空间向量运算的坐标表示
课件1：1.3.2 空间向量运算的坐标表示
2．类比平面向量，空间向量共线的充要条件是什么？ [提示] 若 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
a1＝λb1， 则 a∥b⇔a＝λb⇔a2＝λb2，
a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4) ＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7； (2a)·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14； (a＋b)·(a－b)＝(2，－2,2)·(2,0，－6) ＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8.
规律方法 进行空间向量的数量积坐标运算的技巧 利用向量坐标运算解决问题的关键是熟记向量坐标运算 的法则，同时掌握下列技巧． (1)在运算中注意相关公式的灵活运用，如(a＋b)·(a－b) ＝a2－b2＝|a|2－|b|2，(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)2 等．
(2)设 Q(x，y，z)，则P→Q＝(x＋1，y－2，z＋3)，M→N＝(1,1,1)，
∴x＋x1＋＝1y2－＋2＝y－z＋232＋，z＋32＝3 12＋12＋12，
x＝－4，
解得y＝－1 z＝－6
x＝2，
，或y＝5， z＝0，
∴Q 点的坐标为(－4，－1，－6)或(2,5,0)．]
类型二 空间向量的平行与垂直
(2)正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 是棱 D1D 的中点，P、Q 分别为线段 B1D1，BD 上的点，且 3B→1P＝P→D1，若 PQ⊥AE， B→D＝λD→Q，求 λ 的值．
(2)[解] 如图所示，以 D 为原点，D→A，D→C，D→D1的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 1， 则 A(1,0,0)，E0，0，12，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，
第一章 §1.3 1.3.2 空间向量运算的坐标表示
1.3.2 空间向量运算的坐标表示学习目标 1.掌握空间向量运算的坐标表示.2.掌握空间两点间的距离公式.3.会用向量的坐标解决一些简单的几何问题． 导语前面我们通过引入空间直角坐标系，将空间向量的坐标与空间点的坐标一一对应起来．那么有了空间向量的坐标表示，类比平面向量的坐标运算，同学们是否可以探究出空间向量运算的坐标表示并给出证明？ 一、空间向量运算的坐标表示 知识梳理设向量a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，λ∈R ，那么向量运算 向量表示 坐标表示加法 a ＋b (a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3) 减法 a －b (a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)数乘 λa (λa 1，λa 2，λa 3) 数量积a ·ba 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3注意点：(1)空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致．(2)设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)．即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．(3)运用公式可以简化运算：(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2；(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2. (4)向量线性运算的结果仍是向量，用坐标表示；数量积的结果为数量． 例1 (1)已知a ＝(－1,2,1)，b ＝(2,0,1)，则(2a ＋3b )·(a －b )＝________. 答案 －4解析 易得2a ＋3b ＝(4,4,5)，a －b ＝(－3,2,0)， 则(2a ＋3b )·(a －b )＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－4.(2)在△ABC 中，A (2，－5,3)，AB →＝(4,1,2)，BC →＝(3，－2,5)． ①求顶点B ，C 的坐标； ②求CA →·BC →；③若点P 在AC 上，且AP →＝12PC →，求点P 的坐标．解 ①设B (x ，y ，z )，C (x 1，y 1，z 1)， 所以AB →＝(x －2，y ＋5，z －3)， BC →＝(x 1－x ，y 1－y ，z 1－z )． 因为AB →＝(4,1,2)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝4，y ＋5＝1，z －3＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝－4，z ＝5，所以点B 的坐标为(6，－4,5)． 因为BC →＝(3，－2,5)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1－6＝3，y 1＋4＝－2，z 1－5＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝9，y 1＝－6，z 1＝10，所以点C 的坐标为(9，－6,10)．②因为CA →＝(－7,1，－7)，BC →＝(3，－2,5)， 所以CA →·BC →＝－21－2－35＝－58. ③设P (x 2，y 2，z 2)，则AP →＝(x 2－2，y 2＋5，z 2－3)， PC →＝(9－x 2，－6－y 2,10－z 2)，于是有(x 2－2，y 2＋5，z 2－3)＝12(9－x 2，－6－y 2,10－z 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2＝12(9－x 2)，y 2＋5＝12(－6－y 2)，z 2－3＝12(10－z 2)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝133，y 2＝－163，z 2＝163，故点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫133，－163，163. 反思感悟 空间向量坐标运算的规律及注意点(1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定． (2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算．(3)由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标． 跟踪训练1 已知a ＋b ＝(2，2，23)，a －b ＝(0，2，0)，则a ＝________，b ＝________，a ·b ＝________.答案 (1，2，3) (1,0，3) 4解析 a ＋b ＝(2，2，23)，a －b ＝(0，2，0)， ∴a ＝(1，2，3)，b ＝(1,0，3)， ∴a ·b ＝1＋0＋3＝4.二、空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 知识梳理设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则有平行关系：当b ≠0时，a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )； 垂直关系：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0. 注意点：(1)要证明a ⊥b ，就是证明a ·b ＝0；要证明a ∥b ，就是证明a ＝λb (b ≠0)． (2)a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，若a ∥b ，则x 1x 2＝y 1y 2＝z 1z 2成立的条件是x 2y 2z 2≠0.例2 (1)已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设AB →＝a ，AC →＝b . ①设向量c ＝⎝⎛⎭⎫－32，－1，1，试判断2a －b 与c 是否平行？ ②若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k .解 ①因为a ＝AB →＝(1,1,0)，b ＝AC →＝(－1,0,2)， 所以2a －b ＝(3,2，－2)， 又c ＝⎝⎛⎭⎫－32，－1，1， 所以2a －b ＝－2c ， 所以(2a －b )∥c .②因为a ＝AB →＝(1,1,0)，b ＝AC →＝(－1,0,2)， 所以k a ＋b ＝(k －1，k ,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)． 又因为(k a ＋b )⊥(k a －2b )，所以(k a ＋b )·(k a －2b )＝0，即(k －1，k ,2)·(k ＋2，k ，－4)＝2k 2＋k －10＝0. 解得k ＝2或－52.(2)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱D 1D 的中点，点P ，Q 分别为线段B 1D 1，BD 上的点，且3B 1P →＝PD 1→，若PQ ⊥AE ，BD →＝λDQ →，求λ的值．解 如图所示，以点D 为原点，分别以DA →，DC →，DD 1→的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，0，12，B (1,1,0)，B 1(1,1,1)，D 1(0,0,1)，由题意，可设点P 的坐标为(a ，a ,1)， 因为3B 1P —→＝PD 1→，所以3(a －1，a －1,0)＝(－a ，－a ,0)， 所以3a －3＝－a ，解得a ＝34，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫34，34，1.由题意可设点Q 的坐标为(b ，b ,0)， 因为PQ ⊥AE ，所以PQ →·AE →＝0，所以⎝⎛⎭⎫b －34，b －34，－1·⎝⎛⎭⎫－1，0，12＝0， 即－⎝⎛⎭⎫b －34－12＝0， 解得b ＝14，所以点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫14，14，0， 因为BD →＝λDQ →，所以(－1，－1,0)＝λ⎝⎛⎭⎫14，14，0，所以λ4＝－1，故λ＝－4.延伸探究1．若本例中的PQ ⊥AE 改为B 1Q ⊥EQ ，其他条件不变，结果如何？解 以点D 为原点，DA →，DC →，DD 1→的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)设正方体棱长为1，点Q 的坐标为(c ，c ,0)， 因为B 1Q ⊥EQ ， 所以B 1Q →·EQ →＝0，所以(c －1，c －1，－1)·⎝⎛⎭⎫c ，c ，－12＝0， 即c (c －1)＋c (c －1)＋12＝0,4c 2－4c ＋1＝0，解得c ＝12，所以点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，12，0， 所以点Q 是线段BD 的中点， 所以BD →＝－2DQ →，故λ＝－2.2．本例中若点G 是A 1D 的中点，点H 在平面Dxy 上，且GH ∥BD 1，试判断点H 的位置． 