平面问题有限元解法(公式推导讲解)_图文.ppt
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平面问题的有限单元法.ppt
5.3.3 单元分析 （略）
对三角形单元，建立结点位移与结点力之间的转换关系。
vm
m
um
vvi
Vm
(a)
i ui m
Um
Vj
j
Uj
e
Vi
i Ui
(b)
结点位移
ui
vi
qe
u
v
j j
um
vm
• 结点力
•
平面应力问题
平面应变问题
y
平面
应力
问题
0
y
t/2
t/2
z x
ͼ 1-10
厚度为 t 的很薄的均匀木板。只在边缘上受到平行于板面且 不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面且不沿厚度变化。
以薄板的中面为xy面，以垂直于中面的任一直线为Z轴。由于 薄板两表面上没有垂直和平行于板面的外力，所以板面上各点均 有：
3) 对于现在的单元插值函数是线性的，在单元内部及单元的 边界上位移也是线性的，可由节点上的位移唯一确定。由于 相邻的单元公共节点的节点位移相等，因此保证了相邻节点 在公共边界上位移的连续性。
• 选择单元位移函数时，应当保证有限元法解答的收 敛性，即当网格逐渐加密时，有限元法的解答应当收敛 于问题的正确解答。因此，选用的位移模式应当满足下 列条件：
Ui
Vi
ui*
vi*
uj*
vj*
um*
vm*
Uj Vj
Um
q* eTFe
Vm
28
根据虚功原理，得
q* eT Fe * T tdxdy
有限元分析——平面问题
⑵单元分析与单元刚度矩阵求解 根据三节点三角形单元分析过程，可得各单元的相关参数如下：
1 A1121
x1 x2
y1 y2
1 11
2
0 25
0 0
62m 5 m2
1 x4 y4 1 0 50
1 25 0
同理，A2
1 2
1
25
5 0 6 25mm2
1 0 50
对①单元，有
同理，对于②单元，有
b1=-50，c1=-25 b2=50， c2=0 b3=0， c3=25
N=
N1 0
0 N1
N2 0
0 N2
N3 0 0 N3
其中
Ni=
2
1 A
(ɑi +bix
+
ciy)
，i=1、2、3。
⑵单元的应变与应力
单元应变
ε=B qe
式中应变矩阵B为
B= 21Ab01
0 c1
b2 0
0 c2
b3 0
0 c3
c1 b1 c2 b2 c3 b3
节点位移列阵qe
qe=[u1 v1 u2 v2 u3 v3]T
江西五十铃发动机有限公司
技术中心 3 /33
一、平面问题的定义
1、平面应力问题
平面应力问题满足以下两个条件。
(1)几何条件 结构是一很薄的等厚度薄板；
(2)载荷条件 作用于薄板上的载荷平行于板平面、沿厚度方向均匀分布，而在
两板面上无外力作用。
Y
结论：板面不受力，则有
σZ Z= + t/2 =0
τYZ Z= + t/2 =0
有限元模型是一组仅在节点连接、仅靠节点传力、仅受节点载荷、仅在节点处 受约束的单元组合体。只有节点是可以承受载荷与约束的。
1 A1121
x1 x2
y1 y2
1 11
2
0 25
0 0
62m 5 m2
1 x4 y4 1 0 50
1 25 0
同理，A2
1 2
1
25
5 0 6 25mm2
1 0 50
对①单元，有
同理，对于②单元，有
b1=-50，c1=-25 b2=50， c2=0 b3=0， c3=25
N=
N1 0
0 N1
N2 0
0 N2
N3 0 0 N3
其中
Ni=
2
1 A
(ɑi +bix
+
ciy)
，i=1、2、3。
⑵单元的应变与应力
单元应变
ε=B qe
式中应变矩阵B为
B= 21Ab01
0 c1
b2 0
0 c2
b3 0
0 c3
c1 b1 c2 b2 c3 b3
节点位移列阵qe
qe=[u1 v1 u2 v2 u3 v3]T
江西五十铃发动机有限公司
技术中心 3 /33
一、平面问题的定义
1、平面应力问题
平面应力问题满足以下两个条件。
(1)几何条件 结构是一很薄的等厚度薄板；
(2)载荷条件 作用于薄板上的载荷平行于板平面、沿厚度方向均匀分布，而在
两板面上无外力作用。
Y
结论：板面不受力，则有
σZ Z= + t/2 =0
τYZ Z= + t/2 =0
