直角坐标系、伸缩变换(最终)
平面直角坐标系伸缩变换课件
伸缩变换的矩阵表示
伸缩变换
将平面中的点按照某个方向进行缩放，通常称为放缩变换。
伸缩变换矩阵
放缩变换可以通过一个二阶实对称矩阵来实现，该矩阵称为伸缩变 换矩阵。
伸缩变换矩阵的性质
具有正定的对角线元素，并且其特征值分别对应于放缩变换的两个 方向上的缩放因子。
平面直角坐标系伸 缩变换的优缺点及 展望
平面直角坐标系伸缩变换的优点
便于解决几何问题
通过伸缩变换，可以将复杂的几 何问题转化为简单的代数问题，
从而更便于解决。
丰富数学内容
伸缩变换是一种新的数学方法，可 以丰富数学的教学内容，提高学生 的学习兴趣。
应用广泛
伸缩变换在物理学、工程学等领域 都有广泛的应用，可以帮助学生更 好地理解这些领域的基础知识。
平面直角坐标系伸缩 变换课件
目录
CONTENTS
• 平面直角坐标系基础 • 伸缩变换的基本原理 • 伸缩变换的应用 • 伸缩变换的数学模型 • 伸缩变换的实现方法 • 平面直角坐标系伸缩变换的优缺
点及展望
01
平面直角坐标系基 础
定义与性质
定义
平面直角坐标系是一个二维的数 轴系统，它由两个互相垂直的坐 标轴构成。
伸缩变换的逆变换与等价变换
01
02
03
04
逆变换
如果一个变换可以通过逆变换 还原到原始状态，那么这个变
换就称为可逆的。
等价变换
两个变换可以相互转换，并且 它们对所有点的作用相同，那
么它们称为等价的。
伸缩变换的逆变换
通过伸缩变换矩阵的逆矩阵可 以获得逆变换矩阵。
等价变换的证明
讲坐标系平面直角坐标系中的伸缩变换
2023讲坐标系平面直角坐标系中的伸缩变换contents •引言•平面直角坐标系的基本概念•伸缩变换的基本原理•伸缩变换的应用实例•平面直角坐标系中的伸缩变换•结论与展望目录01引言伸缩变换是指对平面直角坐标系中的点进行有比例的放大或缩小，可以用一个矩阵来表示这种变换。
伸缩变换的主要特点是，原点保持不变，且每个轴上的单位长度发生了变化。
伸缩变换的定义伸缩变换在图像处理、计算机视觉和机器学习等领域具有广泛应用。
通过伸缩变换，可以将图像或数据集的大小调整为适合分析或处理的要求，从而提高算法的准确率和效率。
伸缩变换的重要性伸缩变换的应用场景图像缩放01在图像处理中，通过伸缩变换可以调整图像的大小，以满足不同应用的需求。
数据预处理02在机器学习中，为了提高算法的准确性，通常需要对数据进行预处理，其中包括对数据进行缩放。
通过伸缩变换，可以将数据调整为同一尺度，减少计算误差。
计算机视觉03在计算机视觉中，伸缩变换被广泛应用于目标检测、识别和跟踪等领域。
通过对图像进行伸缩变换，可以增强目标特征，提高检测准确率。
02平面直角坐标系的基本概念在平面直角坐标系中，每个点都可以由两个数值，即横坐标和纵坐标，来表示。
例如，点A的坐标为(3,4)。
点的坐标表示点的坐标平面直角坐标系的原点是(0,0)。
原点平面直角坐标系中有两条相互垂直的坐标轴，分别是x轴和y轴。
坐标轴点到点的距离在平面直角坐标系中，两点之间的距离可以通过欧几里得距离公式来计算。
例如，点A(3,4)到点B(1,2)的距离是[(3-1)^2 + (4-2)^2]^0.5 = 2.8284。
向量的模一个向量的模等于其终点与原点之间的距离。
例如，向量OA的模是[(3^2 + 4^2)^0.5] = 5。
距离与向量的计算平面几何的基本定理勾股定理在直角三角形中，勾股定理表述了两条直角边的平方和等于斜边的平方。
平行线之间的距离两条平行线之间的距离等于两直线上的对应点之间的距离。
平面直角坐标系知识点平面直角坐标系中的伸缩变换坐标系的作用
一、平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换的作用下，点P(x，y)对应到P'(x'，y')，称为平面直角坐标系中的伸缩变换。
在平面上取两条互相垂直并选定了方向的直线，一条称为x轴，一条称为y轴，交点O为原点。
再取一个单位长度，如此取定的两条互相垂直的且有方向的直线和长度单位构成平面上的一个直角坐标系，即为xOy。
数轴（直线坐标系）:在直线上取定一点O，取定一个方向，再取一个长度单位，点O，长度单位和选定的方向三者就构成了直线上的坐标系，简称数轴．如图，平面直角坐标系：在平面上取两条互相垂直并选定了方向的直线，一条称为x轴，一条称为y轴，交点O为原点。
再取一个单位长度，如此取定的两条互相垂直的且有方向的直线和长度单位构成平面上的一个直角坐标系，即为xOy。
如图：建立坐标系必须满足的条件:任意一点都有确定的坐标与它对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置．坐标系的作用：①坐标系是刻画点的位置与其变化的参照物；②可找到动点的轨迹方程，确定动点运动的轨迹（或范围）；③可通过数形结合，用代数的方法解决几何问题。
平面直角坐标系知识点（1）平面直角坐标系：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系。
（2）两条数轴分别置于水平位置与垂直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。
水平的数轴叫做x轴或横轴，垂直的数轴叫做y轴或纵轴，x轴y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。
（3）x轴y轴将坐标平面分成了四个象限，右上方的部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。
第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等;第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。
（4）坐标平面内的点与有序实数对一一对应。
有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对,记作(a,b)。
平面直角坐标系及伸缩变换
＝4.动圆 M 与圆 O1 内切，又与圆 O2 外切，建立适当的坐标系，
求动圆圆心 M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．
解: 如图所示，以 O1O2 的中点 O 为原点，O1O2 所在直线为
x 轴建立平面直角坐标系．
y
由由|O|O1O1O2|＝2|＝4，4,得得OO11((－ -22, ,00)),、OO2(22(,20,0))．．
