一元二次方程与几何图形的面积问题教材
一元二次方程与几何图形的面积问题
例2、在宽为20米、长为32米的矩形地面上 ，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下 部分作为耕地，要使耕地面积为540米2，道 路的宽应为多少？
20m
32m
分析：此题的相等关系是 矩形面积减去道路面积等 于540米2。 解法一、
x米
20m 32m
如图，设道路的宽为x米， 2 则横向的路面面积为 32x 米 纵向的路面面积为 20x 米2 。
18米
2米
2
540
2 化简得，x 52x 100 0, x1 50, x2 2.
其中的 x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去.
取x=2时，道路总面积为： 32 2 20 2 22 =100 (米2)
耕地面积= 32 20 100 = 540（米2） 答：所求道路的宽为2米。
解:要放x层,则每一 层放(1+x) 支铅笔. 得 x (1+x) =190×2 2 X＋ X －380＝0 解得X1＝19，
X2＝ － 20(不合题意)
答:要放19层.
列一元二次方程解应题
补充练习：
如图，有一面积是150平方米的长方形鸡场 ，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面 有一个2米宽的门，另三边（门除外）用竹 篱笆围成，篱笆总长33米求鸡场的长和宽 各多少米？
练习、建造成一个长方体形的水池，原计划水池 深3米，水池周围为1400米，经过研讨，修改原 方案，要把长与宽两边都增加原方案中的宽的2 倍，于是新方案的水池容积为270万米3，求原来 方案的水池的长与宽各是多少米？
冀教版九上数学 一元二次方程的应用 第课时 面积问题
解：设截去的小正方形的边长 x cm. 则底面的长和宽
分别为 (80－2x) cm、(60－2x) cm，则列方程，得 (80－2x)(60－2x)＝1500. 解得 x1＝55，x2＝15. 检验：当 x1＝55 时，长为 80－2x＝－30 cm
宽为 60－2x＝－50 cm．
想想，这符合题意吗？不符合． 舍去． 当 x2＝15 时，长为 80－2x＝50 cm 宽为 60－2x＝30 cm． 符合题意. 所以 x＝15．
x 80 cm x
C．x2 - 130x - 1400 = 0
50 cm
D．x2 - 65x - 350 = 0
x x
2. 如图，在宽 20 米，长 32 米的长方形地面上修筑同 样宽的道路 (图中阴影部分)，余下的部分种上草坪. 要 使草坪的面积为 540 平方米，求道路的宽. 解：设道路宽为 x 米，由平移得 到下图，则依题意列方程：
答：截取的小正方形的边长是 15 cm.
方法归纳
1.在几何图形的面积问题中，面积公式往往就是建立 等量关系的关键. 如果图形不规则，应割或补成规则 图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形 的面积公式列出方程. 2.把分散的图形拼接成一个完整的、规则的图形是解 决图形问题中的常用方法，也是较为简便有效的方法.
问题2 解方程： (80－2x)(60－2x)＝1500.
湘教版九年级上册数学教学课件 第2章一元二次方程 一元二次方程的应用 第2课时图形面积问题
A.90％×（2+x）（1+x）=2×1 B.90％×(2+2x)(1+2x)=2×1 C.90％×(2-2x)(1-2x)=2×1 D.(2+2x)(1+2x)=2×1×90％
随堂练习
1.从一块正方形的木板上锯掉2 m宽的长方形木条，剩下
的面积是48 m2，则原来这块木板的面积是（ B）
1 图形面积问题
几何图形的面积问题： 这类问题的_面__积__公__式_是等量关系. 如果图形不规则
应_割___或__补__成规则图形,找出各部分面积之间的关系, 再运用规则图形的面积公式列出方程
课程讲授
1 图形面积问题
练一练：为宣传“扫黑除恶”专项行动，社区准备制作 一幅宣传版画，喷绘时为了美观，要在矩形图案四周外 围增加一圈等宽的白边.已知图案的长为2米，宽为1米 ，图案面积占整幅宣传版画面积的90％，若设白边的宽
第2章 一元二次方程
2.5 一元二次方程的应用
第2课时 图形面积问题
新知导入 课程讲授
随堂练习 课堂小结
知识要点
1.几何图形的面积问题
新知导入
试一试：观察下图中图形的构成，试着表示出图中阴影 部分的面积。
(32-x)m x m
xm
(20-x)m
(32-x)(20-x)
实际问题与一元二次方程 ---几何图形问题 (2)
实际问题与一元二次方程
---几何图形问题教学内容：
