一元二次方程与几何图形的面积问题教材
21.3 第3课时 几何面积问题与一元二次方程 人教版数学九年级上册课件
y
y
整理得： y2 - 16y + 90 = 0 ，
∵Δ = -104 ＜ 0，
2
∴ 围成的鸡场面积不能达到 180 平方米.
3. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6 cm，BC = 8 cm. 点 P 沿 AC 边从点 A 向终点 C 以 1 cm/s 的速度移 动；同时点 Q 沿 CB 边从点 C 向终点 B 以 2 cm/s 的速度 移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移
分析: 审题 找等量关系
中央矩形面积= ×封面面积
27 cm
找关系式 正中央与封面长宽比例相同 设元
设合适的未知数
21cm
合作探究 ①根据题目的已知条件，可以推出中央的矩形的 长宽之比也是 27∶21 = 9∶7，那你知道上、下边衬 与左、右边衬的宽度之比是多少吗？请你推一推：
设中央的矩形的长和宽分别是 9a cm 和 7a cm. 由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是
导入新课 引例：要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm， 正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形，如果 要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一， 上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边 衬的宽度(精确到 0.1 cm)？
探究新知 知识点1：几何图形与一元二次方程
镶一条金色纸边，制成一幅长方形挂图，如图所示，
如果要使整个挂图的面积是 5400 cm2，设金色纸边的
宽为 x cm，那么 x 满足的方程是（ B ）
A．x2 + 130x - 1400 = 0 B．x2 + 65x - 350 = 0
x 80 cm x
C．x2 - 130x - 1400 = 0
人教版九年级数学上册教案-21.3 第3课时 几何图形与一元二次方程2带教学反思
21.3 实际问题与一元二次方程(3)教学内容根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题．教学目标掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题．重难点关键1．•重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．2．•难点与关键：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型．教具、学具准备小黑板教学过程一、复习引入（口述）1．直角三角形的面积公式是什么？•一般三角形的面积公式是什么呢？2．正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？3．梯形的面积公式是什么？4．菱形的面积公式是什么？5．平行四边形的面积公式是什么？6．圆的面积公式是什么？（学生口答，老师点评）二、探索新知现在，我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型，解决一些实际问题．例1．某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，•上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为xm，则上口宽为x+2，•渠底为x+0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模．解：（1）设渠深为xm则渠底为（x+0.4）m，上口宽为（x+2）m依题意，得：12（x+2+x+0.4）x=1.6整理，得：5x2+6x-8=0解得：x1=45=0.8m，x2=-2（舍）∴上口宽为2.8m，渠底为1.2m．（2）1.675048⨯=25天答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m；需要25天才能挖完渠道．学生活动：例2．如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，•正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，•如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，•应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？九年级 练数学 习同步老师点评：依据题意知：中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9：7，•由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为9：7，设上、下边衬的宽均为9xcm，•则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意，得：中央矩形的长为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm．因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的14，则中央矩形的面积是封面面积的．所以（27-18x）（21-14x）=34×27×21整理，得：16x2-48x+9=0解方程，得：x=64±，x1≈2.8cm，x2≈0.2所以：9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm因此，上下边衬的宽均为1.8cm，左、右边衬的宽均为1.4cm．三、巩固练习有一张长方形的桌子，长6尺，宽3尺，有一块台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少?（精确到0．1尺）四、应用拓展例3．如图（a）、（b）所示，在△ABC中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A•开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动．（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟，使S△PBQ=8cm2．（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C•后又继续在CA边上前进，经过几秒钟，使△PCQ的面积等于12.6cm2．（友情提示：过点Q•作DQ⊥CB，垂足为D，则：DQ CQ AB AC）(a)BACQP(b)BACQ DP分析：（1）设经过x秒钟，使S△PBQ=8cm2，那么AP=x，PB=6-x，QB=2x，由面积公式便可得到一元二次方程的数学模型．（2）设经过y秒钟，这里的y>6使△PCQ的面积等于12.6cm2．因为AB=6，BC=8，由勾股定理得：AC=10，又由于PA=y，CP=（14-y），CQ=（2y-8），又由友情提示，便可得到DQ，那么根据三角形的面积公式即可建模．解：（1）设x秒，点P在AB上，点Q在BC上，且使△PBQ的面积为8cm2．则：12（6-x）·2x=8整理，得：x2-6x+8=0解得：x1=2，x2=4∴经过2秒，点P到离A点1×2=2cm处，点Q离B点2×2=4cm处，经过4秒，点P到离A点1×4=4cm处，点Q离B点2×4=8cm处，所以它们都符合要求．（2）设y秒后点P移到BC上，且有CP=（14-y）cm，点Q在CA上移动，且使CQ=（2y-8）cm，过点Q作DQ⊥CB，垂足为D，则有DQ CQ AB AC=∵AB=6，BC=8∴由勾股定理，得：∴DQ=6(28)6(4) 105y y--=则：12（14-y）·6(4)5y-=12.6整理，得：y2-18y+77=0解得：y1=7，y2=11即经过7秒，点P在BC上距C点7cm处（CP=14-y=7），点Q在CA上距C点6cm处（CQ=•2y-8=6），使△PCD的面积为12.6c m2．经过11秒，点P在BC上距C点3cm处，点Q在CA上距C点14cm>10，∴点Q已超过CA的范围，即此解不存在．∴本小题只有一解y1=7．五、归纳小结本节课应掌握：利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．六、布置作业1．教材P53综合运用5、6 拓广探索全部．2．选用作业设计:一、选择题1．直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为（）．AB．5 C．72．有两块木板，第一块长是宽的2倍，第二块的长比第一块的长少2m，宽是第一块宽的3倍，已知第二块木板的面积比第一块大108m2，这两块木板的长和宽分别是（）．A．第一块木板长18m，宽9m，第二块木板长16m，宽27m;B．