矩形的性质和判定
矩形的性质与判定
矩形的性质与判定 校区：平湖 年级：九 层次：A/B 编写人：李永佳 审核人：翟威 日期：星期日【知识要点】1.矩形的定义：有一个角 的平行四边形叫做矩形．2.矩形的性质：矩形的四个角都 ；矩形的对角线 .3.矩形的判定定理： 1.有一个角 的 叫做矩形。
2.对角线 的平行四边形是矩形。
3.有三个角是 的四边形是矩形。
4.直角三角形斜边上的中线等于斜边的 .5.矩形的面积等于底乘以高.6.矩形是轴对称图形，也是中心对称图形.【例题精讲】例1：矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）A ．对角相等B ．对边相等C ． 对角线相等D ．对角线互相平分例2：如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 分别是AO 、AD 的中点，若AB=6cm ，BC=8cm ，则△AEF 的周长为（ ）A ．7cmB ．8cmC ．9cmD ．12cm例3：如图，矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，点A 、B 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点C 在第一象限，如果∠OAB=30°，那么点C 的坐标是 ．例4：已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD （AD ＞AB ），将纸片折叠一次，使点A 与点C 重合，再展开，折痕EF 交AD 边于点E ，交BC 边于点F ，分别连结AF 和CE ．（1）求证：四边形AFCE 是菱形；（2）若AB=4，BC=8，求△ABF 的面积；A CB D【巩固练习】一、选择题。
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（）A．∠ABC=90°B．AC=BD C．OA=OB D．OA=AD2．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（）A．AB=BE B．DE⊥DCC．∠ADB=90°D．CE⊥DE3．在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（）A．AB=CD，AD=BC，AC=BD B．AO=CO，BO=DO，∠A=90°C．∠A=∠C，∠B+∠C=180°，AC⊥BD D．∠A=∠B=90°，AC=BD4．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为（）A．17 B．18 C．19 D．205．如图，矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为20cm，则这个矩形的一条较短边的长度为（）A．10cm B．8cm C．6cm D．5cm6．如图所示，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（）A．B．C．1 D．1.57．如图，在矩形ABCD中，AD=1，AB＞1，AG平分∠BAD，分别过点B、C作BE⊥AG于点E，CF⊥AG于点F，则（AE﹣GF）的值为（）A．1 B．C．D．8．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E、F，则PE+PF的值为（）A．10 B．4.8 C．6 D．59．在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，则下列三种说法：①如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形②如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形③如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形其中正确的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个10．如图，矩形ABCD中，AB=8，点E是AD上的一点，有AE=4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G．若G是CD的中点，则BC的长是（）A．7 B．8 C．9 D．10二、填空题。
矩形的性质和判定
矩形的性质和判定【知识梳理】一、定义：有一个是直角的平行四边形是矩形。
二、性质：①矩形的四个角都是直角②矩形的对角线相互平分且相等③矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对称轴④矩形的面积S=长×宽三、判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形；④对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
四、矩形与平行四边形的区别与联系：①相同点1、两组对边分别平行2、两组对边分别相等3、两组对角分别相等4、对角线相互平分②区别1、有一个角是直角的平行四边形矩形2、对角线相互平分且相等【例题精讲】考点1 矩形的性质【例1】已知：如图，在矩形ABCD中，BE=CF，求证：AF=DE。
【例2】如图，在矩形ABCD 中，,E F 分别是,BC AD 上的点，且BE DF =。
求证：ABE ∆≌CDF ∆。
【例3】如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，60AOB ∠=︒，2AB =，则矩形的对角线AC 的长是（ ） A ．2 B ．4 C ．23 D ．43【变式1】下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（ ） A 、对边相等 B 、对角相等 C 、对角线相等 D 、对边平行【变式2】矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ，如果ABC ∆的周长比AOB ∆的周长大10cm ，则边AD 的长是 。
【变式3】如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=︒，则DAE ∠= 。
FED CBA考点2 矩形的判定【例4】如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 中点，四边形ABDE 是平行四边形。
求证：四边形ADCE 是矩形。
【例5】如图，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的中点，△ABE 是等边三角形，求证：四边形ABCD 是矩形。
ODC BAD EFCAB【变式6】如图11，已知E 是ABCD 中BC 边的中点，连接AE 并延长AE 交DC 的延长线于点F 。
矩形的性质和判定
矩形的性质和判定基础知识点1、矩形的性质和判定：定 义矩 形有一个内角是直角的平行四边形。
性质边对边平行，对边相等。
角 四个角相等，都是直角。
对角线互相平分，相等。
判定有一个角是直角的平行四边形是矩形。
