晶体结构的对称性_从点阵到空间群
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23晶体的对称性和分类
晶体的对称性可以从晶体外形的规则性上反映 出来,如sc、bcc、fcc结构的立方晶体,绕晶胞的任 一基矢轴旋转π/2或π/2的整数倍的操作,都能使晶 体的外形保持不变,这就是晶体的对称性.
操作前后晶体保持自身重合的操作,称为对称 操作.
晶体借以进行对称操作的轴、平面或点.称为对 称元素（简称对称素）.
6)表示纯转动对称操作(或转动轴)；i表示中心反演
（或对称中心）；m表示镜面反映（或对称镜面）。
这种表示方法属于国际符号(International
notation)标记法，是海尔曼(Hermann)和毛衮
(Mauguin)制订的，在晶体结构分析中经常使用。
还有一套标记法，是固体物理中惯用的标记， 是熊夫利(Schoenflies)制订的，因此称为熊夫利 符号(Schoenflies notation). 熊夫利符号中Cn 表 示旋转轴；Sn 表示旋转反演轴；Ci 表示中心反 演；Cs 表示镜面反映。
x x
y
y
cos
z
sin
z
y
sin
z
cos
x 1 0 0 x
y0 cos siny z 0 sin cos z
所以，绕x轴旋转的变换矩阵为：
1 0
0
Ax
0
cos
sin
0 sin cos
同理可得绕y轴和绕z轴的变换矩阵
cos 0 sin
Ay
0
1
0
sin 0 cos
cos sin 0
晶体中允许的转动对称轴只能是1、2、3、4和6次轴， 称为晶体的对称性定律
晶体的对称性定律的证明 B
A
如图,A为格点,B为离A最近的 格点之一,则与 平A 行B 的格点
操作前后晶体保持自身重合的操作,称为对称 操作.
晶体借以进行对称操作的轴、平面或点.称为对 称元素（简称对称素）.
6)表示纯转动对称操作(或转动轴)；i表示中心反演
（或对称中心）；m表示镜面反映（或对称镜面）。
这种表示方法属于国际符号(International
notation)标记法，是海尔曼(Hermann)和毛衮
(Mauguin)制订的，在晶体结构分析中经常使用。
还有一套标记法，是固体物理中惯用的标记， 是熊夫利(Schoenflies)制订的，因此称为熊夫利 符号(Schoenflies notation). 熊夫利符号中Cn 表 示旋转轴；Sn 表示旋转反演轴；Ci 表示中心反 演；Cs 表示镜面反映。
x x
y
y
cos
z
sin
z
y
sin
z
cos
x 1 0 0 x
y0 cos siny z 0 sin cos z
所以，绕x轴旋转的变换矩阵为：
1 0
0
Ax
0
cos
sin
0 sin cos
同理可得绕y轴和绕z轴的变换矩阵
cos 0 sin
Ay
0
1
0
sin 0 cos
cos sin 0
晶体中允许的转动对称轴只能是1、2、3、4和6次轴， 称为晶体的对称性定律
晶体的对称性定律的证明 B
A
如图,A为格点,B为离A最近的 格点之一,则与 平A 行B 的格点
晶体对称性
6次反轴为3次轴加对称面
准 晶
晶体中只有1， 2，3，4，6 次旋转轴，没有 5次轴和大于6 次以上的轴，可 以直观的从只有正方形、长方形、正三角形、正六边形可以重复布满平面， 而 5 边形和 n (>6)边形不能布满平面空间来直观理解。因此固体中不可能存 在 5 次轴曾是大家的共识，然而1984年美国科学家Shechtman在急冷的铝 锰合金中发现了晶体学中禁戒的 20 面体具有的 5 次对称性，这是对传统晶 体观念的一次冲击。
晶体的宏观对称性的描述
原子的周期性排列形成晶格，不同的晶格表现出不同 的宏观对称性 概括晶体宏观对称性的方法是考察晶体在正交变换的 不变性 三维情况下，正交变换的表示:
x x ' a11 y y ' a 12 z z' a 13
−1 ������ = 0 0
0 0 −1 0 0 −1
0 0 −1
1 0 ������(������������) = 0 1 0 0 1 0 ������ = 0 1 0 0 0 0 1
像转操作(Rotary reflection):
������������������������ ������ ������ = ������������������������ 0
目前普遍的认识是：晶体的必要条件是其 构成原子的长程有序，而不是平移对称性， 具有 5 次对称性的准晶体(Quasicrystal) 就是属于原子有严格的位置有序，而无平 移对称性的晶体。它的图像可从二维 Penrose拼图中得到理解。实际是一种准 周期结构，是介于周期晶体和非晶玻璃之 间的一种新的物质形态—准晶态。
(3). 底心单斜
C2 , Cs , C2 h
准 晶
晶体中只有1， 2，3，4，6 次旋转轴，没有 5次轴和大于6 次以上的轴，可 以直观的从只有正方形、长方形、正三角形、正六边形可以重复布满平面， 而 5 边形和 n (>6)边形不能布满平面空间来直观理解。因此固体中不可能存 在 5 次轴曾是大家的共识，然而1984年美国科学家Shechtman在急冷的铝 锰合金中发现了晶体学中禁戒的 20 面体具有的 5 次对称性，这是对传统晶 体观念的一次冲击。
晶体的宏观对称性的描述
原子的周期性排列形成晶格，不同的晶格表现出不同 的宏观对称性 概括晶体宏观对称性的方法是考察晶体在正交变换的 不变性 三维情况下，正交变换的表示:
x x ' a11 y y ' a 12 z z' a 13
−1 ������ = 0 0
0 0 −1 0 0 −1
0 0 −1
1 0 ������(������������) = 0 1 0 0 1 0 ������ = 0 1 0 0 0 0 1
像转操作(Rotary reflection):
������������������������ ������ ������ = ������������������������ 0
目前普遍的认识是：晶体的必要条件是其 构成原子的长程有序，而不是平移对称性， 具有 5 次对称性的准晶体(Quasicrystal) 就是属于原子有严格的位置有序，而无平 移对称性的晶体。它的图像可从二维 Penrose拼图中得到理解。实际是一种准 周期结构，是介于周期晶体和非晶玻璃之 间的一种新的物质形态—准晶态。
(3). 底心单斜
C2 , Cs , C2 h
第六章 6.2 晶体结构的对称性
2 2 2 1 2
范氏半径 (层间分子间距离 平均值)
426.9 441.2 217 pm ~~~ 218pm 4
48
分子形状的构建（分子的大小与形状） 分子长 键长+2×范德华半径 = 272+2×218 = 708 pm 最大处直径
2×范德华半径 = 2×218 = 436 pm
晶体体积及晶体密度的计算
1. 晶体的宏观对称元素
晶体的理想外形在宏观观察中表现出来的对称 元素，称为晶体的宏观对称元素。
自然界中复杂条件下形成的晶体，多数不具有理想外形，不是 单晶而是多晶(其中不是同一空间点阵贯穿始终)；即使是单晶，多 数也不具有理想外形：
天 然
矿
物
晶
体
人工培养的晶体，外形可能随生长条件而变，
通过严格的条件控制，可生长出外形相当完美的单
若某一方向存在镜面，则是与该方向垂直的镜面；
若在某一方向同时存在旋转轴（或反轴）与镜面时, 则用分数 形式来表示,将n（或n ）记在分子位置, 将m记在分母位置. 例：立方晶系： 第32号点群：Oh— 4 3 2
其国际符号的意义：
m
m
第一位表示：在与a平行方向有一四重轴，与a垂直的方向有一镜面。 第二位表示：在与 a+b+c （体对角线）平行方向上有一三重反轴。 第三位表示：在与a+b（面对角线）平行方向有一个二重轴和与之垂 直的方向有一镜面。
晶体的旋转轴仅限于 n=1, 2, 3, 4, 6. 不可能出现 5及大于6的轴次, 这是晶体的点阵结构所决定的.