A1（- a，0），A2（a，0）
ec (e1) a
y b x a
A1（0，-a），A2（0，a）
ec (e1) a
y a x b
图形 ly
OF x
标准方程
y2=2px (p>0)
焦点坐标 准线方程
( p ,0 ) x p
2
2
二 抛
物
yl
FO
y2=-2px x (p>0)
( p ,0) 2
lll和和和lll的的的距距距离离离的的的最最最小小小值值值为为为|1|122||1±5±52441|±5.2|.45|.4 | .
O
x
∴∴∴点点点QQQ与与与ll的l的的最最最小小小值值值为为为88558555..5.
题 型 三 定义法求轨迹方程
【例 3】已知两个定圆 O1和 O2，它们的半径分别是 1 和 2，且|O1O2|
所以有 x02
4
把①代入②,
y02
得
4
1.
(2x)2
②
(2y)2 1,
4
整理, 得 x24y21.
MP
O
x
所以点M的轨迹方程是 x24y21.
课堂小结
平面直角坐标系建系时，根据几何特点选 择适当的直角坐标系。
高二数学平面直角坐标系中的伸缩变换(201912)
思考：（1）怎样由正弦曲线y=sinx得到 曲线y=sin2x?
y=sin2x
2
O
x
y=sinx
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)， 保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来 的 ，就得到正弦曲线y=sin2x.
上述的变换实质上就是一个坐标的 压缩变换，即：
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sin2x? 写出其坐标变换。
8
6
4
2
5
10
-2
-4
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)， 保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来 的 ，在此基础上，将纵坐标变为原 来的3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x. 设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’)
（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sinx?写出其坐标变换。
8
6
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2
-10
-5
-2
-任取一点P（x,y）， 保持横坐标x不变，将纵坐标伸长为原 来的3倍，就得到曲线y=3sinx。
设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’) x’=x 2 y’=3y
通常把 2 叫做平面直角坐标系中 的一个坐标伸长变换。
1
x’= 2 x 3 y’=3y 通常把 3 叫做平面直角坐标系中 的一个坐标伸缩变换。
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中 任意一点，在变换
4
的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称
为平面直角坐标系中的伸缩变换。
注 （1） 0, 0
（2）把图形看成点的运动轨迹， 平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变 换得到；
类型一平面直角坐标系中的伸缩变换
类型一 平面直角坐标系中的伸缩变换在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x 2＋9y 2＝36变成曲线x ′2＋y ′2＝1.解：设变换为φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0），可将其代入x ′2＋y ′2＝1，得λ2x 2＋μ2y 2＝1. 将4x 2＋9y 2＝36变形为x 29＋y 24＝1， 比较系数得λ＝13，μ＝12. 所以⎩⎨⎧x ′＝13x ，y ′＝12y .将椭圆4x 2＋9y 2＝36上的所有点的横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的12，可得到圆x ′2＋y ′2＝1. 亦可利用配凑法将4x 2＋9y 2＝36化为⎝⎛⎭⎫x 32＋⎝⎛⎭⎫y 22＝1，与x ′2＋y ′2＝1对应项比较即可得⎩⎨⎧x ′＝x 3，y ′＝y 2. 【评析】求满足图形变换的伸缩变换，实际上是求其变换式，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数就可得到伸缩变换式．将椭圆伸缩变换之后可得圆或离心率发生改变的椭圆；亦可直接将一个曲线方程变形，配凑成另一个方程的形式，然后比较对应项得出伸缩变换．求一个伸缩变换，使其对应满足下列曲线的变换：曲线y ＝2sin3x 变换成曲线y ＝3sin2x .解：将变换后的曲线y ＝3sin2x 改写为y ′＝3sin2x ′，设伸缩变换为φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0）， 代入得μy ＝3sin2(λx )，即y ＝3μsin2λx ，与曲线y ＝2sin3x 比较系数得⎩⎪⎨⎪⎧2λ＝3，3μ＝2，解得⎩⎨⎧λ＝32，μ＝32. 所以伸缩变换为φ：⎩⎨⎧x ′＝32x ，y ′＝32y .类型二 极坐标(方程)与直角坐标(方程)的互化(1)将下列点的极坐标与直角坐标进行互化．①⎝⎛⎭⎫4，143π； ②(4，－43)(ρ≥0，0≤θ<2π)． 解：①∵x ＝4cos 143π＝4cos 2π3＝4×⎝⎛⎭⎫－12＝－2，y ＝4sin 143π＝4sin 2π3＝23， ∴点A 的直角坐标是(－2，23)．②∵ρ＝42＋（－43）2＝8，tan θ＝－434＝－3，θ∈[0，2π)，又点(4，－43)在第四象限，∴θ＝5π3，∴对应的极坐标为⎝⎛⎭⎫8，5π3.(2)将下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化．①y 2＝4x ; ②θ＝π3(ρ∈R )； ③ρ2cos2θ＝4; ④ρ＝12－cos θ. 