欧拉常数
欧拉数的计算公式
欧拉数的计算公式
欧拉数（Euler Number）是一个工程中常见的参数，是瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ，1707年4月15日～1783年9月18日）的名字命名。其具体意义在不同的学科中不太一样。比如在拓扑学中，最通常的空间完整性，即空洞区域内空洞数量的度量，测量法称为欧拉函数，它只用一个单一的数描述这些函数，称为欧拉数。线性代数中，欧拉数是对向量丛的一种刻画。
数学中，欧拉数是一组重要的常数，即函数sech t在t=0点的泰勒展开式：
的系数En。
前几个欧拉数为：E0=1，E1=1，E2=5，E3=61，E4=1385，E5=50521，E6=2702765，……
欧拉数与欧拉多项式En(x)有关，
欧拉上帝公式：包括数学中最基本的常量e、i、π，哲学重要的0和1
欧拉上帝公式：包括数学中最基本的常量e、i、π，哲学重要
的0和1
欧拉公式：将数学中最基本的常量e、i、π，数学和哲学中最
重要的0和1通过加号连接，放在同一个式子中，推导过程并不复杂，不是天掉下来的，结果很惊人
感觉自己数学不太好的读者请放心，全文只会出现最简单的初等代数、微积分和复变函数公式，如果看不懂。。。那就看图吧。。。
莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707年4月15日～1783年9月18日）
欧拉公式：“宇宙第一”公式
这个公式的巧妙之处在于，它没有任何多余的内容，将数学中最基本的e、i、π放在了同一个式子中，同时加入了数学也是哲学中最重要的0和1，再以简单的加号相连。e、i、π这三个量的由来可见以下三文详细介绍：
1.数学中最基本的自然常数e的由来，e代表欧拉（Euler）吗？
2.数学中最有意思的符号之一虚数单位i的由来，i有物理意义吗？
3.数学中最基本的常数之一圆周率π的由来以及计算机快速计算
π算法
•欧拉公式Euler's Identity
•创立者：莱昂哈德·欧拉
•意义：数学上有许多公式都是欧拉发现的，因此欧拉公式并不是某单一的公式，欧拉公式广泛分布于数学的各个分支中。
•瑞士教育与研究国务秘书Charles Kleiber曾表示：“没有欧拉的众多科学发现，今天的我们将过着完全不一样的生活。”法国数学家拉普拉斯则认为：读读欧拉，他是所有人的老师。
右眼瞎了的欧拉
这个公式是上帝写的么?欧拉是历史上最多产的数学家，也是各领域(包含数学的所有分支及力学、光学、音响学、水利、天文、化学、
物理欧拉公式
物理欧拉公式
物理欧拉公式是数学中的经典公式之一，它将五个重要的数学常
数连接在一起，包括自然对数的底数e、虚数单位i、圆周率π、正弦
函数sin和余弦函数cos。物理欧拉公式的表达形式为e^ix = cos(x) + i * sin(x)。
物理欧拉公式是由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在18世纪提出的。
他通过运用三角函数和指数函数的关系，证明了该公式的正确性。物
理欧拉公式的数值，使得在复数域中，指数函数和三角函数之间建立
了一种非常特殊的对应关系。
首先，物理欧拉公式包含自然对数e，这个数是数学中非常重要的
一个常数。e可以通过无穷级数展开定义为e = 1 + 1/1! + 1/2! +
1/3! + ...。自然对数e在数学和物理中有很多应用，如复利计算、
波动现象、放射性衰变等。在物理上，e经常出现在指数函数的计算中。
其次，物理欧拉公式包含虚数单位i，虚数单位定义为i^2 = -1。在物理和工程领域，虚数单位经常用来表示旋转和振荡现象。它在复
数的分析中非常重要，实部为0的复数即为纯虚数。虚数单位的出现
让我们能够将复杂的实数问题简化为复数域中的分析问题，从而描述
更加复杂的现象。
第三，物理欧拉公式包含圆周率π，π是一个无理数，近似为
3.14159。圆周率π代表了圆的周长与直径的比值。在数学中，它是
一个重要的常数，广泛应用于计算几何、微积分、概率统计等领域。
在物理中，圆周率也不可或缺，比如计算圆的面积、体积，以及描述
周期性现象等。
第四，物理欧拉公式包含正弦函数sin和余弦函数cos。正弦函数
和余弦函数是三角函数的两个重要代表，它们经常用来描述周期性振
欧拉定理
在数学及许多分支中都可以见到很多以欧拉命名的常数、公式和定理。在数论中，欧拉定理(Euler Theorem，也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理)是一个关于同余的性质。欧拉定理得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉，该定理被认为是数学世界中最美妙的定理之一。欧拉定理实际上是费马小定理的推广。此外还有平面几何中的欧拉定理、多面体欧拉定理(在一凸多面体中，顶点数-棱边数+面数=2)。西方经济学中欧拉定理又称为产量分配净尽定理，指在完全竞争的条件下，假设长期中规模收益不变，则全部产品正好足够分配给各个要素。另有欧拉公式。
在数论中，欧拉定理,(也称费马-欧拉定理)是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互质，则：
几何定理：
1)设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d^2=R^2-2Rr.