本节课主要学习根据常见的几何图形面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类几何图形问题。
教学目标：
1.知识技能：
（1）.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
（2）.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。
（3）.在探究问题的过程中，掌握实际问题的类型：平移转化、裁边分割问题。
2.数学思考：
经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。
3.解决问题：
通过解决矩形(平行四边形、梯形等)地面与道路规划的实际问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识。
4.情感态度：
通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。
重、难点：
重点：列一元二次方程解决有关平移转化、裁边分割问题。
难点：如何寻找更加简单的等量关系来建立平移转化、裁边分割问题的方程。
教学准备
教师准备：制作课件，精选习题。
学生准备：复习有关知识，预习本节课内容，作图常用工具。
教学过程
一、出示课题
同学们，今天我将和大家一起来研究实际问题与一元二次方程中的几何图形问题。
教师演示课件，并同时板书课题。
【设计意图】
课堂伊始，并没有设计温故知新环节，因为在这节课之前，学生们已经掌握了一些简单的几何图形的面积公式。
二、探索新知
【问题情境】
如图，在长为30米、宽为20米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地，若耕地面积需要551平方米，求修建的路宽应为多少米？
一元二次方程与几何图形的面积问题(课堂PPT)
耕地矩形的宽（纵向）为 (20-x) 米
相。等关系是：耕地长×耕地宽=540米2
即 32 x20 x 540.
化简得：x2 52 x 100 0, x1 50, x2 2
再往下的计算、格式书写与解法1相同。
8
练习1：用一根长22厘米的铁丝，能否折 成一个面积是30厘米的矩形？能否折成一 个面积为32厘米的矩形？说明理由。
2.5m的长方体无盖蓄水池,建造池壁的 单价是120元/m2,建造池底的单价是240 元/m2,总造价是8640元,求池底的边长.
分析:池底的造价+池壁的造价=总造价 解:设池底的边长是xm.
根据题意得: 240x2 120 2.5x 4 8640
解方程得: x1 9, x2 4
∵池底的边长不能为负数 ,∴取x=4答:池底的边长是4m15.
答：所求道路的宽为2米。
6
解法二： 我们利用“图形经过移动，它的面
积大小不会改变”的道理，把纵、横两 条路移动一下，使列方程容易些（目的 是求出路面的宽，至于实际施工，仍可 按原图的位置修路）
7
xm
如图，设路宽为x米Βιβλιοθήκη Baidu 20m
xm
横向路面为 32x 米2
纵，向路面面积为20x 米2 。
32m
耕地矩形的长（横向）为（32-x) 米 ，
11
人教版九年级上册数学精品教学课件 第21章 一元二次方程 第3课时 几何图形与一元二次方程
移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移
动. 问点 P，Q 出发几秒后可使 △PCQ 的面积为 9 cm²？B
解：设点 P，Q 出发 x s 后 △PCQ 的面积为 9 cm².
根据题意得 AP = x cm，PC = (6 - x) cm，CQ =
2x cm. 则有 1 6 x 2x 9. 整理，得
答∴：x＜横1竖30 .条∴的x宽=度56分，别则是2x53=c53m，，352x
=5 2
cm.
.
4. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6 cm，BC =
8 cm. 点 P 沿 AC 边从点 A 向终点 C 以 1 cm/s 的速度移
动；同时点 Q 沿 CB 边从点 C 向终点 B 以 2 cm/s 的速度
解：设铁板的宽为 x cm，则长为 2x cm. 列方程，得 5(2x − 10)(x − 10) = 3000， 整理，得 x2 − 15x − 250 = 0. 解得 x1 = 25，x2 = −10 (舍去)，所以 2x = 50. 答：铁板的长为 50 cm，宽为 25 cm.
3. 如图，要设计一个宽 20 cm，长为 30 cm 的矩形图案，
由题意得 x(25 − 2x + 1) = 80，
ห้องสมุดไป่ตู้住房墙
解得 x1 = 5，x2 = 8.
