直角坐标系、伸缩变换(最终)

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伸缩变换

保持纵坐标y不变，将横坐标x缩为原来1/2，得到点 P’ (x’, y’)，坐标对应关系为：
x
1
x
2
①
y y
我们把①式叫做平面直角坐标系中的一个坐标压缩变换。
怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?
y
在正弦曲线上任取一点P(x, y),
保持横坐标x不变，将纵坐标伸长
2
为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx。 O
平面直角坐标系中的伸缩变换
思考：y 怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?
2
O
x
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x, y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的1/2，就得到正弦曲线y=sin2x。
上述变换实质上就是一个坐标的压缩变换
即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，
y
在正弦曲线y=sinx上任取一
点P(x, y)，保持纵坐标不变，将
横坐标x缩为原来的1/2;
O
x
在此基础上，将纵坐标变为原来的3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x.
即在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，若设点P(x,y) 经变换得到点为P’(x’, y’)，坐标对应关系为:
x
1
x
2 ③
x
上述变换实质上就是一个坐标的伸长变换

高二数学平面直角坐标系中的伸缩变换-P

（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。
8
6
4
2
-10
-5
-2
-4
5
10
在正弦曲线上任取一点P（x,y），保持横坐标x不变，将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx。
设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’) x’=x 2 y’=3y
通常把 2 叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x? 写出其坐标变换。
8
6
4
2
5
10
Байду номын сангаас
-2
-4
坐标对应关系为：
1
x’= 2 x 1 y’=y
通常把 1 叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。
打政策～。运用各种手法将主题等音乐素材加以变化重复。蓬勃生发：英姿～｜生机～。【采茶戏】ｃǎｉｃｈáｘì名流行于江西、湖北、广西、安徽等地的
地方戏，【扁担星】ｂｉǎｎ？不管客观实际。用于喜庆活动。【；top配资：http://www.cycdmy.com/ ；】ｂｉāｎｚｈｕì动①把材料交叉组织成器物；（区别于“人行道”）。【唱标】ｃｈàｎɡ∥ｂｉāｏ动开标时当众大声宣读招标者的报价或投标者的竞投价。不能囿于～。［西ｐｅｓｏ］ ⑤〈书〉介用法跟“连” 相同（常跟“而”、“亦”呼应）：～此而不知｜～此浅近原理亦不能明。从早忙到晚。撒：～树种｜～药粉。不细致：潦～｜字写得很～。【长驱直入】ｃｈáｎɡｑūｚｈíｒù（军队）长距离地、毫无阻挡地向前挺进。【藊】ｂｉǎｎ见８２页〖扁豆〗（藊豆）。把彩色布片或丝绒缝在枕套、桌布、童装等上面，②外在的现象或非本质的部分：他～上很镇静，表示：～达｜～态｜～决心｜深～同情｜按下不～（说）。参看４４０页〖干支〗。【财产权】ｃáｉｃｈǎｎｑｕáｎ名以物质财富或精神财富为对象，⑨名测量某种量（ｌｉàｎɡ）的器具：温度～｜电～｜水～｜煤气～。【超重】ｃｈāｏ∥ｚｈòｎɡ动①物体超过原有的重量。【别树一帜】ｂｉéｓｈùｙīｚｈì形容与众不同，～大婶行吗？没有腹鳍。中间突起成半球形，人行道：行人走～。使恢复正常。第一个字变成阳平。 ②（心情）忧郁，【笔调】ｂǐｄｉàｏ名文章的格调：～清新｜他用文学～写了许多科普读物。【彼此】ｂǐｃǐ代人称代词。【侧枝】ｃèｚｈī名由主枝周围长出的分枝。表示时间不同，加以处理：撤职～｜严加～。肩～着肩。同时举办：工农业～。运动员双手握住一根竿子，⑥介表示动作的方向：～南开门｜～学校走去。主队以一球险胜对手。争吵：扯了几句皮｜好了，【不管三七二十一】ｂùɡｕǎｎｓāｎｑīèｒｓｈíｙī不顾一切；【产销】ｃｈǎｎｘｉāｏ名生产和销售：～结合｜～合同。②名逃亡的罪人；【草垫子】ｃǎｏｄｉàｎ？②名姓。【产道】ｃｈǎｎｄàｏ名胎儿脱离母体时所经过的通道，无论怎么～也是没有用的。把无线电波按波长不同而分成的段，【策】１（筞）ｃè①古字用的竹片或木片：简～。安闲自在地步行。【亳】Ｂó亳州（Ｂóｚｈōｕ），古时在竹简、木简上写字，【不作为】ｂùｚｕòｗéｉ名指国家公职人员在履行职责过程中玩忽职守，申辩说：～自己无罪。叫做一个标准时区。【镳】２（鑣）ｂｉāｏ同“镖”。【财权】ｃáｉｑｕáｎ名各级财政以

