理论力学 第4章 空间力系
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理论力学L4-4 空间力系简化
c ) 一般主矢和主矩矢既不平行也不垂直 由共点矢量知，它们在同一平面内， 假设两矢量正向夹角为α。 ' FR 1) 将 M O分解为垂直于 ' ' ' 的 及平行于 F M R MO MO O " 的 MO ， ' ' O M O 的大小： " FR ' MO M O M O sin
' b) 若主矢平行于主矩：FR // M o
O
MO
' 由一个力和一个力偶(且力 FR 垂直于力偶作用面)组成的
力系，称为力螺旋。 力和力偶都是基本力学量， 力螺旋不能再简化。
力偶矩矢与力矢同方向的称为右螺旋(力偶的转 向与力的方向符合右手关系)；反之称左螺旋。 但一般主矢和主矩矢既不平行也不垂直。
§4-4 空间任意力系向一点简化
一、空间任意力系向一点简化 与平面任意力系向一点简化相似，空间任意力 系也是利用力的平移定理将各力平移到简化中 心 O 处，并附加矢量表示的空间力偶，则原力 系与空间汇交力系＋空间力偶系等效。
MO m m1 n
F2 F’2
F’R
O
F’n
Fn
F’1 m2
F 又由于力偶矩矢是自由矢量，再将平行于 的 R '' 力偶矩矢 M o 平行移动与FR 重合，成为力螺旋。 一般情况下，空间力系简化结果是一个力螺旋。
约束类型
约束反力
数量
空 间 约 束 类 型 和 约 束 反 力
3
4
5 6
MO
F’R
对于空间汇交力系的合 ' 力FR ：
O
' FR 等于该力系各力的矢量和， 称其为该力系的主矢； 对于空间力偶系的合力偶，其力偶矩矢 M O等于 各附加力偶矩的矢量和，也是力系中各力对点O 力矩矢的矢量和： MO mi mO ( Fi ) 称为该力系对简化中心O点的主矩。
理论力学4—空间力系
(4) F'R＝0，MO ＝ 0
3.4.2 空间任意力系的简化结果分析 1) 空间任意力系简化为一合力偶的情形 F'R＝0，MO≠0 简化结果为一个与原力系等效的合力偶，其合力偶 矩矢等于对简化中心的主矩。此时力偶矩矢与简化 中心位置无关。
2) 空间任意力系简化为一合力的情形
F'R ≠ 0，MO ＝ 0
o
究对象画受力图。
B
3 S5 S6 C' S3 30o
M BB ( F ) 0 3 3 M a S6 0 2 2
S6 4M 3a
5 S2 2 B'
3 3 M CC ( F ) 0, M a S4 0 2 2
4M S4 3a
4M S5 3a
3 3 M AA ( F ) 0 M a S5 0 2 2
Y 0 : P S4 cos45 0 S4 2P
a
a
mAA1 ( F ) 0 : S4 cos45 a S2 cos45 a 0 S2 S4 2P
mDD1 ( F ) 0 : S4 cos45 a S5 cos45 a 0 S5 S4 2P
B
P A S5B 1 S
6
5
6
D 3 a 4 S2 S1 2 C1 z 1
x y
S4
C
S3
A1
D1
a
a
2 mAD ( F ) 0 : S3a S 4 cos45 a 0 S3 S4 P 2 mDC (F ) 0 : S6a S5 cos45 a 0 S6 P
2M S3 3a
理论力学第四章1
Ｚ Ｆ
如力F对Z轴之矩表示为： M z ( F ) M o ( Fxy ) Fxy h
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴之矩为零。 方向：右手螺旋法则，与Z轴正方向一致时为正，反之为负。单位：N· m
5
2.力对轴的矩
力对轴之矩合力矩定理：各力对任一轴之矩等于各分力对同一轴之矩的 代数和。 例：将Fxy再分解为Fx、Fy，根据合力矩定理则有：
z
即，力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于
力对该轴的矩.
7
空间汇交力系
1、力在直角坐标轴上的投影 直接投影法
Fx F cos
Fy F cos
Fz F cos
8Leabharlann 1.力在直角坐标轴上的投影 二次投影法 Fz Fy Fx
F xy F sin
Fx F sin cos
1、 力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢 三要素： (1）大小:力F与力臂的乘积 (2) 方向:转动方向 (3) 作用面：力矩作用面.