人教版九年级数学上册课件第3课时 用一元二次方程解决几何图形问题
当堂练习
✓ 当堂反馈 ✓ 即学即用
当堂练习
1. 从正方形铁片的边截去2cm宽的一个长方形，余下的
面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（D ）
A.8cm B.64cm
C.8cm2 D.64cm2
2. 直角三角形的两条直角边的和是14cm,面积是24cm2.
则其两条直角边长分别是 6cm 、 8cm .
21cm
27cm
讲授新课
分析:这本书的长宽之比 9 ： 7 正中央的矩 形长宽之比 9 ： 7 ，上下边衬与左右边衬之 比 9 ：7 .
27cm
解：设中央长方形的长和宽分别为9a和7a
由此得到上下边衬宽度之比为：
21cm
1 (27 9a) : 1 (21 7a)
2
2
9(3 a) : 7(3 a)
当堂练习
(2)对.两个正方形的面积之和为： x2+(10-x)2=2x2-20x+100
=2(x2-10x+25)+50=2(x-5)2+50 ∵无论x取何值，2(x-5)2总是不小于0的. ∴2(x-5)2+50≥50.即这两个正方形的面积之和总是 不小于50cm2的，所以不可能等于48cm2. 小峰的说法是对的.
当堂练习
解：(1)设其中一个小正方形的边长为x cm,则另一个小
初三数学-与几何图形面积周长有关一元二次方程的应用
初三数学
与几何图形面积周长有关一元二次方程的应用
【例】一个直角三角形三边的长是三个连续整数，求这三条边的长和它的面积
解：设三条边的长分别为()()11+-x x x ，
， 由勾股定理，得()()2
2211+=+-x x x 整理，得042=-x x . ∴4021==x x ，
∵01=x ，不合题意，舍去
∴4=x 从而5131=+=-x x ， ∴S △=6432
1=⨯⨯ 【练习】
1．直角三角形两直角边的比是8：15，而斜边的长等于6.8cm ，那么这个直角三角形的面积等于多少？
2、直角三角形的面积为6，两直角边的和为7，则斜边长为多少？
3、用一条长12厘米的铁丝折成一个斜边长是5厘米的直角三角形，则两直角边的长是多少？
4、一个三角形的两边长为2和4，第三边长是方程0121022
=+-x x 的解，则三角形的周长为多少
5.若三角形的三边长均满足方程0862=+-x x ，则此三角形的周长为多少？
【例】一块长80cm ，宽60cm 的薄钢片，在四个角截去四个相同的小正方形，然后将四边折起，做成如图所示的底面积是15002
cm 且无盖的长方体盒子. 求截去的小正方形的边长. 解：设截去的小正方形的边长为x cm ，则 ()()1500260280=--x x
整理，得0825702=++x x 解得551521==x x ，
因为0260>-x ，所以55=x 不合题意，舍去 所以 15=x
答：截去的小正方形的边长为15cm
【练习】
1．一块矩形的地，长是24米，宽是12米，要在它的中央划一块矩形的花坛，四周铺上草地，其宽都相同，花坛占大块矩形面积的
一元二次方程与实际问题-几何图形面积.3实际问题与一元二次方程(第3课时)-课件
五、拓展提高
例题1．小林准备进行如下操作实验：把一根长为40 cm的铁丝剪成 两段，并把每一段各围成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小林该怎么剪？ (2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.” 他的说法对吗？请说明理由． 解：(1)设其中一个正方形的边长为x cm，则另一个正方形的边长为 (10－x) cm，由题意得x2＋(10－x)2＝58，解得x1＝3，x2＝7，4×3 ＝12，4×7＝28，所以小林应把绳子剪成12 cm和28 cm的两段 (2)假设能围成．由(1)得，x2＋(10－x)2＝48，化简得x2－10x＋26＝ 0， 因为 Δ ＝ b2 － 4ac ＝ ( － 10)2 － 4×1×26 ＝－ 4 ＜ 0 ， 所以此方程没 有实数根，所以小峰的说法是对的
( x 35)( x 1) 0 x 35, x 1
1 2
36 x 35 0
答:道路的宽为1米.
