分形是一个新的概念

浅谈分形
摘要：
分形某些概念，最早可追述到一百多年前，接着又有不少科学家提出分形的图
例和理论，但是那时由于受传统理论的约束，不仅没有得到应有的发展，而且被一
些科学家视为“异类”，是不合常理的，是不能接受的。

涉及分形理论的典型代表有
1860年，瑞士一个数学家塞莱里埃(C.Cellerer)提出“连续函数必定可微”是错误
的，并给出反例。

1883年，德国数学家康托(G.Cantor)构造的康托三分集。

1890 年
意大利数学家皮亚诺(G.Peano)构造的平面曲线，它是一种充满空间的曲线，称为皮
亚诺曲线。

1904年，瑞典数学家柯赫(H.von Koch)构造出柯赫雪花曲线。

1910年，
德国数学家豪斯道夫(F.Hausdorff)开始了奇异集合性质与量的研究，提出分数维概
念等。

1919 年，豪斯道夫(F.Hausdorff)给出维数的新定义，为维数的非整数化提供了理论基础。

曼德尔布罗特于1967 年在科学杂志上发表了一篇具有启发性的文章：“英国
的海岸线有多长？”，引起了世人的关注。

1975 年曼德尔布罗特用法文出版了第一
部分形著作《分形对象：形、机遇和维数》，由描述碎石的拉丁文fractus，创造出分形（fractal）一词，创立了分形几何学(fractalgeometry)。

在此基础上,形成了研究分形性质及其应用的科学,称为分形理论(fractaltheory)。

分形是一个新的概念，不同的专家有不同的定义方法。

当然，不同的说法所描述的还是同一件事物，只是强调其不同的侧面，不同的属性而已。

从直观上来看，所谓分形是指一些无法用常规的、传统的几何方法描述的图形。

例如天空的云彩、曲折的江河和海岸线、树叶、山峰等。

它们不同于正方形、圆、直线等规则的几何图形，表现出某种混乱和不规则。

通常的度量概念，如长度、面积等，对它们来说，不仅很难计算，而且有时根本是无法计算的。

例如，曾有科学家提出了这样一个似乎荒谬的命题：“英国的海岸线的长度是无穷大。

”他的论证思路是这样的：海岸线是破碎曲折的，我们测量时总是以一定的尺度去量得某个近似值，例如，每隔100米立一个标杆。

这样，我们测得的是一个近似值，是沿着一条折线计算而得出的近似值，这条折线中的每一段是一条长为100米的直线线段。

如果改为每10米立一个标杆，那么实际量出的是另一条折线的长度，它的每一个片段长10米。

显然，后一次量出的长度将大于前一次量出的长度。

(注意，这种测量结果与尺度有关的现象，对于通常的直线线段，正方形，圆和椭圆都是没有的。

)如果我们不断缩小尺度，所量出的长度将会越来越大。

这样一来，海岸线的长度不就成为无穷大了吗?这个例子直观地显示出了分形与我们习惯的几何图形的区别。

几千年来，人们的视野局限于所谓“常规”的几何图形上，而忽视了这些“非常规”的、“不规则”的图形。

然而，本世纪中叶以来，人们发现，在这些“非常规”的、“不规则”的图形中蕴藏着丰富的、有趣的规律和性质。

从理论上说，分形可以定义为“非整数维数的点集”。

当然，要理解这个概念，必须先推广维数的概念。

一般来说，维数都是整数，直线线段是一维的图形，正方形是二维的图形等等。

那么，如上所说的海岸线是几维的呢?如果不确切地描述一下，那就可以说，由于海岸线的曲折和不规则，作为一个点集，它所包含的点比直线线段上的点要更“多”一些，当然，它并没有铺满平面，所以它比平面(例如一个正方形或圆)上的点要“少”一些。

如果从点的“多少”来理解维数的话，那么海岸线的维数应当是大于1而小于2的一个数，即具有非整数的维数，所以海岸线是一个分形图案(近期的研究表明，海岸线的维数大约是1.2)。

