平稳随机过程的概念
平稳随机过程的概念
平稳随机过程的概念
引言
在随机过程中，平稳随机过程是一个非常重要的概念。它是随机过程中的一种特殊情况，具有统计性质保持不变的特点。本文将对平稳随机过程的概念进行全面、详细、完整且深入地探讨。
什么是随机过程？
随机过程是一种随时间变化的随机现象。它可以用数学模型来描述，在数学上通常用随机函数的集合来表示。随机过程通常包括一个样本空间、一个时间索引集和一组定义在样本空间上的随机变量。
平稳随机过程的定义
平稳随机过程是指在统计平均意义下不随时间变化的随机过程。也就是说，对于平稳随机过程的任意时刻，其统计性质都保持不变。具体而言，平稳随机过程要求满足以下两个条件：
1.均值稳定性：随机过程的均值在时间上保持不变。
2.自相关性稳定性：随机过程的自相关函数在时间上保持不变。
平稳随机过程的类型
根据时间独立性和样本独立性的条件，平稳随机过程可以分为以下几种类型：
宽平稳随机过程
宽平稳随机过程是指在任意时间点上，随机过程的统计性质都保持不变，并且在不同时刻的随机变量之间是独立的。宽平稳随机过程是最理想的平稳随机过程，但在实际中很难满足宽平稳的条件。
严平稳随机过程
严平稳随机过程是指在任意时间点上，随机过程的统计性质都保持不变，但随机变量之间不一定是独立的。严平稳随机过程是宽平稳随机过程的一种特殊情况。
近似平稳随机过程
近似平稳随机过程是指在短时间尺度上，随机过程的统计性质是平稳的，但在长时间尺度上可能出现变化。近似平稳随机过程在实际中比较常见。
平稳随机过程的性质
平稳随机过程具有一些独特的性质，下面是其中一些重要的性质：
平稳随机过程的概念
严平稳的.
例2 设s(t)是一周期为T的函数,是在(0,t)上服 从均匀分布的随机变量,称X (t) s(t )为随机
相位周期过程. 试讨论它的平稳性.
解 的概率密度为
f
(
)
1/T , 0
0, 其他.
T,
X(t) 的均值函数为
E[X (t)] E[s(t )]
T
s( t
) 1 d
第一节 平稳随机过程的概念
一、平稳随机过程的概念 二、应用举例 三、小结
一、平稳随机过程的概念
在实际中, 有相当多的随机过程, 不仅它现 在的状态, 而且它过去的状态, 都对未来状态的 发生有着很强的影响.
如果过程的统计特性不随时间的推移而变 化, 则称之为平稳随机过程.
1. 定义
如果对于任意的n( 1,2, ), t1, t2 , , tn T和 任意实数h,当t1 h, t2 h, , tn h T时, n维随机 变量 ( X (t1 ), X (t2 ), , X (tn )) 和 ( X (t1 h), X (t2 h), , X (tn h))
所以随机相位周期过程是平稳的. 特别, 随机相位 正弦波是平稳的.
例3 考虑随机电报信号 x(t) I
o
信号X (t )由只 取 I或 I
t 的电流给出.
I 这里 P{ X (t) I } P{ X (t) I } 1/ 2 而正负号在区间(t,t )内变化的次数N (t,t ) 是随机的, 假设N (t,t )服从泊松分布.
