关于一类函数及其分数阶微积分函数的分形维数

- n n= 1
= [ 0 , T ] , > 1, 兹函数 , 则
! 1, f 是以 T 为周期的李卜希
dim H ! ( W , I ) = dim K ! ( W , I ) = dim B ! ( W , I ) = 1. 证明
- ( N + 1)
对充分小的 ∀ > 0, 存在自然数 N , 使得
#
( 1- ) n
D( t, 1 - # ,
n
),
0 < #< 1 .
n
+
n= 1 N - n n= 1 n= N+ 1
- n
| f(
n
(t + ∀ )) - f ( t ) | ∃
n= N+ 1
且 F( t, v , a) 和 D( t, v, a) 有如下结论。
C n ∀+ 2 max | f ( t) | t# I
( 1- ) n) n= N+ 1
) |+
n
| D( t + h, 1 - # ,
n
)-
I1 ∃
n= 1
( 1- ) n
C 4( 1 - # ) h1- # ∃
1- #
D( t, 1 - # , 当 = 1 时,
) | = ∋ I 1 + I 2. I2 ∃
n= N+ 1
C8 ( 1- # )h
( 1- ) n
- N
< ∀∃
, 对 t # [ 0, 1- ∀ ] , 有如下情形。
f(
n
t ) 的分数阶微分函数作了 讨论, 其中 f
当 = 1 时, | W(t + ∀ ) - W ( t) | ∃
N -n n= 1
为 阶 H older 连续函数。本文在前人工作的基础 上, 将 f 扩展为一般的李卜希兹连续周期函数 , 研 究了 !1 时函数 W ( t ) =
1
CN ∀+ I 上的振幅 , 用 故 因而
2 max | f ( t) | t# I 11-1 -1
sup
| f ( t ) - f ( u) |
2
-1 ln∀ ∀+ ln
表示连 续函数 f : I ∀ R 在 [ t1 , t 2 ]
2 max | f ( t) | t# I
!( f , I ) = { ( t , f ( t ) ) : t # I } 表示 f 在 I 上的图像。为方便起见, 文中 C, C i 表示 某个正常数 , 各种形式的 Ci ( v) 表示仅跟 v 有关的
关于一类函数及其分数阶 微积分函数的分形维数
魏毅强, 李本秀
( 太原理工大学 理学 院 , 太原 030024) 摘 要 : 将经典的 Weiers tr as s 型函数中的函数项扩展为一般的李卜希兹连续周期函数 , 在指
数参数大于等于 1 的情况下讨论了这类函数及其分数阶微积分函数, 得出原函数及其分数阶积分 函数图像的分形维数均为 1, 并给出其分数阶微分函数图像维数的上下界估计。同时, 利用 M at lab 绘制出不同 值的函数图像 , 使结果更直观 。 文献标识码: A 关键词 : 分数阶微积分; H ausdorf f 维数 ; K 维数; Bo x 维数 中图分类号 : O 174. 12
* 收稿日期 : 2009 12 16
∀ ∃ C1 ∀ ln ∀ .
- 1 -1
R W [ i∀ , ( i + 1) ∀ ] ∃ C1 ∀ ln ∀ .
作者简介 : 魏毅强 ( 1961- ) , 男 , 山西太谷人 , 教授, 主要从事分形几何与动力系统的研究 , ( Tel) 13513636491
n= 1 - n n= 1 - n
| F( t + h, v, a) - F( t , v, a) | ∃ C 2 ( v ) a- v , f ( nt ) = | D( t + h, v, a) - D( t , v, a) | ∃ C 4 ( v ) h , | D( t + h, v, a) - D( t , v, a) | ∃ C 5 ( v ) a- v .
