韦达定理的两个推论

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韦达定理公式推导过程

韦达定理公式推导过程韦达定理是初等数学中的一项重要定理，它描述了三角形中的边长与角度之间的关系。

该定理可以通过余弦定理的推导得到。

余弦定理是描述了一个三角形中的任意一边的平方与另外两边的平方之和与该边对应的夹角的余弦的乘积之间的关系。

余弦定理可以表示为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)其中，a、b、c分别表示三角形的三边的长度，C表示夹角C的角度。

推导韦达定理的过程可以分为以下几步：1. 假设有一个三角形ABC，其中AB=c，AC=b，BC=a，且角度C对应的边为c，角度B对应的边为b，角度A对应的边为a。

2. 根据余弦定理，可以得到c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)。

3. 将余弦定理中的边长c替换为a+b，得到(a+b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)。

4. 展开并整理等式，得到a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + b^2 - 2ab *cos(C)。

5. 化简等式，得到2ab = -2ab * cos(C)。

6. 去除相同的项，得到1 = -cos(C)。

7. 由于角度C的余弦值在0到π之间，且cos(0) = 1，所以可以得到-C = 0。

8. 将-C = 0转化为C = π，即角度C等于180度。

通过上述的推导过程，可以得到韦达定理：在一个三角形中，如果两边的和等于第三边的长度，那么这个三角形是一个平面上的三角形，并且两边之和对应的夹角为180度。

韦达定理在几何问题的解决中经常被使用，例如在解决三边长度已知的三角形的角度问题时，可以利用韦达定理求解角度的大小。

这个定理在航海、建筑、机械等领域都有实际应用，对于几何学的学习和理解都具有重要的作用。

参考文献：1. 《高中数学》，人教版，教材。

2. 《数学公式与定理手册》，吴文瑞主编，中国铁道出版社。

3. 《高等数学》，同济大学数学系编，高等教育出版社。

韦达定理推论

韦达定理推论：发现三角形隐藏的规律韦达定理是初中数学中重要的一条定理，它给出了三角形中各条中线长度之间的关系。

而在应用韦达定理解题时，我们还可以进一步发现三角形隐藏的规律，从而更加深入地理解这个定理。

首先，我们知道韦达定理可以表述为：在三角形ABC中，设D、E、F为BC、AC、AB的中点，则有AD、BE、CF三条中线的长度满足以下关系：AD:BE:CF=2:2:2，即AD=BE=CF=1/2BC。

这意味着对于任意三角形，其三条中线长度之间都存在着这样的比例关系。

进一步探究时，我们可以发现，在三角形中，与韦达定理有关的这三条线段还与一些其他线段构成了一些特殊的几何形状。

例如，三角形的垂心H与三角形的三个顶点A、B、C组成的三条高分别与三条中线有交点，而这些交点的连线构成了一个心形。

在心形中，三条中线分别对应连接心形中心O和心形上三角形三个顶点的线段，同时也是心形中心O到三个顶点的距离的一半。

因此，我们不难得出，心形的上底长等于三角形中线的长度，而下底长则等于三角形边长的一半。

这些关系可以用数学公式表示为：心形上底 AD = 1/2 BC心形下底 HE = 1/2 (AB + BC + AC)心形周长 = AB + AC + BC此外，在三角形中还存在着许多与中线有关的几何形状，如垂心三角形、中心三角形等等。

这些形状不仅有助于我们更好地理解韦达定理，还可以拓展我们的数学思维。

总之，探究韦达定理推论可以帮助我们更好地理解三角形的几何性质，进一步掌握数学知识。

建议广大中学生在学习韦达定理时，多花些时间去思考其中隐藏的规律和几何形状，以便更好地应用到实际解题中。

韦达定理公式是什么样的

韦达定理公式是什么样的
韦达定理：两根之和等于-b/a，两根之差等于c/a.
x1*x2=c/a，
x1+x2=-b/a。
韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。
法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出了这条定理。由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理。
韦达定理公式运用
一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0且△=b^2-4ac>0）中，设两个根为x1，x2则X1+X2=-b/a、X1·X2=c/a、1/X1+1/X2=（X1+X2）/X1·X2
用韦达定理判断方程的根一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）中，
若b²-4ac<0则方程没有实数根，
最好将每天学习数学的时间分出一部分来专门练习选择题和填空题熟能生巧经过长时间的锻炼就会提高你的思考能力和计算速度通过练习你会发现大多数选择题除了固定的解题方法外还可以利用排除法代入法以及数形结合的方法来快速判断出答案
韦达定理公式是什么样的
数学中解一元二次方程我们常说韦达定理，那么韦达定理公式是什么样的呢？快来和小编一起看看吧。下面是由小编为大家整理的“韦达定理公式是什么样
很多学生学习数学时不懂得变通，对于老师上课讲的解题方法不会进行深入研究，而是照搬照挪。虽然题是做了，但是下一次遇到还是不会，这些方法或许是延续了你在小学或者初中生学习数学的方法，但是高中数学更多的是考验同学们的独立思考能力。这就要求同学们要对老师讲的方法进行归纳总结，取其精髓，懂得变通，要学会举一反三，自己多尝试摸索出其他的解题方法。
不要小看选择题和填空题