平稳随机过程
平稳随机过程
1．平稳随机过程
（1）严平稳随机过程的定义
若ξ(t)的任意有限维概率密度函数与时间起点无关，即对于任意的正整数n和所有实数Δ，有
则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程。
①一维概率密度与时间t无关，即
②二维分布函数只与时间间隔τ＝t2－t1有关，即
（2）严平稳随机过程ξ(t)的数字特性
①均值
均值与t无关，为常数a，即
（3-1-1）
②自相关函数
自相关函数只与时间间隔τ＝t2－t1有关，即R(t1，t1＋τ)＝R(τ)。即
（3-1-
2）
（3）广义平稳随机过程
把同时满足式（3-1-1）和式（3-1-2）的过程定义为广义平稳随机过程。
（4）严平稳随机过程与广义随机过程的关系
严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。
2．各态历经性
（1）各态历经性的定义
随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态称为各态历经性。
（2）各态历经性的意义
具有各态历经性的平稳随机过程的统计均值等于其任一次实现的时间均值。
（3）各态历经性与平稳随机过程的关系
具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。
（4）各态历经性的实现
如果平稳过程使
成立，则称该平稳过程具有各态历经性。
3．平稳过程的自相关函数
（1）自相关函数的定义
设ξ(t)为实平稳随机过程，则它的自相关函数为
（2）自相关函数的性质
①R(0)＝E[ξ2(t)]，表示ξ(t)的平均功率；
②R(τ)＝R(－τ)，表示τ的偶函数；
③｜R(τ)｜≤R(0)，表示R(τ)的上界；
④，表示ξ(t)的直流功率；
这是因为当时，与没有任何依赖关系，即统计独立。所以
平稳随机过程
随机过程可分为平稳和非平稳两大类, 严格地说, 所
有信号都是非平稳的, 但是, 平稳信号的分析要容易
得多, 而且在电子系统中, 如果产生一个随机过程的 主要物理条件在时间的进程中不改变, 或变化极小,
可以忽略, 则此信号可以认为是平稳的. 如接收机的
噪声电压信号, 刚开机时由于元器件上温度的变化, 使得噪声电压在开始时有一段暂态过程, 经过一段 时间后, 温度变化趋于稳定, 这时的噪声电压信号可 以认为是平稳的。
Z(t)是广义平稳的
E[ Z 3 (t )] E{[ X cos t Y sin t ]3} E[ X 3 cos3 t Y 3 sin 3 t 3 X 2Y cos2 t sin t 3Y 2 X cos t sin t ] 2 cos3 t sin 3 t
2.3 平稳随机过程
均值和自相关函数估计：
连续随机过程：
ˆX m
1 2T
T
T
x(t )dt
1 ˆ R X ( ) 2T
T
T
x(t ) x(t )dt
随机序列：
1 ˆX m N
x ( n)
n 0
N 1
N 1 1 2 ˆ2 ˆ x ( n ) m X X N 1 n 0
RX (t MT , t MT ) RX (t , t )
随机过程第六章平稳随机过程
,
0
0 , 0
所以X(t) 是平稳过程。
9
6.1 平稳随机过程的概念
10
6.1 平稳随机过程的概念
11
6.1 平稳随机过程的概念
12
6.1 平稳随机过程的概念
13
6.1 平稳随机过程的概念
14
6.1 平稳随机过程的概念
15
6.1 平稳随机过程的概念
16
6.1 平稳随机过程的概念
17
0 sin(2t)d 0
8
RX (t, t ) E[ X (t) X (t )]
6.1 平稳随机过程的概念
1
0 sin(2t) sin[2 (t )]d
1 2
1
0 {cos(2
)
cos[2
(2t
)
]}d
1
1 2
sin(2 2
)
sin[2 (2t ) 2 (2t )
]
0
1 2
有
n
Rx (ti , t j )ai a j 0;
i, j 1