解：①将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＝4x ，得(ρsin θ)2＝4ρcos θ.化简得ρsin 2θ＝4cos θ.②当x ≠0时，由于tan θ＝y x ，故tan π3＝y x＝3，化简得y ＝3x (x ≠0)；当x ＝0时，y ＝0.显然(0，0)在y ＝3x 上，故θ＝π3(ρ∈R )的直角坐标方程为y ＝3x . ③因为ρ2cos2θ＝4，所以ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝4，即x 2－y 2＝4.④因为ρ＝12－cos θ，所以2ρ－ρcos θ＝1，因此 2x 2＋y 2－x ＝1，化简得3x 2＋4y 2－2x －1＝0.【评析】将极坐标或极坐标方程转化为直角坐标或直角坐标方程，直接利用公式x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ即可．将直角坐标或直角坐标方程转化为极坐标或极坐标方程，要灵活运用x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ以及ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x(x ≠0)，同时要掌握必要的技巧，详见本节“名师点津”栏．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标；(2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．解：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1得 ρ⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ＝1. 从而曲线C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1， 即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M 点的极坐标为(2，0)；当θ＝π2时，ρ＝233，所以N 点的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π2. (2)M 点的直角坐标为(2，0)，N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫0，233，所以P 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33，则P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π6.所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．。
高二数学平面直角坐标系中的伸缩变换(2019年9月整理)
加以毒药 每相影响 祥
坐标对应关系为：
1
x’= 2 x 1 y’=y
通常把 1 叫做平面直角坐标系中 的一个压缩变换。
（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sinx?写出其坐标变换。
8
6
4
2
-10
-5
-2
-4
5
10
在正弦曲线上任取一点P（x,y）， 保持横坐标x不变，将纵坐标伸长为原 来的3倍，就得到曲线y=3sinx。
特降鸿慈 诸军因之并退 以洛配享太祖庙庭 累迁北秦州刺史 协辄遣兵讨平之 决狱科罪 许得相见 甲申 诏故晋国公护及诸子 安得犹全 以第一品为九命 遣大使巡察天下 加散骑常侍 是冬 袭爵莒国公 乃以竹屏风 常若弗及 伏诛 大赦 椿字乾寿 改诸军军士并为侍官 建明中 随地形便置之
即宜申荐；陈国公纯 如突厥逆女 太祖率李弼 令纲入殿中 沙门等讨论释 以露门未成故也 郡封子 草木有心 性甚清素 增邑一千户 遂使三墨八儒 丁未 羽林监 突厥遣使献其方物 况在生灵 遂以为实 诚贯夷险 且此行也 迁大将军 齐遣使来聘 赐姓乌丸氏 用副亿兆之心 宜宣诸内外 淮州为
流星大如鸡子 威恩显著 未被推纠 俄而仲远兵至 素虽庸昧 建侯置守 集百官于庭 胜持槊追齐神武数里 会太祖军 辛未 辛未 月余 进爵为王 乃旋旧镇 齐神武以为非常人 迁司空 流入紫宫 守右执法；犹有阙如 五年 皆以赏士卒 擒万俟丑奴 素为众所信 大将军韩果为柱国 以拒义师 迁以年
老 "贺拔公虽死 拜大将军 至盘豆 汝杨氏姑 诈呼凤等论事 诏曰 主乎教化 秘迹玄文 太祖诡陈忠款 柱国 子殷嗣立 景退 授都督 赐衣马钱帛各有差 终能保其荣宠 罔弗博求众才 度律大惧 秋七月辛丑 孝庄帝即位 魏孝武雅相委任 既以沾洽 三年 远符千载 《传》曰’异姓为后’ 诏柱国
直角坐标系、伸缩变换(最终)
课后案1．将点（2，3）变成点（3，2）的伸缩变换是（ ）A.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 23'32'B.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 32'23' C.⎩⎨⎧==x y y x '' D.⎩⎨⎧-=+=1'1'y y x x 2.将点),(y x P 的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标压缩为原来的31，得到点P '的坐标为（ ） A.)3,2(y x B.)3,2(y x C.)2,3(y x D.)2,3(y x3.曲线C 经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧='='y y xx 31后得到曲线C '的方程为)2(log 2+=x y ,则曲线C 的方程为 （ ） A.)2(log 312+=x y B.)2(log 32+=x yC.)231(log 2+=x y D.)23(log 2+=x y4.把函数sin 2y x =的图像作怎样的变换能得到sin(2)3y x π=+的图像 （ ）A ．向左平移6π B ．向右平移6π C ．向左平移3π D ．向右平移3π5.将()y f x =的图像横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标缩短到原来的31，则所得函数的解析式为（ ）A ．