第二章 确定信号分析
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通信原理I第2章- 确定信号分析
2009-9-10
且 ∫ δ ( t )dt = 1, ∀ε > 0
−ε
ε
0
t
4
1.1 常用信号的傅立叶变换
1、冲激函数 ⎧∞ 定义为：δ (t ) = ⎨ ⎩0
ε
−ε
t=0 t≠0
，
且 ∫ δ (t )dt = 1 ，对任意的ε > 0， 可将冲激信号想象为无限窄、无限高，面积为1的窄脉冲。 因为∫ δ (t )e − j 2π ft dt = 1 ，即δ (t ) ⇔ 1。就是说冲激函数包含无穷
2009-9-10 19
2 确定信号的表示(7)
信号带宽：信号能量或功率主要部分集中的频率范围 (正频率部分)--Hz 定义方法 零点带宽：B1 3dB(半功率点)带宽：B2 等效矩形带宽：B3
E( f )
B3
E( f )
∫ =
∞
−∞
E ( f ) df
例. 门函数: B1 = 1 τ
E (0) E ( B2 ) = 2
R12 (τ ) ⇔ E12 ( f ) = F1 * ( f ) F2 ( f )
2009-9-10 16
2 确定信号的表示(3)
功率信号：平均功率有限
定义截短信号
⎧ ⎪f t , fT ( t ) = ⎨ ( ) ⎪ 0, ⎩ T 2 其它 t t <
fT ( t ) ⇔ FT ( f )
ET = ∫
2009-9-10
26
4 Hilbert变换(1)
定义：若 f (t) 为实函数，
ˆ f ( t ) = H [ f ( t )] =
=
f (t) = H
−1
1
+∞
且 ∫ δ ( t )dt = 1, ∀ε > 0
−ε
ε
0
t
4
1.1 常用信号的傅立叶变换
1、冲激函数 ⎧∞ 定义为：δ (t ) = ⎨ ⎩0
ε
−ε
t=0 t≠0
，
且 ∫ δ (t )dt = 1 ，对任意的ε > 0， 可将冲激信号想象为无限窄、无限高，面积为1的窄脉冲。 因为∫ δ (t )e − j 2π ft dt = 1 ，即δ (t ) ⇔ 1。就是说冲激函数包含无穷
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2 确定信号的表示(7)
信号带宽：信号能量或功率主要部分集中的频率范围 (正频率部分)--Hz 定义方法 零点带宽：B1 3dB(半功率点)带宽：B2 等效矩形带宽：B3
E( f )
B3
E( f )
∫ =
∞
−∞
E ( f ) df
例. 门函数: B1 = 1 τ
E (0) E ( B2 ) = 2
R12 (τ ) ⇔ E12 ( f ) = F1 * ( f ) F2 ( f )
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2 确定信号的表示(3)
功率信号：平均功率有限
定义截短信号
⎧ ⎪f t , fT ( t ) = ⎨ ( ) ⎪ 0, ⎩ T 2 其它 t t <
fT ( t ) ⇔ FT ( f )
ET = ∫
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4 Hilbert变换(1)
定义：若 f (t) 为实函数，
ˆ f ( t ) = H [ f ( t )] =
=
f (t) = H
−1
1
+∞
通信原理课件第2讲 确定信号分析30页PPT
其中每一个信号的频率都是基波频率的倍数，并在基
波周期T内都是周期的。那么一个由成谐波关系的复指
数线性组合形成的信号
x(t)
ejk0t
k
ejk(2T)t
k
k
k
对T来说也是周期的，则定义上式为信号的傅里叶级数
表示
对上式两端同乘 e jn0t
x(t)ejn0t
e e jk0t jn0t
k
k
然后两端同取积分：
sin6t 1 (e6t e6t) 2j
x(t)1(e4te4t)j(e6te6t)
2
2
2
1 2
,
2
1 2
,
3
j , 2
3
j, 2
k 0,k 2,3
▪ 因此周期信号或者说它的各分量系数可由下图中的（复）频谱
进行表征。可以看到，复频谱除正频率分量外，还包括负频率
分量。负频率的出现是数学运算（欧拉公式）的结果，并无物
傅立叶级数
▪如果一个信号是周期的，那么对于一切t，存在着某 个正值的T，有：
x(t)x(tT)
其中T为信号的周期，则 0 2 T 称为基 波频率
在通信系统中有两种基本的周期信号：
x(t)cos0t 和 x(t) ej0t
▪假设有复指数信号集：
k ( t) e jk (2 T ) t e jk 0 t, k 0 , 1 , 2 L
~ x(t)k T 1X(jk0)ejk0t
由于 T2 0
~ x(t)21k X(jk0)ejk0t0
▪那么我们可以得到傅立叶变换对：
x(t)21 X(j)ejtd
X(j) x(t)ejtdt
▪通过上述两个变换公式，我们可以将非周期信号从时 域变换到频域，或是完成逆变换
第2章 确知信号分析
{
x1 ( t ) → y1 ( t ) x2 ( t ) → y 2 ( t )
⇒ [ x1 (t ) + x2 (t )] → [ y1 (t ) + y2 (t )]
（一个激励的存在并不影响另一个激励的响应） 一个激励的存在并不影响另一个激励的响应） 非线性系统： 非线性系统：凡是不满足叠加定理的系统
F (ω ) = T0 V n
F (ω )
：谱密度，即单位频率占有的振幅值，是相对值。 谱密度，即单位频率占有的振幅值，是相对值。
3）矩形脉冲的频谱函数；门函数的频谱函数 ）矩形脉冲的频谱函数；
τ τ A − <t< 2 2 f (t ) = τ τ 0 t < − , t > 2 2
2）时不变和时变系统 ） 时不变系统（恒参系统）：系统内的参数不随时间变化 时不变系统（恒参系统）：系统内的参数不随时间变化 ）：
{
y ( t ) = f [ x ( t )] y ( t −t 0 ) = f [ x ( t −t 0 )]; −∞ <t ,t 0 < ∞
时变系统（变参/随参系统）： 随参系统）： 时变系统（变参 随参系统 3）物理可实现和物理不可实现系统 ） 物理可实现系统： 物理可实现系统：系统的响应不可能在加上激励以前出现 物理不可实现系统： 物理不可实现系统：
F (ω) = F [ f (t )]
付氏正变换 付氏反变换
f (t ) = F −1 [ F (ω)]
或者记为： 或者记为： F (ω) ↔ f (t ) ， f (t ) ↔ F (ω)
2） (ω ) 与 Vn 、 Cn ） F
的关系