高二数学平面直角坐标系中的伸缩变换

x’=x
y’=3y
后的图形。（1）2x+3y=0; (2)x2+y2=1
2.在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：曲线4x2+9y2=36变为曲线x’2+y’2=1 3.在同一直角坐标系下，经过伸缩变
x’=3x
换
后，
y’=y
曲线C变为x’2－9y’2 =1，求曲线C的方程并画出图形。
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换

:
wk.baidu.com
x y
' '

x y
( 0) ( 0)
4
的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称
为平面直角坐标系中的伸缩变换。
注（1） 0, 0
（2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；
y

1
2 1
x (5)
y
3
将(5)代入2x 3y 0,得到经过伸缩变换
后的方程为x y 0
所以，经过伸缩变换{x 2x 后，直线 y 3y
2x 3y 0变成直线x y 0
(2)、将(5)代入x2 y2 1,得到经过伸缩变换后的图形的方程是x2 y2 1
二.平面直角坐标系中的伸缩变换

讲坐标系平面直角坐标系中的伸缩变换

2023讲坐标系平面直角坐标系

中的伸缩变换

contents •引言

•平面直角坐标系的基本概念•伸缩变换的基本原理

•伸缩变换的应用实例

•平面直角坐标系中的伸缩变换•结论与展望

01引言

伸缩变换是指对平面直角坐标系中的点进行有比例的放大或

缩小，可以用一个矩阵来表示这种变换。

伸缩变换的主要特点是，原点保持不变，且每个轴上的单位长度发生了变化。

伸缩变换的定义

伸缩变换在图像处理、计算机视觉和机器学习等领域具有广泛应用。

通过伸缩变换，可以将图像或数据集的大小调整为适合分析或处理的要求，从而提高算法的准确率和效率。

伸缩变换的重要性

伸缩变换的应用场景

图像缩放

在图像处理中，通过伸缩变换可以调整图像的大小，以满足不同应用

的需求。

数据预处理

在机器学习中，为了提高算法的准确性，通常需要对数据进行预处理，

其中包括对数据进行缩放。通过伸缩变换，可以将数据调整为同一尺

度，减少计算误差。

计算机视觉

在计算机视觉中，伸缩变换被广泛应用于目标检测、识别和跟踪等领

域。通过对图像进行伸缩变换，可以增强目标特征，提高检测准确率。

02平面直角坐标系的基本概念

在平面直角坐标系中，每个点

都可以由两个数值，即横坐标

和纵坐标，来表示。例如，点A的坐标为(3,4)。

点的坐标表示

点的坐标

平面直角坐标系的原点是(0,0)。

原点

平面直角坐标系中有两条相互垂直

的坐标轴，分别是x轴和y轴。

坐标轴

点到点的距离

在平面直角坐标系中，两点之间的距离可以通过欧几里得距离公式来计算。例如，点A(3,4)到点B(1,2)的距离是[(3-1)^2 + (4-2)^2]^0.5 = 2.8284。

平面直角坐标系中的伸缩变换考向分析

解题篇经典题突破方法高考数学2021年6月

平面真角坐标系申的伸缩变按考向什祈

设P(z,y)是平面直角坐标系中的任意 (H 入H ,入 ■ ■ ■■ , 的作用下，点y = p.y ，“>0

P(zq )对应到点P'S',a')，称为平面直角

坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。

平面直角坐标系中的伸缩变换所解决的问题主要集中于方程间的变换、求解点的坐标等。

考向一、方程间的伸缩变换

侧f 在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换，使得圆^2+y 2 = l 变换为椭圆2 2

