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高等数学练习册答案

第一章函数与极限§1函数一、是非判断题1、)(x f 在X 上有界，)(x g 在X 上无界，则)()(x g x f +在X 上无界.[√]2、函数x e x f ln )(=与函数x e x g ln )(=是表示同一函数.[╳]答：不是同一函数，因为)(x f 的定义域是)(∞+−∞，而)(x g 的定义域)0(∞+，3、函数212)cos 1()(x x f −=与函数x x g sin )(=是表示同一函数。

[╳]答：不是表示同一函数,因为两函数的对应规律不同.4、)1ln()1()(x x e x f xx −+⋅−=+函数，则既是奇函数又是偶函数)(x f .[√]答：是,[]0)(,01000)(,0)1ln(00==−=+<==−+=−≥+x f e x x x x f x x x x x x x 从而，，当从而，，当综上述，对任意，x f x ()≡0,，，故)(0)()(0)(x f x f x f x f −==−==−既是奇函数又是偶函数)(x f .5、的最大整数，表示不超过函数x x ][则.1][)(的周期为x x x −=ϕ[√]答：是,1+<≤∈n x n R x ，若任取，n x =][则，　ϕ()x x n=−[)1)1(,1]1[)1(,211+++−=+++−=+++∈+x n x x x n n x ϕ，此时=−=x n x ϕ()，故是以为周期的周期函数ϕ()x 1。

二、单项选择题1、下面四个函数中，与y=|x |不同的是(A )（A ）||ln xey =（B ）2x y =（C ）44xy =（D ）xx y sgn =）上是（，在其定义域、B x x f )()3(cos )(22∞+−∞=非周期函数。

的周期函数；　最小正周期为的周期函数；最小正周期为的周期函数；最小正周期为)(32)(3)(3)(D C B A πππ3、是　函数)0(ln)(>+−=a xa xa x f （A ）的值奇偶性决定于非奇非偶函数；偶函数；　奇函数；　a D C B A )()()()(三、填空题1、＝则时且当设　z x z y y x f y x z , , 0 , )(2==−++=.解：2 , 0 x z y ==时因　2)(x x f x =+∴　故有xx x f −=2)()()()(2y x y x y x f −−−=−)()(2y x y x y x z −−−++=∴2)(2y x y −+=2、的定义域为，则设　)()65lg(56)(22x f x x x x x f +−+−+=解：由解得　，650162+−≥−≤≤x x x 由解得　或x x x x 256023−+><>[)(]故函数的定义域是　，，−1236∪.3、[]＝则．，　；，设)(0202)(x f f x x x x f ⎩⎨⎧≥<+=解：[]f f x x x x ()=+<−≥−⎧⎨⎩4222，；，　四、)()(42411)(2x x f x x x x x x f x φ的反函数求．，；，；，设⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<≤≤<<∞−=.解：当时，，即−∞<<==x y x x y1−∞<<y 1当时，，．141162≤≤=∴=≤≤x y x x yy 当时，，．42162<<+∞=∴=>x y x y x ylog ⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<<∞−=φ．，；，；，的反函数故16log 1611)()(2x x x x x x x x f 五、12)1()(222++=+x xx x f x x f 设　，)(x f 求。

高等数学教材为什么难学

高等数学教材为什么难学高等数学，作为大学阶段的一门基础课程，常常被学生们认为是一门难以理解和掌握的学科。

那么，为什么高等数学教材对许多学生来说如此难学呢？本文将探讨高等数学教材的难点，并分析造成困难的原因。

一、复杂的符号和符号体系在高等数学教材中，大量使用了各种各样的符号和符号体系，包括数学符号、函数符号、微积分运算符等等。

这些符号数量繁多、含义严密，对于初学者来说常常感到晦涩难懂。

比如，一些特殊的数学符号如∵、∴、ϵ、∫等，初学者很难马上理解和记忆。

符号体系的复杂性给初学者在学习过程中带来了很大的困扰。

二、抽象的概念和思维方式高等数学教材中的概念通常都是抽象的，例如极限、导数、积分等，这些概念往往非常抽象，与学生日常生活经验相脱离。

学生需要通过理论的学习和实际问题的应用来理解这些概念，这对于一些直观思维方式较强的学生来说是一种挑战。

在学习高等数学的过程中，学生需要逐渐培养起抽象思维和逻辑思维，并将其应用到具体的问题中。

三、推理和证明的技巧要求高等数学教材中存在大量的推理和证明过程，要求学生具备扎实的逻辑推理和证明技巧。

推理和证明是数学的核心和灵魂，也是高等数学能力的重要表征。

学生需要通过理解和掌握推理和证明的方法，学会利用数学语言和符号进行正确而严谨的推理和证明。

然而，对很多学生来说，这些推理和证明的技巧要求是相当高的，需要长时间的实践和掌握。

四、概念之间的联系和应用高等数学教材中的各个概念之间存在着复杂而密切的联系，而且这些概念通常会相互渗透和应用。

学生在掌握一个概念的同时，还需要理解这个概念与其他概念之间的联系，以及在实际问题中如何应用这些概念。

这需要学生具备全局观念和系统性思维。

然而，很多学生在学习高等数学时容易陷入零散地记忆某个概念，而忽视了整体的学习和理解。

总结起来，高等数学教材之所以难学，主要原因在于复杂的符号和符号体系、抽象的概念与思维方式、推理和证明的技巧要求以及概念之间的联系和应用等方面。

高等数学练习题及答案

一、单项选择题1.0lim()x x f x A →=，则必有（）.（A ）()f x 在0x 点的某个去心邻域内有界. (B) ()f x 在0x 点的任一去心邻域内有界.(C)()f x 在0x 点的某个去心邻域内无界. (D) ()f x 在0x 点的任一去心邻域内无界.2.函数⎩⎨⎧≥+<=0)(x x a x e x f x ，要使()f x 在0x =处连续,则a =( ).(A) 2. (B) 1. (C) 0. (D) -1.3.若()()F x f x '=,则()dF x =⎰（）.（A ）()f x . (B) ()F x . (C) ()f x C +. (D) ()F x C +4.方程 410xx --=至少有一根的区间是（）.（A ） 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. （B ）1,12⎛⎫⎪⎝⎭. （C ）(2,3). （D ）(1,2).二、填空题1. 设()f x 在0x x =处可导,则0lim x x y →∆= ．2．某需求曲线为1002000Q P =-+，则当10P =时的弹性为．3．曲线3267yx x =+-在0x =处的法线方程为．4．2sin 2x t d e dt dx⎰＝ . 三、求下列极限（1）2211lim 21x x x x →---.（2）1lim(1)2x x x→∞-.(3) 0sin 2lim ln(1)x xx →+. 四、求下列导数和微分（1）已知3cos x y x=，求dy . (2)求由方程l n2xyy e =+所确定的函数()y f x =的导数dy dx .五、求下列积分（1）221(sec )1x dx x++⎰.（2）20⎰ . （3）sin ⎰. 六、求函数()x f x xe -=的单调区间和极值.七、求由直线2yx =和抛物线2y x =所围成的平面图形的面积．八、证明：当0x >时，(1)l n (1)x x x++>.九、某种商品的成本函数23()200030.010.0002c x x x x =+++（单位：元），求生产100件产品时的平均成本和边际成本.一、 A ． B ． D ． D ．二、（1）0．（2）-1．（3）0x=．（4）] 2sin cos x e x ⋅．三、求极限（1）解：原式=11(1)(1)12limlim (21)(1)213x x x x x x x x →→-++==+-+ （2）解：原式= 111222220011lim[(1)][lim(1)]22x xx x e x x -----→→-=-= （3）解：这是未定型，由洛必达法则原式=00cos 22limlim2(1)cos 2211x x x x x x →→⋅=+=+四、求导数和微分（1）解：23l n3c os 3sin(c os )x xx xy x +'=,23ln3cos 3sin (cos )x x x x dy dx x += （2）解：方程两边对x 求导,()xyy e y xy ''=+, 1xyxyye y xe '=-五、积分1．原式=221sec xdx dx +⎰⎰=tan arctan x x c ++ 2.原式=220118(4)x --=-=⎰3．t =,2,2x t dx tdt ==原式=sin 22(cos )2cos 2cos t tdt td t t t tdt⋅=-=-+⎰⎰⎰2c o s 2s in 2int t t C C=-++=-六、解：函数定义域为(),-∞+∞,()(1)x x x f x e xe e x ---'=-=- 1x =是驻点可列表讨论：单调增区间(,1)-∞单调减区间(1,)+∞极大值1(1)f e=. 七、解：解方程组22y x y x =⎧⎨=⎩得交点坐标（0，0）（2，4） 23222004(2)33x A x x dx x ⎡⎤=-=-=⎢⎥⎣⎦⎰ 八、证明：设 ()(1)ln(1)f x x x x =++- 当0>x 时，()l n (1)11l n (1)0f x x x '=++-=+>故原函数是增函数，0>x ,即()(0)0f x f >= 即(1)ln(1)0x x x ++-> 故当0x >时，(1)l n (1)x x x++>.九、解：23200030.010.0002()x x x c x x+++=， 23200031000.011000.0002100(100)100c +⨯+⨯+⨯==262'()30.020.0006c x x x =++ 2'(100)30.021000.000610011c =+⨯+⨯=一、单项选择题1. 无穷小量是（）．（A ）比零稍大一点的一个数．（B ）一个很小很小的数．（C ）以零为极限的一个变量．（D ）数零．2.下列函数中当0x +→时为无穷大的函数是（）. (A) 21x--. (B) sin 1sec x x+. (C) xe -. (D) 1x e .3.()f x x =在点0x =处的导数（）． (A)1 ． (B) 0． (C) －1．. (D) 不存在．4. x 0为驻点是可导函数f x ()在x 0处取得极值的（）. (A) 充要条件. (B) 充分条件. (C) 必要条件. (D) 即非充分又非必要.二、填空题1.0x =是函数1,10(),01x x f x x ⎧--≤<⎪=≤<的第类间断点．2．设某种商品的需求函数为220Q P =-，则5P =时的边际需求为． 3．已知曲线3223x y x =-+,则其上切线平行于x 轴的点的坐标为 .4．1-=⎰ ．三、求下列极限1．1lim x →23321x x x +++． 2．23lim(1)x x x →∞-.3．00lim sin xtx e dt x -→⎰. 四、求下列导数和微分1．已知ta n c o s2y x x =⋅，求dy .2．求由参数方程233cos 2sin x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩所确定的函数()y f x =的导数 dy dx .五、求下列积分1．32x x e dx ⎰. 2．3(dxx +⎰. 3．21ln x xdx ⎰．六、求函数arctan yx =的凹凸区间和拐点.七、求由抛物线 2x y=与直线22y x =-所围成平面图形的面积.八、证明：当0x >时，2ln(1)2x x x -<+.九、某商品每月销售x 件的收入函数为100()1000,xR x xe-=问每月销售多少件商品时，可使收入最大？一、Ｃ． D ． D ． C ．二、（1）一．（2）—10 ．（3）()0,2、22,3⎛⎫⎪⎝⎭．（4）0．三、求极限（1）解：因为函数()f x =23321x x x +++在点1x =处连续，故1lim x →2332132(1)3111x x f x ++++===++（2）原式=(3)2663333lim[1()][lim(1)]xxx x e xx --⋅---→∞→∞+-=-= （3）解：这是一个未定型，由洛必达法则原式=000lim lim 1cos limcos xxx x x e ex x--→→→== 四、求导数和微分（1）解：22seccos2tan (sin 2)2sec cos22tan sin 2y x x x x x x x x '=+-⋅=-2sec cos 22tan sin 2dy x x x x dx ⎡⎤=-⎣⎦（2）解：2236sin ,6cos dx dy t t t t dt dt=-=,233226cos cos 6sin sin dy t t t t dx t t t ==--五、积分1．原式=33311()33x x e d x e C =+⎰ 2.原式=1323ln 2arcsin dx x x C x +=++⎰3．原式=222222211111ln ln ()ln 222x x x x xdx xd x dx x ⎡⎤==-⋅⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰=22132ln 22ln 244x ⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦六、解：函数定义域为(,)-∞+∞,211y x '=+,222(1)xy x -''=+,令0y ''=得0x =,0x =把定义区间分成两部分(,0)(0,)-∞⋃+∞.可表示为：凹区间(,0)-∞，凸区间(0,)+∞,拐点(0,0).七、解：222y x y x⎧=⎪⎨=-⎪⎩交点()1,1-，()1,1 由定积分的几何意义可得1122210(2))4(1)A x x dx x dx -⎡⎤=--=-⎣⎦⎰⎰1308433x x ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦八、证：设2()ln(1)2x f x x x =+-+当0x > 21()1011x f x x x x'=-+=>++ 故)(x f 在定义域内单增，即()(0)0f x f >=2ln(1)02x x x +-+>，即当0x >时,2ln(1)2x x x -<+ 九、解：1001001'()1000()100x xR x e xe --⎡⎤=+⋅-⎢⎥⎣⎦=1001000(1)100x x e --令'()0R x =，得驻点x=100 由于收入的最大值存在，而收入函数的驻点仅有一个，故函数在驻点x=100处取得最大值，最大值为：R(100)=1005100101000100e e-⨯⨯=36862≈ 即每月销售100件商品时，可使收入最大为36862．一、单项选择题 1.任意给定0M>,总存在着0X >,当x X<-时,()f x M<-,则（）.（A ）lim ()x f x →-∞=-∞ . （B ）lim ()x f x →∞=-∞.（C ）lim ()x f x →-∞=∞.（D ）lim ()x f x →+∞=∞.2.点1x =是函数31,1()1,13,1x x f x x x x ⎧-<⎪==⎨⎪->⎩ 的（）. (A) 连续点. (B) 第一类非可去间断点. (C) 可去间断点. (D) 第二类间断点. 3.设0()2f x '=,则000()()limh f x h f x h →--= （）.（A ）-2. （B ）4. （C ）2. （D ）12.4.罗尔定理中的条件:()f x 在[],a b 上连续,在(,)a b 内可导,且()()f a f b =,是()f x 在(,)a b 内至少存在一点ξ,使得()0f ξ'=成立的( ).(A)必要条件. (B) 充分条件. (C)充要条件. (D)无关条件.二、填空题1.0x →时，2352x x -是x 的阶无穷小． 2.设某种商品的成本函数C(x)= 210004x ++x=100件产品的边际成本是． 3.()f x dx '=⎰=． 4.2cos x d tdt dx =⎰.三、求下列极限1.sin lim n xx →∞. 2．[]lim ln(2)ln x x x x →∞+-. 3．201lim cos31x x e x →--. 四、求下列导数和微分（1）已知ln(y x =，求dy .（2）求由方程cos sin y y x =+所确定的函数()y f x =的导数dydx. 五、求下列积分（1）()xxeex dx --⎰.（2）2. （3）1ln 1e x dx x +⎰. 六、求函数32231214y x x x =+-+的单调区间和极值.七、求由直线x y =和曲线y =所围成的平面图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积.八、证明:当1x>时，2(1)2x e e x >+.（7分）九、设某商品的需求函数为402Q p =-，其中p 为价格，试求：（1）需求量对价格的弹性；（2）价格p=15元时需求量对价格的弹性，此时是提价还是降价会使收入增加。

