平稳随机过程的概念
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Ch12-平稳随机过程
例 2 . 随机相位正弦波 X t aCos t ， RV : f
1 2
， 0 2
试讨论平稳性
sol . X t 0 E X t X t E a a a
2
a R X t1 , t 2 Cos R X 2 随机相位正弦波为(宽 )平稳 sp
p p
T T
U x X t dt P X t x F1 x — — 分 布 函 数 各 态 历 经
p
(4).(1) 和 (2) — — 平 稳 过 程 各 态 历 经
例1 讨论随机相位正弦波的平稳性和各态历经性
1 随机相位正弦波 X t aCos t ， RV : f ， 0, 2 2 sol. 1: 平稳性
Fn x1 ,..., x n ; t1 ,..., t n Fn x1 ,..., x n ; t1 ,..., t n
2.严平稳过程的分布与数 字特征 1：一维分布 ，F1 x; t1 F1 x; t1 , f1 x; t1 f1 x;0 f1 x — —与 t 无关 则均值： EX t1 x1 f1 x1; t dx1 x1 f1 x dx1 X
( ) I e I 2 e 2 k 0关 ， 故 若 τ<0 时 ， 只 需 令 t ’=t+ τ，则有 E[X(t)X(t+τ)] =E[X(t`)X(t`+ τ )]= I2 e-2λ∣τ∣
图12-2
故这一过程的自相关函数为 E[X(t)X(t+τ)]= I2e-2λ∣τ∣ 它只与τ有关。因此随机电报信号X(t)是 一平稳过程。其图形如上图所示
平稳随机过程
பைடு நூலகம்
e
2
只与 有关.
{X (t ), t 0}是平稳过程.
例4 设{Y(t),t≥0}是正态过程.且 a mY (t ) t, CY (t, t ) e , 其中，，a 0,
令 X (t ) Y (t b) Y (t ), t 0, 其中b 0, 试证明 {X (t ), t 0}是一严平稳过程.
试讨论{X(t),t≥0}的平稳性.
mX (t ) 0 常数.
RX (t, t ) E[ X (t ) X (t )]
P( X (t ) X (t ) 1) P( X (t ) X (t ) 1)
P( X (t ) X (t ) 1) P( X (t ) X (t ) 1)
n
由于 mX (tk ) mX mX (tk )
RX (tk , tl ) RX (tl tk ) RX (tk , tl ) k , l 1, 2,, n
(t1 , t2 ,, tn ; u1, u2 ,, un )
例1 设S(t)是周期为T的可积函数.令X(t)=S(t+Θ) t∈(-∞,+ ∞), Θ～U[0,T].称{X(t), -∞<t<+ ∞} 为随机相位周期过程,试讨论它的平稳性.
mX (t ) E[X(t)]
T 0
1 t T s( )d 为常数 T t
1 T R（t , t ) s(t )s(t )d X T 0 1 t T s( )s( )d 只与 有关系. T t 它是平稳过程
由于mX (t ) E[ X (t )] E[W (t a) W (t )] 0, t 0
e
2
只与 有关.
{X (t ), t 0}是平稳过程.
例4 设{Y(t),t≥0}是正态过程.且 a mY (t ) t, CY (t, t ) e , 其中，，a 0,
令 X (t ) Y (t b) Y (t ), t 0, 其中b 0, 试证明 {X (t ), t 0}是一严平稳过程.
试讨论{X(t),t≥0}的平稳性.
mX (t ) 0 常数.
RX (t, t ) E[ X (t ) X (t )]
P( X (t ) X (t ) 1) P( X (t ) X (t ) 1)
P( X (t ) X (t ) 1) P( X (t ) X (t ) 1)
n
由于 mX (tk ) mX mX (tk )
RX (tk , tl ) RX (tl tk ) RX (tk , tl ) k , l 1, 2,, n
(t1 , t2 ,, tn ; u1, u2 ,, un )
例1 设S(t)是周期为T的可积函数.令X(t)=S(t+Θ) t∈(-∞,+ ∞), Θ～U[0,T].称{X(t), -∞<t<+ ∞} 为随机相位周期过程,试讨论它的平稳性.
mX (t ) E[X(t)]
T 0
1 t T s( )d 为常数 T t
1 T R（t , t ) s(t )s(t )d X T 0 1 t T s( )s( )d 只与 有关系. T t 它是平稳过程
由于mX (t ) E[ X (t )] E[W (t a) W (t )] 0, t 0
平稳随机过程的概念
平稳随机过程的概念引言在随机过程中，平稳随机过程是一个非常重要的概念。
它是随机过程中的一种特殊情况，具有统计性质保持不变的特点。
本文将对平稳随机过程的概念进行全面、详细、完整且深入地探讨。
什么是随机过程？随机过程是一种随时间变化的随机现象。
它可以用数学模型来描述，在数学上通常用随机函数的集合来表示。
随机过程通常包括一个样本空间、一个时间索引集和一组定义在样本空间上的随机变量。
平稳随机过程的定义平稳随机过程是指在统计平均意义下不随时间变化的随机过程。
也就是说，对于平稳随机过程的任意时刻，其统计性质都保持不变。
具体而言，平稳随机过程要求满足以下两个条件：1.均值稳定性：随机过程的均值在时间上保持不变。
2.自相关性稳定性：随机过程的自相关函数在时间上保持不变。
平稳随机过程的类型根据时间独立性和样本独立性的条件，平稳随机过程可以分为以下几种类型：宽平稳随机过程宽平稳随机过程是指在任意时间点上，随机过程的统计性质都保持不变，并且在不同时刻的随机变量之间是独立的。
宽平稳随机过程是最理想的平稳随机过程，但在实际中很难满足宽平稳的条件。
严平稳随机过程严平稳随机过程是指在任意时间点上，随机过程的统计性质都保持不变，但随机变量之间不一定是独立的。
严平稳随机过程是宽平稳随机过程的一种特殊情况。
近似平稳随机过程近似平稳随机过程是指在短时间尺度上，随机过程的统计性质是平稳的，但在长时间尺度上可能出现变化。
近似平稳随机过程在实际中比较常见。
平稳随机过程的性质平稳随机过程具有一些独特的性质，下面是其中一些重要的性质：平均值稳定性平稳随机过程的均值不随时间变化，这意味着随机过程的平均水平保持不变。
自相关性稳定性平稳随机过程的自相关函数不随时间变化，这意味着随机过程的相关性保持不变。
谱密度稳定性平稳随机过程的谱密度函数不随时间变化，这意味着随机过程的频谱特性保持不变。
时不变性平稳随机过程在时间上是不变的，这意味着随机过程的统计性质与时间无关。
平稳随机过程的概念
严平稳的.
