第八讲 平行线与相交线三角形(教师版)

第八讲：平行线与相交线，三角形及全等三角形（教师版）一：【知识梳理】1.直线、射线、线段之间的区别：联系：射线是直线的一部分。

线段是射线的一部分，也是直线的一部分．2.直线和线段的性质：(1)直线的性质：①经过两点有且只有直线，即两点确定一条直线；②两条直线相交，有且仅有一个交点.(2)线段的性质:两点之间的所有连线中，线段最短，即两点之间，线段最短．3.角的定义：有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角；角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．(1)角的度量：把平角分成180份，每一份是1°的角，1°=6 0′，1′= 6 0″（2）角的分类：（3）相关的角及其性质：①余角：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角．②补角：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角．③对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．④互为余角的有关性质：①∠1＋∠2=90°⇔∠1、∠2互余；②同角或等角的余角相等，如果∠l十∠2=90○，∠1+∠3= 90○，则∠2 ＝∠3．⑤互为补角的有关性质：①若∠A +∠B=180○⇔∠A、∠B互补；②同角或等角的补角相等．如果∠A＋∠C=180○，∠A+∠B=180°，则∠B ＝∠C．⑥对顶角的性质：对顶角相等．（4）角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．其性质是：角平分线上一点到角的两边的距离相等（注意是垂线段的长度）4.同一平面内两条直线的位置关系是：相交或平行5.“三线八角”的认识：三线八角指的是两条直线被第三条直线所截而成的八个角．正确认识这八个角要抓住：同位角即位置相同的角；内错角要抓住“内部，两旁”；同旁内角要抓住“内部、同旁”．6.平行线的性质：（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．（2）过直线外一点有且仅有直线和已知直线平行．（3）两条平行线之间的距离是指在一条直线上任意找一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线之间的距离.7.平行线的定义：在同一平面内．不相交的两条直线是平行线。

8.如果两条直线都与第三条直线平行，那么．这两条直线互相平行．9.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；如果内错角相等．那么这两条直线平行如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．这三个条件都是由角的数量关系（相等或互补）来确定直线的位置关系（平行）的，因此能否找到两直线平行的条件，关键是能否正确地找到或识别出同位角，内错角或同旁内角．10.常见的几种两条直线平行的结论：（1）两条平行线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线平行．（2）两条平行线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行．二：【经典考题剖析】1.已知线段AB=20㎝，C为 AB中点，D为CB 上一点，E为DB的中点，且EB=3 ㎝，则CD= _____4___cm．2.如图所示，AC为一条直线，O是AC上一点，∠AOB＝120°OE、OF分别平分∠AOB和∠BOC，．（1）求∠EOF的大小；90度（2）当OB绕O旋转时，OE、OF仍为∠AOB和∠BOC平分线，问：OF、OF有怎样的位置关系？你能否用一句话概括出这个命题垂直，互为邻补角的两个角的平分线互相垂直。

3.将一长方形纸片，按图的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为（C ）A．60° B．75° C．90° D．95°4.如图，AB∥EF∥DC，EG∥BD，则图中与∠1相等的角共有（ C ）A．6个 B．5个 C．4个 D．2个5.如图，直线AD与AB、CD相交于 A、D两点，EC、BF与AB、CD交于点E、C、B、F，且∠l=∠2，∠B=∠C，求证：∠A=∠D．三：【课后训练】1.下列每组数分别是三根小木棒、的长度，用它们能摆成三角形的一组是（ B）A．1cm，2cm，3cm B．3cm，4cm，5cmC．5cm，7cm，13cm D．7cm，7cm，15cm2.过△ABC的顶点C作边AB的垂线，如果这条垂线将∠ACB分为50°和20°的两个角，那么∠A、∠ B中较大的角的度数是_____∠ B ___．3.如图，AB//CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有（C ）A．0个 B．l个 C．2个 D．3个4.如图所示，在△ABC中，∠A＝50°，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB．求∠BOC的度数．1255.已知：△ABC的两边AB=3cm，AC=8cm．（1）求第三边BC的取值范围；5cm<BC<13cm（2）若第三边BC长为偶数，求BC的长；6,8,10,12（3）若第三边BC长为整数，求BC的长6,7,8,9,10,11,126.如图，已知∠AOC与∠BOD都是直角，∠BOC=59○．（1）求∠AOD的度数；121（2）求∠AOB和∠DOC的度数；相等 310（3）∠A OB与∠DOC有何大小关系；（4）若不知道∠BOC的具体度数，其他条件不变，这种关系仍然成立吗？成立7.如图，AB∥CD，直线EF分别交A B、CD于点E、F，EG平分∠B EF，交CD于点G，∠1=50○求∠2的度数．658.如图，已知B D⊥AC，EF⊥AC，D、F为垂足，G是AB上一点，且∠l=∠2．求证：∠AGD=∠ABC．BD//EF得∠l=∠3．且∠l=∠2．得GD//BC得结论9.根据补角和余角的定义可知：10○的补角是170○，余角为80○；15○的补角是165○，余角为75○；40○的补角是140○，余角为50○；52○的补角为128○，余角为38○……观察以上几组数据，你能得出怎样的结论？请用任意角α代替题中的10○，15○，4 0○，5 2○，来说明你的结论． 补角为：180-α，余角为90-a,三角形 一：【知识梳理】1.三角形中的主要线段（1）三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线，其交点为内心。

