分式及方程专题(03)

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中考数学专题复习4分式、分式方程及一元二次方程(解析版)

分式、分式方程及一元二次方程复习考点攻略考点01 一元一次方程相关概念1．等式的性质：（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式.所得的结果仍是等式．（2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数.所得的结果仍是等式．2．一元一次方程：只含有一个未知数.并且未知数的次数为1.这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为0(0)ax b a +=≠．【注意】x 前面的系数不为0．3．一元一次方程的解:使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 4. 一元一次方程的求解步骤：步骤解释去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数去括号先去小括号.再去中括号.最后去大括号移项把含有未知数的项都移到方程的一边.其他项都移到方程的另一边合并同类项把方程化成ax b =-的形式系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a .得到方程的解为bx a=-【注意】解方程时移项容易忘记改变符号而出错.要注意解方程的依据是等式的性质.在等式两边同时加上或减去一个代数式时.等式仍然成立.这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项.此时该项在方程一边是0.而另一边是它改变符号后的项.所以移项必须变号．【例 1】若()2316m m x --=是一元一次方程,则m 等于（）A ．1B ．2C ．1或2D ．任何数【答案】B【解析】根据一元一次方程最高次为一次项.得│2m −3│=1.解得m =2或m =1. 根据一元一次方程一次项的系数不为0,得m −1≠0,解得m ≠1.所以m =2. 故选B.【例 2】关于x 的方程211-20m mx m x +﹣（﹣）＝如果是一元一次方程.则其解为_____．【答案】2x ＝或2x =-或x =-3．【解析】解：关于x 的方程21120m mx m x +﹣（﹣）﹣＝如果是一元一次方程.211m ∴﹣＝.即1m ＝或0m ＝.方程为20x ﹣＝或20x --＝.解得：2x ＝或2x =-.当2m -1=0.即m =12时.方程为112022x --=解得：x =-3. 故答案为x =2或x =-2或x =-3．【例 3】解方程：221123x x x ---=- 【答案】27x =【解析】解： 221123x x x ---=-()()6326221x x x --=-- 636642x x x -+=-+ 634662x x x -+=-+ 72x = 27x =考点02 二元一次方程组相关概念1．二元一次方程：含有2个未知数.并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．2．二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解． 3．二元一次方程组：由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量.其一般形式为111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩．4．二元一次方程组的解法：（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.并代入另一个方程中.消去一个未知数.化二元一次方程组为一元一次方程．（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数.化二元一次方程组为一元一次方程．5. 列方程（组）解应用题的一般步骤：（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）6. 一元一次方程（组）的应用：（1）销售打折问题：利润=售价-成本价；利润率=利润成本×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量．（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间．（4）行程问题：路程=速度×时间．（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．（6）追及问题一（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．（7）追及问题二（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程．（8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度．（9）飞机航行问题：顺风速度=静风速度+风速度；逆风速度=静风速度-风速度．【例 4】已知－2x m －1y 3与12x n y m ＋n 是同类项.那么(n －m )2 012＝______【答案】1【解析】由于－2x m －1y 3与12x n y m ＋n 是同类项.所以有由m －1＝n .得－1＝n －m .所以(n －m )2 012＝(－1)2 012＝1.【例5】如图X2－1－1.直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1.b )．(1)求b 的值．(2)不解关于x .y 的方程组请你直接写出它的解．(3)直线l 3：y ＝nx ＋m 是否也经过点P ？请说明理由．【答案】（1）2.（2）⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.（3）见解析【解析】解：(1)当x ＝1时.y ＝1＋1＝2.∴b ＝2.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. (3)∵直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1.b ).∴当x ＝1时.y ＝m＋n ＝b ＝2.∴ 当x ＝1时.y ＝n ＋m ＝2.∴直线l 3：y ＝nx ＋m 也经过点P .【例6】家电下乡是我国应对当前国际金融危机.惠农强农.带动工业生产.促进消费.拉动内需的一项重要举措。

专题03 方程的运算及应用问题(专项训练)(原卷版)-二轮基础过关与直击中考

专题03 方程的运算及应用问题专项训练【基础过关|直击中考】1．（2021·浙江温州市·中考真题）解方程()221x x -+=，以下去括号正确的是（） A ．41x x -+=-B ．42x x -+=-C ．41x x --=D ．42x x --=2．（2021·山东临沂市·中考真题）方程256x x -=的根是（） A ．1278x x ==，B ．1278x x ==-，C ．1278x x =-=，D ．1278x x =-=-，3．（2021·四川成都市·中考真题）分式方程21133x x x-+=--的解为（） A ．2x =B ．2x =-C ．1x =D ．1x =-4．（2021·天津中考真题）方程组234x y x y +=⎧⎨+=⎩的解是（）A ．02x y =⎧⎨=⎩B ．11x y =⎧⎨=⎩C ．22x y =⎧⎨=-⎩D ．33x y =⎧⎨=-⎩5．（2021·四川泸州市·中考真题）关于x 的一元二次方程2220x mx m m ++-=的两实数根12,x x ，满足122x x =，则2212(2)(2)x x ++的值是（）A ．8B ．16C ． 32D ．16或406．（2021·湖南怀化市·中考真题）定义12a b a b⊗=+，则方程342x ⊗=⊗的解为（） A ．15x =B ．25x =C ．35x =D ．45x =7．（2021·浙江温州市·中考真题）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米a 元；超过部分每立方米()1.2a +元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为（） A ．20a 元B ．()2024a +元C ．()17 3.6a +元D ．()20 3.6a +元8．（2021·湖南邵阳市·中考真题）在平面直角坐标系中，若直线y x m =-+不经过第一象限，则关于x 的方程210mx x ++=的实数根的个数为（） A ．0个B ．1个C ．2个D ．1或2个9．（2021·山东临沂市·中考真题）某工厂生产A 、B 两种型号的扫地机器人．B 型机器人比A 型机器人每小时的清扫面积多50%；清扫2100m 所用的时间A 型机器人比B 型机器人多用40分钟．两种型号扫地机器人每小时分别清扫多少面积？若设A 型扫地机器人每小时清扫2m x ，根据题意可列方程为（）A ．10010020.53x x =+ B ．10021000.53x x +=C ．10021003 1.5x x+=D ．10010021.53x x =+10．（2021·江苏苏州市·中考真题）某公司上半年生产甲，乙两种型号的无人机若干架．已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架．设甲种型号无人机x 架，乙种型号无人机y 架．根据题意可列出的方程组是（）A ．()()111,3122x x y y x y ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩B ．()()111.3122x x y y x y ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩C ．()()111,2123x x y y x y ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩D ．()()111,2123x x y y x y ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩11．（2021·浙江杭州市·中考真题）已知1y 和2y 均是以x 为自变量的函数，当x m =时，函数值分别为1M 和2M ，若存在实数m ，使得120M M +=，则称函数1y 和2y 具有性质P ．以下函数1y 和2y 具有性质P 的是（）A ．212y x x =+和21y x =-- B ．212y x x =+和21y x =-+C ．11y x=-和21y x =-- D ．11y x=-和21y x =-+ 12．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛．901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中荧光棒共花费40元，缤纷棒共花费30元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为x 元（）A ．4030201.5x x -= B ．4030201.5x x -= C ．3040201.5x x -= D ．3040201.5x x-= 13．（2021·浙江宁波市·中考真题）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清洒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x 斗，醑酒y 斗，那么可列方程组为（）A ．510330x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．531030x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．305103x y x y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ D ．305310x y x y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 14．（2021·云南中考真题）若一元二次方程2210ax x ++=有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（） A ．1a <B ．1a ≤C ．1a ≤且0a ≠D ．1a <且0a ≠15．（2021·北京中考真题）方程213x x=+的解为______________． 16．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）已知13x y =⎧⎨=⎩是方程2ax y +=的解，则a 的值为______________．17．（2021·湖南岳阳市·中考真题）已知关于x 的一元二次方程260x x k ++=有两个相等的实数根，则实数k 的值为_______．18．（2021·湖北荆州市·中考真题）若关于x 的方程21322x m x x x+-+=--的解是正数，则m 的取值范围为_____________．19．（2021·重庆中考真题）若关于x 的方程442xa -+=的解是2x =，则a 的值为__________． 20．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第___个图形共有210个小球．21．（2021·湖南衡阳市·中考真题）“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木6000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了25%，结果提前3天完成任务．则实际每天植树__________棵．22．（2021·江苏扬州市·中考真题）已知方程组271x y x y +=⎧⎨=-⎩的解也是关于x 、y 的方程4ax y +=的一个解，求a 的值．23．（2021·四川南充市·中考真题）已知关于x 的一元二次方程22(21)0x k x k k -+++=．（1）求证：无论k 取何值，方程都有两个不相等的实数根．（2）如果方程的两个实数根为1x ，2x ，且k 与12x x 都为整数，求k 所有可能的值．24．（2021·江苏连云港市·中考真题）解方程：214111x x x +-=--．25．（2021·浙江丽水市·中考真题）解方程组：26x yx y =⎧⎨-=⎩．26．（2021·山东泰安市·中考真题）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂．（1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？（2）生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该厂共760万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？27．（2021·山东聊城市·中考真题）为迎接建党一百周年，我市计划用两种花卉对某广场进行美化．已知用600元购买A种花卉与用900元购买B种花卉的数量相等，且B种花卉每盆比A种花卉多0.5元．（1）A，B两种花卉每盆各多少元？（2）计划购买A，B两种花卉共6000盆，其中A种花卉的数量不超过B种花卉数量的13，求购买A种花卉多少盆时，购买这批花卉总费用最低，最低费用是多少元？1．（2021·安徽）设a ，b ，c 为互不相等的实数，且4155b ac =+，则下列结论正确的是（） A ．a b c >>B ．c b a >>C ．4()a b b c -=-D ．5()a c a b -=-2．（2021·浙江丽水市·中考真题）用配方法解方程2410x x ++=时，配方结果正确的是（） A ．2(2)5x -=B ．2(2)3x -=C ．2(2)5x +=D ．2(2)3x +=3．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）分式方程3111x x x +=--的解是（） A ．1x =B ．2x =-C ．34x =D ．2x =4．（2021·浙江杭州市·中考真题）某景点今年四月接待游客25万人次，五月接待游客60.5万人次，设该景点今年四月到五月接待游客人次的增长率为x （0x >），则（） A ．()60.5125x -= B ．()25160.5x -= C ．()60.5125x +=D ．()25160.5x +=5．（2021·四川广安市·中考真题）关于x 的一元二次方程()22310a x x +-+=有实数根，则a 的取值范围是（） A ．14a ≤且2a ≠- B ．14a ≤ C ．14a <且2a ≠- D ．14a < 6．（2021·湖北十堰市·中考真题）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x 台机器，则下列方程正确的是（）A ．400450150x x -=- B ．450400150x x -=- C ．400450501x x -=+ D ．45040051x x-=+ 7．（2021·四川南充市·中考真题）端午节买粽子，每个肉粽比素粽多1元，购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，设每个肉粽x 元，则可列方程为（） A ．105(1)70x x +-= B ．105(1)70x x ++= C ．10(1)570x x -+=D ．10(1)570x x ++=8．（2021·四川眉山市·中考真题）已知一元二次方程2310x x -+=的两根为1x ，2x ，则211252x x x --的值为（） A ．7-B ．3-C ．2D ．59．（2021·重庆中考真题）若关于x 的一元一次不等式组()322225x x a x ⎧-≥+⎨-<-⎩的解集为6x ≥，且关于y 的分式方程238211y a y y y+-+=--的解是正整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（） A ．5B ．8C ．12D ．1510．（2021·四川成都市·中考真题）《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的23，那么乙也共有钱50，问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为x ，y ，则可列方程组为（）A ．15022503x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩B ．15022503x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩C ．2502503x y x x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩ D ．2502503x y x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 11．（2021·山东泰安市·中考真题）已知关于x 的一元二次方程标()22120kx k x k --+-=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（） A ．14k>-B ．14k <C ．14k >-且0k ≠D ．14k <0k ≠ 12．（2021·四川广安市·中考真题）若x 、y 满足2223x y x y -=-⎧⎨+=⎩，则代数式224x y -的值为______．13．（2021·上海中考真题）若一元二次方程2230x x c -+=无解，则c 的取值范围为_________． 14．（2021·江苏宿迁市·中考真题）方程22142xx x -=--的解是_____________． 15．（2021·江苏扬州市·中考真题）扬州雕版印刷技艺历史悠久，元代数学家朱世杰的《算学启蒙》一书曾刻于扬州，该书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天追上慢马？答：快马_______天追上慢马．16．（2021·江西中考真题）已知1x ，2x 是一元二次方程2430x x -+=的两根，则1212x x x x +-=______．17．（2021·湖南常德市·中考真题）分式方程1121(1)x x x x x ++=--的解为__________． 18．（2021·江苏连云港市·中考真题）为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知2瓶A 型消毒液和3瓶B 型消毒液共需41元，5瓶A 型消毒液和2瓶B 型消毒液共需53元．（1）这两种消毒液的单价各是多少元？（2）学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且B 型消毒液的数量不少于A 型消毒液数量的13，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．19．（2021·四川自贡市·中考真题）随着我国科技事业的不断发展，国产无人机大量进入快递行业．现有A ，B 两种型号的无人机都被用来运送快件，A 型机比B 型机平均每小时多运送20件，A 型机运送700件所用时间与B 型机运送500件所用时间相等，两种无人机平均每小时分别运送多少快件？20．（2021·浙江中考真题）今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人．（1）求四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几；（2）若该景区仅有,A B两个景点，售票处出示的三种购票方式如表所示：据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万．并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？。

2022年中考数学二轮复习攻略专题04 分式、分式方程及一元二次方程

专题04分式、分式方程及一元二次方程复习考点攻略考点01 分式相关概念1、分式的定义一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB叫做分式。

【注意】A 、B 都是整式，B 中含有字母，且B ≠0。

2、分式的基本性质分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。

A A CB BC ⋅=⋅；A A CB B C÷=÷（C≠0）。

3、分式的约分和通分（1）约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。

（2）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分。

（3）最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。

（4）最简公分母：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。

【注意1】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式。

【注意2】通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母。

4、分式的乘除①乘法法则：db ca d cb a ⋅⋅=⋅。

分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

②除法法则：cb d acd b a d c b a ⋅⋅=⋅=÷。

分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

③分式的乘方：nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭。

分式乘方要把分子、分母分别乘方。

④整数负指数幂：1nn aa-=。

5、分式的加减同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。

①同分母分式的加减：a b a bc c c±±=；②异分母分式的加法：a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=。

【注意】不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。

6、分式的混合运算（1）含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．（2）混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．【例1】若分式21xx-在实数范围内无意义，则x的取值范围是（）A．x≠1 B．x=1 C．x=0 D．x＞1【例2】若分式11x+的值不存在，则x=__________．【例3】分式52xx+-的值是零，则x的值为（）A．5B．2C．－2D．－5 【例4】下列变形正确的是（）A．ab=22ab++B．0.220.1a b a bb b++=C．ab–1=1ab-D．ab=22(1)(1)a mb m++考点02 分式方程相关概念1．分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母。

专题03方程(组)、不等式(组)的解法(解析版)