例2 设s(t)是一周期为T的函数,是在(0,t)上服 从均匀分布的随机变量,称X (t) s(t )为随机
相位周期过程. 试讨论它的平稳性.
解 的概率密度为
f
(
)
1/T , 0
0, 其他.
T,
X(t) 的均值函数为
E[X (t)] E[s(t )]
T
s( t
) 1 d
定义1 给定二阶矩过程{ X (t), t T },如果对任意
t,t T : E[ X (t)] X (常数)
E[ X (t)X (t )] RX ( )
则称{ X (t), t T }为宽平稳过程,或广义平稳过程. 说明
(1) 严平稳过程只要二阶矩存在, 则它必定也 是宽平稳的. 反之不成立.ຫໍສະໝຸດ 2aea2 2 2
da
2
2
0
故 E[Acos(t )] EA E[cos(t )]
所以随机相位周期过程是平稳的. 特别, 随机相位 正弦波是平稳的.
例3 考虑随机电报信号 x(t) I
o
信号X (t )由只 取 I或 I
t 的电流给出.
I 这里 P{ X (t) I } P{ X (t) I } 1/ 2 而正负号在区间(t,t )内变化的次数N (t,t ) 是随机的, 假设N (t,t )服从泊松分布.
结果与t 无关
k0
I 2e
( )k
k0
I 2e2
.
k0 k!
而 0时,令t t , 则自相关函数: E[ X (t )X (t )] I 2e2 只与有关
所以随机电报信号 X (t) 是一平稳过程.
其图形为:
RX ( )
平稳随机过程
平稳随机过程⏹严格平稳随机过程⏹广义平稳随机过程⏹平稳随机过程自相关函数性质⏹各态历经过程1. 严格平稳（Strict Sense Stationary, SSS)随机过程定义: 随机过程X (t )的任意N 维统计特性与时间起点无关。
1111(,,,,,)(,,,,,)X N N X N N p x x t t t t p x x t t +∆+∆=如果X (t ) 是严格平稳的,则与t 无关。
(,)()X X p x t p x =即X(t)与X(t+∆t)具有相同的统计特性。
二维概率密度只依赖于τ，与t 1和t 2的具体取值无关。
12121212121221212(,,,)(,,,)(,,,0)(,,)X X X X p x x t t p x x t t t t p x x t t t t p x x t t =+∆+∆=-∆=-=ττ=-如果X (t )是严格平稳随机过程, 则121212121212(,)(,,,)()X X X R t t x x p x x t t dx dx R t t ∞-∞==ττ=-⎰()()X X Xm t xp x dx m ∞-∞==⎰222()()()XX X Xt x m p x dx ∞-∞σ=-=σ⎰100200300400500-4-3-2-101234Stationay Gaussian Noise0100200300400500-4-3-2-101234Non-stationay Gaussian Noise可以证明：独立同分布(IID)的随机序列是严格平稳的。
IID: Independent and Identical Distribution即对于任意的n ，X [n ]具有相同的一维概率密度，且对任意n 1和n 2(n 1≠n 2 ), X [n 1]和X [n 2]相互独立。
121111(,,...,,,...,)(,)(,)()NX N N X i i i NX i i i NX i i p x x x n n n n p x n n p x n p x ===+∆+∆=+∆==∏∏∏利用同分布利用独立性与n 无关例1：随机幅度信号0()cos X t Y t=ω0ω是常数~(0,1)Y N 判断X (t )是否严平稳。
平稳随机过程
相关时间：
0 rX ( )d
0
rX ( )
1
rX ( 0 ) 0.05
0
0
相关时间示意图
2.3 平稳随机过程
4 2 0 -2 -4
10 5 0 -5 -10
0
50
100
0
50数
0 100
相关时间越长，反映随机过程前后取值之间的依 赖性越强，变化越缓慢，相关时间越小，反映随 机过程前后取值之间的依赖性越弱，变化越缓慢
2 mX RX 2 () 100 2
2 2 X RX (0) mX 200
E[ X 2 (t )] RX (0) 300
2.3 平稳随机过程
3 相关系数及相关时间 也称为归一化协 方差函数或标准 协方差函数。
相关系数：
rX ( )
K X ( )
2 X
2 RX ( ) mX 2 X
for Nk k=2 称为二阶严平稳,如果对N=k成立,那么对N<k也成立. (2) 渐近严平稳 当c时,X(t+c)的任意n维分布与c无关,即
lim f X ( x1 , x2 , , xN , t1 c, t2 c, , t N c)
c
存在,且与c无关.