(5)若X (t)是周期为T的周期函数，即X (t) X (t T )，即
RX (t) RX (t T );
(6)若X (t)是不含周期分量的非周期过程，当 时，
X (t) X (t )相互独立，则
lim
RX
平稳过程的定义
平稳过程的定义
平稳过程是概率论和统计学中的重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。本文将介绍平稳过程的定义、特性以及其在实际中的应用。
一、平稳过程的定义
平稳过程是指在统计意义上具有不变性的随机过程。换句话说，无论观察这个随机过程的哪一段，其统计特性都是不发生变化的。具体而言，平稳过程要满足两个条件：其一是均值不变性，即随机过程的均值在时间上是恒定的；其二是自协方差函数不变性，即随机过程的自协方差函数只与时间差有关，而与具体的时间点无关。
二、平稳过程的特性
平稳过程具有许多重要的特性，下面将逐一介绍。
1. 均值不变性：平稳过程的均值在时间上是恒定的，即随机过程的均值不随时间变化而变化。
2. 自协方差函数不变性：平稳过程的自协方差函数只与时间差有关，而与具体的时间点无关。这意味着随机过程的协方差结构是不变的，不会随时间的推移而发生变化。
3. 自相关函数的性质：平稳过程的自相关函数具有一些特殊的性质。首先，自相关函数是偶函数，即关于时间差的自相关系数关于原点
对称。其次，自相关函数在时间差为零时达到最大值，随着时间差的增加逐渐减小。
4. 平稳过程的谱密度函数：平稳过程的谱密度函数是描述随机过程在频域上的性质的函数。对于平稳过程，其谱密度函数是实数函数，并且具有正定性和对称性。
三、平稳过程的应用
平稳过程在许多领域中都有广泛的应用，下面将介绍其中几个典型的应用。
1. 金融领域：平稳过程在金融领域中有着重要的应用。例如，股票价格的随机波动可以用平稳过程来建模，从而为投资者提供决策依据。此外，利率、汇率等金融指标的变动也可以通过平稳过程来进行建模和预测。
定义平稳过程
3
平稳随机过程的概念
平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而变化。 一般的，若随机过程的前后环境和主要条件都不随时间的推移 而变化，则可认为该过程为平稳过程。 恒温条件下的热噪声电压过程； 随机相位正弦波；
庄伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn
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宽平稳过程
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
定义：若两个平稳过程 X (t ) 和Y (t ) ，其互相关函数 RXY (t1 , t2 ) 只与时间差 t = t2 - t1 有关，则称 X (t ) 和Y (t ) 是平稳相关的， 或称两个过程是联合（宽）平稳的。 注：泊松过程和维纳过程都是非平稳过程，但增量具有平稳性 。
k= l k¹ l
即
RX (k , l ) = s 2δ(k - l )
所以随机序列为宽平稳的。
庄伯金 bjzhuang@bupt.edu.cn
9
平稳过程的例
例：（随机相位周期过程）设 s (t ) 是周期为 T 的函数，Q 是 在 (0, T ) 上服从均匀分布的随机变量，则称 X (t ) = s(t + Q) 为随机相位周期过程。证明该过程是平稳过程。 证明：由题可知 Q 的概率密度为
平稳随机过程的概念
平稳随机过程的概念
平稳随机过程是指具有固定统计特性的随机过程。具体而言，平稳随机过程在时间上的统计性质不随时间变化而变化，即其概率密度函数、平均值、自相关函数等都不受时间起点的影响。
平稳随机过程分为弱平稳和强平稳两种类型。弱平稳是指随机过程的均值和自相关函数不随时间变化而变化，而强平稳还要求联合分布函数不随时间变化而变化。
对于弱平稳随机过程，其特点是平均值和自相关函数只与时间差有关，与时间起点无关。具体来说，对于平稳随机过程X(t)，其平均值为E[X(t)]，自相关函数为R(t1,t2):