（2）三角形的中线：连结三角形的一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．边上一条中线把三角形的面积分成相等的两部分。

（3）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边（或其延长线）引垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．其交点为垂心。

(4) 三角形的中位线：连接三角形两边的中点的线段。

中位线平行底边，且是底边的一半。

2.三角形的边角关系（1）三角形边与边的关系：三角形中两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边； （2）三角形中角与角的关系：三角形三个内角之和等于180o ． 3.三角形的分类（1）按边分：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形底和腰不等的等腰三角形等腰三角形等边三角形（2）按角分：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形4.特殊三角形（1）直角三角形性质①角的关系：∠A+∠B=900；②边的关系：222a b c +=③边角关系：00901230C BC AB A ⎫∠=⎪⇒=⎬∠=⎪⎭；④09012C CE AB AE BE ⎫∠=⇒=⎬=⎭ ⑤2ch ab s ==；⑥2c R =a+b-c外接圆半径；内切圆半径r=2（2）等腰三角形性质①角的关系：∠A=∠B ；②边的关系：AC=BC ；③AC BC AD BDCD AB ACD BCD==⎫⎧⇒⎬⎨⊥∠=∠⎭⎩ ④轴对称图形，有一条对称轴。

（3）等边三角形性质①角的关系：∠A=∠B=∠C=600；②边的关系：AC=BC=AB ；③AB AC BD CD AD BC BAD CAD ==⎫⎧⇒⎬⎨⊥∠=∠⎭⎩；④轴对称图形，有三条对称轴。

（4）三角形中位线：12AD BD DE BCAE BE DE BC⎧==⎫⎪⇒⎬⎨=⎭⎪⎩∥ 5.特殊三角形的判定：直角三角形的判定用勾股定理，圆直径的性质，圆的切线，证两内角之和为90度等。

6.两个重要定理：（1）角平分线性质定理及逆定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；三角形的三条角平分线相交于一点（内心）（2）垂直平分线性质定理及逆定理：线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等；到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；三角形的三边的垂直平分线相交于一点（外心）二：【经典考题剖析】1.三角形中，最多有3个锐角，至少有___2__个锐角，最多有__1____个钝角（或直角），三角形外角中，最多有____3__个钝角，最多有__1____个锐角．2.两根木棒的长分别为7cm 和10cm ，要选择第三根棒，将它钉成一个三角形框架，那么第三根木棒长xcm 的范围是_____（3，17）_____3.已知D 、E 分别是ΔABC 的边AB 、BC 的中点，F 是BE 的中点．若面ΔDEF 的面积是10，则ΔA B C 的面积是多少？404.正三角形的边长为a ，则它的面积为_24____. 5.如图，DE 是△ABC 的中位线， F 是DE 的中点，BF 的延长线交 AC 于点H ，则AH ：HE 等于（B ）DM//AEA ．l ：1B ．2：1C ．1：2D ．3：2三：【课后训练】 3.如图，OE 是∠AOB 的平分线，CD ∥OB 交OA 于C ，交OE 于D ，∠ACD=50o，则 ∠CDE 的度数是（ D ）A ．175°B ．130°C ．140°D ．155°4.如图，△ABC 中，∠C＝90○ ，点E 在AC 上，ED⊥AB，垂足 为D ，且ED 平分△ABC 的面积，则AD ：AC 等于（ B ） A ．1：1 B ．1： 2 C ．1：2 D ．1：4AD.ED=1/2AC.BC,且AD/AC ＝ED/BC ＝k,则k 2=1/25.在ΔABC 中，AC=5，中线AD=4，则AB 边的取值范围是（ B ） A ．1＜AB ＜9 B ．3＜AB ＜13 C ．5＜AB ＜13 D ．9＜AB ＜136.如图，直角梯形ABCD 中,AB ∥CD ，CB ⊥AB ，△ABD 是等边 三角形，若AB=2，则CD=_____1__，BC ＝9. 已知△ABC，(1)如图1－1－27，若P 点是∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点，则 ∠P=1902A ︒+∠；(2)如图1－1－28，若P 点是∠ABC 和外角∠ACE 的角平分线的交点，则∠P=12A ∠；(3)如图1－1－29，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P=1902A ︒-∠。