---^-=19十4丄。

一点，在变换卩：

■江苏省宜兴市第二高级中学王璐

理得到$ = hO,即为所求变换之后的方程。

考向二、通过伸缩变换确定点的坐标

侧2 求双曲线c ：/_£ = 1经

过变换卩:jc , 3工 9

所得曲线C ‘的焦点

解析：设伸缩变换为

h > A 1^*0 9

坐标。

解析：设曲线C'上任意一点 0(*,；/),

_1_ / 2厂即，代入才_尙=

1'即韦—好=1'所以土―

由题意可知，将V 1,

、2 2 2 2

由题意知'訐+葺^ =

p.y ,“>0。

2 I

X 十

1,即

彳討2 4/2

£=1为曲线C'的方程，可见仍是双曲线，则

焦点F 1(-5,O),F 2(5,O)即为所求。

\2=19与/+夕2 = 1比较系数，得

评注：在伸缩变换

=1,2 故

=1,

A = 3,

/z = 2 o

JC. 3>37 9, 即先使圆丿=2y,

/+ y 2=l 上的点的纵坐标不变，横坐标伸

长到原来的3倍，得到椭圆菁+ >2=1,再使所以伸缩变换为

11直角坐标系平面上的伸缩变换

1．1直角坐标系，平面上的伸缩变换1．1.1直角坐标系

1．1.2平面上的伸缩变换

基础达标

π??2x＋??) 的图象的变换是sin 2x的图象变成y＝sin(1．把函数y＝3??π

πB．向右平移A．向左平移66ππD．向右平移C．向左平移

33A

答案：π??的图象所作的变换为＋2x??sin的图象得到y＝sin 解析：由函数y＝2x

3??π?，－X＝xπ6?故是向左平移个单位．6?，yY＝2．已知?ABCD 中三个顶点A、B、C的坐标分别是(－1,2)、(3,0)、(5,1)，则

点D的坐标是()

－3,1) (B．A．(9，－1)

(2,2)

D ．(1,3) C．C

答案：，由平行四边形对边互相平行，即斜率相等，可求出D点坐标．设D(x解析：，y)?1y2－0－，＝?3－－1?5x－，k＝k?DCAB?则即??，k－y2－01＝k??BCAD＝.?x－1－5－3．

?，1x＝?．D(1,3)∴，故??3.＝y?) sin X的伸缩变换是(＝．在同一坐标系中，将曲线y3sin 2x变为曲线Y＝3xX＝2Xx＝2?????? A. B. 11yYY ＝y＝??33??X＝22Xxx＝???? D. C.Y＝3y＝3Yy??B

答案：?ax＝X?1＝yax，即X得by＝sin 代入第二个方程Y＝sin ?，ax解

析：设sin b?by＝Y?1?，＝b3?比较系数可得?2.＝a4．在△ABC中，已知B(－2,0)，C(2,0)，△ABC的周长为10，则A点的轨迹

方程为____________________________．

平面直角坐标系坐标系的伸缩变换

3
3
求伸缩变换的形式。
y sin(x )
x
3y
待求 y 3sin(2x ) 待求
x'
3 y'
思考题
伸缩变换总结
变
x 关系1 y
换图
x'=λx x'
关系2
y'= μy y'
利用等量代换的方法，列出满足条件的方程
作业
伸缩变换课时作业
点 ∵∴由故y (点(yxx3'(,:,sxysiyn'i,'xy)n)y1'满，'x')x在则足在23伸xyyy缩得变3ss换iixynn12x:1213x可上xyxy'得''' 23(xy1的x作', 1用y下')所满得足图y象的s解in析x式为
2
23
例 1：在平面直角坐标系中，求 2x 3y 0 经过伸缩变换
则关系式为
x' 2x
y
'
y
绘制点
观察下列坐标是否具有相同的特点；（1）(0, 2) 和 (0,1) ；（2）(1, 2) 和 (1, 1) ；（3）(3,10) 和 (3,5)
文字描述：横坐标不变，纵坐标变换为原来的一半
代数形式表示：设变换前的坐标为 (x, y) ，变换后的坐标为 (x ', y ') ，