第 41 卷 第 3 期 2010 年 5 月
*
太 原 理 工 大 学 学 报 JOU R N AL OF T A IY U A N U NIV ERSIT Y O F T ECH NO L OGY
V ol. 41 N o. 3 M ay 2010
文章编号: 1007 9432( 2010) 03 0308 04
函数图像的分形维数是分形几何研究中一个非 常重 要 并 且 在 当 前 十 分 活 跃 的 课 题。 经 典 的 Weierstr ass 型函数作为分形函数的一个典型例子 被 广 泛 研 究 , 如 文 献 [ 1 ] 讨 论 了 W( t) =
- n n= 1
正常数。
1
结论及其证明
定理 1 设 W ( t) =
第3期
-1 -2 -1
魏毅强等 : 关于 一类函数及其分数阶微积分函数的分形维数
-1 -1
309
N ∀ ∃ 2∀ + ∀ C1 ∀ ln ∀ ∃ C 2 ∀ ln ∀ . 当 > 1 时, | W ( t+ ∀ ) - W ( t) | ∃
N
g( t ) = D ( W ( t ) ) =
n= 1
v
F ( t, v,
n
) ( 0 < v < 1) ,
310
太原理工大学学报
第 41 卷
定理 3 设 > 1, 0< v , # < 1, !1, 则 1) m( t) 在 I 上连续 ; 2) g( t) 在 I 上连续。 证明 易证 | m( t) | =
n= 1 - n
利用定理 2 及以下两个级数的收敛性 , ∃
所以
1 ∃ dim H ! ( g , I ) ∃ dim K ! ( g, I ) ∃ dim B ! ( g, I ) ∃ 1 + # .
参考文献:
[ 1] [ 2] [ 3] 何国龙 . 关于一类 W eierst ras s 函数的分形维数 [ J] . 浙江师范大学学报 ( 自然科学版 ) , 2003, 26( 4) : 330 332. 张慧琛 . 关于一类分形函数的分形阶微积分及其维数 [ D ] . 太原 : 太原理工大学 , 2007. Y ao K , Liang Y S, Fang J X. T he f ract al dimen sions of g raph s of t he W eyl M archaud fract ional derivat ive of t he W eierst ras s t ype f unct ion [ J] . Chaos, Solit ons and Fract als, 2008, 35: 106 115.
.
| g( t + h) - g( t ) | ∃ I 1 + I 2 ∃
由上计盒维数的定义知 , 当 !1 时 dim B ! ( g, I ) ∃ 1 + # .
第3期
魏毅强等 : 关于 一类函数及其分数阶微积分函数的分形维数
311
由定理 3 知 g( t) 连续, 故有 dim H ! ( g, I) !1. 又 因为 dim H ! ( g, I ) ∃ dim K ! ( g, I ) ∃ dim B ! ( g, I ) ,
D( t , v, a) = D- v f &( at ) = 1 ! ( v)
% 1 ( t- x) ! ( v)%
0 - n
x v- 1 f &( a( t - x ) ) d x = 0
v- 1
定理 2 设 0< v < 1, a> 1 , t # I = [ 0, T ] , 0< h< 1, 有 | F ( t, v, a) | ∃ 其中 MT , ! ( v + 1)
∃
C 3 ∀+ 即 故
2m ax | f ( t) | t# I
∀ ∃ ( C 3 + C 4 ) ∀= C5 ∀ . 1R W [ i∀, ( i + 1) ∀ ] ∃ C5 ∀ ,
- 1 N ∀ ∃ C6 ∀ .
由上计盒维数的定义知, 当 !1 时, sup dim B ! ( W, I ) = lim ∀∀ 0 因为 , 当 !1 时, | W( t) | =
(# - 1) ( N+ 1)
)
# -1
∃ C 10 ( 1 - # )h
.
=
从而
| g( t + h) - g( t) | ∃ I 1 + I 2 ∃ ( C8 ( 1 - # ) + C 10 ( 1 - # ) )h
1- #
C5 ( 1 - # ) -1 1- # 故
∃ C7 ( 1 - # ) h1- #,
,nLeabharlann C 5( 1 - # )(
(# - )n n= N+ 1
)
# -1
=
1- # ln h- 1 4 C (1- # )h = I1 ∃ ln
C6 ( 1 - # )h I2 ∃
n= N+ 1
1- #
lnh ,
n
-1
C5 ( 1 - # ) C9 ( 1 - # )h
-#
∃
1- #
C5 ( 1 - # )(
F ( t , v, <
n
)
MT v ! ( v + 1) | g( t ) | =
n= 1
- n n= 1 ( 1- ) n
,
n
D ( t , 1- # , < .
