2016-2017学年河北省正定中学高二上学期开学考试数学试题 扫描版缺答案
河北省定州中学高二数学上学期开学考试试题(承智班)
2016一2017学年第一学期高二承智班开学考试数学试题一、选择题：共12题 每题5分 共60分1．若一个四棱锥底面为正方形, 顶点在底面的射影为正方形的中心, 且该四棱锥的体积为9,当其外接球的体积最小时, 它的高为（ ）A ．3B ．C ．．2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．16B ．26C ．32D ．20+3．已知三个平面,,αβγ，若βγ⊥，α与γ相交但不垂直，,a b 分别为,αβ内的直线，则下列结论正确的是（ ）A ．,a ααγ∃⊂⊥B ．,//a ααγ∃⊂C ．,b b βγ∀⊂⊥D ．,//a b βγ∀⊂4．一个几何体的三视图如图所示，其中府视图与侧视图均为半径是1的圆，则这个几何体的体积是（ ）A ．3π B ．23π C ．π D ．43π 5．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．32π B ．3π C ．92π D ．916π 6．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论： ①垂直于同一个平面的两条直线互相平行； ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ③垂直于同一个平面的两个平面互相平行； ④垂直于同一条直线的两个平面互相平行. 其中正确的结论是（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④7．已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（ ）A B D 8．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）,则该几何体的体积是（ ）A ．34cmB ．36cmC ．3163cm D ．3203cm 9．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．π220+B ．π320+C ．π224+D ．π324+ 10．用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为（ ） A.B.18πC. 6πD.11．如图，三棱锥P ABC -的棱长都相等，D 是棱AB 的中点，则直线PD 与直线BC 所成角的余弦值为（ ）A.1212．若长方体的一个顶点上三条棱长分别是1、2、2，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）A ．6πB ．9πC ．3πD ．12π二、填空题：共4题 每题5分 共20分13．已知点()2,1A --，()1,5B -，点P 是圆C :()()22214x y -+-=上的动点，则∆PAB 面积的最大值与最小值之差为 ．14．.已知在直角梯形ABCD 中，222,,===⊥⊥CD AD AB AD CD AD AB ，将直角梯形ABCD 沿AC 折叠成三棱锥ABC D -，当三棱锥ABC D -的体积取最大值时，其外接球的体积为______. 15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积是 .16．在三棱柱111C B A ABC -中侧棱垂直于底面，90=∠ACB ，30=∠BAC ，1=BC ，且三棱柱111C B A ABC -的体积为3，则三棱柱111C B A ABC -的外接球的表面积为 ． 三、解答题：共8题 共70分17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，//AB CD ，222AB AD CD ===，E 是PB 上的点．（Ⅰ）求证：平面EAC ⊥平面PBC ；（Ⅱ）若E 是PB 的中点，且二面角P AC E --的余弦值为3PA 与平面EAC 所成角的正弦值．18．如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ，△ACD 是正三角形，AD ＝DE ＝2AB ，且F 是CD 的中点．（1）求证：AF ∥平面BCE ； （2）求证：平面BCE ⊥平面CDE ；（3）求平面BCE 与平面ACD 所成锐二面角的大小．19．如图，三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面,1,2ABC PA AB BC AC ====.（1）求证：BC ⊥平面PAB ；（2）若AE PB ⊥于点,E AF PC ⊥于点F ，求四棱锥A BCFE -的体积. 20．选修4-1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 中，,AB AC AD AH CD ==⊥ 于H ，BD 交AH 于P ，且PC BC ⊥.（1）求证：A 、B 、C 、P 四点共圆； （2）若,13CAD AB π∠==，求四边形ABCP 的面积.21．已知Rt ABC ∆中，03,4,90,2,2AB BC ABC AE EB AF FC ==∠===，将AEF ∆沿EF 折起，使A 变到A '，使平面A EF '⊥平面EFCB ．（1）试在线段A C '上确定一点H ，使//FH 平面A BE '；（2）试求三棱锥A EBC '-的外接球的半径与三棱锥A EBC '-的表面积． 22．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的中点.（Ⅰ）证明：PB//平面AEC；，三棱锥P ABD-的体积，求A到平面PBC的距离. 23．如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ADD1A1；（Ⅱ）若直线AA1与平面AB1C 所成角的正弦值为，求k的值．24．已知直线1:260l ax y++=和22:(1)10l x a y a+-+-=.（1）若12l l⊥，求实数a的值；（2）若12//l l，求实数a的值.参考答案 1．A 【解析】试题分析：设四棱锥底面正方形边长为a ，四棱锥高为h ，外接球半径为R ，则222219,(h R )32a ha R ==-+，所以2227272,224h hR h R h h =+=+，因为3127=0322R h h '=-⇒=，所以3h =时R 取唯一一个极小值，也是最小值，即外接球的体积最小，因此选A. 考点：导数实际应用【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f′（x ）＞0或f′（x ）＜0求单调区间；第二步：解f′（x ）＝0得两个根x 1、x 2；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小． 2．C 【解析】试题分析：几何体为一个三棱锥，一条长为4侧棱垂直底面，底面为直角三角形，直角边分别为3和4；三个侧面皆为直角三角形，因此表面积为111143454345322222⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，选C.考点：三视图 【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据． 3．B 【解析】试题分析：很容易运用反例验证答案A, C, D 都是不正确的,故应选答案B. 考点：空间直线与平面的位置关系． 4．C 【解析】试题分析：由三视图可知该几何体为一个球体的43，缺口部分为挖去的41．∵球的半径1=R ，∴ππ=⨯⨯⨯=13443V ，故选：C ． 考点：由三视图求面积，体积． 5．D 【解析】试题分析：由三视图知几何体是圆锥的一部分，由正视图可得：底面扇形的圆心角为 120，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，∴几何体的体积ππ91642313601202=⨯⨯⨯⨯=V ．故答案为：D.考点：由三视图求面积，体积. 6．C 【解析】试题分析：①垂直于同一个平面的两条直线互相平行，故正确．②垂直于同一条直线的两条直线互相平行，不一定平行，也可能相交直线，异面直线，故不正确．③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；不一定平行，也可能相交平面，如墙角，故不正确．④垂直于同一条直线的两个平面互相平行．故正确．故选：C ． 考点：类比推理. 7．A 【解析】试题分析：连接OC OB OA ,,，则由已知得1======AC BC AB OC OB OA ，可知三棱锥ABC O -是棱长为1的正四面体，其高为36，则三棱锥ABC S -的高为362，所以三棱锥ABC S -的体积为623624331=⨯⨯． 考点：三棱锥外接球． 8．C 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为三棱锥与三棱柱的组合体，且三棱锥体积为3422221311=⨯⨯⨯⨯=V ，三棱柱体积为4222212=⨯⨯⨯=V ，故所求体积为3316434cm =+．考点：三视图． 9．B 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为半圆柱与正方体的组合体，则其表面积πππ3202252121212212+=⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=S . 考点：三视图． 10．A 【解析】 试题分析：设圆锥的母线和底面半径长分别为21,6,26,3,33l r l r r V πππ∴==⨯∴=∴=⨯π39=，故选A.考点：圆锥的侧面积和体积公式. 11．C 【解析】试题分析：取AC 中点E ，连接,,//DE PE DE BC ∴，则直线PD 与直线BC 所成角为PDE ∠,设四棱锥棱长为1,,,cos 2a PD PE DE a PDE ∴===∴∠6321232)23()21()23(222=⨯⨯-+=aa a a a ，故选C. 考点：异面直线所成的角.【易错点睛】本题主要考查了异面直线所成角．异面直线所成角的求解技巧求异面直线所成的角采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．异面直线所成角一般以选择填空题出现. 12．B 【解析】试题分析：由题意得，此问题是球内接长方体，所以可得长方体的对角线长等于球的直径，即23R ==，所以32R =，所以求得表面积为22344()92S R πππ==⨯=． 故选B.考点：几何体的外接球. 13．10 【解析】试题分析：由于底边AB 为定值，所以当点P 到直线AB 距离最大值与最小值时，∆PAB 面积取最大值与最小值，因此∆PAB 面积的最大值与最小值之差为1[(d r)(d r)]AB 2510.2r AB +--⋅=⋅=⨯=考点：直线与圆位置关系 14．34π【解析】试题分析：当三棱锥ABC D -的体积最大时，即点D 到底面ABC 的距离最大时，此时平面ACD ⊥平面ABC ,取AB 中点O ,AC 中点M ,连接OD DM OM ,,,22==OM DM ,OM DM ⊥,所以1=OD ,而1===OC OB OA ,所以点O 是其外接球的球心，所以ππ341343=⨯=V ,故填：π34.考点：球与几何体【方法点睛】本题考查了球与几何体的位置关系的题型，属于中档题型，这类型的习题，关键是球心的位置，球心到各个顶点的距离相等，首先找三角形ABC 外接球的球心，其有可能是外接球的球心，那就要证明到第四个点的距离是否相等，如果不相等，那就在过ABC ∆外接球的球心与底面垂直的直线上，这样就比较好找到球心，只要有球心，半径就比较容易了. 15．32π 【解析】试题分析：从三视图可以看出该几何体是一个直三棱柱,底面是一个等腰三角形,容易计算该三角形是等腰直角三角形.该三角形外接圆的半径为2,正三棱柱的外接球的球心到底面的距离是2,故球的半径2244=+=R ,该外接球的表面积ππ32)22(42=⨯=S .考点：三视图的识读和几何体的外接球的面积的计算．【易错点晴】几何体的三视图是从正面、侧面、上面三个方向对一个几何体的全方位透视,因此解答这类问题的关键是根据三视图所提供的图形信息弄清楚该几何体的形状和有关数据,然后再选择运用相应的体积或面积公式进行求解.通过三视图提供的信息可以推断该几何体是底面是等腰直角三角形的三棱柱.然后再利用题设条件求出其外接球的半径为2244=+=R .最后球的面积公式求出其面积为ππ32)22(42=⨯=S . 16．π16 【解析】试题分析：∵三棱柱111C B A ABC -中侧棱垂直于底面，设侧棱长为H ，又三棱柱的底面为直角三角形，1=BC ，30=∠BAC ，∴2,3==AB AC ，∴三棱柱的体积33112=⨯⨯⨯=H V ，∴32=H ，ABC ∆的外接圆半径为AB 21，三棱柱的外接球的球心为上、下底面直角三角形斜边中点连线的中点O ，∴外接球的半径()23122=+=R ，∴外接球的表面积ππ16242=⨯=S ．故答案为：π16．考点：球的表面积与体积．【方法点晴】本题考查了求三棱柱的外接球的表面积，利用三棱柱的结构特征求得外接球的半径是关键．根据棱柱的体积公式求得棱柱的侧棱长，再利用三棱柱的底面是直角三角形可得外接球的球心为上、下底面直角三角形斜边中点连线的中点O ，构造出直角三角形，利用勾股定理,从而求得外接球的半径R ，代入球的表面积公式计算．17．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）3． 【解析】试题分析：（Ⅰ）要证面面垂直，就要证线面垂直，首选寻找直线垂直，在底面直角梯形ABCD 中，22AB DC AD ==，可证得AC BC ⊥，又可得AC PC ⊥，从而有AC ⊥平面PBC ，从而可得面面垂直；（Ⅱ）结合（Ⅰ）的证明，为了求直线与平面所成的角，以C 为原点，CD 为y 轴，垂直于AB 的直线为x 轴，CP 为z 轴，建立空间直角坐标系，这样易写出各点坐标，同时设(0,0,)(0)P a a >后分别可得11(,,)222aE -，求出平面PAC 和平面EAC 的法向量,m n ，由二面角与法向量夹角的关系求得a ，由向量PA 和n的夹角（或补角）与直线PA 和平面EAC 所成的角互余可得结论．试题解析：（Ⅰ）证明：⊥PC 平面ABCD ，⊂AC 平面ABCD ，PC AC ⊥∴，2=AB ，1==CD AD ，222AB BC AC =+∴，BC AC ⊥∴.又C PC BC = ，PC ⊂面PBC ，BC ⊂面PBC .⊥∴AC 平面PBC ，∵⊂AC 平面EAC ，∴平面⊥EAC 平面PBC （Ⅱ）以C 为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则C （0，0，0），A （1，1，0），B （1，－1，0）设P （0，0，a ）（0a >），则E，)0,1,1(=CA ，),0,0(a CP =，取m =（1，－1，0）则0=⋅=⋅CA m CP m ，∴m为面PAC 的法向量设),,(z y x n =为面EAC 的法向量，则0=⋅=⋅CE n CA n ，即⎩⎨⎧=+-=+0,0az y x y x ，取a x =，a y -=，2-=z ，则)2,,(--=a a n ， ，则2=a于是)2,2,2(--=n .设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则即直线PA 与平面EAC考点：面面垂直的判断，直线与平面所成的角．18．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）45°．【解析】试题分析：（1）要证明线面平行，就要证线线平行，要在平面内找一条平行线，考虑到是中点，因此取中点，由已知可证得，从而证得平行四边形，即得平行线，得线面平行；（2）由已知，利用平面，又可证得，从而有平面，因此可得平面，这样证明面面垂直的需要的线面垂直就有了；（3）要求二面角，可以AF，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴（如图）建立空间直角坐标系，写出各点坐标，并求得平面和平面的法向量，由法向量的平角求得二面角．试题解析：（1）取CE的中点P，连结FP、BP.∵F为CD的中点，∴FP∥DE，且FP＝DE.又AB∥DE，且AB＝DE，∴AB∥FP，且AB＝FP，∴四边形ABPF为平行四边形，∴AF∥BP.又∵AF 平面BCE，BP 平面BCE，∴AF∥平面BCE.（2）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD.∵AB⊥平面ACD，DE∥AB，∴DE⊥平面ACD，又AF 平面ACD，∴DE⊥AF.又AF⊥CD，CD∩DE＝D，∴AF⊥平面CDE.又BP∥AF，∴BP⊥平面CDE.又∵BP 平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.（3）法一：由（2），以F为坐标原点，AF，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴（如图）建立空间直角坐标系F－xyz.设AC＝2，则C（0，－1，0），B（－，0，1），E（0，1，2）．设n ＝（x ，y ，z ）为平面BCE 的法向量，∴n ·＝0，n ·＝0，∴，令z ＝1，则n ＝（0，－1，1）显然，m ＝（0，0，1）为平面ACD 的法向量． 设面BCE 与面ACD 所成锐二面角为α，则cos α＝＝＝.∴α＝45°.即平面BCE 与平面ACD 所成锐二面角的大小为45°. 法二：延长EB 、DA ，设EB 、DA 交于一点O ，连结CO. 则面EBC ∩面DAC ＝CO.由AB 是△EDO 的中位线，则DO ＝2AD. 在△OCD 中，∵OD ＝2AD ＝2AC ，∠ODC ＝60°. ∴OC ⊥CD ，又OC ⊥DE.∴OC ⊥面ECD ，而CE 面ECD ，∴OC ⊥CE ，∴∠ECD 为所求二面角的平面角， 在Rt △EDC 中，∵ED ＝CD ，∴∠ECD ＝45°， 即平面BCE 与平面ACD 所成锐二面角为45°. 考点：线面平行的判断，面面垂直的判断，二面角．19．（1）证明见解析；（2）20. 【解析】试题分析：（1）利用勾股定理证明AB BC ⊥，依题意有PA BC ⊥，所以BC ⊥平面PAB ；（2）由（1）得AE BC ⊥，而AE PB ⊥，所以AE ⊥平面PAB ，以AE 为高.利用相似三角形，面积比等于相似比的平方，计算910BCFE PBC S S ∆==，从而求得体积1133BCFE V AE S ===试题解析：（1）PA ⊥ 平面,ABC BC ⊂平面,,ABC PA BC ABC ∴⊥∆中，2221,2,,,AB BC AC AB BC AC AB BC ===∴+=⊥PA 、AB 是平面PAB 上的两条相交直线，BC ∴⊥ 平面PAB.（2）由BC ⊥平面PAB ，BC ⊂平面,PBC ∴平面PBC ⊥平面PAB ，交线为PB ，AE PB ⊥ 于点,E AE ∴⊥平面PAB ，从而,AE EF AE PC ⊥⊥.又AF PC ⊥于点,F PC ∴⊥平面,AEF EF ⊂ 平面,AEFPC EF ∴⊥，直角PBC ∆中，PB PF ==又PFE ∆相似于21,10PFE PBC S PF PBC S PB ∆∆⎛⎫∆∴== ⎪⎝⎭，从而910BCFE PBC S S ∆==， 所以，四棱锥A BCFE -的体积113322020BCFE V AE S =⋅⋅=⋅=. 考点：1.立体几何证明平行与垂直；2.立体几何求体积. 20．（1）证明见解析；（2【解析】试题分析：（1）要证明四点共圆，实际上就是要证明同弦所对的圆周角相等.本题即是证明ABD ACP ∠=∠即可.有已知条件易证APC APD ∆≅∆，所以PCA PDA ∠=∠，而AB AD =，所以有ABD ACP ∠=∠得证；（2）由（1）知2BAP π∠=，且BP AC ⊥，由于BP =123ABCP S BP AC =⋅=四边形.试题解析：（1）证明：在ACD ∆中，,AC AD AH CD CAP DAP =⊥∴∠=∠ ，又,AC AD AP AP ==，,APC APD PCA PDA ∴∆≅∆∴∠=∠.又,,AB AD ABD ADB ABD ACP A =∴∠=∠∴∠=∠∴、B 、C 、P 四点共圆.（2）由A 、B 、C 、P 四点共圆，2BAP π∴∠=，而正三角形A C D 中易知,63CAH BAC ABC ππ∠=∴∠=∴∆为正三角形且BP AC ⊥，且BP =∴四边形ABCP 的面积123ABCP S BP AC =⋅=四边形. 考点：几何证明选讲.21．（1）H 点为A C '的靠近C 点的三等分点（2）3【解析】试题分析：（1）要//FH 平面A BE '，则由线面平行性质定理知过FH 的平面与平面A BE '的交线必平行FH ,由于//BC EF ，23EF BC =,所以只需取A C '的三等分点H （靠近点C ），使得1=AF EK ,再在A B '上取点K ，使2AK K B '=，//KH EF ，且K H E F =，所以四边形EFHK 为平行四边形，//EK,FH （2）三棱锥A EBC '-可看做一个长方体的截面，所以其外接球半径满足()22222R A E BE BC '=++，其四个表面皆为直角三角形，易求表面积试题解析：（1）∵3,4,90,AE 2EB,AF 2FC AB BC ABC ==∠===， ∴2833EF BC ==，在A C '上取点H ，使2A H HC '=，连接HF ，再在A B '上取点K ，使2A K KB '=，连接,HK EK ，可知，//KH BC ，且23K H B C=，可知//KH EF ，且K H E F =，所以四边形EFHK 为平行四边形，//EK,EK FH ⊂平面A EB '，∴//FH 平面A EB '，故H 点为A C '的靠近C 点的三等分点．（2）由（1）可知，4,1,2,BC EB A E A B ''====== 设三棱锥A EBC '-的外接球半径为R ，可知()22222R A E B E B C'=++，()22241421R =++=，∴2R =．三棱锥A EBC '-的表面积为1111141241232222A BC A BE BEC A EC S S S S S '''∆∆∆∆=+++=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯=+．考点：线面平行性质定理及判定定理，三棱锥外接球【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. （1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. （2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. （3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.22．（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）由题为证明线与面平行，可运用线面平行的判定定理或运用面面平行的性质来证明。
