2012东莞一摸文科数学
2012高考广东文科数学试题及答案(高清版)
2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(广东卷)本试卷21小题，满分150分，考试用时120分钟．参考公式：柱体的体积公式V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高． 锥体的体积公式V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．球的体积公式V ＝43πR 3，其中R 为球的半径．一组数据x 1，x 2，…，x n的标准差s =，其中x 表示这组数据的平均数．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 为虚数单位，则复数34i i+=( )A ．－4－3iB ．－4＋3iC ．4＋3iD ．4－3i2．设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,2,4}，则U M ＝()A ．UB ．{1,3,5}C ．{3,5,6}D ．{2,4,6}3．若向量AB＝(1,2)，BC ＝(3,4)，则A C ＝( ) A ．(4,6) B ．(－4，－6) C ．(－2，－2) D ．(2,2) 4．下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝x 3C ．y ＝e x D．y =5．已知变量x ，y 满足约束条件1,1,10,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩则z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．3B ．1C ．－5D ．－66．在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC =AC ＝( )A．B．C D．27．某几何体的三视图如图所示，它的体积为()A．72πB．48πC．30πD．24π8．在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长等于()A．B．C D．19．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为()A．105 B．16 C．15 D．110．对任意两个非零的平面向量α和β，定义⋅=⋅αβαβββ.若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角θ∈(π4，π2)，且a∘b和b∘a都在集合{2n|n∈Z}中，则a∘b＝()A．52B．32C．1 D．12二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．(一)必做题(9～13题)11．函数yx=的定义域为__________．12．若等比数列{a n}满足a2a4＝12，则2135a a a=__________.13．由正整数组成的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为__________．(从小到大排列)(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14． (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为,x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数，0≤θ≤π2)和1,22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为__________．15． (几何证明选讲选做题)如图所示，直线PB 与圆O 相切于点B ，D 是弦AC 上的点，∠PBA ＝∠DBA ．若AD ＝m ，AC ＝n ，则AB ＝__________.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．已知函数f (x )＝A cos(π46x +)，x ∈R，且π()3f =.(1)求A 的值； (2)设α，β∈[0，π2]，430(4π)317f α+=-，28(4π)35f β-=，求cos(α＋β)的值．17．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中a 的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x )与数学成绩相应分数段的人数(y )之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.18E 是PB的中点，F 是DC 上的点且DF ＝12AB ，PH 为△P AD 中AD 边上的高．(1)证明：PH ⊥平面ABCD ；(2)若PH ＝1，AD =FC ＝1，求三棱锥E －BCF 的体积；(3)证明：EF ⊥平面P AB ．19．设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N *. (1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：22221x y ab+=(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．21．设0＜a ＜1，集合A ＝{x ∈R |x ＞0}，B ＝{x ∈R |2x 2－3(1＋a )x ＋6a ＞0}，D ＝A ∩B ． (1)求集合D (用区间表示)；(2)求函数f (x )＝2x 3－3(1＋a )x 2＋6ax 在D 内的极值点．1． D2234i (34i)i3i 4i ii ii++⨯+==⨯＝－(3i －4)＝4－3i.2．C ∵U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,2,4}， ∴U M ＝{3,5,6}．3． A A C ＝AB＋BC ＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)．4． D ∵函数()f x =R 且f (－x )＝=＝f (x )，∴f (x )是偶函数．5． C 由约束条件作出可行域如图所示，当z ＝x ＋2y 过点A 时z 取得最小值，联立方程组10,1,x x y +=⎧⎨-=⎩得1,2,x y =-⎧⎨=-⎩∴z min ＝－1＋2×(－2)＝－5.6． B 由正弦定理得sin sin B C A C AB=，即sin 60sin 45AC =︒︒，解得AC =7． C 由三视图知该几何体是由一个半球和一个圆锥构成的组合体，∴其体积V ＝14π23⨯×33＋1π3×32×4＝30π.8． B 圆x 2＋y 2＝4的圆心为O (0,0)，半径为r ＝2. 所以圆心到直线3x ＋4y －5＝0的距离为1d ==，故弦AB 的长为==.9． C i ＝1，s ＝1；i ＝3，s ＝3；i ＝5，s ＝15；i ＝7时，输出s ＝15. 10． D 由定义可知2cos cos θθ⋅⋅⋅===⋅⋅ a b a a b a b b b bb.2cos cos θθ⋅⋅===⋅⋅ b a b b a b a a aaa.∵a ∘b ，b ∘a ∈{2n |n ∈Z }．设a ∘b ＝2m ，b ∘a ＝2n (m ，n ∈Z )，则cos 2m θ⋅=a b，cos 2n θ⋅=b a，两式相乘，得cos 2θ＝4m n .又∵θ∈(π4，π2)，∴cos θ∈(0，2)，故cos 2θ∈(0，12)，即1042m n <<.∴0＜mn ＜2， 又∵m ，n ∈Z ， ∴m ＝n ＝1. ∴a ∘b ＝122m =.11． [－1,0)∪(0，＋∞)要使函数y x=有意义须10,0,x x +≥⎧⎨≠⎩即1,0,x x ≥-⎧⎨≠⎩∴定义域为[－1,0)∪(0，＋∞)． 12．答案：14解析：由等比数列的性质得a 2·a 4＝a 1·a 5＝2312a =，∴21351··4a a a =.13．答案：1,1,3,3解析：设该组数据依次为x 1≤x 2≤x 3≤x 4，则123424x x x x +++=，2322x x +=，∴x 1＋x 4＝4，x 2＋x 3＝4.∵x 1，x 2，x 3，x 4∈N ＋， ∴12341,1,3,3,x x x x =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩或12342,2,2,2,x x x x =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩或12341223x x x x =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩又∵标准差为1，∴x 1＝1，x 2＝1，x 3＝3，x 4＝3.14．答案：(2,1)解析：由C 1得x 2＋y 2＝5①，且00x y ⎧≤≤⎪⎨≤≤⎪⎩由C 2得x ＝1＋y ②，∴由①②联立得225,1,x y x y ⎧+=⎨=+⎩得2,1.x y =⎧⎨=⎩15．解析：∵直线PB 与圆O 相切于点B ， ∴∠PBA ＝∠ACB又∵∠PBA ＝∠DBA ∴∠ACB ＝∠DBA 又∵∠BAD ＝∠BAC ∴△ABD ∽△ACB ∴A B A D A CA B=，即AB 2＝AC ·AD ＝nm ，∴AB =16．解：(1)由π()3f =得ππcos()126A +=，故A ＝2. (2)∵3017-＝f (4α＋43π)＝14ππ2cos[(4)]436α++＝2cos(α＋π2)＝－2sin α， 85＝f (4β－23π)＝12ππ2cos[(4)]2cos 436ββ-+=，∴15sin 17α=，4cos 5β=.∵α，β∈[0，π2]，∴8cos 17α===，3sin 5β===.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝841531317517585⨯-⨯=-.17．解：(1)由频率分布直方图可知(0.04＋0.03＋0.02＋2a )×10＝1.所以a ＝0.005.(2)该100名学生的语文成绩的平均分约为x ＝0.05×55＋0.4×65＋0.3×75＋0.2×85＋0.05×95＝73.(3)由频率分布直方图及已知的语文成绩、数学成绩分布在各分数段的人数比，可得下表：18．解：(1)由于AB ⊥平面PAD ，PH ⊂平面PAD ，故AB ⊥PH ．又因为PH 为△PAD 中AD 边上的高， 故AD ⊥PH ．∵AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD．∴PH⊥平面ABCD．(2)由于PH⊥平面ABCD，E为PB的中点，PH＝1，故E到平面ABCD的距离h＝12PH＝12．又因为AB∥CD，AB⊥AD，所以AD⊥CD，故S△BFC＝12·CF·AD＝1122⋅因此V E－BCF＝12S△BCF·h＝11=32212⋅⋅．(3)证明：过E作EB∥AB交P A于G，连接DG．由于E为PB的中点，所以G为P A的中点，因为DA＝DP，故△DP A为等腰三角形，所以DG⊥PA．∵AB⊥平面PAD，DG⊂平面P AD，∴AB⊥DG．又∵AB∩P A＝A，AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB，∴DG⊥平面PAB．又∵GE12AB，DF12AB，∴GE DF．所以四边形DFEG为平行四边形．故DG∥EF，于是EF⊥平面PAB．19．解：(1)由题意有S1＝T1＝2S1－1．故a1＝2a1－1．于是a1＝1．(2)由T n＝2S n－n2得T n－1＝2S n－1－(n－1)2，n≥2．从而S n＝T n－T n－1＝2a n－(2n－1)，n≥2．由于a1＝S1＝1，故对一切正整数n都有S n＝2a n－(2n－1)，①因此S n－1＝2a n－1－(2n－3)，n≥2．②①－②得a n＝2(a n－a n－1)－2，n≥2．于是a n＝2a n－1＋2，故a n＋2＝2(a n－1＋2)，n≥2．∵a1＋2＝3，∴{a n＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列．∴a n＝3·2n－1－2．20．解：(1)由C1的左焦点F1的坐标为(－1,0)知c＝1，因为点P(0,1)在C1上，所以b＝1，于是a故C1的方程为22+=12xy．(2)由题设l同时与C1和C2相切，设切点分别为A和B，点B的坐标为(x0，y0)，显然x0＞0．当点B在第一象限时，点B的坐标为(x0,，考虑抛物线C 2在第一象限的方程y x ＞0．因为1'=y ，所以ll的方程为：=y由假设直线l 与椭圆C 1相切，因此方程组22==1 2y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+⎪⎩①② 有唯一解，将①代入②并整理得：(x 0＋2)x 2＋4x 0x ＋2x 0(x 0－1)＝0，所以∆＝2016x －8(x 0＋2)x 0(x 0－1)＝－8x 0(x 0＋1)(x 0－2)＝0． 因为x 0＞0，所以x 0＝2． 当x 0＝2时，直线l的方程为：=2y x +易验证l 是C 1的切线．由对称性，当切点B 在第四象限时，可得l的方程为：2y x =--综上所述，同时与C 1和C 2相切的直线方程为：2y x =+2y x =--．21． (1)解：2x 2－3(1＋a )x ＋6a ＞0，∆＝［－3(1＋a )］2－4×2×6a ＝9(a 2＋2a ＋1)－48a ＝9a 2－30a ＋9 ＝3(3a －1)(a －3) ∵0＜a ＜1 ①当a ∈(13，1)时，∆＜0，此时不等式的解集为R ，∴B ＝R ，D ＝A ∩B ＝(0，＋∞)． ②当1=3a 时，∆＝0，此时不等式的解集为{x |x ≠1}，∴B ＝{x |x ≠1}，D ＝A ∩B ＝(0,1)∪(1＋，∞)． ③当a ∈(0，13)时，∆＞0，方程2x 2－3(1＋a )x ＋6a ＝0的两根为1,2=224x ⨯∴不等式的解为<4x 或>4x∴B ＝{x |<4x >4x ．又∵［3(a ＋1)2］＝9a 2＋18a ＋9＞9a 2－30a ＋94∴D ＝A ∩B ＝(04)∪4，＋∞)．(2)f ′(x )＝2×3x 2－3(1＋a )×2x ＋6a＝6［x 2－(a ＋1)x ＋a ］ ＝6(x －a )(x －1) 又∵a ∈(0,1)∴当x ∈(－∞，a )时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈(a,1)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增． ∴f (x )的极大值点为a ，极小值为1． 由(1)可知，当a ∈(13，1)时，D ＝(0，＋∞)此时f (x )在D 内有两个极值点，极大值点a ，极小值点1． 当1=3a 时，D ＝(0,1)∪(1，＋∞)，此时f (x )在D 内只有一个极大值点a ．当a ∈(0，13)时，D ＝(04)∪4，＋∞)．与a 的大小．4a即：3－a 两边平方得：a －6a ＋9＞9a －30a ＋9 即8a 2－24a ＜0 也就是8a (a －3)＜0 ∵10<<3a ，∴4a ．又∵1＜a ＋1＜43∴33(1)<<144a +4．4与1的大小，北京天梯志鸿教育科技有限责任公司43a -两边平方得：9a －30a ＋9＜9a 2－6a ＋1 即：24a ＞8 解得1>3a这与已知a ∈(0，13)不符．4恒成立． 所以，当a ∈(0，13)时，f (x )在区间D 内只有一个极大值点a ． 综上，当a ∈(13，1)时，f (x )在D 内有两个极值点，极大值点a 和极小值点1． 当a ∈(0，13］，f (x )在D 内只有一个极大值点a ．。
