2020届崇明区高考数学一模试卷(含答案)

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2020年上海崇明县高考理科数学一模卷答案

2020年上海崇明县高考理科数学一模卷答案

上海市崇明县2020届高三一模数学试题(理科)参考答案一、填空题1、3+5i2、512π 3、+=0x y 4、[]-1,1 5、1- 6、10 7、30 8、4 9、89 10、-2a ≤ 11、12 12、( 13、1830 14、(-4,-2) 二、选择题15、C 16、C 17、C 18、A三、解答题19、1(x)=sin2x+cos2x f ()(2x+)4π=T π∴(2)因为32x+444πππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,,所以sin (2x+)4π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ,所以(x)f ⎡∈-⎣ 函数的增区间为48ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,,减区间为84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 20、(1)方法一、以A 为坐标原点,以AB 、AD 、AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴方向建立空间直角坐标系,设AB a =,则1,1,12a B E ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ,1(0,1,1)AD =u u u u r . 所以 , 11110,B E AD B E AD ⋅=⊥u u u r u u u u r 。

另解:11AA D D 为正方形,所以11A D AD ⊥,111111A D AD AD B CD CD AD ⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭面A 。

11111B E A B CD AD B E ⊆⇒⊥又面。

(2)因为()()12,0,11,1,0,AB AE ==u u u r u u u r ,所以取面AB 1E 的一个法向量为()1=1,-1,-2n u r ,同理可取面A 1B 1E 一个法向量为()2=0,1,1n u u r ,设二面角A-B 1E-A 1为α,则1212cos =2n n n n α⋅=⋅,=6πα所以即二面角A-B 1E-A 1的大小为6π. 22、解:(1)22(x)=x +-1f x ,令2(x)=0f,得x所以21(x)(,1)22f 在区间内的零点是x=。

(2)证明:因为 n 1()<02f ,n (1)>0f 。

崇明区2020 学年度第一学期高三年级模拟质量调研 数学学科试卷(解析版)

崇明区2020 学年度第一学期高三年级模拟质量调研  数学学科试卷(解析版)

( ) 所以有
2n −
3r
2r = = 12
4
解得
n r
= =
6 4
,则 T5
=
C64
2a2
2 b12 = 60a4b12 , m = 60
10.设 O 为坐标原点,直线 x
= a 与双曲线 C :
x2 a2

y2 b2
= 1(a
0,b 0) 的两条渐近线分别交
于 D、E 两点,若 ODE 的面积为1,则双曲线 C 的焦距的最小值为 .
(1)求函数 y = f (x) 的最小值正周期;
(2)在 ABC 中,角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c 若锐角 A 满足 f (A) = 1− 3 ,C = ,c = 2,
2
6
求 ABC 的面积.
【解析】(1)∵ f (x) = 1 sin 2x − 3 cos 2x +1 = sin(2x − ) − 3 ,
2
2
32
∴ T = 2 = 2 = . || 2
(2)∵ f ( A) = 1− 3 , ∴ sin(2A − ) − 3 = 1− 3 , ∴ sin(2A − ) = 1 ,
2
32 2
32
∴解得 2A − = +2k 或 2A − = 5 +2k ,(k Z ),
36
36
∴ A= +k 或 A= 7 +k ,(k Z ), 又 A(0, ) ,
y = f ( f ( x)) = − f (− f ( x)) = − f ( f (−x)) 也是奇函数,正确;
对于(2)若函数 f ( x) 是周期函数,则. f ( x + T ) = f ( x) .

2020年上海崇明县高考理科数学一模卷

2020年上海崇明县高考理科数学一模卷

崇明县2020学年第一学期期末考试试卷高 三 数 学(理科)(考试时间120分钟,满分150分)一、填空题(每题4分,共56分)1、设复数(2)117z i i -=+(i 为虚数单位),则z =.2、已知(0,)απ∈且tan()4πα+=,则α=.3、过点(1,1)P -,且与直线:10l x y -+=垂直的直线方程是.4、若集合131{,11},{2,01}A y y x x B y y x x==-==-<≤≤≤,则A B I 等于 .5、已知1()y f x -=是函数2()2f x x =+(0)x ≤的反函数,则1(3)f -=.6、251()x x -展开式中x 7这个数列的第389、数列{}n a 前n 项和为n S ,则n 10、已知:条件A :22031xx >-,条件B :x a >, 如果条件A 是条件B 的充分不必要条件, 则实数a 的取值范围是.11、在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ,若2222a b c +=,则cos C 的最小值等于 .12、在平面直角坐标系中,(0,0),(6,8)O P ,将向量OP u u u r 按逆时针旋转34π后得向量OQ u u u r ,则点Q 的坐标是 .第7题图13、数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-,则{}n a 的前60项和等于.14、已知()(2)(3)f x m x m x m =-++,()22x g x =-,若同时满足条件:①对于任意x R ∈,()0f x <或()0g x <成立; ②存在(,4)x ∈-∞-,使得()()0f x g x ⋅<成立.则m 的取值范围是.二、选择题(每题5分,共20分)15、设函数()sin ,f x x =x R ∈,则下列结论错误的是………………………………………( ) A .()f x 的值域为[0,1] B .()f x 是偶函数C .()f x 不是周期函数D .()f x 不是单调函数16、下面是关于复数21z i=-+的四个命题: ①2z =; ②22z i =; ③z 的共轭复数为1i +; ④z 的虚部为1-.其中正确的命题……………………………………………………………………………( )A .②③B .①②C .②④D .③④17、等轴双曲线C :222x y a -=与抛物线216y x =的准线交于,A B 两点,AB =,则双曲线C 的实轴长等于……………………………………………………………………( )AB .C .4D .818、某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节,则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为……………………( )A .35B .815C .25D .15三、解答题(本大题共74分,解答下列各题需要必要的步骤)19、(本题12分,第(1)小题6分,第(2)小题6分)已知函数2()=sin(2+)+sin(2)+2cos 133f x x x x ππ--, x R ∈.(1)求函数()f x 的最小正周期; (2)当[,]44x ππ∈-时,求函数()f x 的值域以及函数()f x 的单调区间.20、(本题14分,第(1)小题6分,第(2)小题8分)如图,在长方体1111ABCD A B C D -中, 11AA AD ==, E 为CD 中点.(1)求证:11B E AD ⊥;(2)若2AB =,求二面角11A B E A --的大小.21、(本题14分,第(1)小题6分,第(2)小题8分)已知数列{}n a ,记123()n A n a a a a =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+, 2341()n B n a a a a +=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+, 3452()n C n a a a a +=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+, (1,2,3,......)n =,并且对于任意n N *∈,恒有0n a >成立.(1)若121,5a a ==,且对任意n N *∈,三个数(),(),()A n B n C n 组成等差数列,求数列{}n a 的通项公式;(2)证明:数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是:对任意n N *∈,三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列.ABCE DA 1D 1B 1C 1。

2020届上海市崇明区高考一模数学试卷(解析版)

2020届上海市崇明区高考一模数学试卷(解析版)

2020年上海市崇明区高考数学一模试卷题号一二三总分得分一、选择题(本大题共4小题,共20.0分)1.若a<0<b,则下列不等式恒成立的是()A. B. -a>b C. a3<b3 D. a2>b22.已知z∈C,“”是“z为纯虚数”的()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.如图,在底面半径和高均为的圆锥中,AB、CD是底面圆O的两条互相垂直的直径,E是母线PB的中点.已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分,则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离等于()A. B. 1 C. D.4.若不等式(|x-a|-b)sin(πx+)≤0对x∈[-1,1]恒成立,则a+b的值等于()A. B. C. 1 D. 2二、填空题(本大题共12小题,共54.0分)5.已知集合A={0,1,2,3},B={x|0<x≤2},则A∩B=______.6.不等式|x-2|<1的解集是______.7.半径为1的球的表面积是______.8.已知等差数列{a n}的首项为1,公差为2,则该数列的前n项和S n=______.9.函数f(x)=的反函数是______.10.计算:=______.11.在二项式的展开式中,常数项等于______.12.若双曲线的一个顶点坐标为(3,0),焦距为10,则它的标准方程为______ .13.已知a,b∈R+,若直线x+2y+3=0与直线(a-1)x+by=2互相垂直,则ab的最大值等于______.14.已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数.当0<x≤1时,f(x)=x3-ax+1,则实数a的值等于______.15.某组委会要从五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中甲不能从事翻译工作,乙不能从事导游工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有______种.16.正方形ABCD的边长为4,O是正方形ABCD的中心,过中心O的直线l与边AB交于点M,与边CD交于点N,P为平面上一点,满足,则的最小值为______.三、解答题(本大题共5小题,共76.0分)17.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=BC=1,BB1=2.(1)求异面直线B1C1与A1C所成角的大小;(2)求直线B1C1与平面A1BC的距离.18.已知函数.(1)求函数的最小正周期和单调递减区间;(2)设△的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,,若,求a,b的值.19.某辆汽车以x公里/小时速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求60≤x≤120)时,每小时的油耗(所需要的汽油量)为升.(1)欲使每小时的油耗不超过9升,求x的取值范围;(2)求该汽车行驶100公里的油耗y关于汽车行驶速度x的函数,并求y的最小值.20.已知椭圆,其左右顶点分别为A,B,上下顶点分别为C,D.圆O是以线段AB为直径的圆.(1)求圆O的方程;(2)若点E,F是椭圆上关于y轴对称的两个不同的点,直线CE,DF分别交x轴于点M、N,求证:为定值;(3)若点P是椭圆Γ上不同于点A的点,直线AP与圆O的另一个交点为Q.是否存在点P,使得?若存在,求出点P的坐标,若不存在,说明理由.21.已知无穷数列{a n},{b n},{c n}满足:对任意的n∈N*,都有a n+1=|b n|-|c n|,b n+1=|c n|-|a n|,c n+1=|a n|-|b n|.记d n=max{|a n|,|b n|,|c n|}(max{x,y,z}表示3个实数x,y,z中的最大值).(1)若a1=1,b1=2,c1=4,求,b4,c4的值;(2)若a1=1,b1=2,求满足d2=d3的c1的所有值;(3)设a1,b1,c1是非零整数,且|a1|,|b1|,|c1|互不相等,证明:存在正整数k,使得数列{a n},{b n},{c n}中有且只有一个数列自第k项起各项均为0.答案和解析1.【答案】C【解析】解:根据题意,依次分析选项:对于A,由于a<0<b,则<0<,A错误;对于B,若|a|<|b|,则-a<b,B错误;对于C,由于a<0<b,则a3<0<b3,C正确;对于D,若|a|<|b|,则a2<b2,D错误;故选:C.根据题意,依次分析选项中不等式是否正确,综合即可得答案.本题考查不等式的性质以及应用,关键是掌握不等式的基本性质,属于基础题.2.【答案】B【解析】【分析】由充分必要条件的判断方法,结合两复数和为纯虚数的条件判断.本题考查复数的基本概念,考查了充分必要条件的判断方法,是基础题.【解答】解:对于复数z,若z+=0,z不一定为纯虚数,可以为0,反之,若z为纯虚数,则z+=0.∴“z+=0”是“z为纯虚数”的必要非充分条件.故选B.3.【答案】D【解析】解:如图所示,过点E作EH⊥AB,垂足为H.∵E是母线PB的中点,圆锥的底面半径和高均为,∴OH=EH=.∴OE=1.在平面CED内建立直角坐标系如图.设抛物线的方程为y2=2px.(p>0),F为抛物线的焦点.C(1,),∴2=2p•1.解得p=1.F(,0).即OF=,EF=,∵PB=2,PE=1,∴该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为=故选:D.根据圆锥的性质,建立坐标系,确定抛物线的方程,计算出EF的长度,结合直角三角形的关系进行求解即可.本题考查了圆锥的性质、抛物线的标准方程,考查了转变角度解决问题的能力,考查了推理能力与计算能力,是中档题.4.【答案】B【解析】解:当-1≤x≤-或≤x≤1时,sin(πx+)≤0,当-≤x≤时,sin(πx+)≥0,∴当-1≤x≤-或≤x≤1时,|x-a|-b≥0,当-≤x≤时,|x-a|-b≤0,设f(x)=|x-a|-b,则f(x)在(-∞,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,且f(x)的图象关于直线x=a对称,∴f(-)=f()=0,∴2a=-+=,即a=,又f()=|-|-b=0,故b=.∴a+b=.故选:B.设f(x)=|x-a|-b,得出f(x)的符号变化情况,根据f(x)的单调性和对称性即可得出a,b的值.本题考查了三角函数值的计算,函数单调性的应用,属于中档题.5.【答案】{1,2}【解析】解:∵A={0,1,2,3},B={x|0<x≤2};∴A∩B={1,2}.故答案为:{1,2}.进行交集的运算即可.考查描述法、列举法的定义,以及交集的运算.6.【答案】(1,3)【解析】解:由不等式|x-2|<1可得,-1<x-2<1,解得1<x<3,故答案为:(1,3).由不等式|x-2|<1可得,-1<x-2<1,由此解得不等式的解集.本题主要考查绝对值不等式的解法,属于基础题.7.【答案】4π【解析】解:由题意,半径为1的球的表面积是4π•12=4π.故答案为4π.直接利用球的表面积公式,即可得出结论.本题考查球的表面积公式,考查学生的计算能力,比较基础.8.【答案】n2【解析】解:∵等差数列{a n}的首项为1,公差为2,∴该数列的前n项和S n=n×=n2.故答案为:n2.利用等差数列前n项和公式直接求解.本题考查等差数列前n项和的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.9.【答案】f-1(x)=x2-1(x≥0)【解析】解:由y=可得:x=y2-1,y≥0,∴f(x)=的反函数是:f-1(x)=x2-1(x≥0),故答案为:f-1(x)=x2-1 (x≥0).将y=转化为用y表示x的算式,进而可得答案.本题考查了反函数的求法,考查了函数与方程思想,转化思想,难度中档.10.【答案】3【解析】解:===3故答案为:3.可将分子分母同除以3n再利用和极限的四则运算法则即可求解.本题主要考查极限及其运算.解题的关键是要分子分母同除以3n使得分子和分母的极限均存在.11.【答案】160【解析】解:展开式的通项为=令6-2r=0可得r=3常数项为=160故答案为:160展开式的通项为=,要求常数项,只要令6-2r=0可得r,代入即可求本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项,属于基础试题12.【答案】【解析】解:依题意可知a=3,c=5∴b=根据顶点坐标可知焦点在x轴,∴双曲线的方程为故答案为:根据顶点坐标求得a,根据焦距求得c,进而根据b2=c2-a2求得b,进而求得双曲线的标准方程.本题主要考查了双曲线的标准方程.解题的关键是挖掘题设中的信息,充分利用a,b 和c的关系,同时注意焦点是在x轴还是在y轴.13.【答案】【解析】解:根据题意,若直线x+2y+3=0与直线(a-1)x+by=2互相垂直,则有(a-1)+2b=0,变形可得a+2b=1,则ab=(a×2b)≤×()2=,当且仅当a=2b=时,等号成立;即ab的最大值为,根据题意,由直线垂直的判断方法可得(a-1)+2b=0,变形可得a+2b=1,进而结合基本不等式的性质分析可得答案.本题考查直线与直线垂直的判断,涉及基本不等式的性质以及应用,属于基础题.14.【答案】2【解析】解:∵函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数.当0<x≤1时,f(x)=x3-ax+1,∴f(-1)=-f(1)且f(-1)=f(-1+2)=f(1),∴f(1)=0,即f(1)=1-a+1=2-a=0,∴a=2.故答案为:2.根据函数的周期为2,奇函数,又已知当0<x≤1时的解析式,故f(-1)=-f(1)且f(-1)=f(-1+2)=f(1)推出f(1)=0,解出即可.本题考查了函数的奇偶性和周期性,和特殊值,属于基础题.15.【答案】78【解析】解:根据题意,分3种情况讨论:①,从五名志愿者中选派的四人中的有甲但没有乙,甲有3种安排方法,剩下三人全排列即可得,此时有3×A33=18种选派方法;②,从五名志愿者中选派的四人中的有乙但没有甲,乙有3种安排方法,剩下三人全排列即可得,此时有3×A33=18种选派方法;③,从五名志愿者中选派的四人中既有甲又有乙,需要在剩下3人中选出2人,有C32种选法,选出4人的安排方法有A33+2×2×A22种,则此时有C32(A33+2×2×A22)=42种选派方法;故一共有18+18+42=78种选派方法;故答案为:78根据题意,按甲乙两人是否被选中分3种情况讨论,求出每一种情况的选派方法数目,由加法原理计算可得答案.本题考查排列、组合的应用,涉及分步、分类计数原理的应用,属于基础题.16.【答案】-7【解析】解:如图,以O为坐标原点,以过O且平行于AB的直线为x轴,以过O且垂直于AB的直线为y轴建立坐标系,则B(2,-2),C(2,2),∴2=+(1-λ)=λ(2,-2)+(1-λ)(2,2)=(2,2-4λ),∴=(1,1-2λ)即P点坐标为(1,1-2λ),设M(a,-2),则N(-a,2),-2≤a≤2,∴=(a-1,2λ-3),=(-a-1,2λ+1)∴=(a-1)(-a-1)+(2λ-3)(2λ+1)=1-a2+4λ2-4λ-3,当a=±2且λ=-=时,有最小值-7.建立坐标系,根据,求出P点坐标,设出M,N坐标分别为(a,-2),(-a,2),将转化为关于a,λ的函数,即可得到其最小值.本题考查了向量的线性运算,向量的数量积运算,向量的坐标运算,函数的最小值的求法,考查分析和解决问题的能力和推理运算能力,属于中档题.17.【答案】解:(1)由题意可得BC∥B1C1,∴∠A1CB(或其补角)即为异面直线B1C1与A1C所成的角,由题意可知BC⊥平面ABB1A1,∴BC⊥A1B,∴△A1BC为直角三角形,∴tan∠A1CB===,∴异面直线B1C1与A1C所成的角为arctan;(2)∵BC∥B1C1,BC⊂平面A1BC,B1C1⊄平面A1BC,∴B1C1∥平面A1BC,∴直线B1C1上任意一点到平面A1BC的距离均为直线B1C1到平面A1BC的距离,不妨取B1,且设B1到平面A1BC的距离为h,由等体积法可得=,即×h=×BC代入数据可得××1××h=××2×1×1,解得h=∴直线B1C1到平面A1BC的距离为【解析】(1)由题意可得∠A1CB(或其补角)即为异面直线B1C1与A1C所成的角,解三角形可得;(2)可证B1C1∥平面A1BC,则B1到平面A1BC的距离h即为所求,由等体积法可得=,代入数据计算可得.本题考查异面直线所成的角,涉及直线到平面的距离,等体积是解决问题的关键,属中档题.18.【答案】解:(1)∵f(x)=sin2x-cos2x- (x∈R)=sin2x--=sin(2x-)-1,∴T==π,∴由2kπ+≤2x-≤2kπ+,k∈Z可解得:x∈[kπ,kπ+],k∈Z,∴f(x)单调递减区间是:[kπ,kπ+],k∈Z;(2)f(C)=sin(2C-)-1=0,则sin(2C-)=1,∵0<C<π,∴C=,∵sin B=2sin A,∴由正弦定理可得b=2a,①∵c=,∴由余弦定理可得c2=a2+b2-ab=3,②由①②可得a=1,b=2.【解析】(1)先化简函数f(x),再求函数的单调递减区间和最小正周期;(2)先求C,再利用余弦定理、正弦定理,建立方程,即可求a、b的值.本题考查三角函数的化简,三角函数的性质,考查余弦定理、正弦定理的运用,属于中档题.19.【答案】解:(1)由题意,令×(x-100+)≤9,化简得x2-145x+4500≤0,解得45≤x≤100;又因为60≤x≤120,所以欲使每小时的油耗不超过9升,x的取值范围是[60,100];(2)设该汽车行驶100公里的油耗为y;则y=•(x-100+)=90000+,(其中60≤x≤120);由60≤x≤120,知∈[,],所以x=90时,汽车行驶100公里的油耗取得最小值为升.【解析】(1)令×(x-100+)≤9,求出解集,结合题意得出x的取值范围;(2)写出y关于x的函数,求出函数的最小值即可.本题考查了函数模型的应用问题,也考查了运算求解能力,是基础题.20.【答案】解:(1)由题意得:A(-2,0),B(2,0),∴圆O的圆心为原点,半径为2,∴圆O的方程是x2+y2=4;(2)由题意可知:C(0,1),D(0,-1),设E(x0,y0),则F(-x0,y0),(x0≠1),∴直线CE的方程是:,∴点M(,0),同理点N(,0),又∵点E(x0,y0)在椭圆上,∴∴=,(3)显然直线AP的斜率存在,设其方程为:y=k(x+2),联立方程,化简得:(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0,设P(x1,y1),则x1+(-2)=-,所以|AP|=|x1-(-2)|=,因为圆心O到直线AP的距离d=,所以|AQ|=2=4,假设存在点P,使得=,则|AQ|=4|AP|,所以4=4,化简得:4+4k2=1+4k2,此方程在实数范围内无解,故原假设错误,即不存在点P,使得=.【解析】(1)由题意得:A(-2,0),B(2,0),即可求出圆O的方程;(2)由题意可知:C(0,1),D(0,-1),设E(x0,y0),则F(-x0,y0),(x0≠1),求出直线CE的方程是,从而求出点M坐标,同理求出点N坐标,再利用点E(x0,y0)在椭圆上,坐标满足椭圆方程,即可化简出为定值;(3)显然直线AP的斜率存在,设其方程为:y=k(x+2),代入椭圆方程得到(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0,再利用根与系数的关系和弦长公式求出|AP|的长,再利用构造直角三角形用勾股定理算出|AQ|的长,假设存在点P,使得=,则|AQ|=4|AP|,所以4=4,化简得:4+4k2=1+4k2,此方程在实数范围内无解,故原假设错误,即不存在点P,使得=.本题主要考查了椭圆与直线的位置关系,是中档题.21.【答案】解:(1)由题意:a2=|b1|-|c1|=2-4=-2;b2=|c1|-|a1|=4-1=3;c2=|a1|-|b1|=1-2=-1;以此类推,看得出a4=0,b4=-1,c4=1.(2),若a1=1,b1=2,c1=x,则a2=2-|x|,b2=|x|-1,c2=-1,d2=,a3=||x|-1|-1,b3=1-|2-|x||,c3=|2-|x||-|x|-1|,当0≤|x|<1时,a3=-|x|,b3=|x|-1|,c3=1,d3=1,由d3=d2,得||x|=1,不符合题意.当1≤|x|<2,a3=|x|-2,b3=|x|-1,c3=3-2|x|,d3=,由d3=d2,得|x|=1,符合题意.当|x|≥2,a3=|x|-2,b3=3-|x|,c3=-1,d3=由d3=d2,得|x|=2,符合题意,综上c1的取值是:-2,-1,1,2.(3)先证明‘’存在正整数k≥3,使,a k,b k,c k中至少有一个为零,假设对任意正整数k≥3,a k,b k,c k都不为零,由a1,b1,c1是非零整数,且|a1|,|b1|,|c1|互不相等,得d1∈N*,d2∈N*,若对任意k≥3,a k,b k,c k都不为零,则d k∈N*.即对任意k≥1,d k∈N*.当k≥1时,|a k+1|=|b k|-|c k||<max{|b k|,|c k|}≤d k,|b k+1|=||c k|-|a k||<d k,|c k+1|=||a k|-|b k||<d k,所以d k+1=max{|a k+1|,|b k+1|,|c k+1|}<d k,所以{d k}单调递减,由d2为有限正整数,所以必存在正整数m≥3,使得d m≤0,矛盾,所以存在正整数k≥3,使a k,b k,c k中至少有一个为零,不妨设a k=0,且a1≠0,a2≠0…a k-1≠0,则|b k-1|=|c k-1|,且|b k-1|=|c k-1|≠|a k-1|,否则若|b k-1|=|c k-1|=|a k-1|,因为a k-1+b k-1+c k-1=0,则必有a k-1=b k-1=c k-1=0,矛盾.于是,b k=|c k-1|-|a k-1|≠0,c k=|a k-1|-|b k-1|≠0,且b k=-c k,所以,a k+1=0,b k+1=|c k|,c k+1=-|b k|=-|c k|,以此类推,即有:对∀n≥k,a n=0,b n+1=|c k|,c n+1=-|c k|,|c k|≠0,此时有且仅有一个数列{a n}自k项起各项均为0.综上:结论成立.【解析】(1)由题意代入分别求出a4,b4,c4的值;(2)设c1=x,的值,讨论d2的函数表达式,进而得出a2,a3,b2,b3,c2,c3都用x表示,进而求出所有的c1的值;(3)分类讨论:先a k,b k,c k都不为零,由题意得出矛盾;所以存在正整数k≥3,使a k,b k,c k中至少有一个为零,再讨论两个为零得出矛盾,以此类推,即有:对∀n≥k,a n=0,b n+1=|c k|,c n+1=-|c k|,|c k|≠0,此时有且仅有一个数列{a n}自k项起各项均为0.考查数列的递推公式的综合应用,属于难题.小课堂:如何培养自主学习能力?自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

