2020年高考数学之冲破压轴题讲与练 专题12 圆锥曲线中的最值、范围问题(解析版)
高考数学(理)圆锥曲线综合最值、范围、证明问题
专题 圆锥曲线综合应用（2）- 最值、范围、证明问题一、 高考题型特点：最值、范围、证明问题是高考圆锥曲线大题中的常考题型，难度中等偏上。
二、重难点：1.求解圆锥曲线中的最值问题主要有两种方法：一是利用几何方法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．2.圆锥曲线中的范围问题： (1)解决这类问题的基本思路是建立目标函数和不等关系．(2)建立目标函数的关键是选用一个合适 的变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题；建立不等关系的关键是运用圆锥曲线的几何特征、判别式法或基本不等式等灵活处理．3.圆锥曲线中的证明问题常以椭圆、抛物线为载体，借助设而不求法，考查数形结合思想、方程思想、化归与转化能力、逻辑思维能力、运算求解能力． 三、易错注意点：本部分对学生的能力要求较高，解题中主要数形结合及各种方法的综合应用，同时对数学推理运算能力有很高的要求。
四、典型例题：例1.（2019全国卷III ）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积. 【解析】（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫-⎪⎝⎭，则2112x y =.由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=- . 整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -.故直线AB 的方程为2210tx y -+=.所以直线AB 过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=. 于是()2121212122,1,121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+，()()2222121212||11421AB t x t x x x x t =+-=++-=+.设12,d d 分别为点D ，E 到直线AB 的距离，则21221,1d t d t =+=+.因此，四边形ADBE 的面积()(22121||312S AB d d t t =+=++设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭. 由于EM AB ⊥u u u u r u u u r ，而()2,2EM t t =-u u u u r ，AB u u u r 与向量(1, )t 平行，所以()220t t t +-=.解得t =0或1t =±.当t =0时，S =3；当1t =±时，42S =因此，四边形ADBE 的面积为3或42例2.（2019全国卷II ）已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.【解析】（1）由题设得1222y y x x ⋅=-+-，化简得221(||2)42x y x +=≠，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i ）设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为(0)y kx k =>．由22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得212x k =+．记212u k=+，则(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u --．于是直线QG 的斜率为2k，方程为()2k y x u =-．由22(),2142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22222(2)280k x uk x k u +-+-=．① 设(,)G G G x y ，则u -和G x 是方程①的解，故22(32)2G u k x k +=+，由此得322G uk y k =+．从而直线PG 的斜率为322212(32)2uk uk k u k kuk -+=-+-+． 所以PQ PG ⊥，即PQG △是直角三角形．（ii ）由（i ）得2||21PQ k =+221||uk k PG +=， 所以△PQG 的面积222218()18(1)||12(12)(2)12()k k k k S PQ PG k k k k++===++++‖． 设t =k +1k，则由k >0得t ≥2，当且仅当k =1时取等号．因为2812t S t=+在[2，+∞）单调递减，所以当t =2，即k =1时，S 取得最大值，最大值为169． 因此，△PQG 面积的最大值为169． 例3．(2016年山东)平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b+=＞＞的离心率是3，抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ． （i ）求证：点M 在定直线上；（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S的最大值及取得最大值时点P 的坐标．【解析】(Ⅰ) 由离心率是23，有224=b a ， 又抛物线y x 2=2的焦点坐标为)21,0(F ，所以21=b ，于是1=a ，所以椭圆C 的方程为1=4+22y x ．(Ⅱ) （i ）设P 点坐标为2,),(0)2m Pm m >（， 由y x 2=2得x y =′，所以E 在点P 处的切线l 的斜率为m ， 因此切线l 的方程为2=2m mx －y ，设),(),,(2211y x B y x A ，),(00y x D ，将2=2m mx －y 代入1=4+22y x ，得0=1+4)4+12322－m x m －x m （．于是23214+14=+m m x x ，232104+12=2+=m m x x x ， 又2200222(14)m m y mx m -=-=+， 于是 直线OD 的方程为x m－y 41=． 联立方程x m －y 41=与m x =，得M 的坐标为1(,)4M m -． 所以点M 在定直线41=y －上．（ii ）在切线l 的方程为2=2m mx －y 中，令0x =，得22m y =－，即点G 的坐标为2(0,)2m G -，又2(,)2m P m ，1(0,)2F ， 所以4)1+(=×21=S 21m m GF m ；再由32222(,)412(41)m m D m m -++，得 )1+4(8)1+2(=1+4+2×41+2×21=S 2222322m m m m m m m于是有 222221)1+2()1+)(1+4(2=S S m m m ． 令1+2=2m t ，得222111+2=)1+)(21(2=S S t －t t t t －当21=1t时，即2=t 时，21S S 取得最大值49．此时21=2m ，22=m ，所以P 点的坐标为)41,22P(． 所以21S S 的最大值为49，取得最大值时点P 的坐标为21()24P ． 例4．(2016年全国卷II)已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥． （Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时，求AMN ∆的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围． 【解析】（I ）设11(,)M x y ，则由题意知10y >．当4t =时，椭圆E 的方程为22143x y +=，A 点坐标为()20-，， 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π． 因此直线AM 的方程为2y x =+．将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=． 解得0y =或127y =，所以1127y =． 所以AMN △的面积为21112121442227749AMN S AM ∆==⨯⨯⨯=． （Ⅱ）由题意知3,0,(,0)t k A t >>，则直线AM 的方程为(y k x t =+，联立(2213x y t y k x t ⎧+=⎪⎨⎪=⎩并整理得，()222223230tk x tk x t k t +++-=解得x t =23t tk tx -=所以2223611t tk t t AM k t k -=+=+由题意MA NA ⊥，所以AN 的方程为1()y x t k=-+， 同理可得26(1)||k t k AN +=由2AM AN =,得22233k tk k t=++，即3(2)3(21)k t k k -=- 当32k =时上式成立，因此23632k kt k -=-． 因为3t >，即236332k k k ->-，整理得()()231202k k k +-<- 即3202k k -<-，解得322k <<． 五、强化提升训练：1．(2019·广东佛山模拟)已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆M 的离心率为12，椭圆上异于长轴顶点的任意点A 与左、右两焦点F 1，F 2构成的三角形中面积的最大值为 3.(1)求椭圆M 的标准方程；(2)若A 与C 是椭圆M 上关于x 轴对称的两点，连接CF 2与椭圆的另一交点为B ，求证：直线AB 与x 轴交于定点P ，并求PA →·F 2C →的取值范围．【解析】(1)由题意知c a ＝12，12·2c ·b ＝3，a 2＝b 2＋c 2，解得c ＝1，a ＝2，b ＝ 3.所以椭圆M 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 1，－y 1)，直线AB ：y ＝kx ＋m .将y ＝kx ＋m ，代入x 24＋y 23＝1得，(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋3，x 1x 2＝4m 2－124k 2＋3.因为B ，C ，F 2共线，所以kBF 2＝kCF 2，即kx 2＋m x 2－1＝－kx 1＋mx 1－1， 整理得2kx 1x 2＋(m －k )(x 1＋x 2)－2m ＝0，所以2k 4m 2－124k 2＋3－(m －k )8km4k 2＋3－2m ＝0，解得m ＝－4k .所以直线AB ：y ＝k (x －4)，与x 轴交于定点P (4,0)．因为y 21＝3－34x 21，所以PA →·F 2C →＝(x 1－4，y 1)·(x 1－1，－y 1)＝x 21－5x 1＋4－y 21＝74x 21－5x 1＋1＝74⎝⎛⎭⎪⎫x 1－1072－187.因为－2<x 1<2，所以PA →·F 2C →的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－187，18.2.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，短轴长为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若k OM ·k ON ＝54，求原点O 到直线l 的距离的取值范围．【解析】(1)由题意知e ＝c a ＝32，2b ＝2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝1，a ＝2， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.则Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)＞0，化简得m 2＜4k 2＋1. ①x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2，若k OM ·k ON ＝54，则y 1y 2x 1x 2＝54，即4y 1y 2＝5x 1x 2，所以4k 2x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝5x 1x 2，则(4k 2－5)x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝0，所以(4k 2－5)·4m 2－14k 2＋1＋4km ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 4k 2＋1＋4m 2＝0，化简得m 2＋k 2＝54. ② 由①②得0≤m 2＜65，120＜k 2≤54.因为原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k2，所以d 2＝m 21＋k 2＝54－k 21＋k 2＝－1＋941＋k2， 又120＜k 2≤54，所以0≤d 2＜87，解得0≤d ＜2147. 所以原点O 到直线l 的距离的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2147.3.若F 1，F 2分别是椭圆E ：x 25＋y 2＝1的左、右焦点，F 1，F 2关于直线x ＋y －2＝0的对称点是圆C 的一条直径的两个端点．(1)求圆C 的方程；(2)设过点F 2的直线l 被椭圆E 和圆C 所截得的弦长分别为a ，b .当ab 取最大值时，求直线l 的方程．【解析】(1)因为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，所以圆C 半径为2，圆心C 是原点O 关于直线x ＋y －2＝0的对称点．设C (p ，q )，由⎩⎪⎨⎪⎧q p ＝1，p 2＋q2－2＝0得p ＝q ＝2，所以C (2,2)．所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4.(2)设直线l 的方程为x ＝my ＋2，则圆心C 到直线l 的距离d ＝|2m |1＋m2，所以b ＝222－d 2＝41＋m2，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2x 2＋5y 2＝5得(5＋m 2)y 2＋4my －1＝0，设直线l 与椭圆E 交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－4m 5＋m 2，y 1·y 2＝－15＋m2， a ＝|AB |＝1＋m2y 1＋y 22－4y 1y 2＝25m 2＋1m 2＋5，ab ＝85m 2＋1m 2＋5＝85m 2＋1＋4m 2＋1≤25，当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1，即m ＝±3时等号成立．所以当m ＝±3时，ab 取最大值．此时直线l 的方程为x ±3y －2＝0.4．(2019·梅州一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为点F 1，F 2，其离心率为12，短轴长为2 3.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点F 1的直线l 1与椭圆C 交于M ，N 两点，过点F 2的直线l 2与椭圆C 交于P ，Q 两点，且l 1∥l 2，证明：四边形MNPQ 不可能是菱形．【解析】(1)由已知，得c a ＝12，b ＝3，又c 2＝a 2－b 2，故解得a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：由(1)，知F 1(－1，0)，如图， 易知直线MN 不能平行于x 轴，所以令直线MN 的方程为x ＝my －1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋4y 2－12＝0x ＝my －1得(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0，所以y 1＋y 2＝6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4.此时|MN |＝1＋m2[y 1＋y 22－4y 1y 2].同理，令直线PQ 的方程为x ＝my ＋1，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)， 此时y 3＋y 4＝－6m 3m 2＋4，y 3y 4＝－93m 2＋4，此时|PQ |＝1＋m2[y 3＋y 42－4y 3y 4]，故|MN |＝|PQ |.所以四边形MNPQ 是平行四边形．若平行四边形MNPQ 是菱形，则OM ⊥ON ，即OM →·ON →＝0，于是有x 1x 2＋y 1y 2＝0. 又x 1x 2＝(my 1－1)(my 2－1)＝m 2y 1y 2－m (y 1＋y 2)＋1， 所以有(m 2＋1)y 1y 2－m (y 1＋y 2)＋1＝0， 整理得到－12m 2－53m 2＋4＝0， 即12m 2＋5＝0，上述关于m 的方程显然没有实数解， 故四边形MNPQ 不可能是菱形．5.已知动圆C 过定点F 2(1,0)，并且内切于定圆F 1：(x ＋1)2＋y 2＝12. (1)求动圆圆心C 的轨迹方程；(2)若曲线y 2＝4x 上存在两个点M ，N ，(1)中曲线上有两个点P ，Q ，并且M ，N ，F 2三点共线，P ，Q ，F 2三点共线，PQ ⊥MN ，求四边形PMQN 的面积的最小值．【解析】(1)设动圆的半径为r ，则|CF 2|＝r ，|CF 1|＝23－r ，所以|CF 1|＋|CF 2|＝23＞|F 1F 2|，由椭圆的定义知动圆圆心C 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆，且a ＝3，c ＝1，所以b ＝2，动圆圆心C 的轨迹方程是x 23＋y 22＝1.(2)当直线MN 的斜率不存在时，直线PQ 的斜率为0，易得|MN |＝4，|PQ |＝23，四边形PMQN 的面积S ＝4 3.当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x ，消元得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k 2＋2，x 1x 2＝1，|MN |＝1＋k2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋22－4＝4k 2＋4.因为PQ ⊥MN ，所以直线PQ 的方程为y ＝－1k(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－1k x －1，x 23＋y 22＝1，得(2k 2＋3)x 2－6x ＋3－6k 2＝0. 设P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 3＋x 4＝62k 2＋3，x 3x 4＝3－6k 22k 2＋3，|PQ |＝1＋1k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫62k 2＋32－4×3－6k 22k 2＋3＝43k 2＋12k 2＋3. 则四边形PMQN 的面积S ＝12|MN ||PQ |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋443k 2＋12k 2＋3＝83k 2＋12k 22k 2＋3.令k 2＋1＝t ，t ＞1，则S ＝83t 2t －12t ＋1＝83－1t 2－1t ＋2＝83－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋122＋94. 因为t ＞1，所以0＜1t ＜1，易知－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋122＋94的范围是(0,2)，所以S ＞832＝4 3. 综上可得S ≥43，S 的最小值为4 3.6．(2019·安庆二模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且过点(2，2)． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设A 、B 为椭圆C 的左、右顶点，过C 的右焦点F 作直线l 交椭圆于M ，N 两点，分别记△ABM ，△ABN 的面积为S 1，S 2，求|S 1－S 2|的最大值．【解析】(1)根据题意可得：c a ＝22，4a 2＋2b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2， 解得：a 2＝8，b ＝2.故椭圆C 的标准方程为：x 28＋y 24＝1. (2)由(1)知F (2,0)，当直线l 的斜率不存在时，S 1＝S 2，于是|S 1－S 2|＝0；当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y ＝k (x －2)(k ≠0)，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －2，x 28＋y 24＝1，得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－8＝0. ∴x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－81＋2k2，于是|S 1－S 2|＝12×42×|y 1＋y 2|＝22|k (x 1＋x 2)－4k |＝22⎪⎪⎪⎪⎪⎪k ×8k 21＋2k 2－4k ＝82|k |1＋2k 2＝821|k |＋2|k |≤8222＝4.当且仅当k ＝±22时等号成立，此时|S 1－S 2|的最大值为4. 综上，|S 1－S 2|的最大值为4.7.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，右焦点为F ，且该椭圆过点⎝⎛⎭⎪⎫1，－32. (1)求椭圆C 的方程；(2)当动直线l 与椭圆C 相切于点A ，且与直线x ＝433相交于点B 时，求证：△FAB 为直角三角形． 【解析】(1)由题意得c a ＝32，1a 2＋34b 2＝1，又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝1，a 2＝4，即椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可得直线l 的斜率存在，设l ：y ＝kx ＋m ，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 判别式Δ＝64k 2m 2－16(4k 2＋1)(m 2－1)＝0，得m 2＝4k 2＋1＞0.设A (x 1，y 1)，则x 1＝－8km 24k 2＋1＝－8km 2m 2＝－4k m ，y 1＝kx 1＋m ＝－4k 2m ＋m ＝1m ，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m ，1m . 易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫433，433k ＋m ，F (3，0)， 则FA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m －3，1m ，FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33，433k ＋m ， FA →·FB →＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m －3＋1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫433k ＋m ＝－43k 3m －1＋43k 3m ＋1＝0， 所以FA →⊥FB →，即△FAB 为直角三角形，得证．8．(2019·朝阳区模拟)过椭圆W ：x 22＋y 2＝1的左焦点F 1作直线l 1交椭圆于A ，B 两点，其中A (0,1)，另一条过F 1的直线l 2交椭圆于C ，D 两点(不与A ，B 重合)，且D 点不与点(0，－1)重合．过F 1作x 轴的垂线分别交直线AD ，BC 于E ，G .(1)求B 点坐标和直线l 1的方程；(2)求证：|EF 1|＝|F 1G |.【解析】(1)由题意可得直线l 1的方程为y ＝x ＋1.与椭圆方程联立，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1x 22＋y 2＝1可求B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，－13. (2)证明：当l 2与x 轴垂直时，C ，D 两点与E ，G 两点重合，由椭圆的对称性，|EF 1|＝|F 1G |. 当l 2不与x 轴垂直时，设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，l 2的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x ＋1x 22＋y 2＝1消去y ，整理得(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0. 则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1. 由已知，x 2≠0，则直线AD 的方程为y －1＝y 2－1x 2x ，令x ＝－1， 得点E 的纵坐标y E ＝x 2－y 2＋1x 2. 把y 2＝k (x 2＋1)代入得y E ＝x 2＋11－k x 2. 由已知，x 1≠－43， 则直线BC 的方程为y ＋13＝y 1＋13x 1＋43⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋43， 令x ＝－1，得点G 的纵坐标y G ＝y 1－x 1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋43.把y 1＝k (x 1＋1)代入得y G ＝x 1＋1k －13x 1＋4. y E ＋y G ＝x 2＋11－k x 2＋x 1＋1k －13x 1＋4 ＝1－k [x 2＋13x 1＋4－x 2x 1＋1]x 2·3x 1＋4 ＝1－k [2x 1x 2＋3x 1＋x 2＋4]x 2·3x 1＋4把x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1代入到2x 1x 2＋3(x 1＋x 2)＋4中， 2x 1x 2＋3(x 1＋x 2)＋4＝2×2k 2－22k 2＋1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 22k 2＋1＋4＝0. 即y E ＋y G ＝0， 即|EF 1|＝|F 1G |.。