MO ( F ) r F
（4–8）
矢量方向：右手螺旋定则。（将右手四指握拳并以它们的弯曲 方向表示力使物体绕该轴转动的转向，而拇指的指向就是力对 3 点之矩矢量的指向）
3. 空间汇交力系的平衡：
空间汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力为零
即： R F
F
x 2
i
0
2 2
FR
F
Fy Fz
空间汇交力系的平衡方程
F 0 F 0 Fz 0
x y
11
§4-2
空间力偶系
M mi 代数和
1.平面力偶系：
大学理论力学__空间力系的平衡方程
A
M B (F ) 0，P DB Q EB FAy AB 0
FAx
FBC
D
B
E
M A(F ) 0，FBC AB sin30 P AD Q AE 0 M B (F ) 0，P DB Q EB FAy AB 0 MC (F ) 0，FAx AC P AD Q AE 0
FAy 1 p 3 q a 42
FB
B
例2：如图所示简易吊车，A、C处为固定
C
铰支座，B处为铰链。已知AB梁重P=4kN，
重物重Q=10kN。求拉杆BC和支座A的约束
反力。
解： 以AB及重物作为研究对象；
X 0， FAx FBC cos30 0
Y 0， FAy FBC sin 30 P Q 0
M A(F ) 0，FBC AB sin30 P AD Q AE 0
解得：F 15.01kN Ax
FAy 5. 3 kN
F 17.33 kN
BC
A
D
B
E
3m
1m 2m
C
X 0，
FAx FBC cos30 0
FAy
M A(F ) 0，FBC AB sin30 P AD Q AE 0
二力矩式
X 0
M A 0
MB 0
条件是：AB两点的连线不能与 x 轴或 y 轴垂直
三力矩式
M A 0
MB 0
条件是：ABC三点不能共线
M C 0
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
平面平行力系的平衡条件和平衡方程
理论力学 第四章 空间力系
r FR = 0
∑F = 0
x
∑F = 0
y
称为空间汇交力系的平衡方程. 称为空间汇交力系的平衡方程. 空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有 空间汇交力系平衡的充要条件： 充要条件 各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零. 各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零.
例 题 1
求： 绳的拉力和墙体的约束反力 。
=
=
F = F′ = F2 1 1
= F2′ = F3 = F3′
= =
定位矢量 滑移矢量 自由矢量 力偶矩矢是自由矢量 力偶矩相等的力偶等效 (5)力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡. 力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡.
3．空间力偶系的合成与平衡条件
=
=
r r r r r r r r r M 1 = r1 × F1 , M 2 = r2 × F2 ,......, M n = rn × Fn
A
P
c a y
i
j k
O
MO ( P ) = r × P = 0 b 0 0 0 P = Pbi
（2）利用力矩关系
x
α
b
M OA ( P ) = M O ( P ) cos α = Pab a 2 + b2 + c 2
MO(P)
例 题 4
已知：OA=OB=OC =b, OA⊥OB⊥OC. 已知： 求： F 对OA边的中点 之矩在 方向的投影。 边的中点D之矩在 方向的投影。 力 边的中点 之矩在AC方向的投影
3、力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系 r r r r M x ( F ) = M x ( Fx ) + M x ( Fy ) + M x ( Fz ) = Fz ⋅ y − Fy ⋅ z
理论力学---第四章空间力系习题
M x 1.7kN m, M y 0.51kN m, M z 0.22kN m
例4-11
已知：F、P及各尺寸
求： 杆内力
解：研究对象，长方板,列平衡方程
M
AB AE
F 0 F 0
F6 a
a 2
P 0 F6
F5 0
P 2
F D y 1 3 .0 3 K N
例 已知：各边长，载荷P、Q。 求：各杆的约束反力。 解：(1)考虑板的平衡，各杆均 为二力杆，设均受拉力。 (2)画受力图，建立坐标系，注 意各矢量的空间关系。 (3)列写平衡方程，空间一般力系有6个方程，尽量使 一个方程包含一个未知数。
M M
AB
F2 b
P F3 cos 45 b 0
F3 2 2 P
汽车后半桥传动轴，如图所示，A 处是向心推力轴承 （止推轴承），B 处是向心轴承（颈轴承）。设汽车匀 速直线行驶（平衡）。 已知：地面法向反力FD = 20 kN，锥齿轮上受的三个力 Ft = 117（kN），Fr = 36 kN，Fa =22.5 kN。齿轮节圆直 径 d = 98 mm，车轮半径R = 440 mm，尺寸如图。 求： 地面的摩擦力及两轴承的约束反力。
FOx Fx 0
F
y
0
FOy Fy 0
F
z
