第24章圆的基础知识复习
人教版初中数学九年级上册第24章知识复习第一部分圆的有关概念和性质
在上图中，
D
若∠COD=∠AOB,则 CD=AB，CD=AB ；
若CD=AB，则 ∠COD=∠AOB，CD=AB；
若CD=AB，则 ∠COD=∠AOB，CD=AB，.
CAD=ACB.
(二)圆的有关性质 3、垂径定理：
•
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦 所对的两条弧。 推论：①平分弦(非直径)的直径垂直于这条弦，
(二)圆的有关性质 Q
A•
O•
•B
P
C
4、②在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的 一半；相等的圆周角所对的弧相等。
如图:∠BOC=2∠BAC=2∠BPC=2∠BQC.
(二)圆的有关性质
PQ
O •
D
A C
B
如图:若AB=CD， 则∠AOB=∠COD=2∠APB=2∠CQD.
反之，若∠APB=∠CQD，则AB=CD.
【及时巩固】
d P
P
d
O
•
r
d
P
1、设⊙O的半径为r，点P到圆心的而距离为d，
则 ①点P在⊙O上 d = r；
②点P在⊙O内 d＜ r；
③点P在⊙O外 d ＞r.
【及时巩固】
2、“经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆. 外接圆的圆心叫做三角形的外心(即三角形三边 中垂线的交点),这个三角形叫圆的内接三角形.” 先分别作出锐角三角形、钝角三角形、直角三 角形的外接圆，再观察图形，填空：
并且平分弦所对的弧； ②平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦；...
(二)圆的有关性质
•
垂径定理及推论可归纳为： 一条直线若具有“①经过圆心； ②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的 优弧；⑤平分弦所对的劣弧”这五个性质 中的两个,这条直线就具有其余三个性质. 注意：①③组合有限制.
第二十四章圆知识点
第二十四章圆24.1 圆1.圆的定义定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．2.与圆有关的概念弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．3.圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．4.垂直于弦的直径（1）垂径定理平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．5.圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．6.圆周角（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①定点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”---圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．7.圆内接四边形的性质：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的对边和相等．圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．8.相交弦定理（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）．几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA•PB=PC•PD（相交弦定理）（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2=PA•PB（相交弦定理推论）．24.2 点、直线和圆的位置关系1.点和圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d＞r②点P在圆上⇔d=r①点P在圆内⇔d＜r（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．2.确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．3.三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．4.反证法（1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．（2）反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．5.直线和圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d=r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．6.切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．7.切线的判定（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（2）在应用判定定理时注意：①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．8.切线的判定与性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（3）常见的辅助线的：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．9.弦切角定理（1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．（2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半．如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA=∠PBC（∠PCA 为弦切角）．10.切线长定理（1）圆的切线定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．（4）切线长定理包含着一些隐含结论：①垂直关系三处；②全等关系三对；③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．11.切割线定理（1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT的平方=PA•PB（切割线定理）（2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．几何语言：∵PBA，PDC是⊙O的割线∴PD•PC=PA•PB（切割线定理推论）（割线定理）由上可知：PT2=PA•PB=PC•PD．12.三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．