解 以点D 为原点，DA →，DC →，DD 1→的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 因为点G 是A 1D 的中点， 所以点G 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，12， 因为点H 在平面Dxy 上， 设点H 的坐标为(m ，n ,0)，因为GH →＝⎝⎛⎭⎫m －12，n ，－12，BD 1→＝(－1，－1,1)， 且GH ∥BD 1，所以m －12－1＝n －1＝－121，解得m ＝1，n ＝12.所以点H 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，12，0， 所以点H 为线段AB 的中点．反思感悟 (1)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解．(2)利用向量证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明．跟踪训练2 如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，CE ⊥AC ，EF ∥AC ，AB ＝2，CE ＝EF ＝1.(1)求证：AF ∥平面BDE ； (2)求证：CF ⊥平面BDE .证明 (1)设AC 与BD 交于点G ，连接EG . 因为EF ∥AC ，且EF ＝1，AG ＝12AC ＝1，所以四边形AGEF 为平行四边形， 所以AF ∥EG .因为EG ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ， 所以AF ∥平面BDE .(2)因为正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面相互垂直，且CE ⊥AC ，所以CE ⊥平面ABCD . 如图，以C 为原点，建立空间直角坐标系Cxyz .则C (0,0,0)，A (2，2，0)，B (0，2，0)，D (2，0,0)，E (0,0,1)，F ⎝⎛⎭⎫22，22，1.所以CF →＝⎝⎛⎭⎫22，22，1，BE →＝(0，－2，1)，DE →＝(－2，0,1)．所以CF →·BE →＝0－1＋1＝0，CF →·DE →＝－1＋0＋1＝0， 所以CF →⊥BE →，CF →⊥DE →， 即CF ⊥BE ，CF ⊥DE .又BE ∩DE ＝E ，且BE ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ， 所以CF ⊥平面BDE . 三、夹角和距离的计算问题 你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？ 提示 如图，建立空间直角坐标系Oxyz ，设P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)是空间中任意两点，P 1P 2—→＝OP 2→－OP 1→＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)， 于是|P 1P 2—→|＝P 1P 2—→·P 1P 2—→＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＋(z 2－z 1)2所以P 1P 2＝|P 1P 2—→|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＋(z 2－z 1)2，因此，空间中已知两点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB ＝|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＋(z 2－z 1)2. 知识梳理设P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)，P 1P 2＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＋(z 2－z 1)2. 注意点：(1)空间两点间的距离公式类似于平面中的两点之间的距离公式，可以类比记忆． (2)若O (0,0,0)，P (x ，y ，z )，则|OP →|＝x 2＋y 2＋z 2.例3 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别是AA 1，CB 1的中点．(1)求BM ，BN 的长． (2)求△BMN 的面积．解 以C 为原点，以CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图．则B (0,1,0)，M (1,0,1)， N ⎝⎛⎭⎫0，12，1. (1)∵BM →＝(1，－1,1)， BN →＝⎝⎛⎭⎫0，－12，1， ∴|BM →|＝12＋(－1)2＋12＝3， |BN →|＝02＋⎝⎛⎭⎫－122＋12＝52. 故BM 的长为3，BN 的长为52. (2)S △BMN ＝12·BM ·BN ·sin ∠MBN .∵cos ∠MBN ＝cos 〈BM →，BN →〉＝BM →·BN →|BM →||BN →|＝323×52＝155，∴sin ∠MBN ＝1－⎝⎛⎭⎫1552＝105，故S △BMN ＝12×3×52×105＝64.即△BMN 的面积为64. 反思感悟 利用空间向量的坐标运算的一般步骤(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系． (2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标． (3)论证、计算：结合公式进行论证、计算． (4)转化：转化为平行与垂直、夹角与距离问题．跟踪训练3 如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 为C 1G 的中点．(1)求证：EF ⊥B 1C ； (2)求FH 的长；(3)求EF 与C 1G 所成角的余弦值．(1)证明 如图，建立空间直角坐标系Dxyz ，D 为坐标原点， 则有E ⎝⎛⎭⎫0，0，12，F ⎝⎛⎭⎫12，12，0，C (0,1,0)，B 1(1,1,1)，EF →＝⎝⎛⎭⎫12，12，0－⎝⎛⎭⎫0，0，12＝⎝⎛⎭⎫12，12，－12，B 1C —→＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1)．∴EF →·B 1C —→＝12×(－1)＋12×0＋⎝⎛⎭⎫－12×(－1)＝0， ∴EF →⊥B 1C —→，即EF ⊥B 1C .(2)解 ∵F ⎝⎛⎭⎫12，12，0，H ⎝⎛⎭⎫0，78，12， ∴FH →＝⎝⎛⎭⎫－12，38，12， ∴|FH →|＝⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫382＋⎝⎛⎭⎫122＝418. ∴FH 的长为418. (3)解 ∵C 1(0,1,1)，G 1⎝⎛⎭⎫0，34，0， ∴C 1G —→＝⎝⎛⎭⎫0，34，0－(0,1,1)＝⎝⎛⎭⎫0，－14，－1. ∴|C 1G —→|＝174.又EF →·C 1G —→＝12×0＋12×⎝⎛⎭⎫－14＋⎝⎛⎭⎫－12×(－1)＝38，|EF →|＝32， ∴|cos 〈EF →，C 1G —→〉|＝|EF →·C 1G —→||EF →|·|C 1G —→|＝5117.即异面直线EF 与C 1G 所成角的余弦值为5117.1．知识清单： (1)向量的坐标的运算． (2)向量的坐标表示的应用． 2．方法归纳：类比、转化． 3．常见误区：(1)由两向量共线直接得到两向量对应坐标的比相等．(2)求异面直线所成的角时易忽略范围；讨论向量夹角忽略向量共线的情况．1．已知M (5，－1,2)，A (4,2，－1)，O 为坐标原点，若OM →＝AB →，则点B 的坐标应为( ) A ．(－1,3，－3) B ．(9,1,1)C ．(1，－3,3)D ．(－9，－1，－1)答案 B解析 OM →＝AB →＝OB →－OA →，OB →＝OM →＋OA →＝(9,1,1)．2．已知向量a ＝(0，－1,1)，b ＝(4,1,0)，|λa ＋b |＝29，且λ>0，则λ等于( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 答案 C解析 λa ＋b ＝λ(0，－1,1)＋(4,1,0)＝(4,1－λ，λ)，由已知得|λa ＋b |＝42＋(1－λ)2＋λ2＝29，且λ>0，解得λ＝3.3．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是( ) A ．1 B.15 C.35 D.75答案 D解析 依题意得(k a ＋b )·(2a －b )＝0， 所以2k |a |2－k a ·b ＋2a ·b －|b |2＝0， 而|a |2＝2，|b |2＝5，a ·b ＝－1， 所以4k ＋k －2－5＝0，解得k ＝75.4．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB →与AC →的夹角为________． 答案 π3解析 ∵AB →＝(0,3,3)，AC →＝(－1,1,0)， ∴|AB →|＝32，|AC →|＝2，AB →·AC →＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3， ∴cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，又∵〈AB →，AC →〉∈[0，π]，∴〈AB →，AC →〉＝π3.课时对点练1．已知a ＝(1，－2,1)，a －b ＝(－1,2，－1)，则b 等于( ) A ．(2，－4,2) B ．(－2,4，－2) C ．(－2,0，－2) D ．(2,1，－3)答案 A解析 b ＝a －(－1,2，－1)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)． 2．已知A (3,4,5)，B (0,2,1)，O (0,0,0)，若OC →＝25AB →，则C 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－65，－45，－85 B.⎝⎛⎭⎫65，－45，－85 C.⎝⎛⎭⎫－65，－45，85 D.⎝⎛⎭⎫65，45，85 答案 A解析 设点C 的坐标为(x ，y ，z )，则OC →＝(x ，y ，z )，又AB →＝(－3，－2，－4)，OC →＝25AB →，所以x ＝－65，y ＝－45，z ＝－85，所以C ⎝⎛⎭⎫－65，－45，－85. 3．已知a ＝(1,0,1)，b ＝(－2，－1,1)，c ＝(3,1,0)，则|a －b ＋2c |等于( ) A ．310 B ．210 C.10 D ．5 答案 A解析 ∵a －b ＋2c ＝(9,3,0)， ∴|a －b ＋2c |＝92＋32＋02＝310.4．已知A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形答案 C解析 因为AB →＝(3,4，－8)，BC →＝(2，－3,1)，AC →＝(5,1，－7)， BC →·AC →＝10－3－7＝0，∴BC ⊥AC ， 而|BC →|＝14，|AC →|＝53， 所以△ABC 是直角三角形．5．空间中点A (3,3,1)关于平面Oxy 的对称点A ′与B (－1，1,5)的长度为( ) A ．6 B ．2 6 C ．4 3 D ．214 答案 D解析 点A (3,3,1)关于平面Oxy 的对称点A ′的坐标为(3,3，－1)， 所以A ′与B (－1,1,5)的长度为 A ′B ＝(3＋1)2＋(3－1)2＋(－1－5)2＝214.6．已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(－2，－4，－6)，|c |＝14，若(a ＋b )·c ＝7，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案 C解析 a ＋b ＝(－1，－2，－3)＝－a ， 故(a ＋b )·c ＝－a ·c ＝7， 得a ·c ＝－7， 而|a |＝12＋22＋32＝14，所以cos 〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝－12，所以〈a ，c 〉＝120°.7．