4.5三角形和多边形的内角和

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人教版四年级数学下册第五单元三角形——多边形的内角和教案

多边形的内角和◎教学笔记教学内容教科书P66例7，完成P66“做一做”，P67～68“练习十六”第4、5、7*题。

教学目标1.通过测量、剪拼、观察等活动探究四边形的内角和,能运用四边形的内角和为360°这一规律解决一些实际问题。

2.会运用探索三角形的内角和的经验探索四边形的内角和并得出结论,经历观察、思考、推理、归纳的过程,培养学生的探究推理能力、发现能力、观察和动手操作能力。

3.在各种活动中体验探索的乐趣和成功的快乐,培养合作探究精神,掌握一些学习与研究的方法。

教学重点通过动手操作，探索发现四边形的内角和的度数,并应用这一规律解决问题。

教学难点探索四边形的内角和时，如何把四边形转化成三角形。

教学准备课件,量角器,四边形纸片，剪刀。

教学过程一、提问激趣，导入新课1.课件出示一组平面图形。

师：观察这些图形，它们分别是什么图形？有什么共同特点？哪里是它们的内角？【学情预设】预设1：它们分别是长方形、正方形、梯形、平行四边形。

预设2：它们都是四边形,它们都有四条直的边和四个角,其中的四个角就是它们的内角。

【设计意图】通过复习四边形的相关知识,唤醒学生已有的知识经验,为进一步探究四边形的内角和打下坚实基础。

2.联系猜想，揭示课题。

师：上节课我们学习了三角形的内角和,同学们猜想一下,这些四边形的内角和是多少度呢?【学情预设】预设1：认为这些图形不一样,内角和度数不相同。

预设2：认为四边形的内角和与形状没有关系,有的学生可能猜等于180°,有的猜测大于180°,有的猜测等于360°，等等。

师：四边形的内角和到底是多少呢？谁猜的是对的呢？今天这节课我们一起来研究它。

（板书课题：多边形的内角和）【设计意图】学生的学习应当是生动活泼的和富有个性化的过程。

不管学生猜测的结果是多少,我们都要肯定他们的大胆猜测,给予他们充分想象的空间,激发他们探究的兴趣。

二、合作交流，探索四边形的内角和1.阅读与理解。

2.三角形的内角外角及正多边形的内角和

三角形的内角外角及多边形的内角1.三角形内角与外角定理及性质⑴三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形.⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 三角形的一个外角和与之相邻的内角互补.例1.如图，AF，AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝36°，∠C＝76°，求∠DAF的度数．例2.如图，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC中，三角板的两条直角边XY和XZ恰好分别经过点B 和点C.(1)若∠A＝30°，则∠ABX＋∠ACX的大小是多少？(2)若改变三角板的位置，但仍使点B、点C在三角板的边XY和边XZ上，此时∠ABX＋∠ACX的大小有变化吗？请说明你的理由．例3.如图，求证：∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C.变式练习1.如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数为________．2.如图，点D，E分别是AB，AC上的点，连接BE，CD，若∠B＝∠C，则∠AEB与∠ADC的大小关系是()A．∠ADC>∠AEB B．∠ADC＝∠AEB C．∠ADC<∠AEB D．不确定第2题第3题3.如图，B处在A处的南偏西60°方向，C处在A处的南偏东20°方向，C处在B处的正东方向，求∠ACB 的度数4.如图，已知在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，若∠BOC＝140°，求∠A的度数．5.如图，△ABC中，∠A＝50°，点D，E分别在AB，AC上，则∠1＋∠2的大小为第5题第7题第8题6.已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的外角度数之比为2∶3∶4，则这个三角形是()A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰三角形7.如图，∠1、∠2、∠3、∠4恒满足的关系是()A．∠1＋∠2＝∠3＋∠4 B．∠1＋∠2＝∠4－∠3C．∠1＋∠4＝∠2＋∠3 D．∠1＋∠4＝∠2－∠34.如图，△ABC中，∠B和∠C的外角平分线相交于点D，则∠BDC＝()A.12(90°－∠A) B．90°－∠A C.12(180°－∠A) D．180°－∠A1.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.2.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.3.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.4.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.5.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.6.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，7公式(1)多边形内角和公式：n 边形的内角和等于(2)n -·180° (2)多边形的外角和：多边形的外角和为360°.(3)多边形对角线的条数：①从n 边形的一个顶点出发可以引(3)n -条对角线，把多边形分成(2)n -个三角形.②n 边形共有(3)2n n -条对角线.例 4.下列说法：①等腰三角形是正多边形；②等边三角形是正多边形；③长方形是正多边形；④正方形是正多边形．其中正确的个数为( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个例5.如图，△ABC ，△ADE 及△EFG 都是等边三角形，D 和G 分别为AC 和AE 的中点，若AB ＝4时，则图形ABCDEFG 外围的周长是( ) A ．12 B ．15 C ．18 D ．21变式练习1.一个正多边形的一个内角为162°,则这个多边形的边数为 .2.过m 边形的一个顶点有7条对角线，n 边形没有对角线，k 边形共有k 条对角线，则(m －k)n 为多少？3. 如图，图中分别是正方形、正五边形、正六边形，试求出∠1，∠2，∠3的度数。

