2016-2017学年江苏省无锡市天一中学高一(上)期末数学试卷
江苏省无锡市天一中学高一上学期期末数学试卷 Word版含解析
2015-2016学年江苏省无锡市天一中学高一（上）期末数学试卷一、填空题：每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上． 1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={2，3}，B={3，4}，则（∁U A ）∩（∁U B ）= ．2．已知向量，若，则实数m= ．3．已知，3sin2α=2cos α，则cos （α﹣π）= ．4．函数f （x ）=（sinx ﹣cosx ）2的最小正周期为 ．5．设α∈，则使幂函数y=x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为 ．6．若向量，满足||=，||=1， •（+）=1，则向量，的夹角的大小为 ．7．已知﹣＜θ＜，且sin θ+cos θ=，则tan θ的值为 ．8．设且，则f （f （2））= ．9．设函数f （x ）=3|x|，则f （x ）在区间（m ﹣1，2m ）上不是单调函数，则实数m 的取值范围是 ．10．已知，，则tan （β﹣2α）等于 ．11．函数f （x ）=2sin （πx ）﹣，x ∈[﹣2，4]的所有零点之和为 ．12．已知函数f （x ）=log a（0＜a ＜1）为奇函数，当x ∈（﹣1，a ]时，函数f （x ）的值域是（﹣∞，1]，则实数a +b 的值为 ． 13．已知函数（a ≠0，b ∈R ，c ＞0），g （x ）=m [f （x ）]2﹣n （mn ＞0），给出下列三个命题：①函数f （x ）的图象关于x 轴上某点成中心对称；②存在实数p 和q ，使得p ≤f （x ）≤q 对于任意的实数x 恒成立； ③关于x 的方程g （x ）=0的解集可能为{﹣4，﹣2，0，3}． 则是真命题的有 ．（不选、漏选、选错均不给分） 14．在斜三角形△ABC 中，A=45°，H 是△ABC 的垂心，λ=+，则λ= ．二、解答题：本大题共6题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．设集合A={2，3，a 2+2a ﹣3}，B={x ||x ﹣a |＜2}（1）当a=2时，求A∩B；（2）若0∈A∩B，求实数a的值．16．已知向量=（4，5cosα），=（3，﹣4tanα）（1）若∥，试求sinα；（2）若⊥，且α∈（0，），求cos（2α﹣）的值．17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）图象上两个相邻的最值点为（，2）和（，﹣2）（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在区间（0，）上的对称中心、对称轴；（3）将函数f（x）图象上每一个点向右平移个单位得到函数y=g（x），令h（x）=f（x）•g（x），求函数h（x）在区间（﹣，0）上的最大值，并指出此时x的值．18．已知A、B两地相距2R，以AB为直径作一个半圆，在半圆上取一点C，连接AC、BC，在三角形ABC内种草坪（如图），M、N分别为弧、弧的中点，在三角形AMC、三角形BNC上种花，其余是空地．设花坛的面积为S1，草坪的面积为S2，取∠ABC=θ．（1）用θ及R表示S1和S2；（2）求的最小值．19．已知函数f（x）=1+log2x，g（x）=2x．（1）若F（x）=f（g（x））•g（f（x）），求函数F（x）在x∈[1，4]的值域；（2）令G（x）=f（8x2）f（）﹣kf（x），已知函数G（x）在区间[1，4]有零点，求实数k的取值范围；（3）若H（x）=，求H（）+H（）+H（）+…+H（）的值．20．对于定义在R上的函数f（x），定义同时满足下列三个条件的函数为“Z函数”：①对任意x∈（﹣∞，a]，都有f（x）=C1；②对任意x∈[b，+∞），都有f（x）=C2；③对任意x∈（a，b），都有（f（x）﹣C1）（f（x）﹣C2）＜0．（其中a＜b，C1，C2为常数）（1）判断函数f1（x）=|x﹣1|﹣|x﹣3|+1和f2（x）=x﹣|x﹣2|是否为R上的“Z函数”？（2）已知函数g（x）=|x﹣2|﹣，是否存在实数m，使得g（x）为R上的“Z函数”？若存在，求实数m的值；否则，请说明理由；（3）设f（x）是（1）中的“Z函数”，令h（x）=|f（x）|，若h（2a2+a）=h（4a），求实数a的取值范围．2015-2016学年江苏省无锡市天一中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={2，3}，B={3，4}，则（∁U A）∩（∁U B）={1} ．【分析】根据交集与补集的定义，进行化简与运算即可．【解答】解：全集U={1，2，3，4}，集合A={2，3}，∴∁U A={1，4}，B={3，4}，∴∁U B={1，2}，∴（∁U A）∩（∁U B）={1}．故答案为：{1}．2．已知向量，若，则实数m=﹣1．【分析】先将向量，表示出来，再由二者共线即可得到答案．【解答】解：由题意知，=（1，3）﹣（0，1）=（1，2）=（m，m）﹣（0，1）=（m，m﹣1）∵∴存在实数λ使得即（1，2）=λ（m，m﹣1）解得，λ=﹣1，m=﹣1故答案为：﹣13．已知，3sin2α=2cosα，则cos（α﹣π）=．【分析】由条件利用二倍角公式求得sinα=，再利用同角三角函数的基本关系求出cosα的值，再利用诱导公式求出cos（α﹣π）的值．【解答】解：∵，3sin2α=2cosα，∴6sinα•cosα=2cosα，解得sinα=，∴cosα=﹣．故cos（α﹣π）=cos（π﹣α）=﹣cosα=，故答案为．4．函数f（x）=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为π．【分析】化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，然后利用周期公式求出函数的周期．【解答】解：函数f（x）=（sinx﹣cosx）2=1﹣2sinxcosx=1﹣six2x；所以函数的最小正周期为：T=，故答案为：π．5．设α∈，则使幂函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为{1} ．【分析】分别验证α取不同的值时，函数y是否满足题意即可．【解答】解：当α=﹣1时，函数y=x﹣1的定义域为{x|x≠0}，不满足题意；当α=1时，函数y=x的定义域为R，且为奇函数，满足题意；当α=时，函数y=的定义域为{x|x≥0}，不满足题意；当α=时，函数y=x﹣1的定义域为R，且为偶函数，不满足题意；综上，满足题意的所有α值为{1}．故答案为：{1}．6．若向量，满足||=，||=1，•（+）=1，则向量，的夹角的大小为．【分析】先由已知条件求出•=﹣1，代入两个向量的夹角公式求出cosθ的值，结合θ的范围求出θ值．【解答】解：设，的夹角为θ．∵•（+）=1，∴+•=1，又∵||=，∴•=﹣1．∴cosθ===﹣．又∵0≤θ≤π，∴θ=．故答案为．7．已知﹣＜θ＜，且sinθ+cosθ=，则tanθ的值为﹣．【分析】由条件判断tanθ＞﹣1，再根据sinθcosθ==﹣，求得tanθ的值．【解答】解：∵﹣＜θ＜，且sinθ+cosθ=，∴1+2sinθcosθ=，即sinθcosθ=﹣＜0，∴θ∈（﹣，0），则tanθ＞﹣1．再根据sinθcosθ===﹣，求得tanθ=﹣（舍去），或tanθ=﹣，故答案为：﹣．8．设且，则f（f（2））=6．【分析】通过，求出a的值，然后求出f（2），即可求解所求表达式的值．【解答】解：因为设且，所以，所以a=7，f（2）==log73，f（f（2））=f（log73）=2=6．故答案为：6．9．设函数f（x）=3|x|，则f（x）在区间（m﹣1，2m）上不是单调函数，则实数m的取值范围是（0，1）．【分析】由题意，函数f（x）=3|x|，关于y轴对称，在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，要使f（x）在区间（m﹣1，2m）上不是单调函数，则m﹣1＜0＜2m，解出即可．【解答】解：由题意，函数f（x）=3|x|，关于y轴对称，在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∵f（x）在区间（m﹣1，2m）上不是单调函数，∴m﹣1＜0＜2m，∴0＜m＜1．故答案为：（0，1）．10．已知，，则tan（β﹣2α）等于﹣1．【分析】把已知条件利用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简后，即可求出tanα的值，然后把所求式子中的角β﹣2α变为（β﹣α）﹣α，利用两角差的正切函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．【解答】解：由==2tanα=1，得到tanα=，又，则tan（β﹣2α）=tan[（β﹣α）﹣α]===﹣1．故答案为：﹣111．函数f（x）=2sin（πx）﹣，x∈[﹣2，4]的所有零点之和为8．【分析】设t=1﹣x，则x=1﹣t，原函数可化为g（t）=2sinπt﹣，由于g（x）是奇函数，观察函数y=2sinπt与y=的图象可知，在[﹣3，3]上，两个函数的图象有8个不同的交点，其横坐标之和为0，从而x1+x2+…+x7+x8的值．【解答】解：设t=1﹣x，则x=1﹣t，原函数可化为：g（t）=2sin（π﹣πt）﹣=2sinπt﹣，其中，t∈[﹣3，3]，因g（﹣t）=﹣g（t），故g（t）是奇函数，观察函数y=2sinπt（红色部分）与曲线y=（蓝色部分）的图象可知，在t∈[﹣3，3]上，两个函数的图象有8个不同的交点，其横坐标之和为0，即t1+t2+…+t7+t8=0，从而x1+x2+…+x7+x8=8，故答案为：8．12．已知函数f（x）=log a（0＜a＜1）为奇函数，当x∈（﹣1，a]时，函数f（x）的值域是（﹣∞，1]，则实数a+b的值为．【分析】根据函数f（x）为奇函数，建立方程关系即可求出b，然后根据分式函数和对数函数的单调性建立条件关系即可求出a．【解答】解：∵函数f（x）=log a（0＜a＜1）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）=0，∴log a+log a=log a•=0，即•=1，∴1﹣x2=b2﹣x2，即b2=1，解得b=±1．当b=﹣1时，函数f（x）=log a=f（x）=log a=log a（﹣1）无意义，舍去．当b=1时，函数f（x）=log a=log a为奇函数，满足条件．∵=﹣1+，在（﹣1，+∞）上单调递减．又0＜a＜1，∴函数f（x）=log a在x∈（﹣1，a）上单调递增，∵当x∈（﹣1，a）时，函数f（x）的值域是（﹣∞，1），∴f（a）=1，即f（a）=log a=1，∴=a，即1﹣a=a+a2，∴a2+2a﹣1=0，解得a=﹣1±，∵0＜a＜1，∴a=﹣1+，∴a+b=﹣1++1=，故答案为：．13．已知函数（a≠0，b∈R，c＞0），g（x）=m[f（x）]2﹣n（mn＞0），给出下列三个命题：①函数f（x）的图象关于x轴上某点成中心对称；②存在实数p和q，使得p≤f（x）≤q对于任意的实数x恒成立；③关于x的方程g（x）=0的解集可能为{﹣4，﹣2，0，3}．则是真命题的有①②．（不选、漏选、选错均不给分）【分析】①由f（x+b）+f（b﹣x）=0即可判断①的正误；②将（a≠0，b∈R，c＞0），转化为y（x﹣b）2﹣a（x﹣b）+cy=0有实数解，由△≥0即可判断②的正误；③由f（x）=（a≠0，b∈R，c＞0），g（x）=m[f（x）]2﹣n=0（mn＞0），可判断③的正误．【解答】解：对于①，∵f（x+b）+f（b﹣x）=+=0，∴函数f（x）的图象关于x轴上的点（b，0）成中心对称；故①正确；对于②，∵f（x）=（a≠0，b∈R，c＞0），∴y（x﹣b）2﹣a（x﹣b）+cy=0有实数解，∴△=a2﹣4cy2≥0，又a≠0，c＞0∴y2≤，∴﹣≤y≤．即存在实数p和q，使得p≤f（x）≤q对于任意的实数x恒成立；∴②正确；③∵f（x）=（a≠0，b∈R，c＞0），g（x）=m[f（x）]2﹣n=0（mn＞0），∴=（mn＞0），假设g（x）=0有四个根，令t=（x﹣b）2（t≥0），则x=b±，∴x1+x2=2b，同理x3+x4=2b，∴其解集{﹣4，﹣2，0，3}中﹣4+3≠﹣2+0，即x1+x2≠x3+x4=2b，∴③错误．故正确答案为：①②．14．在斜三角形△ABC中，A=45°，H是△ABC的垂心，λ=+，则λ=1．【分析】H是△ABC的垂心，可得tanA+tanB+tanC=．再利用向量的三角形法则、正切和差公式即可得出．【解答】解：∵H是△ABC的垂心，则tanA+tanB+tanC=．∴=+，∴=+=λ，则λ====tanA=1，故答案为：1．二、解答题：本大题共6题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．设集合A={2，3，a2+2a﹣3}，B={x||x﹣a|＜2}（1）当a=2时，求A∩B；（2）若0∈A∩B，求实数a的值．【分析】（1）当a=2时，分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．（2）由已知得a2+2a﹣3=0，解得a=1或a=﹣3，再分别把a=1和a=﹣3代入集合B验证，由此能求出a．【解答】解：（1）当a=2时，集合A={2，3，a2+2a﹣3}={2，3，5}，B={x||x﹣a|＜2}={x||x﹣2|＜2}={x|0＜x＜4}，∴A∩B={2，3}．（2）∵A={2，3，a2+2a﹣3}，B={x||x﹣a|＜2}，0∈A∩B，∴a2+2a﹣3=0，解得a=1或a=﹣3，当a=1时，B={x||x﹣1|＜2}={x|﹣1＜x＜3}，成立，当a=﹣3时，B={x||x+3|＜2}={x|﹣5＜x＜﹣1}，不成立．∴a=1．16．已知向量=（4，5cosα），=（3，﹣4tanα）（1）若∥，试求sinα；（2）若⊥，且α∈（0，），求cos（2α﹣）的值．【分析】（1）通过向量的平行，利用坐标运算，同角三角函数的基本关系式求出sinα即可．（2）通过向量的垂直，列出关系式，求出sinα，利用两角和的余弦函数，以及同角三角函数的基本关系式，求解所求表达式的值即可．【解答】解：（1）因为向量由得，所以15cosα+16tanα=0，即15﹣15sin2α+16sinα=0，解得：（舍）或．（2）由得，12﹣20cosα•tanα=0，∴，又，∴，，．17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）图象上两个相邻的最值点为（，2）和（，﹣2）（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在区间（0，）上的对称中心、对称轴；（3）将函数f（x）图象上每一个点向右平移个单位得到函数y=g（x），令h（x）=f（x）•g（x），求函数h（x）在区间（﹣，0）上的最大值，并指出此时x的值．【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数f（x）的解析式．（2）利用正弦函数的图象的对称性，求得函数f（x）在区间（0，）上的对称中心和对称轴．（3）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，利用三角恒等变换化简h（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数h（x）在区间（﹣，0）上的最大值以及此时x的值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）图象上两个相邻的最值点为（，2）和（，﹣2），∴A=2，==﹣=，∴ω=2，再根据五点法作图，可得2•+φ=，求得φ=，∴f（x）=2sin（2x+）．（2）令2x+=kπ，求得x=﹣，k∈Z，可得函数的图象的对称中心为（﹣，0），k∈Z，故函数f（x）在区间（0，）上的对称中心为（，0）．令2x+=kπ+，可得x=+，k∈Z，故函数的图象的对称轴为x=+，k∈Z，故函数f（x）在区间（0，）上的对称轴为x=．（3）将函数f（x）图象上每一个点向右平移个单位得到函数y=g（x）=2sin[2（x﹣）+]=2sin（2x﹣）=﹣2cos2x的图象，令h（x）=f（x）•g（x）=﹣4sin（2x+）•cos2x=﹣4[sin2x+cos2x]•cos2x=﹣2sin2xcos2x ﹣2cos22x=﹣sin4x﹣2•=﹣2sin（4x+）﹣1．在区间（﹣，0）上，4x+∈（﹣，），sin（4x+）∈[﹣1，），h（x）∈（﹣1，2]，当4x+=﹣时，h（x）取得最大值为2，此时，x=﹣．18．已知A、B两地相距2R，以AB为直径作一个半圆，在半圆上取一点C，连接AC、BC，在三角形ABC内种草坪（如图），M、N分别为弧、弧的中点，在三角形AMC、三角形BNC上种花，其余是空地．设花坛的面积为S1，草坪的面积为S2，取∠ABC=θ．（1）用θ及R表示S1和S2；（2）求的最小值．【分析】（1）先利用θ及R表示出AC、BC的长，进而求出S2；再设AB的中点为O，连MO、NO，则MO⊥AC，NO⊥BC，即可求出三角形AMC、三角形BNC的面积，进而求得S1；（2）先利用（1）的结论求出关于θ的表达式；再结合三角函数以及函数单调性的知识即可求出的最小值．【解答】解：（1）因为∠ABC=θ，则AC=2Rsinθ，BC=2Rcosθ，则．设AB的中点为O，连MO、NO，则MO⊥AC，NO⊥BC．设MO交AC与点E．则ME=MO﹣OE=R﹣=R﹣Rcosθ=R（1﹣cosθ）．所以：S△AMC=|AC|•|ME|=R2sinθ（1﹣cosθ）；同理可得三角形BNC的面积为R2cosθ（1﹣sinθ），∴S1=R2sinθ（1﹣cosθ）+R2cosθ（1﹣sinθ）=R2（sinθ+cosθ﹣2sinθcosθ）．（2）∵，令，则2sinθcosθ=t2﹣1．∴．∴的最小值为．19．已知函数f（x）=1+log2x，g（x）=2x．（1）若F（x）=f（g（x））•g（f（x）），求函数F（x）在x∈[1，4]的值域；（2）令G（x）=f（8x2）f（）﹣kf（x），已知函数G（x）在区间[1，4]有零点，求实数k的取值范围；（3）若H（x）=，求H（）+H（）+H（）+…+H（）的值．【分析】（1）若F（x）=f（g（x））•g（f（x）），先求出F（x）的表达式，结合一元二次函数的性质求函数F（x）在x∈[1，4]的值域；（2）先求出G（x）=f（8x2）f（）﹣kf（x）的表达式，利用换元法将函数G（x）进行转化求解；（3）若H（x）=，证明H（x）+H（1﹣x）=1，利用倒序相加法，即可求H（）+H（）+H（）+…+H（）的值．【解答】解：（1）若F（x）=f（g（x））•g（f（x））=（1+log22x）•=（1+x）•2×=2x（1+x）=2x2+2x=2（x+）2﹣当x∈[1，4]上函数F（x）为增函数，则函数的最大值为F（4）=40，函数的最小值为F（1）=4，则函数的值域为[4，40]．（2）令G（x）=f（8x2）f（）﹣kf（x）=（1+log28x2）（1+log2）﹣k（1+log2x）=（1+og28+log2x2））（1+log2x）﹣k（1+log2x）=（4+2log2x））（1+log2x）﹣k（1+log2x）=（log2x）2+4log2x+4﹣k﹣klog2x=（log2x）2+（4﹣k）log2x+4﹣k，设t=log2x，当x∈[1，4]，则t∈[0，2]，则函数等价为y=h（t）=t2+（4﹣k）t+4﹣k若函数G（x）在区间[1，4]有零点，则等价为y=h（t）=t2+（4﹣k）t+4﹣k在t∈[0，2]上有零点，即h（t）=t2+（4﹣k）t+4﹣k=0在t∈[0，2]上有解，即t2+4t+4﹣k（1+t）=0在t∈[0，2]上有解，即k===t+1++2，设m=t+1，则m∈[1，3]，则k=m++2≥2+2=2+2，当且仅当m=，即m=取等号，当m=1时，k=1+2+2=5，当m=3时，k=2+3+=＞5，∴2+2≤m++2≤，即2+2≤k≤，即实数k的取值范围是2+2≤k≤；（3）若H（x）=，则H（x）==，则H（x）+H（1﹣x）=+=+=+=1，设H（）+H（）+H（）+…+H（）=S，H（）+H（）+…H（）+H（）=S，两式相加得2015[H（）+H（）]=2S，即2S=2015，则S=．20．对于定义在R上的函数f（x），定义同时满足下列三个条件的函数为“Z函数”：①对任意x∈（﹣∞，a]，都有f（x）=C1；②对任意x∈[b，+∞），都有f（x）=C2；③对任意x∈（a，b），都有（f（x）﹣C1）（f（x）﹣C2）＜0．（其中a＜b，C1，C2为常数）（1）判断函数f1（x）=|x﹣1|﹣|x﹣3|+1和f2（x）=x﹣|x﹣2|是否为R上的“Z函数”？（2）已知函数g（x）=|x﹣2|﹣，是否存在实数m，使得g（x）为R上的“Z函数”？若存在，求实数m的值；否则，请说明理由；（3）设f（x）是（1）中的“Z函数”，令h（x）=|f（x）|，若h（2a2+a）=h（4a），求实数a的取值范围．【分析】（1）根据“Z函数”的定义，结合分段函数的性质作出图象进行判断即可．（2）结合“Z函数”的定义以及根式的性质利用配方法进行判断求解．（3）求出h（x）的解析式以及作出函数h（x）的图象，讨论变量的取值范围解方程即可．【解答】解：（1）f1（x）=|x﹣1|﹣|x﹣3|+1=，作出函数f1（x）的图象如图：当x≤1时，f（x）=﹣1，当x≥3时，f（x）=3，当1＜x＜3时，﹣1＜f（x）＜3恒成立，故f1（x）=|x﹣1|﹣|x﹣3|+1是R上的“Z函数”，f2（x）=x﹣|x﹣2|=，则当x≤2时，函数f（x）不是常数，不满足条件．②，故f2（x）=x﹣|x﹣2|不是否为R 上的“Z函数”．（2）若g（x）=|x﹣2|﹣是R上的“Z函数”，则满足g（x）=|x﹣2|﹣|x+a|的形式，若=|x+a|，则平方得mx+4=2ax+a2，即或，当时，g（x）=|x﹣2|﹣|x﹣2|=0，不满足条件③，故此时g（x）不是“Z函数”，当时，g（x）=|x﹣2|﹣|x+2|=，满足条件①②③，故此时g（x）是“Z函数”，故当m=4时，g（x）为R上的“Z函数”．（3）设f（x）是（1）中的“Z函数”，则f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣3|+1=，则h（x）=|f（x）|=，对应的图象如图：若h（2a2+a）=h（4a），则①，即，即﹣1≤a≤时，h（2a2+a）=h（4a）=1，②得即a≥1时，h（2a2+a）=h（4a）=3，③或，此时h（2a2+a）=h（4a）=1，即或，即a=或a=．④2a2+a=4a，即2a2=3a，得a=0或a=，当a=时，⑤2a2+a=﹣4a，即2a2=﹣5a，得a=0或a=﹣，综上﹣1≤a≤或a≥1或=或a=．2016年8月18日。