第一块木板长12m，宽6m，第二块木板长10m，宽18m;C．第一块木板长9m，宽4.5m，第二块木板长7m，宽13.5m;D．以上都不对3．从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（）．A．8cm B．64cm C．8c m2 D．64cm2二、填空题1．矩形的周长为，面积为1，则矩形的长和宽分别为________．2．长方形的长比宽多4cm，面积为60cm2，则它的周长为________．3．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______．三、综合提高题1．如图所示的一防水坝的横截面（梯形），坝顶宽3m，背水坡度为1：2，迎水坡度为1：1，若坝长30m，完成大坝所用去的土方为4500m2，问水坝的高应是多少?（说明：•背水坡度CFBF=12，迎水坡度11DEAE）（精确到0.1m）BACEDF2．在一块长12m，宽8m的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8m2•的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少?3．谁能量出道路的宽度:如图22-10，有矩形地ABCD一块，要在中央修一矩形花辅EFGH，使其面积为这块地面积的一半，且花圃四周道路的宽相等，今无测量工具，•只有无刻度的足够长的绳子一条，如何量出道路的宽度?请同学们利用自己掌握的数学知识来解决这个实际问题，相信你一定能行．答案:一、1．B 2．B 3．D二、1．2．32cm3．20m 和7.5m 或15m 和10m 三、1．设坝的高是x ，则AE=x ，BF=2x ，AB=3+3x ，依题意，得：12（3+3+3x ）x ×30=4500 整理，得：x 2+2x-100=0 解得x ≈220.102-+即x ≈9.05（m ） 2．设宽为x ，则12×8-8=2×8x+2（12-2x ）x 整理，得：x 2-10x+22=0解得：x 1，x 2=3．设道路的宽为x ，AB=a ，AD=b 则（a-2x ）（b-2x ）=12ab 解得：x=14[（a+b ）量法为：用绳子量出AB+AD （即a+b ）之长，从中减去BD 之长（对角线，得L=•AB+AD-BD ，再将L 对折两次即得到道路的宽4AB AD BD +-．~。
一元二次方程—面积问题
第3课时几何图形与一元二次方程教学目标：1．掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．2．继续探究YI实际问题中的数量关系，列出一元二次方程解应用题．3．通过探究体会列方程的实质，提高灵活处理问题的能力．教学过程：一、情境导入如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，你能求出所截去小正方形的边长吗？二、合作探究探究点：用一元二次方程解决图形面积问题【类型一】利用面积构造一元二次方程模型(2014·甘肃陇南)用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为( ) A．x(5＋x)＝6 B．x(5－x)＝6C．x(10－x)＝6 D．x(10－2x)＝6解析：设一边长为x米，则另外一边长为(5－x)米，根据它的面积为6平方米，即可列出方程得：x(5－x)＝6，故选择B.方法总结：理解题意，恰当的设未知数，把题中相关的量用未知数表示出来，用相等关系列出方程．(2014·黑龙江农垦)现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为x cm的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，求小正方形的边长．解析：设小正方形的边长为x cm，则长方体盒子底面的长、宽均可用含x的代数式表示，再根据面积，即可建立等量关系，列出方程．解：设小正方形的边长为x cm ，则可得这个长方体盒子的底面的长是(80－2x )cm ，宽是(60－2x )cm ，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面积，方程可列为(80－2x )(60－2x )＝1500，整理得x 2－70x ＋825＝0，解得x 1＝55，x 2＝15.又60－2x >0，∴x ＝55(舍)．∴小正方形的边长为15cm.方法总结：要从已知条件中找出关键的与所求问题有关的信息，通过图形求出面积，解题的关键是熟记各种图形的面积公式，列出符合题意的方程，整理即可． 【类型二】整体法构造一元二次方程模型(2014·甘肃兰州)如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．设道路宽为x 米，根据题意可列出的方程为______________．解析：解法一：把两条道路平移到靠近矩形的一边上，用含x 的代数式表示草坪的长为(22－x )米，宽为(17－x )米，根据草坪的面积为300平方米可列出方程(22－x )(17－x )＝300.解法二：根据面积的和差可列方程：22×17－22x －17x ＋x 2＝300.方法总结：解答与道路有关的面积问题，可以根据图形面积的和差关系，寻找相等关系建立方程求解；也可以用平移的方法，把道路平移构建特殊的图形，并利用面积建立方程求解． 【类型三】利用一元二次方程解决动点问题如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A 出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s 的速度移动．(1)如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？(2)点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC 的面积的一半．若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．解析：这是一道动态问题，可设出未知数，表示出PC与CQ的长，根据面积公式建立方程求解．解：(1)设x s后，可使△PCQ的面积为8cm2，所以AP＝x cm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2x cm.则根据题意，得12·(6－x)·2x＝8.整理，得x2－6x＋8＝0，解这个方程，得x1＝2，x2＝4.所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.(2)设点P出发x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的一半．则根据题意，得12(6－x)·2x＝12×12×6×8.整理，得x2－6x＋12＝0.由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ的面积等于△ABC面积一半的时刻．板书设计教学反思与图形有关的问题是一元二次方程应用的常见题型，解决这类问题的关键是将不规则图形分割或补全成规则图形，找出各部分面积之间的关系，运用面积等计算公式列出方程；对图形进行分割或补全的原则：转化成为规则图形时越简单越直观越好.。
一元二次方程应用题(几何图形面积问题)
解题思路
假设长方形的长为l，宽为w， 通过列方程建立方程组，然后 求解得出面积。
解答与解析
通过解方程组，得出长方形的 长、宽和面积的具体数值，详 细解析计算过程和答案。
实例3 ：三角形面积问题
问题提出
已知直角三角形的斜边长度为c， 某一直角边的长度为a，求三角形 的面积。
解题思路
根据已知条件，利用勾股定理和三 角形面积公式建立方程，然后求解 得出面积。
一元二次方程应用题(几 何图形面积问题)
本演示将介绍一元二次方程的应用，特别是在解决几何图形面积问题时的应 用。通过精彩的实例和深入的讲解，帮助你全面理解和掌握这一知识点。
一元二次方程介绍
简要介绍一元二次方程的概念、形式和解法方法，以及元二次方程解决几何图形的面积问题，通过代入、求解方程， 计算各种图形的面积。
解答与解析
通过解方程和应用三角形面积公式， 得出三角形的面积的具体数值，详 细解析计算过程和答案。
总结与实践建议
总结一元二次方程在解决几何图形面积问题中的应用要点，并提供一些建议和实践步骤，以帮助你更好地掌握这一 知识。
实例1：正方形面积问题
1
问题提出
给定正方形的对角线长度为d，求正方形的面积。
2
解题思路
假设正方形的边长为x，利用勾股定理建立方程，然后求解得出面积。
3
解答与解析
通过解方程，得出正方形的边长和面积的具体数值，详细解析计算过程和答案。
实例2 ：长方形面积问题
问题提出
已知长方形的周长为P，求长方 形的面积。
用一元二次方程解几何问题
为7x cm,依题意得
(27 18x)(21 14x) 3 27 21 4
解得
x1
6
3 4
3
(不合意，舍去)，x2
=
6—3 4
3
∴上、下边衬的宽均为 1.8 cm ，左、右
边衬的宽均为 1.4 cm
感悟新知
思考：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单
地解决上面的问题? 请你试一试．
解： 设正中央的矩形两边长分别为9x cm，7x cm.