高等数学(绪论)

掌握基本原理
基本原理是高等数学的核心，需要熟练掌握。在学习过程中，要注重对定理、公式的推导和证明，理解其逻辑和证明过程。
多做习题，培养解题能力
做习题
通过大量练习习题，可以加深对知识点的理解和掌握，培养解题能力和技巧。在练习过程中，要注重对题目的理解和分析，掌握解题思路和方法。
VS
解题能力
推理思维的培养需要学生注重观察和实验，从具体问题中寻找规律和线索，通过归纳和总结得出一般性的结论。同时，学生还需要注重培养自己的创造性思维，能够从不同角度和思路出发进行思考和探索。
04
高等数学的学习方法
理解概念，掌握基本原理
理解概念
高等数学中的概念通常比较抽象，需要深入理解。在学习过程中，要注重对概念的解释和推导，理解其本质含义和应用场景。
05
高等数学的重要性和意义
对其他学科的影响
物理学
高等数学提供了描述物理现象和规律的数学语言，如微积分、线性代数和微分方程等。
工程学
高等数学是解决复杂工程问题的关键工具，如流体力学、结构力学和航空航天工程等。
经济学
高等数学在经济学中广泛应用，如统计分析、计量经济学和决策理论等。
对个人发展的影响
高等数学是大学理工科、经济学、管理学等学科的重要基础课程，对于培养学生的逻辑思维、分析问题和解决问题的能力具有重要意义。
高等数学的应用领域
物理学高等数学在物理学中有广泛应用，如力学、电磁学、光学等领域都需要用到高等数学的知识。
计算机科学计算机科学中，高等数学主要用于算法设计、数据结构、图像处理等领域，有助于提高计算机科学和技术的水平。
联系
高等数学与初等数学有着密切的联系，初等数学是高等数学的基础。高等数学中的许多概念和方法都是在初等数学的基础上发展起来的，同时高等数学也为解决初等数学中的问题提供了更为深入和有效的方法。

高等数学练习题(附答案)

高等数学练习题(附答案)高等数学一、判断题（每题2分，共20分）1.√2.√3.×4.√5.×6.√7.×8.√9.√ 10.√二、填空题（每题2分，共20分）1.f(x+2)=x+12.03.g'(3)=1/64.du=ydx+xdy5.-1/26.5/47.9/48.69.-2 10.π/2三、计算题（每题5分，共40分）1.1/42.y'=(∑(i=1 to 10) i/(x+i))^23.ln|x-1|+ln|x|+C4.2π5.(2,2)6.1-cos(1)7.ln3/28.y=e^x-x-1/2x^2+C一、判断题1.√2.×3.×4.×5.×二、填空题1.22.13.14.15.1三、改写后的文章2.根据函数的定义，f(x)在点x处有定义是指该点的函数值存在，而f(x)在点x处连续是指当x在该点附近时，函数值的变化趋势与x的变化趋势一致。

因此，f(x)在点x处有定义是f(x)在点x处连续的充分条件，但不是必要条件。

3.若y=f(x)在点x不可导，则曲线y=f(x)在(x,f(x))处可能有切线，也可能没有切线。

因此，该说法是错误的。

4.若f(x)在[a,b]上可积，g(x)在[a,b]上不可积，则f(x)+g(x)在[a,b]上可能可积，也可能不可积。

因此，该说法是错误的。

=0和x+y+z=0在空间直角坐标系中分别表示一个坐标轴和一个平面，而不是三个坐标轴和一个点。

因此，该说法是错误的。

四、证明题1.设f(x)=arctanx-arcsin(x/(1+x^2)^(1/2))，则f'(x)=1/(1+x^2)-x/(1+x^2)(1-x^2/(1+x^2))=0.化简可得x^2=1，即x=±1.因此，f(x)在(-∞,1)和(1,+∞)上单调递减，故在(-∞,+∞)上存在唯一实根。

（完整版）侯风波版《高等数学》练习答案

（完整版）侯风波版《⾼等数学》练习答案第⼀章函数习题函数⼀、填空题：略.⼆、略.三、图略.四、图略；0，2，6-.五、1.函数)(x f 与)(x g 不相同； 2.函数)(x f 与)(x g 是同⼀个函数.六、3)2(log t y a +=.七、1. 1,2,sin ,log +====x w v v u u y w a ； 2. 1,lg ,,arcsin -====x w w v v u u y ； 3. 1e ,,cos 2-===x v v u u y ；4. 12,ln ,cos ,22+-====x x w w v v u u y .第⼆章极限与连续习题⼀极限的概念⼀、判断题：略.⼆、图略；)(lim 0x f x →=0. 三、(1))(x f ⽆定义,2)1(=g ,3)1(=h ；(2)2)(lim 1=→x f x ；2)(lim 1=→x g x ；2)(lim 1=→x h x . 四、左极限0)(lim 0=-→x f x ；右极限1)(lim 0=+→x f x ；函数在0=x 处的极限不存在. 五、（1）2)(lim 1=-→x f x ；1)(lim 1=+→x f x ；)(lim 1 x f x →不存在；（2）=-→)(lim 23x f x 49)(lim 23=+→x f x ；49)(lim 23=→x f x ；（3）4)(lim 2=-→x f x ；8)(lim 2=+→x f x ；)(lim 2x f x →不存在.习题⼆极限的四则运算⼀、求下列极限1. 30；2. 17；3. 40；4.41．⼆、x x ++210；1．三、求下列极限1. 12-；2. 0；3. 4；4.61．四、求下列极限 1.32； 2. 32．五、1．六、1-．习题三两个重要极限⼀、求下列极限1. 1；2. 16；3.241；4. 1；5. 1；6. 8．⼆、求下列极限1. 3e ；2. 2e -；3. 9e ；4.2e1．习题四⽆穷⼩与⽆穷⼤⼀、1. ∞→x ； 2. -→0x ．⼆、1. +-→1x 及+∞→x ； 2. ∞→x ．三、1. 1-→x ； 2. 1→x ．四、求下列极限1. 0；2. 0．五、234sin x x 是⽐⾼阶的⽆穷⼩．六、提⽰：由极限运算及等价⽆穷⼩定义．习题五函数的连续与间断⼀、选择题：略.⼆、2=a .三、1. 可去间断点是1=x ；2. 7-=x 为函数的第⼆类间断点；1=x 为函数的跳跃间断点.四、求下列极限1. 0；2. 21；3. 21； 4. 4. 五、(]4,1为函数的定义区间，即为函数的连续区间.第三章导数与微分习题⼀导数的定义⼀、1. 2)1(='f ；2. 43)2(-='f . ⼆、a y ='.三、0)0(='f .四、左导数 1)0(='+f ，右导数为 0)0(_='f ，函数在0=x 处的导数不存在.五、在（1，1）点处切线平⾏于直线.习题⼆导数的四则运算⼀、填空题：略．⼆、求下列函数的导数 1. 2ln 354x x y +='； 2. )cos (sin e x x y x +='； 3. 3223351--+-='x xy ； 4. ]sin ln )1(cos )1ln 2[(cos 122x x x x x x x x xy ++++='； 5. 2211sec 3x x y --='；6. 221arctan 2x x x x y ++='．三、①定义域R 即为函数的连续区间；② x x x x x y cos sin 52d d 5253+=-；③由定义，0)0(='f ；④ x x x x x f cos sin 52)(5253+='-．习题三复合函数求导⼀、填空题：略.⼆、求下列函数的导数1. 222cos sin 2sin 2sin x x x x x y +?='；2. ]1tan 2cos 2)1(1[sec e 222sin xx x x y x ?+-='； 3. 10199)1()1(200x x y -+='； 4. ]1sin 11[cos e1cos x x x y x x +='； 5. x x x y 3cos 3sin 31-+='； 6. )ln(ln ln 21x x x y ='.三、)(2sin )(?+=wt w t v ；)(2cos 2)(2?+=wt w t a .四、)]()e (e )e ([e)(x f f f y x x x x f '+'='.习题四隐函数对数函数求导⾼阶导数⼀、是⾮题：略．⼆、求下列⽅程所确定的隐函数)(x f y =的导数1. ()x x y y x x -+-='e sin e 1；2. xy y y x yx --='++e e ．三、⽤对数求导法求下列函数的导数 1.41='y 4)3)(2()423()1)(1(3---+-x x x x x )312142341311(------++-x x x x x 2. )2ln 2(d d 2+=x x x y x ．四、切线⽅程为0=y ．五、求下列函数的⼆阶导数1. )49(1053+=''x x y ；2. x x y x cos 2e 1222--=''； 3. 8)21(360x y -=''；4. =''y x 2sin 4006-．习题五微分⼀、填空题：略.⼆、求下列函数的微分1. ()x x x x y d sin 1)cos 1(2d +-+=；2. x x x y x d )3cos 33sin 2(e d 2+=；3. x xx y d ln 21d 3-=； 4. x y x x d e1e 3d 2613+++=. 三、求⽅程所确定的隐函数)(x f y =的微分y d 1. x y x xy y x d cos 2e d 2--=； 2. x ya xb y d d 22-=. 四、利⽤微分计算下列各数的近似值 1. 0033.101.13≈； 2. 21.1e 21.0≈.五、球的体积扩⼤约为3πcm 1800.第四章微分学的应⽤习题⼀洛必达法则⼀、是⾮题：略.⼆、求下列各式的极限1. 0；2. 1；3. 1；4. 0.三、求下列各式的极限1. 0；2. 0.四、求下列极限1. 0；2. 1；3. 1；4.21e -；5. 3；6. 0.习题⼆函数的单调性⼀、单项选择题：略．⼆、求下列函数的单调区间1. 单增区间),2()0,(+∞-∞Y ，单减区间)2,0(；2. 单增区间)0,(-∞，单减区间),0(+∞；3. 单增区间),21(+∞，单减区间)21,0(；4. 单增区间),0()1,(+∞--∞Y ，单减区间)0,1(-．三、提⽰：利⽤函数单调性证明．四、单调递增区间),21(+∞，单调递减区间)21,(-∞.习题三函数的极值⼀、单项选择题：略．⼆、1.)(x f '； 2.)(x f ''； 3. 极⼩值； 4. 3)1(=f ．三、最⼤值为10)1(=-f ，最⼩值为22)3(-=f ．四、极⼤值为0)0(=f ，极⼩值为41)22()22(-==-f f ．五、当直径r 2与⾼h 之⽐为11∶时，所⽤的材料最少．习题四曲线的凹凸性与拐点⼀、填空题：略．⼆、曲线在)332,(--∞及),332(+∞内上凹,在)332,332(-内下凹，拐点为)910,332(--和)910,332(-．三、函数在)2,0(上的极⼤值为2723)31(-=f，极⼩值为1)1(-=f；最⼤值为1)2(=f，最⼩值为1)1(-=f；拐点为)272532(-，.四、⽰意图:第五章不定积分习题⼀不定积分的概念与基本公式⼀、填空题：略.⼆、选择题：略.三、计算下列不定积分1. Cx+13 3；2. C xxx + -5 3 ln 5 3 3；3. C xxx + + --ln 2 sin 3 1；4. C xxx+ +arcsin2cos.四、求解下列各题1. Cxxf x+='2e2d)(；2. xxf x2sece)(+=；3.所求函数为233+-=xxy.习题⼆不定积分的换元积分法⼀、填空题：略．⼆、选择题：略．三、多步填空题：略．四、计算下列不定积分 1. C x +--21； 2.C x +2arcsin 21； 3.C x x +++24arctan )1ln(41； 4.C x x ++3tan 31tan ； 5.()()C x x ++-+1213223； 6.C xx +--3arccos 392．习题三分部积分法简单有理函数的积分⼀、填空题：略.⼆、多步填空题：略.三、求下列不定积分 1. ()C x x +-++11e 21； 2. C x x x x x ++--4ln )2(22； 3. C x x x ++-e )22(2； 4. C x x x +-+212)1(arcsin ； 5. C x x x ++-sin 2cos 2； 6. C x x +--3 )2(ln 2. 四、?''x f x x d )e (e 2C f f xx x +-'=)e ()e (e ．第六章定积分习题⼀定积分的概念微积分基本公式⼀、选择题：略.⼆、求下列定积分 1. 43433-；2. 3424-；3. 2；4. 4π1-；5. 4；6. 61. 三、解答下列各题1. x x x f 2sin )(4='； 2. 23d )(lim 200=?→x t t f x x ； 3.67d )(21=?-x x f .习题⼆定积分的换元积分法与分部积分法⼀、填空题：略.⼆、求下列定积分 1. )e 2(2-； 2. 32π2； 3. )1e (412+； 4. 12312π-+； 5. 49ln ； 6. 22a ； 7. )1e (212-π； 8. 3212ln -+.习题三定积分的应⽤⼀、32=S . ⼆、h r V 23π=. 三、（1）2=S ；（2）2π2=V . 四、两部分⾯积⽐为 )34π2(+:)34π2π8(--= )4π6(+:)4π18(-. 五、4π4r W ?=ρ.六、g P ρ18=.习题四反常积分⼀、填空题：略．⼆、选择题：略．三、计算下列⼴义积分 1.21； 2. 2π．四、?∞+∞-+x x x d 12发散．第七章常微分⽅程习题⼀常微分⽅程的基本概念与分离变量法⼀、判断正误：略.⼆、填空题：略.三、多步填空题：略.四、求解下列各题 1.C xy +=-3112（其中1C C -=为任意常数）； 2. 冷却规律为kt t T -+=e 3020)(.习题⼆⼀阶线性微分⽅程⼀、填空题：略．⼆、多步填空题：略．三、通解为2e 1x C y -+=（其中C 为任意常数）．习题三⼆阶常系数齐次线性微分⽅程⼀、填空题：略．⼆、多步填空题：略．三、求下列微分⽅程的通解1. =y x x C C -+e e 261；2. =y x x C C 521e )(+；3. =y )23sin 23cos (e 2121x C x C x +； 4. =y x C 25e -．四、1e 2)(-==x y x f ．习题四⼆阶常系数⾮齐次线性微分⽅程⼀、填空题：略．⼆、多步填空题：略．三、x x x y e )9834(e 3613454+-++-=．四、求下列微分⽅程满⾜初始条件的特解（1）x x x y 22e )(-+=；（2）x y sin =．第⼋章空间解析⼏何习题⼀空间直⾓坐标系与向量的概念⼀、填空题：略．⼆、选择题：略．三、求解下列问题 1. k j i 3223-+-=-；2. ()14=AB d ；3. 939393,, 和---939393,,； 4. ),,(002-C ．习题⼆向量的点积与叉积⼀、是⾮题：略．⼆、填空题：略．三、选择题：略．三、求解下列各题 1. -±837833835,,； 2. {}4,6,12-±=b ； 3. 213S ABC =?．习题三平⾯和直线⼀、填空题：略．⼆、选择题：略．三、求解下列问题1. 534=++z y x ；2. 2=-y z ；3. 211211-=--=-z y x ； 4. ①5-=p ；②7=p ．习题四曲⾯与空间曲线⼀、填空题：略．⼆、选择题：略．三、求解下列问题1. ⽅程为x z y 422=+，是旋转抛物⾯； 2. 投影⽅程为?==+;0,52x z y 3. 投影⽅程为?==++．0,0422y z x第九章多元函数微分学习题⼀多元函数及其极限⼀、填空题：略．⼆、函数的定义域为{}41),(22<+≤y x y x ；草图三、4 142lim 00-=+-→→xy xy y x ．四、表⾯积rh π2r πS 2?+?=，体积h r πV 2?=．五、)0,0(),(f y x f -??=22)()())((y x y x ?+．习题⼆偏导数及⾼阶偏导数⼀、是⾮题：略．⼆、填空题：略．三、解下列各题 1. x x z 4=??，29y y z=??； 2. 34xy x z =??，226y x y z=??； 3. y x x z ln 2+=??，y xy x y z=+=??10，222=??x z ，222y x y z -=??，y x y z 12=； 4. z y x f arctan =??，z x y f arctan =??，21z xyz f +=??．四、略．习题三全微分⼀、填空题：略．⼆、解答下列各题1. y x x x x y z d ln d )1(ln d ++=；2. z z y y z x x x yx u y y d cos d )sin ln (d d 1+++=-；3. 119.0-=?z ；4. 125.0d -=z ．三、01.003.0cos 01.0sin ≈．四、对⾓线变化约为m 045.0．五、所需⽔泥的近似值为3m 4.9．习题四复合函数的偏导数⼀、填空题：略．⼆、多步填空题：略．三、解下列各题 1.1d d -=t z ； 2. y z x z =??，2)(y y x z y z +-=??； 3.)cos sin 2(cos 2x x x y xy xz +=??，)2sin (cos sin 22y y y x x y z -=??．习题五偏导数的⼏何应⽤⼀、填空题：略．⼆、求解下列各题1. 切线⽅程为 312111-=-=-z y x 和27272913-=-=-z y x ； 2. 切平⾯⽅程为 )3()1(4)1(2-+--+z y x =0；3. 切线⽅程为 1191161--=-=-z y x ，法平⾯⽅程为 0)1(1)1(9)1(16=---+-z y x ．习题六多元函数的极值⼀、判断题：略．⼆、选择题：略．三、计算下列各题1. 函数在)1,2(点取得极⼩值24-；2. 当端⾯半径与半圆柱⾼满⾜2:1:=h r 时，所⽤材料最省．第⼗章多元函数积分学习题⼀⼆重积分及其在直⾓坐标系下的计算⼀、判断题：略．⼆、填空题：略．三、计算下列各题1. 0=I ；2. ①?==20202332d d x y y x I ；②332d d 40222==??y x y y I ； 3. 2 1d e d 1002==y y x x y I ．习题⼆极坐标下⼆重积分的计算及⼆重积分的应⽤⼀、填空题：略．⼆、多步填空题提⽰：y x D y x d d e )(22??+-θr D r d rd e 2??-=??π-=2010d e d 2r r θr ?π-=20102)d(e 21d 2r θr θd )e 11(2120-=?π)e 11(π-=．三、求解下列各题 1. π2 2d d )cos(22=+??y x y x D ；（提⽰：化为极坐标下的⼆重积分）； 2. π32=V ；3. 薄⽚的质量为121．第⼗⼀章级数习题⼀数项级数⼀、判断题：略．⼆、选择题：略．三、判断下列级数的敛散性1. ∑∞=-1)1(n n 发散； 2. ΛΛ+++++n21614121发散； 3. ∑∞=+1)1(1n n x 当0>x 或2-21n nn 收敛；5. ∑∞=--112)1(n n n n 收敛； 6. ∑∞=-+13)1(2n n n收敛．习题⼆幂级数⼀、填空题：略．⼆、求解下列各题1. 级数∑∞=+0122n n n x n 的收敛半径为21=R ； 2. 级数∑∞=++012122n n nx n 的收敛半径为22=R ； 3. 级数∑∞=-02)1(n n nn x 的收敛域为)3,1[-； 4. 级数∑∞=-011n n nx 的和函数为2)1(1)(x x S +=； 5. 级数ΛΛ+-+++-123123n x x x n 的和函数为21)11ln()(x x x S -+=．习题三函数的幂级数展开⼀、填空题：略.⼆、求解下列各题1. 展开为ΛΛ++-+-+-+=++)1()2()1(3)2(2)2(22ln )2ln(132n x x x x x n n ，收敛域为]2,2(-∈x ； 2.展开为ΛΛ+-++?-?=+)!2(2)2()1(!42)2(!22)2(sin 21422n x x x x n n ，收敛域为),(+∞-∞∈x ； 3. x 2=ΛΛ++++++n x n x x xx n x x x !2)2(ln !32)2(ln !22)2(ln 2ln 213322，收敛区间为),(+∞-∞∈x ；4. 展开式为∑∑∞=∞=---=++002)2()1(21)1(231n n n n n n x x x x ，收敛区间为)1,1(-.。