河北省正定县第一中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学(理)试题 含答案
高二数学(理）期中考试题命题人：王增奇 印数：780(理） 时间:20161111 一、选择题（每小题5分,共计60分） 1、圆2220xy x ++=的圆心和半径分别是（ ）().1,02A().1,0;1B - ().1,0;1C().1,0;2D -2、若22,x y xy >>则的逆否命题是（)A .若22,x y x y ≤≤则 B 。
若22,x y x y <<则C .若22,xy x y ≤≤则D .若22xy x y >>,则3、若双曲线22221x y a b-=()0a b >>5).2A y x =±.2B y x =±1.2C y x =±2.2D y x =±4、执行如图所示的程序框图，输出的s 的值为（ ）A .1B .23C .1321D .6109875、为了解正定县中小学学生的视力情况，拟从该县中小学生中抽取部分学生进行调查。
事先已了解到该县小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大的差异，而男女生视力情况差距不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）A 。
简单随机抽样B 。
按性别分层抽样C .按学段分层抽样D 。
系统抽样开始0,1i s ==2121s s s +=+1i i =+2?i ≥否结束是输出s6、若抛物线()220ypx p =>上一点M 到焦点和对称轴的距离分别为10、6，则p 的值为（ )A 。
2B .2或18C 。
18D 。
4或167、平面内动点()()(),2,0,2,0P x y A B -与两点连线的斜率之积为14,则动点P的轨迹方程为（ )22.14x A y +=22.14x B y -= .C ()22124x y x +=≠±()22.124x D y x -=≠±8、设p ：2320,:21x xx q -+<>，则p 是q 成立的（ ）A 。
2016-2017学年河北正定中学高二上月考一数学(文)试卷
2016-2017学年河北正定中学高二上月考一数学(文)试卷考试时间：100分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上1．设集合{}|0A x x =>，{}2|5140B x x x =--=，则A B 等于（ ） A ．{}|05x x << B ．{}|27x x <<C ．{}|25x x <<D ．{}|07x x <<2．运行下面的程序，若2x =，则输出的y 等于（ ）A ．9B ．7C ．13D ．113．为了了解某学校1200名高中男生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况．根据所得数据画出样本的频率分布直方图，据此估计该校高中男生体重在66~78kg 的人数为（ ）A ．360B ．336C ．300D ．2804．下列结论判断正确的是（ ）A ．任意两条直线确定一个平面B ．三条平行直线最多确定三个平面C ．棱长为1的正方体的内切球的表面积为4πD ．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则平面//α平面γ5．观察下列散点图，其中两个变量的相关关系判断正确的是（ ）A ．a 为正相关，b 为负相关，c 为不相关B ．a 为负相关，b 为不相关，c 为正相关C ．a 为负相关，b 为正相关，c 为不相关D ．a 为正相关，b 为不相关，c 为负相关6．已知向量(1,7)m = 与向量(tan ,18tan )n αα=+ 平行，则tan 2α的值为（ ）A ．43-B ．43C ．34-D ．347．已知一几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的体积为（ ）A ．612π+B ．624π+C ．1212π+D ．2412π+8．若不等式30,20,1,x y y x -≤⎧⎪-≥⎨⎪≤+⎩表示的平面区域为Ω，P 、Q 均为Ω内一点，O 为坐标原点，73z x y =-+，则下列判断正确的是（ ）A ．z 的最小值为1-B ．||OPC ．z 的最大值为15-D ．||PQ的最大值为9．执行右边的程序框图，则输出的n 等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．710．已知函数()sin()6f x x π=+，其中,3x a π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，若()f x 的值域是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则cos α的取值范围是（ ）A ．1[,1)2B ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11．设数列{}n a 的前n 项和n S ，若2222312222244123n a a a a n n++++=-…，且0n a ≥，则100S 等于（ ）A ．5048B ．5050C ．10098D ．1010012．在斜△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，4A π=，sin sin()2A B C C +-=，且△ABC 的面积为1，则a 的值为（ ）A ．2 B13．某服装设计公司有1200名员工，其中老年、中年、青年所占的比例为1:5:6．公司十年庆典活动特别邀请了5位当地的歌手和公司的36名员工同台表演节目，其中员工按老年、中年、青年进行分层抽样，则参演的中年员工的人数为 ．14．设函数42,0,()log ,0,a x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩且1(())54f f =，则a = ．15．若α为锐角，且3cos 25α=，则tan()4πα+= ． 16．若向量(,cos )x a e x = ，(1,2sin )b x = ，则函数()f x a b =⋅ 在区间[]2,2ππ-上的零点个数为 ．17．下面用茎叶图记录了同班的甲、乙两名学生4次数学考试成绩，其中甲的一次成绩模糊不清，用x 标记．（1）求甲生成绩的中位数与乙生成绩的众数；（2）若甲、乙这4次的平均成绩相同，确定甲、乙中谁的成绩更稳定，并说明理由．18．已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，18a =，且41a -，5a ，431a +成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式及n S ；（2）若21log ()n n n b a a +=⋅，11n n n c b b +=⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 19．执行如图所示的程序框图．（1）若输入的2x =，5n =，求输出的s 的值；（2）若输入的4x =，输出的46s =，求输入的n （*n N ∈）的值．20．某公司2016年前三个月的利润（单位：百万元）如下：（1）求利润y 关于月份x 的线性回归方程；（2）试用（1）中求得的回归方程预测4月和5月的利润；（3）试用（1）中求得的回归方程预测该公司2016年从几月份开始利润超过1000万？ 相关公式：121()()()n i i i n ii x x y y b x x ==--=-∑∑ 1221ni ii n i i x y nx y x nx ==-=-∑∑， ay bx =- ．21．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，12AB AA ==，AC =3BC =，M ，N 分别为11B C 、1AA 的中点．（1）求证：平面1ABC ⊥平面11AAC C ；（2）求证：//MN 平面1ABC ，并求M 到平面1ABC 的距离．22．已知点(5,4)G ，圆1C ：22(1)(4)25x y -+-=，过点G 的动直线l 与圆1C 相交于E 、F 两点，线段EF 的中点为C ，且C 在圆2C 上．（1）若直线10mx ny +-=（0mn >）经过点G ，求mn 的最大值；（2）求圆2C 的方程； （3）若过点(1,0)A 的直线1l 与圆2C 相交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为M ．1l 与2l ：220x y ++=的交点为N ，求证：||||AM AN ⋅为定值．参考答案1．D【解析】试题分析：由{}2|5140{2,7}B x x x =--==-，所以{}|07A B x x =<< ，故选D ． 考点：集合的运算．2．A【解析】试题分析：由题意得，2x =，第一步运算得32513y =+=，第二步运算得1349y =-=，故选A ．考点：算法语言．3．B【解析】试题分析：由频率分布直方图得到体重在66~78kg 的男生的频率为(0.040.02001)40.28++⨯=，所以估计该校高中男生体重在66~78k g 的人数为0.281200336⨯=人，故选B ．考点：频率分布直方图．4．B【解析】试题分析：对于A 中，棱长为1的正方体的内切球的表面积为π，所以是错误的；对于C 中，正方体1111ABCD A BC D -中，AB 与11C D 是平行的，所以是错误的；对于D 中，平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则平面//α平面γ或平面α与γ相交，所以不正确，故选B ． 考点：命题的真假判定．5．D【解析】试题分析：根据变量的相关性可知，由图象可知，图a 中，表示正相关，图b 中，两个变量不相关；图c 中，变量为负相关，故选D ．考点：变量的相关性．6．C【解析】试题分析：由向量(1,7)m = 与向量(tan ,18tan )n αα=+ 平行，所以17tan 18tan αα=+，解得tan =3α，又22tan 3tan 21tan 4ααα==-+，故选C ． 考点：向量的运算；正切的二倍角公式．7．A【解析】试题分析：由题意得，根据给定的三视图，该几何体可得原几何体表示前半部分是一个底面为直角三角形，且直角边分别为2和4的三角形，侧棱为3的直三棱柱，后半部分表示一个底面半径为2，母线长为3的半个圆柱，所以该几何体的体积为2112432361222V ππ=⨯⨯⨯+⨯⨯=+，故选A ． 考点：几何体的三视图与几何体的体积．【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答中，根据给定的三视图得出该几何体可得原几何体表示前半部分是一个底面为直角三角形，且直角边分别为2和4的三角形，侧棱为3的直三棱柱，后半部分表示一个底面半径为2，母线长为3的半个圆柱是解答的关键．8．D【解析】试题分析：由题意得，画出不等式30,20,1,x y y x -≤⎧⎪-≥⎨⎪≤+⎩表示的平面区域，如图所示，目标函数73z x y =-+，可化为733z y x =+，此时当目标函数经过点(1,2)A 时，目标函数取得最大值，此时最大值为max 1z =-；当目标函数经过点(2,3)B 时，目标函数取得最小值，此时最小值为min 6z =-；其中在平面区域中两点间的最大距离AC ==即||PQ的最大值为D ．考点：简单的线性规划．9．A【解析】试题分析：模拟程序的运行，可得：1,1m n ==，执行循环体，不满足条件,3,2m n m n >==，不满足条件9m n +=，执行循环体，满足条件,2,3m n m n >==；不满足条件9m n +=，执行循环体，满足条件,5,4m n m n >==；满足条件9m n +=，退出循环，输出结果4，故选A ．考点：程序框图．10．B【解析】试题分析：因为()sin()6f x x π=+的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以由函数的图象可知7266a πππ≤+≤，所以解得[,]3a ππ∈，所以cos α的取值范围是11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选B ． 考点：正弦函数的图象与性质．【方法点晴】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中涉及到正弦函数()f x 的图象与性质、余弦函数的值域等知识的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中根据函数()f x 的值域，求解[,]3a ππ∈是解答的关键，属于中档试题．11．C【解析】试题分析：由2222312222244123n a a a a n n ++++=-…，则2222311222224(1)448123(1)n a a a a n n n -++++=--=--…，两式相减，可得222244n n a a n n =⇒=，又因为0n a ≥，所以2n a n =，所以1100100100()2a a S += 100(2200)100982+==，故选C ． 考点：数列求和．【方法点晴】本题主要考查了数列的求和问题，其中解答中涉及到数列的递推关系的应用、等差数列的通项公式、得出数列的前n 项和公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的思维量，属于中档试题，本题的解答中根据数列的递推关系式，求解2n a n =是解得的关键．12．B【解析】试题分析：由题意得，sin sin()2A B C C +-=，利用和差公式、倍角公式展开可得sin B C =，利用正弦定理可得b =，由余弦定理可得22222)2cos54a c c π=+-⨯=，因为ABC ∆的面积为1，所以1sin 12bc A =，所以21sin 124π⨯⨯=，解得21c =，所以a =B ． 考点：正弦余弦、余弦定理和三角形的面积公式．【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到正弦定理、余弦定理、两角和与差的公式、倍角公式和三角形的面积公式的综合应用，着重考查了学生的分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据题设条件，利用三角恒等变换的公式，化简得出b =是解答的关键．13．15【解析】试题分析：由题意得，根据分层抽样的方法，可知在参演的中年员工的人数为53615156⨯=++人． 考点：分层抽样．14．3【解析】试题分析：由函数42,0()log ,0a x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，则411(())(log )(1)2544f f f f a ==-=+=，解得3a =．考点：分段函数求值．15．3【解析】 试题分析：由题意得，因为2234cos 22cos 1cos 55ααα=-=⇒=，因为α为锐角，所以cos 55αα==，所以1tan 2α=，所以11tan 12tan()3141tan 12πααα+++===--． 考点：三角函数的化简求值．【方法点晴】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中涉及到余弦的二倍角公式的应用、三角函数的基本关系式、两角和的正切公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力，本题的解答中根据余弦的二倍角公式和三角函数的基本关系式，求得tan α的值是解答的关键，属于基础题．16．3【解析】试题分析：由s i n 2,[2,2]22()2sin cos 3sin 2,[2,2]22x x x e x x k k f x a b e x x e x x k k ππππππππ⎧+∈-++⎪⎪=⋅=+=⎨⎪-∈++⎪⎩ （k Z ∈），则函数()f x 的零点可转化为x y e =-和sin 2,[2,2]22y x x k k ππππ=∈-++，函数xy e =和 3sin 2,[2,2]22y x x k k ππππ=∈++在区间[]7,0-上的交点个数，作出函数的图象，如图所示，两个函数共有,,A B C ，共有五个交点，所以函数()f x a b =⋅ 在区间[]2,2ππ-上的零点个数为3个．考点：函数的零点的判断．【方法点晴】本题主要考查了函数的零点问题的判断，其中解答中涉及到三角函数的化简、三角函数的图象与性质、知识函数的图象等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中把函数的零点问题转化为两个函数图象的交点是解答的关键．17．（1）83，85；（2）乙的成绩更稳定．【解析】试题分析：（1）根据茎叶图，利用中位数和众数的概念，即可求解甲生成绩的中位数与乙生成绩的众数；（2）根据平均数和方差的公式，求出平均数和方差，即可得出结论．试题解析：（1）甲生成绩的中位数为8482832+=，乙生成绩的众数为85． （2）∵90818284908085858544x +++++++==，∴3x =． ∵22222145(9385)(8185)(8285)(8485)42s ⎡⎤=-+-+-+-=⎣⎦甲， 2222212545(9085)(8085)(8585)(8585)422s ⎡⎤=-+-+-+-=<⎣⎦乙， ∴乙的成绩更稳定．考点：样本估计总体；平均数与方差．18．（1）22n n a +=；（2）1449n n n T =+． 【解析】试题分析：（1）设数列{}n a 的公比为q ，根据题意数列的公比，利用等比数列的通项公式，即可求解数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）得出25n b n =+，111()22527n c n n =-++，利用等差数列求和公式和裂项求和即可求解数列的和．试题解析：（1）设数列{}n a 的公比为q ，由题意知4533a S S =-45a a =+，∴542a a =，∴2q =.∴1212n n n a a q -+=⋅=．（2）由（1）可得2325n b n n n =+++=+，1111()(25)(27)22527n c n n n n ==-++++，∴2(725)62n n n P n n ++==+，1111111()27991125271449n n Q n n n =-+-++-=+++…． 考点：数列的通项公式；数列的求和．19．（1）203s =；（2）2n =．【解析】试题分析：（1）根据程序框图的循环结构，根据判断框的条件，即可求解；（2）根据第一次运算，第二次运算，即可得出3n <，即可求解n 的值．试题解析：（1）第一次运算：2s =，5s =，2k =；第二次运算：527s =+=，16s =，3k =；第三次运算：16319s =+=，41s =，4k =；第四次运算：41445s =+=，94s =，5k =；第五次运算：94599s =+=，203s =，65k =>，输出203s =．（2）第一次运算：2s =，9s =，2k =，此时2n >不成立，则2n ≥．第二次运算：11s =，45s =，3k =，此时3n >成立，则3n <，∴23n ≤<，又*n N ∈，∴2n =．考点：程序框图的运算．20．（1） 1.750.3y x =+；（2）730万，905万；（3）公司2016年从6月份开始利润超过1000万．【解析】试题分析：（1）根据平均数和最小二乘法的公式，求解ˆb ，求出ˆa ，即可求解回归方程；（2）把4x =和5x =分别代入，回归直线方程，即可求解；（3）令1.750.310x +=，即可求解x 的值，得出结果．试题解析：（1）2x =， 3.8y =，12213 1.753n i ii n i i x y xy b xx ==-==-∑∑ ，0.3a y bx=-= ， 故利润y 关于月份x 的线性回归方程为 1.750.3y x =+．（2）当4x =时， 1.7550.37.3y =⨯+=，故可预测4月的利润为730万．当5x =时， 1.7550.39.05y =⨯+=，故可预测5月的利润为905万．（3）由1.750.310x +=，得 5.5x ≈，故公司2016年从6月份开始利润超过1000万． 考点：回归直线方程的应用．21．（1）证明见解析；（2【解析】试题分析：（1）由勾股定理，得出AB AC ⊥，再根据1AA ⊥平面ABC ，利用线面垂直的判定定理，证得AB ⊥平面11AAC C ，即可证明平面1ABC ⊥平面11AAC C ；（2）取1BB 中点D ，∵M 为11B C 中点，∴1//MD BC ，又N 为1AA 中点，四边形11ABB A 为平行四边形，∴//DN AB ，即可得出平面//MND 平面1ABC ，进而得出//MN 平面1ABC ，进而即可求解M 到平面1ABC 的距离．