《一阶微分方程的解法探讨》文献综述

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常微分论文关于一阶微分方程的解的存在的探讨

常微分方程论文学院：数学科学学院班级：12级统计班指导教师：宋旭霞小组成员：张维萍付佳奇张韦丽张萍日期：2014.06.06关于一阶微分方程的解的存在的探讨摘要：分析了解的存在唯一性定理，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性，并且对此加以证明。

另外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意义。

如果存在不唯一，不能确定所求的是哪个解。

而解的存在唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性。

关键词：微分方程连续可微近似计算误差估计一、存在性与唯一性定理：（1）显式一阶微分方程),(y x f dxdy= （3.1）这里),(y x f 是在矩形域：00:||,||R x x a y y b -≤-≤ （3.2）上连续。

（一）、定理1：如果函数),(y x f 满足以下条件：1）在R 上连续：2）在R 上关于变量y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数0L >，使对于R 上任何一对点1(,)x y ，2(,)x y 均有不等式1212(,)(,)f x y f x y L y y -≤-成立，则方程（3.1）存在唯一的解()y x ϕ=，在区间0||x x h -≤上连续，而且满足初始条件00()x y ϕ= （3.3）其中,min(,),max (,)x y R bh a M f x y M∈==,L 称为Lipschitz 常数.解题思路：1）求解初值问题(3.1)的解等价于积分方程00(,)xx y y f x y dx =+⎰的连续解。

2）构造近似解函数列{()}n x ϕ任取一个连续函数0()x ϕ，使得00|()|x y b ϕ-≤，替代上述积分方程右端的y ，得到 0100()(,())xx x y f x x dx ϕϕ=+⎰如果10()()x x ϕϕ≡，那么0()x ϕ是积分方程的解，否则，又用1()x ϕ替代积分方程右端的y ，得到 0201()(,())xx x y f x x dx ϕϕ=+⎰如果21()()x x ϕϕ≡，那么1()x ϕ是积分方程的解，否则，继续进行，得到 001()(,())xn n x x y f x x dx ϕϕ-=+⎰（3.4）于是得到函数序列{()}n x ϕ.3）函数序列{()}n x ϕ在区间00[,]x h x h -+上一致收敛于()x ϕ，即 lim ()()n n x x ϕϕ→∞=存在，对(3.4)取极限,得到00010lim ()lim (,()) =(,())xn n x n n xx x y f x x dxy f x x dx ϕϕϕ-→∞→∞=++⎰⎰，即00()(,())xx x y f x x dx ϕϕ=+⎰.4) ()x φ是积分方程00(,)xx y y f x y dx =+⎰在00[,]x h x h -+上的连续解.（二）、五个命题这种一步一步求出方程解的方法——逐步逼近法.在定理的假设条件下,分五个命题来证明定理. 为了讨论方便,只考虑区间00x x x h ≤≤+,对于区间00x h x x -≤≤的讨论完全类似.命题 1 设()y x ϕ=是方程(3.1)定义于区间00x x x h ≤≤+上,满足初始条件00()x y ϕ=（3.3）的解,则()y x ϕ=是积分方程00(,)xx y y f x y dx =+⎰00x x x h ≤≤+(3.5)的定义于00x x x h ≤≤+上的连续解.反之亦然.证明因为()y x ϕ=是方程(3.1)满足00()x y ϕ=的解,于是有()(,())d x f x x dxϕϕ= 两边取0x 到x 的积分得到0()()(,())xx x x f x x dx ϕϕϕ-=⎰00x x x h ≤≤+即有00()(,())xx x y f x x dx ϕϕ=+⎰00x x x h ≤≤+所以()y x ϕ=是积分方程00(,)xx y y f x y dx =+⎰定义在区间00x x x h ≤≤+上的连续解.反之,如果()y x ϕ=是积分方程(3.5)上的连续解,则00()(,())xx x y f x x dx ϕϕ=+⎰ 00x x x h ≤≤+ （3.6）由于),(y x f 在R 上连续,从而(,())f x x ϕ连续,两边对x 求导,可得()(,())d x f x x dxϕϕ= 而且 00()x y ϕ=,故()y x ϕ=是方程(3.1)定义在区间00x x x h ≤≤+上,且满足初始条件00()x y ϕ=的解. 构造Picard 的逐次逼近函数序列{()}n x ϕ.0000100()()(,()) x nn x x y x y f d x x x h ϕϕξϕξξ-=⎧⎪⎨=+≤≤+⎪⎩⎰(1,2,)n = （3.7）命题2 对于所有的n ，（3.6）中的函数()n x ϕ在00x x x h ≤≤+上有定义，连续且满足不等式 0|()|n x y b ϕ-≤ （3.8）证明用数学归纳法证明当1n =时，0100()(,)xx x y f y d ϕξξ=+⎰，显然1()x ϕ在00x x x h ≤≤+上有定义、连续且有10000|()||(,)||(,)|()x xx x x y f y d f y d M x x Mh b ϕξξξξ-=≤≤-≤≤⎰⎰即命题成立.假设n k =命题2成立，也就是在00x x x h ≤≤+上有定义、连续且满足不等式 0|()|k x y b ϕ-≤当1n k =+时，10()(,())xk k x x y f dx ϕξϕξ+=+⎰由于),(y x f 在R 上连续,从而(,())k f x x ϕ在00x x x h ≤≤+上连续，于是得知1()k x ϕ+在00x x x h ≤≤+上有定义、连续,而且有100|()||(,())|()xk k x x y f d M x x Mh b ϕξϕξξ+-≤≤-≤≤⎰即命题2对1n k =+时也成立.由数学归纳法知对所有的n 均成立.命题3 函数序列{()}n x ϕ在00x x x h ≤≤+上是一致收敛的.记lim ()()n n x x ϕϕ→∞=,00x x x h ≤≤+证明构造函数项级数 011()[()()]kk k x x x ϕϕϕ∞-=+-∑ 00x x x h ≤≤+ (3.9)它的部分和为011()()[()()]()nn kk n k S x x x x x ϕϕϕϕ-==+-=∑于是{()}n x ϕ的一致收敛性与级数(3.9)的一致收敛性等价. 为此，对级数(3.9)的通项进行估计.1000|()()||(,())|()xx x x f d M x x ϕϕξϕξξ-≤≤-⎰ (3.10)2110|()()||(,())(,())|xx x x f f d ϕϕξϕξξϕξξ-≤-⎰由Lipschitz 条件得知2110020|()()||()()|ξ() ()2!xx xx x x L d L M x d MLx x ϕϕϕξϕξξξ-≤-≤-≤-⎰⎰设对于正整数n ,有不等式110|()()|() !n n n n ML x x x x n ϕϕ---≤- 成立,则由Lipschitz 条件得知,当00x x x h ≤≤+时,有0111010|()()||(,())(,())| |()()|ξ() ! ()(+1)!xn n n n x xn n x n x nx nn x x f f d L d ML x d n ML x x n ϕϕξϕξξϕξξϕξϕξξξ+--+-≤-≤-≤-≤-⎰⎰⎰于是由数学归纳法可知, 对所有正整数k ,有1110|()()|() !!k k kk k k ML ML x x x x h k k ϕϕ----≤-≤ 00x x x h ≤≤+ (3.11)由正项级数11!kK k h MLk ∞-=∑ 的收敛性,利用Weierstrass 判别法,级数(3.9)在00x x x h ≤≤+ 上一致收敛.因而序列{()}n x ϕ在00x x x h ≤≤+上一致收敛. 设lim ()()n n x x ϕϕ→∞=,则()x ϕ也在00x x x h ≤≤+上连续,且0|()|x y b ϕ-≤命题4 ()x ϕ是积分方程(3.5)的定义在00x x x h ≤≤+上的连续解.证明由Lipschitz 条件 |(,())(,())||()()|n n f x x f x x L x x ϕϕϕϕ-≤-以及{()}n x ϕ在00x x x h ≤≤+上一致收敛于()x ϕ,可知(,())n f x x ϕ在00x x x h ≤≤+上一致收敛于(,())f x x ϕ.因此000101lim ()lim (,())=lim (,())xn n x n n xn x n x y f d y f d ϕξϕξξξϕξξ-→∞→∞-→∞=++⎰⎰即 00()(,()) xn x x y f d ϕξϕξξ=+⎰故()x ϕ是积分方程(3.5)的定义在00x x x h ≤≤+上的连续解.命题5设()x ψ是积分方程(3.5)的定义在00x x x h ≤≤+上的一个连续解,则()()x x ϕψ≡,00x x x h ≤≤+.证明设()|()()|g x x x ϕψ=-,则()g x 是定义在00x x x h ≤≤+的非负连续函数,由于 00()(,()) xx x y f d ϕξϕξξ=+⎰0()(,()) xx x y f d ψξψξξ=+⎰而且(,)f x y 满足Lipschitz 条件,可得()|()()||[(,())(,())]||(,())(,())| |()()|()xx xx xxx x g x x x f f d f f d L d L g d ϕψξϕξξψξξξϕξξψξξϕξψξξξξ=-=-≤-≤-=⎰⎰⎰⎰令0()()xx u x Lg d ξξ=⎰,则()u x 是00x x x h ≤≤+的连续可微函数,且0()0u x =,0()()g x u x ≤≤,()()u x Lg x '=,()()u x Lu x '≤,(()())0Lx u x Lu x e -'-≤,即(())0Lx u x e -'≤,于是在00x x x h ≤≤+上, 00()()0Lx Lx u x e u x e --≤=故()()0g x u x ≤≤,即()0g x ≡,00x x x h ≤≤+,命题得证.（三）、对定理说明附注:1、存在唯一性定理中min(,)bh a M=的几何意义.在矩形域R 中(,)f x y M ≤,故方程过00(,)x y 的积分曲线()y x ϕ=的斜率必介于M -与M 之间,过点00(,)x y 分别作斜率为M -与M 的直线.当b M a ≤时，即b a M ≤,（如图(a)所示），解()y x ϕ=在00x a x x a -≤≤+上有定义；当b M a ≥时,即b a M≤,（如图(b)所示），不能保证解在00x a x x a -≤≤+上有定义，它有可能在区间内就跑到矩形R 外去，只有当00b b x x x M M-≤≤+才能保证解()y x ϕ=在R 内，故要求解的存在范围是0||x x h -≤.2、由于李普希兹条件的检验是比较费事的，而我们能够用一个较强的，但却易于验证的条件来代替他，即如果函数),(y x f 在矩形域R 上关于y 的偏导数),('y x f y 存在并有界，即'(,)y f x y L ≤，则李普希兹条件条件成立. 事实上212121212(,())|(,)(,)|||||||f x y y y f x y f x y y y y L y y θ∂+--=-∂≤-这里12(,),(,),01x y x y R θ∈<<. 如果),('y x f y 在R 上连续，它在R 上当然满足李普希兹条件.但是,满足李普希兹条件的函数),(y x f 不一定有偏导数存在.例如函数(,)||f x y y =在任何区域都满足李普希兹条件,但它在0y =处没有导数. 3、设方程(3.1)是线性的,即方程为()()dyP x y Q x dx=+ 易知,当(),()P x Q x 在区间[,]αβ上连续时,定理1的条件就能满足,且对任一初值000(,),[,]x y x αβ∈所确定的解在整个区间[,]αβ上有定义、连续.实际上,对于一般方程(3.1),由初值所确定的解只能定义在0||x x h -≤上,是因为在构造逐步逼近函数序列{()}n x ϕ时,要求它不越出矩形域R ,此时,右端函数对y 没有任何限制,只要取0[,]max |()()|x M P x y Q x αβ∈=+.4、Lipschitz 条件是保证初值问题解惟一的充分条件，而非必要条件. 例如试证方程0 =0ln || 0 y dy y y dx y ≠⎧=⎨⎩经过xoy 平面上任一点的解都是唯一的.证明 0y ≠时, (,)ln ||f x y y y =,在0y ≠上连续, (,)1ln ||y f x y y '=+也在0y ≠上连续,因此对x 轴外的任一点00(,)x y ,方程满足00()y x y =的解都是唯一存在的.又由ln ||dyy y dx= 可得方程的通解为xce y e=±,其中xce y e=为上半平面的通解,xce y e=-为下半平面的通解,它们不可能与0y =相交.注意到0y =是方程的解,因此对x 轴上的任一点0(,0)x ,只有0y =通过,从而保证xoy 平面上任一点的解都是唯一的. 但是|(,)(,0)||ln ||||ln |||||f x y f x y y y y -==因为0lim |ln |||y y →=+∞,故不可能存在0L >,使得|(,)(,0)|||f x y f x L y -≤所以方程右端函数在0y =的任何邻域并不满足Lipschitz 条件.此题说明Lipschitz 条件是保证初值问题解惟一的充分条件，而非必要条件. 2)考虑一阶隐方程(,,)0F x y y '= (3.12)由隐函数存在定理,若在000(,,)x y y '的某一邻域内F 连续且000(,,)0F x y y '=,而0Fy ∂≠'∂,则必可把y 唯一地表为,x y 的函数(,)y f x y '= (3.13)并且(,)f x y 于00(,)x y 的某一邻域连续,且满足000(,)y f x y '=如果F 关于所有变元存在连续的偏导数,则(,)f x y 对,x y 也存在连续的偏导数,并且/f F F y y y ∂∂∂=-'∂∂∂ (3.14) 显然它是有界的,由定理1可知,方程(3.13)满足初始条件的0()0y x =解存在且唯一.从而得到下面的定理.定理2 如果在点000(,,)x y y '的某一邻域中: ⅰ) (,,)F x y y '关于所有变元(,,)x y y '连续,且存在连续的偏导数；ⅱ）000(,,)0F x y y '= ⅲ）000(,,)0F x y y y '∂≠'∂ 则方程（3.12）存在唯一的解0() || y y x x x h =-≤（h 为足够小的正数）满足初始条件0000(), ()y x y y x y ''== （3.15）（四）、近似计算和误差估计求方程近似解的方法——Picard 的逐次逼近法0000100()()(,()) x nn x x y x y f d x x x h ϕϕξϕξξ-=⎧⎪⎨=+≤≤+⎪⎩⎰对方程的第n 次近似解()n x ϕ和真正解()x ϕ在0||x x h -≤内的误差估计式1|()()|(1)!n n n ML x x h n ϕϕ+-≤+ （3.16）此式可用数学归纳法证明.000|()()||(,())|()xx x x f d M x x Mh ϕϕξϕξξ-≤≤-≤⎰设有不等式1110|()()|() !!n n nn n ML ML x x x x h n n ϕϕ----≤-≤成立,则0110110|()()||(,())(,())| |()()|ξ()! ()(+1)!(+1)!xn n x xn x n x nx n n n n x x f f d L d ML x d n ML ML x x hn n ϕϕξϕξξϕξξϕξϕξξξ--++-≤-≤-≤-≤-≤⎰⎰⎰ 例1 讨论初值问题22dyx y dx=+, (0)0y = 解的存在唯一性区间,并求在此区间上与真正解的误差不超过0.05的近似解,其中,:11,11R x y -≤≤-≤≤.解 (,)1max |(,|2,1,1,min{,}2x y Rb M f x y a b h a M ∈======,由于|||2|2f y L y∂=≤=∂,根据误差估计式(3.16)11|()()|0.05(1)!(1)!n n n ML x x h n n ϕϕ+-≤=<++可知3n =.于是0()0x ϕ=322100()[()]3xx x x x dx ϕϕ=+=⎰3722210()[()]363xx x x x x dx ϕϕ=+=+⎰37111522320()[()]363207959535xx x x x x x x dx ϕϕ=+=+++⎰3()x ϕ就是所求的近似解,在区间1122x -≤≤上,这个解与真正解得误差不超过0.05. 1、求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)0(2y yx dx dy 的第三次近似解；解由解的存在唯一性定理知，1），2）中的初值问题的解分别在)0,0(，)0,1(的邻域内存在且唯一。

