《复变函数论》试题(B)

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复变函数题库(包含好多考试卷,后面都有问题详解)

4.有界整函数必为常数. ( )
5.如z0是函数f(z)的本性奇点，则一定不存在. ( )
6.若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析. ( )
7.若f(z)在区域D解析,则对D任一简单闭曲线C .
( )
8.若数列收敛，则与都收敛. ( )
9.若f(z)在区域D解析，则|f(z)|也在D解析. ( )
1.设，则 .
2.若，则 ______________.
3.函数ez的周期为__________.
4.函数的幂级数展开式为__________
5.若函数f(z)在复平面上处处解析，则称它是___________.
，
证明是一个至多n次的多项式或一常数。
《复变函数》考试试题（四）
一. 判断题. (20分)
1.若f(z)在z0解析，则f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件.（）
2.若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析.（）
3.函数与在整个复平面有界.（）
4.若f(z)在区域D解析，则对D任一简单闭曲线C都有 .
7.方程在单位圆的零点个数为________.
8.设，则的孤立奇点有_________.
9.函数的不解析点之集为________.
10. .
三.计算题. (40分)
1.求函数的幂级数展开式.
2.在复平面上取上半虚轴作割线.试在所得的区域取定函数在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点处的值.
3.计算积分：，积分路径为（1）单位圆（）的右半圆.
4.求 .
四.证明题. (20分)
1.设函数f(z)在区域D解析，试证：f(z)在D为常数的充要条件是在D解析.

复变函数期末试题

《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题（一）判断题（20分）1.若f(z)在z0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）.( )5.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z0是)(z f 的m 阶零点，则z0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f(z)在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（）二.填空题（20分）=-⎰=-1||00)(z z n z z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数0nn nz∞=∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________. 8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9.z zsin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2..cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 试证:()f z 0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值. 《复变函数》考试试题（二）判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u(x,y)与v(x,y)都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z0是函数f(z)的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在.( )6. 若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析. ( )7. 若f(z)在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )9. 若f(z)在区域D 内解析，则|f(z)|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f(z)使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n n n f .( )二. 填空题. (20分) 1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设Ciy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数0nn nz∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z0是f(z)的m 阶零点且m>0，则z0是)('z f 的_____零点.6. 函数ez 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________.8. 设211)(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________.9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-z z .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点iz =处的值.3. 计算积分：⎰-=iizz I d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f(z)在区域D 内解析，试证：f(z)在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理. 《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( )2. 若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件, 则f(z)在z0解析. ( )3. 若函数f(z)在z0处解析，则f(z)在z0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛.( )5. 若函数f(z)是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f(z)在区域D 内为常数. ( ) 6. 若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导. ( ) 7. 如果函数f(z)在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （）8. 若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )9. 若z0是)(z f 的m 阶零点, 则z0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f .( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ，则f(z)的定义域为___________.2. 函数ez 的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________. 4. =+z z 22cos sin ___________.5.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）6. 幂级数∑∞=0n nnx的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f(z)的孤立奇点有__________. 8. 设1-=ze ，则___=z . 9. 若0z 是)(zf 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zz e .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数n n nz n n ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z|<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

史上最全复变函数试题库

史上最全复变函数试题库（史上最全）《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题（⼀）⼀、判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平⾯为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任⼀简单闭曲线C 0)(=?Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（）⼆.填空题（20分）1、 =-?=-1||00)(z z n z z dz__________.（n 为⾃然数）2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤⽴奇点有__________.5.幂级数∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平⾯上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为⾃然数.9. zz sin 的孤⽴奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||?=z dz z3. 设?-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 试证: ()f z 在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平⾯内能分出两个单值解析分⽀,并求出⽀割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那⽀在1z =-的值.《复变函数》考试试题（⼆）2. cos z 与sin z 在复平⾯内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →⼀定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任⼀简单闭曲线C 0)(=?Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( ) 10. 存在⼀个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f . ( )⼆. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=?+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f i z ________.3.=-?=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为⾃然数）4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. ⽅程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(z z f +=，则)(z f 的孤⽴奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式.在正实轴取正实值的⼀个解析分⽀，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分：?-=iiz z Id ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ?=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试⽤儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）⼀. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( )2. 若f (z )在z 0处满⾜柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛.( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （）8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若(z f 的可去奇点，则)),((Res 0=z z f .( )⼆. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________. 4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-?=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为⾃然数） 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤⽴奇点有__________.8. 设1-=ze，则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =nzze . 三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z n3. 算下列积分：-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是⼀整函数，并且假定存在着⼀个正整数n ，以及两个正数R及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是⼀个⾄多n 次的多项式或⼀常数。

复变函数论试题库及答案

《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题（一）一、判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 解析, 则对D 任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 的某个圆恒等于常数，则f(z)在区域D 恒等于常数.（）二.填空题（20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 的罗朗展式.2..cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 解析. 证明：如果|)(|z f 在D 为常数，那么它在D 为常数.2. 试证: ()f z 0Re 1z ≤≤的z 平面能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）一. 判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 连续.( )2. cos z 与sin z 在复平面有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 解析, 则对D 任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 解析，则|f (z )|也在D 解析. ( ) 10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z Id ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 解析，试证：f (z )在D 为常数的充要条件是)(z f 在D 解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 解析且在D 的某个圆恒为常数，则数f (z )在区域D 为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （）8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域可以展开为幂级数. ( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分) 1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z 的周期为_________.3. 若n n ni n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze，则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 解析. 证明：如果|)(|z f 在D 为常数，那么它在D为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

《复变函数》考试试卷B及答案(评分标准)

《复变函数》考试试卷(B)专业：考试日期：时间120分钟总分100分闭卷2分，计10分） 1、设z=3-3i 则argz=( )。

A.4πB. 4π-C. 3π-D.3π2、在全平面不解析的函数是 ( C )。

A.xyi y x z f 2)(22+-=B.f(z)=sinzC.f(z)=LnzD.f(z)= z e 3、z=0 为f(z)=zzsin 的( )。

A.可去奇点 B.一阶极点 C.本性奇点 D.二阶极点 4、级数nn z n∑∞=021的收敛半经为( )。

A.0 B.1 C.2 D.∞5、函数⎰=-=-21)1(sin z dz z z（）。

A.cos1 B.sin1 C.2πicos1 D. 2πisin1 (每空2分，计18分)1、设复数z=-i ,则z 的三角形式为2、从z 1=0到z 2=1-i 的直线段的参数方程是3、f(z)=zsinz 的导数为4、方程表示的曲线是21=+z5、设z=6)1(i +，则z ＝6、积分⎰==21002)(sin (z z dz z e z7、函数z=11sin -z 的奇点为 8、设f(z)=zz z 212-+,则f(z)在z=0的留数Res[f(z),0]= 9、dz i z i z ⎰=--1221= 三、求下列积分(20分)1、⎰izdz ze 0 2、dz z e z z⎰=-22)1( 3、⎰=++22))(9(z dz i z z z4、dx x x x ⎰+∞∞-++)4)(9(22四、计算题(每题5分,计15分) 1、求31i +的值2、求Ln(-2-2i)的值3、设5335)(--=z z z f ,求)(z f 的导数)('z f .五、级数(每题6分，计12分)(1)、将函数f(z)=)2)(1(1--z z 在0<|z-2|<1内展开为洛朗级数;(2)、求f(z)=z231- 在z=2处的泰勒级数,并指出收敛范围六、(12分)设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=在全复平面解析,求 d c b a .,,的值.七、(13分)（1）讨论函数z z f =)(的可导性与解析性.(2)验证u=122+-y x 是平面上的调和函数,并求解析函数f(z)=u+vi,使 f(0)=i.《复变函数》考试试卷(B)评分标准专业：考试日期：时间120分钟总分100分闭卷2分，计10分） 1、设z=3-3i 则argz=( B )。

