8.4_三元一次方程组的解法课件
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8.4 三元一次方程组的解法课件
探究1 小明手头有12张面额分别是1元、2元和5元的 纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数 量的4倍．求1元、2元和5元的纸币各多少张？ 解：设1元、2元和5元的纸币分别为x张、y张和z张．
x y z 12 x 2 y 5 z 22 x 4 y
一般情况下： （1）代入法：变形一个方程，代入另两个方程式，得两个新方程； （2）加减法：a.确定消去的目标（未知数）；b.使相同未知数的 系数相同或相反；c.两两相加或相减得两个新方程。
解三元一次方程组
3x＋4z=7， 2x＋3y＋z=9， 5x－9y＋7z=8.
④
① ② ③
,
解:由②得： z=9-2x-3y
x 8 解得， y 2 z 2
答：1元、2元和5元纸币分别为8张、2张、2张．
例题讲解
① 3x＋4z 7 解三元一次方程组 2x＋3y＋z 9 ② 5x－9y＋7z 8 ③
分析：方程①中只含x,z,没有y,因此，可 以由②③消去y，得到一个只含x，z的方 程，与方程①组成一个二元一次方程组.
x y z 12 x 2 y 5 z 22 x 4 y
本题的解必须同 时满足这三个条件， 想一想，这是 因此，把这三个方 什么方程呢 ? 程合在一起
1元纸币张数＋2元纸币张数 ＋5元纸币张数＝总张数 1元面值总钱数＋2元面值总钱数＋5元面值总钱数＝总钱数 1元纸币张数＝ 2元纸币张数×4
【义务教育教科书人教版七年级下册】
8.4 三元一次方程组的解法
知识回顾 1.举例说明什么是二元一次方程组？
x y 10 2 x y 16
a 2b 5 a 3b 3
8.4_三元一次方程组的解法课件
当x=5时,y=60. 求a,b,c的值. 解：根据题意，得三元一次方程组 a－b＋c= 0， 4a＋2b＋c=3， 25a＋5b＋c=60. ① ② ③
a=3， 解这个方程组，得 b=-2.
a=3， 把 b=-2. 代入①，得 c=-5 ②－①， 得 a＋b=1 ④ a=3， ③－①，得 4a＋b=10 ⑤ 因此 b=-2， c=-5. ④与⑤组成二元一次方程组 a＋b=1， 4a＋b=10.
① ② ③
解：②×3＋③ ，得 11x＋10z=35 ④ ①与④组成方程组 解这个方程组，得 3x＋4z=7， 11x＋10z=35. x=5， z=-2.
1 把x＝5，z＝-2代入②，得y= , 3
x=5， y= z=-2.
1 , 3
因此，这个三元一次方程组的解为
解方程组
x+y+z= 2 ① x-y+z= 0 ② x-z=4. ③
每公顷所需劳动力 4人 8人 5人
每公顷投入资金 1万元 1万元 2万元
已知农场计划投入67万元，应该怎样安排这三种作金
正好够用？
解：设安排x公顷种水稻、y公顷种棉花、 z公顷种蔬菜。由题意得 x+y+z=51， 4x+8y+5z=300， x+y+2z=67.
小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共 计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍.求1
元、2元、5元纸币各多少张. 分析：（1）这个问题中包含有 三 个相等关系：
1元纸币张数＋2元纸币张数＋5元纸币张数＝12张，1元纸 币的张数＝2元纸币的张数的4倍， 1元的金额＋2元的金额＋5元的金额＝22元. （2）这个问题中包含有 三 个未知数:
a=3， 解这个方程组，得 b=-2.
a=3， 把 b=-2. 代入①，得 c=-5 ②－①， 得 a＋b=1 ④ a=3， ③－①，得 4a＋b=10 ⑤ 因此 b=-2， c=-5. ④与⑤组成二元一次方程组 a＋b=1， 4a＋b=10.
① ② ③
解：②×3＋③ ，得 11x＋10z=35 ④ ①与④组成方程组 解这个方程组，得 3x＋4z=7， 11x＋10z=35. x=5， z=-2.
1 把x＝5，z＝-2代入②，得y= , 3
x=5， y= z=-2.