文献综述(谷成雨)

姓名：谷成雨学号：12207210201 班级：12信息专升本（2)班常数变易法在求解微分方程中的应用文献综述微分方程具有一般数学的特点：抽象性、严密性，又具有本身的特点，即与工程技术紧密相连，实用性强。

而常数变易法是解线性微分方程行之有效的一种方法。

常数变易法是拉格朗日十一年的研究成果，但是我们所用的仅是他的结论，并无过程。

对于某些特定的非齐次线性微分方程，运用常数变易法来求解是相当便捷的。

常数变易法主要过程是：先求对应齐次方程的通解，然后再常数c 才变易为)(x c ，再将所设求导代入原非齐次线性微分方程，确定待定函数)(x c ，最后写出通解。

常数变易法实际上亦是一种变量变换的方法，用它来解一阶非齐次线性方程与变量变化并无原则区别，但是将它推广到解高阶线性微分方程就显出了它的无比巨大的威力。

它的优点是比变量变换更容易掌握，运用广泛，能够解一阶线性微分方程(组)和高阶线性微分方程。

应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。

求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。

也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。

后来的发展表明，能够求出通解的情况不多，在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解。

当然，通解是有助于研究解的属性的，但是人们己把研究重点转移到定解问题上来。

常数变易法作为求解微分方程的较为完善的一种方法，在其发展起着重要的作用，而其也被广泛的应用到了动力系统。

动力系统中广泛的研究工作显示了对自然现象的描述可以在数学理论中表现出美丽而复杂的结构，并具有丰富的动力学性态和广泛的实际应用。

下面就让我们来叙述一下常数变易法在求解微分方程中的应用。

1、一阶线性非齐次微分方程：)()(x q y x p dxdy+=【见文献1、2、3、4】 (1) 先解对应的齐次线性微分方程y x p dxdy)(= (2) 用分离变量法可得（2）式的通解：⎰=dxx p ce y )( （其中c 是任意常数）（3）把这通解中的任意常数c 替换成待定函数)(x c ，得到⎰=dxx p e x c y )()( （4）则：⎰-⎰'='dxx p dxx p e x p x c e x c y )()()()()( （5）将（4）式和（5）式代入（1）式，化简得：)()()(x q e x c dxx p ⎰='- 所以（1）式的通解为：))(()()(c dx x q e e y dxx p dxx p +⎰⎰=⎰-（其中c 是任意常数）。