(完整版)多边形及其内角和知识点

(完整版)多边形及其内角和知识点多边形是几何学中常见的一个概念，是由若干个线段组成的一个闭合图形。

根据边的数量，我们可以把多边形分为三类：三角形、四边形和多边形。

三角形是由三条线段组成的闭合图形，是最简单的多边形。

三角形有三个内角和，三个内角和等于180度。

这个定理叫做“三角形内角和定理”。

我们不难想象，如果将三角形沿任意一边割开，得到的两个部分必定可以重新组合成一个平行四边形。

接下来我们来谈谈四边形。

四边形是由四条线段组成的闭合图形，它的内角和是360度。

其中，平行四边形的对边相等，且对角线相交，交点把平行四边形分为两个全等的三角形。

这个定理叫做“平行四边形对角线定理”。

接下来是多边形。

多边形是由三条以上的线段构成的闭合图形，多边形的边和角数可能非常多，我们不方便用公式直接表达其内角和。

不过，由于任何多边形都可以分割成若干个三角形，我们可以通过三角形的内角和定理来计算多边形的内角和。

例如，对于一个五边形，我们可以通过将其分割成三角形，计算出五边形的内角和是540度。

五边形有多种类型，例如正五边形的五个内角都是108度，而五边形中的最大内角则可以达到刚刚好不到180度的夹角。

如果我们将五边形表示为ABCDE，其中C是它的最大内角（得到这个五边形非常简单，只需要将任意二十面体四面体化即可），那么我们容易得到公式：∠ACE= ∠ABC + ∠ACB同时，也有一些其他的多边形内角和求解公式，例如正六边形的内角和公式是720度，不过由于时间和空间的关系，我们不在此一一列举。

在实际问题中，多边形的内角和定理可以用于许多计算问题。

例如，在地理问题中，我们需要计算地球表面的一个多边形的面积时，首先需要计算其内角和，并应用面积公式求解。

在数学竞赛中，也常常会出现一些需要计算多边形的内角和的问题，因此，在学习数学的过程中，理解多边形的内角和定理对很多学生来说是非常重要的。

此外，多边形还有一些其他的重要性质和定理，例如多边形的对称性、多边形划分的方法、多边形面积的计算公式等等，这些知识点也非常重要，有助于我们更好地理解和应用多边形的相关知识。

多角形的内角和与外角和

外角和定理证明：通过旋转将多边形化为一个点
外角和定理的应用：计算多边形的内角和
外角和的性质
任何多边形的外角和等于360度。
外角和的性质是几何学中的一个基本定理，适用于任何凸多边形。
外角和的性质可以通过几何证明或使用斯诺定理来证明。外角和的性质在解决几何问题中具有广泛的应用，例如计算角度、确定位置等。
也可以通过在四边形的一条对角线上作一条垂线，将四边形划分为一个三角形和一个梯形来推导四边形的内角和。
五边形内角和的推导
将五边形划分为三个三角形利用三角形内角和性质计算五边形内角和得出五边形内角和为180° × (5 - 2) = 1080° 总结五边形内角和的推导过程
n边形内角和的公式
为180度
利用三角形外角性质，证明三角形内角和
为180度
利用三角形内角和性质，证明多边形内角和为（n-2）*
180度
四边形内角和的推导
任意四边形的内角和等于360度。
通过将四边形划分为两个三角形来推导四边形的内角和。
每个三角形的内角和为180度，因此四边形的内角和为两个三角形的内角和之和，即360度。
应用：多角形的分类与性质
举例：矩形、平行四边形等特殊多角形
内角和与外角和的转换关系
内角和与外角和的关系：互补证明方法：利用三角形内角和定理和平行线的性质结论：多边形的外角和等于360度，而内角和则根据边数不同而变化应用：在几何学中，这种关系可用于解决各种问题，如角度计算、多边形面积和周长的计算等
汇报人：
内角和与外角和的性质比较
内角和的性质：多角形的内角和等于（n-2）*180°，其中n是多边形的边数。
外角和的性质：多边形的外角和等于360°，与边数无关。