1 Vn = T0
现代通信原理 第2章 确定信号分析
设x1(t)和x2(t)都为功率信号，则它们的互相关函数定义为
(2.38)
式中， T的含义与式(2.14)中相同，为功率信号的截断区间。
44
第2章
确定信号分析
当x1(t)=x2(t)=x(t)时，定义
(2.39)
为功率信号x(t)的自相关函数。
45
第2章
确定信号分析
由式(2.39)可得到周期信号x(t)的自相关函数为
41
第2章
确定信号分析
2.3.2 能量信号的相关定理 若能量信号x1(t)和x2(t)的频谱分别是X1(ω)和X2(ω)，则信号 x1(t)和x2(t)的互相关函数R12(τ)与X1(ω)的共轭乘以X2(ω)是傅立 叶变换对，即
(2.36)
式(2.36)称为能量信号的相关定理。它表明两个能量信号在时 域内相关，对应频域内为一个信号频谱的共轭与另一信号的频 谱相乘。
30
第2章
确定信号分析
2.3 相关函数与功率谱密度函数
2.3.1 能量信号的相关函数
设信号x1(t)和x2(t)都为能量信号，则定义它们的互相关函 数R12(τ)为 (2.32) 若x1(t)=x2(t)=x(t)，则定义 (2.33) 为x(t)的自相关函数。
31
第2章
确定信号分析
【例2.2】
5
第2章
确定信号分析
设xT(t)为x(t)在一个周期内的截断信号，即
(2. 6)
而
6
第2章
确定信号分析
则有：
(2. 7)
比较式(2. 5)与式(2. 7)可得:
(2. 8) 由此可见，由于引入了δ(· )函数，对周期信号和非周期信
号都可统一用信号的傅立叶变换(即频谱密度函数)来表示。
通信原理 樊昌信第6版 ppt 第2章 确定信号分析aqtc
常用信号傅里叶变换（ ） 升余弦脉冲 常用信号傅里叶变换（4）-升余弦脉冲 傅里叶变换
f(t)
πt 1 + cos( ) Ts
Ts t
ωTs Sa ( ) 2 ↔ 2Ts ωTs 2 1− ( ) F(ω) π
0
- Ts
0
f(t)
0
ωs t Sa ( ) ωs 2 ↔ 1 + cos( πω ) π 1 − ( ωs t ) 2 ωs π
1 P = s (t ) = lim T →∞ T
2
∫
T /2
−T / 2
s 2 (t ) d t
能量信号和功率信号 为有限值， 称为能量信号 若E为有限值，则 s(t)称为能量信号； 为有限值 称为能量信号； 为有限值， 称为功率信号 若E→∞，P为有限值，则 s(t)称为功率信号。 ， 为有限值 称为功率信号。
2.1 确定信号分析 傅里叶变换 确定信号分析 傅里叶变换 分析变换1
信号的傅里叶变换 信号的傅里叶变换 傅里叶
∞
F (ω ) = ∫ f (t )e − jωt dt
-∞ ∞
F ( f ) = ∫ f (t )e − j2πft dt = F (ω ) ω = 2 πf
-∞
1 ∞ jω t f (t ) = ∫-∞ F (ω )e dω 2π = ∫ F ( f )e
F (ω ) = 2 π ∑ Fnδ (ω − nω s )
n =-∞
∞
周 T,ωs = 2π / T 期
安庆师范学院物理与电气工程学院 8
2.1 确定信号分析 傅里叶变换 确定信号分析 ） 常用周期信号傅里叶级数（1）理想单位冲击函数序列 傅里叶级数
df (t ) ↔ ( jω ) F (ω ) dt
f(t)
πt 1 + cos( ) Ts
Ts t
ωTs Sa ( ) 2 ↔ 2Ts ωTs 2 1− ( ) F(ω) π
0
- Ts
0
f(t)
0
ωs t Sa ( ) ωs 2 ↔ 1 + cos( πω ) π 1 − ( ωs t ) 2 ωs π
1 P = s (t ) = lim T →∞ T
2
∫
T /2
−T / 2
s 2 (t ) d t
能量信号和功率信号 为有限值， 称为能量信号 若E为有限值，则 s(t)称为能量信号； 为有限值 称为能量信号； 为有限值， 称为功率信号 若E→∞，P为有限值，则 s(t)称为功率信号。 ， 为有限值 称为功率信号。
2.1 确定信号分析 傅里叶变换 确定信号分析 傅里叶变换 分析变换1
信号的傅里叶变换 信号的傅里叶变换 傅里叶
∞
F (ω ) = ∫ f (t )e − jωt dt
-∞ ∞
F ( f ) = ∫ f (t )e − j2πft dt = F (ω ) ω = 2 πf
-∞
1 ∞ jω t f (t ) = ∫-∞ F (ω )e dω 2π = ∫ F ( f )e
F (ω ) = 2 π ∑ Fnδ (ω − nω s )
n =-∞
∞
周 T,ωs = 2π / T 期
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2.1 确定信号分析 傅里叶变换 确定信号分析 ） 常用周期信号傅里叶级数（1）理想单位冲击函数序列 傅里叶级数
df (t ) ↔ ( jω ) F (ω ) dt
通信原理 第2章 确定信号和随机信号分析
其中: a t 是包络函数；c 是中心频率； t 是随机相位函数。
②上式利用三角函数和角公式，可写成
t a tcos tcosct sin tsin ct
其中 c tcosct s tsin ct
c t s t
a a
tcos t t 的同相分量 tsin t t 的正交分量
双边能量谱密度（焦耳/ 赫兹）
③
G
2E
0,
,
R E
0 0
单边能量谱密度（焦耳/ 赫兹）
R
f
*t
f
t
dt
E R0
2.2 确定信号的表示
(2) 功率信号：平均功率有限的信号f t F
① S lim 1 T T
T /2
T / 2 fT t
2 dt 1
2
lim FT
：
Fn
1 T
FT
n0
Fn
2
1 T
PT
() n0
④ Fn 与 f t
：
F
2 Fn
n0
n
P 2
Fn 2
n0
n
R
Fn
2 e jn0t
n
2. 3 随机过程
设 t是一个随机过程，任意时刻
机变量，定义：Page 13
t1上 t1 是一个随
1 t
v1
总体： t
t
2 t
1 T
T
2
T 2
xt
xt
dt
①各态历经过程的任一实现都好象经历了随机过程的所有可能状态 似的。
②任一实现都能代表整个随机过程。
③各态历经过程必须首先是平稳过程，但平稳过程不一定是各态历 经过程。
现代通信原理答案WORD版( 罗新民)指导书 第二章 确定信号分析 习题详解
第二章 确定信号分析2-1图E2.1中给出了三种函数。
图 E2.1①证明这些函数在区间（-4，4）内是相互正交的。
②求相应的标准正交函数集。