9
轴 次 定 理 的 数 学 证 明
证明
B' B ma 2a cos 2 n
A‘
范氏半径 (层间分子间距离 平均值)
426.9 441.2 217 pm ~~~ 218pm 4
48
分子形状的构建（分子的大小与形状） 分子长 键长+2×范德华半径 = 272+2×218 = 708 pm 最大处直径
2×范德华半径 = 2×218 = 436 pm
晶体体积及晶体密度的计算
1. 晶体的宏观对称元素
晶体的理想外形在宏观观察中表现出来的对称 元素，称为晶体的宏观对称元素。
自然界中复杂条件下形成的晶体，多数不具有理想外形，不是 单晶而是多晶(其中不是同一空间点阵贯穿始终)；即使是单晶，多 数也不具有理想外形：
天 然
矿
物
晶
体
人工培养的晶体，外形可能随生长条件而变，
通过严格的条件控制，可生长出外形相当完美的单
若某一方向存在镜面，则是与该方向垂直的镜面；
若在某一方向同时存在旋转轴（或反轴）与镜面时, 则用分数 形式来表示,将n（或n ）记在分子位置, 将m记在分母位置. 例：立方晶系： 第32号点群：Oh— 4 3 2
其国际符号的意义：
m
m
第一位表示：在与a平行方向有一四重轴，与a垂直的方向有一镜面。 第二位表示：在与 a+b+c （体对角线）平行方向上有一三重反轴。 第三位表示：在与a+b（面对角线）平行方向有一个二重轴和与之垂 直的方向有一镜面。
晶体的旋转轴仅限于 n=1, 2, 3, 4, 6. 不可能出现 5及大于6的轴次, 这是晶体的点阵结构所决定的.
9
轴 次 定 理 的 数 学 证 明
证明
B' B ma 2a cos 2 n
A‘
6-晶体结构详解
等价原子: 晶体中每隔相等的距离就重复出现的原子。
等价原子有完全相同的化学环境。
平移对称性
在某给定方向上，相距最近的两个等价原子之间的距离为a， 则将晶体沿该方向平行移动距离na(n为整数)晶体就复原， 这种性质就是晶体的平移对称性。 连接晶体中任意两个等价原子得一矢量a，将晶体沿着该矢量 平移a或a的整数倍na，晶体复原。
NaCl 晶胞： 面心立方 复晶胞(4)
c
b a
石墨 晶胞：平行六面体 素晶胞
原子坐标
将晶胞的晶轴a, b, c的方向取作三个坐标轴x, y, z的方向(按右手 定则) ，从晶胞的坐标原点指向原子的位置矢量 r 可以表示为： r = x a + yb + zc (x, y, z)称为该原子的坐标。
(1). 金属Na (2). 金属铜
a c b b
a
b
c
平移对称性：晶体沿a方向平移na复原，沿b方向平移mb复原, 沿c方向平移lc复原。 平移矢量： na + mb + lc
(3). NaCl
(4). 金刚石
c
b c a a
b
(5). 石墨
c
b
a
2. 点阵和结构单元
重复单位: 晶体内部原子、离子或分子, 在三维空间作周期性重 复排列。每个重复单位的化学组成相同，空间结构相同，若 忽略晶体的表面效应，重复单位周围的环境也相同。 重复单位: 单个原子或分子，离子团或多个分子。
点阵点位于立方体的顶点
Na
点阵点：黑点 ，位于立方体的顶点与体心
结构单元= 1个Na = 1个平行六面体 = ½立方体
Cu
点阵点：黑点，位于立方体的顶点与面心
结构单元 = 1个Cu = 斜平行六面体
等价原子有完全相同的化学环境。
平移对称性
在某给定方向上，相距最近的两个等价原子之间的距离为a， 则将晶体沿该方向平行移动距离na(n为整数)晶体就复原， 这种性质就是晶体的平移对称性。 连接晶体中任意两个等价原子得一矢量a，将晶体沿着该矢量 平移a或a的整数倍na，晶体复原。
NaCl 晶胞： 面心立方 复晶胞(4)
c
b a
石墨 晶胞：平行六面体 素晶胞
原子坐标
将晶胞的晶轴a, b, c的方向取作三个坐标轴x, y, z的方向(按右手 定则) ，从晶胞的坐标原点指向原子的位置矢量 r 可以表示为： r = x a + yb + zc (x, y, z)称为该原子的坐标。
(1). 金属Na (2). 金属铜
a c b b
a
b
c
平移对称性：晶体沿a方向平移na复原，沿b方向平移mb复原, 沿c方向平移lc复原。 平移矢量： na + mb + lc
(3). NaCl
(4). 金刚石
c
b c a a
b
(5). 石墨
c
b
a
2. 点阵和结构单元
重复单位: 晶体内部原子、离子或分子, 在三维空间作周期性重 复排列。每个重复单位的化学组成相同，空间结构相同，若 忽略晶体的表面效应，重复单位周围的环境也相同。 重复单位: 单个原子或分子，离子团或多个分子。
点阵点位于立方体的顶点
Na
点阵点：黑点 ，位于立方体的顶点与体心
结构单元= 1个Na = 1个平行六面体 = ½立方体
Cu
点阵点：黑点，位于立方体的顶点与面心
结构单元 = 1个Cu = 斜平行六面体
晶体学第二章-6
平移轴（translation axis ）：一条直线，沿此直线平移一定距离可使晶体的等同部分重合，即整个晶体复原。
¾平移轴：布拉菲点阵中的任意行列¾平移轴的移距：使晶体复原的最小平移距离，即行列上相邻两点间距对称操作：平移t晶格平移矢量——原胞基矢的线性组合平移群{}332211a l a l a l v v v ++螺旋轴n s2131、3241、42、436l 、62、63、64、65•0＜s ＜n/2；采用右手系（右螺旋轴），螺距为τ=(s /n )t 。
•若n/2＜s ＜n ；采用左手系（左螺旋轴），螺距为τ=(1-s /n )t 。
•若s =n/2；中性螺旋轴，左右手系等效。
螺旋轴21，31，3241意为按左旋方向旋转90度后移距1/4 t 。
43意为按右旋方向旋转90度后移距1/4 t；6462螺旋轴61，62，63，64，65滑移面（glide plane）：一假想平面，对此平面反映后平行于该平面平移一定距离可使晶体中每一个质点与其等同的质点重合，即整个晶体复原。
国际符号a，b，c，n，d¾滑移面（像移面）：一种复合的对称要素¾辅助几何要素有两个：一个假想的平面和平行此平面的某一直线方向¾平移的距离（移距）：该方向行列结点间距的一半对称操作：反映+ 平移（联合操作）¾沿晶轴方向移距为轴单位的1/2¾滑移矢量为a/2，b/2，c/2d ——金刚石型滑移面¾沿面对角线或体对角线滑移¾滑移矢量：(a+b)/4, (b+c)/4, (a+c)/4,(a+b+c)/4nn ——对角线滑移面¾沿面对角线或体对角线滑移¾滑移矢量：(a+b)/2, (b+c)/2, (a+c)/2,(a+b+c)/2滑移面a，b，c，n，dA：各种滑移面在3个轴方向上滑移矢量分布B：滑移面平行于投影面的投影C：滑移面垂直于投影面的投影晶体中可能存在的对称元素类型及符号：二、二维空间群1. 二维晶体的宏观对称元素：6个对称轴（1,2,3,4,6）、对称面（m）2. 二维晶系、布拉菲点阵与点群：¾晶轴只能取a和b，只剩下一个角度。
晶体的对称性及晶体的分类
4、旋转反演轴、又称倒反轴（习惯符号为 Lni ）
相应的对称操作是旋转加反演。如果一个晶体绕某一轴线旋转一个晶体点阵所许可的角 度后，紧接着依此轴线上的一特殊点加以反演，晶体能与操作前重合的话，则此晶体具有旋
转反演对称性。该轴称为旋转反演轴，习惯符号用 Lni 表示之。n 表示旋转轴次，i 表示反演。
3次
倒
反
轴
4次
6次
习惯符号 L1 L2 L3 L4 L6
表 2-1 宏观对称要素及其符号
国际符号
图示符号
相当的对称要素及其组合
1
2
3
4
6
L3*L2
c L1i
1
L1i
L2s
p L2i
m（ 2 ）
L2i
L1s
L3i
3
L3*c
L6s
L 4i
4
包含L2
L 4s
L6i
6
L3*p
L3s
30
2-1-2 晶体的微观对称性
2-1-1 晶体的宏观对称性
凡是能呈现在晶体外形或物化性质上的对称性称为宏观对称性。晶体的宏观对称性与刚 体的对称性类同，因此先介绍刚体的对称性所需遵守的条件。