备战2020高考数学之冲破压轴题-专题12 圆锥曲线中的最值、范围问题【教师版】
第三章 解析几何专题12 圆锥曲线中的最值、范围问题【压轴综述】圆锥曲线中最值与范围问题是近几年考查的热点问题，本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明利用代数方法求解最值、范围问题. 一、圆锥曲线中最值问题的两种类型和两种解法(1)两种类型①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题． (2)两种解法①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决； ②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解． 二、解决圆锥曲线中的取值范围问题的5种常用解法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明利用代数方法求解最值、范围问题.【压轴典例】例1.（2019·湖南高三月考）点A 、B 为椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>长轴的端点，C 、D 为椭圆E 短轴的端点，动点M 满足2MA MB=，若MAB ∆面积的最大值为8，MCD ∆面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（ ）A.3B.3C.2D.2【答案】D【解析】设(),0A a -，(),0B a ，(),M x y .∵动点M 满足2MAMB ==22251639a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭. ∵MAB ∆面积的最大值为8，MCD ∆面积的最小值为1， ∴142823a a ⨯⨯=，112123b a⨯⨯=，解得a =2b =，=. 故选D .例2.（2019·山东高考模拟（理））已知(0,3)A ，若点P 是抛物线28x y =上任意一点，点Q 是圆22(2)1x y +-=上任意一点，则2||PA PQ的最小值为（）A ．4B ．1C ．2- D ．1【答案】A 【解析】 设点，由于点P 是抛物线上任意一点，则2008(0)x y y =≥，点(0,3)A ，则22222000000(3)8(3)29PA x y y y y y =+-=+-=++，由于点Q 是圆22(2)1x y +-=上任意一点，所以要使2||PA PQ的值最小，则PQ 的值要最大，即点P 到圆心的距离加上圆的半径为PQ的最大值，则0max 113PQ y ===+ ，∴22002000000()4()12||129333)3(3243y y y y P P y y y Q y A -++++≥==+++++-+，003312()y y +++≥=∴2||PA PQ的最小值为4，故答案选A.例3.（2019·江西临川一中高三月考（文））已知点P 是椭圆221168x y +=上非顶点的动点，12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，O 为坐标原点，若M 为12F PF ∠的平分线上一点，且10F M MP ⋅=，则OM 的取值范围为（ ）A ．(]0,3B ．(0,C ．()0,3D ．(0,【答案】D 【解析】如图所示，不妨设点P 在y 轴右边，因为M 为12F PF ∠的平分线上一点，且10F M MP ⋅=，所以PM 为1F N 的垂直平分线，故1PF PN =，由中位线定理可得212OM F N =. 设点()00,P x y ，由焦半径公式得，10PF a ex =+，20PF a ex =-，21202F N PF PF ex ∴=-=，故0OM ex =，因为4,a c ==2e =， ()00,4x ∈，(0OM ex ∴=∈，故选D.例4. （2017·浙江高考真题）如图，已知抛物线2x y =.点A 1139-2424B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，抛物线上的点P （x,y ）13-x 22⎛⎫ ⎪⎝⎭＜＜,过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q（I ）求直线AP 斜率的取值范围； （II ）求PA?PQ 的最大值 【答案】（I ）（-1，1）；（II ）2716. 【解析】（Ⅰ）设直线AP 的斜率为k ，2114122x k x x -==-+， 因为1322x -<<，所以直线AP 斜率的取值范围是(1,1)-．（Ⅱ）联立直线AP 与BQ 的方程110,24930,42kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩解得点Q 的横坐标是22432(1)Q k k x k -++=+． 因为|P A1)2x +1)k +， |PQ|=2)Q x x -=所以3(1)(1)k k PA PQ ⋅--+=．令3()(1)(1)f k k k =--+，因为2'()(42)(1)f k k k =--+，所以 f (k )在区间1(1,)2-上单调递增，1(,1)2上单调递减，因此当k =12时，||||PA PQ ⋅取得最大值2716． 例5. （2017·山东高考真题（文））在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22221x y a b +=(a >b >0)的离心率为2,椭圆C 截直线y =1所得线段的长度为(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)动直线l :y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ,B 两点,交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点,⊙N 的半径为|NO |. 设D 为AB 的中点,DE ,DF 与⊙N 分别相切于点E ,F ,求∠EDF 的最小值.【答案】（Ⅰ） 22142x y +=.(II) 3π.【解析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为2，得2222()a a b =-， 又当1y =时，2222a x a b =-，得2222a a b-=，所以224,2a b ==，因此椭圆方程为22142x y +=.（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，联立方程2224y kx mx y =+⎧⎨+=⎩， 得222(21)4240k x kmx m +++-=， 由>0∆得2242m k <+.（*）且122421kmx x k +=+， 因此122221my y k +=+，所以222(,)2121km mD k k -++， 又(0,)N m -， 所以222222()()2121km mND m k k =-++++ 整理得2242224(13)(21)m k k ND k ++=+ ， 因为NF m =，所以2422222224(31)831(21)(21)ND k k k k k NF+++==+++. 令283,3t k t =+≥，故21214t k ++=， 所以2221616111(1)2NDt t NFt t=+=++++ . 令1y t t=+，所以211y t'=-. 当3t ≥时，0y '>,从而1y t t =+在[3,)+∞上单调递增，因此1103t t +≥，等号当且仅当3t =时成立，此时0k =，所以22134ND NF≤+=，由（*）得 m << 且0m ≠. 故12NF ND≥， 设2EDF θ∠=， 则1sin 2NF NDθ=≥， 所以θ的最小值为π6， 从而EDF ∠的最小值为π3，此时直线l 的斜率是0.综上所述：当0k =，(m ∈⋃时，EDF ∠取到最小值π3. 例6.（2018·浙江高考真题）如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆x 2+24y =1(x<0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）⎡⎢⎣⎦.【解析】（Ⅰ）设()00,P x y ，2111,4A y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4B y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭．因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程22014422y x y y ++⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭， 即22000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根．所以1202y y y +=． 因此，PM 垂直于y 轴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知120212002,8,y y y y y x y +=⎧⎨=-⎩所以()2221200013384PM y y x y x =+-=-，12y y -=． 因此，PAB △的面积()32212001424PABSPM y y y x =⋅-=-．因为220001(0)4y x x +=<，所以[]22000044444,5y x x x -=--+∈．因此，PAB △面积的取值范围是4⎡⎢⎣⎦．例7.（2019·浙江高考真题）如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>，点F 为焦点，过点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点C 在抛物线上，使得V ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧.记,AFG CQG △△的面积为12,S S .（1）求p 的值及抛物线的准线方程；（2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标.【答案】（1）1，1x =-；（2）1+()2,0G . 【解析】 (1)由题意可得12p=，则2,24p p ==，抛物线方程为24y x =，准线方程为1x =-. (2)设()()1122,,,A x y B x y ，设直线AB 的方程为()1,0y k x k =->，与抛物线方程24y x =联立可得：()2222240k x k x k -++=，故：2222242,1kx x x x +=+=， ()12121242,4y y k x x y y k+=+-==-⨯=-，设点C 的坐标为()33,C x y ，由重心坐标公式可得：1233G x x x x ++=321423x k ⎛⎫++ ⎝=⎪⎭，1233G y y y y ++=3143y k =⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 令0G y =可得：34y k =-，则233244y x k==.即222144123382G k x k k ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭=，由斜率公式可得：131322311313444AC y y y y k y y x x y y --===-+-，直线AC 的方程为：()33134y y x x y y -=-+，令0y =可得：()()231331331334444Q y y y y y y y y yx x -+-+=+=+=-，故()11112218121323118223G F y S x x y y k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-⨯=⨯- ⎪=⨯-⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝=⨯⎭⎣⎦， 且()()32213311822423Q G y y y S x x y k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎡⎤=⨯-⨯-=---⎢⎥⎣⎦， 由于34y k=-，代入上式可得：12222833y S k k k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由12124,4y y y y k+==-可得1144y y k -=，则12144y k y =-，则()()()2211122121112281233222284433y y S y S y y k k k y k -==⎛⎫-+--⎛⎫⨯- ⎭⎪⎝⎭⎪⎝()212142488168y y =--++-212≥=+.当且仅当21214888y y-=-，即218y =+1y =. 此时12144y k y ==-，281223G x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭=，则点G 的坐标为()2,0G . 例8.（2019·全国高考真题（理））已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG 是直角三角形； （ii ）求PQG 面积的最大值. 【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】（1）直线AM 的斜率为(2)2y x x ≠-+，直线BM 的斜率为(2)2yx x ≠-，由题意可知：22124,(2)222y y x y x x x ⋅=-⇒+=≠±+-，所以曲线C 是以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为()221,242x y x +=≠±；（2）（i ）设直线PQ 的方程为y kx =,由题意可知0k >,直线PQ 的方程与椭圆方程2224x y +=联立,即22,2 4.x y kx x y y ⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,点P 在第一象限，所以P Q ，因此点E的坐标为直线QE 的斜率为2QE kk =，可得直线QE方程：2k y x =-2222 4.k y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，消去y得，22222128(2)021k k x k ++=+（*），设点11(,)G x y ，显然Q 点和1x 是方程（*）的解所以有222112128212k k x x k +-+=⇒=+，代入直线QE 方程中，得31y =G的坐标为23，直线PG 的斜率为; 3322222(2)1642(2)PGk k k k k k k -+===-+-+, 因为1()1,PQ PG k k k k=⋅-=-所以PQ PG ⊥，因此PQG 是直角三角形； （ii ）由（i）可知：P Q ，G的坐标为23，PQ ==，PG =,34218()2252PQGk k S k k ∆+==++42'4228(1)(1)(232)(252)k k k k S k k -+-++=++,因为0k >，所以当01k <<时，'0S >，函数()S k 单调递增，当1k >时，'0S <，函数()S k 单调递减，因此当1k =时，函数()S k 有最大值，最大值为16(1)9S =. 【压轴训练】1．（2017·全国高考真题（文））（2017新课标全国卷Ⅰ文科）设A ，B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是（ ）A ．(0,1][9,)+∞B ．[9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞D ．[4,)+∞【答案】A 【解析】当03m <<时，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则t a n 603ab≥=≥，得01m <≤；当3m >时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则tan603ab≥=≥，得9m ≥，故m 的取值范围为(0,1][9,)+∞，选A ． 2．（2019·浙江温州中学高三月考）已知点P 在圆22680x y y +-+=上，点Q 在椭圆()22211x y a a+=>上，且PQ 的最大值等于5，则椭圆的离心率的最大值等于__________，当椭圆的离心率取到最大值时，记椭圆的右焦点为F ，则PQ QF +的最大值等于__________．5+ 【解析】22680x y y +-+=化简为22(3)1x y +-=，圆心(0,3)A .PQ 的最大值为5等价于AQ 的最大值为4设(,)Q x y ，即22(3)16x y +-≤，又()22211xy a a+=>化简得到222(1)670(11)a y y a y --+-≤-≤≤ 当1y =-时，验证等号成立 对称轴为231x a =-满足231,21x a a=≤-≤-故12a <≤22222211314c a e e a a a -===-≤∴≤当2a =时，离心率有最大值，此时椭圆方程为2214x y +=，设左焦点为1F11141455PQ QF PQ QF AQ QF AF +=+-≤++-≤+=+当1,,,A F P Q 共线时取等号.故答案为2和5+3．（2019·甘肃兰州一中高三月考（理））已知抛物线方程为y 2＝－4x ，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，在抛物线上有一动点A ，点A 到y 轴的距离为m ，到直线l 的距离为n ，则m ＋n 的最小值为________.【答案】15- 【解析】 如图所示：如图，过点A 作AH ⊥l 于H ，AN 垂直于抛物线的准线于N ，则|AH|+|AN|=m+n+1，连接AF ，则|AF|+|AH|=m+n+1，由平面几何知识，得当A ，F ，H 三点共线时，|AF|+|AH|=m+n+1取得最小值，根据点到直线距离公式，求得|FH|=5=即m+n1 4．（2020·浙江高三月考）已知P 是椭圆2222111x y a b +=（110>>a b ）和双曲线2222221x y a b -=（220,0a b >>）的一个交点，12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，12,e e 分别为椭圆和双曲线的离心率，若123F PF π∠=，则12e e ⋅的最小值为________．【解析】根据椭圆与双曲线的对称性，不妨设点P 在第一象限，那么12PF PF >， 因为椭圆与双曲线有公共焦点，设椭圆与双曲线的半焦距为c ， 根据椭圆与双曲线的定义，有：1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ， 解得112=+PF a a ，212=-PF a a ， 在12F PF ∆中，由余弦定理，可得： 2221212122cos3π=+-F F PF PF PF PF ，即222121212124()()()()=++--+-c a a a a a a a a ， 整理得2221243=+c a a ， 所以22121134+=e e ，又221212113+≥e e ，所以12≥e e5．（2019·河北高三月考）已知P 是离心率为2的双曲线()2210y x m m-=>右支上一点，则该双曲线的渐近线方程为_______，P 到直线()1y m x =-的距离与P 到点()2,0F -的距离之和的最小值为_____.【答案】y = 25+ 【解析】离心率为2的双曲线()2210y x m m -=＞2=，解得m ＝3，双曲线方程为：x 2213y -=，故双曲线的渐近线方程为：y =； 双曲线的焦点坐标（±2，0），PF ′﹣PF ＝2，PF ′+PD ＝2+PF +PD ，显然PDF 三点共线，并且PF 垂直直线y ＝2x 时， P 到直线y ＝2x 的距离与P 到点F （﹣2，0）的距离之和的最小值：2=2．故答案为：y =；25+． 6．（2018·黑龙江哈师大附中高考模拟（理））已知椭圆()222:102x yC a b a b+=>>的右焦点为(),0F c ,点P为椭圆C 上的动点，若PF 的最大值和最小值分别为2和2. (I)求椭圆C 的方程(Ⅱ)设不过原点的直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点,若直线,,OP PQ OQ 的斜率依次成等比数列,求OPQ ∆面积的最大值【答案】(1) .(2)1.【解析】（I）由已知得：椭圆方程为（II）设（易知存在斜率，且），设由条件知：联立(1)(2)得：点到直线的距离且所以当时：.7．（2019·山东高考模拟（理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率为12，P 是椭圆C 上的一个动点，且12PF F ∆（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线2PF 斜率为(0)k k ≠，且2PF 与椭圆C 的另一个交点为Q ，是否存在点(0,)T t ，使得||||?TP TQ =若存在，求t 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1) 22143x y += (2)见解析【解析】（1）当P 为C 的短轴顶点时，12PF F ∆所以22212122c a a b c c b ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪⨯⨯=⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故椭圆C 的方程为：22143x y +=.（2）设直线PQ 的方程为(1)y k x =-，将(1)y k x =-代入22143x y +=，得()22223484120k x k x k +-+-=；设()()1122,,,P x y Q x y ，线段PQ 的中点为()00,N x y ，()212120002243,1234234x x y y k kx y k x k k++-====-=++， 即22243,3434k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭因为||TPTQ =，所以直线TN 为线段PQ 的垂直平分线，所以TN PQ ⊥，则·1TN PQ k k =-，即2223431443kt k k k k --+⋅=-+， 所以213434k t k k k==++， 当0k >时，因为34k k +≥t ⎛∈ ⎝⎦， 当k 0<时，因为34k k +≤-12t ⎡⎫∈-⎪⎢⎪⎣⎭. 综上，存在点T ，使得||TP TQ =，且t的取值范围为⎡⎫⎛⋃⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦. 8．（2019·河北辛集中学高三月考（文））已知焦点在y 轴上的抛物线1C 过点(2,1)，椭圆2C 的两个焦点分别为1F ，2F ，其中2F 与1C 的焦点重合，过点1F 与2C 的长轴垂直的直线交2C 于A ，B 两点，且3AB =，曲线3C 是以坐标原点O 为圆心，以2OF 为半径的圆. （1）求2C 与3C 的标准方程；（2）若动直线l 与3C 相切，且与2C 交于M ，N 两点，求OMN ∆的面积S 的取值范围.【答案】(1) 2C 的标准方程为22143y x +=.3C 的标准方程为221x y +=.(2) 32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）由已知设抛物线1C 的方程为22(0)x py p =>，则42p =，解得2p =，即1C 的标准方程为24x y =.则()20,1F ，不妨设椭圆2C 的方程为22221(0)y x a b a b+=>>，由222211y x a b y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2b x a =±，所以223b AB a ==，又221a b =+，所以2a =，b =故2C 的标准方程为22143y x +=.