试题解析：证明：（1）∵222AB AC BC +=，∴AB AC ⊥，又1AA ⊥平面ABC ，∴1AA AB ⊥，又1AC AA A = ，∴AB ⊥平面11AAC C ， ∵AB ⊂平面1ABC ，∴平面1ABC ⊥平面11AAC C ．（2）取1BB 中点D ，∵M 为11B C 中点，∴1//MD BC ，又N 为1AA 中点，四边形11ABB A 为平行四边形，∴//DN AB ，又MD DN D = ， ∴平面//MND 平面1ABC ．∵MN ⊂平面MND ，∴//MN 平面1ABC ．∴N 到平面1ABC 的距离即为M 到平面1ABC 的距离．过N 作1NH AC ⊥于H ，∵平面1ABC ⊥平面11AAC C ，∴NH ⊥平面1ABC ，∴11111122AA AC NH AC ⨯=⨯==． ∴点M 到平面1ABC（或由等体积法可求）考点：线面位置关系的判定与证明；点到直线的距离．【方法点晴】本题主要考查了直线与平面的位置关系的判定与证明、点到直线的距离，其中解答中涉及到直线与平面的判定定理、勾股定理、点到直线的距离，直线与平面平行的判定等知识点的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中熟记线面位置关系的判定与证明，以及转化思想是解答的关键．22．（1）180；（2）22(3)(4)4x y -+-=；（3）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）由10mx ny +-=，利用基本不等式，求得180mn ≤，即可求得mn 的最大值；（2）由圆1C 的圆心为(1,4)，半径为5，设设(,)C x y ，得出1C C ，CG ，利用由题设知10C C CG ⋅= ，即可求解圆2C 的方程；（3）设直线1l 的方程为0kx y k --=（0k ≠），直线方程与圆的方程联立，利用根与系数的关系，得出点N 的坐标，同理得出M 的坐标，即可求解||||AM AN ⋅为定值．试题解析：（1）∵541m n +-≥，∴180mn ≥，即180mn ≤，∴max 1()80mn =． （2）圆1C 的圆心为(1,4)，半径为5， 设(,)C x y ，则1(1,4)C C x y =-- ，(5,4)CG x y =-- ，由题设知10C C CG ⋅= ，∴(1)(5)(4)(4)0x x y y --+--=，即22(3)(4)4x y -+-=，∴2C 的方程是22(3)(4)4x y -+-=．（3）设直线1l 的方程为0kx y k --=（0k ≠）．由220,0,x y kx y k ++=⎧⎨--=⎩得223(,)2121k k N k k --++， 又直线2C M 与1l 垂直， 由14(3),y kx k y x k =-⎧⎪⎨-=--⎪⎩，得22224342(,)11k k k k M k k +++++，∴||||AM AN ⋅=22|21|61k k +==+（定值）． 考点：基本不等式求最值；圆的方程；直线与圆的位置关系．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的综合应用，其中解答中涉及到基本不等式求解最值、圆的标准方程的求解、直线与圆的位置关系等知识点的综合考查，着重考查了学生的分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，同时考查了转化与化归思想的应用，试题有一定的难度，属于中档试题，此类问题的解答中把直线的方程与圆的方程联立，转化为利用方程的根与系数的关系是解答的关键．。
河北省正定县高二数学上学期开学考试试题(无答案)
河北省正定县2017-2018学年高二数学上学期开学考试试题（无答案）一、选择题（共9小题，每小题5分，共45分。
）1、设全集为R ，集合2{|90},{|15}A x x B x x =-<=-<≤，则()R AC B =（ ）.(3,0)A -.(3,1)B -- .(3,1]C -- .(3,3)D -2、已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且351024a a a ++=，则13S 的值为（ ）A 、13B 、26C 、8D 、1623、直线20x y a --=与直线10x y +-=的交点位于第二象限内，则实数a 的取值范围是（ ）A 、1(,)2+∞B 、1(,)2-∞-C 、11(,)22-D 、11[,]22-4、在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是（ ） A ．30B ．45C ．60D ．905、在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 。
若1cos 4B =，sin 2sin C A=，且ABC S ∆=b=（ ） A 、4B 、3C 、2D 、16、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）.A 2.B 5.C 4 .D 2+正(主)视图11俯视图侧(左)视图217、已知x ，y 满足约束条件0,2,0.x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩若z ax y =+的最大值为4，则a=（ ）A 、2B 、3C 、2-D 、3-8、设数列{}n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，则1210b b b a a a +++=（ ）A 、1033B 、1034C 、2057D 、20589、已知a ，b ，c 是直角三角形的三条边，其中c 为斜边，若点（m ，n ）在直线ax+by+2c=0上，则22m n +的最小值为（ ） A 、4B 、3C 、2D 、1二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分。
河北定州中学2016-2017高二数学上学期开学试题附答案
河北定州中学2016-2017高二数学上学期开学试题(附答案)百强校河北定州中学：2016一2017学年第一学期高二开学考试数学试题一、选择题：共12题每题5分共60分1．平面截球的球面所得圆的半径为，球心到平面的距离为，则球的表面积为（）A．B．C．D．2．已知某个三棱锥的三视图如图所示,其中正视图是等边三角形,侧视图是直角三角形,俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（）A．B．C．D．3．已知某个三棱锥的三视图如图所示,其中正视图是等边三角形,侧视图是直角三角形,俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（）A．B．C．D．4．某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（）A．B．C．D．5．如图所示，直四棱柱内接于半径为的半球，四边形为正方形，则该四棱柱的体积最大时，的长为（）A．B．C．D．6．某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（）A．B．C．D．7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球半径为（）A．B．C．D．8．已知圆被直线所截得的线段的长度等于2，则等于（）A．B．C．D．9．圆与圆的位置关系为（）（A）内切（B）相交（C）外切（D）相离10．六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体．如图甲，在平行四边形ABCD中，有AC2+BD2=2（AB2+AD2），那么在图乙所示的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，等于（）A．2（AB2+AD2+）B．3（AB2+AD2+）C．4（AB2+AD2+）D．4（AB2+AD2）11．一直三棱柱的每条棱长都是，且每个顶点都在球的表面上，则球的半径为（）A．B．C．D．12．若一个四棱锥底面为正方形,顶点在底面的射影为正方形的中心,且该四棱锥的体积为,当其外接球的体积最小时,它的高为（）A．B．C．D．二、填空题：共4题每题5分共20分13．已知矩形的顶点都在半径为的球的球面上，且,棱锥的体积为，则=________．14．直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是______．15．过点P（1，2）且在Ｘ轴，Ｙ轴上截距相等的直线方程是.16．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝3cm，AD＝2cm，AA1＝1cm，则三棱锥B1—ABD1的体积___________cm3.三、解答题：共8题共70分17．如图，已知四棱锥中，平面，底面是直角梯形，且．（1）求证：平面；（2）若是的中点，求三棱锥的体积．18．如图，在三棱锥中，和都是以为斜边的等腰直角三角形.（1）求证：；（2）若，求三棱锥的体积.19．如图，在直角梯形中，，，，,底面，是的中点. （1）求证：平面平面；（2）若点为线段的中点，，求证：平面.20．如图，在四棱锥中，底面，，．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）试在棱上确定一点，使截面把该几何体分成的两部分与的体积比为；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角的余弦值．21．已知动点满足方程．（Ⅰ）求动点P到直线距离的最小值；（Ⅱ）设定点，若点之间的最短距离为,求满足条件的实数的取值．22．已知圆：，直线l过定点．（Ⅰ）若l与圆相切，求直线l的方程；（Ⅱ）若l与圆相交于、两点，且，求直线l的方程．23．在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，面，，，，，且是的中点.（1）求证:平面；（2）求二面角的大小.24．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC=2AB=4，，E是A1D1的中点．（Ⅰ）在平面A1B1C1D1内，请作出过点E与CE垂直的直线l，并证明l⊥CE；（Ⅱ）设（Ⅰ）中所作直线l与CE确定的平面为α，求点C1到平面α的距离．参考答案1．B【解析】试题分析：由题球心到平面的距离为，可得；，则球的表面积为；．考点：球的截面性质及表面积．2．C【解析】试题分析：由三视图，则左（侧）视图可推知底面的高，俯视图可推知底面再结合主视图，则三棱锥的底面积为；，而三棱锥的高为；得：考点：三视图与几何体的体积．3．C【解析】试题分析：由三视图，则左（侧）视图可推知底面的高，俯视图可推知底面再结合主视图，则三棱锥的底面积为；，而三棱锥的高为；得：考点：三视图与几何体的体积．4．D【解析】试题分析：从三视图所提供的图形信息和数据信息可知:该几何体是一个三棱锥,其中都是直角三角形,且,故;又,故,所以,所以该几何体的四个面中是直角三角形的所有面积之和是.故应选D.考点：三视图的识读和理解及运用.5．D【解析】试题分析：设,则,所以直四棱柱的体积为,令,则,则,故,所以当时,即时,体积最大.故应选D.考点：导数的知识、四棱柱和球等知识的综合运用. 6．C【解析】试题分析：从三视图所提供的图形信息和数据信息可知:该几何体是一个三棱锥如上图,其中都是直角三角形,且,故;又,故,所以,所以该几何体的四个面中是直角三角形的所有面积之和是.故应选C.考点：三视图的识读和理解及运用.7．C【解析】试题分析：从三视图可以看出这是一个正方体上的一个四面体,如图,其中正的边长为,其外接圆的半径,同样正的外接圆的半径是,由球的对称性可知球心必在正方体的对角线上,且,该球经过六个点,设球心到平面的距离为;球心到平面的距离为,而两个平面和之间的距离为,则由球心距、垂面圆半径之间的关系可得,所以,即,又,将其代入可得,由此可得,所以,所以外接球的半径,应选C. 考点：三视图的识读和理解及几何体体积的计算.【易错点晴】本题以网格纸上的几何图形为背景,提供了一个三棱锥的几何体的三视图,要求求其外接球的半径,是一道较为困难的难题.难就难在无法搞清其几何形状,只知道是一个三棱锥（四面体）是没有任何用的.通过仔细观察不难看出这是一个正方体上的一个四面体,如图,正的边长为,其外接圆的半径,同样正的外接圆的半径是,由球的对称性可知球心必在对角线上,且经过六个点,设球心到平面的距离为；球心到平面的距离为,而两个平面和之间的距离为,则由球心距垂面圆半径之间的关系可得,所以,即,又,将其代入可得,由此可得,所以,所以外接球的半径,其中计算时可用等积法进行.8．B【解析】试题分析：因圆心到直线的距离是,半弦长为,故,解之得,应选B.考点：直线与圆的位置关系.9．B【解析】试题分析：因两圆心距,而,故两圆的位置关系相交,选 B. 考点：两圆的位置关系.10．C【解析】试题分析：因在平面上有结论,故由类比推理在空间应有结论,故应选C．考点：类比推理及运用．【易错点晴】本题是一道属于合情推理的类比推理题,类比的内容是二维平面与三维空间之间的数量关系的类比．类比推理的内涵是指运用两个或两类对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其它方面也相似或相同的推理方法．本题就是平面上的平行四边形的边长和对角线之间的关系和空间平行六面体的的棱长和对角线之间的这种相似进行类比推理的．解答时,平方关系照样保留,将系数2进行升格为4,将两条对角线升格为三条对角线进行类比推理,从而使得问题巧妙解．11．A【解析】试题分析：球的半径满足考点：外接球【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解.12．A【解析】试题分析：设四棱锥底面正方形边长为，四棱锥高为，外接球半径为，则，所以，因为，所以时取唯一一个极小值，也是最小值，即外接球的体积最小，因此选A. 考点：导数实际应用【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f′（x）＞0或f′（x）＜0求单调区间；第二步：解f′（x）＝0得两个根x1、x2；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．13．【解析】试题分析：由题可得四棱锥的侧棱为，则，再由；．考点：多面体与外接球．14．【解析】试题分析：由于圆的半径为2，若，则圆心到直线的距离不大于1，因此，，填.考点：直线与圆的位置关系15．.【解析】试题分析：当直线过原点时，可设直线的方程为，代入点P（1，2）可得，故方程为，化为一般式可得；当直线不过原点时，可设直线的方程为，代入点P（1，2）可得，故方程为，化为一般式可得；综上可得所求直线的方程为：.故答案为：.考点：直线的截距式方程．16．1【解析】试题分析：考点：棱锥体积17．（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）证线面垂直可回到判定定理（化为线与两条相交直线垂直来证）．结合条件平面及所给的边和角的条件可通过解三角形证得，从而证出；另外也可建立空间坐标系，运用向量运算来解决．（2）由题求三棱锥的体积，结合条件及观察图形，可运用等体积法，化为求，则底面积和高易算出，可求得．试题解析：（1）证明：平面，在中，依余弦定理有：，又，，即又，平面（2）解：取的中点，连结,是的中点，∴∥平面，平面即为三棱锥的高，且由（1）知：，∴，又，∥，,三棱锥的体积为【考点】（1）线面垂直的证明；（2）等体积法求几何体的体积．18．（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）运用线面垂直的性质定理推证；（2）借助题设条件运用三棱锥的体积公式进行求解.试题解析：（1）证明：取中点，连结.∵和都是以为斜边的等腰直角三角形，∴，，∵，平面，平面，∴平面∵平面，∴.（2）解：在等腰直角三角形中，，为斜边的中点，∴，同理得.∵，∴是等边三角形.∴.∵平面，∴.考点：空间的直线与平面的位置关系等有关知识的综合运用．19．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用面面垂直的判定定理求证；（2）运用线面平行的判定定理推证.试题解析：（1）证明：∵底面，∴，连接,∵，，∴四边形是正方形，∴，∵，∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）解：过作交于，连接,∵,∴四连形是平行四边形，∵,∴，则,连接，则，且,∴四边形是平行四边形，则，从而平面,同理平面，又,∴平面平面，∵平面，∴平面.考点：空间的直线与平面的平行、垂直等位置关系的推证方法及综合运用．20．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）为的中点；（Ⅲ）【解析】试题分析：（Ⅰ）证明：∵，∴．∵平面，平面，∴．∵，∴平面．∵平面，∴平面平面．（Ⅱ）解：作于点，∵在中，，∴．∴平面．设，则．．由，得，解得．，故为的中点．（Ⅲ）解：连接、，与交于点，连接，由（Ⅱ）可知平面，所以．∵为正方形，∴．∵，∴平面，故．∴是二面角的平面角．由平面，可知平面平面．∴二面角与平面角互余．设二面角的平面角为，则，在中，，，所以二面角的余弦值为．考点：空间直线与平面的平行与垂直，二面角的求法. 21．（Ⅰ）；（Ⅱ）或.【解析】试题分析：（Ⅰ）先点到直线的距离公式建立函数,再用基本不等式求解；（Ⅱ）借助题设条件建立函数关系,再运用二次函数的知识求解.试题解析：（Ⅰ）当且仅当时距离取得最小值（Ⅱ）设点（）,则设（）,则,设（）对称轴为分两种情况:（1）时,在区间上是单调增函数,故时,取最小值∴,∴,∴（舍）（2）＞时,∵在区间上是单调减,在区间上是单调增, ∴时,取最小值∴,∴（舍）综上所述,或考点：函数的图象和性质或基本不等式的综合运用．22．（Ⅰ）或；（Ⅱ）或.【解析】试题分析：（Ⅰ）对斜率的存在和不存在进行分类再运用点到直线的距离公式建立方程求解；（Ⅱ）借助题设条件运用点到直线的距离公式建立方程求解.试题解析：（Ⅰ）当斜率不存在时，方程x=1满足条件；当L1斜率存在时，设其方程是y=k（x-1）,则，解得，所以所求方程是x=1和3x-4y-3=0;（Ⅱ）由题意，直线斜率存在且不为0，设其方程是y=k （x-1）,则圆心到直线的距离d=，，此时k=1或k=7，所以所求直线方程是或.考点：直线与圆的位置关系及综合运用．【易错点晴】本题考查和检测是直线与圆的位置关系的基础知识和基本方法.求解时充分借助题设条件,运用了直线与圆相切的条件和直线与圆相交所截得的弦长的条件求出满足题设条件的直线的方程.需要强调的是:本题在设置时,特别注意到直线的点斜式的运用的条件问题,当直线的斜率存在时,可以运用直线的点斜式方程；若直线的斜率不存在,则不能运用直线的点斜式方程,但直线的方程还是存在的,即是这是许多学生容易忽视的地方. 23．（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，（1）求出面的法向量，利用与法向量垂直，得到线面平行；（2）求出平面、平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角的大小．试题解析：因为平面，，故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由已知可得,（1）,设平面的一个法向量是，由，得，令，则.又因为所以，又平面，所以平面.（2）由（1）可知平面的一个法向量是，因为平面，所以，又因为，所以平面.故是平面的一个法向量.所以，又二面角为锐角，故二面角的大小为.考点：（1）直线与平面平行判定；（2）利用空间向量求二面角.【一题多解】（1）取的中点，连接,在中，是的中点，是的中点，所以,又因为，所以且.所以四边形为平行四边形，所以.又因为平面，平面，故平面.24．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）如图所示，连接，则直线即为所求直线.只需利用勾股定理证明，，有；（Ⅱ）如图所示，过作于，由（Ⅰ）知，故，在中，，且，所以.试题解析：（Ⅰ）如图所示，连接B1E，C1E，则直线B1E即为所求直线l…2分证明：∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，CC1⊥平面A1B1C1D1，B1E平面A1B1C1D1∴B1E⊥CC1…3分∵B1C1=2A1B1=4，E是A1D1的中点，∴∴B1E⊥C1E又CC1∩C1E=C1∴B1E⊥平面CC1E∴B1E⊥CE，即l⊥CE（Ⅱ）如图所示，连接B1C，则平面CEB1即为平面α过点C1作C1F⊥CE于F由（Ⅰ）知B1E⊥平面CC1E，故B1E⊥C1F ∵C1F⊥CE，CE∩B1E=E∴C1F⊥平面CEB1，即C1F⊥平面α∵在△ECC1中，，且EC1⊥CC1∴C1F=∴点C1到平面α的距离为2（此题也可用等体积法解答：其中，，，）考点：立体几何证明平行、垂直与求体积.。
河北省石家庄市正定中学2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(文科)Word版含解析