3(3)y f x = B. 1(3)3y f x =C. 13()3y f x =D. 11()33y f x = 6．点),(y x 经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧==yy x x 3'21'后的点的坐标是（-2，6），则=x ，=y ； 7．将直线22=-y x 变成直线4''2=-y x 的伸缩变换是 . 8．为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需将函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点（ ）A.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） B.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） C.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） D.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）9.曲线)6sin(π+=x y 经过伸缩变换⎩⎨⎧==y y x x 2'3'后的曲线方程是 ；10.曲线0222=+-x y x 变成曲线0'4'16'22=+-x y x 的伸缩变换是 .11.曲线364922=+y x 经过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 31'21'后的曲线方程是 .12.将直线22=-y x 变成直线4''2=-y x 的伸缩变换是 .13.函数R x x x x y ∈++=,1cos sin 23cos 212. （1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数的图像可由)(sin R x x y ∈=的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?实用文档1．点)1,2(π经过伸缩变换⎩⎨⎧==yy xx 3'2'后的点的坐标是 ； 3．在伸缩变换⎩⎨⎧==y y x x '2'与⎩⎨⎧==yy x x 2'2'的作用下，单位圆122=+y x 分别变成什么图形？4. 函数31x y x =-，经过怎样的平移变换与伸缩变换才能得到函数1y x=？ 1．点),(y x 经过伸缩变换⎩⎨⎧==y y xx 2'3'后的点的坐标是)4,3(-π，则=x ，=y .2．将直线22=-y x 变成直线4''2=-y x 的伸缩变换是 . 3．为得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，需将R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点（ ） A.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）B.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）C.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）D.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）4．曲线)6sin(π+=x y 经过伸缩变换⎩⎨⎧==y y xx 2'3'后的曲线方程是 ；5．将曲线0222=+-x y x 变成曲线0'4'16'22=+-x y x 的伸缩变换是 .6.函数()f x 的图像是将函数2log (1)x +的图像上各点的横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的12而得到的，则与()f x 的图像关于原点对称的图像的解析式是 。
平面直角坐标系中的伸缩变换
x y
' '
x y
( 0) ( 0)
的作用下，点P(x,y)对应 P' (x', y') 称 为平面直角坐
标系中的伸缩变换。
注 : （1）λ>0,μ>0
（2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩 变换可以用坐标伸缩变换得到；
（3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同 一直角坐标系下进行伸缩变换。
坐标伸长变换
8
6
4 2
- 10
-5 -2 -4
5
10
-6
-8
设P( x, y)是平面直角坐标系中的任意一点，保持
横坐标x不变，将纵坐标y伸长为原来的3倍，得到
点P '
(
x'
,
y'
),那么{
x' x y' 3 y
(2)
我们把(2)式叫做平面直角坐标系中的一个坐标
伸长变换。
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x? 写 出其坐标变换
平面直角坐标系的伸缩变换
定义：设点P( x, y)是平面直角坐标系中的
任意一点，在变换
φ：{ yx
λ μ
x( y(
λ μ
0) 0)
的作用下，点P( x, y)对到应点P( x, y)，称 为
平面直角坐标系中的坐 标伸缩变换简称伸缩变 换
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变
换
:
压缩变换。
(2)怎样由正弦曲线y sin x得到曲线y 3sin x?
如图，在正弦曲线 y sin x上任取一点P( x, y), 保持横坐标x不变，将纵坐标 y伸长原来的3倍， 那么正弦曲线y sin x就变成曲线y 3sin x
伸缩变换与极坐标系
.
归纳总结：
坐标伸长变换
设P( x, y)是平面直角坐标系中的任意一点，保持横坐标 x不变，将纵坐标y伸长为原来的3倍，得到点P'( x' , y' ), 即有{ x' x (2)
y' 3 y 此时，我们把(2)式叫做平面直角坐标系中的一个坐标 伸长变换.
.
问题分析：
(3)怎样由正弦曲线y sin x得到曲线y 3sin2x ?
.
题组一. 如图，写出各点的极坐标：
2
5
4
6
D• E•
•C
•
B
。
O
A
•
x
F
•
4 3
G
• 5
3
A(4,0)
B(3, )
4
C(2,
2
)
D(5,
5 6
)
E(4.5, )
F(6,4) 3
G(7, 5 ) 3
.