易知21OF =，所以3C 的标准方程为221x y +=.（2）因为直线l 与3C 相切，所以圆心O 到直线l 的距离为1.所以1122MN S MN =⨯⨯=. 当直线l 的斜率不存在时，其方程为1x =±，易知两种情况所得到的OMN ∆的面积相等.由221431y x x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得y =不妨设M ⎛ ⎝⎭，1,N ⎛ ⎝⎭，则3MN =，此时2MN S ==. 当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，则1=，即221m k =+.由22143y x y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2223463120k x kmx m +++-=， 所以()()222236434312k m k m ∆=-+- ()()222484348230k m k=+-=+>恒成立.设(),M M M x y ，(),N N N x y ，则2634M N km x x k -+=+，2231234M N m x x k -=+.所以2MNS =令()2344k t t +=≥，则243t k -=，所以S ==令1'm t =，则1'0,4m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，易知2''2y m m =--+区间10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，所以32S ≤<.综上，OMN ∆的面积S 的取值范围为3,23⎡⎢⎣⎦.9．已知椭圆C 1的方程为2214x y +=，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点，O 为坐标原点． (1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx 与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且2OA OB ⋅>，求k 的取值范围．【答案】（1）2213x y -=；（2）1,⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【解析】(1)设双曲线C 2的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>则a 2＝4－1＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1，故双曲线C 2的方程为23x －y 2＝1.(2)将y ＝kx 代入23x －y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得2213036(1)0k k ⎧-≠⎨∆=->⎩ ∴k 2<1且k 2≠13.① 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2x 1x 2＝2913k --. ∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1)(kx 2)＝(k 2＋1)x 1x 2k (x 1＋x 2)＋2＝223731k k +-. 又∵OA OB ⋅>2，即x 1x 2＋y 1y 2>2，∴223731k k +- >2 >2，即223931k k -+->0， 解得13<k 2<3.② 由①②得13<k 2<1，故k的取值范围为(1,,1)33--⋃ 10．（2019·浙江高考模拟）对于椭圆()222210x y a b a b+=>>，有如下性质：若点()00,P x y 是椭圆外一点，PA ，PB 是椭圆的两条切线，则切点,A B 所在直线的方程是00221x x y ya b+=，利用此结论解答下列问题： 已知椭圆22:12x C y +=和点()2,t P ()t R ∈，过点P 作椭圆C 的两条切线，切点是,A B ，记点,A B 到直线PO （O 是坐标原点）的距离是1d ，2.d（Ⅰ）当0t =时，求线段AB 的长； （Ⅱ）求12AB d d +的最大值.【答案】（Ⅰ）AB =（Ⅱ）4【解析】（Ⅰ）因为点()2,P t ，直线AB 的方程式：212xty +=， 即1x ty +=，当0t =时，直线AB 的方程是1x =，此时AB =（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线AB 的方程是1x ty +=，直线PO 的方程是20tx y -=. 设()11,A x y ，()22,B x y，则12d d +=+.又11221,1,x ty x ty +=⎧⎨+=⎩由点,A B 在直线PO 的两侧可得112tx y -与222tx y -异号，所以12d d+=.又12AB y =-，所以12AB d d =+设22t x +=，则12AB d d ==+ 所以，当114x =，即24,2x t ==时，12AB d d +有最大值为411．（2019·全国高三月考（文））已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点1F ，直线:2360l x y --=与y 轴交于点P .且与椭圆交于A ，B 两点.A 为椭圆的右顶点，B 在x 轴上的射影恰为1F . （1）求椭圆E 的方程；（2）M 为椭圆E 在第一象限部分上一点，直线MP 与椭圆交于另一点N ，若:P NPMAB S Sλ=，求λ的取值范围.【答案】（1）22198xy +=；（2）99λ<<+【解析】:2360l x y --=与椭圆的一个交点A 为椭圆的右顶点(3,0)A ∴.又1BF x ⊥轴，得到点2,b B c a ⎛⎫--⎪⎝⎭，22223332601a a b c b a c a b c=⎧=⎧⎪⎪⎪∴-+-=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎩椭圆E 的方程为22198x y +=.（2）因为1sin 32(3)11sin 23PA PM APMS PAM PM PM S PBN PN PN PB PN BPN λλλ⋅⋅∠⋅===⇒=>⋅⋅⋅∠ 所以3PM PN λ=-，由（1）可知(0,2)P -，设MN 方程2y kx =-，()()1122,,,M x y N x y ，联立方程222198y kx x y=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()221936360k x kx +--=，得1221223698()3698k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+*⎨-⎪⋅=⎪+⎩， 又()()1122,2,,2PMx y PN x y =+=+，有123x x λ=-，将其代入(*)化简可得：222(3)10898k k λλ-=+，因为M 为椭圆E 在第一象限部分上一点，所以23k >， 222108108(4,12)8989k k k ∴=∈++，则2(3)412λλ-<<且3λ>，解得99λ<<+12．（2019·四川石室中学高三开学考试（理））己知椭圆()2222C :10x y a b a b+=>>上任意一点到其两个焦点1F ，2F的距离之和等于2c ，圆222:O x y c +=，1A ，2A 是椭圆的左、右顶点，AB 是圆O 的任意一条直径，四边形12A AA B面积的最大值为（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，若直线()1:0l y kx m m =+≠与圆O 相切，且与椭圆相交于M ，N 两点，直线2l 与1l 平行且与椭圆相切于P （O ，P 两点位于1l 的同侧），求直线1l ，2l 距离d 的取值范围．【答案】（1）22154x y +=（2）3,1⎡⎣ 【解析】（1）由椭圆的定义知：2a=a ∴=又当直径AB x ⊥轴时四边形12A AA B的面积最大，最大为2ac =1c =，2b =∴椭圆22:154x y C +=（2）因为直线()1:0l y kx m m =+≠与圆O相切，1=m ∴=又设直线2:l y kx n =+，联立22154x y y kx n ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 有()22254105200k x knx n +++-= ()()()222104545200kn k n ∴∆=-+-=化简有2254n k =+因为1nd m mn m ===--， 又2222541511n k m k k +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，又20k ≥，21011k <≤+，245n m ⎛⎫∴≤< ⎪⎝⎭ 又由O ，P 两点位于1l 的同侧，m ，n异号，2nm≤-13,1n d m ⎡∴=-∈⎣.13．（2019·浙江高三月考）过抛物线()220y px p =>上一点P 作抛物线的切线l 交x 轴于Q ，F 为焦点，以原点O 为圆心的圆与直线l 相切于点M.（Ⅰ）当p 变化时，求证：PFQF为定值. （Ⅱ）当p 变化时，记三角形PFM 的面积为1S ，三角形OFM 的面积为2S ，求12S S 的最小值. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）3+【解析】（Ⅰ）设()00,P x y ，则过P 的切线l 方程为()00y y p x x =+， 于是Q 为()0,0x -. 则02p QF x =+，02pPF x =+， 故1PFQF=.（Ⅱ）OM =M 的坐标为2000222200,p x px y p y p y ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， ()2000022222001224px y p x y p S p y p y =⨯⨯=++ 00100220122px y p S x y p y ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭2000000022244p x p y px y py x y p y +++⨯=+ ()()2000122002p x y p px S S p x y ++=()()0002p x p x px ++=00233x p x p =++≥+，当且仅当02x =时取“=”，综上12S S的最小值为3+14．（2019·山西高三月考（文））已知抛物线C ：()220x py p =>，其焦点到准线的距离为2，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线C 的切线1l ，2l 交于点M （Ⅰ）求抛物线C 的方程（Ⅱ）若12l l ⊥，求三角形MAB △面积的最小值 【答案】（Ⅰ）24x y =；（Ⅱ）4. 【解析】（Ⅰ）焦点到准线的距离为2，即2p =，所以求抛物线C 的方程为24x y =（Ⅱ）抛物线的方程为24x y =，即214y x =，所以12y x '= 设()11,A x y ，()22,B x y ，1l ：()211142x x y x x -=-，2l ：()222242x xy x x -=-由于12l l ⊥，所以12122x x ⋅=-，即124x x =- 设直线l 方程为y kx m =+，与抛物线方程联立，得24y kx mx y=+⎧⎨=⎩所以2440x kx m --= 216160k m ∆=+>，124x x k +=，1244x x m =-=-，所以1m =，即l ：1y kx =+ 联立方程2112222424x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得21x k y =⎧⎨=-⎩，即：()2,1M k - M 点到直线l的距离d ==()2||41AB k ==+所以()()32221414142S k k =⨯+=+≥当0k =时，MAB △面积取得最小值4．15．（2019·广东高三月考（文））已知直线:10l x y -+=与焦点为F 的抛物线2:2(0)C y px p =>相切.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线m 与抛物线C 交于A ，B 两点，求A ，B 两点到直线l 的距离之和的最小值. 【答案】（Ⅰ）24y x =（Ⅱ）2【解析】（Ⅰ）将:10l x y -+=与抛物线2:2C y px =联立得：2220y py p -+= l 与C 相切 2480p p ∴∆=-=，解得：2p = ∴抛物线C 的方程为：24y x =（Ⅱ）由题意知，直线m 斜率不为0，可设直线m 方程为：1x ty =+联立241y x x ty ⎧=⎨=+⎩得：2440y ty --=设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t += 212121142x x t y t y t ∴+=+++=+ ∴线段AB 中点()221,2M t t +设,,A B M 到直线l 距离分别为,,A B M d d d则221322124A B M d d d t t ⎫+===-+=-+⎪⎭2133244t ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭ ∴当12t =时，2min133244t ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ ,A B ∴两点到直线l 的距离之和的最小值为：342= 16．（2019·河南南阳中学高三月考）已知平面上一定点()2,0C 和直线:8l x =，P 为该平面上一动点，作PQ l ⊥，垂足为Q ，且11022PC PQ PC PQ ⎛⎫⎛⎫+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）求动点P 的轨迹方程；（2）若EF 为圆22:(1)1+-=N x y 的任一条直径，求PE PF ⋅的最小值．【答案】（1）2211612x y +=（2）12-【解析】（1）设(),P x y ，则()8,Q y ()2,PC x y ∴=--，()8,0PQ x =-221110224PC PQ PC PQ PC PQ ⎛⎫⎛⎫+⋅-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22212804x y x ∴-+--=，整理可得：2211612x y +=P ∴的轨迹方程为：2211612x y += （2）由题意知，圆N 的圆心为：()0,1，则,E F 关于()0,1对称设(),P x y ，()cos ,1sin E θθ+ ()c o s ,1s i n F θθ∴--()cos ,sin 1PE x y θθ∴=-+-，()cos ,sin 1PF x y θθ=---+- ()()222222cos 1sin 11PE PF x y x y θθ∴⋅=-+--=+--∴要求PE PF ⋅得最小值，只需求解出点P 到点()0,1的距离d 的平方的最小值设()4cos ,23sin P αα()222216cos 14sin 17d αααα=+-=--+[]sin 1,1α∈- ∴当sin 1α=时，2d 取最小值：13-()2min min113112PE PFd ∴⋅=-=-=-17．（2019·湖南长沙一中高三月考（理））如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆C 上一点，且2PF 垂直于x 轴，连结1PF 并延长交椭圆于另一点Q ，设1PQ FQ λ=(1)若点P 的坐标为31,2⎛⎫⎪⎝⎭，求椭圆C 的方程;(2)若34λ≤≤，求椭圆C 的离心率的取值范围【答案】(1) 22143x y +=；(2) [53【解析】(1)∵2PF 垂直于x 轴，且点P 的坐标为31,2⎛⎫⎪⎝⎭∴2221a b c -==，221914a b+=，解得24a =，23b = ∴椭圆C 的方程为22143x y +=.(2)∵2PF x ⊥轴，不妨设P 在x 轴上方，0(),P c y ，00y >，设11(,)Q x y∵P 在椭圆上，∴220221y c a b +=.解得20b y a =，即2,b P c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭∵1()0F c -，，由1PQ FQ λ=得21111(),b x c x c y y aλλ-=+-=， 解得2111,1(1)b x c y a λλλ+=-=---，∴21(,)1(1)b Q c aλλλ+---- ∵点Q 在椭圆上∴22221()11(1)b e aλλλ++=--，即2222(1)(1)(1)e e λλ++-=- ∴2(2)2e λλ+=-，从而224122e λλλ-==-++ ∵34λ≤≤，∴21153e ≤≤e ≤≤∴椭圆C 的离心率的取值范围是53. 18.（2009·全国高考真题（文））如图，已知抛物线2:E y x =与圆222:(4)(0)M x y r r -+=>相交于A 、B 、C 、D 四个点. （Ⅰ）求r 的取值范围（Ⅱ）当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线AC 、BD 的交点P 的坐标.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（）【解析】 （Ⅰ）联立方程组与，可得，所以方程由两个不等式正根由此得到解得，所以r 的范围为（Ⅱ）不妨设E 与M 的四个交点坐标分别为设直线AC,BD 的方程分别为，解得点p 的坐标为设t=，由t=及（1）可知由于四边形ABCD 为等腰梯形，因而其面积将代入上式，并令，得求导数，令，解得当时，，当，；当时，当且仅当时，由最大值，即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P 的坐标为（）第31 页共31 页。
2020年高考数学圆锥曲线中的最值问题(共16张PPT)
x
y
t cos 1 t sin
代入
2x2
y2
2
0
得
(1 cos2 )t2 2sin t 1 0
设
P, Q
对应的参数为 t1, t2
，则 t1
t2
2 cos 1 cos2
, t1t2
1
1 cos2
所以| PQ || t1 t2 |
(t1
t2 )2
4t1t2
1
22 cos2
因为
PQ
的最大值为__________.
解析：题目中点 P 是一动点，点 B 是椭圆的右焦点，因此在椭圆上的一个动点和焦点的 连线经常需要考虑这个点和另外一个焦点，即把动点放到焦点三角形中考虑，因
为 PF PB 2a 10，所以 PB 10 PF, PA PB PA PF 10 ，接下来需 要求 PA PF 10 的最大值。 因为如果 P, A, F 能构成三角形， PA PF AF ，因此当取得最大值时 P, A, F 三点共线， PA PF 10 AF 10 15
例 3：已知 P(x, y) 是抛物线上的点，则 (x 3)2 ( y 2)2 x 的最大值是________.
解析： (x 3)2 ( y 2)2 x (x 3)2 ( y 2)2 (x 1)2 y2 1 题目转化为点 P(x, y) 到点 A(3, 2) 的距离减去到点 M (1, 0) 的距离加 1 因此当 A, M , P 三点共线时取得最大值，最大值为| AM | 1，剩余步骤省
4x
2b
0
令 0，则b 2
则直线 y 2x 2 与 y 2x 2 之间的距离即为高的最大值，因此可以求出面积 的最大值。
例 7：点 P 在抛物线 y2 x 上，点 Q 在圆 (x 1)2 ( y 4)2 1，则| PQ |的最小值为 2
【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线中的最值和范围问题(高二)
圆锥曲线中最值和范围问题班级________姓名___________学号_________【问题呈现】1．椭圆14922=+y x 上一动点M 满足：21MF F ∠为钝角，则M 点横坐标的取值范围_______． 2．已知点3(,0)2A ，P 是抛物线24y x =上一动点，则PA 的最小值为___________． 3．椭圆1422=+y x 上一动点P ，则P 到直线04:=-+y x l 的距离最小值为：________．4．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|=4|PF 2|,则此双曲线的离心率e 的最大值为__________．5．斜率为1的直线l 与椭圆2214x y +=交于A ,B 两不同点，则线段AB 中点M 的轨迹方程为_______． 【方法小结】求解范围问题的一般方法：（1）结合定义，利用图形找出几何量的有界性； （2）构造一个二次方程，利用判别式∆≥0；（3）函数法是探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视．（4）利用代数基本不等式．代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性．直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式．因此，它们的应用价值在于： ① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题． 【典题剖析】例1已知圆⊙8)1(:22=++y x C ，)0,1(-C 动圆与⊙C 相切且过定点)0,1(B ； （1）求动圆圆心的轨迹E 方程； （2）过点),0(t D ，11<<-t 倾斜角为 45的直线l 与轨迹E 交于N M ,两点，求N M C B ,,,四点围成的四边形面积的最大值。
圆锥曲线中的最值与范围-2020高考数学尖子生辅导专题
625
．当 t
0
时，
MN
2
8
t
288 625
50
，t
取负数时，有
t
t 625 50 ，所以 MN 2 128 ．于是当 t 25 ，即 k 4 ，MN 2 有最小值 128 ，所以 MN
t
25
3
25
有最小值 8 2 ． 5
【点评】利用代数法求最值或范围问题，其难点在于选用一个（或两个）参数去表示目
t3 交 E 于 A 、 M 两点，点 N 在 E 上， MA NA ．
（1）当 t 4 ， AM AN 时，求△ AMN 的面积；
（2）当 2 AM AN 时，求 k 的取值范围．
【解析】（1）当 t 4 时，椭圆的方程为 x2 y2 1，直线 AM 的方程为 y k x 2 ．联
4
模块 2 练习巩固 整合提升
练习 1：如图，设抛物线 y2 2 px （ p 0 ）的焦点为 F ，
抛物线上的点 A 到 y 轴的距离等于 AF 1．
（1）求 p 的值； （2）若直线 AF 交抛物线于另一点 B ，过 B 与 x 轴平行的 直线和过 F 与 AB 垂直的直线交于点 N ， AN 与 x 轴交于点 M ， 求 M 的横坐标的取值范围． 【解析】（1）依题意，抛物线上的点 A 到 x 1 轴的距离等于点 A 到焦点 F 的距离，由 抛物线的定义可得 p 2 ．
法 1：令 4k 3 t ，则 t 0 ，所以 k
t 3 ，所以 4
MN
2
8
t2
6t 25 t2
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高考圆锥曲线中的最值和范围问题解析版
高考专题 圆锥曲线中的最值和范围问题★★★高考要考什么1 圆锥曲线的最值与范围问题 (1)圆锥曲线上本身存在的最值问题： ①椭圆上两点间最大距离为2a (长轴长)．②双曲线上不同支的两点间最小距离为2a (实轴长)．③椭圆焦半径的取值范围为[a －c ，a ＋c ]，a －c 与a ＋c 分别表示椭圆焦点到椭圆上的点的最小距离与最大距离．④抛物线上的点中顶点与抛物线的准线距离最近．(2)圆锥曲线上的点到定点的距离的最值问题，常用两点间的距离公式转化为区间上的二次函数的最值问题解决，有时也用圆锥曲线的参数方程，化为三角函数的最值问题或用三角形的两边之和(或差)与第三边的不等关系求解．(3)圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值问题解法同上或用平行切线法．(4)点在圆锥曲线上(非线性约束条件)的条件下，求相关式子(目标函数)的取值范围问题，常用参数方程代入转化为三角函数的最值问题，或根据平面几何知识或引入一个参数(有几何意义)化为函数进行处理． (5)由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所求参数作为函数，另一个元作为自变量求解．与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。
（4）利用代数基本不等式。
代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。
直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。
因此，它们的应用价值在于： ① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式∆≥0。
高考中的圆锥曲线问题——范围、最值问题
解：(1)由题意知 |－a2＋3a4bb|2＝c，则 3a2b2＝c2(a2＋4b2)，即 3a2(a2－c2)＝c2[a2＋4(a2 －c2)]，
令 t＝m2＋1≥1，设 f(t)＝t＋91t，易知 t∈(1，＋∞)时，函数 f(t)单调递增，
∴当 t＝m2＋1＝1，即 m＝0 时，f(t)取得最小值，f(t)min＝190，此时，S△F2AB 取
得最大值 3.