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普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（广东卷）数学（文科） 考生注意事项： 答题前，务必在试题卷?答题卡规定填写自己的姓名?座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名?座位号与本人姓名?座位号是否一致．务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位． 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整?笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出书写的答案无效，在试题卷?草稿纸上答题无效． 考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交． 说明：若对数据适当的预处理，可避免对大数字进行运算． 第Ⅰ卷一?选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．若函数的递减区间为（，），则的取值范围是（ ） A．B． C． D． 3．函数的反函数图像是（ ） A B C D 4．已知数列前项和为，则的值是（ ） A．13B．-76 C．46D．76 5．两个非零向量互相垂直，给出下列各式： ①； ②； ③； ④； ⑤． 其中正确的式子有（ ） A．2个B．3个 C．4个D．5个 6．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，?，两点，若，则等于（ ） A．4B．5 C．6D．8 7．且表示线段长度，则能构成锐角三角形的充要条件是（ ） A． B． C． D． 8．下列函数中，周期为的偶函数是（ ） A． B． C．D． 9．如图是某几何体的三视图，其中俯视图和侧视图是半径为1的半圆，主视图是个圆，则该几何体的全面积是（） A． B． C． D． 10．已知抛物线，直线．?为曲线的两切线，切点为．令甲：若在上，乙：；则甲是乙（ ）条件 A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要第Ⅱ卷二?填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11-13题） 11．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是__________ 12．在回归分析中，对于随机抽取到的对数据，样本相关系数具有下列哪些性质： （1）；（2）越接近于1，的线性相关程度越弱；（3）越接近于1，的线性相关程度越强；（4）越接近于0，的线性相关程度越强； 请将正确的序号写出：__________ 13．若点（，）在直线上上，则________． （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图所示，是圆O的直径，，则=________ 15．（坐标系与参数方程选做题）已知直线的参数方程为：（为参数），圆C的极坐标为，则直线与圆C的位置关系为________ 三?解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明?证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知在中，所对的边分别为，若 且． （1）求角的大小； （2）设函数，求函数的单调递增区间，并指出它相邻两对称轴间的距离． 17．（本小题满分分） 袋中有6张卡片，编号分别是1?2?3?4?5?6，现从袋中任意抽取3张卡片，并记号码最大的为． （1）求的分布列和期望； （2）若3张卡片是有放回的抽取，则最大号码为4的概率是多少? 18．（本小题满分分） 如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，，为中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 19．（本小题满分分） 某森林出现火灾，火势正以每分钟的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在火灾发生后五分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火，所消耗的灭火材料?劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆?器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁一平方米森林损失费为60元．问应该派多少消防队员前去救火，才能使总损失最少? 20．（本小题满分分） 已知数列中的各项均为正数，且满足．记，数列的前项和为，且 ． （1）数列和的通项公式； （2）求证：． 21．（本小题满分分） 直线∶与双曲线C∶相交于两点． （1）为何值时，以为直径的圆过原点； （2）是否存在这样的实数，使关于直线对称，若存在，求的值，若不存在，说明理由． 普通高等学校招生全国统一考试模拟试题答案（广东卷）数学（文科） 1.选择题 1-5.BACBB 6-10.ADCCA 二．填空题 11．- 12．（1）（3） 13．-2 14． 15．相交 解：（1）由题设及正弦定理知：， 得， ∴或， 即或． 当时，有， 即，得，； 当时，有， 即，不符题设， ∴，． （2）由（1）及题设知：； 当时， 为增函数， 即的单调递增区间为． 它的相邻两对称轴间的距离为． 17．（本小题满分分） （1） 34560．050．150．30.5 （2） 18．（本小题满分13分） 解：（1）由题设，连结，为等腰直角三角形， 所以，且，又为等腰三角形， ，且，从而． 所以为直角三角形，． 又． 所以平面． （2）解法一：取中点，连结，由（1）知， 得．为二面角的平面角． 由得平面． 所以，又， 故． 所以二面角的余弦值为 解法二：以为坐标原点，射线分别为轴?轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系． 设，则． 的中点，． ． 故等于二面角的平面角． ， 所以二面角的余弦值为． 19．（本小题满分分） 解析：设派名消防员前去救火，用分钟将火扑灭，总损失为，则=灭火劳务津贴+车辆?器械装备费+森林损失费=125+100+60（500+100）===当且仅当，即=27时，有最小值36450．故应该派27名消防员前去救火，才能使总损失最少，最少损失为36450元． 20．（本小题满分14分） 解：（1）， 是公比和首项均为2的等比数列， ，即 （2）证明：因为等比数列{}的前n项和 所以 故 所以 解：（1）联立方程ax+1=y与，消去y得：（*） 又直线与双曲线相交于两点， ∴． 又依题OA⊥OB，令两点坐标分别为（，），（，），则． 且 ，而由方程（*）知：，代入上式得．满足条件． （2）假设这样的点A，B存在，则l：y=ax+1斜率a=-2．又AB中点， 在上，则， 又， 代入上式知这与矛盾．故这样的实数a不存在．。
广东省2012届高三全真数学模拟试卷(文科)及答案
广东省2012届高三全真数学模拟试卷(文科)及答案广东省2012届高三全真模拟卷数学文科6一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.如图所示，U表示全集，则用A、B表示阴影部分正确的是()A.B.C.D.2.若复数是实数（是虚数单位），则实数的值为（）A．-2B．-1C．1D．23.已知向量=（）A．B.C.D.4.已知数列是公差为的等差数列，且成等比数列，则的前项和为（）A．B.C．D．5.下面说法正确的是()A．命题“使得”的否定是“使得”；B．实数是成立的充要条件；C．设为简单命题，若“”为假命题，则“”也为假命题；D．命题“若则”的逆否命题为假命题.6.已知、是两个不同平面，是两条不同直线，则下列命题不正确的是() A．则B．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．n∥α，n⊥β，则α⊥βD．m∥β，m⊥n，则n⊥β7.一只小蜜蜂在一个棱长为的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体中心的距离不超过，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（）A.B.C.D.8.阅读如图所示的算法框图，输出的结果S的值为（）A．B．C．0D．9.已知△中，，，分别是，的等差中项与等比中项，则△的面积等于（）A．B．C．或D．或10.已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则的最小值为（）A．5B．7C．13D．15二、填空题：（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分）（一）必做题（11～13题）11.一个容量为的样本，数据的分组及各组的频数如下表：(其中)分组10，20)20，30)30，40)40，50)50，60)60，70)频数2x3y24则样本在区间10，50)上的频率为．12.已知函数那么不等式的解集为．13.若目标函数在约束条件下的最大值是，则直线截圆所得的弦长的范围是______________.（二）选做题：请在14、15题中选做一题,如果两题都做,以第一题的得分为最后得分.14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线被曲线：所截得弦的中点的极坐标为．15.(几何证明选讲选做题)如图所示，AB是半径等于的⊙的直径，CD是⊙的弦，BA，DC的延长线交于点P，若PA=4，PC=5，则___________.三、解答题(共80分)16.(本题满分12分）已知向量，且满足.（1）求函数的解析式；（2）求函数的最大值及其对应的值；（3）若，求的值.17．（本题满分12分）某学校共有高一、高二、高三学生名，各年级男、女生人数如下图：已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0．19．（1）求的值；（2）现用分层抽样的方法在全校抽取名学生，问应在高三年级抽取多少名？（3）已知，求高三年级中女生比男生多的概率．18．（本题满分14分）如图：、是以为直径的圆上两点，，，是上一点，且，将圆沿直径折起，使点在平面的射影在上，已知.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的体积．19．（本题满分14分）设曲线在点处的切线与y轴交于点.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，猜测的最大值并证明你的结论.20.（本题满分14分）已知椭圆的离心率，且椭圆过点.(1)求椭圆的方程；(2)若为椭圆上的动点,为椭圆的右焦点,以为圆心,长为半径作圆,过点作圆的两条切线,（，为切点），求点的坐标，使得四边形的面积最大．21.（本题满分14分）已知函数.（1）若，试确定函数的单调区间；（2）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；（3）设函数，求证：．参考答案一．选择题（每小题5分，共50分）题号12345678910答案ACBCDDBACB二、填空题：(每小题5分，共20分)11.12.13.14.15.（或三、解答题：(共80分)16.解：（1），即，所以所以…………………………………………4分(2)当，即时，………………8分（3），即……………………………………………………9分两边平方得：，所以…………………………10分…………………………12分17.解：（1）由已知有；3分（2）由（1）知高二男女生一起人，又高一学生人，所以高三男女生一起人，按分层抽样，高三年级应抽取人；7分（3）因为，所以基本事件有：一共11个基本事件．