有三个角是直角的四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形。
2、在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。
3、矩形是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线所在的直线。
例题剖析例1、 已知矩形ABCD 中，AB=2BC ，点E 在边DC 上，且AE=AB ，求∠EBC 的度数．【变式练习】矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F ，•求证：BE=CF ．【变式练习】在矩形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，过顶点C 作BD•的平行线与AB 的延长线相交于点E ，求证：△ACE 是等腰三角形．例2、折叠矩形ABCD 纸片，先折出折痕BD ，再折叠使A 落在对角线BD 上A ′位置上，折痕为DG ，AB=2，BC=1。
求AG 的长。
GA`DCBA【变式练习】如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在F 的位置，BF 交AD 于E ，AD=8,AB=4，求△BED 的面积。
EDC BAF例3、在△ABC中，∠ABC=90°，BD是△ABC的中线，延长BD到E，•使DE=BD，连结AE，CE，求证：四边形ABCE是矩形．【变式练习】在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形。
求证：四边形ADCE是矩形。
例4、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形．【变式练习】（2011•青岛）在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．（1）求证：△BEC≌△DFA；（2）连接AC ，当CA=CB 时，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？并证明你的结论【变式练习】E 为□ABCD 外一点，AE ⊥CE,BE ⊥DE ，求证：□ABCD 为矩形例5、□ABCD 中，AE 、BF 、CG 、DH 分别是各内角的平分线，E 、F 、G 、H 为它们的交点， 求证：四边形EFGH 的矩形。
矩形的性质和判定
矩形旳特征 ：
(1) 矩形旳四个角都是直角； (2) 矩形旳对角线相等。
范例讲解
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例1、如图，矩形ABCD旳两条对角线相交于点O， ∠AOD=120°，AB=2.5cm，求矩形对角线旳长。
解：∵四边形ABCD是矩形
A
D
∴ AC=BD
且 OA= 1 AC，OD= 1 BD
D
2
求证：△ABC是直角三角形。
O
证明：延长BO至D，使OD=OB。
∵OB为中线
B
C
∴OA=OC
中线加倍法
∴四边形ABCD是平行四边形 ∵OB= 1 AC
2
∴AC=BD
∴四边形ABCD是矩形
∴△ABC是直角三角形
巩固练习
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1、如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于
一种内角为直角
平行四边形
一种内角为直角
矩形
新知归纳
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矩形旳定义 ： 有一种内角是直角旳平行四边形叫做矩形。
A
D
A 一种内角
D
是直角
B
C
B
C
合作交流
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ⅰ、矩形是特殊旳平行四边形，它具有一般平行四边形 旳全部性质，你能列举某些这么旳性质吗？
点O，AB=6，OA=4，求BD与AD旳长.
A
D
O
B
C
巩固练习
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2、一种矩形旳对角线长6cm，对角线与另一边旳夹角 是45°，求这个矩形旳各边长.
什么是矩形_矩形的性质
什么是矩形_矩形的性质矩形是一种平面图形，包括长方形与正方形，那么你对矩形了解多少呢?以下是由店铺整理关于什么是矩形的内容，希望大家喜欢!什么是矩形矩形(rectangle)是一种平面图形，包括长方形与正方形。
是特殊的平行四边形，因为平行四边形具有不稳定性，所以当改变一个内角大小，而不改变各边长并仍保证为平行四边形矩形至直角时，便有了矩形。
所以矩形的四个角都是直角，同时矩形的两组对边分别相等，对角相等，邻角互补，对角线相等且互相平分，故两条对角线可以将一个矩形分为四个面积相等的等腰三角形，而且在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等。
还有我们知道，在任意四边形中，顺次连接各边中点，所得图形即为平行四边形{可用中位线定理证明}。
而在一个对角线互相垂直的四边形中，顺次连接各边中点，所得图形即为矩形。
判定矩形一般有3种基本方法：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形{定义判定法}2.有三个角是直角的四边形是矩形3.对角线相等的平行四边形{即对角线相等且互相平分的四边形}是矩形矩形的判定1.一个角是直角的平行四边形是矩形。
2.对角线相等的平行四边形是矩形。
3.三个内角都是直角的四边形是矩形。
说明：矩形和正方形都是平行四边形。
平行四边形的定义在矩形上仍然适用。
矩形的性质(1)矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.(2)矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有;②角：矩形的四个角都是直角;③边：邻边垂直;④对角线：矩形的对角线相等;⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形.它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线;对称中心是两条对角线的交点.(3)由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.矩形判定应用例1：已知ABCD的对角线AC和BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4.求这个平行四边形的面积。
分析：首先根据△AOB是等边三角形及平行四边形对角线互相平分的性质判定出ABCD是矩形(如图个4-37)，再利用勾股定理计算边长，从而得到面积为例2：已知：如图4-38在ABCD中，M为BC中点，∠MAD=∠MDA.求证：四边形ABCD是矩形.分析：根据定义去证明一个角是直角，由△ABM≌DCM(SSS)即可实现。
矩形的性质
(1)平行四边形与矩形共有的性质:
①从边看，矩形对边平行且相等。
(2)矩形特有的性质:
②从角看，矩形四个内角都是直角。