2)三角形ABC的垂心H，九点圆圆心V,重心G,外心O共线，称为欧拉线
欧拉定理证明：
设三角形的外接圆半径为R,内切圆半径为r,外心与内心的距离为d,则d^2=R^2-2Rr.
证明O、I分别为⊿ABC的外心与内心. 连AI并延长交⊙O于点D,由AI平分ETH;BAC,故D为弧BC的中点. 连DO并延长交⊙O于E,则DE为与BC垂直的⊙O的直径. 由圆幂定理知,R2-d2=(R+d)(R-d)=IA·ID.(作直线OI与⊙O交于两点,即可用证明) 但DB=DI(可连BI,证明ETH;DBI=ETH;DIB得), 故只需证2Rr=IA·DB,即2R∶DB=IA∶r 即可. 而这个比例式可由⊿AFI∽⊿EBD证得.故得R^2-d^2=2Rr,即证.
欧拉定理
在数学及许多分支中都可以见到很多以欧拉命名的常数、公式和定理。在数论中，欧拉定理（Euler Theorem，也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉，该定理被认为是数学世界中最美妙的定理之一。欧拉定理实际上是费马小定理的推广。此外还有平面几何中的欧拉定理、多面体欧拉定理(在一凸多面体中，顶点数-棱边数+面数=2)。西方经济学中欧拉定理又称为产量分配净尽定理，指在完全竞争的条件下，假设长期中规模收益不变，则全部产品正好足够分配给各个要素。另有欧拉公式。
欧拉1707年4月15日生于瑞士，1783年9月18日卒于俄国圣彼得堡，他简直是个超级猛人，他的一生真的是战斗的一生。欧拉从19岁开始发表论文，直到76岁，共写下了886本书籍和论文，其中在世时发表了700多篇论文。彼得堡学院为了整理他的著作，整整用了47年。
小奥许多知识点和欧拉有关，除了我们接下来要聊的欧拉定理和欧拉函数，还有一笔画问题也和欧拉解决的哥尼斯堡七桥问题有关。对这类问题的讨论研究，引导了图论和拓扑学的发展。好，我们还是言归正传。
欧拉函数与欧拉定理
在开始欧拉定理之前我们先看一个小问题，透过这小问题来了解什么是欧拉函数。
小于n且与n互质的自然数有多少个？或者我们把n具体到100，
那么问题就是小于100且与100互质的自然数有多少个？这就是欧拉函数要解决的问题。
欧拉函数用φ表示；
φ(100) = 100 x (1-1/2) x (1-1/5)
先将100分解质因数100 = 2^2 x 5^2
欧拉数概念
欧拉数概念
欧拉数是指以欧拉常数e为底的幂函数中的常数项。欧拉数在数学中具有很重要的应用，尤其是在复变函数和微积分中。欧拉数被广泛用于计算各种复杂的算术和几何问题，也被用于建立各种数学公式和理论。欧拉数的计算和研究一直是数学领域的热门话题之一。欧拉数不仅在理论上有重大意义，而且在实际应用中也有广泛的用途，例如在物理、工程、金融和统计学等领域。
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欧拉定理
欧拉定理
在数学及许多分支中都可以见到很多以欧拉命名的常数、公式和定理。在数论中，欧拉定理(Euler Theorem，也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理)是一个关于同余的性质。欧拉定理得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉，该定理被认为是数学世界中最美妙的定理之一。欧拉定理实际上是费马小定理的推广。此外还有平面几何中的欧拉定理、多面体欧拉定理(在一凸多面体中，顶点数-棱边数+面数=2)。西方经济学中欧拉定理又称为产量分配净尽定理，指在完全竞争的条件下，假设长期中规模收益不变，则全部产品正好足够分配给各个要素。另有欧拉公式。
折叠证明
将1~n中与n互质的数按顺序排布:x1,x2……xφ(n) (显然，共有φ(n)个数)
我们考虑这么一些数:
m1=a*x1;m2=a*x2;m3=a*x3……mφ(n)=a*xφ(n)
1)这些数中的任意两个都不模n同余，因为如果有mS≡mR (mod n) (这里假定mS更大一些)，就有:
mS-mR=a(xS-xR)=qn，即n能整除a(xS-xR)。但是a与n互质，a与n的最大公因子是1，而xS-xR<n，因而左式不可能被n整除。
也就是说这些数中的任意两个都不模n同余，φ(n)个数有φ(n)种余数。
2)这些数除n的余数都与n互质，因为如果余数与n有公因子r，那么a*xi=pn+qr=r(……)，a*xi与n不互质，而这是不可能的。那么这些数除n的余数，都在x1,x2,x3……xφ(n)中，因为这是1~n中与n互质的所有数，而余数又小于n.