2016-2017年江苏省无锡市锡山区天一中学高一上学期数学期中试卷带答案(强化班)
2016-2017学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一（上）期中数学试卷（强化班）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．1．（5分）已知全集A={70，1946，1997，2003}，B={1，10，70，2016}，则A ∩B=．2．（5分）函数y=的定义域为．3．（5分）若函数f（x）是幂函数，且满足=，则f（2）的值为．4．（5分）集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a 的最大值为．5．（5分）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k、b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是小时．6．（5分）已知两个函数f（x）和g（x）的定义域和值域都是集合{1，2，3}，其定义如下表：则关于x的方程g（f（x））=x的解是x=．7．（5分）函数sgn（x）=，设a=+，b=2017，则的值为．8．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是．9．（5分）设f（x）为定义在R上的奇函数，f（1）=1，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=．10．（5分）已知函数f（x）=﹣x2+ax+b的值域为（﹣∞，0]，若关x的不等式的解集为（m﹣4，m+1），则实数c的值为．11．（5分）函数在[2，+∞）上是增函数，实数a的范围是（m，n]（m＜n），则m+n的值为．12．（5分）若函数f（x）=（4﹣x2）（ax2+bx+5）的图象关于直线对称，则f（x）的最大值是．13．（5分）已知函数，若函数g（x）=|f（x）|﹣a有四个不同零点x 1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则的最小值为．14．（5分）函数在R上的最大值为．二、解答题：本大题共6题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（见答题纸）15．（14分）已知集合A={x|2≤x≤11}，B={x|4≤x≤20}，C={x|x≤a}．（1）求A∪B与（∁R A）∩B；（2）若A∩C≠∅，求a的取值范围．16．（14分）设二次函数f（x）满足：对任意x∈R，都有f（x+1）+f（x）=2x2﹣2x﹣3（1）求f（x）的解析式；（2）若关于x的方程f（x）=a有两个实数根x1，x2，且满足：﹣1＜x1＜2＜x2，求实数a的取值范围．17．（14分）（1）（2）（3）已知a，b，c为正实数，a x=b y=c z，，求abc的值．18．（16分）已知定义域为R的函数．（1）用定义证明：f（x）为R上的奇函数；（2）用定义证明：f（x）在R上为减函数；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．19．（16分）设a为实数，函数f（x）=（x﹣a）2+|x﹣a|﹣a（a﹣1）．（1）若f（0）≤1，求a的取值范围；（2）求f（x）在R上的单调区间（无需使用定义严格证明，但必须有一定的推理过程）；（3）当a＞2时，求函数g（x）=f（x）+|x|在R上的零点个数．20．（16分）已知函数f（x）=x+﹣4，g（x）=kx+3．（1）当a=k=1时，求函数y=f（x）+g（x）的单调递增与单调递减区间；（2）当a∈[3，4]时，函数f（x）在区间[1，m]上的最大值为f（m），试求实数m的取值范围；（3）当a∈[1，2]时，若不等式|f（x1）|﹣|f（x2）|＜g（x1）﹣g（x2）对任意x1，x2∈[2，4]（x1＜x2）恒成立，求实数k的取值范围．2016-2017学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一（上）期中数学试卷（强化班）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．1．（5分）已知全集A={70，1946，1997，2003}，B={1，10，70，2016}，则A ∩B={70} ．【解答】解：∵A={70，1946，1997，2003}，B={1，10，70，2016}，∴A∩B={70}．故答案为：{70}2．（5分）函数y=的定义域为（﹣2，8] ．【解答】解：∵函数y=，∴1﹣lg（x+2）≥0，即lg（x+2）≤1，∴0＜x+2≤10，解得﹣2＜x≤8，∴函数y的定义域为（﹣2，8]．故答案为：（﹣2，8]．3．（5分）若函数f（x）是幂函数，且满足=，则f（2）的值为2．【解答】解：设f（x）=xα，依题意，=2﹣α=，∴α=1，∴f（x）=x，∴f（2）=2，故答案为：2．4．（5分）集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a 的最大值为2．【解答】解：当a＞1时，A=（﹣∞，1]∪[a，+∞），B=[a﹣1，+∞），若A∪B=R，则a﹣1≤1，∴1＜a≤2；当a=1时，易得A=R，此时A∪B=R；当a＜1时，A=（﹣∞，a]∪[1，+∞），B=[a﹣1，+∞），若A∪B=R，则a﹣1≤a，显然成立，∴a＜1；综上，a的取值范围是（﹣∞，2]．则a的最大值为2，故答案为．2．5．（5分）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k、b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是24小时．【解答】解：由题意可得，x=0时，y=192；x=22时，y=48．代入函数y=e kx+b，可得e b=192，e22k+b=48，即有e11k=，e b=192，则当x=33时，y=e33k+b=×192=24．故答案为：24．6．（5分）已知两个函数f（x）和g（x）的定义域和值域都是集合{1，2，3}，其定义如下表：则关于x的方程g（f（x））=x的解是x=3．【解答】解：∵两个函数f（x）和g（x）的定义域和值域都是集合{1，2，3}，∴由函数性质得：f（3）=1，g（f（3））=g（1）=3．∵关于x的方程g（f（x））=x，∴x=3．故答案为：3．7．（5分）函数sgn（x）=，设a=+，b=2017，则的值为2017．【解答】解：∵sgn（x）=，设，∴a=+=，∴==2017．故答案为：2017．8．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是（﹣1，3）．【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2），即f（|x﹣1|）＞f（2），∴|x﹣1|＜2，解得﹣1＜x＜3，故答案为：（﹣1，3）9．（5分）设f（x）为定义在R上的奇函数，f（1）=1，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=5．【解答】解：f（x）为定义在R上的奇函数，可得f（0）=0；f（1）=1，f（x+2）=f（x）+f（2），当x=1时，f（3）=f（1）+f（2）=1+f（2），当x=﹣1时，f（1）=f（﹣1）+f（2），可得f（2）=2．f（5）=f（3）+f（2）=1+2f（2）=1+4=5．故答案为：5．10．（5分）已知函数f（x）=﹣x2+ax+b的值域为（﹣∞，0]，若关x的不等式的解集为（m﹣4，m+1），则实数c的值为21．【解答】解：由题意，函数f（x）=﹣x2+ax+b的值域为（﹣∞，0]，∴△=a2+4b=0 ①；由不等式化简：x2﹣ax﹣b﹣﹣1＜0m﹣4与m+1为方程x2﹣ax﹣b﹣﹣1=0的两根；m﹣4+m+1=a ②；（m﹣4）（m+1）=﹣b﹣﹣1 ③；函数y=x2﹣ax﹣b﹣﹣1的对称轴为x===；所以a=5；由①②知：m=4，b=﹣；由③知：c=21故答案为：2111．（5分）函数在[2，+∞）上是增函数，实数a的范围是（m，n]（m＜n），则m+n的值为0．【解答】解：∵函数在[2，+∞）上是增函数，∴，求得﹣4＜a≤4，再结合实数a的范围是（m，n]（m＜n），可得m=﹣4，n=4，则m+n=0，故答案为：0．12．（5分）若函数f（x）=（4﹣x2）（ax2+bx+5）的图象关于直线对称，则f（x）的最大值是36．【解答】解：∵函数f（x）=（4﹣x2）（ax2+bx+5）的图象关于直线对称，点（2，0），（﹣2，0）在函数f（x）的图象上，∴点（﹣1，0），（﹣5，0）必在f（x）图象上，则，解得a=1，b=6．∴f（x）=（4﹣x2）（x2+6x+5）=﹣（x+2）（x﹣2）（x+1）（x+5）=﹣（x2+3x+2）（x2+3x ﹣10），令，则f（x）=﹣t（t﹣12）=﹣t2+12t=﹣（t﹣6）2+36，当t=6时，函数f（x）的最大值为36．故f（x）的最大值是36．13．（5分）已知函数，若函数g（x）=|f（x）|﹣a有四个不同零点x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则的最小值为2016．【解答】解：由题意，画出函数y=|f（x）|的图象，如图所示，又函数g（x）=a﹣|f（x）|有四个零点x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，所以0＜a≤2，且log2（﹣x1）=﹣log2（﹣x2）=2﹣x3=x4﹣2，所以x1x2=1，x3+x4=4，则=a2﹣2a+2017=（a﹣1）2+2016，当a=1时，取得最小值2016．故答案为：2016．14．（5分）函数在R上的最大值为1．【解答】解：1）当x=0时，f（x）=0；2）当x≠0时，═，令，t∈R，原函数化为g（t）=，又因为t+或为t+，原函数的最大值为1．故答案：1．二、解答题：本大题共6题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（见答题纸）15．（14分）已知集合A={x|2≤x≤11}，B={x|4≤x≤20}，C={x|x≤a}．（1）求A∪B与（∁R A）∩B；（2）若A∩C≠∅，求a的取值范围．【解答】解：（1）集合A={x|2≤x≤11}，B={x|4≤x≤20}，∴A∪B={x|2≤x≤20}=[2，20]；…3分∁R A={x|x＜2或x＞11}，∴（∁R A）∩B={x|11＜x≤20}=（11，20]；…7分（2）集合A={x|2≤x≤11}，C={x|x≤a}，当A∩C≠∅时，a≥2．…14分．16．（14分）设二次函数f（x）满足：对任意x∈R，都有f（x+1）+f（x）=2x2﹣2x﹣3（1）求f（x）的解析式；（2）若关于x的方程f（x）=a有两个实数根x1，x2，且满足：﹣1＜x1＜2＜x2，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），则f（x+1）+f（x）=2ax2+（2a+2b）x+a+b+2c=2x2﹣2x﹣3…3分所以，解得：a=1，b=﹣2，c=﹣1，从而f（x）=x2﹣2x﹣1…7分（2）令g（x）=f（x）﹣a=x2﹣2x﹣1﹣a=0由于﹣1＜x1＜2＜x2，所以…10分解得﹣1＜a＜2…14分．17．（14分）（1）（2）（3）已知a，b，c为正实数，a x=b y=c z，，求abc的值．【解答】解：（1）原式=﹣1+=﹣1+2=2．（2）原式===﹣4．（3）∵a，b，c为正实数，a x=b y=c z=k＞0，k≠1．∴x=，y=，z=．∵，∴==0，∴abc=118．（16分）已知定义域为R的函数．（1）用定义证明：f（x）为R上的奇函数；（2）用定义证明：f（x）在R上为减函数；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．【解答】（1）证明：∵，∴f（﹣x）===﹣=﹣f（x），∴f（x）为R上的奇函数；…5分（2）解：∵=﹣1+，令x1＜x2，则＜，∴f（x1）﹣f（x2）=﹣=＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在R上为减函数；…11分（3）解：∵f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0，f（x）为R上的奇函数，∴f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），又f（x）在R上为减函数，∴t2﹣2t＞k﹣2t2恒成立，∴k＜（3t2﹣2t）min，由二次函数的单调性质知，当t=时，y=（3t2﹣2t）min，取得最小值，即（3t2﹣2t）min，=3×（）2﹣2×=﹣．∴…16分．19．（16分）设a为实数，函数f（x）=（x﹣a）2+|x﹣a|﹣a（a﹣1）．（1）若f（0）≤1，求a的取值范围；（2）求f（x）在R上的单调区间（无需使用定义严格证明，但必须有一定的推理过程）；（3）当a＞2时，求函数g（x）=f（x）+|x|在R上的零点个数．【解答】解：（1）f（0）=a2+|a|﹣a2+a=|a|+a，因为f（0）≤1，所以|a|+a≤1，当a≤0时，0≤1，显然成立；当a＞0，则有2a≤1，所以．所以．综上所述，a的取值范围是．（2），对于y=x2﹣（2a﹣1）x，其对称轴为，开口向上，所以f（x）在（a，+∞）上单调递增；对于y=x2﹣（2a+1）x，其对称轴为，开口向上，所以f（x）在（﹣∞，a）上单调递减．综上所述，f（x）在（a，+∞）上单调递增，在（﹣∞，a）上单调递减．（3）g（x）=．∵y1=x2+（2﹣2a）x的对称轴为x=a﹣1，y2=x2﹣2ax+2a的对称轴为x=a，y3=x2﹣（2a+2）x+2a的对称轴为x=a+1，∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．∵g（0）=2a＞0，g（a）=a2+（2﹣2a）a=2a﹣a2=﹣（a﹣1）2+1，∵a＞2，∴g（a）=﹣（a﹣1）2+1在（2，+∞）上单调递减，∴g（a）＜g（2）=0．∴f（x）在（0，a）和（a，+∞）上各有一个零点．综上所述，当a＞2时，g（x）=f（x）+|x|有两个零点．20．（16分）已知函数f（x）=x+﹣4，g（x）=kx+3．（1）当a=k=1时，求函数y=f（x）+g（x）的单调递增与单调递减区间；（2）当a∈[3，4]时，函数f（x）在区间[1，m]上的最大值为f（m），试求实数m的取值范围；（3）当a∈[1，2]时，若不等式|f（x1）|﹣|f（x2）|＜g（x1）﹣g（x2）对任意x1，x2∈[2，4]（x1＜x2）恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）a=k=1时，y=f（x）+g（x）=2x+﹣1（x≠0），y′=2﹣=（x≠0），令y′＞0，解得：x＞或x＜﹣，令y′＜0，解得：﹣＜x＜且x≠0，故函数在（﹣∞，﹣），（，+∞）递增，在（﹣，0），（0，）递减；（2）∵a∈[3，4]，∴y=f（x）在（1，）上递减，在（，+∞）上递增，又∵f（x）在区间[1，m]上的最大值为f（m），∴f（m）≥f（1），解得（m﹣1）（m﹣a）≥0，∴m≥a max，即m≥4；（3）∵|f（x1）|﹣|f（x2）|＜g（x1）﹣g（x2），∴|f（x1）|﹣g（x1）＜|f（x2）|﹣g（x2）恒成立，令F（x）=|f（x）|﹣g（x），则F（x）在[2，4]上递增．对于F（x）=，（i）当x∈[2，2+]时，F（x）=（﹣1﹣k）x﹣+1，①当k=﹣1时，F（x）=﹣+1在[2，2+]上递增，所以k=﹣1符合；②当k＜﹣1时，F（x）=（﹣1﹣k）x﹣+1在[2，2+]上递增，所以k＜﹣1符合；③当k＞﹣1时，只需≥2+，即≥（+）max=2+，所以﹣1＜k≤6﹣4，从而k≤6﹣4；（ii）当x∈（2+，4]时，F（x）=（1﹣k）x+﹣7，①当k=1时，F（x）=﹣7在（2+，4]上递减，所以k=1不符合；②当k＞1时，F（x）=（1﹣k）x+﹣7在（2+，4]上递减，所以k＞1不符合；③当k＜1时，只需≤2+，即≤（+）min=1+，所以k＜2﹣2，综上可知：k≤6﹣4．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
江苏省无锡市2016-2017学年高一上学期期末考试 数学 Word版含答案
