1.4 事件的独立性及贝努力概型
合集下载
1-5事件的独立性与贝努利概型
注意互斥与独立的区别 互斥指的是事件不可能同时发生。 互斥指的是事件不可能同时发生。 独立指事件的发生互不影响， 独立指事件的发生互不影响，但并 不表示事件不可能同时发生
中找两个事件,它们 问：能否在样本空间S中找两个事件 它们 能否在样本空间 中找两个事件 既相互独立又互斥? 既相互独立又互斥 这两个事件就是 S和 φ 和
2、多个事件的独立性 、 将两事件独立的定义推广到三个事件： 将两事件独立的定义推广到三个事件： 对于三个事件A、B、C，若 对于三个事件 ， P(AB)= P(A)P(B) P(AC)= P(A)P(C) P(BC)= P(B)P(C) P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 四个等式同时 成立,则称事件 成立 则称事件 A、B、C相互 相互 独立. 独立
P5 (2) = C 5 × 0.12 × 0.93 = 0.0729
2
（2）至少有三个设备被使用的概率； 至少有三个设备被使用的概率；
P = P5 (3) + P5 (4) + P5 (5)
= C 5 × 0.1 × 0.9 + C 5 × 0.1 × 0.9 + C 5 × 0.15
= 1− P( A A2 …An ) 1
= 1− P( A )P( A2 )…P( An ) 1
A , A2,…, An 1
也相互独立
也就是说， 个独立事件至少有一个发生 也就是说，n个独立事件至少有一个发生 的概率等于1减去各自对立事件概率的乘积 减去各自对立事件概率的乘积. 的概率等于 减去各自对立事件概率的乘积
若设n个独立事件 A , A ,…, A 发生的概率 若设 个独立事件 1 2 n , 分别为 p1,L pn, 则“ A , A ,…, A 至少有一个发生”的概率为 1 2 n 至少有一个发生” P(A1+…+An) =1- (1-p1 ) …(1-pn ) 类似可以得出： 类似可以得出： “ A , A ,…, A 至少有一个不发生”的概率为 1 2 n至少有一个不发生”
§1.4 事件的独立性与伯努利概型
第一章
§1.4 事件的独立性与伯努利概型
第7页
例3 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命 中率分别为 0.6 和 0.7，现已知目标被击中，求它是甲 击中的概率.。
解:设 A =“甲中”, B= “乙中”, C= “目标被击中”, 所以 P(A|C) = P(AC)/P(C) = P(A)/[P(A)+P(B)P(A)P(B)] = 0.6/0.88 = 15/22
P(A)=P(B)=1/2，P(AB)=1/4，P(AB)=P(A) P(B) ， 所以A、B相互独立．
第一章
§1.4 事件的独立性与伯努利概型
第6页
例2 两射手独立地向同一目标射击一次，其 命中率 分别为 0.9 和 0.8，求目标被击中的概率. 解: 设 A =“甲中”, B= “乙中”, C= “目标被击中”, 所 以 解法i) P(C) = P(AB) = P(A)+P(B)P(A)P(B) = 0.9+0.80.90.8 = 0.98. 解法ii) 用对立事件公式 P(C) = P(AB) 1 P( AB) = 1 (1 0.9)(1 0.8) = 1 0.02 = 0.98.
Hale Waihona Puke 8页 第一章 §1.4 事件的独立性与伯努利概型 例4 有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，从两批种子 中各随机地抽取一粒，求：
（1）两粒都能发芽的概率； （2）至少有一粒种子能发芽的概率； （3）恰好有一粒种子能发芽的概率 。 解 设以A、B分别表示取自甲、乙两批种子中的某粒种子发芽 这一事件，则所求的概率为
P( B)[1 P( A)] P( A)P(B).