三角形中位线、多边形内角和定理

三角形的中位线与多边形的内角和定理【知识梳理】1、三角形中位线连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．注意三角形中位线与三角形中线的区别．2、三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．如图，D、E分别是△ABC边AB、AC的中点，则，且DE∥BC．3、定理：经过三角形一边中点与另一边平行的直线平分第三边．4、多边形有关概念在一平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.这里所指的多边形是指凸多边形．即多边形总在任何一条边所在直线的同一旁．如图（1）是凸多边形，图（2）是凹多边形.组成多边形的各条线段叫做多边形的边，多边形有几条边就叫几边形，每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点，连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线，相邻两边组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角．5、正多边形如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那就称它为正多边形.研究多边形的问题经常转化为研究三角形的问题.6、多边形内角和定理n边形的内角和等于(n－2)·180°（n≥3的正整数），可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°.7、多边形外角和定理多边形的外角：多边形的角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角．在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和.多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°.8、注意：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.二、重难点知识归纳1、三角形中位线定理的证明方法，关键在于添加辅助线．除课本上的证明方法外，还有如下几种方法参考：（1）如图，延长中位线DE到点F，取EF＝DE，连接DC、FC、AF．根据对角线互相平分判定四边形ADCF是平行四边形，得到AD CF．以下步骤同教材．（2）如图，作CF∥AB，与DE的延长线交于点F，通过证明△ADE≌△CFE，得 AD FC，以下步骤同教材．2、三角形中位线定理是三角形的一个重要性质定理．在同一题设下，有两个结论，一个结论是表明位置关系，即平行关系，另一个结论是表明数量关系，即中位线等于第三边的一半，应用时按需选用．3、经过探索式推理得到的定理：经过三角形一边中点与另一边平行的直线平分第三边，可以作为中位线的判定方法．4、利用三角形中位线定理，可判定顺次联结各种不同类型的四边形各边中点所得四边形的形状，它取决于原四边形的两条对角线的位置与长短，一般可归结为：原四边形两条对角线中点四边形互相垂直矩形相等菱形互相垂直且相等正方形既不互相垂直也不相等平行四边形5、由三角形中位线定理可以推得的结论（1）三角形三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长一半．（2)三角形三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形．(3)三角形三条中位线可以从原三角形中划分出面积相等的三个平行四边形．6、多边形内角和定理的几种证法（1）在n边形内任取一点，并把这点与各顶点连结起来，共构成n个三角形，这n个三角形的内角和为n·180°，再减去一个周角，即得到多边形的内角和为(n－2)·180°.（2）过n边形一个顶点连对角线，可以得(n－3)条对角线，并且将n边形分成(n－2)个三角形，这(n－2)个三角形的内角和恰好是多边形的内角和，等于(n－2)·180°.（3）在n边形一边上取一点与各顶点相连，得(n－1)个三角形，n边形内角和等于这(n－1)个三角形内角和减去所取点处的一个平角，即(n－1)·180°－180°=(n－2)·180°.注意：以上各推导方法体现将多边形问题转化为三角形问题来解决的基本思想.7、多边形外角和定理的证明多边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，所以n边形内角和加外角和等于n·180°，外角和等于n·180°－(n－2)·180°=360°.8、多边形边数与内角和、外角和的关系（1）内角和与边数成正比，边数增加，内角和增加；边数减少，内角和减少.每增加一条边，内角和就增加180°.（反过来也成立）（2）多边形外角和恒等于360°，与边数的多少无关.9、多边形对角线的条数设n边形为A1A2A3…A n则以A1为端点的对角线有A1A3，A1A4，…，A1A n－1共(n－3)条.同理以A2，A3，…，A n为端点的对角线都有(n－3)条.但每条对角线都重复计数了一次，故n边形对角线的总数为．【典型例题】知识点一：三角形的中位线例1、如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：EG、FH互相平分．例2、如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接CD和EF．（1）求证：DE=CF；（2）求EF的长．例3、如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点．（1）求证：四边形EGFH是菱形；（2）若AB=，则当△ABC+△DCB=90°时，求四边形EGFH的面积．知识点二：多边形的内角和与外角和例1、已知两个多边形的内角和的和为1980°，且这两个多边形的边数之比为2︰3，求这两个多边形的边数.例2、一个多边形除了一个内角外，其余各角的和为2750°．则这一内角是（）A．130°B．140°C．150°D．120°1．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是（）A．8B．10C．12D．142．如图，点D、E、F分别为△ABC各边中点，下列说法正确的是（）A．DE=DF B．EF=AB C．S△ABD=S△ACD D．AD平分△BAC3.如图，△ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是BC的中点．若OE=3cm，则AB的长为（）A．12cm B．9cm C．6cm D．3cm4.过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是（）A．8B．9C．10D．115．如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，连接OA，点G、F分别为OC、OB的中点，BC=8，AO=6，则四边形DEFG的周长为（）A．12B．14C．16D．186．如图，已知矩形ABCD的对角线AC的长为10cm，连接各边中点E，F，G，H得四边形EFGH，则四边形EFGH的周长为（）A．20cm B．20cm C．20cm D．25cm7.若凸n边形的内角和为1260°，则从一个顶点出发引的对角线条数是（）A．6B．8C．18D．278.顺次连接四边形各边中点所得的四边形是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．以上都不对9.如图，点A，B为定点，定直线l△AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：△线段MN的长；△△PAB的周长；△△PMN的面积；△直线MN，AB之间的距离；△△APB的大小．