专题03方程（组）、不等式（组）的解法一、选择题1、一元一次方程20x -=的解是（）A. 2x =B. 2x =-C. 0x =D. 1x =答案：A分析：直接利用一元一次方程的解法得出答案．解答：20x -=，解得：2x =．选A ．2、以2和4为根的一元二次方程是（） A. 2680x x ++= B. 2680x x -+=C. 2680x x +-=D. 2680x x --=答案：B分析：根据已知两根确定出所求方程即可．解答：以2和4为根的一元二次方程是x 2-6x +8=0，选B ．3、已知点M （2m -1，1-m ）在第四象限，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是（） A.B.C.D.答案：A分析：根据第四象限内点的坐标特点列出关于m 的不等式组，求出m 的取值范围，并在数轴上表示出来即可．解答：解：∵点M （2m -1，1-m ）在第四象限，∴21010m m ->⎧⎨-<⎩①②由①得，m ＞0.5；由②得，m ＞1，在数轴上表示为：选A ．4、关于x 的分式方程2x a1x 1+=+的解为负数，则a 的取值范围是（）A. a 1>B. a 1<C. a 1<且a 2≠-D. a 1>且a 2≠答案：D分析：分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据分式方程解为负数列出关于a 的不等式，求出不等式的解集即可确定出a 的范围．解答：分式方程去分母得：x 12x a +=+，即x 1a =-，因为分式方程解为负数，所以1a 0-<，且1a 1-≠-，解得：a 1>且a 2≠，选D.5、已知方程组2325x y x y +=⎧⎨-=⎩，则26x y +的值是（）A. -2B. 2C. -4D. 4答案：C分析：两式相减，得32x y +＝﹣，所以234x y +（）＝﹣，即264x y +＝﹣．解答：解：两式相减，得32x y +＝﹣， ∴234x y +（）＝﹣，即264x y +＝﹣，选C ．6、小刚在解关于x 的方程ax ²+bx +c ＝0（a ≠0）时，只抄对了a ＝1，b ＝4，解出其中一个根是x ＝-1．他核对时发现所抄的c 比原方程的c 值小2．则原方程的根的情况是（） A. 不存在实数根 B. 有两个不相等的实数根C. 有一个根是x ＝-1D. 有两个相等的实数根答案：A分析：直接把已知数据代入进而得出c 的值，再解方程求出答案．解答：解：∵小刚在解关于x 的方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）时，只抄对了a =1，b =4，解出其中一个根是x =-1，∴（-1）2-4+c =0，解得：c =3，故原方程中c =5，则∆=b 2-4ac =16-4×1×5=-4＜0，则原方程的根的情况是不存在实数根．选A ．7、若不等式组11324x xx m+⎧<-⎪⎨⎪<⎩无解，则m 的取值范围为（）A. 2m ≤B. 2m <C. 2m ≥D. 2m >答案：A分析：求出第一个不等式的解集，根据口诀：大大小小无解了可得关于m 的不等式，解之可得．解答：解不等式1132x x+<-，得：x ＞8， ∵不等式组无解， ∴4m ≤8，解得m ≤2，选A.8、由方程组43x m y m +=⎧⎨-=⎩，可得出x 与y 的关系是（）A. x y l?+=B. x y 1+=-C. x y 7+=-D.x y 7+= 答案：D分析：先把方程组化为43x m y m +=⎧⎨-=⎩的形式，再把两式相加即可得到关于x 、y 的关系式．解答：原方程可化为43x m y m +=⎧⎨-=⎩①②①+②得，x +y =7．选D.9、小华在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数弄脏了而看不清楚，被弄脏的方程是11()1323x xx▲---+=-，这该怎么办呢？他想了一想，然后看了一下书后面的答案，知道此方程的解是x＝5，于是，他很快便补好了这个常数，并迅速地做完了作业．同学们，你能补出这个常数吗？它应该是（）A. 2B. 3C. 4D. 5答案：D分析：设这个数是a，把x=5代入方程得出一个关于a的方程，求出方程的解即可．解答：设这个数是a，把x=5代入得：13（-2+5）=1-5a3-，∴1=1-5a3-，解得：a=5．选D.10、若x1是方程ax2+2x+c＝0（a≠0）的一个根，设M＝（ax1+1）2，N＝2-ac，则M与N的大小关系为（）A. M＞NB. M＝NC. M＜ND. 不能确定答案：C分析：把x1代入方程ax2+2x+c=0得ax12+2x1=-c，作差法比较可得．解答：∵x1是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，∴ax12+2x1+c=0，即ax12+2x1=-c，则M-N=（ax1+1）2-（2-ac）=a2x12+2ax1+1-2+ac=a（ax12+2x1）+ac-1=-ac+ac-1=-1，∵-1＜0，∴M-N＜0，∴M＜N．选C.11、如果解关于x 的分式方程2122m xx x-=--时出现增根，那么m 的值为（）A. -2B. 2C. 4D. -4答案：D分析：本题考查了分式方程的增根．解答：2122m xx x-=--，去分母，方程两边同时乘以（x -2），得： m +2x =x -2，由分母可知，分式方程的增根可能是2．当x =2时，m +4=2-2，m =-4，选D ．二、填空题12、方程2x -4＝0的解也是关于x 的方程x 2＋mx ＋2＝0的一个解，则m 的值为______．答案：-3分析：先解一元一次方程，再把解代入一元二次方程求出m 的值即可．解答：2x −4=0，解得：x =2，把x =2代入方程x 2+mx +2=0得： 4+2m +2=0，解得：m =−3．故答案为−3．13、已知x ，y 满足方程组x 2y 5x 2y 3-=⎧⎨+=-⎩，则22x 4y -的值为______．答案：-15分析：观察所求的式子以及所给的方程组，可知利用平方差公式进行求解即可得．解答：∵x 2y 5x 2y 3-=⎧⎨+=-⎩，∴22x 4y -=（x +2y ）（x -2y ）=-3×5=-15，故答案为：-15．14、已知一元二次方程2430x x -+=的两根1x ，2x ，则211124x x x x -+=______．答案：0分析：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．解答：∵12x x 、是方程24+30x x -=的两个根，∴211124303x x x x ，-+=⋅=， ∴21143x x -=-，∴211124330x x x x -+⋅=-+=．15、关于x 的一元二次方程（a -1）x 2-2x +3=0有实数根，则整数a 的最大值是______．答案：-2分析：本题考查了根的判别式．解答：解：根据题意得：a +1≠0且△=（-2）2-4×（a +1）×3≥0，解得a ≤23-且a ≠-1，所以整数a 的最大值为-2．故答案为-2． 16、关于x 的一元二次方程ax 2-x -14=0有实数根，则a 的取值范围为______．答案：a ≥-1且a ≠0分析：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到≠0且△=（-1）2-4a •（-14）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．解答：根据题意得a ≠0且△=（-1）2-4a •（-14）≥0，解得：a ≥-1且a ≠0．故答案为a ≥-1且a ≠0．17、如果不等式组()2131x x x m ⎧->-⎨<⎩的解集是1x <，那么m 的值是______．答案：1分析：先求出第一个不等式的解集，再根据“同小取小”解答即可．解答：()213x 1x x m ①②⎧->-⎨<⎩，解不等式①，x ＜2，解不等式②，x ＜m ，∵不等式组的解集是x ＜1， ∴m =1，故答案为：1．18、设1x 、2x 是方程2320x x -+=的两个根，则1212x x x x +-=______．答案：1分析：根据一元二次方程根与系数的关系公式，可直接求得12x x +和12x x ．解答：如果方程()200++=≠ax bx c a 的两个实数根是12x x 、，那么12=b x x a+-，12=c x x a .可知：1212323,211x x x x -+=-=⋅==，所以1212321x x x x +-=-=． 19、若一元二次方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是______．答案：k ＜1分析：本题考查了根的判别式．解答：∵一元二次方程220x x k -+=有两个不相等的实数根， ∴△=24b ac -=4-4k ＞0，解得：k ＜1，则k 的取值范围是：k ＜1．故答案为k ＜1． 20、关于x 的分式方程12122a x x-+=--的解为正数，则a 的取值范围是______．答案：a ＜5且a ≠3分析：直接解分式方程，进而利用分式方程的解是正数得出a 的取值范围，进而结合分式方程有意义的条件分析得出答案．解答：去分母得：122a x -+=-，解得：5x a =-，50a ->，解得：5a <，当52x a =-=时，3a =不合题意，故5a <且3a ≠．故答案为：5a <且3a ≠．21、已知α，β是关于x 的一元二次方程x 2+（2m +3）x +m 2=0的两个不相等的实数根，且满足11αβ+=-1，则m 的值是______．答案：3分析：可以先由韦达定理得出两个关于α、β的式子，题目中的式子变形即可得出相应的与韦达定理相关的式子，即可求解．解答：得α+β=-2m -3，αβ=m 2，又因为211+-2m-3+===-1mαβαβαβ，所以m 2-2m -3=0，得m =3或m =-1，因为一元二次方程()22230x m x m +++=的两个不相等的实数根，所以△＞0，得（2m +3）2-4×m 2=12m +9＞0，所以m ＞4-3，所以m =-1舍去，综上m =3．三、解答题 22、（1）解方程：11322x x x--=---．（2）解不等式组：312215(1)x x x x -⎧<-⎪⎨⎪+≥-⎩答案：（1）无解；（2）-1＜x ≤2．分析：（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．解答：（1）去分母得：1-x +1=-3x +6，解得：x =2，经检验x =2是增根，分式方程无解；（2）()3122151x x x x -⎧<-⎪⎨⎪+≥-⎩①②，由①得：x ＞-1，由②得：x ≤2，则不等式组的解集为-1＜x ≤2．23、先化简，再求值：22221(1)11a a a a a a --÷---+，其中a 是方程x 2+x =6的一个根．答案：11a -，14-．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出已知方程的解得到a 的值，代入计算即可求出值．解答：解：原式=()2(2)1211(1)1a a a a a a a ---+÷+-+ =()(2)1•1(1)(2)a a a a a a a -++--=11a -，方程x 2+x =6，解得：x =-3或x =2（舍去），当a =x =-3时，原式=-14． 24、解方程（1）2250x x --=（2）1421x x =-+答案：（1）1211x x ==（2）3x =是方程的解．分析：（1）利用配方法进行求解即可；（2）方程两边同时乘以（x -2）（x +1），化为整式方程，解整式方程后进行检验即可得．解答：（1）x 2-2x =5， x 2-2x +1=5+1，（x -1）2=6，x ，∴1211x x ==（2）方程两边同时乘以（x -2）（x +1），得 x +1=4（x -2），解得：x =3，检验：当x =3时，（x -2）（x +1）≠0，所以x =3是原方程的解． 25、关于x 的方程22210x x m -+-=有实数根，且m 为正整数，求m 的值及此时方程的根．答案：1m =，此时方程的根为121x x ==分析：直接利用根的判别式△≥0得出m 的取值范围进而解方程得出答案．解答：解：∵关于x 的方程x 2-2x +2m -1=0有实数根， ∴b 2-4ac =4-4（2m -1）≥0，解得：m ≤1， ∵m 为正整数， ∴m =1，∴此时二次方程为：x 2-2x +1=0，则（x -1）2=0，解得：x 1=x 2=1．26、己知关于x ，y 的二元一次方程组2352x y x y k-=⎧⎨-=⎩的解满足x y >，求k 的取值范围．答案：5k <．分析：先用加减法求得x y -的值（用含k 的式子表示），然后再列不等式求解即可．解答：2352x y x y k -=⎧⎨-=⎩①②，①-②得：5x y k -=-，∵x y >，∴0x y ->．∴50k ->．解得：5k <．27、已知关于x 的方程22220x mx m m -++-=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）当m 为正整数时，求方程的根．答案：（1）m ＜2；（2）x 1=0，x 2=2．分析：（1）利用判别式的意义得到=（-2m ）2-4（m 2+m -1）＞0，，然后解不等式即可；（2）利用m 的范围确定m 的正整数值为1，则方程化为x 2-2x =0，然后利用因式分解法解方程．解答：解：（1）()22442m m m ∆=-+-22444848m m m m =--+=-+∵方程有两个不相等的实数根，480m ∆=-+>．2m <．（2）∵m 为正整数，且2m <，1m =．原方程为220x x -=．∴()20x x -=．∴120,2x x ==．28、（1）解一元二次方程：x 2-4x +1=0（2）解分式方程：11322xx x -+=--答案：（1）1222x x ==（2）无解分析：（1）根据配方法或公式法即可求解一元二次方程；（2）先去分母化为整式方程，即可求解．解答：（1）2443x x -+=2(2)3x -=2x -=12x =22x =或1,4,1a b c ==-=，2416412b ac ∆=-=-=4222b x a -===±±±1222x x ==（2）13(2)(1)x x +-=--1361x x +-=-+24=x2x =检验2x =时，20x -=2x ∴=不是原方程的解∴原方程无解．29、先化简，再求值：231111x x x x -⎛⎫+÷ ⎪+-⎝⎭，其中x 是不等式组11210x x x --⎧->⎪⎨⎪-+<⎩的整数解．答案：原式=44x -；原式=4分析：先化简式子为44x -，再求解不等式的整数解为2x =，最后将2x =代入化简的式子中即可求解．解答：解：231111x x x x -⎛⎫+÷ ⎪+-⎝⎭ 131(+1)(1)=1x x x x x x ++--⎛⎫⨯ ⎪+⎝⎭ 4(+1)(1)=+1x x x xx -⨯ =44x - 解不等式组11210x x x --⎧->⎪⎨⎪-+<⎩解得31x x ⎧⎨⎩＜＞ ∴1＜x ＜3，∴不等式组的整数解是2x =，∴当2x =时，原式=42-4=4⨯．30、如果方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根是x 1、x 2，那么x 1＋x 2＝-p ，x 1·x 2＝q .请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0（n ≠0），求出一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数；（2）已知a 、b 满足a 2-15a -5＝0，b 2-15b -5＝0，求a b b a+的值；（3）已知a 、b 、c 均为实数，且a ＋b ＋c ＝0，abc ＝16，求正数c 的最小值．答案：（1）nx 2＋mx ＋1＝0；（2）-47或2；（3）c 的最小值为4．分析：（1）设x 2＋mx ＋n ＝0（n ≠0）的两根为x 1、x 2，根据根与系数的关系可得x 1＋x 2＝-m ，x 1·x 2＝n ，将以上两式变形可得1211+x x 和1211x x ⋅，即可求出答案．（2）根据a 、b 满足a 2-15a -5=0，b 2-15b -5=0，得出a ，b 是x 2-15x -5=0的解，求出a +b 和ab 的值，即可求结果；（3）根据a +b +c =0，abc =16，得出a +b =-c ，ab =16c，a 、b 是方程x 2+cx +1211+x x =0的解，再根据c 2-4×1211+x x ≥0，即可求出c 的最小值．解答：解：（1）设x 2＋mx ＋n ＝0（n ≠0）的两根为x 1、x 2.∴x 1＋x 2＝-m ，x 1·x 2＝n ∴1211+x x ＝1212x x x x +＝-m n ，1211x x ⋅＝1n∴所求一元二次方程为x2＋mnx＋1n＝0，即nx2＋mx＋1＝0；（2）①当a≠b时，由题意知a、b是一元二次方程x2-15x-5＝0的两根，∴a＋b＝15，ab＝-5∴ab＋ba＝22a bab+＝2()2a b abab+-＝2152(5)5-⨯--＝-47②当a＝b时，ab＋ba＝1＋1＝2综上，ab＋ba＝-47或2；（3）∵a＋b＋c＝0，abc＝16，∴a＋b＝-c，ab＝16 c∴a、b是方程x2＋cx＋16c＝0的两根，∴Δ＝c2-416c⨯≥0∵c＞0，∴c3≥64，∴c≥4，∴c的最小值为4．。

