初中数学竟赛辅导资料：数的整除(三)
初中数学竞赛辅导
初中数学竞赛辅导资料3质数 合数甲内容提要1 正整数的一种分类： 质数的定义：如果一个大于1的正整数,只能被1和它本身整除,那么这个正整数叫做质数质数也称素数.合数的定义：一个正整数除了能被1和本身整除外,还能被其他的正整数整除,这样的正整数叫做合数.2 根椐质数定义可知① 质数只有1和本身两个正约数,② 质数中只有一个偶数2如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2,如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2,3任何合数都可以分解为几个质数的积.能写成几个质数的积的正整数就是合数.乙例题例1两个质数的和等于奇数a a ≥5.求这两个数解：∵两个质数的和等于奇数∴必有一个是2所求的两个质数是2和a －2.例2己知两个整数的积等于质数m, 求这两个数解：∵质数m 只含两个正约数1和m,又∵－1－m=m∴所求的两个整数是1和m 或者－1和－m.例3己知三个质数a,b,c 它们的积等于30求适合条件的a,b,c 的值解：分解质因数：30＝2×3×5适合条件的值共有： ⎪⎩⎪⎨⎧===532c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===352c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===523c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===253c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===325c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===235c b a 应注意上述六组值的书写排列顺序,本题如果改为4个质数a,b,c,d 它们的积等于210,即abcd=2×3×5×7那么适合条件的a,b,c,d 值共有24组,试把它写出来.例4试写出4个连续正整数,使它们个个都是合数.解：本题答案不是唯一的设N 是不大于5的所有质数的积,即N ＝2×3×5那么N ＋2,N ＋3,N ＋4,N ＋5就是适合条件的四个合数即32,33,34,35就是所求的一组数.本题可推广到n 个.令N 等于不大于n+1的所有质数的积,那么N ＋2, N ＋3,N ＋4,……N ＋n+1就是所求的合数.丙练习31， 小于100的质数共___个,它们是__________________________________ 2， 己知质数P 与奇数Q 的和是11,则P ＝＿＿,Q ＝＿＿3， 己知两个素数的差是41,那么它们分别是＿＿＿＿＿4， 如果两个自然数的积等于19,那么这两个数是＿＿＿如果两个整数的积等于73,那么它们是＿＿＿＿如果两个质数的积等于15,则它们是＿＿＿＿＿5, 两个质数x 和y,己知 xy=91,那么x=__,y=__,或x=__,y=__. 6, 三个质数a,b,c 它们的积等于1990.那么 ⎪⎩⎪⎨⎧===c b a7, 能整除311＋513的最小质数是＿＿8,己知两个质数A 和B 适合等式A ＋B ＝99,AB ＝M.求M 及B A ＋AB 的值 9,试写出6个连续正整数,使它们个个都是合数.10,具备什么条件的最简正分数可化为有限小数11,求适合下列三个条件的最小整数：① 大于1 ②没有小于10的质因数 ③不是质数12,某质数加上6或减去6都仍是质数,且这三个质数均在30到50之间,那么这个质数是＿＿＿13,一个质数加上10或减去14都仍是质数,这个质数是＿＿.。
初中数学竞赛：数的整除性
一，知能概述
对于整数a和不为零的整数b,总存 在整数m,n使得a-bm+n(0≤n<b),其中 m称为商,n称为余数,特别地,当n=0 时,即a=bm,便称a被b整除(也称a是b 的倍数或b是a的约数),记为b/a整除 有以下基本性质
1.若a|b,alc,则a|(b±c)2.若ab,b1c,则a|c;3.若ab,且 (aC)=1,则ab,特别地,若质数pb,则必有pb或pl;4.若 ba,ca,且(b,c)=1,则bea解整除有关间题常用到数的 整除性常见特征被2整除的数:个位数字是偶数
三，练习
1.(第14届五羊杯竞赛题)2002的不大于100的
正约数有( )
A.8个 B.9个
C.10个
D.11个
20 02=2×7×11×13.易见它的不大于 100的约数是 1,2,7,11,137,2×11,2×13,7×11,7×13,共 10个
2.(2005年河北初中数学竞赛题)在小于 1000的正整数中,能被5整除或能被7整除, 但是不能被35整除的数的个数为( )
6.(首届华杯赛试题)一个六位数3434ab能同时 被8和9整除,已知a+b=c,求c的最小值
由n=3434ab是9的倍数,知 3+4+3+4+a+b=14+a+b是9的倍数故a+b=4或13 由n是8的倍数,知4ab是8的倍数,从而ab是8的 倍数,易见a==0符合条件,且使a+b=c取最小值 4.
如果用[x]表示正数x的整数部分,那么,在小 于1000的999个正整数中,有[999/5]个数能被 5整除, [999/7]个数能被7整除.而既能被5整 除,又能被7整除的数有[999/35]个故所求数 的个数为[999/5]+ [999/7]-2 [999/35]=285
七年级数学竞赛题：数的整除性
七年级数学竞赛题：数的整除性设a、b是整数，b≠O，如果一个整数q，使得a=bq，那么称a能被b整除，或称b整除n，记作b|a以，又称b为a的约数，而以称为b的倍数，解与整数的整除相关问题常用到以下知识：1．数的整除性常见特征对于具有某个条件的整数都能被整数b整除，而不具备这个条件的整数就不能被整数b 整除，这种条件就叫做能被整数b整除的特征．①若整数a的个位数是偶数，则2|a；②若整数a的个位数是0或5，则5|a；⑧若整数a的各位数字之和是3(或9)的倍数，则3|a(或9|a)；④若整数a的末二位数是4(或25)的倍数，则4|a(或25|a)；⑤若整数a的末三位数是8(或125)的倍数，则8|a(或125|a)；⑥若整数a的奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数，则11|a．2．整除的常用性质设a、b、c、d都是整数，有①若b|a，c|b，则c|a；②若c|a，c|b，则c|(a±b)；③若b|a，c|b，则[b，c]a；④若b|a，c|a，且b与c互质，则bc|a．例1在1，2，3…，2000这2000个自然数中，有_____个自然数能同时被2和3整除，而且不能被5整除． (第13届“五羊杯”竞赛题) 解题思路自然数n能同时被2和3整除，则n能被6整除，从中剔除能被5整除的数，即为所求．例2盒中原有7个球，一位魔术师从中任取几个球，把每一个小球都变成7个小球，将其放回盒中，他又从盒中任取一些小球，把每一个小球又都变成7个小球后放回盒中，如此进行，到某一时刻魔术师停止取球变魔术时，盒中球的总数可能是下面的( )．