其中会随点P的移动而变化的是（）A．△△B．△△C．△△△D．△△10.如图，在△ABC中，CD是高，CE是中线，CE=CB，点A、D关于点F对称，过点F作FG△CD，交AC 边于点G，连接GE．若AC=18，BC=12，则△CEG的周长为．11.己知正多边形的每个外角都是45°，则从这个正多边形的一个顶点出发，共可以作条对角线．12.已知一个多边形的边数恰好是从一个顶点出发的对角线条数的2倍，则这个多边形的边数是，内角和是．13.如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，如果EF=2，那么菱形的周长为．14.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点．若AC+BD=24cm，△OAB的周长是18cm，则EF的长为．15.如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点．若EF=5cm，则AB=cm；若BC=9cm，则DE=cm；中线AF与DE的关系．16.已知一个三角形的周长为10cm，则连接各边中点所得的三角形的周长为cm．17.如图，D，E，F分别是△ABC的AB，BC，CA边的中点．若△ABC的周长为18cm，则△DEF的周长为．18.如图，已知直线l1：y=k1x+4与直线l2：y=k2x﹣5交于点A，它们与y轴的交点分别为点B，C，点E，F 分别为线段AB、AC的中点，则线段EF的长度为．19.已知从n边形的一个顶点出发共有4条对角线，其周长为56，且各边长是连续的自然数，求这个多边形的各边长．20.已知，如图，E、F分别是AB、AC的中点，△ACD是△ABC的外角，延长EF交△ACD的平分线于G 点，求证：AG△CG．21.探索与证明如图，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于点O，M、N分别是BO、CO 的中点，顺次连接E、M、N、D四点．（1）求证：EMND是平行四边形；22.如图，已知△ABC是等边三角形，点D，F分别在线段BC，AB上，连接FC，AD，DE△FC，EF△DC （1）若D，F分别是BC，AB的中点，连接FD，求证：EF=FD；（2）连接AE，若BF=CD，求证：△AED是等边三角形．23.如图1，点P是线段AB的中点，分别以AP和BP为边在线段AB的同侧作等边三角形APC和等边三角形BPD，连接CD，得到四边形ABDC．（1）在图1中顺次连接边AC、AB、BD、CD的中点E、F、G、H，则四边形EFGH的形状是菱形；（2）如图2，若点P是线段AB上任一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，△APC=△BPD，连接CD，得四边形ABDC，则（1）中结论还成立吗？说明理由；（3）如图3，若点P是线段AB外一点，在△APB的外部作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，且△APC=△BPD=90°，请你先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由．【巩固练习】1.如果三角形的两边分别为4和6，那么连接该三角形三边中点所得三角形的周长可能是（）A．6B．8C．10D．122.如图，点D、E、F分别是△ABC中AB、BC、AC边上的中点，点M、N、P分别是DE、EF、DF的中点．若△ABC的周长为24，则△PMN的周长为（）A．6B．8C．10D．123.直角三角形斜边上的中线与连结两直角边中点的线段的关系是（）A．相等且平分B．相等且垂直C．垂直平分D．垂直平分且相等4.从一个多边形的任何一个顶点出发都只有5条对角线，则它的边数是（）A．6B．7C．8D．95.一个多边形的外角和与它的内角和的比为1：3，这个多边形的边数是（）A．9B．8C．7D．66.如图，在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=7，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则△DEF的周长为（）A．9B．10C．11D．127.如图，已知△ABC的周长是1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形…依此类推，则第2015个三角形的周长为（）A．B．C．D．8.如图，已知长方形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC 上从点B向点C移动，而点R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减少C．线段EF的长不变D．线段EF的长先增大后变小9.如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分△ABC，交DE于点F，若BC=6，则DF的长是（）A．3B．2C．D．410.如图，CD是△ABC的中线，点E、F分别是AC、DC的中点，EF=1，则BD=．11.如图，H是△ABC的边BC的中点，AG平分△BAC，点D是AC上一点，且AG△BD于点G．已知AB=12，BC=15，GH=5，则△ABC的周长为．12.如图，在△ABC中，AB=AC=13，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点．已知B（﹣1，0），C（9，0），则点F的坐标为．13.如图，在△ABC中，△ACB=52°，点D，E分别是AB，AC的中点．若点F在线段DE上，且△AFC=90°，则△FAE的度数为°．14．（1）从四边形的一个顶点出发，可以引条对角线，将四边形分成个三角形．（2）从五边形的一个顶点出发，可以引条对角线，将五边形分成个三角形．（3）从六边形的一个顶点出发，可以引条对角线，将六边形分成个三角形．（4）从n边形的一个顶点出发，可以引条对角线，将n边形分成个三角形．15．由n边形的一个顶点可以引条对角线，它们将n边形分为不重叠的个三角形，n边形共有条对角线，12边形共有条对角线．16．已知一个多边形的每一个内角都等于150°，则此多边形从一个顶点出发的对角线共有条，可以将此多边形分成个三角形．17.如图，D是△ABC的BC边的中点，AE平分△BAC，AE△CE于点E，且AB=10，AC=16，则DE的长度为．18.如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上一点，CF=1，DF交CE于点G，且EG=CG，则BC=．19.如图，矩形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，已知AB=6，AF=4，则AC=．20.已知，D是△ABC内一点，BD△CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，求四边形EFGH的周长．21.如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）求证：△DHF=△DEF．22.如图1，已知E、F、G、H分别为四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接EF、FG、GH、HE．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形（提示：可连接AC或BD）；（2）在电脑上用适当的应用程序画出图1，然后用鼠标拖动点D，当点D在原四边形ABCD的内部，在原四边形ABCD的外部时，图1依次变为图2、图3．图2、图3中四边形EFGH还是平行四边形吗？选择其中之一说明理由．。

