第3章 网孔分析法和节点分析法

其中: （1） R : i =j 时，（对角线元素）自电阻，即i 网孔 ij 内所有电阻之和； （2） Rij : i≠j 时，（非对角线元素）互电阻，即i网 孔与j 网孔共有电阻之和；（两网孔电流方向一致时 取“+”，方向不一致时取“-”） （3） uskk，k 网孔内所有电压源之代数和，电压升取 “+”，电压降取“-” ；
10Ω 2ia
_ 4i b +
（2）将控制变量用 网孔电流表示 ib
i3
+ ua _
4Ω
ib i 2 i 3 ia i1 i2 ua 5i1 i2
+
8V
_
i1
5Ω ia
i2
0.2ua
（1）把受控源看作独立电源
i2 0.2ua
5 13 18 i1 8 1 2 1 i2 0 0 1 2 0 i3
R4 _ i3 R3 us4 + i c
+ us3 _
uSkk为K网孔中全部电压Hale Waihona Puke Baidu电压升的代数和。网孔电流从 电压源正端流出取正号；反之则取负号。
例如: uS11= uS1 －uS4 , uS22 =－uS2 , uS33 = uS4 + uS3 。
网孔方程的矩阵系数定义后，只需用观察法根据电路的 连接形式直接列写方程。一般情况方程的矩阵形式只适用
i3 = ia － ib =0.714A
作业 3.1
求各元件电流、电压和功率（要求用网孔分析法） 3Ω
6Ω
6Ω
+
10V
+
_
4V
_
+ 2V _
2Ω
作业 3.2 +
3V
+
2V _
2Ω
列写网孔方程
●
4Ω
2Ω
4Ω
+
6Ω
●
_
+ 2V _
4V
_
二.含独立电流源的网孔方程
1、边沿的电流源
3Ω
6i1 2i2 4i3 8
完备性 可以求出所有支路电流，或者说所有支路电流 是网孔电流的线性组合。 i1 _ ia + ib i5
+ i4
i6 ic
i3
支路电流
+
_
_
独立性
i2
i1 = i a i2 = ib i3 = ic i4 = ia- ic i 5 = i b- i c i6 = ia- ib
网孔电流在独立回路中是闭合的，对每个相关节点均流 进一次，流出一次，自动满足KCL。以网孔电流为未知量 列方程来求解电路，只需对独立回路列写KVL方程。
例.
已知R1=5 ; R2=10 ; R3=20 ，求各支路电流。 i1 R1
（1）给网孔电流选取 参考方向（刚开始都 用顺时针或逆时针， 标出方向） (2) 求矩阵元 R11＝R1＋R3＝25 R12＝R21＝-20 R22＝R2＋R3＝30 US11＝20V
R2 i2 ib
R4 _ i3 R3
us4 + i c
+ us3 _ Rkj ( k j ) 称为网孔k与网孔 j 的互电阻，它们是两网 孔公共电阻。当两网孔电流以相同方向流过公共电阻时取 正号，当两网孔电流以相反方向流过公共电阻时取负号。 例： R12= R21=－R5 ; R13= R31=－R4 ; R23= R32=－R6 。
2i1 4i2 10i3 4
i1 i2 2
补充方程
5、改变电路结构 2 1
使电流源位于外边沿支路。 1
+
10V
5A 2 1
+
u0
_
_
i1 5A
2i1 5i2 2i3 10 2i2 4i3 0
1 5A 2 i1 i2
1 2 i3 1
20 10 ia 25 20
i3
ia R 3 ib
+ _
10V
_
20 30 8 1.143 A 20 7 30
i1 = ia = 1.143A
25 20 ib 25 20
20 10 3 0.429 A 20 7 30
i2 = ib =0.429A
不含受控源的线性网络 Rjk=Rkj ,系数矩阵为对称矩阵。
i1
R11 R12 R21 R22 R 31 R32
R1 ia R5
R2 i2 ib R6 + us2 _
+ us1 R13 ia uS 11 _ R23 ib uS 22 i u R33 c S 33
在网孔分析法中我们运用个网孔独立电流变量 建立电路方程，同样也可以用独立电压变量来建立 电路方程。b条支路、n个结点的电路, （n-1）个独 立KCL和（b-n+1）独立回路（网孔）KVL。对于 具有n个结点的连通电路来说，它的(n-1)个结点对 第n个结点的电压，就是一组独立电压变量。用这 些结点电压作变量建立的电路方程，称为结点方程。 这样，只需求解(n-1)个结点方程，就可得到全部结 点电压，然后根据KVL方程可求出各支路电压，根 据VCR方程可求得各支路电流。
i 2 2A
4i1 6i2 13i3 0
6Ω
i3
+
8V
4Ω
_
i1
2Ω
i2
2A
6i1 4i3 12 4i1 13i3 12
6 4 i1 12 4 13 i 12 2
网孔电流等于支路电 流等于电流源电流
+ 6V _
i2
●
2Ω 2V
4Ω
+ 8V _
●
4Ω
+
_
i1
+
_
4V
3、中间的电流源
4Ω
i3
2Ω 2Ω
+ 4V _
4Ω 2Ω
+ 12V _
+
u
i1
_
2A
i2
+ 6V _
增加一个电压变 量u（把电流源看 做电压源，列写 方程），网孔1和 网孔2互电阻为0
4i1 2i3 12 u 6i2 4i3 10 u 2i1 4i2 10i3 4
3. 列写网孔方程
选取网孔电流参考方向 支路电流方程： i1 = i a i2 = i b i3 = i c i4 = ia - ic i5 = ia - ib i 6 = i c- i b + us1 _
i1
R1