由1)和2)可知，数m1,m2,m3……mφ(n)(如果将其次序重新排列)必须相应地同余于x1,x2,x3……xφ(n).
欧拉常数
概述
欧拉常数（Euler-Mascheroni constant)
欧拉-马歇罗尼常数(Euler-Mascheroni constant)是一个主要应用于数论的数学常数。它的定义是调和级数与自然对数的差值的极限。
由无穷级数理论可知，调和级数
是发散的。但可以证明，
存在极限。由不等式
可得
故
有下界。而
再一次根据不等式
，取
，即可得
所以
单调递减。由单调有界数列极限定理，可知
必有极限，即
存在。该极限被称作欧拉常数，现在通常将该常数记为γ。欧拉常数性质
欧拉常数与伽玛函数的关系
欧拉常数与黎曼函数的关系
欧拉常数积分
欧拉常数级数展开式
欧拉常数连分数展开式
（OEIS中的数列A002852）。
欧拉常数渐近展开式
计算方法
Xavier Gourdon在1999年使用以下算法计算欧拉常数到了108,000,000位：对给定的
，计算：
则有
其中，
= 4.970625759544232... 满足方程
。
对给定的
，此方法可以得到接近
位的十进制小数精度。
欧拉定理
欧拉定理
在数学及许多分支中都可以见到很多以欧拉命名的常数、公式和定理。在数论中，欧拉定理（Euler Theorem，也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉，该定理被认为是数学世界中最美妙的定理之一。欧拉定理实际上是费马小定理的推广。此外还有平面几何中的欧拉定理、多面体欧拉定理(在一凸多面体中，顶点数-棱边数+面数=2，即V-E+F=2)。西方经济学中欧拉定理又称为产量分配净尽定理，指在完全竞争的条件下，假设长期中规模收益不变，则全部产品正好足够分配给各个要素。另有欧拉公式。
（1）数学规律：公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律
（2）思想方法创新：定理发现证明过程中，观念上，假设它的表面是橡皮薄膜制成的，可随意拉伸；方法上将底面剪掉，化为平面图形（立体图→平面拉开图）。
（3）引入拓扑学：从立体图到拉开图，各面的形状、长度、距离、面积等与度量有关的量发生了变化，而顶点数，面数，棱数等不变。
定理引导我们进入一个新几何学领域：拓扑学。我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料（如橡皮波）做成的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质。
（4）提出多面体分类方法：
在欧拉公式中，f (p)=V+F-E 叫做欧拉示性数。欧拉定理告诉我们，简单多面体f (p)=2。
除简单多面体外，还有非简单多面体。例如，将长方体挖去一个洞，连结底面相应顶点得到的多面体。它的表面不能经过连续变形变为一个球面，而能变为一个环面。其欧拉示性数f (p)=16+16-32=0，即带一个洞的多面体的欧拉示性数为0。
欧拉定理
数学术语
01 莱昂哈德·欧拉
目录
02 数论定理
03 几何定理
04 拓扑公式
05 图论定理
06 经济学
07 复变函数
09 证明应用
目录
08 意义 010 运用方法
在 数 学 及 许 多 分 支 中 都 可 以 见 到 很 多 以 欧 拉 命 名 的 常 数 、 公 式 和 定 理 ， 得 名 于 瑞 士 数 学 家 莱 昂 哈 德 ·欧 拉 。 在 数论中，欧拉定理（Euler Theorem，也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理）是一个关于同余的性质。复数中的欧 拉定理也称为欧拉公式，被认为是数学世界中最美妙的定理之一。欧拉定理实际上是费马小定理的推广。此外还 有平面几何中的欧拉定理、多面体欧拉定理(在一凸多面体中，顶点数-棱边数+面数=2，即V-E+F=2)。西方经济 学中欧拉定理又称为产量分配净尽定理，指在完全竞争的条件下，假设长期中规模收益不变，则全部产品正好足 够分配给各个要素。另有欧拉公式。
对G的边数用数学归纳法。