高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题 第1课时 范围、最值问题
题型一 范围问题 例 1 (2020·合肥模拟)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的离心率为 22，且以原点 为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线 xsinθ＋ycosθ－1＝0 相切(θ 为常数)． (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)若椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2 作直线 l 与椭圆交于 M，N 两点， 求F→1M·F→1N的取值范围．
9 结合①可得F→1M·F→1N＝22kk42－＋11＋42kk2－2＋41k4＋1＋k2＝72kk22－＋11＝72－2k22＋1，
由 k2≥0 可得F→1M·F→1N∈－1，72. 综上可知，F→1M·F→1N的取值范围是－1，72.
【思维升华】 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之 间的等量关系． (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围． (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确 定参数的取值范围．
圆锥曲线解答题中的范围和最值问题的解题策略(原卷版)
圆锥曲线解答题中的范围和最值问题的解题策略圆锥曲线中的最值和取值范围问题是高考中的常考题型，以解答题为主.题型一：取值范围问题解题策略：⑴利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；⑵利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；⑶利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ⑷利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；⑸利用求函数的值域的方法将待求量表示为其它变量的函数，求其值域，从而求出参数的取值范围.1、利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；例1、（2021·安徽黄山市高三一模（理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长倍，且过点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 是圆心在原点O O 上的一个动点，过点P 作椭圆的两条切线，且分别交其圆O 于点E ､F ，求动弦EF 长的取值范围.2、利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；例2、（2021·云南昆明市昆明一中高三月考（理））已知A ，B 是椭圆1322=+y xC ：上的两点.（1）若直线AB 的斜率为1，求AB 的最大值；（2）线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点(),0N t ，求t 的取值范围.例3、（2021·江苏省新海高级中学高三期末）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为2，右顶点、上顶点分别为A 、B ，原点O 到直线AB ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若P ，Q 为椭圆C 上两不同点，线段PQ 的中点为M ． ①当M 的坐标为()1,1时，求直线PQ 的直线方程②当三角形OPQ OM 的取值范围．3、利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；例4、（2020·湖南高三月考）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为)F，顺次连接椭圆E 的菱形.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设24,33M ⎛⎫⎪⎝⎭，O 为坐标原点，A 、B 是椭圆E 上两点，且AB 的中点在线段OM （不含端点O 、M ）上，求AOB ∆面积S 的取值范围.4、利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围例5、（2020·重庆南开中学高三月考）在平面直角坐标系下，已知动点P 到定点()8,0M ，()2,0N 的距离之比为2. （1）求动点P 的轨迹方程C ；（2）若直线l ：2y kx =+与曲线C 交于A ，B 两点，且AB ⎡∈⎣，求实数k 的取值范围.例6、（2021·湖南师大附中高三月考）已知椭圆C 过点⎛ ⎝⎭，且与曲线2212x y -=有共同的焦点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆的右焦点2F 作直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，设2F A =2F B λ，若[]2,1λ∈--，点()2,0T ，求TA TB +的取值范围.5、利用求函数的值域的方法将待求量表示为其它变量的函数，求其值域，从而求出参数的取值范围.例7、（2021·河南高三月考（理））已知抛物线C ：22y px =（0p >），点A 在抛物线C 上，点B 在x 轴的正半轴上，等边AOB ∆的边长为83.（1）求抛物线的方程；（2）若直线l ：2+=ty x []()1,3t ∈与抛物线C 相交于D ，E 两点，直线DE 不经过点(0,1)M ，DEM △的面积为S ，求22St +的取值范围.题型二：最值问题解题策略：一、若题目中的条件和要求的结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，然后根据其结构特征，构建函数模型求最值，一般情况下，常构建的函数模型有：1、二次函数型；；2、基本不等式型；二、利用曲线的几何性质求最值一、构建函数模型求最值 1. 二次函数型例1、（2021·山东青岛市·高三期末）已知O 为坐标原点，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率2e =，点P 在椭圆C 上，椭圆C 的左右焦点分别为12,F F ，1PF 的中点为Q ，1OF Q （1）求椭圆C 的标准方程；（2）W 为双曲线22:14x D y -=上的一个点，由W 向抛物线2:4E x y =做切线12,l l ，切点分别为,A B.（i ）证明：直线AB 与圆221x y +=相切；（ii ）若直线AB 与椭圆C 相交于,M N 两点，求OMN 外接圆面积的最大值.2. 基本不等式型例2、（2021·江西高三模拟（理））已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，上、下顶点分别为C ，D ，右焦点为F ，离心率为12，其中24||||||FA FB CD =⋅．（1）求椭圆的标准方程．（2）过椭圆的左焦点F '的直线l 与椭圆M 交于E ，H 两点，记ABE △与ABH 的面积分别为1S 和2S ，求12S S -的最大值．例3、（2021·江西高三模拟）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）过点1,2E ⎛ ⎝⎭，1A ，2A 为椭圆的左右顶点，且直线1A E ，2A E 的斜率的乘积为12-．（1）求椭圆C 的方程；（2）过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线交直线l 于点P ，交直线2x =-于点Q ，求PQMN的最小值．二、利用曲线的几何性质求最值例4、（2021·山东菏泽市高三期末）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，点M 为短轴的一个端点，离心率为12，12MF F △的面积S = （1）求椭圆C 的方程；（2）设A 是椭圆上的一点，B 是点A 关于x 轴的对称点，P 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，且直线PA 、PB 分别于x 轴交于不同的点C 、D ，O 为坐标原点，求POC POD S S ⋅△△的最大值，并求出此时P 点的坐标例5、（2021·江苏常州市高三期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，且过点(2,3)A ，右顶点为B . （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 作两条直线分别交椭圆于点M ，N 满足直线AM ，AN 的斜率之和为3-，求点B 到直线MN 距离的最大值.【强化训练】1.（2021·北京高三期末）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点⎛ ⎝⎭，且C 的离心率为2． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0P 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，求PA PB ⋅的取值范围． 2.（2021·云南昆明市昆明一中高三月考（理））已知点P 是抛物线2:2C x y =上的动点，且位于第一象限．圆222:()0O x y r r +=>，点P 处的切线l 与圆O 交于不同两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过点P 且垂直于x 轴的直线交于点M ．（1）求证：点M 在定直线上；（2）设点F 为抛物线C 的焦点，切线l 与y 轴交于点N ，求PFN 与PDM △面积比的取值范围．3.（2021·云南曲靖市高三一模（理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心，且椭圆C 过点3,22⎛ ⎝⎭.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 右焦点的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且与圆22:2O x y +=交于E F 、两点，求2||||AB EF ⋅的取值范围.4、（2020·江西高三其他模拟（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率，且过点⎛ ⎝⎭，O 为坐标原点.（1）求椭圆C 的方程；（2）圆2283x y +=的一条切线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，求： ①AOB ∠的值； ②AB 的取值范围.5、（2021·辽宁丹东市高三期末）已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆C经过点和点1,2⎛ ⎝⎭.（1）求C 的方程；（2）已知00y t <<，点()0,A t y 在C 上，A 关于y 轴、坐标原点的对称点分别为B 、D ，AE 垂直于x 轴，垂足为E ，直线DE 与y 轴、C 分别交于点F 、G ，直线BF 交C 于点M ，直线DF 的斜率为k ，直线BF 的斜率k '. ①将k '表示为k 的函数； ②求直线GM 斜率的最小值.6.（2020·全国高三专题练习（理））如图所示，已知点1F 、2F 是椭圆221:12xC y +=的两个焦点，椭圆222:2x C y λ+=经过点1F 、2F ，点P 是椭圆2C 上异于1F 、2F 的任意一点，直线1PF 和2PF 与椭圆1C 的交点分别是A 、B 和C 、D .设AB 、CD 的斜率分别为1k 、2k .（1）求证：12k k ⋅为定值； （2）求AB CD ⋅的最大值.。
圆锥曲线中的最值、范围问题2
则 x0＝x1＋2 x2＝1－＋33kkt2，y0＝kx0＋t＝1＋t3k2， ∴H－1＋3k3tk2，1＋t3k2. ∵|DP|＝|DQ|，∴DH⊥PQ，即 kDH＝－1k. ∴－1＋1＋t33kk3t2k＋2－20＝－1k，化简得 t＝1＋3k2，② 由①②得，1<t<4.综上，t∈(－2,4)．
F，
离心率为 2 ，过点 F 且垂直于长轴的弦长为 2 .
2
（I）求椭圆 C 的标准方程；
（II）设点 A，B 分别是椭圆的左、右顶点，若过点 P2,0的直线与椭圆相交于不同两点 M,N.
（i）求证： AFM BFN ；
（ii）求 MNF 面积的最大值.
解：（1） e c 2 , 又 2b2 2 ,所以 a 2,b 1.所以椭圆的标准方程为 x2 y2 1…………（4 分）
5．定值问题 解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、 图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数 表达式的值等和题目中的参数无关，不随参数的变化而变 化，而始终是一个确定的值．
6．最值问题 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但 总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即利用曲线 的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求 解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表 达式表示为某个(些)参数的函数，然后利用函数方法、不等 式方法等进行求解．
解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数 和建立不等关系，根据目标函数不等式求最值、范围．因此这类 问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数 或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够 表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、 点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理．
2020届高考数学(文)总复习讲义：圆锥曲线中的最值、范围问题
考点一构造函数求最值2 2［典例］(2019安徽知名示范高中联考)已知椭圆C:学+ y2= 1(a> b>0)的离心率为-2，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线xsin 0+ ycos 0—1 = 0相切(B为常数)•(1) 求椭圆C的标准方程;t------------------------------ > -- >⑵若椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作直线I与椭圆交于M ,N两点，求F1M F1N 的最大值.2故椭圆C的标准方程为x2 + y2= 1.⑵由(1)得F l(- 1,0), F2(1,0) •N 1，-舟，—>—> 7故F1M F1N = 2y=kx—1,由x22消去y 得，(1 + 2k2)x2—4k2x + 2k2—2= 0,2 + y2=1设M(X1, y1), N(X2, y2),圆锥曲线中的最值、范围问题［解］⑴由题意，得e= C=壬，1 _■- 22_ = c，,sin 0+ cos 02 以丄 2 a = b + c ,c=1,解得a2= 2,b2= 1,①若直线l的斜率不存在，则直线I丄x轴,直线I的方程为x= 1,不妨记M〔，乎j,二F1M = S,2，-子，②若直线I的斜率存在，设直线I的方程为y= k(x—1),2.4 k22k2—2贝H x1+ x2= 2, x1x2=1 2 1 + 2k 1 2 1 + 2k-- > ----------------- >又F1M = M+ 1, y1), F1N =(X2+ 1, y2),-- > -- >则F1M F1N = (x1 + 1)(x2+ 1)+ y i y22.=(X i + 1)(X2+ 1) + k(x i —1) k(x2—1)2 2 2=(1 + k )x1x2+ (1 —k )(x1 + X2) + 1+ k 2fk：_ 1 ) 4k2—4k32k2+ 1 +2k2+ 1=7k：—1 = 7—9=2k2+ 1 = 2— 2 2k2+ 1，由k2> 0，可得F\j M 石N € —1, 7 .-- > -- >7综上，F1M F1N的最大值为Q.［解题技法］最值问题的2种基本解法几何法根据已知的几何量之间的相互关系，利用平面几何和解析几何知识加以解决的（如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等在选择题、填空题中经常考查）代数法建立求解目标关于某个（或两个）变量的函数，通过求解函数的最值解决的（普通方法、基本不等式方法、导数方法等）［对点训练］2 23 32 2CD的方程为x = 31,与椭圆方程x4+殳=1联立9 = 0,设Cg y°, D(X2,『2),（2018湘潭调研）已知椭圆E: 2 2字+器="a> 1, 3，离心率+ 1 +（1）求椭圆E 的方程；⑵设点A , F 分别为椭圆的右顶点、右焦点，经过点 F 作直线交椭圆于 C , D 两点,求四边形OCAD 面积的最大值（0为坐标原点）.S 四边形 OCAD = S A OCA + S ^ODA解: 壽=1,（1）由题设得 c 1a = 2, 解得b = 3,c = 1.(2)由(1)知, F(1,0), A(2,0),设直线 y i + y 2= — 6k1 1 =2X2 x ly i |+2X 2 x呦=l y i _ y 2|= 7 (y i + y 2 f — 4y i y 2 _ 12寸1 =3k 2+ 4 .设 t = k 2+ 1(t > 1),•••当t > 1时，y = 3t + *单调递增，••• 3t + *>4(当t = 1时取等号), S 四边形OCAD w 3(当k = 0时取等号)，即四边形 OCAD 面积的最大值为 3.考点二寻找不等关系解范围2 2［典例］已知点A , B 分别为椭圆E : x 2+七=1(a > b >0)的左、右顶点，点 P(0,-a b--- 3 ---------2),直线BP 交E 于点QP Q = 3 Q B ，且△ ABP 是等腰直角三角形.(1) 求椭圆E 的方程；(2) 设过点P 的动直线l 与E 相交于M , N 两点，当坐标原点 0位于以MN 为直径的圆 外时，求直线l 斜率的取值范围.［解］(1)由厶ABP 是等腰直角三角形，知 a = 2, B(2,0). ---- > 3—> 64设 Q (X 0, y o ),由 P Q = 2 QB ，得 X 0= 5, y o = — 5， 代入椭圆方程，解得 b 2= 1,2•椭圆E 的方程为x + y 2= 1.4⑵由题意可知，直线l 的斜率存在，设方程为 y = kx —2, M(x 1, y 1), N(x 2, y 2), y = kx — 2, 匚 + /= 1L4由直线I 与E 有两个不同的交点 ，得△>0, 则(—16k)2— 4X 12X (1 + 4k 2)>0,解得 k 2>乡•① 由坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外，12tS 四边形OCAD = 3上2十1 12 1 3t +1消去 y ,得(1 + 4k 2)x 2— 16kx + 12= 0, 则 x 1+ x 2= 16k X 1X 2 = 122 1 + 4k '-- >ON > 0，即X1X2+ y i y2> 0,则 X i x 2+ y i y 2= X 1X 2+ (kx i — 2)(kx 2 — 2)2=(1 + k )x 1x 2- 2k(x i + X 2)+ 4 12 16k • ---- 2 ——2k • ----- 21 + 4k 1 + 4k解得k 2v 4.②联立①②可知4< k 2v 4,解得-2< k <-舟或彳< k < 2,［解题技法］ 范围冋题的解题策略解决有关范围问题时， 先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等),寻找不等关系， 其方法有：(1) 利用判别式来构造不等式，从而确定所求范围；(2) 利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间 建立相等关系；(3) 利用隐含的不等关系，从而求出所求范围；(4) 利用已知不等关系构造不等式，从而求出所求范围； (5) 利用函数值域的求法，确定所求范围. ［对点训练］2已知A , B 分别为曲线C :字+ y 2= 1(y >0, a >0)与x 轴的左、右两个交点，直线 I过点B 且与x 轴垂直，M 为I 上位于x 轴上方的一点，连接 AM 交曲线C 于点T.(1)若曲线C 为半圆，点T 为AB 的三等分点，试求出点 M 的坐标.⑵若a > 1, S MAB = 2，当△ TAB 的最大面积为3时，求椭圆的离心率的取值范围.3 解：(1)当曲线C 为半圆时，得a = 1.由点T 为AB 的三等分点，得/ BOT = 60°或120° 当/ BOT = 60。
如何解高考压轴题第二讲圆锥曲线最值问题和范围问题
联 立 直 线 与 椭 圆 方 程 ：
y k x 2 1 2 k 2 x 2 8 k 2 x 8 k 2 2 0 2 2 x 2 y 1
第二讲 圆锥曲线最大（小）值问题和范围问题
与圆锥曲线相关的最值和范围问题综合性较强， 解决的方法： 一是由题目中的限制条件 求范围，如直线与圆锥曲线的位置关系中的范围，方程中变量的范围，角度的大小等；二是 将要讨论的几何量，如长度，面积等用参数表示出来，在对表达式进行讨论，应用不等式， 三角函数等知识求最值，在解题过程中注意向量、不等式应用。 一、基础知识： 求参数的取值范围宏观上有两种思路：一个是通过解不等式求解，一个是利用函数，通 过解函数的值域求得参数范围 1、解不等式：通过题目条件建立关于参数的不等式，从而通过解不等式进行求解。常见的 不等关系如下： （1）圆锥曲线上的点坐标的取值范围
a a 0 ；③ 反比例函数； x
④ 分式函数。若出现非常规函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数 进行解决。 （2）二元函数：若题目中涉及变量较多，通过代换消元最后得到所求参数与两个变量的表
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达式，则可通过均值不等式，放缩消元或数形结合进行解决。 3、两种方法的选择与决策：通常与题目所给的条件相关，主要体现在以下几点： （1）若题目中含有某个变量的范围，则可以优先考虑函数的方向，将该变量视为自变量， 建立所求变量与自变量的函数关系，进而求得值域 （2）若题目中含有某个表达式的范围（或不等式） ，一方面可以考虑将表达式视为整体，看 能否转为（1）的问题进行处理，或者将该表达式中的项用所求变量进行表示，从而建立起 关于该变量的不等式，解不等式即可 二、典型例题：