2016年秋学期无锡市普通高中期末考试试卷高一数学 2017.01一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.设全集{}0,1,2,3,U =集合{}{}1,2,2,3A B ==，则()U C A B = .2.函数()sin 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为 . 3.若函数()22,0,1,0,x x f x x x +>⎧=⎨-≤⎩则()()2f f -= . 4.在平面直角坐标系xoy 中，300 角终边上一点P 的坐标为()1,m ，则实数m 的值为 .5.已知幂函数()y f x =的图象过点13⎫⎪⎭，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ .6.已知向量,a b 满足2,3a b == ，且3a b ⋅=- ，则a 与b 的夹角为 .7.若()1sin 3πα+=，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ . 8.函数()2log 3cos 1,,22y x x ππ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦的值域为 . 9.在ABC ∆中，E 是边AC 的中点，4BC BD = 若DE xAB yAC =+ ，则x y +=为 .10.将函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象先向左平移3π个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），那么所得图象的解析式为 .11.若函数()224f x x ax a =-+-的一个零点在()2,0-区间内，另一个零点在()1,3区间内，则实数a 的取值范围为 .12.若()sin cos 11,tan 1cos 23αααβα=-=-，则tan β= . 13.已知()f x 是定义在(),-∞+∞上的奇函数，当0x >时，()24f x x x =-若函数()f x 在区间[],4t 上的值域为[]4,4-，则实数t 的取值范围为 .14.若函数()()sin 13f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间5,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数ω的取值范围为 .二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 15.已知向量()()()3,1,1,2,.a b m a kb k R =-=-=+∈ （1）若m 与向量2a b - 垂直，求实数k 的值； （2）若向量()1,1c =- ，且m 与向量kb c + 平行，求实数k 的值.16.设0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos 2αα+= （1）求cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求7cos 212πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.17.某机构通过对某企业2016年的生产经营情况的调查，得到每月利润y （单位：万元）与相应月份数x 的部分数据如下表：（1）根据上表数据，请从下列三个函数中选取一个恰当的函数描述y 与x 的变化关系，并说明理由：22,,x y ax b y x ax b y a b =+=-++=⋅；（2）利用（1）中选择的函数，估计月利润最大的是第几个月，并求出该月的利润.20.已知函数()12.2x x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）若()154f x =，求x 的值； （2）若不等式()()()2cos 1cos 0f m m f f θθ-+--=对所有0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都成立，求实数m 的取值范围.21.已知t 为实数，函数()()()2log 22,log a a f x x t g x x =--=，其中0 1.a <<（1）若函数()()1x f x g a kx =+-是偶函数，求实数k 的值； （2）当[]1,4x ∈时，()f x 的图象始终在()g x 的图象的下方，求t 的取值范围；（3）设4t =，当[](),x m n m n ∈<时，函数()y f x =的值域为[]0,2，若n m -的最小值为16，求实数a 的值.22.已知向量33cos ,sin ,cos ,sin 2222x x x x a b ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，函数()1,,,.34f x a b m a b x m R ππ⎡⎤=⋅-++∈-∈⎢⎥⎣⎦（1）当0m =时，求6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； （2）若()f x 的最小值为1-，求实数m 的值；（3）是否存在实数m ，使函数()()224,,4934g x f x m x ππ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦有四个不同的零点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.。
(完整word版)江苏省无锡市天一中学2015-2016学年高一(上)期末数学试卷(解析版)
2015-2016学年江苏省无锡市天一中学高一（上）期末数学试卷一、填空题：每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={2，3}，B={3，4}，则（∁U A）∩（∁U B）=．2．已知向量，若，则实数m=．3．已知，3sin2α=2cosα，则cos（α﹣π）=．4．函数f（x）=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为．5．设α∈，则使幂函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为．6．若向量，满足||=，||=1，•（+）=1，则向量，的夹角的大小为．7．已知﹣＜θ＜，且sinθ+cosθ=，则tanθ的值为．8．设且，则f（f（2））=．9．设函数f（x）=3|x|，则f（x）在区间（m﹣1，2m）上不是单调函数，则实数m的取值范围是．10．已知，，则tan（β﹣2α）等于．11．函数f（x）=2sin（πx）﹣，x∈[﹣2，4]的所有零点之和为．12．已知函数f（x）=log a（0＜a＜1）为奇函数，当x∈（﹣1，a]时，函数f（x）的值域是（﹣∞，1]，则实数a+b的值为．13．已知函数（a≠0，b∈R，c＞0），g（x）=m[f（x）]2﹣n（mn＞0），给出下列三个命题：①函数f（x）的图象关于x轴上某点成中心对称；②存在实数p和q，使得p≤f（x）≤q对于任意的实数x恒成立；③关于x的方程g（x）=0的解集可能为{﹣4，﹣2，0，3}．则是真命题的有．（不选、漏选、选错均不给分）14．在斜三角形△ABC中，A=45°，H是△ABC的垂心，λ=+，则λ=．二、解答题：本大题共6题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．设集合A={2，3，a2+2a﹣3}，B={x||x﹣a|＜2}（1）当a=2时，求A∩B；（2）若0∈A∩B，求实数a的值．16．已知向量=（4，5cosα），=（3，﹣4tanα）（1）若∥，试求sinα；（2）若⊥，且α∈（0，），求cos（2α﹣）的值．17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）图象上两个相邻的最值点为（，2）和（，﹣2）（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在区间（0，）上的对称中心、对称轴；（3）将函数f（x）图象上每一个点向右平移个单位得到函数y=g（x），令h（x）=f（x）•g（x），求函数h（x）在区间（﹣，0）上的最大值，并指出此时x的值．18．已知A、B两地相距2R，以AB为直径作一个半圆，在半圆上取一点C，连接AC、BC，在三角形ABC内种草坪（如图），M、N分别为弧、弧的中点，在三角形AMC、三角形BNC上种花，其余是空地．设花坛的面积为S1，草坪的面积为S2，取∠ABC=θ．（1）用θ及R表示S1和S2；（2）求的最小值．19．已知函数f（x）=1+log2x，g（x）=2x．（1）若F（x）=f（g（x））•g（f（x）），求函数F（x）在x∈[1，4]的值域；（2）令G（x）=f（8x2）f（）﹣kf（x），已知函数G（x）在区间[1，4]有零点，求实数k的取值范围；（3）若H（x）=，求H（）+H（）+H（）+…+H（）的值．20．对于定义在R上的函数f（x），定义同时满足下列三个条件的函数为“Z函数”：①对任意x∈（﹣∞，a]，都有f（x）=C1；②对任意x∈[b，+∞），都有f（x）=C2；③对任意x∈（a，b），都有（f（x）﹣C1）（f（x）﹣C2）＜0．（其中a＜b，C1，C2为常数）（1）判断函数f1（x）=|x﹣1|﹣|x﹣3|+1和f2（x）=x﹣|x﹣2|是否为R上的“Z函数”？（2）已知函数g（x）=|x﹣2|﹣，是否存在实数m，使得g（x）为R上的“Z函数”？若存在，求实数m的值；否则，请说明理由；（3）设f（x）是（1）中的“Z函数”，令h（x）=|f（x）|，若h（2a2+a）=h（4a），求实数a的取值范围．2015-2016学年江苏省无锡市天一中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={2，3}，B={3，4}，则（∁U A）∩（∁U B）={1} ．【分析】根据交集与补集的定义，进行化简与运算即可．【解答】解：全集U={1，2，3，4}，集合A={2，3}，∴∁U A={1，4}，B={3，4}，∴∁U B={1，2}，∴（∁U A）∩（∁U B）={1}．故答案为：{1}．2．已知向量，若，则实数m=﹣1．【分析】先将向量，表示出来，再由二者共线即可得到答案．【解答】解：由题意知，=（1，3）﹣（0，1）=（1，2）=（m，m）﹣（0，1）=（m，m﹣1）∵∴存在实数λ使得即（1，2）=λ（m，m﹣1）解得，λ=﹣1，m=﹣1故答案为：﹣13．已知，3sin2α=2cosα，则cos（α﹣π）=．【分析】由条件利用二倍角公式求得sinα=，再利用同角三角函数的基本关系求出cosα的值，再利用诱导公式求出cos（α﹣π）的值．【解答】解：∵，3sin2α=2cosα，∴6sinα•cosα=2cosα，解得sinα=，∴cosα=﹣．故cos（α﹣π）=cos（π﹣α）=﹣cosα=，故答案为．4．函数f（x）=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为π．【分析】化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，然后利用周期公式求出函数的周期．【解答】解：函数f（x）=（sinx﹣cosx）2=1﹣2sinxcosx=1﹣six2x；所以函数的最小正周期为：T=，故答案为：π．5．设α∈，则使幂函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为{1} ．【分析】分别验证α取不同的值时，函数y是否满足题意即可．【解答】解：当α=﹣1时，函数y=x﹣1的定义域为{x|x≠0}，不满足题意；当α=1时，函数y=x的定义域为R，且为奇函数，满足题意；当α=时，函数y=的定义域为{x|x≥0}，不满足题意；当α=时，函数y=x﹣1的定义域为R，且为偶函数，不满足题意；综上，满足题意的所有α值为{1}．故答案为：{1}．6．若向量，满足||=，||=1，•（+）=1，则向量，的夹角的大小为．【分析】先由已知条件求出•=﹣1，代入两个向量的夹角公式求出cosθ的值，结合θ的范围求出θ值．【解答】解：设，的夹角为θ．∵•（+）=1，∴+•=1，又∵||=，∴•=﹣1．∴cosθ===﹣．又∵0≤θ≤π，∴θ=．故答案为．7．已知﹣＜θ＜，且sinθ+cosθ=，则tanθ的值为﹣．【分析】由条件判断tanθ＞﹣1，再根据sinθcosθ==﹣，求得tanθ的值．【解答】解：∵﹣＜θ＜，且sinθ+cosθ=，∴1+2sinθcosθ=，即sinθcosθ=﹣＜0，∴θ∈（﹣，0），则tanθ＞﹣1．再根据sin θcos θ===﹣，求得tan θ=﹣（舍去），或tan θ=﹣，故答案为：﹣．8．设且，则f （f （2））= 6 ．【分析】通过，求出a 的值，然后求出f （2），即可求解所求表达式的值．【解答】解：因为设且，所以，所以a=7，f （2）==log 73，f （f （2））=f （log 73）=2=6．故答案为：6．9．设函数f （x ）=3|x|，则f （x ）在区间（m ﹣1，2m ）上不是单调函数，则实数m 的取值范围是 （0，1） ．【分析】由题意，函数f （x ）=3|x|，关于y 轴对称，在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，要使f （x ）在区间（m ﹣1，2m ）上不是单调函数，则m ﹣1＜0＜2m ，解出即可．【解答】解：由题意，函数f （x ）=3|x|，关于y 轴对称，在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∵f （x ）在区间（m ﹣1，2m ）上不是单调函数， ∴m ﹣1＜0＜2m ， ∴0＜m ＜1． 故答案为：（0，1）．10．已知，，则tan （β﹣2α）等于 ﹣1 ．【分析】把已知条件利用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简后，即可求出tan α的值，然后把所求式子中的角β﹣2α变为（β﹣α）﹣α，利用两角差的正切函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．【解答】解：由==2tanα=1，得到tanα=，又，则tan（β﹣2α）=tan[（β﹣α）﹣α]===﹣1．故答案为：﹣111．函数f（x）=2sin（πx）﹣，x∈[﹣2，4]的所有零点之和为8．【分析】设t=1﹣x，则x=1﹣t，原函数可化为g（t）=2sinπt﹣，由于g（x）是奇函数，观察函数y=2sinπt与y=的图象可知，在[﹣3，3]上，两个函数的图象有8个不同的交点，其横坐标之和为0，从而x1+x2+…+x7+x8的值．【解答】解：设t=1﹣x，则x=1﹣t，原函数可化为：g（t）=2sin（π﹣πt）﹣=2sinπt﹣，其中，t∈[﹣3，3]，因g（﹣t）=﹣g（t），故g（t）是奇函数，观察函数y=2sinπt（红色部分）与曲线y=（蓝色部分）的图象可知，在t∈[﹣3，3]上，两个函数的图象有8个不同的交点，其横坐标之和为0，即t1+t2+…+t7+t8=0，从而x1+x2+…+x7+x8=8，故答案为：8．12．已知函数f（x）=log a（0＜a＜1）为奇函数，当x∈（﹣1，a]时，函数f（x）的值域是（﹣∞，1]，则实数a+b的值为．【分析】根据函数f（x）为奇函数，建立方程关系即可求出b，然后根据分式函数和对数函数的单调性建立条件关系即可求出a．【解答】解：∵函数f（x）=log a（0＜a＜1）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）=0，∴log a+log a=log a•=0，即•=1，∴1﹣x2=b2﹣x2，即b2=1，解得b=±1．当b=﹣1时，函数f（x）=log a=f（x）=log a=log a（﹣1）无意义，舍去．当b=1时，函数f（x）=log a=log a为奇函数，满足条件．∵=﹣1+，在（﹣1，+∞）上单调递减．又0＜a＜1，∴函数f（x）=log a在x∈（﹣1，a）上单调递增，∵当x∈（﹣1，a）时，函数f（x）的值域是（﹣∞，1），∴f（a）=1，即f（a）=log a=1，∴=a，即1﹣a=a+a2，∴a2+2a﹣1=0，解得a=﹣1±，∵0＜a＜1，∴a=﹣1+，∴a+b=﹣1++1=，故答案为：．13．已知函数（a≠0，b∈R，c＞0），g（x）=m[f（x）]2﹣n（mn＞0），给出下列三个命题：①函数f（x）的图象关于x轴上某点成中心对称；②存在实数p和q，使得p≤f（x）≤q对于任意的实数x恒成立；③关于x的方程g（x）=0的解集可能为{﹣4，﹣2，0，3}．则是真命题的有①②．（不选、漏选、选错均不给分）【分析】①由f（x+b）+f（b﹣x）=0即可判断①的正误；②将（a≠0，b∈R，c＞0），转化为y（x﹣b）2﹣a（x﹣b）+cy=0有实数解，由△≥0即可判断②的正误；③由f（x）=（a≠0，b∈R，c＞0），g（x）=m[f（x）]2﹣n=0（mn＞0），可判断③的正误．【解答】解：对于①，∵f（x+b）+f（b﹣x）=+=0，∴函数f（x）的图象关于x轴上的点（b，0）成中心对称；故①正确；对于②，∵f（x）=（a≠0，b∈R，c＞0），∴y（x﹣b）2﹣a（x﹣b）+cy=0有实数解，∴△=a2﹣4cy2≥0，又a≠0，c＞0∴y2≤，∴﹣≤y≤．即存在实数p和q，使得p≤f（x）≤q对于任意的实数x恒成立；∴②正确；③∵f（x）=（a≠0，b∈R，c＞0），g（x）=m[f（x）]2﹣n=0（mn＞0），∴=（mn＞0），假设g（x）=0有四个根，令t=（x﹣b）2（t≥0），则x=b±，∴x1+x2=2b，同理x3+x4=2b，∴其解集{﹣4，﹣2，0，3}中﹣4+3≠﹣2+0，即x1+x2≠x3+x4=2b，∴③错误．故正确答案为：①②．14．在斜三角形△ABC中，A=45°，H是△ABC的垂心，λ=+，则λ=1．【分析】H是△ABC的垂心，可得tanA+tanB+tanC=．再利用向量的三角形法则、正切和差公式即可得出．【解答】解：∵H是△ABC的垂心，则tanA+tanB+tanC=．∴=+，∴=+=λ，则λ====tanA=1，故答案为：1．二、解答题：本大题共6题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．设集合A={2，3，a2+2a﹣3}，B={x||x﹣a|＜2}（1）当a=2时，求A∩B；（2）若0∈A∩B，求实数a的值．【分析】（1）当a=2时，分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．（2）由已知得a2+2a﹣3=0，解得a=1或a=﹣3，再分别把a=1和a=﹣3代入集合B验证，由此能求出a．【解答】解：（1）当a=2时，集合A={2，3，a2+2a﹣3}={2，3，5}，B={x||x﹣a|＜2}={x||x﹣2|＜2}={x|0＜x＜4}，∴A∩B={2，3}．（2）∵A={2，3，a2+2a﹣3}，B={x||x﹣a|＜2}，0∈A∩B，∴a2+2a﹣3=0，解得a=1或a=﹣3，当a=1时，B={x||x﹣1|＜2}={x|﹣1＜x＜3}，成立，当a=﹣3时，B={x||x+3|＜2}={x|﹣5＜x＜﹣1}，不成立．∴a=1．16．已知向量=（4，5cosα），=（3，﹣4tanα）（1）若∥，试求sinα；（2）若⊥，且α∈（0，），求cos（2α﹣）的值．【分析】（1）通过向量的平行，利用坐标运算，同角三角函数的基本关系式求出sinα即可．（2）通过向量的垂直，列出关系式，求出sinα，利用两角和的余弦函数，以及同角三角函数的基本关系式，求解所求表达式的值即可．【解答】解：（1）因为向量由得，所以15cosα+16tanα=0，即15﹣15sin2α+16sinα=0，解得：（舍）或．（2）由得，12﹣20cosα•tanα=0，∴，又，∴，，．17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）图象上两个相邻的最值点为（，2）和（，﹣2）（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在区间（0，）上的对称中心、对称轴；（3）将函数f（x）图象上每一个点向右平移个单位得到函数y=g（x），令h（x）=f（x）•g（x），求函数h（x）在区间（﹣，0）上的最大值，并指出此时x的值．【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数f（x）的解析式．（2）利用正弦函数的图象的对称性，求得函数f（x）在区间（0，）上的对称中心和对称轴．（3）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，利用三角恒等变换化简h（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数h（x）在区间（﹣，0）上的最大值以及此时x的值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）图象上两个相邻的最值点为（，2）和（，﹣2），∴A=2，==﹣=，∴ω=2，再根据五点法作图，可得2•+φ=，求得φ=，∴f（x）=2sin（2x+）．（2）令2x+=kπ，求得x=﹣，k∈Z，可得函数的图象的对称中心为（﹣，0），k∈Z，故函数f（x）在区间（0，）上的对称中心为（，0）．令2x+=kπ+，可得x=+，k∈Z，故函数的图象的对称轴为x=+，k∈Z，故函数f（x）在区间（0，）上的对称轴为x=．（3）将函数f（x）图象上每一个点向右平移个单位得到函数y=g（x）=2sin[2（x﹣）+]=2sin（2x﹣）=﹣2cos2x的图象，令h（x）=f（x）•g（x）=﹣4sin（2x+）•cos2x=﹣4[sin2x+cos2x]•cos2x=﹣2sin2xcos2x﹣2cos22x=﹣sin4x﹣2•=﹣2sin（4x+）﹣1．在区间（﹣，0）上，4x+∈（﹣，），sin（4x+）∈[﹣1，），h（x）∈（﹣1，2]，当4x+=﹣时，h（x）取得最大值为2，此时，x=﹣．18．已知A、B两地相距2R，以AB为直径作一个半圆，在半圆上取一点C，连接AC、BC，在三角形ABC内种草坪（如图），M、N分别为弧、弧的中点，在三角形AMC、三角形BNC上种花，其余是空地．设花坛的面积为S1，草坪的面积为S2，取∠ABC=θ．（1）用θ及R表示S1和S2；（2）求的最小值．