2021届河南省中原名校高三上学期期末联考数学(理)试题Word版含解析

2020届河南省中原名校高三上学期期末联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2|230A x x x =--≤，{}|21x B y y ==+，则AB =（） A ．∅B ．(]1,3C ．(]0,3D ．()1,+∞ 【答案】B【解析】根据一元二次不等式的解集和指数函数的值域求得.【详解】由已知解得[]()1,3,1,A B =-=+∞，所以(]1,3A B =，故选B.【点睛】本题考查一元二次不等式的解集、指数函数的值域和集合的交集运算，属于基础题.2．已知20191i z =+，则2z i -=（ ）AB ．C ．2D 【答案】A【解析】首先化简复数z ，再代入模的计算.【详解】由201911z i i =+=-，所以|2||13|z i i -=-==.故选：A【点睛】本题考查复数的计算，属于基础计算题型.3．若tan 13θ=，则cos2θ=( ) A ．45- B ．15- C ．15 D ．45【答案】D 【解析】222222cos cos2cos cos sin sin sin θθθθθθθ-=-=+.分子分母同时除以2cos θ，即得：2211149cos211519tan tan θθθ--===++. 故选D.4．若直线1y x =+和曲线ln 2y a x =+相切，则实数a 的值为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．32【答案】B【解析】设切点为()00,ln 2x a x +，求出函数在0x x =处的导数后可得切线的斜率，从而可用a 表示切点的横坐标，最后根据切点在切线上得到关于a 的方程，解该方程后可得实数a 的值.【详解】设切点为()00,ln 2x a x +，因为a y x'=，故切线的斜率01a k x ==， 所以0x a =，所以ln 21a a a +=+，因为0a >，故1a =，故选B.【点睛】解决曲线的切线问题，核心是切点的横坐标，因为函数在横坐标处的导数就是切线的斜率，本题为基础题．5．已知数列{}n a 为各项均为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若174a a =，且47522a a +=，则5S =（ ）A ．32B ．31C ．30D ．29 【答案】B【解析】根据已知求出4712,4a a ==，再求出公比和首项，最后求5S . 【详解】因为174a a =，所以2444,0,2n a a a =>∴=. 因为47522a a +=，所以714a =. 所以3111,16.82q q a =∴==，， 所以55116[1()]2=31112S -=-. 故选B【点睛】本题主要考查等比数列的通项的基本量的计算，考查等比中项的应用，考查等比数列的前n 项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．函数|2|()ln cos x f x x π=-的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用函数的奇偶性可排除两个答案，再根据2x =时，函数值的正负可得正确答案.【详解】 因为|2()|()ln cos()()x f x x f x π--=--=，所以()f x 为偶函数，排除A,D ； 当2x =时，(2)lnco 4s 20f π=->，故排除C ； 故选B.【点睛】 本题考查根据函数的解析式选择对应函数图象，考查数形结合思想的应用，求解时要充分利用函数的性质和特殊点寻找解题的突破口.7．如图所示，半径为1的圆O 是正方形MNPQ 的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形MNPQ 内，用A 表示事件“豆子落在圆O 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OEF （阴影部分）内”，则()|P B A =（ ）A ．4πB ．14C ．16πD ．18【答案】B【解析】利用几何概型先求出()22124P A ππ⨯==，()22114216P AB ππ⨯⨯==，再由条件概率公式求出(|)P B A．【详解】如图所示，半径为1的圆O是正方形MNPQ的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形MNPQ内，用A表示事件“豆子落在圆O内”，B表示事件“豆子落在扇形(OEF阴影部分)内”，则()22124P Aππ⨯==，()22114216P ABππ⨯⨯==，()()116(|)44P ABP B AP Aππ∴===．故选B．【点睛】本题考查概率的求法，考查几何概型、条件概率能等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．我国古代科学家祖冲之儿子祖暅在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”(“幂”是截面积，“势”是几何体的高)，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，则它们的体积相等.已知某不规则几何体与如图所示的三视图所表示的几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为( )A．12π-B．8π-C．122π-D．122π-【答案】A【解析】首项把三视图转换为几何体，得该几何体表示左边是一个棱长为2的正方体，右边是一个长为1，宽和高为2的长方体截去一个底面半径为1，高为2的半圆柱，进一步利用几何体的体积公式，即可求解，得到答案.【详解】根据改定的几何体的三视图，可得该几何体表示左边是一个棱长为2的正方体，右边是一个长为1，宽和高为2的长方体截去一个底面半径为1，高为2的半圆柱， 所以几何体的体积为2122222112122V ππ=⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=-，故选A.