认知基础练
6 用配方法解一元二次方程x2＋2x－1＝0， 可将方程配方为( A ) A．(x＋1)2＝2 B．(x＋1)2＝0 C．(x－1)2＝2 D．(x－1)2＝0
认知基础练
3 【2020·贵阳十七中期中】将代数式x2－10x＋5配方 后，发现它的最小值为( B ) A．－30 B．－20 C．－5 D．0
方法技巧练
【点拨】根据a2＋b2＝12a＋8b－52，可以求得a，b的 值 ， 由 a ， b ， c 为 正 整 数 且 是 △ABC 的 三 边 长 ， c 是 △ABC的最短边长，即可求得c的值．
方法技巧练
解：将已知等式两边同时加上 2， 得 x2＋x12＋2＋2x＋1x＝2， 即x＋1x2＋2x＋1x＝2. 设 x＋1x＝y，则x＋1x2＋2x＋1x＝2 可化为 y2＋2y ＝2.配方，得 y2＋2y＋1＝2＋1，∴(y＋1)2＝3.
方法技巧练
开平方，得 y＋1＝± 3. 解得 y1＝ 3－1，y2＝－ 3－1. ∴x＋1x＝ 3－1 或 x＋1x＝－ 3－1. 经检验，不存在实数 x 使 x＋1x＝ 3－1，故舍去． ∴x＋1x＝－ 3－1.
认知基础练
2 将代数式a2＋4a－5变形，结果正确的是( D ) A．(a＋2)2－1 B．(a＋2)2－5 C．(a＋2)2＋4 D．(a＋2)2－9
华师大版数学九年级上册2第1课时用一元二次方程解决图形面积问题同步课件
D.x2+3x+16=0
2.如图,某小区计划在一块长30 m、宽20 m的长方形ABCD土地上修建三 条同样宽的甬道,使其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种植花 草.要使每一块花草的面积都为78 m2,那么甬道的宽应设计成多少米?若设 甬道的宽为x m,将6块草地平移拼成一个长方形,其一边长为(30-2x)m,另一 相邻边长为 (60-x) m,根据长方形的面积公式可列方程(30-2x)(60-x)=78×6, 化成一般情势为 x2-35x+66=0 ,解得x1= 2 ,x2= 3 (不合题意,舍去).
第22章 一元二次方程
22.3 第1课时 用一元二次方程解决图形面积问题
例题讲授 类型一：平面几何图形问题 例1 学校生物小组有一块长32 m、宽20 m的矩形实 验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、 横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为540 m2， 小道的宽应是多少？
20
x x
32
根据题意得AP= xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm,有
1 6 x2x 9
2
解得 x1=x2=3 答：点P，Q出发3s后可使△PCQ的面积为9cm².
5.如图21-3-10,一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用长为12 m的住 房墙,另外三边用25 m长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙 的一边留一个1 m宽的门.当所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时,猪舍 面积为80 m2?
课堂小结
几何图形与 一元二次方 程问题
几何图形 类型
常见几何图形面积 是等量关系.
围挡问题 动点问题
彩条/小路宽 度问题
常采用图形平 移能聚零为整 方便列方程
分析：问题中没有明确小道在实验田中的位置，
人教版九年级数学上册课件第3课时 用一元二次方程解决几何图形问题
当堂练习
5. 如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其 中有两横、两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为 3∶2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之 一，应如何设计彩条的宽度（结果保留小数点后一 位）？
①
②
③
④
当堂练习
解：设横彩条的宽度为3x cm.则竖彩条的宽度为2x cm.
根据题意，得30×20× 1 =30×20-(30-4x)(20-6x). 4
课堂小结
✓ 归纳总结 ✓ 构建脉络
课堂小结
常见几何图形面积 几何图形 是等量关系
几何图形与
一元二次方
程问题
课本封面问题 常采用图形
平移能聚零
类
型
彩条/小路宽 度问题
为整方便列 方程
动点面积问题
当堂练习
(2)对.两个正方形的面积之和为： x2+(10-x)2=2x2-20x+100
=2(x2-10x+25)+50=2(x-5)2+50 ∵无论x取何值，2(x-5)2总是不小于0的. ∴2(x-5)2+50≥50.即这两个正方形的面积之和总是 不小于50cm2的，所以不可能等于48cm2. 小峰的说法是对的.
当堂练习
✓ 当堂反馈 ✓ 即学即用
当堂练习
1. 从正方形铁片的边截去2cm宽的一个长方形，余下的
面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（D ）
A.8cm B.64cm
C.8cm2 D.64cm2
2. 直角三角形的两条直角边的和是14cm,面积是24cm2.
则其两条直角边长分别是 6cm 、 8cm .
整理，得12x2-130x+75=0.