所以 A 和B相互独立．
第一章
1-5事件的独立性与伯努利概型
例 6 加工某一种零件需要经过三道工序，设三道 工序的次品率分别为 2% ， 3% ， 5% ，假设各道序是 互不影响的，求加工出来的零件的次品率. 解 设
A={产品为次品}, Ai={第i道工序的产品为次品} (i=1,2,3),则来自A A1 A2 A3
P(A) 1 P( A ) 1 P( A1 A2 A3 )
,P ( Ai ) pi , i 1,2 , , n, Ai 第i个元件正常工作
串联系统的可靠性
由n 个元件串联而成的系统,只要有一 个元件失效,该系统就失效.因此串联系 统的可靠性为:
P串 P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An ) p1 p 2 p n
P (1 105 ) 520
1 520 105 0.9948
例8 甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击.设 三人射中飞机的概率分别为0.4,0.5,0.7,一人射中 飞机被击落的概率为0.2, 两人射中飞机被击落的 概率为0.6,三人射中,则飞机被击落.求飞机被击落 的概率. 解 设 A {飞机被击落 }, Bi {飞机被i个人击中 }, i 1,2,3
例1 掷两次硬币,观察其出现正面H和反面T的情 况.设事件 A={第一次出现正面H}, B={第二次出现正面H}, 则试验的样本空间为 Ω={HH,HT,TH,TT} 所以
A={HH,HT},B={HH,TH},AB={HH}
P(A)=2/4=1/2, P(B)=2/4, P(B|A)=1/2, P(AB)=1/4
p并 1 (1 p1 )(1 p2 )(1 pn )
元件n
例9 设由5个元件组成的系统 如图1所示, 元件的可靠性分 别为 p1 , p2 , p3 , p4 , p5 ,
1.4_事件的独立性
A1 , A2 , , A n 中任意多个事件换成它们各自的对立事件，
所得的 n 个事件仍相互独立．
2012年11月11日星期日
10
目录
上页
下页
返回
【例 20】两门高射炮彼此独立地射击一架敌机，设甲炮 击中敌机的概率为 0.9， 乙炮击中敌机的概率为 0.8， 求 敌机被击中的概率？ 解 设 A ={甲炮击中敌机}， B ={乙炮击中敌机}，那么 {敌机被击中 }= A B ．因为 A 与 B 相互独立，所以，有
所以结论成立．
2012年11月11日星期日
9
目录
上页
下页
返回
由定义，还可以得到以下两个推论：
(1) 若 事 件 A1 , A2 , , An , n 2 相 互 独 立 ， 则 其 中 任 意
k ( 2 k n ) 个事件也相互独立．
(2) 若 事 件 A1 , A2 , , An , n 2 相 互 独 立 ， 则 将
则称这三个事件 A , B , C 是两两独立的．
2012年11月11日星期日 4
目录 上页 下页 返回
定义 11
设 A , B , C 是三个事件，如果满足：
P ( A B ) P ( A ) P ( B ), P ( B C ) P ( B ) P ( C ), P ( A C ) P ( A ) P ( C ), P ( A B C ) P ( A ) P ( B ) P ( C ).
(2)事件的独立性与互斥是两码事，互斥表示两个事件 不能同时发生，而独立性则表示它们彼此互不影响对方 发生的概率．当 P ( A ) 0 ， P ( B ) 0 时，若 A , B 相互独 立 ， 则 P ( AB ) P ( A) P ( B ) 0 ． 若 A, B 互 斥 ， 则 P ( A B ) P ( ) 0 ，此时 A , B 相互独立和 A , B 互斥不会 同时成立．
所得的 n 个事件仍相互独立．
2012年11月11日星期日
10
目录
上页
下页
返回
【例 20】两门高射炮彼此独立地射击一架敌机，设甲炮 击中敌机的概率为 0.9， 乙炮击中敌机的概率为 0.8， 求 敌机被击中的概率？ 解 设 A ={甲炮击中敌机}， B ={乙炮击中敌机}，那么 {敌机被击中 }= A B ．因为 A 与 B 相互独立，所以，有
所以结论成立．
2012年11月11日星期日
9
目录
上页
下页
返回
由定义，还可以得到以下两个推论：
(1) 若 事 件 A1 , A2 , , An , n 2 相 互 独 立 ， 则 其 中 任 意
k ( 2 k n ) 个事件也相互独立．
(2) 若 事 件 A1 , A2 , , An , n 2 相 互 独 立 ， 则 将
则称这三个事件 A , B , C 是两两独立的．
2012年11月11日星期日 4
目录 上页 下页 返回
定义 11
设 A , B , C 是三个事件，如果满足：
P ( A B ) P ( A ) P ( B ), P ( B C ) P ( B ) P ( C ), P ( A C ) P ( A ) P ( C ), P ( A B C ) P ( A ) P ( B ) P ( C ).
(2)事件的独立性与互斥是两码事，互斥表示两个事件 不能同时发生，而独立性则表示它们彼此互不影响对方 发生的概率．当 P ( A ) 0 ， P ( B ) 0 时，若 A , B 相互独 立 ， 则 P ( AB ) P ( A) P ( B ) 0 ． 若 A, B 互 斥 ， 则 P ( A B ) P ( ) 0 ，此时 A , B 相互独立和 A , B 互斥不会 同时成立．
1.4 相互独立事件、独立试验概型
则三事件 A, B, C 两两独立.
由于
1 1 P ( ABC ) P ( A) P ( B ) P (C ), 4 8
因此 A，B，C 不相互独立.