1 , 3
因此，这个三元一次方程组的解为
解方程组
x+y+z= 2 ① x-y+z= 0 ② x-z=4. ③
每公顷所需劳动力 4人 8人 5人
每公顷投入资金 1万元 1万元 2万元
已知农场计划投入67万元，应该怎样安排这三种作金
正好够用？
解：设安排x公顷种水稻、y公顷种棉花、 z公顷种蔬菜。由题意得 x+y+z=51， 4x+8y+5z=300， x+y+2z=67.
小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共 计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍.求1
元、2元、5元纸币各多少张. 分析：（1）这个问题中包含有 三 个相等关系：
1元纸币张数＋2元纸币张数＋5元纸币张数＝12张，1元纸 币的张数＝2元纸币的张数的4倍， 1元的金额＋2元的金额＋5元的金额＝22元. （2）这个问题中包含有 三 个未知数:
8.4三元一次方程组的解法PPT课件
这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此， 我们把这三个方程合在一起，写成
｛
x+y+z=12 x=4y x+2y+5z=22
这个方程组含有三个未知数，每个方程中 含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个 方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组
练习
1．下列方程组中是三元一次方程组的是（ ）
A. C.
作业 解下列方程组：
x y 16, y z 12, (1) z x 10.
7 x 6 y 7 z 100, x 2 y z 0, （4） 3 x y 2 z 0;
y x a : b : c 3 : 4 : 5, 2 3 z 4, (2) a b c 36; (5) x y z 2, 3 2 2 2 x y 3 z 1 , y z x (3) y 2 z 4, 4; 3 x y 9; 2 3 4
3 x 4 z 7 ① 2 x 3 y z 9 ② 5 x 9 y 7 z 8 ③ 分析：方程①只含x,z,因此，可由②③消去y，得到 一个只含x,z的方程，与①组成一个二元一次方程组. 解：②×3+③得：11x+10z=35 ④ ①与④组成方程组 3x 4 z 7
8.4 消元
三元一次方程组的解法
1.了解三元一次方程组的含义. 2.会用代入法或加减法解三元一 次方程组. 3.掌握解三元一次方程组的思想 “消元”，即将“三元”化为 “二元”、“一元”的思想.
问题1：二元一次方程组是怎样定义的？ 解二元一次方程组的基本思路是什么？ 基本方法有哪些？
人教版七年级下册数学： 8.4 三元一次方程组的解法 (共23张PPT)
把x=2k,y=3k,z=5k 代入x+y﹢z=20得：
2k+3k﹢5k=20
解得：k=2 因此，这个三元一次方程组的解为
x=4 y=6 z=10
11
知识点一：三元一次方程组的解法
典例讲评
例3、解下列方程： x ∶y =1 ∶5 ① y ∶z=2 ∶3 ②
解法一：
x+y﹢z=27
③
解：由①，得： x .15 y ④
15
知识点二：三元一次方程组的应用
典例讲评
例4：在等式 y=ax2＋bx＋c中,当x=-1时,y=0;当x=2时,y=3;
当x=5时,y=60. 求a,b,c的值.
解：根据题意，得三元一次方程组
a－b＋c= 0， ① 4a＋2b＋c=3， ② 25a＋5b＋c=60. ③
a＋b=1， 4a＋b=10.
复习引用
含有 个未知数
三元一次方程
含有未知数的项的次数都是 .
三
整式方程
元
方程组中含有三个未知数
一
三元一次方程组
含有未知数的项的次数都是 . 整式方程
次
方
代入法
程
消元方法
加减法
组
思路： 三元
二元
一元
1
人教版七年级数学下册 第八章 二元一次方程组
8.4 三元一次方程组的解法
8.4.2：三元一次方程组的解法（2）
3
知识点一：三元一次方程组的解法
新知探究
在2012年伦敦奥运会时，中国健儿获得88枚奖牌,位居奖 牌榜第二名,其中金牌比银牌多11枚,银牌和铜牌的总数比金牌 多12枚，你能算出我国金、银、铜三种奖牌各多少枚吗?