1. 平稳随机过程的平均值不随时间变化而变化，即对于任意t，有E[X(t)]= E[X(0)]。
2. 平稳随机过程的自相关函数只与时间差有关，即对于任意
t1,t2，有R(t1,t2) = R(t1-t2)。
强平稳过程除了满足弱平稳条件外，还要求联合分布函数不随时间变化而变化，即对于任意t1,t2和任意k1,k2，有联合分布
函数F(x1,x2,t1,t2) = F(x1,x2,t1+k,t2+k)。这意味着在时间上的
任意平移，联合分布函数都保持不变。
平稳随机过程在实际应用中具有广泛的应用，例如信号处理、通信系统、金融市场等领域。由于其统计特性不随时间变化而变化，使得对时间序列进行建模和预测更加稳定、可靠。
第十二章 平稳随机过程
是一周期为T的函数 是在(0,T)上 例2 设s(t)是一周期为 的函数 Θ是在 是一周期为 的函数, 是在 上 服从均匀分布的随机变量 随机变量, 服从均匀分布的随机变量 称X(t) = s(t + Θ)为 为 随机相位周期过程. 试讨论它的平稳性. 随机相位周期过程 试讨论它的平稳性 由假设, 的概率密度为 解 由假设 Θ的概率密度为
5
又若平稳过程X(t)的自相关函数 的自相关函数 又若平稳过程 RX(t1, t2 ) = E[X(t1) X(t2)] 存在. 式中, 存在 对n = 2, 在(1.1)式中 令h= - t1 , 由 式中 平稳性定义, 平稳性定义 (X(t1), X(t2))与(X(0), X(t2 - t1)) 与 同分布. 同分布 于是 RX(t1, t2 ) = E[X(t1)X(t2)] = E[X(0)X(t2 - t1)]. RX(t1, t2 ) = RX(t2 - t1) 记为 或 RX(t, t + τ ) = E[X(t)X(t +τ)] = RX(τ ) . 这表明:平稳过程的自相关函数是时间差 这表明 平稳过程的自相关函数是时间差 t2 - t1 = τ 的单变量函数 的单变量函数.
E[ X ( t )] = E[sin( 2πΘt )] = ∫ sin( 2πθt ) f (θ )dθ
−∞ 1 ∞
= ∫ sin( 2πθt )dθ = 0
第二章平稳随机过程
2.3 平稳随机过程
均值和自相关函数估计：
连续随机过程：m 1 ˆX 2T
T
T
x(t )dt
ˆ ( ) 1 RX 2T
T
T
x(t ) x(t )dt
随机序列：
1 ˆ mX N
x ( n)
n 0
N 1
1 N 1 2 2 ˆ ˆ X x(n) mX N 1 n 0
Hale Waihona Puke Baidu
它的统计特性，即X(t)与X(t+t)具有相同的统
计特性。
2.3 平稳随机过程 广义平稳：
mX (t ) mX
RX (t1 , t2 ) RX ( ), t1 t2
一定 严格平稳 不一定 广义平稳
当随机过程是高斯分布时，两者等价。 例2.8 的随机相位信号是平稳随机过程
2.3 平稳随机过程
RXY (t1 , t2 ) mX (t1 )mY (t2 )
2.4 随机过程的联合分布和互相关函数 如果
mX (t ) mX
mY (t ) mY
RXY (t1 , t2 ) RXY ( ), t1 t2
则称X(t)与Y(t)广义联合平稳
2.3.5 随机过程的联合分布和互相关函数
0 100
相关时间越长，反映随机过程前后取值之间的依 赖性越强，变化越缓慢，相关时间越小，反映随 机过程前后取值之间的依赖性越弱，变化越缓快
平稳随机过程的概念
即事件
A k { N ( t,t) k }
的概率为 P (A k)(k!)k e,k0,1,2,
其中 0是单位时间内 的变 数号 学.次 期数 望
试讨X 论 (t)的平稳 . 性
解 E [X (t) ]0
下面 E [X 计 (t)X (算 t)]
如果电 [t,t流 )内 在变号偶数次
X(t)和X(t)必同号且乘 I2, 积为
具有相同的分布函数, 则称随机过程{X (t)t, T } 具有平稳性, 并同时称此过程为平稳随机过程, 或简称平稳过程 (严平稳过程或狭义平稳过程).