(3) 循环平稳 如果X(t)的分布函数满足如下关系
2.3 平稳随机过程
1 平稳随机过程的定义 严格 平稳 随机 过程 如果随机过程的任意n维分布不随时间起 点变化，即当时间平移时，其任意的n维 概率密度不变，则称是严格平稳的随机过 程或称为狭义平稳随机过程。
f X ( x1 ,, xn , t1 t ,, t n t ) f X ( x1 ,, xn , t1 ,, t n )
随机过程平稳过程第六
• 宽平稳过程 • 严平稳过程 二阶矩存在 • 严平稳过程
正态过程
严平稳过程 宽平稳过程 宽平稳过程
4.严平稳与宽平稳的关系 严平稳过程不一定是宽 平稳的，因为严平稳 定义只涉及有限维分布 ，而并不要求一、二阶 矩 存在，但对二阶矩过程 ，严平稳必是宽平稳。 反过来，宽平稳也不一 定是严平稳，因为宽 平稳只要求均值函数与 t无关，导不出一维分布 与 t无关，又相关函数 Rt , t 与t无关，导不出二维 分布F x1 , x2 ; t , t 与t无关。 但对于正态平稳过程是 个例外，由于正态过程 的概率密度是由均值和 相关函数完全确定，另 外正 态过程的二阶矩总是存 在的。
x(t) 1 o -1
t
9
平稳过程的概念与例
且V与X(t)独立,令Y(t)=VX(t),试讨论随机过程Y(t)的 平稳性. 解: (1) 由于随机点N(t)是具有参数λ的泊松过程,故在 [0,t]内随机点出现k次的概率 k ( t ) P (t)=e-λt ,k=0,10(t)+P2(t)+P4(t)+…
6.1
平稳随机过程的概念
• 例6.1 设X(t)=Ycos(t)+Zsin(t), t>0，且 Y, Z相互独立，EY=EZ=0，DY=DZ=2， 试讨论随机过程{X(t), t>0}的平稳性。
解 m X (t ) EX (t ) E[Y cos(t ) Z sin(t )] cos(t ) EY sin(t ) EZ 0 RX ( s, t ) E[ X ( s) X (t )]
所以{X(t)，t T }为宽平稳过程。
6.1
平稳随机过程的概念
• 例6.2 设{Xn,n=0, 1, 2,}是实的互不 相关随机变量序列，且E[Xn]=0，D[Xn] =2 ，试讨论随机序列的平稳性。
随机数学 第9讲 第六章平稳过程(1)
2 C X (τ ) = COV [ X (t ), X (t − τ )] = RX (τ ) − mX
2 C X (0) = DX ( t ) = RX (0) − mX .
则称 { X ( t ), t ∈ T }为宽平稳过程 , 或广义平稳过程 . 以下讨论中，若没有特别说明，平稳即指宽平稳。
第六章 平稳过程随机过程 6.1 平稳过程概念 平稳过程是指过程的统计特性不随时间的推移而变 化的随机过程。 一般，为了便于研究，我们只考虑随机过程的数字 特征特性的平稳性，即有如下宽平稳过程的 定义：
注1 平稳过程数字特征的特点
(1) 平稳过程的所有样本曲 线都在水平直线
x(t ) = mX 上下波动 , 平均偏离度为 σ X .
平稳过程X(t) 的“平均功率”
此式表明:
自相关 (自协方差 )函数都在 τ = 0处取到最大值 .
RX (0) ≥ 0.
RX (−τ ) = RX (τ ) ,
2 证明： RX (0) = E[ X (t ) X (t )] = E X (t ) 2 = Ψ X ≥ 0.
e − λt ( λt ) , k = 0,1, 2, k!
k
若随机点在[0,t]内出现偶数次 ，则
若随机点在[0,t]内出现奇数次 ，则 X ( t ) = −1; （1）计算 mX ( t ) , C X ( t1 , t2 )
⎛ ( λt )0 ( λt )2 ( λt )4 ⎞ = e − λt ⎜ + + + ⎟ ⎜ 0! ⎟ 2! 4! ⎝ ⎠ λt − λt −2 λ t ⎞ 1+ e − λt ⎛ e + e ［0,t]内随机 = e ⎜ ⎟ = 2 2 ⎝ ⎠ 点出现奇数次
随机过程第六章
2 X
mx2
若随机过程X(t)平稳，则其均值、均方值和方差均为常数。
对于严平稳随机过程X(t)的二维分布F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;t1+ ε,t2+ ε)， 若令ε=-t1，则
F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;0,t2-t1)，令t2-t1= τ ，则 F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2; τ)
1.
l.i.mcn
lim
n
cn
c
2. l.i.mU U
3. l.i.m(cnU ) cU
4. l.i.m(aX n bYn ) aX bY
5.
lim
n
E[
X
n
]
E[ X
]
E[l.i.mXn
]
6.