人教版八年级数学上册专题03 分式方程及零指数幂、负指数幂运算(专题测试)(解析版)

专题03 分式方程及零指数幂、负指数幂运算专题测试一、单选题1．（2020·淮阴区开明中学八年级月考）下列式子①11125m π-=，②413x x=-，③2x y -中，分式方程有（）个 A ．1 B ．2C ．3D ．0【答案】A①11125m π-=分母中不含未知数，所以不是分式方程，故错误；②413x x=-，符合分式方程的概念，故正确； ③2x y-，不是方程，故错误；所以分式方程只有1个，故选：A ．2．（2020·湖北八年级期末）在显微镜下测得“新冠”病毒的直径为0.00000000205米，用科学记数法表示为（） A ．0.205×10﹣8米 B ．2.05×109米 C ．20.5×10﹣10米 D ．2.05×10﹣9米【答案】D解：0.00000000205米，该数据用科学记数法表示为2.05×10-9米．故选：D ．3．（2020·江西八年级期末）若分式方程1512x x a=--的解为2x =，则a 的值是（） A ．1 B ．2C ．-1D ．-2【答案】C解：将2x =代入分式方程中，得152122a=-⨯- 解得：1a =-，经检验a=-1是方程的解，故选C ．4．（2020·安仁县思源实验学校八年级期中）如果（a ﹣1）0=1成立，则（） A ．a≠0 B ．a≠1C ．a=1D ．a=0或a=1【答案】B∵2(1)1a -=成立， ∴10a -≠， ∴1a ≠，故选：B ．5．（2020·广西七年级期末）如果方程1101ax x +-=-无解，那么a 的值为（）． A ．±1 B ．－1 C ．0D ．1【答案】A 对原方程进行化简：()1101ax x x +--=-，()1201a xx --=-，若此方程无解：（1）转换成整式方程，()120a x-+=此方程无解，∴10a -=即1a =时，原方程无解；（2）()120a x-+=此方程的解为1x =是原方程的增根，此时1a =-则原方程也无解；故答案选A ．6．（2020·四川九年级）“某市为处理污水，需要铺设一条长为4000米的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时×××××．设原计划每天铺设管道x 米，则可得方程400040002010x x -=+．”根据此情境，题中用“×××××”表示得缺失的条件，应补为( ) A ．每天比原计划多铺设10米，结果延期20天才完成任务 B ．每天比原计划少铺设10米，结果延期20天才完成任务 C ．每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成任务 D ．每天比原计划少铺设10米，结果提前20天完成任务【答案】C解：原计划每天铺设管道x 米，那么x+10就应该是实际每天比原计划多铺了10米，而用400040002010x x -=+则表示用原计划的时间﹣实际用的时间=20天，那么就说明每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成任务．故选：C ．7．（2020·江阴市长寿中学八年级月考）已知关于x 的方程22x mx +-=3的解是正数，那么m 的取值范围为（）A ．m ＞-6且m≠-2B ．m ＜6C ．m ＞-6且m≠-4D ．m ＜6且m≠-2【答案】C将分式方程转化为整式方程得：2x+m=3x-6 解得：x=m+6．∵方程得解为正数，所以m+6＞0，解得：m ＞-6． ∵分式的分母不能为0， ∴x-2≠0，∴x≠2，即m+6≠2． ∴m≠-4．故m ＞-6且m≠-4．故选C ．8．（2019·邯郸市凌云中学九年级）把0.00258写成10n a ⨯（110a ≤<，n 为整数）的形式，则a n +为（） A ．2.58 B ．5.58C ．0.58-D ．0.42-【答案】D解：将0.00258用科学记数法表示为：2.58×10-3．故a=2.58，n=-3，则a+n=-0.42．故选：D ．9．（2020·海南中考真题）分式方程312x =-的解是（） A ．1x =- B ．1x = C ．5x =D ．2x =【答案】C 解：312x =- 3=x-2 x=5经检验x=5是分式方程的解所以该分式方程的解为x=5．故选：C ．10．（2019·全国八年级课时练习）一项工程，甲、乙二人合做2天完成，已知乙单独完成此项工程比甲单独完成此项工程需多用3天，那么甲单独完成此项工程需（） A ．2天 B ．3天C ．4天D ．5天【答案】B 【解析】设甲单独完成此项工程需用x 天, 乙单独完成此项工程需用(x+3)天，根据题意得，解得，，，经检验，，是原方程的根，但不符合题意，舍去.∴x=3,故甲单独完成此项工程需用3天. 故选B.二、填空题11．（2019·上海市浦东新区进才实验中学七年级月考）0.000621-用科学计数法表示为_____________ 【答案】46.2110--⨯由科学计数法的定义得：40.000621 6.2110--=-⨯.12．（2019·四川七年级期中）-21=2（）__________．【答案】4 【解析】解：221=2 4.2-⎛⎫= ⎪⎝⎭故答案为：4.13．（2019·四川八年级期中）若关于x 的方程222x mx x-+--＝﹣2有增根，则m 的值是_____．【答案】0解：去分母得2﹣（x ﹣m ）＝﹣2（x ﹣2），解得x ＝2﹣m ，当x ＝2时，原方程有增根，即2﹣m ＝2，解得m ＝0．故答案为0．14．（2020·江苏南通第一初中八年级月考）已知关于x 的分式方程211a x +=+的解是负数，则a 的取值范围_____________．【答案】1a <-且2a ≠- 解：211a x +=+ a+2=x+1 x=a+1，∵方程的解是负数，x≠-1 ∴a+1<0，且a+2≠0，解得a<-1，且a ≠-2，故答案为：1a <-且2a ≠-．15．（2019·上海市闵行区七宝第三中学七年级月考）比较大小：412-⎛⎫- ⎪⎝⎭______413-⎛⎫- ⎪⎝⎭.（在横线上填“>”或“<”）【答案】<444111121116221====16-⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 444111131181331====81-⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 因为16＜81所以412-⎛⎫- ⎪⎝⎭＜413-⎛⎫- ⎪⎝⎭三、解答题16．（2019·湖北十堰市北京路中学九年级月考）计算：()1212|2|4π2-⎛⎫-+-+--- ⎪⎝⎭【答案】5--解：()1212|2|4π2-⎛⎫-+-+--- ⎪⎝⎭=1242-+--=5-17．（2020·浙江杭州市·七年级期中）解方程：（1）11322x x x --=-- （2）25231x x x x +=++ 【答案】（1）x=3；（2）无解解：（1）去分母得： 1-3（x-2）=-（x-1），解得：x=3，经检验：x=3是原方程的解，即原方程的解为x=3；（2）去分母得：5x+2=3x ，解得：x=-1，经检验x=-1是分式方程的增根，即原方程无解．18．（2020·浙江七年级期末）某商场经销A ，B 两款商品，若买20件A 商品和10件B 商品用了360元；买30件A 商品和5件B 商品用了500元．（1）求A 、B 两款商品的单价；（2）若对A 、B 两款商品按相同折扣进行销售，某顾客发现用640元购买A 商品的数量比用224元购买B 商品的数量少20件，求对A 、B 两款商品进行了几折销售？（3）若对A 商品进行5折销售，B 商品进行8折销售，某顾客同时购买A 、B 两种商品若干件，正好用完49.6元，问该顾客同时购买A 、B 两款商品各几件？【答案】（1）A 商品的单价是16元，B 商品的单价是4元；（2）8折；（3）顾客购买A 商品1件，B 商品13件；或A 商品3件，B 商品8件；A 商品5件，B 商品3件解：（1）设A 商品单价为x 元，B 商品单价为y 元.根据题意，得：2010360 305500x yx y+=⎧⎨+=⎩解得164 xy=⎧⎨=⎩所以A商品的单价是16元，B商品的单价是4元.（2）设打折后A、B两款商品进的价格分别为16a和4a，则6402242016a4a=-解得a=0.8经检验，a=0.8为原方程的解且符合题意所以A、B两款商品进行了8折销售（3）设顾客购买A商品m件，B商品n件.则8m 3.2n49.6+=m 6.20.4n=-∵m、n都为正整数∴①m=1,n=13②m=3,n=8③m=5,n=3所以顾客购买A商品1件，B商品13件；或A商品3件，B商品8件；A商品5件，B商品3件.。

专题03 分式及其运算(4大考点)(教师版)

第一部分数与式专题03分式及其运算核心考点核心考点一分式的概念核心考点二分式的基本性质核心考点三分式的运算核心考点四分式的化简求值新题速递核心考点一分式的概念（2022·湖南怀化·中考真题）代数式25x ，1π，224x +，x 2﹣23，1x ，12x x ++中，属于分式的有（）A ．2个B．3个C ．4个D ．5个（2022·内蒙古包头·x+在实数范围内有意义，则x 的取值范围是___________．【答案】1x ≥-且0x ≠【分析】根据二次根式与分式有意义的条件求解即可．【详解】解：由题意得：x +1≥0，且x ≠0，解得：1x ≥-且0x ≠，故答案为：1x ≥-且0x ≠．【点睛】本题考查二次根式与分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；分式有意义的条件：分母不等于零是解题的关键．注意1.分式可以表示两个整式相除，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号和括号的作用。

2.分式的分子中可以含有字母，也可以不含字母，但分母中必须含有字母，这是区别分式和整式的重要依据。

（2022·湖北黄石·中考真题）先化简，再求值：2269111a a a a ++⎛⎫+÷⎪++⎝⎭，从-3，-1，2中选择合适的a 的值代入求值．知识点：分式的概念一般地,如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母,那么式子AB叫做分式，其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。

（1）分式有意义的条件:分母不为零，即()0AB B≠（2）分式值为零：分子为零，且分母不为零。

即A B（0A =且0B ≠）【变式1】（2022·河北石家庄·一模）关于代数式M =2211121x x x x x ⎛⎫÷ ⎪⎝⎭－－＋＋＋，下列说法正确的是（）A ．当x =1时，M 的值为0B ．当x =﹣1时，M 的值为﹣12C ．当M =1时，x 的值为0D ．当M =﹣1时，x 的值为0【变式2】（2022·广东珠海·模拟预测）若1(1)ma =--（m 为正整数），且a 、b 互为相反数，b 、c 互为倒数，则2()m m ab b b c +--的值为（）A ．0B ．1-C ．2-D ．0或2-【答案】C【分析】根据分母不为0的原则可知m 为奇数，即可求得a 、b 、c 的值，分别代入即可求得其值．【详解】解：根据分母不为0的原则可知m 为奇数，1a =，a 、b 互为相反数，b 、c 互为倒数，1b ∴=-，1c =-，2()m mab b b c -∴+-()()()211111mm=⨯-+---+()110=-+--2=-，故选：C ．【点睛】本题考查了分式成立的条件，互为相反数、互为负倒数的定义，有理数的乘方运算，代数式求值问题，熟练掌握和运用分式成立的条件，互为相反数、互为负倒数的关系是解决本题的关键．【变式3】（2022·广东·华南师大附中三模）把代数式322363x x y xy -+分解因式，结果正确的是___________；若分式11x x +-的值为零，则x 的值为___________；若代数式26x x b -+可化为()21x a --，则b a -的值是___________．【变式4】（2022·广东·华南师大附中三模）把代数式322363x x y xy -+分解因式，结果正确的是___________；若分式11x x +-的值为零，则x 的值为___________；若代数式26x x b -+可化为()21x a --，则b a -的值是___________．【答案】()23x x y -无解5【分析】（1）先提公因式，然后再利用完全平方公式进行分解因式即可；（2）根据使分式的值为0的条件进行解答即可；（3）根据()()2226391x x b x b x a -+=-+-=--求出a 、b 的值，再代入b a -求值即可．【详解】解：（1）322363x x y xy -+()2232x x xy y =-+()23x x y =-【变式5】（2022·广东佛山·二模）平面直角坐标系中有两个一次函数1y ，2y ，其中1y 的图象与x 轴交点的横坐标为2且经过点()1,2，22y mx =-．(1)求函数1y 的关系式；(2)当2y 的图象经过两点11,22n ⎛⎫- ⎪⎝⎭和(),1n 时，求22n m +的值；(3)当1x >时，对于x 的每一个值，都有12y y <，求m 的取值范围．核心考点二分式的基本性质（2020·河北·中考真题）若a b ¹，则下列分式化简正确的是（）A ．22a ab b+=+B ．22a ab b-=-C ．22a a b b=D．1212aa b b =【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）分式22x x -与282x x -的最简公分母是_______，方程228122-=x x x x的解是____________．（2021·广西梧州·中考真题）计算：（x ﹣2）2﹣x （x ﹣1）24x x x-+．知识点：分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。

2024年-人教版数学八年级上册第15章——15.3《分式方程》同步练习及(含答案)3

15.3 第3课时分式方程的应用
一、选择题
1．小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打6个字，小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等。设小明打字速度为x个/分钟，则列方程正确的是（）
A： B： C： D：
2．甲、乙两班学生植树造林，已知甲班每天比乙班多植5棵树，甲班植80棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等，若设甲班每天植树x棵，则根据题意列出的方程是()．
20．列方程或方程组解应用题：
据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
5．甲队修路120 m与乙队修路100 m所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10 m，设甲队每天修路xm.依题意，下面所列方程正确的是
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
6．一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60 千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为x千米/时，则可列方程（）
18 ．某工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好全部运走，怎么样调配劳动力才能使挖出的土能及时运走且不窝工，解决此问题可设派x人挖土，其他人运土，列方程：．
三、解答题
19．某人驾车从A地到B地，出发2小时后车子出了点毛病，耽搁了半小时修车，为了弥补耽搁的时间他将车速增加到后来的1.6倍，结果按时到达，已知A、B两地相距100千米，求某人原来驾车的速度.