一阶常微分方程初等解法研究

一阶常微分方程初等解法研究1. 分离变量法：对于形如 dy/dx = f(x)g(y) 的方程，如果可以将变量 x 和 y 分离出来，即可写成 dx/f(x) = dy/g(y)，然后对两边同时积分即可得到方程的解。

2. 齐次方程：对于形如 dy/dx = f(y/x) 的方程，我们可以令 v = y/x，然后通过代换和分离变量的方式将其转化为一阶线性方程，进而求解。

3. 线性齐次方程：对于形如 dy/dx + p(x)y = 0 的方程，我们可以通过乘以一个积分因子来将其转化为可分离变量的形式，进而求解。

4. 一阶线性方程：对于形如 dy/dx + p(x)y = q(x) 的方程，可以通过乘以一个积分因子来将其转化为一阶线性常微分方程组的形式，然后通过求解常微分方程组得到原方程的解。

5. 可分离变量的方程：对于形如 dy/dx = f(x)g(y) 的方程，如果可以将变量 x 和 y 分离出来，即可写成 dx/f(x) = dy/g(y)，然后对两边同时积分即可得到方程的解。

以上是一阶常微分方程的初等解法研究。

这些方法广泛适用于各种类型的一阶常微分方程，能够通过简单的代数运算和积分求解方程，得到解析解。

但对于一些特殊类型的方程，可能需要借助其他方法求解，或者使用数值方法进行求解。

除了初等解法，还有一些其他的方法可以用于求解一阶常微分方程，如变量替换、常数变易法、特解叠加法等。

这些方法在特定情况下可以简化方程的求解过程，提高求解效率。

此外，对于更高阶的微分方程，可以利用一阶常微分方程的解法来进行逐步求解。

总结起来，一阶常微分方程初等解法的研究可以帮助我们理解微分方程的性质和求解方法，掌握这些解法对于解决实际问题和推导其他微分方程的解法都具有重要意义。

因此，研究一阶常微分方程的初等解法有着广泛的应用价值。

一阶常微分方程解法的总结.docx

实用标准文案第一章一阶微分方程的解法的小结⑴、可分离变量的方程：①、形如dyf ( x)g ( y) dx当 g( y)dyf (x)dx ，两边积分即可得到结果；0 时，得到g( y)当 g( 0 )0 时，则 y(x)0 也是方程的解。

例 1.1、dyxy dx解：当 ydy x20时，有xdx ，两边积分得到 ln y C (C为常数 ) y2x2所以 y C1 e 2(C1为非零常数且C1e C )y0 显然是原方程的解；x2综上所述，原方程的解为y C1e 2(C1为常数 )②、形如 M ( x) N ( y)dx P(x)Q ( y)dy0当 P( x) N ( y)M (x)Q( y)0 时，可有dx dy ，两边积分可得结果；P(x)N ( y)当 N ( y0 )0 时， y y0为原方程的解，当P(x0）0 时， x x0为原方程的解。

例 1.2 、x( y21)dx y( x21) dy0解：当 ( x21)( y21)0时，有y dy x dx 两边积分得到1y 2x21ln x21ln y 21ln C(C 0) ，所以有( x21)( y21) C (C 0)；当 ( x21)( y21)0 时，也是原方程的解；综上所述，原方程的解为( x21)( y21) C (C为常数 ) 。

⑵可化为变量可分离方程的方程：dy y①、形如g( )实用标准文案解法：令 uy，则 dyxduudx ，代入得到 xduu g(u) 为变量可分离方程，得到xydxf (u, x, C ) 0(C 为常数 ) 再把 u 代入得到 f (, x,C) 0 (C 为常数 ) 。

xdyG (ax by), (ab 0)②、形如dxadx du1 du a解法：令 uaxby ，则 dyG(u) 为变量可分离方程，b ，代入得到b dxb得到 f (u, x,C )0 (C 为常数 ) 再把 u 代入得到 f (ax by, x,C ) 0 (C 为常数 ) 。