2019-2020学年上海市崇明区高考数学一模试卷

2019-2020学年上海市崇明区高考数学一模试卷

上海市崇明区高考数学一模试卷一、填空题(本大题共有12题,满分54分,其中1-6题每题4分,7-12题每题5分)1.(4分)已知集合A={1,2,5},B={2,a },若A ∪B={1,2,3,5},则a= .2.(4分)抛物线y 2=4x 的焦点坐标为 .3.(4分)不等式<0的解是 .4.(4分)若复数z 满足iz=1+i (i 为虚数单位),则z= . 5.(4分)在代数式(x ﹣)7的展开式中,一次项的系数是 .(用数字作答)6.(4分)若函数y=2sin (ωx ﹣)+1(ω>0)的最小正周期是π,则ω= .7.(5分)若函数f (x )=x a 的反函数的图象经过点(,),则a= . 8.(5分)将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周,所得几何体的体积为27πcm 3,则该几何体的侧面积为 cm 2.9.(5分)已知函数y=f (x )是奇函数,当x <0 时,f (x )=2x ﹣ax ,且f (2)=2,则a= .10.(5分)若无穷等比数列{a n }的各项和为S n ,首项 a 1=1,公比为a ﹣,且S n =a ,则a= .11.(5分)从5男3女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成 4人志愿者服务队,要求服务队中至少有 1 名女生,共有 种不同的选法.(用数字作答)12.(5分)在ABC 中,BC 边上的中垂线分别交BC ,AC 于点D ,E .若•=6,||=2,则AC= .二、选择题(本大题共有4题,满分20分) 13.(5分)展开式为ad ﹣bc 的行列式是( )祝您高考马到成功!A .B .C .D .14.(5分)设a ,b ∈R ,若a >b ,则( ) A .< B .lga >lgb C .sin a >sin b D .2a >2b15.(5分)已知等差数列{a n }的公差为d ,前n 项和为S n ,则“d >0”是“S 4+S 6>2S 5”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 16.(5分)直线x=2与双曲线﹣y 2=1的渐近线交于A ,B 两点,设P 为双曲线上任一点,若=a+b(a ,b ∈R ,O 为坐标原点),则下列不等式恒成立的是( ) A .a 2+b 2≥1 B .|ab |≥1 C .|a +b |≥1 D .|a ﹣b |≥2三、解答题(本大题共有5题,满分76分)17.(14分)如图,长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=2,A 1C 与底面ABCD 所成的角为60°,(1)求四棱锥A 1﹣ABCD 的体积;(2)求异面直线A 1B 与 B 1D 1所成角的大小.18.(14分)已知f (x )=2sinxcosx +2cos 2x ﹣1.(1)求f (x )的最大值及该函数取得最大值时x 的值; (2)在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角 A ,B ,C 所对的边,若a=,b=,且f ()=,求边c 的值.19.(14分)2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目.规祝您高考马到成功!划从 2017 年起,在今后的若干年内,每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元,并预测在相当长的年份里,每年的净收入均为上一年的基础上增长50%.记 2016 年为第 1 年,f (n )为第 1 年至此后第 n (n ∈N*)年的累计利润(注:含第 n 年,累计利润=累计净收入﹣累计投入,单位:千万元),且当 f (n )为正值时,认为该项目赢利. (1)试求 f (n )的表达式;(2)根据预测,该项目将从哪一年开始并持续赢利?请说明理由. 20.(16分)在平面直角坐标系中,已知椭圆C :+y 2=1 (a >0,a ≠1)的两个焦点分别是F 1,F 2,直线l :y=kx +m (k ,m ∈R )与椭圆交于A ,B 两点.(1)若M 为椭圆短轴上的一个顶点,且△MF 1F 2是直角三角形,求a 的值;(2)若k=1,且△OAB 是以O 为直角顶点的直角三角形,求a 与m 满足的关系;(3)若a=2,且k OA •k OB =﹣,求证:△OAB 的面积为定值.21.(18分)若存在常数k (k >0),使得对定义域D 内的任意x 1,x 2(x 1≠x 2),都有|f (x 1)﹣f (x 2)|≤k |x 1﹣x 2|成立,则称函数f (x )在其定义域 D 上是“k ﹣利普希兹条件函数”. (1)若函数f (x )=,(1≤x ≤4)是“k ﹣利普希兹条件函数”,求常数k 的最小值;(2)判断函数f (x )=log 2x 是否是“2﹣利普希兹条件函数”,若是,请证明,若不是,请说明理由; (3)若y=f (x )(x ∈R )是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”,证明:对任意的实数x 1,x 2,都有 |f (x 1)﹣f (x 2)|≤1.祝您高考马到成功!上海市崇明区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共有12题,满分54分,其中1-6题每题4分,7-12题每题5分)1.(4分)已知集合A={1,2,5},B={2,a },若A ∪B={1,2,3,5},则a= 3 . 【解答】解:∵集合A={1,2,5},B={2,a }, A ∪B={1,2,3,5}, ∴a=3. 故答案为:3.2.(4分)抛物线y 2=4x 的焦点坐标为 (1,0) .【解答】解:∵抛物线y 2=4x 是焦点在x 轴正半轴的标准方程,p=2∴焦点坐标为:(1,0)故答案为:(1,0)3.(4分)不等式<0的解是 (﹣1,0) .【解答】解:不等式<0,即 x (x +1)<0,求得﹣1<x <0,故答案为:(﹣1,0).4.(4分)若复数z 满足iz=1+i (i 为虚数单位),则z= 1﹣i . 【解答】解:由iz=1+i ,得z==1﹣i故答案为:1﹣i .5.(4分)在代数式(x ﹣)7的展开式中,一次项的系数是 21 .(用数字作答)祝您高考马到成功!【解答】解:(x ﹣)7的展开式的通项为=,由7﹣3r=1,得r=2, ∴一次项的系数是.故答案为:21.6.(4分)若函数y=2sin (ωx ﹣)+1(ω>0)的最小正周期是π,则ω= 2 .【解答】解:根据正弦函数的图象与性质,知 函数y=2sin (ωx ﹣)+1(ω>0)的最小正周期是T==π,解得ω=2.故答案为:2.7.(5分)若函数f (x )=x a 的反函数的图象经过点(,),则a=.【解答】解:若函数f (x )=x a 的反函数的图象经过点(,), 则:(,)满足f (x )=x α, 所以:,解得:,故答案为:.8.(5分)将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周,所得几何体的体积为27πcm 3,则该几何体的侧面积为 18π cm 2.【解答】解:将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周,所得几何体是圆柱体,设正方形的边长为acm ,则圆柱体的体积为 V=πa 2•a=27π,祝您高考马到成功!解得a=3cm ;∴该圆柱的侧面积为S=2π×3×3=18πcm 2. 故答案为:18π.9.(5分)已知函数y=f (x )是奇函数,当x <0 时,f (x )=2x ﹣ax ,且f (2)=2,则a= ﹣ .【解答】解:∵函数y=f (x )是奇函数,当x <0 时,f (x )=2x ﹣ax , ∴x >0时,﹣f (x )=2﹣x ﹣a (﹣x ), ∴f (x )=﹣2﹣x ﹣ax , ∵f (2)=2,∴f (2)=﹣2﹣2﹣2a=2, 解得a=﹣. 故答案为:﹣.10.(5分)若无穷等比数列{a n }的各项和为S n ,首项 a 1=1,公比为a ﹣,且S n =a ,则a= 2 .【解答】解:无穷等比数列{a n }的各项和为S n ,首项 a 1=1,公比为a ﹣,且S n =a ,可得=a ,即有=a ,即为2a 2﹣5a +2=0, 解得a=2或,由题意可得0<|q |<1, 即有0<|a ﹣|<1,检验a=2成立;a=不成立. 故答案为:2.祝您高考马到成功!11.(5分)从5男3女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成 4人志愿者服务队,要求服务队中至少有 1 名女生,共有 780 种不同的选法.(用数字作答)【解答】解:根据题意,要求服务队中至少有 1 名女生,则分3种情况讨论: ①、选出志愿者服务队的4人中有1名女生,有C 53C 31=30种选法,这4人选2人作为队长和副队有A 42=12种,其余2人为普通队员,有1种情况, 此时有30×12=360种不同的选法,②、选出志愿者服务队的4人中有2名女生,有C 52C 32=30种选法,这4人选2人作为队长和副队有A 42=12种,其余2人为普通队员,有1种情况,此时有30×12=360种不同的选法,③、选出志愿者服务队的4人中有3名女生,有C 51C 33=5种选法,这4人选2人作为队长和副队有A 42=12种,其余2人为普通队员,有1种情况,此时有5×12=60种不同的选法, 则一共有360+360+60=780; 故答案为:780.12.(5分)在ABC 中,BC 边上的中垂线分别交BC ,AC 于点D ,E .若•=6,||=2,则AC= 4 .【解答】解:建立平面直角坐标系如图所示, 设B (﹣a ,0),C (a ,0),E (0,b ),∠ABC=α, 由||=2,知A (﹣a +2cosα,2sinα),∴=(a ﹣2cosα,b ﹣2sinα),=(2a ,0), ∴•=2a (a ﹣2cosα)+0=2a 2﹣4acosα=6,∴a 2﹣2acosα=3; 又=(2a ﹣2cosα,﹣2sinα),祝您高考马到成功!∴=(2a ﹣2cosα)2+(﹣2sinα)2=4a 2﹣8acosα+4 =4(a 2﹣2acosα)+4 =4×3+4 =16,∴||=4,即AC=4.故答案为:4.二、选择题(本大题共有4题,满分20分) 13.(5分)展开式为ad ﹣bc 的行列式是( ) A .B .C .D .【解答】解:根据叫做二阶行列式,它的算法是:ad ﹣bc ,由题意得,=ad ﹣bc .故选B .14.(5分)设a ,b ∈R ,若a >b ,则( ) A .< B .lga >lgb C .sin a >sin b D .2a >2b【解答】解:由a >b ,利用指数函数的单调性可得:2a >2b .再利用不等式的性质、对数函数的定义域与单调性、三角函数的单调性即可判断出A ,B ,C 不正确. 故选:D .祝您高考马到成功!15.(5分)已知等差数列{a n }的公差为d ,前n 项和为S n ,则“d >0”是“S 4+S 6>2S 5”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 【解答】解:∵S 4+S 6>2S 5, ∴4a 1+6d +6a 1+15d >2(5a 1+10d ), ∴21d >20d , ∴d >0,故“d >0”是“S 4+S 6>2S 5”充分必要条件, 故选:C16.(5分)直线x=2与双曲线﹣y 2=1的渐近线交于A ,B 两点,设P 为双曲线上任一点,若=a+b(a ,b ∈R ,O 为坐标原点),则下列不等式恒成立的是( ) A .a 2+b 2≥1B .|ab |≥1C .|a +b |≥1D .|a ﹣b |≥2【解答】解:双曲线﹣y 2=1的渐近线为:y=±x .把x=2代入上述方程可得:y=±1.不妨取A (2,1),B (2,﹣1).=a+b=(2a +2b ,a ﹣b ).代入双曲线方程可得:﹣(a ﹣b )2=1,化为ab=. ∴=ab ,化为:|a +b |≥1.故选:C .三、解答题(本大题共有5题,满分76分)17.(14分)如图,长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=2,A 1C 与底面ABCD 所祝您高考马到成功!成的角为60°,(1)求四棱锥A 1﹣ABCD 的体积;(2)求异面直线A 1B 与 B 1D 1所成角的大小.【解答】解:(1)∵长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=2, ∴AA 1⊥平面ABCD ,AC==2,∴∠A 1CA 是A 1C 与底面ABCD 所成的角, ∵A 1C 与底面ABCD 所成的角为60°, ∴∠A 1CA=60°,∴AA 1=AC•tan60°=2•=2, ∵S 正方形ABCD =AB ×BC=2×2=4, ∴四棱锥A 1﹣ABCD 的体积: V===. (2)∵BD ∥B 1D 1,∴∠A 1BD 是异面直线A 1B 与B 1D 1所成角(或所成角的补角).∵BD=,A 1D=A 1B==2, ∴cos ∠A 1BD===.∴∠A 1BD=arccos.∴异面直线A 1B 与 B 1D 1所成角是arccos.祝您高考马到成功!18.(14分)已知f (x )=2sinxcosx +2cos 2x ﹣1.(1)求f (x )的最大值及该函数取得最大值时x 的值;(2)在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角 A ,B ,C 所对的边,若a=,b=,且f ()=,求边c 的值.【解答】解:f (x )=2sinxcosx +2cos 2x ﹣1=sin2x +cos2x=2sin (2x +)(1)当2x +=时,即x=(k ∈Z ),f (x )取得最大值为2;(2)由f ()=,即2sin (A +)=可得sin (A +)=∵0<A <π ∴<A < ∴A=或∴A=或当A=时,cosA==∵a=,b=,解得:c=4 当A=时,cosA==0∵a=,b=,解得:c=2.祝您高考马到成功!19.(14分)2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目.规划从 2017 年起,在今后的若干年内,每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元,并预测在相当长的年份里,每年的净收入均为上一年的基础上增长50%.记 2016 年为第 1 年,f (n )为第 1 年至此后第 n (n ∈N*)年的累计利润(注:含第 n 年,累计利润=累计净收入﹣累计投入,单位:千万元),且当 f (n )为正值时,认为该项目赢利. (1)试求 f (n )的表达式;(2)根据预测,该项目将从哪一年开始并持续赢利?请说明理由.【解答】解:(1)由题意知,第1年至此后第n (n ∈N *)年的累计投入为8+2(n ﹣1)=2n +6(千万元),第1年至此后第n (n ∈N *)年的累计净收入为+×+×+…+×=(千万元).∴f (n )=﹣(2n +6)=﹣2n ﹣7(千万元).(2)方法一:∵f (n +1)﹣f (n )=[﹣2(n +1)﹣7]﹣[﹣2n ﹣7]=[﹣4],∴当n ≤3时,f (n +1)﹣f (n )<0,故当n ≤4时,f (n )递减; 当n ≥4时,f (n +1)﹣f (n )>0,故当n ≥4时,f (n )递增. 又f (1)=﹣<0,f (7)=≈5×﹣21=﹣<0,f (8)=﹣23≈25﹣23=2>0.∴该项目将从第8年开始并持续赢利. 答:该项目将从2023年开始并持续赢利; 方法二:设f (x )=﹣2x ﹣7(x ≥1),则f′(x )=,令f'(x )=0,得=≈=5,∴x ≈4.祝您高考马到成功!从而当x ∈[1,4)时,f'(x )<0,f (x )递减; 当x ∈(4,+∞)时,f'(x )>0,f (x )递增. 又f (1)=﹣<0,f (7)=≈5×﹣21=﹣<0,f (8)=﹣23≈25﹣23=2>0.∴该项目将从第8年开始并持续赢利.答:该项目将从2023年开始并持续赢利.20.(16分)在平面直角坐标系中,已知椭圆C :+y 2=1 (a >0,a ≠1)的两个焦点分别是F 1,F 2,直线l :y=kx +m (k ,m ∈R )与椭圆交于A ,B 两点.(1)若M 为椭圆短轴上的一个顶点,且△MF 1F 2是直角三角形,求a 的值; (2)若k=1,且△OAB 是以O 为直角顶点的直角三角形,求a 与m 满足的关系; (3)若a=2,且k OA •k OB =﹣,求证:△OAB 的面积为定值.【解答】解:(1)∵M 为椭圆短轴上的一个顶点,且△MF 1F 2是直角三角形, ∴△MF 1F 2为等腰直角三角形, ∴OF 1=OM , 当a >1时,=1,解得a=,当0<a <1时,=a ,解得a=,(2)当k=1时,y=x +m ,设A (x 1,y 1),(x 2,y 2),由,即(1+a 2)x 2+2a 2mx +a 2m 2﹣a 2=0,∴x 1+x 2=﹣,x 1x 2=,∴y 1y 2=(x 1+m )(x 2+m )=x 1x 2+m (x 1+x 2)+m 2=,∵△OAB 是以O 为直角顶点的直角三角形,∴•=0,祝您高考马到成功!∴x 1x 2+y 1y 2=0, ∴+=0,∴a 2m 2﹣a 2+m 2﹣a 2=0 ∴m 2(a 2+1)=2a 2,(3)证明:当a=2时,x 2+4y 2=4, 设A (x 1,y 1),(x 2,y 2), ∵k OA •k OB =﹣, ∴•=﹣,∴x 1x 2=﹣4y 1y 2, 由,整理得,(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2﹣4=0.∴x 1+x 2=,x 1x 2=,∴y 1y 2=(kx 1+m )(kx 2+m )=k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2 =++m 2=,∴=﹣4×,∴2m 2﹣4k 2=1, ∴|AB |=•=•=2•=∵O 到直线y=kx +m 的距离d==,∴S △OAB =|AB |d==•==1祝您高考马到成功!21.(18分)若存在常数k (k >0),使得对定义域D 内的任意x 1,x 2(x 1≠x 2),都有|f (x 1)﹣f (x 2)|≤k |x 1﹣x 2|成立,则称函数f (x )在其定义域 D 上是“k ﹣利普希兹条件函数”. (1)若函数f (x )=,(1≤x ≤4)是“k ﹣利普希兹条件函数”,求常数k 的最小值;(2)判断函数f (x )=log 2x 是否是“2﹣利普希兹条件函数”,若是,请证明,若不是,请说明理由;(3)若y=f (x )(x ∈R )是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”,证明:对任意的实数x 1,x 2,都有 |f (x 1)﹣f (x 2)|≤1. 【解答】解:(1)若函数f (x )=,(1≤x ≤4)是“k ﹣利普希兹条件函数”,则对于定义域[1,4]上任意两个x 1,x 2(x 1≠x 2),均有|f (x 1)﹣f (x 2)|≤k |x 1﹣x 2|成立,不妨设x 1>x 2,则k ≥=恒成立.∵1≤x 2<x 1≤4,∴<<,∴k 的最小值为.(2)f (x )=log 2x 的定义域为(0,+∞),令x 1=,x 2=,则f ()﹣f ()=log 2﹣log 2=﹣1﹣(﹣2)=1, 而2|x 1﹣x 2|=,∴f (x 1)﹣f (x 2)>2|x 1﹣x 2|, ∴函数f (x )=log 2x 不是“2﹣利普希兹条件函数”.证明:(3)设f (x )的最大值为M ,最小值为m ,在一个周期[0,2]内f (a )=M ,f (b )=m ,则|f (x 1)﹣f (x 2)|≤M ﹣m=f (a )﹣f (b )≤|a ﹣b |. 若|a ﹣b |≤1,显然有|f (x 1)﹣f (x 2)|≤|a ﹣b |≤1. 若|a ﹣b |>1,不妨设a >b ,则0<b +2﹣a <1,祝您高考马到成功!∴|f(x1)﹣f(x2)|≤M﹣m=f(a)﹣f(b+2)≤|a﹣b﹣2|<1.综上,|f(x1)﹣f(x2)|≤1.!功成到马考高您祝。