三事件相互独立的概念
定义 设 A, B , C 是三个事件, 如果满足等式 P ( AB ) P ( A) P ( B ), P ( BC ) P ( B ) P (C ), P ( AC ) P ( A) P (C ), P ( ABC ) P ( A) P ( B ) P (C ), 则称事件 A, B , C 相互独立 .
方式二 飞 机 被 命 中
P(C1C2C3
C1C2C3
C1C2C3 ) ?
P ( B2 ) ? P ( B3 ) ? 方式三 P(C1C2C3 ) ?
例3 甲、乙、丙射击敌机的命中概率分别为0.4， 0.5和0.7。已知飞机被单人命中而坠落的概率为 0.2 ，被两人同中而坠落的概率为 0.6 ，被三人 同中则必落。求飞机被击落的概率。
2. 若
P (AB) = P(A) P (B) ，
P (AC) = P (A) P(C) ， P (BC) = P (B) P (C) ， 则称事件 A、B 和 C 两两独立； 若还进一步 满足条件 P (ABC) = P (A) P (B ) P (C) ，则称
它们（整体）相互独立。 更多事件的两两独立性与（整体）相互独立性 可类似地定义。
第四讲 事件的独立性 与Bernoulli独立试验概型
独立性的定义、依实际意义 判断独立性 Bernoulli独立试验概型
一、随机事件相互独立的定义
1. 若 P (AB) = P(A) P (B)
或
概率论与数理统计课件 1.4事件的独立性
1P(A) P(B) P(AB)
1 P(A) P(B) P(A)P(B)
1 P(A)1 P(B) P(A)P(B)
所以，A与B 独立。
概念辨析
事件Ａ与事件Ｂ独立
P(AB) P(A) P(B)
事件Ａ与事件Ｂ互不相容
AB P(AB) 0
事件Ａ与事件Ｂ为对立事件
AB A B
P(A1A2…An)=P(A1) P(A2) …P(An) 则称随机试验 E1, E2,.., En相互独立. 例如
试验E1：掷一枚硬币，观察出现正反面的情况
试验E2：掷一颗骰子，观察出现的点数 显然，试验 E1,E2 的先后次序不影响每次试验的 结果，所以 E1,E2 是相互独立的。
n重伯努利试验
又设Ａ表示加工出来的零件是次品, 则 A＝Ａ1∪Ａ2∪Ａ3
P(A) 1 P(A) 1 P(A1 A2 A3 )
1 P(A1)P(A2 )P(A3 )
＝1－(1－ 0.02)(1－ 0.01)(1－ 0.05) ＝ 0.0783
独立试验概型
相互独立的试验 设有随机试验 E1, E2,.., En, 如果对 Ei 的任意结 果（事件）Ai，i=1,2,…,n，都有
解 情形（2）的样本空间为
Ω={（男男男），（男男女），（男女男），（女男男） （男女女），（女男女），（女女男），（女女女）}
P(A) 6 , P(B) 1 , P(AB) 3
8
2
8
此种情形下，事件A、B是独立的。
下列四组事件，有相同的独立性：
（1）A与B；（2）A与B； （3）A与B；（4）A与B 证明 若A、B独立，则 P(AB) P(A) P(B) P( AB) P( A B) 1 P( A B)
1 P(A) P(B) P(A)P(B)
1 P(A)1 P(B) P(A)P(B)
所以，A与B 独立。
概念辨析
事件Ａ与事件Ｂ独立
P(AB) P(A) P(B)
事件Ａ与事件Ｂ互不相容
AB P(AB) 0
事件Ａ与事件Ｂ为对立事件
AB A B
P(A1A2…An)=P(A1) P(A2) …P(An) 则称随机试验 E1, E2,.., En相互独立. 例如
试验E1：掷一枚硬币，观察出现正反面的情况
试验E2：掷一颗骰子，观察出现的点数 显然，试验 E1,E2 的先后次序不影响每次试验的 结果，所以 E1,E2 是相互独立的。
n重伯努利试验
又设Ａ表示加工出来的零件是次品, 则 A＝Ａ1∪Ａ2∪Ａ3
P(A) 1 P(A) 1 P(A1 A2 A3 )
1 P(A1)P(A2 )P(A3 )
＝1－(1－ 0.02)(1－ 0.01)(1－ 0.05) ＝ 0.0783
独立试验概型
相互独立的试验 设有随机试验 E1, E2,.., En, 如果对 Ei 的任意结 果（事件）Ai，i=1,2,…,n，都有
解 情形（2）的样本空间为
Ω={（男男男），（男男女），（男女男），（女男男） （男女女），（女男女），（女女男），（女女女）}
P(A) 6 , P(B) 1 , P(AB) 3
8
2
8
此种情形下，事件A、B是独立的。
下列四组事件，有相同的独立性：
（1）A与B；（2）A与B； （3）A与B；（4）A与B 证明 若A、B独立，则 P(AB) P(A) P(B) P( AB) P( A B) 1 P( A B)
事件的独立性及贝努利概型课件
⇐ 同时成立, 则称事件 事件A 同时成立 则称事件 、B、C 相互独立 . 事件， 设 个事件的独立性定义2： 类似可写出 n 个事件的独立性定义 ： A1,A2, …,An 是 n 个事件， 如果对其中任意一组事件 Ai1, Ai 2, L, Ai k (1< k ≤ n), 有 ) P( Ai1 Ai 2 LAi k ) = P( Ai1 )P( Ai 2 )LP(Ai k ) 则称事件 则称事件 A1, A2, …,An 为相互独立 .