分式方程及答案

分式方程及答案分式方程是指方程中含有分数的方程。

分式方程的求解是数学中重要的内容之一，它在解决实际问题中有着广泛的应用。

本文将介绍分式方程的基本概念及求解方法。

一、分式方程的基本概念分式方程是由含有分数的代数式（称为分式）所构成的等式。

它的一般形式为：$\dfrac{A(x)}{B(x)}=C(x)$，其中$A(x)$、$B(x)$和$C(x)$均是关于$x$的多项式。

二、分式方程的求解方法1. 清除分母：首先要将分式方程中的分母清除掉，从而将分式转化为线性方程。

我们可以通过两边乘以分母的最小公倍数来实现，从而消去分母。

2. 求解线性方程：清除分母后，我们得到一个线性方程。

通过求解线性方程，我们可以得到解的集合。

三、实例分析让我们通过一个实例来更好地理解分式方程的求解过程。

假设我们要解下面的分式方程：$\dfrac{x-1}{2}+\dfrac{x+3}{4}=x+1$。

首先，我们可以通过乘以最小公倍数4来清除分母。

得到等式$2(x-1)+(x+3)=4(x+1)$。

接下来，我们进行求解线性方程的步骤。

首先展开方程，得到$2x-2+x+3=4x+4$。

继续化简，我们得到$3x+1=4x+4$。

继续移项和整理，得到$x=-3$。

所以，原方程的解为$x=-3$。

四、小结分式方程是数学中重要的内容之一。

通过清除分母并求解线性方程，我们可以得到分式方程的解。

在解决实际问题时，我们常常会遇到含有分数的方程，因此熟练掌握分式方程的求解方法对于数学学习和问题解决都具有重要意义。

以上就是对分式方程及其求解方法的简要介绍。

希望通过本文的阐述，读者能够对分式方程有更深入的了解，并能够灵活运用所学知识解决实际问题。

备战2023年重庆数学中考二轮复习知识点精练03 分式方程与不等式组含参问题(解析版)

精练3--分式方程与不等式组含参问题1．关于x的分式方程+1＝的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．﹣5B．﹣4C．﹣3D．﹣2【解答】解：关于x的分式方程+1＝的解为x＝，∵关于x的分式方程+1＝的解为正数，∴a+4＞0，∴a＞﹣4，∵关于x的分式方程+1＝有可能产生增根2，∴，∴a≠﹣1，解关于y的一元一次不等式组得，∵关于y的一元一次不等式组有解，∴a﹣2＜0，∴a＜2，综上，﹣4＜a＜2且a≠﹣1，∵a为整数，∴a＝﹣3或﹣2或0或1，∴满足条件的整数a的值之和是：﹣3﹣2+0+1＝﹣4，故选：B．2．若关于x的不等式组有解，且使关于y的分式方程的解为非负数．则满足条件的所有整数a的和为（）A．﹣9B．﹣8C．﹣5D．﹣4【解答】解：不等式组整理得：，∵关于x的不等式组有解，∴2a+2≤8，即a≤3，解分式方程得y＝，∵关于y的分式方程的解为非负数，∴≥0，且≠2，解得，a≥﹣5且a≠﹣1，∴﹣5≤a≤3，且a≠﹣1，∵a为整数，∴a＝﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，0，1，2，3，∴满足条件的所有整数a的值之和：（﹣5）+（﹣4）+（﹣3）+（﹣2）+0+1+2+3＝﹣8．故选：B．3．若整数a使关于x的不等式组有且只有2个偶数解，且关于y的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数a的和为（）A．4B．8C．10D．12【解答】解：，由①得，x≥，由②得，x＜4，∴≤x＜4，∵不等式组有且只有2个偶数解，∴﹣2＜≤0，∴1≤a＜7，∵a是整数，∴a的可取值由1，2，3，4，5，6，，3y﹣4+y﹣2＝2y﹣a，y＝3﹣，∵方程有整数解，∴a是2的倍数，∵3﹣≠2，∴a≠2，∴a的取值为4，6，∴符合条件的所有整数a的和为10，故选：C．4．若整数a使关于x的不等式组，有且只有45个整数解，且使关于y的方程+＝1的解为非正数，则a的值为（）A．﹣61或﹣58B．﹣61或﹣59C．﹣60或﹣59D．﹣61或﹣60或﹣59【解答】解：解不等式组，得＜x≤25，∵不等式组有且只有45个整数解，∴﹣20≤＜﹣19，解得﹣61≤a＜﹣58，因为关于y的方程+＝1的解为：y＝﹣a﹣61，y≤0，∴﹣a﹣61≤0，解得a≥﹣61，∵y+1≠0，∴y≠﹣1，∴a≠﹣60则a的值为：﹣61或﹣59．故选：B．5．若整数a使得关于x的分式方程有正整数解，且使关于y的不等式组至少有4个整数解，那么符合条件的所有整数a的和为（）A．13B．9C．3【解答】解：分式方程去分母得：16+2（x﹣4）＝ax，即（2﹣a）x＝﹣8，由分式方程有正整数解，得到2﹣a≠0，解得：x＝﹣＞0，得a＞2，不等式组整理得：即2a﹣5≤x＜11，由不等式组至少有4个整数解，得到2a﹣5≤7，解得：a≤6，由x为正整数，且﹣≠0且≠4，得到2﹣a＝﹣1，﹣2，﹣4，解得：a＝3或4或6，a＝4，分式方程：x＝4增根，∴a＝3或6，∵a≤6，∴a＝3或6，3+6＝9，则符合条件的所有整数a的和为9，故选：B．6．从3，﹣1，，1，﹣3这5个数中，随机抽取一个数记为a，若数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程﹣＝﹣1有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之积是（）A．B．3C．﹣3D．﹣【解答】解：不等式组整理得：，由不等式组无解，得到a≤1，分式方程去分母得：x+a﹣2＝﹣x+3，解得：x＝，由分式方程有整数解，3，﹣1，，1，﹣3这5个数中，得到a＝3，﹣1（舍去），1，﹣3，∵a≤1，∴a＝1、﹣3．则这5个数中所有满足条件的a的值之积为﹣3，故选：C．7．若关于x的一元一次不等式组的解集为x＜1；关于x的分式方程的解为非负整数．则满足条件的整数m的值之和是（）A．13B．12C．14D．15【解答】解：，由①得：2x+1＜x+2，∴x＜1．由②得：x≤m+2．∵不等式组的解集是x＜1，∴m+2≥1，∴m≥﹣1．∵﹣＝4，∴x+m﹣2m＝4x﹣8.6∴3x＝8﹣m，∴x＝，∵方程的解为非负整数，且x≠2，∴8﹣m≥0，8﹣m≠6．∴m≤8.8﹣m≠6．∴﹣1≤m≤8，m≠2．∵8﹣m是3的倍数，∴m＝﹣1，5，8．﹣1+5+8＝12．故选：B．8．若关于x的不等式组有且只有四个整数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值的和是（）A．2B．0C．1D．﹣1【解答】解：解不等式组得，∵不等式组有且四个整数解，∴0＜≤1，∴﹣2＜a≤4，解分式方程得y＝，又∵分式方程有非负整数解，∴y≥0，且y≠2，即≥0，且≠2，解得a≥﹣3且a≠1，∴﹣3≤a≤4且a≠0，∴满足条件的整数a的值为﹣1，﹣2，0，2，3，4，当a＝﹣2、0、2、4时，y的值不是整数，不符合题意，舍去，∴满足条件的整数a的值为﹣1，3，∴满足条件的整数a的值之和是2．故选：A．9．若实数a使关于x的分式方程有正整数解，且使关于y的一元一次不等式组至少有4个整数解，则符合条件的所有整数a之和为（）A．12B．15C．19D．22【解答】解：解不等式组，得，∵不等式组至少有4个整数解，∴0≤＜1，∴3≤a＜8，解分式方程，x+a﹣2x＝x﹣3，2x＝a+3，x＝，又∵分式方程有正整数解，∴a+3是2的倍数，∵x≠3，∴a≠3，∵3≤a＜8，∴3＜a＜8，∴满足条件的整数a的值为5，7，∴满足条件的整数a的值之和是12．故选：A．10．若关于x的方程+1＝的解为负数，且关于x的不等式组无解．则所有满足条件的整数a的值之积是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：将分式方程去分母得：a（x﹣1）+（x+1）（x﹣1）＝（x+a）（x+1）解得：x＝﹣2a﹣1∵解为负数∴﹣2a﹣1＜0∴a＞﹣∵当x＝1时，a＝﹣1；x＝﹣1时，a＝0，此时分式的分母为0，∴a＞﹣，且a≠0；将不等式组整理得：∵不等式组无解∴a≤2∴a的取值范围为：﹣＜a≤2，且a≠0∴满足条件的整数a的值为：1，2∴所有满足条件的整数a的值之积是2．故选：C．11．已知关于x的一元一次不等式组的解集为x＞5，且关于y的分式方程﹣1＝的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值有（）个．A．1B．2C．3D．4【解答】解：，解不等式①得，x＞5，解不等式②得，x≥2﹣a，由题意得，2﹣a≤5，解得a≥﹣3，解该分式方程得，y＝﹣，由题意得，﹣＞0，且﹣≠3，解得，a＜1，且a≠﹣3，∴﹣3＜a＜1，∴所有满足条件的整数a的值为﹣2，﹣1，0，故选：C．12．如果关于x的不等式组所有整数解中非负整数解有且仅有三个，且关于y的分式方程＝13有正整数解，则符合条件的整数m有（）个．A．1B．2C．3D．4【解答】解：解不等式m﹣4x＞5，得x＜，解不等式2x+5≥x+3，得x≥﹣2，∴不等式组的解集为﹣2≤x＜，∵不等式组有且仅有三个非负整数解，∴2＜≤3，解得13＜m≤17，解关于x的分式方程，得y＝，∵分式方程有正整数解，∴＞0且≠2，m﹣13＝1或2或6，解得m＝14或15，所以所有满足条件的整数m的值一共2个．故选：B．13．如果关于x的分式方程+＝2有正整数解，且关于y的不等式组至少有两个整数解，则满足条件的整数a的和为（）A．3B．7C．8D．12【解答】解：∵分式方程有正整数解，∴解分式方程得，∵x≠3，∴，即a≠3，又∵分式方程有正整数解，∴a＝0，1，2，5，11，又∵不等式组至少有2个整数解，∴解不等式组得，∴a﹣1＜4，解得，a＜5，∴a＝0，1，2，∴0+1+2＝3，故选：A．14．若数a使得关于x的分式方程﹣＝5有正数解，且使得关于y的不等式组有解，那么符合条件的所有整数a的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：解方程﹣＝5，得：x＝，∵分式方程的解为正数，∴a+2＞0，即a＞﹣2，又x≠1，∴≠1，即a≠2，则a＞﹣2且a≠2，∵关于y的不等式组有解，∴a﹣1≤y＜6﹣2a，即a﹣1＜6﹣2a，解得：a＜，综上，a的取值范围是﹣2＜a＜，且a≠2，则符合题意的整数a的值有﹣1、0、1，3个，故选：C．15．若数a使关于x的不等式组至少有五个整数解，关于y的分式方程﹣＝2有非负整数解，则满足条件的所有整数a之和是（）A．15B．14C．8D．7【解答】解：解不等式①，得：x≤11，解不等式②，得x＞a，∵不等式组至少有五个整数解，∴a＜7；，a﹣3+2＝2（y﹣1），a﹣1＝2y﹣2，2y＝a+1，y＝，∵y﹣1≠0，∴y≠1，∴≠1，∴a≠1，∵y≥0，∴≥0，∴a≥﹣1，∴﹣1≤a＜7，且a≠1，a为整数，又∵为整数，∴a可以取﹣1，3，5，∴所有整数a之和为：﹣1+3+5＝7．故选：D．16．若数a使关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程+＝1有整数解，则满足条件的所有a的值之和是（）A．﹣10B．﹣12C．﹣16D．﹣18【解答】解：，解①得x≥﹣3，解②得x≤，不等式组的解集是﹣3≤x≤．∵仅有三个整数解，∴﹣1≤＜0∴﹣8≤a＜﹣3，+＝13y﹣a﹣12＝y﹣2．∴y＝∵y≠2，∴a≠﹣6，又y＝有整数解，∴a＝﹣8或﹣4，所有满足条件的整数a的值之和是（﹣8）+（﹣4）＝﹣12，故选：B．17．若关于x的不等式组有解，关于y的分式方程+＝2有非负数解，则符合条件的所有整数a的个数为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：，解不等式①得x≤6，解不等式②得x＞2+a，∵不等式组有解，∴2+a＜6，∴a＜4．方程+＝2两边同时乘以y﹣2得：a+1﹣3＝2（y﹣2），解得y＝，∵方程有非负数解，∴≥0且≠2，解得a≥﹣2且a≠2，∴﹣2≤a＜4且a≠2，符合条件的所有整数a有﹣2，﹣1，0，1，3，故选：C．18．若实数a既使得关于x的不等式组有解，又使得关于y的分式方程﹣1＝有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（）A．4B．2C．0D．﹣2【解答】解：，解不等式①得：x≤2，解不等式②得：x＞a﹣2，∵不等式组有解，∴a﹣2＜2，∴a＜4，﹣1＝，3﹣ay﹣（3﹣y）＝﹣3，解得：y＝，∵分式方程有整数解，∴a﹣1＝±3或±1，且≠3，∴a＝4，﹣2，2或0且a≠2，综上所述：满足条件的所有整数a的值为：﹣2，0，∴满足条件的所有整数a的和为：﹣2，故选：D．19．已知关于x的分式方程无解，且关于y的不等式组有且只有三个偶数解，则符合条件的整数m有（）个．A．0B．1C．2D．3【解答】解：分式方程去分母得：mx+2x﹣12＝3x﹣6，移项合并得：（m﹣1）x＝6，当m﹣1＝0，即m＝1时，方程无解；当m﹣1≠0，即m≠1时，解得：x＝，由分式方程无解，得到＝2或＝6，解得：m＝4或m＝2，不等式组整理得：，即﹣8≤y＜m﹣4，由不等式组有且只有三个偶数解，得到整数解为﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，可得﹣4＜m﹣4≤﹣2，即0＜m≤2，则符合题意m的值为2．故选：B．20．如果关于x的分式方程的解为整数，且关于y的不等式组有解，则符合条件的所有整数a的和为（）A．﹣1B．0C．1D．4【解答】解：分式方程去分母得：ax＝x﹣1+3，解得：x＝（a≠1），∵x≠1，∴a≠3，∵关于x的分式方程的解为整数，∴a＝﹣1，0，2，解不等式组得：，∵关于y的不等式组有解，∴4﹣2a＞2，解得：a＜1，∴a＝﹣1，0，∴﹣1+0＝﹣1，故符合条件的所有整数a的和为﹣1．故选：A．21．若关于x的一元一次不等式组的解集恰好有3个负整数解，且关于y的分式方程＝1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（）A．6B．9C．﹣1D．2【解答】解：，解不等式①得：x≥，解不等式②得：x＜﹣1，∴原不等式组的解集为：≤x＜﹣1，∵不等式组的解集恰好有3个负整数解，∴﹣5＜≤﹣4，∴﹣5＜a≤7，＝1，2y﹣a+3y﹣2＝y﹣1，解得：y＝，∵分式方程有非负整数解，∴y≥0，y为整数且≠1，∴符合条件的所有整数a的值为：﹣1，7，∴符合条件的所有整数a的和为：6，故选：A．22．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有正整数解，则所有符合条件的整数a之和为（）A．﹣5B．﹣8C．﹣6D．﹣4【解答】解：解不等式组得∵不等式组无解，∴a≤﹣1，解分式方程得y＝（a≠1），∵y﹣2≠0，∴，解得a≠﹣2，∵分式方程有正整数解，a是整数，∴a＝﹣1，﹣5，∴所有符合条件的整数a的值之和是﹣5+（﹣1）＝﹣6．故选：C．。

专题03分式(讲练)(学生版)-2023年中考一轮复习讲练测(浙江专用)