一、刚体的对称变换 所谓刚体，是指任何两点间的距离在对称操作前后保持不变的物体。用数学方法表示， 对称操作就是线性变换。晶体的对称操作在这一点上是与刚体类同的。因此我们先讨论刚体 对称操作所要遵守的规律。对于一般晶体应采用斜坐标系，但为方便起见，这里采用直角坐 标系，但并不影响结论的正确性。 设经过某对称操作，把物体中的任一点 M（xyz），变成 M’（x’y’z’），即它两的位矢为：
⎜⎛ − 1 A= ⎜ 0
⎜⎝ 0
0 cos θ sin θ
相应的对称操作是旋转加反演。如果一个晶体绕某一轴线旋转一个晶体点阵所许可的角 度后，紧接着依此轴线上的一特殊点加以反演，晶体能与操作前重合的话，则此晶体具有旋
转反演对称性。该轴称为旋转反演轴，习惯符号用 Lni 表示之。n 表示旋转轴次，i 表示反演。
3次
倒
反
轴
4次
6次
习惯符号 L1 L2 L3 L4 L6
表 2-1 宏观对称要素及其符号
国际符号
图示符号
相当的对称要素及其组合
1
2
3
4
6
L3*L2
c L1i
1
L1i
L2s
p L2i
m（ 2 ）
L2i
L1s
L3i
3
L3*c
L6s
L 4i
4
包含L2
L 4s
L6i
6
L3*p
L3s
30
2-1-2 晶体的微观对称性
2-1-1 晶体的宏观对称性
凡是能呈现在晶体外形或物化性质上的对称性称为宏观对称性。晶体的宏观对称性与刚 体的对称性类同，因此先介绍刚体的对称性所需遵守的条件。
一、刚体的对称变换 所谓刚体，是指任何两点间的距离在对称操作前后保持不变的物体。用数学方法表示， 对称操作就是线性变换。晶体的对称操作在这一点上是与刚体类同的。因此我们先讨论刚体 对称操作所要遵守的规律。对于一般晶体应采用斜坐标系，但为方便起见，这里采用直角坐 标系，但并不影响结论的正确性。 设经过某对称操作，把物体中的任一点 M（xyz），变成 M’（x’y’z’），即它两的位矢为：
⎜⎛ − 1 A= ⎜ 0
⎜⎝ 0
0 cos θ sin θ
晶体结构的对称性从点阵到空间群1
0，0。 用相同分数座标x、y和z指定的所有位置都对称等价。 （由于晶体的三维周期性，在分数坐标上加减任意整数， 仍然表示平移对称的等价位置。）
晶体学中的对称操作元素
❖ 分子和晶体都是对称图像，是由若干个相等的部分或单元按 照一定的方式组成的。对称图像是一个能经过不改变其中任 何两点间距离的操作后复原的图像。这样的操作称为对称操 作。
为记为
组合成这种复合操作的每一个操作本身不一定 是对称操作。其矩阵表示为：
001
0 1 0
001csio0nsqq
sinq cosq
0
100
cs0ionsqq
sinq cosq
0
001
旋转反映轴--映轴
❖ 旋转反映轴，简称映轴(rotoreflection axis)，其对 称操作是先进行绕映轴的旋转操作(n)后立刻再对垂 直于该映轴的反映面进行反映操作m。符号为ñ (Sn)， 设对称轴沿[001]方向，其矩阵表示为：
❖ σ 在二个C2轴之间角平分线的一个垂直平面叫作双面镜面， d （ dihedral plane ）。
通过yz面的反映。
旋转倒反轴-反轴
❖ 旋转倒反轴，简称反轴 (Axis of inversion ， Rotoinversion axis)，其对称操作是先进行旋转操
n 作(n)后立_刻再进行倒反操作，这样的复合操作称
100
0 1 0
001csio0nsqq
sinq cosq
0
100
csio0nsqq
sinq cosq
0
001
旋转反映Sn
❖ 旋转反映 Sn，包括绕对称轴的逆时针 旋转360°/n，接着作垂直反射。
❖ 旋转反演和旋转反映（Improper rotation）被（译）称为异常旋转、非 真旋转、不当旋转等。
晶体学中的对称操作元素
❖ 分子和晶体都是对称图像，是由若干个相等的部分或单元按 照一定的方式组成的。对称图像是一个能经过不改变其中任 何两点间距离的操作后复原的图像。这样的操作称为对称操 作。
为记为
组合成这种复合操作的每一个操作本身不一定 是对称操作。其矩阵表示为：
001
0 1 0
001csio0nsqq
sinq cosq
0
100
cs0ionsqq
sinq cosq
0
001
旋转反映轴--映轴
❖ 旋转反映轴，简称映轴(rotoreflection axis)，其对 称操作是先进行绕映轴的旋转操作(n)后立刻再对垂 直于该映轴的反映面进行反映操作m。符号为ñ (Sn)， 设对称轴沿[001]方向，其矩阵表示为：
❖ σ 在二个C2轴之间角平分线的一个垂直平面叫作双面镜面， d （ dihedral plane ）。
通过yz面的反映。
旋转倒反轴-反轴
❖ 旋转倒反轴，简称反轴 (Axis of inversion ， Rotoinversion axis)，其对称操作是先进行旋转操
n 作(n)后立_刻再进行倒反操作，这样的复合操作称
100
0 1 0
001csio0nsqq
sinq cosq
0
100
csio0nsqq
sinq cosq
0
001
旋转反映Sn
❖ 旋转反映 Sn，包括绕对称轴的逆时针 旋转360°/n，接着作垂直反射。
❖ 旋转反演和旋转反映（Improper rotation）被（译）称为异常旋转、非 真旋转、不当旋转等。
高中化学竞赛【晶体的对称性】
同理, 可以求出晶 面2的晶面指标是: (001); 晶面3的晶面指 标是: (201)。可以看出 1个晶面指标代表一组 平行的晶面。
晶面3
c
晶面2
晶面1
b a
晶面指标示例
例题: 1. 某一立方晶系晶体,晶胞的顶点位置全为
A占据,棱心为B占据, 体心为C占据。①写
出此晶体的化学组成; ②写出A、B、C的
(4)十四种空间点阵形式 立方晶系有立方简单点阵P (立方P ) 、立方
体心点阵I (立方I ) 、立方面心点阵F (立方F );四 方晶系只有四方简单点阵P (四方P ) 、四方体心 点阵I (四方I ); 正交晶系有正交P 、正交I 、正交 F 、正交C (或侧心A和B); 单斜晶系有单斜P 、 单斜C ; 三方、六方、三斜都只有素格子。可见， 晶体只有14种空间点阵型式。见下图。
晶体的对称性
1.晶体的宏观对称性 晶体的宏观对称性就是晶体外型的对称性。
也就是有限物体的对称性。
方铅矿
金绿宝石
(1)晶体的宏观对称元素: 由于习惯原因, 晶体宏观对称元素与分
子对称性中的对称元素名称、符号都不完全 相同。
对称元素 旋转轴n 反映面或镜面m 对称中心i
反轴 n
对应对称操作 旋转L(α) 反映M 倒反I 旋转倒反L(α) I
3.晶面和晶面指标 晶面:晶体中平面点阵所在的平面。 晶面指标: 晶面在三个晶轴上的倒易
截数的互质整数之比。记为: (h*k*l*) 晶面与晶面的交线称为晶棱, 晶棱与
直线点阵对应。
例如, 右图中晶面 1在3个晶轴上的截数 分别:1/2,∞,∞, 因此倒 易截数:2,0,0, 划成互质 整数比后成为: 1:0:0, 因此晶面1的晶面指标 是: (100)。
晶面3
c
晶面2
晶面1
b a
晶面指标示例
例题: 1. 某一立方晶系晶体,晶胞的顶点位置全为
A占据,棱心为B占据, 体心为C占据。①写
出此晶体的化学组成; ②写出A、B、C的
(4)十四种空间点阵形式 立方晶系有立方简单点阵P (立方P ) 、立方
体心点阵I (立方I ) 、立方面心点阵F (立方F );四 方晶系只有四方简单点阵P (四方P ) 、四方体心 点阵I (四方I ); 正交晶系有正交P 、正交I 、正交 F 、正交C (或侧心A和B); 单斜晶系有单斜P 、 单斜C ; 三方、六方、三斜都只有素格子。可见， 晶体只有14种空间点阵型式。见下图。
晶体的对称性
1.晶体的宏观对称性 晶体的宏观对称性就是晶体外型的对称性。
也就是有限物体的对称性。
方铅矿
金绿宝石
(1)晶体的宏观对称元素: 由于习惯原因, 晶体宏观对称元素与分
子对称性中的对称元素名称、符号都不完全 相同。
对称元素 旋转轴n 反映面或镜面m 对称中心i
反轴 n
对应对称操作 旋转L(α) 反映M 倒反I 旋转倒反L(α) I
3.晶面和晶面指标 晶面:晶体中平面点阵所在的平面。 晶面指标: 晶面在三个晶轴上的倒易
截数的互质整数之比。记为: (h*k*l*) 晶面与晶面的交线称为晶棱, 晶棱与
直线点阵对应。
