第三章 平面任意力系
3第三章平面任意力系
固定端（插入端）约束
说明: ①认为Fi 这群力在同一平面内; ② 将Fi向A点简化得一力和一力偶; ③FA方向不定可用正交分力FAx, Fay 表示; ④ FAy, FAx, MA为固定端约束反力;
⑤ FAx, FAy限制物体平动, MA为限
制转动。
11
MO
§3-2 平面一般力系的简化结果 合力矩定理 y 简化结果：主矢 F ' R ，主矩 M O 。
∴ 力的直线方程为：
MO
x
FR '
x
O
x
670.1 x 232.9 y 2355 0
2355 当 y 0, x 3.5 m 670 .1
18
FR
§3-3 平面一般力系的平衡条件与平衡方程
F' 0 R MO 0
为力平衡，没有移动效应。 为力偶平衡，没有转动效应。
P
45
0
M A (F i ) 0 :
FC sin45 AC P AB 0
B
FAy
FAx
y
A
C
FAx 20.01kN ,
FAy 10.0kN
FC
x
FC 28.3kN
或： M C ( F i ) 0 : FAy AC P CB 0
22
o
例：求横梁A、Ｂ处的约束力。已知 M Pa, q, 解：1）AB杆 q M B A 2）受力分析
主矩MO 方向：方向规定 +
Fiy tg 方向： tg FRx Fix
1
FRy
1
大小： M O M O ( Fi ) , (与简化中心有关),（因主矩等于各力对简化中心取矩 的代数和）
建筑力学-第三章(全)
建筑力学
3.5 平面一般力系平衡条件和平衡方程
众所周知，当主矢 FR 0 时，为力平衡；当主矩 MO 0 时，为力偶平衡。
故平面任意力系平衡的充要条件为： 力系的主矢 FR和 主矩 都M O等于零。
上述平衡条件可表示为
FR ( Fx )2 ( Fy )2 0
Mo Mo (Fi ) 0
YA
XA
A
Q1=12kN
300 S
Q2=7kN 三力矩方程：再去掉Σ X=0方程 B
mC 0, X A60tg300 30Q1 60Q2 0
D
（二）力系的平衡
示例：斜梁。求支座反力
300
2kN/m B
2kN/m B
300
RB
A
300
A
2m
YA XA
C
X 0, X A RB sin 300 0
30cm
30cm Q1=12kN
Q2=7kN
X 0, X A S cos 300 0
X A 22.5kN
A
600
B
Y 0,YA Q1 Q2 S sin 300 0
YA 6kN
二力矩方程：去掉Σ Y=0方程
C
mB 0, 60YA 30Q1 0
FBl cos M 0
从而有：
FB
M l cos
20 kN 5 c os30
4.62kN
故：
FA FB 4.26kN
建筑力学
[例] 求图中荷载对A、B两点之矩.
解：
(a)
(b)
图(a)： MA = - 8×2 = -16 kN ·m MB = 8×2 = 16 kN ·m
工程力学-平面任意力系
R' ( X )2 (Y )2 0
LO mO (Fi ) 0
①一般式 （一矩式）
X 0
平面力系中各力在直角坐标系oxy中
Y 0
各坐标轴上投影的代数和及对任意
点的力矩的代数和均为0。
mO (Fi ) 0
②二矩式
∑X=0 或∑Y=0
mA(Fi ) 0
mB (Fi ) 0
AB O
工程中的桁架结构
桁架的优点：轻，充分发挥材料性能。
桁架的特点：①直杆，不计自重，均为二力杆；②杆端铰接；
力
学 中 的 桁 架 模
基 本 三 角 形
型
③外力作用在节点上。
力
学
中 的 桁 架
简 化 计 算 模
模型
型
力
学
中 的 桁 架
简 化 计 算 模
节点
杆件
模型
型
一、节点法 [例3-3] 已知：如图 P=10kN，求各杆内力？
第三章 平面任意力系
平面任意力系（General coplanar force systems)：各力的作用 线在同一平面内，既不汇交为一点又不相互平行的力系叫∼。
[例]
研究方法：把未知力系（平面任意力系）变成已知 力系（平面汇交力系和平面力偶系）
第三章 平面一般力系
§3–1 力向一点平移 §3–2 平面力系的简化 §3–3 平面力系的平衡条件 §3–4 刚体系统的平衡问题 §3–5 考虑有摩擦时物体的平衡问题
§3-2 平面力系的简化
一、平面力系向作用面内一点简化
O: 简化中心
主矢（Principal vector) R Fi
大小： R' R'x2 R'y2 ( X )2 (Y )2
第三章-平面任意力系