【分析】（1）先利用θ及R表示出AC、BC的长，进而求出S2；再设AB的中点为O，连MO、NO，则MO⊥AC，NO⊥BC，即可求出三角形AMC、三角形BNC的面积，进而求得S1；（2）先利用（1）的结论求出关于θ的表达式；再结合三角函数以及函数单调性的知识即可求出的最小值．【解答】解：（1）因为∠ABC=θ，则AC=2Rsinθ，BC=2Rcosθ，则．设AB的中点为O，连MO、NO，则MO⊥AC，NO⊥BC．设MO交AC与点E．则ME=MO﹣OE=R﹣=R﹣Rcosθ=R（1﹣cosθ）．所以：S△AMC=|AC|•|ME|=R2sinθ（1﹣cosθ）；同理可得三角形BNC的面积为R2cosθ（1﹣sinθ），∴S1=R2sinθ（1﹣cosθ）+R2cosθ（1﹣sinθ）=R2（sinθ+cosθ﹣2sinθcosθ）．（2）∵，令，则2sinθcosθ=t2﹣1．∴．∴的最小值为．19．已知函数f（x）=1+log2x，g（x）=2x．（1）若F（x）=f（g（x））•g（f（x）），求函数F（x）在x∈[1，4]的值域；（2）令G（x）=f（8x2）f（）﹣kf（x），已知函数G（x）在区间[1，4]有零点，求实数k的取值范围；（3）若H（x）=，求H（）+H（）+H（）+…+H（）的值．【分析】（1）若F（x）=f（g（x））•g（f（x）），先求出F（x）的表达式，结合一元二次函数的性质求函数F（x）在x∈[1，4]的值域；（2）先求出G（x）=f（8x2）f（）﹣kf（x）的表达式，利用换元法将函数G（x）进行转化求解；（3）若H（x）=，证明H（x）+H（1﹣x）=1，利用倒序相加法，即可求H（）+H（）+H（）+…+H（）的值．【解答】解：（1）若F（x）=f（g（x））•g（f（x））=（1+log22x）•=（1+x）•2×=2x（1+x）=2x2+2x=2（x+）2﹣当x∈[1，4]上函数F（x）为增函数，则函数的最大值为F（4）=40，函数的最小值为F（1）=4，则函数的值域为[4，40]．（2）令G（x）=f（8x2）f（）﹣kf（x）=（1+log28x2）（1+log2）﹣k（1+log2x）=（1+og28+log2x2））（1+log2x）﹣k（1+log2x）=（4+2log2x））（1+log2x）﹣k（1+log2x）=（log2x）2+4log2x+4﹣k﹣klog2x=（log2x）2+（4﹣k）log2x+4﹣k，设t=log2x，当x∈[1，4]，则t∈[0，2]，则函数等价为y=h（t）=t2+（4﹣k）t+4﹣k若函数G（x）在区间[1，4]有零点，则等价为y=h（t）=t2+（4﹣k）t+4﹣k在t∈[0，2]上有零点，即h（t）=t2+（4﹣k）t+4﹣k=0在t∈[0，2]上有解，即t2+4t+4﹣k（1+t）=0在t∈[0，2]上有解，即k===t +1++2，设m=t +1，则m ∈[1，3]，则k=m ++2≥2+2=2+2，当且仅当m=，即m=取等号，当m=1时，k=1+2+2=5，当m=3时，k=2+3+=＞5，∴2+2≤m ++2≤，即2+2≤k ≤，即实数k 的取值范围是2+2≤k ≤；（3）若H （x ）=，则H （x ）==，则H （x ）+H （1﹣x ）=+=+=+=1，设H （）+H （）+H （）+…+H （）=S ，H （）+H （）+…H （）+H （）=S ，两式相加得2015[H （）+H （）]=2S ，即2S=2015，则S=．20．对于定义在R 上的函数f （x ），定义同时满足下列三个条件的函数为“Z 函数”： ①对任意x ∈（﹣∞，a ]，都有f （x ）=C 1； ②对任意x ∈[b ，+∞），都有f （x ）=C 2； ③对任意x ∈（a ，b ），都有（f （x ）﹣C 1）（f （x ）﹣C 2）＜0．（其中a ＜b ，C 1，C 2为常数）（1）判断函数f 1（x ）=|x ﹣1|﹣|x ﹣3|+1和f 2（x ）=x ﹣|x ﹣2|是否为R 上的“Z 函数”？（2）已知函数g （x ）=|x ﹣2|﹣，是否存在实数m ，使得g （x ）为R 上的“Z函数”？若存在，求实数m 的值；否则，请说明理由；（3）设f （x ）是（1）中的“Z 函数”，令h （x ）=|f （x ）|，若h （2a 2+a ）=h （4a ），求实数a 的取值范围． 【分析】（1）根据“Z 函数”的定义，结合分段函数的性质作出图象进行判断即可． （2）结合“Z 函数”的定义以及根式的性质利用配方法进行判断求解．（3）求出h（x）的解析式以及作出函数h（x）的图象，讨论变量的取值范围解方程即可．【解答】解：（1）f1（x）=|x﹣1|﹣|x﹣3|+1=，作出函数f1（x）的图象如图：当x≤1时，f（x）=﹣1，当x≥3时，f（x）=3，当1＜x＜3时，﹣1＜f（x）＜3恒成立，故f1（x）=|x﹣1|﹣|x﹣3|+1是R上的“Z函数”，f2（x）=x﹣|x﹣2|=，则当x≤2时，函数f（x）不是常数，不满足条件．②，故f2（x）=x﹣|x﹣2|不是否为R 上的“Z函数”．（2）若g（x）=|x﹣2|﹣是R上的“Z函数”，则满足g（x）=|x﹣2|﹣|x+a|的形式，若=|x+a|，则平方得mx+4=2ax+a2，即或，当时，g（x）=|x﹣2|﹣|x﹣2|=0，不满足条件③，故此时g（x）不是“Z函数”，当时，g（x）=|x﹣2|﹣|x+2|=，满足条件①②③，故此时g（x）是“Z函数”，故当m=4时，g（x）为R上的“Z函数”．（3）设f（x）是（1）中的“Z函数”，则f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣3|+1=，则h（x）=|f（x）|=，对应的图象如图：若h（2a2+a）=h（4a），则①，即，即﹣1≤a≤时，h（2a2+a）=h（4a）=1，②得即a≥1时，h（2a2+a）=h（4a）=3，③或，此时h（2a2+a）=h（4a）=1，即或，即a=或a=．④2a2+a=4a，即2a2=3a，得a=0或a=，当a=时，⑤2a2+a=﹣4a，即2a2=﹣5a，得a=0或a=﹣，综上﹣1≤a≤或a≥1或=或a=．2016年8月18日。
江苏省天一中学2016-2017学年高一上学期期中考试数学试题(原卷版)
（ ）过点 ．
（ ）直线在 轴上的截距为 ．
19.求经过M（-1，2），且满足下列条件的直线方程
（1）与直线2x+y+5=0平行；
（2）与直线2x+y+5=0垂直.
20.圆心在直线 ，且与直线 相切于点 的圆的标准方程为__________.
21.直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2＋y2＝25相交，截得的弦长为4 ，求l的方程．
A. B.
C. D.
6.直线2x-y＋4＝0同时过第象限
A.一，二，三B.二，三，四
C.一，二，四D.一，三，四
7.若三点A(3，1)，B(－2，b)，C(8，11)在同一直线上，则实数b等于
A.2B.3
C.9D. －9
8.以 为端点的线段的垂直平分线的方程是
A. B.
C. D.
9.两个球 半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为( )
C.(-2，0）
D. （0，-2）
3.已知 ， ，则直线 与直线 的位置关系是（）
A.平行B.相交或异面C.异面D.平行或异面
4.如图所示,水平放置的圆柱形物体的三视图是( )
A. B.
C. D.
5.已知正方体ABCD-A B C D 中,E、F分别为BB 、CC 的中点,那么异面直线AE与D F所成角的余弦值为
2Hale Waihona Puke .如图，在正方体 中，（1）求证：直线BD与平面 平行；
（2）求证：面 面
2016-2017学年第二学期天一中学高一数学期中考试试卷必修2
卷I
一、选择题（本大题共2道小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
江苏省无锡市第一中学2016~2017学年度高一第二学期数学期末试卷(无答案)
无锡市第一中学2016~2017学年度第二学期期末试卷高一数学2017.6一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将正确答案直接填写在答题卡的相应位置）1．已知直线l 的斜率2k =，且过定点P （0，1），则直线l 的方程是 ．2．某高级中学高一年级有900人，高二年级有800人，高三年级有700人，现采用分层抽样的方法从三个年级中共抽取240人做问卷调查，则要抽取高二年级的学生人数是 ．3．右图是小王同学所做的六套数学附加题得分的茎叶图（满分40分），则 其平均得分为 分．4．在△ABC 中，若∠B ＝60°，∠C ＝75°，a ＝8，则边b 的长等于 ． 5．右图框内是一个算法的伪代码，如果输出的y 的值是20，则输入 的x 的值是 ．6．在区间[0，1]间随机取出2个数（可以相同），则它们的差的绝对值大于12的概率是 ． 7．下图是一个算法的流程图，则输出S 的值是 ．8．某单位从4名应聘者A 、B 、C 、D 中招聘2人，如果这4名应聘者被录用的机会均等，则A 、B 两人中至少有1人被录用的概率是 ． 9．等比数列{n a }的前n 项和为n S ，公比1q ≠，若3232S S =，则q 的值为 ． 10．已知数列{n a }的前n 项和为22n S n n =-，现从该数列的前21项中抽掉某一项k a ，余下20项的平均数为40，则k ＝ ． 11．已知不等式1()()9ax y x y++≥对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为 ．12．已知无穷等差数列{n a }的首项、公差都为整数，且18a ≥，110a >，其前11项的和1177S ≤，则数列{n a }的通项公式为 ．13．已知等比数列{n a }的首项和公比都是q （q ≥2），若存在正整数k ，使212k k ka a a ++-+仍为数列{n a }中的项，则q 的所有可能的值是 ．14．在△ABC 中，已知3sin C 2sin B =，点M 、N 分别是边AC ，AB 的中点，则BM CN的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共90分，请将解答书写在答题卡的相应位置，解答须有必要的证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）为了了解一个小水库中养殖的鱼的有关情况，从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量（单位：kg），并将所得数据分组，画出频率分布直方图（如图所示）．（1）在下面表格中填写相应的频率；（2）估计数据落在[1.15，1.30）中的概率为多少；（3）将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库．几天后再从水库的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条．请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数．16．（本小题满分14分）一个袋中装有五个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4，5．（1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（2）从袋中随机抽取两个球，求取出的球中至少有一个编号是偶数的概率；（3）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求编号m，n满足n＜m＋2的概率．17．（本小题满分14分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且BA＝5，BC＝3，∠ABC ＝120°，延长CB至D，使得∠DAB＝∠ACD．（1）求AC的值；（2）求BABD的值．18．（本小题满分16分）已知直线l过第一象限内定点P(4，2)．（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）若直线l与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B．①求△AOB面积的最小值（O为坐标原点）；②当PA PB取得最小值时，求直线l的方程．19．（本小题满分16分）定义{},min ,,a a ba b b a b ≤⎧=⎨>⎩，已知函数{}()min (),()F x f x g x =．（1）设()22f x x =-，2()242()g x x ax a a R =-+-∈，若对任意(2,)x ∈+∞，有()()F x f x =恒成立，求实数a 的取值范围；（2）设()21f x x =-，2()242(3)g x x ax a a =-+-≥．①求使得等式()()F x g x =成立的x 的取值范围； ②求函数()F x 的最小值()m a ．20．（本小题满分16分）已知数列{n c }的前n 项和为n S ，且满足2(2)n n S n c =+（n N *∈）．（1）求1c 的值；（2）证明数列{n c }是等差数列；（3）设1a >，{n c }的公差为正数，记n cn b a =，求证：1212n nb b b b b n ++++≤．。
江苏无锡市2016-2017高一数学上学期期末试题含答案
江苏无锡市2016-2017高一数学上学期期末试题（含答案）2016年秋学期无锡市普通高中期末考试试卷高一数学2017.01一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.设全集集合，则.2.函数的最小正周期为.3.若函数则.4.在平面直角坐标系中，角终边上一点P的坐标为，则实数的值为.5.已知幂函数的图象过点，则.6.已知向量满足，且，则与的夹角为.7.若，则.8.函数的值域为.9.在中，E是边AC的中点，若，则为.10.将函数的图象先向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），那么所得图象的解析式为.11.若函数的一个零点在区间内，另一个零点在区间内，则实数a的取值范围为.12.若，则.13.已知是定义在上的奇函数，当时，若函数在区间上的值域为，则实数t的取值范围为.14.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15.已知向量（1）若与向量垂直，求实数的值；（2）若向量，且与向量平行，求实数的值.16.设，满足（1）求的值；（2）求的值.17.某机构通过对某企业2016年的生产经营情况的调查，得到每月利润y（单位：万元）与相应月份数x的部分数据如下表：14712229244241196（1）根据上表数据，请从下列三个函数中选取一个恰当的函数描述y与x的变化关系，并说明理由：；（2）利用（1）中选择的函数，估计月利润最大的是第几个月，并求出该月的利润.20.已知函数（1）若，求的值；（2）若不等式对所有都成立，求实数m的取值范围.21.已知t为实数，函数，其中（1）若函数是偶函数，求实数的值；（2）当时，的图象始终在的图象的下方，求t的取值范围；（3）设，当时，函数的值域为，若的最小值为，求实数a的值.22.已知向量，函数（1）当时，求的值；（2）若的最小值为，求实数的值；（3）是否存在实数m，使函数有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.。
江苏省无锡市2016-2017学年高一(上)期末数学试卷(解析版)
2016-2017学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分）.1．设全集U={0，1，2，3}，集合A={1，2}，B={2，3}，则（∁U A）∪B=．2．函数的最小正周期为．3．若函数f（x）=，则f（f（﹣2））=．4．在平面直角坐标系xOy中，300°角终边上一点P的坐标为（1，m），则实数m的值为．5．已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则f（）=．6．已知向量与满足||=2，||=3，且•=﹣3，则与的夹角为．7．已知sin（α+π）=﹣，则sin（2α+）=．8．函数y=log2（3cosx+1），x∈[﹣，]的值域为．9．在△ABC中，E是边AC的中点，=4，若=x+y，则x+y=．10．将函数y=sin（2x﹣）的图象先向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），那么所得图象的解析式为y=．11．若函数f（x）=x2﹣ax+2a﹣4的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，则实数a的取值范围是．12．若=1，tan（α﹣β）=，则tanβ=．13．已知f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，当x＞0时，f（x）=4x﹣x2，若函数f（x）在区间[t，4]上的值域为[﹣4，4]，则实数t的取值范围是．14．若函数f（x）=|sin（ωx+）|（ω＞1）在区间[π，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．已知向量=（﹣3，1），=（1，﹣2），=+k（k∈R）．（1）若与向量2﹣垂直，求实数k的值；（2）若向量=（1，﹣1），且与向量k+平行，求实数k的值．16．设α∈（0，），满足sinα+cosα=．（1）求cos（α+）的值；（2）求cos（2α+π）的值．17．某机构通过对某企业2016年的生产经营情况的调查，得到每月利润y（单位：万元）与相应月份数x的部分数据如表：（1）根据如表数据，请从下列三个函数中选取一个恰当的函数描述y与x的变化关系，并说明理由，y=ax3+b，y=﹣x2+ax+b，y=a•b x．（2）利用（1）中选择的函数，估计月利润最大的是第几个月，并求出该月的利润．18．已知函数f（x）=（）x﹣2x．（1）若f（x）=，求x的值；（2）若不等式f（2m﹣mcosθ）+f（﹣1﹣cosθ）＜f（0）对所有θ∈[0，]都成立，求实数m的取值范围．19．已知t为实数，函数f（x）=2log a（2x+t﹣2），g（x）=log a x，其中0＜a＜1．（1）若函数y=g（a x+1）﹣kx是偶函数，求实数k的值；（2）当x∈[1，4]时，f（x）的图象始终在g（x）的图象的下方，求t的取值范围；（3）设t=4，当x∈[m，n]时，函数y=|f（x）|的值域为[0，2]，若n﹣m的最小值为，求实数a的值．20．已知向量=（cos，sin），=（cos，﹣sin），函数f（x）=•﹣m|+|+1，x∈[﹣，]，m∈R．（1）当m=0时，求f（）的值；（2）若f（x）的最小值为﹣1，求实数m的值；（3）是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）+m2，x∈[﹣，]有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．2016-2017学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分）.1．设全集U={0，1，2，3}，集合A={1，2}，B={2，3}，则（∁U A）∪B={0，2，3} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集与并集的定义，写出运算结果即可．【解答】解：全集U={0，1，2，3}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U A={0，3}，所以（∁U A）∪B={0，2，3}．故答案为：{0，2，3}．2．函数的最小正周期为π．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】由函数解析式找出ω的值，代入周期公式T=即可求出函数的最小正周期．【解答】解：函数，∵ω=2，∴T==π．故答案为：π3．若函数f（x）=，则f（f（﹣2））=5．【考点】函数的值．【分析】先求出f（﹣2）=（﹣2）2﹣1=3，从而f（f（﹣2））=f（3），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（﹣2）=（﹣2）2﹣1=3，f（f（﹣2））=f（3）=3+2=5．故答案为：5．4．在平面直角坐标系xOy中，300°角终边上一点P的坐标为（1，m），则实数m的值为﹣．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义、诱导公式，可得tan300°=﹣=，从而求得m的值．