13.圆与圆的五种位置关系（1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交．（2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d=R+r；③两圆相交⇔R-r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d=R-r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R-r（R＞r）．14.相切两圆的性质相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点．这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便．15.相交两圆的性质（1）相交两圆的性质：相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系．（2）两圆的公切线性质：两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等．两个圆如果有两条（内）公切线，则它们的交点一定在连心线上．24.3正多边形和圆1.正多边形与圆的关系把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．2.正多边形的有关概念①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．24.4 弧长和扇形面积1.弧长的计算（1）圆周长公式：C=2πR（2）弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．2.扇形面积计算（1）圆面积公式：S=π（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=nπR2360或S扇形=12lR（其中l为扇形的弧长）（4）求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．3.圆锥的计算（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高．（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．（3）圆锥的侧面积：S侧=•2πr•l=πrl（4）圆锥的全面积：S全=S底+S侧=πr2+πrl（5）圆锥的体积=×底面积×高注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．4.圆柱的计算（1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长．（2）圆柱的侧面积=底面圆的周长×高（3）圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积（4）圆柱的体积=底面积×高．。
第24章 圆章节知识点及习题及答案
第二十四章圆章节知识点思维导图：一、圆的有关性质（一）与圆有关的概念1、定义：在一个平面内线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
2、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦，叫做直径。
3、弧：圆上任意两点间的部分（曲线）叫做圆弧，简称弧。
能够互相重合的弧叫等弧。
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫优弧；小于半圆的弧叫劣弧，由弦及其所对的弧组成的圆形叫弓形。
4、圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。
5、圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
注意：在圆中，同一条弦所对的圆周角有无数个。
6、弦心距：从圆心到弦的距离叫弦心距。
7、同心圆、等圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫同心圆；能够重合的两个圆叫等圆。
8、点的轨迹：1）圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2）垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3）角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4）到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5）到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
（二）圆的性质1、对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；圆也是以圆点为对称中心的中心对称图形。
2、性质：①垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；推论1 ：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
推论2：圆两条平行弦所夹的弧相等。
②圆心角定理（圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系）：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，所对的弦心距相等；圆心角的度数与它所对的度数相等。
第24章 圆知识点
第24章圆知识点1、圆的有关性质：（1）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。
（2）垂径定理：如果过圆心的线垂直弦，那么平分弦和平分弦所对的两条弧。
推论：如果过圆心的线平分弦（这里的弦不能是直径），那么线垂直弦，并且平分弦所对的两条弧。
（注意：在求弦长、半径、弦心距的长度时，垂径定理经常要结合勾股定理。
）（3）两条弦相等⇔两条弧相等⇔两个圆心角相等⇔两个圆周角相等（4）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等。
②半圆或直径所对的圆周角是直角。
③90°的圆周角所对的弦是直径。
④圆内接四边形的对角互补。
（注意：运用圆周角定理及其推论的关键是找到这些角所对的弧）2、点和圆的位置关系：①点在圆内⇔d<r；②点在圆上⇔d=r；③点在圆外⇔d>r。
3、三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点；内心是三条角平分线的交点。
4、直线和圆的位置关系：①相交⇔d<r；②相切⇔d=r；③相离⇔d>r。
5、证明一条直线是圆的切线的方法：有两种情况（1）直线和圆有公共点：先连接公共点和圆心，再证明直线垂直半径。
（2）直线和圆没有公共点：先过圆心作直线的垂线，再证明垂线段等于半径。
