§2.6数学期望

+∞
4
2 4 0
= 2.
完
例5 设随机变量 X 的概率密度函数为 求 E ( X ). 解
1 e −| x | , − ∞ < x < + ∞ , f ( x) = 2
+∞
E ( X ) = ∫ 1 xe −| x|dx −∞ 2
1 xe x dx + + ∞ 1 xe − x dx , =∫ ∫0 2 −∞ 2
xf ( x )dx
+∞ −∞
数学期望为 绝对收敛， 绝对收敛， 定义 X的数学期望为
E( X ) = ∫
xf ( x )dx .
也就是说,连续型随机变量的数学期望是一个绝 也就是说 连续型随机变量的数学期望是一个绝 对收敛的积分. 对收敛的积分
注：（1）并非所有随机变量都有数学期望， ）并非所有随机变量都有数学期望， 例如， 例如， X 的密度函数为 若
1 e − x / 10 , x > 0 f ( x ) = 10 , 0, x≤0 的数学期望. 试求该类家用电器一台收费 Y 的数学期望
落在各个时间区间的概率, 解 先求出寿命 X 落在各个时间区间的概率, 即有
1 e − x / 10 dx = 1 − e −0.1 = 0.0952, P{ X ≤ 1} = ∫ 0 10
= 9.61(元 ).
完
某人的一串钥匙上有n把钥匙 把钥匙， 例3 某人的一串钥匙上有 把钥匙，其中只有 一把能打开自己的家门， 一把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥 匙中的某一把去开门. 若每把钥匙试开一次后 匙中的某一把去开门 除去，求打开门时试开次数的数学期望. 除去，求打开门时试开次数的数学期望 解: 设试开次数为 设试开次数为X, P(X=k)= 1/n , k=1,2,…,n n 1 1 (1+ n)n n +1 于是 E(X) = ∑k ⋅ = ⋅ = n n 2 k=1 2
因此，在对随机变量的研究中， 因此，在对随机变量的研究中，确定某些数 字特征是重要的 .
随机变量的数字特征
数字特征 通常是指与随机变量有关的， 通常是指与随机变量有关的，虽然不能完整地刻 划随机变量， 划随机变量，但却能较为集中地反映随机变量某些 数值。 方面的重要特征的一些数值 方面的重要特征的一些数值。 内容： 内容： 1 随机变量的数学期望； 随机变量的数学期望； 2 随机变量的方差 ； 这一讲我们先讲数学期望
完
乙两人进行打靶, 例1 甲, 乙两人进行打靶, 所得分数分别记为 X 1 ,
X 2 , 它们的分布律分别为
X1 pk 0 1 2 0 0.2 0.8 , X2 pk 0 1 2 0.6 0.3 0.1
试评定他们的成绩的好坏. 试评定他们的成绩的好坏 解 我们来计算 X 1 的数学期望, 得 的数学期望, 分 E ( X 1 ) = 0 × 0 + 1 × 0.2 + 2 × 0.8 = 1.8 (分). 这意味着, 如果甲进行很多次的射击, 那么, 这意味着, 如果甲进行很多次的射击, 那么, 所 得分数的算术平均就接近 1.8, ,
Y P
10 8 0 P { X ≤ 1} P {1 < X ≤ 4) = 10 × P{ X ≤ 1} + 8 × P{1 < X ≤ 4} + 0 × P { X > 4} 1 4 k 0.8 e −0.8 + 8 × 0.8 k e −0.8 + 0 = 10 × ∑ ∑ k! k =0 k ! k =2
F ( x) =
由于广义积分
1 2 π (1 + x )
( −∞ < x < +∞ ),
∫
+∞
−∞
2 +∞ x f ( x )dx = ∫
π
0
x dx 2 1+ x
π
1 ln(1 + x 2 ) +∞ = +∞ 0
完
不存在. 发散， 发散，所以 E ( X ) 不存在
例4 已知随机变量 X 的分布函数
∫
xi +1
xi
f ( x)dx ≈ f ( xi )( xi+1 − xi )= f ( xi )∆xi
由于x 很接近, 所以区间[x 由于 i与xi+1很接近 所以区间 i, xi+1)中 中 的值可以用x 来近似代替. 的值可以用 i来近似代替 取值x 的离散型r.v 因此X与以概率 因此 与以概率 f ( xi )∆xi 取值 i的离散型 阴影面积 近似, 该离散型r.v 近似 该离散型 的数 近似为 学期望是 学期望是 f ( x )∆x
1
1 e − x / 10 dx = e −0.3 = 0.7408, 10
P{ X ≤ 1} = 0.0952, P{2 < X ≤ 3} = 0.0779, 则 Y 的分布律为
Y pk 1500 2000
P{1 < X ≤ 2} = 0.0861, P{ X > 3} = 0.7408,
2500 3000
0
使用分部积分法， 使用分部积分法，得到
E ( X ) = 0.