例如, 右图中晶面 1在3个晶轴上的截数 分别:1/2,∞,∞, 因此倒 易截数:2,0,0, 划成互质 整数比后成为: 1:0:0, 因此晶面1的晶面指标 是: (100)。
晶体的微观对称性
对称元素必须交于一点
对称动作只有点动作
无限的晶体结构中的对称性
实际存在的、本质的
不仅考虑方向，还考虑对称元 素的相互位置关系 对称元素不须交于一点，在三 维空间无限分布 包括点动作与空间动作
点阵（平移轴）：对应的对称操作为平移。
点阵反映了晶体结构的周期性，这种周期性也就是点阵的平 移复原的特性。对于点阵，连接任意两个阵点的位置矢量： R = ma + nb + pc，进行平移可以使点阵复原，表现在晶体 结构上就是使在三维空间无限伸展的相同部分得以重复。R 可以定义为晶体微观结构平移的方向矢量。
推论：两个平行滑移面的连续操作相当于一个平移对称操作，并 且该平移对称操作垂直于滑移面的分量也是一个平移对称操作。
NaCl结构沿c方向的投影
定理二：平移T及垂直于平移的反映面的连续操作相 当于与该反映面相距T /2处的一个反映面的反映操作。
推论：平移T及垂直于平移的滑移面的连续操作相当于与该 反映面相距T /2处的一个滑移面的反映平移复合操作。
• 布拉威法则： 1、划分出来的平行六面体单位必须充分地反映晶体的固
有对称性。
2、在不违背晶体固有对称性的条件下，平行六面体单位 的棱间直角数尽量多。
3、在满足条件1和2的前提下，平行六面体单位的体积 应为最小。
• 十四种空间格子 1）三斜格子：P 点阵点群：Ci 晶格参数：abc, 90o
• 点阵格子的对称性（点阵点群）
三斜格子：Ci / C 单斜格子：C2h / L2 PC 正交格子：D2h / 3L2 3PC 四方格子：D4h / L4 4L2 5PC 三方格子：D3d / L3 3L2 3PC 六方格子：D6h / L6 6L2 7PC 立方格子：Oh / 3L4 4L3 6L2 9PC 属于某一晶系的晶体，其点阵格子具有该晶系全对称 类型的对称性。
对称动作只有点动作
无限的晶体结构中的对称性
实际存在的、本质的
不仅考虑方向，还考虑对称元 素的相互位置关系 对称元素不须交于一点，在三 维空间无限分布 包括点动作与空间动作
点阵（平移轴）：对应的对称操作为平移。
点阵反映了晶体结构的周期性，这种周期性也就是点阵的平 移复原的特性。对于点阵，连接任意两个阵点的位置矢量： R = ma + nb + pc，进行平移可以使点阵复原，表现在晶体 结构上就是使在三维空间无限伸展的相同部分得以重复。R 可以定义为晶体微观结构平移的方向矢量。
推论：两个平行滑移面的连续操作相当于一个平移对称操作，并 且该平移对称操作垂直于滑移面的分量也是一个平移对称操作。
NaCl结构沿c方向的投影
定理二：平移T及垂直于平移的反映面的连续操作相 当于与该反映面相距T /2处的一个反映面的反映操作。
推论：平移T及垂直于平移的滑移面的连续操作相当于与该 反映面相距T /2处的一个滑移面的反映平移复合操作。
• 布拉威法则： 1、划分出来的平行六面体单位必须充分地反映晶体的固
有对称性。
2、在不违背晶体固有对称性的条件下，平行六面体单位 的棱间直角数尽量多。
3、在满足条件1和2的前提下，平行六面体单位的体积 应为最小。
• 十四种空间格子 1）三斜格子：P 点阵点群：Ci 晶格参数：abc, 90o
• 点阵格子的对称性（点阵点群）
三斜格子：Ci / C 单斜格子：C2h / L2 PC 正交格子：D2h / 3L2 3PC 四方格子：D4h / L4 4L2 5PC 三方格子：D3d / L3 3L2 3PC 六方格子：D6h / L6 6L2 7PC 立方格子：Oh / 3L4 4L3 6L2 9PC 属于某一晶系的晶体，其点阵格子具有该晶系全对称 类型的对称性。
结晶学晶体的对称性第二章
! ! a +b 对角滑移 2
+
，−
! ! b +c 对角滑移 2
，1 + 2
+
+
+
，1 + 2
+
+
+
+
! ! ! ! ! ! a +b b +c c +a ½对角滑移滑移：m × ( , ) 2 2 2
! ! a+c 对角滑移 2
+
，
1 2
+
，
1 2
+
+
+
+
! ! ! ! ! ! ! ! ! a +b b +c c +a a +b +c ¼对角滑移： m× ( , , ) 4 4 4 4 ! ! a +b 对角滑移 4
F→I→B
正交
mmm
a ≠ b ≠ c,α = β = γ = 90o
C→P 不正交，不反映对称性
F
I
三维布拉菲群共有14种，分为七个晶系：
晶系 三斜 单斜 种类 简单三斜 简单单斜 侧心单斜 简单正交 正交 底心正交 体心正交 面心正交 四方 三角 六角 立方 简单四方 体心四方 简单三角* 简单六角 简单立方 体心立方 面心立方 符号 晶胞特征
! c
+
! c 3
+
41螺旋轴
3 4
+
1 2
+
! c
! c 4
+
1 4
+
4次轴存在四方晶系的主轴方向，以及立方晶系
晶体内部结构的微观对称和空间群
平移轴(translation axis) 螺旋轴(screw axis)： 滑移面(glide plane)
晶体微观对称元素
• 平移轴(translation axis)
为一直线方向，相应的对称操作为沿此直线方向平移一 定的距离。对于具有平移轴的图形，当施行上述对称操 作后，可使图形相同部分重复。在平移这一对称变换中， 能够使图形复原的最小平移距离，称为平移轴的移距。
c
a
b
P
Triclinic
abc
c
c
c
b
bLeabharlann aPaCMonoclinic
= = 90o
abc
b
aP
C
F
I
Orthorhombic
= = = 90o a b c
c
c
a1
P
a2
I
Tetragonal
= = = 90o a1 = a2 c
a3
a2
a1
P
Hexagonal
R
3 [110] [110] [001]
[210]
空间群的圣佛利斯符号
➢ 空间群的圣佛利斯符号表示方法很简单，即在其 对称型的圣佛利斯符号的右上角加上序号即可。 如对称型L4的圣佛利斯符号为C4，与它对应的六 个空间群的圣佛利斯符号分别为C41、 C42、 C43、 C44、 C45、 C46。
➢ 优点：每一种圣佛利斯符号只与一种空间群对应。 ➢ 缺点：不能直观看出格子类型和各方向存在哪些对
➢ 晶面符号（hkl）中无公约数，但对于面网符号， 可以有公约数。
面网符号
平行于(010)晶面的几组面网的符号
面网符号
➢ 面网符号中存在以下关系： dnhnknl＝1/ndhkl d030＝1/3d010
晶体微观对称元素
• 平移轴(translation axis)
为一直线方向，相应的对称操作为沿此直线方向平移一 定的距离。对于具有平移轴的图形，当施行上述对称操 作后，可使图形相同部分重复。在平移这一对称变换中， 能够使图形复原的最小平移距离，称为平移轴的移距。
c
a
b
P
Triclinic
abc
c
c
c
b
bLeabharlann aPaCMonoclinic
= = 90o
abc
b
aP
C
F
I
Orthorhombic
= = = 90o a b c
c
c
a1
P
a2
I
Tetragonal
= = = 90o a1 = a2 c
a3
a2
a1
P
Hexagonal
R
3 [110] [110] [001]
[210]
空间群的圣佛利斯符号
➢ 空间群的圣佛利斯符号表示方法很简单，即在其 对称型的圣佛利斯符号的右上角加上序号即可。 如对称型L4的圣佛利斯符号为C4，与它对应的六 个空间群的圣佛利斯符号分别为C41、 C42、 C43、 C44、 C45、 C46。
➢ 优点：每一种圣佛利斯符号只与一种空间群对应。 ➢ 缺点：不能直观看出格子类型和各方向存在哪些对
➢ 晶面符号（hkl）中无公约数，但对于面网符号， 可以有公约数。
面网符号
平行于(010)晶面的几组面网的符号
面网符号
➢ 面网符号中存在以下关系： dnhnknl＝1/ndhkl d030＝1/3d010
晶体结构与晶体化学-晶体几何学理论基础3
1.5.1 螺旋旋转
