北京市各城区2010-2011学年度第一学期期末试题分类汇编---一元二次方程

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北京市西城区2011年1月高一数学期末试卷

北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末试卷（北区）高一数学 2011.1试卷满分：150分考试时间：120分钟A 卷 [必修模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 若角α是第四象限的角，则（）A. sin 0α>B. cos 0α>C. tan 0α>D. cot 0α> 2. 若向量a = (1, 1)，b = (2, 1-)，则2-a b 等于 ( )A. (0,3)B. (0,2)C. (1,2)-D. (1,3)- 3. 已知1cos 3a =，则cos(3π)a +的值等于（） A. 13-B. 13C. 3-D. 34. 设x ∈R ，向量a =(1, x -1)，b =(-2，x )，若a ^b ，则实数x 等于（） A.-2或1 B. -2或-1 C. 2或1 D. 2或-15. 函数()2cos sin f x x x =是（）A. 最小正周期为2π的偶函数B. 最小正周期为2π的奇函数C. 最小正周期为π的偶函数D. 最小正周期为π的奇函数6. 如图，D 是ABC V 的边AB 的中点，则向量CD uu u r等于（）A. 12BC BA +uu u r uu rB. 12BC BA -uu u r uu rC. 12BC BA -+uu u r uu rD. 12BC BA --uu u r uu rAD CB7. 对于向量,,a b c 和实数λ，下列说法中正确的是（） A. 若0a b?，则0a =或 0b = B. 若0l =a ，则0l =或0a =C. 若22a b =，则a b =或 a b =- D. 若a ba c ? ，则bc =8. 为了得到函数πcos(2)3y x =+的图象，只需将函数cos 2y x =的图象（） A. 向左平移π6个长度单位 B. 向右平移π6个长度单位 C. 向左平移π3个长度单位 D. 向右平移π3个长度单位9. 设向量a , b 的长度分别为2和3，且π,3=〈〉a b ，则|a +b |等于 ( ) A. 13B. C. 19 D.10. 设向量2222(cos ,sin ),(cos ,sin )x x x x ==-a b ，函数()f x =⋅a b ，则函数()f x 的图象 ( )A. 关于点(π,0)中心对称B. 关于点π(,0)2中心对称C. 关于点π(,0)4中心对称 D. 关于点(0,0)中心对称二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 11. sin390的值等于_________.12. 若向量(12)=-，a 与向量(,4)x b =平行，则实数x =______________. 13. 不等式cos 0x >的解集为___________________ .14. 若向量,a b 满足||||1==a b ，a 与b 的夹角为120，则()⋅+a a b =__________. 15. 设角θ的终边经过点(3,4)-，则πsin()4θ+=___________ . 16. 函数π()sin(π)6f x x =+, x ∈R 的部分图象如右图所示. 设P 是图象上的最高点，M , N 是图象与x 轴的交点，则tan MPN ∠=______________.三、解答题：本大题共3小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）设函数sin ()tan xf x x=. （Ⅰ）求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）已知π(0,)2α∈，且2()3f α=，求π()3f α+的值.18.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，2) ，B (-1，-1)， C (2，3). (Ⅰ)求BAC ∠的的大小；(Ⅱ)求以线段AB ， AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长.19.（本小题满分12分）已知函数2()sin cos f x x x x ωωω=（0ω>）图象的两相邻对称轴间的距离为2π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调减区间；（Ⅲ）若对任意12π,02x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有12|()()|f x f x m -<，求实数m 的取值范围．B 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上. 1. 2lg 2lg 25+的值等于 .2. 已知函数3,1,(),1,x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩若()2f x =，则x = .3. 定义域为(0,)+∞的函数f (x )对于任意正实数x 1, x 2满足f (x 12x ) = f (x 1)+f (x 2). 则f (x )的解析式可以是______________.(写出一个符合条件的函数即可)4. 设f (x )是定义在R 上的偶函数，若()f x 在[0,)+∞是增函数，且(2)0f =，则不等式(1)0f x +>的解集为____________________.5. 某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表. 已知各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系可以表示为[]10x ay += ([x ]表示不大于x 的最大整数，a ∈N )，那么其中a =__________.二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6. （本小题满分10分）设函数1()11f x x =--. (Ⅰ) 求函数()f x 的定义域和值域； (Ⅱ) 证明函数()f x 在(1,)+∞上为减函数.7. （本小题满分10分）已知函数()||()()f x x x a a =⋅+∈R 是奇函数. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设0b >，若函数()f x 在区间[,]b b -上最大值与最小值的差为b ，求b 的值.8.（本小题满分10分）一般地，我们把函数1110()()n n n n h x a x a x a x a n --=++++∈N 称为多项式函数，其中系数01,,,n a a a ∈R .设 (),()f x g x 为两个多项式函数，且对所有的实数x 等式[()][()]f g x g f x =恒成立. (Ⅰ) 若2()3,()(0)f x x g x kx b k =+=+ .○1 求()g x 的表达式； ○2 解不等式()()5f x g x ->.（Ⅱ）若方程()()f x g x =无实数解，证明方程[()][()]f f x g g x =也无实数解.北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末试卷（北区）高一数学参考答案及评分标准 2011.1A 卷 [必修模块4] 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1. B2. A3. A4. D5. D6. C7. B8. A9. D 10. C 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.12 12. 2- 13. ππ{|2π2π+,}22x k x k k -<<∈Z14. 12 15. 1016. 43三、解答题：本大题共3小题，共36分.17.（Ⅰ）解：要使函数()f x 有意义，只要使tan 0x ≠，所以函数()f x 的定义域为{|x x ∈R 且π,2k x k ≠∈Z}. ----------------4分（Ⅱ）解：由sin tan cos xx x=，得()cos f x x =， -----------------5分所以 2()cos 3f αα==，因为 π(0,)2α∈，所以sin α==7分所以ππππ()cos()cos cos sin sin 3333f αααα+=+=- ---------------10分2132=⨯=. ----------------12分 18.（Ⅰ）解：由题意，得(1,3),(2,1)AB AC =--=， -----------------2分所以cos ||||AB ACBAC AB AC ⋅∠=⋅ --------------------------4分==. --------------------------5分所以135BAC ∠=. -------------------------6分（Ⅱ）解：设以线段AB ， AC 为邻边的平行四边形的另一个顶点为D ，则两条对角线分别为,BC AD .根据向量加减法的几何意义，得 (1,2),(3,4)AD AB AC BC AC AB =+=-=-=，------------------------9分所以22||1(2)5,||5AD BC =+-==，即以线段AB , AC 5.-------12分19.（Ⅰ）解：1cos 2()222x f x x ωω-=+ --------------------------2分112cos 222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． ------------4分由题意，得函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，所以2ππ2ω=，解得1ω=． ------------------------5分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．所以当ππ3π2π+22π262k x k -+≤≤时，()f x 单调递减， -----------------------7分故()f x 的单调递减区间是π5ππ+π36k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，，其中k ∈Z . -------------------8分（Ⅲ）由π02x ≤≤，得ππ5π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤，所以π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即302()f x ≤≤，且当π3x =时，()f x 取最大值32；当0x =时，()f x 取最小值0. ----------10分所以对任意12π,02x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有1233|()()||0|22f x f x -≤-≤，且当1π3x =，20x =时，12|()()|f x f x -取到最大值32，因为对任意12π,02x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有12|()()|f x f x m -<成立，所以32m >. --------------------------12分B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.1. 22. 3log 23. 答案不唯一，如()lg f x x =，2()log f x x =等4. {|1,3}x x x ><-或5. 3 二、解答题：本大题共3小题，共30分.6.（Ⅰ）解：要使函数()f x 有意义，只要使10x -≠，所以函数()f x 的定义域为{|,1}x x x ∈≠R 且. ------------------------2分由反比例函数1y x =的图象和性质，知11x ∈-R 且101x ≠-，所以函数1()11f x x =--的值域为{|y y ∈R ，且1}y ≠- . ------------------4分（Ⅱ）证明：设12x x ，是(1)+∞，上的两个任意实数，且12x x <，则120x x x ∆=-<， 1212121111()()(1)(1)1111y f x f x x x x x ∆=-=---=----- 2112(1)(1)x x x x -=--. ------------------------7分因为121x x <<，所以 210x x ->，1210,10x x ->->，从而0y ∆>，所以函数()f x 在(1)+∞，上为减函数. -----------------------10分 7.（Ⅰ）解：因为函数()f x 的定义域为R ，且为奇函数，所以(1)(1)f f -=- ，即 1(1)a a -=-+，解得 0a = .验证可得0a =时，()f x 是奇函数. --------------------------4分（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得 22,0,()||,0.x x f x x x x x ⎧≥⎪=⋅=⎨-<⎪⎩ -------------------------5分则当0x ≥时，()0f x ≥，且()f x 在[0,]b 上为增函数；当0x <时，()0f x <，且()f x 在[,0)b -上为增函数.所以当x b =时，()f x 取到最大值2b ；当x b =-时，()f x 取到最小值2b -.----------------------8分由题意，得22()b b b --=，解得12b =或0b =（舍），故当12b =时，函数()f x 在区间[,]b b -上最大值与最小值的差为b .-----------10分 8.（Ⅰ）解：因为[()][()]f g x g f x =，所以22()3(3)kx b k x b ++=++， ---------------------------1分即2222233k x kbx b kx k b +++=++，因为上式对所有的实数x 都成立，且0k ≠，所以22,20,33.k k kb b k b ⎧=⎪=⎨⎪+=+⎩解得1,0k b ==.所以 ()g x x =. ----------------------------3分不等式()()5f x g x ->，即为235x x +->，解得 2x > 或 1x <-.答：○1 ()g x 的表达式为()g x x =； ○2 不等式()()5f x g x ->的解集为{|2x x >或1}x <-. --------------------------5分（Ⅱ）证明：设函数()()()F x f x g x =-，因为方程()()f x g x =无实数解，所以函数()F x 的图象或者恒在x 轴上方，或者恒在x 轴下方，即()F x 恒大于零或者恒小于零， -------------------------7分不妨假设()0F x > ，即()()0f x g x ->，因为[()][()]f g x g f x =，所以 [()][()]{[()][()]}{[()][()]}f f x g g x f f x g f x g f x g g x -=-+-，{[()][()]}{[()][()]}f f x g f x f g x g g x =-+- [()][()]0F f x F g x =+>.故方程[()][()]f f x g g x =也无实数解. ----------------------10分。