《复变函数论》试题库

《复变函数》考试试题（一）一、判断题.（正确者在括号内打√，错误者在括号内打×，每题2分） 1．当复数0z =时，其模为零，辐角也为零. （）2．若0z 是多项式110()n n n n P z a z a z a --=+++(0)n a ≠的根，则0z 也()P z 是的根.（）3．如果函数()f z 为整函数，且存在实数M ，使得Re ()f z M <，则()f z 为一常数.（） 4．设函数1()f z 与2()f z 在区域内D 解析，且在D 内的一小段弧上相等，则对任意的z D ∈，有1()f z 2()f z ≡. （）5．若z =∞是函数()f z 的可去奇点，则Re ()0z s f z =∞=. （）二、填空题.（每题2分）1．23456i i i i i ⋅⋅⋅⋅= _____________________. 2．设0z x iy =+≠，且arg ,arctan22y z x ππππ-<≤-<<，当0,0x y <>时，arg arctanyx =+________________. 3．函数1w z =将z 平面上的曲线22(1)1x y -+=变成w 平面上的曲线______________.4．方程440(0)z a a +=>的不同的根为________________. 5．(1)i i +___________________.6．级数20[2(1)]nn z ∞=+-∑的收敛半径为____________________.7．cos nz 在z n <（n 为正整数）内零点的个数为_____________________. 8．函数336()6sin (6)f z z z z =+-的零点0z =的阶数为_____________________. 9．设a 为函数()()()z f z z ϕψ=的一阶极点，且()0,()0,()0a a a ϕψψ'≠=≠，则()Re ()z af z sf z ='=_____________________. 10．设a 为函数()f z 的m 阶极点，则()Re ()z af z sf z ='=_____________________. 三、计算题（50分）1．设221(,)ln()2u x y x y =+。

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《复变函数论》试题库梅一A111《复变函数》考试试题（一）1、 =-⎰=-1||00)(z z n z z dz__________.（n 为自然数） 2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n ...lim 21______________. 8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）二. 填空题. (20分) 1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设Ciy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z I d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）二. 填空题. (20分) 1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z的周期为_________.3. 若n n ni n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n nnx的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=z e ，则___=z . 9. 若0z是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze.三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn nz nn ∑+∞=!的收敛半径. 3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

《复变函数论》精彩试题库及问题详解

《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题（一）一、判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（）二.填空题（20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z n z z dz__________.（n 为自然数） 2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）一. 判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f .( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式.2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z Id ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （） 8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze ，则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

复变函数14套题目和答案

复变函数14套题目和答案《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题（一）一、判断题（20分）：1.若f(z)在z0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z0解析.()2.有界整函数必在整个复平面为常数.()3.若收敛，则与都收敛.()4.若f(z)在区域D内解析，且，则（常数）.()5.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.()6.若z0是的m阶零点，则z0是1/的m阶极点.()7.若存在且有限，则z0是函数f(z)的可去奇点.()8.若函数f(z)在是区域D内的单叶函数，则.()9.若f(z)在区域D内解析,则对D内任一简单闭曲线C.()10.若函数f(z)在区域D内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D内恒等于常数.（）二.填空题（20分）1.__________.（为自然数）2._________.3.函数的周期为___________.4.设，则的孤立奇点有__________.5.幂级数的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若，则______________.8.________，其中n为自然数.9.的孤立奇点为________.10.若是的极点，则.三.计算题（40分）：1.设，求在内的罗朗展式.2.3.设，其中，试求4.求复数的实部与虚部.四.证明题.(20分)1.函数在区域内解析.证明：如果在内为常数，那么它在内为常数.2.试证:在割去线段的平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线上岸取正值的那支在的值.《复变函数》考试试题（二）1、判断题.（20分）1.若函数在D内连续，则u(某,y)与v(某,y)都在D内连续.()2.coz与inz在复平面内有界.()3.若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续.()4.有界整函数必为常数.()5.如z0是函数f(z)的本性奇点，则一定不存在.()6.若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析.()7.若f(z)在区域D内解析,则对D内任一简单闭曲线C.()8.若数列收敛，则与都收敛.()9.若f(z)在区域D内解析，则|f(z)|也在D内解析.()10.存在一个在零点解析的函数f(z)使且.()二.填空题.(20分)1.设，则 2.设，则________.3._________.（为自然数）4.幂级数的收敛半径为__________.5.若z0是f(z)的m阶零点且m>0，则z0是的_____零点.6.函数ez的周期为__________.7.方程在单位圆内的零点个数为________.8.设，则的孤立奇点有_________.9.函数的不解析点之集为________.10..三.计算题.(40分)1.求函数的幂级数展开式.2.在复平面上取上半虚轴作割线.试在所得的区域内取定函数在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点处的值.3.计算积分：，积分路径为（1）单位圆（）的右半圆.4.求.四.证明题.(20分)1.设函数f(z)在区域D内解析，试证：f(z)在D内为常数的充要条件是在D内解析.2.试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）一.判断题.(20分).1.coz与inz的周期均为.()2.若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件,则f(z)在z0解析.()3.若函数f(z)在z0处解析，则f(z)在z0连续.()4.若数列收敛，则与都收敛.()5.若函数f(z)是区域D内解析且在D内的某个圆内恒为常数，则数f(z)在区域D内为常数.()6.若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导.()7.如果函数f(z)在上解析,且,则.（）8.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.()9.若z0是的m阶零点,则z0是1/的m阶极点.()10.若是的可去奇点，则.()二.填空题.(20分)1.设，则f(z)的定义域为___________.2.函数ez的周期为_________.3.若，则__________.4.___________.5._________.（为自然数）6.幂级数的收敛半径为__________.7.设，则f(z)的孤立奇点有__________.8.设，则.9.若是的极点，则.10..三.计算题.(40分)1.将函数在圆环域内展为Laurent级数.2.试求幂级数的收敛半径.3.算下列积分：，其中是.4.求在|z|<1内根的个数.四.证明题.(20分)1.函数在区域内解析.证明：如果在内为常数，那么它在内为常数.2.设是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数R及M，使得当时，证明是一个至多n次的多项式或一常数。

复变函数试题库(含答案)

复变函数一、选择题1. 设函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+且),(y x u 是区域D 内的调和函数,则当),(y x v 在D 内是（ C ）时, )(z f 在D 内解析. A. 可导函数B.调和函数C.共轭调和函数2、复积分()nCdzz a -⎰的值为（ B ） (A) 0 (B) 0;2(C)(D)2i i ππ不存在 3、0z =是sin ()zf z z=的奇点类型是（ D ） (A) (B) (C)(D) 一阶极点本性奇点不是奇点可去奇点 4、计算12()i eπ-的结果是（ B ）(A) (B) (C)(D)i i i ±-05、下列函数在z S 处处解析的是（ C ）(A) (B) (C)(D)z z e z z z e z zRe z f()=f()=f()=f()= 6．当x 〈0, y 0≥时,argz=( C ).A. π-x y arctan; B. x yarctan ; C π+x y arctan ; D. π2arctan +xy.7．argz 1z 2=( A )..A ．argz 1+argz 2; B. argz 1+argz 2+2k π(k 是整数); C.argz 1+argz 2+2k 1π（k 1是某个整数）; D.argz 1+argz 2+π. 8.下列集合是有界闭区域的是（ C ） A 0<R z ≤;B Rez<2; C.1≤z 且Imz 0≥; D.1≥z 且 Rez>0 .9.方程z=t+)(R t ti∈在平面上表示的是（ B ）.A ．直线y=x; B. 双曲线 y=x1;C 椭圆周；D 圆周 10.函数)(z f =z 在0z =处（ A ）. A. 连续B. 可导C. 解析11.ii-+23=( A ). A ．i +1 i B +2. i C 32.+ i D -1.12.函数w=f(z)仅在点z 0可微，则w=f(z)在点z 0（ D ） A 解析； B 某邻域内处处解析； C.不解析。