韦达定理两根之积

韦达定理两根之积
17世纪，著名的数学家韦达（Gottfried Wilhelm Leibniz）提出了一个重要的数学理论，称为“韦达定理”。

韦达定理规定，两个正数的乘积等于它们的平方和减去它们的差的平方，即：
(a×b)=(a+b)2(ab)2，其中a和b分别为正数。

韦达定理两根之积是一个重要的数学定理，它有着深远的影响，对我们日常的生活也有重要的意义。

例如，当我们需要解决几何问题时，就可以使用韦达定理，这将大大方便了我们的计算。

除此之外，韦达定理也被广泛应用在计算机科学中，例如，当我们用计算机来求两个正数的乘积时，就可以使用韦达定理，将其转换为求“a+b”和“a-b”的平方，从而更快地求得结果。

此外，韦达定理也被用于哲学和哲学理论推论上。

韦达认为，一切都是有原因的，即每个结果都是可以追溯到其原因的，它也因此成为了哲学学术研究的基础。

其实，韦达定理两根之积并不仅仅只有这些用处，尤其是对于科学家和数学家来说，韦达定理可以用于揭示许多数学问题的物理本质，他们可以用韦达定理解释许多复杂的计算问题，甚至可以解释宇宙的运行规律。

总之，韦达定理两根之积是一个重要的数学定理，它在数学、计算机科学、哲学、物理等领域都有着广泛的应用。

它帮助我们解决许多复杂的数学问题，也能用于揭示许多数学问题的物理本质，从而为我们在数学思维上提供了一种新的视角。

韦达定理公式推导方法三种

韦达定理公式推导方法三种
：
（一）基本定理法 1. 令S(x,y)为满足条件的集合，即存在x，y使得S(x,y)=0； 2. 把所有的变量放入函数中，并把变量用未知量表示，如a1,a2,…an； 3. 用韦达定理将函数分解成n个部分，如S1，S2，…Sn； 4. 将每个部分作为一个式子，并逐步求解，从而得到韦达定理公式。

（二）特例定理法 1. 首先选取一个特例，使得变量满足某些条件； 2. 根据特例，将原函数的多项式化为n 项式，并用不等式的形式表示； 3. 将n项式的不等式进行求解，得到韦达定理的推导公式。

（三）图像定理法 1. 根据函数的定义，绘制函数的图像，并确定其所有极值点； 2. 在极值点处，将函数的多项式分解为n项式，并将其表示为不等式； 3. 将n项式的不等式进行求解，得到韦达定理的推导公式。

韦达定理——精选推荐

韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。

法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。

历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。

韦达定理在方程论中有着广泛的应用。

韦达定理介绍韦达定理英文名称：Viete theorem韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。