9分其中女生比男生多，即的基本事件有：共5个基本事件，11分故女生必男生多的事件的概率为12分18解：（1）证明：依题意：…………………………2分平面∴……………2分∴平面．……………………………5分（2）证明：中，，∴………………………………6分中，，∴．……………………………………………………………………7分∴．…………………………………………………………8分∴在平面外∴平面．…………………………………………………………10分（3）解：由（2）知，，且∴到的距离等于到的距离为1．………………………………11分∴．……………………………………………………12分平面∴．……………14分19.解：（1）,…………………………1分∴点P处的切线斜率,…………………………2分∴切线方程为:,…………………………4分令得:,故数列的通项公式为:.…………………………………6分(2)------①…………………7分两边同乘得:------②①②得:………8分∴……………………10分其中,,,猜测的最大值为.证明如下:…………………11分(i)当为奇数时，；…………………12分(ii)当为偶数时，,设,则.,∴.…………13分故的最大值为,即的最大值为.………………14分20.解：（1）依题意得，………………………………3分解得，………………………………4分所以椭圆的方程为．………………………………5分（2）设，圆：，其中，…………7分…………8分又在椭圆上，则………………………………9分所以，………………………………10分令，，………………………11分当时，，当时，………………………12分所以当时，有最大值，即时，四边形面积取得最大值……13分此时点的坐标为或………………………………………14分21.解：（1）由得，所以．由得，故的单调递增区间是，由得，故的单调递减区间是．……………4分(2)由可知是偶函数．于是对任意成立等价于对任意成立．由得．……………………………………6分①当时，．此时在上单调递增．故，符合题意．……………………………………8分②当时，．当变化时的变化情况如下表：单调递减极小值单调递增由此可得，在上，．依题意，，又．综合①，②得，实数的取值范围是．………………………10分【（方法二）由对任意成立等价于恒成立当，恒成立，则，又，所以此时………6分当，恒成立，则，令，则，……7分易知为上偶函数，考察，，，当时，，当时，，所以当时，，所以……………………………9分综上…………………………………………………………10分】(3)，，…………………………………………………………11分，……………………………………12分由此得，………………………………………13分故．…………………………14分。
2012年广东高考文科数学试题及答案J
2012年广东文科数学本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 为虚数单位，则复数34ii+= A ．43i -- B ．43i -+ C ．43i + D ．43i - 2．设集合{}1,2,3,4,5,6U =,{}1,3,5M =，则U C M =A ．{}2,4,6B ．{}1,3,5C ．{}1,2,4D ．U 3．若向量(1,2),(3,4)AB BC ==，则AC =A ． (4,6)B ． (4,6)--C ． (2,2)--D ． (2,2) 4．下列函数为偶函数的是A ．sin y x =B ．3y x =C ．x y e = D．y =5．已知变量,x y 满足约束条件11,10x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩则2z x y =+的最小值为A ．3B ．1C ．5-D 6- 6．在ABC ∆中，若°60A ∠=，°45B ∠=，BC =AC A ．B ．C ．D ．7．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A ． 72πB ． 48πC ． 30πD ． 24π8．在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交 于A 、B 两点，则弦AB 的长等于 A ．B ．C ．D ． 19．执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为 A ． 105 B ． 16 C ． 15 D ． 110．对任意两个非零的平面向量,αβ，定义αβαβββ⋅=⋅．若平面向量,a b 满足0a b ≥>， a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且αβ和βα都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则a b =A ． 52B ． 32C ． 1D ． 12二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题） 11．函数xx y 1+=的定义域为________________________． 12．若等比数列}{n a 满足2142=a a ，则=5231a a a _______________． 13．由整数组成的一组数据,,,,4321x x x x 其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据位_______________________．(从小到大排列)（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中xoy 中，曲线1C 和曲线2C 的参数方程分别为⎪⎩⎪⎨⎧==θθsin 5cos 5y x （θ为参数，20πθ≤≤）和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=22221t y tx （t为参数），则曲线1C 和曲线2C 的交点坐标为 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图3，直线PB 与圆O 相切与点B ，D 是弦AC 上的点，DBA PBA ∠=∠，若,AD mA C n ==，则AB = ．图3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数),64cos()(π+=x A x f R x ∈,且2)3(=πf ． （1） 求A 的值； （2） 设],2,0[,πβα∈1730)344(-=+παf ，58)324(=-πβf ，求)cos(βα+的值．17．（本小题满分13分）某学校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[)60,50，[)70,60，[)80,70，[)90,80，[]100,90．(1) 求图中a 的值(2) 根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3) 若这100名学生语文成绩某些分数段的人数()x 与数学成绩相应分数段的人数()y之比如下表所示，求数学成绩在[)90,50之外的人数．18．（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P-ABCD 中,AB ⊥平面PAD,AB CD,PD=AD,E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF=21AB,PH 为∆PAD 中AD 边上的高． （1） 证明：PH ⊥平面ABCD ；（2） 若PH=1，AD=2,FC=1，求三棱锥E-BCF 的体积； （3） 证明：EF ⊥平面PAB ．19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和n s ，数列{}n s 的前n 项和为{}n T ，满足2*2,n n T S n n N =-∈． （1） 求1a 的值；（2） 求数列{}n a 的通项公式．20． （本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为1(1,0)F -，且点(0,1)P 在1C 上．（1） 求椭圆1C 的方程；（2） 设直线l 与椭圆1C 和抛物线22:4C y x =相切，求直线l 的方程．21． （本小题满分14分）设01a <<，集合{}0A x R x =∈>，{}223(1)60A x R x a x a =∈-++>，D AB =．(1) 求集合D （用区间表示）；(2) 求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点．2012年广东文科数学参考答案本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1-5：BAADC 6-10：BCBCD 第10解析： 由定义知：,2cos 21cos ||||2||||cos ||||)1(cos 2||||2||||cos ||||2n n b a n b b b a b b b a b a nb a n a a a b a a a b a b ∈∙⇒∈∙∙=∙∙==⇒=∙∙=∙∙=θθθθθ）代入得：将（因为），（2,4ππθ∈,取3πθ=，n 取1,即可得答案21二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）12：),0()0,1[+∞⋃- （注意，写成集合形式也给分 }0{}01|{+∞≤<⋃≤<-x x x 13:41 14: 1 1 3 315: 参数方程极坐标：)1,2)(2,1(--几何证明选做题：mn三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．解:分分分4232224cos 1)6341cos()3( =⇒=∙==+⨯=A A A A f ππππ：（2）：分分分分，由于分分分分1285135317155417811sin sin cos cos )cos(1053)54(1cos 1sin 9178)1715(1sin 1cos ],2,0[854cos 58cos 2]6)324(41cos[2)324(71715sin 61730sin 25)2cos(2]6)344(41cos[2)344(2222 -=⨯-⨯=-=+=-=-==-=-=∈=⇒==+-=-=⇒-=-=+=++=+βαβαβαββααπβαββππβπβααπαππαπαf f17．解 (1):分分3005.021)02.003.004.0(10 ==++++⨯a a a(2):50-60段语文成绩的人数为： 人5100%100005.010=⨯⨯⨯ 3.5分 60-70段语文成绩的人数为： 人40100%10004.010=⨯⨯⨯4分 70-80段语文成绩的人数为：人30100%10003.010=⨯⨯⨯80-90段语文成绩的人数为：分人520100%10002.010 =⨯⨯⨯ 90-100段语文成绩的人数为：5.55100%100005.010 人=⨯⨯⨯分8735.7100595208530754065555 =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x (3):依题意：50-60段数学成绩的人数=50-60段语文成绩的人数为=5人………………………………9分 60-70段数学成绩的的人数为= 50-60段语文成绩的人数的一半=人204021=⨯……10分 70-80段数学成绩的的人数为=人403034=⨯ ………………………………………11分 80-90段数学成绩的的人数为= 人252045=⨯………………………………………12分90-100段数学成绩的的人数为=人102540205100=----……………………13分 18．解：（1）：A B C DP H P AD P AD AB P AD 平面所以平面，面又中的高为⊥=⋂⊥∴⊂⊥⊥∴∆A AD AB AB PH PH ADPHPH…………………………………………………………………………4分(2):过B 点做BG G CD BG ，垂足为⊥；连接HB,取HB 中点M ，连接EM ，则EM 是BPH ∆的中位线ABCD )1(平面知：由⊥PHABCD 平面⊥∴EMBCF 平面ＥＭ⊥∴即EM 为三棱锥BCF -E 底面上的高BG FC ∙=∆21S BCF =222121=⨯⨯………………………………………………………………………6分（3）：取AB 中点N ，PA 中点Q ，连接EN ，FN ，EQ ，DQ2121=PH ＥＭ＝12221223131=⨯⨯=∙∙=-EMS V BCF BCF ENFN EN FN AB NADF AB21DF //EN P AB EN P AD P AD AB P AD ,//=⋂⊥∴∴=⊥∴∴∆⊥∴⊂⊥∴⊥是距形四边形又的中位线是又平面，平面平面 ENAB PAPAAB PA CD CD AB（3）19．解：(1):21112-=a a ………………………………………………3分 11=a …………………………………………………………5分（2）①②…………………………6分①-②得：122+-=n a S n n ……………… ③………………………7分在向后类推一次1)1(2211+--=--n a S n n ……… ④…………………………8分③-④得：2221--=-n n n a a a …………………………………………9分 221+=-n n a a …………………………………………………10分 )2(221+=+-n n a a ……………………………………………12分 的数列公比为是以首项为2,32}2{1=++a a n …………13分1232-⨯=+∴n n a2231-⨯=∴-n n a ………………………………………………14分NEFAB N NE NF NF AB NADF ABEF NEF EF NEF AB 平面是距形四边形平面又平面⊥∴=⋂⊥∴∴⊥∴⊂⊥∴ 22n S T n n -= 211)1(2--=--n S T n n20．