③用（2）中的标准正交函数集将下面的波形展开为标准正交级数：⎩⎨⎧≤≤=为其它值t t t s ,040,1)(④利用下式计算（3）中展开的标准正交级数的均方误差： ⎰∑-=-=44231])()([dt t u a t s k k k ε⑤对下面的波形重复（3）和（4）：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=为其它值t t t t s ,044),41cos()(π ⑥图E2.1中所示的三种标准正交函数是否组成了完备正交集？解：①证明：由正交的定义分别计算，得到12()()0u t u t dt +∞-∞⋅=⎰，23()()0u t u t dt +∞-∞⋅=⎰，31()()0u t u t dt +∞-∞⋅=⎰，得证。
②解：424()8,k C u t dt k -== =1,2,3⎰，对应标准正交函数应为()(),1,2,3k k q t t k ==因此标准正交函数集为123123{(),(),()}(),()()}q t q t q t t t t =③解：用标准正交函数集展开的系数为4()(),1,2,3k k a s t q t dt k =⋅ =⎰，由此可以得到4110()()a s t t dt ===⎰4220()()a s t t dt ===⎰4330()()0a s t t dt ==⎰。
所以，121211()()()()()22s t t t u t u t ==-④解：先计算得到312111()()()()()()022k k k t s t a u t s t u t u t ε==-=-+=∑ ⑤解：用标准正交集展开的系数分别为441141()())04a s t t dt t dt π--===⎰⎰，44224011()()cos()cos()044a s t t dt t dt t dt ππ--==-=⎰⎰⎰，433422442()()111cos()))444a s t t dtt dt t dt t dt ππππ----= =-+- =⎰⎰⎰⎰。
2.信号分析与信息论基础(确定信号分析)
信号通过线性系统会引起变化，从传送信息的角度考虑 重要的是信号波形的变化。我们认为信号波形大小和时延的 变化不影响信号所带的信息(不失真)。因此我们定义通过线 性系统信号不失真的条件为:
信号不失真的时域的充分条件 在频域有: 信号不失真的频域的充分条件 (理想系统)
理想系统
理想系统的幅-频特性为一常数 k 即:
3分贝带宽 实际系统的幅频特性
实际频谱与有效频谱（有效带宽）
信号带宽
由于信道带宽不足导致数字信号错误
希 尔 伯 特 变 换 ---一种特殊而又有用的系统
希氏变换 希氏变换是完全在时域中进行的一种特殊的变换。也 可以看成它是由一种特殊的滤波器完成的。 为了便于理解变换特点，我们首先讨论这种变换在频 域中的规律（规则），然后再返回到时域来进一步认识它， 并且变换后信号以 表示，相应频谱以 表示。 希氏变换在本章最后窄带噪声统计特征分析中，以及线 性调制单边带生成过程中，均有非常重要的作用。
8. 信号通过线性系统
通信系统由许多部份组成，例如天线，放大器，信 道和调制解调器等。其中一些部份可看作是线性系统例 如信道放大器滤波器等。本节研究确定信号通过线性系 统并限于研究具有一个输入端和一个输出端的系统
一 个 输 入 信 号 x (t) 对 应 有 一 个 确 定 的 输 出 信 号 ( 响 应)y(t).将x (t)变换为y(t)的运算数学上称为算子以 L表示 则可表示为：
任一信号都可看成由某个频率范围内的频谱成分组成.
信号的频率特性对信号带宽和数据率等至关重要.
对信号频率特性的分析在频域（Frequency Domain）上进行.
在频域上表示信号的图象称为频域图. 频域图有最大振幅-频率和相位-频率两种图象. 在频域上进行信号分析通常比在时域上简便.
通信原理第2章确知信号分析
件,都可以展开为指数形式的傅氏级数,即
其中,
称为傅氏级数的系数, f 0 =1 / T 0称为周期信号的基波频率, nf 0称为 n 次谐波频率。
第2章 确知信号分析 例 2.2. 1 一个典型的周期矩形脉冲信号 x ( t )的波形如
图 2. 2. 1 所示,脉冲宽度为 τ ,高度为 A ,周期为 T 0 。 (1 )求此周期矩形脉冲信号的傅氏级数表达式。
图 2.4. 3 信号通过线性系统
第2章 确知信号分析
系统输出信号的频谱 R (f )等于系统输入信号的频谱 X ( f )乘以系统的传输特性H ( f ),即
它的傅氏反变换就是系统的输出信号 r (t ),也等于输入信号 x ( t )与系统冲激响应 h ( t )的卷积。因此有
第2章 确知信号分析
第2章 确知信号分析
2. 2 周期信号的频谱分析
频谱分析的目的是找出信号所包含的频率成分以及各个 频率成分的幅度及相位的大小。
周期信号的频谱分析采用傅氏级数展开法,傅氏级数展 开有多种表达形式,其中指数表达式最常用。
第2章 确知信号分析 任何周期为 T 0 的周期信号 x (t ),只要满足狄里赫利条
第2章 确知信号分析
经常还会碰到另一种情况,信号的频谱函数具有矩形特 性,如图 2.3. 2 ( a )所示,那么它的时间波形又是什么样的呢? 用傅氏反变换式(2－3－2 )可求得时间函数为
第2章 确知信号分析 矩形频谱的时间波形如图 2.3. 2 ( b )所示。
图 2.3. 2 矩形频谱及其时间波形
互相关函数就变成了自相关函数,记作 R (τ )。故有
其中 x (t + τ )是 x ( t )向左位移 τ 后的信号
第2章 确知信号分析
其中,
称为傅氏级数的系数, f 0 =1 / T 0称为周期信号的基波频率, nf 0称为 n 次谐波频率。
第2章 确知信号分析 例 2.2. 1 一个典型的周期矩形脉冲信号 x ( t )的波形如
图 2. 2. 1 所示,脉冲宽度为 τ ,高度为 A ,周期为 T 0 。 (1 )求此周期矩形脉冲信号的傅氏级数表达式。
图 2.4. 3 信号通过线性系统
第2章 确知信号分析
系统输出信号的频谱 R (f )等于系统输入信号的频谱 X ( f )乘以系统的传输特性H ( f ),即
它的傅氏反变换就是系统的输出信号 r (t ),也等于输入信号 x ( t )与系统冲激响应 h ( t )的卷积。因此有
第2章 确知信号分析
第2章 确知信号分析
2. 2 周期信号的频谱分析
频谱分析的目的是找出信号所包含的频率成分以及各个 频率成分的幅度及相位的大小。
周期信号的频谱分析采用傅氏级数展开法,傅氏级数展 开有多种表达形式,其中指数表达式最常用。
第2章 确知信号分析 任何周期为 T 0 的周期信号 x (t ),只要满足狄里赫利条