第三章 平面任意力系[习题3-1] x 轴与y 轴斜交成α角，如图3-23所示。
设一力系在xy 平面内，对y 轴和x 轴上的A 、B 两点有0=∑iA M ，0=∑iB M ，且0=∑iy F ，0≠∑ix F 。
已知a OA =，求B 点在x 轴上的位置。
解：因为0==∑iA A M M ，但0≠∑ix F ，即0≠R F ，根据平面力系简化结果的讨论（2）可知，力系向A 点简化的结果是：R F 是原力系的合力，合力R F 的作用线通过简化中心A 。
又因为0==∑iB B M M ，但0≠∑ix F ，即0≠R F ，根据平面力系简化结果的讨论（2）可知，力系向B 点简化的结果是：R F 是原力系的合力，合力R F 的作用线通过简化中心B 。
一个力系的主矢量是一个常数，与简化中心的位置无关。
因此，合力R F 的作用线同时能过A 、B 两点。
又因为0==∑iy Ry F F ，所以合力R F 与y 轴垂直。
即AB 与y 垂直。
由直角三角形OAB 可知，B 点离O 点的距离为： αcos ab =[习题3-2] 如图3-24所示，一平面力系(在oxy 平面内)中的各力在x 轴上投影之代数和等于零，对A 、B 两点的主矩分别为m kN M A ⋅=12，m kN M B ⋅=15，A 、B 两点的坐标分别为（2，3）、（4，8），试求该力系的合力(坐标值的单位为ｍ)。
解：由公式（3-5）可知：)(212R O O O F M M M +=)(R B A B F M M M +=)()(Ry B Rx B A B F M F M M M ++=依题意0=Rx F ，故有：)(Ry B A B F M M M +=)24(1215-⨯+=Ry F 32=Ry F )(5.1kN F Ry = kN F F Ry R 5.1==)(85.112m F M a R A ===故C 点的水平坐标为：m x 6-=。
平面任意力系
15第三章 平面任意力系一、内容总结1、 力线平移定理 作用在刚体上的力的作用线向刚体上某点平移时，必须附加一力偶，该附加力偶矩等于原力对这点之矩。
3、平面任意力系的平衡方程1）一矩式平衡方程∑=0xF；∑=0yF ；∑cm(F )=02）二矩式平衡方程∑=0xF；∑Am(F )=0；∑Bm(F )=0其中A 、B 两点的连线不能与投影轴O x 垂直。
3）三矩式平衡方程∑Am(F )=0；∑Bm(F )=0；；∑cm(F )=0其中A 、B 、C 三点不能在同一直线上。
4、物体系统的平衡 静定与不静定概念二、基本要求1、熟知常见约束的性质，能正确画出受力图。
2、熟练掌握力的投影、分布力系简化、力对轴之矩等静力学基本运算。
3、对单个刚体平衡问题，会选取合适的平衡方程形式及投影轴或矩心，尽量做到一个方程求解一个未知数。
4、对刚体系统平衡问题，能制定周密的解题步骤，争取少解联立方程。
5、正确理解静定、静不定概念，并会判断具体问题的静定性。
三、典型例题例1 已知F 1、F 2、F 3分别作用在C 、O 、B 点上，OABC 为一正方形，边16 长为acm ，F 1=2kN ，F 2=4kN ，F 3=10kN ，方向如图1。
求力系的最终简化结果。
解：建立如图坐标系Oxy ，向O 点简化kN F F F F xRx 45313/=-==∑ kN F F F F y Ry 45423/=-==∑)(4105410532)(331cm kN a a a a a F a F a F F MMy x i OO⋅=⨯+⨯-=+-==∑kNkN F F F Ry Rx R 24)()(2/2//=+=1tan //==Rx Ry F F α，所以045=α因为0/≠R F ，M O =0，所以，最终可进一步简化成一合力，该合力F R矢量等于主矢/R F ，作用线在O 点的右下方，从简化中心到合力作用线之距离为:22244/a a F M d R O===例题2 图（a ）所示结构有三个构件AB 、BD 及DE 构成，A 端为固定端约束，B 及D 处用光滑圆柱铰链连接、BD 杆的中间支承C 及E 端均为可动铰链支座，已知集中荷载P=10kN ，均布荷载的集度q=5kN/m ，力偶矩大小M=30kN-m ，梁的尺寸如图，单位为m ，各构件自重不计。
3平面任意力系
A、B、C 三点不共线。 三点不共线。
运用平衡条件求解未知力的步骤为： 运用平衡条件求解未知力的步骤为： 1、合理确定研究对象并画该研究对象的受 力图； 力图； 2、由平衡条件建立平衡方程； 由平衡条件建立平衡方程； 3、由平衡方程求解未知力。 由平衡方程求解未知力。 实际计算时，通常规定与坐标轴正向一 实际计算时， 致的力为正。即水平力向右为正， 致的力为正。即水平力向右为正，垂直力向 上为正。 上为正。