假如生男生女概率相等， 例2 假如生男生女概率相等，考虑一个有两个 孩子的家庭， 表示“ 孩子的家庭，以A表示“该家庭至多有一个男 表示 表示“ 孩”，B表示“该家庭男女孩都有”，问A和B是 表示 该家庭男女孩都有” 和 是 否独立？ 否独立？ 解 试验的样本空间为
{ （男，男），（男，女
），（女，男）（女，
显然有P(AB)=P(A)P(B)，此时 和B ，此时A和
相互独立
若事件A, 满足P( ) ( ) ( ) 定义 1 若事件 B 满足 (AB)= P(A)P(B), 则称事件 则称事件 A 与 B 相互独立 . 简称独立 . 简称独立 我们很容易验证，必然事件、 我们很容易验证，必然事件、不可能事件与任一 事件都是相互独立的
i =1 n
故 P( A) = 1 − P( A1)P( A2)LP( An) = 1 − (1− p)n
= 1 − 0. 996n. 当 n = 500 时， P(A)= 0. 865 . ( )
lim lim 只要 P(A)= p <1, 就有 n→∞ P( A) = n→∞[1 − (1− p)n ] = 1 ( ) 只要你坚持重复地做， 发生概率再小的事件总会发生 只要你坚持重复地做， 发生概率再小的事件总会发生.
概率1.4事件的独立性
(2) 计算n个相互独立的事件A1 , A2 ,, An的和事件
的概率可简化为
P A1 A2 An 1 P Ai
i 1 n
三、独立性的概念在计算概率中的应用 三个臭皮匠顶个诸葛亮！！ 对独立事件，许多概率计算可得到简化：
例3 三人独立地去破译一份密码，已知各人能 译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至 少有一人能将密码译出的概率是多少？
解：将三人编号为1，2，3， 记 Ai={第i个人破译出密码} i=1,2,3 所求为 P(A1 U A2 U A3)
1
记 Ai={第i个人破译出密码} i=1,2,3 所求为 P(A1UA2UA3) 已知, P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4
3
P(A1UA2UA3) 1 P ( A1 A2 An )
问事件A、B是否独立？ 解： 由于 P(A)=4/52=1/13, P(B)=26/52=1/2 P(AB)=2/52=1/26 可见, P(AB)=P(A)P(B) 说明事件A、B独立.
前面我们是根据两事件独立的定义作 出结论的，也可以通过计算条件概率去做:
从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的} 则 由于 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13
练
习
例. 某保险公司把被保险人分为三类：“安全 的”、“一般的”与“危险的”。统计资 料表 明，对于上述3种人而言，在一年期间内发 生事故的概率依次为0.05、0.15与0.30。如 果在被保险人中“安全的”占15%，“一 般 的”占55%，“危险的”占30%，试问： 1. 任一被保险人在一年中发生事故的概 率是多少？ 2. 如果某被保险人在一年中发生了事故， 则他属于“危险的”一类人的概率是多 少？
1.4 相互独立事件、独立试验概型
P A1 A2 An 1 P A1 A2 An 1 P A1 A2 An 1 P A1 P A2 P An
1 0.4n 0.99
即
ln 0.01 0.4 0.01 , 解之得 , n 5.026 . ln 0.4
A, B 独立与 A, B不相容有什么关系 A, B 独立
P( AB) P( A) P( B)
A, B 不相容 AB 故当 P( A) 0 或 P( B) 0 时 A, B 独立 不能同时成立 A, B 不相容
若 A, B 独立，问 A, B 是否独立 若 P( AB) P( A) P( B), 则
解 以 A 记“飞机被击落” ，以Bi记“飞机被 i 个人命 中” , 再以Cj 依次记“飞机被甲、乙、丙分别击中” ( i, j = 1, 2, 3), 则易见B1, B2, B3构成样本空间Ω的一个 方式一 P(C1C2C3 C1C2C3 C1C2C3 ) ? 划分.
P( B1 ) ?