平面图G包括k个连通分支，个顶点、条边、个面，那么
1-如果G是一个连通的平面图，具有n个顶点、m条边。已知,可知。 证明： 对于G中的任意一个面r，我们定义b(r)为这个面的边界数。定义为所有面的边界数总和。 由于任意一个平面都至少由三条边围成，所以。 对于每条边，它最多只可以作为两个面的边界，所以。 由上面两个式子，得到.又由欧拉定理得到n-m+r=2，集r=m-n+2，代入后得到 。 2- G是一个连通平面图，具有n个顶点、m条边，可知,代表最小的度。 证明： 我们假设，由握手定理可知，。 由于，可知。又根据推论1可知，。
欧拉公式的四种形式
欧拉公式的四种形式
形式一：e^ix = cos(x) + isin(x)
这是欧拉公式的最常见形式，也被称为欧拉公式的复数形式。其中e 是自然常数，i是虚数单位，x是实数。这个公式表达了一个极为重要的关系，即自然常数e的虚指数幂可以表示为一个复数，它的实部是
cos(x)，虚部是sin(x)。这表明了三角函数和指数函数之间的关系，扩展了指数函数的定义域到了虚数。
形式二：e^ix + 1 = 0
这是欧拉公式的另一种常见形式，也被称为欧拉方程。将x取π，可以得到著名的欧拉方程e^iπ+1=0。这个公式表达了e的π倍的虚指数幂加上1等于0，它被认为是数学中最美丽的公式之一，将五个最基本的数学常数（0、1、e、i和π）结合在一起。
形式三：cos(x) = (e^(ix) + e^(-ix)) / 2
形式四：sin(x) = (e^(ix) - e^(-ix)) / (2i)
欧拉数学公式
欧拉数学公式
欧拉数学公式，即欧拉恒等式，是数学中最为著名的公式之一。它由数学家欧拉在18世纪提出，被认为是数学中最美丽的公式之一。这个公式的形式可以写作e^iπ+1=0，其中e是自然对数的底数，i 是虚数单位，π是圆周率。
欧拉数学公式的美妙之处在于它将数学中的五个重要数学常数联系在了一起，这五个常数分别是e、i、π、1和0。这个公式表明了这五个常数之间的深刻关系，展示了数学的奥妙和无限可能。
我们来看一下自然对数的底数e。e是一个无理数，其近似值为2.71828。它在数学中广泛应用于各种领域，如复利计算、指数函数等。自然对数的底数e具有许多独特的性质，它是一个无限不循环的小数，具有无限的小数位数。
接下来，我们来看一下虚数单位i。虚数单位i是一个特殊的数学概念，它定义为i^2=-1。虚数单位在复数运算中起着重要的作用，它使得我们能够处理平方根为负数的情况，从而推广了实数域到复数域。
然后，我们来看一下圆周率π。圆周率是一个无理数，其近似值为3.14159。它是数学中一个非常重要的常数，与圆的性质密切相关。圆周率的计算一直是数学家们的研究热点，目前已经计算到了数十亿位小数。
接下来，我们来看一下1。1是自然数中最小的正整数，也是数学中最基本的数字之一。它在数学中具有重要的地位，是许多数学理论和公式的基础。
我们来看一下0。0是一个特殊的数字，它既不是正数也不是负数，被称为零。在数学中，0具有许多独特的性质，如加法单位元、乘法吸收元等。
欧拉数学公式e^iπ+1=0将这五个重要的数学常数联系在了一起，展示了它们之间的深刻关系。这个公式的证明需要运用到数学中的复数、指数函数、三角函数等多个领域的知识，涉及到数学中一些深奥的概念和定理。
欧拉常数后100位
欧拉常数后100位
欧拉常数是数学中最重要的常数之一，其近似值约为小数点后100位，具体如下：
e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274
需要注意的是，这个数值是近似值，实际的欧拉常数是一个无限不循环的小数。
欧拉公式详解
欧拉公式详解
欧拉公式是一种关于三个重要数学常数的等式，它包含了自然对
数的底数e、圆周率π和虚数单位i。欧拉公式的表达式如下：e^(iπ) + 1 = 0
其中，e表示自然对数的底数，i表示虚数单位，可以表示为i²
= -1，π表示圆周率。
欧拉公式在数学中有着广泛的应用，在复数学、微积分、微分方
程和物理学等领域都有重要的作用。
欧拉公式的证明比较复杂，它基于泰勒级数和指数函数的性质。