浅谈一阶微分方程的初等解法

浅谈一阶微分方程的初等解法1 基本概念微分方程就是联系着自变量、未知函数及其导数（或微分）的关系式.如 '2y xy = （其中'dyy dx=，x 为自变量，y 为未知函数）；（1.1） "2'xy y e += （x 为自变量，y 为未知函数）；（1.2）微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数，例如方程（1.1）它含有未知数y 及它的一阶导数dydx，这样的方程称为一阶常微分方程，方程（1.2）为二阶常微分方程. 一阶常微分方程一般形式可表示为 (,,')0F x y y = （1.3）如果（1.3）能解出y ＇，则得到 '(,)y f x y = （1.4）或 (,)(,)0M x y dx N x y dy += (1.5)(1.3)称为一阶隐微分方程，（1.4）称为一阶显微分方程，（1.5）称为微分形式的一阶方程. 如果函数()y x ϕ=代入方程（1.3）后，能使它变为恒等式，则称函数()y x ϕ=为方程（1.3）的解.定义[1]121P 我们把含有一个任意常数c 的解(,)y x c ϕ=称为一阶微分方程（1.3）的通解.本文主要介绍一阶常微分方程的初等解法.2 一阶显微分方程的初等解法2.1 恰当方程 2.1.1 恰当方程考虑微分形式的一阶方程 (,)(,)0M x y dx N x y dy += （1.5）如果方程（1.5）的左端恰好是某个二元函数),(y x u 的全微分，即dy yudx x u y x du dy y x N dx y x M ∂∂+∂∂≡≡+),(),(),( （2.1）则称（1.5）为恰当方程.容易验证，（1.5）的通解就是 c y x u =),( （c 为任意常数）（2.2）定理[1]411P 方程(1.5）为恰当方程的充要条件x Ny M ∂∂=∂∂ （2.3）且恰当方程（1.5）的通解为 c dy dx y x M y N dx y x M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-+⎰⎰⎰),(),( （2.4）例1 求3222232(33)(33)0y xy x y dx xy x y x y dy --+--+=通解解这里322223233,33M y xy x y N xy x y x y =--=--+且2222363,363M Ny xy x y xy x y x∂∂=--=--∂∂ 所以该方程是恰当方程. 解法1 现在求u 使它同时满足如下两个方程32233uy xy x y x∂=--∂ (2.5) 223233uxy x y x y y∂=--+∂ (2.6) 由 (2.5)对x 积分,得到32233()2u y x x y x y y ϕ=--+ (2.7) 为了确定()y ϕ,将（2.7）对y 求导数,使它满足(2.6),即得223223233'()33uxy x y x y xy x y x y yϕ∂=--+=--+∂ 故2()d y y dyϕ=,积分后3()3y y ϕ=得,将()y ϕ代入 (2.7),得到322333123u xy x y y y y =--+因此，方程的通解为 322333123xy x y x y y c --+= （ c 为任意常数）.解法2 代入通解公式(,)(,)M x y dx N M x y dx dy c y ⎡⎤∂+-=⎢⎥∂⎣⎦⎰⎰⎰可得 3222232322(33)(33)(33)y xy x y dx xy x y x y y xy x y dx dy c y ⎡⎤∂--+--+---=⎢⎥∂⎣⎦⎰⎰⎰，即 3223232xy x y x y y dy c --+=⎰，所以方程的通解为 322333123xy x y x y y c --+= （ c 为任意常数）.2.1.2 分项组合法往往在判断方程是恰当方程后，并不需要按照上述一般方法来求解，而是采取“分项组合”的办法，先把那些本身已构成全微分的项分出，再把剩下的项凑成全微分.这种方法要求熟记一些简单二元函数的全微分，如：()ydx xdy d xy +=，2ydx xdy x d y y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ，2ydx xdy x d x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，ln ydx xdy x d xy y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，22ydx xdy x d arctg x y y ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭，221ln 2ydx xdy x y d x y x y ⎛⎫--= ⎪-+⎝⎭. 例2 求方程2()(2)0x y dx x y dy ++-=的通解. 解这里2M x y =+，2N x y =-，且1M y ∂=∂，1Nx∂=∂，因此方程是恰当方程解法1 现在求u 使它同时满足如下两个方程2ux y x∂=+∂ （2.8）2ux y y∂=-∂ （2.9）由 (2.8)对x 积分,得到3()3xu xy y ϕ=++ （2.10）为了确定()y ϕ,将（2.10）对y 求导数,使它满足(2.9),即得'()2ux y x y yϕ∂=+=-∂，故()2d y y dyϕ=-，积分后得2()y y ϕ=-，将()y ϕ代入（2.10）得到：323x u xy y =+- 因此，方程的通解为 3233x xy y c +-= （c 为任意常数）.解法2 把方程重新“分项组合”，得到220x dx ydx xdy ydy ++-=即3203x d ydx xdy dy ++-=，于是得32()03x d xy y +-=因此方程的通解为 3233x xy y c +-= （c 为任意常数）.2.1.3 恰当方程的新解法定理2 对于恰当方程（1.5），若(,)()(,)M x y P x Q x y =+,(,)()(,)N x y R y F x y =+ （2.11）且(,)Q x y 中的每一项必含y ；(,)F x y 中的每一项必含x ，则可得方程的通解为(,)()()(,)u x y P x dx R y dy Q x y dx c=++=⎰⎰⎰或(,)()()(,)u x y P x dx R y dy F x y dy c =++=⎰⎰⎰且(,)(,)Q x y dx F x y dy c =+⎰⎰ （这里c 是任意常数）.证明 ()P x dx ，()R y dy 显然已构成全微分，由（2.3）、（2.11）得Q Fy x∂∂=∂∂ 则 (,)(,)0Q x y dx F x y dy += 也是恰当方程，所以构成全微分. 设(,)(,)0Q x y dx F x y dy +=的通解为(,)h x y c =我们证明(,)(,)h x y Q x y dx c =+⎰或1(,)(,)h x y F x y dy c =+⎰由恰当方程的解法得 (,)(,)()h x y Q x y dx y ϕ=+⎰（2.12）只需证明()y c ϕ=即可，（这里c 是任意常数）. （2.12）两边对y 求偏导(,)(,)'()h x y Q x y dx y y y ϕ∂∂=+∂∂⎰由恰当方程得(,)(,)(,)'()h x y F x y Q x y dx y y yϕ∂∂==+∂∂⎰ 下面证明()y c ϕ=当'()0y ϕ=时，显然有()y c ϕ=，当'()0y ϕ≠时，()y ϕ中至少有一项是只含y 的函数，与所设的(,)F x y 中的每一项必含x 矛盾. 所以 (,)(,)h x y Q x y dx c =+⎰.同理 1(,)(,)h x y F x y dy c =+⎰.则1(,)(,)(,)h x y Q x y dx c F x y dy c =+=+⎰⎰，即1(,)(,)Q x y dx c F x y dy c +=+⎰⎰，由“分项组合”法得，方程的通解为(,)()()(,)u x y P x dx R y dy Q x y dx =++⎰⎰⎰或(,)()()(,)u x y P x dx R y dy F x y dy =++⎰⎰⎰（这里c ，1c 是任意常数）. 证毕当判定方程（1.5）为恰当方程后，则一定存在函数(,)u x y ，使(,)(,)(,),(,)u x y u x y M x y N x y x y∂∂==∂∂，上面当(,)u x y 对x 求偏导数时，(,)u x y 中含x 的项在(,)M x y 中以各自的导数仍出现，而(,)u x y 中只含y 和常数的项在(,)M x y 中不出现；当(,)u x y 对y 求偏导数时，(,)u x y 中含y 的项在(,)N x y只也以各自的导数出现，而(,)u x y 中只含x 和常数的项在(,)N x y 中不出现.而(,)u x y 中既含x 也含y 的项即x 和y 的交叉项在(,)M x y 、(,)N x y 中都出现了.现在(,)M x y 对x 求积分（y 是参变量）；(,)N x y 对y 求积分（x 是参变量）.然后取“并集”就得到了(,)u x y 中除常数项外的所有项，由此就得到了通解.例3 求0ydx xdyxy-=的通解. 解 1y M xy x ==，1x N xy y =-=-,0M y ∂=∂，0N x∂=∂因此方程是恰当方程解法1 把方程重新“分项组合”，得到0dx dyx y-=，即ln ln 0d x d y -= 于是，ln0x d y =，因此方程的通解为 ln xc y= （c 为任意常数）. 解法2 (,)M x y 对x 求积分 1ln yMdx dx x c xy==+⎰⎰， (,)N x y 对y 求积分 2ln xNdy dy y c xy=-=-+⎰⎰ 取“并集”得方程的通解为 lnxc y=. （ 12,,c c c 是任意常数）. 例 4 求2223(3)(4)0x xy dx x y y dy +++=的通解解 223M x xy =+,234N x y y =+，2M xy y ∂=∂2Nxy x∂=∂因此方程是恰当方程解法1 把方程重新“分项组合”，得到2223340x dx xy dx x ydy y dy +++=即32222411022dx dy x d x y dy +++=，于是，3224()0d x x y y ++=，因此方程的通解为 322412x x y y c ++= （c 为任意常数）.解法2(,)M x y 对x 求积分 2232211(3)2Mdx x xy dx x x y c =+=++⎰⎰,(,)N x y 对y 求积分 2342221(4)2Ndy x y y dy y x y c =+=++⎰⎰取“并集”得方程的通解为 322412x x y y c ++= （ 12,,c c c 是任意常数）. 2.1.4 恰当方程与积分因子上面介绍了恰当方程的解法，但是，方程（1.5）未必都是恰当方程.当（1.5）不是恰当方程的时候，在一定的条件下，我们可以把它化为恰当方程.为此我们引进积分因子的定义：假如存在连续函数(,)0x y μ≠，使得方程(,)(,)(,)(,)0x y M x y dx x y N x y dy μμ+= （2.13）为恰当方程，我们就把(,)x y μ 称为方程（1.5）的积分因子. 根据上节可知，函数(,)x y μ为（1.5）的积分因子的充要条件是()()M N y x μμ∂∂=∂∂ 即 d M N N M dx y y x μμμ⎛⎫∂∂∂-=- ⎪∂∂∂⎝⎭（2.14）这是一个以μ为未知函数的一阶线性偏微分方程.如果对于方程（1.5）存在只与x 有关的积分因子()x μμ=，则0y μ∂=∂，这时方程（2.14）变为d M N N dx y x μμ⎛⎫∂∂=- ⎪∂∂⎝⎭即M Nd y x dx Nμμ∂∂-∂∂=，由此可知方程（1.5）有只与x 有关的积分因子的充要条件是()M N y xx Nψ∂∂-∂∂= ，这里()x ψ仅为x 的函数，假设此条件成立，则方程（1.5）的一个积分因子为 ()x dxe ψμ⎰= （２.15)同理方程(1.5)有只与y 有关的积分因子的充要条件是()M Ny xy Mϕ∂∂-∂∂=-,这里()y ϕ仅是y 的函数,则方程 (1.5)的一个积分因子为()y dye ϕμ⎰=.注：方程（1.5）的二元函数的积分因子在此不详加讨论，可具体问题具体分析.例5 求解方程 32222()0y xy x y dx x y dy x ⎛⎫++++= ⎪⎝⎭.解因为 1M Ny xN∂∂-∂∂=,故原方程有只与x 有关的积分因子 1dxx e e μ⎰==,以 xe μ= 乘方程两边,得到 32222()0xx y e xy x y dx e x y dy x ⎛⎫++++= ⎪⎝⎭于是方程的通解为 223xy ye x C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ (C 为任意常数).2.2 变量分离方程 2.2.1 变量分离方程形如)()(y x f dxdyϕ= （2.16）的方程，其特点是，右边是一个x 的函数与一个y 的函数的乘积，我们称这类方程为变量分离方程.方程（2.16）的求解方法为：将（2.16）改写为dx x f y dy)()(=ϕ 这样，变量就“分离”开来了，两边积分，得到⎰⎰+=c dx x f y dy)()(ϕ （2.17）这里我们把积分常数c 也明确写出来，而把⎰)(y dy ϕ，⎰dx x f )(分别理解为)(1y ϕ，)(x f 的某一个原函数，因而常数c 的取值必须以（2.17）有意义为前提.把（2.17）作为确定y 是x 的隐函数的关系式，于是，对于任一常数c ，微分方程（2.17）的两边，就知（2.17）所确定的隐函数),(c x y y =满足方程（2.16），因而（2.17）是（2.16）的通解.特别地，如果存在0y ，使0)(0=y ϕ，直接代入，可知0y y =也是（2.16）的解，可能它不包含在方程的通解（2.17）中，必须予以补上.例6 求解方程2211xy dx dy--=解将变量分离，得到2211xdx ydy -=-两边积分，即得 c x y +=arcsin arcsin解出y ，得到通解 )sin(arcsin c x y += （c 是任意常数）另外，方程还有解1±=y ，它不包含在通解中.例7 求解方程tan 1dyxy dx-=解此方程可改写为tan 1dyx y dx=+ 将变量分离，得到cos 1sin dy xdx y x=+ 两边积分，即得 ln 1ln sin ln y x c +=+ （ln c 为任意常数）将任意常数写成ln c 的形式是为了方便.由此得方程的通解为sin 1y c x =- 另外，方程还有解1y =-，所以在通解cx y =中，任意常数c 也可以为零.例 [1]208P 求方程()dyP x y dx= （2.18）的通解，其中()P x 是x 的连续函数.解将变量分离，得到 ()dyP x dx y= ，两边积分，即得 1ln ()y P x dx c =+⎰（1c 是任意函数），由对数定义，1()P x dx c y e +⎰=，即 1()P x dxc y e e ⎰=±⋅令1c e c ±=，得到 ()P x dxy ce ⎰= （2.19）另外方程还有解0y =，它含在通解中，故可不写.2.2.2可化为变量分离方程的类型（1）形如dy y f dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2.20）的方程，其特点是，它的右端是一个以为xy为变元的函数，这种类型的方程称为齐次方程，这里)(u g 是u 的连续函数.方程（2.20）的求解方法为：作变量变换y u x =,则y ux =，dy du x u dx dx=+，代入方程（2.20)，则方程变为 ()du x f u u dx =- 整理后可得：()du f u udx x-= （2.21）方程（2.21）是一个变量分离方程，可按2.2.1的方法求解，然后代回原来的变量，即可得方程（2.20）的解.例9 求解方程22y xy dxdyx-=. 解将方程改写为 2dy y y dx x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭这是齐次方程，以u xy=及u dx dy x dx dy +=代入，则原方程变为 2u dx du x -= 分离变量得 x dxudu =-2两边积分得c x u +=ln 1或cx u +=ln 1 （c 为任意常数）将xyu =代入，得原方程的通解 c x x y +=ln（c 为任意常数）另外方程还有解0u =，即0y =也是方程的解.例10 求解方程yx yx dx dy 2332++= 解将方程改写为 xy x ydxdy 2332++=这是齐次方程，以u x y =及u dx du x dx dy +=代入，则原方程变为32)1(22+-=u u dx du x 分离变量得 dx x du u u 1)1(2322=-+两边积分得 )1()1(4+=-u c x u 将xyu =代入，得原方程的通解 )()(5x y c x y +=- （c 为任意常数）（2）形如)(by ax f dxdy+= （2.22）的方程（其中a ，b （b ≠0）为常数）.这种类型的方程的解法为：作变量变换u ax by =+，则du dy a b dx dx =+，将其带回方程（2.22），则方程变为 ()du a bf u dx=+ （2.23）方程（2.23）是一个变量分离方程，可按2.2.1的方法求解，然后代回原来的变量，即可得方程（2.22）的解.例11 求解方程0)324()12(=++-++dy x y dx x y解将方程改写为3)2(21)2(++++=x y x y dx dy 令u x y =+2，则12+=dx dy dx du ，代入原方程，则得 3254++=u u dx du分离变量得dx du u u =++5432 两边积分得 c x u u +=++8454ln （c 为任意常数）将x y u +=2代入，得原方程的通解为ln 84584y x y x c+++-= （c 为任意常数）（3）形如222111c y b x a c y b x a dx dy ++++= （2.24）的方程（其中222111,,,,,c b a c b a 都是常数）.我们分三种情况讨论：① 120c c ==的情形.这时方程可化为 11112222ya b a x b y dy y x g y dx a x b y x a b x++⎛⎫=== ⎪+⎝⎭+ 这是齐次方程，作变换xyu =，则方程就化为变量分离方程.② 12,c c 不全为0，且02211=b a b a ，即2121b b a a =的情形. 不妨设k b b a a ==2121，则方程可写为)()(22222122y b x a f c y b x a c y b x a k dx dy +=++++= 作变换u y b x a =+22，则方程就化为变量分离方程)(22u f b a dxdu+=. 例12 求解方程564432++++=y x y x dx dy . 解方程可改写为5)32(2432++++=y x y x dx dy ，令y x u 32+=，则dx dy dx du 32+=，将其代入原方程则得 52227++=u u dx du 变量分离得dx du u u =++22752 两边积分得 2279ln 472u u x c ⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （c 为任意常数），将3u x y =+代入，得原方程的通解 2239ln 234372x y y x c ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（c 为任意常数） ③02211≠b a b a 及21,c c 不全为零的情形.这时方程（2.24）右端的分子、分母都是x 、y 的一次式，因此⎩⎨⎧=++=++0222111c y b x a c y b x a （2.25）代表xy 平面上两条相交的直线，设交点为（βα,）.令 ⎩⎨⎧-=-=βαy Y x X （2.26）则（2.24）可化为形如 1122a X bY dY Y g dX a X b Y X +⎛⎫== ⎪+⎝⎭（2.27）的齐次方程。