如图，将边长为1的正方形AA 1O 1O (及其内部)绕OO 1旋转一周形成圆柱，AC ︵的长为2π3，11A B 的长为π3，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧．则异面直线B 1C 与AA 1所成的角的大小为________．答案 π4解析 以O 为坐标原点，OA ，OO 1所在直线分别为y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ，则A (0,1,0)，A 1(0,1,1)，B 1⎝⎛⎭⎫32，12，1，C⎝⎛⎭⎫32，－12，0. 所以AA 1→＝(0,0,1)，B 1C —→＝(0，－1，－1)，则AA 1→·B 1C —→＝02＋0×(－1)＋1×(－1)＝－1， 所以cos 〈AA 1→，B 1C —→〉＝AA 1→·B 1C —→|AA 1→|·|B 1C —→|＝－11×2＝－22.因此，异面直线B 1C 与AA 1所成的角为π4.8．已知点A (－1,3,1)，B (－1,3,4)，若AP →＝2PB →，则点P 的坐标是________． 答案 (－1,3,3)解析 设点P (x ，y ，z )， 则由AP →＝2PB →，得(x ＋1，y －3，z －1)＝2(－1－x ，3－y ，4－z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝－2－2x ，y －3＝6－2y ，z －1＝8－2z ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3，z ＝3，即P (－1,3,3)．9．已知A (x ，5－x ，2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，求|AB →|取最小值时，A ，B 两点的坐标，并求此时的|AB →|.解 由空间两点间的距离公式得 |AB →|＝(1－x )2＋[(x ＋2)－(5－x )]2＋[(2－x )－(2x －1)]2＝14x 2－32x ＋19＝14⎝⎛⎭⎫x －872＋57， 当x ＝87时，|AB →|有最小值为357.此时A ⎝⎛⎭⎫87，277，97，B ⎝⎛⎭⎫1，227，67. 10．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，AB ＝3，BC ＝1，P A ＝2，E 为PD 的中点．(1)求AC 与PB 所成角的余弦值；(2)在侧面P AB 内找一点N ，使NE ⊥平面P AC ，求N 点的坐标． 解 (1)由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (3，0,0)，C (3，1,0)，D (0,1,0)，P (0,0，2)，E ⎝⎛⎭⎫0，12，1， 从而AC →＝(3，1,0)，PB →＝(3，0，－2)． 设AC 与PB 的夹角为θ， 则cos θ＝|AC →·PB →||AC →|·|PB →|＝327＝3714.∴AC 与PB 所成角的余弦值为3714.(2)由于N 点在侧面P AB 内， 故可设N 点坐标为(x ,0，z )， 则NE →＝⎝⎛⎭⎫－x ，12，1－z ，由NE ⊥平面P AC 可得， ⎩⎪⎨⎪⎧NE →·AP →＝0，NE →·AC →＝0， 即⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫－x ，12，1－z ·(0，0，2)＝0，⎝⎛⎭⎫－x ，12，1－z ·(3，1，0)＝0，化简得⎩⎪⎨⎪⎧z －1＝0，－3x ＋12＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝36，z ＝1，即N 点的坐标为⎝⎛⎭⎫36，0，1时，NE ⊥平面P AC .11．已知点A (1－t ,1－t ，t )，B (2，t ，t )，则A ，B 两点的距离的最小值为( ) A.31010 B.55 C.355 D.35答案 C解析 因为点A (1－t ,1－t ，t )，B (2，t ，t )， 所以|AB |2＝(1＋t )2＋(2t －1)2＋(t －t )2＝5t 2－2t ＋2， 由二次函数易知，当t ＝15时，取得最小值为95 ，所以|AB |的最小值为355.12．(多选)从点P (1,2,3)出发，沿着向量v ＝(－4，－1,8)方向取点Q ，使|PQ |＝18，则Q 点的坐标为( ) A ．(－1，－2,3) B ．(9,4，－13) C ．(－7,0,19) D ．(1，－2，－3)答案 BC解析 设Q (x 0，y 0，z 0)，则PQ →＝λv ， 即(x 0－1，y 0－2，z 0－3)＝λ(－4，－1,8)． 由|PQ |＝18，得(－4λ)2＋(－λ)2＋(8λ)2＝18，所以λ＝±2，所以(x 0－1，y 0－2，z 0－3)＝±2(－4，－1,8)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－7，y 0＝0，z 0＝19，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝9，y 0＝4，z 0＝－13.13．已知向量a ＝(5,3,1)，b ＝⎝⎛⎭⎫－2，t ，－25，若a 与b 的夹角为钝角，则实数t 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－65∪⎝⎛⎭⎫－65，5215 解析 由已知得a ·b ＝5×(－2)＋3t ＋1×⎝⎛⎭⎫－25＝3t －525， 因为a 与b 的夹角为钝角， 所以a ·b <0， 即3t －525<0，所以t <5215.若a 与b 的夹角为180°， 则存在λ<0，使a ＝λb (λ<0)， 即(5,3,1)＝λ⎝⎛⎭⎫－2，t ，－25， 所以⎩⎪⎨⎪⎧5＝－2λ，3＝tλ，1＝－25λ，所以t ＝－65，故t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－65∪⎝⎛⎭⎫－65，5215. 14．已知棱长为a 的正四面体ABCD ，如图，建立空间直角坐标系，O 为A 在底面上的射影，M ，N 分别为线段AB ，AD 的中点，则M 的坐标是________，CN 与DM 所成角的余弦值为________．答案 ⎝⎛⎭⎫－14a ，－312a ，66a 16解析 由正四面体的棱长为a ，知△BCD 的外接圆半径为33a . ∴B ⎝⎛⎭⎫－12a ，－36a ，0，又正四面体的高为a 2－⎝⎛⎭⎫33a 2＝63a ， ∴A ⎝⎛⎭⎫0，0，63a ，D ⎝⎛⎭⎫0，33a ，0， ∴AD 的中点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，36a ，66a ， AB 的中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫－14a ，－312a ，66a .∴DM →＝⎝⎛⎭⎫－14a ，－5312a ，66a ，又C ⎝⎛⎭⎫a 2，－36a ，0，∴CN →＝⎝⎛⎭⎫－12a ，33a ，66a .∴|cos 〈DM →，CN →〉|＝|DM →·CN →||DM →||CN →|＝16，∴异面直线CN 与DM 所成角的余弦值为16.15.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 在棱AB 上移动，则直线D 1E 与A 1D 所成角的大小是________，若D 1E ⊥EC ，则AE ＝________.答案 90° 1解析 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．又AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 在棱AB 上移动.则D (0,0,0)，D 1(0,0,1)，A (1,0,0)，A 1(1,0,1)，C (0,2,0)， 设E (1，m ,0)，0≤m ≤2，则D 1E —→＝(1，m ，－1)，A 1D —→＝(－1,0，－1)， ∴D 1E —→·A 1D —→＝－1＋0＋1＝0，∴直线D 1E 与A 1D 所成角的大小是90°.∵D 1E —→＝(1，m ，－1)，EC →＝(－1,2－m ,0)，D 1E ⊥EC ， ∴D 1E —→·EC →＝－1＋m (2－m )＋0＝0， 解得m ＝1，∴AE ＝1.16．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 和△A 1B 1C 1为正三角形，所有的棱长都是2，M 是BC 边的中点，则在棱CC 1上是否存在点N ，使得异面直线AB 1和MN 所成的角等于45°？ 解 以A 点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz .由题意知A (0,0,0)，B 1(3，1,2)，C (0,2,0)，B (3，1,0)，M ⎝⎛⎭⎫32，32，0.又点N 在棱CC 1上，可设N (0,2，m )(0≤m ≤2)， 则AB 1→＝(3，1,2)，MN →＝⎝⎛⎭⎫－32，12，m ，所以|AB 1→|＝22，|MN →|＝m 2＋1，AB 1→·MN →＝2m －1.若异面直线AB 1和MN 所成的角等于45°，则cos 45°＝|cos 〈AB 1→，MN →〉|＝|AB 1→·MN →||AB 1→||MN →|＝|2m －1|22×m 2＋1.即|2m －1|22×m 2＋1＝22， 解得m ＝－34，这与0≤m ≤2矛盾．所以在棱CC 1上不存在点N ，使得异面直线AB 1和MN 所成的角等于45°.。
向量的坐标表示与运算公式
向量的坐标表示与运算公式向量的坐标表示：1. 在二维平面中，一个向量可以用有序实数对 (x, y) 表示，其中 x 和 y 分别表示向量的横坐标和纵坐标。
2. 在三维空间中，一个向量可以用有序实数三元组 (x, y, z) 表示，其中 x、y 和 z 分别表示向量的三个坐标分量。
向量的运算公式：1. 向量的加法：- 定义：如果向量 A = (x₁, y₁) 和向量 B = (x₂, y₂)，则 A + B = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)。
- 几何意义：向量加法就是把两个向量的起点放在一起，然后把两个向量终点连起来的向量。
2. 向量的数乘：- 定义：对于任意实数 k，如果向量 A = (x, y)，则 kA = (kx, ky)。
- 几何意义：数乘就是把向量按比例放大或缩小。
3. 向量的减法：- 定义：如果向量 A = (x₁, y₁) 和向量 B = (x₂, y₂)，则 A - B = (x₁ - x₂, y₁- y₂)。
- 几何意义：向量减法就是从第一个向量的终点指向第二个向量的终点的向量。
4. 向量的数量积（点乘）：- 定义：如果向量 A = (x, y) 和向量 B = (x', y')，则A · B = xx' + yy'。
- 几何意义：数量积等于两向量的长度之积和它们夹角的余弦值的乘积。
5. 向量的向量积（叉乘）：- 定义：如果向量 A = (x, y) 和向量 B = (x', y')，则A × B 是一个垂直于A 和B 的向量，其大小等于A × B × sin(θ)，其中θ 是 A 和 B 之间的夹角，方向按照右手定则确定。
- 几何意义：向量积表示一个向量相对于另一个向量的旋转。
以上是向量的基本坐标表示和运算公式，是解析几何和线性代数中的基础概念。
1.3.2空间向量运算的坐标表示
坐标表示
2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系:
设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则
=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).