螺旋旋转由两个基本操作——旋转和平移构成。该旋转轴称为螺旋轴。在 点阵中，螺旋轴被限制在旋转轴允许的位置上。为了与点阵相容，平移分 量的量值必须是平行于轴的单位平移的约数。
1.5.2 滑移反映
包含有平移及反映的复合对称操作称为滑移反映。反映面称滑移面，限制 在与镜面相同的位置上。滑移的平移分量必须与在平面中的单位平移t平 行，且其量值为t/2。如果平行于晶胞的棱，称之为轴滑移。如果指向 晶胞的中心或晶胞的任一面的中心，称之为对角线滑移。金刚石型滑移的 值是对角线滑移量的一半，且只限于有心的晶胞。
1.1.2 空间点阵
在图3.1的单位平移中，有两个最短的矢量，如图3.2所示。原点的选择是任意 的，任何图案的平移对称都可从图形的一点开始描述。如将图案抽象成一个点， 通过上述的一套平移对称操作即可得到一套平面上点的集合，称为网格或二维 点阵（图3.3）。在空间三维情况下，称作空间格子或空间点阵，点阵中的每个 点称为结点或点阵点。
3、空间格子（点阵）
晶体结构的基本特征是其中的质点在三维空间作有规律的重复排列；表示这种 晶体结构基本规律性的集合图形，就是空间格子。
二维空间中平移等效点的集合产生了一个“网格”，而在三维空间中其基本平 移矢量终点的集合组成一个空间格子，常称为“晶格”或“点阵”
C：面心 三维情况的晶胞： P：无心（原始的或素的） I：体心 F：面心 A、B、C：底心。即（b,c）、（c,a）及（a,b）上带心或称A面心、B面心、C面心。 R：菱面体按六方定向时的带心情况 三斜晶系中不存在带心点阵。 单斜晶系中，A面心和C面心是相同的（a轴和c轴可以互换）。B面心可以选为P。I、 F点阵也可以选成A及C。因此，在标准定向中，单斜晶系只有P、C两种。 正交晶系中，原始的P、C面心（A及B面心可用换轴的方法选为C），体心I及面心F 都有。 四方晶系，点阵类型只有P及I两种（C可选成P，F可改选成I）。 三方、六方晶系有P及R两种点阵。 立方晶系有P、I、F点阵。
螺旋旋转由两个基本操作——旋转和平移构成。该旋转轴称为螺旋轴。在 点阵中，螺旋轴被限制在旋转轴允许的位置上。为了与点阵相容，平移分 量的量值必须是平行于轴的单位平移的约数。
1.5.2 滑移反映
包含有平移及反映的复合对称操作称为滑移反映。反映面称滑移面，限制 在与镜面相同的位置上。滑移的平移分量必须与在平面中的单位平移t平 行，且其量值为t/2。如果平行于晶胞的棱，称之为轴滑移。如果指向 晶胞的中心或晶胞的任一面的中心，称之为对角线滑移。金刚石型滑移的 值是对角线滑移量的一半，且只限于有心的晶胞。
1.1.2 空间点阵
在图3.1的单位平移中，有两个最短的矢量，如图3.2所示。原点的选择是任意 的，任何图案的平移对称都可从图形的一点开始描述。如将图案抽象成一个点， 通过上述的一套平移对称操作即可得到一套平面上点的集合，称为网格或二维 点阵（图3.3）。在空间三维情况下，称作空间格子或空间点阵，点阵中的每个 点称为结点或点阵点。
3、空间格子（点阵）
晶体结构的基本特征是其中的质点在三维空间作有规律的重复排列；表示这种 晶体结构基本规律性的集合图形，就是空间格子。
二维空间中平移等效点的集合产生了一个“网格”，而在三维空间中其基本平 移矢量终点的集合组成一个空间格子，常称为“晶格”或“点阵”
C：面心 三维情况的晶胞： P：无心（原始的或素的） I：体心 F：面心 A、B、C：底心。即（b,c）、（c,a）及（a,b）上带心或称A面心、B面心、C面心。 R：菱面体按六方定向时的带心情况 三斜晶系中不存在带心点阵。 单斜晶系中，A面心和C面心是相同的（a轴和c轴可以互换）。B面心可以选为P。I、 F点阵也可以选成A及C。因此，在标准定向中，单斜晶系只有P、C两种。 正交晶系中，原始的P、C面心（A及B面心可用换轴的方法选为C），体心I及面心F 都有。 四方晶系，点阵类型只有P及I两种（C可选成P，F可改选成I）。 三方、六方晶系有P及R两种点阵。 立方晶系有P、I、F点阵。
晶体结构和对称性
在晶体的空间点阵结构中，任何对称轴(包括旋转轴、反轴 以及以后介绍的螺旋轴)都必与一组直线点阵平行，与一组 平面点阵垂直(除一重轴外)；任何对称面(包括镜面及微观 对称元素中的滑移面)都必与一组平面点阵平行，而与一组 直线点阵垂直。
晶体宏观对称性受到的限制
晶体中的对称轴(包括旋转轴,反轴和螺旋轴)的轴次n并不 是可以有任意多重，n仅为1,2,3,4,6，即在晶体结构中， 任何对称轴或轴性对称元素的轴次只有一重、二重、三重、 四重和六重这五种，不可能有五重和七重及更高的其它轴 次，这一原理称为“晶体的对称性定律”。
其对称操作是旋转反映。
sˆncˆnˆh
在晶体中反轴 n ，对应的操
作是先绕轴旋转 2P n，再过 轴的中心进行倒反。
L()I ＝ L() ● I
由此可知，n 与Sn都属于复合对称操作，且都由旋转与另
一相连的操作组合而成。
关于旋转反映轴与反轴的说明
❖ 用映轴表示的对称操作都可以用反轴表示，所以在新的晶体 学国际表中只用反轴。
(1)晶体多面体外形是有限图形，故对称元素组合时必通 过质心，即通过一个公共点。
(2)任何对称元素组合的结果不允许产生与点阵结构不相 容的对称元素，如5、7、…。
晶体宏观对称元素的组合
组合程序：
（1）组合时先进行对称轴与对称轴的组合， （2）再在此基础上进行对称轴与对称面的组合， （3）最后为对称轴、对称面与对称中心的组合。
格子。空间格子一定是平行六面体。
顶点的阵点，对每单位贡献1/8； 边上的阵点，对每单位贡献1/4； 面上的阵点，对每单位的献1/2； 六面体内的阵点，对每单位贡献1。
空间点阵与正当空间格子
C 空间点阵
空间点阵对应的平移群
T m n p m a n b p cm , n ,p = 0 , 1 , 2 ,
晶体宏观对称性受到的限制
晶体中的对称轴(包括旋转轴,反轴和螺旋轴)的轴次n并不 是可以有任意多重，n仅为1,2,3,4,6，即在晶体结构中， 任何对称轴或轴性对称元素的轴次只有一重、二重、三重、 四重和六重这五种，不可能有五重和七重及更高的其它轴 次，这一原理称为“晶体的对称性定律”。
其对称操作是旋转反映。
sˆncˆnˆh
在晶体中反轴 n ，对应的操
作是先绕轴旋转 2P n，再过 轴的中心进行倒反。
L()I ＝ L() ● I
由此可知，n 与Sn都属于复合对称操作，且都由旋转与另
一相连的操作组合而成。
关于旋转反映轴与反轴的说明
❖ 用映轴表示的对称操作都可以用反轴表示，所以在新的晶体 学国际表中只用反轴。
(1)晶体多面体外形是有限图形，故对称元素组合时必通 过质心，即通过一个公共点。
(2)任何对称元素组合的结果不允许产生与点阵结构不相 容的对称元素，如5、7、…。
晶体宏观对称元素的组合
组合程序：
（1）组合时先进行对称轴与对称轴的组合， （2）再在此基础上进行对称轴与对称面的组合， （3）最后为对称轴、对称面与对称中心的组合。
格子。空间格子一定是平行六面体。
顶点的阵点，对每单位贡献1/8； 边上的阵点，对每单位贡献1/4； 面上的阵点，对每单位的献1/2； 六面体内的阵点，对每单位贡献1。
空间点阵与正当空间格子
C 空间点阵
空间点阵对应的平移群
T m n p m a n b p cm , n ,p = 0 , 1 , 2 ,
晶体结构2
见黄昆书30页
三. 晶体宏观对称性的表述:点群: 晶体中只有 8 种独立的对称元素:
C1 (1),C2 (2),C3 (3),C4 (4),C6 (6),Ci (i),σ(m)和 S3 (4) σ 4
实际晶体的对称性就是由以上八种独立点对称元素 的各种可能组合之一,由对称元素组合成对称操作群 时,对称轴之间的夹角,对称轴的数目,都会受到严 格的限制,例如,若有两个2重轴,它们之间的夹角只 可能是 300 , 450 ,600 ,900 ,可以证明总共只能有 种不同 总共只能有32种不同 总共只能有 的组合方式, 种点群.形形色色的晶体就宏观 的组合方式,称为 32 种点群 对称性而言,总共只有这 32 种类型,每种晶体一定属 于这 32 种点群之一,这是对晶体按对称性特点进行的 第一步分类.