这里讲一元二次方程两根之间的关系。

一元二次方程aX^2+bX+C=0﹙a≠0﹚中，两根X1,X2有如下关系：X1+ X2=-b/a，X1·X2=c/a.韦达简介韦达他1540年生于法国的普瓦图。

1603年12月13日卒于巴黎。

年轻时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。

韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。

韦达在欧洲被尊称为“现代数学之父”。

韦达最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展。

韦达用“分析”这个词来概括当时代数的内容和方法。

他创设了大量的代数符号，用字母代替未知数，系统阐述并改良了三、四次方程的解法，指出了根与系数之间的关系。

给出三次方程不可约情形的三角解法。

著有《分析方法入门》、《论方程的识别与订正》等多部著作。

韦达从事数学研究只是出于爱好，然而他却完成了代数和三角学方面的巨著。

他的《应用于三角形的数学定律》（1579年）是韦达最早的数学专著之一，可能是西欧第一部论述6种三角形函数解平面和球面三角形方法的系统著作。

他被称为现代代数符号之父。

韦达还专门写了一篇论文"截角术"，初步讨论了正弦，余弦，正切弦的一般公式，首次把代数变换应用到三角学中。

他考虑含有倍角的方程，具体给出了将COS(nx)表示成COS(x)的函数并给出当n≤11等于任意正整数的倍角表达式了。

看看学霸推导韦达定理过程知道差距了吧

看看学霸推导韦达定理过程知道差距了吧
我们在初中学习⼀元⼆次⽅程，接触到韦达定理，通过推导进⼀步说明了⼀元⼆次⽅程中根和
系数之间的关系。

换句话说，⼀元⼆次⽅程ax²+bx+c=0（a≠0）的根由⽅程的系数a、b、c⽽定。

前提是这个⼀元⼆次⽅程有根存在的情况下，即b²-4ac≥0.
对此，我们的学霸给出两种推导韦达定理。

看看这些推导过程，有助于牢牢记住韦达定理。

收
藏起来，给学渣们看看。

根据求根公式推导韦达定理
根据因式分解推导韦达定理
学习数学，不能死记硬背公式定理，还要掌握公式的前世今⽣，推导过程。

更重要的实际应
⽤，这样做可以把知识连贯起来。

⽽且对记忆公式有很⼤帮助。

两种方法证明韦达定理

两种方法证明韦达定理韦达定理是代数学中的一个重要定理，主要描述了一元二次方程的根与系数之间的关系。

本文将详细介绍两种证明韦达定理的方法，帮助读者深入理解这一数学原理。

方法一：利用一元二次方程的求根公式证明首先，我们有一元二次方程：[ ax^2 + bx + c = 0 ]其求根公式为：[ x_{1,2} = frac{-b pm sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]根据求根公式，我们可以得到方程的两个根：[ x_1 = frac{-b + sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ][ x_2 = frac{-b - sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]将两个根相加，得到：[ x_1 + x_2 = frac{-b + sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} + frac{-b - sqrt{b^2 -4ac}}{2a} ][ x_1 + x_2 = frac{-2b}{2a} = -frac{b}{a} ]将两个根相乘，得到：[ x_1 cdot x_2 = left(frac{-b + sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}ight) cdot left(frac{-b - sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}ight) ][ x_1 cdot x_2 = frac{(-b)^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = frac{b^2 - b^2 +4ac}{4a^2} = frac{4ac}{4a^2} = frac{c}{a} ]因此，我们证明了韦达定理：对于一元二次方程( ax^2 + bx + c = 0 )，其两个根( x_1 ) 和( x_2 ) 满足( x_1 + x_2 = -frac{b}{a} ) 和( x_1 cdot x_2 = frac{c}{a} )。

方法二：利用因式分解证明对于一元二次方程( ax^2 + bx + c = 0 )，我们可以将其因式分解为：[ ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) ]其中( x_1 ) 和( x_2 ) 分别为方程的两个根。

巧用韦达定理的推论

巧用韦达定理的推论韦达定理揭示了一元二次方程的两根之和、之积与系数的关系，然而在学习中，我们经常还会遇到两根之差、之比、平方和等问题，如果能将它们与系数建立起来关系，直接用这种关系来解题，岂不妙哉？下面是韦达定理的三个推论，它会给大家带来惊喜．推论一设x1、x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实根，则。

推论二设x1、x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(ac≠0)的两个实根，令,则。

推论三设x1、x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实根，则。

利用上述推论来解题，显得简捷、明快、直观，对提高同学们的解题能力很有帮助，下面举例说明它们的应用．一、求值例1 已知x1、x2为方程2x2＋2x－1＝0的二根，则|x1－x2|的值为____解:由推论一，得：|x1－x2|=例2 设x1、x2是方程x2＋6x＋q＝0的两根，且3x1＋2x2＝0，则q＝____．解:由3x 1＋2x 2＝0，得。

由推论二，得： ∴q ＝－216．例3 已知关于x 的方程x 2－(k ＋1)x ＋k ＋2＝0的两实根的平方和等于6，求k 的值．解设方程x 2－(k ＋1)x ＋k ＋2＝0的两根为x 1、x 2，∴，由题意知k 2－3＝6，∴k 2＝9，k ＝±3．由于当k ＝3时，原方程无实根，∴k ＝3应舍去．故k 的值为－3．二、求系数间的关系例4 如果方程x 2＋px ＋q ＝0的一根为另一根的2倍，那么p ，q 所满足的关系式是____．解：因为，由推论二得，即。

例5 方程x 2＋px ＋q ＝0的两根之差与x 2＋qx ＋p ＝0的两根之差相等，则p ，q 的关系式是____． (A)p ＝q ； (B)p ＋q ＝－4； (C)p ＝q 或p ＋q ＝－4； (D)无关．解设方程x 2+px+q=0的两根为α，β，方程x 2+qx+p=0的两根为α′，β′，则，。

韦达定理两根之积

韦达定理两根之积
韦达定理是一个关于几何学的定理，它是18世纪著名的法国数学家韦达提出的，它宣称：如果一个矩形的面积是等于它的两条边的乘积，那么它必定是正方形。

韦达定理可以用矩阵表示，表达如下：
长（a)×宽（b) = a * b = (a+b) * (a-b)
这就是韦达定理提出的矩形正方形的三角形推论，它证明了两个矩形的面积等于两个基边之积。

接下来，我们来看看韦达定理的证明：
我们假设一个矩形的长（a)和宽（b)之积等于它们的和（a+b）乘以它们的差（a-b）（即a*b=(a+b)*(a-b)），那么这个矩形的面积就是：
S=a*b=(a+b)*(a-b)
再给S一个公式的形式：
S=[(a+b)/2] **2
我们将a和b分别换成形如x+y和x-y的形式，那么上式就可以写成：
S【(x+y/2) **2】
接下来，我们将S展开：
S=(x+y/2) **2=(x+y)**2/4
根据上式，我们可以得出结果：
S=(x+y)**2/4=(x+y)**2/2=(x+y)**2/2=x*y
根据上式，我们可以得出最终的结论：
矩形的面积等于两根基边之积。