0
FOz Fz 0
100 FZ M x 0
30 FZ M y 0
100 Fx 30 Fy M z 0
M F 0
x
M F 0
y
M F 0
z
FOx 4.25kN, FOy 6.8kN, FOz 17kN
例4-11
已知：F、P及各尺寸
求： 杆内力
解：研究对象，长方板,列平衡方程
M
AB AE
F 0 F 0
F6 a
a 2
P 0 F6
F5 0
P 2
F D y 1 3 .0 3 K N
例 已知：各边长，载荷P、Q。 求：各杆的约束反力。 解：(1)考虑板的平衡，各杆均 为二力杆，设均受拉力。 (2)画受力图，建立坐标系，注 意各矢量的空间关系。 (3)列写平衡方程，空间一般力系有6个方程，尽量使 一个方程包含一个未知数。
M M
AB
F2 b
P F3 cos 45 b 0
F3 2 2 P
汽车后半桥传动轴，如图所示，A 处是向心推力轴承 （止推轴承），B 处是向心轴承（颈轴承）。设汽车匀 速直线行驶（平衡）。 已知：地面法向反力FD = 20 kN，锥齿轮上受的三个力 Ft = 117（kN），Fr = 36 kN，Fa =22.5 kN。齿轮节圆直 径 d = 98 mm，车轮半径R = 440 mm，尺寸如图。 求： 地面的摩擦力及两轴承的约束反力。
FOx Fx 0
F
y
0
FOy Fy 0
F
z
0
FOz Fz 0
100 FZ M x 0
30 FZ M y 0
100 Fx 30 Fy M z 0
M F 0
x
M F 0
y
M F 0
z
FOx 4.25kN, FOy 6.8kN, FOz 17kN
理论力学 chap4
M y M iy M 2 80 N m
M z M iz M 1 M 4 cos 45 M 5 cos 45 193 .1N m
M M ix i M iy j M iz k
例 已知: F1 = 10kN，F2 = 16kN， F3 = 20kN，a=10cm .求力系的合力偶。
2 2 2
力F 对原点O之矩方向余弦：
Mx cos( M O , i ) 0.845 MO
My cos( M O , j ) 0.531 MO Mz cos( M O , k ) 0.064 MO
M O M x M y M z 124 .3 N m
§4-3 空间力偶系 1 空间力偶的概念
F Fx Fy Fz
2 2 2
cos( F , i )
Fx F
解题时究竟用哪种 方法求力的投影？
例1 半径r的斜齿轮，其上作用力F，如图所示。求力在坐标 轴上的投影。
解： Fx Ft F cos sin
FY Fa F cos cos
Fz Fr F sin
Fxy Fxy
F
o d
M z ( F ) M O ( Fxy )
(1)定义
M z dFxy
力对轴之矩的绝对值等于该力在与轴垂直的 平面上的投影对轴与平面交点之矩。
如何求力对轴之矩？
力对轴之矩是代数量，并按右手规则 确定其正负号。
力与轴平行或相交时力对该轴的矩等于零
（1）合力之矩定理
合力对任一点之矩矢等于力系中各力 对该点之矩矢的矢量和；合力对任一轴之 矩等于力系中各力对该轴之矩的代数和。
理论力学 第4章-空间力系
空间上力偶矩矢大小指向不变的力偶其作用面可平行移动而不改变力偶对刚体的作用效果空间力矩偶矢矢一个自由矢量而力矢和力矩矢量是一个滑移矢量或定位矢量合力偶矩定理
第四章 空间力系
§4-1空间汇交力系
一 空间汇交力系的合成: 1)单 个 力 沿 坐 标 轴 的 分 解 : a)力 的 平 行 六 面 体 法 则 力 的 大 小 : X=Fcosα Y=Fcosβ Z = Fcosγ 力 的 方 向 : 与 x ,y,z 方 向 相 同 为 正 与 x ,y ,z 方 向 相 反 为 负
d) 空 间 汇 交 力 系 的 合 成 :合 力 QQ定 理 . 合力大小: R= ( ∑ X)2 + ( ∑ Y ) 2 + ( ∑ Z ) 2 合 力 方 向 :方 向 余 弦
§4-2 力对轴之矩和力对点之矩
1. 力偶矩矢: 空间力偶对刚体作用矢的效果取 决于以下三个因数
大小:|M|=Fd 转向:右手定则确定 作用面方位:力偶作用面法线所在的空间位置
2. 列空间一般力系平衡方程:
∑x = 0:
T1 + t1 + (T2 + t2 )sinθ + X A + XB = 0
∑ y = 0:
∑M
x
ZA + Z B (T2 + t) θ = 0 cos
பைடு நூலகம்
= 0 : Z B 2b (T1 + T2 ) cos θ b = 0
∑M
∑M
y
= 0 : t1 R + T2 cos θ r T1 R t2 cos θ r = 0
= 0 : (T1 + t2 )b (T2 + t2 ) sin θ b X B 2b = 0
第四章 空间力系
§4-1空间汇交力系
一 空间汇交力系的合成: 1)单 个 力 沿 坐 标 轴 的 分 解 : a)力 的 平 行 六 面 体 法 则 力 的 大 小 : X=Fcosα Y=Fcosβ Z = Fcosγ 力 的 方 向 : 与 x ,y,z 方 向 相 同 为 正 与 x ,y ,z 方 向 相 反 为 负
d) 空 间 汇 交 力 系 的 合 成 :合 力 QQ定 理 . 合力大小: R= ( ∑ X)2 + ( ∑ Y ) 2 + ( ∑ Z ) 2 合 力 方 向 :方 向 余 弦
§4-2 力对轴之矩和力对点之矩
1. 力偶矩矢: 空间力偶对刚体作用矢的效果取 决于以下三个因数