（2） 如图，某中学为方便师生活动，准备 在长30m，宽20m的矩形草坪上修筑两横 两纵四条小路，横纵路的宽度之比为3∶2 ， 若使余下的草坪面积是原来草坪面积的 四分之三，则路宽应为多少？
秋九年级数学上册 第2章 一元二次方程 2.5 一元二次方程的应用 第2课时 图形面积和动点几何问题
第2课时 图形面积和动点几何问题
知|识|目|标
1．通过讨论、探究，会用一元二次方程解决图形面积问题．
2．在理解直角三角形面积计算的基础上，能够建立一元二次方程解决与动点有关的几何问题．
目标一 能利用一元二次方程解决图形面积问题
例1 教材例3针对训练如图2－5－2，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一块长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a 米．
(1)用含a 的式子表示花圃的面积；
(2)如果通道所占面积是整个长方形空地面积的38
，求出此时通道的宽． 图2－5－2
【归纳总结】利用图形的面积建立一元二次方程模型的步骤
(1)设元；(2)用未知数表示各边的长度；(3)利用面积公式列一元二次方程；(4)解一元二次方程；(5)针对实际情况舍去负根和超X围的根，从而得出结果．
目标二利用一元二次方程解决动点几何问题
例2 教材补充例题在矩形ABCD中，AB＝5 cm，BC＝6 cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1 cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2 cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t s(t>0)．
(1)填空：BQ＝________ cm，PB＝________ cm(用含t的代数式表示)．
(2)当t为何值时，PQ的长度等于5 cm?
(3)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26 cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
人教版九年级上册第二十一章 《一元二次方程》实际应用：几何图形问题
《一元二次方程》
实际应用：几何图形问题
1．如图1，有一张长40cm，宽20cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2的有盖纸盒．
（1）若纸盒的高是3cm，求纸盒底面长方形的长和宽；
（2）若纸盒的底面积是150cm2，求纸盒的高．
2．某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长15m）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．
（1）若要建的矩形养鸡场面积为90m2，求鸡场的长（AB）和宽（BC）；
（2）该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，请直接回答：这一想法能实现吗？
3．学校打算用长16米的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠在长为8米的墙上（如图）．
（1）若生物园的面积为30平方米，求生物园的长和宽．
（2）能否围成面积为35平方米的生物园？若能，求出长和宽；若不能，请说明理由．
4．用一块边长为60cm的正方形薄钢片制作成一个没有盖的长方体盒子，可先在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形（如图①），然后把四边折合起来（如图②）．若做成的盒子的底面积为900cm2时，求截去的小正方形的边长．
5．如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆，怎样围成一个面积为50m2的矩形ABCD场地？能围成一个面积为52m2的矩形ABCD场地吗？如能，说明围法；若不能，说明理由．
6．合肥长江180艺术街区进行绿化改造，用一段长40m的篱笆和长15m的墙AB，围城一个矩形的花园，设平行于墙的一边DE的长为xm；
用一元二次方程解决图形面积问题华东师大版九年级数学上册
4. 如图所示，在△ABC中，∠C=90°， AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从
点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向B以2cm/s的速 度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出 发几秒后可使△PCQ的面积为9 cm²？
解：若设出发x s后可使△PCQ的面积为9cm².
分析：问题中没有明确小道在试验田中的位置，
试作出图，不难发现小道的占地面积与位置无
x
关．设小道宽为x m，则两条小道的面积分别为 20
x
32x m 2和20x m 2，其中重叠部分小正方形的
面积为x2 m2，根据题意，得
32
32×20－32x－20x＋x2＝540.
请完成本 题的解答
试一试
如果设想把小道平移到两边，如图所示，小道所
域栽种鲜花(如图),原空地一边减少了1 m,另一边减少了2m,
剩余空地的面积为18 m2,求原正方形空地的边长.设原正方
形空地的边长为x m,则可列方程为( C )
A.(x+1)(x+2)=18
B.x2-3x+16=0
C.(x-1)(x-2)=18
D.x2+3x+16=0
2.如图,某小区计划在一块长30 m、宽20 m的长方形ABCD土地上修建三 条同样宽的甬道,使其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种植花 草.要使每一块花草的面积都为78 m2,那么甬道的宽应设计成多少米?若设 甬道的宽为x m,将6块草地平移拼成一个长方形,其一边长为(30-2x)m,另一 相邻边长为 (60-x) m,根据长方形的面积公式可列方程(30-2x)(60-x)=78×6, 化成一般形式为 x2-35x+66=0 ,解得x1= 2 ,x2= 3 (不合题意,舍去).