(“祖冲之杯”邀请赛试题)(A)1990个 (B)1991个 (C)1992个 (D)1993个解题思路先从简单情形实验，探寻盒中球的总数变化的规律，这是解本例的突破口．13ab能被198整除，求a、b的值．例3 已知整数456(2002年江苏省初一数学竞赛题)13ab能被9、11整除，运用整除的相关特性建立a、解题思路198=2×9×11，整数456b的等式，求出a、b的值．abc 被37整除，证明：六位数abcdef 例4 已知两个三位数abc的和def能的和def也能被37整除． (“缙云杯”邀请赛试题)解题思路 因已知条件的数是三位数，而abcdef 六位数，故设法把abcdef ．位数的形式表示，以沟通已知与未知的联系．例5求所有满足下列条件的四位数：能被111整除，且除得的商等于该四位数的各位数字之和． (2000年上海市竞赛题)解题思路设这个四位数,abcd ，而111|abcd ，且其商为a+b+c+d ，从而可得关于a 、b 、c 、d 的等式，又因a 、b 、f 、d 是一个四位数的各位数字，从中可分析求出其值．A1．某班学生不到50人，在一次测验中，有71的学生得优，31的学生得良，21的学生得及格，则有________人不及格．2．从l 到10000这1万个自然数中，有________个数被5或能被7整除。
七年级竞赛数学培优辅导——整式的整除(word打印版)
七年级竞赛数学培优辅导——整式的整除内容提要1． 定义：如果一个整式除以另一个整式所得的商式也是一个整式，并且余式是零，则称这个整式被另一个整式整除。
2． 根据被除式＝除式×商式＋余式，设f(x),p(x),q(x)都是含x 的整式，那么 式的整除的意义可以表示为：若f(x)＝p(x)×q(x)， 则称f(x)能被 p(x)和q(x)整除例如∵x 2－3x －4＝（x －4）（x +1）,∴x 2－3x －4能被（x －4）和（x +1）整除。
显然当 x=4或x=－1时x 2－3x －4＝0，3． 一般地，若整式f(x)含有x –a 的因式，则f(a)=0反过来也成立，若f(a)=0,则x －a 能整除f(x)。
4． 在二次三项式中若x 2+px+q=(x+a)(x+b)＝x 2+(a+b)x+ab 则p=a+b,q=ab在恒等式中，左右两边同类项的系数相等。
这可以推广到任意多项式。
例题例1己知 x 2－5x+m 能被x －2整除，求m 的值。
x －3解法一：列竖式做除法 （如右） x －2 x 2－5x+m由 余式m －6＝0 得m=6 x 2－2x解法二：∵ x 2－5x+m 含有x －2 的因式 －3x+m∴ 以x=2代入 x 2－5x+m 得 －3x+622－5×2 ＋m=0 得m=6 m －6 解法三：设x 2－5x+m 除以x －2 的商是x+a (a 为待定系数)那么 x 2－5x+m ＝(x+a)(x －2)＝ x 2+(a-2)x －2a根据左右两边同类项的系数相等，得⎩⎨⎧=--=-m a a 252 解得⎩⎨⎧=-=63m a （本题解法叫待定系数法） 例2 己知:x 4－5x 3+11x 2+mx+n 能被x 2－2x+1整除求：m 、n 的值及商式解：∵被除式＝除式×商式 （整除时余式为0）∴商式可设为x 2+ax+b得x 4－5x 3+11x 2+mx+n ＝（x 2－2x+1）（x 2+ax+b ）＝x 4+(a-2)x 3+(b+1-2a)x 2+(a-2b)x+b根据恒等式中，左右两边同类项的系数相等，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-+-=-n b m b a a b a 12112152 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==-=4113n m n b a ∴m=－11, n=4, 商式是x 2－3x+4例3 m 取什么值时，x 3+y 3+z 3+mxyz (xyz ≠0)能被x+y+z 整除?解：当 x 3+y 3+z 3+mxyz 能被x+y+z 整除时，它含有x+y+z 因式令x+y+z＝0，得x=－（y+z），代入原式其值必为0即［－（y+z）］3+y3+z3－myz(y+z)=0把左边因式分解，得－yz(y+z)(m+3)=0,∵yz≠0, ∴当y+z=0或m+3=0时等式成立∴当x,y（或y,z或x,z）互为相反数时，m可取任何值，当m=－3时，x,y,z不论取什么值，原式都能被x+y+z整除。
初中数学竞赛辅导资料(七年级用)
初中数学竞赛辅导资料第一讲 数的整除一、内容提要：如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除.能被7整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。
如 1001 100－2＝98（能被7整除）又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100－1＝99（能11整除）又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除） 二、例题例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。
求x,y解：x,y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y=6. ∵328＋92x ＝567，∴x=3 例2已知五位数x 1234能被12整除，求x解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除， 当1＋2＋3＋4＋x 能被3整除时，x=2，5，8 当末两位4x 能被4整除时，x ＝0，4，8∴x＝8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行调整末两位数为30，41，52，63，均可，∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。
练习一1、分解质因数：（写成质因数为底的幂的连乘积）①756②1859③1287④3276⑤10101⑥10296987能被3整除，那么a=_______________2、若四位数ax能被11整除，那么x＝__________3、若五位数123435m能被25整除4、当m=_________时，59610能被7整除5、当n=__________时，n6、能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________7、能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最大四位数是_________。
初中数学竞赛专题培训(24)：整数的整除性