解：(1):依题意：c=1,…………………………………………………………………………1分则：122+=b a,…………………………………………………………………………2分设椭圆方程为：112222=++by b x ………………………………………………………………3分 将)1,0(P 点坐标代入，解得：12=b …………………………………………………………4分 所以211122=+=+=b a故椭圆方程为：1222=+y x …………………………………………………………………………5分（2）设所求切线的方程为：m kx y +=……………………………………………6分⎪⎩⎪⎨⎧=++=1222y xmkx y 消除y)22)(12(4)4(2221-+-=∆m k km ………7分化简得：1222=-k m ①………………………………………………………8分同理：联立直线方程和抛物线的方程得：⎩⎨⎧=+=xy mkx y 42消除y 得：0)42(222=+-+m x km x k04)42(2222=--=∆m k km ……………………………………………………………………9分化简得：1=km ② …………………………………………………………………………10分将②代入①解得：01224=-+k k 解得：22,221(,2122-==-==k k k k 或者舍去），故 21,21-=-===m k m k 时，当时，当………………………………………………………12分故切线方程为：222222--=+=x y x y 或者…………………………………………………14分)22(4)12(222=-+++m kmx x k21． 解：（1）集合B 解集：令06)1(322=++-a x a xa a 624)]1(3[2⨯⨯-+-=∆)3)(13(3--=a a(1):当0<∆时，即：时131<<a ，B 的解集为：}|{R x x ∈此时)0|{>∈==⋂=x R x A B A D （2）当)3(,310舍去时，解得===∆a a 此时，集合B 的二次不等式为：02422>+-x x ，0)1(2>-x ，此时，B 的解集为：}1,{≠∈x R x 且故：),1()1,0(+∞⋃=⋂=B A D （3）当时，0>∆即舍去）3(310><<a a 此时方程的两个根分别为：4)3)(31(3)131a a a x ---+=（=2x 4)3)(31(3)13a a a --++（很明显，0,31012>><<x x a 时 故此时的),4)3)(31(3)13()4)3)(31(3)13,0(,(),0(21+∞--++⋃---+=+∞⋃=⋂=a a a a a a x x B A D （（）综上所述： 当=<<D ,310时a ),4)3)(31(3)13()4)3)(31(3)13,0(+∞--++⋃---+a a a a a a （（当31=a 时，),1()1,0(+∞⋃=⋂=B A D 当时131<<a ，)0|{>∈=x R x D(2) 极值点，即导函数的值为0的点。
2012东莞一模 文科数学
π 1 D. y = −3sin( x + ) 2 12
π
π 将 ， 3 , 代入验证，B是正确的. − 12
8.已知抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线y = x 与抛物线C 交于A, B两点，若P (2, 2)为AB的中点，则抛物 线C的方程为( A ) A. y = 4 x
12．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰 ．如图是某几何体的三视图， 长为2的等腰三角形 俯视图是半径为1的半圆 的等腰三角形， 的半圆， 长为 的等腰三角形，俯视图是半径为 的半圆， 则该几何体的体积是 ．
1 1 V = × π × 12 × 3 = 3 2
3π 6
3
正视图
侧视图
俯视图
13.已知直线l : x + 2 y + k + 1 = 0被圆C : x + y = 4所截得 uuu uuu r r . 的弦长为2，则OA ⋅ OB的值为
∴四边形BCEF 是平行四边形
∴ BF / / CE , 又BF ⊄ 平面CDE , CE ⊂ 平面CDE ∴ BF / / 平面CDE ,∴VD − CEF = VF − CDE = VB − CDE = VE − BCD
CD = 1, ∠BCD = 60°, ∠BDC = 90°, 1 ∴ BD = 2, S△BCD = BD ⋅ CD = 1 2
1.若集合A= { x | x ≤ 1，x ∈ R}，B = { x | x ≥ 0，x ∈ R}， 则A I B = ( C ) C .{ x | 0 ≤ x ≤ 1} A.{ x | −1 ≤ x ≤ 1}
A = { x | −1 ≤ x ≤ 1}
D .∅
B .{ x | x ≥ 0}
东莞市东华高级中学第三次高考模拟考试试题A卷
2012年东华高级中学第三次高考模拟考试数学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的铅笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上、将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高. 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
）1．已知全集R U =，集合}{|A x y ==，集合{|0B x =＜x ＜2}，则=B A C U )(（ ）A ．[1,)+∞B ．()1+∞，C ．[0)∞，+D ．()0∞，+ 2．设复数121212z i z bi z =+=+⋅，，若z 为实数，则b=（ ） A ．2 B ．1 C ．1- D ．2- 3．在等比数列{}n a 中，如果12344060a a a a +=+=，，那么78a a += （ ） A ．135 B ．100 C ．95 D ．804．在边长为1的等边△ABC 中，设,,BC a CA b AB c a b b c c a ===⋅+⋅+⋅= ，则（ ）A ．32-B ．0C ．32D ．3 5．点)2012sin ,2012(cos ︒︒P 落在（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 6．已知直线l m n ，，及平面α，下列命题中是假命题．．．的是 （ ） A ．若l ∥m ,m ∥n ,则l ∥n ； B ．若l ∥α，n ∥α，则l ∥n . C ．若l m ⊥，m ∥n ，则l n ⊥； D ．若,l n α⊥∥α，则l n ⊥；试卷类型：A7．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：2cm ）为（ ）A.48+48+C.36+36+8．曲线32y x x =-在横坐标为1-的点处的切线为l ，则点(3,2)P 到直线l 的距离为（ ）A ．2 B．2 C ．2 D．109．已知双曲线)2(12222>=-a y ax 的两条渐近线的夹角为3π, 则双曲线的离心率为( ) A.2 B.3 C.362 D. 332 10．若实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+01032033y x y x y x 且)0,0(>>+b a by ax 的最大值为9，则22b a +的最小值为（ ）A ．41B ．41419 C ．10 D ．10109 二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，满分20分，其中14，15题是选做题，考生只能做一题，两题全答的，只计算14题的得分.）11．已知函数()24f x mx =+，若在[]2,1-上存在零点，则实数m 的取值范围是 ． 12．如图所示，这是计算111124620++++ 的值的一个程序 框图，其中判断框内应填入的条件是 .13．已知2log ,(1)()(2).(01)x x f x f x x ≥⎧=⎨<<⎩，则321[()]2f ＝ ．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点)4,22(π作圆θρsin 4=的切线，则切线的极坐标方程是 ．12题图第7题图15．（平面几何选讲选做题）如图，⊙O 的割线PBA 过圆心O ，弦CD 交PA 于点F ，且△COF ∽ △PDF ，2PB OA ==，则PF = .三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.如图，设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，Q P ,是单位圆上两点，O 是坐标原点，且6π=∠AOP ，[)παα,0,∈=∠AOQ .⑴ 若点Q 的坐标是34(,)55，求)6cos(πα-的值；⑵ 设函数()f OP OQ α=⋅，求()αf 的值域．17.为了更好的开展社团活动，丰富同学们的课余生活，现用分层抽样的方法从“模拟联合国”， “街舞”， “动漫”，“话剧”四个社团中抽取若干人组成校社团指导小组，有关数据见下表(单位：人)⑴求c b a ,,的值；⑵ 若从“动漫”与“话剧”社团已抽取的人中选2人担任指导小组组长，求这2人分别来自这两个社团的概率.18. 如图，矩形A B C D 中，AB E AD 平面⊥，2===BC EB AE ，F 为CE 上的点，且ACE BF 平面⊥.⑴ 求证：BCE AE 平面⊥； ⑵ 求证；BFD AE 平面//；⑶ 求三棱锥BGF C -的体积．BC19.已知数列}{n a 的前n 项为和n S ，点),(nS n n 在直线21121+=x y 上.数列}{n b 满足11),(023*12=∈=+-++b N n b b b n n n 且，前9项和为153.⑴ 求数列}{n a 、}{n b 的通项公式； ⑵ 设)12)(112(3--=n n n b a c ，数列}{n C 的前n 和为n T ，求使不等式57k T n >对一切*N n ∈都成立的最大正整数k 的值.⑶ 设**(21,)()(2,)n n a n l l N f n b n l l N ⎧=-∈⎪=⎨=∈⎪⎩，问是否存在*N m ∈，使得)(5)15(m f m f =+成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.20．已知圆M 的方程为1)2(22=-+y x ，直线l 的方程为20x y -=，点P 在直线l 上，过P 点作圆M的切线PB PA ,，切点为B A ,． ⑴ 若︒=∠60APB ，试求点P 的坐标；⑵ 若P 点的坐标为)1,2(，过P 作直线与圆M 交于,C D 两点，当2=CD 时，求直线CD 的方程；⑶ 求证：经过M P A ,,三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.21. 已知函数b x a x x f +-=233)((,)a b ∈R 在2=x 处的切线方程为149-=x y ． ⑴ 求函数)(x f 的解析式； ⑵ 令函数k x x x g +-=2)(2①若存在[]2,0,21∈x x ，使得12()()f x g x ≥能成立，求实数k 的取值范围；②设函数()y g x =的图象与直线2=x 交于点P ，试问：过点P 是否可作曲线)(x f y =的三条切线？若可以，求出k 的取值范围；若不可以，则说明理由．。
2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学试题 (文科) 解析版
绝密★启用前 试卷类型：B2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设i 为虚数单位，则复数34ii+= A. 43i -- B. 43i -+ C. 43i + D. 43i -1. D. 34(34)()43()i i i i i i i ++⨯-==-⨯-.2. 设集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,3,5}M =，则U M =ðA. {2,4,6}B. {1,3,5}C. {1,2,4}D. U 2. A. U M =ð{2,4,6}.3. 若向量(1,2)AB =u u u r ，(3,4)BC =u u u r，则AC =u u u rA. (4,6)B. (4,6)--C. (2,2)--D. (2,2)3. A. (4,6)AC AB BC =+=u u u r u u u r u u u r.4. 下列函数为偶函数的是A. sin y x =B. 3y x = C. xy e =D. y = 4. D. 选项A 、B 为奇函数，选项C 为非奇非偶函数.5. 已知变量x ，y 满足约束条件1110 x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值为A. 3B. 1C. 5-D. 6-5. C. 不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，2z x y =+可化为直线1122y x z =-+，则当该直线过点(1,2)A --时，x +z 取得最小值，min 12(2)5z =-+⨯-=-.6. 在△ABC 中，若60A ∠=o ，45B ∠=o，BC =AC =A.B.C.D.6. B. 根据正弦定理，sin sin BC ACA B=，则sin sin BC B AC A ⋅===.7. 某几何体的三视图如图1所示，它的体积为 A. 72π B. 48π C. 30π D. 24π7. C. 该几何体是圆锥和半球体的组合体，则它的体积2311434330323V V V πππ=+=⋅⋅+⋅⋅=圆锥半球体.8. 在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y += 相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于A.B.C.D . 