崇明区2020届第一次高考模拟考试数学试卷

崇明区2020届第一次高考模拟考试数学试卷

高三数学 共4页 第1页崇明区2020届第一次高考模拟考试试卷数 学考生注意:1. 本试卷共4页,21道试题,满分150分,考试时间120分钟.2. 本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.3. 答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息.一、填空题(本大题共有12题,满分54分,其中1~6题每题4分,7~12题每题5分)【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.】1.已知集合0123{}A =,,,,02{|}B x x =<≤,则A B = .2.不等式21x -<的解集是 . 3.半径为1的球的表面积是 .4.已知等差数列{}n a 的首项为1,公差为2,则该数列的前项和n S = . 5.函数()f x =的反函数是 .6.计算:= .7.二项式62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项的值等于 .8.若双曲线的一个顶点坐标为(3,0),焦距为10,则它的标准方程是 . 9.已知,a b R +∈,若直线230x y ++=与直线(1)2a x by -+=互相垂直,则ab 的最大值等于.10.已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数.当01x <≤时,3(1)f x x ax =-+,则实数a 的值等于 .11.某组委会要从五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中甲不能从事翻译工作,乙不能从事导游工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有 种.12.正方形ABCD 的边长为4,O 是正方形ABCD 的中心,过中心O 的直线l 与边AB 交于点M ,与边CD 交于点N ,P 为平面上一点,满足2(1)OP OB OC λλ=+-,则PM PN ⋅的最小值为 .n 112323lim -+∞→+-n n nn n高三数学 共4页 第2页二、选择题(本大题共有4题,满分20分)【每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.】13.若0a b <<,则下列不等式恒成立的是A .11a b> B .a b ->C .33a b <D .22a b >14.已知z C ∈,“0z z +=”是“z 为纯虚数”的 A .充分非必要条件 B .必要非充要条件C .充要条件D .既非充分也非必要条件16.若不等式()sin 06x a b x ππ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭≤对[1,1]x ∈-恒成立,则a b +的值等于A .23B .56C .1D .2三、解答题(本大题共有5题,满分76分)【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.】17.(本题满分14分,本题共有2个小题,第(1)小题满分7分,第(2)小题满分7分) 在直三棱柱111ABC A B C -中,90ABC ∠=︒,1AB BC ==,12BB =. (1)求异面直线11B C 与1A C 所成角的大小; (2)求点1B 与平面1A BC 的距离.A 1B 1C 1ABC高三数学 共4页 第3页18.(本题满分14分,本题共有2个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分8分)已知函数21()2cos 2f x x x =--. (1)求函数()f x 的最小正周期及单调增区间;(2)设ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c,且c =()0f C =,若sin 2sin B A =,求,a b 的值.19.(本题满分14分,本题共有2个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分8分) 某辆汽车以 x 公里/小时速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求60120x ≤≤)时,每小时的油耗(所需要的汽油量)为145001005x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭升.(1)欲使每小时的油耗不超过9升,求 x 的取值范围;(2)求该汽车行驶100 公里的油耗y 关于汽车行驶速度 x 的函数,并求y 的最小值.高三数学 共4页 第4页20.(本题满分16分,本题共有3个小题,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分6分)已知椭圆22:14x y Γ+=,其左右顶点分别为A ,B ,上下顶点分别为C ,D .圆O 是以线段AB 为直径的圆.(1)求圆O 的方程;(2)若点,E F 是椭圆上关于y 轴对称的两个不同的点,直线,CE DF 分别交x 轴于点M N 、,求证:OM ON ⋅为定值;(3)若点P 是椭圆Γ上不同于点A 的点,直线AP 与圆O 的另一个交点为Q .是否存在点P ,使得13AP PQ =?若存在,求出点P 的坐标,若不存在,说明理由.21.(本题满分18分,本题共有3个小题,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分8分)已知无穷数列{}n a ,{}n b ,{}n c 满足:对任意的n *∈N ,都有1||||n n n a b c +=-,1||||n n n b c a +=-,1||||n n n c a b +=-.记max{||,||,||}n n n n d a b c =({}max ,,x y z 表示3个实数,,x y z 中的最大值).(1)若11a =,12b =,14c =,求4a ,4b ,4c 的值; (2)若11a =,12b =,求满足23d d =的1c 的所有值;(3)设1a ,1b ,1c 是非零整数,且1||a ,1||b ,1||c 互不相等,证明:存在正整数k ,使得数列{}n a ,{}n b ,{}n c 中有且只有一个数列自第k 项起各项均为0.。

2020年上海崇明县高三一模数学试卷

2020年上海崇明县高三一模数学试卷

2020年上海崇明县高三一模数学试卷一、填空题(本大题共12小题,1~6每题4分,7~12每题5分,共54分)1.已知集合,,则 .2.不等式的解集是 .3.半径为的球的表面积是 .4.已知等差数列的首项为,公差为,则该数列的前项和 .5.函数的反函数是 .6.计算: .7.二项式的展开式中常数项的值等于 .8.若双曲线的一个顶点坐标为,焦距为,则它的标准方程为 .9.已知、,若直线与直线互相垂直,则的最大值等于 .10.已知函数是定义在上的周期为的奇函数,当时,,则实数的值等于 .11.某组委会要从五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中甲不能从事翻译工作,乙不能从事导游工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有 种.12.正方形的边长为,是正方形的中心,过中心的直线与边交于点,与边交于点,为平面上一点,满足,则的最小值为 .二、选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若,则下列不等式恒成立的是( ).A.B.C.D.14.已知,“”是“为纯虚数”的( ).A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件15.如图,在底面半径和高均为的圆锥中,、是底面圆的两条互相垂直的直径,是母线的中点,已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的抛物线的一部分,则该抛物线的焦点到圆锥顶点的距离等于( ).A.B.C.D.16.若不等式对上恒成立,则( ).A.B.C.D.三、解答题(本大题共5小题,共76分)(1)(2)17.在直三棱柱中,,,.求异面直线与所成角的大小.求点与平面的距离.(1)(2)18.已知函数.求函数的最大值,并写出取得最大值时的自变量的集合.设的内角、、所对的边分别为、、,且,,若,求、的值.(1)(2)19.某辆汽车以公里/小时速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求)时,每小时的油耗(所需要的汽油量)为升.欲使每小时的油耗不超过升,求的取值范围.求该汽车行驶公里的油耗关于汽车行驶速度的函数,并求的最小值.(1)(2)20.已知椭圆,其左右顶点分别为、,上下顶点分别为、,圆是以线段为直径的圆.求圆的方程.若点、是椭圆上关于轴对称的两个不同的点,直线、分别交轴于点、,求证:为定值.【答案】解析:集合,集合,∴.故答案为:.解析:不等式等价于,解得,∴不等式的解集是.故答案为:.解析:由题意,半径为的球的表面积是.故答案为.(3)若点是椭圆上不同于点的点,直线与圆的另一个交点为,是否存在点,使得 ? 若存在,求出点的坐标,若不存在,说明理由.(1)(2)(3)21.已知无穷数列、、满足:对任意的,都有,,,记表示个实数、、中的最大值.若,,,求﹑、的值.若,,求满足的的所有值.设、、是非零实数,且、、互不相等,证明:存在正整数,使得数列、、中有且只有一个数列自第项起各项均为.1.2.3.∵等差数列的首项为,公差为,∴该数列的前项和.故答案为:.5.解析:∵的定义域为,值域为,∴,∴函数的反函数为.综上所述,答案为.6.解析:.7.解析:二项式展开式,通项,令,则,,所以展开式中常数项值为.由题意,,,则,故双曲线的标准方程为.9.解析:直线,变形为,斜率为,∵,,直线,变形为,由直线与直线垂直,则,即,由基本不等式,则(当,时等号成立),∴的最大值为.10.解析:∵是定义在上的周期为的奇函数,∴且,∴当时,,即,则,∵当时,,∴得,故答案为.11.解析:总共有种情况,其中甲从事翻译工作有种情况,乙从事导游工作有种情况,然后甲从事翻译工作同时乙从事导游工作有种情况,∴.解析:设,由向量共线定理,可知点在直线上,为中点,∴,∵,,∴.解析:对于复数,若,不一定为纯虚数,可以为,反之,若为纯虚数,则∴“”是“为纯虚数”的必要非充分条件.故选.解析:将抛物线放入坐标系,如图所示,12.C 13.B 14.D 15.∵,,∴,设抛物线,代入点,可得,∴焦点为,即焦点为中点,设焦点为,则,,∴.故选.解析:方法一:如图,作出函数在上的图象,为使不等式对上恒成立,当且仅当函数的图象经过函数的零点,则由,得,,所以,所以.故选.方法二:令,作出函数在上的图象,B 16.(1)(2)则函数的图象必需经过,两点,则.故选.方法三:当时,,,所以,,即,所以,当时,,,所以,则或,所以,综上.故选.解析:因为,所以就是异面直线与所成的角或补角.在三角形中,,,所以,所以.所以异面直线与所成角的大小是.因为,,所以平面所以设点与平面的距离为,则,由得:.(1).(2).17.(1)(2)(1)(2)解析:.函数,当且仅当,时取得最大值,即,,∴的最大值为,取得最大值的取值集合为.由,得,又,所以,得,由及正弦定理,得①,由余弦定理,得②,由①,②解得,.解析:由,得,所以,又因为,所以的取值范围是.设该汽车行驶公里的油耗为升,则:,因为,所以,所以当时,该汽车行驶公里的油耗取得最小值升.(1),集合为.(2),.18.(1).(2),的最小值.19.(1).(2)证明见解析.20.(1)(2)(3)解析:由题意,得,,所以圆的方程是.由题意,得,,设,,,则直线的方程是:,所以,同理,因为,所以.显然直线的斜率存在,设其方程为:.代入椭圆方程,得:,设,则,所以,因为圆心到直线的距离,所以,假设存在点,使得,则,所以(*),而方程(*)在实数范围内无解,故原假设错误,即不存在点,使得.(3)不存在,证明见解析.(1),,.(2), ,,.21.(1)(2)(3)解析:,,.若,,记,则,,,,,,当时,,,,,由,得,不符合;当时,,,,由,得,符合;当时,,,,由,得,符合;综上,的所有取值是,,,.先证明“存在正整数,使,,中至少有一个为”,假设对任意正整数,,,都不为,由,,是非零整数,且,,互不相等,得,,若对任意,,,都不为,则,即对任意,.当时,,,,所以,,所以,单调递减,由为有限正整数,所以,必存在正整数,使得,矛盾.(3)证明见解析.所以,存在正整数,使,,中至少有一个为.不妨设,且,,,,则,且,否则,若,因为,则必有,矛盾,于是,,,且,所以,,,,依次递推,即有:对,,,,且,此时有且仅有一个数列自第项起各项均为,综上,结论成立.。