复变函数论试卷

《复变函数论》试卷一一、填空（30分）1. 将复数()πααα≤≤+-=0sin cos 1i z 化为三角表示式，则=z 把它化为指数表示式，则=z2.=+i e π3 ，()ii +1的辐角的主值为3. =z 0是()44sin z z z f =的阶零点.4.0z 是()z f 的()1>m m 阶零点，则0z 是()z f '1的阶极点. 5.已知()()2323cxy x i y bx ay z f +++=为解析函数，则___________________===c b a6.方程0273=+z 的根为，，二、简要回答下列各题（15分）1. 用复数i 去乘复数i +1的几何意义是什么？2. 函数()z f 在0z 解析有哪几个等价条件？3. 设函数()z f 在单连通区域D 内处处解析，且不为零，C 是D 内的任一简单闭曲线，问积分()()dz z f z f c ⎰'是否等于零，为什么？三、计算下列积分（16分）1. czdz ⎰，c 是从点1i -到点1i +的有向直线段2. 202cos d πθθ+⎰四、（12分）求函数()11z z +在圆环112z <-<内的洛朗级数展开式.五、（12分）证明方程24290z z ++=在单位圆1z =内及其上无解. 六、（15分）求映射，把带形区域0Re 2z <<共形映射成单位圆1w <，且把1z =映射成0w =，把2z =映射成1w =.《复变函数》试卷二一、填空题（20分）1. －2是的一个平方根2. 设21i z --=，则，=z Argz ＝ =z Im3. 若22z z =，则θi re z =满足条件 4. =ze e，()=ze e Re5. 设1≠=θi re z ，则()=-1ln Re z6. 设变换βαβα,,+=z w 为复常数，则称此变换为变换，它是由等三个变换复合而成.7. 幂级数∑∞=12n nn z n 的收敛半径=R 8.函数baz +1在0=z 处的幂级数展开式为，其收敛半径为9.变换z e W =将区域π<<z D Im 0:变换成区域:G二、判断下列命题之真伪（20分）1.()z e z F cos =在全平面上任意阶可微.2. 若函数()z F 在有界区域D 内有解析，且在其中有无穷多个零点，则()z F 在D 内恒为零. （）3. 设扩充复平面上的点a 时函数()z F 的可去奇点，则()Re 0z asF z ==.4. 若()W F z =是区域D 内的保形变换，则()W F z =在D 内单叶解析且保角.5. 若函数()z F 在区域D 内解析，则()0cf z dz =⎰，其中c 是D 内的任意一条围线.6. 设()()(),,F z u x y iv x y =+在区域D 内可导，则在D 内，()'y x F z v iv =+7. 设函数()z F 在点()a ≠∞解析，则总存在0R >，在z a R -<内()z F 能展成幂级数()0nn n c z a ∞=-∑.8. 非常数的整函数必为无界函数.9. 设()f z 在区域D 内解析，则()f z 在D 内连续. 10. 若函数()f z 在a 点可导，则()f z 在a 点解析.三、计算下列各题（24分）1. 求极限0cos lim sin z z z zz z →--2. 求21c I dz z=⎰ ，其中是下半圆周，起点11z =-，终点21z =3. 求i 的立方根4. 求2212cos d I p pπθθ=-+⎰()1p >5. 求()11f z z =-在1z =及z =∞的残数 6. 求1sin z dzI z z==⎰四、（16分） 1. 叙述儒歇定理2. 证明方程()01z n e e z λλ-=>在单位圆1z <内有n 根五、求下列变换（20分）1. 求将2,,2i -对应变成1,,1i -的线性变换2. 求出将圆42z i -<变为半平面v u >的保形变换，使得圆心变到－4，而圆周上的点2i 变到0w =《复变函数》试卷三一、填空题（45分）1. ()1Arg i -＝，复数()1cos sin 0z i ϕϕϕπ=-+<≤的模为2. 设()()32256f z z z =+-，则()'f z ＝3. 设()()cos sin x f z e y i y =+，则()'f z ＝4. z e 是周期函数，其基本周期为5. 如果函数()w f z =在区域D 内满足条件：，则称()f z 为区域D 内的解析函数6. 设c 是连接a 与b 的直线段，则czdz ⎰＝7. 设圆周:3c z =，则3c dzz ⎰＝ 8. 级数21nn z n ∞=∑的收敛半径为，级数2491z z z ++++⋅⋅⋅的收敛半径为9. 0z =为函数()sin f z z z =-的级零点10. 叙述最大模原理： 11. 设()()()25121zf z z z =-+，则1z =为()f z 的级极点，12z =-为()f z 的级极点12. 设()22f z z z =+，则在点12z i =-+处的旋转角()'arg 12f i -+＝二、判断下列命题之真伪（15分）1. 函数()2f z z =在z 平面上处处不解析 2.()z F z e =是整函数3.若函数()F z 在区域D 内解析，c 是D 内任一条围线，则()0cF z dz =⎰4.设函数()F z 在点()a ≠∞解析，则总存在0R >，在z a R -<内能展成幂级数()0nn n c z a ∞=-∑2. 若函数()f z 在点a 可导，则()f z 在点a 解析三、求解下列各题（20分） 1. 求积分()ln 1z rI z dz ==+⎰ ()01r <<2. 求积分()()229I d i ξξξξξ==-+⎰3. 求积分()22521z z I dz z z =-=-⎰4. 试将函数()2zf z z =+按1z -的幂展开，并指出其收敛范围5. 求将2,,2i -对应变成1,,1i -的线性变换四、证明题（20分）1. ①叙述代数学基本定理②试用复分析方法证明代数学基本定理2. 证明方程()00z n e e z λλ-=>在单位圆1z <内有n 根《复变函数》试卷四一、填空题（50分）1. 已知1z i =-，则arg z ＝ ()arg z ππ-<≤，z ＝，z ＝2.3. 设()()cos sin x f z e y i y =+，则()'f z ＝4. sin z 的零点为，cos z 的零点为5. ()1Ln -＝， i i ＝6. 函数()f z ()(),,u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件是7.1z dzz =⎰＝21z dzz =⎰＝8．幂级数21nn z n∞=∑ 的收敛半径为9． 0z =是函数()sin f z z z =-的级零点10. 叙述最大模原理： 11.函数()()()112f z z z =--在z 平面内有个奇点，它们是12. 1z =为函数()()()251121z f z z z +=-+的级极点13. 方程742520z z z -+-=在单位圆内有个根14. 设()22f z z z =+，则()f z 在12z i =-+处的旋转角为伸缩率为 15. 线性变换()0az bw ad bc cz d+=-≠+的逆变换为16. 变换3w z =将z 平面上区域:0arg 3D z π<<变换为w 平面上的区域G ：二、判断题（15分）1. 设()f z 在区域D 内可导，则()f z 在D 内解析2. 互为共轭的两复数具有相同的模3. 复数0z =的充要条件是0z =4. 设()f z 在区域D 内解析，c 为D 内任一闭曲线，则()0cf z dz =⎰5. sin z 和cos z 都是平面上的有界函数三、计算下列各题（15分） 1. 设()()()112f z z z =--，求()f z 在1z <内的泰勒展式2. 求积分()22521z z I dz z z =-=-⎰3.求将2,,2i -对应地变成1,,1i -的线性变换四、证明题（20分）1. 证明函数()2f z z =在z 平面上处处不解析2. 设a 为()f z 的n 级零点，证明：a 必为函数()()'f z f z 的一级极点，并且()()'Re z a f z s n f z =⎡⎤=⎢⎥⎣⎦《复变函数》试卷五一、填空题（18分）1. 的所有值为：2. ()cos 1i +＝ ()1Ln -＝3. 0cos limsin z z z zz z→--＝4. 设()()0n n f z c z r z +∞-∞=≤<<+∞∑，则()Re z s f z =∞＝5．令z x iy =+，2z w e =，则w ＝ Im w ＝6. 线性变换()()0az bW L z ad bc cz d+==-≠+在扩充z 平面上有下列特性，请你完整地予以叙述⑴ 保形性：⑵ 保交比性： ⑶ 保圆周性： ⑷ 保对称性：7. 1w z=将z 平面上的直线y x =变换为w 平面上的曲线二、判断题（10分）下列断语如果正确则打“ √”，否则打“×”1. 如果函数()f z 在点()a ≠∞处解析，则存在0R >，使()f z 在z a R -<内可展成泰勒级数，且展式唯一2. 设a 是z 平面上的一点，若a 为函数()f z 的可去奇点，则()Re 0z as f z ==（）3. 如果函数()f z 在某有界区域D 内解析，且在D 内有一列零点，则()f z 在D 内恒为零 4. sin z 和cos z 都是z 平面上的有界整函数 5. 若函数()f z 在区域D 内解析，则()0cf z dz =⎰.其中c 是内的任意一条围线三、解下列各题（24分）1. 求1c dz z ⎰的值，其中c 是上半单位圆周，起点为1z =-，终点为1z =2. 求函数()11z f z e -=在1,z =∞的留数3. 计算积分()20sin 01x mxI dx m x+∞=>+⎰4. 将函数()11z f z z -=+在1z =处展开成幂级数，并求其收敛半径四、证明题（24分）1. 试证：在原点解析，且在()11,2,z n n==⋅⋅⋅处取下列值的函数()f z 是不存在的： 111111,,,,,224466⋅⋅⋅2. 试证：73120z z -+=的根全在12z <<内五、（12分）求将2,,2i -对应地变成1,,1i -的线性变换六、（12分）求出将圆42z i -<变成半平面v u >的保形变换，使得圆心变到－4，而圆周上的点变到2i 变到0w =《复变函数》试卷六一、填空题（30分）1．已知z=1－i ，则arg z= （－π<arg z ≤π），| z |= , z =2．变换W=Z 3将Z 平面上区域D ：0< arg z <3π变换为W 平面上的区域G ：3．Ln （－1）= , i i = , Arctg(2i) = 4．函数f （z ）在区域D 内解析的充要条件是下列条件之一（1）（2）（3）（4）5．幂级数z ＋z 4＋z 9＋…＋2n z ＋…的收敛半径为6．在原点解析，而在z= 1n （n=1，2，…）处取值为 f(1n )=211n+的函数为7．函数f （z ）=z 2（21z e -）的零点是，它是级的二、判断题（10分）1．设f （z ）在区域D 内可导，则f （z ）在D 内解析（） 2．设f （z ）在区域D 内解析，C 是D 内任一闭曲线，则c⎰f （z ）dz=03．Sinz 和cosz 都是z 平面上的有界函数（） 4．f （z ）=u ＋iv 在区域D 内解析，则－u 是v 的共轭调和函数5． f （z ）=| z |2在z 平面上处处不解析三、求下列积分（15分） 1．I= z cze dz ⎰，其中c 是连结o 到－1＋i 的直线段 2．I=212ln(1)z z z dz =+⎰3．I=22(8)()z zdz z z i =--⎰ 四、（12分）已知u=x 3+6x 2y-3xy 2-2y 3,求解析函数f(z)=u+iv 使合条件f （0）＝0五、（12分）将函数f(z)=1az b+(a,b 为复数，ab ≠0)展开为z 的幂级数，并指出展式成立的范围，六、（12分）叙述并证明代数学基本定理七、（9分）设f （z ）=u(x ·y )+iv(x ·y )在区域内解析，试证在D 内，0f z∂=∂《复变函数》试卷七一．填空题（20分）1．已知z ＝1－I ，则argz ＝ (－π<arg z ≤π)，| z |= ，z =2．变换W=Z 3将z 平面上的区域D 变换为W 平面上的区域G ：，其中D ： 0< arg z <3π3． sin 2z ＋cos 2z ＝1在直线z ＝x ，(y=0)上成立，则由定理，sin 2z ＋cos 2z ＝1 在全平面上也成立4．设f(z)=2z 4－z 3＋11z 2－1，f(z)在| z |<2内有个零点，f(z)在 2≤| z |<3 内有个零点，f(z)在3≤| z |<＋∞内有零点，f(z)在z ＝1处的旋转角为，伸缩率为。