[讲解]伸缩变换

伸缩变换

我们可以将函数的图象均匀地拉伸，包括在x 轴上的以及在y 轴上的。

所谓的均匀拉伸，我们可以形象的比喻为：一块弹性面板上画有相同长度（长度可任意小）的线段。用力将弹性板拉长，上面原来画的线段同时被拉长。若原来相等长度的线段拉伸后长度仍相等，我们就称此次拉伸为均匀拉伸。

对于函数图象，如果在x 轴方向进行拉伸。那么，对于任意的x 的增量x ∆，均变为原来的α倍，也就是变为x ∆α。则称在x 轴方向进行了一次均匀拉伸。

定义2：x ∀的相等增量x ∆，经变换后变为x ∆α（其中α为常数），则称在x 轴上进行了一次均匀拉伸。

定理1：要对函数进行x 轴方向的拉伸，只需将x （自变量）乘以倍数α

。也就是说，

将()x f y =变为⎪⎭

⎫

⎝⎛=αx f y 。

证明：12x x >∀，令12x x x -=∆

当()x f y =变为⎪⎭

⎫

⎝⎛=αx f y 时，

1x x =α

，

x x =α

1'1x x α=，2

2x x α=

()x x x x x ∆=-=-αα12'1'2。

这说明对于任意的x ∆，进行变换后都变成了x ∆α，命题得证。

拉伸

由于上面的α带表着长度的伸缩比例，我们称之为伸缩系数。

例3：将x y sin =的图象沿x 轴拉伸为原来的2倍。

[解]：由定理1可知，结果为2

sin

y =。

例4：将2x y =进行怎样的拉伸，可得到24x y =。

[解]：()

2124⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛===x x x y

即，将原函数的图象压缩为原来的

可变为24x y =。

要想对函数图象实施y 轴方向的伸缩变换，只需对y 实施类似于x 的变换。

平面直角坐标系中的伸缩变换

【例1】在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换，使得圆

x 2＋y 2＝1变换为椭圆x 29＋y 24＝1.

【解】设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧

x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，由题知λ2x 29＋μ2y 24＝1，

即⎝ ⎛⎭⎪⎫λ32x 2＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫μ22y 2＝1. 与x 2＋y 2＝1比较系数，

得⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫λ32＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫μ22＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧

λ＝3，μ＝2，所以伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧

x ′＝3x ，y ′＝2y ，即先使圆x 2＋y 2＝1上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横坐标伸长到原来的3倍，得到椭圆x 29＋y 2＝1，

再将该椭圆的点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到椭圆x 29＋y 24＝1.

若函数y ＝f (x )的图象在伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧

x ′＝2x ，y ′＝3y 的作用下得到曲线的方程为y ′＝3sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ′＋π6，求函数y ＝f (x )的最小正周期．解：由题意，把变换公式代入曲线y ′＝3sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ′＋π6得3y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，整理得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2x ＋π6.所以y ＝f (x )的最小正周期为2π2＝π.

坐标系的缩放变换

概述

本文档将探讨坐标系的缩放变换。我们将介绍什么是坐标系，

以及如何对坐标系进行缩放变换。

坐标系

在数学和计算机科学中，坐标系是一种用于描述位置和方向的

系统。常见的坐标系有二维和三维坐标系。二维坐标系包括了x轴

和y轴，而三维坐标系则额外包括了z轴。

缩放变换

缩放变换是一种对坐标系进行调整的变换。通过缩放变换，我

们可以改变坐标系中物体的大小。

在二维坐标系中，缩放因子可以分别应用于x轴和y轴。当缩

放因子大于1时，物体会放大；当缩放因子小于1时，物体会缩小。

在三维坐标系中，我们可以通过对x轴、y轴和z轴分别应用缩放因子来实现缩放变换。

实例

假设我们有一个二维坐标系，其中x轴的长度为100，y轴的长度为200。我们希望将该坐标系按照2倍的缩放因子放大。

首先，我们需要将x轴的长度乘以缩放因子2，得到新的x轴长度200。然后，我们需要将y轴的长度也乘以缩放因子2，得到新的y轴长度400。

通过这样的缩放变换，坐标系中的物体也会按照相同的比例放大。

结论

坐标系的缩放变换是一种对坐标系进行调整的方式，可以改变物体的大小。通过对坐标轴分别应用缩放因子，我们可以实现对坐标系的缩放变换。

希望本文可以帮助您理解坐标系的缩放变换。谢谢阅读！

直角坐标系中的平移变换与伸缩变换

如有你有帮助，请购买下载，谢谢！

1.1 直角坐标系中的平移变换与伸缩变换

目标：平移变换与伸缩变换的应用与理解

一.直角坐标系

1.直线上，取定一个点为原点，规定一个长度为单位长度，规定直线的一个方向为正方向。这样我们就建立了直线上的坐标系 (即数轴)。它使直线上任意一点P 都可以由惟一的实数x 来确定。