解：设获得金牌x枚、银牌 y枚、铜牌 z枚， 根据题意得： x﹢y﹢z＝88， ①
8.4 三元一次方程组的解法 初中数学人教版七年级下册教学课件
x＝3， x＝2， A.y＝2， B.y＝3，
z＝1
z＝1
x＝3， x＝1， C.y＝1， D.y＝2，
z＝2
z＝3
6．(10 分)解下列三元一次方程组：
2x＋y＝4，① (1)x＋3z＝1，②
x＋y＋z＝7；③
解：由①得 y＝4－2x.④，由②得 z＝1－3 x.⑤，
1－x
把④⑤代入③得 x＋4－2x＋ 3 ＝7.解得 x＝－2，所以 y＝8，z＝1.
解：设甲、乙、丙三种货物的单价分别为 x 元/件，y 元/件，z 元/件，
3x＋7y＋z＝31.5①， 由题意得4x＋10y＋z＝42②， 将
2(②－①)代入①中，
得 x＋y＋z＝10.5，所以购甲、乙、丙各 1 件共需 10.5 元
7．我市某镇组织20辆汽车装运完A，B，C三种脐橙共100吨到外地销售，按 计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一样脐橙，且必须装满．每 辆汽车的运载量及每种脐橙每吨的获利如下表：如何安排三种脐橙装运，才 能使此次销售获利达到14.08万元？
下列做法正确的是( A )
3x＋y－2z＝－1，③
A．要消去 z，先将①＋②，再将①×2＋③
B．要消去 z，先将①＋②，再将①×3－③
C．要消去 y，先将①－③×2，再将②－③
D．要消去 y，先将①－②×2，再将②＋③
x＋y＝3， 5．(4 分)三元一次方程组x＋z＝4，的解是( D )
y＋z＝5
4 辆汽车装运 C 种脐橙，才能使此次销售获利达到 14.08 万元
8．(六盘水中考)为确保信息安全，在传输时往往需加密，发送方发出一 组密码a，b，c时，则接收方对应收到的密码为A，B，C.双方约定：
依题意,得
8.4三元一次方程组的解法PPT课件.改好ppt
分析：方程①只含x,z,因此，可由②③消去y，得到
一个只含x,z的方程，与①组成一个二元一次方程组. 解：②×3+③得：11x+10z=35 ④
①与④组成方程组 3x4z 7
把解x得=：5， zxz= -522代入②11得x：1y0=1 z
2020/3/12
3
35
∴
2 x y 3 z 1,
(3)
y
2z
4,
3 x 2020/3/12 y 9;
x
2
y 3
z
4,
x
3
y 2
z 2
2,
2 x
y 3
z 4
4;
知识小结
1.基本思路:
消元
消元
三元方程组:
二元方程组
一元方程
2、解三元一次方程组有哪些方法？
x y z
5 1 3 2
不解方程组，指出下列方程组中先 消去哪个未知数，使得求解方程组较为 简便?
3x 5 y 1
1
.
4
x
6
y
7
z
2
3 x 5 y 2 z 4
x y 6
2
.
y
z
1
x z 3
2020/3/12
2020/3/12
作业 解下列方程组：
x y 16 ,
(1)
y z
一个只含x,z的方程，与①组成一个二元一次方程组. 解：②×3+③得：11x+10z=35 ④
①与④组成方程组 3x4z 7
把解x得=：5， zxz= -522代入②11得x：1y0=1 z
2020/3/12
3
35
∴
2 x y 3 z 1,
(3)
y
2z
4,
3 x 2020/3/12 y 9;
x
2
y 3
z
4,
x
3
y 2
z 2
2,
2 x
y 3
z 4
4;
知识小结
1.基本思路:
消元
消元
三元方程组:
二元方程组
一元方程
2、解三元一次方程组有哪些方法？
x y z
5 1 3 2
不解方程组，指出下列方程组中先 消去哪个未知数，使得求解方程组较为 简便?
3x 5 y 1
1
.
4
x
6
y
7
z
2
3 x 5 y 2 z 4
x y 6
2
.
y
z
1
x z 3
2020/3/12
2020/3/12
作业 解下列方程组：
x y 16 ,
(1)
y z
8.4三元一次方程组的解法课件
解三元一次方程组的关键在于消元这就要求我们要认真地观察分析确定消元的对象及做法这样不但可以节省时间也可以帮助我们更准确地解决问题
*8.4
三元一次方程组的解法
1.经历探索三元一次方程组的解法的过程;
2.会解三元一次方程组; 3.能利用三元一次方程组解决简单的实际问题.