有限元模型是一组仅在节点连接、仅靠节点传力、仅受节点载荷、仅在节点处 受约束的单元组合体。只有节点是可以承受载荷与约束的。
第五章 有限元法求解平面问题
差分法
即把微分dx，dy，dz变成差分Δ x，Δ y，Δ z， 把微分方程变成代数方程组。如果是一般规则的 曲面，对方程和边界条件的表达都要增加很多困 难，差分法计算模型可给出其基本方程的逐点近 似值（差分网格上的点）。但是对于不规则的几 何形状和不规则的特殊边界条件差分法就难于应 用了。因此这种方法的适用性有限制，特别对有 不同构件组合成的结构，很难使用差分方法。
δ ( δ i δ j δ m ) ，求单元的位移函数
e T
d (u( x, y), v( x, y)) 。
T
这个插值公式称为单元的位移模式，为：
d Νδ 。
e
（2）应用几何方程，由单元的位移函数d， e 求出单元的应变，表示为 ε Bδ 。
（3）应用物理方程，由单元的应变 ε ， 求出单元的应力，表示为 ζ Sδ e。 （4）应用虚功方程，由单元的应力 求出单元的结点力，表示为
导、压缩与不可压缩流体动力学分析、流-固耦合分析。 在中国，美国的ADINA R&D公司与亚得科技有限公司 进行全面的合作，由亚得科技有限公司负责在中国的 市场销售、技术培训、技术支持。据网站信息，8.0版
本已问世。
4.MSC.NASTRAN
MSC.NASTRAN是世界上首屈一指的大型通 用有限元软件，其使用者已遍布全球，并成 功地应用于我国的宇航、汽车、电子、承重 设备、自行车部件设计、半导体、消费产品、 运输、机械等工业部门。 1996年美国国家航天航空局（NASA）为了 满足当时航空业对结构分析的迫切需求，主 持开发大型应用有限元程序的招标，美国 MSC公司参与了整个ASTRAN的开发过程。
动力分析
包括质量和阻尼效应。 模态分析，用于计算固有
第4章-连续体结构分析的有限元方法—平面问题有限元分析PPT
43
例1：用平面3节点三角形单元进行分析
如图所示为一矩形薄平板，在右端部受集中 力F=100000N作用，材料常数为：弹性模量 E=1×107Pa、泊松比μ=1/3，板的厚度为t=0.1m， 试按平面应力问题计算各个节点位移及支座反力。
44
45
46
47
48
49
50
例2：用平面4节点矩形单元进行分析
如图所示为一矩形薄平板，在右端部受集中 力F=100000N作用，材料常数为：弹性模量 E=1×107Pa、泊松比μ=1/3，板的厚度为t=0.1m， 试按平面应力问题计算各个节点位移及支座反力。
51
52
53
54
刚才的发言，如 有不当之处请多指
正。谢谢大家！
55
本章将就连续体问题的有限元方法进行全面的讨论 和研究。
1
2
4.1 连续体结构分析的基本力学原理
连续体问题的三大类变量
3
连续体问题的三大类方程及边界条件
4
5
4.2 平面问题的3节点三角形单元
平面问题3节点单元具有几何特征简单、描 述能力强的特点，是平面问题有限元分析中最 基础的单元，也是最重要的单元之一。 单元的几何和节点描述
32
4.4 三角形单元与矩形单元计算精度的比较
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
从以上计算可以看出，用三角形单元计算时，由于形
函数是完全一次式，因而其应变场和应力场在单元内均为 常数；而四边形单元其形函数带有二次式，计算得到的应 变场和应力场都是坐标的一次函数，但不是完全的一次函 数，对提高计算精度有一定作用；根据最小势能原理，势 能越小，则整体计算精度越高，比较两种单元计算得到的 系统势能，可以看出，在相同的节点自由度情况下，矩形 单元的计算精度要比三角形单元高。
例1：用平面3节点三角形单元进行分析
如图所示为一矩形薄平板，在右端部受集中 力F=100000N作用，材料常数为：弹性模量 E=1×107Pa、泊松比μ=1/3，板的厚度为t=0.1m， 试按平面应力问题计算各个节点位移及支座反力。
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例2：用平面4节点矩形单元进行分析
如图所示为一矩形薄平板，在右端部受集中 力F=100000N作用，材料常数为：弹性模量 E=1×107Pa、泊松比μ=1/3，板的厚度为t=0.1m， 试按平面应力问题计算各个节点位移及支座反力。