初中数学竞赛专题培训第二十四讲* 整数的整除性整数的整除性问题，是数论中的最基本问题，也是国内外数学竞赛中最常出现的内容之一．由于整数性质的论证是具体、严格、富有技巧，它既容易使学生接受，又是培养学生逻辑思维和推理能力的一个有效课题，因此，了解一些整数的性质和整除性问题的解法是很有必要的．1．整除的基本概念与性质所谓整除，就是一个整数被另一个整数除尽，其数学定义如下．定义设a，b是整数，b≠0．如果有一个整数q，使得a=bq，那么称a能被b整除，或称b整除a，并记作b｜a．如果不存在这样的整数q，使得a=bq，则称a不能被b整除，或称b不整除a，记作b a．关于整数的整除，有如下一些基本性质：性质1若b｜a，c｜b，则c｜a．性质2若c｜a，c｜b，则c｜(a±b)．性质3若c｜a，c b，则c(a±b)．性质4若b｜a，d｜c，则bd｜ac．性质5若a=b＋c，且m｜a，m｜b，则m｜c．性质6若b｜a，c｜a，则[b，c]｜a(此处[b，c]为b，c的最小公倍数)．特别地，当(b，c)=1时，bc｜a(此处(b，c)为b，c的最大公约数)．性质7若c｜ab，且(c，a)=1，则c｜b．特别地，若p是质数，且p｜ab，则p｜a或p｜b．性质8若a≠b，n是自然数，则(a-b)｜(a n-b n)．性质9若a≠-b，n是正偶数，则(a＋b)｜(a n-b n)．性质10若a≠-b，n是正奇数，则(a＋b)｜(a n＋b n)．2．证明整除的基本方法证明整除常用下列几种方法：(1)利用基本性质法；(2)分解因式法；(3)按模分类法；(4)反证法．下面举例说明．例1证明：三个连续奇数的平方和加1，能被12整除，但不能被24整除．分析要证明一个数能被12整除但不能被24整除，只需证明此数等于12乘上一个奇数即可．证设三个连续的奇数分别为2n-1，2n＋1，2n+3(其中n是整数)，于是(2n-1)2+(2n+1)2+(2n+3)2＋1=12(n2＋n＋1)．所以12｜[(2n-1)2＋(2n＋1)2＋(2n＋3)2]．又n2+n＋1=n(n＋1)+1，而n，n+1是相邻的两个整数，必定一奇一偶，所以n(n+1)是偶数，从而n2＋n+1是奇数，故24 [(2n-1)2+(2n+1)2＋(2n＋3)2]．例2若x，y为整数，且2x+3y，9x＋5y之一能被17整除，那么另一个也能被17整除．证设u=2x＋3y，v=9x＋5y．若17｜u，从上面两式中消去y，得3v-5u=17x．①所以 17｜3v．因为(17，3)=1，所以17｜v，即17｜9x＋5y．若17｜v，同样从①式可知17｜5u．因为(17，5)=1，所以17｜u，即17｜2x＋3y．q＞1．求pq 的值．解若p=q，则不是整数，所以p≠q．不妨设p＜q，于是是整数，所以p只能为3，从而q=5．所以pq=3×5=15．例4试求出两两互质的不同的三个自然数x，y，z，使得其中任意两个的和能被第三个数整除．分析题中有三个未知数，我们设法得到一些方程，然后从中解出这些未知数．最小的一个：y｜(y＋2x)，所以y｜2x，于是数两两互质，所以x=1．所求的三个数为1，2，3．例5设n是奇数，求证：60｜6n-3n-2n-1．分析因为60=22×3×5，22，3，5是两两互质的，所以由性质6，只需证明22，3，5能被6n-3n-2n-1整除即可．对于幂的形式，我们常常利用性质8～性质10，其本质是因式分解．证 60=22×3×5．由于n是奇数，利用性质8和性质10，有22｜6n-2n，22｜3n＋1，所以22｜6n-2n-3n-1， 3｜6n-3n， 3｜2n+1，所以3｜6n-3n-2n-1，5｜6n-1，5｜3n+2n，所以5｜6n-1-3n-2n．由于22，3，5两两互质，所以60｜6n-3n-2n-1．我们通常把整数分成奇数和偶数两类，即被2除余数为0的是偶数，余数为1的是奇数．偶数常用2k表示，奇数常用2k+1表示，其实这就是按模2分类．又如，一个整数a被3除时，余数只能是0，1，2这三种可能，因此，全体整数可以分为3k，3k ＋1，3k＋2这三类形式，这是按模3分类．有时为了解题方便，还常把整数按模4、模5、模6、模8等分类，但这要具体问题具体处理．例6若整数a不被2和3整除，求证：24｜(a2-1)．分析因为a既不能被2整除，也不能被3整除，所以，按模2分类与按模3分类都是不合适的．较好的想法是按模6分类，把整数分成6k，6k＋1，6k＋2，6k＋3，6k＋4，6k＋5这六类．由于6k，6k＋2，6k＋4是2的倍数，6k＋3是3的倍数，所以a只能具有6k＋1或6k＋5的形式，有时候为了方便起见，也常把6k ＋5写成6k-1(它们除以6余数均为5)．证因为a不被2和3整除，故a具有6k±1的形式，其中k 是自然数，所以a2-1=(6k±1)2-1=36k2±12k=12k(3k±1)．由于k 与3k±1为一奇一偶(若k为奇数，则3k±1为偶数，若k为偶数，则3k±1为奇数)，所以2｜k(3k±1)，于是便有24｜(a2-1)．例7求证：3n+1(n为正整数)能被2或22整除，但不能被2的更高次幂整除．证按模2分类．若n=2k为偶数，k为正整数，则3n＋1=32k＋1=(3k)2＋1．由3k是奇数，(3k)2是奇数的平方，奇数的平方除以8余1，故可设(3k)2=8l＋1，于是3n＋1=8l＋2=2(4l＋1)．4l＋1是奇数，不含有2的因数，所以3n＋1能被2整除，但不能被2的更高次幂整除．若n=2k＋1为奇数，k为非负整数，则3n+1=32k＋1+1=3·(3k)2＋1=3(8l＋1)＋1=4(6l＋1)．由于6l＋1是奇数，所以此时3n+1能被22整除，但不能被2的更高次幂整除．在解决有些整除性问题时，直接证明较为困难，可以用反证法来证．例8已知a，b是整数，a2＋b2能被3整除，求证：a和b 都能被3整除．证用反证法．如果a，b不都能被3整除，那么有如下两种情况：(1)a，b两数中恰有一个能被3整除，不妨设3｜a，3b．令a=3m，b=3n±1(m，n都是整数)，于是a2+b2=9m2+9n2±6n+1=3(3m2＋3n2±2n)+1，不是3的倍数，矛盾．(2)a，b两数都不能被3整除．令a=3m±1，b=3n±1，则a2＋b2=(3m±1)2+(3n±1)2=9m2±6m+1+9n2±6n＋1=3(3m2+3n2±2m±2n)＋2，不能被3整除，矛盾．由此可知，a，b都是3的倍数．例9设p是质数，证明：满足a2=pb2的正整数a，b不存在．证用反证法．假定存在正整数a，b，使得a2=pb2令(a，b)=d，a=a1d，b=b1d，则(a1，b1)=1．所以与(a1，b1)=1矛盾．例10设p，q均为自然数，且求证：29｜p．证注意到29是质数．令a=10×11× (19)所以 ap=29q·b，29｜a·p，29是质数，且29a，所以29｜p．练习二十四1．求证：对任意自然数n，2×7n＋1能被3整除．2．证明：当a是奇数时，a(a2-1)能被24整除．3．已知整数x，y，使得7｜(13x+8y)，求证：7｜(9x＋5y)．4．设p是大于3的质数，求证：24｜(p2-1)．5．求证：对任意自然数n，n(n-1)(2n-1)能被6整除．6．求证：三个连续自然数的立方和能被9整除．7．已知a，b，c，d为整数，ab＋cd能被a-c整除，求证：ad＋bc也能被a-c整除．。
初中数学竞赛精品标准教程及练习69数的整除