6、圆的切线的性质：先连接圆心和切点，然后得到切线垂直半径。
7、切线长定理：。
8、与圆有关的计算公式：（1）正多边形的中心角= ；（2）正多边形的每一个内角= ；（3）正多边形的周长= ；（4）正多边形的面积= ；（5）弧长= ；（6）扇形的面积= = ；（7）圆锥的侧面积= （8）圆锥的全面积= ；（9）圆锥的侧面展开图是扇形，此扇形的圆心角= ；（10）圆柱的侧面积= 。
9、圆中常用的辅助线：（1）有弦：一般都作弦心距，再结合垂径定理和勾股定理；（2）遇直径想直角，遇直角想直径；（3）连接圆心和切点。
10、圆中有“三多”：（1）直角多（直径所对的圆周角、切线引出的直角）；（2）等腰三角形多（可得等边对等角（即两条半径所对的两个底角相等））；（3）相等的角多（同弧或等弧所对的圆心角相等、圆周角相等，等边对等角）。
第24章圆知识完整归纳
24章圆知识点一：圆的定义1、圆可以看作是的集合。
2、圆的特征（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径）。
（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。
知识点二：圆的相关概念1. 叫做弦，2. 叫做直径。
3. 的部分叫做圆弧，简称弧。
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
的弧（用三个点表示）叫优弧；的弧叫做劣弧．注意：半圆是弧，但弧不一定是半圆。
半圆既不是优弧，也不是劣弧。
3、等圆：叫做等圆周。
4、等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
知识点三：圆的对称性圆是轴对称图形，都是圆的对称轴。
知识点四：垂径定理及推论（重点）1、垂径定理：。
注意：（1）这里的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段，其本质是“过圆心”。
（2）垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍成立。
2、垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的垂直于弦，并且平分弦所对的.知识点五：弧、弦、圆心角之间的关系（重点、难点）1、圆心角定理：在同圆或等圆中，所对的弦相等，所对的弧也相等。
2、推论：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的相等，所对的相等。
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的相等所对的相等。
知识点六：圆周角定理及其推论1、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于的一半。
2、圆周角定理的推论：（1）同弧或等弧所对的相等。
（2）半圆（或直径）所对的圆周角是；90°的圆周角所对的弦是 . 知识点七：圆内接多边形圆的内接四边形性质：圆的内接四边形的对角 .知识点八：三角形的外接圆1.经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。
2.三角形外接圆的圆心是三角形三条边的的交点，叫做这个三角形的外心，（1）三角形的外心到三角形的距离相等，等于外接圆的半径。
（2）一个三角形有且只有个外接圆，而一个圆却有个内接三角形。
（3）三角形外心的位置：锐角三角形的外心在三角形；钝角三角形的外心在三角形；直角三角形的外心是。
九年级数学上册第二十四章 圆 知识归纳
九年级数学上册第二十四章圆24.1 圆定义：（1）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
（2)平面上一条线段，绕它的一端旋转360°，留下的轨迹叫圆。
圆心：（1）如定义（1）中，该定点为圆心（2）如定义（2）中，绕的那一端的端点为圆心。
（3）圆任意两条对称轴的交点为圆心。
（4）垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。
注：圆心一般用字母O表示直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。
直径一般用字母d表示。
半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。
半径一般用字母r表示。
圆的直径和半径都有无数条。
圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。
在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=二分之d。
圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。
圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。
圆的周长与直径的比值叫做圆周率。
圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数（无理数），用字母π表示。
计算时，通常取它的近似值，π≈3.14。
直径所对的圆周角是直角。
90°的圆周角所对的弦是直径。
圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。
πr2，用字母S表示。
一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。
周长计算公式1.、已知直径：C=πd 2、已知半径：C=2πr 3、已知周长：D=c\π4、圆周长的一半:1\2周长(曲线)5、半圆的长：1\2周长+直径面积计算公式：1、已知半径：S=πr平方2、已知直径：S=π（d\2）平方3、已知周长：S=π(c\2π)平方24.2 点和圆、直线和圆的位置关系1. 点和圆的位置关系① 点在圆内⇔点到圆心的距离小于半径 ② 点在圆上⇔点到圆心的距离等于半径 ③ 点在圆外⇔点到圆心的距离大于半径2. 过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。
新人教版数学第24章圆复习知识点归纳
(1) 直径 (过圆心的线)；(2)垂直弦；
(2) (3) 平分弦 ；
(4)平分劣弧；
(3) (5)平分优弧.
知二得三
注意: “ 直径平分弦则垂直弦.” 这句话对吗? ()
错
C
A
B
M└
●O
D
二、圆心角、弧、弦、弦心距的关系
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么 它们所对应的其余各组量都分别相等.
三角形三边垂直平分线的交点
三角形的内心
三角形三内角角平分线的交点
到三角形各顶点的 距离相等
到三角形各边的距 离相等
三角形的外心是否一定在三角形的内部？
A
A
●O
●O
┐
B
C
B
C
锐角三角形的外心位于三角形内, 直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点, 钝角三角形的外心位于三角形外.
