第三章 线性系统的能控性

x 坐标变换后更容易理解：~ 是x转过45°
~ x x1 cos 45 sin 45 ~1 2 1 1 x1 x sin 45 cos 45 ~ 2 1 1 ~ x2 x2 2
定义2：如果状态空间中所有的非零状态 在t0时刻都是能控的，那么就称系统在 t0时刻是完全能控的。 定义3：取定初始时刻t0，如果存在一个 或一些非零状态在t0时刻是不能控，那 么就称系统在t0时刻是不完全能控的。
注释：
1. 上述定义中，只要求能够找到这样的控制 输入u，使得t0时刻的非零状态经过一段时 间之后转移到状态空间中的坐标系原点， 而对状态转移的轨迹不作任何要求和限制， 这就是说能控性是表征系统状态运动的一 个定性的特性 2. 无约束容许控制中无约束表示的是输入分 量的幅值无限制，可以任意大到所要求的 值。容许控制就是说控制作用要满足状态 方程解存在且唯一的条件，具体的说就是 要保证输入u的每个分量在J上是平方可积的。
0 x(t1 ) (t1 , t0 ) x0 (t1 , ) B( )u ( )d
t0
t1

x0 (t1 , t0 ) (t1 , ) B( )u ( )d
1 t0
t1
x0 (t0 , ) B ( )u ( )d ,
由格拉姆矩阵求将状态转移到原点所需 的控制输入： 根据运动分析，系统的状态响应为
x(t ) (t , t 0 ) x0 (t , ) B( )u( )d
t0
t
对于能控系统总可以找到t1 时刻及其作 用在[t0,t1]上的容许控制 u [t0 ,t1 ] ，使得系 统在t1时刻转移到零点，即
3.上述定义中都是相对于J中的一个取定 的初始时刻t0而言的，这对于时变系统 是非常重要的，因为时变系统的能控性 与初始时刻的选择有很大的关系。而对 于定常系统来讲，其能控性与初始时刻 t0的选择无关。 4.上述定义中规定从非零初始状态转移到 零状态，如果改成由零状态转移到非零 状态，就称之为系统状态是能达的。对 于线性连续定常系统，其能控性和能达 性是等价的，而对于离散系统和时变系 统，二者严格来讲是不等价的。
y
现代控制理论： ①(u,y)多对多控制，虽然W s 0 ，但是 ys W s us ，如果W s 某一行为零，该 输出不可控；若两行相等，则两输出具 有一样的控制效果，不能任意控制。 ② (x,u)多对多控制， 状态能控性：u对x的支配能力；状态能 观测性：y反映x的能力
2．秩判据 定理：A(t)和B(t)是(n－1)阶连续可微的， 则在t0时刻完全能控的充分条件是存在 这样一个时刻t1，使得： rankM 0 (t1 ) M 1 (t1 ) M n1 (t1 ) n 其中：
M 0 (t ) B (t ) d M 1 (t ) A(t ) M 0 (t ) M 0 (t ) dt d M 2 (t ) A(t ) M 1 (t ) M 1 (t ) dt d M n 1 (t ) A(t ) M n 2 (t ) M n 2 (t ) dt
例2

1 0 1 x x 0 u 0 2

u和x2的联系被切 断，有联系是可 控性的必要条件， 是否充分？ 而且采用状态反 馈进行控制时， 模态e-t可以改变， 模态e-2t不可改变。
例3．

实际电路，两个电容的端电压x1和x2是 状态变量，输入u可以使状态转移到任 意目标值，但是不能将状态分别转移到 不同的目标值，也就是说无论输入取为 何种形式，对所有的t>0都有x1=x2，这 就表明该电路系统是不完全能控的。
1 RC 3
2 1 A 1 2
1 B 1
e t e 3t 1 At e t 3t 2 e e
e t e 3t t 3t e e
问题：两个状态与u 均有联系，是否都 可控？ 回答：有联系不是 充分条件，两通道 作用可以抵消。
t0
t1
x0 X
根据格拉姆矩阵判据，格拉姆矩阵的 逆必定存在，于是就可以这样选取控 制输入：
u[t0 ,t1 ] [(t 0 , t ) B(t )] W (t 0 , t1 ) x0
T
1 c
解释：无论系统的初始状态x0位于状态空 间中的何处，都可以按照上述公式中控 制作用的选取方法，使得在t1时刻能够 将系统状态从初始点转移到状态空间零 点。这种控制的选择又称为按能控性格 拉姆矩阵方式选取。一般来说，如果系 统是能控的，能够把系统由初始状态x0 转移到原点的输入控制有很多种，这是 因为能控性对状态转移的轨迹没有任何 要求。但相比较而言，在所有可以完成 同一状态转移目的的控制输入中，按格 拉姆矩阵方式选取的控制输入最好，它 的耗能是最小的。
n
那么就称这组复值函数行向量在区间 [t0,t1]内是线性相关的，否则就称他 们在[t0,t1]内是线性无关。
注意：上式中的零应是P维的行向量。
复值函数向量线性无关性判定：
定理：假设 f i (t )是一组定义在区间[t0,t1] 上的 p维复值函数行向量，i=1,2,…,n， F是以他们为行构成的n*P阶矩阵，定义 F（t）的格拉姆矩阵为
第二节