lim
n,m
E[
X
nYm
]
E[
XY
]
E[(l.i.mX
n
)(l.i.mYm
)]
定理6.2
设{Xn}为二阶矩随机序列，则{Xn}均方收敛的充要条件为下列极限存在：
各态历经定理的意义：
一个实平稳过程，如果它是各态历经的，则可用任意一个样本函数的
时间平均代替过程的集合平均，即
mX
l.i.m 1 T T
T
x(t)dt,
0
RX
(t)
l.i.m
T
1 T
T
x(t)x(t )dt
0
若样本函数X(t)只在有限区间[0,T]上给出，则对于实平稳过程有下列估
计式
l.i.m 1
T 2T
T
T X (t) X (t ) dt RX ( )
平稳随机过程的概念
平稳随机过程的概念
平稳随机过程是指具有固定统计特性的随机过程。
具体而言，平稳随机过程在时间上的统计性质不随时间变化而变化，即其概率密度函数、平均值、自相关函数等都不受时间起点的影响。
平稳随机过程分为弱平稳和强平稳两种类型。
弱平稳是指随机过程的均值和自相关函数不随时间变化而变化，而强平稳还要求联合分布函数不随时间变化而变化。
对于弱平稳随机过程，其特点是平均值和自相关函数只与时间差有关，与时间起点无关。
具体来说，对于平稳随机过程X(t)，其平均值为E[X(t)]，自相关函数为R(t1,t2):
1. 平稳随机过程的平均值不随时间变化而变化，即对于任意t，有E[X(t)]= E[X(0)]。
2. 平稳随机过程的自相关函数只与时间差有关，即对于任意
t1,t2，有R(t1,t2) = R(t1-t2)。
强平稳过程除了满足弱平稳条件外，还要求联合分布函数不随时间变化而变化，即对于任意t1,t2和任意k1,k2，有联合分布
函数F(x1,x2,t1,t2) = F(x1,x2,t1+k,t2+k)。
这意味着在时间上的
任意平移，联合分布函数都保持不变。
平稳随机过程在实际应用中具有广泛的应用，例如信号处理、通信系统、金融市场等领域。
由于其统计特性不随时间变化而变化，使得对时间序列进行建模和预测更加稳定、可靠。
04 平稳随机过程 070924
t1 t2
则称
{X (t ), t T } 为广义平稳随机过程。 （弱平稳随机过程）
3、广义平稳与狭义平稳
当 E[ X (t )]
2
时， 狭义平稳 广义平稳
当X(t)为高斯过程时，
狭义平稳 广义平稳
广义平稳和狭义平稳并没有必然的
因果关系。
例2.2-1
设随机过程 X t At ，A为均匀分布于
同理
C ( ) C ( )
2、 在零点处达最大值
用公式表示：
同理可证：
（练习）
R(0) | R( ) |
C (0) C ( )
证明：E{[ X (t ) X (t )]2 } 0
即E[ X 2 (t ) 2 X (t ) X (t ) X 2 (t )] 0 而E[ X 2 (t )] E[ X 2 (t )] R(0) 故2 R(0) 2 R( ) 0 R(0) | R( ) |
1
1 2
1 2 0 ... n
或：
2
...
1 2 n RX t k , t m 0 ... n
狭义平稳随机过程的条件过于严格，
往往难于实现。 弱化条件，在二阶矩范围内（一阶 矩、二阶矩）满足平稳性，已经可 以满足实际中的分析要求。
2、广义平稳随机过程的定义
设 { X (t ), t T } 是一随机过程， E[ X 2 (t )] 且有：
(1) E[ X (t )] mx 常数 一阶矩 (2) R(t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )] R( ) 二阶矩
则称
{X (t ), t T } 为广义平稳随机过程。 （弱平稳随机过程）
3、广义平稳与狭义平稳
当 E[ X (t )]
2
时， 狭义平稳 广义平稳
当X(t)为高斯过程时，
狭义平稳 广义平稳
广义平稳和狭义平稳并没有必然的
因果关系。
例2.2-1
设随机过程 X t At ，A为均匀分布于
同理
C ( ) C ( )
2、 在零点处达最大值
用公式表示：
同理可证：
（练习）
R(0) | R( ) |
C (0) C ( )
证明：E{[ X (t ) X (t )]2 } 0
即E[ X 2 (t ) 2 X (t ) X (t ) X 2 (t )] 0 而E[ X 2 (t )] E[ X 2 (t )] R(0) 故2 R(0) 2 R( ) 0 R(0) | R( ) |
1
1 2
1 2 0 ... n
或：
2
...
1 2 n RX t k , t m 0 ... n
狭义平稳随机过程的条件过于严格，
往往难于实现。 弱化条件，在二阶矩范围内（一阶 矩、二阶矩）满足平稳性，已经可 以满足实际中的分析要求。
2、广义平稳随机过程的定义
设 { X (t ), t T } 是一随机过程， E[ X 2 (t )] 且有：
(1) E[ X (t )] mx 常数 一阶矩 (2) R(t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )] R( ) 二阶矩
第六章 平稳随机过程.
周期性
S d 常数 T
T 0
t T t
RX t , t E S t S t
S t S t 1 d 1 T T
T 0
S S d
＝＝＝ 1 T
,0,1,2, 。
tn T 和任意实数h
, X tn h
对任意的n n 1,2,
，t1, t2 ,
当t1 h, t2 h,
, tn h T 时,
d
X t , X t ,
1 2
, X tn X t1 h , X t2 h ,
解： (1)因为E( A) E( B) E( AB) 0, E( A2 ) E(B2 ) 2
故 X (t ) E Acost Bsint
E ( A)cost E ( B)sint 0
RX (t1 , t2 ) E[( Acost1 Bsint1 )( Acost2 Bsint2 )]
是平稳序列.
证：E Yn ak E X n k 0
又自相关函数RY n, n m E YnYnm
N N E ak X n k a j X n m j j 0 k 0
即：F x1 , x2 , F x1 , x2 ,
, xn ; t1 , t2 ,
tn , tn h
3
则称随机过程 X t , t T 具有平稳性，
, xn ; t1 h, t2 h,
称此过程为严平稳随机过程，简称严平稳过程。
严平稳过程的数字特征： 设严平稳过程 X t , t T 是二阶矩过程，则
S d 常数 T
T 0
t T t
RX t , t E S t S t
S t S t 1 d 1 T T
T 0
S S d
＝＝＝ 1 T
,0,1,2, 。
tn T 和任意实数h
, X tn h
对任意的n n 1,2,
，t1, t2 ,
当t1 h, t2 h,
, tn h T 时,
d
X t , X t ,
1 2
, X tn X t1 h , X t2 h ,
解： (1)因为E( A) E( B) E( AB) 0, E( A2 ) E(B2 ) 2
故 X (t ) E Acost Bsint
E ( A)cost E ( B)sint 0
RX (t1 , t2 ) E[( Acost1 Bsint1 )( Acost2 Bsint2 )]
是平稳序列.