人教版八年级数学上册教案《多边形的内角和》

《多边形的内角和》《多边形的内角和》选自人教版八年级上册的第十一章第三节，《多边形内角和》是本章的一个重点，是三角形有关知识的拓展，是以后学习平面镶嵌的基础，多边形内角和公式的运用还充分体现了图形与客观世界的联系。

在内容上，起着承上启下的作用，是在学生学习了一元一次方程、三角形内角和知识和多种平面几何图形的基础上进行的，目的是使学生进一步了解多边形的性质,感受图形世界的现实性和丰富多彩,同时在教学中渗透类比,转化等思想方法培养学生用联系的变换的观点思考问题。

【知识与能力目标】掌握多边形的内角和与外角和的计算方法，并能用其解决一些简单的问题；通过多边形内角和计算公式的推导，体验转化和类比的数学思想方法。

【过程与方法目标】1、让学生经历猜想、探索、推理、归纳等过程，发展学生的合情推理能力和语言表达能力，掌握复杂问题化为简单问题，化未知为已知的思想方法。

2、通过把多边形转化为三角形，体会转化思想在几何中的运用，让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法。

3、通过探索多边形的内角和与外角和，让学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题。

【情感态度价值观目标】通过动手实践、相互间的交流，进一步激发学习热情和求知欲望。

同时，体验猜想得到证实的成就感，在解题中感受生活中数学的存在，体验数学充满探索和创造。

【教学重点】探索多边形的内角和及外角和公式。

【教学难点】多边形内角和公式的推导。

多媒体课件、三角板、量角器。

一、复习引入我们已经证明了三角形的内角和为180°，在小学我们用量角器量过四边形的内角的度数，知道四边形内角的和为360°，现在你能利用三角形的内角和定理证明吗？二、多边形的内角和如图，从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线？它们将四边形分成几个三角形？那么四边形的内角和等于多少度？DCA B可以引一条对角线；它将四边形分成两个三角形；因此，四边形的内角和等于△ABC的内角和加△ACD的内角和=2×180°=360°。

多边形的内角和 (优质课)获奖课件

四、练习与小结练习：教材练习．教师布置练习，学生举手回答．小结：谈谈你对三角形外角的认识．教师引导学生谈谈对三角形外角的认识．主要从定义和性质两个方面入手．五、布置作业习题11.2第5，6，8题，选做题：第11题．
通过三角形的内角和回顾引入，然后通过学生的预习，在他们的理解基础上，去学习三角形的外角的定义，这样能够加深他们对外角定义的理解，在探索三角形外角定理的时候，我也是采取了学生去探索的思想，让他们自己大胆猜想，然后同学们在老师的引导下去证明自己的猜想，这样以后才能运用自如．
(二)五边形的内角和问题1：你知道任意一个五边形的内角和是多少度吗？
问题2：你知道任意一个n边形的内角和是多少度吗？ (n－2)×180° 180°n－360° 180°(n－1)－180° 板书：多边形内角和公式：n边形的内角和等于(n－2)×180°
补充例题：求十五边形内角和的度数． 1．教师提出问题，学生思考后分组活动． 2．教师深入小组，参与小组活动，及时了解学生探索的情况． 3．让学生归纳借助辅助线将五边形分割成三角形的不同分法． 4．探究五边形的边数与所分割的三角形个数间的关系，进而得出五边形内角和与边数的关系． 5．根据以上分割三角形的方法，引导学生归纳n边形内角和公式及不同公式间的联系，指明为了书写整齐，便于记忆，我们选择(n－2)×180°这个公式． 6．通过计算，让学生巩固并掌握n边形内角和公式．
三、练习应用 1．教材练习．补充： 2．问题：一个多边形的内角和与外角和相等，它是几边形？四、小结与作业问题：谈谈本节课你有哪些收获？ 1．学生反思学习和解决问题的过程． 2．鼓励学生大胆表达，并对学生的进步给予肯定，树立学生学好数学的自信心．作业：习题11.3第2，4，5，6，7，8题，选做题：第9，10 题．

人教版四年级下册数学第五单元《多边形的内角和》教学课件(新插图)

基础练习
1.画一画，算一算，你发现了什么？我也是把每个多边形分成三角形，但我的分法与他的不同，分出的三角形的个数与多边形的边数相同。多边形的内角和＝180º×边数－360º。
67
180º×4－360º 180º×5－360º 720º
＝360º
＝540º
900º
利用公式算一算这个角度是怎么来的。
探究新知
你能想办法求出这个多边形的内角和吗？ 180°×4=720°
我把这个六边形分成了4个三角形。
探究新知
你还能用其他办法求出这个多边形的内角和吗？
我把这个六边形分成了6个三角形，把6个三角形的内角加起来再减去中间的一个周角就是六边形的内角和，180°×6－360°＝720°
探究新知
这两种方法都是将六边形分成了三角形再计算，虽然分法不同，但求出的结果是一样的。
基础练习
画一画，算一算，你发现了什么？
多边形的内角和＝180°×（边数－2）多边形的内角和＝180 ° ×边数－360 ° 180 °×（边数－2）＝180 °×边数－360 °
这两种不同的分法得出的结论相同吗？
如果用四则运算的法则，去括号，第一个算式就变成了第二个算式。用不同的分法得出的结论是相同的。
人教版四年级下册数学
教学课件
第五单元三角形
多边形的内角和(教材P66例7)
情境导入
把一张三角形纸板沿直线剪了一刀，剩下的纸板的内角和是多少度?
三角形的内角和是180°。四边形的内角和是多少度?
探究新知
四边形的内角和是多少度？
长方形和正方形的4个角都是直角，它出其他四边形的内角和呢？
拓展练习
2.∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝（ 360 ）°

多边形内角和学习要点

多边形内（外）角和学习要点多边形的内角和与外角和是多边形的重要内容之一，其中蕴涵着丰富的数学思想和众多的知识，我们在学习中要注意归纳和总结：一、理解内角和公式的推导理解公式的推导，弄清它的来龙去脉，可以加深对公式的理解与掌握，并且能从中学到许多常用的方法．（一）对于边形的内角和公式：n 边形的内角和，其常见推导方法有如下四种：方法一：从一个顶点出发引n 边形的条对角线，把n 边形分割为个三角形（如图1所示），则这(2)n -个三角形的内角和的和就是n 边形的内角和，从而得到n 边形的内角和(2)180n =-⨯︒；方法二：在n 边形内任取一点，然后把这一点与各顶点连接，将n 边形分割为n 个三角形（如图2所示），这n 个三角形的内角和的和比n 边形的内角和多出了一个周角即，因此，n 边形的内角和方法三：在n 边形的一边上取一点，把这一点与各顶点连结（如图3所示），把n 边形分割为个三角形，这(1)n -个三角形内角和的和比n 边形的内角和多出了一个平角即，因此，n 边形的内角和．方法四：如图4，在n 边形外取一点P （不在n 边形任一边的延长线上），连接这点与各顶点，得到（n －1）个三角形（不含△A 2PA 3）．因为这（n －1）个三角形的内角和是（n －1）·180°，以点P 为公共顶点的（n －1）个角连同∠PA 2A 3、∠PA 3A 2的和是180°（应去掉），所以n 边形的内角和是（n －1）·180°－180°，即（n －2）·180°．说明：1、不论是哪一种推导方法，都是考虑如何将多边形转化为三角形，以便能利用我们已熟知的三角形内角和．A 4A 3 A 2 A 1 A n A 5P A n A 5 A 4 A 3 A 2 A 1 P A 4 A 3 A 2 A 1 A n A 5 P A 4 A 3 A 2 A 1 A n A 5 图3 图2 图4图12、理解上面的推导方法关键之处有两点：（1）要确定转化后的三角形的个数与多边形的边数之间的关系；（2）要确定转化后的三角形的内角和与多边形的内角和之间的关系。

多边形的内角和与外角和

对多边形有什么样的了解
呢？
四边形是由四条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为四边形 ABCD
五边形
多边形的内角和与外角和
五边形，它是由五条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为五边形ABCDE .
多边形
那么多边形的定义呢？
多边形的内角和与外角和
一般地，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n边形，又称为多边形．
有没有什么规律呢？
六边形ABCDEF共有9条对角线.
多边形的内角和与外角和
请问：四边形从一个顶点出发，能引出几条对角线？ 1
请问：五边形从一个顶点出发，能引出几条对角线？ 2 请问：六边形从一个顶点出发，能引出几条对角线？
3
……
请问：N边形从一个顶点出发，能引出几条对角线？ N-3
小结
通过这节课的学习你
4 45 56源自67 7n n6
8
10
12
14
2n
正多边形
多边形的内角和与外角和
三角形如果三条边都相等，三个角也都相等，那么这样的三角形就叫做正三角形.
正三角形正方形正五边形 (或正三边形) (或正四边形)
正六边形
正八边形
如果多边形各边都相等，各个角也都相等，那么这样的多边形就叫做正多边形.如正三角形、正四边形（正方形）、正五边形等等.
多边形的内角和与外角和
下面所示的图形也是多边形，但不在我们现在研究的范围内.
凸多边形
有什么不同？
凹多边形
注意：我们现在研究的是如右图所示的多边形，也就是所谓的凸多边形.
多边形的内角和与外角和
既然三角形有三个内角、三条边，六个外角，那么四边形有几个内角？几条边？几个外角呢？

小学数学多边形的内角和的练习题

小学数学多边形的内角和的练习题多边形是我们数学中经常涉及到的一个概念，它有着丰富的性质和特点。

其中一个重要的性质就是多边形的内角和，在解决多边形相关问题时，计算内角和是必不可少的。

本文将为小学生提供一些多边形的内角和的练习题，通过这些练习题的解答，巩固对多边形内角和的理解和计算能力。

练习一：计算三角形的内角和三角形是最简单的多边形，它由三条边组成，每个角都是尖角，即小于 90 度。

请计算以下三角形的内角和：1. 一个直角三角形，其中一个角是90度，另外两个角是多少度？解答：直角三角形的两个角是直角（90度）和锐角，因此另外两个角的度数加起来等于 90 度，即两个角分别是 90 度 - X 度和 X 度，其中 X 度是一个锐角。