飞 机 被 命 中
P( A | B) P( A), P( B | A) P( B) P( AB) P( A | B) P( B) P( B | A) P( A) P( A) P( B)
第四讲 事件的独立性 与Bernoulli独立试验概型
独立性的定义、依实际意义 判断独立性 Bernoulli独立试验概型
抛甲、乙两枚硬币，观察正反面出现的情况，则样本 空间是
S { HH, HT,TH,TT }
记事件 {甲出现正面 }, B {乙出现正面 } A ,B 设A 是两个事件，若
P( AB) P( A) P( B)
A, A B, 之间是没有任何关系的 ,它们具有“独立性” 则称事件 B 相互独立,简称 A, B 独立 A, B “独立”
第4讲 事件的独立性
P( A ∪ B) = 1 − P( A ∪ B) = 1 − P( A B)
= 1 − 0.1× 0.2 = 0.98
一 、事件的独立性
1. 两个事件的独立性 2. 三个事件的独立性 定义3 如果随机事件A, B, C 满足
⎧ P ( AB ) = P ( A) P ( B ) ⎪ ⎨ P ( AC ) = P ( A) P (C ) ⎪ P ( BC ) = P ( B ) P (C ) ⎩
= P ( A) P ( E )[1 − P ( B ∪ C ∪ D )]
= P ( A) P ( E )[1 − P ( B ) P (C ) P ( D )]
= q 2 [1 − (1 − p) 3 ]
解 (2) G表示“元件B， C，D中仅有一个正常工 作”，则
G = BC D + BC D + BCD
P ( B | A) = P ( B) = P ( B | A)
P ( AB) = P ( A) P ( B | A) = P ( A) P ( B)
事件B发 生的概率 不受事件 A与否发 生的影响
一 、事件的独立性
1. 两个事件的独立性 定义1 设A，B是随机试验E的两个随机事件，如果 事件 B 发生的概率不受事件 A 与否发生的影响，则称事件 P ( B | A) = P ( B) = P ( B | A) A与B独立. 设A，B是随机试验E的两个随机事件，如果 P ( AB) = P ( A) P ( B), 则称事件A与B独立. 定义2
解 设事件 A、B、C 分别表示在这段时间内机床 甲、乙、丙不需要工人照管. 有机床需要工人照管也就 是至少有一部机床需要工人照管，另外我们应注意到三 部机床由一名工人照管，即因无人照管而停工等价于在 该段时间内至少有两部机床同时需要工人照管. 又已知条件A、B、C 相互独立，且 P ( A) = 0.9, P ( B ) = 0.8, P (C ) = 0.85 则有机床需要工人照管的概率
概率论与数理统计1.4事件的独立性与二项概型
P( A1 A2 An ) 1 P( A1 A2 An ) 1 P( A1 ) P( A2 ) P( An ).
P ( Ai A j Ak ) P ( Ai ) P ( A j ) P ( Ak ) P ( Ai An ) P ( Ai ) P ( An ) P ( Ai A j ) P ( Ai ) P ( A j )
k Pn (k ) Cn pk qnk ,
k 0, 1, 2, , n
其中 p + q = 1.
证明 n次试验中事件A在某k次发生， 在其余 n-k次 不发生，由试验的独立性，有
P Ai1 Ai 2 Aik Ai ,k 1 Ain pk (1 p)nk pk qnk .
k 在n次试验中，A发生k次的方式有 Cn 种.且任何两种
方式都是互不相容的，于是有
k P (k ) Cn pk q nk , n
显然
k Pn (k ) Cn p k q n k ( p q)n 1. k 0 k 0
n
n
此式刚好是二项式(p+q)n 的展开式中的第k+1项，故 亦称为二项概率公式.
例4设随机试验E中,事件A出现的概率0＜P(A)＜1， 试证不断独立重复试验时，A迟早会出现的概率为1．
证 设Ai={A在第i次试验出现}， i=1,…,n
P（Ai）=r ，前n次试验中，A都不出现的概率为
P( A1 A2 An ) (1 r )n ,
因此，在n次试验中，A至少出现一次的概率为
或
P(C) 1 P(A B)
1 (1 P( A))(1 P( B))
2、多个事件的独立性 2.1 3个事件的独立性的定义 三个事件A、B、C，如果满足下面四个等式
1.4 事件的独立性
试验E只关注两个结果：A和A, 则称E为一个 伯努利试验. 设P(A)=p.
在相同条件下，将伯努利试验独立重复进行n次, 称这n次试验为n重伯努利试验.
注:“独立”——每次试验的结果互不影响； “重复”——每次试验中事件A的概率相同, 即P(A)保持不变.