③从对角线看，矩形对角线互和平行四边形的一切性质。
矩形的对角线相等
(3)对称性:
⑤矩形是轴对称图形，它有两条对称轴，它也是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。判定
①定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形
②有三个角是直角的四边形是矩形
③对角线互相平分且相等的四边形是矩形
性质定理2推论
直角三角形斜边中线等于斜边一半
矩形的四个角都是直角
专题15 矩形的性质与判定(解析版)
专题15 矩形的性质与判定【考点归纳】（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）（5）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．【好题必练】一、选择题1．（2020秋•光明区期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB 上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（）A．1.2B．1.5C．2.4D．2.5【答案】A【解析】解：连接CM，如图所示：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形CEMF是矩形，∴EF＝CM，∵点P是EF的中点，∴CP＝EF，当CM⊥AB时，CM最短，此时EF也最小，则CP最小，∵△ABC的面积＝AB×CM＝AC×BC，∴CM＝＝＝2.4，∴CP＝EF＝CM＝1.2，故选：A．2．（2020秋•凤翔县期末）如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，连接BP、MN，若AB＝6，BC＝8，当点P在斜边AC上运动时，则MN的最小值是（）A．1.5B．2C．4.8D．2.4【答案】C．【解析】解：∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝＝10，∵PM⊥AB，PN⊥BC，∠C＝90°，∴四边形BNPM是矩形，∴MN＝BP，由垂线段最短可得BP⊥AC时，线段MN的值最小，此时，S△ABC＝BC•AB＝AC•BP，即×8×6＝×10•BP，解得：BP＝4.8，即MN的最小值是4.8，故选：C．3．（2020•竹溪县模拟）下列说法中，错误的是（）A．菱形的对角线互相垂直B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．矩形的四个内角都相等D．四个内角都相等的四边形是矩形【答案】B【解析】解：A、∵菱形的对角线互相垂直，∴选项A不符合题意；B、∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，∴选项B符合题意；C、∵矩形的四个角都是直角，∴矩形的四个内角都相等，∴选项C不符合题意；D、∵四个内角都相等的四边形是四个角都是直角，∴四个内角都相等的四边形是矩形，∴选项D不符合题意；故选：B．4．（2020秋•武侯区校级月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（）A．5B．2.5C．4.8D．2.4【答案】D．【解析】解：连接AP，如图所示：∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，∴BC＝＝10，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AFPE是矩形，∴EF＝AP，EF与AP互相平分，∵M是EF的中点，∴M为AP的中点，∴PM＝AP，根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即AP⊥BC时，AP最短，同样PM也最短，∴当AP⊥BC时，AP＝＝4.8，∴AP最短时，AP＝4.8，∴当PM最短时，PM＝AP＝2.4．故选：D．5．（2020春•沙坪坝区校级月考）下列说法正确的是（）A．矩形的对角线互相垂直且平分B．矩形的邻边一定相等C．对角线相等的四边形是矩形D．有三个角为直角的四边形为矩形【答案】D．【解析】解：A、∵矩形的对角线互相平分且相等，∴选项A不符合题意；B、∵矩形的邻边一定垂直，不一定相等，∴选项B不符合题意；C、∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴选项C不符合题意；D、∵有三个角为直角的四边形为矩形，∴选项D符合题意；故选：D．6．（2020春•江夏区期末）如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，点O是MN的中点，若AB＝6，BC＝8，当点P在AC上运动时，则BO的最小值是（）A．1.5B．2C．2.4D．2.5【答案】C．【解析】解：连接BP，如图所示：∵∠ABC＝90°，PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，∴四边形BMPN是矩形，AC＝＝＝10，∴BP＝MN，BP与MN互相平分，∵点O是MN的中点，∴BO＝MN，当BP⊥AC时，BP最小＝＝＝4.8，∴MN＝4.8，∴BO＝MN＝2.4，故选：C．二、填空题7．（2020•顺义区一模）如图，将一矩形纸片ABCD沿着虚线EF剪成两个全等的四边形纸片．根据图中标示的长度与角度，求出剪得的四边形纸片中较短的边AE的长是．【答案】3【解析】解：过F作FQ⊥AD于Q，则∠FQE＝90°，∵四边形ABCD是长方形，∴∠A＝∠B＝90°，AB＝DC＝4，AD∥BC，∴四边形ABFQ是矩形，∴AB＝FQ＝DC＝4，∵AD∥BC，∴∠QEF＝∠BFE＝45°，∴EQ＝FQ＝4，∴AE＝CF＝×（10﹣4）＝3，故答案为：3．8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为．【答案】【解析】解：∵∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，∴BC＝＝10，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四边形DMAN是矩形，∴MN＝AD，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，∴AD＝＝，∴MN的最小值为；故答案为：．9．在△ABC中，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，连接EF，则EF的最小值为cm．【答案】【解析】解：∵AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC为直角三角形，∠A＝90°，∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四边形AEPF为矩形，连接AP，如图，EF＝AP，当AP的值最小时，EF的值最小，当AP⊥BC时，AP的值最小，根据△ABC面积公式，×AB•AC＝×AP•BC，∴AP＝＝＝，∴EF的最小值为．故答案为．10．