一元二次方程与实际问题-几何图形面积.3实际问题与一元二次方程(第3课时)-课件
（3）．如图，在宽为20 m，长为32 m的矩 形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)， 余下的部分种上花草．若种植花草的面积为 540 m2，求道路的宽．如果设道路的宽为x m， 根据题意，所列方程正确的是( ) A A．(20－x)(32－x)＝540 B．(20－x)(32－x)＝100 C．(20＋x)(32－x)＝540 D．(20－x)(32＋x)＝540
一、复习引入
1．面积(体积)问题属于几何图形的应用题， 解决问题的关键是将不规则图形分割或组合、 已知量 的 平移成规则图形 ， 找出未知量与 ________ 面积(体积) 公式列出一元二 内在联系 ， 根据 ___________ 次方程． 2． 一个正方形的边长增加了 3 cm，面积相 应增加了39 cm2，则原来这个正方形的边长为 5 cm. _______
例题2．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q 从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动． (1) 如 果 点 P ， Q 分 别 从 点 A ， B 同 时 出 发 ， 那 么 几 秒 后 ， △PBQ的面积等于4 cm2? (2)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的 长度等于5 cm? (3)在问题(1)中，△PBQ的面积能否等于7 cm2？说明理由．
3 依题意得 9 x 7 x 27 21 4
3 3 3 3 x2 (不合题意, 舍去) 解得 x1 2 2
27 9
3 3 27 9 x 2 54 27 3 1.8 故上下边衬的宽度为: 2 2 4 3 3 21 7 左右边衬的宽度为: 21 7 x 42 21 3 2 1.4 2 2 4
第3课时 用一元二次方程解决几何图形问题
类型二:围成图形面积问题
例2 如图,若要建一个长方形鸡场,鸡场的一边靠墙,墙对面有一个2米宽的门,另三边 用竹篱笆围成,篱笆总长33米.
(1)若墙长为18米,要围成鸡场的面积为150平方米,则鸡场的长和宽各为多少米? (2)围成鸡场的面积可能达到200平方米吗?
解:(1)设宽为 x 米,则 x(33-2x+2)=150,
第3课时 用一元二次方程解决几何图形问题
1.规则几何图形面积问题:利用对应图形的面积计算公式建立一元二次方程的数学模型. 2.不规则几何图形面积问题:利用 平移 或 割补 的方法,将不规则几何图 形面积问题转化为规则几何图形面积的和或差求解.
类型一:边框与甬道问题
例1 如图所示,在长为32 m、宽20 m的矩形耕地上,修筑同样宽的三条道路(两条纵向, 一条横向,横向与纵向互相垂直),把耕地分成大小不等的六块作试验田,要使试验田面 积为570 m2,问道路应多宽?
x cm,根据题意所列方程为
(60+2x)(40+2x)×54%=60×40
.
3.如图,要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈,用100米的围栏围成总面积为400平方米 的三个大小相同的矩形羊圈,求羊圈的边长AB,BC各为多少米?
解:设AB=x,则BC=100-4x(BC≤25).根据题意,得x(100-4x)=400.解得x1=5,x2=20. 当x=5时,100-4x=80,不满足BC≤25,不符合题意舍去;当x=20时,100-4x=20.所以 AB为20米,BC为20米.
则根据题意可列出关于x的方程为( B )
(A)x(5+x)=6
(B)x(5-x)=6
(C)x(10-x)=6
(D)x(10-2x)=6
秋九年级数学上册 第2章 一元二次方程 2.5 一元二次方程的应用 第2课时 图形面积和动点几何问题
第2课时 图形面积和动点几何问题知|识|目|标1．通过讨论、探究，会用一元二次方程解决图形面积问题．2．在理解直角三角形面积计算的基础上，能够建立一元二次方程解决与动点有关的几何问题．目标一 能利用一元二次方程解决图形面积问题例1 教材例3针对训练如图2－5－2，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一块长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a 米．(1)用含a 的式子表示花圃的面积；(2)如果通道所占面积是整个长方形空地面积的38，求出此时通道的宽． 图2－5－2【归纳总结】利用图形的面积建立一元二次方程模型的步骤(1)设元；(2)用未知数表示各边的长度；(3)利用面积公式列一元二次方程；(4)解一元二次方程；(5)针对实际情况舍去负根和超X围的根，从而得出结果．目标二利用一元二次方程解决动点几何问题例2 教材补充例题在矩形ABCD中，AB＝5 cm，BC＝6 cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1 cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2 cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t s(t>0)．(1)填空：BQ＝________ cm，PB＝________ cm(用含t的代数式表示)．(2)当t为何值时，PQ的长度等于5 cm?(3)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26 cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．【归纳总结】利用一元二次方程解决动点问题的方法(1)构造直角三角形法，利用勾股定理建立一元二次方程．(2)等线段法，利用三角形全等构造两线段相等，建立一元二次方程；(3)等面积法，利用三角形面积(或三角形高)的变化建立面积等式．实现将几何问题转化为代数问题，从而加以解决．知识点利用一元二次方程解几何图形问题常用的等量关系有：(1)勾股定理；(2)面积的等量关系．[点拨] 在建立一元二次方程模型解几何图形实际问题的过程中，必须检验方程的根的实际意义，所求得的根应该保证几何图形的存在．如图2－5－3，某农场有一块长40 m ，宽32 m 的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140 m 2，求小路的宽．图2－5－3解：解法1：设小路的宽为x m ，则东西方向小路的面积为40x m 2，南北方向小路的面积为32x m 2. 则40×32－40x －32x ＝1140，解得x ＝3518. 所以小路的宽为3518m. 解法2：设小路的宽为x m ，将4块种植地平移为一个矩形，其长为(40－x )m ，宽为(32－x )m.根据矩形面积公式，得(40－x )(32－x )＝1140，整理得x 2－72x ＋140＝0.