北京西城区2011届高三第一学期期末考试(数学理)

北京市西城区2010—2011学年度高三第一学期期末考试数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知全集U =R ，集合{10}A x x =+<，{30}B x x =-<，那么集合()U C A B =（）A ．{13}x x -≤<B ．{13}x x -<<C ．{1}x x <-D ．{3}x x >2．已知点(1,1)A -，点(2,)B y ，向量=(1,2)a ，若//AB a ，则实数y 的值为（）A ．5B ．6C ．7D ．8 3．已知ABC ∆中，1,a b ==45B =，则角A 等于（）A ．150B ．90C ．60D ．30 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是（） A ．cos ρθ= B ．sin ρθ=C ．cos 1ρθ=D ．sin 1ρθ=5．阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间11[,]42内，则输入的实数x 的取值范围是（） A ．(,2]-∞- B ．[2,1]--C ．[1,2]-D ．[2,)+∞6．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0852=+a a ，则下列式子中数值不能确定的是（）A ．35a a B ．35S S C ．nn a a 1+ D ．nn S S 1+ 7．如图，四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，BD =BD CD ⊥．将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，则下列结论正确的是（） A ．A C BD '⊥B ．90BAC '∠=C ．CA '与平面A BD '所成的角为30D ．四面体A BCD '-的体积为138．对于函数①1()45f x x x =+-，②21()log ()2x f x x =-，③()cos(2)cos f x x x =+-，判断如下两个命题的真假：命题甲：()f x 在区间(1,2)上是增函数；命题乙：()f x 在区间(0,)+∞上恰有两个零点12,x x ，且121x x <．能使命题甲、乙均为真的函数的序号是A ．①B ．②C ．①③D ．①②第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．i 为虚数单位，则22(1i)=+______． 10．在5(2)x +的展开式中，2x 的系数为_____．11．若实数,x y 满足条件10,2,1,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y +的最大值为_____．ABCD12．如图所示，过圆C 外一点P 做一条直线与圆C 交于A B ，两点，2BA AP =，PT 与圆C 相切于T 点．已知圆C 的半径为2，30CAB ∠=,则PT =_____．13．双曲线22:1C x y -=的渐近线方程为_____；若双曲线C 的右顶点为A ，过A 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线交于,P Q 两点，且2PA AQ =，则直线l 的斜率为_____．14．在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”．则坐标原点O 与直线20x y +-=上一点的“折线距离”的最小值是____；圆221x y +=上一点与直线20x y +-=上一点的“折线距离”的最小值是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数2()22sin f x x x =-．（Ⅰ）若点(1,P 在角α的终边上，求()f α的值；（Ⅱ）若[,]63x ππ∈-，求()f x 的值域．16．（本小题满分13分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ，11ACC A 均为正方形，∠=90BAC ,点D 是棱11B C 的中点．（Ⅰ）求证：1A D ⊥平面11BB C C ；（Ⅱ）求证：1//AB 平面1A DC ；（Ⅲ）求二面角1D A C A --的余弦值．17．（本小题满分13分）一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6．（Ⅰ）若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率；（Ⅱ）若从袋中每次随机抽取2个球，有放回的抽取3次，求恰有2次抽到6号球的概率；（Ⅲ）若一次从袋中随机抽取3个球，记球的最大编号为X ，求随机变量X 的分布列． 18．（本小题满分13分）已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的右焦点为2(3,0)F ，离心率为e ．（Ⅰ）若2e =，求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线y kx =与椭圆相交于A ，B 两点，,M N 分别为线段22,AF BF 的中点．若A BC C 1B 1A 1D坐标原点O 在以MN 为直径的圆上，且2322≤<e ，求k 的取值范围． 19．（本小题满分14分）已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a =-++∈R ．（Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）设2()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围．20．（本小题满分14分）已知数列}{n a ，{}n b 满足n n n a a b -=+1，其中1,2,3,n =．（Ⅰ）若11,n a b n ==，求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若11(2)n n n b b b n +-=≥，且121,2b b ==．（ⅰ）记)1(16≥=-n a c n n ，求证：数列}{n c 为等差数列；（ⅱ）若数列}{na n中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．求首项1a 应满足的条件．参考答案（理科） 2011．1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．i - 10．80 11．412．3 13．0x y ±=，3± 142注：13、14题第一问2分，第二问3分．三、解答题：（本大题共6小题，共80分．若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分．） 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为点(1,P 在角α的终边上，所以sin 2α=-，1cos 2α=， ………………2分所以22()22sin cos 2sin f αααααα=-=- ………………4分21()2(3222=-⨯-⨯-=-． ………………5分（Ⅱ）2()22sin f x x x =-cos 21x x =+- ………………6分2sin(2)16x π=+-， ………………8分因为[,]63x ππ∈-，所以65626πππ≤+≤-x ， ………………10分所以1sin(2)126x π-≤+≤， ………………11分所以()f x 的值域是[2,1]-． ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为侧面11ABB A ，11ACC A 均为正方形，所以11,AA AC AA AB ⊥⊥,所以1AA ⊥平面ABC ，三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱． ………………1分因为1A D ⊂平面111A B C ，所以11CC A D ⊥， ………………2分又因为1111A B AC =，D 为11B C 中点，所以111A D B C ⊥． ……………3分因为1111CC B C C =,所以1A D ⊥平面11BB C C ． ……………4分（Ⅱ）证明：连结1AC ，交1A C 于点O ，连结OD ，因为11ACC A 为正方形，所以O 为1AC 中点，又D 为11B C 中点，所以OD 为11AB C ∆中位线，所以1//AB OD ， ………………6分因为OD ⊂平面1A DC ，1AB ⊄平面1A DC ，所以1//AB 平面1A DC ． ………………8分（Ⅲ）解：因为侧面11ABB A ，11ACC A 均为正方形， 90BAC ∠=，所以1,,AB AC AA 两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系A xyz -．设1AB =，则111(0,10),(1,0,0),(0,0,1),(,,1)22C B AD ，．1111(,,0),(0,11)22A D AC ==-，， ………………9分设平面1A DC 的法向量为=()x,y,z n ，则有1100A D AC ⋅=⎧⎨⋅=⎩n n ，00x y y z +=⎧⎨-=⎩， x y z =-=-，取1x =，得(1,1,1)=--n ． ………………10分又因为AB ⊥平面11ACC A ，所以平面11ACC A 的法向量为(1,00)AB =，，………11分cos ,3AB AB AB⋅〈〉===n n n ， ………………12分因为二面角1DA C A --是钝角，所以，二面角1D A C A --的余弦值为3-． ………………13分17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设先后两次从袋中取出球的编号为,m n ，则两次取球的编号的一切可能结果),(n m 有6636⨯=种， ………………2分其中和为6的结果有(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)，共5种，则所求概率为536． ………………4分（Ⅱ）每次从袋中随机抽取2个球,抽到编号为6的球的概率152613C p C ==．………………6分所以，3次抽取中，恰有2次抽到6号球的概率为2223122(1)3()()339C p p -=⨯=． ………………8分（Ⅲ）随机变量X 所有可能的取值为3,4,5,6． (9)分33361(3)20C P X C ===， 23363(4)20C P X C ===， 243663(5)2010C P X C ====，2536101(6)202C P X C ====． ………………12分所以，随机变量X 的分布列为:分18、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意得3c c a=⎧⎪⎨=⎪⎩a = ………………2分结合222a b c =+，解得212a =，23b =． ………………3分所以，椭圆的方程为131222=+y x ． ………………4分（Ⅱ）由22221,,x y a b y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得222222()0b a k x a b +-=．设1122(,),(,)A x y B x y ．所以2212122220,a b x x x x b a k-+==+， ………………6分依题意，OM ON ⊥，易知，四边形2OMF N 为平行四边形，所以22AF BF ⊥， ………………7分因为211(3,)F A x y =-，222(3,)F B x y =-，所以222121212(3)(3)(1)90F A F B x x y y k x x ⋅=--+=++=． ………………8分即222222(9)(1)90(9)a a k a k a --++=+-， ………………9分将其整理为 4222424218818111818a a k a a a a -+==---+-． ………………10分因为2322≤<e，所以a ≤<21218a ≤<． ………………11分所以218k ≥，即2(,(,]44k ∈-∞-+∞． ………………13分 19．（本小题满分14分）解：2()(21)f x ax a x '=-++(0)x >． ………………2分（Ⅰ）(1)(3)f f ''=，解得23a =． ………………3分（Ⅱ）(1)(2)()ax x f x x--'=(0)x >． ………………5分 ①当0a ≤时，0x >，10ax -<，在区间(0,2)上，()0f x '>；在区间(2,)+∞上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)+∞． ………………6分 ②当102a <<时，12a>，在区间(0,2)和1(,)a +∞上，()0f x '>；在区间1(2,)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1(,)a +∞，单调递减区间是1(2,)a．…………7分③当12a =时，2(2)()2x f x x -'=，故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞．………8分④当12a >时，102a <<，在区间1(0,)a 和(2,)+∞上，()0f x '>；在区间1(,2)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是1(0,)a 和(2,)+∞，单调递减区间是1(,2)a． ………9分（Ⅲ）由已知，在(0,2]上有max max ()()f x g x <． ………………10分由已知，max ()0g x =，由（Ⅱ）可知， ①当12a ≤时，()f x 在(0,2]上单调递增，故max ()(2)22(21)2ln 2222ln 2f x f a a a ==-++=--+，所以，222ln 20a --+<，解得ln 21a >-，故1ln 212a -<≤．……………11分 ②当12a >时，()f x 在1(0,]a 上单调递增，在1[,2]a上单调递减，故max 11()()22ln 2f x f a a a==---．由12a >可知11ln ln ln 12ea >>=-，2ln 2a >-，2ln 2a -<，所以，22ln 0a --<，max ()0f x <， ………………13分综上所述，ln 21a >-． ………………14分20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当2≥n 时，有121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-1121n a b b b -=++++ …………2分2(1)11222n n n n -⨯=+=-+． ………………3分又因为11=a 也满足上式，所以数列}{n a 的通项为2122n n na =-+．……………4分（Ⅱ）（ⅰ）因为对任意的n ∈*N 有5164321n n n n n n n b b b b b b b ++++++====， …………5分所以 1656161661626364n n n n n n n n n n c c a a b b b b b b ++--++++-=-=+++++111221722=+++++=(1)n ≥，所以数列}{n c 为等差数列． ………………7分（ⅱ）设)0(6≥=+n a c i n n ，（其中i 为常数且}6,5,4,3,2,1{∈i ），所以1666661626364657(0)n n n i n i n i n i n i n i n i n i c c a a b b b b b b n +++++++++++++++-=-=+++++=≥所以数列}{6i n a +均为以7为公差的等差数列． ………………9分设6777(6)7766666666i i k i i k i ii k a a a a k f k i i k i k i k+++--+====+++++，（其中i k n +=6)0(≥k ，i 为}6,5,4,3,2,1{中的一个常数），当76i i a =时，对任意的i k n +=6有n a n 76=； ………………10分当76i ia ≠时， 17771166()()6(1)666(1)6i i k k ii ia a i f f a k i k i k i k i +---=-=--++++++ 76()()6[6(1)](6)i i a k i k i -=-+++………………11分①若76i ia >，则对任意的k ∈N 有k k f f <+1，所以数列}6{6i k a i k ++为单调减数列；②若76i ia <，则对任意的k ∈N 有k k f f >+1，所以数列}6{6i k a i k ++为单调增数列；………………12分综上：设集合741111{}{}{}{}{}{}632362B =--74111{,,,,}63236=--，当B a ∈1时，数列}{na n中必有某数重复出现无数次．当B a ∉1时，}6{6ik a ik ++ )6,5,4,3,2,1(=i 均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列}{na n中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次……14分。

