π], 求 EsinX
解 E sin X
2 0
1 1 2 cos x |0 0 sin x dx 2 2
例6 设世界市场对我国某出口商品的需求量X（单位：吨）为随 机变量，它服从[2000，4000]上的均匀分布，设该商品每售出 一吨，可获利3万美元外汇，若积压于库，则每吨需支付保养费 1万美元外汇，问如何计划年产量，能使国家期望获利最多. 解 即求期望获利的最值 . 已知需求量 X ~ U[2000,4000]
k 2 例 的取值为 ak ( 1) k k 1 相应的分布列为 pk P ( ak ) k k 1,2, 2 k 1 尽管 ak pk ( 1) ln 2 , k k 1 k 1 1 但 ak pk E不存在. k 1 k 1 k
如果积分 xf ( x )dx绝对收敛 , 则称该积分为X的数学期望,
记为EX ,即EX xf ( x )dx


EX xn pn
n
EX


xf ( x )dx
例1 已知随机变量X服从区间 [a, b]上的均匀分布, 求EX . ab EX 2
例2 设 X 服从柯西分布，其密度 函数为 1 f ( x) , 2 (1 x ) x
§2.5
随机变量的数字特征
1. 理解r.v.的数学期望的定义、性质和含义， 能够熟练计算期望，特别是连续型的 2. 理解方差的性质和含义，能够熟练计算
3. 会求r.v.函数的数学期望
一、r .v . 的数学期望
引例 一个年级有100名学生，年龄组成为 17岁的2人 , 18岁的2人， 19岁的30人， 20岁的56人， 21岁的10人 .求该 年级学生的平均年龄 解：显然17 2 18 2 19 30 20 56 21 10 19.7 100 实际上，我们采取了以频率为权重的加权平均
EX 2 ( EX )2 (简算式）
例1 设 X 服从参数为 p 的 0-1 分布,求 DX.
解：DX EX 2 ( EX )2 0 q 12 p p 2 pq
例2 ~ P ( )，求 D
key : D (b a )2 key : D 例3 ~ U (a , b)，求 D 12 2 例4 ~ N ( , 2 )，求 D key : D
正态分布N ( , 2 )完全可由其数学期望及方差唯一确定
方差的简单性质:
1. D(c ) 0 2. D(cX ) c 2 DX 3. D( X c ) DX 4. 若 , 相互独立，且 D , D 存在，则D( Fra bibliotek ) D D
作业： p.69 3
a



a
乙仪器测量结果
较好
若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台 仪器好一些呢？ 因为乙仪器的测量结果集中在均值附近 定义 设X为随机变量，期望 EX 存在，称 X-EX 为 X 的离差. 离差可正可负，
用离差的均值描述r .v . X 与 EX 的偏离程度会有损失 ， 为避免相互抵消，用其平方表示。
定义 设 X 为随机变量, EX 存在, 且 E ( X EX )2 存在, 称 E ( X EX )2 为 X 的方差, 记作 DX , 2 , 或 VarX，即
DX 2 VarX E ( X EX )2 称 DX 为 X 的标准差，也记作 X .
2 2 DX E ( X EX )2 E[ X 2 XEX ( EX ) ] EX 2 2 EX EX ( EX )2
几个重要离散型 r .v .分布的数学期望
1.两点分布 2.二项分布 3.泊松分布 4.几何分布
0 ~ 1 p
1 p
E p E np E
1 E p
~ b( n, p)
~ P ( )
~ G ( p)
连续型随机变量的数学期望
定义2.7 设连续型随机变量 X的概率密度为f ( x ),
i 1 i 1
n
n
例3 ~ P ( )，求E