经过上述证明，我们可以得出结论：
韦达定理成立！
由于韦达定理的作用，它被广泛地应用在几何学的计算中。

例如，在矩形结构中，我们可以使用韦达定理来确定一个点到另一个点的距离或者计算长方形面积，只要知道两个基边之积即可。

此外，韦达定理也被用在数学建模中，可以用来解决大量的几何问题，比如求解正多边形的边，求解抛物线方程等等。

总之，韦达定理两根之积是一个重要的数学定理，它对几何学和数学建模都有着重要的作用，受到了众多数学家的重视。

韦达定理的推导

韦达定理的推导韦达定理（WrightTheorem）是一个重要的概念，它被经常用来描述经济学中的结果，同样也有其他的应用场景。

让我们今天来看看它的推导。

首先，要理解韦达定理，必须先弄清楚它的定义。

韦达定理是一个经济学定理，它告诉我们，如果一个经济体中有两个或更多的价值观，那么他们在一定条件下会产生相互竞争。

例如，如果一个经济体中有两家公司，两家公司都要求市场价格的报价，那么这两家公司就会以一种竞争性的方式来调整自己的价格，以最大程度地赚取利润。

接着，我们来看看韦达定理的公式：韦达定理的实际的公式是：E(P) E(q) = (1 + r) (P q)，其中，E(P)代表价格做出报价的成本，E(q)代表价格报价被接受的利润，r代表再投资率，P代表市场价格报价，q代表市场价格接受价格。

为了更好地理解这个公式，我们来推导一下其中的概念，以及它们之间的关系。

首先，我们来看看E(P)与E(q)之间的关系，E(P)代表价格做出报价的成本，因此，E(P)应该小于E(q)，这也就是说，假设报价被接受，则报价者应该获取一定的利润，而不是亏损。