初中数学竞赛精品标准教程及练习69数的整除数的整除是初中数学中的一个重要概念，也是数学竞赛中经常考查的内容之一、理解数的整除对于解题非常关键。
一、概念解析1.整除如果一个整数a能被另一个整数b整除，即a÷b的余数为0，我们就说a可以被b整除，记作b，a，反之，如果a不能被b整除，我们就说a不能被b整除，记作b∤a。
例如，若a=12，b=4，则12÷4=3（余0），所以4，12；而12÷5=2（余2），所以5∤122.数的整除性质（1）对于任意的整数a，有1，a（即1能被任意整数整除）；（2）对于任意的整数a，都有a，0（即任意一个整数都能整除0）；（3）对于任意的整数a，有a，a（即一个数能整除它自己）；（4）对于任意的非零整数a，有±a，a（即一个数的相反数能整除该数）；（5）对于任意的整数a，若a，b且b，c，则a，c（即如果一个数能整除另一个数，而另一个数又能整除第三个数，那么这个数也能整除第三个数）；（6）对于任意的整数a，b，c，若a，b且a，c，则a，（b±c）（即如果一个数能同时整除两个数，那么它也能整除这两个数的和或差）；（7）对于任意的整数a，b，c，若a，b且a，c，则a，（mb±nc）（其中m和n为任意整数）（即一个数能整除两个数，那么它也能整除这两个数的任意倍数之和或差）。
二、基本思路在数的整除方面，需要掌握以下几种基本思路：1.列出数的约数，判断一个数是否可以整除另一个数；2.利用数的整除性质进行推理，从已知条件出发找到目标；3.利用最大公约数和最小公倍数的性质进行推理。
三、典型例题【例题1】证明：一个正整数，如果不能同时被2和3整除，那么它一定不能被6整除。
解题思路：根据题目中的条件，如果一个正整数不能同时被2和3整除，那么它必然不能同时被2和3的最小公倍数6整除。
根据最小公倍数的性质，如果一个数不能被6整除，则它一定不能被6的约数2和3整除。
初中数学竞赛精品标准教程及练习01数的整除
初中数学竞赛精品标准教程及练习01数的整除数的整除是初中数学竞赛中常见的考点之一，在解题过程中需要掌握一些基本的概念和操作方法。
本文将介绍数的整除的基本概念和性质，并附上一些练习题供大家练习。
一、整除的定义对于两个整数a和b，如果存在一个整数c，使得a=c*b，那么我们就说a能够被b整除，b是a的一个因数，同时也说b是a的一个除数，记作b，a。
例如，2能够被4整除，就表示4是2的一个因数。
二、整除性质1.若a能够被c整除，而c能够被b整除，则a能够被b整除。
2.若a能够被b整除，且b能够被c整除，则a能够被c整除。
3.0除以任何非零整数都为0。
4.任何整数除以1都为本身。
5.任何整数除以0是没有意义的，应避免这样的操作。
三、整除的判定方法1.因数的概念：如果a能够被b整除，那么a一定是b的倍数，b一定是a的因数。
2.除数的性质：如果一个数a的除数是b，那么b的倍数一定是a的倍数。
3.余数的性质：如果一个数a除以b的余数为0，那么a一定能够被b整除。
四、整除的应用整除的概念和性质在解决一些实际问题时经常用到。
例如，求一个数的因数或倍数，判断一个数是否是另一个数的因数等等。
在这些问题中，我们可以应用整除性质和判定方法，进行推理和计算。
五、练习题1.一个数能够同时被3和5整除，它最小是多少？2.一个两位数，可以被3整除，这个两位数的十位数字加上个位数字等于6，这个两位数最大是多少？3.一个数同时是4和5的倍数，它最大是多少？解答：1.因为一个数能够同时被3和5整除，那么这个数一定是3和5的公倍数，即这个数是3和5的最小公倍数。
最小公倍数是两个数的乘积除以它们的最大公因数。
由于3和5没有公因数，所以它们的最大公因数是1，最小公倍数是3*5=15、所以这个数最小是152.设这个两位数为10a+b，其中a为十位数字，b为个位数字。
根据题意，有10a+b可以被3整除，且a+b=6、根据整除的判定方法，可以得到10a+b的各个位数之和能够被3整除。
七年级数学竞赛 第3讲 数的整除性
第3讲数的整除性知能概述：对于整数a和不为零的整数b，总存在整数m，n使得a =b m+n (0≤n<b)，其中m称为商，n称为余数，特别地，当n=0时，即a= b m，便称a被b整除(也称a是b的倍数或b是a的约数)，记为b|a。
整除有以下基本性质：1．若a|b，a|c，则a|(b±c)；2．若a|b，b|c，则a|c；3．若a|bc，且(a，c) =1，则a|b，特别地，若质数p|bc，则必有p|b或p|c：4．若b|a，c|a，且(b，c)=1，则bc|a．解整除有关问题常用到数的整除性常见特征：1．被2整除的数：个位数字是偶数；2．被5整除的数：个位数字是0或5；3．被4整除的数：未两位组成的数被4整除；被25整除的数，末两位组成的数被25整除；4．被8整除的数：末三位组成的数被8整除；被125整除的数，末三位组成的数被125整除；5．被3整除的数：数字和被3整除；6．被9整除的数：数字和被9整除；7．被11整除的数：奇数位数字和与偶数位数字和的差被11整除。
问题解决：例1．将四个数字1，2．3．4排成一个四位数，使得这个数是11的倍数，则这样得到的四位数共有______个。
(江西省竞赛题) 解题思路：依据被11整除数的特征先确定相关数的位置。
例2．已知a，b是正整数(a>b)，对于如下两个结论：①在a+b，ab，a−b这三个数中必有2的倍数：②在a +b，ab，a−b这三个数中必有3的倍数，其中（）。
A．只有①正确B．只有②正确C．①．②都正确D，①．②都不正确(江苏省竞赛题)解题思路：举例验证，或按剩余类讨论严格证明。
xy是72的倍数，求出所有符合条件的7位数．例3．已知7 位数12876(江苏省竞赛题)解题思路：因72=8×9，(8，9)= 1，故原数能被8，9整除，运用整数能被8，9整除的性质求出x，y的值。
例4．一个正整数N的各位数字不全相等，如果将N的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N，则称N为“拷贝数”，试求所有的三位“拷贝数”。
《数的整除总复习》课件
整除与分治策略在数学中有着广泛的应用。例如，在求解最大公约数和最小公倍数时，常常采用分治 策略，将问题分解为更小的部分，分别求解后再合并结果。这种方法能够简化问题，提高解题效率。
整除与数论的关系
总结词
数论是研究整数的性质和结构的数学分 支，整除是数论中的一个基本概念。
VS
详细描述
整除是数论中的一个核心概念，它是整数 的一个基本性质。通过研究整除的性质和 规律，可以深入了解整数的结构，进一步 探索数论中的其他问题。同时，整除也为 密码学、计算机科学等领域提供了重要的 理论基础和应用价值。
05
数的整除拓展
整除与同余式
总结词
同余式是整除的一种扩展，它描述了整数在模运算下的等价关系。
详细描述
同余式是数论中的一个重要概念，它表示两个或多个整数在模运算下具有相同 的余数。整除是同余式的一个特例，即当模数为1时，如果一个数a能被另一个 数b整除，则a与b模1同余。
整除与分治策略
总结词
分治策略是将复杂问题分解为若干个简单子问题，通过解决子问题来达到解决原问题的目的。
逻辑推理
03
利用整除性质进行逻辑推理是解决一些数学竞赛问题的重要方