北京东城区2010-2011学年九年级第一学期数学期末试卷及答案

东城区2010-2011学年第一学期期末统一检测初三数学试卷2011.011. 一元二次方程122=-bx x 的常数项为( ) A. 1- B. 1 C. 0 D. 1±2. 下列图形中，是中心对称的图形是()3. 若DEF ABC ∆∆~，1:2:=DE AD 且ABC ∆的周长为16，则DE F ∆的周长为( ) A. 4 B. 16 C. 8 D. 324. 如图，在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，CD AB ⊥于M ，8=AB ，5=OC ，则MD 的长为( )A. 4B. 2C.2 D. 15. 若关于x 的方程0222=--ax x 有两个不相等的实数根，则a 的值是( )A. 2B. 4C. 6D. 86. 抛物线2)1(32-+-=x y 经过平移得到抛物线23x y -=，平移的方法是( ) A. 向左平移1个单位，再向下平移2个单位 B. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位C. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位D. 向右平移1个单位，再向上平移2个单位7. 某圆与半径为2的圆相切，若两圆的圆心距为5，则此圆的半径为( )A. 3B. 7C. 3或7D. 5或78. 小明从二次函数c bx ax y ++=2的图象（如图）中观察得到了下面五条信息：①0<c ； ②0>abc ；③0>+-c b a ；④032=-b a ；⑤04>-b c ；你认为正确的信息是( ) A. ①②③⑤ B. ①②③④ C. ①③④⑤ D. ②③④⑤ 9. 抛物线152--=x x y 与y 轴的交点坐标是__________ 10. 若将分别写有“生活”、“城市”的2张卡片，随机放入“让生活更美好”中的两个内（每个只放1张卡片），则其中文字恰好组成“城市让生活更美好”的概率______11. 如图，AB ，AC 是⊙O 的两条弦，︒=∠30A ，经过点C 的切线与OB 的延D长线交于点D ，则D ∠的度数为_________12. 在等腰梯形ABCD 中，BC AD //，AD BC 4=，2=AD ，︒=∠45B 。