合力矩定理 平面任意力系的合力对作用面内任一点的 矩，等于这个力系中的各个力对同一点的矩的 代数和。 代数和。
mo (F) = ∑mo (F ) i
y
mo (F) = mo (Fx ) + mo (Fy )
mo (Fx ) = −yFx
y
O
Fy
A x
B
F
F x
x
mo (Fy ) = xF y
在长方形平板的O 例题 3-1 在长方形平板的 、A、B、C 点上分别作 用着有四个力： 用着有四个力：F1=1kN，F2=2kN，F3=F4=3kN（如 ， ， （ 图），试求以上四个力构成的力系对点 的简化结果， ），试求以上四个力构成的力系对点O 的简化结果， 试求以上四个力构成的力系对点 以及该力系的最后的合成结果。 以及该力系的最后的合成结果。
§3–2 平面任意力系的平衡方程及其应用
伸臂式起重机如图所示，匀质伸臂AB 重 例题 3-2 伸臂式起重机如图所示，匀质伸臂 P=2200N，吊车 、E 连同吊起重物各重 ，吊车D QD=QE=4000N。有关尺寸为：l = 4.3m，a = 1.5m，b 。有关尺寸为： ， ， = 0.9m，c = 0.15m, α=25°。试求铰链 对臂 ， ° 试求铰链A 对臂AB 的水 平和垂直反力，以及拉索BF 的拉力。 的拉力。 平和垂直反力，以及拉索 y
工程力学教学课件 第3章 平面任意力系
A
MA
FAx
A
简 化
2021/7/22
FAy
11
一、简化结果分析
3.2
平
面 任
F1
A1
F2
O A n A2
M O FR'
O
意
Fn
力
系 的 简 化
1 . F R ' 0 ,M o 0
2 . F R ' 0 ,M O 0
结 果
3 . F R ' 0 ,M O 0 4 . F R ' 0 ,M O 0
的 简 化
此时主矩与简化中心的位置无关。
3、主矢不等于零，主矩等于零 (F R ' 0 ,M O 0 )
结 果
此时平面力系简化为一合力，作用在简化
中心，其大小和方向等于原力系的主矢，即
FRF
2021/7/22
13
一、简化结果分析
3.2 4、主矢和主矩均不等于零 (F R ' 0 ,M O 0 )
平
此时还可进一步简化为一合力。
面
任
FR'
FR'
FR
FR
意 力
O M O O
O
d
O
O
O
d
系 的 简 化
FR'' M O m O ( F R ) F R d F R 'd 于是
d M
F
由主矩的定义知：M O m O (F i)
O ' R
结 所以：
m O (F R ) m O (F i)
果 结论：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩
杆所受的力。
A
45
第三章 平面任意力系和平面平行力系
X ) 0
m A ( Fi ) 0 mB ( Fi ) 0 mC ( Fi ) 0
③三矩式 条件：A、B、C 不在同一直线上
Y 0
mO ( Fi ) 0
①一矩式
mB ( Fi ) 0
②二矩式 条件：x 轴不⊥AB 连线
向一点简化
汇交力系+力偶系 （已知力系）
力 ， R'(主矢) ， (作用在简化中心) 力偶 ，MO (主矩) ， (作用在该平面上)
5
主矢R ' F1 F2 F3 Fi
主矩 M O m1 m2 m3 mO ( F1 ) mO ( F2 ) mO ( Fi )
1
第三章
平面任意力系与平面平行力系
§3–1 平面任意力系向一点的简化
§3–2 平面任意力系的平衡问题
§3–3 平面平行力系
2
引言
平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一 点又不相互平行的力系，叫平面任意力系。 [例 ]
力系向一点简化：把未知力系（平面任意力系）变成已 知力系（平面汇交力系和平面力偶系）
3
§3-1 平面任意力系向一点简化
一、力的平移定理
作用在刚体上点A的力 F，可以平行移到任一点B，但必须
同时附加一个力偶。这个力偶的矩，等于原来的力 F 对新作
用点B的矩。 [证 ] 力 F 力系 F , F , F
力F 力偶（F，F ）
4
二、平面任意力系的简化
一般力系（任意力系） （未知力系） 汇交力系 力偶系
出平衡重的最大值Wmax＝375 kN 。实际工作时不允许处于