《一阶微分方程的解法探讨》文献综述

一阶微分方程的解法探讨的文献综述陈棋（数学与应用数学系指导教师：柳志千）一、研究背景及动态微分方程是一门十分活跃的数学分支.利用数学手段研究自然现象和社会现象，或解决工程技术问题，往往需要借助微分方程的知识，它是人们解决各种实际问题的有效工具.这些应用也为微分方程的进一步发展提出了新的问题，促使人们对微分方程进行更深入的研究.而一阶微分方程的解法是微分方程的基础，对其的解法进行探讨有助于获得解决微分方程的数学方法.《常微分方程》作为数学系各专业的一门应用性较强的专业基础课，它对训练学生的数学思维、应用意识和分析与解决实际问题的能力有着极为重要的作用，本课程中介绍了各种特殊一阶微分方程的初等积分法.所谓的初等积分法，就是通过初等函数及其有限次积分的表达式求解微分方程的方法.在微分方程发展的早期，由牛顿、莱布尼茨、伯努利兄弟以及欧拉等发现的这些方法与技巧，一直沿用至今.虽然刘维尔在1841年证明了大多数微分方程不能用初等积分法求解，但这些方法至今仍不失其重要性.通过对该课程的学习，我们知道微分方程的解法是多样的，它没有通用的解法，这给初学该课程的学生造成了一定的困难，不利于教学的实施，故探讨一阶微分方程的各种解法及其思想是十分必要的.二、评述对于一阶微分方程的解法的探讨，已经有很多人对这个课题进行了研究，并取得了一定的成果.基于这样的条件，我选择这样的角度进行整理、归纳及总结。

一阶线性齐次微分方程的一般解法，是先求对应齐次方程的通解，然后应用常数变易法求解；或者直接利用由常数变易法得出的通解公式求解；而对于伯努利方程却是利用变量代换法，将其化成一阶线性非齐次方程来求解.文献[1]中，利用积分方法先推导出伯努利方程的通解公式，把一阶线性非齐次方程作为伯努利方程的特例.这种方法把原来需要三种方法简化为一种方法求解一阶线性非齐次方程和伯努利方程，起到删繁就简的作用.类似这样的处理，有利于初学者的学习，起到有利于教学进行的作用.常微分方程就形式总类而言多不胜举.文献[2]中，总结了几类可用变量分离法求解的一阶常微分方程.表述如下：形如()()()()[]()()0'1'1=±±+--x v x v x v y h f dxdy y h y h k k k k ,()()0=+dy xy xg dx xy yf ，()xy f dx dy x =2，⎪⎭⎫ ⎝⎛=2x y xf dx dy ，()()[]()()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ΦΦ+Φ∂=-x y h f x g x y h x y y h n 1'ln ''βα, ()()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ΦΦΦ=-x y h f x x y y h n '1''α这六种形式的一阶微分方程，在一定的条件下，都可以可分离变量方程的解法求解.文献[4]、[6]与文献[2]一样是对可采用变量替换的一阶微分方程的类型的研究.不同的是，文献[4]除了列举教材的可采用此方法的类型外，还列举了一些特殊的类型，有自己的研究内容所在，而文献[6]中，同样是试用变换到方法，给出积累可化为变量可分离的方程，分别有如下几种形式：()xy f x y dx dy =；⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=2x y f x dx dy ；()()()()0,,=-++ydx xdy y x N ydy xdx y x M ，其中N M ,为y x ,的齐次函数，次数可不同；()()()()0=++++dy dx xy g ydx xdy y x f ，()()()02=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+dy dx x y g x ydx xdy y x f ，()()0=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛xy d x y g x y d xy f 可作变换xy v y x u =+=,化成变量可分离类型求解.当然有相同的类型，但也有自己的独特的研究.在文献[3]中，介绍了一阶微分方程的初等解法在教学过程中对教材处理的几种方法和技巧，并给出了关于积分因子的两个定理.文献[5]中，讲解了一阶微分方程的各类解法，可用变量可分离类型解法的一般变量可分离方程和齐次方程；一阶线性方程类型的解法：1.积分因子法；2.公式法；3.常数变易法，以及当一阶微分方程的形式如下()()()x q x y p y h dx dy +=，则可用变量交换型解法.文献[7]不同于上述文献的做法，除了常微分教材介绍的类型外，根据一些特殊例子，探索了一些特殊类型的一阶微分方程的解法.形如()()()()y g x q y f x p dxdy +=的微分方程，用常数变易法来解方程；一阶微分方程中出现了形如,()f ax by c ++,2y f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,()f x y + 等形式的项时，作变量替换永解；形如()()y x g y x f dx dy ,,=方程中()y x f ,与()y x g ,均含有y x ,的幂函数，且x 与y 方幂之和相等或可化为x y 函数，则此方程可化为齐次方程；利用变量替换k l y =（k 适当选取）将某些形如()y x f dx dy ,=化为齐次方程；利用变量替换求一阶线性方程()()x Q y x P dxdy +=的通解，这是与教材不同的处理方法，对同一类型的多种解法，有利于思维的发散.文献[8]是对一阶微分方程特别是卡蒂方程的一些经典的可积类型的概括和推广，进一步拓展了可积范围.文献[9]、[10]、[11]都是常微分方程的相关教材，但在处理一阶微分方程的解法上有所不同，文献[9]相对于文献[10]多了对一阶隐式方程的讨论，而文献[11]有专门的章节对变量替换法进行讨论研究.三、结论通过上面对文献的评述，我们可以看到一阶常微分方程是没有通解的.我们知道不同的方程可能有不同的求解方法，同一种方程也可能有不同的解法，因此，本文主要研究几类一阶微分方程的类型，主要是变量分离的类型和全微分方程类型.其中将所考虑的方程通过适当的变量变换转化为变量分离的典型方程：齐次方程，一阶线性方程和伯努利方程.除了以上求解的一般方法外，还给出了一些特殊类型的一阶微分方程的解法，虽然这些类型是有限的，但是它们却反映了实际问题中出现的微分方程的相当一部分，掌握这些类型的解法具有十分重要的实际意义.参考文献:[1] 徐进明，林其安．浅谈一类一阶微分方程的解法[J]．三明高等专科学校学报，1999，（1）：14-16．[2] 刘林．一阶常微分方程初等解法研究[J]．河套大学学报（自然科学版），2006，（1）：13-15．[3] 李祥林．一阶常微分方程的初等解法研究[J]．阜阳师范学院学报(自然科学版），1996，（2）：39-43．[4] 罗显康，王雄瑞．变量变换在解一阶常微分方程中的应用[J]．宜宾学院学报，2009，（12）：32-34．[5] 王晓玲．关于一阶微分方程各类解法的研究[J]．数学学习与研究，2012，（9）．[6] 丁飞．一些一阶微分方程的解法[J]．中国科教博览，2004，（12B ）：40-41，46．[7] 文武．一些特殊类型的一阶微分方程的解法探讨[J]．四川文理学院学报，2010，（5）．[8] 冯录祥．一类一阶常微分方程的推广及应用[J]．河南科学，2012，（5）：529-531．[9] 王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松．常微分方程（第三版)[M]．北京：高等教育出版社，2006：30-67．[10] 蔡燧林．常微分方程（第二版)[M]．武汉：武汉大学出版社，2003：19-59．[11] 周义仓，勒祯，秦军林．常微分方程及其应用（第二版)[M]．北京：科学出版社，2010：32-85．。