法。
在日常生活中的应用
购物优惠
商家经常使用整除点来设置商品价格，以提供优 惠或促销活动。
时间计算
在日程安排和时间管理中，整除常用于计算时间 间隔或确定特定时间点。
金融计算
在投资和理财方面，整除在计算复利、评估风险 和制定预算时非常有用。
整除的唯一分解定理
总结词
整除的唯一分解定理是指，一个正整数可以表示为若干个质数的乘积，并且这种 表示方法是唯一的。
详细描述
这是整除的一个重要定理，它告诉我们一个正整数可以分解为若干个质数的乘积 ，而且这种分解方式是唯一的。这个定理在数学中有着广泛的应用，因为它可以 帮助我们更好地理解整数的结构，并解决与整数有关的数学问题。
初中数学竞赛精品标准教程及练习69数的整除
初中数学竞赛精品标准教程及练习69数的整除数的整除在初中数学竞赛中是一个重要的考点。
理解数的整除的概念及其性质对于解答与数的整除相关的题目非常有帮助。
本教程将介绍数的整除的相关概念、性质以及解题方法，并提供一些高质量的练习题供同学们练习。
一、数的整除的概念与性质1.整除的定义一个整数a能够被另一个整数b整除，表示为b，a，当且仅当存在另一个整数c使得a=bc。
例如，4能被2整除，表示为2，42.整除的性质（1）如果a能被b整除，b能被c整除，则a能被c整除。
（2）如果a能被b整除，那么对于任意的整数m，ma能被mb整除。
（3）如果a能被b整除，b能被a整除，则a和b互为倍数关系。
（4）如果a能被b整除且b能被a整除，则a和b相等。
二、解题思路1.判断一个数的整除性：给出两个数a、b，我们可以用a除以b，看是否余数为0来判断b是否能整除a。
2.判断一个数是否为另一个数的因数：如果一个数b能整除另一个数a，则b为a的因数。
例如，2是4的因数，我们可以通过判断4能否被2整除来得出结论。
3.利用整除的性质解题：根据整除的性质，我们可以广泛运用到解题中，例如通过倍数关系来得到整数之间的关系。
三、练习题请同学们结合上述的知识点完成以下练习题：1.如果一个整数能同时被2和3整除，它一定能被________整除。
2.在8-348的范围内，有多少个整数被4整除，但不能被5整除？3.如果一个整数能被12整除，它一定能被_______和_______整除。
4.请列举100以内被6整除但不被9整除的整数。
5.两个正整数a和b的最大公因数为6，a能被12整除，b能被9整除，其中一个可能的取值是_______。
解答参考：1.如果一个整数能同时被2和3整除，它一定能被6整除。
2.在8-348的范围内，有84个整数被4整除，但不能被5整除。
3.如果一个整数能被12整除，它一定能被2和6整除。
希望通过本教程的学习，同学们能够对数的整除的概念、性质以及解题方法有更深入的理解，提高数学竞赛的能力。
初中数学整除知识点总结
初中数学整除知识点总结首先，我将介绍整除的定义。
在数学中，整除是指对于两个整数a和b，如果存在一个整数c，使得a=bc，那么我们就说"b整除a"，并且记作b|a。
其中，a被称为被除数，b被称为除数，c被称为商。
如果一个整数被另一个整数整除，那么我们称这个整数为被除数的倍数，除数的倍数还包括所有的负数和零。
需要注意的是，当除数等于1时，所有的整数都是1的倍数。
接下来，我将介绍整除的性质。
整除有一些基本的性质，这些性质在运算中具有很重要的作用。
首先，整数a一定能被1整除，即1|a。
其次，任何整数都能被其本身整除，即a|a。
另外，整除具有传递性，如果a|b且b|c，则a|c。
同时，整除还满足结合律和分配律，即如果a|b且b|c，则a|c；如果a|b，则对于任何整数m和n，都有ma|mb和a(n+m)。
另外，如果a|b且a|c，则a|(b+c)。
在学习整除的过程中，学生还需要了解整数的除法。
整数的除法与小学学习的除法有所不同，因为整数包括正整数、负整数和零。
当除数与被除数都是正整数时，除法的计算与小学除法相同；当被除数为零时，任何除数都不能整除被除数；当除数为零时，除法运算是无意义的；当被除数和除数中有一个负数时，商的正负性由被除数和除数而定，如果被除数和除数同号，商为正，如果被除数和除数异号，商为负。
整除还有一些特殊的性质和规律，这些性质和规律在解决具体问题时非常有用。
首先，当一个整数能同时被m和n整除时，它一定能被它们的最小公倍数整除；其次，如果一个整数能同时被m和n整除，那么它一定能被它们的公因数p整除；另外，一个整数如果能同时被m和n整除，那么它一定能被它们的最大公因数整除。
在学习整除的过程中，学生还需要掌握一些求解整数问题的方法。
求解整除问题的方法有很多种，其中最常用的方法是因式分解。
因式分解是将一个整数分解成几个整数的乘积，这些整数称为因子。
通过因式分解，我们可以得到一个整数的所有因子，从而更加深入地了解这个整数的性质。
数的整除知识点总结
数的整除知识点总结一。
数的分类数可以根据不同的属性进行分类。
第一种分类方法是使用树状图或韦恩图，将整数分为自然数、正整数、负整数、零、正奇数和正偶数等。
第二种分类方法是将整数分为奇数和偶数。
第三种分类方法是将整数分为正整数、素数和合数。
需要注意的是，0是最小的自然数，-1是最大的负整数，1是最小的正整数。
同时，没有最大的整数、没有最小的负整数、没有最大的正整数，正整数、负整数和整数的个数都是无限的。
二。
整除整除是指一个整数a被另一个整数b整除，商是整数而余数为零的情况。
因此，b可以整除a，也可以说a能被b整除。
需要注意的是，要区分整除和除尽。
整除是特殊的除尽，即a能被b整除，则a一定能被b除尽，反之则不一定。
例如，4÷2=2，4既能被2除尽，也能被2整除；4÷5=0.8，4能被5除尽，但不能说4能被5整除。
三。
因数与倍数因数是指一个整数a能被另一个整数b整除，b就是a的因数。
而倍数是指一个整数a能够整除另一个整数b，a就是b的倍数。
因数和倍数是相互依存的，不能简单地说某个数是因数或倍数。
一个整数的因数中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
一个数的倍数中最小的倍数是这个数本身，没有最大的倍数。
因数的个数是有限的，可以一一列举出来，而倍数的个数是无限的。
求一个数的因数可以利用积与因数的关系，一对一对找出哪两个数的乘积等于这个数，然后按照一定的顺序列举出所有的因数。
求一个数的倍数可以将这个数本身分别乘以1、2、3、4、5等正整数，得到的积就是这个数的倍数。
四。
能被2、5、3整除的数的特点一个数能被2整除，当且仅当这个数的个位数是0、2、4、6、8.一个数能被5整除，当且仅当这个数的个位数是0或5.一个数能被3整除，当且仅当这个数的各位数字之和能够被3整除。
因此，一个数能被2、5、3整除的特点可以通过它的各位数字来判断。
1.能被2整除的数的个位数字是2、4、6、8，反之，个位数字是2、4、6、8的数也能被2整除。
数的整除知识总复习
公倍数,最小公倍数: 几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数, 其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍 数.