学高数的顺序

学高数的顺序
学习高等数学（高数）的顺序通常遵循数学学科的自然发展逻辑和学生的学习能力。

以下是一个常见的高数学习顺序：
1. 微积分基础：首先学习函数的极限、连续性、导数和微分等基本概念和方法。

这是高数的基础，为后续内容打下基础。

2. 积分学：接下来学习不定积分、定积分以及积分的应用，如求解面积、体积等。

3. 多元函数微积分：在掌握了一元函数微积分的基础上，进一步学习多元函数的极限、偏导数、全微分、二重积分、三重积分等内容。

4. 微分方程：学习一阶、二阶以及高阶微分方程的解法，了解微分方程在实际问题中的应用。

5. 向量代数与空间解析几何：学习向量的概念、运算以及空间解析几何的基本知识，为后续的高级课程做准备。

6. 级数理论：学习无穷级数的概念和性质，掌握级数的收敛性判别方法以及级数求和的方法。

7. 线性代数：学习矩阵的基本概念和运算，了解线性方程组、线性变换、特征值与特征向量等内容。

8. 概率论与数理统计：学习随机事件、概率、随机变量、概率分布、参数估计、假设检验等统计学的基本概念和方法。

在实际学习过程中，学生可以根据自己的兴趣、专业需求以及教学安排等因素，适当调整学习顺序。

同时，建议在每个阶段都进行充分的练习和复习，以加深对知识点的理解和记忆。

高等数学学习方法技巧总结

高等数学学习方法技巧总结高等数学学习方法技巧总结复习高等数学的四点窍门第一，要理解概念数学中有很多概念。

概念反映的是事物的本质，弄清楚了它是如何定义的、有什么性质，才能真正地理解一个概念。

所有的问题都在理解的根底上才能做好。

第二，要掌握定理定理是一个正确的命题，分为条件和结论两部分。

对于定理除了要掌握它的条件和结论以外，还要搞清它的适用范围，做到有的放矢。

第三，在弄懂例题的根底上作适量的习题要特别提醒学习者的是，课本上的例题都是很典型的，有助于理解概念和掌握定理，要注意不同例题的特点和解法在理解例题的根底上作适量的习题。

作题时要擅长总结——不仅总结方法，也要总结错误。

这样，作完之后才会有所收获，才能举一反三。

第四，理清脉络高等数学中包括微积分和立体解析几何，级数和常微分方程。

其中尤以微积分的内容最为系统且在其他课程中有广泛的应用。

微积分的理论，是由牛顿和莱布尼茨完成的。

(当然在他们之前就已有微积分的应用，但不够系统)数学备考一定要有一个复习时间表，也就是要有一个周密可行的方案。

按照方案，循序渐进，切忌搞突击，临时抱佛脚。

其实数学是根底性学科，解题才能的进步，是一个长期积累的过程，因此复习时间就应适当提早，循序渐进。

大致在三、四月分开始着手进展复习，假设数学根底差可以将复习的时间适当提早。

复习一定要有一个可行的方案，通过方案保证复习的进度和效果。

一般可以将复习分成四个阶段，每个阶段的起止时间和所要完成的任务考生应给予明确规定，以保证方案的可行性。

第一个阶段是按照考试大纲划分复习范围，在熟悉大纲的根底上对考试必备的根底知识进展系统的复习，理解考研数学的根本内容、重点、难点和特点。

这个时间段一般划定为六月前。

第二个阶段是在第一阶段的根底上，做一定数量的题，重点解决解题思路的问题。

一般从七月到十月。

这个阶段要注意归纳总结，即拿到题后要知道从什么角度，可以分几步去求解，每道题并不要求都要写出完好步骤，只要思路有了，运算过程会做了，可以视情况而灵敏掌握，这样省出时间来看更多的题。

高等数学知识点

高等数学知识点高等数学知识点在日复一日的学习中，大家最熟悉的就是知识点吧？知识点有时候特指教科书上或考试的知识。

哪些知识点能够真正帮助到我们呢？下面是小编为大家收集的高等数学知识点，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。

高等数学知识点1第一章：函数与极限1.理解函数的概念，掌握函数的表示方法。

2.会建立简单应用问题中的函数关系式。

3.了解函数的奇偶性、单调性、周期性、和有界性。

4.掌握基本初等函数的性质及图形。

5.理解复合函数及分段函数的有关概念，了解反函数及隐函数的概念。

6.理解函数连续性的概念(含左连续和右连续)会判别函数间断点的类型。

7.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左右极限间的关系。

8.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

9.掌握极限性质及四则运算法则。

10.理解无穷孝无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

第二章：导数与微分1.理解导数与微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描写一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。

2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握初等函数的求导公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求初等函数的微分。

