高等动力学
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l
T T0 T1 T2
式中
(1.3.20)
1 l l T2 a jk q j qk 2 j 1 k 1
1 T0 a0 2
T1 a j q j
j 1
l
（1.3.21）
分别为广义速度 q j ( j 1, 2,..., l )的零次、一次、二次齐函数。
用动能表示的动力学普遍方程
韩伟
用动能表示的动力学普遍方程
仍讨论N个质点 Pi(i 1, 2,..., N ) 组成的带有r个完整约束 和s个非完整约束的系统， 选取l 3N r 个广义坐标 q j ( j 1, 2,..., l ) 表示系统的位形， 系统的自由度为 f 3N r s 。 各质点的矢径 ri (i 1, 2,..., N )由广义坐标完全确定，
利用式（1.3.16），式（1.3.14）可化简为
N r ri d ri d T T i mi ri q mi [ dt (ri ) ri q ] dt ( ) q i 1 i 1 j j j q q N j j
代入动力学普遍方程（1.2.4），得到
N r ri ( Fi m ri i ) q j 0 j 1 q i1 q j 1 j j l N
（1.3.13）
括号内的第一项式即（1.3.4）定义的广义力Q j ，括号内的第二项化 作
N N d ri d ri ri ri ri d mi r i . q mi dt . q mi [ dt (ri q ) ri . dt ( q )] i 1 i 1 i 1 j j j j N
（1.3.14）ຫໍສະໝຸດ Baidu
为简化上式，先引进两个恒等式，将式（1.3.11）对时间求导， 得到
ri ri ri qj t j 1 q j
l
(i 1, 2,..., N ) (1.3.15)
将上式两边对某个广义速度q j 求偏导数，导出第一个恒等式
ri
qj
ri q j
（1.3.22）
质点系具有定常约束时，ri t 0 ，即 a0 a j 0, a jk 中不显含时间， 则有
T T2
(1.3.23)
因此定常约束情况下质点系的动能是广义速度的二次齐函数。
谢谢大家！
a 系数 a0 ，a j ， jk 均为 q j和 t 的函数：
ri ri aj a0 mi t t ， i 1
N
ri ri mi q t i 1 j
N
ri ri a jk mi q j qk i 1
N
( j , k 1, 2,...l )
ri ri (q1 , q2 ,..., ql , t )
(i 1, 2,..., N )
(1.3.11)
将各质点的虚位移坐标 q j ( j 1, 2,..., l )
等时变分表
(1.3.12)
ri ri qj j 1 q j
l
(i 1, 2,..., N )
（1.3.17）
式中T为质点系的动能
1 T mi ri i r i 1 2
N
（1.3.18）
将式（1.3.4）和（1.3.17）代入式（1.3.13），得到用动能 表示的动力学普遍方程
d T T （1.3.19） [Q j dt q ] q j 0 j 1 q j j 将式（1.3.15）代入动能表达式（1.3.18），展开后得到
(i 1, 2,..., N ; j 1, 2,...l )
(1.3.16a)
将 ri 对某个广义坐标 q j 求偏导数，并交换对时间t求导的次序， 导出第二个恒等式
ri d ri ( ) q j dt q j
(i 1, 2,...N ; j 1, 2,...l )
（1.3.16b）
T T0 T1 T2
式中
(1.3.20)
1 l l T2 a jk q j qk 2 j 1 k 1
1 T0 a0 2
T1 a j q j
j 1
l
（1.3.21）
分别为广义速度 q j ( j 1, 2,..., l )的零次、一次、二次齐函数。
用动能表示的动力学普遍方程
韩伟
用动能表示的动力学普遍方程
仍讨论N个质点 Pi(i 1, 2,..., N ) 组成的带有r个完整约束 和s个非完整约束的系统， 选取l 3N r 个广义坐标 q j ( j 1, 2,..., l ) 表示系统的位形， 系统的自由度为 f 3N r s 。 各质点的矢径 ri (i 1, 2,..., N )由广义坐标完全确定，
利用式（1.3.16），式（1.3.14）可化简为
N r ri d ri d T T i mi ri q mi [ dt (ri ) ri q ] dt ( ) q i 1 i 1 j j j q q N j j
代入动力学普遍方程（1.2.4），得到
N r ri ( Fi m ri i ) q j 0 j 1 q i1 q j 1 j j l N
（1.3.13）
括号内的第一项式即（1.3.4）定义的广义力Q j ，括号内的第二项化 作
N N d ri d ri ri ri ri d mi r i . q mi dt . q mi [ dt (ri q ) ri . dt ( q )] i 1 i 1 i 1 j j j j N
（1.3.14）ຫໍສະໝຸດ Baidu
为简化上式，先引进两个恒等式，将式（1.3.11）对时间求导， 得到
ri ri ri qj t j 1 q j
l
(i 1, 2,..., N ) (1.3.15)
将上式两边对某个广义速度q j 求偏导数，导出第一个恒等式
ri
qj
ri q j
（1.3.22）
质点系具有定常约束时，ri t 0 ，即 a0 a j 0, a jk 中不显含时间， 则有
T T2
(1.3.23)
因此定常约束情况下质点系的动能是广义速度的二次齐函数。
谢谢大家！
a 系数 a0 ，a j ， jk 均为 q j和 t 的函数：
ri ri aj a0 mi t t ， i 1
N
ri ri mi q t i 1 j
N
ri ri a jk mi q j qk i 1
N
( j , k 1, 2,...l )
ri ri (q1 , q2 ,..., ql , t )
(i 1, 2,..., N )
(1.3.11)
将各质点的虚位移坐标 q j ( j 1, 2,..., l )
等时变分表
(1.3.12)
ri ri qj j 1 q j
l
(i 1, 2,..., N )
（1.3.17）
式中T为质点系的动能
1 T mi ri i r i 1 2
N
（1.3.18）
将式（1.3.4）和（1.3.17）代入式（1.3.13），得到用动能 表示的动力学普遍方程
d T T （1.3.19） [Q j dt q ] q j 0 j 1 q j j 将式（1.3.15）代入动能表达式（1.3.18），展开后得到
(i 1, 2,..., N ; j 1, 2,...l )
(1.3.16a)
将 ri 对某个广义坐标 q j 求偏导数，并交换对时间t求导的次序， 导出第二个恒等式
ri d ri ( ) q j dt q j
(i 1, 2,...N ; j 1, 2,...l )
（1.3.16b）