证：E Yn ak E X n k 0
又自相关函数RY n, n m E YnYnm
N N E ak X n k a j X n m j j 0 k 0
即：F x1 , x2 , F x1 , x2 ,
, xn ; t1 , t2 ,
tn , tn h
3
则称随机过程 X t , t T 具有平稳性，
, xn ; t1 h, t2 h,
称此过程为严平稳随机过程，简称严平稳过程。
严平稳过程的数字特征： 设严平稳过程 X t , t T 是二阶矩过程，则
4平稳随机过程
4．平稳相关与互相关函数
（1）定义: 设{X(t)},{Y(t)},t∈T为两个平稳过程， 定义 如果它们的互相关函数RXY(t,t+τ)只是τ 的函数,即 RXY(t,t+τ)=E[X(t)Y(t+τ)]= RXY(τ),则称{X(t)},{Y(t)} 是平稳相关的，或称{X(t)}与{Y(t)}是联合平稳过程. 并称 RXY(τ)=E[X(t)Y(t+τ)] 为{X(t)}与{Y(t)}的互相关函数。
3．自相关函数的性质
性质1.Rx(0)≥0； 证: Rx(0)=E[X2(t)]≥0
R(τ)
0
τ
性质2. Rx(τ)为偶函数，即Rx(-τ)=Rx(τ) 证： Rx(-τ)=E[X(t)X(t-τ)]= E[X(t-τ)X(t)]= Rx(τ) 性质3.|Rx(τ)|≤ Rx(0) 证：由柯西-施瓦兹不等式
且E[Xn]=0,D(Xn)=σ2>0,讨论其平稳性. 解: 因为E[Xn]=0,
σ 2 E[ X n X m ] = 0 n=m n≠m
故其均值函数µX(n)=0为常数,其自相关函数 RX(n,m)只 与m-n有关,所以它是平稳时间序列。
例2:随机相位正弦波X(t)=acos(ω0t+Θ) ，a, ω0为常数，
例2: 设X(t)=Asin(ωt+Θ)，Y(t)=Bsin(ωt+Θ-Φ),A,B,
Φ, ω为常数，Θ在(0,2π)上服从均匀分布，求RXY(τ)。 解: X(t),Y(t)均为平稳过程.
R XY (τ ) = E[ X ( t )Y ( t + τ )]
= E [ A sin(ω t + Θ ) B sin(ω t + ω τ + Θ − Φ )]
随机过程第五章 平稳随机过程
1,
0,
T st;
其他.
E{Y (s)Y (t)} E{E[Y (s)Y (t) ]}
st
1 P{ T s t } 1 ,
T 对于 t 的其它情形可做类似推理.
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随机二元传输过程是一个平稳过程,记τ=s－t,
其自相关函数为
0,
),
a;
0,
a
RX(t, t+τ)与 t 无关, 故X(t) 是宽平稳过程.
P128例12 泊松过程不是平稳过程，
是平稳增量过程.
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三、两种平稳性的关系
1）严平稳过程不一定是宽平稳的; 因宽平稳过程一定是二阶矩过程,而严平稳 过程未必是二阶矩过程. 2）宽平稳不一定 严平稳;
CX (s,t) RX (s,t) mX 2 RX () mX 2
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注 自协方差函数与自相关函数都仅依赖于t－s.
平稳过程在实际中是常见过程,如
照明电网中电压的波动过程; 电子系统中的随机噪声; 稳定气象条件下海域中一定点处的海浪高度 随时间的变化或随地点的变化(平稳随机场)； 卫星图片中相同条件下的灰度水平.
t 0,
随机变量与 随机过程》
其中X0 与N(t)相互独立，且
美 A.帕普
力斯，p303
C C
X0 ～ 1 1 C > 0,
2 2
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讨论｛X(t), t≥0｝的平稳性.