一阶微分方程的解法任务书

新疆农业大学毕业设计（论文）任务书专业数学与应用数学班级数学学生姓名一、毕业设计（论文）题目：一阶微分方程的解法研究二、毕业设计（论文）应阅读或翻译的文献、资料[1]王高雄,周之铭,朱思铭. 常微分方程[M]. 北京:高等教育出版社,2006.[2]东北师大微分方程教研室. 常微分方程[M]. 北京:高等教育出版社,2005.[3]袁宏俊,胡凌云,刘国璧. 一类一阶n次非线性常微分方程的解法[J]. 菏泽学院学报,2011,33(1):115-118.[4]刘连富. 一类一阶微分方程的通解及应用[J]. 黄石理工学院学报,2011,27(4): 41-42.[5]文武.一类特殊类型的一阶微分方程的解法探讨[J]. 四川文理学院学报,2010, 20(5):5-7.[6]冯世强,高大鹏,陈友军等. 一阶常微分方程若干解题技巧[J].西华师范大学学报,2002,32(2):190-192.[7]余国新. 一阶非齐次线性微分方程的几种解法[J]. 孝感学院学报,2002,22(6): 46-47.三、毕业设计（论文）要点1、阐述一阶微分方程相关知识2、给出各种一阶微分方程的相关解法四、毕业设计（论文）进程安排1、2014年9月20日—12月5日完成文献综述。

2、2014年12月6日—2015年1月25日完成毕业论文的初步撰写工作。

3、2015年1月26日—2015年4月30日完成毕业论文的全部工作。

五、对学生毕业设计（论文）提出明确的工作要求对毕业论文的内容要求：第一步，查阅相关文献，搜集相关资料，对研究的问题有一个全面的了解；第二步，阅读文献和相关书籍；第三步，针对所研究的问题得出自己的研究结果；第四步，完成文献综述与毕业论文。

对时间的要求：必须按时按量的完成任务。

六、毕业设计（论文）工作期限任务书发给日期2014 年9 月20 日设计（论文）工作自2014 年9月20日至2015 年4 月30 日（学院公章）设计（论文）指导教师指导小组组长：领导小组负责人：。

一阶常微分方程解法总结

第一章一阶微分方程的解法的小结⑴、可分离变量的方程： ①、形如)()(y g x f dxdy= 当0)(≠y g 时，得到dx x f y g dy)()(=，两边积分即可得到结果；当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解。

例1.1、xy dxdy= 解：当0≠y 时，有xdx ydy=，两边积分得到)(2ln 2为常数C Cx y +=所以)(11212C x e C C eC y ±==为非零常数且0=y 显然是原方程的解；综上所述，原方程的解为)(1212为常数C eC y x =②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 当0)()(≠y N x P 时，可有dy y N y Q dx x P x M )()()()(=，两边积分可得结果；当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=）x P 时，0x x =为原方程的解。

例1.2、0)1()1(22=-+-dy x y dx y x 解：当0)1)(1(22≠--y x 时，有dx x xdy y y 1122-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C Cy x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C Cy x ；当0)1)(1(22=--y x 时，也是原方程的解；综上所述，原方程的解为)()1)(1(22为常数C C y x =--。

⑵可化为变量可分离方程的方程：①、形如)(xy g dx dy = 解法：令x y u =，则udx xdu dy +=，代入得到)(u g u dxdux =+为变量可分离方程，得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x xyf =。

②、形如)0(),(≠+=ab by ax G dxdy解法：令by ax u +=，则b du adx dy +=，代入得到)(1u G badx du b =+为变量可分离方程，得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x by ax f =+。

总结一阶微分方程的类型及其解法概要

14
0.00012097 t
ln 0.8 0.00012097 t

于是
ln 0.8 0.22314 t 1845 0.00012097 0.00012097 由此可知，遗体的活性人体大约死亡于1845年前。
Thank

you!
14

解：放射性物质的衰减速度与该物质的含量成比例，它符合指数函数的变化规律。设遗体的活性人体当初死亡时 14 c 14 p p f ( t ) o 的含量为，t时的含量为 ,于是， c 含量的函 kt 数模型为 p f (t ) p 0 e 其中 p0 f (0) k是一常数常数k可以这样确定：由化学知识可知， 14 c 的半衰期为 5730年，即 14 c 经过5730年后其含量衰减一半， 1 p0 5730 k 5730 k 故有即 e pe

1 dx x
1 dx x
4.伯努利方程

dy p ( x) y Q( x) y n 形如 dx 的方程称为伯努利方程，
其中n为常数，且
n 0.1

例. 求方程解，以
dy y 2 (a ln x) y 的通解 dx x

y
2
除方程的两端，得 y
2

d( y 1) 1 1 y a ln x 即 dx x

1 sin x y ' y 例. 求方程 x x 的通解

解：题设方程是一阶非齐次线性方程，这里 1 sin x p( x) ，Q( x) x x

sin x 于是，所求通解为 y e ( e dx c) x sin x ln x ln x e ( e dx c) x 1 1 ( sin xdx c) ( cos x c) x x

一阶常微分方程的解法

一阶常微分方程的解法微积分理论中，微分方程是一个非常重要的分支，它们通常用来描述一些变化或进化过程中的物理现象、生物现象或经济现象等等。

其中，一阶常微分方程是微分方程中最简单的一类。

在这篇文章中，我们将介绍一阶常微分方程的求解方法。

一、分离变量法分离变量法是求解一阶常微分方程最简单也是最常用的方法。

这个方法的基本思想是将微分方程中的变量分开，并将每个变量移到不同的方程两侧，最终得到可以分别积分的两个方程。

具体来说，如果给定一个一阶常微分方程$$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$$我们可以将它改写为$$dy=f(x,y)dx$$然后对两边同时积分，得到$$\int dy=\int f(x,y)dx+C$$其中C为常数。

这个方法的局限性在于只适用于一些特定的微分方程，例如y'=ky这类的方程就可以很容易地用这个方法求解。

举个例子，考虑方程$$\frac{dy}{dx}=x^2y$$我们将它改写为$$\frac{dy}{y}=x^2dx$$然后对两边同时积分，得到$$\ln|y|=\frac{1}{3}x^3+C$$最终解为$$y=Ce^{\frac{1}{3}x^3}$$其中C为常数。

二、齐次方程如果方程中的所有项均能够写成y和x的某个函数的乘积，那么这个方程就是齐次方程。

对于这类方程，我们可以利用变量替换来把它转化为分离变量的形式。

具体来说，如果给定一个一阶常微分方程$$\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$$我们可以进行变量替换，令y=ux，其中u是关于x的未知函数。

因此，$$\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$$将其带入原方程，得到$$u+x\frac{du}{dx}=f(u)$$将u视为自变量，x视为函数，可转化为$$\frac{dx}{du}=\frac{1}{f(u)-u}$$然后对两边同时积分，得到$$x=\int \frac{1}{f(u)-u}du+C$$最后将u替换成y/x即可。

一阶微分方程国内研究现状

一阶微分方程国内研究现状
一阶微分方程是数学中的重要分支之一，对于数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。