【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解. 9．设实数,x y 满足不等式组00152x y yx yx ⎧⎪⎪⎨-⎪⎪-⎩，(2,1)是目标函数z ax y =-+取最大值的唯一最优解，则实数a 的取值范围是（ ）.A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(,2)-∞-D ．(,2]-∞-【答案】C 【解析】作出不等式组所对应的平面区域，分类讨论确定目标函数的最优解，即可得到答案．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分OABC ）.则(1,0),(2,1),(0,5)A B C由z y ax =-得y ax z =+，平移直线y ax z =+，则直线的截距最大时，z 也最大，当0a =时，y z =在C 处的截距最大，此时不满足条件.当0a >时，直线y ax z =+，在C 处的截距最大，此时不满足条件.当0a <时，直线y ax z =+，要使(2,1)是目标函数z y ax =-取最大值的唯一最优解，则y ax z =+在B 处的截距最大，此时目标函数的斜率a 须小于直线BC 的斜率2-，即2a <-. 故选：C ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，2(1)n n S a n n =+-()*n N ∈，则数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和是（ ）A ．922B ．611C ．12D ．511【答案】D【解析】根据公式2n ≥时，1n n n S S a --= ，化简为14n n a a --=，说明数列{}n a 是等差数列，代入等差数列求和，得到1111132(1)21n S n n n n n ⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭，利用裂项相消法求和. 【详解】 由2(1)n n S a n n =+-()*n N ∈得2(1)n n S na n n =--.则当2n ≥时， 11(1)4(1)n n n n n a S S na n a n --=-=----，整理得14n n a a --=，所以{}n a 是公差为4的等差数列，又11a =，所以43n a n =-*()n N ∈，从而()2133222(1)2n n n a a S n n n n n n ++=+=+=+，所以1111132(1)21n S n n n n n ⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭， 设故数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和10T , 101111111151...12223101121111T ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和10511T =. 故选：D【点睛】本题考查数列n a 和n S 的关系求通项公式，以及裂项相消法求和，重点考查转化与变形，计算能力，属于中档题型.11．函数()2log ,0,2,0,x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩则函数()()()2384g x f x f x =-+的零点个数是（ ） A ．5B ．4C ．3D ．6 【答案】A【解析】通过对()g x 式子的分析，把求零点个数转化成求方程的根，结合图象，数形结合得到根的个数，即可得到零点个数．【详解】函数()()()2384g x fx f x =-+=()()322f x f x --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的零点 即方程()23f x =和()2f x =的根， 函数()2log ,0,2,0x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩的图象如图所示：由图可得方程()23f x =和()2f x =共有5个根， 即函数()()()2384g x fx f x =-+有5个零点,故选：A.【点睛】 本题考查函数的零点与方程的根的个数的关系，注意结合图象，利用数形结合求得结果时作图很关键，要标准．12．已知圆()(221:31C x y -+-=和焦点为F 的抛物线221:8,C y x N C =是上一点，M 是2C 上，当点M 在1M 时，MF MN +取得最小值，当点M 在2M 时，MF MN -取得最大值，则12M M =A．B．C．D【答案】D【解析】根据抛物线的定义和三角形中两边之差小于第三边转化111MF MN C D +-，当且仅当1,,M C D 三点共线，且点N 在线段1MC 上时等号成立，求得点1M 的坐标，再根据三角形中两边之差小于第三边转化11MF MN FC ≤+-，当且仅当M 为线段1FC 的延长线与抛物线的交点，且点N 在线段1MC 上时等号成立，求得2M 的坐标，从而求出12MM ，得解.