A ●O
B
C
怎样要将一个如图所示的破镜重圆？
d
R
r
交点个数 名称
0
外离
1
外切
2
相交
1
内切
0
内含
同心圆是内含的特殊情况
d , R , r 的关系 d>R+r d=R+r
R-r< d < R+ r d=R-r d<R-r
七.三角形的外接圆和内切圆：
A
A
O
I
C
B
C
B
三角形内切圆的圆心叫三角形的内心。
三角形外接圆的圆心叫三角形的外心
实质
性质
三角形的外心
三.正多边形:
圆整章复习
24章《圆》复习课知识清单一、回味你学到了什么？基础填空。
1、在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做。
固定的端点叫做，线段叫做。
2、叫做弦。
叫做直径。
3、叫做圆弧，简称。
叫做半圆。
4、叫做等圆。
叫做等弧。
5、圆的对称性：圆既是对称图形，又是对称图形，对称中心是，对称轴是。
6、垂径定理：垂直于弦的直径，并且。
推论：平分弦（）的直径，并且。
7、叫做圆心角。
叫做圆周角。
8、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的相等。
推论1：。
推论2：。
9、圆周角定理：在同圆或等圆中，或所对的圆周角相等，都等于这条的一半。
推论1：。
推论2：10、中线判R t⊿定理：。
11、叫做圆内接多边形，这个圆叫做。
12、圆内接四边形的对角。
13、点与圆的位置关系：设圆的半径为r，点P到圆心O的距离OP=d,则有：点P在圆外⇔；点P在圆上⇔；点P在圆内⇔。
14、三点共圆的条件是：三点不在15、叫做三角形的外接圆，外心是。
16、反证法的三步是：、、。
17、直线与圆的位置关系：设圆的半径为r，直线l到圆心O的距离为d,则有：直线和圆相交⇔或直线与圆有个交点；直线和圆相切⇔或直线与圆有个交点；直线和圆相离⇔或直线与圆有个交点。
18、圆切线的判定定理和性质定理：判定定理：。
性质定理：。
19、切线长定理：。
20、叫做三角形的内切圆，内心是交点。
21、半径不等的圆与圆的位置关系有：、、、、，这时两圆的交点个数分别是个、个、个、个、个。
设两圆半径分别为R、r（R＞r），圆心距为d,则以上几种位置关系存在时的数量关系分别是：、、 、 、 。
半径相等的圆与圆的 位置关系有： 、 、 、 。
22、正多边形的中心是正多边形的 。
半径是 。
中心角是 。
边心距是 。
23、弧长公式是：l= , 扇形面积公式是：S 扇形= ，或 S 扇形= 。
24、母线是 。
二、检测，你学的怎么样？1、如图，A 、B 、C 、是⊙O 上的三点， ∠BAC=30°，则∠BOC 的大小是 ( )A 、60°B 、45°C 、30°D 、15°2、⊙O 的半径cm r 10=，圆心到直线l 的距离cm OM 8=，在直线l 上有一点P且cm PM 6=，则点P （ ）.（A ）在⊙O 内 （B ）在⊙O 上（C ）在⊙O 外（D ）在⊙O 内或在⊙O 外 3、如图，⊙O 的半径为2，弦AB=E 为AB 的中点，OE 交AB 于点F ，则OF 的长为（ ）．A . 12BC . 1D .4、小明作了一顶圆锥形纸帽，已知纸帽底面圆的半径为10cm ，母线长为50cm ，则圆锥形纸帽的侧面积为( ). A ．2250cm π B ．2500cm πC ．2750cm πD ．21000cm π5、.已知：如图，在⊙O 的内接四边形 ABCD 中，AB 是直径，∠BCD=130°， 过D 点的切线PD 与直线AB 交于P 点， 则∠ADP 的度数为( )A ．40°B ．45°C ．50° D．65° 6、已知两圆的半径分别为4 cm 和7 cm ，如果它们的圆心距是8 cm ，那么这两个圆的位置关系是( ).A ．内切B ．外切C ．相交D ．外离7、下列正确命题的个数为( ) （1）三点确定一个圆 （2）垂直于半径的直线是圆的切线 （3）等弧所对的圆周角相等 （4）平分弦的直径垂直于弦 A ． 1 B. 2 C. 3 D. 4 8、如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点是A 、B 。
章复习 第24章 圆
章复习第24章圆（学案）一、圆的有关概念及性质1、圆的有关概念⑴圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O________，另一个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做______，线段OA叫做______．注：①圆的另一种定义：圆是到______的距离等于______的点的集合；②圆心确定________，半径确定________．⑵弦、直径、弧、圆心角、圆周角的概念：①弦：连接___________的线段叫做弦；②直径：________________叫做直径；③弧：________________________叫做圆弧，简称弧；④圆心角：圆心角是____________的角；⑤圆周角：顶点________，并且两边______________的角叫做圆周角．如下图，第______个图中的APB是圆周角，第______个图中的APB不是圆周角．注：①弦是线段，直径是____________，弧是曲线；②大于半圆的弧叫做____（用三个点表示)，小于半圆的弧叫做____；③半圆也是____，它既不是____弧，也不是____弧；④等弧只能出现在____或____中．2、圆的有关性质⑴圆是________图形，________________________都是它的对称轴，圆也是____________，________是圆心．⑵垂径定理①垂直于弦的直径________，并且________________；②平分弦（不是直径）的直径________，并且平分________________.注：如图，①AC CB=；②AD DB=；③AE=BE；④AB⊥CD；⑤CD是直径，五个条件中，具备了任意两个，则另三个作为结论都成立（注意③⑤作为条件时，应限制AB不为直径,为啥？________________________）．