2020高考数学最值问题思维导图突破圆锥曲线压轴试题含多种解法(16页)
2020高考数学最值问题思维导图突破圆锥曲线压轴试题含多种解法压轴试题最值（含范围）问题是解析几何中常见的 问题之一，其基本解题方法是把所求量表示成某个变量的函数，利用二次函数或函数单调性 求最值或范围，也可以利用基本不等式，有时 也会利用几何量的有界性确定范围. 最值问题不仅解答题中分量较大，而且客 观题中也时常出现.求最值的思维导图如右 最大最小为最值 单调二次不等式 几何有界也有用 具体问题再审视思路点拨解1 显然两条直线的斜率都存在且不为0，抛物线2:4C y x =的焦点(1,0)F .设1:(1)l y k x =-，由2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩，，消元y 得2222(24)0k x k x k -++=，所以22224424A B k AB x x p k k+=++=+=+， 同理，244DE k =+，2214()816AB DE k k+=++≥，当且仅当1k =±时取等号.选（A ）. 解2 设直线1l 的倾斜角为α，则2l 的倾斜角为2+πα，因为22sin p AB =α，22sin ()2pDE =+πα， 例1 已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（A ）16 （B ）14 （C ）12 （D ）10 用参数表示该量求 某 量 最 值 化简、换元转化为可以利用函数单调性、二次函数、基本不等式、导数、几何图形有界等方法求最值所以2244sin sin ()2AB DE +=++παα 2222444sin cos sin cos =+=αααα21616sin 2=≥α， 当且仅当4=πα或34=πα时取等号.选（A ）.注1 过抛物线22y px =的焦点弦长22||sin p AB θ=.注2 也可以设1:1l x ty =+，则214x ty y x =+⎧⎨=⎩，，消取x 得2440y ty --=，所以2()444A B A B AB x x p t y y t =++=++=+，同理，244DE t=+， 2214()816AB DE t t +=++≥，当且仅当1t =±时取等号.思路点拨当，焦点在轴上，要使C 上存在点M 满足，则，即，得. 当，焦点在轴上，要使C 上存在点M 满足，则，即，得. 故m 的取值范围为(0,1][9,)+∞U .03m <<x 120AMB ∠=otan 60ab≥=o ≥01m <≤3m >y 120AMB ∠=otan 60ab≥=o ≥9m ≥思路点拨要求两个绝对值之和的最小值，就要去掉绝对值，需要分类讨论.怎么确定分类标准？就是令绝对值内部的式子为0.比如，若令220x y +-=，则直线220x y +-=与圆相交，把圆分成两部分.解1 原问题可以转化为如下的非线性规划问题：可行域为单位圆（含内部）的任意一点，直线22y x =-将可行域分成两个部分，不妨将左下方的区域（大弓形区域）记作Ⅰ，将右上方的区域（小弓形区域）记作Ⅰ．因为单位圆221x y +≤及其内部在直线630x y --=下方，所以630x y -->，所以(,)|22||63|f x y x y x y =+-+--42,22,834,22.x y y x x y y x +-≥-⎧=⎨--<-⎩ 直线22y x =-与单位圆221x y +=交点10E ,（），3455F （，）.设1242,834z x y z x y =+-=--，分别作直线13,24y x y x ==-并平移，则1242,834z x y z x y =+-=--都在点3455F （，）取得最小值3.所以2263x y x y +-+--的最小值是3. 解2(,)|22||63|f x y x y x y =+-+--|(22)(63)||348|x y x y x y ≥+----=+-，（当220x y +-≤时取等号）.设cos ,sin x r y r θθ==，其中01,02r θπ≤≤≤≤. 则 |348||3cos 4sin 8|x y r r θθ+-=+-|5sin()8|85853r r θϕ=+-≥-≥-=.其中ϕ由34sin ,cos 55ϕϕ==确定，等号当且仅当1,sin+=1r θϕ=（），即3455x ,y ==. 另外，当220x y +->时，2263x y x y +-+--3>. 所以2263x y x y +-+--的最小值是3.思路点拨在平面直角坐标系中画出可行域如图，22x y + 的几何意义为可行域内的点到原点距离的平方．过原点O 作直线220x y +-=的垂线，垂足为A ，可以看出220x y +-=图中A 点距离原点最近，此时距离为原点O 到直线的距离，xyB A –1–2–3–41234–1–2–3–41234例4 已知实数,x y 满足240,220,330,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则22x y +的取值范围为____.是 ．d ==，则()22min45x y +=， 图中B 点距离原点最远，B 点为240x y -+=与330x y --=交点，则()2,3B ，则()22max13x y +=．所以，22x y +的取值范围为4[,13].5思路点拨第（2）题的关键是选择适当的参数表示||||PA PQ ⋅，可以用直线AP 的斜率为k 为参数，需要求出Q 的坐标，再分别求出||||PA PQ 、的表达式，计算量较大.也可以设2(,)P t t ，以t 为参数，从向量的角度得到||||||||cos AP PQ AP PB BPQ ⋅=⋅∠u u u r u u u r u u u r u u u r PA PQ =-⋅u u u r u u u r+PA PB BQ PA PB =-⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r （）=.转化为t 函数，再求最大值. 满分解答（1）设直线AP 的斜率为k ，2114122x k x x -==-+， 因为1322x -<<，所以直线AP 斜率的取值范围是(1,1)-.（2）解1设直线AP 的斜率为k ，则 直线AP 的方程为y =kx +12k +14，BQ 的方程为y =13924x k k -++. 联立直线AP 与BQ 的方程1102493042kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩，， 解得点222234981(,)2244k k k k Q k k +-++++. 因为1||)1)2PA x k =+=+，2||)Q PQ x x =-=，所以3||||(1)(1)PA PQ k k ⋅=--+.令3()(1)(1)f k k k =--+，因为2()(42)(1)f k k k '=--+，所以()f k 在区间1(1,)2-上单调递增，1(,1)2上单调递减，因此当12k =时，||||PA PQ ⋅取得最大值2716. 解2 用向量法，令2(,)P t t ，所以||||||||cos AP PQ AP PB BPQ ⋅=⋅∠u u u r u u u r u u u r u u u r PA PQ PA PB =-⋅=-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r221319()()()()2244t t t t =+-+--4233216t t t =-+++222127(1)(1)216t t =----+2716≤. 当且仅当1t =时等号成立.交上一点，．MABOT思路点拨第（2）题可设SOM θ∠=，则2SOT θ∠=，则23sin 23AB MC OM OC AB θ==+. 223OC AB=+⋅，只要求sin θ的最小值，即只要求OC AB的最小值.(2) 设SOM θ∠=，则2SOT θ∠=，且223sin 2233AB MC OC OM OC AB ABθ===++⋅. 设1122(,),(,)A x y B x y ，联立方程22112x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得2211(42)10k x x +--=，由题意知0∆>，且1121222111,212(21)x x x x k k +==-++，故12212AB x k =-=+联立方程221124x y y xk ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得2221221181,1414k x y k k ==++，因此OC ==.注211kOCAB+=2=.令21112,1(0,1)t k tt=+>∈，，则211=2tk-，代入上式整理得OCAB=当且仅当112t=，即2t=时OCAB的最小值23，此时12k=±.思路点拨第（1）题直接计算可得。
高考全国卷圆锥曲线解答题中的最值或范围问题
ʏ广东省佛山市顺德区容山中学 胡 萍圆锥曲线中的最值与范围问题是圆锥曲线中动态变化问题的集中体现,一般有面积㊁线段㊁系数等最值或范围问题,这些问题都有强大的几何背景,都是用代数方法研究几何问题,问题求解的关键是列出关于面积㊁线段㊁系数的函数解析式,然后利用基本不等式或函数观点进行求解㊂文章结合实例分析圆锥曲线中的最值或范围问题的常见考向及求解思路,目的是帮助大家梳理圆锥曲线中的最值或范围问题的考查思路,为备考指明方向,提高备考的针对性和有效性㊂一、面积的最值问题面积问题是圆锥曲线中最常见的问题,也是高考考查的热点问题㊂一般考查三角形或四边形的面积问题,四边形的面积问题可转化为三角形的面积问题,求三角形的面积,关键是选择三角形的底和高,并用所设未知量对其进行表示,最终列出关于面积的函数解析式,再利用基本不等式或函数性质求解面积的最值问题㊂1.三角形面积的最值例1 已知F是抛物线C :x 2=4y 与椭圆y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)的公共焦点,椭圆上的点M 到点F 的最大距离为3㊂(1)求椭圆的方程;(2)过点M 作C 的两条切线,记切点分别为A ,B ,求әM A B 面积的最大值㊂解析:(1)由题意知抛物线C 的焦点为F (0,1),所以椭圆的半焦距c =1,因为椭圆上的点M 到点F 的最大距离为a +c =3,所以a =2,b 2=3,故椭圆的方程为y 24+x 23=1㊂(2)抛物线C 的方程为x 2=4y ,即y =x 24,求导得y '=x2,设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x 0,y 0),则直线M A 的方程为y -y 1=x 12(x -x 1),即x 1x -2y 1-2y =0,同理可得,直线M B 的方程为x 2x -2y 2-2y =0㊂由于M 为这两条直线的公共点,则x 1x 0-2y 1-2y 0=0,x 2x 0-2y 2-2y 0=0,所以点A ,B 的坐标满足方程x 0x -2y -2y 0=0,所以直线A B 的方程为x 0x -2y -2y 0=0,与抛物线方程x 2=4y 联立,消去y 整理得x 2-2x 0x +4y 0=0,所以x 1+x 2=2x 0,x 1x 2=4y 0㊂由弦长公式得A B =1+x 022㊃x 1+x 2 2-4x 1x 2=1+x 022㊃4x 20-16y 0=x 20+4 x 20-4y 0㊂因为点M 到直线A B 的距离为d =x 20-4y 0x 20+4,所以S әM A B =12A B ㊃d =12(x 20+4)(x 20-4y 0)㊃|x 20-4y 0|x 20+4=12x 20-4y 0 32,因为x 20-4y 0=3-3y 204-4y 0=-34㊃y 0+832+253,由条件知-2ɤy 0ɤ2,所以当y 0=-2时,әM A B 的面积最大,且最大值为82㊂评注:本题的第(2)问是求三角形面积的最大值,试题难度不大㊂首先利用导数表示出直线M A 和M B 的方程,联立即得直线A B 的方程,再与抛物线方程联立,借助韦达定理的桥梁作用,用弦长公式求得三角形的底,用点到直线的距离公式求得三角形的高,实现用所设变量表示出әM A B 的面积,最后利用函数性质即可求出三角形面积的最大值㊂2.四边形面积的最值例2 已知椭圆C 1:x 2a2+y 2b2=1(a >b >0)经过点E 1,1且离心率为22,直线l 与椭圆C 1交于A ,B 两点,且以A B 为直径1 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.的圆过原点㊂(1)求椭圆C 1的方程;图1(2)如图1,若过原点的直线m 与椭圆C 1交于C ,D 两点,且O C ң=t ㊃O A ң+O Bң ,求四边形A C B D 面积的最大值㊂解析:(1)因为椭圆C 1:x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)经过点E 1,1,所以1a 2+1b2=1,又椭圆的离心率为22,则a 2=2c 2,即a 2=2b 2,即12b 2+1b2=1,解得a 2=3,b 2=32,所以椭圆C 1的方程为x 23+2y 23=1㊂(2)当直线A B 的斜率不存在时,设以A B 为直径的圆的圆心为(t ,0),则(x -t )2+y 2=t 2,不妨取A (t ,t ),故t 23+2t 23=1,解得t =ʃ1,故直线A B 的方程为x =ʃ1㊂由直线C D 过A B 的中点,得A B =2,C D =23,故S 四边形A C B D =12A B ㊃C D =23㊂当直线A B 的斜率存在时,设其方程为y =k x +m ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立x 2+2y 2=3,y =k x +m ,消去y 整理得(2k 2+1)x 2+4k m x +2m 2-3=0,则Δ=4(6k 2-2m 2+3)>0㊂①所以x 1+x 2=-4k m2k 2+1;②x 1x 2=2m 2-32k 2+1㊂③因为以A B 为直径的圆过原点,所以O A ң㊃O B ң=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(k x 1+m )㊃(k x 2+m )=(k 2+1)x 1x 2+k m (x 1+x 2)+m 2=0,将②③两式代入整理得(k 2+1)㊃(2m 2-3)+k m (-4k m )+m 2(2k 2+1)=0,即m 2=k 2+1㊂④将④式代入①式,得Δ=4(4k 2+1)>0恒成立,则k ɪR ,设线段A B 的中点为M ,由O C ң=t O A ң+O Bң =2t O M ң,不妨设t >0,得S 四边形A C B D =2S 四边形O A C B =4t S әO A B ㊂又因为S әO A B =12mx 1-x 2=m4k 2+12k 2+1,所以S 四边形A C B D =4t m4k 2+12k 2+1㊂由O C ң=t O A ң+O Bң ,得点C 的坐标为(t (x 1+x 2),t (y 1+y 2)),将t (x 1+x 2)=-4k m 2k 2+1t ,t (y 1+y 2)=-2m2k 2+1t ,代入椭圆方程得8m 2t 22k 2+1=3,即t =3(2k 2+1)8m2㊂则S 四边形A C B D =4t S әO A B =43(2k 2+1)8m2㊃m4k 2+12k 2+1=64k 2+12k 2+1=6㊃2-12k 2+1<23,故四边形A C B D 面积的最大值为23㊂评注:本题的第(2)问是求四边形面积的最大值问题,综合性强,运算能力要求高,有一定的灵活性㊂本题解答的关键是列出关于四边形A C B D 面积的函数解析式,并能进行化简分析,求得最值㊂在求解时还需注意分类讨论直线A B 的斜率是否存在㊂二、线段的最值或取值范围问题对于线段的最值或取值范围问题,关键是线段的表示,主要利用弦长公式,由参数表示线段长,然后利用基本不等式或函数性质求得线段的最值或取值范围㊂1.线段的取值范围例3已知直线l :y =x -1与椭圆C :x 2a 2+y2b2=1(a >1,b >1)相交于P ,Q 两点,M (-1,0),M P ң㊃M Q ң=0㊂(1)证明椭圆过定点T (x 0,y 0),并求出x 20+y 20的值;(2)求弦长|P Q |的取值范围㊂解析:(1)设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),联立y =x -1,x 2a 2+y2b2=1,消去y 整理得(a 2+b 2)x 2-2a 2x +a 2-a 2b 2=0㊂11知识篇 科学备考新指向 高考数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.所以x 1+x 2=2a2a 2+b2,x 1x 2=a 2-a 2b 2a 2+b2,因为M P ң㊃M Q ң=0,所以(x 1+1,y 1)㊃(x 2+1,y 2)=(x 1+1)(x 2+1)+y 1y 2=(x 1+1)(x 2+1)+(x 1-1)(x 2-1)=2x 1x 2+2=0,所以x 1x 2=a 2-a 2b2a 2+b 2=-1,得2a 2+b 2=a 2b 2,所以1a 2+2b2=1,即椭圆过定点T 1(1,2),T 2(1,-2),T 3(-1,2),T 4(-1,-2),所以x 20+y 20=1+2=3㊂(2)由弦长公式得|P Q |=2|x 1-x 2|=2㊃(x 1+x 2)2-4x 1x 2=2㊃2a2a 2+b22+4=22㊃11+b 2a22+1㊂①由2a 2+b 2=a 2b 2,得b 2=2a 2a 2-1>0,所以b 2a 2=2a 2-1,代入①式得|P Q |=22㊃11+2a 2-12+1,因为a 2>1,所以|P Q |的取值范围是(22,4)㊂评注:本题考查直线与椭圆的位置关系,第(2)问求解的关键是由弦长公式用参数表示线段P Q ,最后借助函数性质分析求得线段的取值范围㊂2.线段之和的最值例4 已知抛物线E :y 2=2p x (p >0)的焦点为F ,点M (4,m )在抛物线E 上,且әO M F 的面积为12p 2(O 为坐标原点)㊂(1)求抛物线E 的方程;(2)过焦点F 的直线l 与抛物线E 交于A ,B 两点,过A ,B 分别作垂直于l 的直线A C ,B D ,分别交抛物线于C ,D 两点,求|A C |+|B D |的最小值㊂解析:(1)由题意知m 2=8p ,12㊃p 2㊃|m |=12p 2,解得p =2,故抛物线E 的方程为y 2=4x ㊂(2)由题意知直线l 的斜率一定存在且不为0,设直线l 的方程为x =t y +1,t ʂ0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),联立x =t y +1,y2=4x ,消去x 整理得y 2-4t y -4=0,所以y 1+y 2=4t ,y 1y 2=-4㊂由A C ʅl ,则直线A C 的方程为y -y 1=-t (x -x 1),联立y -y 1=-t (x -x 1),y 2=4x ,消去x 整理得t y 2+4y -4t x 1-4y 1=0,所以y 1+y 3=-4t ,y 1y 3=-4t x 1-4y 1t㊂故|A C |=(x 1-x 3)2+(y 1-y 3)2=1+1t 2 [(y 1+y 3)2-4y 1y 3]=1+1t 2 16+16t 2x 1+16t y 1t2=1+1t 216+4t 2y 21+16t y 1t 2=2t 2+1t2㊃|t y 1+2|=2t 2+1t2(t y 1+2)㊂同理可得|B D |=2t 2+1t2(t y 2+2),所以|A C |+|B D |=2t 2+1t2[t (y 1+y 2)+4]=8t 2+1t2(t 2+1)=8(t 2+1)3t4㊂令f (x )=(x +1)3x2,x >0,则f '(x )=(x +1)2(x -2)x3,x >0㊂所以当x ɪ(0,2)时,f '(x )<0,f (x )单调递减;当x ɪ(2,+ɕ)时,f '(x )>0,f (x )单调递增㊂所以当x =2时,f (x )取得最小值,即当t =ʃ2时,|A C |+|B D |取最小值为123㊂评注:本题有较强的综合性,对运算求解能力要求也比较高㊂本题的求解首先利用弦长公式用参数t 表示线段A C 和B D ,最后借助导数工具求得目标函数的最值㊂(责任编辑 王福华)21 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线中的取值范围最值问题
圆锥曲线中的最值取值范围问题90.已知12,F F 分别是双曲线2222x ya b-=l （a>0，b>0）的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若 01290F PF ∠=,且21PF F ∆的三边长成等差数列．又一椭圆的中心在原点，短轴的。
（I ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆交于A ，B 两点，坐标原点O 到直线l的距离为2，求△AOB 面积的最大值．90.解：设n PF m PF ==||,||21，不妨P 在第一象限，则由已知得,065.22,)2(,222222=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-c ac a m c n c n m a n m ,0562=+-∴e e解得15==e e 或（舍去）。
设椭圆离心率为.3655,=''e e 则 .36='∴e可设椭圆的方程为.,12222c b y a x '='+'半焦距为⎪⎩⎪⎨⎧='='='⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧'='+'='+'=''∴.2,1,3.,3,3622222c b a a c b c b a c 解之得 .1322=+∴y x 椭的方程为 （Ⅱ）①当AB .3||,=⊥AB x 轴时②当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为),(),,(,2211y x B y x A m kx y +=，由已知,231||2=+k m 得m kx y k m +=+=把),1(4322代入椭圆方程，整理得,0336)13(222=-+++m kmx x k .13)1(3,1362221221+-=+-=+∴k m x x k km x x21222))(1(||x x k AB -+=∴]13)1(12)13(36)[1(2222222+--++=k m k m k k222222222)13()19)(1(3)13()13)(1(12+++=+-++=k k k k m k k)0(61912316912322222≠+++=+++=k kk k k k .4632123=+⨯+≤当且仅当33,1922±==k k k 即时等号成立，此时.2||=AB③当.3||,0==AB k 时综上所述：2||max =AB ，此时AOB ∆面积取最大值.2323||21max =⨯=AB S85.已知曲线C 的方程为22x y =，F 为焦点。