2. 一个等腰三角形，其中两个角相等，每个角是多少度？解答：等腰三角形的两个角是相等的，因此每个角的度数相同。

设每个角的度数为 X 度，则另外一个角也是 X 度。

根据三角形内角和的性质，我们可以得到等式：X 度 + X 度 + X 度 = 180 度，解方程得到：3X 度 = 180 度，X 度 = 60 度。

所以每个角是60度。

练习二：计算四边形的内角和四边形是有四条边、四个顶点以及四个内角的多边形。

请计算以下四边形的内角和：1. 一个长方形，其中一个角是直角（90度），其他三个角分别是多少度？解答：长方形的对角线相交于90度，即对角线将长方形划分成两个相等的直角三角形。

因此，任意一个角的度数等于直角三角形的一个角度，即90度。

所以，其他三个角的度数也都是90度。

2. 一个平行四边形，其中两组对边平行，每个角是多少度？解答：平行四边形的对边是平行的，因此它可以划分成两组相等的对边分别是相对的。

根据平行四边形的性质，我们可以得知每个角的度数相等。

设每个角的度数为 X 度，则另外一个角也是 X 度。

根据四边形内角和的性质，我们可以得到等式：X 度 + X 度 + X 度 + X 度 = 360 度，解方程得到：4X 度 = 360 度，X 度 = 90 度。

内角和外角的计算

内角和外角的计算内角和外角是数学中的重要概念，用于描述多边形的角度性质。

本文将介绍内角和外角的计算方法和性质。

一、内角的计算内角是指位于多边形内部的角度，可以通过下面的公式进行计算：内角和 = (n - 2) × 180°，其中n为多边形的边数。

例如，当多边形为三角形时，n=3，内角和 = (3 - 2) × 180° = 180°，即三角形的内角和为180度。

当多边形为四边形时，n=4，内角和 = (4 - 2) × 180° = 360°，即四边形的内角和为360度。

同理，当多边形的边数增加时，内角和也随之增加。

这是因为边数增加，多边形中就有更多的角。

二、外角的计算外角是指位于多边形外部的角度，可以通过下面的公式进行计算：外角 = 360° ÷ n，其中n为多边形的边数。

例如，当多边形为三角形时，n=3，外角 = 360° ÷ 3 = 120°，即三角形的外角为120度。

当多边形为四边形时，n=4，外角 = 360° ÷ 4 = 90°，即四边形的外角为90度。

从计算公式可以看出，无论多边形有多少边，外角的和始终等于360度。

三、内角与外角的关系对于任意一个多边形，其内角和等于多边形顶点处外角的总和。

换句话说，内角和与外角和相等。

以三角形为例，三角形有3个内角和3个外角。

三角形的内角和为180度，外角和也为180度。

这说明多边形的内角和外角之间存在一定的关系，它们的和始终等于360度。

四、应用举例1. 五边形的内角和和外角和分别是多少？解：五边形的内角和 = (5 - 2) × 180° = 540°，外角和 = 360°。

2. 六边形的内角和和外角和分别是多少？解：六边形的内角和 = (6 - 2) × 180° = 720°，外角和 = 360°。

多边形内角和度数公式

多边形内角和度数公式在咱们学习数学的旅程中，多边形内角和度数公式可是个相当重要的家伙！你想想，多边形到处都是，三角形、四边形、五边形……它们的内角和到底有啥规律呢？这就得靠咱们的多边形内角和度数公式啦。