2024届上海市崇明区高三一模数学试题及答案

2024届上海市崇明区高三一模数学试题及答案

上海市崇明区2024届高三一模数学试卷(满分150分,时间120分钟)2023.12.15一、填空题(本大题共有12题,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分,满分54分)1.不等式21x 的解集是.2.双曲线221y x 的焦距是.3.4.5.x6.7.8.9.10.个假设所建立的数学模型与实际情况相符吗?若相符,请在以下横线上填写“相符”;若不相符,请选择其中的一个假设给出你的修改意见,并将修改意见填入横线..11.已知不平行的两个向量a 、b 满足1a ,a bt R ,都有2b ta 成立,则b 的最小值等于.12.已知正实数a 、b 、c 、d 满足210a ab ,221c d ,则当 22a cb d 取得最小值时,ab.第17题图二、选择题(本大题共有4题,第13、14题每题4分,第15、16题每题5分,满分18分)13.已知集合23A x x ,0B x x ,则A B ().A 2,3 ;.B 0,3;.C 0, ;.D 2, .14.若0x y ,则下列不等式正确的是().A x y ;.B 22x y ;.C 11x y;.D 2x y.15.已知点M 为正方体1111ABCD A B C D 内部(不包含表面)的一点.给出下列两个命题:1q2q .A .C 16.则实数m 的取值.A .三、17.1,90ADC ,E 、F (1(2)求点B 到平面PCF 的距离.18.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)在ABC 中,5a ,6b .(1)若4cos 5B,求A 和ABC 外接圆半径R 的值;(2)若ABC 的面积4S,求c 的值.19.台计算TPI 4个等级:某市(1)年元旦及前后共7天中任取1天,求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率;(2)年元旦及前后共7天中任取3天,将这3天中交通高峰期城市道路2022年同日TPI高的天数记为X ,求所有X 的可能值及其发生的概率.已知抛物线21:4y x ,22:2y x ,直线l 交抛物线1 于点A 、D ,交抛物线2 于点B 、C ,其中点A 、B 位于第一象限.(1)若点A 到抛物线1 焦点的距离为2,求点A 的坐标;(2)若点A 的坐标为 4,4,且线段AC 的中点在x 轴上,求原点O 到直线l 的距离;(3)若2AB CD,求AOD 与BOC 的面积之比.已知 sin f x mx x (m R 且0m ).(1)若函数 y f x 是实数集R 上的严格增函数,求实数m 的取值范围;(2)已知数列 n a 是等差数列(公差0d ), n n b f a .是否存在数列 n a 使得数列 n b 是等差数列?若存在,请写出一个满足条件的数列 n a ,并证明此时的数列 n b 是等差数列;若不存在,请说明理由;(3)若1m ,是否存在直线y kx b 满足:①对任意的x R 都有 f x kx b 成立,②存在0x R使得 00f x kx b ?若存在,请求出满足条件的直线方程;若不存在,请说明理由.崇明区2023学年第一学期高三第一次模拟考试参考答案及评分标准一、填空题1. (1,3);2. 3. 2; 4. 31; 5. 10;6.7. 3; 8. 9; 9. 0.42; 10. 假设2中,易拉罐的顶部类似于圆台;假设3中,易拉罐的罐顶和罐底材质比罐体的材质厚; 11.12.12+. 二、选择题13. D ; 14. C ; 15. A ; 16. A. 三、解答题17. 解 (1)证明:取PA 中点G ,连接GE 、GD ,则//GE AB ,12GE AB =,由于//CD AB ,12CD AB =,所以//GE CD ,GE CD =,所以四边形CDGE 是平行四边形,所以//CE GD ,......................................4分 由于CE 不在平面PAD 上,DG ⊂平面PAD ,所以CE //平面PAD ;.....................................................................................7分 (2)设点B 到平面PCF 的距离为h ,由题意,CF AB ⊥,又PA ⊥平面ABCD ,所以CF PF ⊥ 在RT PAF △中,PF =,所以12PFC S CF PF =⋅=△分 由P BCF B PCF V V −−=得1133BCF PCF S PA S h ⋅=⋅△△所以5h =,即点B 到平面PCF的距离为5.......................................7分 18. 解 (1)因为4cos 5B =−,()0,B π∈,所以3sin 5B ==...........2分 由正弦定理,得2sin sin a b R A B ==,即5623sin 5R A ==,....................................4分 所以1sin 2A =,5R =, 因为a b <,所以0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,因此6A π=,5R =..................................................6分 (2)由1sin 2ABC S ab C =△得224sin 564ABC S C ab ===⨯△,....................2分于是3cos 4C ==±.....................4分当3cos 4C =时,由余弦定理,得222356256164c =+−⨯⨯⨯=.....................6分当3cos 4C =−时,由余弦定理,得2223562561064c ⎛⎫=+−⨯⨯⨯−= ⎪⎝⎭.所以,4c =或c =分(2)根据统计数据可得:2023年元旦及前后共7天中,交通高峰期城市道路TPI 比2022年同日TPI 高的天数共有2天,故0,1,2X =.....................2分()3537C 1020C 357P X ====;()215237C C 2041C 357P X ⋅====; ()125237C C 512C 357P X ⋅====...........................................................................................8分20. 解 (1)抛物线24y x =的准线为1x =−,因为点A 到抛物线1Γ焦点的距离为2,所以点A 到抛物线1Γ准线的距离为2, 所以点A 的横坐标为1,故点A 的坐标为(1,2).....................4分 (2)设00(,)C x y ,则线段AC 的中点坐标为0044(,)22x y ++ 由题意,402y +=,故04y =−,所以(8,4)C −.....................2分 所以直线l 的方程为:2120x y +−=.....................4分所以原点O 到直线l 的距离d ==.....................6分 (3)由题意,直线l 的斜率k 显然存在且0k ≠,设直线l 的方程为y kx b =+ 设11223344(,),(,),(,),(,)A x y D x y B x y C x y由2AB CD =,得31242()y y y y −=−①,.....................2分由24y x y kx b⎧=⎨=+⎩,得:204k y y b −+=,所以124y y k +=,124b y y k =同理,342y y k+=,342b y y k =.....................4分所以12342()y y y y +=+②,12342y y y y =③由①,②得:23y y =−,代入③得142y y =−,代入②得2434y y =所以4412344442103473AODBOCy y S y y S y y y y −−−===−−−△△...............................................................8分 21.解 (1)因为函数()y f x =是实数集R 上的增函数,所以'()cos 0f x m x =+≥对任意的x ∈R 都成立.............................2分 因为函数cos y m x =+的最小值为1m −,所以1m ≥.....................4分(2)sin n n n b a ma =+,若{}n b 是等差数列,则212n n n b b b +++=对一切正整数n 成立, 即2211sin sin 2sin 2n n n n n n a ma a ma a ma +++++++=+, 将212n n n a a a +++=代入化简得21sin sin 2sin n n n a a a +++=, 即()()111sin sin 2sin n n n a d a d a +++−++=,展开化简得()12sin cos 10n a d +⋅−=对一切正整数n 成立,所以1sin 0n a +=或cos 1d =, 故1n a n π+=或()20,d k k k π=≠∈Z ;......................................................3分 注:这里只要给出合适的一个等差数列即可得分 当()20,d k k k π=≠∈Z 时,()()11sin sin 1212n n n b a ma a n k m a n k ππ=+=+−++−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()1112sin m n k ma a π=−++,所以12n n b b m k π+−=为常数,故{}n b 是等差数列......................................................................6分 同理,当n a n π=时,亦可证明数列{}n b 为等差数列. (3)令()(sin )()(1)sin g x x x kx b k x x b =+−+=−+−则当m Z ∈时,(2)2(1)sin11b bg m k m k kππ+=−+−− 1k >时,存在m Z ∈使得(2)01bg m kπ+<−, 即存在x R ∈使得()f x kx b <+,与题意不符同理,1k <时,存在x R ∈使得()f x kx b <+,与题意不符.......................4分1k =时,()sin g x x b =−当1b >−时,显然存在存在x R ∈使得()0g x <,即存在存在x R ∈使得()f x kx b <+ 当1b <−时,对任意的x R ∈都有()0g x >,..................................6分 当1b =时,存在02x π=−,使得00()=f x kx b +,且对任意的x R ∈都有()0g x ≥,即对任意的x R ∈都有()f x kx b ≥+综上,存在直线1y x =−满足题意..................................8分。

2020届上海市崇明区高三上学期期末(一模)数学试题(解析版)

2020届上海市崇明区高三上学期期末(一模)数学试题(解析版)

2020届上海市崇明区高三上学期期末(一模)数学试题一、单选题1.若0a b <<,则下列不等式恒成立的是 A .11a b> B .a b -> C .22a b > D .33a b <【答案】D【解析】∵0a b << ∴设1,1a b =-= 代入可知,,A B C 均不正确对于D ,根据幂函数的性质即可判断正确 故选D2.“2p <”是“关于x 的实系数方程210x px ++=有虚数根”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】先求出关于x 的实系数方程210x px ++=有虚数根的充要条件为:240p =-<,即22p -<<,再由“2p <”与“22p -<<”的关系得解。