【详解】由已知得：(()13,,2,0C F ，记2C 的准线为l ,如图,过点M 作l 的垂线,垂足为D ,过点1C 作l 的垂线，垂中为1D ，则111||||||||||11MF MN MD MN MD MC C D +=++--,当且仅当1,,M C D 三点共线，且点N 在线段1MC 上时等号成立，此时MF MN +取得最小值， 则点1M 的坐标为(， ()111||||||1||11MF MN MF MC MF MC FC ---=-+≤+,当且仅当M 为线段1FC 的延长线与抛物线的交点，且点N 在线段1MC上时等号成立，此时MF MN -取得最大值，又直线1FC 的方程为2)yx =-，由22)8y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，解得1x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，或4x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以2M 的坐标为(4,42)， 所以2212(41)(4222)17M M =-+-=,故选：D . 【点睛】本题关键在于根据抛物线的定义和三角形中两边之差小于第三边将所求的线段的和或差转化，进而得到取得最值的位置，属于中档题.二、填空题13．“关注夕阳、爱老敬老”—某马拉松协会从2013年开始每年向敬老院捐赠物资和现金.下表记录了第x 年（2013年是第一年）与捐赠的现金y （万元）的对应数据，由此表中的数据得到了y 关于x 的线性回归方程ˆ0.35ymx =+，则预测2019年捐赠的现金大约是______万元. x 34 5 6 y2.5 3 4 4.5【答案】5.25【解析】首先根据数据求样本中心点(),x y ，代入求m ，当7x =时，求2019年捐赠的现金.【详解】由已知得样本点的中心点的坐标为(4.5,3.5)，代入ˆ0.35ymx =+， 得3.5 4.50.35m =+，即0.7m =，所以ˆ0.70.35y x =+，取7x =，得ˆ0.770.35 5.25y=⨯+=，预测2019年捐赠的现金大约是5.25万元. 故答案为：5.25 【点睛】本题考查回归直线方程的求解和应用，属于基础题型. 14．某年级有1000名学生，一次数学测试成绩()2105,10X N ，()951050.34P X ≤≤=，则该年级学生数学成绩在115分以上的人数大约为______. 【答案】160【解析】根据考试的成绩X 服从正态分布(105N ，210)．得到考试的成绩X 关于105X =对称，根据(95105)0.34P X =，得到1(115)(10.68)0.162P X =-=，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数．【详解】考试的成绩X 服从正态分布(105N ，210)．∴考试的成绩X 关于105X =对称，(95105)0.34P X =， 1(115)(10.68)0.162P X ∴=-=，∴该班数学成绩在115分以上的人数为0.161000160⨯=故答案为：160． 【点睛】本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩X 关于105X =对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解． 15．已知()4121x a x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的展开式中含3x 的项的系数为5，则a =_________． 【答案】2【解析】首先原式展开为()()()44412111x x x a x x⋅-+⋅-+-，然后分别求每一项中含有3x 的系数，最后求a . 【详解】由题意知原式展开为()()()44412111x x x a x x⋅-+⋅-+-，所以412(1)x a x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的展开式中含3x 的项为224334412C ()()C ()x x x a x x ⋅-+-+-， 即3(134)a x -，由已知条件知1345a -=，解得2a = . 【点睛】本题考查了二项式定理的综合问题，意在考查二项式定理指定项的求法，属于基础题.16．三棱锥P ABC -中，点P 到A 、B 、C 三点的距离均为8，PA PB ⊥，PA PC ⊥，过点P 作PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，连接AO ，此时cos 3PAO ∠=，则三棱锥P ABC -外接球的体积为______.【答案】【解析】先证明出PA ⊥平面PBC ，根据cos 3PAO ∠=计算出AD 、BD ，并证明出点D 为BC 的中点，可得出BC ，利用勾股定理可证明出PB PC ⊥，然后构造正方体模型可求出三棱锥P ABC -外接球的半径长，最后利用球体体积公式可计算出结果. 【详解】因为PA PB ⊥，PA PC ⊥，PB PC P ⋂=,故PA ⊥平面PBC ，因为8PA PB PC ===，故AB AC ==cosPA PAO AD ∠==AD ∴===BD ==PA ⊥平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，BC PA ∴⊥.PO ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，BC PO ∴⊥. PA PO P =，BC ∴⊥平面PAO ，PD ⊂平面PAO ，PD BC ∴⊥，8PB PC ==，D ∴为BC 的中点，2BC BD ∴==222PB PC BC ∴+=.故PC PB ⊥，构造正方体模型可知，四面体P ABC -的外接球半径R ==，因此，三棱锥P ABC -外接球的体积为(343V π=⨯=.故答案为：.【点睛】本题考查三棱锥的外接球体积的计算，解题的关键在于推导出线面垂直关系，并结合几何体的结构找出合适的模型计算出外接球的半径，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题17．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且33m a sinA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，()n cosC c =，，b m n =⋅．