西城区2010 2011度第一学期初三期末数学试题及答案北区

北京市西城区2010——2011学年度第一学期期末试卷（北区）九年级数学2011.11．本试卷共5页，共五道大题，25道小题，满分120分。

考试时间120分钟。

考生2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

须3．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

知一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．．．2??.1. 抛物线）的对称轴为（2x?1y??2??2x??1x??1xx B．直线 D CA．直线．直线．直线，上，若∠C=15°AB为⊙O的直径，点C在⊙O2. 如图，.）则∠BOC =（D．15°C．30°．A60°B．45°×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都3. 如图，在8是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则）.∠ACB的值为（tan112．CB．A． 1 D．22322ky?x??6x?11ya(x?h)?.化成）4．用配方法将的形式为（222x?3)?x?3)y?2?(y?( A ．B．222?3)??2y?(x(y?x?6) ．C．DCAB的三边分别扩大一倍得到△5．如图，将△ABC 111 P点为位似中心的（顶点均在格点上），若它们是以）.点的坐标是（位似图形，则P3)?(4,?3)?3,(?．A． B4)(4)?3,?(?4,?．D C．. 某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这6x x100?2P?. （元）满足关系：P（件）与每件的销售价种商品每天的销售量200元的利润，根据题意，下面所列方程若商店在试销期间每天销售这种商品获得）.正确的是（2002x)?x(10030)(100(x??2x)?200? A． B ．200?100)?30)(2(x???(30?x)(1002x)200x C．D．12 （共页西城区九年级数学第一学期期末试卷第1 页）AB相切，=30°，⊙O与如图，△OAB中，OA=OB，∠A7. . 两点，连接CD于C，D切点为E，并分别交OA，OB32 ）.的面积等于（若CD 等于，则扇形OCED16248 ．πDC．πππB．． A 3333 O为圆心，，点P在以如图，OA=4，线段OA的中点为B8.也落在.当点QOB为半径的圆上运动，PA的中点为Q .）上时，cos∠OQB的值等于（⊙O1121 B．A．C．D．2433二、填空题（本题共16分，每小题分）4 E，D分别交AC，BC于点，DE9. 如图，在△ABC 中，∥AB . CDE，=2CD=3，则△与△CAB的周长比为若AD3cm. 两圆的半径分别为和4cm，若圆心距为5cm，则这两圆的位置关系为.10(2,0) ，以OA，为半径作⊙A11. 如图，平面直角坐标系xOy中，点O P的坐标为菱形，则点若点P，B都在⊙O上，且四边形AOPB.为00???a?bca4?b2；（2（a ≠012．抛物线）满足条件：1））；（cy?ax?bx?0a?）与（3x轴有两个交点，且两交点间的距离小于2．以下有四个结论：①；cc0c????c0ab?a?，其中所有正确结论的序号是；④．②；③34题分，第题每小题～175186分）分，第三、解答题（本题共31132??3sin606tan30???cos45 ．13．计算：20?3axx?4??x有实数根．的方程．若关于14的取值范围；）求（1a为符合条件的最小整数，求此时方程的根．）若2（aABC°，∠=中，∠△Rt．已知：如图，在15ABCC9060°，=3 AB2=延长线上一点，且CB为，AC=DBD．的长．AD求页第西城区九年级数学第一学期期末试卷2 页）12 （共21,0)(? A．右图为抛物线，的一部分，它经过16cy??x??bx(0,3) 两点．B 1）求抛物线的解析式；（个单位，（2）将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移1 求平移后的抛物线的解析式．如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B17.的俯角为60°，热气球与高的仰角为45°，看这栋高楼底部C 2 AD楼的水平距离为50m，求这栋楼的高度.1.414（，取 3 1.732）取2.18．对于抛物线3?4x?y?x；，顶点坐标为（1）它与x轴交点的坐标为，与y轴交点的坐标为（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；x ……y ……的一元二次方程（3）利用以上信息解答下列问题：若关于x72的范围内有x＜（t为实数）在＜0??tx?4x?31?2．解，则t的取值范围是5分）四、解答题（本题共19分，第20题4分，其余每小题，．已知：如图，在△19ABC中，AB=AC= 5，BC= 8E分别为．=∠CBC，AB边上一点，∠ADED，∽△CAD；BDE （1）求证：△BE的长．2）若CD=2，求（，DE所示摆放在直线l上，=2ABCD20．两个长为2，宽为1的矩形和矩形EFGH如图1???90?0??逆时针绕点E）ABCD将矩形绕点D顺时针旋转角（，将矩形EFGH 旋转相同的角度．的DCEC，点到直线=°2C （1）当两个矩形旋转到顶点，F重合时（如图），∠?；°距离等于，=重合部分为正方形时，EFGH3（2）利用图思考：在旋转的过程中，矩形ABCD和矩形?°．=西城区九年级数学第一学期期末试卷第页）12 （共页321．已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于. D=∠BFCF，连接BF，CF，∠点E，交⊙O于点O的切线；）求证：AD是⊙（11.，求AD 的长tan2）若AC=8，B =（ 2．请阅读下面材料：222c??bxy?ax),yA(x),yB(x）上不同的两点，证明直线0，若是抛物线（a ≠0102x?x21?x. 为此抛物线的对称轴 2 有一种方法证明如下：2c??y?axbx)xA(,y)B(x,y ，证明：∵（a 是抛物线≠0）上不同的两点，01022?,?c?ax?bx y ①?110xx ≠. 且∴?12②2,?c?ax?bx y??202220)?x?x?x)?bxa(( .①-②得2211??0?b?(x?x)(x?x)a .∴2211b?x?x?. ∴21ab2c?bx??yax?x?，（a 又∵抛物线≠0）的对称轴为a2xx?21?x. ∴直线为此抛物线的对称轴22c?bxy?ax?)yNM(x,y)(x,，是抛物线a （1）反之，如果≠ 0）上不同的（2121x?x21xx?x时函数值相等为该抛物线的对称轴，那么自变量取两点，直线，122吗？写出你的猜想，并参考上述方法写出证明过程；．．2）利用以上结论解答下面问题：（21??bxy?x 求时的函数值相等，已知二次函数时的函数值与= 4x = 2007当x.= 2012时的函数值x12 （共页西城区九年级数学第一学期期末试卷第4 页）五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）2?(m?1)x?2)x?m?0(m.（其中m为实数）已知关于23. x的一元二次方程（1）若此方程的一个非零实数根为k，①当k = m时，求m的值；15??2kkm(?) 