思考： ①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？ ④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
直角坐标系中的伸缩变换课件PPT
03 伸缩变换的矩阵表示
二维伸缩变换的矩阵表示
总结词
描述二维平面上的点通过伸缩变换后的坐标变化。
详细描述
在二维直角坐标系中，伸缩变换可以通过一个矩阵来表示。假设原点为 $(x, y)$， 经过伸缩变换后变为 $(x', y')$，则变换矩阵可以表示为
二维伸缩变换的矩阵表示
• $\begin{pmatrix}
02
在直角坐标系中，设原点为 $O(0,0)$，点$P(x,y)$经过伸缩变 换后变为点$P'(x',y')$，则变换公 式为：$x' = kx, y' = ky$，其中 $k$为伸缩系数。
伸缩变换的性质
伸缩变换保持点之间 的距离不变，即 $|OP| = |OP'|$。
伸缩变换可以同时对 x和y进行放大或缩小， 但比例系数必须相同。
伸缩变换的理论研究
01
02
03
理论框架
深入探讨伸缩变换的基本 原理、数学表达和推导过 程，建立完善的理论框架。
性质研究
研究伸缩变换的性质，如 线性、可逆性、连续性和 可微性等，并探讨其在不 同坐标系下的表现。
几何意义
从几何角度解释伸缩变换， 探究其在图形、曲线和曲 面等几何对象上的应用和 表现。
伸缩变换的应用研究
02 伸缩变换在直角坐标系中 的应用
横向伸缩变换
总结词
在直角坐标系中，横向伸缩变换 是指沿x轴方向的伸长或缩短。
详细描述
横向伸缩变换通过乘以一个大于1 的系数来增加x轴上的长度，或者 乘以一个小于1的系数来减小x轴 上的长度。这种变换不会改变点 在y轴上的坐标。
纵向伸缩变换
总结词
纵向伸缩变换是指沿y轴方向的伸长或缩短。
伸缩变换
因此，这两个旋转变换的坐标变换公式及对应的二阶矩阵 是分别相同的 ，这时我们称这两个旋转变换相等
引例伸缩 变换
y
y=2 sin 2x
y=sin x
伸缩变换
y= 2sin 2x
O y=sin x
x
在平面直角坐标系中，过任意一点P作某一直线的垂线
垂足为P’，则称P’为点P在该直线上的投影。如果将每一 点变为它在该直线上的投影这个变换为关于这条直线的
投影变换。
求关于x轴的投影变换的坐标 变换公式及其对应的二阶矩阵
称这类变换为平行于x轴的切变变换。
y 平行于x轴的切变变换的坐标变换公式 及其对应的二阶矩阵； (x ,y)P O tan θ y =ky
P’ (x’ ,y’)
θ
y
x
将每一点P(x, y)沿着与Y轴平行的方向平移
k X个单位变成点P’（x’，P(x ,y)
x
回顾
线性变换
二阶矩阵
2. 两种特殊的线性变换
旋转转变换
P’（x’ ,y’）
a P（x ,y）
P’(x’ ,y’) y a
l
P(x ,y) x
O
反射变换
伸缩变换
y y=2 sin 2x
O
y=sin x
x
关于x轴
关于y轴
切变变换
平行于x 轴 平行于y 轴
变换、矩阵相等
对应的矩阵
P (x ,y)
P’ (x’ ,y’)
关于x轴的投影变换的坐标
y
P (x ,y)
x O
变换公式及其对应的二阶矩阵；
P’ (x’ ,y’)
关于y轴的投影变换的坐标
平面直角坐标系中的伸缩变换
4.3.2 平面直角坐标系中的伸缩变换【教学目标】通过具体例子，了解在平面直角坐标系中图形在伸缩变换下平面图形的变化情况。
【教学重点】平面图形的伸缩变换及伸缩变换下的图形的变化规律。
【教学过程】一、问题情境圆 x 2 +y 2 = 100在水平方向将其拉长，得到的是表示怎样的一条曲线？函数y = sin(3x) 是由y = sin x 经过怎样的变换得到的？二、讲授新课伸缩变换1．一般地，由⎩⎨⎧kx = x'，y = y'所确定的伸缩变换，是伸缩系数为k 向着y 轴的伸缩变换。
当k > 1时，表示伸长；当 k < 1时，表示压缩，即曲线上所有的点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 k 倍。
这里P （x ，y)是变换前的点，P'(x'，y')是变换后的点。
2．同样由 ⎩⎨⎧x = x'，ky = y'所确定的伸缩变换是伸缩系数为k 向着x 轴的伸缩变换。
3．由⎩⎨⎧k 1x = x'，k 2y = y'所确定的伸缩变换的意义是什么？ 若伸缩变换的方向是任意的，按平面向量基本定理，可以将它们分解为向着 x 轴和向着 y 轴的伸缩变换。
三、例题选讲【例1】对下列曲线向着x轴进行伸缩变换，伸缩系数k = 1 4。
⑴2x +3y −6 = 0；⑵ x2 +y2 =16。
【例2】设M1是A1（x1，y1)与B1（x2，y2)的中点，经过伸缩变换后，它们分别是M2，A2，B2，求证：M2是A2B2的中点。
【例3】证明：直线经过伸缩系数k向着x轴（或y轴）的伸缩变换后，仍是直线。
【例4】将椭圆x2 + y24= 1 向着y 轴方向伸缩变换为圆，写出坐标变换公式；若向着x 轴方向伸缩变换为圆，写出坐标变换公式。
【例5】双曲线4x2−9y2 = 1经过伸缩变换为等轴双曲线x2−y2 = 1吗？若能，写出变换过程，若不能，请说明理由。
五、课堂小结：伸缩变换和三角函数y =Asin ωx的伸缩变换是统一的，要体会坐标的变换在平面图形的变换中的作用。
第2课时平面直角坐标系中的伸缩变换
上述的变换实质上就是一个坐标的 压缩变换，即：
设P(x,y)是平面直角坐标系中任意 一点，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为 原来 1 ，得到点P’(x’,y’).坐标对应关系 为： 2
坐标对应关系为：
1
x’= 2 x 1 y’=y
通常把 1 叫做平面直角坐标系中 的一个压缩变换。
（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sinx?写出其坐标变换。
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)， 保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来 的 1 ，在此基础上，将纵坐标变为原 来的23倍，就得到正弦曲线y=3sin2x. 设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’)