完
例6 某商店对某种家用电器的销售采用先使用后 付款的方式, 记使用寿命为 X (以年计 规定: 付款的方式, 以年计), 规定: 以年计 X ≤ 1, 一台付款 1500 元; 1 < X ≤ 2, 一台付款 2000 元;
2 < X ≤ 3, 一台付款 2500 元; X > 3, 一台付款 3000 元. 设寿命 X 的概率密度为
数学期 望
一、离散型随机变量的数学期望 二、连续型随机变量的数学期望 三、随机变量函数的数学期望 四、数学期望的性质 五、小结
一、离散型随机变量的数学期望
1.概念的引入 概念的引入
平均值是日常生活中最常用的一个数字特征， 平均值是日常生活中最常用的一个数字特征， 它对评判事物作出决策等具有重要作用 判事物作出决策等具有重要作用. 例如， 例如， 某商场计划于5月 日在户外搞一次促销活动 日在户外搞一次促销活动， 某商场计划于 月1日在户外搞一次促销活动， 如果在商场内搞可获得经济 如果在商场内搞可获得经济效益 统计资料表明， 统计资料表明， 在商场外搞， 获得12万元 万元， 如果不遇雨天可获得 万元， 3万元； 万元； 万元 在商场外搞， 遇到雨天则带来经济损失 万元；若前一天的天气 来经济损失5万元 万元； 预报称当日有雨的概率为 的概率为40%，则商场应如何选择 ， 促销方式？ 促销方式？
而乙所得分数的数学期望为 而乙所得分数的数学期望为
E ( X 2 ) = 0 × 0.6 + 1 × 0.3 + 2 × 0.1 = 0.5(分).
很明显, 乙的成绩远不如甲的成绩. 很明显, 乙的成绩远不如甲的成绩.
完
例2 某种产品每件表面上的疵点数服从参数 λ = 0.8 的泊松分布, 个为一等品, 的泊松分布, 若规定疵点数不超过 1 个为一等品 价 个为二等品, 值 10 元; 疵点数大于 1 个不多于 4 个为二等品 个为废品, 价值 8 元; 疵点数超过 4 个为废品, 求: (1) 产品的废品率; 产品的废品率; (2) 产品价值的平均值 产品价值的平均值. 代表每件产品上的疵点数, 解 设 X 代表每件产品上的疵点数, X ~ P (λ ) (1) 因为
显然商场在该日搞促销活动预期获得的经济效益 X 是一个随机变量， 是一个随机变量， 其概率分布为
P { X = x1 } = P { X = 12} = 0.6 = p1 ,
P{ X = x2 } = P{ X = −5} = 0.4 = p2 ,
要作出决策就要将此时的平均效益与3万元进行比较 要作出决策就要将此时的平均效益与 万元进行比较, 万元进行比较 要客观地反映平均效益, 要客观地反映平均效益 既要考 如何求平均效益呢？ 如何求平均效益呢？ 的所有取值， 虑 X 的所有取值，又要考虑 X 取每一个值时的概率， 取每一个值时的概率， 即为
随机变量的数字特征
在前面的课程中， 在前面的课程中，我们讨论了随机变量 及其分布，如果知道了随机变量X的分布函 及其分布，如果知道了随机变量 的分布函 那么X的全部概率特征也就知道了 的全部概率特征也就知道了. 数，那么 的全部概率特征也就知道了 然而，在实际问题中， 然而，在实际问题中，分布函数一般 是较难确定的. 而在一些实际应用中， 是较难确定的 而在一些实际应用中，人 们并不需要知道随机变量的一切概率性质， 们并不需要知道随机变量的一切概率性质， 只要知道它的某些数字特征就够了. 只要知道它的某些数字特征就够了
P{ X > 4} = 1 − P{ X ≤ 4} = 1 − ∑ 0.8 e −0.8 k =0 k ! = 0.001 412, 所以产品的废品率为 0.001 412.
4
k
(2) 求产品价值的平均值. 求产品价值的平均值 代表产品的价值, 的概率分布为: 解 ( 2) 设Y 代表产品的价值, 那么Y 的概率分布为:
二、连续型随机变量的数学期望 是连续型随机变量， 设 X是连续型随机变量， 其密度函数为 f ( x ), 在 数轴上取很密的分点
阴影面积 近似为
f ( xi )∆xi
L < x0 < x1 < x2 < L, 则 X 落在小区间[ xi , xi +1 )
的概率为
小区间[xi, xi+1) 小区间
P{ X = x1 } = pi , i = 1,2,L
i i
∑x p
i =1
绝对收敛， 绝对收敛，则称 E ( X ) =
∑x p
i =1 i
∞
i
为随机变量 X 的数学期望 又称均值） 均值） （