的关系式；②若记y与m为y，求k1＜m＜2）当2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由.（42（其中a ≠c且a ≠0）. 24已知抛物线.c)x??(a?cy?ax（1）求此抛物线与x轴的交点坐标；（用a，c的代数式表示）a?c，2）若经过此抛物线顶点A的直线与此抛物线的另一个交点为（k?x?y?)?(c,B a 求此抛物线的解析式；（3）点P在（2）中x轴上方的抛物线上，直线与y轴的交点为C，若k?y??x1，求点P的坐标；POCtantan?POB??4（4）若（2）中的二次函数的自变量x在n≤x＜（n为正整数）的范围内取值时，1n?记它的整数函数值的个数为N，则N关于n的函数关系式为. ?角C顺时针旋转=30°.将其绕直角顶点含30°角的直角三角板ABC中，∠A25. ??，??1200??边与AB所在直线交于点（D，过点90°），得到Rt△且≠C'B'AC'AD作DE∥交边于点E，连接BE. ''BA'CB?= °B（1）如图1，当边经过点时，；'BA'（2）在三角板旋转的过程中，若∠CBD的度数是∠CBE度数的m倍，猜想m的值并证明你的结论；1S S=EB为半径作⊙E，当以点=，ADx，△BDE的面积为S，E为圆心，BC）（3 设=1ABC?3C'A E 时，求AD的长，并判断此时直线的位置关系.与⊙西城区九年级数学第一学期期末试卷第 5 页（共12 页）北京市西城区2010 —2011学年度第一学期期末试卷（北区）九年级数学参考答案及评分标准2011.1一、选择题（本题共32分，每小题4分）1 2 3 4 5 6 7 8 题号CAACBBDA答案二、填空题（本题共16分，每小题4分）3(?1,3)(?1,?3).（每个，相交.10. . 11.2分）9.512.②，④.（写对一个给2分，每写一个错误答案扣1分，最低0分不倒扣分）三、解答题（本题共31分，第13～17题每小题5分，第18题6分）230??3sin60?6tan?cos45?13．解：332 2……………………………………………………………3 分?3?)?6?(?32232?2??2212. ……………………………………………………………………………5分??222?4(3?a??4)?4?4a.……………………………………………………1．解：14（1）分∵该方程有实数根，4?4a≥0．…………………………………………………………………2∴分?1．……………………………………………………………………≥3分解得a?1．…………………………………4分2）当a为符合条件的最小整数时，a =（2?4x?4?x0x?x??2．…………………，方程的根为此时方程化为5分213 AC=，90°，∠ABC=60°，Rt15．解：在△ABC中，∠C=AC，BC=1．……………………∴2分2?AB?sin60?1图∵D为CB延长线上一点，BD=2AB ，∴BD=4，CD=5．…………………………………………………………………4分22?27?ACAD?CD．……………………………………………………5分∴(?1,0)(0,3)两点，）∵抛物线经过A，B16．解：（1?1?b?c?0,?……………………………………………………………1分∴?c?3.?b?2,?…………………………………………………………………2分解得?3.c??2．……………………………………3 抛物线的解析式为分∴3?y?x?2x?西城区九年级数学第一学期期末试卷第6 页（共12 页）2(1,4) 的顶点坐标为2）∵抛物线，（3??2y??xx2,3)(?∴平移后的抛物线的顶点坐标为．221x?x????(x?2)4?3?y 5分．…………∴平移后的抛物线的解析式为，BDA=90°，∠BAD=45°17．解：在Rt△ABD中，∠…………………………………………2分∴BD=AD=50(m)．=60°，在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD3?50CD?3AD 4分∴(m) ．………………………………35050?136.6?3?50(?1)分(m)=．……5 ∴BC= BD+CD2图．答：这栋楼约高136.6 m(0,3),0),(3,0)(1，顶点坐标为，与y）它与x轴交点的坐标为轴交点的坐标为18．解：（11)(2,?；………………………………………3分）列表：（24 2 3 x 0 1 ……3 0 3 0 -1 y ……分……………………………4 分……………………………5 图象如图3所示．3图8t??1? 6分（3）t的取值范围是．……………………分）4分，其余每小题519四、解答题（本题共分，第20题，AB=AC19．（1）证明：∵分C．……………………………1 ∠B=∠∴，∠CADADB =∠C+∠∵∠ADE+BDE=∠ 4 图，∠C ∠ADE= 分………………………………………………………2∠CAD．∴∠BDE =3分CAD．………………………………………………………∴△BDE∽△ACDB 4分．…………………………………………………………2 （）解：由（1）得?CDBE ，，CD=2= 5AB=AC，BC= 8 ∵6?BC?CDDB?．∴2?CD6DB?．5 ∴分……………………………………………… 2.4?BE??5AC?3 3分；到直线l的距离等于，…………………= 30 °DCE20．解：（1）∠= 60 °，点C?分………………………………………………………………………4（2）= 45 °．，于点EAC1）证明：∵OD⊥21．（90°．=1+∠2∠∴OEA=90°，∠1，，∠BFC=∠D=∵∠∠BFC ．OAD =90°，∠90°2∴∠D +∠=西城区九年级数学第一学期期末试卷第7 页（共12 页）5图∴OA⊥AD于点A．………………………1分∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线．……………………2分解：∵OD⊥AC于点E，AC是⊙O （2）的弦，AC=8，AC∴．………………………………………………………3分4?AE?EC?21∵，B =，tan∠B=∠C21∴在Rt△CEF中，∠CEF=90°，tanC =．2∴EF?EC?tanC?2．OE?r?2．的半径为r，则设⊙O222222AE??OAOE42)??(rr?．，即OAE中，由勾股定理得在Rt△解得r =5．……………………………………………………………………4分AE4∴在Rt△OAE中，．??tan?2OE3420∴分………………………5OAD中，．在Rt△2?OA?tan?5??AD?33xx时函数值相等．……………………………………1分22．解：（1）结论：自变量取，122?bx??axcy)y(x,)M(x,yN上不同的两点，，证明：∵为抛物线21122?,c??bx y?ax ①?111xx．且≠由题意得?122 y?ax?bx?c,②??222??22b?x)a(xx)?(x?x)?y?y?a(x??x)b(x?.①-②，得2112112212……………………………………………………………2分x?x2?bx??axcy（a ≠0）的对称轴，∵直线是抛物线21?x2x?xb. ∴21???x22ab ∴.?x??x???b0?x)?(xx)?a(x?yy?y?y.………………∴3分，即21212121（阅卷说明：其他代21a数证明方法相应给分；直接利用抛物线的对称性而没有用代数方法进行证明的不给分）2?bxx?1y?当x = 4 （2）∵二次函数时的函数值与x = 2007 时的函数值相等，201121bxxy???.的对称轴为直线由阅读材料可知二次函数∴?x22011b2011?b?