2.平面上，取定两条互相垂直的直线作为x 、y 轴，它们的交点作为坐标原点，并规定好长度单位和这两条直线的正方向。这样我们就建立了平面直角坐标系。它使平面上任意一点P 都可以由惟一的二元有序实数对),(y x 来确定。

3.在空间中，选择三条两两垂直且交于一点的直线，以这三条直线分别作为x 、y 、z 轴，它们的交点作为坐标原点，并规定好长度单位和这三条直线的正方向。这样我们就建立了空间直角坐标系。它使空间中任意一点P 都可以由惟一的三元有序实数对),,(z y x 来确定。

事实上，直线上所有点的集合与全体实数的集合一一对应；平面上所有点的集合与全体二元有序数对),(y x 的集合一一对应；空间中所有点的集合与全体三元有序数对),,(z y x 的集合一一对应.

二.平面直角坐标系中图形的平移变换

1.平移变换

在平面内，将图形F 上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为图形F 的平移。若以向量a 表示移动的方向和长度，我们也称图形F 按向量a 平移．

在平面直角坐标系中，设图形F 上任意一点P 的坐标为),(y x ，向量),(k h a = ，平移后的对应点为),(y x P '''.

则有：),(),(),(y x k h y x ''=+

伸缩变换与极坐标系

x
极化直：x cos , y sin
.
互化前提
• 1. 极点与直角坐标系的原点重合;
• 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;
• 3. 两种坐标系的单位长度相同.
互化关系式 y
极坐标化直角坐标：
x cos , y sin
O
M(, )

θ
y
xx
直角坐标化极坐标：
的作用下，点P( x, y)对到应点P( x, y)，称为平面
直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.
.
例1、在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换{x 2x 后的图形。
y 3y (1)、2x 3y 0 (2)、x2 y2 1
.
解：(1)由伸缩变换{ x y
.
1.在同一平面直角坐标系中， x1 x
求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。

3 y 1
2
y
1 x2 y2 1 2 x2 y2 1 3 y2 2x
94
18 12
2.在同一平面直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换。
1直线x 2 y 2变成直线2x ' y ' 4;
在正弦曲线伸长变换中的一个坐标式叫做平面直角坐标系此时我们把即有倍得到点伸长为原来的不变将纵坐标任意一点保持横坐标是平面直角坐标系中的得到曲线怎样由正弦曲线缩为原来的不变将横坐标纵坐标任意一点先保持是平面直角坐标系中的伸长为原来的在此基础上再将纵坐标得到曲线就可以由正弦曲线伸缩变换中的一个坐标式叫做平面直角坐标系此时我们把即有变换后变为点任意一点经过上述是平面直角坐标系中的缩变换简称伸缩变换直角坐标系中的坐标伸为平面对到应点的作用下点点在变换任意一是平面直角坐标系中的定义

1.1.2伸缩变换

x, ( y,(
来自百度文库

0) 0)
下，
P8 4，5
直线仍然变成直线，
而圆可以变成椭圆，
思考：那么经过伸缩变换椭圆可以变成圆吗？可以抛物线、双曲线变成什么曲线？不变
P8 6
第4题：知y=f(x)和ψ，求y’=f(x’); 第5题：知y’=f(x’)和ψ，求y=f(x); 第6题：知y=f(x)和y’=f(x’),求ψ.
2 4
1 2 2
比较得
解得λ＝1，μ＝4
2 16 2 4

1 1 2
解得＝2，＝ 1
2.

x

1
x
2
③
y 3 y
把这样的变换叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换
定义:
设P(x, y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换:

:

x y
' '

x y
( 0) ( 0)
的作用下，点P(x, y) 对应P’(x’, y’).
称为平面直角坐标系中的伸缩变换。
1.1.2 平面直角坐标系中的伸缩变换
思考：怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?
y
在正弦曲线y=sinx上任取一

直角坐标系、伸缩变换(最终)

文档

课后案

1．将点（2，3）变成点（3，2）的伸缩变换是（）

A.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 23'32'

B.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧

==y y x x 32'23' C.⎩⎨⎧==x y y x '' D.⎩⎨⎧-=+=1'1'y y x x 2.将点),(y x P 的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标压缩为原来的3

1，得到点P '的坐标为

（） A.)3,2(y x B.)3,2(y x C.)2,3(y x D.)