极限状态，需使其安全工作，平衡重应在这两者之间，即 Wmin<W<Wmax。
第三章平面力系
(3)若FR‘≠0，MO‘≠0，这时根据力的平移定理的 逆过程，可以进一步简化成一个作用于另一点 的合力。
(4) FR‘=0，MO‘=0，则力系是平衡力系 。 综上所述，平面一般力系简化的最后结果 (即合成结果)可能是一个力偶，或者是一个合 力，或者是平衡。 3-1-3合力矩定理 当FR‘=0，MO‘≠0 时，还可进一步简化为一 M o ( FR ) FR d 合力，合力对点的矩是 / / 而 Mo mo ( F ) FR d M o 所以 Mo (FR ) mO (F )
3-1-2简化结果的分析 平面一般力系向一点简化，一般可得到一 个力和一个力偶，但这并不是最后简化结果。 根据主矢与主矩是否存在，可能出现下列几种 情况： (1)若FR‘=0，MO‘≠0，说明原力系与一个力偶等 效，而这个力偶的力偶矩就是主矩。 (2)若FR‘≠0，MO‘=0 ，则作用于简化中心的主 矢FR'就是原力系FR的合力，作用线通过简化中 心。
228 .9kN m
计算结果为正值表示是逆时针转向。
因为主矢
≠0，主矩 FR
/ Mo ，如图 0 (b)所示，
所以还可进一步合成为一个合力FR。 FR的大小、 方向与FR‘相同，它的作用线与点的距离为
M O 228.9 d 0.375m FR 612.9
因为MO正，故m0(FR)也应为正，即合力FR 应在点O左侧，
X
F F
0
二力矩形式的平衡方程 (简称二矩式)
在力系作用面内任取两点A、B及X轴，平 面一般力系的平衡方程可改写成两个力矩方程 和一个投影方程的形式，即
F m m
X
0 0 0
A
B
式中轴不与A、B两点的连线垂直。
平面任意力系简化
静力学研究的两个基本问题
1.作用于物体上的力系的简化 2.力系的平衡条件
平面任意力系：力系中各力的作用线处于同一 平面内,但即不平行也不汇交
第三章 平面任意力系
§3.1 平面任意力系的简化
刚体上平面力系 F1、F2、…、Fn O Mn F2′ F1′ M2 M1 Fn 将各力平移到O点（简化中心） 得到汇交于O点的一 个平面汇交力系 F1′=F1 F2′=F2 … Fn′=Fn
第三章 平面任意力系
§3.2 平面任意力系的简化结果分析
三、FR′≠ 0，MO≠0 此时可进一步简化为一个合力 O d O′ FR
平移 FR′到O′点
FR = FR′= ∑F MO′ = FR′.d 如果 MO′ = MO d = MO /FR′
则FR 称为原力系的合力
此时 MO（FR） = FR.d = MO = ∑MO（Fi）
Fn′
F1 F2
和一个平面力偶系 M1=MO（F1）
M2=MO（F2） … Mn=MO（Fn）
ห้องสมุดไป่ตู้
第三章 平面任意力系
平面汇交力系 F1′=F1
F2′=F2 … Fn′=Fn O
Mn
M2
M1 FR′
—可合成为一个力FR′ （主矢量） FR′= F1′+ F2′+ …+ Fn′=∑F ′ = F1+ F2+ …+ Fn=∑F
= ∑MO（Fi）
平面任意力系向一平面内任一点简化，一般 可得到一个力和一个力偶。力通过简化中心， 为力系中各力的矢量和，力偶的矩等于力系 中各力对简化中心之矩的代数和。
第三章 平面任意力系
§3.2 平面任意力系的简化结果分析
第三章：平面任意力系
第三章平面任意力系一、要求1、掌握平面任意力系向一点简化的方法。
会应用解析法求主矢和主矩。
熟知平面任意力系简化的结果。
2、深入理解平面任意力系的平衡条件及平衡方程的三种形式。
3、能熟练地计算在平面任意力系作用下物体和物体系的平衡问题。
4、理解简单桁架的简化假设，掌握计算其杆件内力的节点法和截面法。
二、重点、难点1、本章重点：平面任意力系向作用面内任一点的简化，力系的简化结果。
平面任意力系平衡的解析条件，平衡方程的各种形式。
物体及物体系平衡问题的解法。
2、本章难点：主矢与主矩的概念。
物体系的平衡问题。
三、学习指导1、力的平移定理，是力系向一点简化的理论基础。
一个力平移后，它对物体的作用效果发生了改变，要想保持原来力的作用效果，必须附加一个力偶。
2、平面任意力系向一点简化的方法：平面任意力系向一点简化，是依据力的平移定理，将作用在物体上的各力向任一点（称为简化中心）平移，得到作用在简化中心的一个平面汇交力系和平面力偶系（附加力偶系）。
两个力系合在一起与原力系等效。
这样，一个复杂的力系就分解成了两个简单的力系。