2016-2017学年河北省石家庄市正定中学高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，M={x|y=lg（1﹣）}，N={x|y=}，则N∩（∁U M）=（）A．∅B．[1，2]C．[0，2]D．[2，+∞）2．已知i是虚数单位，复数z=（x2﹣1）+（x+1）i是纯虚数，则实数x的值为（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．23．已知m∈R，“方程e x+m﹣1=0有解”是“函数y=log m x在区间（0，+∞）为减函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知a，b是异面直线，直线c∥a，那么c与b（）A．一定是异面B．一定是相交直线C．不可能是相交直线D．不可能是平行直线5．执行如图的程序框图，如果输入的N的值是6，那么输出的p的值是（）A．15 B．105 C．120 D．7206．高二某班共有学生60人，座号分别为1，2，3，…，60现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为5的样本．已知4号、28号、40号、52号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是（）A．14 B．16 C．36 D．567．在区间[1，6]上随机地取一个数x，则事件“”发生的概率为（）A．B．C．D．8．已知函数为偶函数，则m的最小值为（）A．B．C． D．9．给出下列结论：在回归分析中可用（1）可用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好；（2）可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越大，模型的拟合效果越好；（3）可用相关系数r的值判断模型的拟合效果，r越大，模型的拟合效果越好；（4）可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．以上结论中，正确的是（）A．（1）（3）（4）B．（1）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（3）10．已知圆的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是（）A．B．C．D．11．已知双曲线my2﹣x2=1（m∈R）与椭圆+x2=1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±3x12．已知a，b∈R且a≠b，若ae a=be b（e为自然对数的底数），则下列正确的是（）A．lna﹣lnb=b﹣a B．lna﹣lnb=a﹣bC．ln（﹣a）﹣ln（﹣b）=b﹣a D．ln（﹣a）﹣ln（﹣b）=a﹣b二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．抛物线y=4x2的准线方程为．14．设向量，若向量与平行，则m=．15．已知f（x）=x3﹣3ax2﹣9a2x﹣bc其中（a＞0）有三个零点1，b，c，且b＜1＜c，现给出如下结论：①；②；③b＞0；④b＜0；，则其中正确结论的序号是．16．在半径为2的球面上有不同的四点A，B，C，D，若AB=AC=AD=2，则平面BCD 被球所截得图形的面积为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知函数f（x）=x3﹣4x2+5x﹣4．（1）求函数f（x）的极值；（2）求曲线在点（2，f（2））处的切线方程．18．已知等差数列{a n}的公差不为零，且满足a1=6，a2，a6，a14成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n=，求数列{b n}的前n项和S n．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面ABB1A1为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1=60°，AB⊥B1C（1）求证：平面ABB1A1⊥平面BB1C1C；（2）若AB=2，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．20．北京某高校在2016年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表所示．（1）求频率分布表中n，p的值，并补充完整相应的频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第4、5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，则第4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定从6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至多有1名学生被甲考官面试的概率．21．已知圆C：（x+1）2+y2=8，定点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足|AP|=|PM|，NP⊥MA，点N的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G，H（点G在F，H之间），且满足，求实数λ的取值范围．22．已知函数f（x）=+alnx（a≠0，a∈R）．（1）若a=1，求函数f（x）的极值和单调区间；（2）若在区间（0，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年河北省石家庄市正定中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，M={x|y=lg（1﹣）}，N={x|y=}，则N∩（∁U M）=（）A．∅B．[1，2]C．[0，2]D．[2，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出两个函数的定义域，可得集合M，N，结合集合的交集，并集，补集运算法则，可得答案．【解答】解：由1﹣＞0得：x＜0，或x＞2，故∁U M=[0，2]，由x﹣1≥0得：x≥1，故N=[1，+∞），∴N∩（∁U M）=[1，2]故选：B2．已知i是虚数单位，复数z=（x2﹣1）+（x+1）i是纯虚数，则实数x的值为（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．2【考点】复数的基本概念．【分析】因为x是实数，所以复数z的实部是x2﹣1，虚部是x+1，直接由实部等于0，虚部不等于0求解x的值．【解答】解：由i是纯虚数，得，解得x=1．故选B．3．已知m∈R，“方程e x+m﹣1=0有解”是“函数y=log m x在区间（0，+∞）为减函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】方程e x+m﹣1=0有解，则m=1﹣e x＜1．函数y=log m x在区间（0，+∞）为减函数，则0＜m＜1．即可判断出结论．【解答】解：方程e x+m﹣1=0有解，则m=1﹣e x＜1．函数y=log m x在区间（0，+∞）为减函数，则0＜m＜1．“方程e x+m﹣1=0有解”是“函数y=log m x在区间（0，+∞）为减函数”的必要不充分条件．故选：B．4．已知a，b是异面直线，直线c∥a，那么c与b（）A．一定是异面B．一定是相交直线C．不可能是相交直线D．不可能是平行直线【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】直线b和c有可能在同一平面上，则相交；也有可能不在同一平面上，则异面；如果b∥c，则a∥b与已知矛盾．【解答】解：∵直线a与b是异面直线，直线c∥a，∴直线b和c有可能在同一平面上，也有可能不在同一平面上，如果b和c在同一平面上的话，二者的位置关系为相交；如果b和c不在同一平面上，二者的位置关系为异面．如果b∥c，则a∥b与已知a，b是异面直线矛盾；故选：D．5．执行如图的程序框图，如果输入的N的值是6，那么输出的p的值是（）A．15 B．105 C．120 D．720【考点】程序框图．【分析】根据题中的流程图，依次求出p和k的值，根据k的值判断是否符合判断框中的条件，若不符合，则结束运行，输出p．【解答】解：输入N=6，则k=1，p=1，第一次运行p=1×1=1，此时k=1＜6，第二次运行k=1+2=3，p=1×3=3；第三次运行k=3+2=5，p=3×5=15；第四次运行k=5+2=7，P=15×7=105；不满足条件k＜6，程序运行终止，输出P值为105，故选B．6．高二某班共有学生60人，座号分别为1，2，3，…，60现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为5的样本．已知4号、28号、40号、52号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是（）A．14 B．16 C．36 D．56【考点】系统抽样方法．【分析】求出样本间隔即可得到结论．【解答】解：∵样本容量为5，∴样本分段间隔为60÷5=12，∵4号、28号、40号、52号同学在样本中，∴样本中还有一个同学的座号是16，故选B．7．在区间[1，6]上随机地取一个数x，则事件“”发生的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意可得区间长度，解对数不等式可得事件所占区间长度，由几何概型的概率公式可得．【解答】解：在区间[1，6]上随机地取一个数x，则x所占的区间长度为6﹣1=5，不等式可解得2≤x≤4，∴事件“”发生x所占的区间长度为4﹣2=2，∴由几何概型可得所求概率为故选：C．8．已知函数为偶函数，则m的最小值为（）A．B．C． D．【考点】正弦函数的奇偶性．【分析】利用诱导公式化简可得结论．【解答】解：函数为偶函数，即=，（k∈Z），解得：m=，∵m＞0，当k=﹣1时，m取得最小值，即m=．故选C．9．给出下列结论：在回归分析中可用（1）可用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好；（2）可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越大，模型的拟合效果越好；（3）可用相关系数r的值判断模型的拟合效果，r越大，模型的拟合效果越好；（4）可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．以上结论中，正确的是（）A．（1）（3）（4）B．（1）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（3）【考点】命题的真假判断与应用；两个变量的线性相关．【分析】对用来衡量模拟效果好坏的几个量，即相关指数、残差平方和、相关系数及残差图中带状区域的宽窄进行分析，残差平方和越小越好，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，R2越大，模型的拟合效果越好，相关系数|r|越大，模型的拟合效果越好．【解答】解：用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好，故（1）正确；可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故（2）不正确；可用相关系数r的值判断模型的拟合效果，|r|越大，模型的拟合效果越好，而不是r越大，模型的拟合效果越好，当r为负值时则不然．故（3）不正确；可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．故（4）正确．综上可知命题（1）、（4）正确．故选B．10．已知圆的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是（）A．B．C．D．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】圆C的圆心为C（4，0），半径r=1，从而得到点C到直线y=kx+2的距离小于或等于2，由此能求出k的最小值．【解答】解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，∴整理得：（x﹣4）2+y2=1，∴圆心为C（4，0），半径r=1．又∵直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴点C到直线y=kx+2的距离小于或等于2，∴≤2，化简得：3k2+4k≤0，解之得﹣≤k≤0，∴k的最小值是﹣．故选：A．11．已知双曲线my2﹣x2=1（m∈R）与椭圆+x2=1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±3x【考点】双曲线的简单性质．【分析】确定椭圆、双曲线的焦点坐标，求出m的值，即可求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：椭圆+x2=1的焦点坐标为（0，±2）．双曲线my2﹣x2=1（m∈R）的焦点坐标为（0，±），∵双曲线my2﹣x2=1（m∈R）与椭圆+x2=1有相同的焦点，∴=2，∴m=，∴双曲线的渐近线方程为y=±x．故选：A．12．已知a，b∈R且a≠b，若ae a=be b（e为自然对数的底数），则下列正确的是（）A．lna﹣lnb=b﹣a B．lna﹣lnb=a﹣bC．ln（﹣a）﹣ln（﹣b）=b﹣a D．ln（﹣a）﹣ln（﹣b）=a﹣b【考点】对数的运算性质．【分析】构造函数f（x）=xe x，利用导数研究函数的单调性，即可得到结论．【解答】设f（x）=xe x，则f'（x）=（x+1）e x，由f′（x）＞0得x＞﹣1．由f′（x）＜0得x＜﹣1，∴f（x）在（﹣∞，﹣1）为减函数，（﹣1，+∞）增函数，即当x=﹣1时，函数取得极小值f（﹣1）=﹣＜0，∵f（0）=0，且当x＜0时，f（x）＜0．∴由f（a）=f（b）知a＜0，b＜0．由（﹣a）e a=（﹣b）e b得ln（﹣a）﹣ln（﹣b）=b﹣a．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．抛物线y=4x2的准线方程为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而求得p，再根据抛物线性质得出准线方程．【解答】解：整理抛物线方程得x2=y，∴p=∵抛物线方程开口向上，∴准线方程是y=﹣故答案为：．14．设向量，若向量与平行，则m=﹣．【考点】平行向量与共线向量．【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列出方程求出m的值．【解答】解：向量，∴=（2m﹣1，4），=（﹣2﹣m，3）；若向量与平行，则3（2m﹣1）﹣4（﹣2﹣m）=0，解得m=﹣．故答案为：﹣．15．已知f（x）=x3﹣3ax2﹣9a2x﹣bc其中（a＞0）有三个零点1，b，c，且b＜1＜c，现给出如下结论：①；②；③b＞0；④b＜0；，则其中正确结论的序号是②④．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】求出函数的导数f'（x）=3x2﹣6ax﹣9a2，通过函数的单调区间，求出极值点﹣a，3a，⇒f（﹣a）=﹣a3﹣3a3+9a3﹣bc＞0，f（3a）=27a3﹣27a3﹣27a3﹣bc＜0，f（1）=1﹣3a﹣9a2﹣bc=0．b＜0，f（b）=b3﹣3ab2﹣9a2b﹣bc=0，f（c）=c3﹣3ac2﹣9a2c﹣bc=0．求出a即可．【解答】解：∵f（x）=x3﹣3ax2﹣9a2x﹣bc其中（a＞0）∴f′（x）=3x2﹣6ax﹣9a2=3（x+a）（x﹣3a），令f′（x）=0，解得x=﹣a，x=3a．∴﹣a（﹣a＜0）是函数f（x）的极大值点，3a是函数f（x）的极小值点．∵函数f（x）有三个零点1，b，c，且b＜1＜c，∴f（﹣a）=﹣a3﹣3a3+9a3﹣bc＞0，f（3a）=27a3﹣27a3﹣27a3﹣bc＜0，f（1）=1﹣3a﹣9a2﹣bc=0．b＜0，f（b）=b3﹣3ab2﹣9a2b﹣bc=0，f（c）=c3﹣3ac2﹣9a2c﹣bc=0．化为：b2﹣3ab﹣9a2﹣c=0，c2﹣3ac﹣9a2﹣b=0．相减可得：b+c﹣3a+1=0．化为：5a3﹣bc＜0，27a3+bc＞0，可得：9a2+3a﹣1＞0，a＞0．解得a＞＞．故答案为：②④16．在半径为2的球面上有不同的四点A，B，C，D，若AB=AC=AD=2，则平面BCD 被球所截得图形的面积为3π．【考点】球的体积和表面积．【分析】先在球面选取A点，在球面上有B，C，D三点到A距离相等，可知B，C，D在同一截面上，且OA垂直于平面BCD．【解答】解：先在球面选取A点，在球面上有B，C，D三点到A距离相等，可知B，C，D在同一截面上，且OA垂直于平面BCD；如图：有AB=AC=AD=2，OB=OC=OD=OA=2，所以△OAB，△OAC，△OAD均为等边三角形．所以截面BCD所在圆的半径为r=；所以截面面积为：3π．故答案为3π．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知函数f（x）=x3﹣4x2+5x﹣4．（1）求函数f（x）的极值；（2）求曲线在点（2，f（2））处的切线方程．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数求出极值点，判断函数的单调性，求出函数的极值．（2）f（x）=x3﹣4x2+5x﹣4，求出f（2）=﹣2，求出导数，求出曲线的斜率，然后求解切线方程．【解答】解：（1）函数f（x）=x3﹣4x2+5x﹣4，f′（x）=3x2﹣8x+5=（3x﹣5）（x﹣1），令f′（x）=0，得x=1或x=…当x＜1或时，f′（x）＞0，所以f（x）在（﹣∞，1）和（，+∞）上是增函数；当时，f′（x）＜0，所以f（x）在（1，）上是减函数，∴x=时，函数取得极小值f（）=，x=1时，函数取得极大值f（1）=﹣2…（2）f（x）=x3﹣4x2+5x﹣4，∴f（2）=﹣2，f′（x）=3x2﹣8x+5，∴f′（2）=1，…所以，切线过点（2，﹣2），斜率为1，故求曲线在点（2，f（2））处的切线方程为y=x﹣4…18．已知等差数列{a n}的公差不为零，且满足a1=6，a2，a6，a14成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d≠0，由a2，a6，a14成等比数列．可得=a2•a14，即（6+5d）2=（6+d）（6+13d），化简即可得出．（2）b n===，利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d≠0，∵a2，a6，a14成等比数列．∴=a2•a14，∴（6+5d）2=（6+d）（6+13d），化为d2﹣2d=0，d≠0，解得d=2．所以a n=6+2（n﹣1）=2n+4．（2）b n===，∴数列{b n}的前n项和S n═++…+==．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面ABB1A1为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1=60°，AB⊥B1C（1）求证：平面ABB1A1⊥平面BB1C1C；（2）若AB=2，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）证明AB⊥BB1．AB⊥B1C，推出AB⊥平面BB1C1C，然后证明平面ABB1A1⊥BB1C1C．（2）设O是BB1的中点，连结CO，则CO⊥BB1．求出CO，连结AB1，利用=求解三棱柱ABC﹣A1B1C1的高即可．【解答】（1）证明：由侧面ABB1A1为正方形，知AB⊥BB1．又AB⊥B1C，BB1∩B1C=B1，所以AB⊥平面BB1C1C，又AB⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥BB1C1C．…解：（2）设O是BB1的中点，连结CO，则CO⊥BB1．由（1）知，CO⊥平面ABB1A1，且CO=BC=AB=…连结AB 1，则=•CO=AB 2•CO=… 因===，则h=．故三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的高…20．北京某高校在2016年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表所示．（1）求频率分布表中n ，p 的值，并补充完整相应的频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第4、5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，则第4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定从6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至多有1名学生被甲考官面试的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）根据所给的第二组的频率，利用频率乘以样本容量，得到要求的频数，再根据所给的频数，利用频除以样本容量，得到要求的频率．（2）因为在笔试成绩高的第4、5组中用分层抽样抽取6名学生，而这两个小组共有30人，利用每一个小组在30人中所占的比例，乘以要抽取的人数，得到结果．（3）试验发生包含的事件是从六位同学中抽两位同学有C62种满足条件的事件是第4组至多有一名学生被考官甲面试有C21C41+1种结果，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：（1）由题意可知，第2组的频数n=0.35×100=35人，第3组的频率p==0.30；（2）∵第4、5组共有30名学生，∴利用分层抽样在30名学生中抽取6名学生，每组分别为：第4组：×6=4人，第5组：×6=2人，∴第4、5组分别抽取4人、2人；（3）试验发生包含的事件是从六位同学中抽两位同学有C62=15种满足条件的事件是第4组至多有一名学生被考官甲面试有C22+=9种结果，∴至少有一位同学入选的概率为：=．