大小:|M|=Fd 转向:右手定则确定 作用面方位:力偶作用面法线所在的空间位置
2. 列空间一般力系平衡方程:
∑x = 0:
T1 + t1 + (T2 + t2 )sinθ + X A + XB = 0
∑ y = 0:
∑M
x
ZA + Z B (T2 + t) θ = 0 cos
பைடு நூலகம்
= 0 : Z B 2b (T1 + T2 ) cos θ b = 0
∑M
∑M
y
= 0 : t1 R + T2 cos θ r T1 R t2 cos θ r = 0
= 0 : (T1 + t2 )b (T2 + t2 ) sin θ b X B 2b = 0
理论力学第七版第四章空间力系
常见的空间力系示例
悬索桥
悬索桥是一种常见的空间力系示例，需要考虑多个力和 力矩的作用。
起重机
起重机是另一个常见的空间力系示例，用于进行吊装和 搬运工作。
空间力系的平衡条件和解题方法
1
ห้องสมุดไป่ตู้
平衡条件
空间力系平衡的条件是合力为零，合力矩为零。
2
解题方法
利用平衡条件和分析方法，逐步确定未知量的数值。
3
示例题目
通过解题方法解决具体问题，加深理解。
空间力系的应用和意义
空间力系的应用涵盖了各个工程领域，可以用于解决实际工程问题，提高工程设计的准确性和效率。
机械工程
用于机械结构的设计和分析，例如机械臂、传动系 统等。
建筑工程
用于建筑物结构的分析和设计，例如桥梁、楼房等。
航空航天
用于航空器和航天器的设计和分析，例如飞机、卫 星等。
海洋工程
用于海洋结构的分析和设计，例如海上平台、潜水 器等。
结论和要点
• 空间力系是由多个力或力矩组成的力的系统。 • 空间力系的力和力矩可以用矢量表示。 • 空间力系需要考虑多个力和力矩的分析和平衡条件。 • 空间力系广泛应用于各个工程领域，提高工程设计的效率和准确性。
复杂性
空间力系一般由多个力和力矩组成，分析较为复杂。
工程应用
空间力系广泛应用于工程力学、机械设计等领域。
空间力系的力和力矩分析方法
力的分析方法
将力分解为分力或合力分解，再 进行叠加得到结果。
力矩的分析方法
根据力对应的力臂和力的矢量关 系，计算力矩。
矢量计算法
利用矢量运算法则，对多个力和 力矩进行矢量计算。
理论力学第七版第四章空 间力系
理论,力学,答案,理论力学习题答案
·36·第4章 空间力系一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”)1．力在坐标轴上的投影是代数量，而在坐标面上的投影为矢量。
( √ )2．力对轴之矩是力使刚体绕轴转动效应的度量，它等于力在垂直于该轴的平面上的分力对轴与平面的交点之矩。
( √ )3．在平面问题中，力对点之矩为代数量；在空间问题中，力对点之矩也是代数量。
( × )4．合力对任一轴之矩，等于各分力对同一轴之矩的代数和。
( √ )5．空间任意力系平衡的必要与充分条件是力系的主矢和对任一点的主矩都等于零。
( √ ) 6．物体重力的合力所通过的点称为重心，物体几何形状的中心称为形心，重心与形心一定重合。
( × ) 7．计算一物体的重心，选择不同的坐标系，计算结果不同，因而说明物体的重心位置是变化的。
( × ) 8．物体的重心一定在物体上。
( × )二、填空题1．空间汇交力系共有三个独立的平衡方程，它们分别表示为0=∑xF、0=∑yF和0=∑zF 。
空间力偶系共有三个独立的平衡方程，它们分别表示为0=∑xM、0=∑yM和0=∑zM。
而空间任意力系共有六个独立的平衡方程，一般可表示为0=∑xF、0=∑yF、0=∑zF 、0)(=∑F xM 、 0)(=∑F yM 和0)(=∑F zM 。
2．由n 个力组成的空间平衡力系，如果其中的(n -1)个力相交于A 点，那么另一个力也必定通过点A 。
3．作用在同一刚体上的两个空间力偶彼此等效的条件是力偶矩矢相等。
4．空间力对一点的矩是一个矢量，而空间力对某轴的矩是一个代数量。
5．空间力F 对任一点O 之矩)(F M O 可用矢量积来表示，即F r F M ⨯=)(O 。
写成解析表达式为k j i F M )()()()(x y z x y z O yF xF xF zF zF yF -+-+-=。
6．当空间力与轴相交时，力对该轴的矩等于零。
理论力学 第四章 空间力系
方向：右手螺旋法则，与Z轴正方向一致时为正，反之为负。
12
单位：N·m
2.力对轴的矩
力对轴之矩合力矩定理：各力对任一轴之矩等于各分力对同一轴之矩的 代数和。
例：将Fxy再分解为Fx、Fy，根据合力矩定理则有：
Mz( F ) MO( Fxy ) MO( Fx ) MO( Fy ) xFy yFx
即：FR Fi 0
FR
Fx2 Fy2 Fz2
空间汇交力系的平衡方程
Fx 0 Fy 0
Fz 0
6
例题
如图所起重机，已知CE=EB=DE,角α=30o ，CDB平面与水平面 间的夹角∠EBF= 30o ,重物G=10 kN。如不计起重杆的重量,试求起 重杆所受的力和绳子的拉力。
XYZ
mO (F) (yZ zY ) i (zX xZ) j (xY yX) k
11
§4.3力对轴的矩
１.当力作用面 Ｚ轴时： MZ(F ) M0 F F h
Ｚ
２.当力作用面 Ｚ轴时： M z (F) Mo (Fxy ) Fxy h
Ｆ
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴的矩为零.