然后，分别求平面汇交力系的合力和平面力偶系的合力偶，则原力系由作用在简化中心的一个力和一个力偶所代替，该力的大小和方向等于力系的主矢，该力偶的力偶矩等于力系的主矩。
于是，平面任意力系的简化就成了计算力系的主矢和主矩的问题。
3、主矢和主矩：平面任意力系中，各力的矢量和称为力系的主矢，即平面任意力系中，各力对于简化中心的力矩的代数和称为力系的主矩，即关于主矢和主矩，需要弄清楚以下几点：（1）主矢不是力，主矩不是力偶。
主矢和主矩是描述平面任意力系对物体作用效果的量。
（2）主矢是自由矢量，只有大小和方向，描述平面任意力系使物体平动的作用效果。
平面任意力系的主矩是代数量，只有大小和正负，描述平面任意力系使物体绕点转动的作用效果。
（3）主矢与简化中心的选择无关。
从这个意义上讲，主矢是力系的一个不变量。
主矩与简化中心的选择有关。
工程力学 第三章 平面任意力系
M O FR d
合力矩定理：
M o ( FR ) M O M O ( Fi )
3.1.5 平面任意力系的简化结果分析 ⑶平衡的情形
FR 0 M O 0
平衡
与简化中心的位置无关
例3-1 已知作用在梁AB上的 两力a=3m，求合力大小及作 用线位置。 解：
⑴大小： FR=30KN ⑵方向： 铅垂向下 ⑶作用线位置： A
Fy 0 F1 sin F2 sin F3 sin 0
平面平行力系的方程为两个，有两种形式：
Fy 0 M A 0
各力不得与投影轴垂直
M A 0 M B 0
两点连线不得与各力平行
例3-10已知： P 700kN, P2 200kN, AB=4m； 1
3.2.1 平面任意力系的平衡条件 平面任意力系平衡的充要条件是：
力系的主矢和对任意点的主矩都等于零
FR 0 M O 0
3.2.2 平面任意力系的平衡方程
FR ( Fx ) ( Fy )
2
2
M O M O ( Fi )
Fx 0 Fy 0 M O 0
d.方程要标准
例3-4 已知： AC=CB= l，P=10kN;求：铰链A和DC杆 受力。
解：取AB梁，画受力图.
Fx 0 FAx FC cos 45 0 Fy 0 FAy FC sin 45 P 0 M A 0 FC cos 45 l P 2l 0 解得： FC 28.28kN, FAx 20kN, FAy 10kN
例 3-5 已知： 1 4kN, P2 10kN, 尺寸如图； P 求：BC杆受力及铰链A受力。
第03章 平面任意力系
第三章平面任意力系3.1 平面任意力系的简化·主矢与主矩3.2 平面任意力系的平衡条件与平衡方程3.3 物体系统的平衡·静定与静不定问题3.4 平面简单桁架的内力计算3.1 平面任意力系的简化·主矢与主矩所谓平面任意力系是指力系中各力的作用线在同一平面内且任意分布的力系，简称平面力系。
在实际工程中经常会遇到平面任意力系的情形，例如，下图所示的曲柄连杆机构，受力F ，矩为M 1，M 2的力偶以及支座反力F Ax ，F Ay 和F N 的作用，这些力及力偶构成平面任意力系。
3、固定端（或插入端）约束FAxFAyM AA4、平面任意力系的简化结果分析（1）简化为一个力偶当F R = 0，M O ≠0则原力系合成为合力偶，其矩为∑=)(i O O M M F 此时主矩与简化中心选择无关，主矩变为原力系合力偶。
由此很容易证得平面任意力系的合力矩定理：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。
即∑=)()(R i O O M M F F 当F R ’= 0，M O = 0则原力系平衡。
（3）平面力系平衡例题3-3考虑一小型砌石坝的1m长坝段，受重力和的静水压力作用。
已知h = 8 m，a= 1.5 m，b= 1 m，P1=600 kN，P2=300 kN，单位体积的水重γ = 9.8 kN/m3。
求（1）将重力和水压力向O点简化的结果，（2）合力与基线OA的交点到点O的距离x，以及合力作用线方程。
解：（1）以点O 为简化中心，求主矢∑=′x RxF F ()()kNF F yxR1.95322=+=′∑∑F 329.0cos =′=∑RxF F θ944.0cos −=′=∑RyF F β°±=79.70θ°±°=21.19180β故主矢在第四象限内，与x 轴的夹角为°−79.70F R ’M O θβkN 6.313=22121h qh γ==kN P P F F y Ry 90021−=−−==′∑（2）以点O 为简化中心，求主矩F R ’M O θβ()()()q M P M P M M O O O O ++=21bP a P hh 212321−+×−=γmkN ⋅−= 27.236表明主矩的方向与假设方向相反，及主矩的方向为顺时针。