C2 (2)
C3 (3)
C4 (4)
C6 (6)
σ (m)
Ci (i)
S (6)
5 3
S (4)
3 4
S (3)
5 6
旋转-反演轴的对称操作:
1次反轴为对称中心;2次反轴为对称面; 3次反轴为3次轴加对称中心
旋转-反演轴的对称操作:
6次反轴为3次轴加对称面;4次反轴可以独立存在.
晶体中只有 2,3,4,6 次 旋转轴,没有 5次轴和大于 6 次以上的轴,可以直观的 从只有正方形,长方形,正 三角形,正六边形可以重复 布满平面,而 5 边形和 n (>6)边形不能布满平面空间 来直观理解.因此固体中不 可能存在 5 次轴曾是大家的 共识,然而1984年美国科学 家Shechtman在急冷的铝锰 合金中发现了晶体学中禁戒 的 20 面体具有的 5 次对称 性,这是对传统晶体观念的 一次冲击.
计算材料学讲义ppt课件
1 0 0 cossin0 cossin0 0 1 0sincos0sincos0 0 0 1 0 0 1 0 0 1
.
（6）旋转反映轴--映轴 • 旋转反映 Sn，包括绕对称轴的逆时针旋转360°/n，接着
作垂直反射。 • 符号为ñ (Sn)，设对称轴沿[001]方向，其矩阵表示为：
如平移，螺旋转动和滑移反映。
.
• 对称操作： 一个物体运动或变换，使得变换后的物体与变换 前不可区分（复原，重合）。
• 对称元素：在对称操作中保持不变的几何图型：点、轴或面。
.
1、点式操作
（1）全同操作 • (1) 全同操作(Identity)，符号表示为1 (E)，对应于物体不动
的对称操作，相对应的变换矩阵为单位矩阵。
2、写出沿三个坐标轴X，Y和Z的4次旋转轴的表示矩阵。
.
（3）倒反中心(Inversion center) 倒反中心：也称为反演中心或对称中心(Center of symmetry)，它的操作是通过一个点的倒反(反演)，使空间 点的每一个位置由坐标为(x、y， z)变换到(- x， - y， - z)。符号为1(i)，变换矩阵为
.
（4）反映面--镜面 ① 反映面，也称镜面，反映操作是从空间某一点向反映面 引垂线，并延长该垂线到反映面的另一侧，在延长线上取 一点，使其到反映面的距离等于原来点到反映面的距离。 符号为m (s)。 ② 为了表示反映面的方向，可以在其符号后面标以该面的 法线。如法线为[010]的反映面，可记为m [010]。
_~ _~ _~ _~ _~ 1 2 ,2 1 ,3 6 ,4 4 ,6 3
.
2、非点式对称操作
• 非点式对称操作：是由点式操作与平移操作复合后形成的新 的对称操作-
.
（6）旋转反映轴--映轴 • 旋转反映 Sn，包括绕对称轴的逆时针旋转360°/n，接着
作垂直反射。 • 符号为ñ (Sn)，设对称轴沿[001]方向，其矩阵表示为：
如平移，螺旋转动和滑移反映。
.
• 对称操作： 一个物体运动或变换，使得变换后的物体与变换 前不可区分（复原，重合）。
• 对称元素：在对称操作中保持不变的几何图型：点、轴或面。
.
1、点式操作
（1）全同操作 • (1) 全同操作(Identity)，符号表示为1 (E)，对应于物体不动
的对称操作，相对应的变换矩阵为单位矩阵。
2、写出沿三个坐标轴X，Y和Z的4次旋转轴的表示矩阵。
.
（3）倒反中心(Inversion center) 倒反中心：也称为反演中心或对称中心(Center of symmetry)，它的操作是通过一个点的倒反(反演)，使空间 点的每一个位置由坐标为(x、y， z)变换到(- x， - y， - z)。符号为1(i)，变换矩阵为
.
（4）反映面--镜面 ① 反映面，也称镜面，反映操作是从空间某一点向反映面 引垂线，并延长该垂线到反映面的另一侧，在延长线上取 一点，使其到反映面的距离等于原来点到反映面的距离。 符号为m (s)。 ② 为了表示反映面的方向，可以在其符号后面标以该面的 法线。如法线为[010]的反映面，可记为m [010]。
_~ _~ _~ _~ _~ 1 2 ,2 1 ,3 6 ,4 4 ,6 3
.
2、非点式对称操作
• 非点式对称操作：是由点式操作与平移操作复合后形成的新 的对称操作-
晶体结构之二：对称性
第二章晶体结构一、教学要求（1）内容提要：物质通常有三种聚集状态：气态、液态和固态。
而按照原子（或分子）排列的规律性又可将固态物质分为两大类，晶体和非晶体。
晶体中的原子在空间呈有规则的周期性重复排列；而非晶体的原子则是无规则排列的。
原子排列在决定固态材料的组织和性能中起着极重要的作用。
金属、陶瓷和高分子的一系列特性都和其原子的排列密切相关。
一种物质是否以晶体或以非晶体形式出现，还需视外部环境条件和加工制备方法而定，晶态与非晶态往往是可以互相转化的。
本章主要内容包括：：晶体学基础；金属的晶体结构；合金相结构；离子晶体结构；共价晶体结构；聚合物的晶态结构；非晶态结构。
（2）基本要求掌握晶体的空间点阵、晶胞、晶向和晶面指数、晶体的对称性等结晶学基础知识，了解32种点群和230种空间群等；掌握三种典型的金属晶体结构、合金相结构、离子晶体结构和硅酸盐晶体结构，了解共价晶体结构和分子与高分子晶体结构。
（3）重点难点重点：结晶学基本原理及典型的金属晶体、合金相、离子晶体结构。
难点：空间点阵、非化学计量化合物和鲍林规则。
（4）主讲内容①晶体学基础；②金属的晶体结构；③合金相结构；④离子晶体结构；⑤共价晶体结构；⑥聚合物晶体结构。
《第二章晶体结构》目录——引言——晶体的结构特征与基本性质（1.0h）2.1晶体结构的周期性（4.0-6.0h）2.2.1点阵与平移群一、点阵结构与点阵（1）一维点阵结构与直线点阵；（2）二维点阵结构与平面点阵（3）三维点阵结构与空间点阵二、点阵的条件与性质（1）定义；（2）条件；（3）点阵与点阵结构的对应关系。
2.2.2点阵单位与点阵参量一、点阵单位与点阵常数（1）直线点阵单位与线段参数（2）平面点阵单位与网格参数（3）空间点阵单位与晶胞参数二、其他晶体结构参数（1）（原子）阵点坐标与原子间距；（2）晶向（直线点阵）指数（3）晶面（平面点阵）指数；（4）晶面间距与晶面夹角（5）晶带与晶带定律三、极射投影*2.2.3 倒易点阵与晶体衍射*2.2晶体结构的对称性（4.0h）2.3.1对称性的基本概念——对称及其对称元素与对称操作2.3.2宏观对称性—晶体外形（有限）表现的对称性—点对称性一、点对称操作与宏观对称元素；二、点群及其表示方法——32个点群（晶类）；三、晶系与空间点阵型式——7种晶系与14种布拉菲点阵2.3.3微观称对性—晶格基元（无限）排列的对称性—体对称性一、空间对称操作与微观对称元素；二、空间群及其表示方法；三、等效点系——2.3.4点群与空间群的关系2.3.4 晶体结构符号2.3典型晶体结构分析（8.0h）2.3.1金属晶体结构2.3.2共价晶体结构2.3.3离子晶体结构2.3.4分子晶体结构2.3.5高分子(晶体)结构2.4 合金相结构2.2晶体结构的对称性——强调：对称操作与矩阵变换（点阵与矩阵）2.2.1对称性的基本概念——对称的概念（定义与划分）擅长形象思维的中国人在西汉〈韩诗外传〉就有：“凡草木花（注：有生命）多五出，雪花（注：无生命）独六出。
晶体内部结构的微观对称和空间群讲解
面网符号
面网符号与晶面符号的表示方法及形式基本相同。 但晶面符号是表示某一个晶面的位置（空间方 位），而面网符号是表示一组相互平行且面网间 距相等的面网。
对（hkl）一组面网，面网间距用dhkl表示，hkl绝 对值越小（每一项指数的绝对值相加），dhkl愈大， 面网密度也大；hkl绝对值越大，dhkl愈小，面网 密度也小。
第八章 晶体内部结构的微观对称和空间群
十四种空间格子 空间点阵中结点、行列和面网的指标 晶体内部结构的对称要素 空间群 等效点系
一、十四种空间格子
1．平行六面体的选择
对于每一种晶体结构而言，其结点的分布是客 观存在的，但平行六面体的选择是人为的。
十四种空间格子
平行六面体的选择原则：
c
a
b
P
Triclinic
abc
c
c
c
b
b
aP
aC
Monoclinic
= = 90o
abc
b
aP
C
F
I
Orthorhombic
= = = 90o a b c
c
c
a1
P
a2
I
Tetragonal
= = = 90o a1 = a2 c
空间格子中，结点、行列和面网可进行指 标。即通过一定的符号形式把它们的位置 或方法表示出来。
点的坐标 行列符号 面网符号
点的坐标 coordinates of point
点的坐标的表示方法与空间解析几何中确 定空间某点的坐标位置的标记方法完全相 同，表达形式为u、v、w。
可以全为正值：1，1，1 也可以有负值：-x，–x， 0 分数：1/2，1/2，1/2 小数：0.5，0.5，0.5 例：金红石中x＝0.33
材料分析方法3 微观对称性-空间群-实际晶体结构
I坐标：2d: (1/3,2/3,z );(2/3,1/3,-z).