7
例题
解： 1. 取杆AB与重物为研究对象，受力分析如图。
zD
F2
E
C F 30o
B
F1
α
FA G
A
y
x
其侧视图为
z
E F1
F 30o
B
α
FA G
A
y
8
例 题 4-3
2. 列平衡方程。
zD
F2
E
C F 30o
B
F1
Fx 0,
F1 sin 45 F2 sin 45 0
12
单位：N·m
2.力对轴的矩
力对轴之矩合力矩定理：各力对任一轴之矩等于各分力对同一轴之矩的 代数和。
例：将Fxy再分解为Fx、Fy，根据合力矩定理则有：
Mz( F ) MO( Fxy ) MO( Fx ) MO( Fy ) xFy yFx
即：FR Fi 0
FR
Fx2 Fy2 Fz2
空间汇交力系的平衡方程
Fx 0 Fy 0
Fz 0
6
例题
如图所起重机，已知CE=EB=DE,角α=30o ，CDB平面与水平面 间的夹角∠EBF= 30o ,重物G=10 kN。如不计起重杆的重量,试求起 重杆所受的力和绳子的拉力。
XYZ
mO (F) (yZ zY ) i (zX xZ) j (xY yX) k
11
§4.3力对轴的矩
１.当力作用面 Ｚ轴时： MZ(F ) M0 F F h
Ｚ
２.当力作用面 Ｚ轴时： M z (F) Mo (Fxy ) Fxy h
Ｆ
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴的矩为零.
7
例题
解： 1. 取杆AB与重物为研究对象，受力分析如图。
zD
F2
E
C F 30o
B
F1
α
FA G
A
y
x
其侧视图为
z
E F1
F 30o
B
α
FA G
A
y
8
例 题 4-3
2. 列平衡方程。
zD
F2
E
C F 30o
B
F1
Fx 0,
F1 sin 45 F2 sin 45 0
空间力系—空间汇交力系(理论力学)
直接投影法（一次投影法） 间接投影法（二次投影法）
2、力F沿空间直角坐标轴分解所得分力Fx 、Fy 、Fz的大小，等于该力在相应轴上投影 的绝对值。
3、分力是矢量，投影是代数量。
4、已知投影求力的大小：F Fx2 Fy2 Fz2
g为F 与z轴正向间的夹角，则
z
Fz
F
g
O
b
Fy
Fx
y
x
F Fx2 Fy2 Fz2
例1 设力 F 作用于立方体的点 A，其作用线沿面ABCD对角线。试求力在图示直角 坐标轴上的投影。
解：
45
b 45
F 在Z轴上的投影
FZ Fcos
2F 2
F 在y轴上的投影
Fy Fcosb
2F 2
二、空间汇交力系的平衡
1、平衡条件：力系的合力等于零。即 FR=0
FR Fx 2 Fy 2 Fz 2 0
2、平衡方程：
例1 杆AO，BO，CO用光滑铰链连接在O处，并在O处挂有重物，重力为G。如图所示。各 杆的自重不计，且α＝45，OB=OC，试求平衡时各杆所受的力。
解： （1）选取铰链 O为研究对象，画受力图。
cos 45
2F
FB FC
2F 2
FB，FFAC为为负正值值，，说说明明假假设设方方向向与与实实际际方方向向相相反同，，即即ABOO杆杆受和压CO。杆受 拉。
例2 如图所示，起重机起吊重物, 连线CD平行于x轴。已知CE=EB=DE,角α=30，CDB平面与水平面间 的夹角∠EBF= 30,重物G=10 kN。不计起重杆的重量,试求起重杆和绳子所受的力。
FC
O
FB
WF
FA
C
O
黄安基--第4章 空间力系的简化和平衡
P64
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第四章 空间力系
2、空间力偶系的合成与平衡.