第3章 平面任意力系
,i
FRx FR
0.614,
FR , i 52.1
A
cosFR
,
j
FRy FR
0.789,
2. 求主矩MO
FR , j 37.9
MO O
FRF R
MO MO F
2F2 cos 60 2F3 3F4 sin 30 0.5 kN m
由于主矢和主矩都不为零，所以最后合
成结果是一个合力FR。如右图所示。
M
F
q
45
B
A
l
24
例题3-6
A
y
FAx
A
MA FAy
解： 取梁为研究对象，受力分析如图
由平衡方程
M
F
Fx 0, FAx F cos 45 0
q
45
B
Fy 0, FAy ql F sin 45 0
l
M AF 0,
MA
ql 2 2
Fl cos
45
M
0
解方程得
q
M 45 F FAx F cos 45 0.707 F
FR FR
合力FR到O点的距离
d MO 0.51 m FR
B x
C
12
例题3-2
水平梁AB受三角形分布的载荷作用，如图所示。
载荷的最大集度为q， 梁长l。试求合力作用线的位置。
A l
解：
q
在梁上距A端为x的微段dx
B x 上，作用力的大小为q'dx，其
中q'为该处的载荷集度 ，由相
似三角形关系可知
F
A
B
C
D
20
例题3-4
A
工程力学第三章：平面任意力系
水平尾翼的约束。
车刀
利用平面任意力系的简化讨论固定端约束（以雨搭为例）：
Fi
A
雨搭
雨搭
简化为一个平面任意力系
MA
A
FA
雨搭
FAy
MA
A
FAx
雨搭
向A处简化，简化结果是 一个主矢加一个主矩
主矢方向待定，用两正交分 量表示
例1：已知F1=150N，F2=200N，F3=300N，F=F ́=200N。求此力 系向原点O简化的结果，并求力系的合力。
2
M=0
FR′≠0
3
M=0
合力
合力
合力作用线通过简化中心
合力作用线距离简化中心距离
4
M≠0
d M O / FR
第三种和第四种结果属于同一种情形。是简化中心选择的不同 引起的。
四、合力矩定理
可以证明，M O ( FR ) M O ( Fi )
i 1
n
由于简化中心可任取，因此上式有普遍意义，可描述为：平 面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系中各分力 对于同一点之矩的代数和。
4、在列平衡方程时，最好将力矩方程的矩心取为两个未知力的 交点，而对投影方程的投影轴的选取，应尽可能使其与某些未知 力垂直，为什么？ 答：避免解联立方程，使方程尽量简单。
5、在等腰直角三角形上的A、B、C三点分别作用三个力，各力 的大小和方向如图所示。问该力系是否平衡？为什么？
问题引入：平面任意力系研究物体或物系在受到相关力系作用
下的平衡问题。
吊车：工程中吊车的
起重载荷如何进行计
算？
破碎机：鄂式破碎机是矿山机械中常见的机械设备，颚板作用 给矿石的作用力应如何进行计算？
平面任意力系
用，已知载荷集度q = 100N/m，力偶矩大小M =
500 N•m。长度AB = 3m，DB=1m。求活动铰支D 和固
定铰支A 旳反力。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
q
M
A
D
B
2m
1m
y
M
NAy
Q
A
NAx
CD
B
x
解：
ND
1、取梁AB为研究对象。
2、受力分析如图，其中Q=q.AB=100×3=300N；作
用在AB旳中点C 。
§3–5 平面任意力系旳平衡条件和平衡方程
第三章 平面任意力系
平面任意力系
各个力旳作用线在同一平面内， 但不汇交于一点，也不都平行旳力 系称为平面任意力系
§3–1 力对点之矩
第 §3–2 力旳平移定理 三 章 §3–3 平面任意力系旳简化•主矢与主矩
平 §3–4 平面任意力系简化成果旳讨论.合力矩定理
面 任
§3–5 平面任意力系旳平衡条件和平衡方程
22
B
F3
2m
R Rx2 Ry2 0.794
cosR、x Rx 0.614
R
R , x 526'
cosR、y
R y
0.789
R
R , y 3754'
F1
O
3m
y A
R
O
F4 C 30° x
B
C
x
§3–4 平面任意力系简化成果旳讨论.合力矩定理
② 求主矩：
LO mo F
y
F2
阐明如下：
R
LO
O
=
R R
Lo
OR A