) ∃
C 1 ( v)
n= 1
(# - )n
在以上讨论的基础上给出 W ( t ) 的分数阶微积 分函数 m( x ) 和 g( x ) 的图像的分形维数的估计。 为了给分数阶微分后函数一个更直观的认识 , 以 f ( t ) = sint 为例给出不同 值时的图像 , 见图 2. 定理 4 若 m( t ) 为 W ( t ) 的 v 阶分数阶积分 , 0< v < 1, 则有 1 ∃ dim H ! ( g, I ) = dim K ! ( m, I ) = dim B ! ( m, I ) = 1. 证明 结合定理 2 的结论 , 用类似定理 1 的证 明方法易证。 定理 5 若 g( t ) 为 W ( t ) 的 #阶分数阶微分, 0< # < 1 , 则有 1 ∃ dim H ! ( g, I ) ∃ dim K ! ( g, I ) ∃ dim B ! ( g, I ) ∃ 1 + # . 证明 N 使得 对任意给定的 0< h < 1, 总存在自然数 < h∃ , 于是由定理 2 得 | g( t + h) - g( t) | ∃
n= 1 - n
sin ( t ) 函数图像的分形维数。同时 , 分形理
n
f ( nt ) , 其中 t # I
论的发展与介入为分数阶微积分的发展注入了新的 生机 , 近年来分数阶微积分函数亦引起了人们的广 泛关注, 而其图像的分形维数及其与原函数图像分 形维数之间的关系更是成为分形几何中的一大研究 热点 , 如文献[ 2 ] 对分数阶微积分的有关性质作了较 详 尽 的 研 究 , 文 献 [ 3 ] 则 对 函 数 W( t) =
-v v
f &( ax ) dx .
则 W ( t) =
n= 1
f(
n
t ) 的 R L 分数阶微积分函数
| D( t, v , a) | ∃ C 1 ( v) a . M = max | f ( t) | ; t# I | F&( t , v, a) | ∃ C 3 ( v) a1- v ;
分别表示如下: m( t) = D - v ( W ( t ) ) = D- v
- N - ( N + 1)
N ( 1- ) n n= 1
图2
= 1 5, #= 0 9 时不同 值的 g ( t) 的图像
| D( t + h, 1 - # ,
n
n
)-
C6 ( 1 - # ) h1- #ln h- 1 + C 7 ( 1 - # ) h 1- #. 当 > 1 时,
N
D( t, 1 - # ,
-v
T = - f ( t) , 2
F ( t, v, a) = D f ( at ) = 1 t v- 1 x f ( a( t - x ) ) d x = !( v) 0
% 1 (t - x) !( v)%
t 0 t t
v- 1
f ( ax ) d x ,
图1 = 1 5 时不同 值的 W ( t ) 图像
n= 1 - n
[f ( [f(
n
(t + ∀ )) - f ( t )] +
n
f ( nt ) 及其分数
n= N+ 1
-n
n
(t + ∀ )) - f ( ∀∃ C
n
t) ]
∃
阶微积分函数的诸多性质及其分形维数。 本文要用到的记号如下: 用 Rf [ t 1 , t 2 ] =
t < t, u< t
n= 1 - n
ln N ∀ ∃ 1. - ln∀ t) ∃ ,
f( <
n
m ax | f ( t ) | t# I
- n n= 1
所以 W ( t ) 在 I 上连续, 从而 dim H ! ( W , I ) ! 1 . 又因为 dim H ! ( W , I ) ∃ dim K ! ( W , I ) ∃ dim B ! ( W , I ) , 所以 dim H ! ( W , I ) = dim K ! ( W , I ) = dim B ! ( W , I ) = 1. 为便于对此函数有个更直观的认识, 以 f ( t) = sin t 为例给出不同 值时 W ( t ) 的图像, 见图 1. 若满足定理 1 条件的 f # C 1 且 f ( 0) = f ( T ) = 0 , f t + 记