C
－C
解 因 X (t) X0(1)N(t) , t 0, mX (t) E[X(t)] E(X0 )E[(1)N(t)] 0, t 0
第3章平稳随机过程总
（ii）严平稳随机过程的二维概率密度只与 t1, t2的时 间间隔有关，而与时间起点无关
(3.1.6) (3.1.7)
CX (t1,t2 ) CX ( ) RX ( ) mX2
CX (0)
RX (0) mX2
2 X
(3.1.8) (3.1.9)
（4）严平稳的判断
• 按照严平稳的定义，判断一个随机过程是否为严平稳， 需要知道其n维概率密度，可是求n维概率密度是比较 困难的。不过，如果有一个反例（例3.2），就可以判 断某随机过程不是严平稳的，具体方法有两个：
遍历性过程
一般随机过程要对大量样本函数在特定时刻 取值，用统计方法得到数字特征。这种方法 成为统计平均或集合平均，也简称为集平均 。 辛钦证明：在具备一定的补充条件下，对平 稳随机过程的一个样本函数取时间均值，就 从概率意义上趋近于此过程的统计均值。
任何一个样本函数的特性都能充分地代表整 个随机过程的特性。
在通信中，常常把稳定状态下的随机过 程，当作平稳随机过程来处理，这样，对 这个随机过程任何时候来测量，都会得到 同样的结果，从而大大简化了数学模型。 对一些非平稳的随机过程，在较短的时间 内，常常把它作为平稳随机过程来处理。
第3章 平稳随机过程
1 平稳随机过程的定义
严格 平稳 随机 过程
如果随机过程的任意n维分布不随时间起点变 化，即当时间平移时，其任意的n维概率密度 不变，则称是严格平稳的随机过程或称为狭 义平稳随机过程。
RZ (t1,t2 ) E[Z (t1)Z (t2 )] E{[ X cos t1 Y sin t1][ X cos t2 Y sin t2 ]} E[ X 2 ]cos t1 cos t2 E[Y 2 ]sin t1 sin t2
第十二章 平稳随机过程
{ X t }是严平稳过程当且仅当 （）所有的X t同分布。 1 （2）对任意n ≥ 2, ( X t1 , X t2, ..., X tn )的分布 仅与时间差t2 − t1,t3 − t2, ..., tn − tn −1有关， 而与起始时间t1无关。
严平稳过程的数字特征：
设严平稳过程 { X ( t )} 是二阶矩过程，则 （1）µ X ( t ) = E X ( t ) = E X ( 0 ) ＝＝ µ X ( 常数 ) （2）RX ( t1 , t2 ) = E X ( t1 ) X ( t2 ) = E X ( 0 ) X ( t2 − t1 ) ＝＝ RX ( t2 − t1 )
解： X ( t ) > = lim 1 < T →+∞ 2T
将Θ看作一定值
X ( t ) = acos (ω t + Θ )的时间平均
T
∫
−T
acos (ω t + Θ ) dt
a sin (ωT + Θ ) − sin ( −ωT + Θ ) ＝＝＝＝ lim T →+∞ 2T ω
20
独立同分布平稳序列的均值遍历性
设X 1 ,K , X n， , 独立同分布，EX 1 = µ , DX 1 = σ 2 > 0, K 则大数定理成立：
1 p → ∑ X i µ n i =1
n
定理一： (均值各态历经定理 ) P{< X (t ) >= µ X } = 1 ⇔ 1 lim T →+∞ T
1 2 n
t1 , t2 ,L tn ∈ T 和任意实数h，当t1 + h, t2 + h,L , tn + h ∈ T 时,
随机过程-2-平稳过程
此时，
CXY (t, t ) RXY (t, t ) mX (t)mY (t ) RXY ( ) mX mY CXY ( )
平稳相关随机过程互相关函数的性质（ CXY ( ) 也具有相同的性质） ① RXY ( ) RYX ( ) ② RXY ( ) RX (0) RY (0)
例5 X (t), t ，X(t)只取 I ， P{X (t) I} P{X (t) I} 1 2
[t,t ] 内正负号变化次数记为 N (t,t )，服从参数为 , ( 0)
的泊松分布。判断X(t)的平稳性。
复平稳过程
定义： {Z (t), t T}是复随机过程，若 mZ (t) mZ , (complex constant)
讨论 Z (t) 的平稳性。
复平稳过程的协方差函数
CZ (t1, t2 ) RZ (t1, t2 ) mZ (t1)mZ* (t2 ) RZ (t2 t1) | mZ |2
CZ ( ) CZ (t, t )
DZ (t) CZ (t, t) CZ (0)
§2 相关函数的性质
一、自相关函数的性质
mX (t) mX
f ( x1, x2;t1, t2 ) f ( x1, x2;t1 , t2 )
RX (t1, t2 ) x1x2 f ( x1, x2;t1, t2 )dx1dx2
x1x2 f ( x1, x2;t1 , t2 )dx1dx2
RX (t1 , t2 )
k
例3 X (t) a cos(0t Φ) ，a,0 为正常数，Φ ~ U[0,2 ]
判断 X (t) 是否弱平稳。
例4 X (t) Acos0t B sin0t, t ， 0 为正常数， A, B独立，EA EB 0, DA DB 2 0
CXY (t, t ) RXY (t, t ) mX (t)mY (t ) RXY ( ) mX mY CXY ( )
平稳相关随机过程互相关函数的性质（ CXY ( ) 也具有相同的性质） ① RXY ( ) RYX ( ) ② RXY ( ) RX (0) RY (0)
例5 X (t), t ，X(t)只取 I ， P{X (t) I} P{X (t) I} 1 2
[t,t ] 内正负号变化次数记为 N (t,t )，服从参数为 , ( 0)
的泊松分布。判断X(t)的平稳性。
复平稳过程
定义： {Z (t), t T}是复随机过程，若 mZ (t) mZ , (complex constant)
讨论 Z (t) 的平稳性。
复平稳过程的协方差函数
CZ (t1, t2 ) RZ (t1, t2 ) mZ (t1)mZ* (t2 ) RZ (t2 t1) | mZ |2
CZ ( ) CZ (t, t )
DZ (t) CZ (t, t) CZ (0)
§2 相关函数的性质
一、自相关函数的性质
mX (t) mX
f ( x1, x2;t1, t2 ) f ( x1, x2;t1 , t2 )
RX (t1, t2 ) x1x2 f ( x1, x2;t1, t2 )dx1dx2
x1x2 f ( x1, x2;t1 , t2 )dx1dx2
RX (t1 , t2 )
k
例3 X (t) a cos(0t Φ) ，a,0 为正常数，Φ ~ U[0,2 ]
判断 X (t) 是否弱平稳。
例4 X (t) Acos0t B sin0t, t ， 0 为正常数， A, B独立，EA EB 0, DA DB 2 0
三.平稳随机过程
被近似看作平稳过程，或分段看作短时平稳过程。 * 非平稳随机过程的理论分析相对复杂、相对不成熟。
5.1 平稳随机过程
5.1.1 严平稳 (1) 定义
t1
t2
tn
如果对于任意的n和 ，随机过程 X(t)的 tn t1 t2 n 维概率密度满足：
f X (x1 , x 2 ,, x n ; t1 , t 2 ,, t n ) f X (x1 , x 2 ,, x n ; t1 , t 2 ,, t n )
mX (t ) EX t E t 2 A sin t B cost t 2 EAsin t EBcost
t2
X(t)不是平稳过程。
Y t X t mX (t ) A sin t B cost mY (t ) EY t EA sin t B cost 0 RY (t1 , t2 ) EY t1 Y t2 E A sin t1 B cost1 A sin t2 B cost2
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
除Guass SSS 二阶矩过程 WSS
二阶矩过程 SSCS WSCS
5.1.4 平稳随机过程相关函数的性质 1) 实平稳过程X(t)的自相关函数是偶函数，即
(2)用钜形（高为 rX (0) 1 ,底为 0 的矩形）面积等于阴
0 rX ( )d
第十二章-平稳随机过程
7
若T为离散集, 称平稳过程{X(t), t T }为 平稳序列.