即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减
去起点坐标.
3.空间向量平行与垂直条件的坐标表示
若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
一、空间向量运算的坐标表示
1.空间向量运算法则设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么
向量运算
向量表示
加法
a+b
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
减法
a-b
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
数乘
λa
(λa1,λa2,λa3)
数量积
a·b
a1b1+a2b2+a3b3
若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
21 + 22
(1)|a|= ·=
(2)cos<a,b>=
·
||||
+ 23
z
P1
k
;
1 1 + 2 2 + 3 3
=
;
12 + 22 + 32 12 + 22 + 32
(3)若 P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则 P1,P2 两点间的距离为
1
3
1，－ ，－
1，1)，c＝
2
2 ，则它们之间的关系是( A )
A．a⊥b 且 a∥c
B．a⊥b 且 a⊥c
C．a∥b 且 a⊥c
空间向量的坐标表示与运算解析几何的高级技巧
空间向量的坐标表示与运算解析几何的高级技巧空间向量是解析几何中的重要内容，它涉及到向量的坐标表示和运算，具有广泛的应用。
本文将介绍空间向量的坐标表示以及相关的运算技巧。
一、坐标表示在三维空间中，任意向量可以用其在坐标系中的坐标表示。
一般来说，我们使用笛卡尔坐标系来表示空间向量。
在笛卡尔坐标系中，我们可以使用三个坐标轴x、y和z来表示向量的三个分量。
假设有一个向量A，其在坐标系中的坐标表示为A=(x, y, z)。
其中，x表示向量A在x轴上的分量，y表示向量A在y轴上的分量，z表示向量A在z轴上的分量。
二、向量的加法与减法空间向量的加法与减法与二维向量的加法与减法类似。
对于两个向量A=(x1, y1, z1)和B=(x2, y2, z2)，它们的和向量C=A+B的坐标表示为C=(x1+x2, y1+y2, z1+z2)；它们的差向量D=A-B的坐标表示为D=(x1-x2, y1-y2, z1-z2)。
向量的加法与减法可以通过将各个分量相加或相减得到。
这一点十分重要，因为在解析几何的问题中，我们经常需要对向量进行加法和减法运算。
三、数量积与向量积空间向量的数量积和向量积是解析几何中的两个重要运算，其定义如下：1. 数量积：对于两个向量A=(x1, y1, z1)和B=(x2, y2, z2)，它们的数量积为AB=x1*x2+y1*y2+z1*z2。
2. 向量积：对于两个向量A=(x1, y1, z1)和B=(x2, y2, z2)，它们的向量积为C=A×B=(y1*z2-y2*z1, z1*x2-z2*x1, x1*y2-x2*y1)。
数量积和向量积在解析几何的求解中具有重要的作用。
数量积可以用来求解两个向量的夹角，向量积可以用来求解平面的法向量以及计算平行四边形的面积。
四、向量的模长和单位向量向量的模长表示向量的大小，它可以通过向量的坐标表示进行计算。
对于一个向量A=(x, y, z)，它的模长表示为|A|=√(x²+y²+z²)。
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
【解析】如图所示，
＝
故|
＋
|2＝|
＝
＋
＝42＋32＋52＋2
＋
＋
＋
，
|2＝
2＋
2＋
2 ＋2(
＝85，故|
· ＋
·
|＝
.
＋
·
)
7.如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M，E，F 分
别为 PQ，AB，BC 的中点，则异面直线 EM 与 AF 所成角的余弦值是________．
角为(
，若(a＋b)·c＝7，则 a 与 c 的夹
)
A． 30°
B． 60
°C． 120°
D． 150°
【答案】C
【解析】a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，故(a＋b)·c＝－a·c＝7，得 a·c＝－7，
而|a|＝
＝
所以〈a，c〉＝120°.
，所以 cos〈a，c〉＝
＝－ ，
3.一束光线自点 P(1,1,1)出发，被 xOy 平面反射到达点 Q(3,3,6)被吸收，那么光线所经
【答案】
【解析】由正四面体的棱长为 a，知△BCD 的外接圆半径为
∴B，又正四面体的高为
＝
a，
∴A，D，∴AD 的中点 N 的坐标为
AB 的中点 M 的坐标为
∴
＝
，
.
，
又 C，∴
＝
∴|cos〈
，
.
〉|＝
＝ ，
∴异面直线 CN 与 DM 所成角的余弦值为 .
a.
总结提升
利用空间向量的坐标运算的一般步骤
C． 14
【答案】A
【解析】∵l1∥l2，∴a∥b，
空间向量运算的坐标表示
1 1 1 E 1,1, , F , ,1 2 2 2 1 1 1 EF - , - , , DA1 1, 0,1 2 2 2
A1 z D1
F
C1
B1 E y
1 1 EF DA1 - 0 0 EF⊥DA1 2 2
x
x1 x2 x3 y1 y2 y3 z1 z2 z3 G , , 3 3 3
二、空间向量数量积的坐标表示及夹角公式
若 a (a1，a2，a3)，b (b1，b2，b3)，则
(1) a b ＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 ；
2 2 2 a ＋ a ＋ a (2)| a |＝ a a ＝ 1 2 3 ； a1b1 a2 b2 a3 b3 ab (3)cos< a, b >＝ ＝ 2 2 2 2 2 2 a a a b b b | a || b | 1 2 3 1 2 3
答案 a (1,1,0) , b (-1,0, 2)
ka b (k - 1, k , 2)
5 k- 或 k2 2
ka - 2b (k 2, k , -4)
例3.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
点E1，F1分别是A1B1，C1D1的一个四等分
点，求BE1与DF1所成角的余弦值
空间向量运算的坐标表示
知识回顾： 空间向量基本定理： 如果三个向量 a, b, c 不共线，则对于空间任
一向量 p ，存在唯一有序实数组 { x, y, z },
使得 p xa yb zc 空间向量的坐标表示： 当以x 轴，y 轴，z 轴的正向单位向量 e1 , e2 , e3 为基向量时，若 p xe1 ye2 ze3 则向量 p
高中数学选择性必修一课件：空间向量运算的坐标表示
探究 1 求空间某点的坐标时，一定要注意向量的起点是否在原点． (1)当向量的始点为原点时，向量的坐标即为终点的坐标．如O→P＝3，32，－2 (其中 O 为原点)，则 P3，32，－2. (2)当向量的始点不为原点时，求终点坐标需将位置向量加上始点坐标．例如， A→P＝3，32，－2，A(2，－1，2)，则 P 的坐标为3＋2，32－1，－2＋2，即 P5，12，0.