3.会求隐函数和参数方程所确定的函数以及反函数的导数。

4.会求分段函数的导数，了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。

第三章：微分中值定理与导数的应用1.熟练运用微分中值定理证明简单命题。

2.熟练运用罗比达法则和泰勒公式求极限和证明命题。

3.了解函数图形的作图步骤。

了解方程求近似解的两种方法：二分法、切线法。

4.会求函数单调区间、凸凹区间、极值、拐点以及渐进线、曲率。

第四章：不定积分1.理解原函数和不定积分的概念，掌握不定积分的基本公式和性质。

2.会求有理函数、三角函数、有理式和简单无理函数的不定积分3.掌握不定积分的分步积分法。

高等数学练习题库及答案

《高等数学》练习测试题库及答案一．选择题1.函数y=112+x 是（） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数2.设f(sin 2x )=cosx+1,则f(x)为（） A 2x 2－2 B 2－2x 2 C 1＋x 2 D 1－x 23．下列数列为单调递增数列的有（）A ．，，，B ．23，32，45，54 C ．{f(n)},其中f(n)=⎪⎩⎪⎨⎧-+为偶数，为奇数n nn n n n 1,1 D. {n n 212+} 4.数列有界是数列收敛的（）A ．充分条件 B. 必要条件C.充要条件 D 既非充分也非必要5．下列命题正确的是（）A ．发散数列必无界B ．两无界数列之和必无界C ．两发散数列之和必发散D ．两收敛数列之和必收敛6．=--→1)1sin(lim 21x x x （） .0 C 27．设=+∞→x x xk )1(lim e 6 则k=( ) .2 C 68.当x →1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（）2 B. x 3-1 C.(x-1)2 (x-1)(x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的（）A.必要条件B.充分条件C.充分必要条件D.无关条件10、当|x|<1时，y= （）A 、是连续的B 、无界函数C 、有最大值与最小值D 、无最小值11、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0）为（）A、 B、e C、-e D、-e-112、下列有跳跃间断点x=0的函数为（）A、 xarctan1/xB、arctan1/xC、tan1/xD、cos1/x13、设f(x)在点x0连续，g(x)在点x不连续，则下列结论成立是（）A、f(x)+g(x)在点x必不连续B、f(x)×g(x)在点x必不连续须有C、复合函数f[g(x)]在点x必不连续D、在点x必不连续14、设f(x)= 在区间(- ∞,+ ∞)上连续，且f(x)=0，则a,b满足（）A、a＞0,b＞0B、a＞0,b＜0C、a＜0,b＞0D、a＜0,b＜015、若函数f(x)在点x0连续，则下列复合函数在x也连续的有（）A、 B、C、tan[f(x)]D、f[f(x)]16、函数f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的（）A、[0,л]B、（0,л）C、[-л/4,л/4]D、（-л/4,л/4）17、在闭区间[a ,b]上连续是函数f(x)有界的（）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件18、f(a)f(b) ＜0是在[a,b]上连续的函f(x)数在（a,b）内取零值的（）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件19、下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有（）A、f(x)=x+1B、f(x)=x-1C、f(x)=x2-1D、f(x)=5x4-4x+120、曲线y=x2在x=1处的切线斜率为（）A、k=0B、k=1C、k=2D、-1/221、若直线y=x与对数曲线y=logax相切，则（）A、eB、1/eC、e xD、e1/e22、曲线y=lnx平行于直线x-y+1=0的法线方程是（）A、x-y-1=0B、x-y+3e-2=0C、x-y-3e-2=0D、-x-y+3e-2=023、设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切，则a=（）A、±1B、±л/2C、±(л/2+1)D、±(л/2-1)24、设f(x)为可导的奇函数，且f`(x0)=a，则f`(-x)=（）A、aB、-aC、|a|D、025、设y=㏑，则y’|x=0=（）A、-1/2B、1/2C、-1D、026、设y=(cos)sinx，则y’|x=0=（）A、-1B、0C、1D、不存在27、设yf(x)= ㏑(1+X)，y=f[f(x)],则y’|x=0=（）A、0B、1/ ㏑2C、1D、㏑228、已知y=sinx，则y(10)=（）A、sinxB、cosxC、-sinxD、-cosx29、已知y=x㏑x，则y(10)=（）A、-1/x9B、1/ x9C、x9D、 x930、若函数f(x)=xsin|x|，则（）A、f``(0)不存在B、f``(0)=0C、f``(0) =∞D、 f``(0)= л31、设函数y=yf(x)在[0，л]内由方程x+cos(x+y)=0所确定，则|dy/dx|x=0=（）A、-1B、0C、л/2D、 232、圆x2cosθ,y=2sinθ上相应于θ=л/4处的切线斜率，K=（）A 、-1B 、0C 、1D 、 233、函数f(x)在点x 0连续是函数f(x)在x 0可微的（）A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、无关条件34、函数f(x)在点x 0可导是函数f(x)在x 0可微的（）A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、无关条件35、函数f(x)=|x|在x=0的微分是（）A 、0B 、-dxC 、dxD 、不存在36、极限)ln 11(lim 1xx x x --→的未定式类型是（）A 、0/0型B 、∞/∞型C 、∞ -∞D 、∞型37、极限 012)sin lim(→x x x x 的未定式类型是（） A 、00型 B 、0/0型 C 、1∞型 D 、∞0型 38、极限 x x x x sin 1sinlim 20→=（）A 、0B 、1C 、2D 、不存在39、xx 0时，n 阶泰勒公式的余项Rn(x)是较xx 0 的（）A 、（n+1）阶无穷小B 、n 阶无穷小C 、同阶无穷小D 、高阶无穷小40、若函数f(x)在[0, +∞]内可导，且f`(x) ＞0，xf(0) ＜0则f(x)在[0,+ ∞]内有（）A 、唯一的零点B 、至少存在有一个零点C 、没有零点D 、不能确定有无零点41、曲线y=x 2-4x+3的顶点处的曲率为（）A 、2B 、1/2C 、1D 、042、抛物线y=4x-x 2在它的顶点处的曲率半径为（）A、0B、1/2C、1D、243、若函数f(x)在（a,b）内存在原函数，则原函数有（）A、一个B、两个C、无穷多个D、都不对44、若∫f(x)dx=2e x/2+C=（）A、2e x/2B、4 e x/2C、e x/2 +CD、e x/245、∫xe-x dx =（ D ）A、xe-x -e-x +CB、-xe-x+e-x +CC、xe-x +e-x +CD、-xe-x -e-x +C46、设P（X）为多项式，为自然数，则∫P(x)(x-1)-n dx（）A、不含有对数函数B、含有反三角函数C、一定是初等函数D、一定是有理函数0|3x+1|dx=（）47、∫-1A、5/6B、1/2C、-1/2D、148、两椭圆曲线x2/4+y2=1及(x-1)2/9+y2/4=1之间所围的平面图形面积等于（）A、лB、2лC、4лD、6л49、曲线y=x2-2x与x轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积是（）A、лB、6л/15C、16л/15D、32л/1550、点（1，0，-1）与（0，-1，1）之间的距离为（）A、 B、2 C、31/2 D、 21/251、设曲面方程（P，Q）则用下列平面去截曲面，截线为抛物线的平面是（）A、Z=4B、Z=0C、Z=-2D、x=252、平面x=a截曲面x2/a2+y2/b2-z2/c2=1所得截线为（）A、椭圆B、双曲线C、抛物线D、两相交直线53、方程=0所表示的图形为（）A、原点（0，0，0）B、三坐标轴C、三坐标轴D、曲面，但不可能为平面54、方程3x2+3y2-z2=0表示旋转曲面，它的旋转轴是（）A 、X 轴B 、Y 轴C 、Z 轴D 、任一条直线55、方程3x 2-y 2-2z 2=1所确定的曲面是（）A 、双叶双曲面B 、单叶双曲面C 、椭圆抛物面D 、圆锥曲面 56下列命题正确的是（）A 、发散数列必无界B 、两无界数列之和必无界C 、两发散数列之和必发散D 、两收敛数列之和必收敛(x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的（）A 、.必要条件B 、充分条件C 、充分必要条件D 、无关条件58函数f(x)=tanx 能取最小最大值的区间是下列区间中的（） A 、[0,л] B 、（0,л）C 、[-л/4,л/4]D 、（-л/4,л/4）59下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有（）A 、f(x)=x+1B 、f(x)=x-1C 、f(x)=x 2-1D 、f(x)=5x 4-4x+160设y=(cos)sinx ，则y’|x=0=（）A 、-1B 、0C 、1D 、不存在二、填空题1、求极限1lim -→x (x 2+2x+5)/(x 2+1)=（）2、求极限 0lim →x [(x 3-3x+1)/(x-4)+1]=（）3、求极限2lim →x x-2/(x+2)1/2=（）4、求极限∞→x lim [x/(x+1)]x=（）5、求极限0lim →x (1-x)1/x= （）6、已知y=sinx-cosx ，求y`|x=л/6=（）7、已知ρ=ψsin ψ+cos ψ/2，求d ρ/d ψ| ψ=л/6=（）8、已知f(x)=3/5x+x 2/5，求f`(0)=（）9、设直线y=x+a 与曲线y=2arctanx 相切，则a=（）10、函数y=x 2-2x+3的极值是y(1)=（）11、函数y=2x 3极小值与极大值分别是（）12、函数y=x 2-2x-1的最小值为（）13、函数y=2x-5x 2的最大值为（）14、函数f(x)=x 2e -x 在[-1,1]上的最小值为（）15、点（0，1）是曲线y=ax 3+bx 2+c 的拐点，则有b=（） c=（） 16、∫xx 1/2dx= （）17、若F`(x)=f(x)，则∫dF(x)= （）18、若∫f(x)dx=x 2e 2x +c ，则f(x)= ( )19、d/dx ∫a barctantdt=（）20、已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠⎰-0,0,022)1(1x a x xt dt e x 在点x=0连续，则a=（）21、∫02(x 2+1/x 4)dx=（）22、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=（）23、∫031/2a dx/(a 2+x 2)=（）24、∫01 dx/(4-x 2)1/2=（）25、∫л/3лsin(л/3+x)dx=（）26、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=( )27、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=（）28、∫49x 1/2(1+x 1/2)dx=（）29、∫49x 1/2(1+x 1/2)dx=（）30、∫49x 1/2(1+x 1/2)dx=（）31、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=（）32、∫49x 1/2(1+x 1/2)dx=（）33、满足不等式|x-2|＜1的X 所在区间为 ( )34、设f(x) = [x] +1，则f （л+10）=（）35、函数Y=|sinx|的周期是（）36、y=sinx,y=cosx直线x=0,x=л/2所围成的面积是（）37、 y=3-2x-x2与x轴所围成图形的面积是（）38、心形线r=a(1+cosθ)的全长为（）39、三点（1，1，2），（-1，1，2），（0，0，2）构成的三角形为（）40、一动点与两定点（2，3，1）和（4，5，6）等距离，则该点的轨迹方程是（）41、求过点（3，0，-1），且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是（）42、求三平面x+3y+z=1，2x-y-z=0，-x+2y+2z=0的交点是 ( )43、求平行于xoz面且经过（2，-5，3）的平面方程是（）44、通过Z轴和点（-3，1，-2）的平面方程是（）45、平行于X轴且经过两点（4，0，-2）和（5，1，7）的平面方程是（）46求极限lim [x/(x+1)]x=（）x→∞47函数y=x2-2x+3的极值是y(1)=（）9 x1/2(1+x1/2)dx=（）48∫449y=sinx,y=cosx直线x=0,x=л/2所围成的面积是（）50求过点（3，0，-1），且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是（）三、解答题1、设Y=2X-5X2，问X等于多少时Y最大并求出其最大值。

高等数学学习方法技巧

高等数学学习方法技能数学分为高等数学，概率论与数理统计和线性代数三个科目，一样而言线性代数都会认为比较简单，概率论的比例次于高等数学，重头戏就是高等数学了。

下面是作者为大家整理的关于高数学习方法，期望对您有所帮助!复习高等数学的四点诀窍第一，要知道概念数学中有很多概念。

概念反应的是事物的本质，弄清楚了它是如何定义的、有什么性质，才能真正地知道一个概念。

所有的问题都在知道的基础上才能做好。

第二，要掌控定理定理是一个正确的命题，分为条件和结论两部分。

对于定理除了要掌控它的条件和结论以外，还要搞清它的适用范畴，做到有的放矢。

第三，在弄懂例题的基础上作适量的习题要特别提示学习者的是，课本上的例题都是很典型的，有助于知道概念和掌控定理，要注意不同例题的特点和解法在知道例题的基础上作适量的习题。

作题时要善于总结——不仅总结方法，也要总结毛病。

这样，作完之后才会有所收获，才能举一反三。

第四，理清脉络要对所学的知识有个整体的掌控，及时总结知识体系，这样不仅可以加深对知识的知道，还会对进一步的学习有所帮助。

高等数学中包括微积分和立体解析几何，级数和常微分方程。

其中尤以微积分的内容最为系统且在其他课程中有广泛的运用。

微积分的理论，是由牛顿和莱布尼茨完成的。

(当然在他们之前就已有微积分的运用，但不够系统) 数学备考一定要有一个复习时间表，也就是要有一个周密可行的计划。

依照计划，循序渐进，切忌搞突击，暂时抱佛脚。

其实数学是基础性学科，解题能力的提高，是一个长期积存的进程，因此复习时间就应适当提早，循序渐进。

大致在三、四月分开始着手进行复习，如果数学基础差可以将复习的时间适当提早。

复习一定要有一个可行的计划，通过计划保证复习的进度和成效。

一样可以将复习分成四个阶段，每个阶段的起止时间和所要完成的任务考生应给予明确规定，以保证计划的可行性。

第一个阶段是依照考试大纲划分复习范畴，在熟悉大纲的基础上对考试必备的基础知识进行系统的复习，了解考研数学的基本内容、重点、难点和特点。

完整)高等数学练习题附答案

完整)高等数学练习题附答案第一章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1.lim (sinx-tanx)/(3xln(1+2x)) = 1/22.lim (2x^2+ax+b)/(x-1) =3.a = 5.b = 123.lim (sin2x+e^(2ax)-1)/(x+1) = 2a4.若f(x)在(-∞,+∞)上连续，则a=05.曲线f(x) = (x-1)/(2x-4x+3)的水平渐近线是y=1/2，铅直渐近线是x=3/26.曲线y=(2x-1)/(x+1)的斜渐近线方程为y=2x-3二、单项选择题（每小题3分，共18分）1.“对任意给定的ε∈(0,1)，总存在整数N，当n≥N时，恒有|x_n-a|≤2ε”是数列{x_n}收敛于a的充分条件但非必要条件2.设g(x)={x+2,x<1.2-x^2,1≤x<2.-x,x≥2}，f(x)={2-x,x<1.x^2,x≥1}，则g(f(x))=2-x^2，x≥13.下列各式中正确的是 lim (1-cosx)/x = 04.设x→0时，e^(tanx-x-1)与x^n是等价无穷小，则正整数n=35.曲线y=(1+e^(-x))/(1-e^(-x^2))没有渐近线6.下列函数在给定区间上无界的是 sin(1/x)，x∈(0,1]三、求下列极限（每小题5分，共35分）1.lim (x^2-x-2)/(4x+1-3) = 3/42.lim x+e^(-x)/(2x-x^2) = 03.lim (1+2+3+。

+n)/(n^2 ln n) = 04.lim x^2sin(1/x) = 01.设函数$f(x)=ax(a>0,a\neq1)$，求$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\ln\left(\frac{f(1)f(2)\cdotsf(n)}{n^2}\right)}$。

2.求$\lim\limits_{4x\to1}\frac{x^2+e\sin x+6}{1+e^x-\cosx}$。

自考高等数学学习方法(精选6篇)

自考高等数学学习方法(精选6篇)高等数学学习方法11，逐步树立信心。

高数(工专)对以前的基础要求很少，三角公式在教材里就可查到。

所以，像我一样，从“0”开始，一样可以过高数。

2，迈出重要的、关键的、决定性的第一步。

多花些时间，着重先学透前三章，选做一些练习;第三章的“导数”，是后继内容“微分”、“积分”、“二重积分”的基础，也可以举一反三。

学完了“导数”，自己能计算题目了，就会信心倍增。

3，紧扣大纲，但又要区分主次;可先适当跳过应用难题和难点。

学习每一章之前，都要先看大纲;我分别用4种符号，在教材的各节中标记出大纲的4种要求，这样就一目了然。

另外，有些大纲的要求是“简单应用”、“综合应用”，比如“二次方程”等，但以往的试卷中并没有出题，可以缩减学习时间。

我始终都没仔细学“微分学应用”这一章(注意会出题目)，这样可以节省时间和精力。

4，把“例题”，当成“习题”，自己先做一遍，可以事半功倍。

因为当你看到例题时，已经看过了相关的教材内容。

有的人看书确实很认真，但不重视通过做习题来逆向检验和加深记忆，考试效果比较差。

看了教材，会做题目了，这样还不行;像“导数”、“积分”这些最基本、也是最重要的章节，要能够非常熟练的解题;所以，只有通过大量的习题，才能达到熟练的程序。

往后学习才会觉得更容易，更有感觉。

5，通过以往试卷真题的练习，是复习和检验的重要环节。

高数需要多些时间，不能像有些公共政治课程一样临时抱佛脚。

高等数学学习方法2大学生学习高等数学要掌握合适的学习方法，因人而异，这里我只是结合我自己的一些学习方法和经验供大家参考。

高等数学作为高等教育的一门基础学科，几乎对所有的专业的学习都有帮助，对于我们飞行器动力工程专业，高等数学是联系物理，力学，以及贯穿于专业基础课的一把刃剑和纽带，对于大一这一年的学习尤为重要，只有打下坚实的基础，对于之后学习其他的学科，包括选修课中的工程数学的分支(复变函数，数理方程等)，都有很大的帮助。