2023年中考数学总复习一轮讲练测（浙江专用）第一单元数与式专题03分式（讲练）1.了解分式和最简分式的概念，掌握分式有意义的条件及分式的值为零的条件.2.利用分式的基本性质进行通分和约分.3.会进行分式的加减乘除运算并解决分式的化简求值问题1．（2022•衢州）计算结果等于2的是（）A．|﹣2|B．﹣|2|C．2﹣1D．（﹣2）02．（2021•宁波）要使分式1x+2有意义，x的取值应满足（）A．x≠0B．x≠﹣2C．x≥﹣2D．x＞﹣23．（2021•金华）1a +2a=（）A．3B．32a C．2a2D．3a4．（2022•杭州）照相机成像应用了一个重要原理，用公式1f =1u+1v（v≠f）表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（）A．fvf−v B．f−vfvC．fvv−fD．v−ffv5．（2022•湖州）当a ＝1时，分式a+1a的值是． 6．（2022•温州）计算：x 2+xy xy +xy−x 2xy= ．7．（2020•湖州）化简：x+1x 2+2x+1= ．8．（2021•湖州）计算：2×2﹣1＝．9．（2021•丽水）数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：已知实数a ，b 同时满足a 2+2a ＝b +2，b 2+2b ＝a +2，求代数式ba+ab 的值．结合他们的对话，请解答下列问题：（1）当a ＝b 时，a 的值是．（2）当a ≠b 时，代数式ba+ab 的值是．10．（2021•衢州）先化简，再求值：x 2x−3+93−x，其中x ＝1．11．（2022•衢州）（1）因式分解：a 2﹣1．（2）化简：a−1a 2−1+1a+1．12．（2022•舟山）观察下面的等式：12=13+16，13=14+112，14=15+120，……（1）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n 的等式表示，n 为正整数）．（2）请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的． 13．（2022秋•拱墅区校级期中）（1）已知a+b a−b=7，求2(a+b)a−b−a−b 3(a+b)的值．（2）求当a =√3，b ＝﹣1时代数式﹣2a 2b ﹣a +3ba +a 2的值．1．分式的基本概念：(1)形如 (A ，B 是整式，且中含有字母， ≠0)的式子叫做分式．(2)当时，分式A B 有意义；当时，分式A B 无意义；当时，分式AB 的值为零．(3)最简分式需满足的条件：分子、分母．2．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘(或除以) ，分式的值不变，用式子可表示为AB ＝，A B ＝A ÷M B ÷M(其中M 是不等于零的整式)． 3．分式的约分、通分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做．把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式，叫做．4．分式的运算法则：(1)符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何个，分式的值不变．用式子表示为：a b ＝－a －b ＝－a －b ＝－－a b ，－a b ＝a －b ＝－ab ．(2)分式的加减法：同分母相加减：a c ±bc ＝；异分母相加减：b a ±dc ＝．(3)分式的乘除法：a b ·c d ＝；a b ÷cd＝． (4)分式的乘方： ⎝⎛⎭⎫a b n＝ (n 为正整数)． 5．分式的混合运算：在分式的混合运算中，应先算，再将除法化为，进行约分化简，最后进行加减运算．若有括号，先算．灵活运用运算律，运算结果必须是或．考点一分式的有关概念例1．（2021春•奉化区校级期末）当m 为何值时，分式m 2−4m 2−m−6的值为0？【变式训练】1．（2022春•嘉兴期末）要使分式x−2(x−2)(x−3)有意义，x 的取值应满足（） A ．x ≠2B ．x ≠3C ．x ≠2或x ≠3D ．x ≠2且x ≠32．（2022春•温州期末）若分式x−12x+1的值为0，则x 的值是（）A ．−12B ．0C ．12D ．13．（2022春•拱墅区期末）若分式1x−2值为正数，则x 的值可能为（）A ．0B ．1C ．2D ．34．（2022春•乐清市期末）当x ＝3时，分式x−b x+2b没有意义，则b 的值为（）A ．﹣3B ．−32C ．32D ．35．（2022春•西湖区校级期末）某人从A 地到B 地的速度为v 1，从B 地返回A 地的速度为v 2，若v 1≠v 2，则此人从A 地到B 地往返一次的平均速度是（） A ．v 1+v 22v 1v 2B ．v 1+v 22C ．以上都不对考点二分式的基本性质及应用例2．不改变分式的值，把下列分式的分子与分母的最高次项的系数都化为正数．（1）−2x−1x−1（2）3−x−x 2+2．【变式训练】1．（2022春•海曙区校级期中）若把x ，y 的值同时扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（） A ．x+2y+2B ．x−2y−2C ．x+y x−yD ．xyx+y2．（2022春•普陀区期末）如果把分式xy 3x−y中的x ，y 都扩大3倍，那么分式的值（）A ．缩小3倍B ．不变C ．扩大3倍D ．扩大9倍3．（2022春•上虞区期末）不改变分式0.5x−10.3x+2的值，把它的分子和分母中各项的系数都化为整数，结果为（） A ．0.5x−13x+2B ．5x−100.3x+2C ．5x−13x+2D ．5x−103x+204．（2022春•滨湖区校级期中）已知x2=y 3=z4，则2x+y−z3x−2y+z= ．考点三零指数幂和负整数指数幂例3．（2020春•安吉县期末）计算：（﹣2）3+（π﹣3）0．【变式训练】1．（2021•下城区一模）下列计算结果是负数的是（）A ．2﹣3B ．3﹣2C ．（﹣2）3D ．（﹣3）22．（2021•温州模拟）计算|﹣2|+2﹣1的结果是（）A ．﹣112B ．0C ．112D ．2123．（2022春•东阳市期末）计算：20220﹣（12）﹣1＝． 4．（2022•丽水）计算：√9−（﹣2022）0+2﹣1．5．（2021春•惠来县期末）计算：(−3)2+(12)−1+(π−3)0．考点四分式的四则运算例4．（2022•临安区一模）以下是方方化简(a −1+1a+1)÷a 2+2aa+1的解答过程．解：原式=(a 2−1+1)⋅a+1a 2+2a=a 2×a+1a(a+2)=a 2+a a+2方方的解答过程是否有错误？如果有，请写出正确的解答过程．【变式训练】1．（2022春•钱塘区期末）下列分式中，最简分式是（） A ．a+1a 2−1B ．4a6bc2C ．2a2−aD ．a+ba 2+ab2．（2020春•江北区期末）计算2+m 2−m•（m 2﹣4）的结果是（） A ．m 2﹣4B ．4﹣m 2C ．m 2﹣4m ﹣4D ．﹣m 2﹣4m ﹣43．（2022春•嵊州市期末）下列运算正确的是（） A ．12a+1a=23a B ．1a−1−1a+1=2a 2−1C ．3b 4a ⋅2a9b 2=b 6D ．13ab+2b 23a=b 324．（2022春•嵊州市期末）如图，若x 为正整数，则表示(x−3)2x 2−6x+9−1x+1的值的点落在（）A ．①B ．②C ．③D ．④5．（2020•乐清市一模）（1）计算：π0−√9+（13）﹣2；（2）化简：x 2−16x+4÷2x−84x．6．（2022春•定海区期末）化简：4x x 2−4−2x−2．言言同学的解答如下：4x x 2−4−2x−2=4x −2(x +2)=2x +4．言言同学的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解答过程．考点五分式的化简求值例5．（2021•永嘉县校级开学）计算：先化简，再求值：(1−x +2x−1x+1)÷x−2x 2+2x+1，其中x 的值是一元二次方程x 2+x ﹣6＝0的解．【变式训练】1．（2022秋•西湖区校级期中）先化简再求值：x 2−2x+1x+2÷（2﹣x −3x+2），其中x ＝（2﹣2√3）0+（12）﹣1． 2．（2022•定海区校级开学）先化简，再求值：（3x 2−9−1x−3）⋅x+3x ，其中x ＝2．3．（2022春•余姚市校级期末）先化简代数式a 2−2a+1a 2−4÷(1−3a+2)+1a−2，再选择一个你喜欢的数代入求值．4．（2022春•南浔区期末）先化简，再求值：(1+2x+1)÷x 2+6x+9x 2−1，并从﹣1，0，1，2中选取一个合适的数作为x 的值代入求值．5．（2022春•江干区校级期中）（1）已知x ﹣3y ＝0（y ≠0），求分式x 2−3xy+y 2x 2+y 2的值．（2）已知x −1x =3，求x 2+1x 2和x 4+1x 4的值．。

分式方程及应用压轴(解析版)