如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC＝4，BC＝3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值是．【答案】【解析】解：连接PC．∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°；又∵∠ACB＝90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF＝PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∴AC•BC＝AB•PC，∴PC＝．∴线段EF长的最小值为；故答案是：．11．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为．【答案】2.4【解析】解：连接AP，∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴AB2+AC2＝BC2，即∠BAC＝90°．又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF＝AP，∵AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，∴EF的最小值为2.4，故答案为：2.4．三、解答题12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点C作AC的垂线，过点D作BD的垂线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE＝1，DE＝2，求四边形的ABCD面积．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°．∵CE⊥AC，DE⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形；（2）解：由（1）知，四边形OCED是菱形，则CE＝OD＝1，DE＝OC＝2．∵四边形ABCD是菱形，∴AC＝2OC＝4，BD＝2OD＝2，∴菱形ABCD的面积为：AC•BD＝×4×2＝4．【解析】（1）欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为90度即可；（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF ＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AC＝10，∠ABC＝60°，则矩形AEFD的面积是．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵CF＝BE，∴BC＝EF，∴AD∥EF，AD＝EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴平行四边形AEFD是矩形；（2）解：∵AB＝CD，BE＝CF，∠AEB＝∠DFC＝90°，∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），∴矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵AC＝10，∴AE＝AC＝5，AB＝10，BO＝5，∵AD＝EF＝10，∴矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积＝×10×10＝50，故答案为：50．【解析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD＝BC，等量代换得到BC＝EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的判定定理得到Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），求得矩形AEFD的面积＝菱形ABCD 的面积，根据等腰三角形的性质得到结论．14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF∥AE交AD延长线于点F．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接OE，若AE＝4，AD＝5，求OE的长．【答案】（1）证明：∵菱形ABCD，∴AD∥BC．∵CF∥AE，∴四边形AECF是平行四边形．∵AE⊥BC，∴平行四边形AECF是矩形；（2）解：∵AE＝4，AD＝5，∴AB＝5，BE＝3．∵AB＝BC＝5，∴CE＝8．∴AC＝4，∵对角线AC，BD交于点O，∴AO＝CO＝2．∴OE＝2．【解析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC，推出四边形AECF是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据已知条件得到得到CE＝8．求得AC＝4，于是得到结论．15．（2020•石景山区一模）如图，在▱ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E．（1）求证：四边形ACED是矩形；（2）连接AE交CD于点F，连接BF．若∠ABC＝60°，CE＝2，求BF的长．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠CAD＝∠ACB＝90°．又∵∠ACE＝90°，DE⊥BC，∴四边形ACED是矩形．（2）解：∵四边形ACED是矩形，∴AD＝CE＝2，AF＝EF，AE＝CD．∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝2，AB＝CD．∴AB＝AE．又∵∠ABC＝60°，∴△ABE是等边三角形．∴∠BFE＝90°，．在Rt△BFE中，．【解析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC．所以∠CAD＝∠ACB＝90°．又∠ACE ＝90°，即可证明四边形ACED是矩形；（2）根据四边形ACED是矩形，和四边形ABCD是平行四边形，可以证明△ABE是等边三角形．再根据特殊角三角函数即可求出BF的长．16．（2020春•灌云县期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．（1）求证：四边形AODE是矩形；（2）若△ABC是边长为2的正三角形，求四边形AODE的面积．【答案】（1）证明：∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，∴四边形AODE是矩形；（2）解：∵△ABC是边长为2的正三角形，∴AB＝AC＝2，∠ABC＝60°，∵四边形ABCD为菱形，∴AO＝AC＝1，OD＝OB，∵∠AOB＝90°，∴OB＝＝＝，∴OD＝OB＝，∵四边形AODE是矩形，∴四边形AODE的面积＝×1＝．【解析】（1）根据题意可判断出四边形AODE是平行四边形，再由菱形的性质可得出AC⊥BD，即∠AOD ＝90°，继而可判断出四边形AODE是矩形；（2）由菱形的性质和勾股定理求出OB，得出OD，由矩形的面积公式即可得出答案。