21．已知圆C：（x+1）2+y2=8，定点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足|AP|=|PM|，NP⊥MA，点N的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G，H（点G在F，H之间），且满足，求实数λ的取值范围．【考点】轨迹方程．【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质推出|NC+|NA|=|NC|+|NM|=2＞2=|CA|，再利用椭圆的定义知，点N的轨迹是以A、C 为焦点的椭圆，利用待定系数法求出椭圆的方程（2）不妨设FH斜率为k，且将原点移至F，则直线FH方程为y=kx，则椭圆方程变为+（y﹣2）2=1，将直线与椭圆方程联立得（1+2k2）x2﹣8kx+6=0，结合题设条件求参数λ的范围．【解答】解：（1）因为|AP|=|PM|，NP⊥MA，所以NP为线段AM的垂直平分线，|NA|=|NM|，|NC+|NA|=|NC|+|NM|=2＞2=|CA|，所以动点N的轨迹是以C（﹣1，0），A（1，0）为焦点的椭圆，…..且长轴长为2A=2，焦距2c=2，所以A=，c=1，b2=1，曲线E的方程为=1…（2）当斜率不存在时，直线与曲线E有2个交点此时参数的值为，不妨设FH斜率为k，且将原点移至F，则直线FH方程为y=kx，椭圆方程变为+（y﹣2）2=1，将直线方程代入椭圆得+（kx﹣2）2=1，整理得（1+2k2）x2﹣8kx+6=0，直线与曲线E有二不同的交点，故△=（﹣8k）2﹣4•6（1+2k2）=16k2﹣24＞0，即k2＞，因为左右对称，可以研究单侧，当k＞0时，λ===，令t=∈（0，1），则λ=，t∈（0，1），由于λ=﹣1，故函数在t∈（0，1）上是减函数，故，综上，参数的取值范围是．22．已知函数f（x）=+alnx（a≠0，a∈R）．（1）若a=1，求函数f（x）的极值和单调区间；（2）若在区间（0，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求函数f（x）的导数，令导数等于零，解方程，再求出函数f（x）的导数和驻点，然后列表讨论，求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若在区间（0，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，其充要条件是f（x）在区间（0，e]上的最小值小于0即可．利用导数研究函数在闭区（0，e]上的最小值，先求出导函数f'（x），然后讨论研究函数在（0，e]上的单调性，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值．【解答】解：（1）因为f′（x）=﹣+=，当a=1，f′（x）=，令f'（x）=0，得x=1，又f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：所以x=1时，f（x）的极小值为1．f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；（6分（2）∵f′（x）=，（a≠0，a∈R）．令f′（x）=0，得到x=，若在区间[0，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，其充要条件是f（x）在区间（0，e]上的最小值小于0即可．（i）当x=＜0，即a＜0时，f′（x）＜0对x∈（0，+∞）成立，∴f（x）在区间[1，e]上单调递减，故f（x）在区间（0，e]上的最小值为f（e）=+alne=+a，由+a ＜0，得a ＜﹣；（ii ）当x=＞0，即a ＞0时，①若e ≤，则f′（x ）≤0对x ∈（0，e ]成立， ∴f （x ）在区间（0，e ]上单调递减，∴f （x ）在区间（0，e ]上的最小值为f （e ）=+alne=+a ＞0， 显然，f （x ）在区间（0，e ]上的最小值小于0不成立．②若1＜＜e ，即a ＞时，则有∴f （x ）在区间[0，e ]上的最小值为f （）=a +aln ，由f （）=a +aln =a （1﹣lna ）＜0，得1﹣lna ＜0，解得a ＞e ，即a ∈（e ，+∞）．综上，由（1）（2）可知：a ∈（﹣∞，﹣）∪（e ，+∞）．2017年3月7日。
2016-2017年河北省石家庄市正定中学高二(上)期末数学试卷(理科)及答案答案
2016-2017学年河北省石家庄市正定中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数z1=m+2i，z2=3﹣4i，若为实数，则实数m的值为（）A．B．C．﹣D．﹣2．（5分）函数f（x）=的最大值为（）A．B．C．D．13．（5分）为了规定学校办学，省电教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查，抽查到班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号，33号，46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是（）A．13B．19C．20D．524．（5分）设命题p：m≥，命题q：一元二次方程x2+x+m=0有实数解．则￢p 是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．8B．11C．9D．126．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若E是AD的中点，则异面直线A1B与C1E所成角的大小是（）A．B．C．D．7．（5分）已知Ω={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}，A是由直线y=0，x=a（0＜a ≤1）和曲线y=x3围成的曲边三角形的平面区域，若向区域Ω上随机投一点P，点P落在区域A内的概率是，则a的值为（）A．B．C．D．8．（5分）已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（）A．求数列的前10项和（n∈N*）B．求数列的前10项和（n∈N*）C．求数列的前11项和（n∈N*）D．求数列的前11项和（n∈N*）9．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B．若，则P的值为（）A．1B．2C．3D．410．（5分）若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（）A．[，]B．[，3]C．[﹣1，]D．[，3]11．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．212．（5分）已知函数g（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的导函数为f（x），a+b+c=0，且f（0）•f（1）＞0，设x1，x2是方程f（x）=0的两个根，则|x1﹣x2|的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知向量=（3，1），=（1，3），=（k，﹣2），若（﹣）⊥，则k=．14．（5分）给出下列不等式：1++＞1，1+++…+＞，1+++…+＞2…，则按此规律可猜想第n个不等式为．15．（5分）设a∈R，函数f（x）=e x+a•e﹣x的导函数y=f′（x）是奇函数，若曲线y=f（x）的一条切线斜率为，则切点的横坐标为．16．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点为F1，F2，点A在其右半支上，若•=0，若∠AF1F2∈（0，），则该双曲线的离心率e的取值范围为．三、解答题：6道大题，共70分，须写出必要的解答过程.17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，cosB=．（1）若b=3，求sinA的值；（2）若△ABC的面积S=3，求b，c的值．△ABC18．（12分）已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项；（2）设数列{a n}的前n项和为S n，令，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）某校从参加高二年级期末考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如下频率分布表．根据相关信息回答下列问题：（1）求a，b的值，并画出频率分布直方图；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；（3）用分层抽样的方法在分数在[60，80）内学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人的分数在[70，80）内的概率．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=2，E，F分别是AD，PC的中点．（1）证明：PC⊥平面BEF；（2）求平面BEF与平面BAP所成的锐二面角的余弦值．21．（12分）已知椭圆C：的右焦点为F（1，0），且点（﹣1，）在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．22．（12分）（理科）已知函数f（x）=4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1，x∈R，t∈R．（1）当t≠0时，求f（x）的单调区间；（2）证明：对任意t∈（0，+∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．2016-2017学年河北省石家庄市正定中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数z1=m+2i，z2=3﹣4i，若为实数，则实数m的值为（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：设，则z1=kz2，所以m+2i=k（3﹣4i），故，解得．故选：D．2．（5分）函数f（x）=的最大值为（）A．B．C．D．1【解答】解：①当x=0时，f（x）=0②当x＞0时，当且仅当，即x=1时取等号．∴x=1时，函数的最大值为故选：B．3．（5分）为了规定学校办学，省电教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查，抽查到班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号，33号，46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是（）A．13B．19C．20D．52【解答】解：用系统抽样抽出的四个学生的号码从小到大：7，？，33，46成等差数列，因此，另一学生编号为7+46﹣33=20．故选：C．4．（5分）设命题p：m≥，命题q：一元二次方程x2+x+m=0有实数解．则￢p 是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵命题p：m≥，∴￢p：m＜，由一元二次方程x2+x+m=0有实数解可得△=1﹣4m≥0，解得m≤，因为集合{m|m＜}是集合{m|m≤}的真子集，故￢p是q的充分不必要条件，故选：A．5．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．8B．11C．9D．12【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，2），化目标函数z=3x+y为y=﹣3x+z，由图可知，当直线y=﹣3x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为z=3×3+2=11．故选：B．6．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若E是AD的中点，则异面直线A1B与C1E所成角的大小是（）A．B．C．D．【解答】解：如图，连接AB1，DC1，易证A1B⊥面AC1，而C1E⊂面AC1，∴A1B⊥C1E，故选：D．7．（5分）已知Ω={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}，A是由直线y=0，x=a（0＜a ≤1）和曲线y=x3围成的曲边三角形的平面区域，若向区域Ω上随机投一点P，点P落在区域A内的概率是，则a的值为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，区域Ω即边长为1的正方形的面积为1×1=1，区域A即曲边三角形的面积为∫0a x3dx=x4|0a=a4，若向区域Ω上随机投一点P，点P落在区域A内的概率是，则有=，解可得，a=，故选：D．8．（5分）已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（）A．求数列的前10项和（n∈N*）B．求数列的前10项和（n∈N*）C．求数列的前11项和（n∈N*）D．求数列的前11项和（n∈N*）【解答】解：根据题意，s=s+n=n+2∴数列为又∵K≤10∴计算的是求数列的前10项和（n∈N*）故选：B．9．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B．若，则P的值为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：由题意可得，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为（，0），准线为l：x=﹣．∵，∴M为AB的中点．直线方程为y=（x﹣1），由题意可得A（﹣，﹣），故由中点公式可得B（+2，），把点B的坐标代入抛物线C：y2=2px （p＞0）可得=p2+4p，解得p=2，故选：B．10．（5分）若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（）A．[，]B．[，3]C．[﹣1，]D．[，3]【解答】解：曲线方程可化简为（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3），即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，如图依据数形结合，当直线y=x+b与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x+b 距离等于2，即解得或，因为是下半圆故可知（舍），故当直线过（0，3）时，解得b=3，故，故选：D．11．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．2【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，其中侧面是正三角形，底面ABCD是正方形，且底面ABCD⊥侧面PAB．∴该几何体的体积V==．故选：B．12．（5分）已知函数g（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的导函数为f（x），a+b+c=0，且f（0）•f（1）＞0，设x1，x2是方程f（x）=0的两个根，则|x1﹣x2|的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意得：f（x）=3ax2+2bx+c，∵x1，x2是方程f（x）=0的两个根，故x1+x2=，x1x2=，∴=﹣4x1•x2=，又a+b+c=0，∴c=﹣a﹣b代入上式，∴===•+（）+①，又∵f（0）•f（1）＞0，∴（a+b）（2a+b）＜0，即2a2+3ab+b2＜0，∵a≠0，两边同除以a2得：+3+2＜0；∴﹣2＜＜﹣1，代入①得∈[，）∴|x1﹣x2|∈[，）．故选：A．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知向量=（3，1），=（1，3），=（k，﹣2），若（﹣）⊥，则k=12．【解答】解：∵向量=（3，1），=（1，3），=（k，﹣2），∴=（3﹣k，3），∵（﹣）⊥，∴=3﹣k+9=0，解得k=12．故答案为：12．14．（5分）给出下列不等式：1++＞1，1+++…+＞，1+++…+＞2…，则按此规律可猜想第n个不等式为1+++…+＞．【解答】解：观察不等式中最后一项的分母分别是3、7、15、31…将每个数加1得4、8、16、32可知通项为2n+1则3、7、15、31…的通项为2n+1﹣1不等式右边是首项为1，公差为的等差数列，∴按此规律可猜想第n个不等式为1+++…+＞．故答案为1+++…+＞．15．（5分）设a∈R，函数f（x）=e x+a•e﹣x的导函数y=f′（x）是奇函数，若曲线y=f（x）的一条切线斜率为，则切点的横坐标为ln2．【解答】解：由题意可得，f′（x）=e x﹣是奇函数，∴f′（0）=1﹣a=0∴a=1，f（x）=e x+，f′（x）=e x﹣，∵曲线y=f（x）在（x，y）的一条切线的斜率是，∴=e x﹣，解方程可得e x=2，∴x=ln2．故答案为：ln2．16．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点为F1，F2，点A在其右半支上，若•=0，若∠AF1F2∈（0，），则该双曲线的离心率e的取值范围为（1，）．【解答】解：设∠AF1F2=θ，则由题意，|AF2|=2csinθ，|AF1|=2ccosθ，∵点A在其右半支上，∴2ccosθ﹣2csinθ=2a，∴e==，∵∠AF1F2∈（0，），∴θ+∈（，），∴cos（θ+）∈（，），∴cos（θ+）∈（，1），∴e∈（1，），故答案为（1，）．三、解答题：6道大题，共70分，须写出必要的解答过程.17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，cosB=．（1）若b=3，求sinA的值；=3，求b，c的值．（2）若△ABC的面积S△ABC【解答】解：（1）因为，所以．由正弦定理，得．（2）因为，所以．由余弦定理，得．所以．18．（12分）已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项；（2）设数列{a n}的前n项和为S n，令，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解（1）由题设知公差d≠0，由a1=1，a1，a3，a9成等比数列得：，即（1+2d）2=1•（1+8d），解得d=1或d=0（舍去），故{a n}的通项a n=1+（n﹣1）×1=n．（2）∵，∴，∴=．19．（12分）某校从参加高二年级期末考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如下频率分布表．根据相关信息回答下列问题：（1）求a，b的值，并画出频率分布直方图；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；（3）用分层抽样的方法在分数在[60，80）内学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人的分数在[70，80）内的概率．【解答】解：（1）a=6，b=0.25…（1分）…（4分）（2）45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71 …（8分）（3）由题意知[60，70）中抽2人，[70，80）中抽取4人，则任取两人共有=15种取法（10分）至多有一人在[70，80）总有9种情况…（12分）答：分数在[70，80）内的频率为0.3，本次考试的平均分为71，至多有1人的分数在[70，80）内的概率为．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=2，E，F分别是AD，PC的中点．（1）证明：PC⊥平面BEF；（2）求平面BEF与平面BAP所成的锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．∵AP=AB=2，BC=AD=2，四边形ABCD是矩形，∴A，B，C，D，P的坐标为A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．又E，F分别是AD，PC的中点，∴E（0，，0），F（1，，1）．…（2分）∴=（2，2，﹣2），=（﹣1，，1），=（1，0，1）．∴•=﹣2+4﹣2=0，•=2+0﹣2=0．…（4分）∴⊥，⊥∴PC⊥BF，PC⊥EF．又BF∩EF=F，∴PC⊥平面BEF．…（6分）（2）解：由（1）知平面BEF的一个法向量==（2，2，﹣2），…（9分）平面BAP的一个法向量==（0，2，0），∴．设平面BEF与平面BAP的夹角为θ，则cosθ=|cos|===，∴平面BEF与平面BAP所成的锐二面角的余弦值为．…（12分）21．（12分）已知椭圆C：的右焦点为F（1，0），且点（﹣1，）在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意，c=1∵点（﹣1，）在椭圆C上，∴根据椭圆的定义可得：2a=，∴a=∴b2=a2﹣c2=1，∴椭圆C的标准方程为；（2）假设x轴上存在点Q（m，0），使得恒成立当直线l的斜率为0时，A（，0），B（﹣，0），则=﹣，∴，∴m=①当直线l的斜率不存在时，，，则•=﹣，∴∴m=或m=②由①②可得m=．下面证明m=时，恒成立当直线l的斜率为0时，结论成立；当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2）直线方程代入椭圆方程，整理可得（t2+2）y2+2ty﹣1=0，∴y1+y2=﹣，y1y2=﹣∴=（x1﹣，y1）•（x2﹣，y2）=（ty1﹣）（ty2﹣）+y1y2=（t2+1）y1y2﹣t（y1+y2）+=+=﹣综上，x轴上存在点Q（，0），使得恒成立．22．（12分）（理科）已知函数f（x）=4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1，x∈R，t∈R．（1）当t≠0时，求f（x）的单调区间；（2）证明：对任意t∈（0，+∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．【解答】（1）解：f'（x）=12x2+6tx﹣6t2，令f'（x）=0，得x1=﹣t或．1°当t＞0时，f'（x）＞0的解集为∴f（x）的单调增区间为，f（x）的单调减区间为．2°当t＜0时，f'（x）＜0的解集为∴f（x）的单调增区间为，f（x）的单调减区间为．（2）证明：由（1）可知，当t＞0时，f（x）在内递减，内单调递增．1°当，即t≥2时，f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增．f（0）=t﹣1＞0，f（1）=﹣6t2+4t+3＜0∴f（x）在（0，1）内有零点．2°当0＜＜1，即0＜t＜2时，f（x）在内递减，在内单调递增．若＜0，f（1）=﹣6t2+4t+3≥﹣6t+4t+3=3﹣2t＞0∴f（x ）在内存在零点．若＜0，f（0）=t﹣1＞0∴f（x ）在内存在零点．∴对任意t∈（0，2），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．第21页（共21页）。