（1）求角A 的大小；（2）若a =3，求△ABC 的周长L 的取值范围． 【答案】（1）3A π=（2）L ∈（6，9]【解析】（1）由条件b m n =⋅可得3b acosC =+，再结合正弦定理及三个角之间的关系可得3tanA =A ；（2）利用余弦定理再结合基本不等式，求得3＜b+c ≤6，即可得到周长L 的范围． 【详解】（1）由题意3m a sinA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，()n cosC c =，，b m n =⋅．所以3b acosC =， 由正弦定理，可得33sinB sinAcosC sinCsinA =+， 因为()B A C π=-+，所以sinB=sin （A +C ）=sinAcosC+cosAsinC ， 又由(0,)C π∈，则sin 0C >，整理得3tanA =，又因为(0,)A π∈，所以3A π=．（2）由（1）和余弦定理2222cos a b c bc A =+-，即2222232cos 3b c bc b c bc π=+-=+-，即229b c bc +-=，整理得2()39b c bc +-=，又由2()2b c bc +≤（当且仅当b=c=3时等号成立） 从而22219()3()()24b c b c b c +≥+-=+，可得b+c ≤6， 又b+c ＞a=3，∴3＜b+c ≤6，从而周长L ∈（6，9]. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和的应用，以及基本不等式求最值的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.18．如图四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PB BC ⊥，PD CD ⊥，且PA AB =，E 为PD 中点．(1)求证：PA ⊥平面ABCD ； (2)求二面角A BE C --的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 10. 【解析】（1）推导出BC AB ⊥，BC PB ⊥，从而BC ⊥平面PAB ，进而BC PA ⊥．求出CD PA ⊥，由此能证明PA ⊥平面ABCD ．（2）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A BE C --的正弦值． 【详解】（1）∵底面ABCD 为正方形， ∴BC AB ⊥，又BC PB ⊥，AB PB B ⋂=， ∴BC ⊥平面PAB ， ∴BC PA ⊥.同理CD PA ⊥，BC CD C ⋂=， ∴PA ⊥平面ABCD .（2）建立如图的空间直角坐标系A xyz -，不妨设正方形的边长为2.则 (0,0,0)A ，(2,2,0)C ，(0,1,1)E ，(2,0,0)B设(;,)m x y z =为平面ABE 的一个法向量，又(0,1,1)AE =，(2,0,0)AB =，20m AE y z m AB x ⎧⋅=+=⎨⋅==⎩，令1y =-，1z =，得(0,1,1)m =- 同理(1,0,2)n =是平面BCE 的一个法向量，则10cos ,||||525m n m n m n ⋅<>===⨯. ∴二面角A BE C --的余弦值为105-.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．19．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在坐标原点O ，其右焦点为()1,0F ，且点 31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上．()1求椭圆C 的方程；()2设椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线MF 交椭圆C 于另一点N ，直线MB 交直线4x =于Q 点，求证：A ，N ，Q 三点在同一条直线上．【答案】（1）22143x y += （2）见解析【解析】（1）设椭圆的方程为22221x y a b +=，由题意可得2222211914c a b a b c=⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解方程组即可. （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为1x my =+，由方程组221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 整理得()2234690my my ++-=，根据韦达定理求出点Q 的坐标，根据向量即可求出//AN AQ ，且向量AN 和AQ 有公共点A ，即可证明．【详解】（1）不妨设椭圆的方程为22221x y a b+=，(0)a b >>.由题意可得2222211914c a b a b c=⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解得24a =，23b =，故椭圆的方程22143x y +=.（1）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线MN 的方程为1x my =+，由方程组221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 整理得22(34)690m y my ++-=223636(34)0m m ∆=++>122634m y y m ∴+=-+，122934y y m =-+， 直线BM 的方程可表示为11(2)2y y x x =--， 将此方程与直线4x =成立，可求得点Q 的坐标为112(4,)2y x -， 22(2,)AN x y ∴=+，112(6,)2y AQ x =-， ()()()211212211622226222y x y x y y x x x --+-+=--()()()2112161221212y my y my my ⎡⎤⎡⎤+--++⎣⎦⎣⎦=+-()22121211964()6()463434011mm my y y y m m my my ----+++===--，//AN AQ ∴，向量AN 和AQ 有公共点A ，A ∴，N ，Q 三点在同一条直线上．