接着，我们来看看P与q之间的关系。

P代表市场价格报价，而q代表市场价格接受价格。

因此，如果报价被接受，那么P应该大于q，这也就是说，如果报价被接受，则报价者应该可以赚取一定的利润。

接下来，我们来看看r的含义，r代表再投资率，它可以在一定程度上反映出价格报价者所能获得的利润。

如果价格报价者可以获得较高的利润，则r值将增加，反之亦然。

最后，我们综合E(P) E(q)、P q、r之间的关系，可以得出韦达定理的实际公式：E(P) E(q) = (1 + r) (P q)。

总结看，韦达定理告诉我们，在一定条件下，有两个或更多价值观的经济体，价格报价者能够获得一定的利润，同时再投资率也会影响利润的收益。

因此，通过韦达定理，可以对经济体中的各种价值观以及竞争价格之间的关系有更深入的认识。

一元二次方程的根与系数关系的应用

课题：一元二次方程的根与系数关系的应用一、复习导入：上节课我们学习了一元二次方程的根与系数的关系（也就是韦达定理），具体内容如下：如果方程那么、的两个实数根是,)0(0212x x a c bx ax ≠=++ac x x a b x x =-=+2121, 另外我们还研究了韦达定理的逆定理,内容如下：如果实数21x x 、满足ac x x a b x x =-=+2121,，那么21x x 、是一元二次方程 02=++c bx ax 的两个根.最后我们研究了韦达定理的两个重要推论，内容如下：推论1：如果方程02=++q px x 的两个根是21x x 、，那么.,2121q x x p x x =-=+推论2：以两个数21x x 、为根的一元二次方程（二次项系数为1）是.0)(21212=++-x x x x x x今天我继续来研究一元二次方程的根与系数关系的应用二、讲授新课：一元二次方程的根与系数关系的应用应用1：验根，不解方程，利用韦达定理可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根例题1：不解方程，检验下列方程的解是否正确. 方程13,130232212-=+==+-x x x x 的两根为. 解：()()()2131313,3213)13(2121=-=-+==-++=+x x x x 满足21,x x ac x x a b x x =-=+2121, 13,1321-=+=∴x x 是方程的根02322=+-x x .应用2：由已知方程的一个根，求出另一个根及未知系数.例题2：已知方程01022=-+kx x 的一个根是2-.则=k ，它的另一根为 .解法一：是方程2- 01022=-+kx x 的根，()(),010222-2=--+⨯•∴k 代人原方程得把1.1-=-=∴k k 01022=-+kx x ，解得另一根为25.（传统方法）解法二：设方程的另一根为1x ，则,521-=-x ∴.251=x 又(),2252k -=+- ∴1-25.1的值是，故方程的另一根是k k -=（韦达定理应用）应用3：不解方程，可以利用韦达定理求关于21x x 、的（非）对称式的值. 如：2121122121222111,,,11,x x x x x x x x x x x x --+++等等这类为对称式，而2121231,3x x x x x +++等等这类为非对称式.注意：如果把含21x x 、的代数式中的21x x 、互换，代数式不变，那么，我们就称这类代数式为关于21x x 、的对称式，否则称为非对称式.例题3：已知21x x 、是方程21122036x x x x x x +=++的两实数根，则的值为 212124x x x -+的值为解：⑴ 21x x 、是方程的两个根，0362=++x x ∴3,62121=-=+x x x x ∴()()10363633262221212212121222112=-=⨯--=-+=+=+x x x x x x x x x x x x x x ⑵ 1x 是方程的根，0362=++x x ∴036121=++x x ，即36121--=x x ∴212124x x x -+=()93232224362121211=-+-=---=-+--x x x x x x x 应用4：已知方程的两根，求这个一元二次方程. 例题4：求一个一元二次方程，使它的两根是：21,321-==x x 解： 21,321-==x x ∴23,252121-==+x x x x ∴该方程可以是023252=--x x ，可化为03522=--x x 应用5：已知两数的和与积，求这两个数.例题：已知的值求满足b a ab b a b a ,,3,2,-=-=+解： 3,2-=-=+ab b a ，∴的两根可以看作方程032,2=-+x x b a ∴方程0322=-+x x 可化为()()013=-+x x ，∴3,11,3-===-=b a b a 或应用6：已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母系数的值.例题6：已知方程()042222=++-+m x m x 有两个实根且它们的平方和比它们的积大21，求m 的值.解：设方程的两根为21x x 、，∴()4,2222121+=--=+m x x m x x又 21212221=-+x x x x ，∴()21321221=-+x x x x ∴()[]()21432222=+---m m ，整理得017162=--m m ，∴1,1721-==m m 当17=m 时，0<∆，原方程无实根.当1-=m 时，0>∆，原方程有两个不相等的实根. ∴1-=m应用7：证明方程系数之间的特殊关系例题7：设方程02=++q px x 的两根之差等于方程02=++p qx x 的两根之差，求证：4-=+=q p q p 或证明：设方程02=++q px x 的两根为21x x 、，02=++p qx x 的两根为43x x 、由题意知4321x x x x -=-，故有24432322212122x x x x x x x x +-=+-从而有()()432432122144x x x x x x x x -+=-+① 根据韦达定理，有p x x q x x q x x p x x =-=+=-=+43432121,,,②把②带入①，有p q q p 4422-=-，即04422=-+-q p q p即()()()04=-+-+q p q p q p ，即()()04=++-q p q p故040=++=-q p q p 或，即4-=+=q p q p 或应用8：解决其它问题，如讨论根的范围，判定三角形的形状等例题8：已知c b a ,,是ABC ∆的三边，关于x 的一元二次方程()x b a x 22++ -0222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+a c b a 的两根之和与两根之积相等，判定三角形的形状解：设方程的两根为21x x 、，根据题意知2121x x x x =+①根据韦达定理，有()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=+a c b a x x b a x x 22,221221②把②带入①，有()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-a c b a b a 2222，即222c b a =+，故是直角三角形应用9：根的分布问题利用根的判别式和根与系数的关系，可进一步确定根的分布问题，这也是中考命题的热点，现总结规律如下：对于一元二次方程212,),0(0x x a c bx ax 设其两根为≠=++⑴方程有实数根：0≥∆；⑵方程无实数根：0<∆⑶方程有两个相等实数根：0=∆；⑷方程有两个不相等实数根：0>∆ ⑸方程有两个正实数根：0,0,02121>>+≥∆x x x x⑹方程有两个负实数根：0,0,02121><+≥∆x x x x⑺方程有一正一负实数根：0,021<>∆x x⑻方程有一正一负实数根且正根的绝对值大：0,0,02121<>+>∆x x x x ⑼方程有一正一负实数根且负根的绝对值大：0,0,02121<<+>∆x x x x ⑽方程仅有一正实数根：0,002121=>+<c x x x x 或⑾方程仅有一负实数根：0,002121=<+<c x x x x 或⑿方程有一根为0：0=c ；⒀方程有两根都为0：0==c b⒁方程仅有一根为0：0,0=≠c b⒂方程两根互为相反数：0,021≤=x x b ；⒃两根互为倒数：1,021=≥∆x x ⒄两根互为负倒数：1,021-=>∆x x ；⒅一根大于m ，一根小于m （m 为实数）：()()0,021<-->∆m x m x ⒆两根都大于m ：()()()()0,0,02121>-->-+-≥∆m x m x m x m x ⒇两根都小于m ：()()()()0,0,02121>--<-+-≥∆m x m x m x m x 例题9：已知关于x 的两个方程()04422=-+++m x m x ①与()0322=-+-+m x n mx ②，方程①有两个不相等的负实数根，方程②有两个实数根.求证方程②两根符号相同解：方程()04422=-+++m x m x 有两个不相等的负实数根，设这两个负实数根分别为21,x x ，0,0,02121><+>∆∴x x x x即()()024,024,04842>-<+->-⨯-+m m m m ，解不等式组得4>m ，由方程②有两个实数根，可知0≠m ，∴当4>m 时，03>-mm ，即方程②两根之积为正，所以方程②两根符号相同.三、总结归纳：通过这节课我们不仅把上节课韦达定理的内容复习了一下，另外我们又重点研究了韦达定理的应用，相信在座的每一位都印象深刻，相信未来遇到类似的题型大家都能迎刃解决，相信我们的合作会越来越好。

韦达定理全部公式

韦达定理全部公式韦达定理是数学中的一个重要定理，它描述了一个向量空间中的两个子空间的维度和它们的交集的维度之和等于它们的直和的维度。

这个定理可以用一些公式来表示和证明。

我们来定义一些基本的概念。

在一个向量空间中，子空间是指一个向量的集合，它满足加法和数乘运算的封闭性。

一个向量空间可以由多个子空间组成，而这些子空间的维度和交集的维度之和等于整个空间的维度。

现在，假设我们有一个向量空间V，它由两个子空间U和W组成。

我们可以用如下公式来表示韦达定理：dim(U) + dim(W) = dim(U ∩ W) + dim(U + W)其中，dim(A)表示子空间A的维度，U ∩ W表示U和W的交集，U + W表示U和W的直和。