第2章 确知信号分析
经常还会碰到另一种情况,信号的频谱函数具有矩形特 性,如图 2.3. 2 ( a )所示,那么它的时间波形又是什么样的呢? 用傅氏反变换式(2－3－2 )可求得时间函数为
第2章 确知信号分析 矩形频谱的时间波形如图 2.3. 2 ( b )所示。
图 2.3. 2 矩形频谱及其时间波形
互相关函数就变成了自相关函数,记作 R (τ )。故有
其中 x (t + τ )是 x ( t )向左位移 τ 后的信号
第2章 确知信号分析
第2章 确知信号分析
例
求周期余弦信号 的自相关函数和功率谱 f t E cosω0t 求复指数信号 jω t f t E e 的自相关函数和功率谱
0
2.4 确知信号的频域特性
一、能量信号的能量和能量谱密度 二、无限非周期信号的平均功率和功率谱密度 三、周期信号的平均功率和功率谱密度
2 T
e
j0t
2 ( 0 )
1 cos 0t [e j0t e j0t ] [ ( 0 ) ( 0 )] 2 1 sin 0t [e j0t e j0t ] [ ( 0 ) ( 0 )] 2j j
f (t ) nf (0) (t ) jt
F ( x)dx
卷积性质：
f1 (t ) f 2 (t )
F1 () F2 ()
1 F1 ( ) F2 ( ) 2
f (t ) (t ) f (t )
f (t ) (t T ) f (t T )
平均功率P为
1 T /2 2 lim f (t )dt T T T / 2
能量信号：时间有限的信号，信号能量有 限，在全部时间内的平均功率为0。 功率信号：时间无限的信号，具有无限的 能量，但平均功率有限。
2.2 确知信号的频域分析
一、周期信号 二、付立叶变换 三、付氏变换的性质 四、常用信号的付氏变换
一、能量信号
能量信号的频谱密度 ——该信号的傅利叶变换
1 f (t ) 2Fra bibliotek
F ( )e jtd
F ( ) f (t )e jtdt F ( ) e j ( )
第二章 确定信号分析
第二章 确定信号分析
1
学习目标
确定信号的分类 周期信号的傅立叶技术 分析 傅立叶变换 傅立叶变换的性质 单位冲激函数的傅立叶 变换 功率信号的傅立叶变换 能量谱密度和功率谱密 度 确定信号的相关函数 卷积 确定信号通过线性系统 希尔伯特变换 解析信号 频带信号与带通系统
2
2.2 确定信号的分类
周期信号与非周期信号
函数与冲激信号的卷积
18
⇔? f ( t )cos ω 0 t ⇔ ? f ( t )e
jω0 t
F (ω + ω 0 ) 1 F (ω + ω0 ) + F (ω − ω0 ) 2
19
2.11确定信号通过线性系统 确定信号通过线性系统
信号不失真传输条件： 信号不失真传输条件： 1、时域描述（两种） 时域描述（两种） 2、频域描述
希尔波特变换等 效为一个理想相 移器。 移器。
例题见2.12.1 例题见
希尔波特变换的性质： 希尔波特变换的性质：
(1) H
−1
(3) ∫
∞
^ f ( t ) = f (t )
2 ∞ −∞
−∞
f ( t )dt = ∫
∧ (2) H f ( t ) = − f ( t ) 2 f ( t )dt
* 1
(t ) f2 (t +τ )d t
13
4、周期信号的自相关函数 、 1 T * 2 R(τ ) = lim ∫ T f (t ) f (t +τ )d t T→∞ T − 2 5、能量信号的自相关函数 、
R(τ ) = ∫ f ∗(t ) f (t +τ )d t
−∞ ∞
1
学习目标
确定信号的分类 周期信号的傅立叶技术 分析 傅立叶变换 傅立叶变换的性质 单位冲激函数的傅立叶 变换 功率信号的傅立叶变换 能量谱密度和功率谱密 度 确定信号的相关函数 卷积 确定信号通过线性系统 希尔伯特变换 解析信号 频带信号与带通系统
2
2.2 确定信号的分类
周期信号与非周期信号
函数与冲激信号的卷积
18
⇔? f ( t )cos ω 0 t ⇔ ? f ( t )e
jω0 t
F (ω + ω 0 ) 1 F (ω + ω0 ) + F (ω − ω0 ) 2
19
2.11确定信号通过线性系统 确定信号通过线性系统
信号不失真传输条件： 信号不失真传输条件： 1、时域描述（两种） 时域描述（两种） 2、频域描述
希尔波特变换等 效为一个理想相 移器。 移器。
例题见2.12.1 例题见
希尔波特变换的性质： 希尔波特变换的性质：
(1) H
−1
(3) ∫
∞
^ f ( t ) = f (t )
2 ∞ −∞
−∞
f ( t )dt = ∫
∧ (2) H f ( t ) = − f ( t ) 2 f ( t )dt
* 1
(t ) f2 (t +τ )d t
13
4、周期信号的自相关函数 、 1 T * 2 R(τ ) = lim ∫ T f (t ) f (t +τ )d t T→∞ T − 2 5、能量信号的自相关函数 、
R(τ ) = ∫ f ∗(t ) f (t +τ )d t
−∞ ∞
第二章 确知信号分析
周期信号（续）
Fn ~ω 幅度谱 n ~ω 相位谱 周期信号为功率信号
P
n
F
2
n
二、付立叶变换
f (t ) F ( )
变换式为：
1 f (t ) 2
F ( )e jtd
F ( )
f (t )e jtdt F ( ) e j ( )
常用信号的付氏变换(续)
信号 3.门函数 (单脉冲) 周期性脉冲 串 4.三角波 5.阶越函数 6.指数函数
f (t )
A |t| 2 G (t ) { 0 |t| 2
n
F ( )
A Sa (
A1
2
)
1
2 T
AG (t nT )
n
Sa (
2.2 信号的分类
数字信号与模拟信号 周期信号与非周期信号 确定信号与随机信号 能量信号与功率信号
信号的分类（续）
信号的功率（能量）：电压（电流） f(t) 加在单位电阻上消耗的功率（或能量）。 信号的瞬时功率为 f 2 (t) 总能量E为 f 2 (t)dt
平均功率P为
R F F F
2
2.4 确知信号的频域特性
一、能量信号的能量和能量谱密度 二、无限非周期信号的平均功率和功率谱密度 三、周期信号的平均功率和功率谱密度
一、能量信号
能量信号的频谱密度 ——该信号的傅利叶变换
1 f (t ) 2
F ( )e jtd
单位冲激函数(函数)
第2章 确定信号分析-打印版
∫
t0 +T
t0
x (t )ul (t )dt
∑ a u (t )u (t )dt ∫=
t0 k =0 k k l
t0 +T ∞
{
alC , 当 k =l 0 , 当 k ≠l
z
1 t0 +T ak = ∫ x (t )uk (t )dt , C t0