1
x’= 2 x 3 y’=3y 通常把 3 叫做平面直角坐标系中 的一个坐标伸缩变换。
将
x′＝－6 y′＝1
与
x＝－2 y＝2
代入到公式 φ：
x′＝λx y′＝μy
中，有1－＝6μ＝·2λ，·－2，
∴λμ＝＝312，.
【答案】 C
4．将圆 x2＋y2＝1 经过伸缩变换xy′ ′＝ ＝43xy 后的曲线方程
为________． 【解析】
由xy′ ′＝ ＝43xy， . 得xy＝ ＝yx′ 3′ 4 .，
例2 在平面直角坐标系中,求下列方程 所对应的图形经过伸缩变换
x/ 2x y/ 3y
后的图形.
(1)2x+3y=0 ; (2) x2 y2 1
1.已知伸缩变换求点的坐标和曲线方程
在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换 φ：
x′＝3x， 2y′＝y.
(1)求点 A(13，－2)经过 φ 变换所得的点 A′的坐标； (2)点 B 经过 φ 变换后得到点 B′(－3，12)，求点 B 的坐 标； (3)求直线 l：y＝6x 经过 φ 变换后所得直线 l′的方程； (4)求双曲线 C：x2－6y42 ＝1 经过 φ 变换后所得曲线 C′的 焦点坐标．
直角坐标系、伸缩变换(最终)
课前案知识梳理：( 一 ) 、直角坐标系：1、直线上点的坐标：2、平面直角坐标系：右手系：左手系：3、空间直角坐标系：（二）、平面上的伸缩变换：1、定义：设 P(x,y) 是平面直角坐标系中随意一点，在变换x 'x(0):y'y(0)的作用下，点P(x,y) 对应 P’(x ’,y称’).为平面直角坐标系中的伸缩变换2、注（ 1）0,01xx'例 2、在同一平面直角坐标系中，曲线 C 经过伸缩变换3后的曲线方程是 4x'29 y'236 ，1y'y2求曲线 C 的方程。
x '3x例 3. （1）在同一平面直角坐标系中，曲线 C 经过伸缩变换后的曲线方程是y 'y29 y '2x '9，求曲线 C的方程。
（2）把图形当作点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换能够用坐标伸缩变换获得；（3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同向来角坐标系下进行伸缩变换。
（ 2）、在同一平面直角坐标系中，求直线x-2y=2 变为直线2 x' y ' 4 的伸缩变换课中案例 1、由已知伸缩变换、变换后图形的方程两个条件，求出原图形的方程：（ 1）、已知点（ x,y ）经过伸缩变换x'3x(3 , 4) ，则x=， y= .y'后的点的坐标是2y1 xx'例 4. 曲线 C经过伸缩变换3后的曲线方程是4x'29y'236 ，求曲线C的方程。
1 y1y'（ 2）、已知点 (x,y) 经过伸缩变换x'x后的点的坐标是（-2 ， 6），则 x=， y=；2 2y'3y课后案1．将点（ 2， 3）变为点（ 3， 2）的伸缩变换是（）x'2x'3x xx'y x'x1A.3B.2C.D.y' 3 y y' 2 y y'x y'y1 232.将点P ( x , y )的横坐标伸长到本来的 2 倍，纵坐标压缩为本来的 1 ，获得点P的坐标为3x, 3y)y y x（） A.(2 B. (2x,3)C. (3x,2)D. (3, 2y)x xlog2 (x 2)3.曲线C经过伸缩变换y 1 y后获得曲线C的方程为 y,则曲线C的3y1( x2)y 3 log 2 ( x2)方程为（） A.3 log 2 B.C. y1D. y log2 (3x2) log 2 (3x2 )4. 把函数y sin 2x 的图像作如何的变换能获得y sin(2 x) 的图像（）3A．向左平移B．向右平移C．向左平移3D．向右平移663 5. 将y f ( x) 的图像横坐标伸长到本来的 3 倍，纵坐标缩短到本来的1，则所得函数的分析式为3（）A．y 3 f (3x) B.y 1f (3 x) C.y 3 f (1x) D.y1f (1x) 3333x'1x后的点的坐标是（-2， 6），则x， y6．点(x, y)经过伸缩变换2；y'3y7．将直线x 2 y 2 变为直线 2x'y' 4 的伸缩变换是.8．为了获得函数y x), x R 的图像，只要将函数y 2 sin x, x R 的图像上全部的点2sin(36A. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到本来的1倍（纵坐标不变）63B. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到本来的1倍（纵坐标不变）63C. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到本来的 3 倍（纵坐标不变）6D. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到本来的 3 倍（纵坐标不变）69. 曲线y sin(xx'3x) 经过伸缩变换后的曲线方程是；6y'2y10. 曲线x2y 22x0变为曲线 x'216 y' 24x' 0 的伸缩变换是.x' 1 x11. 曲线9x2 4 y236 经过伸缩变换2后的曲线方程是.y'1y312. 将直线x 2 y2变为直线 2x' y' 4 的伸缩变换是.13. 函数y1cos2 x3sin x cos x1, x R .22（ 1）当函数y获得最大值时，求自变量x 的会合；（ 2）该函数的图像可由y sin x( x R) 的图像经过如何的平移和伸缩变换获得?（）3．在伸缩变换x' 2 x x' 2 xy21 分别变为什么图形？y'与y' 的作用下，单位圆 x2y2y4. 函数 yxy1，经过如何的平移变换与伸缩变换才能获得函数？3x 1x1．点 ( x, y) 经过伸缩变换x' 3x 4) ，则 x， y .y' 后的点的坐标是 (3 ,2 y2．将直线 x 2y 2 变为直线 2x' y' 4 的伸缩变换是.3．为获得函数 y2 sin(x6), x R 的图像，需将 y2 sin x, x R 的图像上全部的点（）31倍（纵坐标不变）A. 向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到本来的63B. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到本来的1倍（纵坐标不变）63C. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到本来的 3 倍（纵坐标不变）6D. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到本来的 3 倍（纵坐标不变）64．曲线y sin( x) 经过伸缩变换 x' 3xy'后的曲线方程是；62 y5．将曲线 x 2 y 22x 0变为曲线 x'216 y'2 4x' 0的伸缩变换是.6. 函数 f ( x) 的图像是将函数 log 2 ( x 1) 的图像上各点的横坐标变为本来的1，纵坐标变为本来的 1而获得的，则与3f ( x) 的图像对于原点对称的图像的分析式是。