，∴ .??222?2011x?x?1y. …………………………………4二次函数的解析式为∴分西城区九年级数学第一学期期末试卷第8 页（共12 页）20112012?(?1)，∵?22x??1时的函数值相等x = 2012的函数值与. 由（1）知，当2?2011?(?1)?1(?1)?20111?，当∵x =时的函数值为∴当x = 2012时的函数值为2011. …………………………………………5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）2?(m?1)x?(m?2)xm?0的实数根，为1）∵k23.解：（2?(m?1)k?m?2)km?0(.※…………………………………………1∴分①当k = m时，∵k为非零实数根，(m?2)m?(m?1)?1?0.，得0，方程※两边都除以m∴m ≠2?3m?2m?0.整理，得解得，. ………………………………………………………2分2m?m?1212?(m?1)x?m?0x(m?2)是关于∵x的一元二次方程，∴m ≠2.∴m= 1.……………………………………………………………………3分（阅卷说明：写对m= 1，但多出其他错误答案扣1分）②∵k为原方程的非零实数根，m.…………………4分将方程※两边都除以k，得∴01)??(m?2)k?(m?k1 . 整理，得1??2k?mm(k?)k1 5分.∴……………………………………………4?)y?m(k??2k?5?mk22.………6分（2）解法一：1m(m?2)?2)??3m?6m?1??3(??[?m?1)](?4mm?1当＜m＜2时，m＞0，＜0. 2m?4∴＞0，＞1＞0，Δ＞0.1?3m(m?2)?2)?m(m?31∴当＜m＜2时，此方程有两个不相等的实数根.……………7分412?(m?1)x(m?2)x?my?的图象，时，函数m＜2 解法二：直接分析＜4∵该函数的图象为抛物线，开口向下，与y轴正半轴相交，∴该抛物线必与x轴有两个不同交点. …………………………6分1∴当＜m＜2时，此方程有两个不相等的实数根.……………7分4222.…………6分解法三：4m16m???3(?1)?m?2)mm1)]m???[(??4(??3?西城区九年级数学第一学期期末试卷第9 页（共12 页）2关于m的图象可知，（如图结合6）4???3(m?1)?137当＜m≤1时，＜≤4；?4164.时，1＜＜m当1＜＜2?1.＞0m＜2时，∴当＜?41.2时，此方程有两个不相等的实数根当＜m＜∴4 …………………………………………7分6图2的方程轴交点的横坐标是关于x）抛物线与x24.解：（1c(a?c)x?y?ax?2）的解.a ≠c（其中a ≠0，0axa?(?c)x?c?c. …………………………………………………………1分解得，1x??x12ac(1,0)，.………………………………2 抛物线与x轴交点的坐标为分∴,0)(a2)c(a?a?c2.的顶点A的坐标为（2）抛物线c?c)xy?ax?(a?),?(a42aa?c ，经过此抛物线顶点A的直线与此抛物线的另一个交点为∵k?x?y?)c(,?B a①2?cac)?a(?,????k ?a24a?c?a?②,???k ?c?? a ?ca?a?c?③2.?cc)?(a?)?a ?c?(?aa?由③得c=0.……………………………………………………………………3分a1?,??k???将其代入①、②得24??.? 0?1?k?解得.2?a?2.……………………………………4所求抛物线的解析式为分∴x?y??2x2（3）作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F.（如图7）112的顶点A的坐标抛物线，)(,xx?2y??222(1,0)(0,1). C的坐标为点B的坐标为，点(m,n).设点P的坐标为2上，轴上方的抛物线点P在x∵xx2?y??2图712＜1，.＜，且∴0m m22n??m??n0?2西城区九年级数学第一学期期末试卷第10 页（共12 页）PEnPFm，∴.?POC?tan?POB??tan?nOEmOF1 ∵，POC?tan?tan?POB422n?m4.∴n2??m分………………………………………………或5（舍去）.解得m=2n，22. ，得将m=2n代入02mn8n??n??2m3?3.（舍去）解得，0?n?n2183?m?2n. ∴433)(, . 的坐标为…………………………………………………………6分∴点P84 分………………………………………………7 （4）N关于n的函数关系式为N=4n .2为正整数）的范围内取n＜（说明：二次函数在的自变量xn≤x1n?x2x2?y??的增大而减小，随x 值，此时y22≤∴，＜y n?2nn?2n?2?2222.，…其中的整数有，n?2n??2n??2n2?2n?1?2n222.n4n)2(?n??N?(?2n2?2n)??60 °；…………………………………………分边经过点25.（1）当B时，1= 'BA'=2；m，点D在AB边上时，（2）猜想：①如图8.=4AB，点D在的延长线上时，m ②如图9（阅卷说明：为与后边证明不重复给分，猜想结论不设给分点）??0??90?.）在AB边上（如图8时，点D证明：①当?、的取值范围不扣分）②两种情况没写（阅卷说明：①DE∥，∵''BACECD .∴???CBCA.ACD=，∠∠BCE，由旋转性质可知，CA =CB= ''CBCACECD ∴.?CBCA CBE.……………2分△∴CAD∽△.∠A =∠30°CBE=∴8图CBD=60°，D∵点在AB边上，∠CBE2??CBD?分，即m∴=2. ………………………………………3???12090??.的延长线上（如图在AB9）时，点D当②.∠CBE=30°A =与①同理可得∠??180??CBA?120?CBD?的延长线上，，ABD∵点在CBE?4?CBD? 4m，即=4. ∴……………………………………分.）问用四点共圆方法证明的扣1分）2（阅卷说明：第（BC=1，，A90°中，∠△）解：在（3RtABCACB=，∠=30°（共西城区九年级数学第一学期期末试卷12 页）11 第页9图33?AC. ，，∴AB = 2 ?S ABC 2BEAD. CBE 得由△CAD∽△?BCAC ，=x ∵AD3BEx，. ∴?BEx?313x?AD?2?BD?AB ，，∠DBE=90°.①当点D在AB边上时，AD=x2x3??3x2113x.此时，??S?Sx)?BD??BE?(2BDE 62321.23x2?3x3?时，S = 当?S ABC?66320?x?x1?2 .整理，得10图1?x?x分，即AD 解得=1.…………………521）.CBE（如图1060°，∠BCE=30°=∠此时D为AB中点，∠DCB=.EC = EB∴边上，，点E在∵'CB?'?90?A'CB.EB等于⊙E的半径圆心E到的距离EC ∴CA'C'A 分…………………………………………………6E相切∴直线.与⊙2??xBD .9=x，）DBE=90°.（如图，∠②当点D在AB的延长线上时，AD.??S?S2)?x?BD?BE?(BDE 62322x23x3?113x1. =时，当S ?S ABC?66320??1x?2x 整理，得.23233xx?2???12x?x1.解得，（负值，舍去）212?1+AD7分即.………………………………………………………………??????12090=30°，，而，∠CBE此时∠BCE=.BCE ∠CBE＜∠∴.的半径EBEC小于⊙E的距离＜∴ECEB，即圆心E到CA'C'A分8.∴直线……………………………………………………相交与⊙E西城区九年级数学第一学期期末试卷第12 页（共12 页）。