【点睛】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的关系，向量问题等基础知识，考查了运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思想，应用意识，是中档题．20．在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位在某市定点帮扶甲、乙两村各50户贫困户.为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况.子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查.并把调查结果转化为各户的贫困指标x .将指标x 按照[)0,0.2，[)0.2,0.4，[)0.4,0.6，[)0.6,0.8，[]0.8,1.0分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.规定若00.6x ≤<，则认定该户为“绝对贫困户”，否则认定该户为“相对贫困户”，且当0.8 1.0x ≤≤时，认定该户为“低收入户”；当00.2x ≤<时，认定该户为“亟待帮助户".已知此次调查中甲村的“绝对贫困户”占甲村贫困户的24%.（1）完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为绝对贫困户数与村落有关：甲村 乙村 总计 绝对贫困户 相对贫困户 总计（2）某干部决定在这两村贫困指标处于[)00.4,的贫困户中，随机选取3户进行帮扶，用X 表示所选3户中“亟待帮助户”的户数，求X 的分布列和数学期望EX .附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()20P K k ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0k2.0722.7063.8415.024【答案】（1）列联表见解析，没有90%的把握认为绝对贫困户数与村落有关（2）详见解析 【解析】（1）根据频率分布直方图，通过计算，完成列联表，同时根据公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，计算出2K 的值，对照表格得出结果.（2）求出X 分别为0，1，2，3时的概率，求出X 的分布列，进而可求出数学期望EX . 【详解】解：（1）由题意可知，甲村中“绝对贫困户”有500.2412⨯=（户），甲、乙两村的绝对贫困户有()0.250.500.750.210030++⨯⨯=（户），可得出如下列联表：()221001232183812 2.706307050507K ⨯⨯-⨯==<⨯⨯⨯.故没有90%的把握认为绝对贫困户数与村落有关.（2）贫困指标在[)00.4,的贫困户共有()0.250.50.210015+⨯⨯=（户），“亟待帮助户”共有0. 250.21005⨯⨯=（户）， 依题意X 的可能值为0，1，2，3，()31031524091C P X C ====，()2110531545191C C P X C ====，()1210531520291C C P X C ====，()353152391C P X C ====， 则X 的分布列为故24452020123191919191EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查列联表的完善，独立性检验，以及分布列及数学期望，是中档题. 21．已知函数()2ln 2f x x x ax x =-+，a ∈R ．（Ⅰ）若()f x 在()0,∞+内单调递减，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点分别为1x ，2x ，证明：1212x x a+>． 【答案】（Ⅰ）e ,4a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭（Ⅱ）见证明【解析】（I ）先求得函数的导数，根据函数在()0,∞+上的单调性列不等式，分离常数a 后利用构造函数法求得a 的取值范围.（II ）将极值点12,x x 代入导函数列方程组，将所要证明的不等式转化为证明12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+，利用构造函数法证得上述不等式成立. 【详解】（I ）()ln 24f x x ax +'=-． ∴()f x 在()0,∞+内单调递减，∴()ln 240f x x ax =+-≤在()0,∞+内恒成立，即ln 24x a x x ≥+在()0,∞+内恒成立． 令()ln 2x g x x x =+，则()21ln xg x x --'=， ∴当10e x <<时，()0g x '>，即()g x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭内为增函数；当1x e >时，()0g x '<，即()g x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内为减函数． ∴()g x 的最大值为1g e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴e ,4a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭（Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点分别为1x ，2x ，则()ln 240f x x ax =+-='在()0,∞+内有两根1x ，2x ，由（I ），知e 04a <<． 