例:(12,24,36 …)都是4和6的公倍数,(12 )是4和6的最小公倍数.
互质数: 公约数只有1的两个数叫做互质数.
你能举些 例子吗?
能被5整除的数的特征: 个位上是0或5
能被3整除的数的特征:各个位上的数字的和能被3整除
能同时被2,5整除的数的特征: 个位是0
能同时被2,3,5整除的数的特征: 个位是0,而且各个位上的 数字的和能被3整除.
注意:有一些数能被7,9,11,13整除,但是不容易看出来, 这是大家在约分中容),a就叫做b的倍数,b就叫做a的约数.
约数
一个数的约数的个数是有 限的,其中最小的约数是1, 最大的约数是它本身.
倍数
一个数的倍数的个数是无 限的,其中最小的倍数是它 本身,没有最大的倍数.
约数和 倍数是 相互依 存的
3. 能被整除的数的特征
能被2整除的数的特征: 个位上是0,2,4,6,8,
分解质因数的方法:短除法
把30分解质因数
2 30 3 15 5
30=2×3×5
把30分解质因数正确的做法是( C ) A.30=1×2 ×3 ×5 1不是质数 B.2 ×3 ×5=30 书写格式不符
C.30=2×3×5
7. 最大公约数和最小公倍数
公约数,最大公约数: 几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数; 其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数.
1. 整除与除尽
整除: 整数a除以整数b(b≠0),除得的商是整数而没有余数, 我们就说数a能被数b整除,或数b能整除a.
七年级奥数整除知识点
七年级奥数整除知识点整除，在初中数学中是一个非常基础的知识点。
对于很多中学生来说，整除早已经成为了家常便饭，但是一些细节还是需要掌握。
在本篇文章中，我们将为大家介绍七年级奥数整除知识点，希望对大家的学习有所帮助。
一、整除的定义整除是指在数学上，若a÷b的商（或结果）c是一个整数，则称a能被b整除，b是a的因数，a是b的倍数。
我们通常将“a能被b整除”写成“b|a”。
需要注意的是，整除中“|”的方向指向的是被除数方向，即b|a 读作“b整除a”，而不是“a整除b”。
二、整除的性质1. 若a能被b整除，b能被c整除，则a能被c整除。
证明：设a=mb，b=nc，则a=mnc，即a能被c整除。
2. 若a能被b整除，且b能被c整除，则a能被c整除。
证明：设a=mb，b=nc，则a=(mn)c，即a能被c整除。
3. 任何数都能被1整除。
4. 任何数都能被自身整除。
5. 若p为质数，且p|ab，则p|a或p|b。
证明：因为p为质数，则p和a的最大公因数只能是1或p，若p和a的最大公因数是1，则p|b。
若p和a的最大公因数是p，则a=mp，其中m为正整数，则p|a。
6. 若a|b，b|c，则a|c。
证明：设a|b，则b=ma，设b|c，则c=nb，则c=nma，即a|c。
三、判断整除的方法1. 整数末位为0、2、4、6、8，则该数能被2整除。
2. 整数末位为0或5，则该数能被5整除。
3. 将整数各位上的数字相加，若和能被3整除，则该数能被3整除。
4. 如果一个整数既能被2整除，又能被3整除，则该数能被6整除。
5. 把整数的末尾两位去掉，减去去掉的两位数的两倍，如果差能被11整除，则该数能被11整除。
注：以上方法仅适用于第一次筛查，如果不符合以上条件，仍需进行其他方法判断。
四、习题1. 求1001、231、3024、33719、268125能否被19整除。
解答：（1）1001不是19的倍数。
（2）满足：231=19×12，即231能被19整除。
中考数学整除知识点总结
中考数学整除知识点总结一、整除的定义在中学数学中，我们把两个整数a和b(a≠0)满足条件a÷b = c（c是整数），就称a能被b 整除，b能整除a，记作b | a。
另外，任意整数都能被1整除，0不能被任何数整除。
二、整除的性质1. 如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。
2. 如果a能被b整除，且b能被c整除，那么a能被c整除。
3. 如果a能被b整除，b≠0，那么a和b的绝对值之差能被b整除。
4. 如果a能被m整除，b能被m整除，那么a ± b（a和b同号）也能被m整除。
5. 如果a能够被b整除，而b不等于0，那么a的倍数中也能被b整除。
三、整除的运算1. 整除与乘法运算如果a能被b整除，且c≠0，那么a×c能被b×c整除。
2. 整除与除法运算如果a能被b整除，且c≠0，那么a÷c能被b÷c整除。
四、整除定理1. 整除定理一如果整数a能被整数b整除，那么a必能被b的所有因数整除。
2. 整除定理二如果整数a和b均为非零整数，则a能被b整除的充分必要条件是当且仅当b的所有质因数都是a的质因数时a能被b整除。
五、奇数与偶数整除的性质在奇数和偶数之间也有一些特殊的表现。
奇数与奇数相乘或相加、偶数与偶数相乘或相加、奇数与偶数相乘或相加，分析后都是奇数，而偶数与偶数相除或奇数与偶数相除就一定是偶数。
六、整除在数论中的应用整除在数论中有着非常重要的应用，比如素数、最大公因数和最小公倍数等问题都是基于整除概念来研究的。
（1）素数素数就是只能被1和自身整除的自然数，素数是数论中的基本概念。
（2）最大公因数最大公因数是指有多个数的一个共同因子中最大的一个数，它是整除概念在数论中的一个重要应用。
（3）最小公倍数最小公倍数是指一个自然数所有公倍数中，除1之外最小的一个数。
整除是数学中一个基础而又重要的概念，它贯穿于整个数学学科，涉及到了很多数学问题的解答。
2018初中数学代数辅导之数的整除
2018初中数学代数辅导之数的整除
数的整除
如果整数A除以整数B(B0)所得的商A/B是整数,那么叫做A被B整除. 0能被所有非零的整数整除. 规律见下表：
除数能被整除的数的特征
2或5 末位数能被2或5整除
4或25 末两位数能被4或25整除
8或125 末三位数能被8或125整除
3或9 各位上的数字和被3或9整除(如771，54324)
11 奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减,其差能被11整除(如143、1859、908270等)
7、11、13 先去掉数的后三个数字，然后把剩余的数字所表示的数和划去的三位数相减（大数减小数），若差能否被7、11、13整除，这数能被整除（如，3870867先划去867，剩余数3870-867=3002，再划去后面三个数003，剩余数3-3得到的结果0当然能被7、11、13同时整除，所以3870867能够同时被7、11、13整除）。
初中数学竞赛专题选讲-数的整除(三)