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29
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30
密堆积填隙示意图
• CdCl2: 堆积顺序：
整理课件
31
从填隙模型角度讨论CdCl2,CdI2,TiO2的关系
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32
可以归结为密堆积结构的复杂化合物
（1）可以归结为ccp简单结构的复杂化合物：
• 高温下NH4+,CN-,BF4-等离子基团，自由转动；NaCl结构：
• [ZnS4]; [SZn4]
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23
8. 萤石CaF2和反萤石Na2O：面心立方点阵，空间群：Fm3m(225号)， 萤石结构是由Ca构成的面心立方构架，F填充了其中所有四面体间
隙，构成简单立方结构。反萤石构是以简单立方Na为骨架， O部
分填充简单立方的体心间隙，[CaF8]; [FCa4]
（2）空间群序号，完整国际符号
（3）空间群图示，包括几个方向 的对称要素正投影图和一个一般等 效点系分布图
（4）原点的位置对称性
（5）空间群的基本对称操作，包 括对称操作序号，对称要素符号及 其轨迹，由初始的一般点出发，在 这些对称操作作用下可以找到一般 等效点系中的所有点。
（6）晶胞中一般点和特殊点的位
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43
两个都是体心正交
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44
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40
2. 画出四种平面点阵（它是无限大的）除平移外的所有对称 元素及其所在位置（在有限个阵点画出就可以了）。
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41
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42
3. 某正交晶系单胞中，在如下位置有单原子存在：①(0, 1/2, 0)，(1/2, 0, 1/2)两种位置都是同类原子；②([1/2, 0,0])， (0, 1/2, 1/2)上是A 原子，(0, 0, 1/2)，(1/2, 1/2, 0)是B 原子。 问上两种晶胞各属于哪一种布喇菲点阵？
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密堆积填隙示意图
• CdCl2: 堆积顺序：
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从填隙模型角度讨论CdCl2,CdI2,TiO2的关系
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可以归结为密堆积结构的复杂化合物
（1）可以归结为ccp简单结构的复杂化合物：
• 高温下NH4+,CN-,BF4-等离子基团，自由转动；NaCl结构：
• [ZnS4]; [SZn4]
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8. 萤石CaF2和反萤石Na2O：面心立方点阵，空间群：Fm3m(225号)， 萤石结构是由Ca构成的面心立方构架，F填充了其中所有四面体间
隙，构成简单立方结构。反萤石构是以简单立方Na为骨架， O部
分填充简单立方的体心间隙，[CaF8]; [FCa4]
（2）空间群序号，完整国际符号
（3）空间群图示，包括几个方向 的对称要素正投影图和一个一般等 效点系分布图
（4）原点的位置对称性
（5）空间群的基本对称操作，包 括对称操作序号，对称要素符号及 其轨迹，由初始的一般点出发，在 这些对称操作作用下可以找到一般 等效点系中的所有点。
（6）晶胞中一般点和特殊点的位
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两个都是体心正交
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2. 画出四种平面点阵（它是无限大的）除平移外的所有对称 元素及其所在位置（在有限个阵点画出就可以了）。
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3. 某正交晶系单胞中，在如下位置有单原子存在：①(0, 1/2, 0)，(1/2, 0, 1/2)两种位置都是同类原子；②([1/2, 0,0])， (0, 1/2, 1/2)上是A 原子，(0, 0, 1/2)，(1/2, 1/2, 0)是B 原子。 问上两种晶胞各属于哪一种布喇菲点阵？
关于晶体学的一些概念
第21卷 第6期大学化学2006年12月关于晶体学的一些概念周公度(北京大学化学与分子工程学院 北京100871) 大学化学编辑部约我写篇文章,讨论一些晶体学的基本概念和表述方法。
我想藉此机会写一些学习体会,和读者交流,就教于读者。
1 晶体的周期结构和点阵 晶体是由原子或分子按照一定的周期性在空间排列形成的固体。
在晶体内部三维空间中,原子的排列按周期规律隔一定距离重复出现,每个重复的单位具有相同的化学组成、相同的化学结构、相同的空间取向和相同的周围环境。
这种重复的基本结构内容叫结构基元。
为了研究晶体中结构基元排列的周期性,将每个结构基元抽象成一个几何上的点表示,而不考虑结构基元的内容和结构,这些点形成点阵。
点阵是在空间任意方向上均为周期排列的无限个全同点的集合。
每个点阵点都有相同的周围环境。
晶体结构可用晶胞表示,将晶胞并置堆积即成晶体。
点阵可用通过点阵点的平行六面体的点阵单位表示。
晶胞和点阵单位是相互对应的。
晶胞参数a,b,c,α,β,γ表达了晶胞的大小和形状,同样它也是表达点阵单位的点阵参数。
将点阵单位用直线划出平行六面体,或将直线通过点阵点外延成格子,称晶格。
点阵和晶格都是从实际晶体结构中抽象出来的,都是表示晶体周期性结构规律的一种抽象的图像。
点阵和晶格在英文中是同一个词(lattice)。
点阵强调的是结构基元在空间的周期排列,它反映的周期排列方式是惟一的;晶格强调的是按点阵单位划出来的格子,由于晶胞和点阵单位的划分有一定的灵活性,所以不是惟一的。
下面通过实例描述晶体周期性结构的重复内容及其点阵。
图1示出α2Se的分子结构、晶体结构和点阵的投影。
α2Se为三重螺旋形的长链分子, Se—Se键长232pm,如图1(a)所示。
在晶体中,这些螺旋长链分子互相平行地堆积在一起,平行螺旋轴的投影结构示于图1(b)。
晶体属D3232点群,实验测得这个三方晶系晶体的晶胞参数a=435.52pm,c=494.95pm,晶胞中包含3个Se原子。
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反轴和映轴间的对应关系
旋转倒反轴和旋转反映轴之间存在简单的一一对应
关系，旋转角度为q的反轴和旋转角为(qp)的映轴
是等价的对称轴，这一关系也很容易从他们的表示
矩阵看出。所以1次， 2次， 3次， 4次和6次反轴
分别等价于2次， 1次， 6次， 4次和3次映轴。
_ ~ _ ~ _ ~ _ ~ _ ~ 1 2 ,2 1 ,3 6 ,4 4 ,6 3
晶体结构的对称性-董成
晶体中的旋转轴限制
练习题：
1.
平移对称性对旋转轴的次数n有很大的限制， 证明在晶体学中只能出n=1,2,3,4,6的旋转轴。 写出沿三个坐标轴X，Y和Z的4次旋转轴的表 示矩阵。
2.