【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，∵300°角终边上一点P的坐标为（1，m），∴tan300°=tan=﹣tan60°=﹣=，∴m=﹣，故答案为：﹣．5．已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则f（）=4．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】在解答时可以先设出幂函数的解析式，由于过定点，从而可解得函数的解析式，故而获得问题的解答．【解答】解：∵幂函数y=f（x）=xα的图象过点（，），∴=，解得：α=﹣2，故f（x）=x﹣2，f（）==4，故答案为：4．6．已知向量与满足||=2，||=3，且•=﹣3，则与的夹角为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义求得cosθ的值，可得与的夹角θ 的值．【解答】解：∵向量与满足||=2，||=3，且•=﹣3，设与的夹角为θ，则cosθ===﹣，∴θ=，故答案为：．7．已知sin（α+π）=﹣，则sin（2α+）=．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】根据诱导公式和二倍角公式计算即可．【解答】解：∵sin（α+π）=﹣，∴sinα=，∴sin（2α+）=cos2α=1﹣2sin2α=1﹣=，故答案为：．8．函数y=log2（3cosx+1），x∈[﹣，]的值域为[0，2] ．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】根据x∈[﹣，]，得出1≤3cosx+1≤4，利用对数函数的性质，即可得出结论．【解答】解：∵x∈[﹣，]，∴0≤cosx≤1，∴1≤3cosx+1≤4，∴0≤log2（3cosx+1）≤2，故答案为[0，2]．9．在△ABC中，E是边AC的中点，=4，若=x+y，则x+y=﹣．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】由E是边AC的中点，=4，可得=，所以x=﹣，y=，x+y=﹣．【解答】解：∵E是边AC的中点，=4，∴=，所以x=﹣，y=，x+y=﹣．故答案为：﹣．10．将函数y=sin（2x﹣）的图象先向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），那么所得图象的解析式为y=sin（4x+）．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】先求函数y=sin（2x﹣）的图象先向左平移，图象的函数表达式，再求图象上所有的点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式．【解答】解：将函数y=sin（2x﹣）的图象先向左平移，得到函数y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）的图象，将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为：y=sin（4x+）故答案为：sin（4x+）．11．若函数f（x）=x2﹣ax+2a﹣4的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，则实数a的取值范围是（0，2）．【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】由条件利用二次函数的性质可得，由此求得a的范围．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣ax+2a﹣4的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，∴，求得0＜a＜2，故答案为：（0，2）．12．若=1，tan（α﹣β）=，则tanβ=．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得tanα的值，再利用两角差的正切公式求得tanβ=tan[α﹣（α﹣β）]的值．【解答】解：∵═==，∴tanα=，又tan（α﹣β）=，则tanβ=tan[α﹣（α﹣β）]===，故答案为：．13．已知f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，当x＞0时，f（x）=4x﹣x2，若函数f（x）在区间[t，4]上的值域为[﹣4，4]，则实数t的取值范围是[﹣2﹣2，﹣2] ．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式，利用数形结合以及一元二次函数的性质进行求解即可．【解答】解：如x＜0，则﹣x＞0，∵当x＞0时，f（x）=4x﹣x2，∴当﹣x＞0时，f（﹣x）=﹣4x+x2，∵函数f（x）是奇函数，∴f（0）=0，且f（﹣x）=﹣4x+x2=﹣f（x），则f（x）=4x+x2，x＜0，则函数f（x）=，则当x＞0，f（x）=4x﹣x2=﹣（x﹣2）2+4≤4，当x＜0，f（x）=4x+x2=（x+2）2﹣4≥﹣4，当x＜0时，由4x+x2=4，即x2+4x﹣4=0得x==﹣2﹣2，（正值舍掉），若函数f（x）在区间[t，4]上的值域为[﹣4，4]，则﹣2﹣2≤t≤﹣2，即实数t的取值范围是[﹣2﹣2，﹣2]，故答案为：[﹣2﹣2，﹣2]14．若函数f（x）=|sin（ωx+）|（ω＞1）在区间[π，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是[，] ．【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意求得ω≤2，区间[π，]内的x值满足kπ+≤ωx+≤kπ+π，k∈z，求得k+≤ω≤（k+），k∈z，再给k取值，进一步确定ω的范围．【解答】解：∵函数f（x）=|sin（ωx+）|（ω＞0）在[π，π]上单调递减，∴T=≥，即ω≤2．∵ω＞0，根据函数y=|sinx|的周期为π，减区间为[kπ+，kπ+π]，k∈z，由题意可得区间[π，]内的x值满足kπ+≤ωx+≤kπ+π，k∈z，即ω•π+≥kπ+，且ω•+≤kπ+π，k∈z．解得k+≤ω≤（k+），k∈z．求得：当k=0时，≤ω≤，不符合题意；当k=1时，≤ω≤；当k=2时，≤ω≤，不符合题意．综上可得，≤ω≤，故答案为：[，]．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．已知向量=（﹣3，1），=（1，﹣2），=+k（k∈R）．（1）若与向量2﹣垂直，求实数k的值；（2）若向量=（1，﹣1），且与向量k+平行，求实数k的值．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的运算．【分析】（1）由与向量2﹣垂直，可得•（2﹣）=0，解得k．（2）利用向量共线定理即可得出．【解答】解：（1）=+k=（﹣3+k，1﹣2k），2﹣=（﹣7，4）．∵与向量2﹣垂直，∴•（2﹣）=﹣7（﹣3+k）+4（1﹣2k）=0，解得k=．（2）k+=（k+1，﹣2k﹣1），∵与向量k+平行，∴（﹣2k﹣1）（﹣3+k）﹣（1﹣2k）（k+1）=0，解得k=．16．设α∈（0，），满足sinα+cosα=．（1）求cos（α+）的值；（2）求cos（2α+π）的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）利用两角和的正弦公式求得sin（α+）的值，再利用同角三角函数的基本关系求得cos（α+）的值．（2）利用二倍角公式求得cos（2α+）的值，可得sin（2α+）的值，从而求得cos（2α+π）=cos[（2α+）+]的值．【解答】解：（1）∵α∈（0，），满足sinα+cosα==2sin（α+），∴sin（α+）=．∴cos（α+）==．（2）∵cos（2α+）=2﹣1=，sin（2α+）=2sin（α+）cos（α+）=2••=，∴cos（2α+π）=cos[（2α+）+]=cos（2α+）cos﹣sin（2α+）sin=﹣=．17．某机构通过对某企业2016年的生产经营情况的调查，得到每月利润y（单位：万元）与相应月份数x的部分数据如表：（1）根据如表数据，请从下列三个函数中选取一个恰当的函数描述y与x的变化关系，并说明理由，y=ax3+b，y=﹣x2+ax+b，y=a•b x．（2）利用（1）中选择的函数，估计月利润最大的是第几个月，并求出该月的利润．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）由题意知，描述每月利润y（单位：万元）与相应月份数x的变化关系函数不可能是常数函数，也不是单调函数，排除另2个函数，选二次函数模型进行描述；（2）由二次函数的图象与性质，求出函数y=﹣x2+10x+220在x取何值时有最小值．【解答】解：（1）由题目中的数据知，描述每月利润y（单位：万元）与相应月份数x的变化关系函数不可能是常数函数，也不是单调函数；所以，应选取二次函数y=﹣x2+ax+b进行描述；（2）将（1，229），（4，244）代入y=﹣x2+ax+b，解得a=10，b=220，∴y=﹣x2+10x+220，1≤x≤12，x∈N，+y=﹣（x﹣5）2+245，∴x=5，y max=245万元．18．已知函数f（x）=（）x﹣2x．（1）若f（x）=，求x的值；（2）若不等式f（2m﹣mcosθ）+f（﹣1﹣cosθ）＜f（0）对所有θ∈[0，]都成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的值．【分析】（1）由f（x）=（）x﹣2x=可求得2x=，从而可求得x的值；（2）由f（x）=（）x﹣2x可判断f（x）为奇函数，且为减函数，不等式f（2m﹣mcosθ）+f（﹣1﹣cosθ）＜f（0）⇔2m﹣mcosθ＞1+cosθ对所有θ∈[0，]都成立，分离参数m，利用函数的单调性可求实数m的取值范围．【解答】解：（1）令t=2x＞0，则﹣t=，解得t=﹣4（舍）或t=，…3分，即2x=，所以x=﹣2…6分（2）因为f（﹣x）=﹣2﹣x=2x﹣=﹣f（x），所以f（x）是定义在R上的奇函数，…7故f（0）=0，由f（2m﹣mcosθ）+f（﹣1﹣cosθ）＜f（0）=0得：f（2m﹣mcosθ）＜f（1+cosθ） (8)分，又f（x）=（）x﹣2x在R上单调递减，…9分，所以2m﹣mcosθ＞1+cosθ对所有θ∈[0，]都成立，…10分，所以m＞，θ∈[0，]，…12分，令μ=cosθ，θ∈[0，]，则μ∈[0，1]，y==﹣1+，μ∈[0，1]的最大值为2，所以m的取值范围是m＞2 (16)分19．已知t为实数，函数f（x）=2log a（2x+t﹣2），g（x）=log a x，其中0＜a＜1．（1）若函数y=g（a x+1）﹣kx是偶函数，求实数k的值；（2）当x∈[1，4]时，f（x）的图象始终在g（x）的图象的下方，求t的取值范围；（3）设t=4，当x∈[m，n]时，函数y=|f（x）|的值域为[0，2]，若n﹣m的最小值为，求实数a的值．【考点】函数单调性的判断与证明；对数函数的图象与性质．【分析】（1）根据偶函数的定义可得k的值；（2）构造函数h（x）=f（x）﹣g（x），根据对数函数的图象和性质可得，只需要t＞﹣2x++2恒成立，根据二次函数的性质求出t的取值范围即可；（3）先判断函数y=|f（x）|的单调性，令|2log a（2x+2）|=2，得到x=或，即可得到n﹣m的最小值为（﹣）﹣=，求出a即可．【解答】解：（1）∵函数y=g（a x+1）﹣kx是偶函数，∴log a（a﹣x+1）+kx=log a（a x+1）﹣kx，对任意x∈R恒成立，∴2kx=log a（a x+1）﹣log a（a﹣x+1）=log a（）=x∴k=，（2）由题意设h （x ）=f （x ）﹣g （x ）=2log a （2x +t ﹣2）﹣log a x ＜0在x ∈[1，4]恒成立，∴2log a （2x +t ﹣2）＜log a x ， ∵0＜a ＜1，x ∈[1，4]，∴只需要2x +t ﹣2＞恒成立，即t ＞﹣2x ++2恒成立，∴t ＞（﹣2x ++2）max ，令y=﹣2x ++2=﹣2（）2++2=﹣2（﹣）2+，x ∈[1，4]，∴（﹣2x ++2）max =1，∴t 的取值范围是t ＞1， （3）∵t=4，0＜a ＜1，∴函数y=|f （x ）|=|2log a （2x +2）|在（﹣1，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增，∵当x ∈[m ，n ]时，函数y=|f （x ）|的值域为[0，2]，且f （﹣）=0，∴﹣1＜m ≤≤n （等号不同时取到），令|2log a （2x +2）|=2，得x=或，又[﹣（﹣）]﹣[（﹣）﹣]=＞0，∴﹣（﹣）＞（﹣）﹣，∴n ﹣m 的最小值为（﹣）﹣=，∴a=．20．已知向量=（cos ，sin），=（cos ，﹣sin ），函数f （x ）=•﹣m |+|+1，x ∈[﹣，]，m ∈R ．（1）当m=0时，求f （）的值；（2）若f （x ）的最小值为﹣1，求实数m 的值；（3）是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）+m2，x∈[﹣，]有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．【考点】函数零点的判定定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用向量数量积的公式化简函数f（x）即可．（2）求出函数f（x）的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可．（3）由g（x）=0得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可．【解答】解：（1）•=（cos，sin）•（cos，﹣sin）=cos cos﹣sinsin=cos（+）=cos2x，当m=0时，f（x）=•+1=cos2x+1，则f（）=cos（2×）+1=cos+1=；（2）∵x∈[﹣，]，∴|+|===2cosx，则f（x）=•﹣m|+|+1=cos2x﹣2mcosx+1=2cos2x﹣2mcosx，令t=cosx，则≤t≤1，则y=2t2﹣2mt，对称轴t=，①当＜，即m＜1时，当t=时，函数取得最小值此时最小值y=﹣m=﹣1，得m=（舍），②当≤≤1，即m＜1时，当t=时，函数取得最小值此时最小值y=﹣=﹣1，得m=，③当＞1，即m＞2时，当t=1时，函数取得最小值此时最小值y=2﹣2m=﹣1，得m=（舍），综上若f（x）的最小值为﹣1，则实数m=．（3）令g（x）=2cos2x﹣2mcosx+m2=0，得cosx=或，∴方程cosx=或在x∈[﹣，]上有四个不同的实根，则，得，则≤m＜，即实数m的取值范围是≤m＜．2017年1月25日。
易错汇总江苏省无锡市高一上学期期末数学试卷和答案
故答案为：﹣ ．
10．（ 5.00 分）将函数 y=sin（2x﹣ ）的图象先向左平移 个单位，再将图象 上各点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），那么所得图象的解析式为 y= sin （ 4x+ ） ． 【分析】 先求函数 y=sin（2x﹣ ）的图象先向左平移 ，图象的函数表达式， 再求图象上所有的点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变） ，则所得到的图象 对应的函数解析式． 【解答】 解：将函数 y=sin（2x﹣ ）的图象先向左平移 ， 得到函数 y=sin[ 2（x+ ）﹣ ] =sin（ 2x+ ）的图象， 将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变）， 则所得到的图象对应的函数解析式为： y=sin（ 4x+ ） 故答案为： sin（ 4x+ ）．
的最小正周期为
．
3．（5.00 分）若函数 f（x）=
，则 f （f （﹣ 2））=
．
4．（ 5.00 分）在平面直角坐标系 xOy 中，300°角终边上一点 P 的坐标为 （1，m），
则实数 m 的值为
．
5．（5.00 分）已知幂函数 y=f（x）的图象过点（ ， ），则 f（ ）=
．
6．（ 5.00 分）已知向量 与 满足 | | =2， | | =3，且 ? =﹣3，则 与 的夹角
=4，
故答案为： 4．
6．（5.00 分）已知向量 与 满足 | | =2，| | =3，且 ? =﹣3，则 与 的夹角为 ．
【分析】 由条件利用两个向量的数量积的定义求得 cosθ的值，可得 与 的夹角 θ 的值． 【解答】 解：∵向量 与 满足 | | =2，| | =3，且 ? =﹣ 3，设 与 的夹角为 θ，
2016-2017学年江苏省高一上学期期末考试数学试题word版含答案
2016-2017学年江苏省高一上学期期末考试数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题纸上.1.函数y =的定义域为 ．2.函数cos 43y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为 ． 3.已知函数()2,0,0x x f x x x ⎧>=⎨≤⎩ ，()()11f f +- ．4.已知幂函数()y f x =的图象过点1,82⎛⎫⎪⎝⎭，则()2f = ． 5.把函数sin y x =的图象向左平移6π个单位长度，所得到的图象的函数表达式为 ． 6.1234log 9+= ．7.函数sin cos y x x =+的单调递增区间为 ． 8.若函数()sin y x πϕ=+过点1,16⎛⎫⎪⎝⎭，则()0f = ．9.若,a b r r 的夹角为060，1a =r ，2b =r ，则a b +=r r ． 10.在ABC ∆ 中，D 为边BC 上一点，且AD BC ⊥，若1AD =，2BD =，3CD =，则BAC ∠的度数为 ．11.若1tan tan θθ+=，则sin 2θ= ． 12.若锐角,αβ满足22cos cos 1αβ+=，则cos 2αβ+= ． 13.若方程20x a a --=有四个不同的实根，则实数a 的取值范围为 ．14.已知函数()31f x x x =++，若对任意的x ，都有()()22f x a f ax ++>，则实数a 的取值范围是 ．二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 已知集合{}216x A x =≥，{}2log B x x a =≥ .（1）当1a =时，求A B I ；（2）若A 是B 的子集，求实数a 的取值范围.16.已知向量()1,2a x =-r ，()1,2b x =+r .（1）若//a b r r ，求x 的值；（2）当[]0,2x ∈时，求()a a b ⋅-r r r 的取值范围.17.如图，某儿童公园设计一个直角三角形游乐滑梯，AO 为滑道，OBA ∠为直角，20OB =米，设AOB rad θ∠=，一个小朋友从点A 沿滑道往下滑，记小朋友下滑的时间为t 秒，已知小朋友下滑的长度s 与2t 和sin θ的积成正比，当6πθ=时，小朋友下滑2秒时的长度恰好为10米.（1）求s 关于时间t 的函数的表达式；（2）请确定θ的值，使小朋友从点A 滑到O 所需的时间最短.18.已知函数()()cos 3sin cos f x x x x =+，x R ∈. （1）求函数()f x 的最大值；（2）若324f θ⎛⎫=⎪⎝⎭，R θ∈，求3f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.19.如图，在ABC ∆中，2BF FC =u u u r u u u r ，AM MF FN ==u u u u r u u u r u u u r .（1）用AB u u u r ，AC u u u r 表示AF u u u r ；（2）若AB AC ⊥u u u r u u u r ，2AB AC =u u u r u u u r ，求证：AN BC ⊥u u u r u u u r ；（3）若1BM BC MF ⋅==u u u u r u u u r u u u r ，求BA BN ⋅u u u r u u u r 的值.20.已知函数()22f x x x a =-+-，x R ∈. （1）若函数()f x 为偶函数，求实数a 的值；（2）当1x =-时，函数()f x 在取得最大值，求实数a 的取值范围.（3）若函数()f x 有三个零点，求实数a 的取值范围.2016-2017学年江苏省高一上学期期末考试数学试题答案一、填空题1.