如何学习高等数学

如何学习高等数学相信许多刚进入大学的工科生和理科生们，遇到的第一个难题就是高等数学了吧，下面为你整理了高等数学学习方法，希望对你有帮助。

高等数学学习的具体方法1. 提前预习：上课前抽出一个钟或半个钟的时间，预习一下要学习的东西，不明白的做笔记，带着问题有目的的听讲。

2. 借助外部力量：可以借助一些辅导书，习题册，帮助自己更好的理解。

3. 概念反复研究：概念性的知识缺乏直接的经验，因此需要反复的研究演练。

4.数学语言：多练习运用数学语言进行描述，数学语言是符号语言，简明准确，自成体系，是数学思维的基础。

5.知识系统化：a. 理脉络：极限思想贯穿高等数学始终，其它主要知识体系的建立、主要问题的解决都依赖于它。

b. 知基础：例如，导数是微分的基础，牛顿;莱布尼兹公式是积分学的基础。

c. 分层次：采用化归的数学思想。

例如，定积分、重积分、曲线积分、曲面积分等都是和式的极限，层层深入提高，而解题方法又都归结到不定积分的基础上来。

d. 举反例：例如，函数在某点的极限存在，而在该点处却不连续。

e. 找特例：采用从特殊到一般的数学思想，再把特例中的条件更换为一般的条件，即可得出一般性的结论。

f. 明了知识的交叉点：例如，微分学与解析几何的某些知识点的结合，产生了微分几何的初步知识;曲率、切线、切平面、法线、法平面等。

g. 几何直观：采用数形结合的数学思想，使抽象的函数关系变为形象的几何图形，使概念、定理更易于理解和掌握。

6. 要适当多做习题，注意积累解题经验，及时总结：a. 分题型：按数学思想及方法的不同分清不同题型，即可达到事半功倍的学习效果。

b. 重方法：注意平时做题方法的积累，例如，条件极值问题和部分不等式的证明，引入辅助函数的方法。

c. 按步骤：根据步骤一步一步进行解答，不要嫌麻烦，例如，求最值问题。

d.找规律：某些问题可以按照一定的规律解决。

高等数学学习方法1、认真听课既然是高数课，自然是老师讲课，而且一周的高数课的节数肯定不会少。

高等数学练习册（1-5章）带答案

高等数学习题册（上册）目录习题1-1 函数 (1)习题1-2 常用的经济函数 (5)习题2-1 极限 (9)习题2-2 无穷小与无穷大，极限运算法则 (13)习题2-3 极限存在准则，两个重要极限及无穷小的比较 (17)习题2-4 函数的连续性 (21)习题2-5 闭区间上连续函数的性质 (25)第二章综合题 (29)第二章自测题 (36)习题3-1 导数概念 (40)习题3-2 求导法则与基本初等函数求导公式（一） (44)习题3-2 求导法则与基本初等函数求导公式（二） (48)习题3-3 高阶导数 (52)习题3-4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 (56)习题3-5 函数的微分 (60)习题3-6 边际与弹性 (64)第三章综合题 (68)第三章自测题 (74)习题4-1 中值定理 (78)习题4-2 洛必达法则 (82)习题4-3 导数的应用（一） (86)习题4-3 导数的应用（二） (90)习题4-4 函数的最大值和最小值及其在经济中的应用 (94)习题4-5 泰勒公式 (98)第四章综合题 (100)第四章自测题 (104)习题5-1 不定积分的概念、性质 (108)习题5-2 换元积分法（一） (112)习题5-2 换元积分法（二） (116)习题5-3 分部积分法 (120)习题5-4 有理函数的积分 (122)第五章综合题 (124)第五章自测题 (128)微积分（上）模拟试卷一 (134)微积分（上）模拟试卷二 (138)参考答案 (142)习题1-1 函数1. 填空题：（1）()x y 32log log =的定义域。

（2）523arcsin3xx y -+-=的定义域。

（3）xxy +-=11的反函数。

（4）已知31122++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+xx x x f ，则=)(x f 。

2. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=3x , 0 3 , sin )(ππϕx x x ，求()2,6-⎪⎭⎫⎝⎛ϕπϕ，并作出函数()x ϕη=的图形。