解得x 1＝2，x 2＝70.答：小路的宽应是2 m 或70 m.以上两种解法正确吗？若不正确，出现错误的原因是什么？请给出正确的答案．详解详析【目标突破】例1 解：(1)由图可知，花圃的面积为(40－2a)(60－2a)平方米．(2)由已知可列方程：60×40－(40－2a)(60－2a)＝38×60×40，解得a 1＝5，a 2＝45(舍去)．答：此时通道的宽为5米．例2 解：(1)2t (5－t)(2)由题意得(5－t)2＋(2t)2＝52，解得t 1＝0(不合题意，舍去)，t 2＝2.∴当t ＝2时，PQ 的长度等于5 cm .(3)存在．∵矩形ABCD 的面积是5×6＝30(cm 2)，五边形APQCD 的面积等于26 cm 2，∴△PBQ 的面积为30－26＝4(cm 2)，∴(5－t)×2t×12＝4， 解得t 1＝4(不合题意，舍去)，t 2＝1.即当t ＝1时，五边形APQCD 的面积等于26 cm 2.备选题型 用一元二次方程解决存在性问题例 用一根长22 cm 的铁丝，能不能恰好折成一个面积为32 cm 2的矩形？试分析你的结论．解：设折成的矩形的长为x cm ，则宽为(11－x)cm ，矩形的面积为x(11－x)cm 2，依题意，得x(11－x)＝32，化简为x 2－11x ＋32＝0， Δ＝b 2－4ac ＝(－11)2－4×1×32＝121－128＝－7＜0，因此方程无实数根，则用长为22 cm 的铁丝不能折成一个面积为32 cm 2的矩形．【总结反思】[反思] 解：两种解法都不正确，解法1多减去了两条小路交叉重叠的小正方形的面积，因此正确的方程是40×32－40x －32x ＋x 2＝1140；解法2没有考虑方程的根是否符合实际意义，因为x＜32，显然x＝70不符合题意．正确的答案为x＝2，即小路的宽为2 m.。
湘教版九年级上册数学精品教学课件 第2章 一元二次方程 第2课时 图形面积问题
视频：平 移求面积 动态展示
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例2 如图，要利用一面墙（墙长为 25 m）建羊圈，用
100 米的围栏围成总面积为 400 m2 的三个大小相同的矩
形羊圈，求羊圈的边长 AB 和 BC 的长各是多少米 ？
解：设 AB 长是 x m. (100 - 4x)x = 400 整理得 x2 - 25x + 100 = 0.
运用常见几何图形的 面积公式构建等量关系
几何图形问 题与一元二 次方程
类型
课本封面问题
彩条/小路宽 度问题
常采用图形 平移聚零为 整，方便列 方程
动点面积问题
用长为 12 m 的住房墙，另外三边用 25 m 长的建筑材料
围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个 1 m
的门，所围鸡场的长、宽分别为多少时，面积为 80 m2？
解：设矩形鸡场垂直于住房墙的一边长为 x m，
则平行于住房墙的一边长 (25 − 2x + 1) m.
由题意得 x(25 − 2x + 1) = 80，
上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使
草坪的面积为 540 m2，则道路的宽为多少？
方法一：
x
解：设道路的宽为 x m. 则
20 32 32x 20x x2 540. 20
x
还有其他列法吗？
32
方法二：
x
解：设道路的宽为 x m. 则
(32 − x)(20 − x) = 540.
20
整理，得 x2 − 52x + 100 = 0.
解得
x1=
17 3
229
0.62，x2=
17
3
229
一元二次方程的应用-ppt课件
例1
如图，某小区计划在一块长为 20 m，宽为 12 m
题
型 的矩形场地上修建三条互相垂直且宽度一样的小路，其余
突
破 部分种花草，若要使花草的面积达到 160 m2，则小路的宽
为 ______ m.
第一课时 几何图形面积问题
［解析］如解析图，设小路的宽为 x m，将小路进行平
重
难
题 移，则其余部分可合成相邻两边的长分别为（20-2x） m，
握手问题、照相问
素之间算一 题、比赛问题（每
次
双循环
每两个元素
之间算两次
两队之间赛一场）
循环次数
n（n-1）
互赠贺卡、比赛问
题（每两队之间赛 n（n-1）
两场）
第三课时 循环问题、销售问题及数字问题
归纳总结
考
点
解决循环问题，首先确定是单循环还是双循环，即确定
清
单 每两个元素之间算一次还是算两次，再代入公式列方程求解
清
单
2 的
26
m）的空旷场地为提前到场的观众设立面积为
300
m
解
读 封闭型矩形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空出
两个宽各为 1 m 的出入口，共用去隔栏绳 48 m．求工作人
员围成的这个矩形的相邻两边的长度.
第一课时 几何图形面积问题
［答案］ 解：设 AB=x m，则 BC=（48-2x+1+1） m，由
重 ■题型一 传播问题
难
例 1 某种病毒传播非常快，如果一个人被传染，经过
题
型 两轮传染后就会有 64 个人被传染．
考
点
清 题意得 x（48-2x+1+1）=300，解得 x1=10，x2=15.当 x=10
第21章一元二次方程的应用-面积、动点、小应用题(教案)
二、核心素养目标
1.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，特别是在面积和动点问题中的应用，增强学生的数学应用意识。
2.提升学生逻辑思维和推理能力，通过分析问题、建立一元二次方程模型，培养学生严谨的数学思维。
3.培养学生的空间想象力和图形感知能力，结合坐标系和几何图形，提高学生对几何问题的理解和解决能力。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程在实际问题中的基本应用。一元二次方程是描述两个变量之间二次关系的数学模型，它在解决面积计算、动点问题等方面具有重要意义。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何利用一元二次方程解决实际的面积问题，以及如何计算动点的位置。
其次，在小应用题的讲解中，我发现学生们对一些题型的解题策略掌握不够熟练。这可能是因为我在教学中对这类问题的讲解不够详细，或者练习量不足。为此，我计划在接下来的课程中，增加一些具有代表性的小应用题，让学生们多加练习，提高解题能力。
此外，在实践活动和小组讨论环节，学生们表现出了很高的积极性，能够主动参与到讨论和实验操作中。这说明他们对于动手实践和合作学习的方式非常感兴趣。但在这一过程中，我也发现有些学生在讨论中过于依赖同伴，独立思考能力有待提高。因此，我将在后续的教学中，注重培养学生的独立思考能力，鼓励他们大胆提出自己的观点。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《一元二次方程的应用-面积、动点、小应用题》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算面积或解决移动点位置的问题？”（如户外活动场地面积的测量、机器人路径规划等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一元二次方程在这些方面的奥秘。