[)1,+∞2.2π 3.1 4.18 5.sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 6. 4 7.()32,24k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦013513.()1,+∞ 14.04a <<二、解答题15.解：（1）当1a =时，由216x ≥得4x ≥，所以{}4A x x =≥，由2log 1x ≥得2x ≥，所以{}2A x x =≥， 所以{}4A B x x =≥I ；（2）{}{}2log 2a B x x a x x =≥=≥，因为A 是B 的子集，所以24a ≤，所以实数a 的取值范围2a ≤.16.解：（1）因为//a b r r ，所以()()2112x x -+=⨯，解得0x =或1x =，（2）因为()1,2a x =-r ，()1,2b x =+r ，所以(),a b x x -=--r r ，所以()()()22392324a a b x x x x x x ⎛⎫⋅-=-+--=-=-- ⎪⎝⎭r r r ，因为[]0,2x ∈，所以()a a b ⋅-r r r 的取值范围9,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.17.解：（1）由题意，设2sin ,0s kt t θ=>，2102sin 6k π∴=⨯ ，5k ∴= ，25sin ,0s t t θ∴=> ；（2）20cos OA θ=Q ， 2205sin cos t θθ∴= ，t ∴== ， ∴当4πθ=时，时间t 最短.18.解：（1）())21cos 2cos cos cos cos 22x f x x x x x x x x +=+=+=+ 1sin 262x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ， ∴当()6x k k Z ππ=+∈时，()max 13122f x =+=； （2）324f θ⎛⎫= ⎪⎝⎭Q ，13sin 624πθ⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭，即1sin 64πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ， 25sin 2sin 212sin 36326f πππππθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2171248⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭. 19.因为2BF FC =u u u r u u u r ,所以()2AF AB AC AF -=-u u u r u u u r u u u r u u u r , 所以1233AF AB AC =+u u u r u u u r u u u r , （2）因为AB AC ⊥u u u r u u u r ，所以0AB AC ⋅=u u u r u u u r ，即()()0AF FB AF FC +⋅+=u u u r u u u r u u u r u u u r ，即2220AF AF FC FC -⋅-=u u u r u u u r u u u r u u u r ,又因为AB =u u u r 所以()()222AF FB AF FC +=+u u u r u u u r u u u r u u u r ，即22280AF FC AF FC --⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r . 所以0AF FC ⋅=u u u r u u u r ，所以AN BC ⊥u u u r u u u r ,（3）因为AM MF FN ==u u u u r u u u r u u u r ,所以2AM MN =u u u u r u u u u r ,即()2BM BA BN BM -=-u u u u r u u u r u u u r u u u u r ，因此2133BM BA BN =+u u u u r u u u r u u u r , 同理1233BF BA BN =+u u u r u u u r u u u r ,又2BF FC =u u u r u u u r ,所以31212332BC BA BN BA BN ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 因为1BM BC ⋅=u u u u r u u u r ,所以2111332BA BN BA BN ⎛⎫⎛⎫+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r , 即()22256BA BN BA BN ++⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ① 又因为1MF =u u u r ,AM MF FN ==u u u u r u u u r u u u r ，所以3AN =u u u r ，所以()29BN BA -=u u u r u u u r ,即2229BN BA BN BA +-⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ② 由①②得43BA BN ⋅=-u u u r u u u r . 20.解：（1）任取x R ∈，则()()f x f x -=恒成立，即()2222x x a x x a --+--=-+-恒成立， x a x a ∴-=+恒成立，两边平方得：222222x ax a x ax a -+=++，0a ∴= ；（2）()2222,22,x x a x a f x x x a x a⎧-+-≥⎪=⎨--+<⎪⎩ ，因为函数()y f x =在1x =-时取得最大值， 当1a ≥时，必须()()1f f a -≥，即21222a a a a +≥-+-，即()210a +≥，所以1a ≥适合题意； 当11a -<<时，必须()()11f f -≥，即1212a a +≥-，即0a ≥，所以01a ≤<适合题意； 当1a ≤-时，因为()()11f f -<，不合题意，综上，实数a 的取值范围是[)0,+∞.（3）()2222,22,x x a x a f x x x a x a⎧-+-≥⎪=⎨--+<⎪⎩， ()()21241248a a ∆=---=- ，()()()22241248a a ∆=---=+， 当10∆=时，12a =，此时函数()22121,2121,2x x x f x x x x ⎧-+->⎪⎪=⎨⎪--+<⎪⎩ 有三个零点1，1-±当20∆=时，12a =-，此时函数()22121,2121,2x x x f x x x x ⎧-++≥-⎪⎪=⎨⎪---<-⎪⎩有三个零点1,1-± ； 当120,0∆>∆>时，即1122a -<<时，方程2220x x a -+-=的两根为1x =±， 方程2220x x a --+=的两根为1x =-，因为11a -<-<，所以1a ≥且1a -+≥，解得0a = ，或者1a <且1a -+<，此时无解， 综上得12a =±或0.。
江苏省天一中学2016-2017学年高一上学期期中考试数学试题(解析版)
所以过点（0，-3）
-3(t-2)+3-2t=0
5t=9
t=9/5
19.求经过M（-1，2），且满足下列条件的直线方程
（1）与直线2x+y+5=0平行；
（2）与直线2x+y+5=0垂直.
【答案】（1） （2）
【解析】
【详解】试题分析：（1）与直线2x + y + 5 = 0平行的直线方程可设为 ，再将点的坐标代入直线方程可解得t的值（2）与直线2x + y + 5 = 0垂直的直线方程可设为 ，再将点的坐标代入直线方程可解得t的值
【详解】分别设长、宽、高为am，bm，hm；水池的总造价为y元，则V＝abh＝16， h＝2，b＝2，
∴a＝4m，∴S底＝4×2＝8m2，S侧＝2×（2+4）×2＝24m2，
∴y＝120×8+80×24＝2880元．
【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的转化能力，属于基础题．
18.已知直线 ，分别根据下列条件，求 的值．
2.圆(x＋2)2＋y2＝5的圆心为( )
A. (2，0）
B. （0，2）
C. (-2，0）
D.（0，-2）
【答案】C
【解析】
【详解】由圆标准方程得圆心为(-2，0），选C.
3.已知 ， ，则直线 与直线 的位置关系是（）
A.平行B.相交或异面C.异面D.平行或异面
【答案】D
【解析】
【分析】由直线 平面 ，直线 在平面 内，知 ，或 与 异面．
13.已知 与 ，若两直线平行，则 的值为_______
【答案】
【解析】
【详解】两直线平行则斜率相等，所以 ，解得
江苏省天一中学上册期末精选综合测试卷(word含答案)
江苏省天一中学上册期末精选综合测试卷（word含答案）一、第一章运动的描述易错题培优（难）1．甲、乙两辆赛车从同一地点沿同一平直公路行驶。
它们的速度图象如图所示，下列说法正确的是( )A．60 s时,甲车在乙车的前方B．20 s时,甲、乙两车相距最远C．甲、乙加速时,甲车的加速度大于乙车的加速度D．40 s时,甲、乙两车速度相等且相距900m【答案】AD【解析】【详解】A、图线与时间轴包围的面积表示对应时间内的位移大小，由图象可知60s时，甲的位移大于乙的位移，所以甲车在乙车前方，故A正确；B、40s之前甲的速度大于乙的速度，40s后甲的速度小于乙的速度，所以40s时，甲乙相距最远，在20s时，两车相距不是最远，故B错误；C、速度−时间图象斜率表示加速度，根据图象可知，甲加速时的加速度小于乙加速时的加速度，故C错误；D、根据图象可知，40s时，甲乙两车速度相等都为40m/s，甲的位移，乙的位移，所以甲乙相距，故D正确；故选AD。
【点睛】速度-时间图象切线的斜率表示该点对应时刻的加速度大小，图线与时间轴包围的面积表示对应时间内的位移大小，根据两车的速度关系知道速度相等时相距最远，由位移求相距的距离。
2．节能减排可体现在我们日常生活中．假设公交车通过城市十字路口时允许的最大速度为10m/s，一辆公交车在距离十字路口50m的车站停留，乘客上下完后，司机看到红灯显示还有10s，为了节能减排．减少停车，降低能耗，公交车司机启动公交车，要使公交车尽快通过十字路口且不违章，则公交车启动后的运动图象可能是（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】【分析】【详解】因速度图像与坐标轴围成的面积等于物体的位移，由速度图像可知，A、B、D三个图像与坐标轴围成的面积均大于50m，且速度不超过10m/s；C图像中公交车的位移可能恰好等于50m，且速度小于10m/s,故公交车启动后的运动图像可能是ABD。
故选：ABD。
【名师点睛】此题是对速度时间图像的考查；关键是知道速度-时间图像与坐标轴围成的“面积”等于物体的位移，结合公交车的运动情况即可分析解答．3．某班同学去参加野外游戏．该班同学分成甲、乙、丙三个小组，同时从营地A出发，沿各自的路线搜寻目标，要求同时到达营地B，如图所示为其运动轨迹，则关于他们的平均速度和平均速率的说法正确的是( )A．甲、乙、丙三组的平均速度大小相同B．甲、乙、丙三组的平均速率大小相同C．乙组的平均速度最大，甲组的平均速度最小D．乙组的平均速率最小，甲组的平均速率最大【答案】AD【解析】【详解】AC、三个质点从A到B的过程中，位移大小相等，时间相同；平均速度是位移与时间段的比值，故平均速度相同，故A正确，C错误；BD、三个质点从A到B的过程中，路程不全相同，时间相同；平均速率是路程与时间的比值，由图象知乙组的平均速率最小，甲组的平均速率最大，故C错误；D正确；故选AD．【点睛】位移是指从初位置到末位置的有向线段，路程是轨迹的长度，故从M到N过程中，三个物体的位移相同，但路程不等；平均速率是路程与时间的比值，而平均速度是位移与时间段的比值．4．物体沿一条东西方向的水平线做直线运动，取向东为运动的正方向，其速度—时间图象如图所示，下列说法中正确的是A．在1 s末，物体速度为9 m/sB．0～2 s内，物体加速度为6 m/s2C．6～7 s内，物体做速度方向向西的加速运动D．10～12 s内，物体做速度方向向东的加速运动【答案】AC【解析】【分析】【详解】A．由所给图象知，物体1 s末的速度为9 m/s，选项A正确；B．0～2 s内，物体的加速度a＝1262vt∆-=∆m/s2＝3m/s2选项B错误；C．6～7 s内，物体的速度、加速度为负值，表明它向西做加速直线运动，选项C正确；D．10～12 s内，物体的速度为负值，加速度为正值，表明它向西做减速直线运动，选项D 错误．5．如图所示为某质点的速度-时间图象，则下列说法中正确的是（ ）A ．在0～6s 内，质点做匀变速直线运动B ．在t =12s 末，质点的加速度为-1m /s 2C ．在6～10s 内，质点处于静止状态D ．在4s 末，质点运动方向改变【答案】B 【解析】在0～4s 内，质点的加速度为64v a t ∆==∆ =1.5（m/s 2），在4-6s 内质点的加速度为：4-62v a t ∆==∆=-1（m/s 2），两段时间内的加速度不同，所以在0～6s 内，质点做非匀变速直线运动，故A 错误；在t=12s 末，质点的加速度为a=044v a t ∆-==∆=-1（m/s 2），故B 正确．在6s ～10s 内，质点以4m/s 的速度做匀速运动，故C 错误；在0-14s 内，质点的速度都为正，一直沿正方向运动，故在4s 末速度方向没有改变，故D 错误；故选B.点睛：本题考查学生对v-t 图象的认识，记住图象的斜率表示加速度，图象与时间轴围成的面积表示这段时间内物体通过的位移．6．如图所示是一做匀变速直线运动的质点的位移—时间图像，P (t 1，x 1)为图像上一点．PQ 为过P 点的切线，与x 轴交于点Q ．则下列说法正确的是( )A ．t 1时刻，质点的速率为211x tB ．t 1时刻，质点的速率为121x x t - C ．质点的加速度大小为1221x x t - D ．0～t 1时间内，质点的平均速度大小为()1212x x t -【答案】B 【解析】【分析】【详解】AB.x-t图象的斜率表示速度，则1t时刻，质点的速率为1211x xvt-=故A错误，B正确；C.根据图象可知，t=0时刻，初速度不为零，根据v vat-=可得加速度12112211x xvt x xat t---=≠故C错误；D.10t-时间内，质点的平均速度大小为11xvt=故D错误．7．近年来，登山步行成为越来越多的人的健康习惯。
江苏省无锡市2017-2020学年高一(上)期末数学试卷
2017-2020学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合{}{0}112A B ==，，，，则A B ⋃=______．2. 176cos π=______． 3. 若幂函数的图象过点42（，），则16f =（）______．4. 若向量12a =（，），，且a b ，则|______． 5. 函数的单调增区间是______．6.计算：2ln33(0.125)e -++=______． 7. 已知圆心角是3π的扇形的面积是223cm π，则该圆心角所对的弧长为______cm ． 8. 已知函数x （）是周期为2的奇函数，且1[]0x ∈-，时，f x x =（），则212f =（）______． 9. 将函数2y sin x =向右平移0ϕϕπ（＜＜）个单位所得函数记为，当23x π=时f x （）取得最大值，则ϕ=______．10.若cos 23sin(a )4aπ=+，sin cos a a =______． 11. 若2(x 1)1,1(x)1,1x f x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩，且23f a f a -（）＜（），则实数a 的取值范围是______． 12. 在ABC 中，已知，|，点M 在边BC 上，，，则______．13. 函数221,04(x)1log ,4x x f x x +≤≤⎧=⎨+<⎩，若，且(m)f(n)f =，则mf(n)的取值范围是______．14. 函数在R 上有4个零点，则实数m 的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.设集合2{|3}2A x y log x =-（），全集U R =．16. （1）若2a =，求U A C ⋂（B ）；17. （2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围．在ABC 中，已知12AB =（，），40AC m m =（，）（＞）． 18.19. 在△ABC 中，已知AB⃗⃗⃗⃗ =（1，2），AC ⃗⃗⃗⃗ =（4，m ）（m ＞0） （1）若，求m 的值；（2）若，且2BD DC =，求cos ADC ∠的值．17.如图，在平面直角坐标系中，角αβ，的始边均为x 轴正半轴，终边分别与圆O 交于A ，B 两点，若712παπ∈（，），12πβ=，且点A 的坐标为1A m -（，）．（1）若423tan α=-，求实数m 的值； （2）若34tan AOB ∠=-，若2sin α的值．20. 某公司对营销人员有如下规定：21. i （）年销售额x （万元）不大于8时，没有年终奖金； 22. （ⅱ）年销售额x （万元）大于8时，年销售额越大，年终奖金越多．此时，当年销售额x （万元）不大于64时，年终奖金y （万元）按关系式ay log x b =+，0a （＞，且1a ≠）发放；当年销售额x（万元）不小于64时，年终奖金y （万元）为年销售额x （万元）的一次函数经测算，当年销售额分别为16万元，64万元，80万元时，年终奖金依次为1万元，3万元，5万元．23. （1）求y 关于x 的函数解析式；24. （2）某营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，求该营销人员年销售额x （万元）的取值范围．25. 已知奇函数23(x)22x b f x +=+，函数221g t sin t cost =+-（），]3[t m π∈，，m ，． 26. （1）求b 的值；（2）判断函数f x （）在上的单调性，并证明；（3）当]1[0x ∈，时，函数g t （）的最小值恰为f x （）的最大值，求m 的取值范围．已知向量24a sin x πω=+（（），，4b sin x πω=+（（），20cos x ωω（））（＞），函数•1x a b =-（），f x （）的最小正周期为π． （1）求f x （）的单调增区间； （2）方程；在上有且只有一个解，求实数n 的取值范围；（3）是否存在实数m 满足对任意x 1∈[-1，1]，都存在x 2∈R ，使得4x 1+4−x 1+m （2x 1-2−x 1）+1＞f （x 2）成立．若存在，求m 的取值范围；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】{012}，，【解析】解：集合{}{0}112A B ==，，，，则012{}A B ⋃=，，．故答案为：{012}，，．根据交集的定义写出即可．本题考查了并集的定义与应用问题，是基础题．2.【答案】【解析】 解：1773)6cos 66cos cos ππππ-=-==（．故答案为：直接利用诱导公式化简求解即可．本题考查诱导公式的应用特殊角的三角函数值的求法，是基础题．3.【答案】4【解析】解：设幂函数，幂函数的图象过点42（，），42a ∴=， 解得：12a =， 12y f x x∴==（）164f ∴=（）， 故答案为：4根据已知求出函数的解析式，将16x =代入可得答案．本题考查的知识点是幂函数的解析式，函数求值，难度不大，属于基础题．4.【答案】解：||a b ，60m ∴-=，解得6m =．|48a b ∴+=（，）． 则2|4|a b +=+=故答案为：利用向量共线定理即可得出．本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】【解析】解：根据题意，，即当2x ≥-时，，令3t x y lnt =+=，，在上，1t ≥，此时3t x =+为增函数，y lnt =也为增函数，则函数f x （）为增函数； 当时，，令3t x y lnt =+=-，，在32--（，）上，01t ＜＜，此时3t x =+为增函数，y lnt =-为减函数，则函数f x （）为减函数；故函数的单调增区间是；故答案为：．根据题意，将函数的解析式写成分段函数的形式，结合函数的定义域分段讨论函数的单调性，综合即可得答案．本题考查分段函数的单调性的判断，注意分段函数要分段分析，属于基础题．6.【答案】11【解析】 解：原式233134[()]2-=++ 故答案为：11．