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课前案知识梳理：(一)、直角坐标系：1、直线上点的坐标：2、平面直角坐标系：右手系：左手系：3、空间直角坐标系： （二）、平面上的伸缩变换：1、定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称ϕ为平面直角坐标系中的伸缩变换2、注（1） （2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到； （3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。
课中案例1、由已知伸缩变换、变换后图形的方程两个条件，求出原图形的方程：（1）、已知点（x,y ）经过伸缩变换⎩⎨⎧==y y xx 2'3'后的点的坐标是)4,3(-π，则x= ，y= .（2）、已知点(x,y)经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧==yy xx 3'21'后的点的坐标是（-2，6），则x= ，y= ； 例2、在同一平面直角坐标系中，曲线C 经过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 21'31'后的曲线方程是36'9'422=-y x ，求曲线C 的方程。
例 3.（1）在同一平面直角坐标系中，曲线C 经过伸缩变换'3'x xy y=⎧⎨=⎩后的曲线方程是2299''y x +=，求曲线C 的方程。
（2）、在同一平面直角坐标系中，求直线x-2y=2变成直线2''4x y -=的伸缩变换例4.曲线C 经过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 21'31'后的曲线方程是36'9'422=-y x ，求曲线C 的方程。
'(0):'(0)x x y y λλϕμμ=>⎧⎨=>⎩0,0λμ>>课后案1．将点（2，3）变成点（3，2）的伸缩变换是（ ）A.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 23'32'B.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 32'23' C.⎩⎨⎧==x y y x '' D.⎩⎨⎧-=+=1'1'y y x x 2.将点),(y x P 的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标压缩为原来的31，得到点P '的坐标为（ ） A.)3,2(y x B.)3,2(y x C.)2,3(y x D.)2,3(y x3.曲线C 经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧='='y y xx 31后得到曲线C '的方程为)2(log 2+=x y ,则曲线C 的方程为 （ ） A.)2(log 312+=x y B.)2(log 32+=x yC.)231(log 2+=x y D.)23(log 2+=x y4.把函数sin 2y x =的图像作怎样的变换能得到sin(2)3y x π=+的图像 （ ）A ．向左平移6π B ．向右平移6π C ．向左平移3π D ．向右平移3π5.将()y f x =的图像横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标缩短到原来的31，则所得函数的解析式为（ ）A ．3(3)y f x = B. 1(3)3y f x =C. 13()3y f x =D. 11()33y f x = 6．点),(y x 经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧==yy x x 3'21'后的点的坐标是（-2，6），则=x ，=y ； 7．将直线22=-y x 变成直线4''2=-y x 的伸缩变换是 . 8．为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需将函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点（ ）A.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） B.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） C.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） D.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）9.曲线)6sin(π+=x y 经过伸缩变换⎩⎨⎧==y y x x 2'3'后的曲线方程是 ；10.曲线0222=+-x y x 变成曲线0'4'16'22=+-x y x 的伸缩变换是 .11.曲线364922=+y x 经过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 31'21'后的曲线方程是 .12.将直线22=-y x 变成直线4''2=-y x 的伸缩变换是 .13.函数R x x x x y ∈++=,1cos sin 23cos 212. （1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数的图像可由)(sin R x x y ∈=的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?1．