《复变函数》考试试题与答案各种总结

《复变函数》考试试题（一）一、判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（）二.填空题（20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（一）参考答案一．判断题1．×2．√ ３．√ ４．√ ５．√ 6．√ ７．×８．×９．×10．× 二．填空题 1. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩； 2. 1； 3. 2k π，()k z ∈； 4. z i =±； 5. 16. 整函数；7. ξ；8. 1(1)!n -； 9. 0； 10. ∞.三．计算题.1. 解因为01,z << 所以01z <<111()(1)(2)12(1)2f z z z z z ==-----001()22nn n n z z ∞∞===-∑∑.2. 解因为22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z z ππππ→→=+===--, 22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z zππππ→-→-=--===-. 所以22212(Re ()Re ()0cos z z z dz i s f z s f z z πππ==-==+=⎰. 3. 解令2()371ϕλλλ=++, 则它在z 平面解析, 由柯西公式有在3z <内, ()()2()c f z dz i z z ϕλπϕλ==-⎰.所以1(1)2()2(136)2(613)z i f i i z i i i πϕππ=+''+==+=-+. 4. 解令z a bi =+, 则 222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a bi a bw z z a b a b a b -+-+==-=-=-+++++++++. 故 2212(1)Re()11(1)z a z a b -+=-+++, 2212Im()1(1)z bz a b -=+++. 四. 证明题.1. 证明设在D 内()f z C =.令2222(),()f z u iv f z u v c =+=+=则.两边分别对,x y 求偏导数, 得 0(1)0(2)x x yy uu vv uu vv +=⎧⎨+=⎩因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-. 代入 (2) 则上述方程组变为00x x x x uu vv vu uv +=⎧⎨-=⎩. 消去x u 得, 22()0x u v v +=. 1) 若220u v +=, 则 ()0f z = 为常数.2) 若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =, 0y v =. 所以12,u c v c ==. (12,c c 为常数).所以12()f z c ic =+为常数. 2.证明()f z =0,1z =. 于是割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.由于当z 从支割线上岸一点出发,连续变动到0,1z = 时, 只有z 的幅角增加π. 所以()f z =2π. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在1z =-的幅角为2π,故2(1)i f e π-==.《复变函数》考试试题（二）一. 判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f .( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z Id ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（二）参考答案一. 判断题.1．√ ２．×３．√ ４．√ ５．×6．×７．×８．√ ９．×10．×. 二. 填空题1.1，2π-， i ； 2. 3(1sin 2)i +-； 3. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩； 4. 1； 5. 1m -. 6. 2k i π，()k z ∈. 7. 0； 8. i ±； 9. R ； 10. 0. 三. 计算题1. 解 3212163300(1)(2)(1)2sin(2)(21)!(21)!n n n n n n n z z z n n +++∞∞==--==++∑∑.2. 解令i z re θ=.则22(),(0,1)k if z k θπ+===.又因为在正实轴去正实值，所以0k =.所以4()if i eπ=.3. 单位圆的右半圆周为i z e θ=, 22ππθ-≤≤.所以22222ii i iz dz de ei ππθθππ---===⎰⎰.4. 解dz z zz ⎰=-22)2(sin π2)(sin 2ππ='=z z i 2cos 2ππ==z zi =0.四. 证明题.1. 证明 (必要性) 令12()f z c ic =+,则12()f z c ic =-. (12,c c 为实常数). 令12(,),(,)u x y c v x y c ==-. 则0x y y x u v u v ====. 即,u v 满足..C R -, 且,,,x y y x u v u v 连续, 故()f z 在D 内解析. (充分性) 令()f z u iv =+, 则 ()f z u iv =-, 因为()f z 与()f z 在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-, 且(),()x y y y x x u v v u v v =-=-=--=-.比较等式两边得 0x y y x u v u v ====. 从而在D 内,u v 均为常数,故()f z 在D 内为常数.2. 即要证“任一 n 次方程 101100(0)n n n n a z a z a z a a --++⋅⋅⋅++=≠ 有且只有 n 个根”.证明令1011()0nn n n f z a z a z a z a --=++⋅⋅⋅++=, 取10max ,1n a a R a ⎧⎫+⋅⋅⋅+⎪⎪>⎨⎬⎪⎪⎩⎭, 当z 在:C z R =上时, 有 111110()()n n nn n n z a R a R a a a R a R ϕ---≤+⋅⋅⋅++<+⋅⋅⋅+<.()f z =.由儒歇定理知在圆 z R < 内, 方程10110n n n n a z a z a z a --++⋅⋅⋅++= 与 00na z = 有相同个数的根. 而 00na z = 在 z R < 内有一个 n 重根 0z =. 因此n 次方程在z R <内有n 个根.《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （） 8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z 的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze ，则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

《复变函数论》试题库

《复变函数》考试试题（一）一、判断题.（正确者在括号内打√，错误者在括号内打×，每题2分） 1．当复数0z =时，其模为零，辐角也为零. （）2．若0z 是多项式110()n n n n P z a z a z a --=+++ (0)n a ≠的根，则0z 也()P z 是的根.（） 3．如果函数()f z 为整函数，且存在实数M ，使得Re ()f z M <，则()f z 为一常数.（） 4．设函数1()f z 与2()f z 在区域内D 解析，且在D 内的一小段弧上相等，则对任意的z D ∈，有1()f z 2()f z ≡. （）5．若z =∞是函数()f z 的可去奇点，则Re ()0z s f z =∞=. （）二、填空题.（每题2分）1．23456i i i i i ⋅⋅⋅⋅= _____________________. 2．设0z x iy =+≠，且arg ,arctan22y z xππππ-<≤-<<，当0,0x y <>时，arg arctany x =+________________.3．函数1w z=将z 平面上的曲线22(1)1x y -+=变成w 平面上的曲线______________.4．方程440(0)z a a +=>的不同的根为________________. 5．(1)i i +___________________.6．级数20[2(1)]n n z ∞=+-∑的收敛半径为____________________.7．cos nz 在z n <（n 为正整数）内零点的个数为_____________________.8．函数336()6sin (6)f z z z z =+-的零点0z =的阶数为_____________________.9．设a 为函数()()()z f z z ϕψ=的一阶极点，且()0,()0,()0a a a ϕψψ'≠=≠，则()Re ()z af z sf z ='=_____________________.10．设a 为函数()f z 的m 阶极点，则()Re ()z af z sf z ='=_____________________.三、计算题（50分）1．设221(,)ln()2u x y x y =+。

《复变函数》期末试卷及答案(B卷)

学号和姓名务必正确清楚填写。

因填写错误或不清楚造成不良后果的，均由本人负责；如故意涂改、乱写南昌职业学院2016—2017 学年度第一学期期末考试复变函数试卷学号（最后两位）总分题号一二三四统分人题分30203030复查人得分精品文档7. 设z x iy， f ( z)y i x ，则 f ( z)()A. 1iB.iC.1D.08. 设C是正向圆周z2，则dz()C z2A. 0B.2iC.iD.2i9. 设函数f ( z)在0z z0R (0R) 内解析，那么z0是 f (z) 的极点的充要条件是()A.lim f (z) a （a为复常数） B.lim f (z) 不存在z z0z z0的，考试成绩视为无效。

系别专业班级答一、单项选择题（本大题共10 小题，每题 3 分，共 30得分评卷人复查人题分，请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项，请并将其前面的字母填在题中括号内。

）勿1.设 f ( z)z23i z2，则 f (z) 的零点个数为超()过 A.0 B.1 C.2 D.3此 2.设 z a cost ib sin t （ a b为实常数），则它表示的曲线是( )密A.双曲线B.圆C.椭圆D.抛物线封1i 时，则z100线 3. 若z z75z50( )，1iA.iB.iC.1D.1否则 4.函数 f ( z)1在下列哪个环域内不能展开成洛朗级数()视z(z25z6)为 A.z1 B.0 z2C.lim f ( z)z z010. 因为e z2(n0A.(1)n1） n!n 0（2nC.(1)n2n）（n 11n!得分评卷人D.以上都对1)nz2n ze z2dz 的幂级数展开式是( )( z) ，故n!0z2n 1 , z B.( 1) n 2n z2 n 1, zn 0（2n1） n!z2n1, z D.（(1) n 2n 2 n 1, z2n）zn 1 1 n!复查人二、填空题 ( 本大题共 5 小题，每题 3 分，共 15 分 )姓名无2 z3z3C. D.效。