2010~2011学年度第一学期北京市各区期末考试数学分类解析圆锥曲线1(选修2-1)

十二、圆锥曲线1.（2011年东城区期末文7）已知斜率为2的直线l 过抛物线2y ax =的焦点F ，且与y 轴相交于点A ，若△OAF （O 为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ D ）A ．24y x =B ．28y x =C ．24y x =或24y x =-D ．28y x =或28y x =-2．（2011年房山区期末文7）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点在抛物线28y x =的准线上，则双曲线的方程为（ A ）A ．2213y x -= B ．2213x y -= C ． 221412x y -= D ．221124x y -= 3．（2011年朝阳期末文7）设椭圆的两个焦点分别为1F ，2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P ，若△12F PF 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ A ）A1 B．12C．．24.（2011年昌平期末理6）已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆1322=+y x 上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是（ C ） A.32 B.6 C. 34 D. 125.（2011年海淀期末理7）已知椭圆E ：1422=+y m x ，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 所截弦长与l ：1+=kx y 被椭圆E 所截得的弦长不可能．．．相等的是（ D ） A ．0kx y k ++= B ．01=--y kx C ．0kx y k +-= D ．20kx y +-= 6.（2011年东城区期末理13）已知双曲线221kx y -=的一条渐近线与直线210x y ++=垂直，那么双曲线的离心率为；渐近线方程为．答案：2,102x y ±=。

7.（2011年东城区期末文13）设椭圆的两个焦点分别为1F ，2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△12F PF 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为．答案：1 。