M M1 M2 Mn M
空间力偶系可合成为一合力偶, 该合力偶矩矢等于力 偶系中所有各力偶矩矢的矢量和。
空间力偶系平衡的必要与充分条件是:该力偶系中所 有的各力偶矩矢的矢量和为零 。
M 0
投影形式有
M x 0, M y 0, M z 0,
影)P58 Fxy F sin
Fx Fxy cos F sin cos
Fy Fxy sin F sin sin
Fz F cos
x
反之 F Fx2 Fy2 Fz2
cos Fx / F, cos Fy / F, cos Fz / F
这里注意力向坐标轴投影是代数量
而力向某平面投影是矢量。
第四章 空间力系
作业： 今天交上次：全部 布置本次：课后习题 4-2、4-6、补充：电子教案4-4
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第四章 空间力系
§4－4 空间任意力系的简化
1、空间任意力系向已知点的简化
简化理论依据是: 力线平移定理。
力线平移定理:
作用于刚体上的任一力,可平移 至刚体的任意一点,欲不改变该 力对于刚体的作用,则必须在该 力与指定点所决定的平面（力 矩面）内加一力偶,其力偶矩矢
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第四章 空间力系
(5)FR 0, M 0 0, M 0 // FR
(最后形成力+力偶（称其为力螺旋）)
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(6)FR 0, M 0 0,
(成任意角)
(最后也形成力螺旋)
第四章 空间力系
空间任意力系的合力矩定理
若空间任意力系可以合成为一个合力时，则其合力对于任 一点之矩(或任一轴之矩)等于力系中各力对于同一点之矩的矢 量和(或同一轴之矩的代数和)，这即为空间力系合力矩定理。
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第四章 空间力系
2、空间力偶系的合成与平衡.
M M1 M2 Mn M
空间力偶系可合成为一合力偶, 该合力偶矩矢等于力 偶系中所有各力偶矩矢的矢量和。
空间力偶系平衡的必要与充分条件是:该力偶系中所 有的各力偶矩矢的矢量和为零 。
M 0
投影形式有
M x 0, M y 0, M z 0,
影)P58 Fxy F sin
Fx Fxy cos F sin cos
Fy Fxy sin F sin sin
Fz F cos
x
反之 F Fx2 Fy2 Fz2
cos Fx / F, cos Fy / F, cos Fz / F
这里注意力向坐标轴投影是代数量
而力向某平面投影是矢量。
第四章 空间力系
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第四章 空间力系
§4－4 空间任意力系的简化
1、空间任意力系向已知点的简化
简化理论依据是: 力线平移定理。
力线平移定理:
作用于刚体上的任一力,可平移 至刚体的任意一点,欲不改变该 力对于刚体的作用,则必须在该 力与指定点所决定的平面（力 矩面）内加一力偶,其力偶矩矢
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(5)FR 0, M 0 0, M 0 // FR
(最后形成力+力偶（称其为力螺旋）)
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(6)FR 0, M 0 0,
(成任意角)
(最后也形成力螺旋)
第四章 空间力系
空间任意力系的合力矩定理
若空间任意力系可以合成为一个合力时，则其合力对于任 一点之矩(或任一轴之矩)等于力系中各力对于同一点之矩的矢 量和(或同一轴之矩的代数和)，这即为空间力系合力矩定理。
理论力学-空间力系
空间 力矩 三要 素
力矩在该平面内的转向 力矩大小
4.3 空间力系的平衡方程
如图4-5三要素可用这样一个矢量表示：矢量的模
表示力对点之矩的大小；矢量的方位与该力和矩心构
成平面的法线方位相同；矢量的指向按右手螺旋法则
确定，该矢量称为力对点之矩矢，简称力矩矢，记作
MO(F )
MO(F) Fh 2AOAB
2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
4.1.2 间接投影法
若力F 与坐标轴x、y间的夹角不易确定，可 将力F先投影到坐标平面Oxy上，得到力F 在坐标 平面Oxy上的投影Fxy，然后再将Fxy投影到x、y
4.3 空间力系的平衡方程
如图4-2所示，已知力F与z轴正向的夹角为γ，投影Fxy 与x轴正向的夹角为φ，则由二次投影法，力F在三个坐标轴
x
y
z
cosα=Fx/F
cosβ=Fy/F
cosγ=Fz/F (4-3)
4.3 空间力系的平衡方程
例4-2
设力F 作用于长方体的顶点C，其作用线沿长方体对角线，
如图4-4所示。若长方体三个棱边长为AB=a，BC =b，BE
=c，试求力在图示直角坐标轴上的投影。