复变函数复习资料精选全文完整版

可编辑修改精选全文完整版复变函数论（A ）Ⅰ. Cloze Tests （20102=⨯ Points ）1. If nnn n i i z ⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1173，thenlim =+∞→n n z .2. If C denotes the circle centered at 0z positively oriented and n is apositive integer ，then)(10=-⎰C n dz z z . 3. The radius of convergence of∑∞=++13)123(n n z n nis .4. The singular points of the function )3(cos )(22+=z z zz f are . 5. 0 ,)ex p(s Re 2=⎪⎭⎫⎝⎛n z z , where n is a positive integer.6.=)sin (3z e dzd z. 7. The main argument and the modulus of the number i -1 are . 8. The square roots of i -1 are . 9. The definition of z e is . 10. Log )1(i -= .Ⅱ. True or False Questions (1553=⨯ Points)1. If a function f is analytic at a point 0z ，then it is differentiable at 0z .（）2. If a point 0z is a pole of order k of f ，then 0z is a zero of order k off /1.（）3. A bounded entire function must be a constant.（）4. A function f is analytic a point 000iy x z += if and only if whose real andimaginary parts are differentiable at ),(00y x .（）5. If f is continuous on the plane and =+⎰Cdz z f z ))((cos 0 for every simpleclosed path C , then z e z f z 4sin )(+ is an entire function. ( )Ⅲ. Computations (3557=⨯ Points)1. Find⎰=-+1||)2)(12(5z z z zdz.2. Find the value of ⎰⎰==-+228122)1(sin z z z z dzz dz z ze . 3. Let )2)(1()(--=z z zz f ，find the Laurent expansion off on the annulus{}1||0:<<=z z D .4. Given λλλλd z z f C⎰-++=345)(2，where {}3|:|==z z C ，find )1(i f +-'.5. Given )1)(1(sin 1)(2+-+=z z zz f ，find )1),(Res()1),(Res(-+z f z f .Ⅳ. Verifications (30310=⨯ Points)1. Show that if )(0)()(C z z f k ∈∀≡, then )(z f is a polynomial of order k <.2. Show that 012797lim 242=+++⎰+∞→R C R dz z z z , where R C is the circle centered at 0 with radius R .3. Show that the equation 012524=-+-z z z has just two roots in the unite disk复变函数论（B ）Ⅰ. Cloze Tests （20102=⨯ Points ）1. If nnn n i i z ⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1162，thenlim =+∞→n n z .2. If C denotes the circle centered at 0z positively oriented and n is apositive integer ，then)(10=-⎰C n dz z z . 3. The radius of the power series∑∞=+12)1(n n z nis .4. The singular points of the function )1(sin )(2+=z z zz f are .5. 0 ,)ex p(s Re 2=⎪⎭⎫⎝⎛n z z , where n is a positive integer.6.=z e dzd z2cos . 7. The main argument and the modulus of the number i -1 are . 8. The square roots of 1+i are . 9. The definition of z cos is . 10. Log )1(i += .Ⅱ. True or False Questions (1553=⨯ Points)1. If a function f is differentiable at a point 0z ，then it is continuous at 0z .（）2. If a point 0z is a pole of order m of f ，then 0z is a zero of order m off /1.（）3. An entire function which maps the plane into the unite disk must be aconstant.（）4. A function f is differentiable at a point 000iy x z += if and only if whosereal and imaginary parts are differentiable at ),(00y x and the Cauchy Riemann conditions hold there.（）5. If a function f is continuous on the plane and=⎰Cdz z f )(0 for everysimple closed contour C , then z z f sin )( is an entire function. ( )Ⅲ. Computations (3557=⨯ Points)1. Find⎰=-+1||)2)(12(z z z zdz.2. Find the value of ⎰⎰==-+223122)1(sin z z z z dzz dz z ze . 3. Let )2)(1()(--=z z zz f ，find the Laurent expansion off on the annulus{}1||0:<<=z z D .4. Given λλλλd z z f C⎰-++=142)(2，where {}3|:|==z z C ，find )1(i f +-'.5. Given )1)(1(sin )(2+-=z z zz f ，find )1),(Res()1),(Res(-+z f z f .Ⅳ. Verifications (30310=⨯ Points)1. Show that the function iy x e e z z f ---=)2()(2is an entire function.2. Show that if )(0)()(C z z f m ∈∀≡, then )(z f is a polynomial of orderm <.3. Show that 0651lim 242=+++⎰+∞→R C R dz z z z , where R C is the circle centered at 0 with radius R .复变函数论（C ）Ⅰ. Cloze Tests （20102=⨯ Points ）1. If nn n n i i z ⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3131，thenlim =+∞→n n z .2. If C denotes any simple closed contour and 0z is a point inside C , then)(sin 0=-⎰Cn dz z z z, where n is an integer. 3. The radius of convergence of the power series∑∞=-12)63(n n z nis .4. The singular points of the function )2(cos )(244-+=z z z z z f are .5. 0 ,)ex p(s Re =⎪⎭⎫⎝⎛m z z , where m is a positive integer.6. The main argument and the modulus of the number iie 45πare . 7. The integral of the function )(sin )(2ti t t t w += on ]1,1[- is . 8. The definition of z sin is . 9. Log )1(i -= .10. The solutions of the equation 013=-zi e are .Ⅱ. True or False Questions (1553=⨯ Points)1. If a function f is continuous at a point 0z ，thenit is differentiable at 0z .（）2. If a point 0z is a pole of order m of f ，then there is a function ϕ that isanalytic at 0z with 0)(0≠z ϕ such that mz z z z f )()()(0-=ϕ on somedeleted neighborhood of 0z .（）3. An entire function which is identically zero on a line segment must beidentically zero.（）4. A function f is differentiable on open set D if and only if whose real andimaginary parts are differentiable on D and the Cauchy Riemann conditions hold on D .（）5. If a function f is continuous on the plane and=⎰Cdz z f )(0 for everysimple closed path C , then 0)(=z f for all z . ( )Ⅲ. Computations (3557=⨯ Points)1. Find⎰=++1||)23)(13(9z z z zdz.2. Find the value of ⎰⎰==-+-222142)1(sin z z z dzz dz z zz . 3. Let )2)(1(3)(2++=z z z z f ，find the Laurent expansion of f on the annulus{}1||0:<<=z z D .4. Given ξξξξd z z f C ⎰-++=543)(2，where {}4|:|==z z C ，find )2(i f +'.5. Find ⎪⎪⎭⎫⎛+i z z ,)1(4Res 222.Ⅳ. Verifications (30310=⨯ Points)1. Show that 0233lim 242=+++⎰+∞→RC R dz z z z , where R C is the circle centered at 0 with radius R .2. Suppose that f is analytic and ||f is a constant on a domain a domainD , prove that a z f =)( for some constant a and all D z ∈.3. Show that the equation z z z z -=+-127234 has just three roots in the unite disk.