大一高数知识点学习收获

大一高数知识点学习收获大一的高等数学对于许多理工科专业的学生来说，是一门重要且必修的课程。

高数的学习不仅仅是为了应付考试，更是为了培养我们的逻辑思维和问题解决能力。

在这门课程中，我不仅学到了具体的数学知识点，还取得了一些宝贵的学习收获。

首先，我学会了基本的数学运算和推理方法。

在高数的学习过程中，我掌握了加减乘除等基本的数学运算，学习了一些常见的数学公式和方法，并且了解了它们的具体应用场景。

通过练习和实践，我逐渐提高了我自己的计算能力和推理能力，培养了自己的数学思维。

其次，我对函数和极限的概念有了更深入的理解。

在高数中，函数是一个重要的概念，我学会了如何通过函数来描述数学问题。

同时，我也学习了极限的概念，掌握了一些常见的极限计算方法。

通过对函数和极限的学习，我对数学问题的分析和解决能力有了相应的提升。

另外，高数也让我明白了数学和现实生活之间的联系。

在学习过程中，我发现了许多具体的数学应用，这些应用不仅存在于数学领域，还贯穿于我们日常生活的方方面面。

通过学习高数，我开始更加关注和思考数学在其他学科和实际问题中的应用，这为我今后的学习和工作打下了坚实的数学基础。

此外，高数学习的过程也培养了我的耐心和坚持不懈的品质。

高数是一门比较抽象和复杂的学科，需要我们不断地重复思考和练习，才能够真正掌握其中的关键概念和方法。

在遇到困难和挫折时，我学会了调整自己的学习方法，坚持下去并不断追求提高。

这种耐心和坚持不懈的精神也将对我的学习和未来的工作产生积极的影响。

总结起来，大一高数的学习给我带来了丰富的收获。

不仅仅是掌握了具体的数学知识和运算技巧，更重要的是培养了我的数学思维和问题解决能力。

通过高数的学习，我逐渐理解了数学与其他学科的联系，培养了自己的耐心和坚持不懈的品质，为将来的学习和工作打下了坚实的基础。

我相信，这些学习收获将在我未来的学习和生活中发挥重要的作用。

关于高等数学练习题

★高等数学(ZK104A)第一章函数1、【43992】（单项选择题）下列各对函数中，表示相同函数的是（）． A.11)(2+-=x x x f ，1)(-=x x gB.2)(x x f =，x x g =)(C.2ln )(x x f =，x x g ln 2)(= D.11)(+-=x x x f ，11)(+-=x x x g【答案】C2、【44001】（单项选择题）设xx f 21)21(-=-，则=)(x f （）．A.x -+141B.x 2121--C.x --141D.x 2121-+【答案】C3、【44003】（单项选择题）设2)(x x f =，xx g 2)(=，则=)]([x g f （）．A.x 22B.22xC.x22D.xx 2【答案】A4、【44006】（单项选择题）设)(x f 在),(+∞-∞有定义，则下列函数中为奇函数的是（）．A.)(x f xB.)(x f x -C.xx f sin )(D.)(23x f x【答案】D5、【65043】（单项选择题）函数1sin )(2++=x x x x f 在定义域内是（）． A.偶函数 B.奇函数 C.有界函数 D.周期函数【答案】A6、【65051】（单项选择题）下列各组函数中表示相同函数的是（）．A.x y =与xy 2log 2=B.x y =与2x y =C.xy 2cos 1+=与x y cos 2=D.x y ln 2=与2ln x y = 【答案】B7、【65052】（单项选择题）下列各项函数中，互为反函数的是（）． A.1-=xe y 与1ln +=x y B.x y tan =与x y cot = C.xy 3log =与xy 31log =D.13-=x y 与)1(31+=x y【答案】D8、【65054】（单项选择题）函数xx x f -=2ln )(的定义域是（）．A.),0(+∞B.)1,(-∞C.)1,0(D.),1()1,0()0,(+∞-∞ 【答案】D9、【65056】（单项选择题）函数3)1()(x x f -=在),(+∞-∞内（）．A.单调增加B.单调减少C.不增不减D.有增有减【答案】B10、【80814】（单项选择题）函数xy 1cos=在定义域内是（）．A.单调函数B.周期函数C.无界函数D.有界函数【答案】D11、【102058】（单项选择题）函数xx y -=1的定义域是（）．A.）（+∞∞-,B.]0,∞-（ C.）（）（1,00,⋃∞- D.）（0,∞- 【答案】D12、【102060】（单项选择题）设211)(x x f +=，则=])(1[x f f （）．A.221x+B.22)1(11x ++C.21x+D.22)1(1x ++ 【答案】B13、【102061】（单项选择题）函数2log log 44+=x y 的反函数是（）．A.124-=x y B.14-=x y C.12-=x yD.14-=x y【答案】A14、【102070】（单项选择题）设)(x f 在),(+∞-∞有定义，则下列函数中必为奇函数的是（）．A.)(x f y =B.)(x f y -=C.C y =（C 是常数）D.)(2x xf y = 【答案】D15、【102071】（单项选择题）设121)(+-=x x x f ，若曲线)(x f 与)(x g 关于直线x y =对称，则)(x g 表达式为（）．A.121-+x xB.x x 211-+C.x x +-112D.x x +-121【答案】B16、【102072】（单项选择题）下列函数中，函数图形关于原点对称的是（）． A.x y sin = B.x xy sin 2=C.x x y sin 3= D.1sin +=x y 【答案】B17、【102073】（单项选择题）下列各组函数中，表示相同函数的是（）． A.x x x g x x f 32)(;)(==B.)2cos 1(21)(;sin )(2x x g x x f -==C.2)(;)(x x g x x f ==D.21)(;)2)(1()(+⋅+=++=x x x g x x x f【答案】B18、【163321】（单项选择题）设函数()1-=x x f ，则()=1f （）. A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A19、【163325】（单项选择题）()x n y +=11的定义域为（）. A.()+∞-,1 B.[)+∞-,1 C.()+∞-∞, D.()+∞,0【答案】A20、【163326】（单项选择题）x y +=1的定义域为（）.A.()+∞-∞,B.(]0,-∞C.[)+∞,0D.(]1,-∞【答案】C21、【163327】（单项选择题）xy =的定义域为（）.A.()+∞-∞,B.(]0,-∞C.(]1,-∞D.[)+∞,0【答案】D22、【163328】（单项选择题）()31x x f +=是（）. A.偶函数 B.奇函数C.非奇非偶函数D.周期函数【答案】C23、【163330】（单项选择题）()1+=x x f 是（）. A.偶函数 B.奇函数 C.周期函数D.非奇非偶函数【答案】D24、【163331】（单项选择题）()x x f cos 7=是（）.A.偶函数B.奇函数C.单调函数D.非奇非偶函数【答案】A25、【163333】（单项选择题）x y sin 5=是（）. A.偶函数 B.奇函数 C.单调函数D.非奇非偶函数【答案】B26、【163335】（单项选择题）()922+=x x f 是()+∞-∞,内的（）. A.有界函数 B.单调函数 C.奇函数 D.偶函数【答案】D27、【163336】（单项选择题）函数()x x f cos 3+=在()+∞-∞,内是（）. A.偶函数 B.奇函数 C.无界函数 D.单调函数【答案】A28、【163338】（单项选择题）()x x f 2sin =在()+∞-∞,内是（）. A.偶函数 B.奇函数 C.无界函数 D.单调函数【答案】B29、【163339】（单项选择题）()xe xf =在()+∞-∞,内是（）. A.有界函数 B.单调函数 C.奇函数 D.偶函数【答案】B30、【163340】（单项选择题）设2sin x y =，则y 为（）. A.偶函数 B.奇函数C.非奇非偶函数D.恒等于零的函数【答案】A31、【163341】（单项选择题）()x x f sin =在()+∞-∞,内是（）. A.奇函数 B.偶函数 C.无界函数 D.单调函数【答案】A32、【163342】（单项选择题）()x x f sin 3+=是（）. A.单调函数 B.无界函数 C.周期函数 D.奇函数【答案】C33、【163343】（单项选择题）()x x f cos 5-=是（）. A.单调函数 B.周期函数 C.无界函数 D.偶函数【答案】B34、【163344】（单项选择题）()x x f sin =是()+∞-∞,内的（）. A.单调函数 B.有界函数 C.无界函数 D.偶函数【答案】B35、【163345】（单项选择题）()x x f cos 1+=是()+∞-∞,内的（）. A.奇函数 B.偶函数 C.无界函数 D.有界函数【答案】D36、【163346】（单项选择题）设曲线()x f y =如图示，则函数()x f （）. A.在()a ,0内单调减少，在区间()+∞,a 内单调增加 B.在()a ,0内单调增加，在区间()+∞,a 内单调减少 C.在()+∞,0内单调增加 D.在()+∞,0内单调减少【答案】B37、【163347】（单项选择题）设曲线()x f y =如图示，则函数()x f （）. A.在()+∞-∞,内单调增加B.在()0,-∞内单调减少，在区间()+∞,0内单调增加C.在()0,-∞内单调增加，在区间()+∞,0内单调减少D.在()+∞-∞,内单调减少【答案】C38、【163348】（单项选择题）设曲线()x f y =如图示，则函数()x f （）. A.在()+∞-∞,内单调增加 B.在()+∞-∞,内单调减少C.在()0,-∞内单调增加，在区间()+∞,0内单调减少D.在()0,-∞内单调减少，在区间()+∞,0内单调增加【答案】B39、【163349】（单项选择题）设曲线()x f y =如图示，则函数()x f （）. A.在()0,-∞内单调增加，在区间()+∞,0内单调减少 B.在()0,-∞内单调减少，在区间()+∞,0内单调增加 C.在()+∞-∞,内单调增加 D.在()+∞-∞,内单调减少【答案】C40、【163350】（单项选择题）设曲线()x f y =如图示，则函数()x f （）. A.在()0,-∞内单调增加，在区间()+∞,0内单调减少 B.在()+∞-∞,内单调增加C.在()0,-∞内单调减少，在区间()+∞,0内单调增加D.在()+∞-∞,内单调减少【答案】B41、【163351】（单项选择题）设曲线()x f y =如图示，则函数()x f （）. A.在()0,-∞内单调增加，在区间()+∞,0内单调减少 B.在()+∞-∞,内单调增加C.在()0,-∞内单调减少，在区间()+∞,0内单调增加D.在()+∞-∞,内单调减少【答案】C42、【163352】（单项选择题）设曲线()x f y =如图示，则函数()x f （）. A.在()0,-∞内单调增加，在区间()+∞,0内单调减少 B.在()0,-∞内单调减少，在区间()+∞,0内单调增加 C.在()+∞-∞,内单调增加 D.在()+∞-∞,内单调减少【答案】B43、【163353】（单项选择题）设曲线()x f y =如图示，则函数()x f （）. A.在()0,-∞内单调减少，在区间()+∞,0内单调增加 B.在()0,-∞内单调增加，在区间()+∞,0内单调减少 C.在()+∞-∞,内单调增加 D.在()+∞-∞,内单调减少【答案】A44、【163354】（单项选择题）设曲线()x f y =如图示，则函数()x f 的单调减少区间为（）.A.()0,-∞B.()+∞,aC.()a ,0D.()+∞-∞,【答案】C45、【163355】（单项选择题）设曲线()x f y =如图示，则函数()x f （）. A.在()a ,-∞内单调增加，在区间()+∞,a 内单调减少 B.在()+∞-∞,内单调增加C.在()a ,-∞内单调减少，在区间()+∞,a 内单调增加D.在()+∞-∞,内单调减少【答案】C46、【163356】（单项选择题）函数()()21+=x x x f 的图形如图示，则曲线()x f y =的单调减少区间为（）.A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-31, B.⎪⎭⎫ ⎝⎛--31,1C.()+∞,0D.()+∞-∞,【答案】B47、【163357】（单项选择题）函数()x x x f ln 22-=的图形如图示，则曲线()x f y =（）. A.在()1,0内单调增加，在区间()+∞,1内单调减少 B.在()+∞,0内单调增加C.在()1,0内单调减少，在区间()+∞,1内单调增加D.在()+∞,0内单调减少【答案】C48、【163358】（单项选择题）函数()()x x e e x f --=21的图形如图示，则曲线()x f y =（）.A.在()0,-∞内单调增加，在区间()+∞,0内单调减少B.在()+∞-∞,内单调增加C.在()0,-∞内单调减少，在区间()+∞,0内单调增加D.在()+∞-∞,内单调减少【答案】B49、【163359】（单项选择题）函数()()x xe e xf -+=21的图形如图示，则曲线()x f y =（）.A.在()0,-∞内单调增加，在区间()+∞,0内单调减少B.在()+∞-∞,内单调增加C.在()0,-∞内单调减少，在区间()+∞,0内单调增加D.在()+∞-∞,内单调减少【答案】C50、【163360】（单项选择题）设曲线()x f y =如图示，则函数()x f 的单调减少区间为（）.A.()a ,0B.()b a ,C.()+∞,bD.()+∞,0【答案】B51、【193641】（单项选择题）()x x f sin 1+=是（）. A.偶函数 B.奇函数C.非奇非偶函数D.无界函数【答案】C52、【193645】（单项选择题）()3x x f -=是（）. A.偶函数 B.奇函数 C.周期函数D.非奇非偶函数【答案】B53、【98433】（填空题）函数xx f 44log 2log )(+=的图形与)(x g 的图形关于直线x y =对称，则=)(x g _____．【答案】124-x54、【102089】（填空题）函数xx y ln =的单调减区间为_____．【答案】),(+∞e55、【163367】（填空题）函数2211x x y +-=的定义域为 .【答案】()+∞-∞,56、【163368】（填空题）设函数()xe xf =，则()=1f . 【答案】e57、【163369】（填空题）设函数()x x f sin =，则()=1f . 【答案】1sin58、【163370】（填空题）函数x y 3=的定义域为 .【答案】[)+∞,059、【163371】（填空题）函数()3x x f =的定义域为 . 【答案】()+∞-∞,60、【163372】（填空题）函数()26x x f +=的定义域为 . 【答案】()+∞-∞,61、【163373】（填空题）函数()1+=x x f 的定义域为 . 【答案】[)+∞,062、【163374】（填空题）函数()x x f ln 2=的定义域为 . 【答案】()+∞,063、【163375】（填空题）函数()()2ln +=x x f 的定义域是 . 【答案】()+∞-,264、【163376】（填空题）函数()3+=x x f 的定义域是 . 【答案】[)+∞-,365、【163377】（填空题）函数()x x f -=21的定义域为.【答案】[)+∞,066、【163378】（填空题）函数()x x f ln 8+=的定义域为 . 【答案】()+∞,067、【163379】（填空题）函数()xe xf 2=的定义域为 . 【答案】()+∞-∞,68、【163380】（填空题）函数()x x f 4=的定义域为 . 【答案】[)+∞,069、【163381】（填空题）函数()x x f sin 7+=的定义域为 . 【答案】()+∞-∞,70、【163382】（填空题）函数()x x f cos 2=的定义域为 . 【答案】()+∞-∞,71、【163383】（填空题）函数()2ln x x f =的定义域为 . 【答案】0≠x72、【163384】（填空题）函数21)(x x x f +=的定义域是 .【答案】()+∞-∞,73、【163385】（填空题）函数21)(2+=x x f 的定义域为 .【答案】()+∞-∞,74、【163386】（填空题）函数xx f +=11)(定义域是 .【答案】1-≠x75、【163387】（填空题）函数1sin )(+=x x f 的定义域是.【答案】()+∞-∞,76、【163388】（填空题）函数2)(3+=x x f 的定义域是 . 【答案】()+∞-∞,77、【163389】（填空题）函数x x y sin -=的定义域是 . 【答案】()+∞-∞,78、【163390】（填空题）函数1)(2+=x x f ，则函数()=2x f.【答案】14+x79、【163391】（填空题）设函数()u u f 3=，x u sin =，则函数()=u f . 【答案】x sin 380、【163392】（填空题）设函数()2u u f =，1+=x u ，则()=u f . 【答案】()21+x81、【163393】（填空题）函数()u u f cos =，1+=x u ，则()=u f . 【答案】()1cos +x82、【163394】（填空题）函数()u u f sin =，x u 2=，则()=u f . 【答案】x 2sin83、【163395】（填空题）函数()2u u f =，x u -=，则()=u f .【答案】2x84、【163396】（填空题）设函数()u e u f =，()3x x g u ==，则()()=x g f .【答案】3xe第二章极限与连续85、【44012】（单项选择题）若)(lim x f 存在，)(lim x g 不存在，则)]()(lim[x g x f +（）． A.不存在 B.存在C.可能存在可能不存在D.存在且极限为零【答案】A86、【44014】（单项选择题）)(0x f 存在是)(lim 0x f x x →存在的（）．A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.无关条件【答案】D87、【44018】（单项选择题）若∞→x 时，x xsin α为无穷小量，则α应满足的条件是（）．A.0≤αB.0≥αC.0<αD.0>α【答案】C88、【65062】（单项选择题）当∞→x 时，x x y arctan 1=是（）． A.无穷大量 B.无穷小量 C.常量D.无界变量【答案】B89、【65064】（单项选择题）下列命题中正确的是（）． A.函数)(x f 在点0x 无定义，则)(x f 在点0x 无极限 B.函数)(x f 在点0x 不连续，则)(x f 在点0x 不可导 C.函数)(x f 在点0x 不可导，则)(x f 在点0x 不连续 D.函数)(x f 在点0x 不可导，则)(x f 在点0x 不取极值【答案】B90、【65081】（单项选择题）当∞→n 时，与n1sin 2等价的无穷小量是（）．A.n 1B.n 1C.21nD.n 2【答案】C91、【65086】（单项选择题）下列变量中，当1→x 时，不是无穷小量的是（）． A.11cos)1(2--x xB.1)1sin(2--x xC.113--x xD.2)1(22-+-x x x 【答案】C92、【65093】（单项选择题）当1→x 时下列变量中不是无穷小量的是（）． A.12-xB.1232--x x C.1)2(+-x xD.1242+-x x 【答案】D93、【65100】（单项选择题）当∞→x 时，下列变量中是无穷小量的是（）． A.x x 1sinB.x eC.x x sin 1 D.2-x x【答案】C94、【65120】（单项选择题）若在0x x →时，)(x α与)(x β都是无穷小量，且0)(≠x β，则在0x x →时，下列各式不一定是无穷小量的是（）．A.)()(x x βα-B.22)]([)]([x x βα+ C.)]()(1ln[x x βα⋅+ D.)()(2x x βα【答案】D95、【65128】（单项选择题）若31)131(2lim =-++-∞→x x bx ax x ，则b a ,值为（）．A.2,3=-=b aB.2,3-==b aC.2,3==b aD.2,3-=-=b a 【答案】B96、【65131】（单项选择题）=-∞→x xx sin )21(1lim（）． A.0 B.1 C.∞D.不存在【答案】A97、【65136】（单项选择题）设)(x f 在),(+∞-∞连续，下列为偶函数的是（）． A.)(x fB.)(x fC.)()(x f x f --D.2)]([x f【答案】B98、【65139】（单项选择题）当1→x 时，x ln 与1-x 比较是（）． A.高阶无穷小 B.低阶无穷小C.同阶非等价无穷小D.等价无穷小【答案】D99、【99268】（单项选择题）若Ax f x =∞→)(lim ，则当∞→x 时，A x f -)(是（）．A.0B.振荡变量C.无穷大量D.无穷小量【答案】D100、【102062】（单项选择题）=-++∞→)2)34((lim x x x x （）．A.0B.1C.43D.∞【答案】C101、【102063】（单项选择题）若⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,0,)1()(x a x kx x f x m在0=x 处连续，则=a （）．A.m eB.ke C.kmeD.mk e【答案】C102、【102074】（单项选择题）当0→x 时，下列无穷小中不是x 的等价无穷小的是（）．A.x x sin -B.x arcsinC.)1ln(x +D.2tan x x +【答案】A103、【102075】（单项选择题）当0→x 时，xx 1arctan是（）．A.无穷大量B.无穷小量C.无界变量D.无法判定【答案】B 104、【102076】（单项选择题）当0x x →时，若)(x f 有极限，)(x g 无极限，则当0x x →时，)()(x g x f ⋅（）．A.无极限B.有极限C.可能有，也可能没有极限D.若有极限，极限必为零【答案】C105、【102077】（单项选择题）当1→x 时，下列变量不是无穷小量的是（）． A.12-xB.1)2(+-x xC.1)1sin(--x xD.1232--x x 【答案】C106、【102082】（单项选择题）设21)1(sin lim21=--→x x k x ，则=k （）．A.2B.1C.4D.0【答案】C107、【193642】（单项选择题）=+-+-+∞→1434)2(lim22n n n n n n x （）．A.43B.34C.32D.38【答案】B108、【98431】（填空题）=++→2310)31(lim xx x _____．【答案】e109、【98435】（填空题）若112lim)1(lim 0+-=-∞→→x x x x x kx ，则=k _____．【答案】2ln -110、【98440】（填空题）=+∞→xx x x)1(lim _____．【答案】e 1111、【98442】（填空题）若kxx e x =-→10)21(lim ，则=k _____．【答案】2-112、【98443】（填空题）=-∞→)sin 11sin (lim x xx x x _____．【答案】1113、【98447】（填空题）=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→231lim x x x x _____．【答案】3-e114、【98448】（填空题）=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→211lim 22x x x x _____．【答案】2e115、【98451】（填空题）=--→22)sin(limπππx x x _____．【答案】π21116、【98453】（填空题）=--→x x x x 33lim33_____．【答案】)3ln 1(27-117、【98455】（填空题）=-→x x x 10)21(lim _____．【答案】2-e118、【98457】（填空题）设⎪⎩⎪⎨⎧-=k x x x f )sin()(π0,0,=≠x x 在点0=x 处间断，则k应满足的条件是_____．【答案】1≠k119、【98467】（填空题）=-+∞→1)2(lim x x xx _____．【答案】2-e120、【98468】（填空题）=∞→nn n 2sin lim π_____．【答案】2π121、【98469】（填空题）若函数⎪⎩⎪⎨⎧---=k x x x x f 22)(22,2,=≠x x 在2=x 处连续，则=k _____．【答案】3122、【98471】（填空题）=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-∞→32lim x x x x _____．【答案】2e123、【98473】（填空题）=++-∞→302010)13()3()12(limx x x x _____．【答案】301032124、【98474】（填空题）=⋅∞→t x t t sinlim _____．【答案】x125、【98476】（填空题）=-→x x x 20)1(lim _____．【答案】2-e126、【102090】（填空题）=--→xx x 10)21(lim _____．【答案】2e127、【102091】（填空题）=+→x x x 1)sin 1(lim _____．