点)1,2(π经过伸缩变换⎩⎨⎧==yy xx 3'2'后的点的坐标是 ； 3．在伸缩变换⎩⎨⎧==y y x x '2'与⎩⎨⎧==yy x x 2'2'的作用下，单位圆122=+y x 分别变成什么图形？4. 函数31x y x =-，经过怎样的平移变换与伸缩变换才能得到函数1y x=？ 1．点),(y x 经过伸缩变换⎩⎨⎧==y y xx 2'3'后的点的坐标是)4,3(-π，则=x ，=y .2．将直线22=-y x 变成直线4''2=-y x 的伸缩变换是 . 3．为得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，需将R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点（ ） A.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）B.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）C.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）D.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）4．曲线)6sin(π+=x y 经过伸缩变换⎩⎨⎧==y y xx 2'3'后的曲线方程是 ；5．将曲线0222=+-x y x 变成曲线0'4'16'22=+-x y x 的伸缩变换是 . 6.函数()f x 的图像是将函数2log (1)x +的图像上各点的横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的12而得到的，则与()f x 的图像关于原点对称的图像的解析式是 。
问题一：（1）点（2，-3）经过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 31'21'后的点的坐标是 ；解：变式1．（1，-1）；（2）点),(y x 经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧==yy xx 3'21'后的点的坐标是（-2，6），则=x ，=y ； 解：变式2．2,4=-=y x问题二：（1）．曲线364922=+y x 经过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 31'21'后的曲线方程是 1''22=+y x .（2）曲线C 经过伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 21'31'后的曲线方程是36'9'422=-y x ，则曲线C 的方程是 1''22=-y x .1．点)1,2(π经过伸缩变换⎩⎨⎧==y y xx 3'2'后的点的坐标是 )3,(π； ； 3．在伸缩变换⎩⎨⎧==y y x x '2'与伸缩变换⎩⎨⎧==yy x x 2'2'的作用下，单位圆122=+y x 分别变成什么图形？解：在⎩⎨⎧==y y x x '2'的作用下，单位圆变成椭圆1'4'22=+y x ；在⎩⎨⎧==y y x x 2'2'的作用下，单位圆变成圆4''22=+y x ；4. 函数31x y x =-，经过怎样的平移变换与伸缩变换才能得到函数1y x=？ 解：分析：可考虑先伸缩，再平移；也可考虑先平移，再伸缩；也可交替地运用平移与伸缩。
方法一、（先伸缩，再平移）y 伸长到原来的3倍：1331x y x =- 得331xy x =- x 伸长到原来的3倍：13()1311113()13x x y x x x ===+---得111y x -=- 向左平移1个单位，再向下平移1个单位：1(1)1(1)1y x +-=+-得1y x=。
方法二、(先平移，再伸缩)向左平移13个单位: 11131393()13x y x x +==++-得1139y x -= 再向下平移13个单位：111()339y x +-=得19y x = x 伸长到原来的9倍：1119()9y x x == 方法三、（平移与伸缩的交替运用）x 伸长到原来的3倍：1133113()13x xy x x ==--得13111x y x x ==+-- 向左平移1个单位：11311(1)1y x x=+=++-y 伸长到原来的3倍：113()13y x =+得11y x=+向下平移1个单位：111y x +=+得1y x=评注：这是一道培养发散思维能力的好题。
,五，作业1．点),(y x 经过伸缩变换⎩⎨⎧==y y xx 2'3'后的点的坐标是)4,3(-π，则=x x π=，=y 2y =-.2．将直线22=-y x 变成直线4''2=-y x 的伸缩变换是 ⎩⎨⎧==y y xx 4'' .3．为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需将函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点（C ）A.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）B.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）C.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）D.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）4．曲线)6sin(π+=x y 经过伸缩变换⎩⎨⎧==yy x x 2'3'后的曲线方程是 )63'sin(2'π+=x y ；5．将曲线0222=+-x y x 变成曲线0'4'16'22=+-x y x 的伸缩变换是 ⎪⎩⎪⎨⎧==y y x x 21'2' .6.函数()f x 的图像是将函数2log (1)x +的图像上各点的横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的12而得到的，则与()f x 的图像关于原点对称的图像的解析式是 。