小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，
1 把x＝5，z＝-2代入②，得y= , 3
x=5， y= z=-2.
1 , 3
因此，这个三元一次方程组的解为
x＋y－z＝6， 解三元一次方程组
①
x－3y＋2z＝1， ② 3x＋2y－z＝4. ③
【答案】
51 z . 5
32 y , 5
11 x , 5
1.在方程5x－2y＋z＝3中，若x＝－1，y＝－2，
分析：方程①中只含x,z,因此， 可以由②③消去y，得到一个只含
x，z的方程，与方程①组成一个二
元一次方程组.
3x＋4z=7， 2x＋3y＋z=9， 5x－9y＋7z=8.
① ② ③
解：②×3＋③ ，得 11x＋10z=35 ④ ①与④组成方程组 解这个方程组，得 3x＋4z=7， 11x＋10z=35. x=5， z=-2.
则z＝_______.
【解析】把x=-1,y=-2代入方程中，即可求出z的值. 【答案】4
2.解方程组
x＋y－z＝11， ① y＋z－x＝5， ② ,则x＝_____， z＋x－y＝1. ③
y＝______，z＝_______. 【解析】通过观察未知数的系数，可采取① + ②求出y， ②+ ③求出z，最后再将y与z的值代 入任何一个方程求出x即可. 【答案】6 8 3
8.4 三元一次方程组的解法课件
当x=2时,y=3；当x=5时,y=60,求a,b,c的值.
“当x=-1时,y=0”这句话当中包含有怎样的
等量关系？其他两句呢,你能据此列出方程组吗?
分析:把a,b,c看作三个未知数,分别把已知 的x,y的值代入原等式,就可以得到一个三元一次
方程组.
三、探究三元一次方程组的解法
解：根据题意，得三元一次方程组
3 x 4 z 7, 2 x 3 y z 9, 5 x 9 y 7 z 8.
① ② ③
解: ② ×3+ ③,得 11x+10z =35. ④
3 x 4 z 7, ①与④组成方程组 11x 10 z 35.
三、探究三元一次方程组的解法
一、出示学习目标 学习目标: 学习三元一次方程组及其解法和应用.
二、引入概念
学习任务:了解三元一次方程组的概念.
x y z 12, x 2 y 5 z 22, x 4 y.
这个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数
的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程
组叫做三元一次方程组.
问题：怎样解三元一次方程组？
三、探究三元一次方程组的解法 问题:如何解这个方程组?
y=2x-7， 5x+3y+2z=2， 3x-4z=4.
分组进行讨论、探究,自主学习、交流,然后
归纳总结.
三元一次方程组
消元
二元一次方程组
消元
一元一次方程
三、探究三元一次方程组的解法
例1
解三元一次方程组
3 x y z 4, (2) 2 x 3 y z 12, x y z 6.
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1 把x＝5，z＝-2代入②，得y= , 3
x=5， y= z=-2.
1 , 3
因此，这个三元一次方程组的解为
2x+y+z=10① 把三元一次方程组 x+2y+z= -6② X+y+2z= 8 ③
转化成二元一次方程组为 ①-②,②-③得
3y+z= -22 x-y=16
y-z= y+3z=6-14
×
2.解方程组
x＋y－z＝11， ① y＋z－x＝5， ② ,则x＝_____， z＋x－y＝1. ③
y＝______，z＝_______. 【解析】通过观察未知数的系数，可采取① + ②求出y， ②+ ③求出z，最后再将y与z的值代 入任何一个方程求出x即可. 【答案】6 8 3
3.若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z的 值为（ ）
x+y+z=12， x=4y， x+2y+5z=22.
这个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数 的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方 程组叫做三元一次方程组.
如何解三元一次方程组呢？ x+y+z=12， x=4y， x+2y+5z=22.