这个公式的意义是，两个子空间的维度和等于它们的交集的维度和它们的直和的维度。

换句话说，如果我们知道了两个子空间的维度和它们的交集的维度，我们就可以推算出它们的直和的维度。

韦达定理可以用于解决一些向量空间的问题。

例如，我们可以利用韦达定理来证明两个子空间的直和的维度等于它们的维度之和。

也可以利用韦达定理来判断两个子空间是否为直和。

如果两个子空间的维度和等于它们的直和的维度，那么它们就是直和。

除了上述的基本公式外，韦达定理还有一些其他的形式和推论。

例如，我们可以将韦达定理推广到多个子空间的情况下。

假设我们有n个子空间U1、U2、...、Un，那么韦达定理可以表示为：dim(U1 + U2 + ... + Un) = dim(U1) + dim(U2) + ... + dim(Un) - dim(U1 ∩ U2) - dim(U1 ∩ U3) - ... - dim(Un-1 ∩ Un) + ... + (-1)^(n-1)dim(U1 ∩ U2 ∩ ... ∩ Un)这个公式描述了n个子空间的直和的维度和它们的维度之间的关系。

它通过加减相应的交集的维度来计算直和的维度。

韦达定理是一个重要的数学定理，它描述了向量空间中的子空间的维度和它们的交集的维度之和等于它们的直和的维度。

韦达定理公式推导

韦达定理公式推导韦达定理是数学中的一项重要定理，它与向量和叉乘有关。

下面将对韦达定理的公式进行推导，以便更好地理解它的应用。

设在三维笛卡尔坐标系中，有三个向量A、B和C，分别表示三边的长度，我们要证明以下等式成立：|A × B|^2 = |A|^2|B|^2 - (A · B)^2我们利用叉乘的定义，计算向量A与向量B的叉积:A ×B = |A||B|sinθn|A|和|B|分别表示向量A和向量B的长度，θ表示两个向量之间的夹角，n表示垂直于A和B所在平面的单位法向量。

接下来，我们计算叉积的模长的平方，即|A × B|^2：|A × B|^2 = (|A||B|sinθn) · (|A||B|sinθn)根据向量叉乘的性质，我们可以得到：|A × B|^2 = (|A||B|sinθ)^2(n · n)由于单位法向量n的模长为1，即n · n = 1，所以公式可以进一步化简为：|A × B|^2 = (|A||B|sinθ)^2接下来，我们将继续化简右侧的表达式。

根据向量点乘的定义，我们有：A ·B = |A||B|cosθ将其代入之前的公式中，我们得到：|A × B|^2 = (|A||B|sinθ)^2 = |A|^2|B|^2sin^2θ = |A|^2|B|^2(1 - cos^2θ)利用三角恒等式sin^2θ + cos^2θ = 1，我们可以进一步化简得：|A × B|^2 = |A|^2|B|^2 - |A|^2|B|^2c os^2θ = |A|^2|B|^2 - (A · B)^2至此，我们成功推导出了韦达定理的公式。

该公式可以用来计算向量叉积的模长，从而在许多几何问题中得到广泛应用。

【机构适用;新人教版九年级上学期】韦达定理及一元二次方程的应用

一、韦达定理[准备知识回顾]：1、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式为)04(2422≥--±-=ac b aac b b x 。

2、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式为：ac b 42-=∆（1）当b 2-4ac>0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）•有两个不相等实数根即x 1=242b b aca-+-，x 2=242b b ac a---．（2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等实数根即x 1=x 2=2b a-．（3）当b 2-4ac<0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）没有实数根．反之：方程有两个不相等的实数根，则；方程有两个相等的实数根，则；方程没有实数根，则。

[韦达定理相关知识]如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21,x x ，那么a b x x -=+21,acx x =21．➢ 韦达定理的逆定理：如果实数21,x x 满足acx x a b x x =-=+2121，，那么21,x x 是一元二次方程02=++c bx ax 的两个根．利用韦达定理的逆定理，可以比较简捷地检验解一元二次方程所得结果是否正确． ➢ 韦达定理的两个重要推论：推论1：如果方程02=++q px x 的两个根是21,x x ，那么p x x -=+21，q x x =21．推论2：以两个数21,x x 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是0)(21212=++-x x x x x x ．知识重难点梳理韦达定理及一元二次方程的应用➢ 一元二次方程的根与系数的关系的应用：(1)验根，不解方程，利用韦达定理可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根． (2)由已知方程的一个根，求出另一个根及未知系数．(3)不解方程，可以利用韦达定理求关于21,x x 的对称式的值，如,2221x x +,1121x x +221212,x x x x +2112121211,,x x x x x x x x ---等等．说明：如果把含21,x x 的代数式中21,x x 互换，代数式不变，那么，我们就称这类代数式为关于21,x x 的对称式．(4)已知方程的两根，求作这个一元二次方程． (5)已知两数的和与积，求这两个数．(6)已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母系数的值． (7)证明方程系数之间的特殊关系．(8)解决其它问题，如讨论根的范围，判定三角形的形状等．根的符号的讨论：利用韦达定理，还可进一步讨论根的符号，设一元二次方程02=++c bx ax )0(≠a 的两根为21,x x ，则：(1)当0,021>≥∆x x 且时，两根同号．①当0,0,02121>+>≥∆x x x x 且时，两根同为正数； ②当0,0,02121<+>≥∆x x x x 且时，两根同为负数． (2)当0,021<>∆x x 且时，两根异号．①当0,0,02121>+<>∆x x x x 且时，两根异号且正根的绝对值较大； ②当0,0,02121<+<>∆x x x x 且时，两根异号且负根的绝对值较大．题型一：由已知方程的一个根，求出另一个根及未知系数． 1、已知方程5x 2+kx-6=0 有一个根为2，求另一个根和k 的值变式训练1．已知方程02)1(32=+--x k x 的一个根是1，则另一个根是，=k 。