【解析】 a⊥b⇔λ2＋1－2＝0，解得 λ＝±1.
故 λ＝1 是 a⊥b 的充分不必要条件．
(3)在空间直角坐标系中，若向量 a＝(－2，1，3)，b＝(1，－1，1)，c＝
1，－12，－32，则它们之间的关系是( A )
A．a⊥b 且 a∥c
B．a⊥b 且 a⊥c
C．a∥b 且 a⊥c
D．a∥b 且 a∥c
要点 3 设 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P→1P2＝O→P2－ O→P1＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．
于是|P→1P2|＝ P→1P2·P→1P2 ＝ （x2－x1）2＋（y2－y1）2＋（z2－z1）2. P1P2＝|P→1P2|＝ （x2－x1）2＋（y2－y1）2＋（z2－z1）2. 这就是_____空_间__两_点__间_的__距_离__公_式________．
题型三 夹角和距离的计算
例 4 在棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别是 D1D，BD 的 中点，G 在棱 CD 上，且 CG＝14CD，H 为 C1G 的中点，应用空间向量方法求解 下列问题．
(1)求证：EF⊥B1C； (2)求 EF 与 C1G 所成角的余弦值； (3)求 FH 的长．
要点 2 当 b≠0 时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； |a|＝ a·a＝ a12＋a22＋a32； cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝ a12＋aa12b21＋＋aa322b2b＋12a＋3bb322＋b32.
05空间向量运算的坐标表示
∴ B1C // 平面ODC1，即B1C // 平面ODC1.
例 3.如,图 在底面为平四 行棱 四 P锥 边 AB 形C 中 的 ,D AB AC ,PA 平A 面BC ,且 D PA AB ,点E为PD 的 中.点 求证 P： B //平A 面E.C
练习 3:
⑴在正方体 ABCD A1B1C1D1中, D1 E 、F 分别是 BB1 、CD 的中点, A1 求证: D1F 平面ADE .
1)
，
D(0
,
0
,
0)
，
所以 所以
uDuAur1
(1 , uuuur
0
,
1) 1
EF uuur
DA1 uuuur
(
2
,
1 2
,
1 2
)
(1
,
0
,
1)
0
，
因此 EF DA1 ，即 EF DA1
练习 1:
⑴已知 A（0, 2, 3)、B（ 2,1, 6),C(1, 1, 5), 则 △ABC 的面积 S=_7__3__.
F E Cy
B
uuuur
A ED 1F(0,1,2)(0,2,1)0.AED1F.
又ADI AE=A, D 1F平 面 AD E.
求解下列 : 问题
(1)求直 A线 1 O 与 B1E所成角的余弦值； （ 2）O 作 1DAC 于 D,求O 点 1到D 点 的距 . 离
例 4 .如 ,在 图平A 行 B 六 A C 1 B 1 C D 1 面 D 1 中 ,O 是 体 B 1 D 1 的,中 求 :B 点 证 1 C /面 /O1 DC
叫做 a 在这r 一空间直角坐标系下的x 坐标.
空间向量及其运算的坐标表示(解析版)
第3讲 空间向量及其运算的坐标表示新课标要求①了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。
②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。
③掌握空间向量的数量积及其坐标表示。
知识梳理1.空间向量运算的坐标表示若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则： (1)a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)； (2)a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)； (3)λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)(λ∈R )； (4)a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3；(5)a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )； (6)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0； (7)|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22＋a 23；(8)cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23. 2．空间中向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则： (1)AB →＝(a 2－a 1，b 2－b 1，c 2－c 1)；(2)d AB ＝|AB→|＝ (a 2－a 1)2＋(b 2－b 1)2＋(c 2－c 1)2 .名师导学【例1-1】（武汉期末）点(1P ，2，3)-关于xOz 平面对称的点的坐标是( ) A ．(1，2，3)B ．(1，2-，3)-C ．(1-，2，3)-D ．(1-，2-，3)【分析】点(1P ，2，3)-关于xOz 平面对称的点，即x ，z 不变，y 变为相反数． 【解答】解：点(1P ，2，3)-关于xOz 平面对称的点，即x ，z 不变，y 变为相反数，∴点(1P ，2，3)-关于xOz 平面对称的点的坐标是(1，2-，3)．故选：B ．【变式训练1-1】（河南月考）在空间直角坐标系Oxyz 中，点(1，2-，4)关于y 轴对称的点为( ) A ．(1-，2-，4)- B ．(1-，2-，4)C ．(1，2，4)-D ．(1，2，4)【分析】空间直角坐标系中，点关于y 轴对称，则y 值不变，x 和z 的值改变符号．【解答】解：空间直角坐标系Oxyz 中，点(1P ，2-，4)关于y 轴对称的点为(1P '-，2-，4)-． 故选：A ．【例2-1】（钦州期末）已知(1a =，2，1)，(2b =，4-，1)，则2a b +等于( ) A ．(4，2-，0)B ．(4，0，3)C ．(4-，0，3)D ．(4，0，3)-【分析】利用向量坐标运算性质即可得出．【解答】解：22(1a b +=，2，1)(2+，4-，1)(4=，0，3)， 故选：B ．【例2-2】（济南模拟）已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求a 与b 夹角的余弦值；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值； (3)设|c |＝3，c ∥BC→，求c .【分析】对于(1)直接套两向量的夹角公式即可；对于(2)将向量垂直，转化为数量积为0求解；对于(3)利用共线向量求解．【解答】 (1)∵a ＝AB →＝(1,1,0)，b ＝AC →＝(－1,0,2)，∴a ·b ＝1×(－1)＋1×0＋0×2＝－1，|a |＝2，|b |＝5，cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－1010. (2)k a ＋b ＝k (1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)， k a －2b ＝k (1,1,0)－2(－1,0,2)＝(k ＋2，k ，－4)． ∵(k a ＋b )⊥(k a －2b )， ∴(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0，即2k 2＋k －10＝0，得k ＝2或k ＝－52.(3)∵c ∥BC→，又BC →＝(－2，－1,2)，∴设c ＝(－2λ，－λ，2λ)，又|c |＝3， ∴(－2λ)2＋(－λ)2＋(2λ)2＝9，得λ＝±1. ∴c ＝(－2，－1,2)或c ＝(2,1，－2)．【变式训练2-1】（菏泽期末模拟）已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(0，－1,2)．求：(1)a ＋b ； (2)2a －3b ； (3)a ·b ；(4)(a ＋b )·(a －b )．【分析】利用空间向量坐标运算公式计算即可. 【解答】(1)∵a ＝(2，－1,3)，b ＝(0，－1,2)．∴a ＋b ＝(2＋0，－1－1,3＋2)＝(2，－2,5)．(2)2a －3b ＝2(2，－1,3)－3(0，－1,2)＝(4，－2,6)＋(0,3，－6)＝(4,1,0)． (3)a ·b ＝(2，－1,3)·(0，－1,2)＝2×0＋(－1)×(－1)＋3×2＝7. (4)∵|a |＝22＋(－1)2＋32＝14， |b |＝02＋(－1)2＋22＝5， ∴(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝14－5＝9.【变式训练2-2】（烟台期末）已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，若OA →＋λOB →与OB →(O 为坐标原点)的夹角为120°，则λ的值为( )A.66 B ．－66C ．±66D ．±6【分析】利用向量数量积的计算公式变形和已知条件，将坐标带代入计算即可. 