《复变函数论》试题（D ）Ⅰ. Cloze Tests （20102=⨯ Points ）1. If nnn n i i z ⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1153，then lim =+∞→n n z .2. If C denotes the circle centered at 0z positively oriented and n is apositive integer ，then)(10=-⎰Cn dz z z . 3. The radius of the power series∑∞=++13)12(n n z n nis .4. The singular points of the function )3(cos )(2+=z z zz f are . 5. 0 ,)ex p(s Re 2=⎪⎭⎫⎝⎛n z z , where n is a positive integer.6.=)sin (5z e dzd z. 7. The main argument and the modulus of the number i -1 are . 8. The square roots of 1+i are . 9. The definition of z e is . 10. Log )1(i += .Ⅱ. True or False Questions (1553=⨯ Points)1. If a function f is differentiable at a point 0z ，then it is analytic at 0z .（）2. If a point 0z is a pole of order k of f ，then 0z is a zero of order k off /1.（）3. A bounded entire function must be a constant.（）4. A function f is analytic a point 000iy x z += if and only if whose real andimaginary parts are differentiable and the Cauchy Riemann conditions hold in a neighborhood of ),(00y x .（）5. If a function f is continuous on the plane and=⎰Cdz z f )(0 for everysimple closed contour C , then z e z f z sin )(+ is an entire function. ( )Ⅲ. Computations (3557=⨯ Points)1. Find⎰=-+1||)2)(12(z z z zdz.2. Find the value of ⎰⎰==-+223122)1(sin z z z z dzz dz z ze . 3. Let )2)(1()(--=z z zz f ，find the Laurent expansion off on the annulus{}1||0:<<=z z D .4. Given λλλλd z z f C⎰-++=142)(2，where {}3|:|==z z C ，find )1(i f +-'.5. Given )1)(1(sin )(2+-=z z zz f ，find )1),(Res()1),(Res(-+z f z f .Ⅳ. Proving (30310=⨯ Points)1. Show that if )(0)()(C z z f m ∈∀≡, then )(z f is a polynomial of order m <.2. Show that 012783lim 242=+++⎰+∞→R C R dz z z z , where R C is the circle centered at 0 with radius R .3. Show that the equation 012524=-+-z z z has just two roots in the unitedisk.《复变函数论》试题（E ）Ⅰ. Cloze Tests （20102=⨯ Points ）1. If nn n i n n z ⎪⎭⎫⎝⎛++-=211，thenlim =+∞→n n z . 2. If C denotes the circle centered at 0z and n is an integer ，then)(1210=-⎰C n dz z z i π. 3. The radius of the power series∑∞=+12)1(n n z nis .4. The singular points of the function 1cos )(2+=z zz f are .5. 0 ,sin s Re 2=⎪⎭⎫⎝⎛n z z , where n is a positive integer.6.=z e dzd z2sin . 7. The main argument and the modulus of the number i +1 are . 8. The square roots of )0(>A Ai are . 9. The definition of z cos is . 10. Log )22(i += .Ⅱ. True or False Questions (1553=⨯ Points)1. If a function f is differentiable at a point 0z ，then it is continuous at 0z .（）2. If a point 0z is a zero of order n of f ，then 0z is a pole of order n off /1.（）3. There is a non-constant entire function which maps the plane into the disk1000||<z .（）4. A function f is differentiable at a point 000iy x z += if and only if whosereal and imaginary parts are differentiable at ),(00y x and the Cauchy Riemann conditions hold there.（）5. If a function f is continuous on the plane and=⎰Cdz z f )(0 for everysimple closed contour C , then it is an entire function. ( )Ⅲ. Computations (3557=⨯ Points)1. Find the integral ⎰+Czdz z e 12, where C is the circle 7||=z .2. Find the value of ⎰⎰==+-+235121)1(sin z z z z dzz dz z ze . 3. Let )2)(1(1)(--=z z z f ，find the Laurent expansion off on the annulus{}1||0:<<=z z D .4. Given λλλλd z z f C ⎰-++=765)(2，where {}4|:|==z z C ，find )1(i f +'.5. Given )0(2:,2)(πθθ≤≤=+=i e z C zz z f ，find dz z f C⎰)(.Ⅳ. Proving (30310=⨯ Points)1. Show that 020914lim 242=++-⎰+∞→R C R dz z z z , where R C is the circle centered at 0 with radius R .2. Suppose that f is an entire function and there is a constant M and apositive integer m such that )(|||)(|C ∈∀≤z z M z f m . Prove thatm m z a z a z a z f +++= 221)(for some constants 1a , m a a ,,2 and all z in the plane.3·Show that the equation 01438=-+-z z z has just three roots in the unite disk2005－2006学年第一学期期末考试2003级数学与应用数学专业《复变函数论》试题（C ）Ⅰ. Cloze Tests （20102=⨯ Points ）1. If nnn n i i z ⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2121，then lim =+∞→n n z . 2. If C denotes any simple closed contour and 0z is a point inside C , then)(10=-⎰Cn dz z z , where n is an integer. 3. The radius of the power series∑∞=123n n z nis .4. The singular points of the function )2(cos )(24-=z z zz f are .5. 0 ,)ex p(s Re =⎪⎭⎫⎝⎛nz z , where n is a positive integer.6. The main argument and the modulus of the number iie 42π are . 7. The integral of the function )(sin )(4i t t t w += on ]1,1[- is . 8. The definition of z cos is . 9. Log )1(i -= .10. The solutions of the equation 012=-zi e are .Ⅱ. True or False Questions (1553=⨯ Points)1. If a function f is continuous at a point 0z ，then it is differentiable at 0z .（）2. If a point 0z is a pole of order m of f ，then there is analytic function ϕat 0z with 0)(0≠z ϕ such that mz z z z f )()()(0-=ϕ on some deletedneighborhood of 0z .（）3. An entire function which is identically zero on the real axis must be zero.（）4. A function f is differentiable on a domain D if and only if whose realand imaginary parts are differentiable on D and the Cauchy Riemann conditions hold on D .（）5. If a function f is continuous on the plane and=⎰Cdz z f )(0 for everysimple closed contour C , then 0)(=z f for all z . ( )Ⅲ. Computations (3557=⨯ Points)1. Find⎰=++1||)23)(13(z z z zdz.2. Find the value of ⎰⎰==-+-22216)1(sin z z z dzz dz z zz . 3. Let )2)(1()(2++=z z z z f ，find the Laurent expansion of f on the annulus{}1||0:<<=z z D .4. Given ξξξξd z z f C⎰-++=143)(2，where {}4|:|==z z C ，find )2(i f +'.5. Evaluate ),)1((Res 222i z z +. Ⅳ. Proving (30310=⨯ Points)1. Show that 02316lim 242=+++⎰+∞→R C R dz z z z , where R C is the circle centered at 0 with radius R .2. Suppose that f is differentiable and ||f is a constant on a domain D ,prove that A z f =)( for some constant A and all D z ∈.3. Show that the equation 0127234=-++-z z z z has just three roots in theunite disk.复变函数考试试题（G ）1. 求通过1z 和2z 的线段的参数方程（用复数形式表示）。