6.2矩形的性质与判定
6.2矩形的性质与判定定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.性质：（1）矩形具有平行四边形的一切性质.（2）四个角都是直角.（3）对角线相等.（4）是轴对称图形，有4条对称轴.定理：直角三角形斜边中线等于斜边的一半.判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角是直角的四边形是矩形.基础闯关矩形的定义与性质1.矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征是（）。
A．对角相等 B. 对边相等 C．对角线相等 D. 对角线互相平分2.矩形具有而菱形不具有的性质是（）A.两组对边分别平行B.对角线相等C.对角线互相平分D.两组对角分别相等3.矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分分别为（）A．6cm和9cm B．5cm和10cm C．4cm和11cm D．7cm和8cm 4.在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（）A．对角线互相平分且相等 B．四个角相等C．是轴对称图形 D．对角线互相垂直平分5.一个矩形周长是12cm, 对角线长是5cm, 那么它的面积为 .6.矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为，短边长为 .7.已知，矩形的一条边上的中点与对边的两个端点的连线互相垂直，且该矩形的周长为24 cm，则矩形的面积为 cm2。
8.如图，矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE交AB于F，若DE=2，矩形ABCD 的周长为16，且CE=EF，求AE的长．9.已知：如图所示，矩形ABCD 中，E 是BC 上的一点，且AE=BC ，︒=∠15EDC ．求证：AD=2AB ．10.如图，ABCD 是矩形纸片，翻折∠B 、∠D ，使BC 、AD 恰好落在AC 上。
设F 、H分别是B 、D 落在AC 上的两点，E 、G 分别是折痕CE 、AG 与AB 、CD 的交点。
数学矩形知识点归纳
数学矩形知识点归纳矩形1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、矩形的性质：⑴ 矩形具有平行四边形的一切性质；⑵ 矩形的四个角都是直角；⑶ 矩形的对角线平分且相等；（AC=BD）⑷ 矩形是轴对称图形，它有2条对称轴。
提示：⑴ “矩形的四个角都是直角”这一性质可用来证两条线段互相垂直或角相等，“矩形的对角线相等”这一性质可用来证线段相等；⑵ 矩形的两条对角线分矩形为面积相等的四个等腰三角形。
3、矩形判定方法：⑴ 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
⑵ 方法1：对角线相等的平行四边形是矩形。
⑶ 方法2：有三个角是直角的四边形是矩形。
初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。
平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。
③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。
初中数学知识点：平面直角坐标系的构成对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。
平面直角坐标系的构成在同一个平面上互相垂直且有公共原点的`两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。
通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。
水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。
初中数学知识点：点的坐标的性质下面是对数学中点的坐标的性质知识学习，同学们认真看看哦。
点的坐标的性质建立了平面直角坐标系后，对于坐标系平面内的任何一点，我们可以确定它的坐标。
矩形的性质与判定的综合运用-课件
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14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年3月4日星期 四2021/3/42021/3/42021/3/4
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15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年3月2021/3/42021/3/42021/3/43/4/2021
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16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/3/42021/3/4Marc h 4, 2021
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11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/3/42021/3/42021/3/4M ar-214- Mar-21
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12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/3/42021/3/42021/3/4T hursday, March 04, 2021
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13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/3/42021/3/42021/3/42021/3/43/4/2021
MK2＋NK2＝ （2x）2＋8x2＝2 3x，∴MDNN＝2 x3x＝2 3
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9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/3/42021/3/4T hursday, March 04, 2021
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10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/3/42021/3/42021/3/43/4/2021 9:54:09 PM
13．如图，矩形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，点 E 为矩 形 ABCD 外一点，若 AE⊥CE，求证：BE⊥DE.