18. B. 圆心(0,0)到直线3450x y +-=的距离1d ==，则222()32AB r d =-=，即AB =9. 执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为A. 105B. 16C. 15D. 1 9. C. 13515s =⨯⨯=10. 对任意两个非零的平面向量α和β，定义=⋅⋅o αβαβββ.若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角,42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，图2图1正视图 俯视图侧视图且o a b 和o b a 都在集合2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎭⎩Z 中，则=o a bA.52 B. 32 C. 1 D. 1210. D. =⋅⋅o a b a b b b 2cos cos θθ⋅==a b a b b，同理有cos θ=o b b a a o a b 和o b a 都在集合2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎭⎩Z 中，即2cos θa b 和2cos θb a 是整数， 取3πθ=，则a b和b a是整数，则1==a b ba，则=o a b 12.二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11 ~ 13题）11. 函数y x=的定义域为 .11. [)()1,00,-+∞U . 10100x x x x +≥⎧⇒≥-≠⎨≠⎩且，即函数y x=的定义域为[)()1,00,-+∞U .12. 若等比数列{}n a 满足2412a a =，则2135a a a = . 12. 14. 224312a a a ==，则24135314a a a a ==13. 由正整数组成的一组数据1234,,,x x x x ，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为 .（从小到大排列）13. 1,1,3,3. 不妨设1234x x x x ≤≤≤，*1234,,,x x x x ∈N ，依题意得12348x x x x +++=，1s ==， 即22221234(2)(2)(2)(2)4x x x x -+-+-+-=，所以43x ≤则只能121x x ==，343x x ==，则这组数据为1,1,3,3（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数，02πθ≤≤）和1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点坐标为 .14. (2,1). 曲线1C 的方程为225x y +=（0x ≤≤），曲线2C 的方程为1y x =-2251x y y x ⎧+=⇒⎨=-⎩2x =或1x =-（舍去），则曲线1C 和2C 的交点坐标为(2,1).15.（几何证明选讲选做题）如图3所示，直线PB 与圆O 相切于点B ，D 是弦AC 上的点，PBA DBA ∠=∠. 若AD m =，AC n =，则 AB = .15.由弦切角定理得PBA C DBA ∠=∠=∠，则△ABD ∽△ACB ，AB AD AC AB=，则2AB AC AD mn =⋅=，即AB =.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知函数()cos 46x f x A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R ，且3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）求A 的值； （2）设0,2παβ⎡⎤,∈⎢⎥⎣⎦，4304317f απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，28435f βπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求cos()αβ+的值.16. 解：（1）cos cos 312642f A A A ππππ⎛⎫⎛⎫=+===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2A = （2）43042cos 2cos 2sin 336217f πππαπααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即15sin 17α= 图3gPABCD O2842cos 2cos 3665f ππβπββ⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即4cos 5β=因为0,2παβ⎡⎤,∈⎢⎥⎣⎦，所以8cos 17α==，3sin 5β== 所以8415313cos()cos cos sin sin 17517585αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-17.（本小题满分13分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图 如图4所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100].（1）求图中a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成 绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x ） 与数学成绩相应分数段的人数（y ）之比如下表所示，求 数学成绩在[50,90)之外的人数.17. 解：（1）依题意得，10(20.020.030.04)1a +++=，解得0.005a = （2）这100名学生语文成绩的平均分为：550.05650.4750.3850.2950.0573⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分）（3）数学成绩在[50,60)的人数为：1000.055⨯=数学成绩在[60,70)的人数为：11000.4202⨯⨯= 数学成绩在[70,80)的人数为：41000.3403⨯⨯=数学成绩在[80,90)的人数为：51000.2254⨯⨯=所以数学成绩在[50,90)之外的人数为：100520402510----=图4PABCH FED 图518.（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB CD ，PD AD =，E 是PB 的中点，F 是CD 上的点且12DFAB =，PH 为△PAD 中AD 边上的高. （1）证明：PH ⊥平面ABCD ； （2）若1PH =，AD =1FC =，求三棱锥E BCF -的体积；（3）证明：EF ⊥平面PAB .18. 解：（1）证明：因为AB ⊥平面PAD ，所以PH AB ⊥因为PH 为△PAD 中AD 边上的高 所以PH AD ⊥ 因为AB AD A =I所以PH ⊥平面ABCD（2）连结BH ，取BH 中点G ，连结EG 因为E 是PB 的中点， 所以//EG PH因为PH ⊥平面ABCD所以EG ⊥平面ABCD则1122EG PH ==111332E BCFBCF V S EG FC AD EG -∆=⋅=⋅⋅⋅⋅=12 （3）证明：取PA 中点M ，连结MD ，ME因为E 是PB 的中点所以1//2ME AB = 因为1//2DF AB =所以//ME DF =所以四边形MEDF 是平行四边形 所以//EF MD 因为PD AD = 所以MD PA ⊥因为AB ⊥平面PAD ， 所以MD AB ⊥ 因为PA AB A =I所以MD ⊥平面PAB 所以EF ⊥平面PABPABCH F E DGM19. （本小题满分14分）设数列{}n a 前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项和为n T ，满足22n n T S n =-，*n ∈N .（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式. 19. 解：（1）当1n =时，1121T S =-因为111T S a ==，所以1121a a =-，求得11a =（2）当2n ≥时，221112[2(1)]2221n n n n n n n S T T S n S n S S n ---=-=----=--+所以1221n n S S n -=+- ① 所以1221n n S S n +=++ ② ②-①得 122n n a a +=+ 所以122(2)n n a a ++=+，即1222n n a a ++=+(2)n ≥求得123a +=，226a +=，则21222a a +=+ 所以{}2n a +是以3为首项，2为公比的等比数列所以1232n n a -+=⋅所以1322n n a -=⋅-，*n ∈N20.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为1(1,0)F -，且点(0,1)P 在1C 上. （1）求椭圆1C 的方程；（2）设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线2C ：24y x =相切，求直线l 的方程. 20. 解：（1）因为椭圆1C 的左焦点为1(1,0)F -，所以1c =，点(0,1)P 代入椭圆22221x y a b +=，得211b=，即1b =，所以2222a b c =+=所以椭圆1C 的方程为2212x y +=. （2）直线l 的斜率显然存在，设直线l 的方程为y kx m =+，2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理得222(12)4220k x kmx m +++-= 因为直线l 与椭圆1C 相切，所以2222164(12)(22)0k m k m ∆=-+-= 整理得22210k m -+= ①24y x y kx m⎧=⎨=+⎩，消去y 并整理得222(24)0k x km x m +-+= 因为直线l 与抛物线2C 相切，所以222(24)40km k m ∆=--= 整理得1km = ②综合①②，解得2k m ⎧=⎪⎨⎪=⎩或2k m ⎧=-⎪⎨⎪=⎩所以直线l的方程为y x =或y x =-21.（本小题满分14分）设01a <<，集合{|0}A x x =∈>R ，2{|23(1)60}B x x a x a =∈-++>R ，D A B =I .（1）求集合D （用区间表示）（2）求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点. 21. 解：（1）令2()23(1)6g x x a x a =-++229(1)4893093(31)(3)a a a a a a ∆=+-=-+=--① 当103a <≤时，0∆≥，方程()0g x =的两个根分别为1334a x +-=，2334a x ++=所以()0g x >的解集为3333(,()44a a ++-∞+∞U因为12,0x x >，所以D A B ==I 3333(0,()44a a +++∞U ② 当113a <<时，0∆<，则()0g x >恒成立，所以D A B ==I (0,)+∞ 综上所述，当103a <≤时，D =3333(0,()44a a +-+++∞U ； 当113a <<时，D =(0,)+∞ （2）2()66(1)66()(1)f x x a x a x a x '=-++=--， 令()0f x '=，得x a =或1x =① 当103a <≤时，由（1）知D =12(0,)(,)x x +∞U 因为2()23(1)6(3)0g a a a a a a a =-++=->，(1)23(1)6310g a a a =-++=-≤ 所以1201a x x <<<≤，所以(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：所以()f x 的极大值点为x a =，没有极小值点 ② 当113a <<时，由（1）知D =(0,)+∞ 所以(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：所以()f x 的极大值点为x a =，极小值点为1x = 综上所述，当103a <≤时，()f x 有一个极大值点x a =，没有极小值点； 当113a <<时，()f x 有一个极大值点x a =，一个极小值点1x =。
2012届广东省各地市一模试题打包3文数
肇庆市中小学教学质量评估 2012届高中毕业班第一次模拟试题数 学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分. 考试用时120分钟. 参考公式：锥体的体积公式13V Sh =其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若复数11z i =-，23z i =+，则复数12z z z =⋅在复平面内对应的点位于A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 2．已知集合2{|10},{|560}M x x N x x x =-<=-+>，则M N = A. {|1}x x < B.{|12}x x << C.{|3}x x > D. ∅ 3. 命题“(,),,,2330x y x R y R x y ∃∈∈++<”的否定是( )A. 000000(,),,,2330x y x R y R x y ∃∈∈++<B. 000000(,),,,2330x y x R y R x y ∃∈∈++≥C. (,),,,2330x y x R y R x y ∀∈∈++≥D. (,),,,2330x y x R y R x y ∀∈∈++>4．某中学为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用图1的条形图表示。