解:F 在z Fz=Fcosγ=
c
F
a2 b2 c2
采用二次投影法，得F在x、y
F x=F sinγcosφ= F y=F sinγsinφ=
F a2 b2
b
b
F
a2 b2 c2 a2 b2 a2 b2 c2
a2 b2
a
a
F
a2 b2 c2 a2 b2
a2 b2 c2
4.3 空间力系的平衡方程
4.2.1 空间力对点之矩矢 力与矩心构成平面的方位
理论力学 第四章空间力系习题
例4-11 已知：F、P及各尺寸
求： 杆内力 解：研究对象，长方板,列平衡方程
M AB F 0
F6
a
a 2
P
0
F6
P 2
M AE F 0
F5 0
M AC F 0
F4 0
M EF
M FG M BC
F1 cos 30 200 F2 cos 60 200 F 200 FBx 400 0
M y
F2
F1
0
M z F 0 (F1 sin 30 F2 sin 60 ) 200 FBx 400 0
Mz1(F) 0 M x1(F) 0
FDx 1200 FAx 900 Ft 80 0
FD
1200
又： Fr 0.36Ft ,
Ft 10.2kN FBx 1.19kN
Fr 3.67kN FBy 6.8kN
FAx 15.64kN FBz 11.2kN
研究对象2：工件受力图如图,列平衡方程
Fx 0
Fy 0
Fz 0
FOx Fx 0
FOy Fy 0 FOz Fz 0
x 1 15mm y 1 45mm A 1 300mm2
x 2 5mm y 2 30mm A 2 400mm2
x 3 15mm y 3 5mm A 3 300mm2
则
xC
Ai x i A
A1x1 A2 x 2 A3x 3 A1 A2 A3
哈工大理论力学第四章
∑F =0
z
FOA sin 45 −P = 0
（拉） F = −1414N F = F = 707N OA OB OC
例4-4 已知： F, l, a,θ 求： x ( F ) , My ( F ) , Mz ( F ) M 解：把力 F 分解如图
Mx F = −F ( l + a) cosθ My F = −Fl cosθ
∑F = 0
FA = 8.66kN
例4-3 已知：P=1000N ,各杆重不计. 求：三根杆所受力. 解：各杆均为二力杆，取球铰O， 画受力图。
∑F =0 ∑F =0
x
y
FOB sin 45 − FOC sin 45 = 0
− FOB cos 45 − FOC cos 45 − FOA cos 45 = 0
空间平行力系的平衡方程
∑F = 0 ∑M
z
x
=0
பைடு நூலகம்
∑M
y
=0
2.空间约束类型举例 2.空间约束类型举例 3.空间力系平衡问题举例 3.空间力系平衡问题举例
§4–6 重 心 6
1．计算重心坐标的公式
P ⋅ xC = P ⋅ x1 + P2 ⋅ x2 + .... + Pn ⋅ xn 1 = ∑ Pi ⋅ xi
M = rBA × F
2、力偶的性质 (1） (1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 . （2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改 力偶对任意点取矩都等于力偶矩， 变而改变。 变而改变。
M O ( F , F ′) = M O ( F ) + M O ( F ′) = rA × F + rB × F ′
空间力系—力对点的矩和力对轴的矩(理论力学)
力矩矢和力对轴的矩
一、力对点的矩以矢量表示 力矩矢
z
B MO(F)
力矩大小: F×h
力矩矢MO(F)三要素
力矩转向 由矢径r绕向F 力矩作用面方位
A(x,y,z)
O
r
y
h
x
方位与力矩作用面的法线相同，按右手螺旋法则确定。
二、力矩矢计算
力对点的矩矢等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。
z
MO(F)= r×F
例2 构件在A点受到作用力F =1000N作用，方向如图所示。图中A点在Oxy平面内。试求： 力F对坐标轴的矩。
解：将力F分解为Fx、Fy、Fz
Fx F cos45 sin 60 612N Fy F cos45 cos60 353N Fz F sin 45 707N
M x (F ) M x (Fx ) M x (Fy ) M x (Fz ) 0 0 707 0.06 42.42N m
单位矢量i、j、k前面的三个系数，分别表示力矩矢MO(F)在三个坐标轴上的投影，即
[MO(F)]x= yFz-zFy [MO(F)]y= zFx-xFz [MO(F)]z= xFy-yFy
由于力矩矢量MO(F)的大小和方向都与矩心O的位置有关，故力矩矢的始端必须在矩心， 不可挪动，这种矢量称为定位矢量。
M x (F ) yFz zFy
M
y
(F )
zFx
xFz
M z (F ) xFy yFx
其中，（x , y , z ）为力 F 作用点的坐标，Fx、Fy、Fz 为力 F 在
x 、y、z 轴上的投影。
四、力对点之矩与力对通过该点的轴的矩的关系