教学设计用一元二次方程解几何问题——教案学案教学设计资料文档
用一元二次方程解几何问题一、内容和内容解析1.内容用一元二次方程解决几何问题.2.内容解析本节课是22. 3实际与探索的第一节课，本节课设置的目的是让学生经历建立和求解一元二次方程模型的完整过程，从而把模型思想、应用意识的培养落在实处.在现实世界中，有许多可以用一元二次方程作为数学模型分析解决几何图形的问题原型.问题1以矩形试验田为问题背景，讨论小道的宽度.在探究过程中正确建立方程模型依然是本节课的重点.二、目标和目标解析3.教学目标（1）会用一元二次方程解决几何问题；（2）经历分析和解决实际问题的过程，体会一元二次方程的数学模型作用，进一步提高运用方程这种重要数学工具解决实际问题的基本能力.4.目标解析（1）能根据具体的“图形面积问题”正确设“元”，找出可以作为列方程依据的主要等量关系，并根据它列出一元二次方程，正确求解一元二次方程，能根据实际问题检验结果是否正确，进而找出合乎实际的结果；（2）完整地经历“问题情境一一建立模型一一求解验证”的数学活动过程, 积累数学活动经验，培养模型思想，会用一元二次方程解决简单的“图形面积问题”.三、教学过程设计5.弄清题意问题1学校生物小组有一块长32m,宽20m的矩形试验田，为了管理方便, 准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道，要使种植面积为540/, 小道的宽应是多少？师生活动教师提问，学生思考、回答.根据学生的回答情况，教师可通过追问：问题中的等量关系很明显，即抓住种植面积为540n?来列方程，设小道的宽为xm,如何来表示种植面积？【设计意图】使学生初步体会未知之间、已知与未知之间的联系.问题2题目中还有哪些已知量、未知量，它们之间存在怎样的数量关系？师生活动学生读题，思考，可以适当讨论.根据学生的回答情况，教师可通过追问加以引导.【设计意图】培养学生读题、审题能力.6.实现由文字语言、图形语言到数学符号语言的转换问题3如何把文字语言、图形语言翻译成数学符号语言？师生活动学生思考并回答问题.这里要让学生充分表达自己的观点，教师可根据学生的回答，适时提示学生关注题目中的未知量、未知量之间的关系，以及它们与己知量的关系.这是这节课的一个难点，要给学生充分的时间独立思考，如学生确有困难，教师可适时提示。
一元二次方程应用--面积------教案
一元二次方程的应用复习教学目标【知识技能】能根据几何图形找出问题中的等量关系，列出一元二次方程解决实际问题，并检验解的合理性。
【过程与方法】经历读题、审题和解题，让学生进一步体会“问题情境--建立模型--求解--解释与应用”的过程。
【情感、态度与价值观】获得运用数学知识分析和解决实际问题的方法和经验，更好的体会数学的价值观。
教学重点、难点重点：将实际问题转化为一元二次方程的数学模型，并根据实际问题检验解的合理性。
难点：建立数学模型解决实际问题，借助方程验证方案的可行性。
突破方法：引导学生用不同图形的面积公式列出方程。
教法与学法教学方法：启发引导，创设情境，利用多媒体课件激发学生学习兴趣；引导学生分析设计方案，借助方程验证方案的可行性。
学习方法：小组合作探究，组内讨论交流教学准备教师准备:多媒体课件学生准备：完成导学案教学过程一、前置诊断1.在长a米，宽b米的一块草坪上修了一条1米宽的笔直小路，则余下的草坪面积可表示为米2，为了增加美感，把这条小路改为宽恒为1米的弯曲小路，则剩余草坪的面积可表示为米2。
2.幼儿园活动教室矩形地面的长为8米，宽为5米，现准备在地面的正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，求四周的宽度是多少。
3.如图，学校准备在校园里利用围墙的一段，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25米），现有50米的栅栏，请设计一种围法，使矩形花园的面积为300米2。
【设计说明】：本环节的目的是发挥教材的引领作用。
把教材、学生和教师三个方面有机地结合起来，帮助学生回顾应用一元二次方程解决应用题的一般步骤，解决图形公式型应用题的基本方法，纠正学生解答过程中出现的问题。
【学生活动】：独立思考和交流合作相结合，完成学案中的问题。
【题后反思】列方程解应用题的基本步骤：【拓展应用】幼儿园活动教室矩形地面的长为8米，宽为5米，现准备在地面的正中间铺设两块地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，若地毯面积是教室矩形地面面积的32，求四周的宽度是多少。
12初中数学“一元二次方程与几何图形问题”全解析
初中数学“一元二次方程与几何图形问题”全解析一、引言一元二次方程与几何图形问题是初中数学中的重要内容，也是考试中的常见题型。
这类问题结合了代数与几何的知识，旨在考察学生的综合分析和解决问题的能力。
本文将详细解析一元二次方程与几何图形问题的基本概念、解题方法及应用，帮助同学们更好地掌握这一知识点。
二、基本概念1.一元二次方程：形式为ax²+bx+c=0（a≠0）的方程称为一元二次方程。
2.几何图形：初中数学中常见的几何图形有直线、角、三角形、四边形、圆等。
3.方程与图形的关联：在几何问题中，常利用一元二次方程来表示某些特定的条件或关系，如长度、面积、角度等。
三、解题方法1.建立方程：根据几何问题的条件，设定未知数并建立与问题相关的一元二次方程。
这一步是关键，要求能正确理解和转化几何条件为代数表达式。
2.解方程：利用一元二次方程的求解方法（如配方法、公式法等）解出未知数。
3.回归几何：将求得的代数解回归到原几何问题中，解释其实际意义，并验证其合理性。
四、应用举例1.直线与圆的位置关系：已知圆的半径r和圆心到直线的距离d，判断直线与圆的位置关系（相离、相切、相交）。
可通过比较d与r的大小来判断，若d=r，则直线与圆相切；若d<r，则直线与圆相交；若d>r，则直线与圆相离。
在此过程中，可通过建立一元二次方程求解d或r。
2.三角形的形状判断：已知三角形的三边a、b、c（满足a²+b²=c²），判断三角形的形状。
由勾股定理知，若满足上述条件，则三角形为直角三角形。
若不满足，则可通过比较a²+b²与c²的大小关系，进一步判断三角形为锐角三角形或钝角三角形。
在此过程中，也可能涉及到一元二次方程的求解。
3.面积问题：在求解某些特定形状（如矩形、梯形等）的面积时，可能会遇到需要利用一元二次方程来解决的问题。
例如，已知矩形的周长和一条边的长度，求矩形的面积。
2.3 第2课时 利用一元二次方程解决面积问题
例2：如图,在一块长为 92m ,宽为 60m 的矩形耕地上挖三条水 渠,水渠的宽都相等,水渠把耕地分成面积均为 885m2 的 6 个矩 形小块,水渠应挖多宽？
分析：设水渠宽为xm，将所有耕地的
面积拼在一起，变成一个新的矩形，
长为 (92 – 2x )m, 宽(60 - x)m.