平稳过程的参数集T, 一般为: ( , ) [ 0 , , ) { 0 , , 1 , 2 , } 或 { 0 , 1 , 2 , }.
如果它们的互相关函数也只是时间差的单 变量函数, 即
R X ( t , t Y ) E [ X ( t ) Y ( t ) R X ] ( ) Y ,
那,称 么 X(t)和 Y(t)是平稳 ,或相 两关 过的 程 联合宽平稳的.
二、应用举例
例1 设 {Xk,k1,2, }是互不相关的
当 T 为离 ,称 散 平 X n 为 情 稳 平 况 过
机序列, 或平稳时间序列. 说明 (1) 将随机过程划分为平稳过程和非平稳过程有重 要的实际意义. 过程若是平稳的可使问题的分析尤 为简化. (2) 平稳过程的数字特征有很好的性质.
平稳随机过程
平稳随机过程
平稳随机过程的是一种特殊而又广泛应用的随机过程。
一、平稳随机过程定义
1.狭义平稳
定义
随机过程的维分布函数或维概率密度函数与时间起点无关，即对于任何和，随机过程的维概率密度函数满足
则称是在严格意义下的平稳随机过程。简称严平稳随机过程或狭义平稳随机过程。
平稳随机过程的统计特性将不随时间的推移而不同。它的
一维概率密度函数与时间无关，即而二维概率密
度函数仅依赖于时间间隔有关，即 2.广义平稳
定义：
若随机过程的数学期望及方差与时间无关，而自相关函数
仅与时间间隔有关，即则称为广义平稳随机过程或宽平稳随机过程。
通信系统中所遇到的信号及噪声大多数可视为广义平稳随机过程。以后讨论平稳随机过程除特殊说明外均指广义平稳随机过
程。
二、各态历经性
各态历经性是平稳随机过程在满足一定条件下的一个非常重要的特性。
设是平稳随机过程中任取的一个样本函数，若的数字特征（统计平均）可由的时间平均值替代，即
则称随机过程具有各态历经性。
“各态历经”的含义：从随机过程中得到的任何一个样本函数，都经历了随机过程的所有可能状态。因此，可用一个样本函数得统计特性来了解整个过程的统计特性，从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的问题大为简化。
注意：只有平稳随机过程才可能具有各态历经性，但在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经性条件。
三、平稳随机过程的相关函数与功率谱密度
1.平稳随机过程自相关函数的性质
平稳随机过程自相关函数的定义式
性质：
（1）（的平均功率）
（2）（是偶函数）
（3）（时有最大值，为上界值）
严格平稳随机过程的定义
严格平稳随机过程的定义
严格平稳随机过稼是指一个n维时间序列具有如下性质：每一个时间序列分量Xt的均值和方差是一个确定的常数；Xt和Xs（s<t）之间的相关系数ρ(t-s)是无限个时刻观测到相同的常数；所有时刻的偏自相关系数rho(T)满足ρ(T)=0，即当前测量值与其他任一时刻的测量值没有相关性。
平稳随机过程
(1) E[Xn]=x(常数)，nT； (2) Rx(m)=E[XnXn+m]只与m有关。 称{Xn}为宽平稳随机序列或宽平稳时间序列。
2．严平稳和宽平稳的关系
(1)．严平稳过程不一定是宽平稳过程,因为严平稳的过 程不一定是二阶矩过程,但当严平稳过程是二阶矩过 程时,则它一定是宽平稳过程。
所以E[X(s)X(t)]存在。
在严平稳过程的定义中，令h=-s, 由定义(X(s),X(t))与 (X(0),X(t-s))同分布，即有E[X(s)X(t)]= E[X(0)X(t-s)] 即Rx(t,t+)=E[X(0)X()]=Rx() 所以，Rx(s,t)只依赖于t-s,而与s,tT的具体取值无关。
解: 显然,E[X(t)]=0现在来计算E[X(t) X(t+τ)],先设τ>0我们注意,如果电流在
(t,t+τ)内变号偶数次,则X(t)和X(t+τ)必同 号且乘积为I2,因为事件
{ X (t)X (t ) I 2 } 的概率为
P(A0)+ P(A2)+ P(A4)+…,而事件 { X (t)X (t ) I 2 } 的概率为
P(A1)+ P(A3)+ P(A5)+…,于是
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定义2
同时考虑两个平稳过程: X ( t ) 和 Y ( t )
如果它们的互相关函数也只是时间差的单
变量函数, 即
RXY ( t , t ) E[ X ( t )Y ( t )] RXY ( ),
解
因X (t ), t 是一个零均值的平稳
过程, 故有
E[ X ( t )] 0
RX ( t , t ) RX ( )
令Y ( t ) X ( t ) X (0), 则 E[Y ( t )] E[ X ( t )] E[ X (0)]
X ( 0)
(1) 平稳过程的所有样本曲线都在水平直线
x( t ) X 上下波动, 平均偏离度为 X .