2020年高考数学冲刺复习知识点精讲：圆锥曲线中的最值范围问题含解析
圆锥曲线中的最值、范围问题一、考情分析与圆锥曲线有关的范围、最值问题,各种题型都有,既有对圆锥曲线的性质、曲线与方程关系的研究,又对最值范围问题有所青睐,它能综合应用函数、三角、不等式等有关知识,紧紧抓住圆锥曲线的定义进行转化,充分展现数形结合、函数与方程、化归转化等数学思想在解题中的应用． 二、经验分享1. 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 2. 处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解． 三、知识拓展1.已知P 是椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>一点，F 是该椭圆焦点，则,b OP a a c PF a c ≤≤-≤≤+；2.已知P 是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>一点，F 是该椭圆焦点，则,OP a PF c a ≥≥-；双曲线C 的焦点弦的最小值为2min 22,b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭.四、题型分析(一) 利用圆锥曲线定义求最值借助圆锥曲线定义将最值问题等价转化为易求、易解、易推理证明的问题来处理．【例1】已知(40),(2)A B ，，2是椭圆221259x y +=内的两个点,M 是椭圆上的动点,求MA MB +的最大值和最小值．【分析】很容易想到联系三角形边的关系,无论A M B 、、三点是否共线,总有MA MB AB +>,故取不到等号,利用椭圆定义合理转化可以起到柳暗花明又一村的作用．【解析】由已知得(40)A ，是椭圆的右焦点,设左焦点为(40)F -，根据椭圆定义得=210MA MB a MF MB MB MF +-+=+-,因为MB MF FB -≤=所以MB MF -[∈-,故MA MB +的最小值和最大值分别为10-10+【点评】涉及到椭圆焦点的题目,应想到椭圆定义转化条件,使得复杂问题简单化．【小试牛刀】【山东省济宁市2019届高三第一次模拟】已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为4，渐近线方程为，点N 在圆上，则的最小值为( )A ．B ．5C ．6D ．7 【答案】B【解析】由题意可得2a ＝4，即a ＝2， 渐近线方程为y ＝±x ，即有， 即b ＝1，可得双曲线方程为y 2＝1， 焦点为F 1（，0），F 2，（，0），由双曲线的定义可得|MF 1|＝2a+|MF 2|＝4+|MF 2|， 由圆x 2+y 2﹣4y ＝0可得圆心C （0，2），半径r ＝2， |MN|+|MF 1|＝4+|MN|+|MF 2|， 连接CF 2，交双曲线于M ，圆于N ， 可得|MN|+|MF 2|取得最小值，且为|CF 2|3，则则|MN|+|MF 1|的最小值为4+3﹣2＝5． 故选：B ．(二) 单变量最值问题转化为函数最值建立目标函数求解圆锥曲线的范围、最值问题,是常规方法,关键是选择恰当的变量为自变量．【例2】已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线01=++y x 与以椭圆C 的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.（1）求椭圆的方程.（2）设P 为椭圆上一点,若过点)0,2(M 的直线l 与椭圆E 相交于不同的两点S 和T ,且满足t =+(O 为坐标原点),求实数t 的取值范围.【分析】（1）由题意可得圆的方程为222)(a y c x =+-,圆心到直线01=++y x 的距离=d a c =+21；根据椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形, b=c,c b a 22==代入*式得1b c ==,即可得到所求椭圆方程；（Ⅱ）由题意知直线L 的斜率存在,设直线L方程为)2(-=x k y ,设()00,y x p ,将直线方程代入椭圆方程得：()0288212222=-+-+k x k x k ,根据()()081628214642224>+-=-+-=∆k kkk 得到212<k ；设()11,y x S ,()22,y x T 应用韦达定理222122212128,218k k x x k k x x +-=+=+.讨论当k=0,0≠t 的情况,确定t 的不等式.【解析】（1）由题意：以椭圆C 的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为222)(a y c x =+-,∴圆心到直线01=++y x 的距离=d a c =+21*∵椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形, b=c,c b a 22==代入*式得1b c == ∴22==b a故所求椭圆方程为.1222=+y x （Ⅱ）由题意知直线L 的斜率存在,设直线L 方程为)2(-=x k y ,设()00,y x p 将直线方程代入椭圆方程得：()0288212222=-+-+k x k xk∴()()081628214642224>+-=-+-=∆k kk k∴212<k 设()11,y x S ,()22,y x T 则222122212128,218kk x x k k x x +-=+=+………………8分 当k=0时,直线l 的方程为y=0,此时t=0,OP t OT OS =+成立,故,t=0符合题意. 当0≠t 时得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+-=-+=+=22210221210218214)4(k k x x tx k k x x k y y ty∴,2181220k k t x +∙=22141k kt y +-∙= 将上式代入椭圆方程得：1)21(16)21(3222222224=+++k t k k t k 整理得：2222116k k t +=由212<k 知402<<t 所以22t ∈-（，）【点评】确定椭圆方程需要两个独立条件,从题中挖掘关于a b c 、、的等量关系；直线和椭圆的位置关系问题,往往要善于利用韦达定理设而不求,利用点P 在椭圆上和向量式得()t f k =,进而求函数值域．【小试牛刀】【吉林省吉林市2018届高三第三次调研】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>且椭圆经过点()0,1． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线1l ： 220x y +-=与圆22:640D x y x y m +--+=相切： （ⅰ）求圆D 的标准方程；（ⅱ）若直线2l 过定点()30，，与椭圆C 交于不同的两点,E F ，与圆D 交于不同的两点,M N ，求·E F M N 的取值范围． 【解析】 (1)椭圆经过点()0,1，∴211b=，解得21b =， 3,e =c a ∴=， ()2223441a c a ∴==-，解得24a = ∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=(2) (i)圆D 的标准方程为()()223213x y m -+-=-,圆心为()3,2， ∵直线1l ： 220x y +-=与圆D 相切， ∴圆D的半径r ==∴圆D 的标准方程为()()22325x y -+-=．（ⅱ）由题可得直线2l 的斜率存在, 设()23l y k x =-方程为,由()223{ 14y k x x y =++=消去y 整理得()222214243640k x k x k +-+-=，∵直线2l 与椭圆C 交于不同的两点,E F ，∴()()()()222222441436416150kk k k ∆=--+-=->，解得2105k ≤<． 设()()1122,,,E x y F x y ,则2212122224364,,1414k k x x x x k k -+==++ ∴EF ===又圆D 的圆心()3,2到直线2:30l kx y k--=的距离d ==,∴圆D截直线2l所得弦长MN ==,·EF MN ∴==，设29141,,5t k ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦则214t k -=,·EF MN ∴== ∵91,5t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，∴21195025t t ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭(]0,16∈，∵·EF MN 的取值范围为(]0,8．(三) 二元变量最值问题转化为二次函数最值利用点在二次曲线上,将二元函数的最值问题转化为一元函数的最值问题来处理．【例2】若点O 、F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任一点,则OP PF ⋅的最大值为 【分析】设点P x y （，）,利用平面向量数量积坐标表示,将OP PF ⋅用变量x y ，表示,借助椭圆方程消元,转化为一元函数的最值问题处理．【解析】设P x y （，）,则OP PF ⋅=221x y x y x x y ⋅+=++（，）（，）,又点P 在椭圆上,故22143x y+=,所以()22223113322444x x x x x x ++-=++=++（）,又-2≤x ≤2,所以当x =2时,()21224x ++取得最大值为6,即OP PF ⋅的最大值为6,故答案为：6．【点评】注意利用“点在椭圆上”这个条件列方程．【小试牛刀】【湖南省益阳市2019届高三上学期期末】已知定点及抛物线上的动点，则（其中为抛物线的焦点）的最大值为（ ） A ．2 B ． C ． D ．3【答案】C 【解析】 方法一：作准线于，则.设倾斜角为，则.当与相切时，取最大值，由代入抛物线得，，解得或.故最大值为4，即最大值为5.即最大值为.故选. 方法二：作准线于，则，设，，，则，则取最大值，只需取最大值，又表示的斜率，所以取最大值时，直线与抛物线相切，由代入抛物线得，，解得或.故最大值为4，即最大值为5. 即最大值为.故选.(四) 双参数最值问题该类问题往往有三种类型：①建立两个参数之间的等量关系和不等式关系,通过整体消元得到参数的取值范围；②建立两个参数的等量关系,通过分离参数,借助一边变量的范围,确定另一个参数的取值范围；③建立两个参数的等量关系,通过选取一个参数为自变量,令一个变量为参数（主元思想）,从而确定参数的取值范围．【例3】在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C ：22221(1)x y a b a b+=＞≥的离心率2e =,且椭圆C 上一点N到点Q 03（，）的距离最大值为4,过点3,0M （）的直线交椭圆C 于点.A B 、 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 为椭圆上一点,且满足OA OB tOP +=（O 为坐标原点）,当AB ＜,求实数t 的取值范围. 【分析】第一问,先利用离心率列出表达式找到a 与b 的关系,又因为椭圆上的N 点到点Q 的距离最大值为4,利用两点间距离公式列出表达式,因为N 在椭圆上,所以22244x b y =-,代入表达式,利用配方 法求最大值,从而求出21b =,所以24a =,所以得到椭圆的标准方程；第二问,先设,,A P B 点坐标,由题意设出直线AB 方程,因为直线与椭圆相交,列出方程组,消参韦达定得到两根之和、两根之积,用坐标表示OA OB tOP +=得出,x y ,由于点P 在椭圆上,得到一个表达式,再由||3AB <,得到一个表达式,2个表达式联立,得到t 的取值范围.【解析】（Ⅰ）∵2222223,4c a b e a a -=== ∴224,a b = 则椭圆方程为22221,4x y b b+=即22244.x y b +=设(,),N x y 则NQ ====当1y =-时,NQ 4,=解得21,b =∴24a =,椭圆方程是2214x y += （Ⅱ）设1122(,),(,),(,),A x y B x y P x y AB 方程为(3),y k x =-由22(3),1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 整得2222(14)243640k x k x k +-+-=.由24222416(91)(14)0k k k k ∆=--+＞,得215k ＜.2212122224364,.1414k k x x x x k k-+=⋅=++ ∴1212(,)(,),OA OB x x y y t x y +=++= 则2122124()(14)k x x x t t k =+=+,[]12122116()()6.(14)ky y y k x x k t t t k -=+=+-=+ 由点P 在椭圆上,得222222222(24)1444,(14)(14)k k t k t k +=++化简得22236(14)k t k =+①又由12AB x =-即221212(1)()43,k x x x x ⎡⎤++-⎣⎦＜将12x x +,12x x 代入得2422222244(364)(1)3,(14)14k k k k k ⎡⎤-+-⎢⎥++⎣⎦＜ 化简,得22(81)(1613)0,k k -+＞ 则221810,8k k -＞＞, ∴21185k ＜＜②由①,得22223699,1414k t k k ==-++ 联立②,解得234,t ＜＜∴2t -＜＜2.t ＜【点评】第一问中转化为求二次函数最大值后,要注意变量取值范围；第二问利用点P 在椭圆上,和已知向量等式得变量,k t 的等量关系,和变量,k t 的不等关系联立求参数t 的取值范围．【小试牛刀】已知圆())0(2:222>=+-r r y x M ,若椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的右顶点为圆M的圆心,离心率为22. （1）求椭圆C 的方程；（2）若存在直线kx y l =:,使得直线l 与椭圆C 分别交于B A ,两点,与圆M 分别交于H G ,两点,点G 在线 段AB 上,且BH AG =,求圆M 的半径r 的取值范围.【解析】（1）设椭圆的焦距为2c ,因为1,1,22,2==∴==b c a c a 所以椭圆的方程为12:22=+y x C . （2）设),(),,(2211y x B y x A ,联立方程得⎩⎨⎧=-+=02222y x kx y 所以02)21(22=-+x k则22222212121)1(8218)1(212,0k k k k AB k x x x x ++=++=∴+-=⋅=+又点)0,2(M 到直线l 的距离212kkd +=, 则222122k k r GH +-= 显然,若点H 也在线段AB 上,则由对称性可知,直线kx y =就是y 轴,与已知矛盾,所以要使BH AG =,只要GH AB =,所以)1321(2132)133(221221)1(212)12(421)1(8244242422222222222+++=++++=+++++=+-=++k k k k k k k k k k k k r k k r k k 当0=k 时,2=r .当0≠k 时,=+<+++=)211(2)23111(2242k k r 3,又显然2)23111(2242>+++=kk r ,所以32<<r . 综上,圆M 的半径r 的取值范围是)3,2[.圆锥曲线中的最值、范围问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法,即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式),然后利用函数方法、不等式方法等进行求解． 四、迁移运用1．【湖南省浏阳一中、醴陵一中2019联考】在椭圆上有两个动点，为定点，，则的最小值为( )．A ．4B ．C ．D ．1【答案】C 【解析】由题意得．设椭圆上一点，则，∴，又， ∴当时，取得最小值．故选C ．2．【湖南省怀化市2019届高三3月第一次模拟】过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，，则四边形面积的最小值为（ ）A ．8B ．16C ．32D ．64【答案】C【解析】显然焦点的坐标为，所以可设直线的方程为，代入并整理得，所以，，同理可得，所以故选C.3.【河北省张家口市2019期末】已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，设，，且时，则直线MN斜率的取值范围是A． B．C． D．【答案】A【解析】设直线l的方程为，则，设点、将直线l的方程与抛物线C的方程联立，消去x得，，由韦达定理得．．所以，，所以，x轴为的角平分线，，所以，将式代入韦达定理得，，则，所以，，，所以，．设直线MN的斜率为k，则即，所以，，解得或．故选：A．4．【浙江省宁波市2019届高三上学期期末】已知椭圆的离心率的取值范围为，直线交椭圆于点为坐标原点且，则椭圆长轴长的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】联立方程得，设，，则，由，得，∴，化简得，∴，化简得，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，即椭圆的长轴长的取值范围为，故选C．5．【江西省红色七校2019届高三第二次联考】定长为4的线段MN的两端点在抛物线上移动，设点P 为线段MN的中点，则点P到y轴距离的最小值为( )A． B．1 C． D．【答案】D【解析】由抛物线方程得，准线方程为，设，根据抛物线的定义可知，到轴的距离，当且仅当三点共线时，能取得最小值，此时.故选D.6．【四川省泸州市2019届高三第二次教学质量诊断】已知，若点是抛物线上任意一点，点是圆上任意一点，则的最小值为A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】抛物线的焦点，准线：，圆的圆心为，半径，过点作垂直准线，垂足为，由抛物线的定义可知，则，当三点共线时取最小值，．即有取得最小值4，故选B．7．【安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2019届高三第二次联考】已知抛物线上一点到焦点的距离为，分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由抛物线焦点在轴上，准线方程，则点到焦点的距离为，则，所以抛物线方程：，设，圆，圆心为，半径为1，则，当时，取得最小值，最小值为，故选D.8．【河南省郑州市2019届高中毕业年级第一次（1月)质量预测】抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作该抛物线准线的垂线，垂足为，则的最小值为A． B．1 C． D．2【答案】B【解析】设|AF|＝a，|BF|＝b，由抛物线定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|在梯形ABPQ中，∴2|CD|＝|AQ|+|BP|＝a+b．由余弦定理得，|AB|2＝a2+b2﹣2ab cos60°＝a2+b2﹣ab配方得，|AB|2＝（a+b）2﹣3ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2（a+b）2（a+b）2得到|AB|（a+b）＝|CD|．∴1，即的最小值为1．故选：B．9．已知抛物线28y x =,点Q 是圆22:28130C x y x y ++-+=上任意一点,记抛物线上任意一点到直线2x =-的距离为d ,则PQ d +的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2 【答案】C【解析】 如图所示,由题意知,抛物线28y x =的焦点为(2,0)F ,连接PF ,则d PF =．将圆C 化为22(1)(4)4x y ++-=,圆心为(1,4)C -,半径为2r =,则PQ d PQ PF +=+,于是由PQ PF FQ+≥（当且仅当F ,P,Q 三点共线时取得等号）．而FQ为圆C 上的动点Q 到定点F 的距离,显然当F ,Q,C 三点共线时取得最小值,且为23CF -=,故应选C ．10．【福建省龙岩市2019届高三下学期教学质量检查】已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，过点作直线与抛物线交于两点．若以为直径的圆过点，则的值为________．【答案】4【解析】假设k 存在，设AB 方程为：y ＝k （x ﹣1）， 与抛物线y 2＝4x 联立得k 2（x 2﹣2x +1）＝4x ， 即k 2x 2﹣（2k 2+4）x +k 2＝0设两交点为A （x 2，y 2），B （x 1，y 1）， ∵以为直径的圆过点,∴∠QBA ＝90°，∴（x 1﹣2）（x 1+2）+y 12＝0， ∴x 12+y 12＝4，∴x 12+4x 1﹣1＝0（x 1＞0）， ∴x 12，∵x 1x 2＝1， ∴x 22，∴|AF|﹣|BF|＝（x2+1）﹣（x1+1）＝4，故答案为：411．【辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三第五次模拟】抛物线的焦点为，设是抛物线上的两个动点，若，则的最大值为____________.【答案】【解析】由是抛物线上的两个动点，得又，所以，在中，由余弦定理得：，又，即，所以，因此的最大值为.故答案为12．【江西省九江市2019届高三第一次高考模拟】已知抛物线的焦点F，过F的直线与抛物线交于A，B两点，则的最小值是______．【答案】18【解析】抛物线y2＝8x的焦点F（2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），则|FA|+4|FB|＝x1+2+4（+2）＝+4+10，当直线AB斜率不存在时，|FA|+4|FB|＝2+4×2+10＝20，当直AB斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k（x﹣2），代入y2＝8x得k2x2﹣（4k2+8）x+4k2＝0，∴＝4，∴|FA|+4|FB|4+10≥210＝18，当且仅当x1＝1时取等号．|FA|+4|FB|的最小值是18．故答案为：18．13．【山东省淄博市2018-2019学年度3月高三模拟】已知抛物线：上一点，点是抛物线上的两动点，且，则点到直线的距离的最大值是__________．【答案】【解析】设直线的方程为，，，联立直线的方程与抛物线方程，则有，即，，因为直线与抛物线方程有两个交点，所以，，，因为，所以，即，，解得或者，化简可得或者因为，所以，，所以直线的方程为，即，故直线过定点，当垂直于直线时，点到直线的距离取得最大值，最大值为，故答案为。