解：设水渠的宽应挖 x m .
( 92 - 2x)（60 - x ）= 6×885. 解得 x1=105(舍去），x2=1.
注意：结果 应符合实际 意义
方法点拨
我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改 变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容 易些（目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按 原图的位置修路）.
当堂练习
将x =24 代入方程中不符合题意舍去
答：小路的宽为4m.
方法点拨
（1）主要集中在几何图形的面积问题, 这类问题的面积公式 是等量关系. 如果图形不规则应割或补成规则图形,找出各部分面 积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程;
（2）与直角三角形有关的问题：直角三角形两直角边的平方 和等于斜边的平方是这类问题的等量关系，即用勾股定理列方程.
问题：你觉得他的结果对吗？你能将小明的解答过程重现吗？
解：设小路的宽为 xm, 根据题意得：
16 2 x12 2 x 16 12 .
2
16m x
x
12m
即 x2 - 14x + 24 = 0.
解方程得 x1 = 2 , x2 = 12. 将x =12 代入方程中不符合题意舍去.
答：小路的宽为2m.
小亮设计： 如右图所示.其中花园每个角上的扇形都相同.
问题：你能帮小亮计算一下这个扇形的半径是多少吗？
初中数学人教版九年级上册 21.3一元二次方程的应用——面积问题(共14张PPT)
27
解法2:设正中央的矩形的长为9x cm，宽为7x cm,依题意，得
9x
7x
1 4
27
21
33
解方程，得 x1
舍去〕
2
33 x2 2 〔x2不合题意
探究3： 几何图形问题〔认真看视频“篱笆问题〞〕
例3．如图，是长方形鸡场平面示意图， 一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，假设 竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2， 求此长方形鸡场的长、宽。
4．如图(1)：在宽为20m，长为32m的矩形耕
地上修建同样宽的三条道路〔横向与纵向
垂直〕，把耕地分成假设干小矩形块，作
课
为小麦试验田，假设试验田面积为570m2， 求道路宽为多少？
堂 设宽为x m，根据图〔2〕列出方
训程
。
练
知识点2：甬道问题
5．某公园有一块长为32m，宽为5m的长 方形空地，现准备在空地中修同样的
课 堂
“之〞字路，如下图，假设修成道路后， 剩下的空地面积为50m2，这条“之〞字 路宽为多少？〔道路宽相同〕
训
练
知识点3：篱笆问题
6．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪
舍的一边利用长为12 m的住房墙，另外
课
三边用25m场的建筑材料围成，为方便 进出，在垂直于住房墙的一边留一个
堂 1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分
x1
1 2
5,
即x2 x 1 0. 解这个方程, 得
x2
1 2
5 (不合题意,舍去).
x 1 2
5.
黄金比
AC AB
1 2
5 0.618.
训 别为多少时猪舍面积为80m2？
练
知识点3：篱笆问题
一元二次方程的应用面积问题
一元二次方程的应用面积问题【教学目标】：1、知识能力目标：通过分析问题中的数量关系，建立方程解决问题，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般过程。
2．数学思考：进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型，从中感受到数学学习的意义；3.问题解决：经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题的过程，4．情感态度：①培养学生实事求是的科学态度，提高自身的数学交流水平，增强与人合作的精神和解决实际问题的能力，发展辩证思维能力.②积极参与数学活动,通过实际问题提高学习数学的兴趣.发展学生初步的辩证思维能力．【教学重点】：掌握列一元二次方程解应用题的基本步骤，会列一元二次方程解确决有关几何应用中的面积问题。
【教学难点】：如何将实际问题转化成1．知识与技能：通过分析问题中的数量关系，建立方程解决问题，认识方程模数学问题，一元二次方程的建模过程，是本节课的一个难点。
【教学方法】：作业前置、先学后教、当堂检测为主的自主探究式教学方式【教学媒体】：多媒体【教学设计】：活动1 ：复习引入：1.请同学们回忆并回答列一元二次方程解决实际问题的步骤是什么？2.列一元二次方程解决实际问中，最关键的是哪一步？活动目的：通过回顾，使学生进一步巩固解题的方法和步骤。
活动实际效果：学生掌握得比较理想，能够比较详细的说出解决实际问题的步骤和关键。
活动2 ：做一做，探索新知活动内容：数形结合问题例1、某学校准备在一块长32米，宽20米的草地上修筑道路互相垂直的两条道路（道路的宽度相等），使余下的草坪的面积为540平方米，求这个方案的道路的宽度?活动目的：通过例题进一步提高学生分析问题解决问题的能力，帮助学生熟练掌握配方法在实际问题中的应用，也为后续学习做好铺垫。
实际效果：学生通过独立思考，结合图形很快列出了方程，在交流过程中小组成员之间产生了分歧，有的同学认为，如果设小路的宽为x 米，则方程应该是540)20)(32(=--x x ；有的同学认为如果设小路的宽为x 米，则方程应该是540203220322=+--⨯x x x ，并且给出了合理的解释。
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分析:池底的造价+池壁的造价=总造价 解:设池底的边长是xm.
根据题意得: 240x2 120 2.5x 4 8640
解方程得: x1 9, x2 4
∵池底的边长不能为负数 ,∴取x=4答:池底的边长是4m.