就拿三角形来说吧，那可是咱们最熟悉的多边形之一。

有一次我在公园里散步，看到一个小朋友正在摆弄他的三角积木。

他一会儿把这个角对着那个角，一会儿又试图把三块积木拼成一个大的图形。

我就在旁边看着，突然他抬起头问我：“叔叔，为什么三角形的三个角加起来总是180 度呀？”我笑着告诉他，这是因为咱们有神奇的数学规律呀。

其实，咱们从最简单的三角形开始研究。

通过测量和计算，咱们能明确地知道三角形的内角和就是 180 度。

那四边形呢？咱们可以把四边形分割成两个三角形。

比如说一个平行四边形，咱们沿着对角线一划分，就得到了两个三角形。

因为一个三角形内角和是 180 度，那两个三角形加起来不就是 360 度嘛，所以四边形的内角和就是 360 度。

再比如说五边形，咱们可以通过连接对角线，把它分成三个三角形，那内角和自然就是 180×3 = 540 度啦。

以此类推，咱们就能总结出多边形内角和的度数公式：(n - 2)×180 度，这里的 n 表示多边形的边数。

这个公式可太有用啦！在做数学题的时候，只要知道边数，一下子就能算出内角和。

有一回，我在给学生们讲这个知识点的时候，有个聪明的小家伙马上就想到了用这个公式去解决一个复杂的多边形问题。

他那兴奋的眼神，就好像发现了新大陆一样。

在生活中，多边形内角和度数公式也不是毫无用处哦。

比如说设计师在设计一个多边形的花坛时，就得考虑角度的问题，保证美观和实用。

建筑师在设计房屋结构的时候，也得运用这个知识，让房子更加稳固。

所以说呀，这个多边形内角和度数公式虽然看起来就是个简单的数学式子，但它的作用可大着呢，能帮咱们解决好多实际问题，也能让咱们更深入地理解这个奇妙的世界。

不管是在数学的课堂里，还是在生活的角落里，多边形内角和度数公式都像一个默默守护的小卫士，随时等待着咱们去召唤，去运用它的力量。

多边形内角和定理

多边形内角和定理
多边形内角和定理可以追溯到古希腊时期，一般认为是由希腊数学家厄斯托勒斯在前四世纪时发现的，后由其他数学家和哲学家进一步发展完善。

它声称：任意的n边形的内部角度之和为(n-2)180o o这一定理也被称为杨辉定理和狄克斯特拉定理。

它一般用于计算多边形的内部角度之和，也可以用于推导其他关于多边形的定理。

多边形内角和定理的证明有各种不同的方法，最常见的方法也许是通过构造直角三角形，在一条边上增加n个角。

每个角都为直角，所以所有的角都加起来等于(n-2)个直角，每个直角的角度都是90°,所以总的是(n-2)个90°,即(n-2)180°。

此外，内角定理也可以用于解决一些诸如“如何求一个多边形的某个内角”这样的问题。

例如，考虑一个六边形的某个内角的角度，由于总的角为(6-2)180°,一共有6个内角，则某个内角的角度为(6-2)180°/6,即108°。

多边形内角和定理存在很多应用。

其中一个重要的应用是可以用它来确定两个多边形是否重叠，从而为后续的分析带来了方便；另一个重要的应用就是用多边形内角和定理来解决平行线，平面图形和三角不等式等问题，因为它能提供一种确定图形某个角度的方法。

多边形内角和定理的发现，使得我们更加清楚地了解了多边形的结构，并为研究多边形的几何性质提供了重要的理论基础。

它不仅有助于解决一些几何问题，而且也为其他几何定理的证明提供了基础，还可用于推导三角不等式和多边形的中点定理等。

这一定理的发现，使得几何数学的发展多了一种新的思路，它的研究仍在继续。

多边形内角的计算公式

多边形内角的计算公式在咱们学习数学的过程中，多边形内角和的计算公式那可是个相当重要的知识点。

话说我曾经在一个阳光明媚的下午，看到小区里几个小朋友正在摆弄着一些形状各异的塑料片，试图拼出各种多边形。

他们的小脸充满了好奇和疑惑，这让我想起了自己当年学习多边形内角和公式时的情景。

咱们先来说说什么是多边形。

简单来讲，就是由三条或三条以上的线段首尾顺次连接所组成的封闭图形。

像三角形、四边形、五边形等等，这些都是多边形。

那多边形内角和的计算公式到底是啥呢？其实就是：（n - 2）×180°，这里的 n 表示多边形的边数。

咱们来举几个例子感受感受。

就先说三角形吧，三角形的边数 n = 3，把 3 带进公式里，（3 - 2）×180° = 180°，这就很明显啦，三角形的内角和就是 180 度。

再看看四边形，边数 n = 4 ，那么内角和就是（4 - 2）×180° = 360°。

要是五边形呢，n = 5 ，内角和就是（5 - 2）×180° = 540°。

那这个公式是怎么来的呢？咱们可以试着把一个 n 边形分割成若干个三角形。

比如一个五边形，咱们可以从一个顶点出发，向其他顶点连线，这样就可以分成 3 个三角形。

因为每个三角形的内角和是 180 度，所以五边形的内角和就是 3×180° = 540°。

咱们在实际解题的时候，这个公式可好用啦！比如说有一道题，让咱们求一个八边形的内角和。

那咱们就直接用公式，（8 - 2）×180° = 1080°，答案一下子就出来啦！我还记得有一次，我给学生们讲这部分内容的时候，有个小家伙怎么都理解不了。

我就拿出一张纸，画了个六边形，然后一点点给他演示怎么分割成三角形，怎么用公式计算内角和。

最后他恍然大悟的那个表情，我到现在都还记得清清楚楚。

多边形的内角和

五边形
六边形
七边形
八边形 …… ……
……
内角和 180° 180°×2
……
图形名称边数分成的三角形个数内角和
三角形 3 四边形 4 五边形 5 六边形 6 七边形 7 八边形 8
1
180°
2
180°×2
3
180°×3
4
180°×4
5
180°×5
6
180°×6
…… ……
……
……
多边形内角和= （多边形的边数-2）×180 °
四角形的内角和: 180°×2=360°
五边形，六边形的内角和各是多少度？
五边形的内角和: 180°×3=540° 六边形的内角和: 180°×4=720°
七边形的内角和: 180°×7=540° 八边形的内角和: 180°×8=720°
图形名称边数分成的三角形个数
三角形 3
1
四边形 4
2
多边形的内角和
1.多边形: 由三条或三条以上的线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。
2.内角: 多边形相邻的两边组成的角叫做多边形的内角。内角和就是多边形的所有内角的和
（猜一图形）
顶点
边内角
三角形的内角和是180度
四边形的内角和是多少度？
特殊一般
未知多边形
转化分割
已知三角形
多边形的内角和公式
简单应用
课后思考思考其它将多边形分割成三角形的方法,
并总结计算公式
1.一个多边形内角和是540°则它是五边形。 √
2.二十二边形的内角和是3600° √
3.当多边形边数增加时, 它的内角和也随着增加