韦达定理所有公式

韦达定理所有公式韦达定理是解决三角形中任意三边与其对应的角之间的关系的重要定理。

在本文档中，我们将讨论韦达定理的各种公式及其应用。

一、韦达定理的基本形式韦达定理的一个基本形式是：在一个三角形ABC中，设边长分别为a、b、c，对应的角为A、B、C，则有以下公式成立：1. a² = b² + c² - 2bc·cosA2. b² = a² + c² - 2ac·cosB3. c² = a² + b² - 2ab·cosC这三个公式是韦达定理的基本形式，可以用来计算三角形中的任意一边的长度。

二、角的余弦定理韦达定理还可以通过角的余弦定理进行推导。

角的余弦定理是说，在一个三角形ABC中，设边长分别为a、b、c，对应的角为A、B、C，则有以下公式成立：1. cosA = (b² + c² - a²) / (2bc)2. cosB = (a² + c² - b²) / (2ac)3. cosC = (a² + b² - c²) / (2ab)将上述公式代入韦达定理的基本形式，可以得到：1. a² = b² + c² - 2bc·[(b² + c² - a²) / (2bc)]2. b² = a² + c² - 2ac·[(a² + c² - b²) / (2ac)]3. c² = a² + b² - 2ab·[(a² + b² - c²) / (2ab)]经过简化，得到了韦达定理的基本形式。

三、韦达定理的特殊情况1. 直角三角形在一个直角三角形ABC中，设边长分别为a、b、c，对应的角为A、B、C，其中角C为直角，则有以下公式成立：1. a² = b² + c²2. b² = a² + c²3. c² = a² + b²这是因为在直角三角形中，余弦函数的值为0，所以角的余弦定理可以简化为上述形式。

三次韦达定理公式推论

三次韦达定理公式推论韦达定理在数学中可是个相当重要的知识点呢！咱们今天就来好好聊聊韦达定理公式的三次推论。

先来说说啥是韦达定理。

对于一元二次方程 ax² + bx + c = 0（a≠0），如果它有两个根 x₁和 x₂，那么就有 x₁ + x₂ = -b/a，x₁x₂ = c/a。

那这韦达定理的三次推论是啥呢？推论一：若一元二次方程 ax² + bx + c = 0（a≠0）的两根为 x₁和x₂，那么以 x₁²和 x₂²为根的一元二次方程是 a²x² - (b² - 2ac)x + c² =0 。

咱们来证明一下哈。

因为 x₁ + x₂ = -b/a，x₁x₂ = c/a 。

所以 x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = (b² - 2ac)/a²，x₁²x₂² = (x₁x₂)² = c²/a²。

咱就说，有一次我给学生们讲这个推论的时候，有个小家伙一脸懵地问我：“老师，这到底有啥用啊？”我就笑着跟他说：“别急呀，等会儿做题你就知道它的厉害了！”结果做练习题的时候，刚好就有一道要用这个推论的题，这小家伙一下子就做出来了，那兴奋劲儿，别提了！推论二：若一元二次方程 ax² + bx + c = 0（a≠0）的两根为 x₁和x₂，且 m 为常数，则以 mx₁和 mx₂为根的一元二次方程是 a/m x² +b/m x + c/m = 0 。

这个推论的证明也不难。

mx₁ + mx₂ = m(x₁ + x₂) = -bm/a ，mx₁ · mx₂ = m²x₁x₂ = m²c/a 。

记得有一回考试，就出了一道要用这个推论的填空题，好多同学都没做对，后来我在讲试卷的时候，着重强调了这个推论，让大家一定要记住，下次可别再错啦！推论三：若一元二次方程 ax² + bx + c = 0（a≠0）的两根为 x₁和x₂，且 k 为非零常数，则以 x₁ + k 和 x₂ + k 为根的一元二次方程是ax² + (b - 2ak)x + (c + k(b - ak)) = 0 。