= C 1时， = ak
az
V = ax x + a y y + az z
X T (ω ) = ℑ[ xT (t )] = Aτ Sa (ωτ 2 )
15Biblioteka 2.1.2信号的频谱分析-例2.1
X T (ω ) = ℑ[ xT (t )] = Aτ Sa (ωτ 2 )
X (ω ) 2π Aτ T
n = −∞ ∞
∑
∞
Sa (
nω0τ )δ (ω − nω0 ) 2
关于矩形 脉冲及其 频谱
能量信号的帕斯瓦尔定理 (2.22) 分析 : G(w)是偶函数 (2.23)
ω = 2π f ∞ 1 ∞ E = G (ω )d ω G ( f )df ∫ ∫ −∞ −∞ 2π ∞ 1 ∞ = = ∫ G(ω )dω 2∫ G( f )df
π
0
0
18
2.2.2功率信号及功率谱密度-功率和功率信号
12
2.1.1信号的频谱分析-周期信号的频谱密度函数
为统一描述周期信号和非周期信号，对周期信号也采用 频谱密度函数。 ∞ x ( t ) = ∑ cn e j n ω t 方法一：
0
n = −∞
而 故
e jnω0t ↔ 2πδ (ω − nω0 )
x(t ) ↔ X (ω ) = ℑ[ x(t )] = 2π
第二章 确定信号分析
E ( ) e
j
d
E ( )
R ( ) e
j
d
2012/3/3
北京邮电大学信息与通信工程学院 niukai@
22
2. 功率信号的自相关函数与其功率谱密度互 为傅立叶变换（证明：略 ）
R( ) P( )
1 R ( ) 2
11
E (2f ) | F ( 2f ) |
2012/3/3
北京邮电大学信息与通信工程学院 niukai@
帕色瓦尔(V. A. Parseval)定理源自1 f (t ) dt 2
2
F ( ) d
2
单边能量谱密度
2E ( ) 0 G( ) 0 0
2012/3/3
北京邮电大学信息与通信工程学院 niukai@
9
• 傅立叶变换
– 正变换
F ( ) f (t )e jt dt F [ f (t )]
– 逆变换
1 jt ( ) f (t ) F e d F 2
1
[ F ( )]
( A)
在该电阻上消耗的能量为 E f 如果
f 2 (t )dt
Ef
能量有限
则 称 f (t )为能量信号
2012/3/3
北京邮电大学信息与通信工程学院 niukai@
5
2 能量信号和功率信号 （2）功率信号
1 lim T1 T 1
功率有限能 量无限
f
2.8
1 定义
确定信号的相关函数
能量信号的互相关函数 功率信号的互相关函数 周期信号的互相关函数
通信原理课件-第二章 确定和随机信号分析
2 2
例，在无线系统中，当发射机和接收机之间有 直达径时，信道衰落的幅值服从莱斯分布
随机信号分析基础
• 联合高斯随机变量：一个n维向量 x，若向 量中的元素服从联合高斯分布，其联合概 率密度函数为
p ( x) 1 (2 )
n /2
C
1/2
e
1 x m T C1 x m 2
随机信号分析基础
• 莱斯（Rice）随机变量 若x1和x2是两个独立的高斯变量，x1的均值为 2 m1，x2的均值为m2，两个变量的方差均为 服从莱斯分布。概率密度函数为
x sx x s 2 2 I 0 2 e 2 , x 0 p ( x) 其他 0，
2
(b a)2 VAR[ X ] 12
随机信号分析基础
• 高斯（正态）随机变量 概率密度函数：
p( x) 1 2 2
X ~ N (m, 2 )
e
( x m )2 2 2
和高斯随机变量密切相关的Q函数：
1 Q(x) 2
x
e dt
t2 2
xm F (x) 1 Q
• 复随机变量 Z X jY 可视为由一对实随机矢 量X和Y组成的向量[X Y]; • 复随机变量Z X jY 的概率密度函数定义为X 和Y的联合概率密度函数。
– 如果X和Y联合高斯分布，且X和Y独立同分布， 则Z的概率密度函数为
p( z ) 1 2 e 2
x2 y 2 2 2
f xi x j f xi k x j k
随机过程
• 随机过程x(t)的均值和自相关函数定义为
m X (t )=E[ X (t )]
例，在无线系统中，当发射机和接收机之间有 直达径时，信道衰落的幅值服从莱斯分布
随机信号分析基础
• 联合高斯随机变量：一个n维向量 x，若向 量中的元素服从联合高斯分布，其联合概 率密度函数为
p ( x) 1 (2 )
n /2
C
1/2
e
1 x m T C1 x m 2
随机信号分析基础
• 莱斯（Rice）随机变量 若x1和x2是两个独立的高斯变量，x1的均值为 2 m1，x2的均值为m2，两个变量的方差均为 服从莱斯分布。概率密度函数为
x sx x s 2 2 I 0 2 e 2 , x 0 p ( x) 其他 0，
2
(b a)2 VAR[ X ] 12
随机信号分析基础
• 高斯（正态）随机变量 概率密度函数：
p( x) 1 2 2
X ~ N (m, 2 )
e
( x m )2 2 2
和高斯随机变量密切相关的Q函数：
1 Q(x) 2
x
e dt
t2 2
xm F (x) 1 Q
• 复随机变量 Z X jY 可视为由一对实随机矢 量X和Y组成的向量[X Y]; • 复随机变量Z X jY 的概率密度函数定义为X 和Y的联合概率密度函数。
– 如果X和Y联合高斯分布，且X和Y独立同分布， 则Z的概率密度函数为
p( z ) 1 2 e 2
x2 y 2 2 2
f xi x j f xi k x j k
随机过程
• 随机过程x(t)的均值和自相关函数定义为
m X (t )=E[ X (t )]
通信原理：第二章 确定信号分析
1 傅里叶变换
1.1 傅里叶变换的运算性质
1.1 傅里叶变换的运算性质
1.2 常用信号的傅里叶变换
1.2 常用信号的傅里叶变换
1.2 常用信号的傅里叶变换
1.3 实信号的傅里叶变换
试证明之！
源函数若为复函数呢？
2 确知信号的表示
能量信号的相关函数与能量谱密度 功率信号的相关函数与功率谱密度 周期信号的表示与功率谱密度 信号带宽的定义方法
由于实信号频谱 的Hermitian特性
共轭性质， how？
5 解析信号
Parseval关系
6 频带信号与带通系统
6 频带信号与带通系统f t Rezt
z t fL t e j2 fct
等效基带信号
f t Re z t
Re
f
t
j
f
t
Re fL t e j2 fct
z(t)为f(t)的解析信号，fL(t)为f(t)的等效基带信号。 fc按实际情况选取。
6 频带信号与带通系统
h(t)的等效低通特性
6 频带信号与带通系统
频带信号通过带通系统 yL t ?