简单来讲，欧拉公式的证明可以通过将指数函数e^x展开成泰勒级数，然后代入x=iπ来证明。由于指数函数和正弦函数、余弦函数等三角
函数有着密切的关系，欧拉公式中的复指数形式可以转化为三角函数
形式，即：
e^(iθ) = cos(θ) + i sin(θ)
其中，θ为任意实数。欧拉公式中的这个等式称为复指数形式公式，它可以用来简化复数的运算和表达。
欧拉公式是数学中一条非常重要的公式，对于理解和应用复数学、微积分和物理学等领域都有着相当的意义。
欧拉常数γ的性质及在解题中的应用
欧拉常数γ，又称为欧拉-马尔可夫常数，是一个著名的超越数，它表示无限级数的极限值，其定义为无穷级数1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …的极限，它的值约为0.57721…，其中有许多有
趣的性质。
一、欧拉常数γ的性质
1、欧拉常数γ是一个超越数，其值无法用有限多个有理数表示。
2、欧拉常数γ的值可以被精确地表示为无穷级数的和，即1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …的极限。
3、欧拉常数γ可以用渐近级数的形式表示，即γ=∑（1/n），其中n从1开始，逐步增大，收敛到γ的值。
4、欧拉常数γ可以用贝尔数来表示，即γ=∑（1/2^n），其中n从1开始，逐步增大，
收敛到γ的值。
5、欧拉常数γ可以用指数函数来表示，即γ=exp（∑（1/n）），其中n从1开始，逐步
增大，收敛到γ的值。
6、欧拉常数γ可以用拉格朗日函数来表示，即γ=lim（x→∞）（∑（1/x^n）），其中n
从1开始，逐步增大，收敛到γ的值。
7、欧拉常数γ可以用积分形式来表示，即γ=∫（1/x）dx，其中x从1开始，逐步增大，
收敛到γ的值。
二、欧拉常数γ在解题中的应用
1、欧拉常数γ可以用来计算无穷级数的极限值，例如1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …，其值就是
欧拉常数γ。
2、欧拉常数γ可以用来解决组合数学问
欧拉数的数学表达式
欧拉数的数学表达式
摘要：
一、欧拉数的概念和背景
1.欧拉数的定义
2.欧拉数的历史背景和发现过程
二、欧拉数的数学表达式
1.欧拉数的一般表达式
2.特殊情况的欧拉数表达式
三、欧拉数在数学领域的应用
1.组合数学中的欧拉数
2.数论中的欧拉数
3.几何中的欧拉数
四、欧拉数的推广和扩展
1.推广到高维空间的欧拉数
2.欧拉数与其他数学概念的联系和影响
正文：
欧拉数是一个在数学领域中广泛出现的数学常数，它以数学家欧拉的名字命名，以表彰他在数学领域中的杰出贡献。欧拉数在数学的各个分支中都有着重要的应用，特别是在组合数学、数论和几何等领域。
欧拉数的概念最早由欧拉在18 世纪末期提出，它的定义是一个正整数n，使得所有小于等于n 的正整数的欧拉函数值之和等于n。用数学公式表
示，即：Σ(φ(i)) = n，其中φ(i) 表示小于等于i 的正整数的欧拉函数值。
欧拉数的一般表达式较为复杂，通常需要通过数学公式和计算工具进行求解。然而，在某些特殊情况下，欧拉数可以被简化为更易处理的形式。例如，当n 为素数时，欧拉数可以被表示为n-1。
欧拉数在数学领域的应用广泛，包括组合数学、数论和几何等。在组合数学中，欧拉数可以用于解决计数问题，如二项式系数和阶乘的计算。在数论中，欧拉数可以用于解决同余方程和素数分布等问题。在几何中，欧拉数可以用于解决图论问题，如四色定理。
欧拉数的推广和扩展也非常丰富。在更高维的空间中，欧拉数的概念可以被推广到高维欧拉数。此外，欧拉数与其他数学概念，如黎曼函数和伽马函数等，也有着密切的联系和影响。
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(1 ax e
0
1
bx
)
dx a ln x b
(3)
( x)
e
0
t x 1
t dt ，
gamma 函数的导数为：
'( x)
e
0
t x 1
t
ln tdt
下面我们先证明这样的一个事实：
ln t
0
e s e ts ds s
我们交换积分与极限的次序(并且这是合理的),将会得到：
1 e x dx x 0
1