R2 i2 ib R6 i6 + us2 _
R4 i4
i5 ia R 5
_
us4 + i c
+
u0
+ _
10V
_
i3 2.5A u0 2.5V
作业 3.3
列写网孔方程，并求出u0
+ u0 _
2Ω 1A 2Ω 4Ω 2Ω
4Ω
3A
5Ω 列写网孔方程
作业 3.4 +
6V 4Ω
2A
+
_
3Ω
_
2V
三.含受控电源的网孔方程
对含有受控电源支路的电路，（1）把受控源看作独立 电源；（2）将控制变量用网孔电流表示;（3）列方程求解 2Ω
2ix _ +
4Ω
6i1 4i2 4
4i1 7i2 2i x i x i1 i2
补充方程
+
4V
_
i1
ix
i2
3Ω
6i1 4i2 4 2i1 5i2 0
6 4 i1 4 2 5 i 0 2
i1 i2 2
补充方程
4、超级网孔法 网孔方程是描述网孔的KVL方程，当两个网孔共 有一个电流源（独立源或受控源）时就产生超级网孔。 4Ω
i3
2Ω 2Ω 4Ω 2A
+ 4V _
2Ω
网孔1和网孔2看 成一个网孔，即 超级网孔
超级网孔 KVL 方程
+ 12V _
i1
i2
+ 6V _
4i1 6i2 6i3 12 6 4
i1 i3 2ia
补充方程
5i1 10 4i3 4 5i2 8 4ib
练习
10Ω
_ 4i b +
ib 4Ω
5Ω
+ 2ia _ +
8V
_
+ ua _
ia
0.2ua
作业 3.5
2Ω
+ 4ix _
4Ω ix 2Ω
2Ω 1A
§3.2 节点（结点）电压法 (node voltage method)
于电路中只含有独立电压源和线性电阻的平面电路。
规则：
R11 R 21 Rn1
R12 R1n i1 us11 i u R22 R2 n 2 s 22 Rn 2 Rnn in usnn
i1
R11 R12 R21 R22 R 31 R32
R1 ia R5
R2 i2 ib R6 + us2 _
+ us1 R13 ia uS 11 _ R23 ib uS 22 i u R33 c S 33
+ us3 _
i3 R3
列写KVL方程： －uS1＋i1R1＋i5R5＋uS4＋i4R4 = 0 网孔①
网孔② 网孔③
i2R2＋ uS2－i6R6－i5R5 = 0 i6R6－uS3＋i3R3－i4R4－uS4 = 0
把支路电流方程代入KVL方程─→网孔方程
整理可得：
(R1+R4+R5) ia－R5 ib－R4 ic= uS1－uS4
－R5 ia + (R2+R5+R6) ib－R6 ic=－uS2 －R4 ia－R6 ib+ (R3+R4+R6) ic = uS3+ uS4 将网孔方程写成一般形式： R11 ia + R12 ib +R13 ic= uS11 + us1 _
i1
R1 ia R5
R2 i2 ib + us2 _
R21 ia + R22 ib +R23 ic= uS22
孔分析法可以减少电路方程数。
1. 网孔电流
设想在每个网孔内存在一假 想的电流沿着构成该网孔的各支 路循环流动，称此假想的电流为 网孔电流。
图示电路中ia、ib、ic为网孔 电流。它是一组能确定全部支路 电流的独立电流变量。
i1 _ ia + _ i2 ib
+ i4 i6 ic i5
i3
+ _
2. 网孔电流具有以下令人感兴趣的特点
第 3章
重点
网孔分析法和节点分析法
★★★
熟练掌握电路方程的列写方法和计算 网孔分析法 节点分析法
引言
第一章介绍的2b法，支路电流法和支路电压法可以
解决任何线性电阻电路的分析问题。缺点是需要联立求
解的方程数目太多，给“笔”算求解带来困难。 在第二章讨论了利用网络等效进行电阻电路分析， 不用求解联立方程，就可以求得电路中的某些电压电流。 本章介绍利用独立电流或独立电压作变量来建立电
i 2 2A
2、等效变换
5Ω
+ 6V _
i2
●
10i1 4i2 2i3 4i4 8
●
1A
4Ω
+ 8V _
4i1 9i2 8 6
1A
i3 2Ω
●
i1
5Ω
4Ω
i3 1A
i4
●
i4 1A
10 4 i1 10 4 9 i 2 2
其中： RKK称为网孔K的自电阻，它们分别是各网孔内全 部电阻的总和，恒为正号。 例如 R11= R1+ R4+ R5 , R22= R2 + R5+ R6 , i1 R1 ia R5 R4 _ i3 R3 us4 + ic + us 3 _ R2 i2 ib R6 + us2 _
+ us1 _
R33= R3+ R4+ R6 。
R31 ia + R32 ib +R33 ic= uS33
R4
_ us4 + ic
R6
i3 R3
+ us 3 _
网孔方程的 矩阵形式：
R11 R21 R 31
R12 R22 R32
R13 ia uS 11 R23 ib uS 22 i u R33 c S 33
路方程的分析方法，可以进一步减少联立求解方程的数
目，适合于求解稍微复杂一点的线性电阻电路，是“笔” 算求解线性电阻电路最常用的分析方法。
§3.1 网孔电流法 (mesh current method)
如用支路电流法分析电路，独立方程数为支路个数，电 路方程数较多。 电路的网孔数必定小于支路个数，应用网
+ _
10V
+
20V
_
ia R 3
(3) 列方程
25 20 ia 20 20 30 10 i b
US22＝-10V
(4) 计算
i1 R1 +
20V
R2 i2
25 20 i a 20 由： 20 30 10 i b