沪教版初中数学八年级第一学期 一元二次方程应用利用简单的几何图形求面积 课件优秀课件资料
（3）如果墙长只有50米，又该怎么围？
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课内巩固
如图，用100分米长的竹篱笆靠墙围一个面积为 20000平方分米的长方形，若长方形的一边长x 米，则根据题意，可得方程_________。
例3、
如图，在一块长30米，宽20米的耕地内修建两 条宽度相等且互相垂直的小道，使留下的面积 是原耕地面积的 ，5 求小路宽。
17.4.2（3） 一元二次方程应用 ——利用简单的几何图形求面积
教学目标：
以一元二次方程解决的实际问题为载体，使学 生初步掌握数学建模的基本方法。
使学生认识到数学与生活紧密相连，提高数学 学习的积极性。
重点与难点：
重点：数形结合，将实际问题提炼成数学问题 ，学会用列方程的方法解决图形的面积问题。
8
如果在此耕地四周修建宽度相等的小道，留下的 面积不变，设小路宽为x米，画图形，并立式。
更上一层楼：
拓展1：
如图，要建一个面积为140平方米的仓库，仓 库的一边靠墙。这堵墙长16米；在与墙平行一 边，要开一扇2米宽的门。已知围建仓库的现 有木板材料可使新建板墙的总长为32米，那么 这个仓库设计的长和宽应分别为多少米？
无盖的长方体盒子，使得剩下的图形面积是原 矩形面积的60%，求所截去小正方形的边长。 设所截去小正方形的边长为x厘米，根据题意 列方程得____________________。
数学北师大版九年级上册一元二次方程教材分析
数学北师大版九年级上册一元二次方程教材分析
实际问题与一元二次方程教材分析
结合实际问题，分别讨论传播问题、增长率问题、几何图形面积问题、匀变速运动问题。本节的重点是分析实际问题中的数量关系并以方程的形式进行表示。体现了数学建模思想的“螺旋式上升，不断深化”的理念。
1.德育目标：通过列一元二次方程解决实际问题，是学生精历“从实践问题中抽象出数学模型，并回到实际问题中揭示和检验”的过程，从而进一步提高分析文题、解决问题的能力，增强学数学、用数学的意识。教学时，计划一个类型安排一课时，共4课时。
本单元重点：进一步反映一元二次方程与实际问题的密切联系，再次体现数学建模思想，加强培养运用一元二次方程分析和解决实际问题的能力。
本单元难点：正确建立一元二次方程。突破难点的关键：弄清问题背景，把有关数量关系分析透彻，特别是找出可以作为列方程依据的主要相等关系。
2.学法点拨：
列一元二次方程解应用题的一般步骤为：审、设、列、解、验、答。
具体过程：（1）审题，找等量关系；-------关键
（2）设未知数；-------注意单位（3）列方程；
（4）解方程；
（5）检验；-------注意是否符合实际意义（6）写出答案；
（7）答话。
增长率问题常用公式a(1±x)2
=b，a为原数，b为增长或降低后的数（即现在的数），x为增长率或降低率，2表示两次增长或降低。
3.易错点
①审题不清，误解题意，不能正确地找出等量关系；
②解方程后未经检验就盲目作答。
③检查方程两根是否符合实际意义，尤其当两根都是正数的情况。
如教材P
114：探究3问题中，方程两根都是正数，但他们并不都适合问题的解。必须根据它们的值的大小来确定哪个合乎实际。这种取舍更多的要考虑问题的实际意义，教学中应注意培养学生将数学知识与实际问题相结合的能力。
《面积问题与一元二次方程》说课稿
《面积问题与一元二次方程》说课稿
今天我说课的内容是人教版初中数学九年级上册第二十二章、第22.3节《实际问题与一元二次方程》中利用一元二次方程解决面积方面的问题。它是继传播问题、百分率问题问题这两个基本问题的学习后的一节新课，对于本节课我将从教材分析、教学目标分析，教法的确定与学法指导，教学过程这四个方面加以阐述。
教材分析：一元二次方程是中学数学的重要内容，在初中数学中占有重要地位，其中一元二次方程的实际应用在初中数学应用问题中极具代表性，它是一元一次方程应用的继续，又是二次函数学习的基础，它是研究现实世界数量关系和变化规律的重要模型。本节课以一元二次方程解决面积方面的实际问题为载体，通过对它的进一步学习和研究体现数学建模的过程帮助学生增强应用认识。
一元二次方程解实际问题的应用相当广泛，在几何、物理及其它学科中都有应用，因此它成为了初中数学学习的重点。这种应用的广泛性能激发学生学习数学的兴趣和热情，能让学生体会到学数学、做数学、用数学的快乐。本节课主要侧重于一元二次方程在几何方面的应用。
数学新课程标准要求：人人学有价值的数学，人人都获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。根据新课标要求，制定以下教学目标：