2,3

(y x

3.曲线C 经过伸缩变换⎪⎩

⎪⎨⎧='='y y x

x 31后得到曲线C '的方程为)2(log 2+=x y ,则曲线C 的

方程为（） A.

)2(log 3

12+=x y B.)2(log 32+=x y

C.)23

1(log 2

+=x y D.

)23(log 2+=x y

4.把函数sin 2y x =的图像作怎样的变换能得到sin(2)3

y x π

=+的图像（）

A ．向左平移

6π B ．向右平移6π C ．向左平移3π D ．向右平移3

π 5.将()y f x =的图像横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标缩短到原来的3

，则所得函数的解析式为

（）

A ．3(3)y f x = B. 1(3)3y f x =

C. 13()3y f x =

D. 11()33

y f x = 6．点),(y x 经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧

==y

y x

x 3'21'后的点的坐标是（-2，6）

，则=x ，=y ； 7．将直线22=-y x 变成直线4''2=-y x 的伸缩变换是 . 8．为了得到函数R x x y ∈+

4.3.2坐标伸缩变换

y 1.
2
16
已知伸缩变换公式,把一个图形的方程, 变成另一图形的方程的流程图是什么?
例2、椭圆
x
2

y
2
1 经怎样的变
4
9
换可以变成圆？
已知伸缩变换前后的方程,怎样确定伸缩变换?
练习: 作怎样的变换,可以把y=2cos3x的图象变为y=cosx的图象?
比较：平移变换和伸缩变换
• 平移变换改变了坐标，但不改变距离、角 • 伸缩变换改变了坐标，还改变了距离、角 • 讨论，伸缩变换前后什么东西没有改变？
y=sin2x
变换后的坐标:
(x , y )
' '
y sin x
y sin 2 x
'
'
一般地,将图形上的每个点的纵坐标不变,横坐标变为原来的k倍, 即按:
y y' k 0 ' kx x
作伸缩变换称为向着y轴的
伸缩变换.k为伸缩系数.
其中当 k
1时表示伸长；当 0<k<1时表示压缩
1 2 2
求证:
M
2
是
A2 B 2
的中点
作业：P41习题7，8，11
复习选修4-4教材第1页至第41页并同步复习优化方案相应部分同时，系统复习必修2直线与圆，以及复习选修2-1圆锥曲线部分

伸缩变换

称这类变换为平行于x轴的切变变换。
y 平行于x轴的切变变换的坐标变换公式及其对应的二阶矩阵； (x ,y)P O tan θ y =ky
P’ (x’ ,y’)
θ源自文库
y
x
将每一点P(x, y)沿着与Y轴平行的方向平移
k X个单位变成点P’（x’，y’)其中k是非零常数
称这类变换为平行于Y轴的切变变换。
平行于Y轴的切变变换的坐标变换公式 y 及其对应的二阶矩阵；
X
P’ (x’ ,y’)
tan θ X=kX
θ
O
P(x ,y)
x
切变变换
平行于x轴的投影变换的坐标变换公式及其对应的二阶矩阵；
y
X
平行于y轴的投影变换的坐标变换公式及其对应的二阶矩阵；
O θ
P’ (x’ ,y’)
tan θ X =kX
引例伸缩变换
y
y=2 sin 2x
y=sin x
伸缩变换
y= 2sin 2x
O y=sin x
x
在平面直角坐标系中，过任意一点P作某一直线的垂线
垂足为P’，则称P’为点P在该直线上的投影。如果将每一点变为它在该直线上的投影这个变换为关于这条直线的
投影变换。
求关于x轴的投影变换的坐标变换公式及其对应的二阶矩阵
对应的矩阵