在国内，一阶微分方程的研究已经有了较为完善的体系和较为成熟的理论。

本文将从以下几方面介绍一阶微分方程国内研究现状。

一、历史回顾
中国古代数学家在一阶微分方程的研究方面也做出了不少贡献，例如《九章算术》中的“方程”一章中，就涉及了一些一阶微分方程的解法。

而在现代，中国的一阶微分方程研究也有着较为悠久的历史。

20世纪初，中国学者开始对一阶微分方程做出系统性的研究，如胡适、李善蕴等人。

在此基础上，中国学者陆续提出了许多一阶微分方程的新方法和新理论，例如陈省身提出的“弱解”的概念和方法，马政华提出的“整体解”的概念和方法等。

二、基本理论
在一阶微分方程的研究中，最基本的理论就是求解一阶微分方程的方法。

国内学者在此方面做出了很多贡献，如常微分方程的初值问题、边值问题的解法等。

此外，也有学者在研究非线性微分方程、随机微分方程、偏微分方程等方向上取得了不少进展。

三、应用研究
一阶微分方程在实际应用中有着广泛的应用，例如电路分析、生物学、物理学、金融学等领域。

国内学者也在这些领域中做出了很多有意义的研究，如在混沌理论中的应用、微分方程在化学反应动力学
中的应用、微分方程在人口增长问题中的应用等。

总之，一阶微分方程在国内已经形成了一套较为完善的研究体系和理论框架，为相关领域的发展做出了较大的贡献。

但是随着科技的发展和应用领域的拓宽，也需要不断地深入研究和探索，以更好地服务于实际应用。

一阶迭代微分方程的解析解

一阶迭代微分方程的解析解微分方程作为数学中的重要分支，广泛应用于自然科学、工程技术、社会经济等领域。

一阶迭代微分方程是其中一类基础的微分方程，其解析解的求解方法是学习微分方程理论的必备内容。

本文将介绍一阶迭代微分方程的定义、求解方法及其应用。

一、一阶迭代微分方程的定义一阶迭代微分方程是指形如dy/dx=f(x,y)的微分方程，其中f(x,y)为已知函数。

这类微分方程中，y是x的函数，称为未知函数。

该方程的解是指由x和y的某一组函数表示的函数关系，使得方程两边同时对x求导数时相等。

解析解是指可以由一些基本函数通过有限次代数运算、函数组合及求导运算得到的函数。

二、一阶迭代微分方程的求解方法求解一阶迭代微分方程的解析解的方法有多种，以下是两种常用的方法。

1. 变量分离法变量分离法是求解一阶迭代微分方程解析解的基本方法。

其基本思想是将方程中的y和x分别移到等式两侧，然后对两边分别积分。

具体步骤如下：（1）将方程dy/dx=f(x,y)两边同时乘以dx，得到dy=f(x,y)dx。

（2）将dy和dx分别移到等式两侧，得到dy=f(x,y)dx。

（3）对两边同时积分，得到∫dy=∫f(x,y)dx。

（4）对∫f(x,y)dx进行积分，得到解析解y=F(x,c)，其中c为积分常数。

2. 求导数法求导数法是求解一阶迭代微分方程解析解的另一种方法。

其基本思想是将方程中的y看作x的函数，然后对方程两边同时求导数，得到一个关于y和y'的方程，将其化为一个关于y和x的方程，然后对其进行积分。

具体步骤如下：（1）将方程dy/dx=f(x,y)两边同时乘以dx，得到dy=f(x,y)dx。

（2）对方程两边同时求导数，得到dy/dx=d^2y/dx^2+f(x,y)dy/dx。

（3）将dy/dx看作y的函数，得到d^2y/dx^2=[d/dy(f(x,y))]dy/dx。

（4）将d^2y/dx^2和dy/dx代入上面的方程中，得到d^2y/dx^2+[d/dy(f(x,y))]dy/dx=0。

一阶常微分方程的解法探讨_湛华平

以把它分成三类：可分离变量微分方程、一阶线性微分方程、具有整体
可换元的微分方程（如齐次方程）。在解一阶微分方程时，根据方程本
身的特征，熟悉的方程模型选择合适的方法；当类型和我们常见的不
同时，选择合适的思想，转化成我们熟悉的模型之后再求其通解。科
● 【参考文献】
［1］王高雄，王寿松.常微分方程.2 版[M].高等数学出版社，1999. ［2］同济大学数学系.高等数学.6 版[M].高等教育出版社，2006.
一般的处理方法是把微分模式转化为微分方程的模式，即为：
dy =- tany
（2）
dx x-siny
对照可解的一阶模型，它不是可分离变量的方程，也不是齐次方
程，和标准的一阶线性微分方程也不相同。因此必须通过变形转化成
我们熟悉的模型，运用一元函数导数和微分的关系，（2）式可变形为：
Multi-Solution to the First-order Common Differential Equantion ZHAN Hua-ping GUO Gao-rong CHANG Peng
(Anyang Institute of Technology,Anyang Henan,455000) 【Abstract】This paper addresses a specific first-order differential equation ， reveals the equation of the common method by using the different method and skill. 【Key words】Common Differential Equantion；Method of Substitution；Variation of Constands