yt xt*ht
？
Re zx t *Re zh t
1 2
zx
t
z*x
t
*
1 2
zh
t
zh*
t
1 4
z
x
t
*
zh
t
z* x
t
*
z* h
t
1 2
Re
zx
t
*
zh
t
Re e j2 fct
xL
hL
t
d
6 频带信号与带通系统
第2章 确定信号分析
第2章 确定信号分析
确定信号的频率特性
• 信号还具有频率特性，可用信号的频谱函数 来表示。在频谱函数中，也包含了信号的全 部信息量。 • 频谱函数表征信号的各频率成分，以及各频 率成分的振幅和相位。 – 频谱：对于一个复杂信号，可用傅立叶分 析将它分解为许多不同频率的正弦分量， 而每一正弦分量则以它的振幅和相位来表 征。将各正弦分量的振幅与相位分别按频 率高低次序排列成频谱。
( t ) lim h ( t )
h
20
通信原理
第2章 确定信号分析
(t ) 函数的频谱
21
通信原理
第2章 确定信号分析
(t ) 函数的频谱
δ(t)
22
通信原理
第2章 确定信号分析
2. 常数A的傅利叶变换
A 2A ( )
23
通信原理
第2章 确定信号分析
2.3.4 常用信号的傅里叶变换
Fn ( nT )
2 2
1 P f (t ) dt Fn T T / 2 n Fn为各个频率点的幅度，|Fn|2为nωT 分量的平均功率
信号的功率（能量）谱只与幅度谱有关。 周期性信号具有离散谱，而非周期信号具有连 44 续谱。 通信原理
第2章 确定信号分析
第2章 确定信号分析
第二章 确定信号分析
2.1 引言 2.2 确定信号的分类 2.3 确定信号的频域性质 2.3.1 频域分析意义 2.3.2 傅里叶变换 2.3.3 常用信号的傅氏变换 2.3.4 傅氏变换的性质 2.3.5 卷积
1 2.3.6 信号的功率谱和能量谱
通信原理
第二章 确定信号分析
2.4 确定信号的时域性质 2.4.1 能量信号的相关函数 2.4.2 功率信号的相关函数 2.5 确定信号通过线性系统
第二章确定信号分析1
T
T
v(t )dt
周期为T0的周期信号v(t)，
1 v(t ) lim T 2T
1 T v(t )dt T0
T
T0 / 2
T0 / 2
v(t )dt
1 [ ] lim T 2T
T
T
September 16, 2018 -4-
[ ]dt
时间平均运算符
西南交通大学 Southwest Jiaotong University
Pt s 2 t
Watt
信号s(t)在(-T/2,T/2)间隔内在1电阻上消耗的平均功率为
1 PT T
T 2
T 2
s 2 t dt
Watt
若信号s(t)的平均功率满足下列关系 1 T2 2 0 P lim PT lim s t dt T T T T 2 则称此信号s(t)为功率信号(Power Signal)。 注意： 能量信号的平均功率为0 功率信号的能量无穷大 一般持续时间有限的信号是能量信号 持续时间无限的信号也可能是能量信号 周期信号是功率信号 能量信号和功率信号的分类对于随机信号的分类也适用
西南交通大学 Southwest Jiaotong University
September 16, 2018
-13-
现代通信原理 Principle of Modern Communications
任何一个满足狄里赫利条件的周期信号s(t)都可以展开成傅立叶级数
s(t ) a0 an cos n0t bn si of Modern Communications
3. 信号的功率
v 2 t 2 i t R 信号的瞬时功率： pt vt i t R 2 _____ 信号的平均功率： v t 2 P pt vt it i t R R
通信原理第2章 确定信号分析
∞
2
F ( f ) df
−∞
−∞
19
通信原理
第2章 确定信号分析
②通常称E( f ) = F( f ) 2 为双边能量谱密度。 ③通信技术中常用单边能量谱密度。
G(f ) =⎧⎪⎨2E(f ) f >0 (仅对实信号有定义！)
⎪⎩0
f <0
∞
∞
∞
∫ ∫ ∫ Ef
=
E( f )df
−∞
=
0
G( f )df
=2 0
E( f )df
20
通信原理
2.功率谱密度
¾非周期功率信号f(t)，取其截断函数fT(t)
（|t|≤T/2）。 假定fT(t) FT(f)，那么
∫ ∫ ET
=
∞
|
−∞
fT (t) |2dt =
∞
−∞|FT
(
f
)
|2
df
¾功率谱密度的定义
P ( f ) = lim | FT ( f ) |2
T →∞
+∞ j 2π nf0t
j 2π mf0 (t +τ )
= [ F e F e ]dt n
m
T −T / 2 n=−∞
m = −∞
∑ ∑ ∫ = n
1 j 2π mf0τ F F e e dt n m T m
+T / 2 j 2π f0 (n+m)t
−T / 2
+∞
∑ =
| Fn |2 e j2πnf0τ
分量、正交分量等概念 ⑧ 了解频带信号通过带通系统的分析方法。
2
通信原理
第2章 确定信号分析
2.1 引言
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• 周期信号的傅立叶变换存在条件
–周期信号不满足绝对可积条件 –引入冲激信号后，冲激的积分是有意义的 –在以上意义下，周期信号的傅立叶变换是存在的 –周期信号的频谱是离散的，其频谱密度， 即傅立叶 变换是一系列冲激
f (t ) Fn e
n
jn0t
2 Fn ( n0 )
北京邮电大学信息工程学院
0
2.2.4 功率信号的傅立叶变换
1、常数A
A 2A ( )
A 0
2A ( )
f (t ) A
t
2A
0
2013-7-21
北京邮电大学信息工程学院