根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为Ａ．0.67（小时） Ｂ．0.97（小时） Ｃ．1.07（小时） Ｄ．1.57（小时） 5．已知函数()lg(1)lg(1)f x x x =-++，()lg(1)lg(1)g x x x =--+，则 A ．()f x 与()g x 均为偶函数 B ．()f x 为奇函数，()g x 为偶函数 C ．()f x 与()g x 均为奇函数 D ．()f x 为偶函数．()g x 为奇函数 6.已知向量(4,3)=a , (2,1)=-b ，如果向量λ+a b 与b 垂直，则|2|λ-a b 的值为 A ．1 B ．5 C.5 D ．557．已知四棱锥V ABCD -，底面ABCD 是边长为3的正方形，VA ⊥平面ABCD ，且4VA =，则此四棱锥的侧面中，所有直角三角形的面积的和是A. 12B.24C.27D.368．已知实数x y ，满足2201x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，，，则23z x y =-的最大值是A.6-B.1-C.4D.69.已知函数()y f x =，将()f x 的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿着x 轴向左平移2π个单位，这样得到的是1sin 2y x =的图象，那么函数()y f x =的解析式是 A.1()sin 222x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B. 1()sin 222f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C. 1()sin 222x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D. 1()sin 222f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭10．观察下图2，可推断出“x ”应该填的数字是A ．171B ．183C ．205D ．268二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11～13题）11．高三某班学生每周用于数学学习的时间x (单位：小时)与数学成绩y (单位：分)之间有如下数据： x 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13 y 92 79 97 89 64 47 83 68 7159根据统计资料，该班学生每周用于数学学习的时间的中位数是 ▲ ; 根据上表可得回归方程的斜率为3.53，截距为13.5,若某同学每周用于数学学习的时间为18 小时，则可预测该生数学成绩 是 ▲ 分（结果保留整数）.12.已知椭圆的方程是125222=+y ax (5a >),它的两个焦点分别为12,F F ,且12||8F F =,弦AB (椭圆上任意两点的线段)过点1F ,则2ABF ∆的周长为 ▲ 13．如果实数,x y 满足等式22(2)3x y -+=,那么xy的最大值是 ▲（ ） ▲14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线(sin cos )2ρθθ-=被圆4sin ρθ=截得的弦长为▲15.（几何证明选讲选做题）如图3,PAB 、PCD 为⊙O 的两条割线,若PA=5,AB=7,CD=11,2AC =，则BD 等于 ▲三、解答题:本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-.（I ）求{}n a 的通项n a 和前n 项和n S ；（II ）设52n n a c -=，2n cn b =,证明数列{}n b 是等比数列. 17. （本题满分13分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 6B π=，4cos ,35A b ==. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求sin(2)A B -的值；18.（本小题满分13分）2012年春节前，有超过20万名广西、四川等省籍的外来务工人员选择驾乘摩托车沿321国道长途跋涉返乡过年，为防止摩托车驾驶人因长途疲劳驾驶，手脚僵硬影响驾驶操作而引发交事故，肇庆市公安交警部门在321国道沿线设立了多个长途行驶摩托车驾乘人员休息站，让过往返乡过年的摩托车驾驶人有一个停车休息的场所。
2012年广东省高考文科数学试卷及答案
2012年广东省高考文科数学试卷及答案D2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）B数学（文科）本试卷共4页，21题，满分150分。
考试用时120分钟。
参考公式：球的体积334R V π=，其中R 为球的半径。
锥体的体积公式为h 31S V =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高。
一组数据x 1，x 2，…，x n 的标准差()()()[]，2n 22211s x x x x x x n-⋯⋯-+-=，其中x 表示这组数据的平均数。
一 、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 设i 为虚数单位，则复数43ii+= A -4-3i B -4+3i C 4+3i D 4-3i2 设集合U={1,2,3,4,5,6}， M={1,3,5} 则CuM= A {2,4,6} B {1,3,5} C {1,2,4} D .U3 若向量AB =（1,2），BC =（3,4），则AC =A （4,6）B (-4，-6)C (-2，-2)D (2,2) 4 下列函数为偶函数的是A y=sinxB y=3xC y=x e 5.已知变量x,y 满足约束条件 x +y ≤1，则z =x +2y 的最小值为 x –y ≤1 x +1≥0 A.3 B.1 C.-5 D.-66.在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝AC ＝A.27.某几何体的三视图如图1所示，它的体积为13.由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为__________。
（从小到大排列）（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14，（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为)(22221x2sin5cos5为参数和为参数，ttytxx⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎭⎫⎝⎛≤≤⎪⎩⎪⎨⎧==πθθθθ，则曲线C1与C2的交点坐标为_______。
广东省东莞市2012-2013学年度第一学期高三调研测试文科数学试卷(扫描版)
东莞2012-2013学年度第一学期高三调研测试文科数学参考答案一、选择题（每小题5分，满分50分.）二、填空题（每小题5分，满分20分．） 11.i 5354- ；12.4； 13.-5 ； 14. )6,2(π； 15. 150. 三、解答题（本大题共6小题，满分80分．） 16.（本小题满分12分）解:（1）由⊥,得⋅=0sin 2sin =+C b B c , ……………2分 由正弦定理得0sin sin cos sin 2sin =+⋅C B B B C , ……………4分 因为π<<B 0，π<<C 0，所以0sin ≠B ，0sin ≠C ，从而有01cos 2=+B ，21cos -=B ， 故120=B . ……………6分 （2）由ABC S ∆=433sin 21=B ac ，得3=ac . ……………8分 又由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=，得2222212()323=92b ac ac a c ac =+--=++≥+， ……………10分 当且仅当3==c a 时等号成立, ……………11分 所以, b 的最小值为3. ……………12分17．（本小题满分12分）解：（1）因为各组的频率之和等于1, 所以分数在[)70,60内的频率为：15.010)010.0025.0030.0015.0005.0(1=⨯++++-=f， ……………3分 所以第三组[)70,60的频数为1815.0120=⨯（人）. ……………4分 完整的频率分布直方图如图. ……………6分（2）因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估计 值为75分. ……………8分 又根据频率分布直方图，样本的平均数的估计值为: +⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯)015.010(65)015.010(55)005.010(455.73)01.010(95)025.010(85)03.010(75=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯（分）. ………11分 所以，样本的众数为75分，平均数为73.5分. ………12分18.（本小题满分14分）解:（1）因为n S 和13+-n S 的等差中项是23-， 所以331-=-+n n S S （*N n ∈），即1311+=+n n S S ， ……………2分由此得)23(31213123)131(231-=-=-+=-+n n n n S S S S （*N n ∈），………3分即3123231=--+n n S S （*N n ∈）， ……………4分 又21232311-=-=-a S ，所以数列}23{-n S 是以21-为首项，31为公比的等比数列. ……………5分（2）由（1）得1)31(2123-⨯-=-n n S ，即1)31(2123--=n n S （*N n ∈），………6分所以，当2≥n 时，121131])31(2123[])31(2123[----=---=-=n n n n n n S S a ，…8分又1=n 时，11=a 也适合上式，所以)(31*1N n a n n ∈=-. ……………9分 （3）要使不等式n k S ≤对任意正整数n 恒成立，即k 小于或等于n S 的所有值.又因为1)31(2123--=n n S 是单调递增数列, ……………10分且当1=n 时，n S 取得最小值1)31(2123111=-=-S , ……………11分 要使k 小于或等于n S 的所有值，即1≤k , ……………13分 所以实数k 的最大值为1. ……………14分19.（本小题满分14分）证明：(1)因为在图a 的等腰梯形PDCB 中，PB DA ⊥，所以在四棱锥ABCD P -中,AB DA ⊥, PA DA ⊥. …………1分 又PA AB ⊥，且AB DC //，所以PA DC ⊥，DA DC ⊥， …………2分 而⊂DA 平面PAD ，⊂PA 平面PAD ，A DA PA = ，所以⊥DC 平面PAD . …………3分 因为⊂DC 平面PCD ，所以平面⊥PAD 平面PCD . …………4分 解：(2)因为PA DA ⊥，且AB PA ⊥ 所以⊥PA 平面ABCD ， 又⊂PA 平面PAB ，所以平面⊥PAB 平面ABCD . 如图，过M 作AB MN ⊥,垂足为N , 则⊥MN 平面ABCD . ……5分 在等腰梯形PDCB 中，PB DC //， 2,33===PD DC PB ,PB DA ⊥，所以1=PA ，2=AB ，122=-=PA PD AD . …………6分设h MN =，则h h h DA AB h S V ABC ABC M 31122131213131=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆-. …………7分 2111221312)(3131=⨯⨯+⨯=⨯⨯+⨯=⋅=-PA AD AB DC PA S V ABCD ABCD P 梯形. h V V V ABC M ABCD P ACD PM 3121-=-=---. …………8分因为4:5:=--ABC M ACD PM V V ，所以4:531:)3121(=-h h ，解得32=h .………9分在PAB ∆中，32==PA MN BP BM , 所以BP BM 32=,BP MP 31=. ABD C OPMN所以2:1:=MB PM . …………10分 (3)在梯形ABCD 中，连结AC 、BD 交于点O ，连结OM .易知AOB ∆∽DOC ∆，所以21==AB DC OB DO . …………11分 又21=MB PM , 所以MB PMOB DO =， …………12分所以在平面PBD 中，有MO PD //. …………13分 又因为⊄PD 平面AMC ，⊂MO 平面AMC ，所以PD //平面AMC . …………14分20.（本小题满分14分） 解：（1）由题意可得，)22,2()1,1()1,1(y x y x y x --=--+---=+， …………1分所以4844)22()2(||2222+-+=-+-=+y y x y x MB MA ， …………2分又y y x OM -=⋅-=+⋅-4)2,0(),(214)(214， …………3分 所以y y y x -=+-+4484422，即14322=+y x . …………4分 （2）因为过原点的直线L 与椭圆相交的两点N M ,关于坐标原点对称，所以可设),(),,(),,(0000y x N y x M y x P --. …………5分 因为N M P ,,在椭圆上，所以有14322=+y x ， ………①1432200=+y x ， ………② …………6分①-②得3422202-=--x x y y . 