⑶弧、弦、圆心角之间的关系：①在同圆或等圆中，________________所对的相等，所对的也相等；②同圆或等圆中，两________、两________、两________中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．⑷圆周角定理及推论：①圆周角定理：在同圆或等圆中，________________圆周角相等，都等于________________．②圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角________，90°的圆周角________________．注：定理中的圆周角、圆心角是________或________所对的角.二、与圆有关的位置关系1、点和圆的位置关系设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP=d ，如右图，则有： ①点P 在圆外⇔________； ②点P 在圆上⇔________； ③点P 在圆内⇔________. 2、直线和圆的位置关系⑴直线和圆的三种位置关系： 如图(1)，直线和圆有两个公共点，我们说这条直线和圆____，这条直线叫做圆的____，如图(2)，直线和圆有一个公共点，我们说这条直线和圆____，这条直线叫做圆的____，这个点叫做____.如图(3)，直线和圆没有公共点，我们说这条直线和圆____．注：直线l 和⊙0相交⇔____；直线l 和⊙0切⇔____：直线l 和⊙0相离⇔____． ⑵切线的判定和性质：①切线的判定定理：经过__________并且___________的直线是圆的切线. ②切线的性质定理：圆的切线____________________.注：一条直线若满足：①经过圆心；②垂直于切线；③经过切点这三个条件中任何两个，则必具备另两个.⑶切线长的概念及切线长定理：①切线长的概念：经过圆外一点作圆的____，这点和____之间的________，叫做这点到圆的切线长；②切线长定理：从圆外一点可以引圆的____条切线，它们的________相等，这一点和圆心的连线____________________．3、圆和圆的位置关系⑴圆和圆有五种位置关系，如下图：OdPr OOOddd r r r lll注：①____与____统称相离，____、____统称切；②________是内含的一种特殊情况。
24章圆基础知识复习.doc
初三数学圆的知识点整理1.在一个平面内，线段0A绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。
固定的端点0叫做圆心，线段0A叫做半径。
2.连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。
3.圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。
圆的任意一条胃径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
能够重合的两个圆叫做等圆。
在同圆或筹圆屮，能够互相重合的弧叫做等弧。
4.圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。
5.垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
6.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
7.我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。
8.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
9.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。
10.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。
11.顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
12.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
13.半圆（或半径）所对的圆周角是直角，90。
的圆周角所对的弦是直径。
14.如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。
15.在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，他们所对的弧一定相等。
16.圆内接四边形的对角互补。
17.不在同一直线上的三个点确定一个圆。
18.经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。
19.直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。
2（）.肓线和圆只有一个公共点，这时我们说这条肓线和圆相切，这条宜线叫做圆的切线，这个点叫做切点。
21.直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离。
22.圆的切线垂直于过切点的半径。
第24章圆期末复习圆的基本性质PPT课件(沪科版)
2
O E1C D
BO⊥AD
8．如图，AB是⊙O的直径，AC，BC分别
与⊙O相交于点D，E，连接DE，现给出两个命题：
①若AC=AB，则DE=CE；②若∠C=45°，记
△CDE的面积为S1，四边形DABE的面积为S2，则
S1=S2，那么( D ).
C
A．①是真命题 ②是假命题
B．①是假命题 ②是真命题 D
并交BO、AO的延长线于点C、D，连接CD，交
⊙O于点E、F，过圆心O作OM⊥CD于点M．
求证： (2)CE=DF．
(2) ∵△ACO≌△BDO， A
B O
∴OC=OD，
∵OM⊥CD， C E M F
D
∴CM=DM， EM＝FM，
∴CM－EM=DM－FM.