能控性判定
预备知识 时间函数的线性无关定义及其判别定理 线性时变系统的能控性判定： 格拉姆矩阵判据，秩判据 线性定常系统的能控性判定 格拉姆矩阵判据，频域判据，秩判据，PBH秩 判据，PBH特征向量判据，约当标准型判据 输出能控性
一 预备知识
时间函数的线性无关性
假定 f1 (t ), f 2 (t ),..., f n (t ) 是一组复值时间函 数，如果在复数域C中可以找到这一组 不全为零的复数 1 , 2 ,..., n ，使得
W (t 0 , t1 ) F (t ) F (t ) T dt
t0 t1
则 f i (t ) 是线性无关的充分必要条件是常值 格拉姆矩阵W（t0，t1）是非奇异的。
二 线性时变系统的能控性判据
1．格拉姆矩阵判据： 定理1：线性时变系统在t0 时刻完全能 控的充分必要条件是存在这样一个时 刻 t1 J ，使得格拉姆矩阵
t 1 0 0 举例：x 0 t 0 x 1u (t ), 0 0 t 2 1
J 0 2,
t 0 0 .5
解：
0 M 0 (t ) B(t ) 1 1 t d M 1 (t ) A(t ) M 0 (t ) M 0 (t ) 0 dt 0 t d M 2 (t ) A(t ) M 1 (t ) M 1 (t ) 0 dt 0 1 0 0 0 1 t 0 1 0 t 0 t 2 1 0 t 2 1 0 1 0 2t t 0 t 1 t 2 1 0 t 2 t 2 2t t 4 2t
则
rankM 0 (t ) M 1 (t ) M 2 (t ) 0 1 1 t rank 1 t 2 2t 3, 2 t 1 t 4 2t t J
所以上述时变系统在t0时刻是完全能控的
[-1,0] wk.baidu.com0,1] [-1,1]

线性相关 线性相关 线性无关
时间向量的线性无关性：
假设 f i (t ) 是一组p维的复值函数行向量， i=1,2,…,n，如果在复数域中存在一组不 全为零的复数 1 , 2 ,..., n ，使得：
i 1
i f i (t ) 0, t [t 0 , t1 ]
即 T 2 1 1 1 1 2

T
1
2 2
1 1 1 1
可得：
1 0 ~ 1 A T AT 0 3
2 ~ 1 B T B 0
在新坐标下，系统状态描述为：
~1 ~1 2u x x ~ 3~ x2 x2
第一节 能控性定义
能控性研究系统的内部变量—状态是否可以 由输入影响；能观测性体现了系统状态的运 动是否可以由输出来完全反应，换而言之能 控性反应的是系统输入对状态的控制能力， 而能观测性是输出对状态的反应能力。

直观的讨论 严格定义
一．直观的讨论

经典控制论:
W s 0 ，u 就可以控制
u ~2 的通道被截断，系统 x 显然，
是不完全能控的。
二 严格定义
定义1：对于线性时变系统
x A(t ) x B(t )u, t J
如果对于非零初始状态X0,t 0 J ，都存 在某一时刻 t1 J , t1 t 0 和一个无约束的 容许控制 u (t ), t [t 0 , t1 ] ，使得状态由初 始点转移到t1时刻的原点，则称此初始 状态x0在t0时刻是能控的。
5.系统为不完全能控的情况只是一种奇异 的情况。系统中组成元件的参数值发生 微小变动，都可能使系统变成能控的， 就拿上述实际电路来讲，如果其中一个 电阻值发生微小变化，而使电路对称性 破坏的话，此电路就由不完全能控变成 了完全能控的。所以说对一个实际的系 统，系统是完全能控的概率几乎为1， 也就是说，如果随机地选取系数矩阵A 和B，那么系统几乎就是完全能控的。
第三章 线性系统的能控性和能观 测性
1.能控性定义 2. 连续时间系统的能控性判定 3.连续时间系统的能观测性定义及判据 4. 对偶性原理 5. 线性离散时间系统的能控性和能观测性 6.用MATLAB对能控性和能观测性进行 检测
7.线性系统的状态空间结构 8.单输入单输出系统的能控规范型和能观 测规范型 9.结构分解 10.传递函数阵的零极对消与可控可观性
支配能力的三种表达方法： 在有限时间内，找到u(t)，使
某态 0 能控 0 某态 能达 某态 另一态 联合
例1．给定系统如下：
x1 4 x1 u x 2 5 x 2 u y 6 x2
状态变量x1和x2可以通过选择输入u而 使得他从初始点转移到原点。因而系统 是完全能控的，但输出只反应出状态x2， 状态x1与输出既无直接关系也无间接关 系，所以是不完全能观测的。
Wc (t 0 , t1 ) (t 0 , t ) B(t ) B T (t ) T (t 0 , t )dt
t0 t1
是非奇异的。
定理2：线性时变系统在t0时刻完全能控 的充分必要条件是n*m阶矩阵(t 0 , t ) B(t ) 的n行在时间域[t0,t1]内是线性无关的
注：上述两个定理是等价的
i 1
i f i (t ) 0, t [t 0 , t1 ]
n
那么就称这组复值函数在区间[t0,t1] 内是线性相关的，否则就称他们在 [t0,t1]内是线性无关。
注意：应明确时间区域，因为在不 同的时间段内，这组时间函数的线 性相关或线性无关性将会发生改变。 例如
f 1 (t ) t , t [1,1] t [0,1] t f 2 (t ) t t [1,0]