伯努利定理
设在一次试验中事件Ａ发生的概率为 p (0<p<1) ，则在n重伯努利试验中Ａ恰好发
生活中的例子2：
日常生活中我们总希望自己的运气能好一些，碰运气的也 大有人在，就像考生面临考试一样，这其中固然有真才实学 者，但也不乏抱着侥幸心理的滥竽充数者。那么，对于一场 正规的考试仅凭运气能通过吗?
大学英语四级考试是全面检验大学生英语水平的一种考试， 具有一定难度，包括听力、语法结构、阅读理解、填空、写 作等。除写作15分外，其余85道题是单项选择题，每道题有A、 B、C、D四个选项，这种情况使个别学生产生碰运气和侥幸 心理，那么靠运气能通过四级英语考试吗?答案是否定的。假 设不考虑写作15分，及格按60分算，则85道题必须答对51题 以上，可以看成85重贝努利试验。
解 设Ａi表示"第i门炮命中敌机",i=1,2,3. (1) 设Ａ表示"恰有一门炮命中敌机".
P( A) P( A1 A2 A3 A1A2 A3 A1 A2 A3 )
P( A1 A2 A3) P( A1A2 A3) P(A1 A2 A3)
P(A1)P(A2)P(A3) P(A1)P(A2)P(A3) P(A1)P(A2)P(A3) 0.150.80.75 0.850.20.750.850.80.25 0.385
技巧:复杂事件 从对立面计算
1 P(A1 A2 A3)
在相同条件下，将伯努利试验独立重复进行n次, 称这n次试验为n重伯努利试验.
注:“独立”——每次试验的结果互不影响； “重复”——每次试验中事件A的概率相同, 即P(A)保持不变.
伯努利定理
设在一次试验中事件Ａ发生的概率为 p (0<p<1) ，则在n重伯努利试验中Ａ恰好发
生活中的例子2：
日常生活中我们总希望自己的运气能好一些，碰运气的也 大有人在，就像考生面临考试一样，这其中固然有真才实学 者，但也不乏抱着侥幸心理的滥竽充数者。那么，对于一场 正规的考试仅凭运气能通过吗?
大学英语四级考试是全面检验大学生英语水平的一种考试， 具有一定难度，包括听力、语法结构、阅读理解、填空、写 作等。除写作15分外，其余85道题是单项选择题，每道题有A、 B、C、D四个选项，这种情况使个别学生产生碰运气和侥幸 心理，那么靠运气能通过四级英语考试吗?答案是否定的。假 设不考虑写作15分，及格按60分算，则85道题必须答对51题 以上，可以看成85重贝努利试验。
解 设Ａi表示"第i门炮命中敌机",i=1,2,3. (1) 设Ａ表示"恰有一门炮命中敌机".
P( A) P( A1 A2 A3 A1A2 A3 A1 A2 A3 )
P( A1 A2 A3) P( A1A2 A3) P(A1 A2 A3)
P(A1)P(A2)P(A3) P(A1)P(A2)P(A3) P(A1)P(A2)P(A3) 0.150.80.75 0.850.20.750.850.80.25 0.385
技巧:复杂事件 从对立面计算
1 P(A1 A2 A3)
交大：概率论与数理统计1.4事件的独立性
Ch1-83例1 已知袋中有5只红球, 3只白球.从袋中 有放回地取球两次,每次取1球. 事件的独立性 设第 i 次求 取得白球为事件 A i ( i =1, 2 ) .,)(12A A P ,)(12A A P ,)(,)(21A P A P 解 ,8/3)(12=A A P ,8/3)(12=A A P ,)(8/3)(21A P A P ==)()()(12212A A P A P A A P ==§1.4 事件的独立性事件 A 1 发生与否对 A 2 发生的概率没有影 响可视为事件A 1与A 2相互独立)()()8/3()(121221A A P A P A A P ==定义 设 A , B 为两事件，若 )()()(B P A P AB P =则称事件 A 与事件 B 相互独立)()(21A P A P =两事件相互独立的性质❑ 两事件 A 与 B 相互独立是相互对称的 ❑ 若 )()(,0)(A B P B P A P =>则若 )()(,0)(B A P A P B P =>则❑ 若 ,0)(,0)(>>B P A P 则“事件 A 与 事件 B 相互独立”和 “事件 A 与 事件 B 互斥”不能同时成立 (自行证明)四对事件 BA B A B A B A ,;,;,;,任何一对相互独立,则其它三对也相互独立 试证其一 独立独立B A B A ,,⇒事实上)()()()(B A P A P B A A P AB P -=-=[])()()(1)(B P A P B P A P =-=)()()(B P A P A P -=Ch1-87三事件 A , B , C 相互独立是指下面的关系式同时成立：注：1) 关系式(1) (2)不能互相推出2)仅满足(1)式时,称 A , B , C 两两独立)()()()()()()()()(C P B P BC P C P A P AC P B P A P AB P ===(1) )()()()(C P B P A P ABC P =(2)A ,B ,C 相互独立 A , B , C 两两独立定义Ch1-88 例2有一均匀的八面体, 各面涂有颜色如下将八面体向上抛掷一次, 观察向下一面出现的颜色。