∴CE=DF.
D
5.如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上 的两点，分别连接AC、BC、CD、OD，若 ∠DOB=140°，则∠ACD= ( A).
A.20° B. 30° C. 40° D.70° C
A
O
B
D
6.如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G， 连接 CF，∠C=30°，CF= 2 ，3 则OG的长是( A).
沪科版
第24章 圆 期末复习(2)
圆的基本性质
复习要点
1.圆 (1)平面上到定点的 距离 等于定长的所有 点 组成
的图形叫做圆； 定点称为圆心， 定长 称为半径. (2)圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过 圆心的
直线；圆又是中心对称图形，对称中心是 圆心 . (3)不在同一条直线上的 三个点确定一个圆.
AB=AC， ∠ BAC=36°，在AB上取点D(不与点
A，B重合)，连接BD，AD，则∠BAD＋
【初中数学】必备的初三上册数学第24章复习要点：圆的性质
【初中数学】必备的初三上册数学第24章复习要点：圆的性质
1.垂径定理及推论: 如图：有五个元素，“知二可推三”;需记忆其中四个定理，即“垂径定理”“中径定理” “弧径定理”“中垂定理”.
2.“角、弦、弧、距”定理：(同圆或等圆中)“等角对等弦”; “等弦对等角”; “等角对等弧”; “等弧对等角”;“等弧对等弦”;“等弦对等(优，劣)弧”;“等弦对等弦心距”;“等弦心距对等弦”.
3.圆周角定理及推论:(1)圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半;(2)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;(3)“等弧对等角”“等角对等弧”;(4)“直径对直角”“直角对直径”;
(5)如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
4.圆内接四边形性质定理:圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.
5.切线的判定与性质定理:如图：有三个元素，“知二可推一”;需记忆其中四个定理.(1)经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线;(2)圆的切线垂直于经过切点的半径;
6.相交弦定理及其推论:(1)圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等;(2)如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项.
7.关于两圆的性质定理:(1)相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦;(2)如果两圆相切，那么切点一定在连心线上.
8.正多边形的有关计算:(1)中心角?n ，半径RN ，边心距rn ，边长an ，内角?n ，边数n;(2)有关计算在RtΔAOC中进行.
以上就是数学网为大家整理的必备的
初三
上册数学第24章复习要点：圆的性质，怎么样，大家还满意吗?希望对大家的学习有所帮助，同时也祝大家学习进步，考试顺利!
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
【单元一遍过】第二十四章 圆复习【过知识】数学九年级上册单元复习一遍过(人教版)
C
B
知识梳理
考点4 点与圆的位置关系
判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离d与圆的半 径r比较得到. 设☉O的半径是r，点P到圆心的距离为d，则有
d＜r d=r d＞r
点P在圆内； 点P在圆上； 点P在圆外.
【注意】点与圆的位置关系可以 转化为点到圆心的距离与半径之 间的关系；反过来，也可以通过 这种数量关系判断点与圆的位置 关系．
4.圆锥的侧面积 (1)圆锥的侧面展开图是一个 扇形 . (2)如果圆锥母线长为l，底面圆的半径为r，那么这
个扇形的半径为 l ，扇形的弧长为 2 r . (3)圆锥的侧面积为 lr .
(4)圆锥的全面积为 lr r2 .
知识梳理
考点9 与圆有关的计算
5.圆内接正多边形的计算
360
(1)正n边形的中心角为 n
半径决定大小；(2) 不在同一条直线上的
·
三个点确定一个圆.
知识梳理 考点2 与圆有关的概念 9.外接圆、内接正多边形:将一个圆n(n≥3)等分，依次连接 各等分点所得到的多边形叫作这个圆的内接正多边形，这个 圆是这个正多边形的外接圆. 10.三角形的外接圆 外心：三角形的外接圆的圆心叫做这个这个三角形的外心.
知识梳理
考点6 垂径定理及其推论 (1)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦 所对的 两条弧 . [注意] ①条件中的“弦”可以是直径；②结论中 的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧． (2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条 弦，并且平分这条弦所对的两条弧；
平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.