分式方程及应用压轴考点一：解分式方程考点二：已知分式方程的解，求字母参数的值考点三：分式方程的特殊解问题考点四：分式方程的无解（增根）问题考点五：分式方程的应用问题【考点一：解分式方程】【典例1】（2023春•万源市校级期末）解方程：（1）1﹣＝（2）﹣＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）去分母得：x2﹣25﹣x﹣5＝x2﹣5x，解得：x＝，经检验x＝是分式方程的解；（2）去分母得：3x+3﹣2x+2＝1，解得：x＝﹣4，经检验x＝﹣4是分式方程的解．【变式1-1】（2023•青秀区校级模拟）解方程：+＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：去分母得：2（x+1）+2x＝5x，去括号得：2x+2+2x＝5x，解得：x＝2，经检验x＝2是分式方程的解．【变式1-2】（2023秋•高邮市期末）解方程：（1）（2）﹣＝1．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）去分母得：x﹣5＝2x﹣5，移项合并得：x＝0，经检验x＝0是分式方程的解；（2）去分母得：（x+1）2﹣4＝x2﹣1，去括号得：x2+2x+1﹣4＝x2﹣1，解得：x＝1，经检验x＝1是增根，分式方程无解．【变式1-3】（2023秋•石河子校级期末）解方程：（1）；（2）．【答案】（1）x＝2；（2）无解．【解答】解：（1）去分母得：2＝5x﹣5，解得：x＝2，经检验x＝2是分式方程的解；（2）去分母得：16+x2﹣4＝x2+4x+4，解得：x＝2，经检验x＝2是增根，分式方程无解．【变式1-4】（2023秋•铁岭县期末）解方程：（1）（2）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）去分母得：15x﹣12+x﹣3＝6x+5，移项合并得：10x＝20，解得：x＝2，经检验x＝2是分式方程的解；（2）去分母得：（x+1）2﹣4＝x2﹣1，去括号得：x2+2x+1﹣4＝x2﹣1，移项合并得：2x＝2，解得：x＝1，经检验x＝1是增根，分式方程无解．【考点二：已知分式方程的解，求字母参数的值】（2023秋•绥中县期末）已知关于x的方程的解是x＝1，则a的值为（）【典例2】A．2B．1C．﹣1D．﹣2【答案】C【解答】解：∵关于x的方程的解是x＝1，∴＝，解得a＝﹣1，经检验a＝﹣1是方程的解．故选：C．【变式2-1】（2023秋•常德期末）已知关于x的分式方程的解为x＝4，则a的值为（）A．4B．3C．0D．﹣6【答案】D【解答】解：将x＝4代入方程，得：，解得a＝﹣6，故选：D．（2023•武侯区校级模拟）已知x＝1是分式方程的解，则a的值为（）【变式2-2】A．﹣1B．1C．3D．﹣3【答案】D【解答】解：把x＝1代入分式方程得：＝，去分母得：8a+12＝3a﹣3，解得：a＝﹣3，∵a﹣1＝﹣4≠0，∴a的值为﹣3．故选：D．【变式2-3】（2023秋•平舆县期末）若分式方程的解为x＝2，则a的值是（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【答案】C【解答】解：∵分式方程的解为x＝2，∴＝，即＝1，解得a＝﹣1，经检验a＝﹣1是方程的解，所以原方程的解为a＝﹣1，故选：C．【变式2-4】（2023秋•绵阳期末）已知x＝2是关于x的分式方程的解，则a ＝．【答案】．【解答】解：把x＝2代入关于x的分式方程得：，，4a＝1，，检验：当时，2a≠0，∴是分式方程的解，故答案为：【考点三：分式方程的特殊解问题】【典例3】（2023秋•南陵县期末）若关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（）A．m＜4且m≠3B．m＜4C．m≠3D．m＞4且m≠3【答案】A【解答】解：方程两边同时乘以x﹣1得，1﹣m﹣（x﹣1）+2＝0，解得x＝4﹣m．∵x为正数，∴4﹣m＞0，解得m＜4．∵x≠1，∴4﹣m≠1，即m≠3．∴m的取值范围是m＜4且m≠3．故选：A．【变式3-1】（2023秋•陵城区期末）若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是（）A．a＞1且a≠2B．a＜1C．a≥1且a≠2D．a≤1且a≠﹣2【答案】C【解答】解：，方程两边同时乘2（x﹣2）得：2（x﹣a）＝x﹣2，2x﹣2a＝x﹣2，2x﹣x＝2a﹣2，x＝2a﹣2，∵关于x的分式方程的解为非负数，∴2a﹣2≥0，2a≥2，a≥1，∵分式的分母x﹣2≠0，∴x≠2，即2a﹣2≠2，解得：a≠2，∴a≥1且a≠2，故选：C．【变式3-2】（2023秋•重庆期末）若关于x的不等式组的解集为x≥3，且关于y的分式方程有非负数解，则满足条件的所有整数a的和为．【答案】5．【解答】解：，解不等式①，得x≥3，解不等式②，得x＞a﹣2，∵原不等式组的解集为x≥3，∴a﹣2＜3，∴a＜5；解分式方程，得y＝，∵y＝1是原分式方程的增根，∴a≠4，∵≥0，∴a≥2；综上，2≤a＜5，且a≠4，∴满足条件的整数a为2或3，2+3＝5，故答案为：5．【考点四：分式方程的无解（增根）问题】（2023秋•滨州期末）若关于x的分式方程＝1无解，则a的值为（）【典例4】A．0B．1C．1或5D．5【答案】B【解答】解：+＝1，方程两边同时乘以x﹣5得：2﹣（a+1）＝x﹣5，去括号得，2﹣a﹣1＝x﹣5，解得x＝6﹣a，∵原分式方程无解，∴x＝5，∴m＝1，故选：B．【变式4-1】（2023秋•安顺期末）若关于x的分式方程无解，则k的取值是（）A．﹣3B．﹣3或﹣5C．1D．1或﹣5【答案】B【解答】解：，去分母，得6x＝x+3﹣k（x﹣1），∴（5+k）x＝3+k，∵关于x的分式方程无解，∴分两种情况：当5+k＝0时，k＝﹣5，当x（x﹣1）＝0时，x＝0或1，当x＝0时，0＝3+k，∴k＝﹣3，当x＝1时，5+k＝3+k，∴k不存在，故不符合题意，综上所述：k的值为：﹣3或﹣5．故选：B．【变式4-2】（2023秋•凉州区期末）若分式方程无解，则k的值为（）A．±1B．2C．1或2D．﹣1或2【答案】C【解答】解：，去分母得：2（x﹣2）+1﹣kx＝﹣1，2x﹣4+1﹣kx＝﹣1，2x﹣kx＝2，（2﹣k）x＝2，∵分式方程无解，∴x﹣2＝0，x＝2，2﹣k＝0，k＝2，当k＝1时，原方程为：，2（x﹣2）+1﹣x＝﹣1，2x﹣4+1﹣x+1＝0，x＝2，检验：当x＝2时，x﹣2＝0，∴k＝1时，原方程无解；综上可知：分式方程无解时，k的值为1或2，故选：C．【变式4-3】（2023秋•江汉区期末）若关于x的分式方程﹣＝1无解，则m的值为．【答案】见试题解答内容【解答】解：去分母得：x2﹣mx﹣3x+3＝x2﹣x，解得：（2+m）x＝3，由分式方程无解，得到2+m＝0，即m＝﹣2或x＝＝1，即m＝1，综上，m的值为﹣2或1．故答案为：﹣2或1【考点五：分式方程的应用问题】【典例5】（2023秋•信州区期末）某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天．（1）这项工程的规定时间是多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设这项工程的规定时间是x天，根据题意得：（+）×15+＝1．解得：x＝30．经检验x＝30是原分式方程的解．答：这项工程的规定时间是30天．（2）该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：1÷（+）＝22.5（天），则该工程施工费用是：22.5×（6500+3500）＝225000（元）．答：该工程的费用为225000元．【变式5-1】（2023秋•藁城区期末）甲、乙两同学的家与学校的距离均为3000米．甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车去学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍．甲、乙两同学同时从家里出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟．（1）求乙骑自行车的速度；（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？【答案】（1）300米/分钟；（2）600米．【解答】解：（1）设乙骑自行车的速度为x米/分钟，则甲步行速度是x米/分钟，公交车的速度是2x米/分钟，根据题意得+＝﹣2，解得：x＝300米/分钟，经检验x＝300是方程的根，答：乙骑自行车的速度为300米/分钟；（2）∵300×2＝600米，答：当甲到达学校时，乙同学离学校还有600米．【变式5-2】（2023秋•商丘期末）某文具店老板第一次用1000元购进一批文具，很快销售完毕；第二次购进时发现每件文具进价比第一次上涨了2.5元．老板用2500元购进了第二批文具，所购进文具的数量是第一次购进数量的2倍，同样很快销售完毕，两批文具的售价为每件15元．（1）问第二次购进了多少件文具？（2）文具店老板第一次购进的文具有30元的损耗，第二次购进的文具有125元的损耗，问文具店老板在这两笔生意中是盈利还是亏本？请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设第一次购进x件文具，第二次就购进2x件文具，由题意得＝﹣2.5，解得：x＝100，经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意，则2x＝2×100＝200．答：第二次购进200件文具；（2）第一次购进100件文具，利润为：（15﹣10）×100﹣30＝470（元）；第二次购进200件文具，利润为：（15﹣12.5）×200﹣125＝375（元），两笔生意是盈利：利润为470+375＝845元．【变式5-3】（2023秋•恩施市期末）某单位为美化环境，计划对面积为1200平方米的区域进行绿化，现安排甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的1.5倍，并且在独立完成面积为360平方米区域的绿化时，甲队比乙队少用3天．（1）甲、乙两工程队每天能绿化的面积分别是多少平方米？（2）若该单位每天需付给甲队的绿化费用为700元，付给乙队的费用为500元，要使这次的绿化总费用不超过14500元，至少安排甲队工作多少天？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x平方米，则甲工程队每天能完成绿化的面积是1.5x平方米，依题意，得：﹣＝3，解得：x＝40，经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，∴1.5x＝60．答：甲工程队每天能完成绿化的面积是60平方米，乙工程队每天能完成绿化的面积是40平方米．（2）设安排甲队工作m天，则需安排乙队工作天，依题意，得：700m+500×≤14500，解得：m≥10．所以m最小值是10．答：至少应安排甲队工作10天．1．（2023秋•交口县期末）解方程，去分母后正确的是（）A．3（x+1）＝1﹣x（x﹣1）B．3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x﹣1）C．3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x+1）D．3（x﹣1）＝1﹣x（x+1）【答案】B【解答】解：去分母得：3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x﹣1）．故选：B．2．（2023秋•阳新县期末）已知一艘轮船顺水航行46千米和逆水航行34千米共用的时间，正好等于船在静水中航行80千米所用的时间，并且水流的速度是2千米/小时，求设轮船在静水中的速度为x千米/小时，是下列方程正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：设船在静水中航行的速度为x千米/时（1分）则+＝故选：B．3．（2023秋•广平县期末）甲、乙两人分别从相距目的地6km和10km的两地同时出发，甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20min到达目的地，设甲的速度为3x km/h．依题意，下面所列方程正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：设甲的速度为3x/时，则乙的速度为4x千米/时．根据题意，得﹣＝．故选：D．4．（2023秋•秦皇岛期末）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（）A．m＞2B．m≥2C．m≥2且m≠3D．m＞2且m≠3【答案】C【解答】解：分式方程去分母得：m﹣3＝x﹣1，解得：x＝m﹣2，由分式方程的解是非负数，得到m﹣2≥0，且m﹣2≠1，解得：m≥2且m≠3，故选：C．5．（2023秋•冠县期末）若解分式方程＝﹣3产生增根，则k的值为（）A．2B．1C．0D．任何数【答案】B【解答】解：＝﹣3，去分母，得k＝x﹣k﹣3（x﹣2）．去括号，得k＝x﹣k﹣3x+6．移项，得﹣x+3x＝﹣k+6﹣k．合并同类项，得2x＝6﹣2k．x的系数化为1，得x＝3﹣k．∵分式方程＝﹣3产生增根，∴3﹣k＝2．∴k＝1．故选：B．6．（2023秋•宜春期末）现定义一种新的运算：，例如：，若关于x的方程x⊕（2x﹣m）＝3的解为非负数，则m的取值范围为（）A．m≤8B．m≤8且m≠7C．m≥﹣2且m≠7D．m≥﹣2【答案】B【解答】解：∵x⊕（2x﹣m）＝3，∴，解方程得：x＝8﹣m；由于方程有解，则8﹣m≠1，即m≠7；由题意得：8﹣m≥0，解得：m≤8；综合起来，m的取值范围为m≤8且m≠7；故选：B．7．（2023秋•兰陵县期末）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号min{a，b}表示a，b 中较小的值，如min{2，4}＝2，按照这个规定，方程min{，﹣}＝的解为（）A．﹣1或2B．2C．﹣1D．无解【答案】D【解答】解：①当x＞0时，有＞﹣，∴min{，﹣}＝﹣，即﹣＝，解得x＝﹣1（不合题意舍去）；②当x＜0时，有＜﹣，∴min{，﹣}＝，即＝，解得x＝2（不合题意舍去）；综上所述，方程min{，﹣}＝无解，故选：D．8．（2023秋•崆峒区期末）分式与互为相反数，则x的值为（）A．1B．﹣1C．﹣2D．﹣3【答案】C【解答】解：由题意得，去分母3x+2（1﹣x）＝0，解得x＝﹣2．经检验得x＝﹣2是原方程的解．故选：C．9．（2023秋•罗山县期末）定义运算“※”：a※b＝，若5※x＝2，则x的值为（）A．B．C．10D．或10【答案】D【解答】解：当5＞x时，∵5※x＝2，∴＝2，解得x＝．经检验，x＝符合题意，是分式方程的解．当5＜x时，∵5※x＝2，∴＝2．解得x＝10．经检验，x＝10符合题意，是分式方程的解．故选：D．10．（2023秋•开州区期末）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程3﹣的解为正数，则所有满足条件的整数a的值的和为．【答案】13．【解答】解：，由①得，x≥﹣1，由②得，x＜﹣a，∵不等式组无解，∴﹣a≤﹣1，即a≥1，3﹣，3（y﹣2）+a＝y，3y﹣6+a＝y，解得y＝3﹣a，∵分式方程的解为正数，∴3﹣a＞0且3﹣a≠2，解得a＜6且a≠2，∴a的取值为1≤a＜6且a≠2，∴所有满足条件的整数a的值的和为1+3+4+5＝13，故答案为：13．11．（2023秋•虹口区校级期末）若关于x的方程的解为负数，则a 的取值范围是．【答案】a＜﹣13或﹣13＜a＜﹣10．【解答】解：+＝，去分母，得（x﹣1）（x+1）+（3﹣x）（x﹣3）＝3x+a，去括号、合并同类项，得3x＝a+10，等号两边同除以3，得x＝（x≠3，且x≠﹣1），∵x＝3或x＝﹣1是原分式方程的增根，∴a≠﹣1，且a≠﹣13，∵＜0，∴a＜﹣10，∴a＜﹣13或﹣13＜a＜﹣10，故答案为：a＜﹣13或﹣13＜a＜﹣10．12．（2022秋•宁远县期末）若关于x的方程＝+1无解，则a的值是3或1．【答案】见试题解答内容【解答】解：去分母，得：ax＝3+x﹣1，整理，得：（a﹣1）x＝2，当x＝1时，分式方程无解，则a﹣1＝2，解得：a＝3；当整式方程无解时，a＝1，故答案为：3或1．13.（2023秋•应城市期末）解下列分式方程．（1）；（2）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）原方程变形得：，方程两边同乘以最简公分母（x﹣3）得：1＝2（x﹣3）﹣x，整理的：1＝2x﹣6﹣x，移项得：x＝7，检验：当x＝7时，x﹣3＝7﹣3＝4≠0，所以，x＝7，是原方程的根，（2）方程两边同乘以最简公分母（x﹣1）（x+2）得：x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）＝3，整理得：x2+2x﹣x2﹣x+2＝3，合并同类项得：x＝1，检验：当x＝1时，（x﹣1）（x+2）＝（1﹣1）（1+2）＝0，所以，x＝1是原方程的增根，所以，原分式方程无解．14．（2023秋•南宁期末）为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．一条某型号的自动分拣流水线的工作效率是一名工人工作效率的4倍，用这条自动分拣流水线分拣3000件包裹比一名工人分拣这些包裹要少用3小时．（1）这条自动分拣流水线每小时能分拣多少件包裹？（215000件，则至少应购买多少条该型号的自动分拣流水线，才能完成分拣任务？【答案】（1）条自动分拣流水线每小时能分拣3000件包裹；（2）至少应购买5条该型号的自动分拣流水线，才能完成分拣任务．【解答】解：（1）设一名工人每小时能分拣x件包裹，则这条自动分拣流水线每小时能分拣4x件包裹，由题意得：﹣＝3，解得：x＝750，经检验，x＝750是原方程的解，且符合题意，∴4x＝4×750＝3000，答：这条自动分拣流水线每小时能分拣3000件包裹；（2）应购买m条该型号的自动分拣流水线，才能完成分拣任务，由题意得：3000m≥15000，解得：m≥5，答：至少应购买5条该型号的自动分拣流水线，才能完成分拣任务．15．（2022秋•洪山区校级期末）春节前夕，某超市用6000元购进了一批箱装饮料，上市后很快售完，接着又用8800元购进第二批这种箱装饮料．已知第二批所购箱装饮料的进价比第一批每箱多20元，且数量是第一批箱数的倍．（1）求第一批箱装饮料每箱的进价是多少元；（2）若两批箱装饮料按相同的标价出售，为加快销售，商家决定最后的10箱饮料按八折出售，如果两批箱装饮料全部售完利润率不低于36%（不考虑其他因素），那么每箱饮料的标价至少多少元？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）该第一批箱装饮料每箱的进价是x元，则第二批购进（x+20）元，根据题意，得解得：x＝200经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，∴第一批箱装饮料每箱的进价是200元．（2）设每箱饮料的标价为y元，根据题意，得（30+40﹣10）y×10y≥（1+36%）（6000+8800）解得：y≥296答：至少标价296元．。

2024年上海市初三中考数学冲刺复习专题3 分式与二次根式核心知识点精讲含答案

专题03分式与二次根式核心知识点精讲1.了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程；2.利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算．考点1：分式的有关概念及性质1．分式设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.2.分式的基本性质（M为不等于零的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简.要点诠释：分式的概念需注意的问题：(1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；（2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0；（3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断．（4）分式有无意义的条件：在分式中，①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B≠0．②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0．③当B≠0且A=0时，分式的值为零．考点2：分式的运算1．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算±=同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.（2）乘法运算两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.（4）乘方运算（分式乘方）分式的乘方，把分子分母分别乘方．2．零指数.3．负整数指数4．分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．5．约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．6．通分根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．考点3：分式方程及其应用1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．4．分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．考点4：二次根式的主要性质0(0)a≥≥；2.2(0)a a=≥；(0)||(0)a aaa a≥⎧==⎨-<⎩；4.00)a b=≥≥，；5.00)a b=≥>，.>.1．二次根式的乘除运算(1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.(2)注意知道每一步运算的算理；2．二次根式的加减运算先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质；3．二次根式的混合运算(1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；(2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.【题型1：分式的有关概念及性质】【题型2：分式的运算】【题型3：分式方程及其应用】【题型4：二次根式的主要性质】因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式．【题型5：二次根式的运算】1．下列各式：3a ，7a b +，2212x y +，5，11x -，8x m 中，分式有（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据分式的定义，逐一判断即可解答.本题主要考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．【详解】解：下列各式：3a ，7a b +，2212x y +，5，11x -，8x m 中，分式有：3a，11x -，8x m 故选：C ．2．若分式2321x x x --+的值为正数，则x 的取值范围是（）A ．3x >B ．3x <且1x ≠C ．3x <D ．13x <<【答案】B【分析】根据题意可得3010x x ->⎧⎨-≠⎩，然后解这两个不等式组即可求出结论．【详解】解∶()2233211x x x x x --=-+-，∵分式2321x x x --+的值为正数，∴3010x x ->⎧⎨-≠⎩，解得3x <且1x ≠．故选∶B ．【点睛】此题考查的是根据分式的值的取值范围，求字母的取值范围，掌握两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除是解题的关键．3．若把分式3x y xy+中的x 与y 都扩大3倍，则所得分式的值（）A ．缩小为原来的13B ．缩小为原来的19C ．扩大为原来的3倍D ．不变【答案】A 【分析】本题考查分式的基本性质．根据分式的基本性质即可求出答案．【详解】解：33333133333x y x y xy xyx y x y x y xy ++=⋅⨯⨯+⋅+==，故选：A ．则()2820401000x x +-≤，解得25x ≤，故答案为围棋最多可买25副．。

上海六年级数学下册同步精练专题03 方程的解与一元一次方程(考点串讲)(教师版)