解：连接 OE，∵四边形 ABCD 是矩形，∴OA＝OC，OB ＝OD，AC＝BD，∵AE⊥CE，∴OE＝21AC，∴OE＝12BD，∴ OE＝OB＝OD，可证∠BED＝90°，∴BE⊥DE
矩形判定方法
矩形判定方法矩形是一种常见的几何图形，具有四条边和四个角，其特点是对角线相等且相互平行。
在日常生活和工程设计中，我们经常需要对矩形进行判定和识别。
下面将介绍几种常见的矩形判定方法。
首先，我们可以通过矩形的特征来进行判定。
矩形的特征包括四条边相互平行且长度相等，对角线相等，四个角均为直角。
因此，我们可以通过测量四条边和两条对角线的长度，以及角度的大小来判断一个图形是否为矩形。
如果满足上述条件，则可以确定该图形为矩形。
其次，我们可以通过矩形的性质来进行判定。
矩形具有一些独特的性质，如对角线相等，相邻角互补，对边相等等。
因此，我们可以通过利用这些性质来进行矩形的判定。
例如，如果一个四边形的对角线相等且相互平行，那么可以判定该四边形为矩形。
另外，我们还可以通过矩形的边界特征来进行判定。
矩形具有四条相互平行的边界，因此我们可以通过检测图形的四条边界是否平行来进行判定。
如果四条边界都是平行的，那么可以初步判断该图形可能是矩形。
接着，我们可以再通过测量对角线长度和角度的大小来进一步确定是否为矩形。
除了以上方法，我们还可以利用计算机视觉技术来进行矩形的判定。
通过图像处理和模式识别算法，可以对输入的图像进行特征提取和形状分析，从而判断图像中是否包含矩形。
这种方法在工业自动化和智能识别领域有着广泛的应用。
总的来说，矩形的判定方法多种多样，我们可以根据具体的应用场景和需求来选择合适的方法。
在实际应用中，我们可以结合多种方法来进行判定，以提高判定的准确性和鲁棒性。
希望以上介绍的方法能够对大家有所帮助，谢谢阅读！。
北师大数学九年级上册第一章矩形的性质与判定
1.2矩形的性质与判定知识精讲一．矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也就是长方形．二．矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，平行四边形具有的性质它全都具有三．矩形的判定判断一个四边形是否为矩形时，需要分清是在四边形的基础上还是在平行四边形的基础上四．直角三角形的性质定理证明过程：如图，矩形ABCD中AO=CO=BO=DO=12AC=12BD在Rt△ABD中，AO是斜边BD的中线则有：AO=12 BD逆定理证明过程：边角对角线对称性平行四边形对边平行且相等对角相等邻角互补互相平分非轴对称矩形对边平行且相等四个角为直角互相平分且相等轴对称四边形平行四边形角有三个角是直角的四边形是矩形（判定定理）有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义）对角线/ 对角线相等的平行四边形是矩形（判定定理）斜边中线定理直角三角形斜边中线等于斜边的一半逆定理如果一个三角形的一条边上的中线等于它的一半，那么这个三角形是直角三角形，且这条边所对的角为直角（不可直接使用，需证明）OCD已知：在ΔABC 中，BO 是边AC 上的中线，且BO=12AC 求证： ΔABC 是直角三角形 证明：延长BO 到D ，使DO=BO =12AC ，连接AD ，CD 。
∵BO=DO ,AO=CO∴四边形ABCD 是平行四边形 BO=12AC ＝12BD ∴AC ＝BD∴四边形ABCD 是矩形 ∴∠ACB =90°∴ΔABC 是直角三角形 五．思路点拨 矩形ABCD 中，六．易错点1．矩形的对角线相等，不一定互相垂直，如图1 2. 对角线相等的不一定是矩形，如等腰梯形，如图2 3．四边形两个角是直角，不一定是矩形，如图3图1 图2 图34.判断一个四边形是否为矩形的时候，需要分清是在四边形的基础上还是在平行四边形的基础上三点剖析一．考点：1．性质；2．判定；3．直角三角形的性质．ABCDDCBA4个直角三角形Rt △ADC ≌Rt △BCD ≌ Rt △DAB ≌Rt △CBA （两两全等）4个等腰三角形△ADO ≌△CBO △DOC ≌△AOB （两组全等）对角线将矩形面积四等分S △ADO = S △COB = S △DOC =S △AOB过对角线交点的直线将矩形面积平分S AEFB =S EDCF 矩形的问题可以转化为（1）内角均为直角，与勾股定理结合（2）利用矩形的性质，与等腰三角形、全等三角形结合，求线段长度或角度 O二．重难点：矩形的性质；矩形的判定；直角三角形斜边中线等于斜边的一半．三．易错点：1．矩形的对角线大小相等，不一定互相垂直． 2．四边形两个角是直角，不一定是矩形．性质例题1、 如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，4cm AC =，120AOD ∠︒＝，则BC 的长为（ ）A.43B.4C.23D.2 例题2、 如图，在Rt ABC 中，90A ∠=︒，3AB =，4AC =，P 为边BC 上一动点，PE AB ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，则EF 的最小值为（ ）A.2B.115C.125D.52例题3、 如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点E 、F 分别在AB 、CD 上，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点A 、D 分别落在矩形ABCD 外部的点A′、D′处，则整个阴影部分图形的周长为____例题4、 如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 落在平面上的F 点处，DF 交BC 于点E ． （1）求证：△DCE △△BFE ；（2）若CD=2，△ADB=30°，求BE 的长．随练1、 如图，矩形的两条对角线所夹锐角为60︒，两条对角线的长度的和为20cm ，则这个矩形的一条较短边的长度为（ ）．