又00x x y y k PM --=,0x x y y k PN ++=， …………7分 所以34222020000-=--=++⋅--=⋅x x y y x x y y x x y y k k PNPM ， …………8分故PN PM k k ⋅的值与点P 的位置无关，与直线L 也无关. …………9分（3）由于),(y x P 在椭圆C 上运动，椭圆方程为14322=+y x ，故22≤≤-y ，且 22433y x -=. …………10分 因为),(m y x -=，所以 3241)(||2222++-=-+=m my y m y x 33)4(4122+--=m m y ． …………12分 由题意，点P 的坐标为)2,0(时，||MP 取得最小值，即当2=y 时，||MP 取得最 小值，而22≤≤-y ，故有24≥m ，解得21≥m ． …………13分 又椭圆C 与y 轴交于E D 、两点的坐标为)2,0(、)2,0(-，而点M 在线段DE 上， 即22≤≤-m ，亦即221≤≤m ，所以实数m 的取值范围是]2,21[．…………14分21.（本小题满分14分）解：（1）由c x b ax x f ++=ln )(知，)(x f 的定义域为),0(+∞,xba x f +=)(', …1分 又)(x f 在e x =处的切线方程为0)1(=-+-e ey x e ，所以有ee e b a ef 1)('--=+=,① …………2分 由1=x 是函数)(x f 的零点，得0)1(=+=c a f ,② …………3分由1=x 是函数)(x f 的极值点，得0)1('=+=b a f ，③ …………4分由①②③，得1-=a ，1=b ，1=c . …………5分 （2）由(1)知)0(1ln )(>++-=x x x x f ，因此，22()()ln (0)g x x mf x x mx m x m x =+=-++>，所以)0)(2(12)(2'>+-=+-=x m mx x xx m m x x g . …………6分 要使函数)(x g 在)3,1(内不是单调函数，则函数)(x g 在)3,1(内一定有极值，而)2(1)(2'm mx x xx g +-=，所以函数)(x g 最多有两个极值. …………7分 令2()2(0)d x x mx m x =-+>.（ⅰ）当函数)(x g 在)3,1(内有一个极值时，0)('=x g 在)3,1(内有且仅有一个根，即02)(2=+-=m mx x x d 在)3,1(内有且仅有一个根，又因为(1)20d =>，当0)3(=d ，即9=m 时，02)(2=+-=m mx x x d 在)3,1(内有且仅有一个根32x =，当0)3(≠d 时，应有0)3(<d ，即03322<+-⨯m m ，解得9>m ，所以有9m ≥. ………8分.（ⅱ）当函数)(x g 在)3,1(内有两个极值时，0)('=x g 在)3,1(内有两个根，即二次函 数02)(2=+-=m mx x x d 在)3,1(内有两个不等根，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<>+-⨯=>+-=>⨯⨯-=∆,341,0332)3(,02)1(,02422m m m d m m d m m解得98<<m . …………9分 综上，实数m 的取值范围是),8(+∞. …………10分（3）由1)()(-=x f x h )0(ln >+-=x x x ，得xxx h -=1)('， 令0)('≤x h ，得1≥x ，即)(x h 的单调递减区间为[)+∞,1.由函数)(x h )0(ln >+-=x x x 在[)+∞,1上单调递减可知，当),1(+∞∈x 时, )1()(h x h <，即1ln -<+-x x ， …………11分 亦即ln 1x x <-对一切(1,)x ∈+∞都成立，亦即x x x x 1ln 0-<<对一切(1,)x ∈+∞都成立， …………12分 所以2122ln 0<<， 3233ln 0<<，4344ln 0<<， (2012)201120122012ln 0<<， …………13分 所以有 2012201143322120122012ln 44ln 33ln 22ln ⨯⨯⨯⨯<⨯⨯⨯⨯ ，所以2012120122012ln 44ln 33ln 22ln <⨯⨯⨯⨯ .…………14分。
广东省东莞市第一中学2011-2012学年高二下学期第一次月考数学文试题
2011—2012学年度第二学期东莞一中第一次月考高二文科数学考生注意：本卷共三大题，20小题，满分150分，考试时间120分钟．不能使用计算器． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号在答题卡中的相应位置涂黑． 1．下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是 BA ．①③B ．①④C ．②③D ．①②2．右图是集合的知识结构图，如果要加入“交集”， 则应该放在 D A. “集合”的下位B. “含义与表示”的下位C. “基本关系”的下位D. “基本运算”的下位 3.设有一个回归方程为y=2-2.5x,则变量x A.y 平均增加2.5个单位 B.y 平均增加2个单位 C.y 平均减少2.5个单位 D. y 平均减少2个单位 4．命题“若ab =0,则a =0或b =0”的逆否命题是 CA ．若a =0或b =0,则ab =0B ．若0≠ab ，则0≠a 或0≠bC ．若0≠a 且0≠b ,则0≠abD ．若0≠a 或0≠b ，则0≠ab 5．用反证法证明“如果m n >，那么33m n >”，假设内容应是 CA ．33m n = B.33m n < C. 33m n =或33m n < D. 33m n =且33m n < 6．设c b a >>,则下列不等式一定成立的是 D A.c b c a > B.ac ab > C.cb a 111<< D.c b c a ->-7．当1m <时，复数i m )1(1-+在复平面内对应的点位于 AA. 第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限① ② ③ ④8.72+与63+的大小关系是 B A.72+>63+ B.72+<63+ C.72+＝63+ D.72+≥ 63+9．在平面直角坐标系中，不等式组,040⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥+a x y x y x （a 是常数）表示的平面区域面积是9，那么实数a 的值为 DA ．223+B ．－223+C ．－5D ．110． “韩信点兵”问题：韩信在一次点兵的时候，为保住军事秘密，不让敌人知道自己部队里的军事实力，采用下述点兵方法：先令士兵1～3报数，结果最后一个士兵报2 ；又令士兵1～5报数，结果最后一个士兵报3；这样韩信很快算出自己部队士兵的总数．那么士兵的人数可能是 C A ．20 B ．46 C ．53 D ．63二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置上． 11. 若复数z 满足方程1-=⋅i i z ，则||z12．定义运算“⊗”为：b a b a -=⊗2，则25⊗= __ 8___． 13．抛物线23y x =的焦点坐标是________1(0,)12__________________ 14．若直线10(0,0)ax by a b +-=>>始终平分圆22220x y x y +--=的周长，则ab 的最大值是_______14______.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效． 15．（本小题满分12分）已知复数iz -=25． ⑴ 求z 的实部与虚部；⑵ 若21z m z n i ++=-(m n R z ∈，，是z 的共轭复数)，求m 和n 的值． 15． 解：（1）()()()5222i z i i +=-+………………………………2分()5225i i+==+………………………………4分∴z 的实部为2，虚部为1………………………………6分 （2）把2z i =+代入2 1z m z n i ++=-，得()()2221i m i n i ++-+=- ………………………………8分 解得：23141m n m ++=⎧⎨-=-⎩ ………………………………10分解得512m n ==-， ………………………………12分16．（本小题满分12分）已知△ABC 的周长为10，且A C B sin 4sin sin =+．（1）求边长a 的值；（2）若16=bc ，求角A 的余弦值． 解：（1）根据正弦定理，A C B sin 4sin sin =+可化为a c b 4=+． ………………3分联立方程组⎩⎨⎧=+=++a c b c b a 410，解得2=a ． (5)分所以，边长2=a ． (6)分（2）由16=bc ，又由（1）得8=+c b ，得4==c b ， (9)分∴bca cb A 2cos 222-+= (10)分87442244222=⨯⨯-+=． 因此，所求角A 的余弦值是87． ………………………12分17．(本小题满分14分)某校在两个班进行教学方式对比试验，两个月后进行了一次检测， 试验班与对照班成绩统计如22⨯列联表所示（单位：人）．⑴ 求m ，n ；⑵ 你有多大把握认为“教学方式与成绩有关系”？ 17．解：⑴ 301545=-=m ， ……………………………2分1005050=+=n ． ………………………………4分⑵22100(35301520)50505545K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯………………………… 7分9.091≈ ……………………………………………… 9分因为27.879K >，所以0.005P = ………………………… 12分所以有99．5%的把握认为“教学方式与成绩”有关系．…………………14分18．（本小题满分14分）已知函数c bx ax x x f ++-=23)()0(>a 在点0x =处取得极值，并且在区间()0,2上单调递减，在区间()4,5上单调递增． （1）求实数b 的值；（2）求实数a 的取值范围．解：（1）b ax x x f +-='23)(2， ………………………………2分因为()f x 在点0x =处取得极值，所以(0)0f '=，即得0b =； (4)分经检验可知：0b =符合题意 (5)分（2）令0)('=x f ,即0232=-ax x ，解得0x =或a x 32=…………………6分0>a ，∴x 变化时，()f x '、()f x 的变化情况如下表： (10)分因为在函数在区间()0,2上单调递减，在区间()4,5上单调递增， 所以应有4322≤≤a ， ……………………………………12分解得63≤≤a ．故a 的取值范围是63≤≤a (14)分19．(本小题满分14分)运行如图所示的程序流程图．⑴ 若输入x 的值为2，根据该程序的运行过程完成下 面的表格，并求输出的i 与x 的值；⑵ 若输出i 的值为2，求输入x 的取值范围．19．解：⑴5分 （注：每填对一个空格给1分．）因为168162<，168486>，所以输出的i 的值为5，x 的值为486．…………………………………7分⑵ 由输出i 的值为2，则该程序执行了循环体2次．………………………………9分即：31689168x x ≤⎧⎨>⎩，………………………………12分解得56563x <≤． ………………………………13分 故输入x 的取值范围为56563⎛⎤⎥⎝⎦，． ………………………………14分 20．（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的公差大于0,且53,a a 是方程045142=+-x x 的两根，数列{}n b的前n 项的和为n S ，且*1()2nn b S n N -=∈． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）记n n n b a c ⋅=,求证：n n c c ≤+1； （3）求数列{}n c 的前n 项和．解：（1）∵53,a a 是方程045142=+-x x 的两根，且数列}{n a 的公差d >0，∴53=a ，95=a 公差.23535=--=a a d∴.12)5(5-=-+=n d n a a n (3)分又当n =1时，有11112b b S -==113b ∴= 当).2(31),(21,2111≥=∴-=-=≥---n b b b b S S b n n n n n n n n 有时 ∴数列{n b }是首项113b =，公比13q =等比数列， ∴111.3n n nb b q-==…………………………6分（2）由（1）知112121,,33n n n n n n n n c a b c ++-+=== ……………………8分∴11121214(1)0.333n n n n n n n n c c ++++---=-=≤ ∴.1n n c c ≤+ (10)分（3）213n n n nn c a b -==，设数列{}n c 的前n 项和为n T ， 12313521........3333n n n T -=++++ (1)13n T ∴= 23411352321 (33333)n n n n +--+++++ (2) …………12分(1)(2)-得：2312122221.....333333n n n n T +-=++++-=2311111212(.....)33333n n n +-++++- 化简得：113n n n T +=- (14)分。
2012届高三数学复习课件(广东文)第9章第3节__直线、平面垂直的判定与性质
2 证明：设DF的中点为N，
1 连接AN，MN，则MN // CD. 2 1 又AO // CD，则MN // AO 2 所以四边形MNAO为平行四边形，所以OM //AN . 又AN 平面DAF，OM 平面DAF， 所以OM //平面DAF .