2016-2017河北高二上学期第一次联考数学试题(含答案)
第一学期高二年级第一次联考数学试卷试卷Ⅰ（共 60 分）一、选择题（本题共12个小题,每题只有一个正确答案 ，每题5分，共60分）1. o o o osin 20cos10cos160sin10- = A ．2- B．2C ． 12-D ．12 2. 某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为 A ．7 B ． 15 C ．25 D ．353.正定中学教学处采用系统抽样方法，从学校高三年级全体800名学生中抽50名学生做学习状况问卷调查。
现将800名学生从1到800进行编号，在16~1中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从56~41中应取的数是A ．47B ．48C ．54D ．554. 等差数列{}n a 中，24)(2)(31310753=++++a a a a a ，则该数列前13项的和是A ． 13B ． 26C ．52D ． 1565. 如图是一个容量为200的样本频率分布直方图，则样本数据落在范围[13,17)的频数是A .81B .36C .24D .126. 若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为A . 1B . 2C . 3D . 47. 若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数为x ，方差为2s，则A .2,52<=s xB .2,52>=s xC .2,52<>s xD .2,52>>s x8.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是A . 4B .5C . 6D . 79.连续掷两次骰子分别得到点数n m ,，则向量()n m ,与向量()1,1-的夹角︒>θ90的概率是 A . 31B . 125C . 21D . 127 10.22()(sin cos )2cos f x x x x m =++-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，则m 的取值范围为A .[]1,3B . []1,2-C . 1,2⎡-+⎣D . 1,2⎡+⎣11.已知三棱锥BCD A -内接于球O ，3====BD AC AD AB ， 60=∠BCD ，则球O 的表面积为A .32πB .2πC .3πD .92π 12.已知点),(y x P 满足222≤+y x ，则满足到直线022=+-y x 的距离[]3,1∈d 的点P 概率为A .π121-B .π121+C . π2141-D .π2141+ 试卷Ⅱ（共 90 分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.平面向量a 与b 的夹角为60°，1||),0,2(==,则|2|a b + 等于14. 右图为甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况的茎叶图，则甲和乙得分的中位数的和是________15.ABC ∆内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 则_______b =16.某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为_______三、解答题（本大题共6小题，共70分）。
【全国百强校】河北省正定中学2016-2017学年高二上学期第一次月考理数试题解析(解析版)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合{}|0A x x =>，{}2|5140B x x x =--=，则A B 等于（ ）A ．{}|05x x <<B ．{}|27x x <<C ．{}|25x x <<D ．{}|07x x << 【答案】D 【解析】试题分析：由{}2|5140{2,7}B x x x =--==-，所以{}|07A B x x =<< ，故选D ． 考点：集合的运算．2.运行下面的程序，若2x =，则输出的y 等于（ ）A ．9B ．7C ．13D ．11【答案】A考点：算法语言．3.为了了解某学校1200名高中男生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况．根 据所得数据画出样本的频率分布直方图，据此估计该校高中男生体重在66~78kg 的人数为（ ） A ．360 B ．336 C ．300 D ．280【答案】B 【解析】试题分析：由频率分布直方图得到体重在66~78kg 的男生的频率为(0.040.02001)40.28++⨯=，所以估计该校高中男生体重在66~78kg 的人数为0.281200336⨯=人，故选B ． 考点：频率分布直方图． 4.下列结论判断正确的是（ ）A ．棱长为1的正方体的内切球的表面积为4πB ．三条平行直线最多确定三个平面C ．正方体1111ABCD A B C D -中，AB 与11C D 异面D ．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则平面//α平面γ 【答案】B考点：命题的真假判定．5.观察下列散点图，其中两个变量的相关关系判断正确的是（ ） A ．a 为正相关，b 为负相关，c 为不相关 B ．a 为负相关，b 为不相关，c 为正相关 C ．a 为负相关，b 为正相关，c 为不相关D ．a 为正相关，b 为不相关，c 为负相关【答案】D考点：变量的相关性．6.已知向量(1,7)m = 与向量(tan ,18tan )n αα=+平行，则tan 2α的值为（ ）A ．43-B ．43C ．34-D ．34【答案】C 【解析】试题分析：由向量(1,7)m = 与向量(tan ,18tan )n αα=+平行，所以17tan 18tan αα=+，解得tan =3α，又22tan 3tan 21tan 4ααα==-+，故选C ． 考点：向量的运算；正切的二倍角公式．7.已知直线1l ：40ax y c +-=与直线2l ：6830x y ++=平行，且1l 与圆M ：22()1x y c ++= 相切，则c 的值为（ ）A ．1± B． C ．2± D ．3± 【答案】A 【解析】试题分析：由直线1l ：40ax y c +-=与直线2l ：6830x y ++=平行，则4368a a =⇒=，此时直线1l ：340x y c +-=，又1l 与圆M ：22()1x y c ++=相切，则圆心到直线的距离d1c ⇒=±，故选A ．考点：直线的位置关系；直线与圆的位置的应用．【方法点晴】本题主要考查了参数的求解问题，其中解答中涉及到两条直线的位置关系的应用、直线与圆的位置关系的应用、点到直线的距离公式的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于基础题，本题的解答中，先根据两条直线平行，求解3a =，再利用直线与圆相切，可求解c 的值．8. 若不等式30,20,1,x y y x -≤⎧⎪-≥⎨⎪≤+⎩表示的平面区域为Ω，P 、Q 均为Ω内一点，O 为坐标原点，73z x y =-+，则下列判断正确的是（ ） A ．z 的最小值为1-B ．||OPC ．z 的最大值为15-D ．||PQ的最大值为【答案】D考点：简单的线性规划．9.执行右边的程序框图，则输出的n 等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A考点：程序框图．10.设数列{}n a 的前n 项和n S ，若2222312222244123n a a a a n n++++=-…，且0n a ≥，则100S 等于（ ）A ．5048B ．5050 C ．10098 D ．10100 【答案】C 【解析】试题分析：由2222312222244123n a a a a n n ++++=-…，则2222311222224(1)448123(1)n a a a a n n n -++++=--=--…，两式相减，可得222244n n a a n n =⇒=，又因为0n a ≥，所以2n a n =，所以1100100100()2a a S +=100(2200)100982+==，故选C ．考点：数列求和．11.在斜△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ， 4A π=，sin sin()2A B C C +-=，且△ABC 的面积为1，则a 的值为（ ）A ．2BCD 【答案】B考点：正弦余弦、余弦定理和三角形的面积公式．【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到正弦定理、余弦定理、两角和与差的公式、倍角公式和三角形的面积公式的综合应用，着重考查了学生的分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据题设条件，利用三角恒等变换的公式，化简得出b =是解答的关键．12.某几何体是组合体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．1683π+ B ．3283π+ C ．168π+ D ．16163π+【答案】A 【解析】试题分析：根据三视图可知几何体是一个组合体，下面是半个圆柱、上面一个四棱锥，且两个四棱锥的定点相对、底面是俯视图中两个矩形两条分别是2,4，其中一条侧棱与底面垂直，高都是2，圆柱的底面半径是2、母线长是4，所以几何体的体积21116242248323V ππ=⨯⨯⨯+⨯⨯=+，故选A ． 考点：三视图和几何体的体积．【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答中，根据给定的三视图得出几何体是一个组合体，下面是半个圆柱、上面一个四棱锥是解答的关键．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.某服装设计公司有1200名员工，其中老年、中年、青年所占的比例为1:5:6．公司十年庆典活 动特别邀请了5位当地的歌手和公司的36名员工同台表演节目，其中员工按老年、中年、青年进行分层 抽样，则参演的中年员工的人数为 ． 【答案】15考点：分层抽样． 14.设函数42,0,()log ,0,a x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩且1(())54f f =，则a = ．【答案】3 【解析】试题分析：由函数42,0()log ,0a x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，则411(())(log )(1)2544f f f f a ==-=+=，解得3a =．考点：分段函数求值． 15.若α为锐角，且3cos 25α=，则tan()4πα+= ． 【答案】3 【解析】试题分析：由题意得，因为2234cos 22cos 1cos 55ααα=-=⇒=，因为α为锐角，所以cos αα==，所以1tan 2α=，所以11tan 12tan()3141tan 12πααα+++===--． 考点：三角函数的化简求值．【方法点晴】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中涉及到余弦的二倍角公式的应用、三角函数的基本关系式、两角和的正切公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力，本题的解答中根据余弦的二倍角公式和三角函数的基本关系式，求得tan α的值是解答的关键，属于基础题．16.若向量(,|cos |)xa e x = ，(1,2sin )b x = ，则函数()f x a b =⋅ 在区间[]7,0-上的零点个数为 ． 【答案】5考点：函数的零点的判断．【方法点晴】本题主要考查了函数的零点问题的判断，其中解答中涉及到三角函数的化简、三角函数的图象与性质、知识函数的图象等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中把函数的零点问题转化为两个函数图象的交点是解答的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.下面用茎叶图记录了同班的甲、乙两名学生4次数学考试成绩，其中甲的一次成绩模糊不清， 用x 标记．（1）求甲生成绩的中位数与乙生成绩的众数；（2）若甲、乙这4次的平均成绩相同，确定甲、乙中谁的成绩更稳定，并说明理由．【答案】（1）83，85；（2）乙的成绩更稳定．（2）∵90818284908085858544x +++++++==，∴3x =．∵22222145(9385)(8185)(8285)(8485)42s ⎡⎤=-+-+-+-=⎣⎦甲， 2222212545(9085)(8085)(8585)(8585)422s ⎡⎤=-+-+-+-=<⎣⎦乙， ∴乙的成绩更稳定．考点：样本估计总体；平均数与方差．18.已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且18a =，3453S a S +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若21log ()n n n b a a +=⋅，11n n n c b b +=⋅，记数列{}n b 与{}n c 的前n 项和分别为n P ，n Q ，求n P 与n Q ． 【答案】（1）22n n a +=；（2）26n n n P =+，Q 1449n nn =+．【解析】试题分析：（1）设数列{}n a 的公比为q ，根据题意数列的公比，利用等比数列的通项公式，即可求解数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）得出25n b n =+，111()22527n c n n =-++，利用等差数列求和公式和裂项求和即可求解数列的和．试题解析：（1）设数列{}n a 的公比为q ，由题意知4533a S S =-45a a =+，∴542a a =，∴2q =. ∴1212n n n a a q -+=⋅=．（2）由（1）可得2325n b n n n =+++=+，1111()(25)(27)22527n c n n n n ==-++++，∴2(725)62n n n P n n ++==+，1111111()27991125271449n nQ n n n =-+-++-=+++…． 考点：数列的通项公式；数列的求和． 19.执行如图所示的程序框图．（1）若输入的2x =，5n =，求输出的s 的值；（2）若输入的4x =，输出的46s =，求输入的n （*n N ∈）的值．【答案】（1）203s =；（2）2n =．试题解析：（1）第一次运算：2s =，5s =，2k =； 第二次运算：527s =+=，16s =，3k =； 第三次运算：16319s =+=，41s =，4k =； 第四次运算：41445s =+=，94s =，5k =；第五次运算：94599s =+=，203s =，65k =>，输出203s =．（2）第一次运算：2s =，9s =，2k =，此时2n >不成立，则2n ≥．第二次运算：11s =，45s =，3k =，此时3n >成立，则3n <，∴23n ≤<，又*n N ∈，∴2n =．考点：程序框图的运算．20.某公司2016年前三个月的利润（单位：百万元）如下：（1）求利润y 关于月份x 的线性回归方程；（2）试用（1）中求得的回归方程预测4月和5月的利润；（3）试用（1）中求得的回归方程预测该公司2016年从几月份开始利润超过1000万？ 相关公式：121()()()n i i i n ii x x y y b x x ==--=-∑∑ 1221ni ii n i i x y nx y x nx ==-=-∑∑，ay bx =- ．【答案】（1） 1.750.3y x =+；（2）730万，905万；（3）公司2016年从6月份开始利润超过1000万．试题解析：（1）2x =， 3.8y =，12213 1.753n i ii n i i x y xy b xx ==-==-∑∑ ，0.3a y bx=-= ， 故利润y 关于月份x 的线性回归方程为 1.750.3y x =+．（2）当4x =时，1.7550.37.3y =⨯+=，故可预测4月的利润为730万． 当5x =时，1.7550.39.05y =⨯+=，故可预测5月的利润为905万． （3）由1.750.310x +=，得 5.5x ≈，故公司2016年从6月份开始利润超过1000万．考点：回归直线方程的应用．21.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，12AB AA ==，AC =3BC =， M ，N 分别为11B C 、1AA 的中点．（1）求证：平面1ABC ⊥平面11AAC C ；（2）求证：//MN 平面1ABC ，并求M 到平面1ABC 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2．试题解析：证明：（1）∵222AB AC BC +=，∴AB AC ⊥，又1AA ⊥平面ABC ，∴1AA AB ⊥，又1AC AA A = ，∴AB ⊥平面11AAC C ，∵AB ⊂平面1ABC ，∴平面1ABC ⊥平面11AAC C ．（2）取1BB 中点D ，∵M 为11B C 中点，∴1//MD BC ，又N 为1AA 中点，四边形11ABB A 为平行四边形，∴//DN AB ，又MD DN D = ，∴平面//MND 平面1ABC ．∵MN ⊂平面MND ，∴//MN 平面1ABC ．∴N 到平面1ABC 的距离即为M 到平面1ABC 的距离．过N 作1NH AC ⊥于H ，∵平面1ABC ⊥平面11AAC C ，∴NH ⊥平面1ABC ，∴11111122AA AC NH AC ⨯=⨯== ∴点M 到平面1ABC（或由等体积法可求）考点：线面位置关系的判定与证明；点到直线的距离．【方法点晴】本题主要考查了直线与平面的位置关系的判定与证明、点到直线的距离，其中解答中涉及到直线与平面的判定定理、勾股定理、点到直线的距离，直线与平面平行的判定等知识点的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中熟记线面位置关系的判定与证明，以及转化思想是解答的关键．22.已知函数2()(1)f x k x x =+-，()22x x g x k -=-⋅（k R ∈且0k ≠）．（1）若(1)23f =，求函数()g x 在区间[]0,1上的值域；（2）当3(1)3g -<<时，函数()f x 在区间[]0,2上的最小值大于2221()1x x h x x x+=++在(0,]+∞上的最 小值，求实数k 的取值范围．【答案】（1）[]5,1--；（2）(3,10)k ∈．试题解析：（1）∵(1)23f =，∴6k =，∴()262x x g x -=-⋅，当[]0,1x ∈时，()g x 为增函数，则()g x 在区间[]0,1上的值域为[]5,1--．（2）令21x t x +=1x x=+，∵0x >，∴2t ≥， ∴2()(2)h t t t t =+≥，又2y t t=+在[2,)+∞上递增，∴当2t =时，min ()3h x =． ∵3(1)3g -<<，∴210k -<<，又0k ≠，∴20k -<<或010k <<．222141()(21)()24k k f x kx k x k k x k k --=+-+=++, 对称轴方程为211122k x k k-=-=-， 当1102k ≤<时，1102k-≤，∴()f x 在[]0,2上递减， min ()(0)3f x f k ==>，又1102k ≤<，∴310k <<． 当106k <≤时，1122k-≥，∴()f x 在[]0,2上递减， min ()(2)923f x f k ==->，∴59k >，又106k <≤，∴无解． 当1162k <<时，10122k <-<，∴min 41()34k f x k -=>，∴108k -<<， 又1162k <<，∴无解． 当20k -<<时，1102k-<，∴()f x 在[]0,2上递减，∴min ()(2)923f x f k ==->， 又20k -<<，∴无解．综上，(3,10)k ∈.考点：函数的综合应用．【方法点晴】本题主要考查了函数的综合应用，其中解答中涉及到函数值的求解、函数的单调性、二次函数的图象与性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，同时考查了分类讨论思想的应用，试题有一定的难度，属于中档试题，此类问题的解答中熟记函数的图象与性质，并且合理的转化是解得关键．高考一轮复习：。