一阶线性非齐次微分方程的解法探析

一阶线性非齐次微分方程的解法探析汤维曦【摘要】介绍求解一阶线性非齐次微分方程的积分变换法和积分因子法,有助于解决学生学习“常数变易法”中的存疑；通过对三种解法的辨析,明确各种解法的特点与关系；对同一问题,注重采用一题多解的教学方式,从不同角度、采用不同方法加以探究求解,有利于拓宽学生的解题思路,培养学生灵活解题的能力.【期刊名称】《福建教育学院学报》【年(卷),期】2013(014)001【总页数】3页(P122-124)【关键词】一阶线性非齐次微分方程;通解;常数交易法;积分变换法;积分因子法【作者】汤维曦【作者单位】漳州城市职业学院教师教育系,福建漳州 363000【正文语种】中文【中图分类】O175.1形如y′+p（x）y=q（x）的方程称为一阶线性微分方程.当q（x）=0时，称为一阶线性齐次微分方程；当q（x）≠0时，称为一阶线性非齐次微分方程.对于一阶线性齐次微分方程，用分离变量法可得其通解y=ce-∫p（x）dx（c为任意常数），而对于一阶线性非齐次微分方程，其求通解的方法较多也较复杂.许多高等数学教材仅介绍“常数变易法”，其余方法未予介绍.常数变易法虽然解法较为简洁、巧妙，但在教学过程中学生普遍反映思维突兀、不易理解.为此，教师可向学生多介绍其它几种解法：如积分变换法和积分因子法等，变过去“单向的、线性的”教学模式为“多向的、非线性的”教学模式.对同一问题，注重采用一题多解的教学方式，从不同角度、采用不同方法加以探究求解，不但有助于拓宽学生的解题思路，培养学生灵活解题的能力，激发学生探究问题的热情，同时还可弥补一些高等数学教材中仅介绍“常数变易法”这一种解法的不足.1 常数变易法一阶线性非齐次微分方程与一阶线性齐次微分方程y′+p（x）y=0的差异仅在于方程右边的项 q（x）.y′+p （x）y=0 是可分离变量的微分方程，用分离变量法易得其通解为y=ce-∫p（x）dx（c为任意常数），而方程（1）不能用分离变量法求解，但因其形式与y′+p （x）y=0类似，因此，猜测其通解也应有类似的表达式.于是将方程y′+p（x）y=0的通解y=ce-∫p（x）dx中的任意常数 c 换成待定函数 c（x），假设y=c （x）e-∫p（x）dx 为方程（1）的解.为了确定 c（x），将整理得c′（x）=q（x）e∫p（x）dx两边积分，得 c（x）=∫q（x）e∫p（x）dxdx+c（c 为任意常数）代入 y=c（x）e-∫p（x）dx，即可得到一阶线性非齐次微分方程y′+p（x）y=q （x）的通解y=e-∫p（x）dx（∫q（x）e∫p（x）dx+c）（c为任意常数）上述“常数变易法”解法，是从给定的非齐次方程所对应的齐次方程的通解出发的，把对应的齐次方程的通解中的常数c变易为待定函数c（x），然后通过确定待定函数c（x）的表达式，进而求出非齐次方程的通解.“常数变易法”无疑是求一阶线性非齐次微分方程通解的重要方法，在一般的微积分或微分方程的教学中所采用的多是常数变易法，在解高阶常微分方程时，这种方法更能发挥作用，体现解法优势，所以教学中最常介绍它，很多教材都采用它.这是一种相当简洁、思维巧妙的解法.但正因其解法过于巧妙，学生普遍反映此种解法思维太突然，不易理解：为什么可以把这个任意常数c变易为待定函数c（x）呢?对此，多数教材中并未给予解释.那么，如何才能解决学生在学习“常数变易法”中存在的疑惑，降低思维难度呢?作为教师，需结合教学经验，改变以往教学中一开始就直接向学生介绍“常数变易法”的教法，采用先介绍积分变换法或积分因子法为过渡，然后再介绍“常数变易法”来解一阶线性非齐次微分方程.2 积分变换法将方程（1）改写成y′=-p（x）y+q（x），注意到未知函数 y 的导数是两个代数式-p（x）y 与 q（x）的和，并联想到求导运算中两个函数之积的导数也是两个代数式的和.受此启发，构造函数其中u和z都是关于x的函数.这样求y关于x的函数关系就转化为分别求u关于x的函数关系和z关于 x的函数关系的问题.将（2）代入（1），得如果此时利用分离变量法来求z关于x的函数关系，我们发现无法把 z从（u′+p （x）u）z单独分离出来.注意到若令u′+p（x）u 等于 0，则应用分离变量法，可求得u=e-∫p（x）dx.则方程（3）简化为z′=q（x）u-1，于是可求得z=∫q（x）u-1dx+c=∫q（x）e∫p（x）dxdx+c.将 u 和 z代入（2），即得方程（1）的通解这一解法过程联系学生熟知的两个函数之积的导数公式，再采用变量代换y=uz，从另一角度探究了求一阶线性非齐次微分方程（1）的通解的方法.此法看起来似乎增加了求解过程的复杂度，但实际上是把一个不能直接分离变量的微分方程转化成了两个可以直接分离变量的微分方程，即用u·ν代换y思维自然，简单明了，更易于学生理解和掌握.3 积分因子法对于解一阶线性非齐次微分方程y′+p（x）y=q（x）（其中q（x）≠0），按照通常思路，可考虑运用积分求解，但此式明显不能直接积分，其原因在于方程左边y′+p（x）y为两项之和，一般来说这样的和式不是一个完全微分式，不可直接积分，联想我们所熟知的乘积的导数公式：由此得到启示，不妨将（1）式两端同乘以一个适当的函数因子 h（x）（h（x）≠0），可得：比较（4）式的右端与（5）式的左端，可知 h（x）应满足：于是（5）式可以写成（h（x）y）′=h（x）q（x）.积分得现在问题归结为求解齐次方程（6），得出 h（x）.对方程（6）应用分离变量法，得 h（x）=e∫p（x）dx，代入（7），得到所求的一阶线性非齐次微分方程（1）的通解称h（x）为积分因子，故上述求解方法称为“积分因子法”，此种解法，思路清晰，方法自然，学生很容易掌握.在实际教学中，若能按上述方法一步一步对学生加以引导，让学生了解解法特点，定能使学生思维顺畅，更好地理解和掌握求解一阶线性非齐次微分方程的过程.4 三种解法的辨析上述积分变换法与积分因子法的求解过程，可以看出：两种解法有着异曲同工之效，其思维切入点相同，都是始于乘积的导数公式的启示从而找到求解思路的，其求解关键都是将不可分离变量的微分方程转化为可以直接分离变量的微分方程，最终达到求解目的.但两种解法的思考角度不同，求解方法也不同，求解步骤各异，解法各有特点.积分变换法这一种解法，应抓住两个关键：其一，巧妙作出变量代换，令y=uz，以u·ν 代换 y，从而将方程化成uz′+（u′+p（x）u）z=q（x），接下来的思路很明确，即分别将u和z求出；其二，在发现无法把z从（u′+p（x）u）z单独分离出来时，令u′+p（x）u=0，不但使计算可行更使计算简化.而积分因子法的关键在于：将一阶线性非齐次微分方程y′+p（x）y=q（x）乘以一个积分因子 h（x）（h（x）≠0），把方程变形为（h（x）y）′=h（x）q（x），积分可得h（x）y=∫h（x）q（x）dx+c（c为任意常数），只要再设法求出积分因子h（x）即可.比较常数变易法与积分变换法，不难发现，用常数变易法在求一阶线性非齐次微分方程y′+p（x）y=q（x）对应的齐次方程y′+p（x）y=0时，其实就是积分变换法中求 u 的微分方程u′+p（x）u=0.求得齐次方程y′+p（x）y=0的解为 y=ce-∫p（x）dx，这其实是积分变换法中的 u 被求出而已，最终答案应该是 y=uz，进一步，y=ze-∫p（x）dx.由此得到启发，只要将齐次方程y′+p（x）y=0的解y=ce-∫p（x）dx中的 c 换成关于 x 的函数 z即可得到非齐次微分方程的解.这里的z就相当于常数变易法中由c“变易”而成的待定函数c（x）.通过对常数变易法的“变易”过程的审视可见，常数变易法实际上是未知量代换的过程，常数变易与变量代换是相互渗透相互联系的，二者的本质相同.此法在思路上并无多大突破，只是利用积分变换法现成的结论逆推而得.所以，可以说常数变易法是由积分变换法发展而来的.用通俗的话来说，常数变易法是借用积分变换法“走了一条捷径”，只是教材对于“这条捷径从何来”自始至终未加解释，因而导致读者疑惑茫然.经过以上辨析，能使学生明白常数变易法中为什么可以把这个任意常数变易为待定函数的道理，解决学生在学习“常数变易法”中存在的疑惑.5 结论常数变易法显然不是求一阶线性非齐次微分方程的通解的唯一方法，并且学生在初学时往往觉得有一定难度，不易理解，因此，教师可以尝试改变以往教学中一开始就直接向学生介绍“常数变易法”的教法，采取先介绍积分变换法或积分因子法为过渡，然后再介绍常数变易法.这样做，可以降低思维难度，易于学生接受.同时，向学生介绍不同解法，可使学生了解各种解法的特点，拓宽学生的解题思路，使学生在实际应用中能更好地根据自身情况选择合适的方法求解问题.【相关文献】[1]徐荣聪.高等数学[M].厦门：厦门大学出版社，2003：164-165.[2]同济大学应用数学系.高等数学（上册）[M].第五版.北京：高等教育出版社，2002.[3]王高雄等.常微分方程[M].第二版.北京：高等教育出版社，1997.[4]赵奎奇.几个特殊类型微分方程的统一方法[J].高等数学研究，2006（2）：30.[5]汪维刚.关于常数变易法求一阶线性非齐次微分方程通解的两点思考[J].安庆师范学院学报（自然科学版），2012（6）.。

一阶非线性微分方程解法的探讨

一阶非线性微分方程解法的探讨
文武
【期刊名称】《四川文理学院学报》
【年(卷),期】2005(015)005
【摘要】研究了伯努利(Bernoulli)方程的解法,除了常规的利用变量变换将伯努利方程化为线性方程来求解外,还可以直接采用常数变易法来求解,进而探讨了一些一阶非线性微分方程的解法.
【总页数】3页(P10-11,14)
【作者】文武
【作者单位】达县师范高等专科学校,数学系,四川,达州,635000
【正文语种】中文
【中图分类】O241.7
【相关文献】
1.一阶非线性微分方程的可解条件及解法 [J], 崔凤午;张志军;金长喜
2.一类一阶n次非线性常微分方程的解法 [J], 袁宏俊;胡凌云;刘国璧
3.一阶完全非线性微分方程f(x,u,u')=g(x)的初值问题的数值解法 [J], 李福祥;崔明根
4.役使原理与一种新的一阶弱非线性常微分方程式的近似求解法 [J], 朱公先;王起文
5.一类一阶非线性常微分方程的简捷求解法 [J], 汤光宋
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一阶隐微分方程的解法

一阶隐微分方程的解法
杨静
【期刊名称】《高等数学研究》
【年(卷),期】2006(9)3
【摘要】一阶隐微分方程F(x,y,y')=0可以利用引进参数的方法求解,本文对不显含y或x的一阶隐微分方程的解法作了讨论.
【总页数】2页(P47-48)
【作者】杨静
【作者单位】徐州师范大学工学院,江苏徐州,221011
【正文语种】中文
【中图分类】O175.1
【相关文献】
1.一道一阶隐式常微分方程的多种解法 [J], 贾伟;武海辉;
2.一阶隐式微分方程可积类型的解 [J], 徐新荣
3.一阶隐式微分方程周期边值问题的上下解与迭合度 [J], 王丽;刘永莉;霍锦霞
4.一阶隐式微分方程广义初值问题解的存在性 [J], 姚晓斌;彭康青;段克峰;杜争光
5.求解一阶隐微分方程的微分法与参数法及奇解注记 [J], 孙立群;孔志宏
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一阶微分方程的解法的小结

n
(C为常数)
形如 M ( x, y ) dx N ( x, y ) dy 0, G ( x, y ), s.t. dG M ( x, y ) dx N ( x, y ) dy 解法：先判断是否是恰当方程：如果有
M ( x, y ) N ( x, y ) 恒成立，那么原方程是个恰当方程，找出一个 y x
例 3、 ( x 1) 代入公式得到 ( x ) e
n P ( x ) dx
e
x1dx
x
n
( x 1) -n
n n x
所以， y ( x ) ( x 1) [ ( x 1) e ( x 1) dx C ] ( x 1) (e C ) (4)、恰当方程：
例 2.2、
dy 2 x y 1 dx x 2 y 1
1 1 x 3 u x 3 2 x y 1 0 dy dv 解：由得到，令，有，代入得到 1 1 dx du x 2 y 1 0 y v y 3 3
导得到
G 6 x 2 y ( y ) 6 x 2 y 4 y 3 ，得到 ( y ) 4 y 3 ，有 ( y ) y 4 ， y
3 2 2 4
故 G ( x, y ) x 3 x y y ，由 dG 0 ，得到
x 3 3 x 2 y 2 y 4 C (C为常数)
2、积分因子法：
y ( x)
P ( x ) dx 1 [ ( x)Q ( x)dx C ] ， ( x) e ( x)
3、IVP：

x
dy P ( x ) y Q ( x ) ， y ( x0 ) y 0 dx ( Q (t )e