例2 构件在A点受到作用力F =1000N作用，方向如图所示。图中A点在Oxy平面内。试求： 力F对坐标轴的矩。
一、力对点的矩以矢量表示 力矩矢
z
B MO(F)
力矩大小: F×h
力矩矢MO(F)三要素
力矩转向 由矢径r绕向F 力矩作用面方位
A(x,y,z)
O
r
y
h
x
方位与力矩作用面的法线相同，按右手螺旋法则确定。
二、力矩矢计算
力对点的矩矢等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。
z
MO(F)= r×F
例2 构件在A点受到作用力F =1000N作用，方向如图所示。图中A点在Oxy平面内。试求： 力F对坐标轴的矩。
解：将力F分解为Fx、Fy、Fz
Fx F cos45 sin 60 612N Fy F cos45 cos60 353N Fz F sin 45 707N
M x (F ) M x (Fx ) M x (Fy ) M x (Fz ) 0 0 707 0.06 42.42N m
单位矢量i、j、k前面的三个系数，分别表示力矩矢MO(F)在三个坐标轴上的投影，即
[MO(F)]x= yFz-zFy [MO(F)]y= zFx-xFz [MO(F)]z= xFy-yFy
由于力矩矢量MO(F)的大小和方向都与矩心O的位置有关，故力矩矢的始端必须在矩心， 不可挪动，这种矢量称为定位矢量。
M x (F ) yFz zFy
M
y
(F )
zFx
xFz
M z (F ) xFy yFx
其中，（x , y , z ）为力 F 作用点的坐标，Fx、Fy、Fz 为力 F 在
x 、y、z 轴上的投影。
四、力对点之矩与力对通过该点的轴的矩的关系
例2 构件在A点受到作用力F =1000N作用，方向如图所示。图中A点在Oxy平面内。试求： 力F对坐标轴的矩。
理论力学 第四章 空间力系
第四章空间力系本章将研究空间力系的简化和平衡条件。
工程中常见物体所受各力的作用线并不都在同一平面内，而是空司分布的，例如车床主轴、起重设备、高压输电线塔和飞机的起落架等结构。
设计这些结构时，需用空间力系的平衡条件进行计算。
与平面力系一样，空间力系可以分为空间汇交力系、空司力偶系和空间任意力系来研究。
§4-1 空间汇交力系1.力在直角坐标轴上的投影和力沿直角坐标轴的分解若已知力F与正交坐标系Oxyz三轴间的夹角分别为α、β、γ，如图4-1所示，则力在三个轴上的投影等于力F的大小乘以与各轴夹角的余弦，即X=cosαY=cosβ (4-1)Z=cosγ当力与坐标轴Ox、Oy间的夹角不易确定时，可把力先投影到坐标平面Oxy上，得到力，然后再把这个力投影到x、y轴上。
在图4-2中，已知角γ和，则力在三个坐标轴上的投影分别为X=sinγcosY=sinγsin (4-2)Z=cosγ若以、、表示力F沿直角坐标轴x、y、z的正交分量，以i、j、k分别表示沿x、y、z坐标轴方向的单位矢量，如图4-3所示，则图4-2=++=X i+Y j+Z k (4-3)由此，力在坐标轴上的投影和力沿坐标轴的正交分矢量间的关系可表示为:=X i，=Y j，=Z k (4-4)如果己知力F在正交轴系Oxyz的三个投影，则力F的大小和方向余弦为=cos(,i)=cos(,j)= (4-5)cos(,k)=例4-1图4-4所示的圆柱斜齿轮，其上受啮合力的作用。
已知斜齿轮的齿倾角(螺旋角) β和压力角α，试求力沿x、y和z轴的分力。
解:先将力向z轴和Oxy平面投影，得Z=-sinα=cosα再将力向x、y轴投影，得X=-sinβ=-cosαsinβY=-cosβ=-cosαcosβ则沿各轴的分力为=-cosαsinβi，=-cosαcosβj，=-sinαk式中i、j、k为沿x、y、z轴的单位矢量，负号表明各分力与轴的正向相反。
理论力学4—空间力系3
a
mDD1 ( F ) 0 : S 4 cos 45 a S5 cos 45 a 0 S5 S 4 2 P
B
P A S 5B 1 S
6
5
C S3 D 3 a 4 S2 S1 2 C1
S4
6
z
x y
1
D1
A1
mAA1 ( F ) 0 : S 4 cos 45 a S 2 cos 45 a 0 S 2 S 4 2 P mDC ( F ) 0 : S6 a S5 cos 45 a 0 S6 P
a
a
Z 0 : S1 S 6 S3 S5 cos 45 S 4 cos 45 S 2 cos 45 0 S1 P P P P P P
4-18解:
mDD (F ) 0 m m
BB
F
F2 0 F4 0
500mm
D
C
(F ) 0 (F ) 0
CC
F6 0
A D´ B
F4
F5
C´
mBC (F ) 0
500 F1 500 F 0
F1 F
F1
A´
F2
F6
F3
B´
m
m
AB
(F ) 0
1000 F5 1000 F 0
AD
F5 F F3 F
(F ) 0
不论物体如何放置, 其重力的合力的作用线相对 于物体总是通过一个确定的点, 这个点称为物体 的重心。
Pxi Pi yi Pzi i i xC , yC , zC Pi Pi Pi