河北省正定县第一中学高二数学上学期期中试题 理
河北省正定县第一中学2016-2017学年高二数学上学期期中试题 理一、选择题（每小题5分，共计60分）1、圆2220x y x ++=的圆心和半径分别是（ ）().1,0;2A().1,0;1B -().1,0;1C().1,0;2D -2、若22,x y x y >>则的逆否命题是（ ）A .若22,x y x y ≤≤则B .若22,x y x y <<则C .若22,x y x y ≤≤则D .若22x y x y >>,则3、若双曲线22221x y a b-=()0a b >>的离心率为5，则其渐近线方程为（ ）.2A y x =±.2B y x =±1.2C y x =± 2.2D y x =± 4、执行如图所示的程序框图，输出的s 的值为（ ）A .1B .23 C .1321D .6109875、为了解正定县中小学学生的视力情况，拟从该县中小学生中抽取部分学生进行调查.事先已了解到该县小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大的差异，而男女生视力情况差距不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）A .简单随机抽样B .按性别分层抽样C .按学段分层抽样D .系统抽样6、若抛物线()220y px p =>上一点M 到焦点和对称轴的距离分别为10、6，则p 的值为（ ）A .2B .2或18C .18D .4或16开始0,1i s ==2121s s s +=+1i i =+2?i ≥否结束是输出s7、平面内动点()()(),2,0,2,0P x y A B -与两点连线的斜率之积为14，则动点P 的轨迹方程为（ ） 22.14x A y +=22.14x B y -= .C ()22124x y x +=≠± ()22.124x D y x -=≠±8、设p ：2320,:21xx x q -+<>，则p 是q 成立的（ ）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件9、为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：则y 对x 的线性回归方程（ˆˆˆybx a =+）是（ ） ˆ.1A yx =-ˆ.1B yx =+1ˆ.882C yx =+ ˆ.176D y = （注：()()()1122211ˆnniii ii i nniii i x x y y x y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-） 10、由直线1y x =+上的一点向圆22:680C x y x +-+=引切线，则切线长的最小值为（ ）.22A.1B.3C .7D 11、已知,x y 满足方程2240x y x +-=，则21y x ++的取值范围是（ ） 12.0,5A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦[].0,3B[].1,1C - 33.D ⎡⎢⎣⎦12、已知12,F F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点，P 是C 上一点，若21234,PF PF b ⋅=则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）1.,12A ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 3.B ⎛ ⎝⎦ 3.C ⎫⎪⎪⎣⎭1.0,2D ⎛⎤⎥⎝⎦ 父亲身高x cm 儿子身高x cm174 176 176 176 178 175175176177 177二、填空题（每小题5分，共计20分）13、将十进制数21转化为二进制数的结果为 .14、命题“2000,10x R x x ∃∈-+>”的否定为 .15、已知()22f x x x =--，则对任意的[]3,6m ∈-， ()0f m ≥的概率是 . 16、下列所给的命题中，所有正确命题的序号是 .①若一元二次方程无实数根，则它的判别式0∆≤.②试验中所有可能出现的基本事件只有有限个的概率模型称为古典概型.③已知12,F F 分别是椭圆2212516x y +=的左、右焦点，若P 是椭圆上任意一点， 则使得1290F PF ∠=o的点P 有4个；④将长度为3的线段任意截取为三条线段，则能够以截得的三条线段为边构成三角形的概率值是确定的.三、解答题（共计70分）17、（10分）求经过三点()()(2,3,1,0,1,22A B C --的圆的方程.18、（12分）已知p ：关于x 的一元二次方程()2110x a x --+=有实根；q ：()2log 10a -≥.若“p q ∨”真且“p q ∧”假，求实数a 的取值范围.19、（12分）现有6道试题，其中4道甲类题，2道乙类题，某同学从中任取2道题解答，试求：（1）所取2道题都是甲类题的概率； （2）所取2道题不是同一类题的概率.20、（12分）某校高三5班在一次数学考试中抽取了20名学生的成绩.如图是根据抽样成绩绘制的[]40,100，样频率分布直方图，其成绩的范围是本数据分组为[)[)40,50,50,60，[)[)60,70,70,80，[)80,90，[]90,100.（1）试估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；（2）若从样本中抽取成绩大于或等于80分的学生2人，求至少有一人的成绩不低于90分的概率.21、（12分）已知抛物线()240y px p =>的焦点为F ，圆()222:W x p y p ++=的圆心到过点F的直线l 的距离为p . （1）求直线l 的斜率；（2）若直线l 与抛物线交于A,B 两点，WAB ∆的面积为8，求抛物线的方程.22、（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，点12,F F 分别是它的左、右焦点，以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆与直线0x y -+=相切. （1）求椭圆C 的方程；（2）若过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于M ,N 两点，求1F MN ∆面积的最大值.高二数学（理）期中试题答案一、选择题（每小题5分，共计60分） BCACC BDACD AA 二、填空题（每小题5分，共计20分）13、10101. 14、2,10.x R x x ∀∈-+= 15、(][),12,3-∞-U . 16、○1 ○4 三、解答题（70分） 17、（10分）()()222229450x y x y x -+=+--=或18、（12分）解 若p 真，则有2(1)40,1, 3.a a a --≥∴≤-≥或 ------------------------3分 若q 真，则有11, 2.a a -≥∴≥ -------------------------------------------6分 因为p q ∨真，且p q ∧假，所以p 、q 一真一假.若p 真q 假，则有1,3,2a a a ≤-≥⎧⎨<⎩或，所以 1.a ≤--------------------8分若p 假q 真，则有13,2a a -<<⎧⎨≥⎩，所以2 3.a ≤<---------------------10分综上可知，(][),12,3.a ∈-∞-U -----------------------------------------12分 19、（12分）解 记4道甲类题分别为1,2,3,2道乙类题分别为a ，b ，则6道题中任取2道题共有{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}1,2,1,3,1,4,1,,1,,2,3,2,4,2,,2,,3,4,3,,a b a b a{}{}{}{}3,,4,,4,,,b a b a b 15个基本事件.---------------------------------6分 （1）记“所取2道题都是甲类题”为事件A ,则事件A 包含6个基本事件， 所以()63.155p A ==----------------------------------------------------------9分 （2）记“所取2道题不是同一类题”为事件B ，则B 包含8个基本事件， 所以()8.15p B =--------------------------------------------------------------12分20、（12分）解 （1）因为()0.0250.0300.0150.010100.8+++⨯=，所以及格率为0080.------------------------------------------------------------------------------------2分Q ()0.005450.015550.025650.030750.015850.0109510⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=71.5,所以平均分约为71.5分-----------------------------------------------6分 （2）第5组的人数为200.015103⨯⨯=，第6组的人数为200.010102⨯⨯=，--------------------------------8分记第5组的3人分别为1,2,3，第6组的三人分别为a ，b ，则5人中任取2人共有{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}1,2,1,3,1,,1,,2,3,2,,2,,3,,3,,,a b a b a b a b 10个基本事件.-----------------------------------------------------------------------10分记“至少有一人的成绩不低于90分”为事件A ，则A 包含7个基本事件，所以()7.10p A =----------------------------------------------------------------12分 21、（12分） 解 （1）3.3k =±--------------------------------------------------------------5分 （2）将直线l 的方程()3y x p =±-代入24y px =，得 22140x px p -+=-------------------------------------------------------------6分2221964192.p p p ∆=-= 设()()1122,,,A x y B x y则1221214,x x p x x p +=⎧⎨=⎩，----------------------------------------------------------7分 12216,AB x x p p ∴=++=-------------------------------------------------9分 又8,WAB S ∆=所以1168,12p p p ⨯⨯=∴=，所以，抛物线的方程为24.y x =-----------------------------------------12分 22、（12分）解 （1）221.43x y +=----------------------------------------------------------4分 （2）设l 的方程为1x my =+，代入22143x y +=得 ()2234690m y my ++-=，()()22236363414410m m m ∆=++=+>----------------------------------6分 设()()1122,,,M x y N x y则1221226,34934m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，()22122121134m MN m y y m +∴=+-=+，----------------------------------8分又点()11,0F -到直线l 的距离为221d m=+，----------------------9分()12222212112121234341F MNm m S m m m ∆++∴=⨯⨯=+++.------------------------10分 令()211m t t +=≥， 则1212121313F MN t S t t t∆==++为[)1,+∞上的减函数， 所以，当1,0t m ==即时，1F MN S ∆有最大值3.综上，1F MN ∆的最大值为3.-----------------------------------------------12分 方法二：分直线l 的斜率是否存在两种情形进行讨论求解 方法三：利用112121212F MNS F F y y c y y ∆=⨯⨯-=⨯-2121m +=求解更简便.请阅卷老师自行制定方法二、三的评分标准.。
2016一2017学河北省定州中学年高二上学期开学考试数学试题(解析版)
河北定州中学：2016一2017学年第一学期高二开学考试数学试题一、选择题：共12题每题5分共60分1．平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则球O的表面积为（）A．123π B．12π C．8π D．4π2．已知某个三棱锥的三视图如图所示,其中正视图是等边三角形,侧视图是直角三角形,俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（）A．3 B．233C．33D．363．已知某个三棱锥的三视图如图所示,其中正视图是等边三角形,侧视图是直角三角形,俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（）A．3 B．233C．33D．364．某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（）5．如图所示，直四棱柱1111D C B A ABCD -内接于半径为3的半球O ，四边形ABCD 为正方形，则该四棱柱的体积最大时，AB 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．26．某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（ ）A ．2B ．4C ．52+D ．524+7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球半径为（ ）A ．22B ．723C ．11D ．23 8．已知圆22:(1)(3)2C x y -+-=被直线3y x b =+所截得的线段的长度等于2，则b 等于（ ）9．圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为（ ） （A ）内切 （B ）相交 （C ）外切 （D ）相离10．六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体．如图甲，在平行四边形ABCD 中，有AC 2+BD 2=2（AB 2+AD 2），那么在图乙所示的平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，22221111AC BD CA DB +++等于（ ）A ．2（AB 2+AD 2+21AA ）B ．3（AB 2+AD 2+21AA ）C ．4（AB 2+AD 2+21AA ）D ．4（AB 2+AD 2）11．一直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的半径为（ ） A ．212B ．6C ．7D ．3 12．若一个四棱锥底面为正方形, 顶点在底面的射影为正方形的中心, 且该四棱锥的体积为9,当其外接球的体积最小时, 它的高为（ ）A ．3B ．22C ．23D ．33二、填空题：共4题 每题5分 共20分13．已知矩形ABCD 的顶点都在半径为R 的球O 的球面上，且6,23AB BC ==,棱锥O ABCD -的体积为83，则R = ________．14．直线y kx =与圆()()22214x y -++=相交于,A B 两点，若23AB ≥，则k 的取值范围是______． 15．过点P （1，2）且在Ｘ轴，Ｙ轴上截距相等的直线方程是 .16．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3cm ，AD ＝2cm ，AA 1＝1cm ，则三棱锥B 1—ABD 1的体积___________cm 3.三、解答题：共8题 共70分17．如图，已知四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面A B C D ，底面A B C D 是直角梯形，且1,2,2,45,90===︒=∠︒=∠PA AB CB ABC DAB ．（1）求证：⊥BC 平面PAC ；（2）若M 是PC 的中点，求三棱锥MAD C -的体积．18．如图，在三棱锥ABC P -中，PAB ∆和CAB ∆都是以AB 为斜边的等腰直角三角形.（1）求证：PC AB ⊥； （2）若22==PC AB ，求三棱锥ABC P -的体积.19．如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，090BCD ∠=，2,4BC CD AB ===，//EC FD ,FD ⊥底面ABCD ，M 是AB 的中点.（1）求证：平面CFM ⊥平面BDF ；（2）若点N 为线段CE 的中点，2,3EC FD ==，求证：//MN 平面BEF .20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面A B C D ，,,1AD AB DC AB PA ⊥= ，2,2AB PD BC ===．（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面PCD ；（Ⅱ）试在棱PB 上确定一点E ，使截面AEC 把该几何体分成的两部分PDCEA 与EACB 的体积比为2:1；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角E AC P --的余弦值． 21．已知动点满足方程．（Ⅰ）求动点P 到直线距离的最小值；（Ⅱ）设定点，若点之间的最短距离为,求满足条件的实数的取值．22．已知圆C ：4)4()3(22=-+-y x ，直线l 过定点(1,0)A ． （Ⅰ）若l 与圆C 相切，求直线l 的方程； （Ⅱ）若l 与圆C 相交于P 、Q 两点，且，求直线l 的方程．23．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，090ABD ∠=，EB ⊥面ABCD ，//EF AB ，2AB =，3EB =，1,13EF BC ==，且M 是BD 的中点.（1）求证: //EM 平面ADF ； （2）求二面角D AF B --的大小.24．如图所示，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，BC=2AB=4，221=AA，E 是A 1D 1的中点．（Ⅰ）在平面A1B1C1D1内，请作出过点E与CE垂直的直线l，并证明l⊥CE；（Ⅱ）设（Ⅰ）中所作直线l与CE确定的平面为α，求点C1到平面α的距离．参考答案 1． B 【解析】试题分析：由题球心O 到平面α的距离为2，可得；221(2)3R =+=，则球的表面积为；4312S ππ=⨯⨯=． 考点：球的截面性质及表面积． 2．C 【解析】试题分析：由三视图，则左（侧）视图可推知底面的高，俯视图可推知底面再结合主视图，则三棱锥的底面积为；1222⨯⨯底面＝＝1S ， 而三棱锥的高为；2213-h ＝＝ 得：131333⨯⨯＝＝V 考点：三视图与几何体的体积． 3．C 【解析】试题分析：由三视图，则左（侧）视图可推知底面的高，俯视图可推知底面再结合主视图，则三棱锥的底面积为；1222⨯⨯底面＝＝1S ， 而三棱锥的高为；2213-h ＝＝ 得：131333⨯⨯＝＝V 考点：三视图与几何体的体积． 4．D 【解析】试题分析：从三视图所提供的图形信息和数据信息可知:该几何体是一个三棱锥,其中SBC SAB ∆∆,都是直角三角形,且2==AB SB ,故22221=⨯⨯=∆SAB S ;又1,2==OB CO ,故514=+=BC ,所以55221=⨯⨯=∆S B C S ,所以该几何体的四个面中是直角三角形的所有面积之和是52+.故应选D.BCAS222O考点：三视图的识读和理解及运用. 5．D 【解析】试题分析：设x AB =,则21213,22x BB x OB -==,所以直四棱柱的体积为22213x x V -=,令t x =-2213,则2226t x -=,则t t t t V 62)26(32+-=-=,故)1)(1(6662/+--=+-=t t t V ,所以当1=t 时,即2=x 时,体积V 最大.