【答案】e128、【102092】（填空题）若k xx e xx =-∞→)2(lim ，则=k_____．【答案】2-129、【81962】（解答题）设⎪⎩⎪⎨⎧-=k x x x x f 1ln )(1,10,=≠>x x x 且，求k值，使)(x f 在),0(+∞连续．【答案】解：⎪⎭⎫⎝⎛-→001ln lim 1x x x x =11ln lim1-+→x x =1-依题意应满足()()1lim 1f x f x =→，所以1-=k130、【102120】（解答题）求极限xxx x tan sin 2sin 2lim0--+→．【答案】解：x xx x tan sin 2sin 2lim0--+→()xx x x x sin 2sin 2tan sin 2lim0-++=→=21第三章导数与微分131、【44028】（单项选择题）设)(x f 在点0x 处可导，则hx f h x f h )()(lim000-+→（）．A.与h x ,0都有关B.仅与h 有关与0x 无关C.仅与0x 有关与h 无关D.与h x ,0都无关【答案】C132、【44034】（单项选择题）设2)(),()(x x h x g x f dx d ==，则=)]([x h f dx d （）．A.)(2x xgB.)(22x xgC.)(2xgD.)(22x g x【答案】B133、【44038】（单项选择题）设2xe y -=，则=''y （）．A.2x e - B.224xe x - C.2)12(22x e x -- D.2)12(22x e x -+【答案】C134、【44040】（单项选择题）)(x f 在点0x 处连续是)(x f 在点0x 处可微的（）． A.充分条件 B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件【答案】B135、【44041】（单项选择题）设)(sin )()sin (ln x d x g x d =，则=)(x g （）． A.x cos B.x sinC.x cos 1D.x sin 1【答案】D136、【44042】（单项选择题）=)sin (x xd （）．A.dxx xx x 3sin cos -B.dxx x x x 4222sin cos -C.dxx xx x 2sin cos -D.dxx xx x 32sin cos -【答案】C137、【65146】（单项选择题）设)(x f 在ax =处可导，且1)(='a f ，则ha f h a f h )()3(lim--→等于（）．A.3-B.3C.31-D.31【答案】A138、【99269】（单项选择题）设)3)(2)(1()(---=x x x x x f ，则=')0(f （）．A.0B.6C.6-D.3【答案】C139、【99272】（单项选择题）设)(x f 在0=x 可导，且0)0(=f ，则=→x x f x )(lim（）．A.)0(f 'B.1C.0D.不存在【答案】A140、【102064】（单项选择题）设)(x f 在点0x 处可导，则=--+→h h x f h x f h )()3(lim000（）．A.)(0x f 'B.)(20x f 'C.)(30x f 'D.)(40x f '【答案】D141、【102083】（单项选择题）设1)1(2-=+xx f ，则=')1(f （）．A.0B.1C.2D.1-【答案】A142、【98458】（填空题）设x y tan ln =，则=22dx yd _____．【答案】x x 2cot 2csc 4⋅-143、【98463】（填空题）设222e xy x ++=，则='y _____．【答案】2ln 22xx +144、【98464】（填空题）若)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x x f ，则=')2(f _____．【答案】4145、【102093】（填空题）设xx x f 3)(⋅=，则='')0(f _____．【答案】3ln 2146、【102094】（填空题）设xx y -+=11ln，则='y _____．【答案】212x-147、【65143】（解答题）设xx y arccos 1ln-=，求)0(y '．【答案】解：x x y arccos ln 21)1ln(21--=148、【65154】（解答题）求曲线21xe y -=的平行于直线012=+-y x 的切线方程．【答案】解：设切点为),(00y x直线012=+-y x 的斜率为2．()()()0101022202x x x x x y e e x x -==-='--，依题意，应有可解得：1,100=-=y x 即：切点为)1,1(- 故所求为：032),1(21=+-+=-y x x y ．149、【81963】（解答题）求曲线xy 1=过点)0,2(的切线方程．【答案】解：设切点为),(00y x ，由题设，切线过切点与已知点）（0,2，其斜率为2000--x y又21x y -='，210x y x x -='=为切线斜率，从而2010020--=-x y x切点在曲线上，又有01x y =解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-000020121x y x y x 得10=x ，10=y ，而11-='=x y故所求切线方程为：)1(11-⋅-=-x y 即02=-+y x150、【81965】（解答题）设曲线)(x f y =上任意一点),(y x 处的切线斜率为该点纵坐标与横坐标之差，且曲线过坐标原点，求此曲线方程．【答案】解：依题意，有x y y -='，即x y y -=-'，且00==x y⎰⋅-dx 1=x -⎰⎰----=⋅-)(x xe xd dx ex =dxe xe x x ⎰---=x xe xe--+通解为)(c e xe e y x x x ++=--=xce x ++1将00==x y 代入通解，得1-=c 故所求为xex y -+=1151、【102102】（解答题）求曲线211x y +=的平行于x 轴的切线方程．【答案】解：22)1(2x x y +-='，由题设，应有0,02==x x又当1,0==y x故所求为：01=-y ，即1=y152、【102123】（解答题）求曲线2+=xxe y 上0=x 处的切线方程．【答案】将0=x 代入方程，得2=yx x xe e y +='，10='=x y故所求为：)0(12-⨯=-x y ，即2+=x y第四章微分中值定理与导数应用153、【44045】（单项选择题）设)(lim )(lim 0==→→x g x f x x x x ，在点0x 的空心邻域)(),(x g x f ''存在，且0)(≠'x g ，a 是常数，则下列命题中正确的是（）．A.若a x g x f x x =→)()(lim0，则a x g x f xx =''→)()(limB.若∞=→)()(lim0x g x f x x ，则∞=''→)()(limx g x f xxC.若a x g x f x x =''→)()(lim 0，则a x g x f xx =→)()(limD.若)()(lim 0x g x f x x ''→不存在，则)()(lim0x g x f x x →不存在【答案】C154、【44050】（单项选择题）)(0x f '不存在是)(0x f 为极值的（）． A.充分条件 B.必要条件C.充分必要条件D.以上说法都不对【答案】D155、【44051】（单项选择题）设)(x f 处处连续，且)(,0)(21x f x f '='不存在，则下列说法正确的是（）．A.1x x =与2x x =都一定不是)(x f 的极值点B.1x x =与2x x =都可能是)(x f 的极值点C.1x x =是)(x f 的极值点，而2x x =一定不是极值点D.2x x =是)(x f 的极值点，而1x x =一定不是极值点【答案】B156、【44052】（单项选择题）设0)(,0)(00=''='x f x f ，则)(0x f （）． A.必是)(x f 的极大值 B.必是)(x f 的极小值 C.一定不是)(x f 的极值D.可能是也可能不是)(x f 的极值【答案】D157、【44054】（单项选择题）设)(x f 是),(a a -内的连续偶函数，且当0<<-x a 时，)0()(f x f <，则下述结论正确的是（）．A.)0(f 是)(x f 在),(a a -的极大值，但不是最大值B.)0(f 是)(x f 在),(a a -的最小值C.)0(f 是)(x f 在),(a a -的极大值，也是最大值D.点))0(,0(f 是曲线)(x f y =的拐点【答案】C158、【65205】（单项选择题）0)(0='x f 是函数)(x f y =在点0x 处取得极值的（）．A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.以上说法都不对【答案】D159、【65245】（单项选择题）曲线xx x f +=1)(2的拐点的个数是（）．A.0B.1C.2D.3【答案】B160、【99278】（单项选择题）函数x x x f ln 21)(2-=的单调增区间是（）．A.)1,0(B.),1()0,1(+∞⋃-C.),1(+∞D.)1,1(-【答案】C161、【102065】（单项选择题）若函数)(x f 在),(b a 内是单调减函数，则)(x f '（）．A.0≤B.0<C.0≥D.0>【答案】A162、【102078】（单项选择题）函数2)1(3+-=x y 的拐点的个数是（）．A.3B.2C.1D.0【答案】C163、【102084】（单项选择题）曲线)1ln(2x y +=的拐点的个数是（）．A.0B.1C.2D.3【答案】C164、【102088】（单项选择题）0)(,0)(00>''='x f x f 是函数)(x f y =在点0x x =处有极值的（）． A.必要条件 B.充分条件C.充分必要条件D.无关条件【答案】B165、【98490】（填空题）曲线xxe y -=的拐点坐标是_____．【答案】)2,2(2e166、【98491】（填空题）函数)2()1()(2+-=x x x f 的极大值点是_____．【答案】1-=x167、【98492】（填空题）函数)1ln()(x x x f +-=的凹区间是_____．【答案】),1(+∞-168、【98493】（填空题）函数xx x f )3()(-=在]4,0[上的最小值是_____．【答案】2-169、【98499】（填空题）曲线xxe y -=的拐点坐标是_____．【答案】)2,2(2e170、【102095】（填空题）曲线3)2(3--=x y 的拐点坐标是_____．【答案】)3,2(-171、【102096】（填空题）函数x xe x f 2)(-=的凹区间为_____．【答案】),1(∞+172、【65196】（解答题）求极限xxex xx sin lim20-→．【答案】解：⎪⎭⎫ ⎝⎛-→00sin lim20x xe x xx=⎪⎭⎫⎝⎛-+→00cos 2lim0x xe e xx x x =xxe e e x xxx sin 2lim0+++→=1173、【65198】（解答题）求函数x xy -=2的极值．【答案】解：定义域为]2,(-∞令0='y 由034=-x 得驻点34=x当234<<x 时，0<'y ；当34<<∞-x 时，0>'y ，所以y 在34=x 取极大值．所以694323434234)34(==-==y y 极大174、【65201】（解答题）求极限xe x xx sin 1lim 20-→--．【答案】解：⎪⎭⎫⎝⎛---→00sin 1lim 20x e x x x175、【65217】（解答题）求极限xxe x x cos 1sin )1(lim0--→．=()⎪⎭⎫⎝⎛-+→00sin cos 1sin lim 0x x x e e x xx=()()xx x x x e e e exx x xx cos sin 1cos cos sin lim 0--+++→=2176、【65220】（解答题）求极限x x x ln 1lim21-→．【答案】解：⎪⎭⎫⎝⎛-→00ln 121limx x x=2177、【65234】（解答题）用12米塑钢做一个如图所示形状的窗框，其中1:2:=BC AB ．问：如何设计宽高的尺寸，可使采光最好？【答案】解：设宽为x ，高为y ，由题设，面积s 可表为xy s =①且y x ,满足 12373=+y x ②由②：)4(79)312(73x x y -=-=③③代入①，有：)4(792x x s -=x s 718736-='，令0='s ，得驻点2=x 又718-=''s ，0718)2(<-=''s ，s 在2=x 取最大值．当2=x 时，由③可得718=y故当2=x ，718=y 时，面积最大，即采光最好．178、【65240】（解答题）将边长为定值a 的正方形铁皮各角剪去大小相同的正方形小块，做成无盖的盒子，问剪去的正方形小块的边长为何值时，可使盒子的容积最大？【答案】解：示意图见图11-2设剪去的正方形小块的边长为x ，记体积为V ，则令0='V ，由081222=+-a ax x，得6a x =，2a x =（舍去）故当正方形小块边长为6a 时，小盒容积最大．179、【65243】（解答题）求极限x e e xx x 2sin 0lim-→．【答案】解：⎪⎭⎫⎝⎛-→00lim2sin 0x e e x x x180、【65252】（解答题）求极限xx x x cos 1)12(lim--→．181、【65257】（解答题）计算极限2222lim--→x x x x ．【答案】解：⎪⎭⎫⎝⎛--→0022lim22x x x x182、【65261】（解答题）设函数x bx x a x f 3ln )(2-+=在1=x 处取得极值，且极值为0，求b a ,的值．【答案】解：32)(-+='bx x ax f在1=x 处取极值，有032=-+b a 极值为0，有01311ln 2=⋅-⋅+b a 即03=-b 所3=b 将3=b 代入032=-+b a 中，知036=-+a ，3-=a 故3-=a ，3=b183、【65263】（解答题）求函数13)(23--+=x x xx f 的凹凸区间和拐点坐标．【答案】解：定义域),(+∞-∞令0)(=''x f ，得1-=x 当)1,(--∞∈x ，0)(<''x f ； ),1(+∞-∈x ，0)(>''x f凹区间为),1(+∞-，凸区间为)1,(--∞，拐点为)2,1(-184、【65269】（解答题）欲建一个底面为正方形的蓄水池，使其容积为定值α，若池底单位面积造价是四壁单位面积造价的二倍，当底面边长为多少时，可使总造价最低．【答案】解：设底面边长为x ，深为y ，四壁单位面积造价为m ，记总造价w图3-3依题意， mxy mx w 422+=①且 a y x=2②由②：2x a y =③③代入①：xma mx w 422+= ),0(+∞∈x令0='w ，由0443=-ma mx，得唯一驻点3ax =又384x mam w +=''，012)(3>=''m a w ，w 在3ax =取唯一极小值，即当底面边长为3a时，总造价最低．185、【65272】（解答题）借用一面墙，围成一个矩形的场地，使其面积为72平方米，问：与现有墙平行的一面墙的长度为多少时，可使周长最小．【答案】解：示意图见图2-3，设置与现有墙平行的墙的长度为x ，宽为y ，依题意，有：周长 y x L 2+=①且 72=xy ②由②，xy 72=，代入①:xx L 144+=令0'=L x ，得驻点12=x 又x Lx3''288=，61)12(''>=L x ，所以12=x 时，可使周长最小．186、【65273】（解答题）求函数xx x f 2)(-=在区间]4,0[上的最大值与最小值．【答案】解：xx xx f 111)(-=-='，令0)(='x f ，由01=-x 得)4,0(1∈=x 0)0(=f ，1)1(-=f ，0)4(=f所以0max =f ；1min -=f187、【65277】（解答题）求极限x x x cos ln 2lim →．【答案】解：⎪⎭⎫ ⎝⎛→00cos ln lim 20x x x188、【82445】（解答题）求x xe x xx sin 20lim -→．【答案】解：⎪⎭⎫ ⎝⎛-→00sin lim20x xe x xx189、【82446】（解答题）求极限⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→x e x x 111lim 0．【答案】解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→x e x x 111lim 0)(∞-∞190、【91935】（解答题）求曲线xxe y =的拐点坐标．【答案】解：x xxe ey +='令0=''y ，由02=+x 得2-=x将2-=x 代入xxe y =中，有22e y -= 当2->x 时，0>''y ，当2-<x 时，0<''y 拐点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--222e ， 191、【102101】（解答题）求曲线1234+-=x xy 的凹凸区间及拐点．【答案】解：定义域为),(+∞-∞)1(121212,64223-=-=''-='x x x x y x x y 令0=''y ，有1,0==x x)1(=y ，1)0(=y凹区间为),1()0,(+∞-∞ ，凸区间为)1,0(，拐点为)0,1(),1,0(192、【102103】（解答题）欲围一个面积为150平方米的矩形场地，所用材料的造价其正面是每平方米6元，其余三面是每平方米3元，问场地的长、宽各为多少米时，才能使所用材料费最少？【答案】解：设所围场地正面长为x 米，另一边长为y 米，围墙高度为一个单位（米），由场地面积150=xy ，从而xy 150=．设四周围墙所使用的材料总费用为)(x f ，则有215069)(x x f ⨯-='，令0)(='x f 得驻点10=x （10-=x 舍去）31800)(x x f =''，且08.1)10(>=''f ．所以)10(y 为最小值．由于只有一个驻点，由实际意义可知最小值存在，一般情形下不必再求0)10(>''y （或0<），即可判定10=x ，15=y 为所求．也即当围墙正面长为10米，侧面长为15米时，所用的材料费最少．193、【102104】（解答题）设点)1,1(是曲线c bx ax xy +++=23的拐点，且曲线在2=x 取极值，求c b a ,,的值．【答案】解：b ax xy ++='232，由y 在2=x 取极值，应有2=x 时，0='y ，即：0124=++b a ……①=''y a x 26+，由)1,1(为拐点，应有1=x 时，0=''y ，即：062=+a ……②由拐点)1,1(在曲线上，其坐标应满足曲线方程，即 11=+++c b a ③由②，3-=a 代入①，0=b ；一并代入③，3=c ．194、【102105】（解答题）用薄铁皮做一个横截面为半圆的无盖水槽，使其容积为定值V ，当截面圆半径和水槽的长各为多少时，可使所用薄铁皮的面积最小？【答案】解：设横截面半径为x ，水槽长为y ，记表面积为S ，则xy x S ππ+=2①且V y x =221π②由②：22x Vy π=③③代入①：xVx x Vx x S 22222+=⋅+=ππππ令2222232=-=-='xVx xV x S ππ，得3πVx =又342x VS +=''π，063>=⎪⎪⎭⎫⎝⎛''ππV s所以S 当3πVx =时取最小值，当3πVx =，32πVy =时，表面积最小．195、【102106】（解答题）设点)2,1(-是曲线b ax xy +-=23的拐点，求ba ,的值．【答案】解：ax xy 232-='a x y 26-=''，依题设，应有02)1(6=--⋅a ，从而3-=a又拐点在曲线上，知b a +---=23)1()1(2，于是0=b196、【102107】（解答题）用总长度为l 米的墙围成一个矩形的场地，并加一个隔墙将矩形场地分成两部分，问隔墙长度为多少时，可使矩形场地的面积最大？【答案】解：设隔墙长度为x ，与隔墙垂直的墙的长度为y ，矩形场地面积记为s ，依题意：xy s =①且 l y x =+23②由②，有)3(21x l y -=③③代入①：)3(21x l x s -⋅=x l s 321-='，令0='s ，得l x 61=又3-=''s ，0361<-=⎪⎭⎫⎝⎛''l s ，s在l x 61=取唯一极大值，即最大值．即隔墙长为l 61时，矩形场地面积最大．197、【102108】（解答题）用L 米塑钢做一个矩形窗框，如何设计尺寸使采光最好．【答案】解：设矩形宽，高分别为y x ,，记面积为s ，依题意xy s =且L y x =+)(2，即)2(21x L y -=从而Lx x x L x s 21)2(212+-=-=L x s 212+-='，令0='s 得L x 41=，L y 41=当宽、高相等时采光最好．198、【102118】（解答题）求)ln 111(lim 1x x x --→．【答案】解：⎪⎭⎫ ⎝⎛--→x x x ln 111lim 1)(∞-∞199、【102119】（解答题）求极限xxe x x sin cos lim20-→．【答案】解：)00(sin cos lim20x x e x x -→=xxe x x cos sin 2lim20+→=2 200、【102121】（解答题）求极限xx xe e x x x sin 2lim0----→．【答案】解：⎪⎭⎫⎝⎛----→00sin 2lim 0x x x e e x x x =⎪⎭⎫⎝⎛--+-→00cos 12lim 0x e e x x x=⎪⎭⎫ ⎝⎛--→00sin lim 0x e e x x x =xe e xx x cos lim 0-→+=2201、【102122】（解答题）求函数322)(x x x f -=在)2,0(内的极值．【答案】解：()()()32232223)1(22322x x x x x x x f -⋅-=-⋅-='令()0='x f ,得驻点1=x 和不可导点1,0==x x ，在)2,0(内只有1=x ，其余舍去．当21<<x 时，()0<'x f ，当10<<x 时，()0>'x f所以()x f 在1=x 取极大值，()11==f f 极大第五章不定积分202、【44059】（单项选择题）下列等式中，正确的是（）．A.⎰=')()(x F dx x FB.⎰+='C x f dx x f )(])([C.⎰=dx x F x dF )()(D.⎰=dx x F dx x F d )()( 【答案】D203、【44062】（单项选择题）函数x 2sin 的原函数是（）．A.x 2cosB.x 2sinC.x x cos sin 2D.x 2cos -【答案】B204、【44063】（单项选择题）设xe xf -=)(，则⎰='dx x x f )(ln （）．A.C x +-1B.C x +1C.C x +-lnD.C x +ln【答案】B205、【44065】（单项选择题）设x x f ln )(=，则⎰='dx e f e xx )(（）．A.C x +B.C ex+C.C e x+221 D.C e x+331【答案】A206、【44066】（单项选择题）设xx sin 是)(x f 的一个原函数，则⎰='dx x fx )(（）．A.Cx xx x +-sin cos B.Cx xx x +-sin 2cosC.Cxxx x +-2sin cosD.Cx xx x +-2sin 2cos【答案】B207、【44068】（单项选择题）⎰=+dx x x )1(1（）．A.C x +arctanB.C x +arctan 2C.Cx +arctan 21D.C x +-arctan 21【答案】B208、【66282】（单项选择题）设)(x f 有连续的二阶导数，则⎰=''dx x f x )(（）． A.C x f x f x +'-')()( B.C x f x f x +-')()( C.C x f x f x +'+')()( D.C x f x f x ++')()( 【答案】B209、【66283】（单项选择题）若)()(x g x f '='，则下式中一定成立的是（）． A.)()(x g x f = B.)()(x g C x f ⋅=C.⎰⎰=dx x g d dx x f d )()(D.⎰⎰=)()(x g d x f d 【答案】D210、【66285】（单项选择题）若⎰⎰=)()(x dg x df ，则下列等式不一定成立的是（）．A.)()(x g x f =B.)()(x g x f '='C.)()(x dg x df =D.⎰⎰'='dx x g d dx x f d )()( 【答案】A211、【66286】（单项选择题）设⎰+=C x F dx x f )()(，则⎰--dx e f e x x )(等于（）．A.C e F x+--)(B.C e F x+-)( C.C eF x+-)(D.C e F x+)(【答案】A212、【70477】（单项选择题）设)(x f 是某区间内的非零连续函数，若)(),(x G x F 是)(x f 的两个原函数，则在该区间内（）．A.C x G x F =+)()(B.C x G x F =-)()(C.)()(x CG x F =D.)()(x G x F = 【答案】B213、【80779】（单项选择题）设C x dx x f +=⎰1)(，则⎰dx x f x )1(12等于（）．A.C x +B.C x +-C.C x +1 D.C x +-1【答案】B214、【85206】（单项选择题）下列函数中，以x x x -ln 为原函数的是（）．。