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第三章 解析几何专题12 圆锥曲线中的最值、范围问题【压轴综述】圆锥曲线中最值与范围问题是近几年考查的热点问题，本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明利用代数方法求解最值、范围问题. 一、圆锥曲线中最值问题的两种类型和两种解法(1)两种类型①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题． (2)两种解法①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决； ②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解． 二、解决圆锥曲线中的取值范围问题的5种常用解法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明利用代数方法求解最值、范围问题.【压轴典例】例1.（2019·湖南高三月考）点A 、B 为椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>长轴的端点，C 、D 为椭圆E 短轴的端点，动点M 满足2MA MB=，若MAB ∆面积的最大值为8，MCD ∆面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（ ） A.23B.33C.22D.32【答案】D 【解析】设(),0A a -，(),0B a ，(),M x y .∵动点M 满足2MAMB =，则()()22222x a y x a y ++=-+，化简得22251639a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭. ∵MAB ∆面积的最大值为8，MCD ∆面积的最小值为1， ∴142823a a ⨯⨯=，112123b a ⨯⨯=，解得6a =，62b =， ∴椭圆的离心率为2231b a -=. 故选D .例2.（2019·山东高考模拟（理））已知(0,3)A ，若点P 是抛物线28x y =上任意一点，点Q 是圆22(2)1x y +-=上任意一点，则2||PA PQ的最小值为（ ）A ．434-B ．221-C ．232-D ．421+【答案】A 【解析】 设点，由于点P 是抛物线上任意一点，则2008(0)x y y =≥，Q 点(0,3)A ，则22222000000(3)8(3)29PA x y y y y y =+-=+-=++，由于点Q 是圆22(2)1x y +-=上任意一点，所以要使2||PA PQ的值最小，则PQ 的值要最大，即点P 到圆心的距离加上圆的半径为PQ 的最大值，则22200000max (2)18(2)13PQ x y y y y =+-=+-=+ ，∴22002000000()4()12||129333)3(3243y y y y P P y y y Q y A -++++≥==+++++-+， Q 0000333(31212()2())43y y y y +++⋅++≥=∴2||PA PQ的最小值为434-，故答案选A.例3.（2019·江西临川一中高三月考（文））已知点P 是椭圆221168x y +=上非顶点的动点，12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，O 为坐标原点，若M 为12F PF ∠的平分线上一点，且10F M MP ⋅=u u u u r u u u r，则OM u u u u r 的取值范围为（ ） A ．(]0,3 B ．(0,22⎤⎦C ．()0,3D ．()0,22【答案】D 【解析】如图所示，不妨设点P 在y 轴右边，因为M 为12F PF ∠的平分线上一点，且10F M MP ⋅=u u u u r u u u r，所以PM 为1F N 的垂直平分线，故1PF PN =，由中位线定理可得212OM F N =. 设点()00,P x y ，由焦半径公式得，10PF a ex =+，20PF a ex =-，21202F N PF PF ex ∴=-=，故0OM ex =u u u u r，因为4,22a c ==，所以22e =， ()00,4x ∈，()00,22OM ex ∴=∈u u u u r，故选D.例4. （2017·浙江高考真题）如图，已知抛物线2x y =.点A 1139-2424B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，抛物线上的点P （x,y ）13-x 22⎛⎫ ⎪⎝⎭＜＜,过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q（I ）求直线AP 斜率的取值范围； （II ）求PA?PQ 的最大值 【答案】（I ）（-1，1）；（II ）2716. 【解析】（Ⅰ）设直线AP 的斜率为k ，2114122x k x x -==-+， 因为1322x -<<，所以直线AP 斜率的取值范围是(1,1)-．（Ⅱ）联立直线AP 与BQ 的方程110,24930,42kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩解得点Q 的横坐标是22432(1)Q k k x k -++=+． 因为|P A 211()2k x ++21(1)k k ++， |PQ |=2221()1Q k x x k +-=+所以3(1)(1)k k PA PQ ⋅--+=．令3()(1)(1)f k k k =--+，因为2'()(42)(1)f k k k =--+，所以 f (k )在区间1(1,)2-上单调递增，1(,1)2上单调递减，因此当k=12时，||||PA PQ⋅取得最大值2716．例5. （2017·山东高考真题（文））在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:22221x ya b+=(a>b>0)的离心率为22,椭圆C截直线y=1所得线段的长度为22.(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)动直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M.点N是M关于O的对称点,⊙N的半径为|NO|. 设D为AB的中点,DE,DF与⊙N分别相切于点E,F,求∠EDF的最小值.【答案】（Ⅰ）22142x y+=.(II)3π.【解析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为22，得2222()a a b=-，又当1y=时，2222ax ab=-，得2222aab-=，所以224,2a b==，因此椭圆方程为22142x y+=.（Ⅱ）设1122(,),(,)A x yB x y，联立方程2224y kx mx y =+⎧⎨+=⎩， 得222(21)4240k x kmx m +++-=， 由>0∆得2242m k <+.（*）且122421kmx x k +=+， 因此122221my y k +=+， 所以222(,)2121km mD k k -++， 又(0,)N m -， 所以222222()()2121km mND m k k =-++++ 整理得2242224(13)(21)m k k ND k ++=+ ， 因为NF m =，所以2422222224(31)831(21)(21)ND k k k k k NF+++==+++. 令283,3t k t =+≥，故21214t k ++=， 所以2221616111(1)2NDt t NFt t=+=++++ . 令1y t t=+，所以211y t'=-. 当3t ≥时，0y '>,从而1y t t =+在[3,)+∞上单调递增，因此1103t t +≥，等号当且仅当3t =时成立，此时0k =，所以22134ND NF≤+=，由（*）得 22m -<< 且0m ≠. 故12NF ND≥， 设2EDF θ∠=， 则1sin 2NF NDθ=≥， 所以θ的最小值为π6， 从而EDF ∠的最小值为π3，此时直线l 的斜率是0. 综上所述：当0k =，(2,0)(0,2)m ∈-⋃时，EDF ∠取到最小值π3. 例6.（2018·浙江高考真题）如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆x 2+24y =1(x<0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）151062,⎡⎢⎣⎦.【解析】（Ⅰ）设()00,P x y ，2111,4A y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4B y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭．因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程22014422y x y y ++⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭， 即22000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根．所以1202y y y +=． 因此，PM 垂直于y 轴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知120212002,8,y y y y y x y +=⎧⎨=-⎩所以()2221200013384PM y y x y x =+-=-，()21200224y y y x -=-． 因此，PAB △的面积()322120013242PABS PM y y y x =⋅-=-V ．因为220001(0)4y x x +=<，所以[]22000044444,5y x x x -=--+∈．因此，PAB △面积的取值范围是151062,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦．例7.（2019·浙江高考真题）如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>，点F 为焦点，过点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点C 在抛物线上，使得V ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧.记,AFG CQG △△的面积为12,S S .（1）求p 的值及抛物线的准线方程；（2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标.【答案】（1）1，1x =-；（2）31+()2,0G . 【解析】 (1)由题意可得12p=，则2,24p p ==，抛物线方程为24y x =，准线方程为1x =-. (2)设()()1122,,,A x y B x y ，设直线AB 的方程为()1,0y k x k =->，与抛物线方程24y x =联立可得：()2222240k x k x k -++=，故：2222242,1kx x x x +=+=， ()(1212121242,444y y k x x y y x x k+=+-==-⨯=-，设点C 的坐标为()33,C x y ，由重心坐标公式可得：1233G x x x x ++=321423x k ⎛⎫++ ⎝=⎪⎭，1233G y y y y ++=3143y k =⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 令0G y =可得：34y k =-，则233244y x k==.即222144123382G k x k k ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭=，由斜率公式可得：131322311313444AC y y y y k y y x x y y --===-+-，直线AC 的方程为：()33134y y x x y y -=-+，令0y =可得：()()231331331334444Q y y y y y y y y yx x -+-+=+=+=-，故()11112218121323118223G F y S x x y y k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-⨯=⨯- ⎪=⨯-⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝=⨯⎭⎣⎦， 且()()32213311822423Q G y y y S x x y k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎡⎤=⨯-⨯-=---⎢⎥⎣⎦， 由于34y k=-，代入上式可得：12222833y S k k k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由12124,4y y y y k+==-可得1144y y k -=，则12144y k y =-，则()()()2211122121112281233222284433y y S y S y y k k k y k -==⎛⎫-+--⎛⎫⨯- ⎭⎪⎝⎭⎪⎝()212142488168y y =--++- ()212132124828168yy ≥=+-⨯+-.当且仅当21214888y y -=-，即21843y =+162y =. 此时121424y k y ==-，281223G x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭=，则点G 的坐标为()2,0G . 例8.（2019·全国高考真题（理））已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG V 是直角三角形； （ii ）求PQG V 面积的最大值. 【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】（1）直线AM 的斜率为(2)2y x x ≠-+，直线BM 的斜率为(2)2yx x ≠-，由题意可知：22124,(2)222y y x y x x x ⋅=-⇒+=≠±+-，所以曲线C 是以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为()221,242x y x +=≠±；（2）（i ）设直线PQ 的方程为y kx =,由题意可知0k >,直线PQ 的方程与椭圆方程2224x y +=联立,即2222,212 4.21x y kx k x y y k ⎧=⎪=⎧+⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪+⎩或222121x k y k ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩,点P 在第一象限，所以2222((21212121P Q k k k k ++++，因此点E 的坐标为221k +直线QE 的斜率为2QE kk =，可得直线QE 方程：2221k y x k =-+2222212 4.k y x k x y ⎧=-⎪+⎨⎪+=⎩，消去y 得，222222128(2)02121k k x k k ++=++（*），设点11(,)G x y ，显然Q 点221k +和1x 是方程（*）的解所以有22211222212821221(2)21k k x x k k k k +-+=⇒=++++，代入直线QE 方程中，得 3122(2)21y k k =++G 的坐标为232222((2)21(2)21k k k k ++++，直线PG 的斜率为; 3322222222222(2)1(2)2121642(2)(2)2121PGk k k k k k k k k k k k k --++++===-+-++++, 因为1()1,PQ PG k k k k=⋅-=-所以PQ PG ⊥，因此PQG V 是直角三角形； （ii ）由（i ）可知：2222(),(21212121P Q k k k k ++++，G 的坐标为232222((2)21(2)21k k k k ++++，22222222222241()()2121212121k k k PQ k k k k k --+=-+-=+++++，23222222222226422241()()(2)2121(2)2121(2)21k k k k k PG k k k k k k k k ++=-+-=++++++++,22342222141418()2252(2)2121PQGk k k k k S k k k k k ∆+++==+++++42'4228(1)(1)(232)(252)k k k k S k k -+-++=++,因为0k >，所以当01k <<时，'0S >，函数()S k 单调递增，当1k >时，'0S <，函数()S k 单调递减，因此当1k =时，函数()S k 有最大值，最大值为16(1)9S =. 【压轴训练】1．（2017·全国高考真题（文））（2017新课标全国卷Ⅰ文科）设A ，B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是（ ） A ．(0,1][9,)+∞U B ．3][9,)+∞U C ．(0,1][4,)+∞U D ．3][4,)+∞U【答案】A 【解析】当03m <<时，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=o ，则tan 603a b ≥=o 33m≥，得01m <≤；当3m >时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=o ，则tan 603ab≥=o 33m≥，得9m ≥，故m 的取值范围为(0,1][9,)+∞U ，选A ． 2．（2019·浙江温州中学高三月考）已知点P 在圆22680x y y +-+=上，点Q 在椭圆()22211x y a a+=>上，且PQ 的最大值等于5，则椭圆的离心率的最大值等于__________，当椭圆的离心率取到最大值时，记椭圆的右焦点为F ，则PQ QF +的最大值等于__________．3523+ 【解析】22680x y y +-+=化简为22(3)1x y +-=，圆心(0,3)A .PQ 的最大值为5等价于AQ 的最大值为4设(,)Q x y ，即22(3)16x y +-≤，又()22211xy a a+=>化简得到222(1)670(11)a y y a y --+-≤-≤≤ 当1y =-时，验证等号成立 对称轴为231x a =-满足231,21x a a=≤-≤-故12a <≤ 222222113314c a e e a a a -===-≤∴≤故离心率最大值为3当2a =时，离心率有最大值，此时椭圆方程为2214x y +=，设左焦点为1F1114145523PQ QF PQ QF AQ QF AF +=+-≤++-≤+=+当1,,,A F P Q 共线时取等号.故答案为32和523+ 3．（2019·甘肃兰州一中高三月考（理））已知抛物线方程为y 2＝－4x ，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，在抛物线上有一动点A ，点A 到y 轴的距离为m ，到直线l 的距离为n ，则m ＋n 的最小值为________. 【答案】6515- 【解析】 如图所示：如图，过点A 作AH ⊥l 于H ，AN 垂直于抛物线的准线于N ，则|AH|+|AN|=m+n+1，连接AF ，则|AF|+|AH|=m+n+1，由平面几何知识，得当A ，F ，H 三点共线时，|AF|+|AH|=m+n+1取得最小值，根据点到直线距离公式，求得|FH|=6555=即m+n 651 4．（2020·浙江高三月考）已知P 是椭圆2222111x y a b +=（110>>a b ）和双曲线2222221x y a b -=（220,0a b >>）的一个交点，12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，12,e e 分别为椭圆和双曲线的离心率，若123F PF π∠=，则12e e ⋅的最小值为________．3【解析】根据椭圆与双曲线的对称性，不妨设点P 在第一象限，那么12PF PF >， 因为椭圆与双曲线有公共焦点，设椭圆与双曲线的半焦距为c ， 根据椭圆与双曲线的定义，有：1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ， 解得112=+PF a a ，212=-PF a a ， 在12F PF ∆中，由余弦定理，可得： 2221212122cos3π=+-F F PF PF PF PF ，即222121212124()()()()=++--+-c a a a a a a a a ， 整理得2221243=+c a a ， 所以22121134+=e e ， 又22121211233+≥e e ，所以123≥e e . 故答案为3 5．（2019·河北高三月考）已知P 是离心率为2的双曲线()2210y x m m-=>右支上一点，则该双曲线的渐近线方程为_______，P 到直线()1y m x =-的距离与P 到点()2,0F -的距离之和的最小值为_____.【答案】3y x =± 4525+ 【解析】离心率为2的双曲线()2210y x m m -=＞，可得12m +=，解得m ＝3，双曲线方程为：x 2213y -=，故双曲线的渐近线方程为：y 3x =±； 双曲线的焦点坐标（±2，0），PF ′﹣PF ＝2，PF ′+PD ＝2+PF +PD ，显然PDF 三点共线，并且PF 垂直直线y ＝2x 时， P 到直线y ＝2x 的距离与P 到点F （﹣2，0）的距离之和的最小值：22412+=+245+．故答案为：y 3x =；2455+． 6．（2018·黑龙江哈师大附中高考模拟（理））已知椭圆()222:102x yC a b a b+=>>的右焦点为(),0F c ,点P为椭圆C 上的动点，若PF 的最大值和最小值分别为23和23. (I)求椭圆C 的方程(Ⅱ)设不过原点的直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点,若直线,,OP PQ OQ 的斜率依次成等比数列,求OPQ ∆面积的最大值【答案】(1) .(2)1.【解析】（I）由已知得：椭圆方程为（II）设（易知存在斜率，且），设由条件知：联立(1)(2)得：点到直线的距离且所以当时：.7．