【详解】解:关于x 的实系数方程210x px ++=有虚数根的充要条件为:240p =-<,即22p -<<,又“2p <”不能推出“22p -<<”, “22p -<<”能推出“2p <”,即“2p <”是“关于x 的实系数方程210x px ++=有虚数根”的必要不充分条件,故选:B . 【点睛】本题考查了充分条件、必要条件、充要条件及简易逻辑知识,属简单题3.已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=,且222a b c <<,则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小的值是( ) A.a b ⋅ B.b c ⋅ C.a c ⋅D.不能确定【答案】B【解析】利用已知条件作差比较可知. 【详解】因为0a b c ++=, 所以()b a c =-+rr r,所以()a b b c b a c ⋅-⋅=⋅-22()()()a c a c a c =-+-=--0>,所以a b b c ⋅>⋅, 同理可得,a c b c ⋅>⋅, 故b c ⋅最小. 故选B . 【点睛】本题考查了平面向量的数量积和比较法比较大小,属于中档题.4.函数()f x x =,()22.g x x x =-+若存在1x ,2x ,⋯,90,2n x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,使得()()()()()()()()121121n n n n f x f x f x g x g x g x g x f x --++⋯++=++⋯++,则n的最大值是( ) A.11 B.13 C.14 D.18【答案】C【解析】由已知得(22221212(1)[(1)(1)1)n n n x x x x -⎤-=---+-+⋯+-⎦,又1x ,2x ,⋯,90,2n x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,可求n 的最大值.【详解】 解:()()()()21211212n n n n n f x f x f x g x x x x x x --++⋯++=++⋯++-+,()()()()()()22212112112121n n n n ng x g x g x f x x x x x x x n x ---++⋯++=++⋯+-++⋯++-+,()2222121(1)(1)(1)2(1)n n x x x n x -∴-+-+⋯+-+-=-,(22221212(1)[(1)(1)1)n n n x x x x -⎤∴-=---+-+⋯+-⎦当1211n x x x -==⋯==,92n x =时,2949(2)(1)24max n -=-=, 4924n ∴-≤,又n N ∈,14max n ∴=. 故选:C . 【点睛】本题考查参数的最值,配方是关键,考查推理能力和计算能力,属中档题二、填空题5.20lim 31n n n →∞+=+______.【答案】13【解析】将分式2031n n ++ 分子、分母同时除以n ,再利用201lim 0,lim 0n n n n →∞→∞==,可求解. 【详解】解:202011lim20101limlim 113130333limn n n n n n n n nn →∞→∞→∞→∞++++====++++ 故答案为:13.【点睛】本题考查了极限的运算,属简单题.6.已知集合{|12}A x x =-<<,{}1,0,1,2,3B =-,则A B =______.【答案】{}0,1【解析】直接利用交集运算得答案. 【详解】解:{}0,1A B ⋂=. 故答案为:{}0,1. 【点睛】本题考查了交集及其运算,是基础题.7.若复数z 满足232z z i +=-,其中i 为虚数单位,则z =______. 【答案】12i -【解析】设复数z a bi =+,(a 、b 是实数),则z a bi =-,代入已知等式,再根据复数相等的含义可得a 、b 的值,从而得到复数z 的值. 【详解】解:设z a bi =+,(a 、b 是实数),则z a bi =-,232z z i +=-,2232a bi a bi i ∴++-=-, 33a ∴=,2b =-,解得1a =,2b =-, 则12z i =- 故答案为:12i -. 【点睛】本题着重考查了复数的四则运算和复数相等的含义,属于基础题. 8.281()x x-的展开式中x 7的系数为__________.(用数字作答) 【答案】56-【解析】试题分析:展开式通项为281631881()()(1)rrr r r r r T C x C x x--+=-=-,令1637r -=,得3r =,所以展开式中7x 的系数为.故答案为56-.【考点】二项式定理【名师点睛】①求特定项系数问题可以分两步完成:第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式,建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件,即n ,r 均为非负整数,且n≥r );第二步是根据所求的指数,再求所要求的项. ②有理项是字母指数为整数的项.解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其为整数,再根据数的整除性来求解.9.角θ的终边经过点()4,P y ,且3sin 5θ=-,则tan θ=______. 【答案】34-【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义,求得tan θ的值. 【详解】解:角θ的终边经过点()4,P y ,且3sin 5θ=-=,3y ∴=-,则3tan 44y θ==-, 故答案为:34-. 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义,属于基础题.10.在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线24y x =上一点P 到焦点的距离为5,则点P 的横坐标是______. 【答案】4【解析】由抛物线定义可知,抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的,已知5PF =,则P 到准线的距离也为5,即15x +=,即可求出x . 【详解】 解:抛物线242y x px ==,2p ∴=,由抛物线定义可知,抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的,15PF x ∴=+=, 4x ∴=,故答案为:4. 【点睛】考查了抛物线的定义、焦半径到焦点的距离常转化为到准线的距离求解,属于基础题. 11.圆22240x y x y +-+=的圆心到直线3450x y ++=的距离等于______. 【答案】0【解析】先求圆的圆心坐标,利用点到直线的距离公式,求解即可. 【详解】解:由已知得圆心为:()1,2P -,由点到直线距离公式得:0d ==,故答案为:0. 【点睛】本题以圆为载体考查点到直线的距离公式,考查学生计算能力,是基础题. 12.已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆,则该圆锥的体积为 .【答案】π33 【解析】试题分析:设圆锥的底面半径为r ,22⨯=ππr ,解得1=r ,根据勾股定理,圆锥的高等于31222=-,所以圆锥的体积ππ3331312=⨯⨯⨯=V . 【考点】旋转体的体积 13.若函数()2log 1x af x x -=+的反函数的图象过点()3,7-,则a =______. 【答案】6【解析】()f x 的反函数图象过点()3,7-,所以原函数()f x 的图象过()7,3-,然后将点()7,3-代入()f x 可解得. 【详解】 解:()f x 的反函数图象过点()3,7-,所以原函数()f x 的图象过()7,3-,()73f ∴=-,即27log 371a -=-+,3728a--∴=,6a ∴=. 故答案为:6 【点睛】本题考查了反函数,属基础题.14.2018年上海春季高考有23所高校招生,如果某3位同学恰好被其中2所高校录取,那么不同的录取方法有______种. 【答案】1518【解析】解决这个问题得分三步完成,第一步把三个学生分成两组,第二步从23所学校中取两个学校,第三步,把学生分到两个学校中,再用乘法原理求解 【详解】解:由题意知本题是一个分步计数问题, 解决这个问题得分三步完成, 第一步把三个学生分成两组, 第二步从23所学校中取两个学校,第三步,把学生分到两个学校中,共有12232231518C C A =,故答案为:1518. 【点睛】本题考查分步计数问题,本题解题的关键是把完成题目分成三步,看清每一步所包含的结果数,本题是一个基础题.15.设()f x 是定义在R 上的以2为周期的偶函数,在区间[]0,1上单调递减,且满足()1f π=,()22f π=,则不等式组()1212x f x ≤≤⎧≤≤⎨⎩的解集为______.【答案】[]2,82ππ--【解析】根据()f x 是以2为周期的偶函数,并且在[]0,1上单调递减,便可由()1f π=,()22f π=得出()41f π-=,()262f π-=,并且由12x ≤≤得出021x ≤-≤,从而由()12f x ≤≤得出()()()4226f f x f ππ-≤-≤-,进而得出{122624x x ππ≤≤-≤-≤-,解该不等式组即可.【详解】 解:()f x 是以2为周期的偶函数,且()f x 在[]0,1上单调递减;∴由()1f π=,()22f π=得,()41f π-=,()262f π-=,且4π-,[]260,1π-∈;由12x ≤≤得,021x ≤-≤;∴由()1212x f x ≤≤⎧≤≤⎨⎩得,()()()124226x f f x f ππ≤≤⎧-≤-≤-⎨⎩;{122624x x ππ≤≤∴-≤-≤-;解得282x ππ-≤≤-;∴原不等式组的解集为[]2,82ππ--.故答案为:[]2,82ππ--.【点睛】考查周期函数和偶函数的定义,以及减函数的定义,不等式的性质.16.已知数列{}n a 满足:①10a =,②对任意的*n N ∈都有1n n a a +>成立.函数()1()sinn n f x x a n=-,[]1,n n x a a +∈满足:对于任意的实数[)0,1m ∈,()n f x m =总有两个不同的根,则{}n a 的通项公式是______. 【答案】()12n n n a π-=【解析】利用三角函数的图象与性质、诱导公式、数列的递推关系可得1n n a a n π+-=,再利用“累加求和”方法、等差数列的求和公式即可得出. 【详解】 解:10a =,当1n =时,()()11sin sin f x x a x =-=,[]20,x a ∈,又对任意的[)0,1m ∈,()1f x m =总有两个不同的根,2a π∴=,()1sin f x x ∴=,[]0,x π∈,2a π=,又()()()2211sinsin cos 222xf x x a x π=-=-=,[]3,x a π∈, 对任意的[)0,1m ∈,()1f x m =总有两个不同的根,33a π∴=, 又()()()33111sinsin 3sin 333f x x a x ππ=-=-=,[]43,x a π∈, 对任意的[)0,1b ∈,()1f x m =总有两个不同的根,46a π∴=, 由此可得1n n a a n π+-=,()()()()12111012n n n n n a a a a a a n πππ--∴=+-+⋯+-=++⋯+-=,故答案为:()12n n n a π-=,【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质、诱导公式、数列的递推关系、“累加求和”方法、等差数列的求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题三、解答题17.如图,设长方体1111ABCD A B C D -中,2AB BC ==,直线1A C 与平面ABCD 所成角为4π.()1求三棱锥1A A BD -的体积;()2求异面直线1A B 与1B C 所成角的大小.【答案】(1)3(2)2arccos 3.【解析】()1转换顶点,以1A 为顶点,易求体积;()12B C 平移至1A D ,化异面直线为共面直线,利用余弦定理求解.【详解】解:()1连接AC ,则1A CA ∠为1A C 与平面ABCD 所成的角,14ACA π∴∠=,2AB BC ==,AC ∴=,1AA ∴=11A A BD A ABD V V --∴=11132AB AD AA =⨯⨯⨯3=()2连接1A D ,易知11//A D B C ,1(BA D ∴∠或其补角)即为所求,连接BD ,在1A DB 中,1A D =,1A B =BD =, 由余弦定理得:12cos 3BA D ∠==,12arccos 3BA D ∠=,故异面直线1A B ,1B C 所成角的大小为2arccos 3. 【点睛】此题考查了三棱锥体积,异面直线所成角的求法等,难度不大.18.已知函数2()cos sin f x x x x =⋅ ()1求函数()f x 的单调递增区间;()2在锐角ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若1()2f A =,3a =, 4.b =求ABC △的面积.【答案】(1)5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦;k Z ∈;(2)4+【解析】()1利用二倍角,辅助角公式化简,结合三角函数的单调性即可求解()f x 的单调递增区间;()2根据()12f A =,求解A ,3a =, 4.b =利用余弦定理求解c ,即可求解ABC△的面积. 【详解】 解:()1函数()21cos sin sin2sin 223f x x x x x x x π⎛⎫=⋅+==+ ⎪⎝⎭令222232k x k πππππ-≤+≤+,得51212k x k ππππ-≤≤+, ()f x ∴的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦;k Z ∈; ()2由()12f A =,即1sin 232A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,ABC △是锐角三角形,5236A ππ∴+= 可得4A π=余弦定理:22222243cos 2242b c a c A bc c +-+-===⨯⨯,即270(0)c c -+=>解得:1c =ABC △的面积1sin 42S bc A ==【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质,余弦定理的应用,利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键.19. 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得25万元~ 1600万元的投资收益,现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,奖金不超过75万元,同时奖金不超过投资收益的20%.(即:设奖励方案函数模型为y=f (x)时,则公司对函数模型的基本要求是:当x ∈[25,1600]时,①f(x)是增函数;②f (x) ≤75恒成立; ③()5xf x ≤恒成立. (1)判断函数() 1030x f x =+是否符合公司奖励方案函数模型的要求,并说明理由;(2)已知函数()()51g x a =≥符合公司奖励方案函数模型要求,求实数a 的取值范围.【答案】(1) 函数模型()1030xf x =+,不符合公司要求,详见解析(2) [1,2] 【解析】(1)依次验证题干中的条件即可;(2)根据题干得,要满足三个条件,根据三个条件分别列出式子得到a 的范围,取交集即可. 【详解】(1)对于函数模型()1030xf x =+, 当x ∈[25, 1600]时, f (x)是单调递增函数,则f (x) ≤f (1600) ≤75,显然恒成立,若函数()5x f x ≤恒成立,即10305x x +≤,解得x≥60.∴()5xf x ≤不恒成立, 综上所述,函数模型()1030xf x =+,满足基本要求①②,但是不满足③, 故函数模型()1030xf x =+,不符合公司要求.(2)当x ∈[25,1600]时,()5(1)g x a =≥单调递增,∴最大值(1600)540575g a ==-≤∴2a ≤设()55x g x =≤恒成立,∴22(5)5x a x ≤+恒成立,即225225x a x ≤++, ∵25225xx +≥,当且仅当x=25时取等号,∴a 2≤2+2=4 ∵a ≥1, ∴1≤a ≤2, 故a 的取值范围为[1,2] 【点睛】这个题目考查了函数模型的应用,这类题目关键是选对函数模型,读懂题意,将实际问题转化为数学问题,利用数学知识解决问题.20.已知椭圆Γ:22221(0)x y a b a b +=>>,1B ,2B 分别是椭圆短轴的上下两个端点,1F 是椭圆的左焦点,P 是椭圆上异于点1B ,2B 的点,若112B F B 的边长为4的等边三角形.()1写出椭圆的标准方程;()2当直线1PB 的一个方向向量是()1,1时,求以1PB 为直径的圆的标准方程; ()3设点R 满足:11RB PB ⊥,22RB PB ⊥,求证:12PB B 与12RB B 的面积之比为定值.【答案】(1)221164x y +=;(2)2282128()()5525x y ++-=;(3)证明见解析 【解析】()1由112B F B 是边长为4的等边三角形得4a =,进一步求得2b =,则椭圆方程可求;()2由直线1PB 的一个方向向量是()1,1,可得直线1PB 所在直线的斜率1k =,得到直线1PB 的方程,由椭圆方程联立,求得P 点坐标,得到1PB 的中点坐标,再求出1PB ,可得以1PB 为直径的圆的半径,则以1PB 为直径的圆的标准方程可求;() 3方法一、设()00,P x y ,()11,R x y 求出直线1PB 的斜率,进一步得到直线1RB 的斜率,得到直线1RB 的方程,同理求得直线2RB 的方程,联立两直线方程求得R 的横坐标,再结合()00,P x y 在椭圆221164x y +=上可得1x 与0x 的关系,由12121PB B RB B S x S x =求解; 方法二、设直线1PB ,2PB 的斜率为k ,得直线1PB 的方程为 2.y kx =+结合11RB PB ⊥,可得直线1RB 的方程为12y x k=-+,把2y kx =+与椭圆方程联立可得021641k x k -=+,再由()00,P x y 在椭圆221164x y +=上,得到220044x y -=-,从而得到200020002241'4y y y k k x x x -+-⋅=⋅==-,得1'.4k k=-结合22RB PB ⊥,可得直线2RB 的方程为4 2.y kx =-与线1RB 的方程联立求得124.41kx k =+再由12121PB B RB B S x S x =求解. 【详解】()1解:如图,由112B F B 的边长为4的等边三角形,得4a =,且2b =.∴椭圆的标准方程为221164x y +=; ()2解:直线1PB 的一个方向向量是()1,1,∴直线1PB 所在直线的斜率1k =,则直线1PB 的方程为2y x =+,联立2221164y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,得25160x x +=,解得165P x =-,65P y ∴=-.则1PB 的中点坐标为82,55⎛⎫-⎪⎝⎭,1PB == 则以1PB为直径的圆的半径5r =. ∴以1PB 为直径的圆的标准方程为2282128()()5525x y ++-=;()3证明:方法一、设()00,P x y ,()11,.R x y直线1PB 的斜率为1002PB y k x -=,由11RB PB ⊥,得直线1RB 的斜率为1002RB x k y =-.于是直线1RB 的方程为:0022x y x y =-+-. 同理,2RB 的方程为:0022x y x y =--+. 联立两直线方程,消去y ,得20104y x x -=.()00,P x y 在椭圆221164x y +=上,22001164x y ∴+=,从而220044x y -=-.14x x ∴=-, 121214PB B RB B S x Sx ∴==. 方法二、设直线1PB ,2PB 的斜率为k ,,则直线1PB 的方程为2y kx =+.由11RB PB ⊥,直线1RB 的方程为12y x k=-+, 将2y kx =+代入221164x y +=,得()2241160k x kx ++=,P 是椭圆上异于点1B ,2B 的点,00x ∴≠,从而021641kx k -=+. ()00,P x y 在椭圆221164x y +=上,22001164x y ∴+=,从而220044x y -=-.200020002241'4y y y k k x x x -+-∴⋅=⋅==-,得1'4k k=-. 22RB PB ⊥,∴直线2RB 的方程为42y kx =-. 联立1242y x k y kx ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩,解得2441k x k =+,即12441k x k =+. 1212201216414441PB B RB B kS x k k Sx k -+∴===+.【点睛】本题考查椭圆方程的求法,考查直线与椭圆的位置关系的综合应用,考查转化思想以及计算能力,是中档题.21.已知数列{}n a ,{}n b 均为各项都不相等的数列,n S 为{}n a 的前n 项和,()*11n n n a b S n N +=+∈.()1若11,2n n a b ==,求4a 的值;()2若{}n a 是公比为()1q q ≠的等比数列,求证:数列11n b q ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭为等比数列;()3若{}n a 的各项都不为零,{}n b 是公差为d 的等差数列,求证:2a ,3a ,⋯,n a ,⋯成等差数列的充要条件是12d =.【答案】(1)8;(2)证明见解析(3)证明见解析 【解析】()1直接代入计算即可;()2通过设()111n n a a q q -=≠,利用等比数列的求和公式及11n n n a b S +=+,计算可知n b ,进而化简即得结论;()3通过数列{}n b 是公差为d 的等差数列,对()1n n n n n a b a b d a +--=变形可知111111n n n n n n n n a a b b da a a a d d--+---==----,然后分别证明充分性、必要性即可.【详解】解:()111n n n a b S +=+,11a =,2n n b =, 121111412a a b ++∴===,146132+++ 232114161S a b +++===, 34311461832S a b ++++===, 证明:()2设()111n n a a qq -=≠,则()111nn a q S q-=-,11n n n a b S +=+,()()111111111111nn n n nnn a q S a a q q q b a a q q a q +-++-+--∴===-, ()()1111111111111n n n n a a q q a q b q q a q q q a q -+-+-∴+=+=----()11111111n n a q b q q a q +++-∴+=-- 1n nb q b +∴=,(q 为常数) ∴数列11n b q ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭为等比数列, ()3数列{}n b 是公差为d 的等差数列,∴当2n ≥时,()1n n n n n a b a b d a +--=,即()()11n n n n a a b d a +-=-, 数列{}n a 的各项都不为零,10n n a a +∴-≠,10d -≠, ∴当2n ≥时,11n nn nb a d a a +=--, 当3n ≥时,1111n n n n b a d a a ---=--,两式相减得:当3n ≥时,111111n n n n n n n n a a b b da a a a d d--+---==----.先证充分性:由12d =可知1111n n n n n n a a a a a a -+--=--, ∴当3n ≥时,1111n nn n n na a a a a a --++=--,又0n a ≠,11n n n n a a a a +-∴-=-,即2a ,3a ,⋯,n a ⋯成等差数列; 再证必要性:2a ,3a ,⋯,n a ⋯成等差数列, ∴当3n ≥时,11n n n n a a a a +--=-,111111111n n n n n n n n n n n n a a a a d a a a a a a a a d---+---∴-=-==-----,12d ∴=. 综上所述,2a ,3a ,⋯,n a ⋯成等差数列的充要条件是12d = 【点睛】本题考查数列的递推式,考查运算求解能力,对表达式的灵活变形是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于难题.。

上海市崇明区2024届高三一模数学试题

上海市崇明区2024届高三一模数学试题

一、单选题二、多选题1. 已知函数及其导函数的定义域均为,且,则( )A .有一个极小值点,一个极大值点B .有两个极小值点,一个极大值点C .最多有一个极小值点,无极大值点D .最多有一个极大值点,无极小值点2.如图,在正方体中,,,分别是,,的中点,有下列四个结论:①与是异面直线;②,,相交于一点;③;④平面.其中所有正确结论的编号是()A .①④B .②④C .①④D .②③④3.已知函数,那么( )A .20B .12C .3D .14. 声音中包含着正弦函数,声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波.每一个音都是由纯音合成的,纯音的数学模型是函数.音有四要素:音调,响度,音长和音色.这都与正弦函数的参数有关.我们一般听到的声音的函数是,对于函数,下列说法正确的是( )A .是的一个周期B .关于对称C.是的一个极值点D.关于中心对称5.在等腰直角中,,在边上且满足:,若,则的值为A.B.C.D.6. 已知,,,则,,的大小关系为( )A.B.C.D.7. 化简的值为( )A .1B .2C .4D .68.,的否定为( )A .,B .,C .,D .,9. 为了解目前宜兴市高二学生身体素质状况,对某校高二学生进行了体能抽测,得到学生的体育成绩,其中60分及以上为及格,90分及以上为优秀则下列说法正确的是( )参考数据:随机变量,则,,.A .该校学生体育成绩的方差为10B .该校学生体育成绩的期望为70C.该校学生体育成绩的及格率不到上海市崇明区2024届高三一模数学试题上海市崇明区2024届高三一模数学试题三、填空题四、解答题D .该校学生体育成绩不及格的人数和优秀的人数相当10.若函数的定义域为,且,,则( )A.B.为偶函数C.的图象关于点对称D.11. 已知随机变量服从正态分布,则下列结论正确的是( )A .,B .若,则C.D .随机变量满足,则12. “圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理,它包含三个结论,其中一个是相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.如图,已知圆O 的半径为2,点P 是圆O 内的定点,且,弦AC 、BD 均过点P ,则下列说法正确的是()A.B .为定值C.的取值范围是[-2,0]D .当时,为定值13. 如图,菱形架ABCD 是一种作图工具,由四根长度均为4的直杆用铰链首尾连接而成.已知A ,C 可在带滑槽的直杆上滑动;另一根带滑槽的直杆DH 长度为4,且一端记为H ,另一端用铰链连接在D 处,上述两根带滑槽直杆的交点P 处有一栓子(可在带滑槽的直杆上滑动).若将H ,B 固定在桌面上,且两点之间距离为2,转动杆HD ,则点P 到点B 距离的最大值为__________.14. 已知展开式中,所有项的二项式系数之和为,则______________.(用数字作答)15. 如图,四面体OABC 的三条棱OA ,OB ,OC 两两垂直,OA=OB=2,OC=3,D 为四面体OABC 外一点.给出下列命题.①不存在点D ,使四面体ABCD 有三个面是直角三角形②不存在点D ,使四面体ABCD 是正三棱锥③存在点D ,使CD 与AB 垂直并且相等④存在无数个点D ,使点O 在四面体ABCD 的外接球面上其中真命题的序号是______________16. 如图,在四棱锥中,底面,四边形为长方形,,点、分别是线段、的中点.(1)证明:平面;(2)在线段上是否存在一点,使得平面,若存在,请指出点的位置,并证明平面;若不存在,请说明理由.17. 安徽新高考改革方案正式公布,根据改革方案,计入高考总分的考试科目共有6门,即“3+1+2”,“3”为语文、数学、外语3门全国统一考试科目,不分文理科,使用全国卷,选择性考试科目为思想政治、历史、地理、物理、化学、生物学6门.由考生根据报考高校要求,结合自身特长兴趣,首先在物理和历史中选择1门,再从思想政治、地理、化学、生物学中选择2门.(1)若某学生根据方案从选择性考试科目中随机选择三科,求该生恰好选到政史地的概率;(2)由于物理和历史两科必须选择1科,某校想了解学生选科的需求,随机选取100名学生进行调查,得到如下统计数据,判断是否有99%的把握认为“选科与性别有关”?选择物理选择历史合计男401050女302050合计7030100附表:0.1500.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635,.18. 已知函数.(I )若曲线在上单调递增,求a 的取值范围;(II )若在区间上存在极大值M ,证明:.19.在三棱锥中,是的中点,,.(1)证明:平面;(2)若,求点到平面的距离.20. 如图,在四棱锥中,平面平面,,,,,点在棱上,且.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)是否存在实数,使得二面角的余弦值为?若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由.21. 已知函数在处的切线方程为(1)求a,b的值;(2)判断的单调性.。