【解答】∵OA →＋λOB →＝(1，－λ，λ)，OB →＝(0，－1,1)，∴cos 120°＝(OA →＋λOB →)·OB →|OA →＋λOB →||OB →|＝2λ2λ2＋1×2＝－12，可得λ<0，解得λ＝－66. 【例3-1】（淄博调研）已知△ABC 的三个顶为A (3,3,2)，B (4，－3,7)，C (0,5,1)，则BC 边上的中线长为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【分析】先求出BC 中点D 的坐标，再代入两点间距离公式即可计算. 【解答】∵B (4，－3,7)，C (0,5,1)，∴BC 边上的中点D (2,1,4)．又A (3,3,2)， ∴|AD |＝(2－3)2＋(1－3)2＋(4－2)2＝3.【变式训练3-1】（温州期中）点(1M -，2，3)是空间直角坐标系Oxyz 中的一点，点M 关于x 轴对称的点的坐标为 ，||OM = ．【分析】点(a ，b ，)c 关于x 轴对称的点的坐标为(a ，b -，)c -，利用两点间距离公式能求出||OM ． 【解答】解：点(1M -，2，3)是空间直角坐标系Oxyz 中的一点， 点M 关于x 轴对称的点的坐标为(1-，2-，3)-，||(OM =-．故答案为：(1-，2-，3)-名师导练A 组-[应知应会]1．（安徽期末）空间直角坐标系中，点(2P ，1-，3)关于点(1M -，2，3)的对称点Q 的坐标为(( ) A ．(4，1，1)B ．(4-，5，3)C ．(4，3-，1)D ．(5-，3，4)【分析】利用对称的性质和中点坐标公式直接求解．【解答】解：设空间直角坐标系中，点(2P ，1-，3)关于点(1M -，2，3)的对称点Q 的坐标为(a ，b ，)c ， 则212122332abc +⎧=-⎪⎪-+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩，解得4a =-，5b =，3c =， Q ∴点坐标为(4-，5，3)．故选：B ．2．（金牛区校级期中）点(3A ，2，1)关于xOy 平面的对称点为( ) A ．(3-，2-，1)- B ．(3-，2，1)C ．(3，2-，1)D ．(3，2，1)-【分析】根据点(A a ，b ，)c 关于xOy 平面的对称点为(A a '，b ，)c -，写出即可． 【解答】解：点(3A ，2，1)关于xOy 平面的对称点为(3A '，2，1)-．3．（东阳市校级月考）已知点(1A ，2-，3)，则点A 关于原点的对称点坐标为( ) A ．(1-，2，3)B ．(1-，2，3)-C ．(2，1-，3)D ．(3-，2，1)-【分析】点(a ，b ，)c 关于原点对称的点的坐标为(a -，b -，)c -． 【解答】解：点(1A ，2-，3)，∴点A 关于原点的对称点坐标为(1-，2，3)-．故选：B ．4．（茂名期末）已知向量(1,1,2)a =--及(4,2,0)b =-则a b +等于( ) A ．(3-，1，2)-B ．(5，5，2)-C ．(3，1-，2)D ．(5-，5-，2)【分析】根据空间向量的坐标运算，求和即可． 【解答】解：由向量(1,1,2)a =--，(4,2,0)b =-， 所以(3a b +=-，1，2)-． 故选：A ．5．（高安市校级期末）已知空间向量()()()1,,1,3,1,,,0,0,,(a x b y c z a b c xyz =-==+=则的值为 ) A ．2±B ．2-C ．2D ．0【分析】利用空间向量运算法则、向量相等的性质直接求解．【解答】解：空间向量(1a =-，x ，1)，(3b =，1，)y ，(c z =，0，0)，a b c +=， (2∴，1x +，1)(y z +=，0，0)，∴21010z x y =⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得1x =-，1y =-，2z =， (1)(1)22xyz ∴=-⨯-⨯=．故选：C ．6．（丰台区期末）已知(2AB =，3，1)，(4AC =，5，3)，那么向量(BC = ) A ．(2-，2-，2)- B ．(2，2，2) C ．(6，8，4)D ．(8，15，3)【分析】利用向量BC AC AB =-即可得出．【解答】解：向量(4BC AC AB =-=，5，3)(2-，3，1)(2=，2，2)，7．（多选）（三明期末）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，5AB =，4AD =，13AA =，以直线DA ，DC ，1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则( )A ．点1B 的坐标为(4，5，3)B ．点1C 关于点B 对称的点为(5，8，3)- C ．点A 关于直线1BD 对称的点为(0，5，3) D ．点C 关于平面11ABB A 对称的点为(8，5，0) 【分析】利用空间点的对称性即可得出．【解答】解：由图形及其已知可得：点1B 的坐标为(4，5，3)，点1(0C ，5，3)关于点B 对称的点为(4-，5，3)-，点A 关于直线1BD 对称的点为1(0C ，5，3)，点(0C ，5，0)关于平面11ABB A 对称的点为(8，5，0)． 因此ACD 正确． 故选：ACD ．8．（公安县期末）在空间直角坐标系中，已知两点(5P ，1，)a 与(5Q ，b ，4)关于坐标平面xOy 对称，则a b += ．【分析】根据空间直角坐标系坐标的对称的结论：点(x ，y ，)z 关于平面xoy 对称的点坐标为(x ，y ，)z -，可知答案．【解答】解：在空间直角坐标系中，两点(5P ，1，)a 与(5Q ，b ，4)关于坐标平面xOy 对称，1b ∴=，4a =-， 413a b ∴+=-+=-． 故答案为：3-．9．（温州期末）在平面直角坐标系中，点(1,2)A -关于x 轴的对称点为(1,2)A '--，那么，在空间直角坐标系中，(1B -，2，3)关于x 轴的对称轴点B '坐标为 ，若点(1C ，1-，2)关于xOy 平面的对称点为点C '，则||B C ''= ．【分析】在空间直角坐标系中，(1B -，2，3)关于x 轴的对称轴点B '坐标为横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原不的相反数，若点(1C ，1-，2)关于xOy 平面的对称点为点C '，横、纵坐标均不变，竖坐标变为原不的相反数，再由两点间距离公式能求出||B C ''．【解答】解：在空间直角坐标系中，(1B -，2，3)关于x 轴的对称轴点B '坐标为(1-，2-，3)-， 若点(1C ，1-，2)关于xOy 平面的对称点为点C '， 则(1C '，1-，2)-，||B C ''∴故答案为：(1-，2-，3)-．10．（浙江期中）空间直角坐标系O xyz -中，点(1M ，1-，1)关于x 轴的对称点坐标是 ；||OM = ．【分析】根据空间直角坐标系中，点(M x ，y ，)z 关于x 轴的对称点坐标是(M x '，y -，)z -； 以及两点间的距离公式，计算即可．【解答】解：空间直角坐标系O xyz -中，点(1M ，1-，1)关于x 轴的对称点坐标是(1M '，1，1)-；||OM ．故答案为：(1，1，1)-11．（兴庆区校级期末）已知(2a =，3-，1)，(2b =，0，3)，(1c =，0，2)，则68a b c +-= ． 【分析】进行向量坐标的加法和数乘运算即可．【解答】解：68(2,3,1)6(2,0,3)8(1a b c +-=-+-，0，2)(6=，3-，3)． 故答案为：(6，3-，3)．12．（辽阳期末）已知向量(2,3,1)a =-，(1,2,4)b =-，则a b += ． 【分析】利用空间向量坐标运算法则直接求解． 【解答】解：(2,3,1)a =-，(1,2,4)b =-，∴(1a b +=-，1，5)．故答案为：(1-，1，5)．13．（越秀区期末）已知点(1A ，2，0)和向量(3a =，4，12)-，若2AB a =，则点B 的坐标是 ． 【分析】设(B x ，y ，)z ，由向量坐标运算法则和向量相等的定义得(1x -，2y -，)(6z =，8，24)-，由此能求出B 点坐标．【解答】解：点(1A ，2，0)和向量(3a =，4，12)-，2AB a =， 设(B x ，y ，)z ，则(1x -，2y -，)(6z =，8，24)-， 解得7x =，10y =，24z =-，∴点B 的坐标(7，10，24)-．故答案为：(7，10，24)-．14．（黄浦区校级月考）已知向量(7,1,5),(3,4,7)a b =-=-，则||a b += 【分析】先利用向量坐标运算法则求出a b +，由此能求出||a b +． 【解答】解：向量(7,1,5),(3,4,7)a b =-=-，∴(4a b +=，3，12)， ∴||16913a b +=+．故答案为：13．15．（青铜峡市校级月考）已知点A ，B 关于点(1P ，2，3)的对称点分别为A '，B '，若(1A -，3，3)-，(3A B ''=，1，5)，求点B 的坐标．【分析】由题意可知AB B A A B ''''==-，且P 是线段AA '和BB '的中点，根据向量坐标运算性质即可得出． 【解答】解：由题意可知AB B A A B ''''==-，且P 是线段AA '和BB '的中点， 设(B x ，y ，)z ，则(1,3,3)(3,1,5)(3,1,5)AB x y z =+-+=-=--- 所以133135x y z +=-⎧⎪-=-⎨⎪+=-⎩，解得428x y z =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩．∴点B 的坐标为(4-，2，8)-．16．（福建期中）已知空间三点(1A -，2，1)，(0B ，1，2)-，(3C -，0，2) （1）求向量AB AC 与的夹角的余弦值，（2）若向量3AB AC AB k AC -+与向量垂直，求实数k 的值．