广义平稳过程
严平稳过程
严平稳过程 二阶矩存在 广义平稳过程
严平稳过程 正态过程 广义平稳过程
8
例1 设{Xk , k = 1,2,…}是互不相关的随机变量 序列, E[Xk ] = 0, E[Xk ²] = σ², 则有
解 由假设, Θ的概率密度为
f
(
)
1
/
T, 0,
0 T,
其 它.
于是, X(t)的均值函数为
T
E[ X (t)] E[s(t )]
0
s(
t
)
1 T
d
1
t T
s( )d
Tt
10
利用s(φ)的周期性, 可知
E[X (t)] 1 T s( )d 常数. T0
而自相关函数
RX (t, t ) E[s(t )s(t )]
• 当X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程时, W(t) = X(t) +Y(t)是平稳随机过程.
18
事实上, E[W(t)]= E[X(t)] + E[Y(t)] = 常数.
E[W (t)W (t )] E{[X (t) Y (t)][X (t ) Y (t )]} E[ X (t)X (t ) X (t)Y (t ) Y (t)X (t ) Y (t)Y (t )] E[ X (t)X (t )] E[ X (t)Y (t )] E[Y (t)X (t )] E[Y (t)Y (t )] RX ( ) RXY ( ) RYX ( ) RY ( ) RW ( )
t1, t2,, tnT, t1+h, t2 +h,,tn+h T， 若(X(t1), X(t2),, X(tn))与
若T为离散集, 称平稳过程{X(t), t T }为 平稳序列.
广义平稳过程
严平稳过程
严平稳过程 二阶矩存在 广义平稳过程
严平稳过程 正态过程 广义平稳过程
8
例1 设{Xk , k = 1,2,…}是互不相关的随机变量 序列, E[Xk ] = 0, E[Xk ²] = σ², 则有
解 由假设, Θ的概率密度为
f
(
)
1
/
T, 0,
0 T,
其 它.
于是, X(t)的均值函数为
T
E[ X (t)] E[s(t )]
0
s(
t
)
1 T
d
1
t T
s( )d
Tt
10
利用s(φ)的周期性, 可知
E[X (t)] 1 T s( )d 常数. T0
而自相关函数
RX (t, t ) E[s(t )s(t )]
• 当X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程时, W(t) = X(t) +Y(t)是平稳随机过程.
18
事实上, E[W(t)]= E[X(t)] + E[Y(t)] = 常数.
E[W (t)W (t )] E{[X (t) Y (t)][X (t ) Y (t )]} E[ X (t)X (t ) X (t)Y (t ) Y (t)X (t ) Y (t)Y (t )] E[ X (t)X (t )] E[ X (t)Y (t )] E[Y (t)X (t )] E[Y (t)Y (t )] RX ( ) RXY ( ) RYX ( ) RY ( ) RW ( )
t1, t2,, tnT, t1+h, t2 +h,,tn+h T， 若(X(t1), X(t2),, X(tn))与
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所以随机相位周期过程是平稳的. 特别, 随机相位 正弦波是平稳的.
例3
考虑随机电报信号 x( t ) I
信号X ( t )由只
取 I或 I
o
I
t
的电流给出 .
这里 P{ X ( t ) I } P{ X ( t ) I } 1 / 2
而正负号在区间 ( t , t )内变化的次数N ( t , t )
2. 广义平稳过程
{ X ( t ), t T }, 如果对任意 定义1 给定二阶矩过程
t,t T :
E[ X ( t )] X
(常数)
E[ X ( t ) X ( t )] RX ( )
则称{ X ( t ), t T }为宽平稳过程, 或广义平稳过程 .
其中A是服从瑞利分布的随机 变量, 其概率密度为
a e f (a ) 2 0,
a2 2 2
, a0 a0
是在(0,2π )上服从均匀分布且与 A 相互独立的 随机变量, 是一常数,问X n ( t ) 是不是平稳过程?
解 因 E ( A)
a
2 2
即相关函数只与k l 有关,
所以它是宽平稳的随机序列.
如果 X1 , X 2 ,, X k ,是独立同分布的 , 则序列是
严平稳的.
例2 设s( t )是一周期为T的函数,是在(0, t )上服
从均匀分布的随机变量 , 称X (t ) s(t )为随机
相位周期过程. 试讨论它的平稳性 .
说明 (1) 严平稳过程只要二阶矩存在, 则它必定也 是宽平稳的. 反之不成立. (2) 宽平稳的正态过程必定也是严平稳的.
定义2
同时考虑两个平稳过程: X ( t ) 和 Y ( t )
如果它们的互相关函数也只是时间差的单
变量函数, 即
RXY ( t , t ) E[ X ( t )Y ( t )] RXY ( ),
协方差函数可以表示为
C X ( ) E{[ X ( t ) X ][ X ( t ) X ]}
RX ( ) .