事件的独立性与贝努里概型
• 第二步，分别确定三类岗位的比例。 • 第三步，分别确定三类岗位数
• 第四步，确定三类岗位内部不同等级 的岗位数量。
可编辑ppt
6
（二）岗位总数确定
• 三种情况 • 1、超编 • 2、满编 • 3、空编
可编辑ppt
7
（三）主体岗位
• 根据：一是社会功能；二是职责任务；三 是工作性质；四是人员结构特点。
• 工勤技能一级、二级岗位主要应在专业技术辅助 岗位承担技能操作和维护职责等对技能水平要求 较高的领域设置。
• 比例按赣人发[2008]14号。
可编辑ppt
11
（七）双肩挑岗位问题
• 占两个岗 • 有专业技术资格 • 承担专业技术工作 • 双岗考核
可编辑ppt
12
（八）设置方案审批材料：
• 主管部门函 • 设置方案 • 情况表 • 岗位设置表
可编辑ppt
2
二、意义
• 1、人事管理基础 • 2、专技结构比例有提高 • 3、保底政策 • 4、上等级 • 5、身份管理向岗位管理转变，工人可以转
岗
• 6、不搞存在的问题：上等级上不了，新人 聘不了，积压矛盾越来越多。
可编辑ppt
3
三、范围
• 1、事业单位及其正式职工 • 2、参公事业单位除外
可编辑ppt
16
2、各等级管理岗位的基本任职条件
• （1）三级职员岗位，一般应在四级职员岗位上工作两年 以上；
• （2）四级职员岗位，一般应在五级职员岗位上工作三年 以上；
• （3）五级职员岗位，一般应在六级职员岗位上工作两年 以上；
• （4）六级职员岗位，一般应在七级职员岗位上工作三年 以上；
• （5）七级职员岗位，一般应在八级职员岗位上工作三年 以上；
• 第四步，确定三类岗位内部不同等级 的岗位数量。
可编辑ppt
6
（二）岗位总数确定
• 三种情况 • 1、超编 • 2、满编 • 3、空编
可编辑ppt
7
（三）主体岗位
• 根据：一是社会功能；二是职责任务；三 是工作性质；四是人员结构特点。
• 工勤技能一级、二级岗位主要应在专业技术辅助 岗位承担技能操作和维护职责等对技能水平要求 较高的领域设置。
• 比例按赣人发[2008]14号。
可编辑ppt
11
（七）双肩挑岗位问题
• 占两个岗 • 有专业技术资格 • 承担专业技术工作 • 双岗考核
可编辑ppt
12
（八）设置方案审批材料：
• 主管部门函 • 设置方案 • 情况表 • 岗位设置表
可编辑ppt
2
二、意义
• 1、人事管理基础 • 2、专技结构比例有提高 • 3、保底政策 • 4、上等级 • 5、身份管理向岗位管理转变，工人可以转
岗
• 6、不搞存在的问题：上等级上不了，新人 聘不了，积压矛盾越来越多。
可编辑ppt
3
三、范围
• 1、事业单位及其正式职工 • 2、参公事业单位除外
可编辑ppt
16
2、各等级管理岗位的基本任职条件
• （1）三级职员岗位，一般应在四级职员岗位上工作两年 以上；
• （2）四级职员岗位，一般应在五级职员岗位上工作三年 以上；
• （3）五级职员岗位，一般应在六级职员岗位上工作两年 以上；
• （4）六级职员岗位，一般应在七级职员岗位上工作三年 以上；
• （5）七级职员岗位，一般应在八级职员岗位上工作三年 以上；
1.4 事件的独立性与伯努利概型
(2)当A,B相互独立时 (3)当AB时
3、加工一产品要经过三道工序，第一、二、三道 工序不出废品的概率分别为0.90，0.95，0.80， 若假定各工序是否出废品为独立的，则经过三道 工序而不出废品的概率为
0.9 0.95 0.80 . 0.684
4、三人独立地破译一个密码，
他们能破译的概率分别为，
，，
。
4 2 3 1 0.6 5 3 4 则将此密码破译出的概率为
独立性的作用
条件概率是概率论中另一重要概念， 它与独立性有密切联系。独立性是概率论中特 有的概念，它的引进大大推动了概率论的发展。 前期概率论中最重要的一些结果大都是在独立
性下获得的，只有到了近代才开始研究一些不
8 10
即放回抽样时， P(A2|A1)= P(A2) 且 P(A1|A2)= P(A1)
即放回抽样时， P(A2|A1)= P(A2) 且 P(A1|A2)= P(A1)
结论：A1的发生对A2的发生概率不影响
同样，A2的发生对A1的发生概率不影响
1
0
P ( AB) 若：P ( A B ) P ( A) , P ( A) 0 P( B)
且P(B|A)=P(B).