故应选D.考点：导数的知识、四棱柱和球等知识的综合运用. 6．C 【解析】试题分析：从三视图所提供的图形信息和数据信息可知:该几何体是一个三棱锥如上图,其中SBC SAB ∆∆,都是直角三角形,且2==AB SB ,故22221=⨯⨯=∆SAB S ;又1,2==OB CO ,故514=+=BC ,所以55221=⨯⨯=∆SBC S ,所以该几何体的四个面中是直角三角形的所有面积之和是52+.故应选C. BCAS222O考点：三视图的识读和理解及运用. 7．C 【解析】试题分析：从三视图可以看出这是一个正方体上的一个四面体,如图,其中正MNP ∆的边长为24,其外接圆的半径3241=r ,同样正111P N M ∆的外接圆的半径是3222=r ,由球的对称性可知球心O 必在正方体的对角线AC 上,且934,9382211====h CO h AO ,该球经过六个点111,,,,,P N M P N M ,设球心O到平面111P N M ∆的距离为1d ;球心O 到平面MNP ∆的距离为2d ,而两个平面MNP 和111P N M 之间的距离为2121334)(34d d h h d +==+-=,则由球心距、垂面圆半径之间的关系可得2222221212,r d R r d R +=+=,所以822212122=-=-r r d d ,即82122=-d d ,又33421=+d d ,将其代入82122=-d d 可得3212=-d d ,由此可得3352=d ,所以113333832522222==+=+=r d R ,所以外接球的半径11=R ,应选C.OO 2O 1P 1N 1M 1C APNM考点：三视图的识读和理解及几何体体积的计算.【易错点晴】本题以网格纸上的几何图形为背景,提供了一个三棱锥的几何体的三视图,要求求其外接球的半径,是一道较为困难的难题.难就难在无法搞清其几何形状,只知道是一个三棱锥（四面体）是没有任何用的.通过仔细观察不难看出这是一个正方体上的一个四面体,如图,正MNP ∆的边长为24,其外接圆的半径3241=r ,同样正111P N M ∆的外接圆的半径是3222=r ,由球的对称性可知球心O 必在对角线上,且经过六个点111,,,,,P N M P N M ,设球心O 到平面111P N M ∆的距离为1d ；球心O 到平面MNP ∆的距离为2d ,而两个平面MNP 和111P N M 之间的距离为2121334)(34d d h h d +==+-=,则由球心距垂面圆半径之间的关系可得2222221212,r d R r d R +=+=,所以822212122=-=-r r d d ,即82122=-d d ,又33421=+d d ,将其代入82122=-d d 可得3212=-d d ,由此可得3352=d ,所以113333832522222==+=+=r d R ,所以外接球的半径11=R ,其中计算21,h h 时可用等积法进行. 8．B 【解析】试题分析：因圆心到直线3y x b =+的距离是10||b d =,半弦长为1,故21012=+b ,解之得10±=b ,应选B.考点：直线与圆的位置关系. 9．B 【解析】试题分析：因两圆心距,而,故两圆的位置关系相交,选B.考点：两圆的位置关系. 10．C 【解析】试题分析：因在平面上有结论)(22222AD AB BD AC +=+,故由类比推理在空间应有结论22221111AC BD CA DB +++=)(42122AA AD AB ++,故应选C ．考点：类比推理及运用．【易错点晴】本题是一道属于合情推理的类比推理题,类比的内容是二维平面与三维空间之间的数量关系的类比．类比推理的内涵是指运用两个或两类对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其它方面也相似或相同的推理方法．本题就是平面上的平行四边形的边长和对角线之间的关系和空间平行六面体的的棱长和对角线之间的这种相似进行类比推理的．解答时,平方关系照样保留,将系数2进行升格为4,将两条对角线升格为三条对角线进行类比推理,从而使得问题巧妙解． 11．A 【解析】试题分析：球O 的半径满足2223321()(3)232R R =+⋅⇒=考点：外接球【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解. 12．A 【解析】试题分析：设四棱锥底面正方形边长为a ，四棱锥高为h ，外接球半径为R ，则222219,(h R )32a ha R ==-+，所以2227272,224h hR h R h h =+=+，因为3127=0322R h h '=-⇒=，所以3h =时R 取唯一一个极小值，也是最小值，即外接球的体积最小，因此选A.考点：导数实际应用【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f′（x ）＞0或f′（x ）＜0求单调区间；第二步：解f′（x ）＝0得两个根x 1、x 2；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小． 13．4 【解析】试题分析：由题可得四棱锥的侧棱为R ，则162383,23V h h =⨯⨯⨯==，再由；222(23)4R =+=．考点：多面体与外接球． 14．4,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：由于圆的半径为2，若23AB ≥，则圆心)1,2(-到直线y kx =的距离d 不大于1，因此11122≤++=k k d ，034≤≤-k ，填4,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 考点：直线与圆的位置关系..15．2030x y x y -=+-=或. 【解析】试题分析：当直线过原点时，可设直线的方程为y kx =，代入点P （1，2）可得2k =，故方程为2y x =，化为一般式可得20x y -=；当直线不过原点时，可设直线的方程为1x ya a +=， 代入点P （1，2）可得3a =，故方程为133x y+=，化为一般式可得30x y +-=；综上可得所求直线的方程为：2030x y x y -=+-=或. 故答案为：2030x y x y -=+-=或. 考点：直线的截距式方程． 16．1 【解析】试题分析：111111312132B ABD D ABB V V --==⨯⨯⨯⨯=考点：棱锥体积17．（1）见解析；（2）112【解析】试题分析：（1）证线面垂直可回到判定定理（化为线与两条相交直线垂直来证）．结合条件⊥PA 平面ABCD及所给的边和角的条件可通过解三角形证得AC BC ⊥，从而证出；另外也可建立空间坐标系，运用向量运算来解决．（2）由题求三棱锥MA D C -的体积，结合条件及观察图形，可运用等体积法，化为求C M AD MA C DV V--=，则底面积和高易算出，可求得． 试题解析：（1）证明： ⊥PA 平面ABCD ，∴⊥PA BC 在ABC ∆中，02,2,45AB BC ABC ==∠=依余弦定理有：22202(2)222cos452AC =+-⨯⨯⨯=，2AC ∴=又222224AC BC AB +=+==，090ACB ∴∠=，即AC BC ⊥又PA AC A ⋂=，BC ∴⊥平面PAC（2）解：取AC 的中点O ，连结MO , M 是PC 的中点，∴MO ∥PA⊥PA 平面ABCD ，MO ∴⊥平面ABCD即MO 为三棱锥M ACD -的高， 且1122MO PA == 由（1）知：AC BC ⊥，∴090ACB ∠=，045CAB ∴∠=又090DAB ∠=，AB ∥CD ，0090,45ADC DAC ACD ∴∠=∠=∠=12ACAD CD ∴=== ,11111222ACD S AD CD ∆∴=⋅=⨯⨯=11111332212C MAD M ACD ACD V V S MO --∆∴==⋅=⨯⨯=∴三棱锥MAD C -的体积为112【考点】（1）线面垂直的证明；（2）等体积法求几何体的体积． 18．（1）证明见解析；（2）246. 【解析】试题分析：（1）运用线面垂直的性质定理推证；（2）借助题设条件运用三棱锥的体积公式进行求解. 试题解析：（1）证明：取AB 中点G ，连结CG PG 、.∵PAB ∆和CAB ∆都是以AB 为斜边的等腰直角三角形，∴AB PG ⊥，AB CG ⊥， ∵G CG PG = ，⊂PG 平面PCG ，⊂CG 平面PCG ，∴⊥AB 平面PCG ∵⊂PC 平面PCG ，∴PC AB ⊥.（2）解：在等腰直角三角形PAB ∆中，2=AB ， G 为斜边AB 的中点，∴2221==AB PG ，同理得22=CG .∵22=PC ， ∴PCG ∆是等边三角形. ∴832322222160sin 21=⨯⨯⨯=⋅⋅=∆ CG PC S PCG . ∵⊥AB 平面PCG ， ∴2468323131=⨯⨯=⋅=∆-PCG ABC P S AB V . 考点：空间的直线与平面的位置关系等有关知识的综合运用． 19．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用面面垂直的判定定理求证；（2）运用线面平行的判定定理推证. 试题解析：（1）证明：∵FD ⊥底面ABCD ，∴FD MC ⊥， 连接DM ,∵//AB CD ，0,90DC BM BC BCD ==∠=，∴四边形BCDM 是正方形， ∴BD CM ⊥，∵DF CM ⊥，∴CM ⊥平面BDF ，∵CM ⊂平面CFM ，∴平面CFM ⊥平面BDF . （2）解：过N 作//NO EF 交DF 于O ，连接MO , ∵//EC FD ,∴四连形EFON 是平行四边形， ∵2,3,1EC FD EN ===,∴1OF =，则2OD =, 连接OE ，则////OE DC MB ，且OE DC MB ==,∴四边形BMOE 是平行四边形，则//OM BE ，从而//OM 平面BEF , 同理//ON 平面BEF ，又OM ON O = , ∴平面//OMN 平面BEF ，∵MN ⊂平面OMN ，∴//MN 平面BEF .考点：空间的直线与平面的平行、垂直等位置关系的推证方法及综合运用． 20．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）E 为PB 的中点；（Ⅲ）33【解析】试题分析：（Ⅰ）证明：∵,AD AB DC AB ⊥ ， ∴DC AD ⊥．∵PA ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ， ∴DC PA ⊥． ∵AD PA A = ， ∴DC ⊥平面PAD ． ∵DC ⊂平面PCD ， ∴平面PAD ⊥平面PCD ． （Ⅱ）解：作EF AB ⊥于F 点， ∵在ABP ∆中，PA AB ⊥， ∴EF PA ． ∴EF ⊥平面ABCD ． 设221,1,12ABC EF h AD PD PA S AB AD ∆==-==⋅=， 则1133E ABC ABC V S h h -∆=⋅=． ()12111113322P ABCD ABCD V S PA -+⨯=⋅=⨯⨯=．由:2:1PDCEA EACB V V =，得111:2:1233h h ⎛⎫-=⎪⎝⎭，解得12h =．12EF PA =，故E 为PB 的中点． （Ⅲ）解：连接FC 、FD ，FD 与AC 交于点O ，连接OE ，由（Ⅱ）可知EF ⊥平面ABCD ，所以EF AC ⊥． ∵ADCF 为正方形， ∴FO AC ⊥． ∵FO EF F = ，∴AC ⊥平面EFO ，故EO AC ⊥．∴EOF ∠是二面角E AC B --的平面角．由PA ⊥平面ABCD ，可知平面PAC ⊥平面ABCD ． ∴二面角E AC B --与平面角E AC P --互余．设二面角E AC P --的平面角为θ，则cos sin EOF θ=∠， 在Rt EOF ∆中，123,,222EF FO EO ===， 3cos sin 3EOF θ=∠=， 所以二面角E AC P --的余弦值为33． 考点：空间直线与平面的平行与垂直，二面角的求法.21．（Ⅰ）；（Ⅱ）或.【解析】 试题分析：（Ⅰ）先点到直线的距离公式建立函数,再用基本不等式求解；（Ⅱ）借助题设条件建立函数关系,再运用二次函数的知识求解. 试题解析：（Ⅰ）当且仅当时距离取得最小值（Ⅱ）设点（）, 则设（）,则,设（）对称轴为分两种情况: （1）时, 在区间上是单调增函数,故时, 取最小值∴,∴,∴（舍）（2）＞时,∵在区间上是单调减,在区间上是单调增,∴时, 取最小值∴,∴（舍）综上所述, 或考点：函数的图象和性质或基本不等式的综合运用．22．（Ⅰ）或；（Ⅱ）或.【解析】试题分析：（Ⅰ）对斜率的存在和不存在进行分类再运用点到直线的距离公式建立方程求解；（Ⅱ）借助题设条件运用点到直线的距离公式建立方程求解.试题解析：（Ⅰ）当斜率不存在时，方程x=1满足条件；当L1斜率存在时，设其方程是y=k（x-1）,则，解得，所以所求方程是x=1和3x-4y-3=0;（Ⅱ）由题意，直线斜率存在且不为0，设其方程是y=k（x-1）,则圆心到直线的距离d=，，此时k=1或k=7，所以所求直线方程是或.考点：直线与圆的位置关系及综合运用．【易错点晴】本题考查和检测是直线与圆的位置关系的基础知识和基本方法.求解时充分借助题设条件,运用了直线与圆相切的条件和直线与圆相交所截得的弦长的条件求出满足题设条件的直线的方程.需要强调的是:本题在设置时,特别注意到直线的点斜式的运用的条件问题,当直线的斜率存在时,可以运用直线的点斜式方程；若直线的斜率不存在,则不能运用直线的点斜式方程,但直线的方程还是存在的,即是这是许多学生容易忽视的地方.60.23．（1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，（1）求出面ADF 的法向量，利用MN 与法向量垂直，得到线面平行；（2）求出平面ADF 、平面EBAF 的一个法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角B AF D --的大小． 试题解析：因为EB ⊥平面ABD ，AB BD ⊥，故以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，由已知可得(0,0,0),(0,2,0),(3,0,0)B A D ,3(3,2,0),(0,0,3),(0,1,3),(,0,0)2C E F M -（1）3(,0,3),(3,2,0),(0,1,3)2EM AD AF =-=-=-,设平面ADF 的一个法向量是(,,)n x y z =，由00n AD n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得32030x y y z -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 令3y =，则(2,3,3)n =.又因为3(,0,3)(2,3,3)30302EM n ⋅=-⋅=+-=所以EM n ⊥，又EM ⊄平面ADF ，所以//EM 平面ADF .（2）由（1）可知平面ADF 的一个法向量是(2,3,3)n =，因为EB ⊥平面ABD ，所以EB BD ⊥，又因为AB BD ⊥，所以BD ⊥平面EBAF .故(3,0,0)BD =是平面EBAF 的一个法向量.所以1cos ,2BD n BD n BD n⋅==⋅，又二面角D AF B --为锐角， 故二面角D AF B --的大小为060.考点：（1）直线与平面平行判定；（2）利用空间向量求二面角. 【一题多解】（1）取AD 的中点N ，连接,MN NF ,在DAB ∆中，M 是BD 的中点，N 是AD 的中点，所以1//,2MN AB MN AB =, 又因为1//,2EF AB EF AB =，所以//MN EF 且MN EF =. 所以四边形MNFE 为平行四边形，所以//EM FN .又因为FN ⊂平面ADF ，EM ⊄平面ADF ，故//EM 平面ADF . 24．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）2. 【解析】试题分析：（Ⅰ）如图所示，连接11,B E C E ，则直线1B E 即为所求直线l .只需利用勾股定理证明11B E EC ⊥，1122B E C E ==，有2221111B E C E B C +=；（Ⅱ）如图所示，过1C 作1C F CE ⊥于F ，由（Ⅰ）知11B E C F ⊥，故1C F α⊥，在1ECC ∆中，1122EC CC ==，且11EC CC ⊥，所以1122C F EC ==. 试题解析：（Ⅰ）如图所示，连接B 1E ，C 1E ，则直线B 1E 即为所求直线l…2分 证明：∵在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，B 1E ⊂平面A 1B 1C 1D 1 ∴B 1E ⊥CC 1 …3分∵B 1C 1=2A 1B 1=4，E 是A 1D 1的中点，2211==∴E C E B∴2112121C B E C E B =+ ∴B 1E ⊥C 1E 又CC 1∩C 1E=C 1 ∴B 1E ⊥平面CC 1E ∴B 1E ⊥CE ，即l ⊥CE（Ⅱ）如图所示，连接B 1C ，则平面CEB 1即为平面α过点C 1作C 1F ⊥CE 于F由（Ⅰ）知B 1E ⊥平面CC 1E ，故B 1E ⊥C 1F ∵C 1F ⊥CE ，CE∩B 1E=E∴C 1F ⊥平面CEB 1，即C 1F ⊥平面α∵在△ECC 1中，2211==CC EC ，且EC 1⊥CC 1 ∴C 1F=221==EC∴点C1到平面α的距离为2 （此题也可用等体积法解答：其中411=∆ECBS，221=CC，32811=-ECBCV，241=∆ECBS）考点：立体几何证明平行、垂直与求体积.。
河北省正定中学高二数学上学期第二次月考(本部联考)试
2015—2016学年度第一学期高二年级第二次联考数学试卷试卷Ⅰ（共 60 分）一、选择题（本题共12个小题,每题只有一个正确答案 ，每题5分，共60分） 1.已知集合{}{}2|03,|540,M x x N x x x =<<=-+≤则M N =I （ ）A. {}10|≤<x x B ．{}31|<≤x x . C ．{}40|≤<x x D. {}40|≥<x x x 或 2.双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =（ ） A ．14-B ．4-C ．4D ．143.设命题p ：函数()1x f x e-=在R 上为增函数；命题q ：函数()()cos f x x π=+为奇函数．则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ⌝∨C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∧⌝4.某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ ）A ．24 B. 18C ．16D ．125.已知具有线性相关的两个变量,x y 之间的一组数据如下：且回归方程是0.95 2.6y x ∧=+，则t =（ ）A ．2.5B ．3.5C ．4.5D ．5.5 6.已知),0(πα∈，且1sin cos 2αα+=，则α2cos 的值为（ ） A ．47±B ．47 C ．47- D ．43-7.已知椭圆2211216x y +=，则以点()1,2M -为中点的弦所在直线方程为（ ）． A ．38190x y -+= B ．38130x y +-= C ．2380x y -+= D ．2340xy +-=8.如图给出的是计算11112462014++++K 的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（ ）A ．1006i ≤B ．1007i ≤C ．1007i >D ．1006i >9.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，右顶点为A ，上顶点为B ，若椭圆C 的中心到直线AB 的距离为12||6F F ，则椭圆C 的离心率e =（ ）A ．2 B ．2 C ．3 D ．310.设函数2()2f x x x m =-+，m ∈R ．若在区间[]2,4-上随机取一个数x ，()0f x <的概率为23，则m 的值为（ ） A ．2 B ．2- C ．3 D ．3-11.设,a b R ∈，则“a b >”是“a a b b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12.已知椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上一点A 关于原点的对称点为点,B F 为其右焦点，若BF AF ⊥，设α=∠ABF ，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,6ππα，则该椭圆离心率e 的取值范围为（ ）A ．]13,22[- B ．)1,22[ C ． D ．]36,33[试卷Ⅱ（共 90 分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.由命题“,x R ∃∈使210x mx ++<”是假命题，则实数m 的取值范围是 ．14.已知0a b >>，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C 的离心率之积为32，则2C 的渐近线方程为 ．15.已知向量2a b ==r r ，a r 与b r 的夹角为3π．若向量m u r 满足1m a b --=u r r r ，则m u r 的最大值是 ．16. 已知球O 是棱长为12的正四面体S ABC -的外接球，,,D E F 分别是棱,,SA SB SC 的中点，则平面DEF 截球O 所得截面的面积是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。