2 X
若令 0 ,
2 2 则 X C X (0) RX (0) X .
说明
要确定一个随机过程的分布函数, 并进而判定 其平稳性在实际中不易办到.
而 0时, 令t t , 则自相关函数:
E[ X ( t ) X ( t )] I e
2 2
只与有关
所以随机电报信号X (t ) 是一平稳过程 .
其图形为:
RX ( )I2o Nhomakorabea
例4 设随机过程X ( t ) A cos(t ) , t ,
解
因X (t ), t 是一个零均值的平稳
过程, 故有
E[ X ( t )] 0
RX ( t , t ) RX ( )
令Y ( t ) X ( t ) X (0), 则 E[Y ( t )] E[ X ( t )] E[ X (0)]
X ( 0)
解
的概率密度为
X(t) 的均值函数为
1 / T , 0 T , f ( ) 0, 其他.
E[ X ( t )] E[ s( t )]
T 0
1 1 i T s( t ) d s( )d . T T i
利用s( )的周期性
1 T 知 E[ X ( t )] s( )d 常数. T 0 而自相关函数 RX ( t , t ) E[ s( t ) s( t )] T 1 s ( t ) s ( t ) d 仅与有关 0 T 具有周期性 1 i T s( ) s( )d RX ( ) T i
那么, 称X ( t ) 和 Y ( t )是平稳相关的 , 或两过程是
联合宽平稳的.
二、应用举例
例1 设{ X k , k 1,2,}是互不相关的随机变量
序列, 且 E[ X k ] 0, E[ X ] , 则有
2 k 2
2 , k l , Rx ( k , l ) E[ X k X l ] 0, k l ,
第一节
平稳随机过程的概念
一、平稳随机过程的概念 二、应用举例 三、小结
一、平稳随机过程的概念
在实际中, 有相当多的随机过程, 不仅它现 在的状态, 而且它过去的状态, 都对未来状态的
发生有着很强的影响.
如果过程的统计特性不随时间的推移而变
化, 则称之为平稳随机过程.
1. 定义
如果对于任意的n( 1,2,), t1 , t2 ,, tn T和 任意实数h,当t1 h, t2 h,, tn h T时, n维随机 变量 ( X ( t1 ), X (t2 ),, X (tn ))
三、小结
平稳随机过程、宽(广义)平稳随机过程的概念 平稳过程数字特征的特点
(1) 平稳过程的所有样本曲线都在水平直线
x( t ) X 上下波动, 平均偏离度为 X .
( 2) 平稳过程的自相关函数 仅是t2 t1 的单
变函数.
EA2 E[cos(t1 ) cos(t2 ) ] 2 1 2 cos ( t 2 t1 ) 2 cos 2 所以{ X ( t )}是平稳过程 .
例5 设X ( t ), t 是一个零均值的平稳
过程, 而且不恒等于一个随机 变量. 问 : X ( t ) X (0), t 是否仍为平稳过程?
0
e
a2 2 2
π da 2
E( A )
2
a
3 2e
0
a2 2 2
da
0
2ae
a2 2 2
da 2 2
故
E[ A cos(t ) ] EA E[cos(t ) ]
EA 0 0
RX ( t1 , t 2 ) E[ A cos(t1 ) A cos(t 2 ) ]
R( t , t ) E[ X ( t ) X (0)][ X ( t ) X (0)]
RX ( ) X (0){ E[ X (t )] E[ X (t )]} X 2 (0)
可见Y ( t ) X ( t ) X (0) 不是平稳过程.
当T为离散情况, 称平稳过程X n 为平稳随
机序列, 或平稳时间序列.
说明 (1) 将随机过程划分为平稳过程和非平稳过程有重
要的实际意义. 过程若是平稳的可使问题的分析尤 为简化. (2) 平稳过程的数字特征有很好的性质.
平稳过程数字特征的特点:
(设平稳过程X ( t )的均值函数E[ X ( t )]存在)
是随机的, 假设N ( t , t )服从泊松分布.
即事件
Ak { N ( t , t ) k }
k
( ) 的概率为 P ( Ak ) e , k 0,1,2, k! 其中 0是单位时间内变号次数 的数学期望.
试讨论 X ( t ) 的平稳性.
解
和 ( X ( t1 h), X ( t2 h),, X ( tn h))
具有相同的分布函数, 则称随机过程 { X ( t ), t T } 具有平稳性, 并同时称此过程为平稳随机过程, 或简称平稳过程 (严平稳过程或狭义平稳过程).
平稳过程的参数集T, 一般为:
( ,), [0,), {0,1,2,} 或 {0,1,2,}.
P ( A0 ) P ( A2 ) P ( A4 ) ...
事件 { X (t ) X (t ) I 2 }的概率为
P ( A1 ) P ( A3 )
2 2
E[ X ( t ) X ( t )] I P ( A2 k ) I P ( A2 k 1 ) k 0 k 0 k 结果与t 无关 ( ) 2 2 2 I e I e . k! k 0
E[ X ( t )] 0
下面计算 E[ X ( t ) X ( t )]
如果电流在 [t , t )内变号偶数次
X (t )和X (t )必同号且乘积为 I 2,
如果电流在 [t , t )内变号奇数次
X (t )和X (t )乘积为 I 2 , 事件 { X (t ) X (t ) I 2 }的概率为
(1) 平稳过程的所有样本曲线都在水平直线
x( t ) X 上下波动, 平均偏离度为 X .
( 2) 设平稳过程X ( t )的自相关函数
Rx (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )]存在.
那么平稳过程的自相关 函数仅是t2 t1 的单
变函数. (即不随时间的推移而变化).