【分析】（1）(1AB =，1-，3)-，(2AC =-，2-，1)，计算可得cos ,||||AB ACAB AC AB AC <>=．（2）向量3AB AC AB k AC-+与向量垂直，可得22(3)()3(31)0AB AC AB k AC AB k AB AC k AC -+=+--=，即可得出．【解答】解：（1）(1AB =，1-，3)-，(2AC =-，2-，1)，2||1AB ==||3AC =．2233AB AC =-+-=-．∴cos ,||||3AB AC AB AC AB AC -<>===．（2）向量3AB AC AB k AC -+与向量垂直，∴22(3)()3(31)0AB AC AB k AC AB k AB AC k AC -+=+--=，311(31)(3)90k k ⨯+-⨯--=，解得2k =．17．（扶余县校级月考）（Ⅰ）设向量(3a =，5，4)-，(2b =，0，3)，(0c =，0，2)，求：()a b c -+、68a b c +-． （Ⅱ）已知点(1A ，2-，0)和向量(1a =-，2，3)求点B 坐标，使向量AB 与a 同向，且||214AB =． 【分析】（Ⅰ）利用空间向量运算法则能求出()a b c -+、68a b c +-．（Ⅱ）点(1A ，2-，0)和向量(1a =-，2，3)，设点(B x ，y ，)z ，由向量AB 与a 同向，且||214AB =列出方程组能求出点B 坐标．【解答】解：（Ⅰ）向量(3a =，5，4)-，(2b =，0，3)，(0c =，0，2)，∴()(3a b c -+=，5，4)(2--，0，5)(1=，5，9)-．68(3a b c +-=，5，4)(12-+，0，18)(0-，0，16)(15=，5，2)-．（Ⅱ）点(1A ，2-，0)和向量(1a =-，2，3)，设点(B x ，y ，)z ， 向量AB 与a 同向，且||214AB =，∴120123x y z -+⎧==>⎪-=， 解得1x =-，2y =，6z =，∴点B 坐标为(1-，2，6)．B 组-[素养提升]1.（襄阳期中）已知向量a ，b ，c 是空间的一个单位正交基底，向量a b +，a b -，c 是空间的另一个基底，若向量p 在基底a ，b ，c 下的坐标为(3，2，1)，则它在a b +，a b -，c 下的坐标为( ) A ．15(,,1)22B ．51(,1,)22C ．15(1,,)22D ．51(,,1)22【分析】可设向量(1a =，0，0)，(0b =，1，0)，(0c =，0，1)；由此求出向量a b +、a b -，再设()()p x a b y a b zc =++-+，列方程组求出x 、y 和z 即可．【解答】解：设向量(1a =，0，0)，(0b =，1，0)，(0c =，0，1)； 则向量(1a b +=，1，0)，(1a b -=，1-，0)， 又向量(3p =，2，1)，不妨设()()p x a b y a b zc =++-+， 则(3，2，1)(x y =+，x y -，)z ， 即321x y x y z +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩， 解得52121x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，所以向量p 在a b +，a b -，c 下的坐标为5(2，12，1)．故选：D ．2. （安庆质检）已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．(1)若AP →∥BC →，且|AP →|＝214，求点P 的坐标；11 / 11 (2)求以AB →，AC →为邻边的平行四边形的面积．【解析】(1)∵AP →∥BC →，∴设AP →＝λBC →，又BC →＝(3，－2，－1)，∴AP →＝(3λ，－2λ，－λ)，又|AP →|＝ 9λ2＋4λ2＋λ2＝214，得λ＝±2， ∴AP →＝(6，－4，－2)或AP →＝(－6,4,2)． 又A (0,2,3)，设P (x ，y ，z )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －0＝6，y －2＝－4，z －3＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧ x －0＝－6，y －2＝4，z －3＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6，y ＝－2，z ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝6，z ＝5.∴P (6，－2,1)或(－6,6,5)．(2)∵AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)， cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝－2＋3＋614×14＝12，∴∠BAC ＝60°.∴以AB →，AC →为邻边的平行四边行的面积 S ＝|AB →||AC →|sin 60°＝14×32＝7 3.。
《空间向量运算的坐标表示》知识清单
《空间向量运算的坐标表示》知识清单知识点1空间直角坐标系在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ,以点O 为原点,分别以,,i j k 的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立三条数轴:x 轴、y 轴、z 轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系,Oxyz O 叫做原点,,,i j k 都叫做①_______,通过②_______的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy 平面,Oyz 平面,Ozx 平面,它们把空间分成③________个部分.知识点2空间点的坐标表示在空间直角坐标系Oxyz 中,,,i j k 为坐标向量,对空间任意一点A ,对应一个向量OA ,且点A 的位置由向量OA ④________,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(,,)x y z ,使⑤________.在单位正交基底{,,}i j k 下与向量OA 对应的有序实数组(,,)x y z ,叫做点A 在空间直角坐标系中的坐标,记作(,,)A x y z ,其中x 叫做点A 的横坐标,y 叫做点A 的纵坐标,z 叫做点A 的角坐标. 知识点3空间向量的坐标表示在空间直角坐标系Oxyz 中,给定向量a .作OA =a .由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(,,)x y z ,使x y z =++a i j k .有序实数组(,,)x y z 叫做a 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标,上式可简记作⑥_________.知识点4空间向量运算的坐标表示设()()123123,,,,,a a a b b b ==a b .知识点5空间向量常用结论的坐标表示设()()123123,,,,,a a a b b b ==a b .知识点6空间两点间的距离公式在空间直角坐标系Oxyz 中,设()1111,,P x y z ,()2222,,P x y z 是空间中任意两点,则 ()1221212121,,,PP OP OP x x y y z z =-=---(1212PP PP x ==【答案】①坐标向量②每两条坐标轴③八④唯一确定⑤OA x y z =++ij k ⑥(,,)x y z =a ⑦(11a b +,)2233,a b a b ++⑧()112233,,a b a b a b ---⑨()123,,a a a λλλ⑩112233a b a b a b ++⑪112233,,a b a b a b λλλ===⑫1122330a b a b a b ++=【知识辨析】判断正误,正确的画“√”,错误的画“⨯”.1.点(2,3,1)--在Oxy 平面上的射影为点(2,3)-.( )2.已知,,i j k 是空间直角坐标系Oxyz 的坐标向量,并且OB =-+-i j k ,则B 点的坐标为(1,1,1)--.( )3.向量(2,3,1)=-a 与向量(4,6,2)=--b 平行.( )4.若向量(1,1,2)=-a 与向量(,2,1)x =-b 垂直,则4x =.( )5.对于空间任意两个向量()(12312,,,,a a a b b ==a b ,)3b ,若a 与b 共线,则312123a a ab b b ==.( ) 6.空间向量(1,1,1)=a 为单位向量.( )【答案】1.× 点(2,3,1)--在Oxy 平面上的射影为点(2,3-,0).2.√3.√4.√5.×b 为零向量时不成立.6.×||=a a 的模不是1.。
空间向量运算的坐标表示空间向量平行线和垂直的条件课件
A．(6，3，－7) B．(－2，－1，－1) C．(2，1，－5) D．(14，7，－11)
2．若 a＝(2，3，－1) ，b＝(2，0，3) ，c＝(0，2，2) ，则 a·(b＋c) 的
值为( )
A．(4，6，－5) B．5
C．7
D．36
3．若向量 a，b 的坐标满足 a＋b＝(－2，－1，2) ，a－b＝(4，－3，－2) ，
所以（ （－ －xx， ，1－－yy，，2－ －zz） ）＝ ＝mn（ （－ －11， ，01， ，20） ）， ，
x＝－1， 解得y＝1， 即 D(－1，1，2).