复变函数论习题集解答

第一章一、1．C 2.D 3.B 4.C 5.C 6.B 7.C 8.B 9.B 10.D 11.B 12.A13.D 14.D 15D二、1．ACD 2.BDE 3.CDE 4.ADE 5.ABCDE三、1. yarctg xπ+ 2.()20,1,,1k ink n θπ+=-3.(1).D 开集 (2)D 中任意两点可用全在D 中的折线连接.4.在D 内无论怎样划简单闭曲线,其内部仍全含于D.5.对E 内每一复数,z 有唯一确定的复数w 与之对应.6.如果0z 及()0f z 之一或者它们同时取∞7. 51212e π 8. 0z z r -=,0z 为圆心,r 为半径9.平面上点0z 的任意邻域都有E 的无穷多个点.10.(1)彼此不交 (2)()I C 是一个有界区域 (3)()E C 是一个无界区域(4)若简单折线p 的一个点属于()I C ,另一个端点属于()E C ,则p 必与C 有交点. 四、1.解:44z a =-22cos sin,0,1,2,344k k k z i k ππππ++⎫=+=⎪⎭2.解:21cos sin 2sin 2sincos222i i ψψψψψ-+=+2sinsin cos 222i ψψψ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2sincos sin 22222i ψπψπψ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 222sin2i eπψψ⎛⎫- ⎪⎝⎭=3.解:设,,z x iy w u iv =+=+则曲线11z -=,可写成222x y x += 2222221z x iv x y w i z x y x y x y z z -====-+++⋅即22122x x u x y x ===+ 故1w z =将z 平面上曲线11z -=变成w 平面上的直线12u =4.解:设z x iy =+,则()()()()22221211111x y yi x iy z w z x iy x y--++++===----+ 故()22221Re 1x y w x y --=-+ ()2221m y I w x y=-+w =5.解:()4cos sin i θθ+432234cos 4cos sin 6cos sin 4cos sin sin i i θθθθθθθθ=+--+但()4cos sin cos 4sin 4i i θθθθ+=+故442222cos 4cos sin 6cos sin 18sin cos θθθθθθθ=+-=-33sin 44cos sin 4cos sin θθθθθ=-五.1.证明21,az b az b az bz bz a bz a bz a+++=∴=⋅+++ 22221a abz abz b b abz abz a+++==+++故1az bbz a+=+ 设(1nn n x iy +=- (.n n x y 为实数,n 为正整数) 2.证明:已知(155122cos sin 2233nnn n n n n n x iy i ππ⎛⎫⎛⎫+=-=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此 552cos,2sin 33n n n n n n x y ππ== 11n n n n x y x y ---()()151515522cos sin sin cos 3333n n n n n n ππππ---⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦()215152sin 33n n n ππ--⎛⎫=- ⎪⎝⎭21211542sin 2sin 43322n n n n ππ---⎛⎫=-==⋅= ⎪⎝⎭3.证明:由于123z z z ∆与123w w w ∆同向相似的充要条件是33,z w ∠=∠且23231313z z w w z z w w --=--,而23313arg,z z z z z -∠=-2313arg w w w w w -∠=-,于是有23231313z z w w z z w w --=--, 即1122331101z w z w z w =试证:以123,,z z z 为顶点的三角形和以123,,w w w 为顶点的三角形同相似的充要条件为1122331101z w z w z w = 4．证明：123,,z z z 4,z 四点共圆或共直线的充要条件为1233410z z z z z z ∠+∠=或π试证：四相异点1234,,,z z z z 共圆周或共直线的充要条件是：34141232:z zz z z z z z ----为实数。