1
e x dx x
1 1
(1 e x )d ln x ln xd (1 e x ) e x d ln x
0 0
1
ln xde
1
x
e x ln xdx
接着就可以得到：
0
e us e vs 1 1 ds ( x)[ x x ] 1 x s u v
利用 ( x 1) x( x) ，我们可以将上式变形成：
0
e us e vs (1 x) v x u x ds s1 x (uv) x x
(1 x
1
1
b
1 dx ) 1 xa x
对前者作倒代换 x
1
1 1 dx ( ) b 1 x 1 xa x 0 1 1 b a
tb t a dt ( ) 1 tb 1 ta t 1
b
显然后面两个积分之和等于零，那么也就证明了：
e
dt )
ds s
( x ) (e s
1 ds ) x ( s 1) s '( x) ( x)
那么也就得到了双 gamma 函数： ( x) [ln ( x)]'
e
0
s
1 (1 s ) x
ds
(8)
利用第一个得出的
于是得出 f ( x) constant f (1) 也即为证明了
(e x
0
1 dx ) ,k 0 1 xk x
bx
(11)
接下来证明
(1 ax e
0
1
)
dx a ln x b
我们先对(9)作代换 x at ，得到：
t
ln tdt
对 ln t 作代换 ln t 那么就有：
0
e x e tx dx x
'( x)
t x 1 e t 0 0
e s e ts dsdt s
e ( e
s 0 0 0
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t x 1
t dt
t
0
x 1 t ( s 1)
欧拉常数 的表示方法
我们知道欧拉常数是欧拉对调和级数研究过程中的产物，其定义为 lim
n
k ln n
k 1
n
1
但是除此以外我们还可以得到欧拉常数的多种形式的表示方法，本文列举出一些表示方法， 并给出证明。 一.
e
0
x
ln xdx
n
(1)
1 1 注意到： x dx , dx ln n ，我们就可以将 变换成： k 1x 0
(4)
由 gamma 函数定义得到： ( x )
e
0
0
t x 1
t dt
s ds
那么作代换： t us ，得出： ( x ) u
x
e
us x 1
那么有： ( x ) u
x
e
0
us x 1
x
t ds v
e
0
vs x 1
t ds
0
于是便得到了
e
0
x
ln xdx 的结果
利用上式得到的变形，我们可以得到以下的结果 令e
x
t ， ln( ln t )dt ，
0
1
(2)
1 dx 二. ( e x ) , k 0, k 1 x x 0
我们知道 gamma 函数定义为
0
e x e x dx x
a
b
0
cos ax cos bx , a, b 0 x
(12)
对于第一个积分，我们利用积分(10)稍微变形便得出。 令 k a, b ，我们会得到：
a
1 dx ( e ax ) , a 1 x x b 0
e
0
x
ln xdx 也就可得出：
e x t11 ln xdx (ln (1)) '
0
也即为
(1 x e
0 k
1
x
)
dx x
(9)
我们令 x t , k 0 ，那么很容易得到的积分公式：
下面证明
(1 x
(5)
现在令 x 0 ，那么我们就可以得到：
0
e ux e vx v dx ln x u
事实上该积分我们利用 Froullani 积分也容易得到相同结果，在这里就不细说了 如果我们对 x 取一些特定的值还可以得出一些结果，在这里我们可以稍微拓展一下： 一.令 x 为正整数 n ，那么有：
0
1
k
e x )
k
kdx x
(10)
(1 x
0
1
k
e x )
dx , k 0 成立 x e x ) dx ，下面证明 f '( k ) 0 x
我们设 f ( k )
(1 x
0
1
k
由于易得 lim(
x 0
1 1 1 1 e x ) 1, lim ( e x ) 0 ，注意到此时要求 k 0 ，故 k k x 1 x 1 x x x
(1 x
0
1
b
e bx )
dx x