33
2、正弦、余弦信号
1 jx cos x ( e e jx ) 2 1 sin x (e jx e jx ) 2j
0
F ( )
( 0 )
0
0
FT [sin 0 t ] j [ ( 0 ) ( 0 )]
jF ( )
0
( 0 )
0
( 0 )
2013-7-21
0
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35
3、周期信号
2013-7-21
北京邮电大学信息工程学院
5
2 能量信号和功率信号
（1）能量信号 若 f (t ) 表示一欧姆电阻上的电压 （V） 则电流为
i (t ) f (t )
( A)
在该电阻上消耗的能量为 E f 如果
f 2 (t )dt
Ef
能量有限
则 称 f (t )为能量信号
2013-7-21 北京邮电大学信息工程学院 6
③ (t ) 的傅立叶变换
(t t0 ) e jt
0
(t ) 1
e jt0 2 ( 0 ) ④
⑤
e jt0 2 ( 0 )
(t ) ( n ) (t t0 )dt ( 1)n ( n ) (t0 )
(t ) ' (t t0 )dt ' (t0 )
– 逆变换
1 f (t ) 2
F ( )e jt d
2013-7-21
北京邮电大学信息工程学院
27
频谱密度
2013-7-21
北京邮电大学信息工程学院
28
傅利叶变换的特点
(a) F(ω )是一个密度函数的概念 (b) F(ω )是一个连续谱 (c) F(ω )包含了从零到无限高频的所有频率分量 (d) 各频率分量的频率不成谐波关系
北京邮电大学信息工程学院
21
周期信号的指数形式的傅利叶级数 频谱图的特点
双边谱: 引入了负频率变量，没有物理意 义，只是数学推导； cn 是实函数，Fn 一般是复函数， 当 Fn 是实函数时，可用Fn的正负表示0和 π相位， 幅度谱和相位谱合一；
2013-7-21
北京邮电大学信息工程学院
2013-7-21
北京邮电大学信息工程学院
29
2.2.3 单位冲激函数的傅立叶变换
1、单位冲击函数的 (t ) 定义
(t )
0
t0 t0
且
(t )dt 1 对任意 0
2、 (t ) 性质 ①
t
( )d u (t )
0 1 2 1
t0 t0 t0
f (t ) 0, t T1 / 2
•以T(T > T1)为周期延拓 → 周期信号F(t) F (t ) f (t nT ), n 0,1,2,
n
T
lim F (t ) f (t )
令当T 时，F (t )满足狄里赫利条件，则 F (t ) 其中
第二章 确定信号分析
北京邮电大学信息与通信工程学院 刘刚 2013年7月
第二章 确定信号分析
• • • • • 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 引言 傅利叶变换(自己复习) 能量和功率谱密度、相关函数、卷积 确定信号通过线性系统 频带信号和带通系统
2013-7-21
北京邮电大学信息工程学院
G( ) g (t )e
jt
T dt T / 2 Ae jt dt AT1Sa( 21 ) 1 T /2 1
2 c T an f (t ) cos n 0tdt T c
2 bn T
c T
c
f (t ) sin n 0tdt
T c为常量，一般有c 2
2013-7-21 北京邮电大学信息工程学院 13
狄利赫利条件
• 在一个周期内只有有限个间断点； • 在一个周期内有有限个极值点； • 在一个周期内函数绝对可积，即
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n n
19
指数形式的傅里叶级数的系数
1 Fn T
T /2
T / 2
f (t )e
jn 0t
dt
2013-7-21
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20
周期信号的指数形式的傅利叶级数的 频谱图
Fn n 0 0
0
0
Fn
0 0
2013-7-21
2
2.1 引言
• 确定信号
– 用确定的时间函数表示的信号
• 随机信号
– 不能用一个确定性的时间函数来描述，但具 有一定的统计规律性
2013-7-21
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3
确定信号的分类
周期信号 非周期信号 模拟信号 数字信号
能量信号 功率信号
基带信号 频带信号
2013-7-21
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单位阶跃函数 du (t ) (t ) u (t ) dt
2013-7-21 北京邮电大学信息工程学院 30
2、 (t )性质（续）
②
(t ) (t t0 )dt (t ) (t0 t )dt (t0 )
(t ) 在 t t0 点连续
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18
2、周期函数的复指数级数
• 由前知
f (t ) c0 cn cos(n 0t n )
n 1
• 由欧拉公式
f (t )
n
F e
n
jn 0 t
• 其中
F0 c0
引入了负频率
2013-7-21
cn jn Fn e 2 cn jn Fn e 2
22
两种傅氏级数的系数间的关系
Fn F n cn d n
1 2 1 2
1 2
a b
2 n
2 n
Fn F n cn
Fn Fn an
j ( Fn Fn ) bn
c d a b 4 Fn Fn
2 n 2 n 2 n 2 n
2013-7-21 北京邮电大学信息工程学院 23
• 一般周期信号都满足这些条件.