韦达定理的多种证明方法

韦达定理的多种证明方法嘿，朋友们！今天咱们来聊聊数学里超有趣的韦达定理，而且我还要给你们讲讲它的多种证明方法呢！咱们先来说说啥是韦达定理哈。

简单来说，就是在一元二次方程里，两根之和等于负的 b/a，两根之积等于 c/a。

是不是有点晕？别急，咱们马上来看证明方法。

第一种方法呢，咱们就从方程的根入手。

假设方程ax² + bx + c = 0 的两个根是 x1 和 x2，那这个方程可以写成 a(x x1)(x x2) = 0 。

把它展开，得到ax² a(x1 + x2)x + ax1x2 = 0。

和原来的方程一对比，是不是就能轻松得出韦达定理啦？再有一种方法，咱们用求根公式。

x1 = [b + √(b² 4ac)] / (2a) ，x2 = [b √(b² 4ac)] / (2a) 。

把这两个根相加相乘，经过一通噼里啪啦的计算，嘿，韦达定理就出来啦！还有一种特别巧妙的方法，咱们假设方程的根是 m 和 n ，那方程就是x² (m + n)x + mn = 0 。

和原来的方程ax² + bx + c = 0 对比一下系数，是不是也能得出韦达定理呀？怎么样，朋友们，是不是觉得韦达定理的证明方法还挺好玩的？其实数学里好多东西都是这样，看起来难，只要咱们多琢磨琢磨，多找找方法，就能轻松搞定！别觉得数学枯燥，每一个定理、每一个公式背后都藏着好多有趣的故事和巧妙的思路呢。

就像韦达定理，多种证明方法就像是打开它的不同钥匙，每一把都能让我们走进数学的奇妙世界。

所以呀，以后再遇到数学难题，别害怕，咱们一起开动脑筋，说不定就能发现新的乐趣和惊喜呢！好啦，今天关于韦达定理的证明方法就聊到这儿，咱们下次再见！。

韦达定理的两个推论

以两个数x1x2为根的一元二次方程二次项系数为1是212120xxxxxx???关于x的方程x2pxq0pq为已知常数p24q0?则x1x2px1x2q?px1x2qx1x2?以x1和x2为根的一元二次方程是x2x1x2xx1x20范例例求一个一元二次方程使它的两个133?根分别是
韦达定理的两个推论
x ( x1 x2 ) x x1 x2 0
2
x 5x 7 0
2
的两个根大3。
反馈
3、两数的和为- 5，积为- 6，求这两个数。
小结
一元二次方程根与系数关系定理 (特殊形式) 如果方程的两根是x1、x2，那么
x px q 0
2
x1 x2 p,
x1 x2 q
小结
已知两根求一元二次方程的方法：以两个数x1、x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是

范例例求一个一元二次方程，使它的两个
1 1 根分别是 3 、 2 。 2 3
练习
1、已知方程
2 x 3x 1 0
2
利用根与系数关系求作一个新方程，使它的两根分别是原方程两根的倒数。
范例
例已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数。
反馈
2、不解方程，求作一个方程，使它的两根分别比已知方程
填空
1. 2. 3. 4. 5. 方程 x2-2x=0 x2+3x-4=0 x2-5x+6=0 x2+2x-48=0 x2+5x-24=0 x1 0 x2 2 x1+x2 x1x2 2 0
1
2 -8 -8
-4
3 6 3
-3
5 -2 -5
-4

韦达定理两根之积

韦达定理两根之积韦达定理，又被称为“韦达积分定理”或“李雅-韦达定理”，是19世纪法国数学家阿尔弗雷德韦达提出的一项重要定理，许多学者认为它是一个桥梁，把数学古典与现代联系在一起。

韦达定理最初用来证明多元实变函数的整体积分可以由局部分割来计算。

这个定理是多项式函数理论的基础和发展的基础，当然，它也对微积分学有着重要的意义。

韦达定理描述了实变函数的不变性。

它认为，一个实变函数f(x)在一个范围内多次分割，积分和其一次全局积分的值相等。

这是它的一般形式：若f(x)是区间[a, b]上连续可微的函数，那么，∫f(x)dx =[a, b]f(x)dx，且∫f(x)dx的值不变。

也就是说，可以将一个实变函数在[a,b]内任意分割，然后将多段函数的积分相加，最后得到的值等于全局积分的值，即f(x)在[a,b]内的积分结果不变。

韦达定理可以证明以下两个重要的定理：1.定积分定理：在一个有限范围[a,b]中，若实变函数f(x)在[a,b]上连续可微，则∫[a,b]f(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x)的一阶导数；2.变步长积分定理：若实变函数f(x)在[a,b]上连续可微，则∫[a,b]f(x)dx = limh→0∑i=1Nf(xi)h(xi+1xi)，其中N是变步长h 的次数，xi+1=xi+h，h是变步长。

韦达定理的数学实质就是把定分、变步长积分的定理推广到多个有界的区间，极大地拓展了实变函数积分的范围，从而使函数更容易求解。

除此之外，它还可以用来解决实变函数积分问题，以及提供更多复杂函数的求解方法。

关于韦达定理的证明和运用，在数学史上得到了国际公认的成就。

从古至今，学者们一直努力改进它，使用它来解决越来越多的问题，也把它用于现代几何学、代数学、计算机科学等各个领域。

而且，关于它的应用也在不断拓展和发展，被广泛用于科学计算和工程设计等现实场景。

从以上可以看出，韦达定理两根之积是一项重要的数学定理，不仅具有重要的理论价值，而且拥有实用的现实意义，在数学史上留下了深远的影响，因此，得到了国际公认的成就。