( 2) 设平稳过程X ( t )的自相关函数
Rx (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )]存在.
那么平稳过程的自相关 函数仅是t2 t1 的单
变函数. (即不随时间的推移而变化).
和 ( X ( t1 h), X ( t2 h),, X ( tn h))
具有相同的分布函数, 则称随机过程 { X ( t ), t T } 具有平稳性, 并同时称此过程为平稳随机过程, 或简称平稳过程 (严平稳过程或狭义平稳过程).
平稳过程的参数集T, 一般为:
( ,), [0,), {0,1,2,} 或 {0,1,2,}.
E[ X ( t )] 0
下面计算 E[ X ( t ) X ( t )]
如果电流在 [t , t )内变号偶数次
X (t )和X (t )必同号且乘积为 I 2,
如果电流在 [t , t )内变号奇数次
X (t )和X (t )乘积为 I 2 , 事件 { X (t ) X (t ) I 2 }的概率为
三、小结
平稳随机过程、宽(广义)平稳随机过程的概念 平稳过程数字特征的特点
(1) 平稳过程的所有样本曲线都在水平直线
x( t ) X 上下波动, 平均偏离度为 X .
( 2) 平稳过程的自相关函数 仅是t2 t1 的单
变函数.
2. 广义平稳过程
{ X ( t ), t T }, 如果对任意 定义1 给定二阶矩过程
t,t T :
E[ X ( t )] X
(常数)
E[ X ( t ) X ( t )] RX ( )
则称{ X ( t ), t T }为宽平稳过程, 或广义平稳过程 .
那么, 称X ( t ) 和 Y ( t )是平稳相关的 , 或两过程是
联合宽平稳的.
二、应用举例
例1 设{ X k , k 1,2,}是互不相关的随机变量
序列, 且 E[ X k ] 0, E[ X ] , 则有
2 k 2
2 , k l , Rx ( k , l ) E[ X k X l ] 0, k l ,
当T源自文库离散情况, 称平稳过程X n 为平稳随
机序列, 或平稳时间序列.
说明 (1) 将随机过程划分为平稳过程和非平稳过程有重
要的实际意义. 过程若是平稳的可使问题的分析尤 为简化. (2) 平稳过程的数字特征有很好的性质.
平稳过程数字特征的特点:
(设平稳过程X ( t )的均值函数E[ X ( t )]存在)
所以随机相位周期过程是平稳的. 特别, 随机相位 正弦波是平稳的.
例3
考虑随机电报信号 x( t ) I
信号X ( t )由只
取 I或 I
o
I
t
的电流给出 .
这里 P{ X ( t ) I } P{ X ( t ) I } 1 / 2
而正负号在区间 ( t , t )内变化的次数N ( t , t )
是随机的, 假设N ( t , t )服从泊松分布.