由1122ln 240ln 240x ax x ax +-=⎧⎨+-=⎩，两式相减，得()1212ln ln 4x x a x x -=-． 不妨设120x x <<，∴要证明1212x x a+>，只需证明()()121212142ln ln x x a x x a x x +<--． 即证明()1212122ln ln x x x x x x ->-+，亦即证明12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+． 令函数． ∴22(1)'()0(1)x h x x x --=≤+，即函数()h x 在(]0,1内单调递减． ∴()0,1x ∈时，有()()10h x h >=，∴2(1)ln 1x x x ->+． 即不等式12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+成立． 综上，得1212x x a+>． 【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数，考查利用导数研究函数极值点问题，考查利用导数证明不等式，考查利用构造函数法证明不等式，难度较大，属于难题. 22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t x y t x =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数，0απ<<），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()12cos28cos ρθθ-=．（1）判断直线l 与曲线C 的公共点的个数，并说明理由；（2）设直线l 与曲线C 交于不同的两点A B ，，点()11P -，，若1143PA PB -=，求tan α的值． 【答案】（1）两个，理由见解析；（2）43. 【解析】（1）先将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，再将直线的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得到一元二次方程，根据判别式，即可判断出结果；（2）先由（1）设方程()22sin 2sin 4cos 30t t ααα⋅-+⋅-=的两根为12t t ，，得到1222sin 4cos sin ααα++=t t ，12230sin α-⋅=<t t ，再由1143PA PB -=，得到121224sin 2cos 33αα+=+=⋅t t t t ，求解即可得出结果. 【详解】（1）由()1cos28cos ρθθ-=得2sin 4cos ρθθ=，所以22sin 4cos ρθρθ=， 即24y x =，将直线l 的参数方程代入24y x =，得()()21sin 41cos t t αα-+=+， 即()22sin 2sin 4cos 30t t ααα⋅-+⋅-=，由0απ<<知2sin 0α>，()222sin 4cos 12sin 0ααα∆=++>，故直线l 与曲线C 有两个公共点；（2）由（1）可设方程()22sin2sin 4cos 30t t ααα⋅-+⋅-=的两根为12t t ，， 则1222sin 4cos sin ααα++=t t ，12230sin α-⋅=<t t ， 故12121124sin 2cos 33PA PB t t PA PB PA t t αα-+-===+=⋅， ∴22sin 4sin cos 4cos 4αααα++=，即24sin cos 3sin ααα=， ∴4tan 3α=. 【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及由参数的方法判断直线与曲线位置关系，熟记极坐标与直角坐标的互化公式，以及参数方法研究曲线的弦长等即可，属于常考题型.23．已知函数()1f x x a x =++-.（1）当2a =时，求不等式()8f x x ≥+的解集；（2）若关于x 的不等式()5f x x ≤-的解集包含[]0,2，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(][),37,x ∈-∞-+∞（2）40a -≤≤【解析】（1）按21,21,x x x ≤-≥-<<进行分类，得到等价不等式组，分别解出解集，再取并集，得到答案；（2）将问题转化为()15f x x a x x =++-≤-在[]0,2x ∈时恒成立，按[]0,1x ∈和(]1,2x ∈分类讨论，分别得到不等式恒成立时对应的a 的范围，再取交集，得到答案.【详解】解：（1）当2a =时，()218f x x x x =++-≥+等价于 1218x x x ≥⎧⎨+≥+⎩或2138x x -≤<⎧⎨≥+⎩或2218x x x <-⎧⎨--≥+⎩， 解得7x ≥或x ∈∅或3x ≤-，所以不等式的解集为：(][),37,x ∈-∞-+∞.（2）依题意即()15f x x a x x =++-≤-在[]0,2x ∈时恒成立，当[]0,1x ∈时，15x a x x ++-≤-，即4x a +≤，所以44a x a --≤≤-对[]0,1x ∈恒成立 ∴4014a a --≤⎧⎨≤-⎩，得43a -≤≤； 当(]1,2x ∈时，15x a x x ++-≤-， 即62x a x +≤-，6226x a x x ≤+≤-- 所以636a x x a-⎧≤⎪⎨⎪≤+⎩对任意(]1,2x ∈恒成立，∴62326a a-⎧≤⎪⎨⎪≤+⎩，得04a a ≤⎧⎨≥-⎩∴40a -≤≤， 综上，40a -≤≤.【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式，分类讨论研究不等式恒成立问题，属于中档题.。