知识梳理
考点3 圆的有关性质
1.圆的对称性 圆是轴对称图形，它的任意一条__直__径___所在的直线都
第24章圆精品复习课讲义
O•
A
B
第24章圆精品复习课讲义
2.直线和圆的位置关系:
．
．
．
O
O
O
l
l
l (1) 相离: 一条直线与一个圆没有公共点,叫做
直线与这个圆相离. (2) 相切: 一条直线与一个圆只有一个公共点,叫
做直线与这个圆相切. (3) 相交: 一条直线与一个圆有两个公共点,叫
做直线与这个圆相交.
关于弦的问题，常常需 B
MA
要过圆心作弦的垂线段，
P
这是一条非常重要的辅
O
助线。
圆心到弦的距离、半径、
弦长构成直角三角形，
便将问题转化为直角三
角形的问题。
第24章圆精品复习课讲义
4.圆周角:
定义:顶点在圆周上，两边和圆相交的 角，叫做圆周角. 性质:(1)在同一个圆中,同弧所对的圆周 角等于它所对的圆心角的一半.
P
Q
·
A B
第24章圆精品复习课讲义
三.与圆有关的位置关系:
1.点和圆的位置关系
(1)点在圆内 (2)点在圆上 (3)点在圆外
如果规定点与圆心的距离为d,圆的半径 为r,则d与r的大小关系为:
点与圆的位置关系 d与r的关系
．A． 点在圆内
d＜r
．
点在圆上
d＝r
C
． 点在圆外
d＞r
B
第24章圆精品复习课讲义
第24章圆精品复习课讲义
直线与圆位置关系的识别:
r．
r．
r．
∟
∟ ∟
O d
dO
dO
l
l
l
设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则:
九年级数学上册 第24章 圆的复习 新人教版
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
一、判断。 1、三角形的外心到三角形各边的距离相等； （ × ）
2、直角三角形的外心是斜边的中点．
（√ ）
二、填空：
1圆、直角三6角.5形cm的两条直角边分别是2c5mcm和12cm，则它的外接
半径
，内切圆半径
；
2:1
2、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比
．
圆内接四边形的性质：
（1）对角互补；（2）任意一个外角都等于它的内 对角
1、⊙O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分 别是方程x2－6x＋8＝0的两根，则点A与⊙O的位置关系是 （）
A．点A在⊙O内部 B．点A在⊙O上
C．点A在⊙O外部 D．点A不在⊙O上
2、M是⊙O内一点，已知过点M的⊙O最长的弦为10 cm，最短的弦长为8 cm，则OM= _____ cm.
3、圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以 是（ ）
A、1∶2∶3∶4
B、1∶3∶2∶4
C、4∶2∶3∶1
D、4∶2∶1∶3
练：有两个同心圆，半径分别为Ｒ和r， Ｐ是圆环内一点，则ＯＰ的取值 范围是＿r＿<O＿P<＿R＿.
O
P
五.直线与圆的位置关系
r ●O ┐d
相交
r ●O
d ┐ 相切
1.两条弦在圆心的同侧
2.两条弦在圆心的两侧
A
●O
B
C
D
A C
B ●O
D
二、圆心角、弧、弦、弦心距的关系
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两 条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相 等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
A
24章《圆》章节知识点复习专题.docx
《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）;3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；二、点与圆的位置关系1、点在圆内d <r 0 点C在圆内；2、点在圆上u> _ d = r <=>点、B在圆上；3、点在圆外O _d>广O 点4在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离u> d >厂u>无交点；2、直线与圆相切O_d二厂有一个交点;3、直线与圆相交o d <厂有两个交点;四、圆与圆的位置关系外离（图1 ）U>无交点 => 〃〉R + r^_外切（图2 ）u>有一个交点=>_d = R + r ;相交（图3 ）有两个交点<=>_R-r <d < /? + r ;内切（图4 ）=>有一个交点、=> d = R-r ;注：相切连心线过切点五、垂径定理内含（图5）=><R-r \垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1: (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧; (2) 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧;(3) 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①是直径 ②43丄CD③CE = DE ④ 睡BC =^BD ⑤ 弧AC =弧4D 中任意2个条件推出其他3个结论。
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图2
期末基础复习——圆
姓名：________ 学号：________
第一部分 圆的基本性质
【考点一】弧、弦、圆心角的关系
1、如图1：AB 是⊙O
的直径， ，∠AOH =40°
则∠
BOG= 度．
【考点二】圆周角的有关定理
2、如图2，点A 、B 、C 在⊙O 上，且∠BOC=80°，则∠A 的度数为 .