ABC D OA.10cmB.8cmC.6cmD.5cm随练2、如图，已知矩形ABCD，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE、BE，若△ABE是等边三角形，则DCEABESS=____．随练3、如图，四边形ABCD的对角线AC△BD，垂足为O，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是矩形．随练4、如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝8．则图中阴影部分的面积为（）A.10B.12C.16D.18判定例题1、连接对角线互相垂直的四边形的四边中点，所构成的四边形一定是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.梯形例题2、已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA到点E，使AE=AB，联结ED、EC、AC．添加一个条件，能使四边形ACDE成为矩形的是（）A.AC=CDB.AB=ADC.AD=AED.BC=CE．例题3、如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF．（1）求证：D是BC的中点；（2）若AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．A DB CO例题4、 已知：如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，CN △AB ，DN 交AC 于点M ，MA=MC ． ①求证：CD=AN ；②若△AMD=2△MCD ，求证：四边形ADCN 是矩形．随练1、 如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，已知下列6个条件：AB DC ①∥；AB DC =②；AC BD =③；90ABC ∠=︒④；OA OC =⑤；OB OD =⑥． 则不能使四边形ABCD 成为矩形的是（ ）A.①②③B.②③④C.②⑤⑥D.④⑤⑥ 随练2、 矩形ABCD 中，AB ＝10，BC ＝6，点E 在线段AB 上．点F 在线段AD 上 （1）沿EF 折叠，使A 落在CD 边上的G 处（如图），若DG ＝3，求AF 的长；求AE 的长； （2）若按EF 折叠后，点A 落在矩形ABCD 的CD 边上，请直接写出AF 的范围．随练3、 如图，在▱ABCD 中，∠ABD 的平分线BE 交AD 于点E ，∠CDB 的平分线DF 交BC 于点F ，连接BD ． （1）求证：△ABE ≌△CDF ；（2）若AB=DB ，求证：四边形DFBE 是矩形．直角三角形斜边中线等于斜边的一半例题1、 如图，在△ABC 中，BF 平分△ABC ，AF △BF 于点F ，D 为AB 的中点，连接DF 延长交AC 于点E ．若AB=10，BC=16，则线段EF 的长为（ ）A.2B.3C.4D.5例题2、 如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，D 在CB 上，E 为AB 之中点，AD 、CE 相交于F ，且AD DB =．若20B ∠=︒，则DFE ∠=（ ）A.40︒B.50︒C.60︒D.70︒随练1、 如图所示，在ABC ∆中，D 为AB 中点，分别延长CA 、CB 到点E 、F ，使DE DF =．过E 、F 分别作直线CA 、CB 的垂线，相交于点P ，设线段PA 、PB 的中点分别为M 、N ．求证：（1）DEM FDN ∆∆≌；（2）PAE PBF ∠=∠．课后习题1、 下列关于矩形的说法中正确的是（ ） A.对角线相等的四边形是矩形 B.矩形的对角线相等且互相平分 C.对角线互相平分的四边形是矩形 D.矩形的对角线互相垂直且平分2、 如图，O 是矩形ABCD 对角线AC 的中点，M 是AD 的中点，若BC=8，OB=5，则OM 的长为（ ）A.1B.2C.3D.43、 如图所示，矩形纸片ABCD 中，AB=6cm ，BC=8cm ，现将其沿EF 对折，使得点C 与点A 重合，则AF 长为（ ）PFEDC BAA.cmB.cmC.cmD.8cm4、如图，在矩形ABCD中，AB=3，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于点F，∠ADB=30°，则EF=（）A.3B.23C.3D.335、如图，在△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=4，点D为边CB上动点，以AD为边在AD右侧作等边三角形ADE，连BE，取BE的中点P．当点D从点C出发沿CB方向向点B运动时，点P的运动路径长为___________6、把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB=3cm，BC=5cm，则重叠部分△DEF的面积是____cm2．7、已知：在△ABC中，AB=AC，若将△ABC顺时针旋转180°，得到△FEC．（1）试猜想AE与BF有何关系？说明理由；（2）若△ABC的面积为3cm2，求四边形ABFE的面积；（3）当∠ACB为多少度时，四边形ABFE为矩形？说明理由．8、已知：如图，在ABCD□中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF．（1）求证：ABE FCE△≌△；（2）若AF AD=，求证：四边形ABFC是矩形．9、如图，在长方形ABCD中，AC是对角线，将长方形ABCD绕点B顺时针旋转90︒到长方形GBEF位置，H是EG的中点，若6AB=，8BC=，则线段CH的长为（）AB CDEFA.C.HGFEDCBA。
矩形的性质与判定
中卫市常乐中学导学案
科目：数学班级：九年级（1）班学生姓名：
3.已知：如图，在 ABCD中，M是AD边中点，且MB=MC.