2020年上海市崇明区高考数学一模试卷(含解析)

2020年上海市崇明区高考数学一模试卷(含解析)

2020年上海市崇明区高考数学一模试卷一、填空题(本大题共有12题,满分54分,其中1~6题每题4分,7~12题每题5分)【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.】1.已知集合A={0, 1, 2, 3},B={x|0<x≤2},则A∩B=________.2.不等式|x−2|<1的解集是________.3.半径为1的球的表面积是________.4.已知等差数列{a n}的首项为1,公差为2,则该数列的前n项和S n=________.5.函数f(x)=√x+1的反函数是________.6.计算:limn→∞3n+1−2n3n+2n−1=________.7.二项式(x+2x)6的展开式中常数项的值等于________.8.若双曲线的一个顶点坐标为(3, 0),焦距为10,则它的标准方程为________.9.已知a,b∈R+,若直线x+2y+3=0与直线(a−1)x+by=2互相垂直,则ab的最大值等于________.10.已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数.当0<x≤1时,f(x)=x3−ax+1,则实数a的值等于________.11.某组委会要从五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中甲不能从事翻译工作,乙不能从事导游工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有________种.12.正方形ABCD 的边长为4,O 是正方形ABCD 的中心,过中心O 的直线l 与边AB 交于点M ,与边CD 交于点N ,P 为平面上一点,满足2OP →=λOB →+(1−λ)OC →,则PM →⋅PN →的最小值为________.二、选择题(本大题共有4题,满分20分)【每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.】13.若a <0<b ,则下列不等式恒成立的是() A.1a >1b B.−a >bC.a 3<b 3D.a 2>b 214.已知z ∈C ,“z +z ¯=0”是“z 为纯虚数”的() A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也非必要条件15.如图,在底面半径和高均为√2的圆锥中,AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径,E 是母线PB 的中点.已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分,则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于()A.12 B.1 C.√104D.√5216.若不等式(|x −a|−b)sin(πx +π6)≤0对x ∈[−1, 1]恒成立,则a +b 的值等于() A.23 B.56C.1D.2三、解答题(本大题共有5题,满分76分)【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.】17.在直三棱柱ABC−A1B1C1中,∠ABC=90∘,AB=BC=1,BB1=2.(1)求异面直线B1C1与A1C所成角的大小;(2)求直线B1C1与平面A1BC的距离.18.已知函数f(x)=√32sin2x−cos2x−12,x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间;(2)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c且c=√3,f(C)=0.若sinB=2sinA,求a,b的值.19.某辆汽车以x公里/小时速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求60≤x≤120)时,每小时的油耗(所需要的汽油量)为15(x−100+4500x)升.(1)欲使每小时的油耗不超过9升,求x的取值范围;(2)求该汽车行驶100公里的油耗y关于汽车行驶速度x的函数,并求y的最小值.20.已知椭圆Γ:x 24+y 2=1,其左右顶点分别为A ,B ,上下顶点分别为C ,D .圆O 是以线段AB 为直径的圆. (1)求圆O 的方程;(2)若点E ,F 是椭圆上关于y 轴对称的两个不同的点,直线CE ,DF 分别交x 轴于点M 、N ,求证:OM →⋅ON →为定值;(3)若点P 是椭圆Γ上不同于点A 的点,直线AP 与圆O 的另一个交点为Q .是否存在点P ,使得AP →=13PQ →?若存在,求出点P 的坐标,若不存在,说明理由.21.已知无穷数列{a n },{b n },{c n }满足:对任意的n ∈N ∗,都有a n+1=|b n |−|c n |,b n+1=|c n |−|a n |,c n+1=|a n |−|b n |.记d n =max{|a n |, |b n |, |c n |}(max{x, y, z}表示3个实数x ,y ,z 中的最大值). (1)若a 1=1,b 1=2,c 1=4,求a 4,b 4,c 4的值; (2)若a 1=1,b 1=2,求满足d 2=d 3的c 1的所有值;(3)设a 1,b 1,c 1是非零整数,且|a 1|,|b 1|,|c 1|互不相等,证明:存在正整数k ,使得数列{a n },{b n },{c n }中有且只有一个数列自第k 项起各项均为0.2020年上海市崇明区高考数学一模试卷一、填空题(本大题共有12题,满分54分,其中1~6题每题4分,7~12题每题5分)【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.】1.已知集合A={0, 1, 2, 3},B={x|0<x≤2},则A∩B=________.【解答】解:∵A={0, 1, 2, 3},B={x|0<x≤2};∴A∩B={1, 2}.故答案为:{1, 2}.2.不等式|x−2|<1的解集是________.【解答】解:由不等式|x−2|<1可得,−1<x−2<1,解得1<x<3.故答案为:(1,3).3.半径为1的球的表面积是________.【解答】解:由题意,半径为1的球的表面积是4π⋅12=4π.故答案为:4π.4.已知等差数列{a n}的首项为1,公差为2,则该数列的前n项和S n=________.【解答】解:∵等差数列{a n}的首项为1,公差为2,∴该数列的前n项和S n=n×1+n(n−1)2×2=n2.故答案为:n2.5.函数f(x)=√x+1的反函数是________.【解答】解:由y=√x+1可得:x=y2−1,y≥0,∴f(x)=√x+1的反函数是:f−1(x)=x2−1(x≥0).故答案为:f−1(x)=x2−1(x≥0).6.计算:limn→∞3n+1−2n3+2=________.【解答】解:limn→∞3n+1−2n3+2=limn→∞3−(23)n1+(23)n=3−limn→∞(23)n1+limn→∞(23)n=3.故答案为:3.7.二项式(x+2x)6的展开式中常数项的值等于________.【解答】解:展开式的通项为T r+1=C6r x6−r(2x)r=2r C6r x6−2r,令6−2r=0可得r=3,常数项为23C63=160.故答案为:160.8.若双曲线的一个顶点坐标为(3, 0),焦距为10,则它的标准方程为________.【解答】解:依题意可知a=3,c=5,∴b=√25−9=4,根据顶点坐标可知焦点在x轴,∴双曲线的方程为x 29−y216=1.故答案为:x 29−y216=1.9.已知a,b∈R+,若直线x+2y+3=0与直线(a−1)x+by=2互相垂直,则ab的最大值等于________.【解答】解:根据题意,若直线x+2y+3=0与直线(a−1)x+by=2互相垂直,则有(a−1)+2b=0,变形可得a+2b=1,则ab=12(a×2b)≤12×(a+2b2)2=18,当且仅当a=2b=12时,等号成立;即ab的最大值为18.故答案为:18.10.已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数.当0<x≤1时,f(x)= x3−ax+1,则实数a的值等于________.【解答】解:∵函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数.当0<x ≤1时,f(x)=x 3−ax +1,∴f(−1)=−f(1)且f(−1)=f(−1+2)=f(1), ∴f(1)=0,即f(1)=1−a +1=2−a =0, ∴a =2. 故答案为:2.11.某组委会要从五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中甲不能从事翻译工作,乙不能从事导游工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有________种. 【解答】解:根据题意,分3种情况讨论:①,从五名志愿者中选派的四人中的有甲但没有乙,甲有3种安排方法,剩下三人全排列即可得,此时有3×A 33=18种选派方法;②,从五名志愿者中选派的四人中的有乙但没有甲,乙有3种安排方法,剩下三人全排列即可得,此时有3×A 33=18种选派方法; ③,从五名志愿者中选派的四人中既有甲又有乙,需要在剩下3人中选出2人,有C 32种选法,选出4人的安排方法有A 33+2×2×A 22种,则此时有C 32(A 33+2×2×A 22)=42种选派方法;故一共有18+18+42=78种选派方法. 故答案为:78.12.正方形ABCD 的边长为4,O 是正方形ABCD 的中心,过中心O 的直线l 与边AB 交于点M ,与边CD 交于点N ,P 为平面上一点,满足2OP →=λOB →+(1−λ)OC →,则PM →⋅PN →的最小值为________. 【解答】解:如图,以O 为坐标原点,以过O 且平行于AB 的直线为x 轴,以过O 且垂直于AB 的直线为y 轴建立坐标系,则B(2, −2),C(2, 2),∴2OP →=λOB →+(1−λ)OC →=λ(2, −2)+(1−λ)(2, 2)=(2, 2−4λ),∴OP →=(1, 1−2λ) 即P 点坐标为(1, 1−2λ),设M(a, −2),则N(−a, 2),−2≤a ≤2, ∴PM →=(a −1, 2λ−3), PN →=(−a −1, 2λ+1)∴PM →⋅PN →=(a −1)(−a −1)+(2λ−3)(2λ+1)=1−a 2+4λ2−4λ−3, 当a =±2且λ=−−42×4=12时,PM →⋅PN →有最小值−7. 故答案为:−7.二、选择题(本大题共有4题,满分20分)【每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.】若a <0<b ,则下列不等式恒成立的是() A.1a >1b B.−a >bC.a 3<b 3D.a 2>b 2【解答】解:根据题意,依次分析选项:对于A ,由于a <0<b ,则1a <0<1b ,A 错误; 对于B ,若|a|<|b|,则−a <b ,B 错误; 对于C ,由于a <0<b ,则a 3<0<b 3,C 正确; 对于D ,若|a|<|b|,则a 2<b 2,D 错误. 故选C .已知z ∈C ,“z +z ¯=0”是“z 为纯虚数”的() A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也非必要条件【解答】解:对于复数z ,若z +z →=0,z 不一定为纯虚数,可以为0,反之,若z 为纯虚数,则z +z →=0.∴“z +z →=0”是“z 为纯虚数”的必要非充分条件. 故选B .如图,在底面半径和高均为√2的圆锥中,AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径,E 是母线PB 的中点.已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分,则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于()A.12 B.1 C.√104D.√52【解答】解:如图所示,过点E 作EH ⊥AB ,垂足为H .∵E 是母线PB 的中点,圆锥的底面半径和高均为√2, ∴OH =EH =√22. ∴OE =1.在平面CED 内建立直角坐标系如图:设抛物线的方程为y 2=2px ,(p >0),F 为抛物线的焦点, C(1, √2), ∴2=2p ⋅1, 解得p =1, F(12, 0),即OF =12,EF =12, ∵PB =2,PE =1,∴该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离为√PE 2+EF 2=√52. 故选D .若不等式(|x −a|−b)sin(πx +π6)≤0对x ∈[−1, 1]恒成立,则a +b 的值等于() A.23 B.56C.1D.2【解答】解:当−1≤x ≤−16或56≤x ≤1时,sin(πx +π6)≤0, 当−16≤x ≤56时,sin(πx +π6)≥0,∴当−1≤x ≤−16或56≤x ≤1时,|x −a|−b ≥0, 当−16≤x ≤56时,|x −a|−b ≤0,设f(x)=|x −a|−b ,则f(x)在(−∞, a)上单调递减,在(a, +∞)上单调递增,且f(x)的图象关于直线x =a 对称, ∴f(−16)=f(56)=0,∴2a =−16+56=23,即a =13,又f(56)=|56−13|−b =0, 故b =12. ∴a +b =56. 故选B .三、解答题(本大题共有5题,满分76分)【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.】在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中,∠ABC =90∘,AB =BC =1,BB 1=2.(1)求异面直线B 1C 1与A 1C 所成角的大小;(2)求直线B1C1与平面A1BC的距离.【解答】解:(1)由题意可得BC // B1C1,∴∠A1CB(或其补角)即为异面直线B1C1与A1C所成的角,由题意可知BC⊥平面ABB1A1,∴BC⊥A1B,∴△A1BC为直角三角形,∴tan∠A1CB=A1BBC =√AB2+BB12BC=√5,∴异面直线B1C1与A1C所成的角为arctan√5;(2)∵BC // B1C1,BC⊂平面A1BC,B1C1⊄平面A1BC,∴B1C1 // 平面A1BC,∴直线B1C1上任意一点到平面A1BC的距离均为直线B1C1到平面A1BC的距离,不妨取B1,且设B1到平面A1BC的距离为ℎ,由等体积法可得V B1−A1BC =V C−A1BB1,即13S△A1BC×ℎ=13S△ABB1×BC,代入数据可得13×12×1×√5×ℎ=13×12×2×1×1,解得ℎ=2√55,∴直线B1C1到平面A1BC的距离为2√55.已知函数f(x)=√32sin2x−cos2x−12,x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间;(2)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c且c=√3,f(C)=0.若sinB=2sinA,求a,b的值.【解答】解:(1)∵f(x)=√32sin2x−cos2x−12,x∈R.=√32sin2x−1+cos2x2−12=sin(2x−π6)−1,∴T=2π2=π,∴由2kπ+π2≤2x−π6≤2kπ+3π2,k∈Z可解得:x∈[kπ+π3, kπ+5π6],k∈Z,∴f(x)单调递减区间是:[kπ+π3, kπ+5π6],k∈Z;(2)f(C)=sin(2C−π6)−1=0,则sin(2C−π6)=1,∵0<C<π,∴C=π3,∵sinB=2sinA,∴由正弦定理可得b=2a①,∵c=√3,∴由余弦定理可得c2=a2+b2−ab=3②,由①②可得a=1,b=2.某辆汽车以x公里/小时速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求60≤x≤120)时,每小时的油耗(所需要的汽油量)为15(x−100+4500x)升.(1)欲使每小时的油耗不超过9升,求x的取值范围;(2)求该汽车行驶100公里的油耗y关于汽车行驶速度x的函数,并求y的最小值.【解答】解:(1)由题意,令15×(x−100+4500x)≤9,化简得x2−145x+4500≤0,解得45≤x≤100;又因为60≤x≤120,所以欲使每小时的油耗不超过9升,x的取值范围是[60, 100];(2)设该汽车行驶100公里的油耗为y,则y=100x ⋅15(x−100+4500x)=90000(1x −190)2+809,(其中60≤x≤120);由60≤x≤120,知1x ∈[1120, 160],所以x=90时,汽车行驶100公里的油耗取得最小值为809升.已知椭圆Γ:x 24+y2=1,其左右顶点分别为A,B,上下顶点分别为C,D.圆O是以线段AB为直径的圆.(1)求圆O的方程;(2)若点E,F是椭圆上关于y轴对称的两个不同的点,直线CE,DF分别交x轴于点M 、N ,求证:OM →⋅ON →为定值;(3)若点P 是椭圆Γ上不同于点A 的点,直线AP 与圆O 的另一个交点为Q .是否存在点P ,使得AP →=13PQ →?若存在,求出点P 的坐标,若不存在,说明理由. 【解答】解:(1)由题意得:A(−2, 0),B(2, 0), ∴圆O 的圆心为原点,半径为2, ∴圆O 的方程是x 2+y 2=4;(2)由题意可知:C(0, 1),D(0, −1),设E(x 0, y 0),则F(−x 0, y 0),(x 0≠1), ∴直线CE 的方程是:y−1y 0−1=xx 0,∴点M(−x 0y 0−1, 0),同理点N(x 0y0+1, 0),又∵点E(x 0, y 0)在椭圆x 24+y 2=1上,∴x 024+y 02=1,∴OM →⋅ON →=x 02y2−1=x 02−x 024=−4.(3)显然直线AP 的斜率存在,设其方程为:y =k(x +2), 联立方程{y =k(x +2),x 24+y 2=1,化简得:(1+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2−4=0,设P(x 1, y 1),则x 1+(−2)=−16k 21+4k 2, 所以|AP|=√1+k 2|x 1−(−2)|=√41+4k 2, 因为圆心O 到直线AP 的距离d =√2,所以|AQ|=2√4−d 2=4√11+k ,假设存在点P ,使得AP →=13PQ →,则|AQ|=4|AP|,所以4√11+k 2=4√41+4k 2,化简得:4+4k 2=1+4k 2,此方程在实数范围内无解,故原假设错误,即不存在点P ,使得AP →=13PQ →.已知无穷数列{a n },{b n },{c n }满足:对任意的n ∈N ∗,都有a n+1=|b n |−|c n |,b n+1=|c n |−|a n |,c n+1=|a n |−|b n |.记d n =max{|a n |, |b n |, |c n |}(max{x, y, z}表示3个实数x ,y ,z 中的最大值).(1)若a 1=1,b 1=2,c 1=4,求a 4,b 4,c 4的值; (2)若a 1=1,b 1=2,求满足d 2=d 3的c 1的所有值;(3)设a 1,b 1,c 1是非零整数,且|a 1|,|b 1|,|c 1|互不相等,证明:存在正整数k ,使得数列{a n },{b n },{c n }中有且只有一个数列自第k 项起各项均为0. 【解答】(1)解:由题意:a 2=|b 1|−|c 1|=2−4=−2;b 2=|c 1|−|a 1|=4−1=3;c 2=|a 1|−|b 1|=1−2=−1; 以此类推,看得出a 4=0,b 4=−1,c 4=1. (2)解:若a 1=1,b 1=2,c 1=x ,则a 2=2−|x|,b 2=|x|−1,c 2=−1,d 2={2−|x|,0≤|x|<1,1,1≤|x|<2,|x|−1,|x|≥2, a 3=||x|−1|−1,b 3=1−|2−|x||,c 3=|2−|x||−|x|−1|,当0≤|x|<1时,a 3=−|x|,b 3=|x|−1|,c 3=1,d 3=1,由d 3=d 2,得||x|=1,不符合题意.当1≤|x|<2,a 3=|x|−2,b 3=|x|−1,c 3=3−2|x|,d 3={2−|x|,1≤|x|<1.5,|x|−1,1.5≤|x|<2,由d 3=d 2,得|x|=1,符合题意.当|x|≥2,a 3=|x|−2,b 3=3−|x|,c 3=−1,d 3={1,2≤|x|<3,|x|−2,|x|≥3,由d 3=d 2,得|x|=2,符合题意, 综上c 1的取值是:−2,−1,1,2.(3)证明:先证明‘’存在正整数k ≥3,使,a k ,b k ,c k 中至少有一个为零, 假设对任意正整数k ≥3,a k ,b k ,c k 都不为零,由a 1,b 1,c 1是非零整数, 且|a 1|,|b 1|,|c 1|互不相等,得d 1∈N ∗,d 2∈N ∗, 若对任意k ≥3,a k ,b k ,c k 都不为零,则d k ∈N ∗. 即对任意k ≥1,d k ∈N ∗.当k ≥1时,|a k+1|=|b k |−|c k ||<max{|b k |, |c k |}≤d k ,|b k+1|=||c k |−|a k ||<d k ,|c k+1|=||a k |−|b k ||<d k ,所以d k+1=max{|a k+1|, |b k+1|, |c k+1|}<d k ,所以{d k }单调递减,由d 2为有限正整数,所以必存在正整数m≥3,使得d m≤0,矛盾,所以存在正整数k≥3,使a k,b k,c k中至少有一个为零,不妨设a k=0,且a1≠0,a2≠0…a k−1≠0,则|b k−1|=|c k−1|,且|b k−1|=|c k−1|≠|a k−1|,否则若|b k−1|=|c k−1|=|a k−1|,因为a k−1+b k−1+c k−1=0,则必有a k−1=b k−1=c k−1=0,矛盾.于是,b k=|c k−1|−|a k−1|≠0,c k=|a k−1|−|b k−1|≠0,且b k=−c k,所以,a k+1=0,b k+1=|c k|,c k+1=−|b k|=−|c k|,以此类推,即有:对∀n≥k,a n=0,b n+1=|c k|,c n+1=−|c k|,|c k|≠0,此时有且仅有一个数列{a n}自k项起各项均为0.综上:结论成立.。