3、如图3，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上,∠A=25°,则∠B 的度数为
. 4、如图4，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠BAD=60°，则∠BCD
的度数是 。
5、如图5，⊙O 是△A BC 的外接圆，∠A=30°，则∠OCB ＝____°
【考点三】垂经定理（垂直→平分）
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：
①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD
AH=HF=FG 图4
B D
6、如图6，⊙O 的直径AB ⊥弦CD 于点E.若CD=8，OE=3， 则CE 的长为 ,半径为
7、如图7，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥ AB ，垂足为点E ， 连结OC ，若OC ＝5，CD ＝8，则AE ＝_______
第二部分 与圆有关的位置关系
【考点四】与圆的位置关系
重点：直线与圆相切：切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MN ⊥且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线 通常有两种题型：（1）作垂直证半径 如18题
（2）连半径证垂直如19题
8、 若⊙O 的半径为4cm ，点A 到圆心O 的距离为3cm ，那么点A 与⊙O 的位置关系是( ) A ．点A 在圆内 B ．点A 在圆上 C ．点A 在圆外 D ．不能确定
9、⊙O 的半径为3，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ） A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定
10、⊙O 的直径为5，圆心O 到直线l 的距离为5，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ） A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定
11、已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为5和2，圆心距为3,•则两圆的位置关系是( ). A.内含 B.外切 C.相交 D.内切
12、已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为5和2，圆心距为2,•则两圆的位置关系是( ). A.内含 B.外切 C.相交 D.内切 难点：圆与圆的位置关系
第三部分 与圆有关的计算
【考点五】扇形的弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积 弧长公式：l=______, 扇形面积公式s=_______.
13、一个扇形的圆心角为90°．半径为2，则这个扇形的弧长为________． (结果保留π) 14、扇形的半径是3，圆心角是120°，则扇形的弧长是 15、半径的3cm 、圆心角为120°的扇形的面积为( )
A.6πcm 2
B.5πcm 2
C.4πcm 2
D.3πcm 2
16、扇形的半径是3，扇形的弧长为12π，则扇形的面积是
17、已知圆锥的母线长为4
，底面半径为2，则圆锥的侧面积等于 （ ）
图
7
图6
A．8πB．9πC．10π D．11π
18、已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的侧面积为_____ .
难点：求圆锥的侧面积公式：_______.圆锥的侧面积=侧面展开图扇形的面积
19.1已知点O在∠APB的角平分线上，以O为圆心的圆与PB相切于E，⊙O 会与PA相切吗？为什么？（作垂直证半径）
19.2已知点P是⊙O外一点，PB与⊙O相切于点E，PA与⊙O相交于点F，且PF=PE，⊙O会与PA相切吗？为什么？（连半径证垂直）
20．如图，AB是⊙O的直径，AC的中点D在⊙O上，DE⊥BC于E．求证：DE是⊙O的切线．
21.如图，在Rt△ABC中，已知∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC于D，E为BC的中点，连接DE，求证：DE为⊙O的切线．
A
22.如图，△ABC 为等腰三角形，AB=AC ，O 是底边BC 的中点，⊙O 与腰AB 相切于点D ，求证：AC 与⊙O 相切．
23.如图，四边形ABCD 是平行四边形，以AB 为直径的圆O 经过点D ，E 是⊙O 上一点，且∠AED=45°．请判断CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由
24、如图，AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 在AB 的延长线上，且∠DCB= ∠A ．
（1）CD 与⊙O 相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由． （2）若CD 与⊙O 相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O 的半径．
25.如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠ABC 和∠BAC 的平分线相交于点O.（1）若⊙O 与AB 相切于点E ，试判断⊙O 与AC 的关系，并写出你的判断过程
.
（2）连接CO 后，请你根据图中信息，写出三个不同类型的正确结论.
B A
C
E。