初中数学竞赛专题选讲数的整除(三)一、内容提要在《数的整除(一)》和《数的整除(二)》中，分别介绍了数的整除特征和运用因式分解法解答数的整除问题，本讲介绍应用“同余”方面的知识.一. 同余的概念 两个整数a 和b 被同一个正整数m 除，所得的余数相同时，称a, b关于模m 同余.记作a ≡b(mod m).如：8和15除以7同余1，记作8≡15(mod 7), 读作8和15关于模7同余.∵2003=7×286+1，∴2003≡1 (mod 7)；∵－7和6对于模13同余6（余数是非负数）∴－7≡6（mod 13）；∵35和0除以5，余数都是0（即都能整除）∴35≡0（mod 5）.二. 用同余式判定数的整除若a ≡b(mod m)， 则m|(a －b).即a －b ≡0(mod m)⇔m|(a －b).例如：11≡25(mod 7)⇔7|(25－11)； 或 7|(11－25).∵25+35≡2+3≡0 (mod 5)，∴5|25+35.三. 同余的性质 (注意同余式与等式在变形中的异同点) 1. 传递性： )(m o d )(m o d )(m o d m c a m c b m b a ≡⇒⎭⎬⎫≡≡. 2. 可加可乘性：⎩⎨⎧≡+≡+⇒⎭⎬⎫≡≡).(mod )(mod ).(mod )(mod m bd ac m d b c a m d c m b a ；， 推论 可移性：a ≡b+c (mod m)⇒(a －b)≡c(mod m).可倍性：a ≡b(mod m)⇒ka ≡kb(mod m) (k 为正整数).可乘方：a ≡b(mod m)⇒ a n ≡b n (mod m) (n 为正整数).3. 当d 是a, b, m 的正公因数时， a ≡b(mod m)⇒d b d a ≡(mod dm ). 如：2是20，26，6的正公因数， 20≡26(mod 6)1310≡⇒(mod 3).四. 根据抽屉原则：任给m+1个整数，其中至少有两个数对于模m 同余.即至少有两个，其差能被m 整除.例如：任给5个数a, b, c, d, e.其中至少有两个，它们的差能被4整除.∵除以4的余数只有0，1，2，3四种.∴5个数除以4至少有两个同余.二、例题例1.已知：69，90，125除以正整数n有相同的余数.求：n的值解：∵69≡90(mod n)，90≡125(mod n).∴n|(90－69)，n|(125－90).而21,35的最大公约数是7，记作(21,35)=7 (7是质数).∴n=7例2.求388除以5的余数.解：∵38≡3 (mod 5)，∴388≡38≡(32)4≡(－1)4≡1 (mod 5).(注意9除以5余4，－1除以5也是余4，∴32≡－1 (mod 5)例3.求997的个位数字.解：∵74k+n与7n的个位数字相同，且9≡1 ( mod 4)，∴99≡19 ≡1(mod 4).∴997与71的个位数字相同都是7.例4.求证：7|(22225555+55552222).证明：∵22225555+55552222=(22225)1111+(55552)1111∵2222=7×317+3 ，5555=7×793+4.∴2222≡3 ( mod 7)；5555≡4 (mod 7).∴22225≡35≡5(mod 7)；55552≡42≡2 (mod 7).∴22225+55552≡5+2≡0 ( mod 7).即22225≡－55552 (mod 7).∴(22225)1111≡(－55552)1111≡－(55552)1111 (mod 7).∴22225555+55552222≡0 (mod 7).∴7|(22225555+55552222).例5.求使32n－1能被5整除的一切自然数n.解：∵32≡－1 (mod 5) ，∴(32)n≡(－1)n (mod 5).32n－1≡(－1) n－1 (mod 5)∵当且仅当n为偶数时，(－1) n－1=0.∴使32n－1能被5整除的一切自然数n是非负偶数例6.已知：a,b,c是三个互不相等的正整数.求证：a3b－ab3,b3c－bc3,c3a－ca3三个数中，至少有一个数能被10整除.（1986年全国初中数学联赛题）证明：用同余式判定整除法证明当正整数n的个位数是0，1，4，5，6，9时，n3的个位数也是0，1，4，5，6，9.∴这时n3≡n (mod 10)；当正整数n的未位数为2，3，7，8时，n3的个位数分别是8，7，3，2.∵8与－2，7与－3，3与－7，2与－8，除以10是同余数，∴这时n3≡－n (mod 10)；把三个正整数a,b,c按个位数的情况，分为上述两类时，则至少有两个属于同一类.设a, b 的末位数是同一类，那么a 3b －ab 3≡ab －ab ≡0 (mod 10)；或a 3b －ab 3≡(－a)b －a(－b)≡0 (mod 10).∴ 10| (a 3b －ab 3)三、练习1. 三个数33，45，69除以正整数N 有相同余数，但余数不是0，那么N=_______.2. 求777的个位数字.3. 求379245除以19的余数； 41989除以9的余数.4. 求19891990÷1990的余数.5. 四个数2836，4582，5164，6522都被同一个正整数除，所得的余数都相同且不是 0，求除数和余数.6. 求证：7|(33334444+44443333).7. 已知：正整数n>2 . 求证：31111≡个n (mod 4). 8. 任给8个整数，其中必有两个，它们的差能被7整除，试证之.9. 求使2n+1能被3整除的一切自然数n.10. 已知 69，90，125除以N (N>1) 有同余数，那么对于同样的N ，81同余于( )（A ）3. （B ）4. （C ）5. （D ）7. （E ）8.（1971年美国中学数学竞赛试题）练习题参考答案1. N=12，6，2.(舍去3，∵余数是0).解法仿例1.2. 个位数字是3.∵7≡－1(mod 4), ∴ 777≡(－1)77(mod 4)……仿例33. 余数是18和1. ∵37≡－1 (mod 19) ∴原式≡－1 ≡18 (mod 19)；41989=(43)663 64≡1(mod 9) 64663≡1663 ≡1.4. 余数是1. ∵1989≡－1 (mod 1990) ∴19891990≡(－1)1990≡1 (mod 1990).5. 根据题意 2836≡4582≡5164≡6522≡r (mod m)而且4582－2836=1746, 6522－5164=1358.∴ m| 1746, 且m|1358， (1746，1358)=2×97∴m=194, 97, 2 (2不合题意.舍去)答：除数为194， 余数是120或除数为97， 余数是236. ∵ 33334444+44443333≡14444+(－1)3333≡0 (mod 7).7.个个211111111-=n n 00+11≡11≡3 (mod 4). 8. 8个正整数分别除以7，必有两个或两个以上是同余数9. ∵2≡－1 (mod 3) ∴2n ≡(－1)n(mod 3)2n +1≡(－1)n +1 (mod 3)当且仅当n 奇数时, (－1)n +1≡0∴能被3整除的一切正整数n 是奇数10. (B).[文章来源：教学视频网/转载请保留出处。
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初中数学竞赛辅导资料(69)
数的整除(三)
甲内容提要
在第1讲《数的整除(一)》和44讲《数的整除(二)》中，分别介绍了数的整除特征和运用因式分解法解答数的整除问题，本讲介绍应用“同余”方面的知识.