《复变函数论》答案

第1页《复变函数论》答案一、单项选择题1．在复平面上方程|z -i|=|z +i|表示（ A ） A ．直线 B ．圆周 C ．椭圆周D ．抛物线2．在复平面上方程|z +1|=4表示( B )A ．直线B ．圆周C ．椭圆周D ．抛物线3．arg(1=( C )A. 3π- B. 6π- C. 56π D. 2,6k k ππ+∈Z4．arg(1)i +=( B )A.4π- B. 4π C. 54π D. 2,4k k ππ+∈Z5．在z 平面上处处解析的函数是( B ) A. 31()f z z =B. 3()f z z = C. ()f z z = D. ()R e f z z z =6．下列函数中( A )是整函数. A.1()1f z z =- B. ()1f z z =- C. 2()f z z = D. ()I m f z z =7．2||2sin (1)z zdz z ==-⎰( C ) A. 0 B.sin1- C. 2cos1i π D. 2sin1i π-8．2||1cos (2)z zdz z ==-⎰( A ) A.0 B. 2sin 2i π- C. 2cos 2i π D. 2sin 2i π-第2页9．幂级数112nnn n n z z ∞∞==+∑∑的收敛半径是( A )A. 1B. 2C.14 D.1210．在复平面上不等式|z -2|<3表示（ C ）A ．直线B ．圆周C ．圆D ．正方形 11．arg()i -=( A )A.2π- B. 2π C. 32π D. 32,2k k ππ+∈Z12．在z 平面上处处解析的函数是( C ) A. 21()1f z z =+ B. ()f z z = C. 2()1f z z =- D. ()Im f z z =13．||2sin 1z zdz z ==-⎰( D ) A. 0 B.2sin1i π- C. 2cos1i π D. 2sin1i π14．幂级数1!n n n z ∞=∑的收敛半径是( A )A. 0B. 1C. 2D. e15．幂级数21nn z n∞=∑的收敛半径是( B )A.0B. 1C.2D.416．0z =是2cos ()zf z z =的( C )极点A.0B. 1C.2D.417．1z =是2cos ()zf z z=的( D )A.零点B. 极点C.孤立奇点D.解析点第3页18．下列等式中，成立的是( C )A.22Lnz Lnz =B.rg(2)arg()A i i -=-C.10Ln =D.Re()z z z z ⋅=⋅ 19．在复平面上，下列命题中，不正确的是( B )A. 22sin cos 1z z +=B. 0z e >C.cos sin iz e z i z =+D. 10i π是()5z f z e =的周期20．下列等式中，不正确的是( C ) A.33lnz lnz = B.arg(2)arg()i i =-- C.0zLn z= D.Im()0z z ⋅= 二、填空题1. Im(1+i)4=_ _0______.2. Re(1+i)4=____-4______.3.345iz -=，则z = 1 . 4.1z =，则z = 2 . 5.方程41z =-在复数域中共有_ 4 个根. 6.方程21z =-在复数域中共有_ 2 个根. 7.设ω是1的n 次根，1ω≠，则21n ωωω-+++= -18.设31ie πω=，32ieπω-=，则12ωω+= 1 .9.设22()(1)z f z z e =-，则0z =是()f z 的____4____阶零点. 10.设()1z f z e z =--，则0z =是()f z 的____2____阶零点. 11.()f z 以z=a 为m 级极点，则z=a 为2()f z 2m 级极点.12.(),()f z g z 以z=a 为3级和4级极点，则z=a 为()()f z g z +的 4 级极点.第4页13.(),()f z g z 以z=a 为5级和2级极点，则z=a 为()()f zg z 3 级极点. 14.()f z 以z=a 为m 阶零点，且m 0>，则z=a 是()f z '的__m-1___阶零点.15.()zf z e =，则()f z 在0z =的邻域内泰勒展式为212!n z z z n +++++.16.21()1f z z=-，则()f z 在0z =的邻域内泰勒展式为2421n z z z +++++.17. 设sin cos z i αα=+，则z 的三角表示为cos sin 22i ππαα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.18.设211)(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有___i ± . 19.设1()1f z z=+，则)(z f 的孤立奇点有___-1 .20.幂级数0nn z n∞=∑的收敛半径为____1_____ .21.幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为____1_____ .22.4z 在点1z i =-23.3z 在点z i =-处的伸缩率为 3 . 24.z e 在点1z i =+处的伸缩率为 e . 三、完成下列各题 1.求16i ieπ-+解 161cos sin 6622ii iei ie e eπππ-+⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭第5页2.求n L i .解 n 2,2L i i k i k ππ=+∈Z3. 求()34Ln i +解 ()434ln 5arctan2,3Ln i i k i k π+=++∈Z 4. 函数2()f z z =在复平面上何处可导？何处解析？解仅在0z =处可导，处处不解析.5. 函数()()222()2f z x y i xy y =-+-,z x iy =+在复平面上何处可导？何处解析？解仅在直线0y =上可导，在复平面上处处不解析.6. 函数2()f z x iy =-,z x iy =+在复平面上何处可导？何处解析？解仅在直线12x =-处可导，处处不解析. 7. 计算()211sin 1z z dz z π+=-⎰解 ()()2111sin sin 2011z z z z dz i z z πππ+==-=⋅=--⎰ 8. 计算211sin 41z z dz z π-=⎛⎫ ⎪⎝⎭-⎰ 解2111sin sin 442112z z z z idz i z z πππ-==⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅=-+⎰第6页9. 计算()211sin 1z z dz z π+=-⎰解()()2111sin sin 2011z z z z dz i z z πππ+==-=⋅=--⎰ 10. 将sin z 展开为z 的幂级数.解 ()()2101sin 21!nn n z z n +∞=-=+∑ (z <+∞)11. 将cos z 展开为z 的幂级数.解 ()()201c o s2!nn n z z n ∞=-=∑ (z <+∞)12. 将1z展开为1z -的幂级数.解 ()()()0111111n nn z z z ∞===---+∑ (11z -<)四、1. 用留数计算积分：312(1)(2)(4)(5)z dzi z z z z π=----⎰. 解()()()()()31212(1)(2)(4)(5)()()1113412311112612z z z dzi z z z z Res f z Res f z π===----=+=+-⋅-⋅-⋅-⋅-=-+=⎰第7页2. 用留数计算积分：912(1)(2)(5)(10)z dzi z z z z π=----⎰. 解()91012(1)(2)(5)(10)()()1098511985360z z z dzi z z z z Res f z Res f z π===∞----=-+⎛⎫=-+ ⎪⋅⋅⎝⎭=-=-⋅⋅⎰3. 用留数计算积分 ()222211z z z dz z =-+-⎰。