求证：四边形ABCD是矩形.
4如图，点B在MN上，过AB的中点O
作MN的平行线，分别交∠ABM的平分
线和∠ABN的平分线于点C、D.试判断
四边形ABCD的形状，并证明你的结论.
群学
当堂检测1.(2022·玉林模拟)下列命题是假命题的是( C )
A．四个角相等的四边形是矩形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．对角线垂直的四边形是菱形D．对角线垂直的平行四边形是菱形2.已知：如图，四边形ABCD由两个全等的等边三角形ABD和CBD
组成，M、N分别是BC和AD的中点.
求证：四边形BMDN是矩形.。
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赵志礼教学设计
《特殊的平行四边形》
（一）导入明标
（二）自主学习，合作交流，展示点拨
活动一：
活动二：
（三）记录收获，发现问题
（四）典型分析，巩固训练。
九、实践反思
对于菱形、正方形的性质及判定学生已经有所了解。
本节的重点就是要严格证明菱形、正方形的性质和判定，通过这部分知识进一步训练学生的逻辑推理能力。
这节课中主要在以下几点比较注重。
一、注重新旧知识的延续性。
通过复习、回忆已经学过的“菱形的性质及判定”为新内容进行铺垫。
同时，也为知识间的迁移作了伏笔。
《课标》强调学生数学学习的过程是建立在经验基础上的一个主动建构的过程。
二、创设问题情景，学生自主探究。
《数学课程标准》强调指出：“学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。
”实施“新课标”，就是要改变以往的学生被动地接受知识的陈旧的学习方式，让学生自主学习、自主探索、自主感悟，自主解决问题。
这一堂课，学生自始至终地进行自主学习、自主探索、自主感悟，自主解决问题。
教师不再是知识的灌输者，教师的作用只是学生“学习的组织者、引导者与合作者”；学生也不再是接受知识的容器，而是知识的探索者、发现者。
例如，在证明定理部分，提出了“你能证明它们吗”问题后，就让学生去自主思考探究，自主解决自己需要解决的问题。
然后，老师“出示例题”：“已知菱形边长及一条对角线，求另一条对角线”问题，让学生自主探索求解。
学生经过思考、合作探索、尝试列式求解后，终于自行解决了这一问题。
而在这一学习过程中，老师只作积极的组织者和理智的引导者，不作任何的解答。
三、小组合作，自主探究。
任何一项科学研究活动或发明创造都要经历从猜想到验证的过程。
“怎样的图形是正方形？”，这个问题如何回答，这正是小组合作的契机。
通过小组内交流，使学生认识到可以通过多种途径来验证，让学生在小组内完成从特殊到一般的研究过程。
然后再小组汇报研究结果以及存在问题。
数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。
这堂课中的全班交流教学环节，不仅能使学生畅所欲言、共同发展，而且真正体现了学生是学习的主人，是学习的主体这一现代教育的主题。
四、注重数学思想方法，让学生受到数学思想的熏陶与启迪。
这节课在教学过程中渗透了“变与不变”、转化等数学思想。
五、注重数学知识与生活的联系，注重培养学生的应用意识。
在学生新知巩固，知识应用拓展阶段，教师出示现实生活中的物体：方位图和交通警示牌，体现了“数学来源于生活”的理念，同时也突出了“数学注重应用”的理念。
六、不足之处
（1）在“想一想”出示“怎样判别一个平行四边形？”这个问题后，只给学生讨论，没有花费时间去证。