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刚才的发言，如 有不当之处请多指
正。谢谢大家！
55
本章将就连续体问题的有限元方法进行全面的讨论 和研究。
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4.1 连续体结构分析的基本力学原理
连续体问题的三大类变量
3
连续体问题的三大类方程及边界条件
4
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4.2 平面问题的3节点三角形单元
平面问题3节点单元具有几何特征简单、描 述能力强的特点，是平面问题有限元分析中最 基础的单元，也是最重要的单元之一。 单元的几何和节点描述
32
4.4 三角形单元与矩形单元计算精度的比较
33
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42
从以上计算可以看出，用三角形单元计算时，由于形
函数是完全一次式，因而其应变场和应力场在单元内均为 常数；而四边形单元其形函数带有二次式，计算得到的应 变场和应力场都是坐标的一次函数，但不是完全的一次函 数，对提高计算精度有一定作用；根据最小势能原理，势 能越小，则整体计算精度越高，比较两种单元计算得到的 系统势能，可以看出，在相同的节点自由度情况下，矩形 单元的计算精度要比三角形单元高。
第六章-用有限单元法解解平面问题.ppt
§6-1 基本量及基本方程的矩阵表示
·FEM简史
FEM是上世纪中期才出现, 并得到迅速发展和广泛应用的一 种数值解法:
1943年, 柯朗第一次提出了FEM的概念.
1956年, 特纳等人提出了FEM .
20世纪50年代,平面问题的FEM建立,并应用于工程问题.
1960年提出了FEM的名称. 20世纪60年代后, FEM应用于各种力学问题和非线性问题, 并得到迅速发展. 1970年后, FEM被引入我国, 并很快地得到应用和发展.
§6-3 单元的位移模式与解答的收敛性
·形函数几何意义
i
Nm Nj
O
j
Ni
m
i
i
O
j
m
三角形单元形函数是 单元各点的面积坐标.
O
j
m
i
O
j
m
§6-3 单元的位移模式与解答的收敛性
·形函数性质
i
j
只在顶点成立
j
对单元各点均成立
m i
m
§6-3 单元的位移模式与解答的收敛性
·形函数性质
i
ij中点
j
δ: 整体结点位移列阵
材料属性、几何形状、网格属性为已知量 外力为已知量 结点位移, 基本未知量
§6-2 有限单元法的概念
·总结
归纳起来，FEM分析的主要步骤： 1.将连续体变换为离散化结构（1） 2.对单元进行分析 （2）单元的位移模式 （3）单元的应变列阵 （4）单元的应力列阵 （5）单元的结点力列阵 （6）单元的等效结点荷载列阵
虚功方程：
§6-5 单元的结点力列阵与劲度矩阵
·单元刚度矩阵
令
单元刚度矩阵
单元刚度矩阵表示单元各结点发生单位位移时, 引起 的结点力;
第三章平面问题的有限单元法PPT课件
1
2A
ai aj am
bi bj bm
x ci c j cm
y
1
简记为
Ni N j Nm 1
这说明，三个形函数中只有二个是独立的。
(3-11)
2. 形函数在各单元结点上的值，具有“本点是1、它点
为零”的性质，即
在结点i上，
N i xi
,
yi
1 2A
ai
bi xi
ci yi
若令
Ni
1 2A
ai
bi x
ci y
（i , j , m轮换） (3-9)
这样，位移模式 就可以写为
u Niui Njuj Nkmukm Niui v Nivi Njvj Nkmvkm Nivi
[N] 形函数矩阵
u
u
v
Ni I
Nj I
NkmI e Ne
式中 I是二阶单位矩阵；Ni 、Nj 、Nm 是坐标的函数，它 们反映了单元的位移状态，所以一般称之为形状函数，简称形
y
Ym vm
m( xm
,
ym
)
X m um
Yi vi Xi
Fy Fx
Yj vj
i(xi , yi ) ui
j
(
x
j
,
X y
j j
u )
j
0
x
ai
xj xm
yj ym
x j ym xm y j