（2019·山东高考模拟（理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率为12，P 是椭圆C 上的一个动点，且12PF F ∆3（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线2PF 斜率为(0)k k ≠，且2PF 与椭圆C 的另一个交点为Q ，是否存在点(0,)T t ，使得||||?TP TQ =若存在，求t 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1) 22143x y += (2)见解析【解析】（1）当P 为C 的短轴顶点时，12PF F ∆3所以222121232c a a b c c b ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪⨯⨯=⎩，解得231a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故椭圆C 的方程为：22143x y +=.（2）设直线PQ 的方程为(1)y k x =-，将(1)y k x =-代入22143x y +=，得()22223484120k x k x k +-+-=；设()()1122,,,P x y Q x y ，线段PQ 的中点为()00,N x y ，()212120002243,1234234x x y y k kx y k x k k++-====-=++， 即22243,3434k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭因为||TPTQ =，所以直线TN 为线段PQ 的垂直平分线，所以TN PQ ⊥，则·1TN PQ k k =-，即2223431443kt k k k k --+⋅=-+， 所以213434k t k k k==++， 当0k >时，因为3443k k +≥3t ⎛∈ ⎝⎦， 当k 0<时，因为3443k k +≤-312t ⎡⎫∈-⎪⎢⎪⎣⎭. 综上，存在点T ，使得||TP TQ =，且t 的取值范围为33⎡⎫⎛⋃⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦. 8．（2019·河北辛集中学高三月考（文））已知焦点在y 轴上的抛物线1C 过点(2,1)，椭圆2C 的两个焦点分别为1F ，2F ，其中2F 与1C 的焦点重合，过点1F 与2C 的长轴垂直的直线交2C 于A ，B 两点，且3AB =，曲线3C 是以坐标原点O 为圆心，以2OF 为半径的圆. （1）求2C 与3C 的标准方程；（2）若动直线l 与3C 相切，且与2C 交于M ，N 两点，求OMN ∆的面积S 的取值范围.【答案】(1) 2C 的标准方程为22143y x +=.3C 的标准方程为221x y +=.(2) 3262⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）由已知设抛物线1C 的方程为22(0)x py p =>，则42p =，解得2p =，即1C 的标准方程为24x y =.则()20,1F ，不妨设椭圆2C 的方程为22221(0)y x a b a b+=>>，由222211y x a b y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2b x a =±，所以223b AB a ==，又221a b =+，所以2a =，3b =故2C 的标准方程为22143y x +=.易知21OF =，所以3C 的标准方程为221x y +=.（2）因为直线l 与3C 相切，所以圆心O 到直线l 的距离为1.所以1122MN S MN =⨯⨯=. 当直线l 的斜率不存在时，其方程为1x =±，易知两种情况所得到的OMN ∆的面积相等.由221431y x x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得26y =不妨设26M ⎛ ⎝⎭，261,N ⎛ ⎝⎭，则46MN = 此时262MN S ==. 当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+， 则211m k=+，即221m k =+.由22143y x y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2223463120k x kmx m +++-=， 所以()()222236434312k m k m ∆=-+- ()()222484348230k m k=+-=+>恒成立.设(),M M M x y ，(),N N N x y ，则2634M N km x x k -+=+，2231234M N m x x k -=+.所以()()2222222222224823116312123123141412223434234M N M N k MNkm m k k S k x x x x k k k k k +--++⎛⎫=++-+-⨯+ ⎪+++⎝⎭令()2344k t t +=≥，则243t k -=， 所以2223213t t S t --=2231123t t⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭令1'm t =，则1'0,4m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，易知2''2y m m =--+区间10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，所以3262S ≤<. 综上，OMN ∆的面积S 的取值范围为3262⎡⎢⎣⎦.9．已知椭圆C 1的方程为2214x y +=，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点，O 为坐标原点． (1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx 2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且2OA OB ⋅>u u r u u r，求k 的取值范围．【答案】（1）2213x y -=；（2）331,⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【解析】(1)设双曲线C 2的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>则a 2＝4－1＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1，故双曲线C 2的方程为23x －y 2＝1.(2)将y ＝kx 2代入23x －y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－2kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得2213036(1)0k k ⎧-≠⎨∆=->⎩ ∴k 2<1且k 2≠13.① 设A (x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝62k，x 1x 2＝2913k --. ∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝223731k k +-. 又∵OA OB ⋅u u u r u u u r >2，即x 1x 2＋y 1y 2>2，∴223731k k +- >2 >2，即223931k k -+->0， 解得13<k 2<3.② 由①②得13<k 2<1，故k 的取值范围为33(1,)(,1)--⋃ 10．（2019·浙江高考模拟）对于椭圆()222210x y a b a b+=>>，有如下性质：若点()00,P x y 是椭圆外一点，PA ，PB 是椭圆的两条切线，则切点,A B 所在直线的方程是00221x x y ya b+=，利用此结论解答下列问题： 已知椭圆22:12x C y +=和点()2,t P ()t R ∈，过点P 作椭圆C 的两条切线，切点是,A B ，记点,A B 到直线PO （O 是坐标原点）的距离是1d ，2.d（Ⅰ）当0t =时，求线段AB 的长； （Ⅱ）求12AB d d +的最大值.【答案】（Ⅰ）2AB =32【解析】（Ⅰ）因为点()2,P t ，直线AB 的方程式：212xty +=， 即1x ty +=，当0t =时，直线AB 的方程是1x =， 此时2AB =（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线AB 的方程是1x ty +=，直线PO 的方程是20tx y -=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则112212222244tx y tx y d d t t --+=+++.又11221,1,x ty x ty +=⎧⎨+=⎩由点,A B 在直线PO 的两侧可得112tx y -与222tx y -异号，所以()()22112224ty y d d t +-+=+.又2121AB t y =+-，所以()()221214t t AB d d ++=+设22t x +=，则()()2212121121x x AB d d x x x -+⎛⎫⎛⎫==-++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭所以，当114x =，即24,2x t ==时，12AB d d +有最大值为32411．（2019·全国高三月考（文））已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点1F ，直线:2360l x y --=与y 轴交于点P .且与椭圆交于A ，B 两点.A 为椭圆的右顶点，B 在x 轴上的射影恰为1F . （1）求椭圆E 的方程；（2）M 为椭圆E 在第一象限部分上一点，直线MP 与椭圆交于另一点N ，若:P N PMA B S S λ=V V ，求λ的取值范围.【答案】（1）22198x y +=；（2）9962λ<<+【解析】:2360l x y --=Q 与椭圆的一个交点A 为椭圆的右顶点(3,0)A ∴.又1BF x ⊥轴，得到点2,b B c a ⎛⎫--⎪⎝⎭， 2222333260221a a b c b a c a b c=⎧=⎧⎪⎪⎪∴-+-=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎩椭圆E 的方程为22198x y +=.（2）因为1sin 32(3)11sin 23PA PM APMS PAM PM PM S PBN PN PN PB PN BPN λλλ⋅⋅∠⋅===⇒=>⋅⋅⋅∠V V 所以3PM PN λ=-u u u u r u u ur ，由（1）可知(0,2)P -，设MN 方程2y kx =-，()()1122,,,M x y N x y ，联立方程222198y kx x y=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()221936360k x kx +--=，得1221223698()3698k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+*⎨-⎪⋅=⎪+⎩， 又()()1122,2,,2PM x y PN x y =+=+u u u u r u u u r ，有123x x λ=-，将其代入(*)化简可得：222(3)10898k k λλ-=+，因为M 为椭圆E 在第一象限部分上一点，所以23k >， 222108108(4,12)8989k k k ∴=∈++，则2(3)412λλ-<<且3λ>， 解得9962λ<<+12．（2019·四川石室中学高三开学考试（理））己知椭圆()2222C :10x y a b a b+=>>上任意一点到其两个焦点1F ，2F 的距离之和等于252c ，圆222:O x y c +=，1A ，2A 是椭圆的左、右顶点，AB 是圆O 的任意一条直径，四边形12A AA B 面积的最大值为5（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，若直线()1:0l y kx m m =+≠与圆O 相切，且与椭圆相交于M ，N 两点，直线2l 与1l 平行且与椭圆相切于P （O ，P 两点位于1l 的同侧），求直线1l ，2l 距离d 的取值范围．【答案】（1）22154x y +=（2）3,15⎡⎣ 【解析】（1）由椭圆的定义知：225a =5a ∴=又当直径AB x ⊥轴时四边形12A AA B 的面积最大，最大为25ac =1c =，2b =∴椭圆22:154x y C +=（2）因为直线()1:0l y kx m m =+≠与圆O 相切，211m k =+21m k ∴=+又设直线2:l y kx n =+，联立22154x y y kx n ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 有()22254105200k x knx n +++-= ()()()222104545200kn k n ∴∆=-+-=化简有2254n k =+因为211nd m mn n k m m ===--+-， 又2222541511n k m k k +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，又20k ≥，21011k <≤+，245n m ⎛⎫∴≤< ⎪⎝⎭ 又由O ，P 两点位于1l 的同侧，m ，n 异号，52nm∴-≤- 13,15n d m ⎡∴=-∈⎣.13．（2019·浙江高三月考）过抛物线()220y px p =>上一点P 作抛物线的切线l 交x 轴于Q ，F 为焦点，以原点O 为圆心的圆与直线l 相切于点M.（Ⅰ）当p 变化时，求证：PFQF为定值. （Ⅱ）当p 变化时，记三角形PFM 的面积为1S ，三角形OFM 的面积为2S ，求12S S 的最小值. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）322+【解析】（Ⅰ）设()00,P x y ，则过P 的切线l 方程为()00y y p x x =+， 于是Q 为()0,0x -. 则02p QF x =+，02pPF x =+， 故1PFQF=. （Ⅱ）0220OM p y =+M 的坐标为2000222200,p x px y p y p y ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， ()2000022222001224px y p x y p S p y p y =⨯⨯=++ 00100220122px y p S x y p y ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭20000000220244p x p y px y py x y p y +++⨯=+ ()()2000122002p x y p px S S p x y ++=()()0002p x p x px ++=0023322x p x p =++≥+， 当且仅当02p x =时取“=”，综上12S S 的最小值为322+14．（2019·山西高三月考（文））已知抛物线C ：()220x py p =>，其焦点到准线的距离为2，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线C 的切线1l ，2l 交于点M （Ⅰ）求抛物线C 的方程（Ⅱ）若12l l ⊥，求三角形MAB △面积的最小值 【答案】（Ⅰ）24x y =；（Ⅱ）4. 【解析】（Ⅰ）焦点到准线的距离为2，即2p =，所以求抛物线C 的方程为24x y =（Ⅱ）抛物线的方程为24x y =，即214y x =，所以12y x '= 设()11,A x y ，()22,B x y ，1l ：()211142x x y x x -=-，2l ：()222242x xy x x -=-由于12l l ⊥，所以12122x x ⋅=-，即124x x =- 设直线l 方程为y kx m =+，与抛物线方程联立，得24y kx mx y=+⎧⎨=⎩所以2440x kx m --= 216160k m ∆=+>，124x x k +=，1244x x m =-=-，所以1m =，即l ：1y kx =+ 联立方程2112222424x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得21x k y =⎧⎨=-⎩，即：()2,1M k - M 点到直线l 的距离2222111k d kk+==++()()()2221212||1441AB k x x x x k ⎡⎤=++-=+⎣⎦所以()()2322222114141421k S k k k+=⨯+=+≥+当0k =时，MAB △面积取得最小值4．15．（2019·广东高三月考（文））已知直线:10l x y -+=与焦点为F 的抛物线2:2(0)C y px p =>相切.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线m 与抛物线C 交于A ，B 两点，求A ，B 两点到直线l 的距离之和的最小值. 【答案】（Ⅰ）24y x =（Ⅱ）322【解析】（Ⅰ）将:10l x y -+=与抛物线2:2C y px =联立得：2220y py p -+=l Q 与C 相切 2480p p ∴∆=-=，解得：2p =∴抛物线C 的方程为：24y x =（Ⅱ）由题意知，直线m 斜率不为0，可设直线m 方程为：1x ty =+联立241y x x ty ⎧=⎨=+⎩得：2440y ty --=设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t += 212121142x x ty ty t ∴+=+++=+∴线段AB 中点()221,2M t t +设,,A B M 到直线l 距离分别为,,A B M d d d 则222222132222122242A B M t t d d d t t t -+⎫+===-+=-+⎪⎭2133244t ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭Q ∴当12t =时，2min133244t ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ ,A B ∴两点到直线l 的距离之和的最小值为：3322242=16．（2019·河南南阳中学高三月考）已知平面上一定点()2,0C 和直线:8l x =，P 为该平面上一动点，作PQ l ⊥，垂足为Q ，且11022PC PQ PC PQ ⎛⎫⎛⎫+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u uv u u u v u u u v u u u v（1）求动点P 的轨迹方程；（2）若EF 为圆22:(1)1+-=N x y 的任一条直径，求PE PF u u u v u u u v⋅的最小值．【答案】（1）2211612x y +=（2）123-【解析】（1）设(),P x y ，则()8,Q y ()2,PC x y ∴=--u u u v ，()8,0PQ x =-u u u v221110224PC PQ PC PQ PC PQ ⎛⎫⎛⎫+⋅-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u uv u u u v u u u v u u u v u u u u v v Q()()22212804x y x ∴-+--=，整理可得：2211612x y +=P ∴的轨迹方程为：2211612x y += （2）由题意知，圆N 的圆心为：()0,1，则,E F 关于()0,1对称 设(),P x y ，()cos ,1sin E θθ+ ()cos ,1sin F θθ∴--()cos ,sin 1PE x y θθ∴=-+-u u u v ，()cos ,sin 1PF x y θθ=---+-u u u v()()222222cos 1sin 11PE PF x y x y θθ∴⋅=-+--=+--u u u v u u u v∴要求PE PF u u u v u u u v⋅得最小值，只需求解出点P 到点()0,1的距离d 的平方的最小值设()4cos 3P αα()222216cos 2314sin 317d αααα=+-=--+[]sin 1,1α∈-Q ∴当sin 1α=时，2d 取最小值：133-()2min min1134311243PE PFd ∴⋅=-=-=-u u u v u u u v 17．（2019·湖南长沙一中高三月考（理））如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆C 上一点，且2PF 垂直于x 轴，连结1PF 并延长交椭圆于另一点Q ，设1PQ FQ λ=u u u r u u u r(1)若点P 的坐标为31,2⎛⎫⎪⎝⎭，求椭圆C 的方程;(2)若34λ≤≤，求椭圆C 的离心率的取值范围【答案】(1) 22143x y +=；(2) 53[53【解析】(1)∵2PF 垂直于x 轴，且点P 的坐标为31,2⎛⎫⎪⎝⎭∴2221a b c -==，221914a b+=，解得24a =，23b = ∴椭圆C 的方程为22143x y +=.(2)∵2PF x ⊥轴，不妨设P 在x 轴上方，0(),P c y ，00y >，设11(,)Q x y∵P 在椭圆上，∴220221y c a b +=.解得20b y a =，即2,b P c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭∵1()0F c -，，由1PQ FQ λ=u u u r u u u r 得21111(),b x c x c y y aλλ-=+-=， 解得2111,1(1)b x c y a λλλ+=-=---，∴21(,)1(1)b Q c aλλλ+---- ∵点Q 在椭圆上∴22221()11(1)b e aλλλ++=--，即2222(1)(1)(1)e e λλ++-=- ∴2(2)2e λλ+=-，从而224122e λλλ-==-++ ∵34λ≤≤，∴21153e ≤≤解得53e ≤≤∴椭圆C 的离心率的取值范围是53[,]53. 18.（2009·全国高考真题（文））如图，已知抛物线2:E y x =与圆222:(4)(0)M x y r r -+=>相交于A 、B 、C 、D 四个点. （Ⅰ）求r 的取值范围（Ⅱ）当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线AC 、BD 的交点P 的坐标.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（）【解析】 （Ⅰ）联立方程组与，可得，所以方程由两个不等式正根由此得到解得，所以r 的范围为（Ⅱ）不妨设E 与M 的四个交点坐标分别为设直线AC,BD 的方程分别为，解得点p 的坐标为设t=，由t=及（1）可知由于四边形ABCD 为等腰梯形，因而其面积将代入上式，并令，得求导数，令，解得当时，，当，；当时，当且仅当时，由最大值，即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P 的坐标为（）。