z＝2，
(2)依题意，得A→B ＝(－1，1，0)，A→C ＝(－1，0，2)，B→C ＝(0，－1，2).假设
存在实数α，β，使得A→C ＝αA→B ＋βB→C 成立，则有(－1，0，2)＝α(－1，1，
空间向量运算的坐标表示及应用 第1课时 空间向量运算的坐标表示、空 间向量平行(共线)和垂直的条件
必备知识·自主学习
1.空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， ①a＋b＝_(_a_1_＋__b_1，__a_2_＋__b_2_，__a_3＋__b_3_)_， ②a－b＝_(_a_1_－__b_1，__a_2_－__b_2_，__a_3－__b_3_)_， ③λa＝_(_λ__a_1_，__λ__a_2，__λ__a_3_)_， ④a·b＝_a_1_b_1＋__a_2_b_2_＋__a_3b_3_．
关键能力·合作学习 类型一 用坐标表示空间向量(直观想象)
【典例】(1)已知点 A 在基{a，b，c}下的坐标为(8，6，4)，其中 a＝i＋j，b＝j ＋k，c＝k＋i，则点 A 在基{i，j，k}下的坐标是( ) A．(12，14，10) B．(10，12，14) C．(14，12，10) D．(4，3，2) (2)在棱长为 1 的正方体 ABCDA′B′C′D′中，E，F，G 分别为棱 DD′，D′C ′，BC 的中点，以{A→B ，A→D ， AA' }为基，求向量A→E ，A→G ，A→F 的坐标．
空间向量的坐标表示
空间向量的坐标表示
【最新版】
目录
1.空间向量的基本概念
2.空间向量的坐标表示方法
3.空间向量的坐标运算
4.空间向量的坐标表示在几何中的应用
正文
一、空间向量的基本概念
空间向量，又称为三维向量，是指在三维空间中的点或者箭头。
它可以用三个实数表示，通常分别表示为 x, y, z 坐标。
空间向量可以用来表示空间中的位置、方向和位移等。
二、空间向量的坐标表示方法
空间向量的坐标表示，通常是指用有序的三个实数（x, y, z）来表示一个空间向量。
例如，一个空间向量 A 可以表示为 (2, 3, 4)，其中 2 表示 x 方向上的分量，3 表示 y 方向上的分量，4 表示 z 方向上的分量。
三、空间向量的坐标运算
空间向量的坐标运算主要包括加法、减法、数乘和向量积等。
这些运算都可以通过对应坐标的计算来实现。
例如，两个空间向量 A 和 B 的加法可以表示为 A+B=(x1+x2, y1+y2, z1+z2)，其中 (x1, y1, z1) 和 (x2, y2, z2) 分别是向量 A 和 B 的坐标。
四、空间向量的坐标表示在几何中的应用
空间向量的坐标表示在几何中有广泛的应用，例如在三维几何中，可
以用空间向量表示一个点或者一个面的方向，也可以用来表示一个点或者一个面的位置。
此外，空间向量的坐标表示还可以用来解决一些几何问题，例如求两个向量之间的夹角，求一个向量在另一个向量上的投影等。
空间向量运算的坐标表示
a a1i a2 j a3 k , b b1i b2 j b3 k ,
a a1i a2 j a3 k (a1, a2 , a3 ).
a b (a1 b1 )i (a2 b2 ) j (a3 b3 )k
(a 1 b1 , a2 b2 , a3 b3 )
2 2 2
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表 示这个向量的有向线段的终点的坐标减去 起点的坐标.
例1. 如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中, 点E1 , F1分别是 A1B1 , C1D1的一个四等分点,求BE1,DF1所成角的余弦值.
解 : 设正方体的棱长为1,分别以 DA, DC , DD1 为 单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz. 则 z B(1,1,0), E (1,3/ 4,1), D(0,0,0), F (0,1/ 4,1).
D1 F1 C1
1
1
A1
E1
B1
BE1 (1, 3/ 4,1) (1,1, 0) (0, 1/ 4,1),
C
D
O
B
y
DF1 (0,1/ 4,1) (0 , 0 , 0) (0,1/ 4,1) .
A
x
1 1 15 BE1 DF1 0 0 ( ) 11 , 4 4 16
a b (a 1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ;
a (a1 , a2 , a3 ),( R);
a b a1b1 a2b2 a3b3 .
证明如下：
证明：
设i, j, k为单位正交基底， 因为a (a1, a2 , a3 ), b (b1, b2 , b3 ), 所以有
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2、a ∥ b
a ⊥b
cos< a, b >=
课前复习
3、
=________________
A（x1,y1） B(x2,y2)
AB =__________________
AB =___________________
学习探究 1．空间向量的加减和数乘的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 (1)a＋b＝ (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) (2)a－b＝ (a1－b1，a2－b2，a3－b3) (3)λa＝ (λa1，λa2，λa3)(λ∈R) (4)a∥b(b≠0)⇔
3.1.5
空间向量运算的坐标表示
1、空间向量坐标运算
2、坐标下证平行垂直
3、用空间向量求空间角及距离
课前复习
学习探究
3
典例解析
4
方法总结
课前复习
已知平面向量 a ( x1 , y1 ) b ( x2 , y 2 )
1、 a b a b a
a b
D1F1
，求 BE1 与 DF1 所成的角的余弦值。
解：设正方体的棱长为1，如图建
z
D1 A1 F1 E1 B1 C1
立空间直角坐标系 O xyz ，则
3 B(1,1, 0) , E1 1, ,1 , 4
C
D
O
B
y
1 D(0 , 0 , 0) , F1 0 , ，1 . 4
a （4） ⊥ b a b 0 a1b1 a2b2 a3b3 0
思考：空间两向量的夹角范围： [0,π]
3．空间向量的坐标及两点间的距离公式 设 A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则
典例解析 试一试：已知 =（-3，2，5）， 求（1） （2） （3）6 （4） 试一试：求以下两点的距离： A（1，1，0）， B（1，1，1） C（-3，1，5），D（0，-2，3） =（1，5，-1），
变式：在例2中，若G为B1C1的中点，求证： DA1⊥平面EFG
D1 F B1 E C1 A1
D A B
C
[点评] 应用空间向量的坐标运算解决立体几 何问题，使复杂的线面关系的论证、角、距离 的计算得以简化．
4
方法总结
1.基本知识： 通过与平面向量类比学习并掌握空间向量 加法、减法、数乘、数量积运算的坐标表示以 及向量的长度、夹角公式的坐标表示，并能初 步应用这些知识解决简单的立体几何问题。
D
O
B
A
x
因此BE1与F1D所成角的余弦值为
17 17 | BE1 | , | DF1 | . 4 4 15 C y BE DF1 15 16 1 cos BE1 , DF1 . | BE1 | | DF1 | 17 17 17 4 4 15
1 1 DF1 0 , ，1 (0 , 0 , 0) 0 , ，1 . 4 4
z
D1 A1 F1 E1 B1 C1
15 1 1 BE1 DF1 0 0 1 1 , 16 4 4
17
变式：如图，棱长为1的正方体ABCD A1 B1C1 D1 中，点M是AB的中点，求DB1与MC所成的角的余弦值
D1 C1 A1 B1
D D A M B
C
例2如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1、 D1B1中点，求证：EF⊥DA1
证明：如图，不妨设正方体的棱长为 1， 分别以 DA 、 DC 、 DD1 为单位正交基底 建立空间直角坐标系 Oxyz ，
2.思想方法：
（1）类比 （2）数形结合
1 1 1 则 E (1 , 1 , ) ， F ( , , 1) 2 2 2 1 1 1 所以 EF ( , , ) ， 2 2 2 又 A1 (1 , 0 , 1) ， D(0 , 0 , 0) ， 所以 DA1 (1 , 0 , 1) 1 1 1 所以 EF DA1 ( , , ) (1 , 0 , 1) 0 ， 2 2 2 因此 EF DA1 ，即 EF DA1
2．空间向量数量积的坐标表示及夹角公式 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
(1)a·b＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 （2） a
.
a =
a b
a1b1 a2b2 a3b3
2
cos （3） a,b = a b = 2 2 2 2 2 2 a1 a2 a3 b1 b2 b3
A
x
3 1 BE1 1, ,1 (1,1, 0) 0 , ,1 , 4 4
B 例1 如图，在正方体 ABCD A1B1C1 D1 中， 1 E1
D1F1 A1 B1 4
，求 BE1 与 DF1 所成的角的余弦值。
试一试：求下面一组向量的夹角的余弦： a (2, 3, 3), b (1, 0, 0) 试一试： ABCD，顶点A(1,0,0) ,B(0,1,0),C(0,0,2)，则顶ABCD A1B1C1 D1 中， 1 E1
A1 B1 4