2020学年崇明区高三一模数学试卷(含解析)

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高三数学 共4页 第1页崇明区2020学年第一次高考模拟考试试卷(含解析)数学考生注意:1. 本试卷共4页,21道试题,满分150分,考试时间120分钟.2. 本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.3. 答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息.一、填空题(本大题共有12题,满分54分,其中1~6题每题4分,7~12题每题5分)【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.】1.设集合{1,2,3}A =,集合{3,4}B =,则A B = .2.不等式102x x -<+的解集是 . 3.已知复数z 满足(z 2)i 1-=(i 是虚数单位),则z = . 4.设函数1()1f x x =+的反函数为1()f x -,则1(2)f -= . 5.点(0,0)到直线2x y +=的距离是 . 6.计算:123lim(2)n nn n →∞+++⋅⋅⋅+=+ .7.若关于x 、y 的方程组46132x y ax y +=⎧⎨-=⎩无解,则实数a = .8.用数字0、1、2、3、4、5组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为 .(结果用数值表示)9.若23(2)n a b +的二项展开式中有一项为412ma b ,则m = .10.设O 为坐标原点,直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点,若ODE △的面积为1,则双曲线C 的焦距的最小值为 . 11.已知函数()=y f x ,对任意x R ∈,都有(2)()f x f x k +⋅=(k 为常数),且当[0,2]x ∈时,2()1f x x =+,则(2021)f = .12.已知点D 为圆22:4O x y +=的弦MN 的中点,点A 的坐标为(1,0),且1AM AN ⋅=,则OA OD ⋅的范围是 .高三数学 共4页 第2页二、选择题(本大题共有4题,满分20分)【每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.】13.若0a b <<,则下列不等式恒成立的是( )A .11a b> B .a b ->C .22a b >D .33a b <14.正方体上的点P 、Q 、R 、S 是其所在棱的中点,则直线PQ 与直线RS 异面的图形是( )A .B .C .D . 15.设{}n a 为等比数列,则“对于任意的*2,m m m a a +∈>N ”是“{}n a 为递增数列”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件16.设函数()y f x =的定义域是R ,对于下列四个命题: (1)若函数()y f x =是奇函数,则函数()()y f f x =是奇函数; (2)若函数()y f x =是周期函数,则函数()()y f f x =是周期函数; (3)若函数()y f x =是单调减函数,则函数()()y f f x =是单调减函数;(4)若函数()y f x =存在反函数1()y f x -=,且函数1()()y f x f x -=-有零点,则函数()y f x x =-也有零点;其中正确的命题共有( ) A .1个B .2个C .3个D .4个三、解答题(本大题共有5题,满分76分)【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.】17.(本题满分14分,本题共有2个小题,第(1)小题满分7分,第(2)小题满分7分) 如图,已知AB ⊥平面BCD ,BC BD ⊥,直线AD 与平面BCD 所成的角为30°,且2AB BC ==.(1)求三棱锥A BCD -的体积;(2)设M 为BD 的中点,求异面直线AD 与CM 所成角的大小(结果用反三角函数值表示).SRP QQ PRS Q PS RRPS Q高三数学 共4页 第3页18.(本题满分14分,本题共有2个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分8分)已知函数21()sin 23cos 2f x x x =-.(1)求函数()y f x =的最小正周期;(2)在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若锐角A 满足13()f A -=,6C π=, 2c =,求ABC △的面积.19.(本题满分14分,本题共有2个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分8分)研究表明:在一节40分钟的网课中,学生的注意力指数y 与听课时间x (单位:分钟) 之间的变化曲线如图所示.当[0,16]x ∈时,曲线是二次函数图像的一部分;当[16,40]x ∈时,曲线是函数0.8log ()80y x a =++图像的一部分.当学生的注意力指数不高于68时,称学生处于“欠佳听课状态”.(1)求函数()y f x =的解析式;(2)在一节40分钟的网课中,学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长?(精确到1分钟)yx 12 16 4080 84 O· · ·· ·· · ·20.(本题满分16分,本题共有3个小题,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分5分,第(3)小题满分7分)已知椭圆22:14xyΓ+=的左右顶点分别为A、B,P为直线4x=上的动点,直线P A与椭圆Γ的另一交点为C,直线PB与椭圆Γ的另一交点为D.(1)若点C的坐标为(0,1),求点P的坐标;(2)若点P的坐标为(4,1),求以BD为直径的圆的方程;(3)求证:直线CD过定点.高三数学共4页第4页高三数学 共4页 第5页21.(本题满分18分,本题共有3个小题,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分8分)对于数列{}n a ,若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和,则称{}n a 为P 数列. (1)若数列1,2,,8x 是P 数列,求实数x 的取值范围; (2)设数列12310,,,,a a a a 是首项为1-、公差为d 的等差数列,若该数列是P 数列,求d 的取值范围;(3)设无穷数列{}n a 是首项为a 、公比为q 的等比数列,有穷数列{}n b ,{}n c 是从{}n a中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列,其所有项和分别记为1T ,2T . 求证:当0a >且12T T =时,数列{}n a 不是P 数列.高三数学 共4页 第6页崇明区2021届第一次高考模拟考试(数学)参考答案及评分标准一、填空题1. {3};2.(2,1)-;3.2i +;4.1-; ; 6.12; 7.2-; 8.48; 9.60; 10. 11. 2; 12.[-1,2).二、选择题13.D; 14.B; 15.C;16.B三、解答题17.解:(1)因为AB ⊥平面BCD ,所以ADB ∠就是直线AD 与平面BCD 所成的角,所以30ADB ∠=︒...............3分 所以BD =所以13A BCD BCD V S AB -=⋅=...........................7分 (2)取线段AB 的中点N,联结CN 、MN ,则//MN AD所以CMN ∠就是异面直线AD 与CM 所成的角...........................4分 在CMN 中,2MN =,CN=CM =所以222cos 214CM MN CN CMN CM MN +-∠==⋅...........................7分18.解:(1)1()sin 2sin(2)23f x x x π==-分所以函数()y f x =的最小正周期2||T ππω==...........................6分 (2)由()f A =,得:1sin(2)=32A π-因为(0,)2A π∈,所以22(,)333A πππ-∈-,所以2=36A ππ-,4A π=...........................3分所以22224cos 242b c a b A bc b +--===2b =...........................6分所以1sin 12ABC S bc A ==...........................8分19.解:(1)当[0,16]x ∈时,设2()(12)84(0)f x b x b =-+<由(16)80f =,得:2(1612)84=80b -+,故14b =-...........................2分当[16,40]x ∈时,由(16)80f =,得:0.8log (16)8080a ++=,故15a =-.................4分高三数学 共4页 第7页所以20.81(12)84,[0,16]()4log (15)80,(16,40]x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩...........................6分(2)当[0,16]x ∈时,由21(12)84684x --+≤,得:[0,4]x ∈...........................3分当[16,40]x ∈时,由0.8log (15)8068x -+≤,得:12150.829.6x -≥+≈ 所以[30,40]x ∈...........................3分因此,在一节40分钟的网课中,学生处于“欠佳听课状态”的时间有14分钟..............8分. 20. 解:(1)由题意,(2,0)A -,直线AP 的方程是:12xy =-...........................3分 由124xy x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩,得:点P 的坐标是(4,3)...........................4分 (2)由题意,(2,0)B ,直线PB 的方程是:22x y -=,代入2214x y +=,得:220x x -=,解得:0x =,或2x =,所以点D 坐标为(0,-1),线段BD 中点为1(1,)2-,||BD =分所以以BD 为直径的圆的方程是2215(1)()24x y -++=...........................5分(3)设0(4,)P y ,11(,)C x y ,22D(,)x y ,则直线AP 的方程是:0(2)6y x y +=代入2214x y +=,得:2222000(9)44360y x y x y +++-=所以20120218=9y x y -++,012069y y y =+ 同理,可得:2022022=1y x y -+,022021y y y -=+..........................4分 所以直线CD 的方程为:2220000002222220000002622222182()()()()191191y y y y y y x y y y y y y y ----+---=--++++++ 令0y =,得:1x =所以直线CD 过定点(1,0)..........................7分21.解:(1)由题意,得:12812x x>+⎧⎨>++⎩,所以35x <<..........................4分(2)由题意知,该数列的前n 项和为(1)2n n n S n d -=-+,11n a nd +=-+, 由数列12310,,,,a a a a P 数列,可知211a S a >=,故公差0d >..........................3分高三数学 共4页 第8页21311022n n d S a n d n +⎛⎫-=-++< ⎪⎝⎭对满足1,2,3,9n =的任意n 都成立,则239911022d d ⎛⎫⋅-++< ⎪⎝⎭,解得827d <, 故d 的取值范围为80,27⎛⎫⎪⎝⎭..........................6分 (3)若{}n a 是P 数列,则12a S a aq =<=,因为0a >,所以1q >,又由1n n a S +>对一切正整数n 都成立,可知11n nq aq a q ->⋅-,即12nq q ⎛⎫-< ⎪⎝⎭对一切正整数n 都成立,由10nq ⎛⎫> ⎪⎝⎭,1lim 0nn q →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭,故20q -≤,可得2q ≥..........................3分若{}n b 中的每一项都在{}n c 中,则由这两数列是不同数列,可知12T T <; 若{}n c 中的每一项都在{}n b 中,同理可得12T T ;若{}n b 中至少有一项不在{}n c 中且{}n c 中至少有一项不在{}n b 中,设{}n b ',{}n c '是将{}n b ,{}n c 中的公共项去掉之和剩余项依次构成的数列,它们的所有项和分别为1T ',2T ',不妨设{}n b ',{}n c '中最大的项在{}n b '中,设为)2(m a m ≥, 则21211m m T a a a a T -≤+++<≤'',故21T T '<',故总有12T T ≠与12T T =矛盾,故假设错误,原命题正确...........................8分。

上海市2024届崇明区高考一模数学

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考生注意:1. 本试卷共4页,21道试题,满分150分,考试时间120分钟上海市2024届崇明区高考一模数学.2. 本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.3. 答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息.一、填空题(本大题共有12题,满分54分,其中1~6题每题4分,7~12题每题5分)1.不等式−<x 21的解是 .2.双曲线−=x y 4122的焦距是 .3.若复数=−++z m m 4(2)i 2(i 为虚数单位)是纯虚数,则实数m 的值为 . 4.已知等比数列a n }{首项=a 11,公比=q 2,则=S 5 .5.⎝⎭⎪+⎛⎫x x 225的展开式中x 2的系数为 .(用数字作答)6.已知圆锥的母线与底面所成角为︒45,高为1,则该圆锥的母线长为 . 7.在空间直角坐标系中,点−P (1,2,3)到xOy 平面的距离为 . 8.如图是小王同学在篮球赛中得分记录的茎叶图,则他平均每场得 分.9.已知事件A 与事件B 相互独立,如果=P A ()0.4,=P B ()0.7,则()P AB = .10.用易拉罐包装的饮料是超市和自动售卖机里的常见商品.如图,是某品牌的易拉罐包装的饮料.在满足容积要求的情况下,饮料生产商总希望包装材料的成本最低,也就是易拉罐本身的质量最小.某数学兴趣小组对此想法通过数学建模进行验证.为了建立数学模型,他们提出以下3个假设:(1)易拉罐容积相同;(2)易拉罐是一个上下封闭的空心圆柱体;(3)易拉罐的罐顶、罐体和罐底的厚度和材质都相同.你认为以此3个假设所建立的数学模型与实际情况相符吗?若相符,请在以下横线上填写“相符”;若不相符,请选择其中的一个假设给出你的修改意见,并将修改意见填入横线..101200403578(第8题图)11.已知不平行的两个向量,a b 满足1a =,3a b ⋅=.若对任意的R ∈t ,都有2b ta −≥成立,则b的最小值等于 .12.已知正实数a b c d ,,,满足−+=a ab 102,+=c d 122,则当−+−a c b d ()()22取得最小值时,=ab .二、选择题(本大题共有4题,满分18分,其中13~14题每题4分,15~16题每题5分)【每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得满分,否则一律得零分.】13.已知集合≤≤=−A x x 23}{,=>B x x 0}{,则AB =( )A .−2,3][B .0,3][C .+∞)0,(D .−+∞2,)[14.若>>x y 0,则下列不等式正确的是( )A .<x yB .<x y 22C .<x y11D .+x y215.已知点M 为正方体−D ABCD A B C 1111内部(不包含表面)的一点.给出下列两个命题:q 1:过点M 有且只有一个平面与AA 1和B C 11都平行;q 2:过点M 至少可以作两条直线与AA 1和B C 11所在的直线都相交.则以下说法正确的是A .命题q 1是真命题,命题q 2是假命题B .命题q 1是假命题,命题q 2是真命题C .命题q 1,q 2都是真命题D .命题q 1,q 2都是假命题16.若存在实数a b ,,对任意实数∈x [0,1],使得不等式≤≤−++x m ax b x m 33恒成立,则实数m 的取值范围是( )A .⎣⎭⎪⎪+∞⎫B .⎣⎭⎪⎪+∞⎫C .⎣⎭⎪⎪+∞⎫D .⎣⎭⎪⎪+∞⎫三、解答题(本大题共有5题,满分78分)【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.】17.(本题满分14分,本题共有2个小题,第(1)小题满分7分,第(2)小题满分7分)如图,四棱锥−P ABCD 中,⊥PA 平面ABCD ,∥AB CD ,===PA AB AD 2,=CD 1,∠=︒ADC 90,E 、F 分别为PB 、AB 的中点.(1)求证:∥CE 平面PAD ; (2)求点B 到平面PCF 的距离.18.(本题满分14分,本题共有2个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分8分)在△ABC 中,=a 5,=b 6.(1)若=−B 5cos 4,求A 和△ABC 外接圆半径R 的值;(2)若△ABC 的面积=S c 的值.19.(本题满分14分,本题共有3个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分8分)交通拥堵指数(TPI )是表征交通拥堵程度的客观指标,用TPI 表示,TPI 越大代表拥堵程度越高.某平台计算TPI 的公式为:间时程行通畅间时程行际实=TIP ,并按TPI 的大小将城市道路拥堵程度划分如下表所示的4个等级:某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TPI 的统计数据如下图:(1)从2022年元旦及前后共7天中任取1天,求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率; (2)从2023年元旦及前后共7天中任取3天,将这3天中交通高峰期城市道路TPI 比2022年同日TPI高的天数记为X ,求所有X 的可能值及其发生的概率.已知20.(本题满分18分,本题共有3个小题,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分8分)抛物线Γ=y x :412,Γ=y x :222,直线l 交抛物线Γ1于点A 、D ,交抛物线Γ2于点B 、C ,其中点A 、B 位于第一象限.(1)若点A 到抛物线Γ1焦点的距离为2,求点A 的坐标;(2)若点A 的坐标为(4,4),且线段AC 的中点在x 轴上,求原点O 到直线l 的距离; (3)若2AB CD =,求△AOD 与△BOC 的面积之比.21.(本题满分18分,本题共有3个小题,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分8分)已知且=+∈≠f x mx x m m ()sin (R 0).(1)若函数=y f x ()是实数集R 上的严格增函数,求实数m 的取值范围;(2)已知数列a n {}是等差数列(公差≠d 0),=b f a n n ().是否存在数列a n {}使得数列b n {}是等差数列?若存在,请写出一个满足条件的数列a n {},并证明此时的数列b n {}是等差数列;若不存在,请说明理由;(3)若=m 1,是否存在直线=+y kx b 满足:①对任意的R ∈x 都有≥+f x kx b ()成立,②存在R ∈x 0使得=+f x kx b ()00?若存在,请求出满足条件的直线方程;若不存在,请说明理由.一、填空题1. (1,3); 答案2. 3. 2; 4. 31; 5. 10;6.;7. 3; 8. 9; 9. 0.42; 10. 假设2中,易拉罐的顶部类似于圆台;假设3中,易拉罐的罐顶和罐底材质比罐体的材质厚; 11.12.+21. 二、选择题13. D ; 14. C ; 15. A ; 16. A . 三、解答题17. 解 (1)证明:取PA 中点G ,连接GE 、GD ,则GE AB //,=GE AB 21,由于CD AB //,=CD AB 21,所以GE CD //,=GE CD ,所以四边形CDGE 是平行四边形,所以CE GD //,......................................4分 由于CE 不在平面PAD 上,⊂DG 平面PAD ,所以CE //平面PAD ;.....................................................................................7分 (2)设点B 到平面PCF 的距离为h ,由题意,⊥CF AB ,又⊥PA 平面ABCD ,所以⊥CF PF 在△RT PAF中,=PF,所以△=⋅=S CF PF PFC 21分由=−−V V P BCF B PCF 得△△⋅=⋅S PA S h BCF PCF 3311所以=h B 到平面PCF分 18. 解 (1)因为=−B 5cos 4,∈πB 0,)(,所以==B 5sin 3...........2分 由正弦定理,得==A B R a b sin sin 2,即==A R 5sin 3256,....................................4分 所以=A 2sin 1,=R 5, 因为<a b ,所以⎝⎭⎪∈⎛⎫πA 20,,因此=πA 6,=R 5..................................................6分 (2)由△=S ab C ABC 2sin 1得△⨯===abC S ABC 564sin 422,....................2分于是==±C 4cos 3.....................4分 当=C 4cos 3时,由余弦定理,得=+−⨯⨯⨯=c 456256163222.....................6分当=−C 4cos 3时,由余弦定理,得⎝⎭⎪=+−⨯⨯⨯−=⎛⎫c 4562561063222.所以,=c 4或=c 分19. 解 (1)根据统计数据可得:2022年元旦及前后共7天中,共有2天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”;..................................3分设7天中任取1天,这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率为P , 则=P 72...............................................................6分 (2)根据统计数据可得:2023年元旦及前后共7天中,交通高峰期城市道路TPI 比2022年同日TPI 高的天数共有2天,故=X 0,1,2.....................2分====P X C 3570102C 7353)(;====⋅P X C 3571204C C 735221)(; ====⋅P X C 357251C C 735212)(...........................................................................................8分20. 解 (1)抛物线=y x 42的准线为=−x 1,因为点A 到抛物线Γ1焦点的距离为2,所以点A 到抛物线Γ1准线的距离为2, 所以点A 的横坐标为1,故点A 的坐标为(1,2).....................4分 (2)设C x y (,)00,则线段AC 的中点坐标为++x y 22(,)4400由题意,=+y 2040,故=−y 40,所以−C (8,4).....................2分 所以直线l 的方程为:+−=x y 2120.....................4分所以原点O 到直线l 的距离==d .....................6分 (3)由题意,直线l 的斜率k 显然存在且≠k 0,设直线l 的方程为=+y kx b 设A x y D x y B x y C x y (,),(,),(,),(,)11223344由2AB CD =,得−=−y y y y 2()3124①,.....................2分由⎩=+⎨=⎧y kx b y x 42,得:−+=y y b k 402,所以+=k y y 412,=k y y b 412同理,+=k y y 234,=ky y b 234.....................4分所以+=+y y y y 2()1234②,=y y y y 21234③由①,②得:=−y y 23,代入③得=−y y 214,代入②得=y y 3424所以△△−−−===−−−y y S y y y y S y y BOCAOD 3743102444341244...............................................................8分 21.解 (1)因为函数=y f x ()是实数集R 上的严格增函数,所以=+>f x m x '()cos 0对任意的∈x R 都成立.............................2分 因为函数=+y m x cos 的最小值为−m 1,所以>m 1.....................4分(2)=+b a ma n n n sin ,若b n }{是等差数列,则+=++b b b n n n 221对一切正整数n 成立, 即+++=+++++a ma a ma a ma n n n n n n sin sin 2sin 22211, 将+=++a a a n n n 221代入化简得+=++a a a n n n sin sin 2sin 21, 即−++=+++a d a d a n n n sin sin 2sin 111)()(,展开化简得⋅−=+a d n 2sin cos 101)(对一切正整数n 成立,所以=d cos 1, 故Z =≠∈πd k k k 20,)(;......................................................3分 注:这里只要给出合适的一个等差数列即可得分此时⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤=+=+−++−ππb a ma a n k m a n k n n n sin sin 121211)()(=−++πm n k ma a 12sin 11)(,所以−=+πb b m k n n 21为常数,故b n }{是等差数列......................................................................6分(3)令=+−+=−+−g x x x kx b k x x b ()(sin )()(1)sin 则当∈m Z 时,−−+=−+ππk kg m k m b b11(2)2(1)sin >k 1时,存在∈m Z 使得−+<πkg m b1(2)0, 即存在∈x R 使得<+f x kx b (),与题意不符同理,<k 1时,存在∈x R 使得<+f x kx b (),与题意不符.......................4分=k 1时,=−g x x b ()sin当>−b 1时,显然存在存在∈x R 使得<g x ()0,即存在存在∈x R 使得<+f x kx b () 当<−b 1时,对任意的∈x R 都有>g x ()0,..................................6分 当=b 1时,存在=−πx 20,使得+f x kx b ()=00,且对任意的∈x R 都有≥g x ()0,即对任意的∈x R 都有≥+f x kx b ()综上,存在直线=+y kx b 满足题意,直线方程为=−y x 1..................................8分。