是不是类似于解二元一次方程组先把三元化为二
元，再把二元化为一元呢？
勇士级别 ○ （5分）将帅级别 ○ （5分以上） 请同学们尽可能多的完成下面的几道题，可按自己的“口 味”自由选择，试试吧！ （1） x+y=3① ______ 方程组 y+z=4②若消去( )，可转化为 z+x=5③ ______ 最后解得 x = y= （2分） Z= （2）三元一次方程组 3x-y+2z=3 2x+y-3z=11 转化为二元一次方程组为 x+y+z=12 (3分) ____________ ＿＿＿＿＿
1元、2元、5元纸币的张数.
设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张
根据题意，可以得到下面三个方程： X+y+z=12 X=4y X+2y+5z=22
① ②
③ 观察方程①、③你能得出什么？ 都含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都 是1，像这样的方程叫做三元一次方程
这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我 们把这三个方程合在一起，写成
x＋y－z＝6， 解三元一次方程组
①
x－3y＋2z＝1， ② 3x＋2y－z＝4. ③
【答案】
51 z . 5
32 y , 5
11 x , 5
1.在方程5x－2y＋z＝3中，若x＝－1，y＝－2，
则z＝_______.
【解析】把x=-1,y=-2代入方程中，即可求出z的值. 【答案】4
a=3， 解这个方程组，得 b=-2.
a=3， 把 b=-2. 代入①，得 c=-5 ②－①， 得 a＋b=1 ④ a=3， ③－①，得 4a＋b=10 ⑤ 因此 b=-2， c=-5. ④与⑤组成二元一次方程组 a＋b=1， 4a＋b=10.
5.某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉 花和蔬菜，已知种植植物每公顷所需的劳动力人数及投入 的资金如下表：
【例】解三元一次方程组 3x＋4z=7， 2x＋3y＋z=9， 5x－9y＋7z=8. ① ② ③
分析：方程①中只含x,z,因此， 可以由②③消去y，得到一个只含
x，z的方程，与方程①组成一个二
元一次方程组.
3x＋4z=7， 2x＋3y＋z=9， 5x－9y＋7z=8.
① ② ③
解：②×3＋③ ，得 11x＋10z=35 ④ ①与④组成方程组 解这个方程组，得 3x＋4z=7， 11x＋ 10z=35. x=5， z=-2.
农作物品种 水稻 棉花 蔬菜
每公顷所需劳动力 4人 8人 5人
每公顷投入资金 1万元 1万元 2万元
已知农场计划投入67万元，应该怎样安排这三种作物的
种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的资金
正好够用？
解：设安排x公顷种水稻、y公顷种棉花、 z公顷种蔬菜。由题意得 x+y+z=51， 4x+8y+5z=300， x+y+2z=67.
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选D.通过观察未知数的系数，可采取两个方程 相加得，5x+5y+5z=25，所以x+y+z=5.
例2.在等式 y=ax2＋bx＋c中,当x=-1时,y=0;当x=2时
,y=3;当x=5时,y=60. 求a,b,c的值. 解：根据题意，得三元一次方程组 a－b＋c= 0， 4a＋2b＋c=3， 25a＋5b＋c=60. ① ② ③
小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共 计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍.求1
元、2元、5元纸币各多少张. 分析：（1）这个问题中包含有 三 个相等关系：
1元纸币张数＋2元纸币张数＋5元纸币张数＝12张， 1元纸币的张数＝2元纸币的张数的4倍， 1元的金额＋2元的金额＋5元的金额＝22元. （2）这个问题中包含有 三 个未知数:
*8.4Βιβλιοθήκη 三元一次方程组的解法1.经历探索三元一次方程组的解法的过程;
2.会解三元一次方程组; 3.能利用三元一次方程组解决简单的实际问题.
小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，
共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍.求
1元、2元、5元纸币各多少张.
问题中含有几个未知数？ 有几个相等关系？
解得：
x=15， y=20， z=16.
答：安排15公顷种水稻、20公顷种棉花、16公顷种蔬菜才 能使所有职工都有工作，而且投入的资金刚好够用。
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.三元一次方程组的解法 三元一次 方程组
消元
二元一次 方程组
消元
一元一 次方程
2.三元一次方程组的应用
速度就是一切，它是竞争不可或缺的因素。