1
bi
1
yj ym
y j ym
（i , j , m轮换） (3-5)
1
ci 1
xj xm
x j xm
u N e
（3-1）
第5章 平面问题有限元分析1
结构势能:
* EP VP Ve
T 1 dA L T d dL A F T d dA 2 A
T 1 T E P ζ ε dA Fb d dA FsT d dA F eT e A L 2 A
《有限单元法基础》— 第5章 平面问题有限元分析
《有限单元法基础》— 第5章 平面问题有限元分析
1.单元位移 设单元内位移为
其中
xy
A
dx B u
B
u dx x
《有限单元法基础》— 第5章 平面问题有限元分析 三、几何方程---位移与应变之间的关系 u u D 微元体只有水平位移时 dx AB AB x u x AB dx x dy 0 u y
y dy 只有竖向位移时 v 0 y x y dy
《有限单元法基础》— 第5章 平面问题有限元分析
第5章 平面问题有限元分析
§5–1
§5–2
引 言
常应变三角形单元
§5–3
§5–4
矩形双线性单元
平面等参单元
《有限单元法基础》— 第5章 平面问题有限元分析
弹性力学的基本方程
一、弹性力学与结构力学的区别 q
浅梁 平截面假设成立
y
l
l h 4
q
x
y
深梁
代入上式,得
ui 1 2 xi 3 yi u j 1 2 x j 3 y j u k 1 2 xk 3 y k
解方程,得
D3 D1 D2 1 ; 2 ; 3 D D D
vk k ( xk , yk ) uk j ( x , y ) vi j j Fby y uj Fbx v j ui x i( xi , yi )
平面问题有限元解法公式推导讲解共65页
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
平面问题有限元解法公式推导讲解
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞 罗
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结ห้องสมุดไป่ตู้时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
谢谢！
平面问题有限元解法公式推导讲解
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞 罗
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结ห้องสมุดไป่ตู้时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
第二讲平面问题有限元课件
➢ 该平板的总位能表达式可写成
3
p
e p
e1
3 e1
1 aeTK eae 2
3
a eT Pfe
e1
3
a eT Pse
e1
3 1 a eT K e a e 3 a eT P e
e1 2
e1
1 a1T K 1a1 a 2T K 2a 2 a3T K 3a3 a1T P1 a 2T P 2 a3T P3 2
v
1 2
ai
bix ci yvi
aj
bj x cj y
vj
ak
bk x ck yvk
式中：
ai
xj xk
yj , yk
1
bi
1
yj , yk
1 ci 1
xj xk
ai a j ak
11 1
bi b j bk
xi x j xk
ci c j ck
yi y j yk
形函数
Ni
1 2
ai
bi
x
ci
y
(i, j,k)
u Niui N ju j Nkuk Niui v Nivi N jv j Nkvk Nivi
d
u v
Ni I
NjI
Nk I e Ne
I 二阶单位阵,[N] 形函数矩阵
形函数的性质
1. 形函数 N（i xi , yi ) 1 N（i x j , y j ) 0 j i
序号为下标，以所属单元序号为上标；
T
P1 p11x p11y p12 x p12 y p13x p13 y
T
P2
p
2 1x
p
2 1
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