2020年上海崇明县崇西中学 高三数学理模拟试卷含解析

2020年上海崇明县崇西中学 高三数学理模拟试卷含解析

2020年上海崇明县崇西中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。

在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 将多项式分解因式得,m为常数,若,则()A.-2B.-1C.1D.2参考答案:D因为的通项公式为,=x+(-2)=(5m-2),=5m-2,又,5m-2=-7,m=-1,=2,故选D.2. 对于定义在正整数集且在正整数集上取值的函数f(x)满足f(1)≠1,且对?n∈N*,有f(n)+f(n+1)+f(f(n))=3n+1,则f(2015)=()A. 2014 B. 2015 C. 2016 D. 2017参考答案:C考点:抽象函数及其应用.专题:计算题;函数的性质及应用.分析:由于f(1)≠1,则f(1)=2,或f(1)≥3,若f(1)≥3,则令n=1,即有f (1)+f(2)+f(f(1))=4,即为f(2)+f(f(1))≤1这与f(x)≥1矛盾.故有f(1)=2,分别令n=1,2,3,4,…,求得几个特殊的函数值,归纳得到当n为奇数时,f(n)=n+1,当n为偶数时,f(n)=n﹣1.检验成立,即可得到f(2015).解:由于f(1)≠1,则f(1)=2,或f(1)≥3,若f(1)≥3,则令n=1,即有f(1)+f(2)+f(f(1))=4,即为f(2)+f(f(1))≤1这与f(x)≥1矛盾.故有f(1)=2,由f(1)+f(2)+f(f(1))=4,即2+f(2)+f(2)=4,解得f(2)=1,再由f(2)+f(3)+f(f(2))=7,解得f(3)=4,再由f(3)+f(4)+f(f(3))=10,解得f(4)=3,再由f(4)+f(5)+f(f(4))=13,解得f(5)=6,再由f(5)+f(6)+f(f(5))=16,解得f(6)=5,…归纳可得,当n为奇数时,f(n)=n+1,当n为偶数时,f(n)=n﹣1.经检验,当n为奇数时,f(n)+f(n+1)+f(f(n))=n+1+n+f(n+1)=2n+1+n=3n+1成立;同样n为偶数时,仍然成立.则f(2015)=2016.故选:C.点评:本题考查抽象函数的运用,主要考查赋值法的运用,通过几个特殊,计算得到结果再推出一般结论,再验证,是解本题的常用方法.3. 如图,是定义在[0,1]上的四个函数,其中满足性质“,且,恒成立”的为()A. B.C. D.参考答案:A【分析】设,根据恒成立可得与点的位置关系,从而可得正确的选项.【详解】设,则,表示线段上的点(除端点外),因为恒成立,所以点始终在下方,所以函数的图像是下凸的,故选A.【点睛】在坐标平面中,对于上的可导函数,若,时,总有成立,则函数的图像是向下凸的(即函数的导数是增函数).4. 已知变量满足约束条件,则的最大值为(A)(B)(C)(D)参考答案:B5. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等,如图是源于其思想的一个程序框图,若输入的a,b分别为5,2,则输出的n等于()A.2 B.3 C.4 D.5参考答案:C【考点】程序框图.【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.【解答】解:当n=1时,a=,b=4,满足进行循环的条件,当n=2时,a=,b=8满足进行循环的条件,当n=3时,a=,b=16满足进行循环的条件,当n=4时,a=,b=32不满足进行循环的条件,故输出的n值为4,故选C.【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环的方法解答.6. 已知命题,命题,则下列命题中为真命题的是A. B. C. D.B7. 若空间三条直线a、b、c满足,则直线()A.一定平行 B.一定相交C.一定是异面直线 D.一定垂直参考答案:D8.从3名男生和3名女生中,选出3名分别担任语文、数学、英语的课代表,要求至少有1名女生,则选派方案共有()A. 19种B. 54种C. 114种D. 120种参考答案:答案: C9. 为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图),已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3,第1小组的频数为6,则报考飞行员的学生人数是()A.36 B.40 C.48 D.50C【考点】频率分布直方图.【分析】设报考飞行员的人数为n,根据前3个小组的频率之比为1:2:3设出频率,再根据所有频率和为1,解之即可求出第一组频率,根据第1小组的频数为6,即可求得结论.【解答】解:设报考飞行员的人数为n,根据前3个小组的频率之比为1:2:3,可设前三小组的频率分别为x,2x,3x;由题意可知所求频率和为1,即x+2x+3x+(0.037+0.013)×5=1解得x=0.125则0.125=,解得n=48故选C.10. 椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点,今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点A、B是它的焦点,长轴长为2a,焦距为2c,静放在点A的小球(小球的半径不计),从点A 沿直线出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点A时,小球经过的路程是A.4a B. C.D.以上答案均有可能参考答案:D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某校为了解高中学生的阅读情况,拟采取分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本进行调查,已知该校有高一学生600人,高二学生400人,高三学生200人,则应从高一学生抽取的人数为.参考答案:30【考点】B3:分层抽样方法.【分析】利用分层抽样的方法直接求解.【解答】解:采取分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本进行调查,已知该校有高一学生600人,高二学生400人,高三学生200人,则应从高一学生抽取的人数为: =30.故答案为:30.12. 已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b切于点(1,3),则a,b的值分别为.参考答案:﹣1和3【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.【专题】计算题;导数的概念及应用.【分析】因为(1,3)是直线与曲线的交点,所以把(1,3)代入直线方程即可求出斜率k的值,然后利用求导法则求出曲线方程的导函数,把切点的横坐标x=1代入导函数中得到切线的斜率,让斜率等于k列出关于a的方程,求出方程的解得到a的值,然后把切点坐标和a的值代入曲线方程,即可求出b的值.解:把(1,3)代入直线y=kx+1中,得到k=2,求导得:y′=3x2+a,所以y′|x=1=3+a=2,解得a=﹣1,把(1,3)及a=﹣1代入曲线方程得:1﹣1+b=3,则b的值为3.故答案为:﹣1和3.【点评】此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,是一道基础题.13. 满足约束条件,则的最大值是____________参考答案:3略14. 已知菱形的一条对角线长为2,点为上一点且满足,点为的中点,若,则.参考答案:-715. 已知抛物线的参数方程为(t为参数),焦点为F,准线为,过抛物线上一点P作于E,若直线EF的倾斜角为,则____________.参考答案:略16. “2012”含有数字0,1,2,且有两个数字2,则含有数字0,1,2,且有两个相同数字的四位数的个数为 ________.参考答案:2417. 根据如图所示的伪代码,可知输出的结果S为.参考答案:205【考点】E5:顺序结构.【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是输出满足条件i=2n+1,n∈N,i=i+2≥100时,S=2i+3的值【解答】解:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是输出满足条件i=2n+1,n∈N,i=i+2≥100时,S=2i+3的值,∵i+2=101时,满足条件,∴输出的S值为S=2×101+3=205.故答案为:205.三、解答题:本大题共5小题,共72分。

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记 dn max an , bn , cn ( maxx, y, z 表示 3 个实数 x, y, z 中的最大值).
(1)若 a1 1,b1 2, c1 4 ,求 a4 , b4 , c4 的值; (2)若 a1 1,b1 2 ,求满足 d2 d3 的 c1 的所有值;
(3)设 a1,b1, c1 是非零整数,且 a1 , b1 , c1 互不相等,证明:存在正整数 k,使得数列an,bn,cn 中有且
18. 已知函数 f x 3 sin 2x cos2 x 1 .
2
2
(1)求函数 f x 的最大值,并写出取得最大值时的自变量 x 的集合;
(2)设 ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b, c ,且 c 3, f C 0 ,若 sin B 2sin A ,求 a,b 的值.
20. 已知椭圆 : x2 y2 1 ,其左右顶点分别为 A,B,上下顶点分别为 C,D,圆 O 是以线段 AB 为直径的圆. 4
(1)求圆 O 的方程;
(2)若点 E,F 是椭圆上关于 y 轴对称的两个不同的点,直线 CE,DF 分别交 x 轴于点 M、N,求证:OM ON
为定值;
(3)若点
5. 函数 f x x 1 的反函数是____________
6.
计算:
lim
n
3n1 2n 3n 2n1
____________
7.
二项式
x
2 x
6
的展开式中常数项的值等于____________
8. 若双曲线的一个顶点坐标为(3,0),焦距为 10,则它的标准方程是____________
80 9

20、(1) x2
y2
4 ;(2) OM ON
m2 n2 1
m2 m2
4 ;(3)不存在
4
21、(1)
a4
0 ; b4
1; c4
1;(2) t
1
2,
3 2
3 2
, 2
第5页
第2页
19. 某辆汽车以 x 公里/小时速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求 60 x 120 )时,
每小时的油耗(所需要的汽油量)为
1 5
x
100
4500 x
升.
(1)欲使每小时的油耗不超过 9 升,求 x 的取值范围;
(2)求该汽车行驶 100 公里的油耗 y 关于汽车行驶速度 x 的函数,并求 y 的最小值.
9. 已知 a,b R ,若直线 x 2 y 3 0 与直线 a 1 x by 2 互相垂直,则 ab 的最大值等于____________
10. 已知函数 f x 是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数,当 0 x 1时, f x x3 ax 1,则实数 a 的值等
于____________
崇明区 2020 届第一次高考模拟考试试卷 数学
一、填空题
1. 已知集合 A 0,1, 2,3 , B x | 0 x 2 ,则 A B ____________
2. 不等式 x 2 1 的解集是____________ 3. 半径为 1 的球的表面积是____________
4. 已知等差数列 an 的首项为 1,公差为 2,则该数列的前 n 项和 Sn ____________
6
5
18、(1) f xmax 0 , x
x x k ,k Z 3
,(2) a 1, b 2
10、2
19、(1) x 60,100 ;
(2)
y
100 x
1 5
x
100
4500 x
20 1
100 x
4500 x2
20
4500
1 x
1 90
2
4 9

x
90 时,
ymin
交于点
N,P
为平面上一点,满足
2OP
OB
1
OC
,则
PM
PN
的最小值为____________
二、选择题
13. 若 a 0 b ,则下列不等式恒成立的是(
A. 1 1 ab
B. a b
) C. a3 b3
D. a2 b2
14. 已知 z C ,“ z z 0 ”是“z 为纯虚数”的( )
11. 某组委会要从五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中甲不能
从事翻译工作,乙不能从事导游工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有Leabharlann ____________种
12. 正方形 ABCD 的边长为 4,O 是正方形 ABCD 的中心,过中心 O 的直线 l 与边 AB 交于点 M,与边 CD
A. 充分非必要条件 C. 充要条件
B. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件
15. 如图,在底面半径和高均为 2 的圆锥中,AB、CD 是底面圆 O 的两条互相垂直的直径,
E 是母线 PB 的中点,已知过 CD 与 E 的平面与圆锥侧面的交线是以 E 为顶点的抛物线 的一部分,则该抛物线的焦点到圆锥顶点 P 的距离等于( )
第1页
A. 1
B. 1
2
C. 10 4
D. 5 2
16.
若不等式
xa
b
sin
x
6
0

x
1,1
恒成立,则
a
b
的值等于(

A. 2
B. 5
C. 1
D. 2
3
6
三、解答题
17. 在直三棱柱 ABC A1B1C1 中,∠ABC=90°,AB=BC=1, BB1 2 . (1)求异面直线 B1C1 与 A1C 所成角的大小; (2)求点 B1 与平面 A1BC 的距离.
P
是椭圆
上不同于点
A
的点,直线
AP
与圆
O
的另一个交点为
Q,是否存在点
P,使得
AP
1
PQ
?
3
若存在,求出点 P 的坐标,若不存在,说明理由.
第3页
21. 已知无穷数列 an,bn,cn 满足:对任意的 n N * ,都有 an1 bn cn ,bn1 cn an , cn1 an bn ,
只有一个数列自第 k 项起各项均为 0.
第4页
参考答案
1、1, 2
2、1, 3
3、4
4、n2
5、f 1 x x2 1,( x 0, )
6、3
7、160
11、78 13-16、CBDB
12、 7
8、 x2 y2 1或 y2 x2 1
1
9、
9 16
16 9
8
17、(1) arccos 6 ;(2) 2 5
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