晶体结构的对称性-董成
矩阵乘法
1 0 0 x x 2次旋转矩 阵 0 1 0 y y 0 0 1 z z
（1）符合整个空间点阵的对称性。 （2）晶轴之间相交成的直角最多。 （3）体积最小。 （4）晶轴交角不为直角时，选最短的晶轴，且交角接近直角。
晶体结构的对称性-董成
点阵、结构和单胞
1.
2. 3. 4.
点阵：晶体的周期性，忽略填充空间的实际结构(分子) 。
点阵矢量：由点阵矢量移动晶体到一个等效位置的平移。 初基点阵矢量： 可选择的最小点阵矢量。 初基晶胞： 初基点阵矢量定义的平行六面体，仅包含一个
x1 r cosa y1 r sin a x2 r cos(a )
r (cosa cos sin a sin ) x1 cos y1 sin y2 r sin(a ) r (sin a cos cosa sin ) y1 cos x1 sin
反映面--镜面
反映面，也称镜面，反映操作是从空间某一点向反映面引垂线， 并延长该垂线到反映面的另一侧，在延长线上取一点，使其到反 映面的距离等于原来点到反映面的距离。符号为m (s)。 为了表示反映面的方向，可以在其ห้องสมุดไป่ตู้号后面标以该面的法线。如 法线为[010]的反映面，可记为m [010]。
{m [010]} (x、y， z) = (x， - y， z)
晶体结构的对称性-董成
倒反中心(Inversion center)
倒反中心：也称为反演中心或对称中心(Center of
symmetry)，它的操作是通过一个点的倒反(反演)，
使空间点的每一个位置由坐标为(x、y， z)变换到
(- x， - y， - z)。符号为1(i)，变换矩阵为
晶体结构的对称性-董成
指定晶体中的任意点： r = (u+x)a + (v+y)b + (w+z)c ，其中u， v， w为整数 r = (ua + vb +wc) + (xa + yb +zc)
x, y, z是在晶胞之内指定一个位置的分数座标。 x, y, z用 晶胞边长的分数表示，在0-1之间变化。晶胞原点的分数坐 标总是0，0，0。 用相同分数座标x、y和z指定的所有位置
晶体结构的对称性-董成
晶体性质
晶体是原子(包括离子，原子团)在三维空间中
周期性排列形成的固体物质。晶体有以下的共同
性质： 1. 均匀性; 2. 各向异性; 3. 自范性; 4. 对称性; 5.稳定性。
晶体结构的对称性-董成
对称性的不同含义
物体的组成部分之间或不同物体之间特征的对应、 等价或相等的关系。（希腊字根=类似尺寸的。） 由于平衡或和谐的排列所显示的美。 形态和（在中分平面、中心或一个轴两侧的）组元 的排列构型的精确对应。
晶胞包含描述晶体结构所需的最基本结构信息。如果知道了
晶胞中全部原子的坐标，就有了晶体结构的全部信息。
一般写作：晶体结构=点阵+结构基元；但准确的描述应为：
晶体结构=点阵*结构基元 ；晶体结构=结构基元@点阵
晶体结构的对称性-董成
晶胞的选取
晶胞的选取可以有多种方式，但在实际确定晶胞时，要尽 可能选取对称性高的初基单胞，还要兼顾尽可能反映晶体 内部结构的对称性，所以有时使用对称性较高的非初基胞惯用晶胞。
晶体结构的对称性-董成
晶体点阵与晶体对称性
点阵是一组无限的点，连接其中任意两点可以得到一个矢
量，点阵按此矢量平移后都能复原。三维空间点阵是在三 维空间中点的无限阵列，其中所有的点都有相同的环境。 选任意一个阵点作为原点，三个不共面的矢量a， b和c作 为坐标轴的基矢，这三个矢量得以确定一个平行六面体如
晶体结构的对称性从点阵到空间群
中国科学院物理研究所 董成
晶体结构的对称性-董成
主要内容
晶体的平移对称性：三维点阵和晶胞 晶体学中的对称操作元素： (旋转轴、倒反中心、镜面、反轴、映轴、 螺旋轴和滑移面) 晶体学点群，晶系和点阵型式 空间群及其应用：空间群符号，等效点系， 分数坐标，不对称单位
旋转轴
(2)旋转轴(旋转轴) ：绕某轴反时针旋转q =360/n度， n称
为旋转轴的次数(或重数)，符号为n (Cn)。其变换矩阵为：
n cosq si q n si q cosq 0 0
0 0 1
晶体结构的对称性-董成
旋转矩阵
x2 x1 cos y1 sin y2 y1 cos x1 sin x2 cos sin 0 x1 y sin cos 0 y 2 1 z2 0 0 1 z1 cos sin 0 Rz, ( ) sin cos 0 0 0 1
晶体结构的对称性-董成
晶格
晶体结构的对称性-董成
晶体点阵与晶体对称性
在每个重复周期都选取一个代表点，就可以
用三维空间点阵来描述晶体的平移对称性。 而平移对称性是晶体最为基本的对称性。整 个点阵沿平移矢量 t=ua+vb+wc
(u、v， w为任意整数) 平移，得到的新空间 点阵与平移前一样，称沿矢量t的平移为平移 对称操作。
0 cosq si q 0 n 0 si q cosq 0 n 1 0 0 1
晶体结构的对称性-董成
旋转反映Sn
旋转反映 Sn，包括绕对称轴的逆时针
旋转360°/n，接着作垂直反射。 旋转反演和旋转反映（Improper rotation）被（译）称为异常旋转、非 真旋转、不当旋转等。
在操作中保持空间中至少一个点不动的对称操作称为点对称 操作，如简单旋转和镜像转动(反映和倒反)是点式操作;使 空间中所有点都运动的对称操作称为非点式操作，如平移， 螺旋转动和滑移反映。
晶体结构的对称性-董成
对称操作和对称元素
对称操作： 一个物体运动或变换，使得变换后的物体与变 换前不可区分（复原，重合）。 对称元素：在对称操作中保持不变的几何图型：点、轴或面。 点群： 保留一点不变的对称操作群。 空间群：为扩展到三维物体例如晶体的对称操作群，由点群 对称操作和平移对称操作组合而成；由 32 晶体学点群与 14 个Bravais 点阵组合而成；空间群是一个单胞（包含单胞带 心）的平移对称操作；反射、旋转和旋转反演等点群对称性 操作、以及螺旋轴和滑移面对称性操作的组合。
在二个C2轴之间角平分线的一个垂直平面叫作双面镜面，σ
d
（ dihedral
plane ）。
通过yz面的反映。
晶体结构的对称性-董成
旋转倒反轴-反轴
旋转倒反轴，简称反轴 (Axis of inversion ，
Rotoinversion axis)，其对称操作是先进行旋转操
作(n)后立刻再进行倒反操作，这样的复合操作称
晶体结构的对称性-董成
旋转反映轴--映轴
旋转反映轴，简称映轴(rotoreflection axis)，其对 称操作是先进行绕映轴的旋转操作(n)后立刻再对垂 直于该映轴的反映面进行反映操作m。符号为ñ (Sn)，
设对称轴沿[001]方向，其矩阵表示为：
n 1 0 0 cosq si q n 0 1 0 si q cosq 0 0 0 1 0
为记为
n
0 cosq si q 0 n 0 si q cosq 0 n 1 0 0 1
_
组合成这种复合操作的每一个操作本身不一定 是对称操作。其矩阵表示为：
n 1 0 0 cosq si q n 0 1 0 si q cosq 0 0 0 1 0
都对称等价。（由于晶体的三维周期性，在分数坐标上加 减任意整数，仍然表示平移对称的等价位置。）
晶体结构的对称性-董成
晶体学中的对称操作元素
分子和晶体都是对称图像，是由若干个相等的部分或单元按 照一定的方式组成的。对称图像是一个能经过不改变其中任 何两点间距离的操作后复原的图像。这样的操作称为对称操 作。
晶体结构的对称性-董成
练习题
1.
证明：(1)倒反中心是一次反轴;(2)镜面是 二次反轴。 找出一个立方体具有的所有旋转轴。(6个2 次轴， 4个3次轴， 3个4次轴。)
2.
晶体结构的对称性-董成
非点式对称操作
非点式对称操作：是由点式操作与平移操作
复合后形成的新的对称操作，平移和旋转复 合形成能导出螺旋旋转，平移和反映复合能 导出滑移反映。
晶体结构的对称性-董成
三维晶胞的原子计数
在晶胞不同位置的原子由不同数目 的晶胞分享： 顶角原子 1/8 棱上原子 1/4 面上原子 1/2 晶胞内部 1
晶体结构的对称性-董成