大学高等数学预习方法

大学高等数学预习方法在进入大学后的学习生活中，高等数学是一门必修课程，对于很多理工科专业的学生来说，高等数学是一门相对较难的学科。

为了更好地应对这门课程，提高学习效果，以下将介绍一些大学高等数学预习的方法。

一、明确学习目标在预习前，首先要明确学习目标。

对于每一章节或每个学习单元，要知道要学习什么内容、需要达到什么样的掌握程度。

通过查看教材大纲或者课程教学大纲，了解课程的整体框架和学习目标，可以帮助我们在预习时有一个清晰的目标。

二、掌握基础知识在进行高等数学预习之前，我们需要确保自己对基础知识的掌握比较扎实。

高等数学是建立在初等数学基础之上的，如果基础知识不牢固，会影响到后续的学习效果。

所以，在预习高等数学之前，对初等数学的基础知识进行复习是非常重要的。

三、规划学习时间为了高效地进行高等数学预习，我们需要有一个明确的学习计划和时间规划。

根据每个学习单元的内容和难度，制定出一个合理的时间表，安排好每天的学习时间，并且要保持学习的连贯性和持续性。

四、预习教材在预习高等数学时，有一个重要的步骤就是预习教材。

在预习之前，先阅读一遍教材，了解整个章节的框架和主要内容。

通过快速阅读整本教材，可以对本节课的学习内容有一个初步的了解，为后续的深入学习做好铺垫。

五、重点难点标记在预习时，应该将重点难点标记出来，可以用颜色标注或者做一些简单的笔记。

这样可以在后面的学习过程中，更加集中注意力，把重点放在关键的地方，提高学习效果。

六、预习练习在进行高等数学预习时，我们不能只停留在理论上，还要进行一些相关的练习。

通过做练习题，可以检验预习的效果和理解情况，找出自己的薄弱环节，并及时进行针对性的复习和强化。

七、学习小组讨论在进行高等数学预习时，可以组建一个学习小组，与同学们一起讨论和学习。

通过互相交流和讨论，可以促进对知识的深入理解，还可以发现自己在学习中的不足之处，并及时进行纠正和改进。

八、多次预习高等数学预习不应该只进行一次，而是要多次复习和预习。

高等数学练习题(函数)

使所用材料最省？若底面单位面积的造价是侧面单位面积造价
的2倍，问怎样设计才能使造价最低？
练习题九
一、填空题：
1、D： 0 x 1, 0 y 1 dxdy
。
D
2、D：y 0, x 0, y 1 x dxdy
。
D
3、D：x2 y2 1
dxdy
。
D
4、D： y x, x 2, y 0 dxdy
x [ 3 , ]
22
B、 f ( x) ( x 4)2 x [2,4] D、 f ( x) | x | x [1,1]
2、f ( x) 2x2 x 1在[1,3]上满足拉格朗日中值定理条件的
A、
3 4
B、0
C、 3
4
D、1
3、若 x0 是 f ( x) 的极值点，则下列命题正确的是（
dx x
D、
xe xdx
0
1
4、 A、 1 x2 dx
B、 1
ln xdx x
5、 A、 0 e2xdx
B、 1 dx
1x
三、计算：
3
x x 1dx
0
C、 x cos xdx 0
D、
1
x x
2
dx
C、 1 dx 1x
D、
0
1
x x
2
dx
四、求下列各题中所给曲线及直线围成的平面图形面积
下列反常积分中收敛的是（
）
1、 A、 exdx 0
2、
A、 1
1 x3

3、
A、 0 e xdx
B、2
x
1 ln
x
dx
C、
1 dx 0 1 x

高等数学练习答案1-6

习题1-61. 计算下列极限:(1)xx x ωsin lim 0→; 解 ωωωωω==→→x x xx x x sin lim sin lim 00. (2)xx x 3tan lim 0→; 解 33cos 133sin lim 33tan lim 00=⋅=→→xx x x x x x . (3)xx x 5sin 2sin lim 0→; 解 52525sin 522sin lim 5sin 2sin lim 00=⋅⋅=→→x x x x x x x x . (4)x x x cot lim 0→; 解 1cos lim sin lim cos sin lim cot lim 0000=⋅=⋅=→→→→x x x x x x x x x x x x . (5)xx x x sin 2cos 1lim 0-→; 解 2)sin (lim 2sin 2lim 2cos 1lim sin 2cos 1lim 20220200===-=-→→→→x x x x x x x x x x x x x . 或 2s i n l i m 2s i n s i n 2l i m s i n 2c o s 1l i m 0200===-→→→x x xx x x x x x x x . (6)n n n x 2sin 2lim ∞→(x 为不等于零的常数). 解 x x xxx n n n n n =⋅=∞→∞→22sin lim 2sin 2lim . 2. 计算下列极限:(1)xx x 10)1(lim -→;解11)(10)1()(1010})](1[lim {)](1[lim )1(lim ---→--→→=-+=-+=-e x x x x x x x x x . (2)xx x 10)21(lim +→;解 22210221010])21(lim [)21(lim )21(lim e x x x x x x x xx =+=+=+→⋅→→.(3)x x xx 2)1(lim +∞→; 解 222])11(lim [)1(lim e xx x x x x x =+=+∞→∞→. (4)kx x x)11(lim -∞→(k 为正整数). 解 k k x x kx x e xx ---∞→∞→=-+=-))(()11(lim )11(lim . 3. 根据函数极限的定义, 证明极限存在的准则I '. 证明仅对x →x 0的情形加以证明.设ε为任一给定的正数, 由于A x g x x =→)(lim 0, 故由定义知, 对ε>0, 存在δ1>0, 使得当0<|x -x 0|<δ1时, 恒有|g (x )-A |<ε, 即A -ε<g (x )<A +ε.由于A x h x x =→)(lim 0, 故由定义知, 对ε>0, 存在δ2>0, 使得当0<|x -x 0|<δ2时, 恒有|h (x )-A |<ε, 即A -ε<h (x )<A +ε.取δ=min{δ1, δ2}, 则当0<|x -x 0|<δ时,A -ε<g (x )<A +ε与A -ε<h (x )<A +ε同时成立, 又因为g (x )≤f (x )≤h (x ),所以 A -ε<f (x )<A +ε,即 |f (x )-A |<ε,因此A x f x x =→)(lim 0.证明仅对x →x 0的情形加以证明.因为A x g x x =→)(lim 0, A x h x x =→)(lim 0, 所以对任一给定的ε>0, 存在δ>0, 使得当0<|x -x 0|<δ时, 恒有 |g (x )-A |<ε及|h (x )-A |<ε,即 A -ε<g (x )<A +ε及A -ε<h (x )<A +ε.又因为 g (x )≤f (x )≤h (x ),所以 A -ε<f (x )<A +ε,即 |f (x )-A |<ε,因此A x f x x =→)(lim 0.4. 利用极限存在准则证明:(1)111lim =+∞→nn ; 证明因为nn 11111+<+<, 而 11l i m =∞→n 且1)11(lim =+∞→nn , 由极限存在准则I , 111lim =+∞→nn . (2)1)1 211(lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→πππn n n n n n ; 证明因为πππππ+<++⋅⋅⋅++++<+2222222)1 211(n n n n n n n n n n , 而 1l i m 22=+∞→πn n n n , 1lim 22=+∞→πn n n , 所以 1)1 211(l i m 222=++⋅⋅⋅++++∞→πππn n n n n n . (3)数列2, 22+, 222++, ⋅ ⋅ ⋅ 的极限存在; 证明 21=x , n n x x +=+21(n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅). 先证明数列{x n }有界.当n =1时221<=x , 假定n =k 时x k <2, 则当n =k +1时, 22221=+<+=+k k x x , 所以x n <2(n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅), 即数列{x n }有界. 再证明数列单调增. 因为nn n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x +++--=++-+=-+=-+2)1)(2(22221,而x n -2<0, x n +1>0, 所以x n +1-x n >0, 即数列{x n }单调增. 因为数列{x n }单调增加有上界, 所以此数列是有极限的.(4)11lim 0=+→n x x ; 证明当|x |≤1时, 则有1+x ≤1+|x |≤(1+|x |)n ,1+x ≥1-|x |≥(1-|x |)n ,从而有 ||11||1x x x n +≤+≤-.因为 1|)|1(lim |)|1(lim 00=+=-→→x x x x , 根据夹逼准则, 有11lim 0=+→n x x . (5)1]1[lim 0=+→xx x . 证明因为x x x 1]1[11≤<-, 所以1]1[1≤<-x x x . 又因为11lim )1(lim 00==-++→→x x x , 根据夹逼准则, 有1]1[lim 0=+→x x x .。