专题03方程的解与一元一次方程【考点剖析】1.方程的解和解方程⎧⎨⎩方程的解：使方程的左右两边的叫方程的解；解方程：求方程的解的过程知数的值；相等未2.一元一次方程(0)0(0)(0).ax b a ax b a b ax b a x a ⎧⎪=≠⎧⎪⎨⎪⎪+=≠⎩⎨⎪⎪⎪=≠=⎪⎩定义：只含有，并且未知数的次数是的；最简形式：表示形式标准形式：解一元一次方程步骤：去分母；去括号；移项；化成一个未知数一次方程；① ②③④⑤3.等式的性质⎧⎨⎩等式两边同时加上（减去）或，所得结果仍是等式；等式两同一个数同一个代数式同一个不等于零边同时乘以同一个数（或除以的数），所得结果仍是等式；①②4.一元一次方程的应用:==+=1+=+====.=1a b ⎧⎪⎪⎪⨯⨯⨯⨯⎪⎨⨯⎪⎪⨯⨯⨯⎪⨯⎪⎩步骤分配ax bx 利率本金利率期数折扣:审题；设元；列方程；解方程；检验；作答.问题：两个量之比为，则设这两个量为和;问题：利息；本利和本金利息本金（利率期数）问题：售价成本价；新售价原售价折扣.问题：路程速度时间；相遇路程时间；追及路程追及时间问题：工作时间（工作总量）利润行程速度和速度差工程工作效率①②③④⑤⑥【典例分析】例题1（奉贤2018期末4）把方程1123x x --=去分母后，正确的是（）A ．32(1)1x x --=；B ．6223=--x x ；C ．6223=+-x x ；D ．6223=-+x x .【答案】C；【解析】方程1123x x --=去分母后，得32(1)6x x --=，故答案选C.例题2（崇明2018期中12）方程532+=-x x 的解是．【答案】x=8；【解析】解：移项，得253x x -=+，所以8x =.例题3（宝山2018期末5）“x 的一半与2的差等于0”可用方程表示为.【答案】1202x -=；【解析】“x 的一半与2的差等于0”可用方程表示为1202x -=.例题4（杨浦2019期中14）有一所寄宿学校，开学安排宿舍时，如果每间宿舍安排住4人，将会空出5间宿舍；如果每间宿舍安排住3人，就有100人没床位.如果设学校宿舍有x 间，则根据题意，可列出的方程为：.【答案】4(5)3100x x -=+；【解析】如果每间宿舍住4人，则一共有住宿学生：4(5)x -人；如果每间宿舍住3人，则一共有住宿学生：3100x +人，因此列出方程为：4(5)3100x x -=+.例题5（崇明2018期中22）解方程：12()2203(1)2x x ++=--，并检验所求的解．【答案】【解析】解：去括号得：2122033x x ++=-+，移项得2320x x +=即4x =.检验：当4x =时，方程左边=12(4)2812112⨯++=++=，右边=203(41)-⨯-20911=-=，因此左边=右边，所以4x =是原方程的解.例题6（金山2018期中25）解方程：11%26%18%1x x +=-.【答案】18x =；【解析】解：去分母，得112618100x x +=-，移项得111810026x x -=--，合并，得7126x -=-，所以18x =.所以原方程的解为18x =.例题7（普陀2018期末20）解方程：534324y y +--=.【答案】2y =；【解析】解：去分母，得()()534342y y +--=⨯，去括号，得2103412y y +-+=，移项化简，得2y =．所以，原方程的解是2y =．例题8（松江2019期中8）如果方程10x +=与52m x +=的解相同，那么m =.【答案】-7；【解析】将1x =-代入52m x +=得7m =-.例题9（崇明2018期中26）已知今年小红的岁数与爸爸的岁数之比是4:15，三年后爸爸的岁数正好是小红岁数的3倍，求今年小红和爸爸分别是几岁？【答案】8，30；【解析】解：设今年小红与爸爸的岁数分别是4x 和15x 岁.1533(43)x x +=+，2x =，则48,1530x x ==.答：今年小红与爸爸的岁数分别是8岁和30岁.例题10（崇明2018期中29）在有理数范围内规定一个运算“*”，其规则为2ba b a +=*（1）写出2*x；（2）试求方程3*(2*)1x =的解．【答案与解析】解：（1）22*2x x +=；（2）23223*(2*)3*122xxx +++===，解得，4x =-.所以原方程的解为4x =-.【真题训练】一、选择题1.（金山2018期中1）下列等式是一元一次方程的是（）（A ）18711=+（B ）010=-x （C ）042=-x （D ）355=-y x 【答案】B ；【解析】根据一元一次方程的定义，只有B 选项符合；而A 中无未知数，是一个等式，故A 错误；C 是一元二次方程；D 是二元一次方程；故选B.2.（杨浦2019期中16）下列各式中，是一元一次方程的是（）A.0x =； B.21x x +=；C.2(3)13y x -+=；D.11x x+=.【答案】A ；【解析】A 是一元一次方程；B 是一元二次方程；C 是两元一次方程，D 是分式方程，故选A.3.（杨浦2019期中18）由531x x -=+，得315x x -=+，是等式两边同时加上了（）A.35x +；B.35x -；C.35x -+；D.35x --.【答案】C ；【解析】由531x x -=+，得315x x -=+，是等式两边同时加上了35x -+.4.（松江2018期中19）A 种饮料比B 种饮料单价少1元，小峰买了2瓶A 种饮料和3瓶B 种饮料，一共花了13元，如果设B 种饮料单价为x 元/瓶，那么下面所列方程正确的是…（）(A )2(1)313x x -+=；(B )2(1)313x x ++=(C )23(1)13x x ++=；(D )23(1)13x x +-=.【答案】A.【解析】根据题意，A 种饮料花2(1)x -；B 种饮料花3x ，故得2(1)313x x -+=，故选A.5.（杨浦2019期中20）甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道圈长400米，乙每秒跑6米，甲每秒跑8米.如果甲在乙前面8米处同向出发，那么经过（）秒两人首次相遇？A.208；B.204；C.200；D.196.【答案】D;【解析】这是追及问题，设x 秒后两人首次相遇，则824008,196x x x -=-∴=秒.6．（浦东2018期末3）在如图的2018年6月份的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能．．．是（）（A ）72；（B ）69；（C ）51；（D ）27．【答案】A ；【解析】依题，设任意框出表中竖列上三个相邻的数为：,7,14(116)n n n n ++≤≤，故三数之和321n +，令32172n +=，解得17n =，不合题意；令32169n +=，解得16n =，符合题意；令32151n +=，解得10n =，符合题意；32127n +=，解得2n =，符合题意；故选A.二、填空题7．（普陀2018期中10）1x =______（填“是”或“不是”）方程24927x x -=-的解.【答案】是；【解析】将1x =代入方程得，左边=24195⨯-=-，右边=2175⨯-=-，左=右，故答案：是.8.（浦东四署2019期中10）方程3306x -=的解为.【答案】12x =；【解析】由方程得336x =，所以12x =.9.（金山2018期中16）已知，关于x 的方程431m x -=的解是3x =，那么m 的值等于.【答案】2.5；【解析】将3x =代入方程431m x -=中，得491m -=，所以52m =.10.（浦东四署2019期中9）4x =-是关于x 的方程17ax -=的解，则a=.【答案】2a =-；【解析】将4x =-代入关于x 的方程17ax -=得，417,2a a --=∴=-.11.（宝山2018期末6）如果方程522mx x -=-的解是1=x ，那么m 的值是.【答案】5；【解析】将x=1代入方程522mx x -=-，得522m -=-，所以m=5.12.（金山2018期中17）已知，甲、乙、丙三人的年龄之比为4:3:2，三人年龄之和为72岁，那么乙的年龄是岁.【答案】24；【解析】设甲、乙、丙三个的年龄分别为2x 、3x 、4x ，则2x+3x+4x=72，解得x=8，故乙的年龄为3×8=24.13.（松江2018期中12）已知长方形的长与宽之比是2:3，且它的周长是20cm ，则它的面积是_____2cm .【答案】24；【解析】设长方形的长与宽分别是3x 、2x ，根据题意得3x+2x=10，解得x=2，所以3x=6，2x=4，故长方形的面积为6×4=242cm .14.（松江2018期末8）设一件商品的原价为x 元，降价12%后的售价为176元，则可列方程为．【答案】x(1-12%)176=；【解析】根据题意，得x(1-12%)176=.15.（松江2018期中13）小明的妈妈往银行里存入5000元，到期需缴纳20%的利息税，两年后她得到税后利息400元。

中考数学分式与分式方程专题练习—2023中考数学真题分类汇编(共56题)(解析版)

1分式与分式方程专题练习（56题）一、单选题1．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）方程213x =+的解是（）A ．1x =B ．=1x -C ．5x =D ．5x =-【答案】B【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得解．【详解】解：去分母得：23x =+，解得=1x -，经检验=1x -是分式方程的解．故选：B ．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．2．（2023·河北·统考中考真题）化简233y x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的结果是（）A ．6xyB ．5xyC ．25x y D ．26x y 【答案】A【分析】根据分式的乘方和除法的运算法则进行计算即可．【详解】解：2363362y y x x xy x x =⎛⎝⋅⎫= ⎪⎭，故选：A ．【点睛】本题考查分式的乘方，掌握公式准确计算是本题的解题关键．3．（2023·湖南·统考中考真题）下列计算正确的是（）A ．623a a a=B ．()325aa=C ．22()()a ba b a b a b +=+++D ．0113⎛⎫-= ⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据分式的约分可判断A ，根据幂的乘方运算可判断B ，根据分式的加法运算可判断C ，根据零指数幂的含义可判断D ，从而可得答案．【详解】解：633a a a=，故A 不符合题意；()326a a =，故B 不符合题意；35二、填空题79三、解答题【答案】原计划平均每天制作【分析】设原计划平均每天制作【详解】解：设原计划平均每天制作3000300051.5x x=+解得：200x=经检验，200x=是原方程的解，且符合题意，答：原计划平均每天制作200【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．25．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）水碧万物生，岳阳龙虾好．小龙虾产业已经成为岳阳乡村振兴的名片”．已知翠翠家去年龙虾的总产量是相同，平均亩产量去年比今年少【答案】今年龙虾的平均亩产量【分析】设今年龙虾的平均亩产量是面积相同列出分式方程，解方程并检验即可．【详解】解：设今年龙虾的平均亩产量是由题意得，6000480060 x x=-，解得300x=，经检验，300x=是分式方程的解且符合题意，答：今年龙虾的平均亩产量【点睛】此题考查了分式方程的实际应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键．111315171921232527【答案】甲路线的行驶时间为20min【分析】设甲路线的行驶时间为min x ，则乙路线的行驶事件为()10min x +，根据“甲路线的平均速度为乙路，然后根据题意列二元一次方程组求得零售价为29（万元）313335。

人教版八年级数学上册专题03 分式方程及零指数、负指数幂运算(知识点串讲)(原卷版)

专题03 分式方程及零指数、负指数幂运算知识框架重难突破一、分式方程1、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.备注：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.2、分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 3、解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.备注：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.4、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；（2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；（4）解这个分式方程；（5）验根，检验是否是增根； 5、零指数及负指数幂运算 1、负指数幂任何不等于零的数的-n （n 为正整数）次幂，都等于这个数的n 次幂的倒数。

2023中考数学复习-专题03 分式的运算(练透)(学生版)

专题03 分式的运算一、单选题1．（2022·四川德阳市·德阳五中九年级月考）若分式211x x -+的值为零，那么x 的值为（）A ．x ＝﹣1或x ＝1B ．x ＝0C ．x ＝1D ．x ＝﹣12．（2022·陕西九年级专题练习）下列关于x 的方程中，不是分式方程的是（） A ．11x x+=B ．2341xx =+ C ．32345x x += D ．5166x x =- 3．（2022·山西九年级专题练习）若1x=-4，则x 的值是（） A ．4B ．14C ．14-D ．﹣44．（2020·陕西九年级专题练习）九年级学生去距学校10 km 的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度.设骑车学生的速度为x km/h ，则所列方程正确的是( ) A ．1010123x x =- B ．1010202x x=- C ．1010123x x =+ D ．1010202x x=+ 5．（2022·北京九年级专题练习）化简22a b a b a b ---的结果为（） A ．-a bB ．a b +C ．a ba b+- D ．a ba b-+ 6．（2022·上海九年级专题练习）分式11x x +-有意义的条件是（） A ．1x =B ．1x ≠C ．1x =-D ．1x ≠-7．（2022·河北九年级专题练习）解分式方程2236111x x x +=+--分以下四步，其中错误的一步是（）A ．方程两边分式的最简公分母是(1)(1)x x -+B ．方程两边都乘以(1)(1)x x -+，得整式方程2(1)3(1)6x x -++=C ．解这个整式方程，得1x =D ．原方程的解为1x =8．（2019·河南九年级专题练习）不改变分式0.510.32x x -+的值，把它的分子和分母中的各项的系数都化为整数，则所得结果为（） A ．510320x x -+B ．5132x x -+ C ．2132x x -+ D ．2320x x -+9．（2020·河南九年级月考）当22a a +-有意义时，a 的取值范围是（） A ．a ≥2B ．a ＞2C ．a ≠2D ．a ≠－210．（2020·内蒙古包头·）213-⎛⎫⎪⎝⎭的相反数是（）A ．9B ．-9C ．19D ．19-二、填空题11．（2022·沙坪坝区·重庆南开中学九年级开学考试）若242x x -+的值为0，则x 的值为__________．12．（2022·山东青岛·九年级专题练习）我国古代著作《四元玉鉴》中，记载了一道“买椽多少”问题，题目是：六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．其大意是：请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，每株椽的运费是3文．如果少买一株椽，那么所买的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，问6210文能买多少株椽？设6210文能买x 株椽，根据题意可列方程为____________．13．（2022·北京平谷·九年级一模）化简：111a -=+_______________. 14．（2020·贵州贵阳市·）关于x 的分式方程721511x m x x -+=--有增根，则m 的值为__________． 15．（2020·齐齐哈尔市第二十八中学九年级月考）已知x 2﹣3x ﹣2=0，那么代数式32(1)11x x x --+-的值为___________．三、解答题16．（2022·河南九年级专题练习）解分式方程：311(1)(2)x x x x -=--+． 17．（2022·河南九年级期末）先化简，再求值：222444142x x x x x x+-++⎛⎫-÷- ⎪-⎝⎭，其中22150x x +-=．18．（2022·全国）化简：2214a a --÷（1﹣32a a -+）． 19．（2020·沙坪坝·重庆八中九年级课时练习）计算：（1）（x +y ）2+y （3x -y ）（2）2241611a a a a a ⎛⎫--+÷ ⎪--⎝⎭20．（2019·河南九年级专题练习）先化简，再求值：（2m m -﹣224m m -）÷2m m +，请在2，﹣2，0，3当中选一个合适的数代入求值．21．（2022·全国九年级专题练习）已知关于x 的分式方程()()211122mx x x x x +=--++， (1)若方程的增根为x=1，求m 的值 (2)若方程有增根，求m 的值 (3)若方程无解，求m 的值．22．（2022·全国九年级专题练习）若关于x 的方程2221511k k x x x x x --+=-+-有增根1x =，求k 的值.23．（2022·上海九年级专题练习）甲、乙两位同学同时从学校出发，骑自行车前往距离学校20千米的郊野公园．已知甲同学比乙同学平均每小时多骑行2千米，甲同学在路上因事耽搁了30分钟，结果两人同时到达公园．问：甲、乙两位同学平均每小时各骑行多少千米？。

八年级数学下册期中期末-专题03 整式方程与分式方程(考点串讲)(解析版)