耕地矩形的宽（纵向）为 (20-x) 米
相。等关系是：耕地长×耕地宽=540米2
即 32 x20 x 540.
化简得：x2 52 x 100 0, x1 50, x2 2
再往下的计算、格式书写与解法1相同。
练习1：用一根长22厘米的铁丝，能否折 成一个面积是30厘米的矩形？能否折成一 个面积为32厘米的矩形？说明理由。
2：在一块长80米，宽60米的运动场外 围修筑了一条宽度相等的跑道，这条 跑道的面积是1500平方米，求这条跑 道的宽度。
3. 如图，在长为40米，宽为22米的矩 形地面上，修筑两条同样宽的互相垂直 的道路，余下的铺上草坪，要使草坪的 面积为760平方米，道路的宽应为多少 ？
40米
22米
4、如图，在宽为20m，长为32m的矩形耕地 上，修筑同样宽的三条道路，（两条纵向， 一条横向，横向与纵向相互垂直），把耕地 分成大小相等的六块试验地，要使试验地面 积为570m²，问道路的宽为多少？
22 x 6 2
由x2=6，得
22 x 5 2
答：这个矩形的长是5cm或6cm，宽是6cm或5cm。
例2、在宽为20米、长为32米的矩形地面上 ，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下 部分作为耕地，要使耕地面积为540米2，道 路的宽应为多少？
20m
32m
分析：此题的相等关系是
x米
矩形面积减去道路面积等
面积问题
有关面积问题：
常见的图形有下列几种：
例1、用22cm长的铁丝，折成一个面积 为30cm2的矩形。求这个矩形的长与宽.
解：设这个矩形的长为xcm，则宽为 22 x（cm）
根据题意，得 x( 22 x) 30
2
2
整理后，得x2-11x+30=0
解这个方程，得x1=5,x2=6
由x1=5得
所以正确的方程是：32 20 32x 20x x2 540
化简得，x2 52 x 100 0, x1 50, x2 2.
其中的 x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去. 取x=2时，道路总面积为：
32 2 20 2 22 =100 (米2)
耕地面积= 32 20 100 = 540（米2）
练习、建造成一个长方体形的水池，原计划水池 深3米，水池周围为1400米，经过研讨，修改原 方案，要把长与宽两边都增加原方案中的宽的2 倍，于是新方案的水池容积为270万米3，求原来 方案的水池的长与宽各是多少米？
x
700--x
3
新方案
原方案
x&#x
• 课堂练习:列方程解下列应用题 • 1、学生会准备举办一次摄影展览，在每张长和
答：所求道路的宽为2米。
解法二：
我们利用“图形经过移动，它的面 积大小不会改变”的道理，把纵、横两 条路移动一下，使列方程容易些（目的 是求出路面的宽，至于实际施工，仍可 按原图的位置修路）
xm
如图，设路宽为x米， 20m
xm
横向路面为 32x 米2
纵，向路面面积为20x 米2 。
32m
耕地矩形的长（横向）为（32-x) 米 ，
18米
2米
于540米2。
20m
解法一、
如图，设道路的宽为x米， 则横向的路面面积为 32x 米2
32m
，
纵向的路面面积为 20x 米2 。
所列的方程是不是 32 20 (32x 20x) 540 ？
注意：这两个面积的重叠部分是 x2 米2
图中的道路面积不是 32 x 20 x 米2 ，
而是从其中减去重叠部分，即应是 32 x 20 x x2 米2
宽分别为18厘米和12厘米的长方形相片周围镶嵌 上一圈等宽的彩纸。经试验，彩纸面积为相片面 积的2/3时较美观，求镶上彩纸条的宽。（精确 到0.1厘米） • 2、在宽20米，长32米的矩形地面上修筑同样宽 的四条互相垂直的“井”字形道路（如图），余 下的部分做绿地，要使绿地面积为448平方 米， 路宽为多少？
32
20
• 3、小明把一张边长为10厘米的正方形硬纸 板的四周各剪去一个同样大小的正方形，
再折合成一个无盖的长方体盒子。如果要 求长方体的底面面积为81平方厘米，那么 剪去的正方形边长为多少?
5、 在长方形钢片上冲去一个 长方形，制成一个四周宽相等的
X 长方形框。已知长方形钢片的长
为30cm，宽为20cm,要使制成的 长方形框的面积为400cm2，求这 个长方形框的框边宽。
X
30cm
解:设长方形框的边宽为xcm,依题意,得
30×20–(30–2x)(20–2x)=400
整理得 x2– 25+100=0 当=20时,2得0-2xx=1=-2200(,舍x去2=)5;当x=5时,20-2x=10
答:这个长方形框的框边宽为5cm
列一元二次方程解应题
6、放铅笔的V形槽如图，每往上一层可以多 放一支铅笔．现有190支铅笔，则要放几层 ? 解:要放x层,则每一 层放(1+x) 支铅笔. 得
例3、求截去的正方形的边长
• 用一块长28cm、宽 20cm的长方形纸片， 要在它的四角截去四个相等的小正方形， 折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面 积为180cm２，为了有效地利用材料，求截 去的小正方形的边长是多少cm？
• 分析 求截去的正方形的边长
• 设截去的正方形的边长为xcm之后，关键在于列 出底面（图中阴影部分）长和宽的代数式．结合 图示和原有长方形的长和宽，不难得出这一代数 式．
28-2x
２８cm
20-2x 20cm
求截去的正方形边长
• 解：设截去的正方形的边长为xcm，根据题意，得 (28-2x)(20-2x)=180 x2-24x+95=0 解这个方程，得：x1=5,x2=19 经检验：x2＝19不合题意，舍去． 所以截去的正方形边长为５cm.
例4:建造一个池底为正方形,深度为
x (1+x) =190×2 X2＋ X －380＝0
解得X1＝19， X2＝ － 20(不合题意)
答:要放19层.
列一元二次方程解应题
补充练习：
如图，有一面积是150平方米的长方形鸡场 ，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面 有一个2米宽的门，另三边（门除外）用竹 篱笆围成，篱笆总长33米求鸡场的长和宽 各多少米？