3 过点F 作FG AB于G.
反思小结: 本题考查直线与直线垂直、直线与平 面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理 论证能力．立体几何的证明关键是学会分析和 掌握一些常规的证明方法．如：已知中点证明 垂 直 时 要 首 先 考 虑 等 腰 三 角 形 中 的“ 三 线 合 一”；已知线段或角度等数量关系较多时最好 标示出来，充分进行计算，从而发现蕴含的垂 直等关系；已知线面垂直时会有哪些结论，是 选择线线垂直还是选择面面垂直；要证明结论 或要得到哪个结论，就必须满足什么条件等．
4.如图，直线PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面， C为圆上异于点A和点B的任意一点．有下列四个结论： ①PC BC； ②BC 平面PAC； ③AC PB； ④PA BC. 其中不正确的是 ③
解析：依题意，ACB 90，即BC AC. 又PA 底面ABC，所以PA BC. 而PA AC A，所以BC 平面PAC，所以BC PC. 综上得①②④正确． 假设③正确，则因为AC PB，AC BC， 所以AC 平面PBC，所以AC PC. 显然，这与由PA 底面ABC，得PA AC矛盾． 故不正确的结论是③.
解析：A错，由m ，n ， m n ， 相交或平行； B对，因为由 //，m m ， 又n //，所以m n； C错，m，n垂直、相交、异面均有可能； D错，只有当n 时才会有n . 综上，知选B
广东省东莞市2012届高三数学模拟试题(二)文新人教A版
anbn 2 n 1(2 n 1) 2 对一切正整数 n 都
成立？若存在，请求出数列 bn 的通项公式；若不存在，请说明理由 .
东莞市 2012 届高三文科数学模拟试题 ( 二)
用心
爱心
专心
4
参考答案
一、选择题（每小题 5 分，共 50 分）
DBACD BCAAC
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
……… 5 分 ……… 6 分
2 sin(2 x ) 2 4
……… 10 分 ……… 12 分
17. （本小题满分 12 分）
解：若 q ＝ 1，则 (n 1) a1 (n 2)a1 2na1 ,
a1 0, 2n 3 2n, 不合要求 ……………… 3 分
若 q 1则 a1 (1 q n 1 ) a1 (1 q n 2 ) 2 a1 (1 q n ) ……………… 6 分
1 a1
3 ，解得 a1
3，
4 24
因此 ，数列 an 的通项公式为 an 2n 1.
……… 9 分
（ 2）假设存在等比数列 bn ，使得对一切正整数 n 都有
a1b1 a2b2
anbn 2n 1(2 n 1) 2
③
当 n 2 时，有 a1b1 a2b2
而 MA 1 AF ， MB 2 BF ，
即 ( x1 0, y1 y0 ) 1(2 x1, y1) ， ( x2 0, y2 y0 ) 2 (2 x2, y2 )
∴1
x1 ， 2 2 x1
x2 ， 2 x2
…………………… 12 分
所以
1
x1
x2
2( x1 x2 ) 2x1x2
2 2 x1 2 x2 4 2( x1 x2) x1 x2
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广东省东莞市2012届高三文科数学模拟试题(一)一、选择题：本大题共10 小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.若集合{}A=|1x x x R ≤∈，，{}B=|0x x x R ≥∈，，则A B ⋂=A. {}|11x x -≤≤B. {}|0x x ≥C. {}|01x x ≤≤D. ∅2．已知复数i z +=21，21z ai =-，a R ∈，若z = 12z z ⋅在复平面上对应的点在虚轴上，则a 的值是 A ．-12 B ．12C ．2D ．-2 3．已知数列{}n a 的通项公式是()()11nn a n =-+，则12310a a a a ++++=A ．55-B ．5-C ．5D ．554.若,x y 满足约束条件2100408x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩,则43z x y =+的最小值为A ．20B ．22C ．24D ．285．在回归分析中，残差图中纵坐标为 A.残差 B.样本编号C._x D.µi y 6．如图所示的程序框图运行的结果是A ．12012 B ．12013 C ．20112012 D ．201220137．函数sin()y A x ωϕ=+的部分图像如图所示，则其解析式可以是 A ．3sin(2)3y x π=+ B ．3sin(2)3y x π=-+C ．13sin()212y x π=+D ．13sin()212y x π=-+8．已知抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线y=x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若()2,2P 为AB 的中点，则抛物线C 的方程为A ．24y x = B. 24y x =－ C. 24x y = D. 28y x =9. ,,,A B C D 四位同学分别拿着5342，，，个暖瓶去打开水，热水龙头只有一个。
要使他们打完水所花的总时间（含排队、打水的时间）最少，他们打水的顺序应该为 A. D B C A ，，，B. ,,,A B C DC. ,,,A C B DD. 任意顺序10．对任意实数,x y ，定义运算x y ax by cxy *=++，其中,,a b c 是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算。
已知123,234*=*=，并且有一个非零常数m ，使得对任意实数x ,都有x m x *=，则m 的值是A.4B.4-C.5-D.6二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只需选做其中一题，两题全答的，只以第一小题计分．）（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题都必须做答。
11．若1()21xf x a =+-是奇函数，则a = ． 12．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体 的体积是 ．13．已知直线:210l x y k +++=被圆22:4C x y +=所截得的弦长为2，则OA OB ⋅的值为 ．（二）选做题（14—15题，考生只能从中选做一题） 14.（几何证明选讲选做题）如图，圆O 是ABC ∆的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，72=CD ，3==BCAB ，则=AC ．正视图 俯视图侧视图15.（坐标系与参数方程选做题）已知在极坐标系下，点)3, 1(πA ，)32, 3(πB ，O 是极点，则AOB ∆的面积等于 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c （其中a b c ≤≤），设向量cos sin m B B =（，），(0,n =，且向量m n -为单位向量．（1）求∠B 的大小；（2）若1b a ==，求△ABC 的面积． 17．（本小题满分14分）如图，平行四边形ABCD 中，1=CD ，60=∠BCD ，且CD BD ⊥，正方形ADEF 和平面ABCD 垂直，H G ,是BE DF ,的中点．（1）求证：CDE BD 平面⊥； （2）求证：//GH 平面CDE ； （3）求三棱锥CEF D -的体积．18．（本题满分12分）某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示.（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图； （2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A 考官进行面试，求第4组至少有一名学生被考官A 面试的概率？DE19．（本题满分14分）已知函数3()log ()f x ax b =+的图象经过点)1,2(A 和)2,5(B ，记()*3,.f n n a n N =∈（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设n n n nn b b b T a b +++== 21,2，若)(Z m m T n ∈<对*N n ∈恒成立，求m 的最小值.20．（本题满分14分）如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e ， 直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵 坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ． （1）设12e =，求BC 与AD 的比值； （2）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由． 21.（本小题满分14分）已知函数1()ln 1()af x x ax a R x-=-+-∈． （1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程； （2）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性.东莞市2012届高三文科数学模拟试题(一)参考答案一、选择题1～5：CDCBA ； 6～10：DBABA 二、填空题 11.12 12．π63 13．2 14．273 15.433 三、解答题16．（本题满分12分）解：（1）(cos ,sin ||1m n B B m n -=-=--------------------2分∴22cos (sin 1,sin B B B +==--------------------4分 又B 为三角形的内角，由a b c ≤≤，故3B π=--------------------6分（2）根据正弦定理，知sin a b sinA B =，即1sin 3sinA π=， ∴1sin 2A =，又a b c ≤≤，∴6A π= --------------------9分 故C ＝2π，△ABC的面积＝122ab =----------------------12分17．（本题满分14分）（1）证明：平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为ADAD ED ⊥∴ABCD ED 平面⊥ ----------2分 ∴BD ED ⊥又 CD BD ⊥DE∴CDE BD 平面⊥ --------4分 （2）证明：连结EA ，则G 是AE 的中点∴EAB ∆中，AB GH // ---------------6分 又 CD AB // ∴//GH CD∴//GH 平面CDE -------------8分（3）解：设BCD Rt ∆中BC 边上的高为h 依题意：3121221⋅⋅=⋅⋅h ∴23=h 即：点C 到平面DEF 的距离为23---------------10分 ∴3323222131=⋅⋅⋅⋅==--DEF C CEF D V V -----------------14分18．（本题满分12分）解：（1）由题可知，第2组的频数为0.3510035⨯=人, ……………… 1分第3组的频率为300.300100=, ……………… 2分 频率分布直方图如下: ……………… 5分（2）因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为：第3组:306360⨯=人, ……… 6分 第4组:206260⨯=人, ……… 7分 第5组:106160⨯=人, ……… 8分 所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人。
（3）设第3组的3位同学为123,,A A A ,第4组的2位同学为12,B B ,第5组的1位同学为1C ,则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下:12(,),A A 13(,),A A 11(,),A B 12(,),A B 11(,),A C 23(,),A A 21(,),A B 22(,),A B 21(,),A C 31(,),A B 32(,),A B 31(,),A C 12(,),B B 11(,),B C 21(,),B C …………… 10分第4组至少有一位同学入选的有:11(,),A B 12(,),A B 21(,),A B 22(,),A B 31(,),A B 12(,),B B 32(,),A B 11(,),B C 21(,),B C 9种可能。
所以其中第4组的2位同学为12,B B 至少有一位同学入选的概率为93155=………… 12分19．（本题满分14分）解：（1）由题意得⎩⎨⎧=+=+2)5(log 1)2(log 33b a b a ，解得⎩⎨⎧-==12b a ， …………3分)12(log )(3-=∴x x f*)12(l o g ,1233N n n a n n ∈-==- ………6分（2）由（1）得nn n b 212-=， n n n n n T 2122322523211321-+-++++=∴- ①2311113252321222222n n n n n n n T -+---=+++++ ② ①-②得123111122111122222122222221111121()222222n n n n n n n n T n -+--+-=+++++--=+++++-112122123+----=n n n . nn n n n n T 23232122132+-=---=∴-， …………10分设*,232)(N n n n f n ∈+=，则由1512132121)32(2522252)()1(1<+≤++=++=+=++n n n n n f n f nn 得*,232)(N n n n f n∈+=随n 的增大而减小，n T 随n 的增大而增大。