专题03 整式方程与分式方程【考点剖析】整式方程：1字母系数：关于x 的方程20,0mx n ax bx c +=++=中，把用字母表示的已知数m 、n 、a 、b 、c 叫做字母系数.2.含字母系数的一元一次方程定义：只含有一个未知数且未知数的最高次数为1的含字母系数的方程；求解步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 1；注意：系数化为1时视情况讨论！ 3．含字母系数的一元二次方程定义：只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的含有字母系数的方程；解法：因式分解法，开平方法；配方法，公式法；当用含字母系数的式子去乘或除方程两边时，要讨论. 4.一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式；一元n 次方程与一元高次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n ；其中n 大于2的方程称为一元高次方程.5.二项方程：如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零. 一般形式为：00,(,)0n ax b a b n +=≠≠是正整数.二项方程的解法：将方程0nax b +=变形为nbx a=-，当n 为奇数时，x =n 为偶数时，如果0ab <，x =；如果0ab >，那么方程没有实数根. 分式方程：6.可化为一元二次方程的分式方程解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，再求解；解分式方程的一般步骤：①方程两边乘以最简公分母，去分母，化成整式方程；②解这个整式方程；③检验，是否有增根.7.用换元法解分式方程（组）【典例分析】例题1（松江2018期中6）二项方程511602x -=的实数根是 .【答案】2x =；【解析】由二项方程511602x -=得532x =，所以5322x ==. 例题2（崇明2018期中12）关于x 的方程21a x x +=的解是 . 【答案】211x a =+；【解析】由21a x x +=得2(1)1a x +=，因为210a +≠，故211x a =+. 例题3 （杨浦2019期中11）关于x 的方程：2210x kx +-=是二项方程，k= . 【答案】0；【解析】如果关于x 的方程2210x kx +-=是二项方程，那么0k =.例题4（静安2018期末10）如果关于x 的方程bx 2＝2有实数解，那么b 的取值范围是．【答案】b ＞0；【解答】解：根据题意得b ≠0，22x b =，当20b>时，方程有实数解，所以b ＞0．例题5 （黄浦2018期中14）在公式12111R R R =+中，已知正数R 、R 1（R ≠R 1），那么R 2=______．【答案】11RR R R-；【解析】解：1211111R RR R R RR -=-=，则121RR R R R =-，故答案是：11RR R R-．例题6（长宁2019期末4）若关于x 分式方程＝有增根，则m ＝．【答案】1；【解析】解：去分母得：x ﹣m ＝1，由分式方程有增根，得到x ﹣2＝0，即x ＝2，代入整式方程得：2﹣m ＝1，解得：m ＝1，故答案为：1例题7（浦东四署2019期末12）解分式方程22141x x x x --=-时，设21xy x =-，则原方程化为关于y 的整式方程是 . 【答案】2410y y --=；【解析】因为21x y x =-，所以原方程可化为14y y -=，变形得2410y y --=.例题8（松江2019期中19）解关于x 的方程：(5)1a x x -=+. 【答案】当1a ≠时，方程的根是151ax a +=-；当1a =，方程没有实数根. 【解析】解：51ax a x -=+，51ax x a -=+，(1)51a x a -=+，当10a -≠时，151ax a +=-；当10a -=时，方程无实数解∴当1a ≠时，方程的根是151ax a +=-；当1a =，方程没有实数根. 例题9（浦东四署2019期末20）解方程：214124x x -=--. 【答案】1x =-；【解析】解：去分母，得：2244x x +-=-，整理，得：220x x --=，解得21x x ==-或，经检验2x =是原方程的增根，舍去；1x =-是原方程的解.所以原方程的解是1x =- 例题10（闵行2018期末19）解分式方程：22161242x x x x +-=--+. 【答案】x ＝﹣5；【解析】解：去分母得：（x +2）2﹣16＝x ﹣2，整理得：x 2+3x ﹣10＝0，即（x ﹣2）（x +5）＝0，解得：x ＝2或x ＝﹣5，经检验x ＝2是增根，分式方程的解为x ＝﹣5．【真题训练】一、选择题1.（浦东一署2018期中1）下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（）A.519x= B. C. D.【答案】D【解析】解：A 、是关于x 的分式方程，错误； B 、是关于x 的一元四次方程，错误； C 、是关于x 的一元一次方程，错误； D 、是关于x 的一元二次方程，正确；故选：D ．2.（浦东四署2019期中1）下列方程中，是二项方程的是（） A.224x y +=； B.20x =； C.22x x -=； D.320x +=. 【答案】D ；【解析】根据二项方程定义“0(0,0,)nax b a b n +=≠≠是正整数”可知答案选D. 3.（崇明2018期中3）下列说法正确的是（） A.224x y -=是二元二次方程； B.1423x x--=是分式方程； 2223x x -=是无理方程； D.20x x -=是二项方程.【解析】A 、224x y -=是二元二次方程，正确；B 、是整式方程，故B 错误；C 、是整式方程，故C 错误；D 、不是二项方程，故D 错误；因此答案选A.4.（浦东2018期末1）在下列方程中，分式方程是（）A. B. C. D.【答案】C ；【解析】解：A 、该方程是整式方程，故本选项错误； B 、该方程是无理方程，故本选项错误； C 、该方程符合分式方程的定义，故本选项正确； D 、该方程属于无理方程，故本选项错误；故选：C ．5.（浦东2018期中1）方程2402x x -=-的根是（）A.，B.C.D. 以上答案都不对【答案】C【解析】解：两边都乘以x-2，得：x 2-4=0，解得：x=2或x= -2，当x=2时，x-2=0，舍去；当x= -2时，x-2= -4，符合题意；故选：C ．6. (长宁2018期末3)下列方程中，有实数根的方程是（） A. 330x +=； B. 230x +=； C.2103x =-； D.30x +=.【答案】A ；【解析】解：A 、330x +=，33x =-，有实数根，正确；B 、平方不能为负数，无实数根，错误；C 、分式方程中分母不能为零，无实数根，错误；D 、算术平方根不能是负数，无实数根，错误；故选：A ．7. (奉贤2018期末3)已知一元二次方程x 2-2x -m =0有两个实数根，那么m 的取值范围是（）A.B. C. D.【答案】B【解析】∵一元二次方程x 2-2x-m=0有两个实数根， ∴△=4+4m≥0，解得：m≥-1．故选：B ．8．（普陀2018期末3）用换元法解方程2231512x x x x -+=-时，如果设21xy x =-，则原方程可化为（） A ．152y y +=； B ．22520y y -+= C ．26520y y ++=； D. 1532y y +=.【解析】解：设21xy x =-，则原方程变形为：1532y y +=，故选：D ．二、填空题9.（崇明2018期中16）方程510x +=的解是 . 【答案】1x =-；【解析】由510x +=得51x =-，所以1x ==-10.（嘉定2019期末10）二项方程32540x +=在实数范围内的解是 . 【答案】3x =-；【解析】32540x +=变形得327x =-，所以3x ==-.11.（浦东四署2019期中8）方程41208x -=的根是 . 【答案】2x =±；【解析】原方程变形得416,2x x =∴==±.12.（浦东四署2019期末7）方程4232x =的根是 . 【答案】2±；【解析】由方程4232x =得：416x =，所以2x =±. 13.（静安2019期末9）方程3640x -=的根是 . 【答案】4x =；【解析】解：3640x -=得364x =，所以4x ==.14.（松江2018期中4）关于x 的方程6ax =-有解的条件是 . 【答案】0a ≠；【解析】关于x 的方程6ax =-有解的条件是0a ≠.15.（浦东四署2019期中10）如果关于x 的方程(23)3m x +=有解，则m 的取值范围是 . 【答案】32m ≠-；【解析】因为关于x 的方程(23)3m x +=有解，所以230m +≠即32m ≠-. 16. （浦东2018期末8）当k =______时，方程kx +4=3-2x 无解．【解析】解：∵kx+4=3-2x ， ∴（k+2）x=-1， ∴k+2=0时，方程kx+4=3-2x 无解，解得k=-2．故答案为：-2．17．（青浦2018期末10）关于x 的方程ax ﹣2x ﹣5＝0（a ≠2）的解是．【答案】52x a =- 【解析】解：ax ﹣2x ﹣5＝0，（a ﹣2）x ＝5， 522a x a ≠∴=-Q ，故答案为：52x a =-．18.（崇明2018期中13）方程132x x =-的解为 . 【答案】1x =-；【解析】由方程132x x =-得，23x x -=，解得1x =-，经检验1x =-是原方程的解. 19. （松江2019期中12）方程2101x x -=-的解是___________. 【答案】x=-1【解析】解：2101x x -=-，去分母得：x 2﹣1=0，解得x=±1，当x=1时，x ﹣1=0，舍去，则原方程的解为x=﹣1.故答案为：x=﹣1. 20.（金山2018期中14）如果分式方程133x kx x -=--有增根，那么k 的值是 . 【答案】3；【解析】将分式方程133x kx x -=--去分母得：(3)x x k --=，再将方程的增根3x =代入得3k =. 21. （杨浦2019期中10）若方程111ax x +=-有增根，则a 的值为 .【答案】-1；【解析】解：去分母得11ax x +=-，将增根1x =代入得1a =-，故a 的值为 - 1.22.（崇明2018期中15）用换元法解方程123021x x x x ++-=+时，如果设12x y x+=，那么原方程可化为含y 的整式方程是 . 【答案】2310y y -+=；【解析】根据题意，得130y y+-=，整理得：2310y y -+=. 23.（松江2018期中8）用换元法解方程2231712x x x x -+=--时，如果设21x y x-=，那么原方程可化为关于y 的整式方程，这个整式方程是 . 【答案】22760y y ++=；【解析】因为21x y x -=，所以原方程可化为：372y y +=-，整理得：22760y y ++=.24. （杨浦2019期中7）已知方程212212=---x x x x 若设21x y x-=,则原方程可化为关于y 的整式方程 . 【答案】2220y y --=；【解析】因为21x y x-=，所以原方程可化为：22y y -=，整理得：2220y y --=.25. (长宁2018期末11)用换元法解方程15132x x x x -+=-，若设1x y x =-，则原方程可以化为关于y 的整式方程是______．【答案】261520y y -+=；【解析】解：用换元法解方程15132x x x x -+=-，若设1xy x =-，则原方程可以化为关于y 的整式方程是261520y y -+=，故答案为：261520y y -+=．26. (奉贤2018期末10)用换元法解方程22321121x x x x +-=+时，如果设221x y x =+，那么原方程化成以“y ”为元的方程是______ 【答案】2310y y --=；【解析】解：22321121x x x x +-=+，设221x y x =+，原方程化为：131y y-=，即2310y y --=，27.（嘉定2019期末11）用换元法解方程22111x x x x --=-时，如果设21xy x =-，那么所得到的关于y的整式方程为 . 【答案】210y y +-=；【解析】21xy x =-Q，所以原方程变为11y y -=，所以得210y y +-=. 三、解答题28.（金山2018期中22）解关于x 的方程：2222(1)ax x a -=+≠.【答案】1a >时，1x a =±-；当1a <时，方程无实数根. 【解析】解：原方程变形为：2(1)4a x -=，110a a ≠∴-≠Q ，所以241x a =-；当101a a ->>即时，x =；当101a a -<<即时，方程无实数根；所以，当1a >时，1x a =±-；当1a <时，方程无实数根. 29.（金山2018期中20）解方程：2211233x x x x +=+-+.【答案】122,1x x ==-；【解析】解：方程两边同乘以(1)(3)x x -+得：22(1)23x x x x +-=+-，整理，得：220x x --=，解之得：122,1x x ==-，经检验：122,1x x ==-都是原方程的根，所以原方程的根是122,1x x ==-.30.（松江2018期中21）解方程：2231211x x x x-=---.【答案】13x =-；【解析】解：原方程变形为：2231211x x x x -=+--，去分母得：2232(1)(1)x x x x -=-++，整理，得23210x x --=，解得113x x =-=或，经检验，1x =是原方程的增根，13x =-是原方程的根. 故原方程的根是13x =-.31. （黄浦2018期中19）解方程：12111x x =--+．【答案】x 1=0，x 2=3；【解析】解：12111x x =--+，方程两边都乘以（1-x ）（1+x ）得：1+x =2（1-x ）+（1-x ）（1+x ），整理得：x 2-3x =0，解得：x 1=0，x 2=3，经检验x 1=0，x 2=3都是原方程的解，所以原方程的解为：x 1=0，x 2=3．32.（浦东四署2019期中20）解方程：12111x x =--+. 【答案】120,3x x ==；【解析】解：去分母，得2112(1)x x x +=---，整理，得230x x -=，解得：120,3x x ==，经检验：120,3x x ==都是原方程的根. 所以原方程的根为120,3x x ==.33. （杨浦2019期中20）解方程：48322-=-+x x x 【答案】1x =；【解析】解：去分母得：2(2)3(4)8x x x ---=，整理，得：220x x +-=，解之得：21x x =-=或，经检验：2x =-是增根，舍去，1x =是原方程的根；所以原方程的解是1x =. 34. （松江2019期中21）解分式方程：22116224x x x x +-=-+-. 【答案】5x =-；【解析】解：方程两边同时乘以(2)(2)x x -+，得2(2)(2)16x x +--= ，整理，得: 23100x x +-=，因式分解得:(2)(5)0x x -+= ，解这个整式方程得：25x x ==-或，经检验知2x =是原方程的增根，5x =-是原方程的根. 则原方程的根是5x =-.35．（青浦2018期末19）解方程：2654111x x x x x +-=--+. 【答案】x ＝9；【解析】解：原方程可变形为2654111x x x x x ++=--+，方程的两边都乘以(1)(1)x x +-，得 65(1)(4)(1)x x x x ++=+-，整理，得x 2﹣8x ﹣9＝0，解得x 1＝9，x 2＝﹣1；检验：当x ＝﹣1时，(1)(1)x x +-＝0，所以x ＝﹣1不是原方程的根．所以原方程的解为：x ＝9．36.（崇明2018期中24）517311 x y x yx y x y⎧+=⎪+-⎪⎨⎪-=⎪+-⎩.【答案】3414xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；【解析】解：设11,A Bx y x y==+-，则原方程组华为：5731A BA B+=⎧⎨-=⎩，解之得：12AB=⎧⎨=⎩，所以1112x yx y⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪-⎩，解得3414xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.经检验：3414xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是原方程组的解. 故原方程组的解为3414xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.。

中考数学专题讲练03 含参类分式方程的解的几种情况(原卷版)

查补易混易错03 含参类分式方程的解几种情况分式方程因为含有分式，方程的解需要有意义，即分母≠0，所以分式方程需要验根。

也正因为这个特性，所以分式方程的解的问题经常出现参数字母，再根据解的情况求解参数字母的值或者范围。

而此类分式方程的解的情况主要包括：有增根、无解、解为正数/负数等，不同的问题采用的应对方法也不相同。

中考五星高频考点，在全国各地中考试卷中出现几率较大，出现则难度中等偏上。

易错01：含参类分式方程有增根时求解步骤：①让最简公分母为0 确定增根；②去分母，将分式方程转化为整式方程；③将增根带入（当有多个增根时，注意分类，不要漏解）；④解含参数字母的方程的解。

易错02：含参类分式方程无解时求解步骤：①解出的x的值是增根，须舍去，无解②解出的x的表达式中含参数，而表达式无意义，无解③同时满足①和②，无解特别注意：1.解分式方程的第一步是“去分母”，不是“通分”2.解分式方程必须验根，在应用题里也一样【中考真题练】1．（2022•牡丹江）若关于x的方程＝3无解，则m的值为（）A．1B．1或3C．1或2D．2或3 2．（2022•通辽）若关于x的分式方程：2﹣＝的解为正数，则k的取值范围为（）A．k＜2B．k＜2且k≠0C．k＞﹣1D．k＞﹣1且k≠0 3．（2022•德阳）如果关于x的方程＝1的解是正数，那么m的取值范围是（）A．m＞﹣1B．m＞﹣1且m≠0C．m＜﹣1D．m＜﹣1且m≠﹣2 4．（2022•重庆）关于x的分式方程+＝1的解为正数，且关于y的不等式组的解集为y≥5，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．13B．15C．18D．20 5．（2022•黄石）已知关于x的方程+＝的解为负数，则a的取值范围是．6．（2022•齐齐哈尔）若关于x的分式方程+＝的解大于1，则m的取值范围是．7．（2022•泸州）若方程+1＝的解使关于x的不等式（2﹣a）x﹣3＞0成立，则实数a的取值范围是．【中考模拟练】1．（2023•金牛区模拟）若关于x的分式方程有增根，则a的值是（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1 2．（2023•齐齐哈尔一模）若关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是（）A．m≥1B．m＞1且C．m＞1D．m≥1且m≠5 3．（2023•东胜区模拟）若关于x的分式方程无解，则a的值为（）A．0B．1C．﹣1或0D．0或1 4．（2023•新泰市一模）若关于x的方程的解是正数，则m的取值范围为（）A．m＞﹣7B．m＞﹣7且m≠﹣3C．m＜﹣7D．m＞﹣7且m≠﹣25．（2023•京口区校级一模）关于x的分式方程有正数解，则符合条件的负整数m的和是．6．（2023•泸县校级二模）若整数a使关于x的分式方程的解为整数，且使关于x的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和为．7．（2023•富裕县模拟）若关于x的分式方程无解，则m ＝．8．（2023•西城区校级模拟）若关于x的分式方程有增根，则m的值是．。