教学目标：
1.知识与技能
（1）能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．
（2）能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．
2.过程与方法
（1）经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。
一元二次方程的应用-ppt课件
重
难
2，此时 AP=x cm，BP=（5-x） cm，BQ=2x cm，根据题
cm
题
型
突 意得 （5-x）×2x=4，整理，得 x2-5x+4=0，解得 x=1
破
或 x=4．当 x=4 时，2x=8＞7，不合题意，舍去．故 1 s
后，△PBQ 的面积为 4 cm2；
止运动．
第一课时 几何图形面积问题
（1）若点 P，Q 分别从点 A，B 同时出发，几秒后
重
难
2？
△PBQ
的面积为
4
cm
题
型
（2）若点 P，Q 分别从点 A，B 同时出发，几秒后 PQ
突
破 的长度等于 5 cm？
（3）在（1）中△PBQ 的面积能否等于 7 cm2？ 说明
理由．
第一课时 几何图形面积问题
问题
a（1-x）2，以此类推，第 n 次降低后的值
为 a（1-x）n
第二课时 变化率问题
考
点
清
单
解
读
续表
有些变化率问题，连续两次的变化率不同，题干
注意
中往往给出这两次变化率之间的关系，用同一未
知数表示这两次的变化率，再列方程求解
第二课时 变化率问题
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于540米2。
20m
解法一、
如图，设道路的宽为x米， 则横向的路面面积为 32x 米2
32m
，
纵向的路面面积为 20x 米2 。
所列的方程是不是 32 20 (32x 20x) 540 ？
注意：这两个面积的重叠部分是 x2 米2
图中的道路面积不是 32 x 20 x 米2 ，
而是从其中减去重叠部分，即应是 32 x 20 x x2 米2
答：所求道路的宽为2米。
解法二：
我们利用“图形经过移动，它的面 积大小不会改变”的道理，把纵、横两 条路移动一下，使列方程容易些（目的 是求出路面的宽，至于实际施工，仍可 按原图的位置修路）
xm
如图，设路宽为x米， 20m
xm
横向路面为 32x 米2
纵，向路面面积为20x 米2 。
32m
耕地矩形的长（横向）为（32-x) 米 ，
X
30cm
解:设长方形框的边宽为xcm,依题意,得
30×20–(30–2x)(20–2x)=400
整理得 x2– 25+100=0 当=20时,2得0-2xx=1=-2200(,舍x去2=)5;当x=5时,20-2x=10
答:这个长方形框的框边宽为5cm
列一元二次方程解应题
6、放铅笔的V形槽如图，每往上一层可以多 放一支铅笔．现有190支铅笔，则要放几层 ? 解:要放x层,则每一 层放(1+x) 支铅笔. 得
耕地矩形的宽（纵向）为 (20-x) 米
相。等关系是：耕地长×耕地宽=540米2
即 32 x20 x 540.
化简得：x2 52 x 100 0, x1 50, x2 2
再往下的计算、格式书写与解法1相同。
练习1：用一根长22厘米的铁丝，能否折 成一个面积是30厘米的矩形？能否折成一 个面积为32厘米的矩形？说明理由。
2：在一块长80米，宽60米的运动场外 围修筑了一条宽度相等的跑道，这条 跑道的面积是1500平方米，求这条跑 道的宽度。
3. 如图，在长为40米，宽为22米的矩 形地面上，修筑两条同样宽的互相垂直 的道路，余下的铺上草坪，要使草坪的 面积为760平方米，道路的宽应为多少 ？
40米
22米
4、如图，在宽为20m，长为32m的矩形耕地 上，修筑同样宽的三条道路，（两条纵向， 一条横向，横向与纵向相互垂直），把耕地 分成大小相等的六块试验地，要使试验地面 积为570m²，问道路的宽为多少？
练习、建造成一个长方体形的水池，原计划水池 深3米，水池周围为1400米，经过研讨，修改原 方案，要把长与宽两边都增加原方案中的宽的2 倍，于是新方案的水池容积为270万米3，求原来 方案的水池的长与宽各是多少米？
x
700--x
3
新方案
原方案
x+2x
700-x+2x
x
• 课堂练习:列方程解下列应用题 • 1、学生会准备举办一次摄影展览，在每张长和
2.5m的长方体无盖蓄水池,建造池壁的 单价是120元/m2,建造池底的单价是240 元/m2,总造价是8640元,求池底的边长.