利用对数的运算性质即可得出．本题考查了对数的运算性质，属于基础题．7.【答案】23π【解析】解：设扇形的弧长为l ，圆心角大小为rad α（），半径为r ，扇形的面积为S ， 则：2322234S r ππα⨯===．解得2r =， 可得：扇形的弧长为2233l r ππα==⨯=cm ． 故答案为：．利用扇形的面积求出扇形的半径，然后由弧长公式求出弧长的值．本题考查扇形面积、扇形的弧长公式的应用，考查计算能力，属于基础题．8.【答案】12【解析】解：根据题意，函数x （）是周期为2的函数，则211110222f f f =+=（）（）（）， 又由f x （）为奇函数，则， 则21122f =（）； 故答案为：12根据题意，由函数的周期性可得211110222f f f =+=（）（）（），结合函数的奇偶性与解析式可得分析可得，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，涉及函数的表示方法，属于基础题． 9.【答案】512π【解析】解：将函数2y sin x =向右平移0ϕϕπ（＜＜）个单位，所得函数记为， 当23x π=时f x （）取得最大值，则，5226k Z k πϕπ∈∴=-+．，令0k =，可得 512πϕ=， 故答案为：512π．利用函数的图象变换规律求得f x （）的解析式，再根据正弦函数的最大值，求得ϕ的值． 本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的最大值，属于中档题．10.【答案】49【解析】解：cos 2sin )4aa π=+（， ，即，13cos sin αα∴-=，两边平方得：112sin cos 9a a -=， 49sin cos αα∴=． 故答案为：49． 由已知展开倍角公式及两角和的正弦可得1cos sin 3αα-=，两边平方得答案． 本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及两角和的正弦的应用，是基础题． 11.【答案】12-∞（，） 【解析】 解：2(x 1)1,11,1x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩（），可得1x ＞时，f x （）递减； 1x ≤时，f x （）递减， 且11f =（），可得f x （）在R 上递减， 23f a f a -（）＜（），可得23a a -＞， 解得12a ＜， 故答案为：12-∞（，）． 讨论f x （）在1x ＞和1x ≤的单调性，可得f x （）在R 上递减，进而可得a 的不等式，解不等式即可得到所求范围．本题考查分段函数的单调性的判断和运用：解不等式，考查运算求解能力，属于中档题．12.【答案】32【解析】解：4BM BC ==，11()44BM BC AC AB ∴==-， 1344AB BM AC AB +=+， ，，13•44AC AB AC AB =+-（）（）， ，13142442AB AC =-⨯+=-， 32AB AC ∴=⋅=， 故答案为：32．由向量加法及减法的三角形法则可得，，结合已知即可求解．本题主要考查了向量的基本运算及向量的数量积的基本运算，属于基础试题．13.【答案】36]3（，【解析】解：作出函数的图象，可得，14m ≤＜，则2122mf n m m m m =+=+（）（）在14]（，递增，可得 的范围是36]3（，．故答案为：36]3（，．作出f x （）的图象，求得f n （），m 的范围及的解析式，运用二次函数的单调性，可得所求范围．本题考查分段函数的图象和运用，考查二次函数的单调性的运用，以及运算能力，属于中档题．14.【答案】【解析】解：根据题意，对于函数2||31|431|1x x f x m =---+（），设|1|3x t =-，则241y mt t =-+，|1|3x t =-的图象如图：若函数在R 上有4个零点，则方程2410mt t -+=在区间01（，）有2个根， 则有，解可得：34m ＜＜，即m 的取值范围为；故答案为：根据题意，设|1|3x t =-，则241y mt t =-+，作出|1|3x t =-的草图，据此分析可得方程2410mt t -+=在区间01（，）有2个根，结合一元二次函数的性质可得，解可得m 的取值范围，即可得答案．本题考查函数的零点，注意利用换元法分析，属于综合题．15.【答案】解：（1）集合，2a =时，{|2x B y y ==，，又全集U R =，{4|UC B x x ∴=＜或6}1x ＞， 2{|4U C A x x ∴⋂=≤（B ）＜，或1632}x ＜＜；（2）A B A B A ⋃=∴⊆，， 又{}222|a a B y y +=≤≤，232{|}A x x =≤＜， 222232a a +⎧≥⎪∴⎨<⎪⎩， 解得实数a 的取值范围是13a ≤＜．【解析】（1）求定义域得集合A ，求出2a =时集合B ，再根据集合的定义计算即可；（2）由A B A ⋃=得出B A ⊆，由此列不等式求出实数a 的取值范围．本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了求函数的定义域和值域问题，是中档题． 16.【答案】解：（1）若，则，32BC AC AB m =-=-（，）， 3240m ∴+-=，12m ∴=． （2）||32BC =9(m +-= 0m ＞，5m ∴=，2BD DC =，1113DC BC ∴==（，），2223BD BC ==（，）， 而，34DA ∴=--（，）， ．【解析】（1）由题意可知，结合向量的数量积的性质即可求解m（2）由，结合向量数量积的性质可求m ，然后结合2BD DC =，及向量夹角公式可求本题主要考查了向量数量积的性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握基本公式并能灵活应用．17.【答案】解：（1）由题意可得224213tan tan tan ααα==--，12tan α∴=-，或2tan α=．712παπ∈（，），12tan α∴=-，即112m =--，12m ∴=． （2）sin()312124cos()12tan AOB tan tan παπαβαπα-∠=-=-==--（）（）， 2211()()1,[,]121212212sin cos ππππαπαα--∈-+=，34125125sin cos ππαα∴-=-=-（），（）， 24226121225sin sin cos πππααα∴-=--=-（）（）（），2722161225cos cos ππαα-=--=（）（），22226666[6]6sin sin sin cos cos sin ππππππαααα∴=-+=-+-=（）（）（）．【解析】（1）由题意利用二倍角的正切公式求得tan α的值，再利用任意角的三角函数的定义求得m 的值．（2）利用同角三角函数的基本关系，求得12sin πα-（）和12cos πα-（）的值，再利用两角和的正弦公式求得[6]226sin sin ππαα=-+（）的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，用两角和的正弦公式的应用，属于中档题．18.【答案】解：（1）864x ≤＜，年销售额越大，奖金越多，a y log xb ∴=+在84]6（，上是增函数． ，解得．864x ∴≤＜时，；又64x ≥时，y 是x 的一次函数，设，由题意可得：，解得．64x ∴≥时，158y x =-． ∴y 关于x 的函数解析式为20,08log 3,86415,648x y x x x x ⎧⎪≤≤⎪=-<≤⎨⎪⎪->⎩；（2）当时，不合题意；当时，2234log x -+＜＜，解得．3264x ∴≤＜．当64x ＞时，1548x -<，解得72x ＜，6472x ∴＜＜．综上，．答：该营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，其年销售额的取值范围是大于32万元且小于72万元．【解析】（1）由已知可得ay log x b =+在84]6（，上是增函数，再结合已知列关于a ，b 的方程组，求解可得函数解析式；又64x ≥时，y 是x 的一次函数，设，再由已知可得关于m ，k 的方程组求解可得64x ≥时，158y x =-，则函数解析式可求； （2）当时，不合题意；然后分类求解不等式得答案．本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查简单的数学建模思想方法，训练了不等式的解法，是中档题．19.【答案】解：（1）奇函数23()22x b f x x +=+，可得00f =（）， 即0b =；（2）23(x)22x f x =+在单调递增， 证明：设12x x ，是上任意两个值，且12x x ＜， 2121122122222121()(1)33(x )f(x )()2112(1)(1)x x x x x x f x x x x ---=-=⋅++++，由121]0[x x ∈，，，且12x x ＜，可得210x x -＞，1210x x -＞，2110x +＞，2210x +＞， 即有210f x f x -（）（）＞，即21f x f x （）＞（）， 可得f x （）在递增； （3）由（2）可得f x （）在递增，可得314max f x f ==（）（）， 可得g t （）的最小值为34， 令s cost =，所以的最小值为34， 所以1322s ≤≤，即112cost ≤≤，]3[t m π∈，， 由y cost =的图象可得33m ππ-≤＜． 【解析】（1）由奇函数的性质可得00f =（），解方程即可得到b ；（2）2322x f x x =+（）在单调递增，运用单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符号和下结论等步骤；（3）由（2）可得f x （）的最大值，即可得到g t （）的最小值，运用换元法和余弦函数的图象和性质，可得所求范围．本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查换元法和定义法的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）函数2•b 12214f x a sin x x πωω=-=+-（）（）（）22sin x x ωω=（）（） 223sin x πω=-（）的最小正周期为π．0ω＞22ππω∴=， 1ω∴=．那么f x （）的解析式223f x sin x π=-（）（） 令222232k x k πππππ-≤-≤+，k Z ∈ 得：51212k x k ππππ-≤≤+ 的单调增区间为[k k 5]1212ππππ-+，，k Z ∈． （2）方程；在上有且只有一个解，转化为函数与函数2y n =只有一个交点． x 在上，52336x πππ∴-≤-≤（） 那么函数12213y f x sin x π=+=--（）（）的值域为，结合图象可知函数与函数2y n =只有一个交点．那么1122n ≤<或21n =， 可得1122n ≤<或12n =．（3）由（1）可知223f x sin x π=-（）（）22min f x ∴=-（）． 实数m 满足对任意11[]1x ∈-，，都存在2x R ∈， 使得成立．即1111?44?2?2?(>12x x x x m --++-+-）成立 令1111?44221x x x x y m --=++-+（？）？？设1122x x t --=？？，那么111122442222x x x x t --+=-+=+？？）？？（11]1[x ∈-，，332[2]t ∴∈-，， 可得250t mt ++＞在3322[]t ∈-，上成立． 令250g t t mt =++（）＞， 其对称轴m 2t =- 332[]2t ∈-，上， ①当322m -≤-时，即3m ≥时，32930242min m g t g ==>--（）（），解得2936m ≤<； ②当，即33m -＜＜时，2(>(t))5024m m g min g =-=-，解得33m -＜＜； ③当322m ≤-，即3m ≤-时，329300242min m g t g ==>（）（）+＞，解得2936m -≤-＜；综上可得，存在m ，可知m 的取值范围是．【解析】（1）函数•1f x a b =-（），f x （）的最小正周期为π．可得ω，即可求解f x （）的单调增区间． （2）根据x 在上求解f x （）的值域，即可求解实数n 的取值范围； （3）由题意，求解2f x （）的最小值，利用换元法求解111144221x x x x y m --=++-+（）的最小值，即可求解m 的范围．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．同时考查了二次函数的最值的讨论和转化思想的应用．属于难题．。
江苏省无锡市2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析
2017-2018学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合，，则______．【答案】【解析】∵，∴点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．2.______．【答案】【解析】【分析】直接利用诱导公式化简求解即可．【详解】．故答案为：【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查了特殊角的三角函数值的求法，是基础题．3.若幂函数的图象过点，则______．【答案】4【解析】【分析】根据已知求出函数的解析式，将代入可得答案．【详解】设幂函数，幂函数的图象过点，，解得：，，，故答案为：4【点睛】本题考查的知识点是幂函数的解析式，函数求值，难度不大，属于基础题．4.若向量，，且，则|______．【答案】【解析】【分析】利用向量共线定理即可得出．【详解】，，解得．．则．故答案为：．【点睛】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.函数的单调增区间是______．【答案】【解析】【分析】根据题意，将函数的解析式写成分段函数的形式，结合函数的定义域分段讨论函数的单调性，综合即可得答案．【详解】根据题意，，即当时，，令，在上，，此时为增函数，也为增函数，则函数为增函数；当时，，令，在上，，此时为增函数，为减函数，则函数为减函数；故函数的单调增区间是；故答案为：．【点睛】本题考查分段函数的单调性的判断，注意分段函数要分段分析，属于基础题．6.计算：=______．【答案】【解析】【分析】利用对数的运算性质即可得出．【详解】原式=3+4+=7+4=11．故答案为：11．【点睛】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．7.已知圆心角是的扇形的面积是，则该圆心角所对的弧长为______cm．【答案】【解析】【分析】利用扇形的面积求出扇形的半径，然后由弧长公式求出弧长的值．【详解】设扇形的弧长为l，圆心角大小为，半径为r，扇形的面积为S，则：．解得，可得：扇形的弧长为cm．故答案为：．【点睛】本题考查扇形面积、扇形的弧长公式的应用，考查计算能力，属于基础题．8.已知函数是周期为2的奇函数，且时，，则______．【答案】【解析】【分析】根据题意，由函数的周期性可得，结合函数的奇偶性与解析式可得分析可得，综合即可得答案．【详解】根据题意，函数是周期为2的函数，则，又由为奇函数，则，则；故答案为：【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，涉及函数的表示方法，属于基础题．9.将函数向右平移个单位所得函数记为，当时取得最大值，则______．【答案】【解析】【分析】利用函数的图象变换规律求得的解析式，再根据正弦函数的最大值，求得的值．【详解】将函数向右平移个单位，所得函数记为，当时取得最大值，则，，令，可得，故答案为：．【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的最大值，属于中档题．10.若，______．【答案】【解析】【分析】由已知展开倍角公式及两角和的正弦可得，两边平方得答案．【详解】，，即，，两边平方得：，．故答案为：．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及两角和的正弦的应用，是基础题．11.若，且，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】讨论在和的单调性，可得在R上递减，进而可得a的不等式，解不等式即可得到所求范围．【详解】，可得时，递减；时，递减，且，可得在R上递减，，可得，解得，故答案为：．【点睛】本题考查分段函数的单调性的判断和运用：解不等式，考查运算求解能力，属于中档题．12.在中，已知，，点M在边BC上，，，则______．【答案】【解析】【分析】由向量加法及减法的三角形法则可得，，结合已知即可求解．【详解】，，，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了向量的基本运算及向量的数量积的基本运算，属于基础题．13.函数，若，且，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】作出的图象，求得，m的范围及的解析式，运用二次函数的单调性，可得所求范围．【详解】作出函数的图象，可得，，则在递增，可得的范围是．故答案为：．【点睛】本题考查分段函数的图象和运用，考查二次函数的单调性的运用，以及运算能力，属于中档题．14.函数在R上有4个零点，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据题意，设，则，作出的草图，据此分析可得方程在区间有2个根，结合一元二次函数的性质可得，解可得m的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，对于函数，设，则，的图象如图：若函数在R上有4个零点，则方程在区间有2个不同的根，则有，解可得：，即m的取值范围为；故答案为：【点睛】本题考查函数的零点，注意利用换元法分析，属于综合题．二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.设集合，全集．（1）若，求；（2）若，求实数a的取值范围．【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）求定义域得集合A，求出时集合B，再根据集合的定义计算即可；（2）由得出，由此列不等式求出实数a的取值范围．【详解】（1）集合，时，，，又全集，或，或；（2），又，，，解得实数a的取值范围是．【点睛】本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了求函数的定义域和值域问题，是中档题．16.在△ABC中，已知=（1，2），=（4，m）（m＞0）（1）若，求m的值；（2）若，且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意可知，结合向量的数量积的性质即可求解m（2）由，结合向量数量积的性质可求m，然后结合，及向量夹角公式即可求.【详解】（1）若，则，，，．（2），，，，，，，而，，．【点睛】本题主要考查了向量数量积的性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握基本公式并能灵活应用．17.如图，在平面直角坐标系中，角的始边均为x轴正半轴，终边分别与圆O交于A，B两点，若，，且点A的坐标为．（1）若，求实数m的值；（2）若，若的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意利用二倍角的正切公式求得的值，再利用任意角的三角函数的定义求得m的值．（2）利用同角三角函数的基本关系，求得和的值，再利用两角和的正弦公式求得的值．【详解】（1）由题意可得，，或．，，即，．（2），，，，，．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，用两角和的正弦公式的应用，属于中档题．18.某公司对营销人员有如下规定：（i）年销售额x（万元）不大于8时，没有年终奖金；（ⅱ）年销售额x（万元）大于8时，年销售额越大，年终奖金越多．此时，当年销售额x（万元）不大于64时，年终奖金y（万元）按关系式y＝log a x+b，（a＞0，且a≠1）发放；当年销售额x（万元）不小于64时，年终奖金y（万元）为年销售额x（万元）的一次函数经测算，当年销售额分别为16万元，64万元，80万元时，年终奖金依次为1万元，3万元，5万元．