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说明：
①力的平移定理揭示了力与力偶的关系：力 力+力偶
②力平移的条件是附加一个力偶m，且m与d有关，m=F•d ③力的平移定理是力系简化的理论基础。
第三章
平面任意力系
3.1 平面任意力系向作用面内一点简化
3.1.2 平面任意力系向一点简化· 主矢与主矩
y ′ FR
F1
F2
O
Fn
j O y
F1′ M1 M2 O Mn
3.1.1 力线平移定理
定理：可以把作用在刚体上点A的力F平行移到任一点B， 但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F 对新作用点B的矩。 B F A
＝
F″
B A
F′
F′ M
F
＝
A
B
力线平移定理的逆步骤，亦可把一个力和一个力偶合成一 个力。
第三章 平面任意力系
3.1 平面任意力系向作用面内一点简化
(2)平面任意力系简化为一个合力的情形· 合力矩定理 如果主矩等于零，主矢不等于零，则此时平面力系简 化为一合力，作用线恰好通过简化中心。 如果主矢和主矩均不等于零，此时还可进一步简化为一 合力。如图 ′ FR ′ FR FR FR MO O′ O O′ O O′ O d d
″ FR
第三章 平面任意力系
MO d FR
3.1 平面任意力系向作用面内一点简化
3.1.4 平面任意力系简化结果分析
从图中可以看出
FR O d O′
M O (FR ) FR d M O
由主矩的定义知：
MO MO (Fi )
所以
M O (FR ) M O (Fi )
结论：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中 各力对同一点的矩的代数和。这就是平面任意力系的合力矩定 理。
代入(2)式解出
第三章
FAy Q P FT sin 2.1kN
平面任意力系
例3-4
FAx FT cos 0 (1)
C
FAy FT sin P Q 0 (2) l FT sin l P Qa 0 (3) 2
如果再分别取B和C为矩心列平衡方程得
3.2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
3.2. 2 平衡方程
由于 FR ( Fx ) 2 ( Fy ) 2 , M O M O ( Fi )
所以
Fyi 0 M O ( Fi ) 0 Fxi 0
即：平面任意力系平衡的解析条件是：力系中所有各 力在其作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和分 别等于零，所有各力对任一点之矩的代数和等于零。 上式称为平面任意力系的平衡方程。
FAy
FAx
A a
E
FT
H B
M B (F ) 0 l P Q (l a) FAy l 0 (4) 2 M C (F ) 0 l FAx tan l P Qa 0 (5) 2
P
Q
有 效 的 方 程 组 合 是 ： 1,2,3 ； 1,2,4 ； 1,2,5 ； 1,3,4 ； 2,4,5 ；3,4,5
3.2.3 平衡方程的其它形式 (2) 三矩式
M A ( F ) 0 M B ( F ) 0 M ( F ) 0 C
其中A、B、C三点不能在同一条直线上。
由前面两式知：力系不可能简化为一力偶，只能简化为过A、 B两点的一合力或处于平衡，再加第三条件，力系只能简化为过 A、 B、 C三点的一合力或处于平衡，若三点不在同一直线上， 则力系必平衡。
第三章 平面任意力系
例3-2
例3-2 求图示Biblioteka 架的约束反力。解：以刚架为研究对象，受力如图。 A a
P
Fx 0 : FAx qb 0
q
Fy 0 : FAy P 0
M A (F ) 0 : 1 2 M A Pa qb 0 2
解之得：
b
P
MA A
FAx
第三章 平面任意力系
3.1 平面任意力系向作用面内一点简化
3.1.3 平面固定端约束
一物体的一端完全固定在另一物体上所构成的约 束称为固定端或插入端支座。 A
A
FA
A MA
MA
FAy FAx
A
第三章
平面任意力系
3.1 平面任意力系向作用面内一点简化
3.1.4 平面任意力系简化结果分析
四种情况：(1) F'R＝0，MO≠0 ; (2) F'R ≠ 0，MO ＝ 0 ; (3) F'R ≠ 0， MO≠0 ; (4) F'R＝0，MO＝0
Fx 0 M A ( F ) 0 M ( F ) 0 B