分析:池底的造价+池壁的造价=总造价 解:设池底的边长是xm.
根据题意得: 240x2 120 2.5x 4 8640
解方程得: x1 9, x2 4
∵池底的边长不能为负数 ,∴取x=4答:池底的边长是4m.
宽分别为18厘米和12厘米的长方形相片周围镶嵌 上一圈等宽的彩纸。经试验，彩纸面积为相片面 积的2/3时较美观，求镶上彩纸条的宽。（精确 到0.1厘米） • 2、在宽20米，长32米的矩形地面上修筑同样宽 的四条互相垂直的“井”字形道路（如图），余 下的部分做绿地，要使绿地面积为448平方 米， 路宽为多少？
28-2x
２８cm
20-2x 20cm
求截去的正方形边长
• 解：设截去的正方形的边长为xcm，根据题意，得 (28-2x)(20-2x)=180 x2-24x+95=0 解这个方程，得：x1=5,x2=19 经检验：x2＝19不合题意，舍去． 所以截去的正方形边长为５cm.
例4:建造一个池底为正方形,深度为
22 x 6 2
由x2=6，得
22 x 5 2
答：这个矩形的长是5cm或6cm，宽是6cm或5cm。
例2、在宽为20米、长为32米的矩形地面上 ，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下 部分作为耕地，要使耕地面积为540米2，道 路的宽应为多少？
20m
32m
分析：此题的相等关系是
x米
矩形面积减去道路面积等
所以正确的方程是：32 20 32x 20x x2 540
化简得，x2 52 x 100 0, x1 50, x2 2.
其中的 x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去. 取x=2时，道路总面积为：
32 2 20 2 22 =100 (米2)
耕地面积= 32 20 100 = 540（米2）
18米
2米
x (1+x) =190×2 X2＋ X －380＝0
解得X1＝19， X2＝ － 20(不合题意)
答:要放19层.
列一元二次方程解应题
补充练习：
如图，有一面积是150平方米的长方形鸡场 ，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面 有一个2米宽的门，另三边（门除外）用竹 篱笆围成，篱笆总长33米求鸡场的长和宽 各多少米？
来自百度文库面积问题
有关面积问题：
常见的图形有下列几种：
例1、用22cm长的铁丝，折成一个面积 为30cm2的矩形。求这个矩形的长与宽.
解：设这个矩形的长为xcm，则宽为 22 x（cm）
根据题意，得 x( 22 x) 30
2
2
整理后，得x2-11x+30=0
解这个方程，得x1=5,x2=6
由x1=5得
例3、求截去的正方形的边长
• 用一块长28cm、宽 20cm的长方形纸片， 要在它的四角截去四个相等的小正方形， 折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面 积为180cm２，为了有效地利用材料，求截 去的小正方形的边长是多少cm？
• 分析 求截去的正方形的边长
• 设截去的正方形的边长为xcm之后，关键在于列 出底面（图中阴影部分）长和宽的代数式．结合 图示和原有长方形的长和宽，不难得出这一代数 式．
32
20
• 3、小明把一张边长为10厘米的正方形硬纸 板的四周各剪去一个同样大小的正方形，
再折合成一个无盖的长方体盒子。如果要 求长方体的底面面积为81平方厘米，那么 剪去的正方形边长为多少?
5、 在长方形钢片上冲去一个 长方形，制成一个四周宽相等的
X 长方形框。已知长方形钢片的长
为30cm，宽为20cm,要使制成的 长方形框的面积为400cm2，求这 个长方形框的框边宽。