一. 同余的概念 两个整数a 和b 被同一个正整数m 除，所得的余数相同时，称a, b 关于模m 同余.记作a ≡b(mod m).
如：8和15除以7同余1，记作8≡15(mod 7), 读作8和15关于模7同余.
∵2003=7×286+1，
∴2003≡1 (mod 7)；
∵－7和6对于模13同余6（余数是非负数）
∴－7≡6（mod 13）；
∵35和0除以5，余数都是0（即都能整除）
∴35≡0（mod 5）.
二. 用同余式判定数的整除
若a ≡b(mod m)， 则m|(a －b).
即a －b ≡0(mod m)⇔m|(a －b).
例如：11≡25(mod 7)⇔7|(25－11)； 或 7|(11－25).
∵25+35≡2+3≡0 (mod 5)，
∴5|25+35.
三. 同余的性质 (注意同余式与等式在变形中的异同点)
1. 传递性： )(m o d )(m o d )(m o d m c a m c b m b a ≡⇒⎭
⎬⎫≡≡. 2. 可加可乘性：
⎩⎨⎧≡+≡+⇒⎭⎬⎫≡≡).(mod )(mod ).(mod )(mod m bd ac m d b c a m d c m b a ；， 推论 可移性：a ≡b+c (mod m)⇒(a －b)≡c(mod m).
可倍性：a ≡b(mod m)⇒ka ≡kb(mod m) (k 为正整数).
可乘方：a ≡b(mod m)⇒ a n ≡b n (mod m) (n 为正整数).
3. 当d 是a, b, m 的正公因数时， a ≡b(mod m)⇒d b d a ≡(mod d
m ). 如：2是20，26，6的正公因数， 20≡26(mod 6)1310≡⇒(mod 3).
四. 根据抽屉原则：任给m+1个整数，其中至少有两个数对于模m 同余.
即至少有两个，其差能被m 整除.
例如：任给5个数a, b, c, d, e.其中至少有两个，它们的差能被4整除.
∵除以4的余数只有0，1，2，3四种.
∴5个数除以4至少有两个同余.
乙例题
例1.已知：69，90，125除以正整数n有相同的余数.
求：n的值
解：∵69≡90(mod n)，90≡125(mod n).
∴n|(90－69)，n|(125－90).
而21,35的最大公约数是7，记作(21,35)=7 (7是质数).
∴n=7
例2.求388除以5的余数.
解：∵38≡3 (mod 5)，
∴388≡38≡(32)4≡(－1)4≡1 (mod 5).
(注意9除以5余4，－1除以5也是余4，∴32≡－1 (mod 5)
例3.求997的个位数字.
解：∵74k+n与7n的个位数字相同，且9≡1 ( mod 4)，
∴99≡19 ≡1(mod 4).
∴997与71的个位数字相同都是7.
例4.求证：7|(22225555+55552222).
证明：∵22225555+55552222=(22225)1111+(55552)1111
∵2222=7×317+3 ，5555=7×793+4.
∴2222≡3 ( mod 7)；5555≡4 (mod 7).
∴22225≡35≡5(mod 7)；55552≡42≡2 (mod 7).
∴22225+55552≡5+2≡0 ( mod 7).
即22225≡－55552 (mod 7).
∴(22225)1111≡(－55552)1111≡－(55552)1111 (mod 7).
∴22225555+55552222≡0 (mod 7).
∴7|(22225555+55552222).
例5.求使32n－1能被5整除的一切自然数n.
解：∵32≡－1 (mod 5) ，
∴(32)n≡(－1)n (mod 5).
32n－1≡(－1) n－1 (mod 5)
∵当且仅当n为偶数时，(－1) n－1=0.
∴使32n－1能被5整除的一切自然数n是非负偶数
例6.已知：a,b,c是三个互不相等的正整数.
求证：a3b－ab3,b3c－bc3,c3a－ca3三个数中，至少有一个数能被10整除.
（1986年全国初中数学联赛题）证明：用同余式判定整除法证明
当正整数n的个位数是0，1，4，5，6，9时，n3的个位数也是0，1，4，
5，6，9.
∴这时n3≡n (mod 10)；
当正整数n的未位数为2，3，7，8时，n3的个位数分别是8，7，3，2.
∵8与－2，7与－3，3与－7，2与－8，除以10是同余数，
∴这时n3≡－n (mod 10)；
把三个正整数a,b,c按个位数的情况，分为上述两类时，则至少有两个
属于同一类.
设a, b 的末位数是同一类，那么
a 3
b －ab 3≡ab －ab ≡0 (mod 10)；或a 3b －ab 3≡(－a)b －a(－b)≡0 (mod 10).
∴ 10| (a 3b －ab 3)
丙练习69
1. 三个数33，45，69除以正整数N 有相同余数，但余数不是0，那么N=_______.
2. 求777的个位数字.
3. 求379245除以19的余数； 41989除以9的余数.
4. 求19891990÷1990的余数.
5. 四个数2836，4582，5164，6522都被同一个正整数除，所得的余数都相同且不是 0，求除数和余数.
6. 求证：7|(33334444+44443333).
7. 已知：正整数n>2 . 求证：31111≡
个
n (mod 4). 8. 任给8个整数，其中必有两个，它们的差能被7整除，试证之.
9. 求使2n +1能被3整除的一切自然数n.
10. 已知 69，90，125除以N (N>1) 有同余数，那么对于同样的N ，81同余于( )
（A ）3. （B ）4. （C ）5. （D ）7. （E ）8.
（1971年美国中学数学竞赛试题）
练习69
1. N=12，6，
2.(舍去3，∵余数是0).解法仿例1.
2. 个位数字是
3.∵7≡－1(mod 4), ∴ 777≡(－1)77(mod 4)……仿例3
3. 余数是18和1. ∵37≡－1 (mod 19) ∴原式≡－1 ≡18 (mod 19)；
41989=(43)663 64≡1(mod 9) 64663≡1663 ≡1.
4. 余数是1. ∵1989≡－1 (mod 1990) ∴19891990≡(－1)1990≡1 (mod 1990).
5. 根据题意 2836≡4582≡5164≡6522≡r (mod m)
而且4582－2836=1746, 6522－5164=1358.
∴ m| 1746, 且m|1358， (1746，1358)=2×97
∴m=194, 97, 2 (2不合题意.舍去)
答：除数为194， 余数是120或除数为97， 余数是23
6. ∵ 33334444+44443333≡14444+(－1)3333≡0 (mod 7).
7.
个
个211111111-=n n 00+11≡11≡3 (mod 4). 8. 8个正整数分别除以7，必有两个或两个以上是同余数
9. ∵2≡－1 (mod 3) ∴2n ≡(－1)n (mod 3)
2n +1≡(－1)n +1 (mod 3)
当且仅当n 奇数时, (－1)n +1≡0
∴能被3整除的一切正整数n 是奇数
10. (B).。