其中A、B两点的连线AB不能垂直于投影轴x。 由后面两式知：力系不可能简化为一力偶，只能简化 为过A、B两点的一合力或处于平衡。再加第一条件， 若AB连线不垂直于x 轴 (或y 轴），则力系必平衡。
第三章
平面任意力系
M O M1 M 2 M n M O ( F1 ) M O ( F2 ) M O ( Fn ) M O ( Fi )
(主矢，作用在简化中心) (主矩，作用在该平面上)
平面力 偶 系力偶，MO
第三章 平面任意力系
静 力 学
第三章 平面任意力 系
四川理工学院
机械工程学院
第三章 平面任意力系
第一章 静力学的基本概念 和公理
第三章 平面任意力系
平面任意力系向作用面内一点的简化 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 物体系统的平衡· 静定和超静定问题 平面简单桁架的内力计算
第三章
平面任意力系
3.1 平面任意力系向作用面内一点简化
MO i x
F1 F1 F2 F2 Fn Fn
第三章
′ F2
x
M 1 M O ( F1 ) M 2 M O ( F2 ) M n M O ( Fn )
n 平面任意力系
F′
3.1 平面任意力系向作用面内一点简化
3.1.2 平面任意力系向一点简化· 主矢与主矩
(1)平面任意力系简化为一个力偶的情形
F'R＝0，MO≠0
原力系合成为合力偶。合力偶矩M等于原力系对简化 中心的主矩。此时主矩与简化中心的位置无关。
F1 B
F2
C
M O M O (F )
第三章 平面任意力系
A F4 D
F3
四个力是否平衡？
3.1 平面任意力系向作用面内一点简化
3.1.4 平面任意力系简化结果分析
q
FAy
FAx qb
FAy P
M A Pa 1 qb2 2
第三章 平面任意力系
例3-3
m
P A a B
例3-3 求图示梁的支座反力。
解：以梁为研究对象，受力如图。
C
b
Fx 0 : FAx P cos 0
Fy 0: FAy FB P sin 0
M A (F ) 0: FB a P sin (a b) m 0
解之得： P FAx
FAx P cos m Pb sin FAy a m P sin (a b) FB a
第三章 平面任意力系
A
m
B C
FAy
FB
3.2.3 平衡方程的其它形式 (1) 二矩式
Fx cos( FR , i ) FR Fy cos( FR , j ) FR
第三章 平面任意力系
3.1 平面任意力系向作用面内一点简化
3.1.2 平面任意力系向一点简化· 主矢与主矩
原力系各力对简化中心力矩的代数和称为原力系 对简化中心的主矩。一般来说，主矩与简化中心的位 置有关。 n n
3.1 平面任意力系向作用面内一点简化
3.1.2 平面任意力系向一点简化· 主矢与主矩
平面任意力系中各力的矢量和称为平面任意力系的主矢。 主矢与简化中心的位置无关。
FR FRx + FRy Fx i Fy j
( Fx )2 ( Fy ) 2 FR
第三章 平面任意力系
3.1 平面任意力系向作用面内一点简化
分布在较大范围内，不能看作集中力的荷载称分布荷载。 若分布荷载可以简化为沿物体中心线分布的平行力，则称此力 系为平行分布线荷载，简称线荷载。 思考：三角形分布载荷处理？ 简化中心：A点
1 l x 0 qdx ql 主矢 R l 2 x 1 l L m A 0 x qdx ql 2 主矩 l 3 1 简化最终结果 R= R ql 2 1 2 ql L 3 2 d l x R 1 ql 3 2
M O M O ( F i ) ( xi Fyi yi Fxi )
i 1 i 1
平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得一个力 和一个力偶。这个力等于该力系的主矢，作用线通过 简化中心O 。这个力偶的矩等于该力系对于点O的主 矩。主矢与简化中心的位置无关，主矩和简化中心的 位置有关。
3
3
1、合力的大小等于线荷载所组成几何图 形的面积。
2、合力的方向与线荷载的方向相同。
q1
q2
l
3、合力的作用线通过荷载图的形心。
第三章 平面任意力系
例3-1
例3-1 图示力系，已知：P1=100N, P2=50N, P3=200N,图中距离 单位cm。 求：1、力系主矢及对A点之矩？ y P2 R 2、力系简化最后结果。 B P1 解： 1、建立坐标系 6 3 C A P3 x 2、X=∑Fx=P3 =200N Y=∑Fy=P1+ P2 =100+50 =150N ∴主矢 R