即事件
Ak { N ( t , t ) k }
k
( ) 的概率为 P ( Ak ) e , k 0,1,2, k! 其中 0是单位时间内变号次数 的数学期望.
试讨论 X ( t ) 的平稳性.
解
EA2 E[cos(t1 ) cos(t2 ) ] 2 1 2 cos ( t 2 t1 ) 2 cos 2 所以{ X ( t )}是平稳过程 .
例5 设X ( t ), t 是一个零均值的平稳
过程, 而且不恒等于一个随机 变量. 问 : X ( t ) X (0), t 是否仍为平稳过程?
而 0时, 令t t , 则自相关函数:
E[ X ( t ) X ( t )] I e
2 2
只与有关
所以随机电报信号X (t ) 是一平稳过程 .
其图形为:
RX ( )
I2
o
例4 设随机过程X ( t ) A cos(t ) , t ,
即相关函数只与k l 有关,
所以它是宽平稳的随机序列.
如果 X1 , X 2 ,, X k ,是独立同分布的 , 则序列是
严平稳的.
例2 设s( t )是一周期为T的函数,是在(0, t )上服
从均匀分布的随机变量 , 称X (t ) s(t )为随机
相位周期过程. 试讨论它的平稳性 .
协方差函数可以表示为
C X ( ) E{[ X ( t ) X ][ X ( t ) X ]}
RX ( ) .
2 X
若令 0 ,
2 2 则 X C X (0) RX (0) X .
说明
要确定一个随机过程的分布函数, 并进而判定 其平稳性在实际中不易办到.
R( t , t ) E[ X ( t ) X (0)][ X ( t ) X (0)]
RX ( ) X (0){ E[ X (t )] E[ X (t )]} X 2 (0)
可见Y ( t ) X ( t ) X (0) 不是平稳过程.
其中A是服从瑞利分布的随机 变量, 其概率密度为
a e f (a ) 2 0,
a2 2 2
, a0 a0
是在(0,2π )上服从均匀分布且与 A 相互独立的 随机变量, 是一常数,问X n ( t ) 是不是平稳过程?
解 因 E ( A)
a
2 2
P ( A0 ) P ( A2 ) P ( A4 ) ...
事件 { X (t ) X (t ) I 2 }的概率为
P ( A1 ) P ( A3 )
2 2
E[ X ( t ) X ( t )] I P ( A2 k ) I P ( A2 k 1 ) k 0 k 0 k 结果与t 无关 ( ) 2 2 2 I e I e . k! k 0
0
e
a2 2 2
π da 2
E( A )
2
a
3 2e
0
a2 2 2
da
0
2ae
a2 2 2
da 2 2
故
E[ A cos(t ) ] EA E[cos(t ) ]
EA 0 0
RX ( t1 , t 2 ) E[ A cos(t1 ) A cos(t 2 ) ]
第一节
平稳随机过程的概念
一、平稳随机过程的概念 二、应用举例 三、小结
一、平稳随机过程的概念
在实际中, 有相当多的随机过程, 不仅它现 在的状态, 而且它过去的状态, 都对未来状态的
发生有着很强的影响.
如果过程的统计特性不随时间的推移而变
化, 则称之为平稳随机过程.
1. 定义
如果对于任意的n( 1,2,), t1 , t2 ,, tn T和 任意实数h,当t1 h, t2 h,, tn h T时, n维随机 变量 ( X ( t1 ), X (t2 ),, X (tn ))
解
的概率密度为
X(t) 的均值函数为
1 / T , 0 T , f ( ) 0, 其他.
E[ X ( t )] E[ s( t )]
T 0
1 1 i T s( t ) d s( )d . T T i
利用s( )的周期性
1 T 知 E[ X ( t )] s( )d 常数. T 0 而自相关函数 RX ( t , t ) E[ s( t ) s( t )] T 1 s ( t ) s ( t ) d 仅与有关 0 T 具有周期性 1 i T s( ) s( )d RX ( ) T i