c T
c
f (t ) dt
2013-7-21
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14
周期信号的另一种三角函数表示
f (t ) c0 cn cos(n 0t n )
n 1
直流 分量 基波分量 n =1 谐波分量 n>1
f (t ) d 0 d n sin(n 0t n )
n 1
2013-7-21 北京邮电大学信息工程学院 15
比较几种系数的关系
a0 c0 d 0
cn d n a b
2 n 2 n
直流分量
an cn cos n d n sin n
bn cn sin n dn cos n
an tg n bn
2013-7-21
10
2.2.1周期信号的傅利叶级数
• 周期信号可展开成正交函数线性组合的无 穷级数： . 三角函数式的 傅立里叶级数 {cos(n0t), sin(n0t)} . 复指数函数式的傅里叶级数 { e j n 0t }
2013-7-21
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11
1、三角函数的傅里叶级数
f(t)为周期信号，周期为T，且满足狄里赫利条件
n
F
1 T /2 Fn f (t )e jn0t dt T T / 2
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2 0 T
36
或设 g (t ) f (t ) 一个周期；且 为
g (t )
f (t )
0
| t |
T 2
t为其它值
g (t ) G( ) g (t )e
jt
dt
T /2
T / 2
f (t )e jt dt
Fn
Fn 1 G ( n 0 ) T
n
1 T /2 2 f (t )e jn0t dt 0 T T / 2 T
F ( ) 2
2 T
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F ( n )
f (t ) a0 (an cos n 0t bn sin n 0t )
n 1
直流 分量 基波分量 n =1 谐波分量 n>1
2 0 T
2013-7-21 北京邮电大学信息工程学院
n0
12
直流 系数
余弦分量 系数 正弦分量 系数
1 c T a0 f (t )dt T c
–周期信号不满足绝对可积条件 –引入冲激信号后，冲激的积分是有意义的 –在以上意义下，周期信号的傅立叶变换是存在的 –周期信号的频谱是离散的，其频谱密度， 即傅立叶 变换是一系列冲激
f (t ) Fn e
n
jn0t
2 Fn ( n0 )
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0
2.2.4 功率信号的傅立叶变换
1、常数A
A 2A ( )
A 0
2A ( )
f (t ) A
t
2A
0
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33
2、正弦、余弦信号
1 jx cos x ( e e jx ) 2 1 sin x (e jx e jx ) 2j
0
F ( )
( 0 )
0
0
FT [sin 0 t ] j [ ( 0 ) ( 0 )]
jF ( )
0
( 0 )
0
( 0 )
2013-7-21
0
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35
3、周期信号
2013-7-21
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5
2 能量信号和功率信号
（1）能量信号 若 f (t ) 表示一欧姆电阻上的电压 （V） 则电流为
i (t ) f (t )
( A)
在该电阻上消耗的能量为 E f 如果
f 2 (t )dt
Ef
能量有限
则 称 f (t )为能量信号
2013-7-21 北京邮电大学信息工程学院 6
③ (t ) 的傅立叶变换
(t t0 ) e jt
0
(t ) 1
e jt0 2 ( 0 ) ④
⑤
e jt0 2 ( 0 )
(t ) ( n ) (t t0 )dt ( 1)n ( n ) (t0 )
(t ) ' (t t0 )dt ' (t0 )
– 逆变换
1 f (t ) 2
F ( )e jt d
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27
频谱密度
2013-7-21
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28
傅利叶变换的特点
(a) F(ω )是一个密度函数的概念 (b) F(ω )是一个连续谱 (c) F(ω )包含了从零到无限高频的所有频率分量 (d) 各频率分量的频率不成谐波关系
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21
周期信号的指数形式的傅利叶级数 频谱图的特点
双边谱: 引入了负频率变量，没有物理意 义，只是数学推导； cn 是实函数，Fn 一般是复函数， 当 Fn 是实函数时，可用Fn的正负表示0和 π相位， 幅度谱和相位谱合一；
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2013-7-21
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29
2.2.3 单位冲激函数的傅立叶变换
1、单位冲击函数的 (t ) 定义
(t )
0
t0 t0
且
(t )dt 1 对任意 0
2、 (t ) 性质 ①
t
( )d u (t )
0 1 2 1
t0 t0 t0
f (t ) 0, t T1 / 2
•以T(T > T1)为周期延拓 → 周期信号F(t) F (t ) f (t nT ), n 0,1,2,
n
T
lim F (t ) f (t )
令当T 时，F (t )满足狄里赫利条件，则 F (t ) 其中
第二章 确定信号分析
北京邮电大学信息与通信工程学院 刘刚 2013年7月
第二章 确定信号分析
• • • • • 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 引言 傅利叶变换(自己复习) 能量和功率谱密度、相关函数、卷积 确定信号通过线性系统 频带信号和带通系统
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G( ) g (t )e
jt
T dt T / 2 Ae jt dt AT1Sa( 21 ) 1 T /2 1
2 c T an f (t ) cos n 0tdt T c
2 bn T
c T
c
f (t ) sin n 0tdt
T c为常量，一般有c 2
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狄利赫利条件
• 在一个周期内只有有限个间断点； • 在一个周期内有有限个极值点； • 在一个周期内函数绝对可积，即
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n n
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指数形式的傅里叶级数的系数
1 Fn T
T /2
T / 2
f (t )e
jn 0t
dt
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周期信号的指数形式的傅利叶级数的 频谱图
Fn n 0 0
0
0
Fn
0 0
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2
2.1 引言
• 确定信号
– 用确定的时间函数表示的信号
• 随机信号
– 不能用一个确定性的时间函数来描述，但具 有一定的统计规律性
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3
确定信号的分类
周期信号 非周期信号 模拟信号 数字信号
能量信号 功率信号
基带信号 频带信号
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单位阶跃函数 du (t ) (t ) u (t ) dt
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2、 (t )性质（续）
②
(t ) (t t0 )dt (t ) (t0 t )dt (t0 )
(t ) 在 t t0 点连续
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18
2、周期函数的复指数级数
• 由前知
f (t ) c0 cn cos(n 0t n )
n 1
• 由欧拉公式
f (t )
n
F e
n
jn 0 t
• 其中
F0 c0
引入了负频率
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cn jn Fn e 2 cn jn Fn e 2
22
两种傅氏级数的系数间的关系
Fn F n cn d n
1 2 1 2
1 2
a b
2 n
2 n
Fn F n cn
Fn Fn an
j ( Fn Fn ) bn
c d a b 4 Fn Fn
2 n 2 n 2 n 2 n
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• 一般周期信号都满足这些条件.
c T
c
f (t ) dt
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周期信号的另一种三角函数表示
f (t ) c0 cn cos(n 0t n )
n 1
直流 分量 基波分量 n =1 谐波分量 n>1
f (t ) d 0 d n sin(n 0t n )
n 1
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比较几种系数的关系
a0 c0 d 0
cn d n a b
2 n 2 n
直流分量
an cn cos n d n sin n
bn cn sin n dn cos n
an tg n bn
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2.2.1周期信号的傅利叶级数
• 周期信号可展开成正交函数线性组合的无 穷级数： . 三角函数式的 傅立里叶级数 {cos(n0t), sin(n0t)} . 复指数函数式的傅里叶级数 { e j n 0t }
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1、三角函数的傅里叶级数
f(t)为周期信号，周期为T，且满足狄里赫利条件
n
F
1 T /2 Fn f (t )e jn0t dt T T / 2
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2 0 T
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或设 g (t ) f (t ) 一个周期；且 为
g (t )
f (t )
0
| t |
T 2
t为其它值
g (t ) G( ) g (t )e
jt
dt
T /2
T / 2
f (t )e jt dt
Fn
Fn 1 G ( n 0 ) T
n
1 T /2 2 f (t )e jn0t dt 0 T T / 2 T
F ( ) 2
2 T
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F ( n )
f (t ) a0 (an cos n 0t bn sin n 0t )
n 1
直流 分量 基波分量 n =1 谐波分量 n>1
2 0 T
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n0
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直流 系数
余弦分量 系数 正弦分量 系数
1 c T a0 f (t )dt T c