接着两个等式相减我们会得到：
b
下面证明
a
[(1 x
0 b
1
b
a b 1 dx ) (e x e x )] a 1 x x
(1 x
0
1
1 dx ) 0 1 xa x
1
1 1 dx 1 1 dx ( ) ( ) b a b a 1 x 1 x x 1 x 1 x x 0 0 1 ，我们得到： t
1 n 1 n t x n n
这样我们可以继续化简得出：
x x n x n 1 (1 ) n n 1 1 (1 ) n (1 ) 1 n dx dx lim n dx n dx lim n n x x x x 0 1 0 1
n
0
e t cos t dt 0 t
a
现在我们令 x t , a 0 ，于是便得到：
a
0
e t cos t a dt 0 t
a
a
0
e t cos t a dt 0 t
b
a
现在利用上式与得到的： 很容易便可得出：
0
et et 1 1 dt ( ) t b a
(1 ax e
0
1
ax
)
dx ， x
再利用(4)的结果变形，得出：
0
e bx e ax a dx ln x b
那么也就容易得出：
(1 ax e
0
1
bx
)
dx b ln x a
综上证明了最初两个积分式的成立
1 1 三． b a
1 k
kx e dx ，于是有 lim 0
k 1
n
1 e kx dx dx x 0 1
n
交换求和与积分的次序有：
lim
n
0
(1 e nx ) 1 dx dx x e 1 x 1
n
接着交换极限与积分的次序有：
2
f '( x)
(cos t e
0
t
)e xt dt
于是有
0
f '( x)dx ln
x 2 1 |0 0 f ( x) |0 f () f (0) x 1
而注意到， f ( ) 0 ，于是就易得 f (0) 0
也即为
k 1
1
1 1 xn 1 lim k 1 dx dx lim dx dx n n x 1 x x k 1 0 x 1 0 1
n
1
1
n
1
n
该积分交换积分与求和的次序也由于易证积分的一致收敛性。
x 1 (1 ) n 1 x 1 (1 t ) 1 x t n dx 作代换得到： dx dt 1 x t x 0 0 0
0
e x e x dx x
a
下面一个积分的证明需要先证明一个引理：
0
exp(t a ) cos t a dt 0, a 0 t
我们先证明： I1
0
e t cos t dt 成立， t
为此我们引入含参数积分： f ( x)
0
e t cos t xt e dt t x 1 x 1 x 1
接着作倒代换得出：
[
0
1
1 1 ]dx 1 x ln x
被积函数有界，那么该积分是一致收敛的，那么求导与积分可以交换次序，于是得到:
f '(k )
作倒代换 t
0
x k 1 ln x dx (1 x k ) 2
1 ，我们得到： x
f '(k )
0
t k 1 ln t dt f '(k ) (1 t k ) 2
0
e us e vs s 1 2
3 k 2
(7)
利用 ( )
以及 ( x 1) x( x) 的递推公式我们可以得出：
1 (2k )! ( k ) k 2 4 k!
现在回到 gamma 函数的导函数上面来：
'( x)
e
0
t x 1
0
e us e vs vn u n ds ( n 1)! s1 n (uv) n
(6)
二．令 x k 那么有：
1 , k 0,1, 2,3, 4... 2 1 1 1 k 2( k ) k 2 2 v u 2 ds 1 k 2k 1 (uv) 2
0
1 dx x e 1
t
xdx
1
1
我们对后者进行变换 x e ，
那么有：
1
1 dx x
xe
0
dx
x
于是就有：
e
0
x
1 1 x dx 1 xe
x
我们进行略微的变形，令 t e ，得到：
[
1
1 1 dt ] t 1 t ln t t
0
cos x a cos x b 1 1 dx ( ) x b a
四．
0
1 1 1 1 x dx dx x e 1 xe ln x 1 x 0
1
由欧拉常数 定义得到： lim
n
k ln n
k 1 n
n
1
注意到：