例2：有10件产品，其中8件为正品，2件为次品。
从中取2次,每次取1件，设Ai={第i次取到正品}，i=1,2
不放回抽样时
放回抽样时
2 8 8 8 8 10 10 10
P(A2)= P(A2|A1)=
2 8 8 7 8 10 9 10
7 9
P (B A) P ( B )
P ( AB) , P( B) 0 P ( A)
则说A与B相互独立
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例2 某人进行射击,设每次射击的命中率为p,独立射击n次， 试求至少击中两次的概率
解: 以X记击中次数
P(X2) =1-P(X<2) =1-P(X=0)-P(X=1) =1-(1-p)n-Cn1p(1-p)n-1
例3 做一系列独立试验,每次试验中成功的概率为p,求 在成功n次之前已经失败了m次的概率 解： 令A={第n+m次试验成功} B={前n+m-1次试验中失败m次(成功了n-1次)} C 则所求的概率为： P(AB)=P(A)P(B)= p · mn+m-1 (1-p) mpn-1
(2) 假设需要n门高射炮, 则由题意:P(A1∪…∪An )>0.99
一.贝努里概型
1.试验的独立性概念 定义4:设事件A,B分别是试验E1,E2的任意两个事件, 若 P(AB)=P(A)P(B), 则称试验E1,E2是相互独立的 “试验是相互独立的”指的是试验的结果是相互独立的
设一个试验E只有两个可能的结果A,A,且P(A)=p,P(A)=1-p=q (p<1) 将E独立地重复n次,构成一个试验,叫做(n重)贝努里试验, 记作En (概型)
“一次抛掷n枚硬币”的试验可以看成“一枚硬币重复抛n次”， 所以也可以看成一个(n重)贝努里试验 掷一颗骰子,有六种结果.但如果我们只关心“出现六点”与 “不出现六点”这两种情况,则“掷一颗骰子”也可以看作是 (一重)贝努里试验．
?
2.二项概率
二项概率公式
b(k;n,p)= P({En中事件A恰好出现k次})=Cnk pkqn-k
则称事件A,B,C相互独立
注
A,B,C相互独立 A,B,C两两相互独立； ？
2)多个事件的独立性 定义3: (略)
定理2: A1…An 相互独立,则其中任意k(k≤n)个也相互独立 定理3: A1…An 相互独立,则将A1…An中任意多个事件换成 它们的对立事件，所得的n个事件仍相互独立
注 由n个事件的独立性,可得到一个独立不互斥和的概率公之,互斥一定不相互独立
1. 多个事件的独立性
1)三个事件的独立性 P(AB)=P(A)P(B) P(AC)=P(A)P(C) P(BC)=P(B)P(C) P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
定义2: 若事件A,B,C同时满足:
§1.4 事件的独立性及贝努里(Bernoulli)概型
一.独立性
1. 两个事件的独立性
定义1: 若P(AB)=P(A)P(B), 则称事件A、B相互独立
注
判断两事件的独立性,有时有经验而定,而要从理论上 证明两事件独立,则要以上述定义为依据
定理1: A、B相互独立,则A与B, A与B, A与B也相互独立 思考：比较“互不相容(互斥)”与“相互独立”两个概念 例1 已知P(A)=0.4, P(B)=0.3 0 (1)当 A,B互不相容时, P(A∪B) = 0.7 P(AB)= 0.12 (2)当 A,B相互独立时, P(A∪B) = 0.58 P(AB)=
P(A1∪…∪An )=1- P(A1∪…∪An ) =1- P(A1)… P( An ) (独立性) (有趣应用) 例1.书(P4536) 令A 解： i ={第i门高射炮发射一发炮弹击中飞机} P(A1)+P(A2)-P(A1A2)= (1)P(A1∪A2 )= 或1-P(A1∪A2) =1- P(A1)P (A2)=
2.几何概率分布
g(k;p) = P{A首次成功出现在第k次} =p qk-1 特点：不达目的不罢休，一达目的就休止 例 书例1.4.7(略) 特别地: 若P(A1)=… =P( An )=p<1 P(A1∪…∪An )=1-(1-p)n 1 (n ∞ )
假设独立重复做n次某一试验E,A是某一随机事件, Ai表示第i次试验 中A出现,则n趋于∞时， n次试验中A至少出现一次的概率趋近于1 此结论说明：小概率事件迟早要发生