（1）求y关于x的函数解析式；（2）某营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，求该营销人员年销售额x（万元）的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知可得在上是增函数，再结合已知列关于a，b的方程组，求解可得函数解析式；又时，y是x的一次函数，设，再由已知可得关于m，k 的方程组求解可得时，，则函数解析式可求；（2）当时，不合题意；然后分类求解不等式得答案．【详解】（1），年销售额越大，奖金越多，在上是增函数．，解得．时，；又时，y是x的一次函数，设，由题意可得：，解得．时，．∴y关于x的函数解析式为；（2）当时，不合题意；当时，，解得．．当时，，解得，．综上，．所以该营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，其年销售额的取值范围是大于32万元且小于72万元．【点睛】本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查简单的数学建模思想方法，训练了不等式的解法，是中档题．19.已知奇函数，函数，，，．（1）求b的值；（2）判断函数在上的单调性，并证明；（3）当时，函数的最小值恰为的最大值，求m的取值范围．【答案】（1）0（2）在递增（3）【解析】【分析】（1）由奇函数的性质可得，解方程即可得到b；（2）在单调递增，运用单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符号和下结论等步骤；（3）由（2）可得的最大值，即可得到的最小值，运用换元法和余弦函数的图象和性质，可得所求范围．【详解】（1）奇函数f（x），可得f（0）＝0，即b＝0；（2）f（x）在[0，1]单调递增，证明：设x1，x2是[0，1]上任意两个值，且x1＜x2，f（x2）﹣f（x1）（）•，由x1，x2∈[0，1]，且x1＜x2，可得x2﹣x1＞0，1﹣x1x2＞0，1+x12＞0，1+x22＞0，即有f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），可得f（x）在[0，1]递增；（3）由（2）可得f（x）在[0，1]递增，可得f（x）max＝f（1），可得g（t）的最小值为，令s＝cos t，所以s＝﹣s2+2s的最小值为，所以s，即cos t≤1，t∈[m，]，由y＝cos t的图象可得m．【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查换元法和定义法的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．20.已知向量，，，，函数，的最小正周期为．（1）求的单调增区间；（2）方程；在上有且只有一个解，求实数n的取值范围；（3）是否存在实数m满足对任意x1∈[-1，1]，都存在x2∈R，使得++m（-）+1＞f（x2）成立．若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1），（2）或（3）存在，且m取值范围为【解析】【分析】（1）函数，的最小正周期为．可得，即可求解的单调增区间．（2）根据x在上求解的值域，即可求解实数n的取值范围；（3）由题意，求解的最小值，利用换元法求解的最小值，即可求解m的范围．【详解】（1）函数f（x）•1＝2sin2（ωx）cos（2ωx）﹣1＝sin（2ωx）cos（2ωx）＝2sin（2ωx）∵f（x）的最小正周期为π．ω＞0∴，∴ω＝1．那么f（x）的解析式f（x）＝2sin（2x）令2x，k∈Z得：x∴f（x）的单调增区间为[，]，k∈Z．（2）方程f（x）﹣2n+1＝0；在[0，]上有且只有一个解，转化为函数y＝f（x）+1与函数y＝2n只有一个交点．∵x在[0，]上，∴（2x）那么函数y＝f（x）+1＝2sin（2x）+1的值域为[，2]，结合图象可知函数y＝f（x）+1与函数y＝2n只有一个交点．那么2n＜1或2n＝2，可得或n＝1．（3）由（1）可知f（x）＝2sin（2x）∴f（x2）min＝﹣2．实数m满足对任意x1∈[﹣1，1]，都存在x2∈R，使得m（）+1＞f（x2）成立．即m（）+1＞﹣2成立令y m（）+1设t，那么（）2+2＝t2+2∵x1∈[﹣1，1]，∴t∈[，]，可得t2+mt+5＞0在t∈[，]上成立．令g（t）＝t2+mt+5＞0，其对称轴t∵t∈[，]上，∴①当时，即m≥3时，g（t）min＝g（），解得；②当，即﹣3＜m＜3时，g（t）min＝g（）0，解得﹣3＜m＜3；③当，即m≤﹣3时，g（t）min＝g（）0，解得m≤﹣3；综上可得，存在m，可知m的取值范围是（，）．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．同时考查了二次函数的最值的讨论和转化思想的应用．属于难题．。
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2016-2017学年江苏省无锡市天一中学高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．1．（5分）已知集合A={0，1，2，3，4，5}，B={﹣1，0，1，6}，且A∩B=．2．（5分）函数的定义域是．3．（5分）cos24°cos36°﹣cos66°cos54°的值等于．4．（5分）已知向量、满足，它们的夹角为60°，那么=．5．（5分）若幂函数f（x）的图象过点，则f（x）=．6．（5分）函数f（x）=1﹣2sin2x的最小正周期为．7．（5分）方程lgx+x=2的根x0∈（k，k+1），其中k∈Z，则k=．8．（5分）设定义域为R的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（0，+∞），（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，则f（﹣π）f（3.14）．（填“＞”、“＜”或“=”）9．（5分）将函数y=sinx的图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为．10．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的图象如图所示，则φ=．11．（5分）如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上一点，=2，则•=．12．（5分）已知角α、β的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，α、β∈（0，π），角β的终边与单位圆交点的横坐标是，角α+β的终边与单位圆交点的纵坐标是，则cosα=．13．（5分）若奇函数f（x）在其定义域R上是减函数，且对任意的x∈R，不等式f（cos2x+sinx）+f（sinx﹣a）≤0恒成立，则a的最大值是．14．（5分）已知△ABC的边长为2的等边三角形，动点P满足，则的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知（1）求tanθ的值；（2）求的值．16．（14分）已知向量，向量，向量满足．（1）若，且，求的值；（2）若与共线，求实数k的值．17．（14分）已知函数（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）若，求cos2α的值．18．（16分）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=0.5米．上部CmD 是个半圆，固定点E为CD的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆（MN和AB、DC不重合）．（1）当MN和AB之间的距离为1米时，求此时三角通风窗EMN的通风面积；（2）设MN与AB之间的距离为x米，试将三角通风窗EMN的通风面积S（平方米）表示成关于x的函数S=f（x）；（3）当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN的通风面积最大？并求出这个最大面积．19．（16分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量=（﹣1，2），又点A（8，0），B（n，t），C（ksinθ，t），θ∈R．（1）若⊥，且，求向量；（2）若向量与向量共线，常数k＞0，求f（θ）=tsinθ的值域．20．（16分）对于函数f1（x），f2（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a•f1（x）+b•f2（x），那么称h（x）为f1（x），f2（x）的生成函数．（1）给出函数，h（x）是否为f1（x），f2（x）的生成函数？并说明理由；（2）设，生成函数h（x）．若不等式3h2（x）+2h（x）+t＞0在x∈[2，4]上恒成立，求实数t的取值范围；（3）设，取a＞0，b＞0，生成函数h（x）图象的最低点坐标为（2，8）．若对于任意正实数x1，x2且x1+x2=1．试问是否存在最大的常数m，使h（x1）h（x2）≥m恒成立？如果存在，求出这个m 的值；如果不存在，请说明理由．2016-2017学年江苏省无锡市天一中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．1．（5分）已知集合A={0，1，2，3，4，5}，B={﹣1，0，1，6}，且A∩B={0，1} ．【解答】解：∵集合A={0，1，2，3，4，5}，B={﹣1，0，1，6}，∴A∩B={0，1}．故答案为：{0，1}．2．（5分）函数的定义域是（﹣1，0）∪（0，+∞）．【解答】解：要使原函数有意义，则，得x＞﹣1且x≠0．∴函数的定义域是：（﹣1，0）∪（0，+∞）．故答案为：（﹣1，0）∪（0，+∞）．3．（5分）cos24°cos36°﹣cos66°cos54°的值等于．【解答】解：∵24°+66°=90°，∴cos66°=sin24°，同理可得cos54°=sin36°．由此可得cos24°cos36°﹣cos66°cos54°=cos24°cos36°﹣sin24°sin36°=cos（24°+36°）=cos60°=．故答案为：4．（5分）已知向量、满足，它们的夹角为60°，那么=．【解答】解：向量、满足，它们的夹角为60°，∴=+2•+=12+2×1×2×cos60°+22=7∴=．故答案为：．5．（5分）若幂函数f（x）的图象过点，则f（x）=x﹣2．【解答】解：设幂函数为y=xα，因为图象过点，则，所以，α=﹣2．所以f（x）=x﹣2．故答案为x﹣2．6．（5分）函数f（x）=1﹣2sin2x的最小正周期为π．【解答】解：f（x）=1﹣2sin2x=cos2x∴函数最小正周期T==π故答案为：π．7．（5分）方程lgx+x=2的根x0∈（k，k+1），其中k∈Z，则k=1．【解答】解：由题意设f（x）=lgx+x﹣2，则函数f（x）的定义域是（0，+∞），所以函数f（x）在（0，+∞）是单调增函数，因为f（1）=0+1﹣2=﹣1＜0，f（2）=lg2+2﹣2=lg2＞0，所以函数f（x）在（0，+∞）上有一个零点，即方程lgx+x=2的一个根x0∈（1，2），因为x0∈（k，k+1），k∈Z，所以k=1，故答案为：1．8．（5分）设定义域为R的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（0，+∞），（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，则f（﹣π）＞f（3.14）．（填“＞”、“＜”或“=”）【解答】解：∵函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（0，+∞），（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，又由函数f（x）是定义域为R的偶函数，故f（﹣π）=f（π）＞f（3.14）．故答案为：＞．9．（5分）将函数y=sinx的图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为y=sin（2x+）．【解答】解：将函数y=sinx的图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），可得y=sin2x的图象；再将得到的图象向左平移个单位长度，可得y=sin2（x+）=sin（2x+）的图象，故答案为：y=sin（2x+）．10．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的图象如图所示，则φ=．【解答】解：由题意可知A=3，T=8，所以ω==，因为函数经过（3，0），所以═3sin（），φ∈[0，2π），所以φ=．故答案为：．11．（5分）如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上一点，=2，则•=．【解答】解：法一：选定基向量，，由图及题意得，=∴=（）（）=+==法二：由题意可得BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+1+2=7，∴BC=，∴cosB===AD==，∵，∴=．故答案为：﹣．12．（5分）已知角α、β的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，α、β∈（0，π），角β的终边与单位圆交点的横坐标是，角α+β的终边与单位圆交点的纵坐标是，则cosα=．【解答】解：由题意得α、β∈（0，π），cosβ=﹣，∴sinβ=，故＜β＜π．∵sin（α+β）=，∴＜α+β＜π，∴cos（α+β）=﹣，∴cosα=cos[（α+β）﹣β]=cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ=，故答案为．13．（5分）若奇函数f（x）在其定义域R上是减函数，且对任意的x∈R，不等式f（cos2x+sinx）+f（sinx﹣a）≤0恒成立，则a的最大值是﹣3．【解答】解：不等式f（cos2x+sinx）+f（sinx﹣a）≤0恒成立，即f（cos2x+sinx）≤﹣f（sinx﹣a）恒成立又∵f（x）是奇函数，﹣f（sinx﹣a）=f（﹣sinx+a）∴不等式f（cos2x+sinx）≤f（﹣sinx+a）在R上恒成立∵函数f（x）在其定义域R上是减函数，∴cos2x+sinx≥﹣sinx+a，即cos2x+2sinx≥a∵cos2x=1﹣2sin2x，∴cos2x+2sinx=﹣2sin2x+2sinx+1，当sinx=﹣1时cos2x+2sinx有最小值﹣3．因此a≤﹣3，a的最大值是﹣3故答案为：﹣314．（5分）已知△ABC的边长为2的等边三角形，动点P满足，则的取值范围是[﹣，0] ．【解答】解：如图所示，△ABC中，设BC的中点为O，则=2，∵=sin2θ•+cos2θ•=sin2θ•+cos2θ•=（1﹣cos2θ）•+cos2θ•=+cos2θ•（﹣），即﹣=cos2θ•（﹣），可得=cos2θ•，又∵cos2θ∈[0，1]，∴P在线段OA上，由于BC边上的中线OA=2×sin60°=，因此（+）•=2•，设||=t，t∈[0，]，可得（+）•=﹣2t（﹣t）=2t2﹣2t=2（t﹣）2﹣，∴当t=时，（+）•取得最小值为﹣；当t=0或时，（+）•取得最大值为0；∴的取值范围是[﹣，0]．故答案为：[﹣，0]．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知（1）求tanθ的值；（2）求的值．【解答】解：（1）∵，∴，∵π＜θ＜2π，∴＜θ＜π，∴tanθ=﹣2．（2）=．16．（14分）已知向量，向量，向量满足．（1）若，且，求的值；（2）若与共线，求实数k的值．【解答】解：（1）∵，∴，又，∴，而，且，∴，得k=﹣，∴=，则||=；（2）由，得，∴，∵与共线，∴，解得：k=1．17．（14分）已知函数（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）若，求cos2α的值．【解答】解：（1）函数=sin2x+2•﹣=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，∴函数f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（2）∵f（α）=sin（2α+）+=2，∴sin（2α+）=，又α∈[，]，∴≤2α+≤，∴2α+=，∴2α=，∴cos2α=．18．（16分）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=0.5米．上部CmD 是个半圆，固定点E为CD的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆（MN和AB、DC不重合）．（1）当MN和AB之间的距离为1米时，求此时三角通风窗EMN的通风面积；（2）设MN与AB之间的距离为x米，试将三角通风窗EMN的通风面积S（平方米）表示成关于x的函数S=f（x）；（3）当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN的通风面积最大？并求出这个最大面积．【解答】解：（1）由题意，当MN和AB之间的距离为1米时，MN应位于DC 上方，且此时△EMN中MN边上的高为0.5米，又因为EM=EN=1米，所以MN=米，所以，即三角通风窗EMN的通风面积为（2）当MN在矩形区域内滑动，即时，△EMN的面积；当MN在半圆形区域内滑动，即时，△EMN的面积综上可得；（3）当MN在矩形区域内滑动时，f（x）在区间上单调递减，则f（x）＜f（0）=；当MN在半圆形区域内滑动，等号成立时，因此当（米）时，每个三角形得到最大通风面积为平方米．19．（16分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量=（﹣1，2），又点A（8，0），B（n，t），C（ksinθ，t），θ∈R．（1）若⊥，且，求向量；（2）若向量与向量共线，常数k＞0，求f（θ）=tsinθ的值域．【解答】解：（1）=（n﹣8，t），∵⊥，且，∴﹣（n﹣8）+2t=0，=8，解得t=±8，t=8时，n=24；t=﹣8时，n=﹣8．∴向量=（24，8），（﹣8，﹣8）．（2）=（ksinθ﹣8，t），（2）∵向量与向量共线，常数k＞0，∴t=﹣2ksinθ+16，∴f（θ）=tsinθ=﹣2ksin2θ+16sinθ=﹣2k+．①k＞4时，，∴sinθ=时，f（θ）=tsinθ取得最大值，sinθ=﹣1时，f（θ）=tsinθ取得最小值﹣2k﹣16，此时函数f（θ）的值域为．②4＞k＞0时，＞1．∴sinθ=1时，f（θ）=tsinθ取得最大值﹣2k+16，sinθ=﹣1时，f（θ）=tsinθ取得最小值﹣2k﹣16，此时函数f（θ）的值域为[﹣2k﹣16，﹣2k+16]．20．（16分）对于函数f1（x），f2（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a•f1（x）+b•f2（x），那么称h（x）为f1（x），f2（x）的生成函数．（1）给出函数，h（x）是否为f1（x），f2（x）的生成函数？并说明理由；（2）设，生成函数h（x）．若不等式3h2（x）+2h（x）+t＞0在x∈[2，4]上恒成立，求实数t的取值范围；（3）设，取a＞0，b＞0，生成函数h（x）图象的最低点坐标为（2，8）．若对于任意正实数x1，x2且x1+x2=1．试问是否存在最大的常数m，使h（x1）h（x2）≥m恒成立？如果存在，求出这个m 的值；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）函数，若h（x）是af1（x）+bf2（x）的生成函数，则有：lgx=，由：，解得：，存在实数a，b满足题意．∴h（x）是f1（x），f2（x）的生成函数．（2）由题意，，生成函数h（x）．则h（x）=2•f 1（x）+f2（x）=∴h（x）是定义域内的增函数．若3h2（x）+2h（x）+t＞0在x∈[2，4]上恒成立，即．设S=log2x，则S∈[1，2]，那么有：y=﹣3S2﹣2S，其对称轴S=．∴﹣16≤y≤﹣5，故得t＞﹣5．（3）由题意，得h（x）=a•f1（x）+b•f2（x）=ax，则h（x）=ax≥2∴，解得：a=2，b=8．∴h（x）=2x+，（x＞0）假设最大的常数m，使h（x1）h（x2）≥m恒成立，令u=h（x1）h（x2）==∵x1+x2=1，∴u=，令t=x1x2，则t=x1x2≤，即，那么：u=4t，在上是单调递减，∴u≥u（）=289．故最大的常数m=289．。