在下一节
里，我们会看到几个典型的分形图案，并进一步体会分形的含义。

当然，确切的、非整数维数的定义需要专门的、建立在集合论和数理逻辑基础之上的讨论，这里无法详细叙述。

有兴趣的读者可以参看本文后面所介绍的有关文献，例如文献［1］。

另一方面，我们可以从分形图案的特点去理解它。

分形图案有一系列有趣的特点，如自相似性、对某些变换的不变性、内部结构的无限性等。

所谓自相似性是指分形图案往往和它自身的一部分相似，换句话说，把它的一部分按一定的尺度放大，就又会得到它自身(可能是确切地，也可能是近似地)。

内部结构的复杂与精细也是分形图案的共同特点。

此外，分形图案往往和一定的几何变换相联系，在这些变化下，图案保持不变，从任意的初始状态出发，经过若干次的这种变换，图形将固定在这个特定的分形图案上，而不再发生变化。

这些特征，我们可以从后面的几个例子中体会。

有人认为分形只是一种纯理论研究的对象，似乎和实际应用距离很远。

这是一种误解。

事实上，近10年来，分形已经在许多领域中得到了非常有效的实际应用。

应用范围之广、效益之明显远远超过了十几年前的任何预测。

分形技术在数据压缩中的应用就是一个非常典型的例子。

美国数学会的会刊在1996年6月号上发表了巴斯利的文章：“利用分形进行图形压缩”［5］，他介绍了把分形用于光盘制作中，实现图形压缩的成功实践。

一般来说，我们总是把一个图形作为像素的集合来加以存储和处理。

一张最普通的图片也常常涉及几十万以至上百万个像素，从而占据大量的存储空间，传输速度也大大受到限制。

巴斯利运用了分形中的一个重要思想—分形图案是与某种变换相联系的，可以把图案看作某种变换反复迭代的产物，这样就开辟了这样的可能性。

需要存储的是有关这些变换过程的信息，而不是存储静止的图形的像素信息。

只要抓住了变换过程，图形就可以准确地再现出来，而不必去存储大量的像素信息。

在实际的应用中，已经达到了压缩存储空间八倍以至更多的效果。

有兴趣的读者可以详细阅读巴斯利的文章。

类似地，在本文所列的参考书刊中，已经报导了大量的应用案例。

这些案例涉及的领域包括：生命过程分进化过程的研究，生态系统的研究，在编码和解码中的应用，在数论研究中的应用，在动力系统研究中的应用，在理论物理(如流体力学和湍流)研究中的应用，在人工生命、元胞自动机和遗传算法方面的应用，在神经生理学方面的应用，在城市规则方面的应用，在断裂力学方面的应用，在地震预报方面的应用，在晶体生长规律方面的应用，等等。

目前关于分形的书籍、文章正在以非常快的速度增长，已有专门的网站介绍这方面的进展。

如果说，十几年前，分形还只是一种有趣的新生事物的萌芽的话，那么今天它已经成为一个令人瞩目的前沿学科。

在大量实际应用的同时，分形给科学思想带来的启发，也是十分值得注意的。

由于分形的研究，人们对于随机性和确定性的辩证关系有了进一步的理解。

同样对于过程和状态的联系，对于宏观和微观的联系，对于层次之间的转化，对于无限性的丰富多采，也都产生了有益的影响，提供了启发。

在这方面的影响也是非常深远，非常重要的。

总之，对于从事计算机技术研究的人来说，分形是一个值得注意的前沿学科，有必要了解它的思想与方法。

这对于计算机科学与技术的进步和发展，无疑将是十分有益的。

[1] 肯尼思·法尔科内.分形几何-教学基础及其应用.曾文曲等译.长春：东北大学出版社，1991
[2] 胡瑞安等.分形的计算机图像及其应用.北京：中国铁道出版社，1995
[3] 齐东旭.分形及其计算机生成.北京：科学出版社，1994
[4] h.peitgen等.fractalsfortheclassroom.spring-verleg，1991
[5］m.barnsley“fractal image compression”，notices of ams，vol，43，no.6.p657-662.1996.6 [6］林鸿兹等编著.分形性-奇导性探索.北京：理工大学出版社，1992。