2010-2011学年北京市丰台区八年级(上)期末数学试卷

2010-2011学年北京市丰台区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（共32分，每小题4分）1．（4分）若二次根式有意义，那么x的取值范围是（）A．x＜1B．x＞1C．x≥1D．x≠12．（4分）下列各图是选自历届世博会会徽中的图案，其中是轴对称图形的个数为（）A．3B．2C．1D．03．（4分）下列事件为必然事件的是（）A．某射击运动员射击一次，命中靶心B．任意买一张电影票，座位号是偶数C．掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上D．从一个只有红球的袋子里面摸出一个球是红球4．（4分）把分式中的a、b都扩大10倍，则分式的值（）A．缩小100倍B．缩小10倍C．扩大10倍D．不变5．（4分）若一个三角形两边的长分别是2和5，则第三边长的取值范围是（）A．3＜x＜7B．3≤x≤7C．2＜x＜5D．x＜76．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0有实数根，则实数m满足（）A．m≥4B．m≤4C．m＜4D．m≤7．（4分）估计的值在（）A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间8．（4分）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）A．6B．7C．8D．9二、填空题（共24分，每小题3分）9．（3分）化简：=．10．（3分）计算：=．11．（3分）16的平方根是．12．（3分）若分式的值为0，则x=．13．（3分）如图，在边长为2等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则AD=．14．（3分）从π，﹣1，，5，这五个数中随机取出一个数，取出的数是无理数的可能性是．15．（3分）已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若AC=4，BC=3，则CD=．16．（3分）如图，钝角三角形纸片ABC中，∠BAC=110°，D为AC边的中点．现将纸片沿过点D的直线折叠，折痕与BC交于点E，点C的落点记为F．若点F恰好在BA的延长线上，则∠ADF=．三、解答题（共16分，每小题4分）17．（4分）计算：．18．（4分）计算：．19．（4分）解方程：．20．（4分）解方程：x2﹣4x﹣1=0．四、解答题（共16分，第21，22每小题5分，第23题6分）21．（5分）在△ABC中，D是BC边上的中点，F、E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE．求证：CF=BE．22．（5分）已知a2+2a=8，求的值．23．（6分）列方程解应用题：进入防汛期后，某地对河堤进行了加固．该地驻军在河堤加固的工程中出色地完成了任务．下面是记者与驻军工程指挥官的一段对话：根据这段对话，请你求出该地驻军原来每天加固河堤多少米？五、解答题（共12分，每小题6分）24．（6分）已知：∠DAB=120°，AC平分∠DAB，∠B+∠D=180°．（1）如图1，当∠B=∠D时，求证：AB+AD=AC；（2）如图2，当∠B≠∠D时，猜想（1）中的结论是否发生改变并说明理由．25．（6分）已知：如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D 是△ABC内的一点，且AD=AC，若∠DAC=30°，试探究BD与CD的数量关系并加以证明．2010-2011学年北京市丰台区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共32分，每小题4分）1．（4分）若二次根式有意义，那么x的取值范围是（）A．x＜1B．x＞1C．x≥1D．x≠1【分析】先根据二次根式有意义的条件得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵二次根式有意义，∴x﹣1≥0，解得x≥1．故选：C．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．2．（4分）下列各图是选自历届世博会会徽中的图案，其中是轴对称图形的个数为（）A．3B．2C．1D．0【分析】本题考查轴对称图形的识别，判断一个图形是否是轴对称图形，就是看是否可以存在一条直线，使得这个图形的一部分沿着这条直线折叠，能够和另一部分互相重合．【解答】解：根据轴对称图形的定义，第2个和第4个不是轴对称图形，第1个、第3个都是轴对称图形．故选：B．【点评】本题考查轴对称的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，两边图形折叠后可重合．3．（4分）下列事件为必然事件的是（）A．某射击运动员射击一次，命中靶心B．任意买一张电影票，座位号是偶数C．掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上D．从一个只有红球的袋子里面摸出一个球是红球【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．【解答】解：根据概念，知A、某射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件；B、任意买一张电影票，座位号是偶数，是随机事件；C、掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上，是随机事件；D、从一个只有红球的袋子里面摸出一个球是红球，是必然事件．故选：D．【点评】考查了必然事件的概念．解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．①必然事件指在一定条件下一定发生的事件；②不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；③不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．（4分）把分式中的a、b都扩大10倍，则分式的值（）A．缩小100倍B．缩小10倍C．扩大10倍D．不变【分析】观察分式，显然若其中的a、b都扩大10倍，则分式的分子和分母都扩大10倍，根据分式的基本性质，知该分式的值不变．【解答】解：根据分式的基本性质，则分式的值不变．故选：D．【点评】此题考查了分式的基本性质．5．（4分）若一个三角形两边的长分别是2和5，则第三边长的取值范围是（）A．3＜x＜7B．3≤x≤7C．2＜x＜5D．x＜7【分析】根据三角形的第三边大于两边之差而小于两边之和，进行计算．【解答】解：根据三角形的三边关系，得第三边大于两边之差，即5﹣2=3，而小于两边之和，即5+2=7．故选：A．【点评】此题考查了三角形的三边关系，能够根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围．6．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0有实数根，则实数m满足（）A．m≥4B．m≤4C．m＜4D．m≤【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式的意义得到△≥0，即42﹣4m≥0，解不等式即可．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+m=0有实数根，∴△≥0，即42﹣4m≥0，解得m≤4．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．7．（4分）估计的值在（）A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间【分析】由于9＜11＜16，于是＜＜，从而有3＜＜4．【解答】解：∵9＜11＜16，∴＜＜，∴3＜＜4．故选：C．【点评】本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．8．（4分）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）A．6B．7C．8D．9【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰．【解答】解：如上图：分情况讨论．①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个（包括两个等腰直角三角形）；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．二、填空题（共24分，每小题3分）9．（3分）化简：=2．【分析】根据立方根的概念进行求解，即一个数的立方等于a，则这个数叫a的立方根．【解答】解：根据立方根的概念，得=2．故原式=2．【点评】此题考查了立方根的概念和性质．注意：正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根的0．10．（3分）计算：=．【分析】根据分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方计算，即可得到正确答案．【解答】解：原式==．故答案为：．【点评】此题主要考查了分式的乘方，关键是熟记乘方法则，注意符号的判断．11．（3分）16的平方根是±4．【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．【解答】解：∵（±4）2=16，∴16的平方根是±4．故答案为：±4．【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．12．（3分）若分式的值为0，则x=﹣1．【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．【解答】解：由分式的值为零的条件得x+1=0，x﹣2≠0，即x=﹣1且x≠2．故答案是x=﹣1．【点评】若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．13．（3分）如图，在边长为2等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则AD=．【分析】运用等边三角形的三线合一和勾股定理求解．【解答】解：∵三角形ABC是等边三角形，∴AB=BC=CA=2，∴BD=1，又∵AD⊥BC，在Rt△ABC中，根据勾股定理得：AD===．故答案为：．【点评】此题考查的知识点是等边三角形的性质，关键是运用了等边三角形的三线合一以及勾股定理．14．（3分）从π，﹣1，，5，这五个数中随机取出一个数，取出的数是无理数的可能性是．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：∵π，﹣1，，5，这五个数中无理数共有两个，∴五个数中随机取出一个数，取出的数是无理数的可能性是：．故填：．【点评】此题考查可能性的大小，解题时要根据概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．15．（3分）已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若AC=4，BC=3，则CD=．【分析】根据勾股定理求得AB的长，再根据三角形的面积公式求得CD即可．【解答】解：∵AC=4，BC=3，∴AB=5，=×3×4=×5×CD，∵S△ABC∴CD=．故答案为：．【点评】此题考查了直角三角形面积的不同表示方法及勾股定理的综合应用．16．（3分）如图，钝角三角形纸片ABC中，∠BAC=110°，D为AC边的中点．现将纸片沿过点D的直线折叠，折痕与BC交于点E，点C的落点记为F．若点F恰好在BA的延长线上，则∠ADF=40°．【分析】由折叠可得DF=DA，那么∠DAF=∠AFD，易得∠FAD的度数，利用三角形的内角和定理可得∠ADF的度数．【解答】解：∵∠BAC=110°，∴∠FAD=70°，由折叠可得DF=DC，∵D为AC边的中点，∴AD=DC，∴DF=DA，∴∠DAF=∠AFD=70°，∴∠ADF=180°﹣70°﹣70°=40°．故答案为40°．【点评】考查折叠问题；得到所求角所在的三角形的形状是解决本题的突破点．三、解答题（共16分，每小题4分）17．（4分）计算：．【分析】首先将变形为﹣，然后利用同分母的分式相加减的运算法则求解即可求得答案，注意结果需化为最简．【解答】解：===2．【点评】此题考查了分式的加减运算法则．此题比较简单，解题的关键是熟练应用分式的加减运算法则，解题需细心，注意结果需化为最简．18．（4分）计算：．【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．【解答】解：原式=3﹣3+2=5﹣3．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，是基础知识要熟练掌握．19．（4分）解方程：．【分析】观察可得最简公分母是x（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【解答】解：方程的两边同乘x（x﹣2），得x2+2（x﹣2）=x（x﹣2），解得x=1．检验：把x=1代入x（x﹣2）=﹣1≠0．∴原方程的解为：x=1．【点评】本题考查了解不等式组和解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．20．（4分）解方程：x2﹣4x﹣1=0．【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：∵x2﹣4x﹣1=0，∴x2﹣4x=1，∴x2﹣4x+4=1+4，∴（x﹣2）2=5，∴x=2±，∴x1=2+，x2=2﹣．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．四、解答题（共16分，第21，22每小题5分，第23题6分）21．（5分）在△ABC中，D是BC边上的中点，F、E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE．求证：CF=BE．【分析】利用CF∥BE和D是BC边的中点可以得到全等条件证明△BDE≌△CDF，从而得出结论．【解答】证明：∵D是BC边上的中点，∴BD=CD，又∵CF∥BE，∴∠E=∠CFD，∠DBE=∠FCD∴△BDE≌△CFD，∴CF=BE．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，难度适中．22．（5分）已知a2+2a=8，求的值．【分析】先把后面两分式的分子和分母因式分解，约分后得到原式=﹣，再进行通分得到最简分式，再把a2+2a=8整体代入计算即可．【解答】解：原式=﹣•=﹣=﹣=，当a2+2a=8，原式=．【点评】本题考查了分式的化简求值：先把各分子或分母因式分解，再进行约分，然后进行通分得到最简分式，再把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值．23．（6分）列方程解应用题：进入防汛期后，某地对河堤进行了加固．该地驻军在河堤加固的工程中出色地完成了任务．下面是记者与驻军工程指挥官的一段对话：根据这段对话，请你求出该地驻军原来每天加固河堤多少米？【分析】设原来每天加固河堤x米，根据8天加固4200米，且加固600米后，速度变为原来的2倍，可以时间做为等量关系列方程求解．【解答】解：设原来每天加固河堤x米，+=8x=300．经检验x=300是分式方程的解．故原来每天加固300米．【点评】本题考查理解题意的能力，关键是设出速度，以时间做为等量关系列方程求解．五、解答题（共12分，每小题6分）24．（6分）已知：∠DAB=120°，AC平分∠DAB，∠B+∠D=180°．（1）如图1，当∠B=∠D时，求证：AB+AD=AC；（2）如图2，当∠B≠∠D时，猜想（1）中的结论是否发生改变并说明理由．【分析】（1）根据∠B=∠D，∠B+∠D=180°，可以求出∠B与∠D都是直角，再根据∠DAB=120°，AC平分∠DAB求出∠DAC=∠BAC=60°，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得到AC=2AD，AC=2AB，整理即可得解；（2）不会改变．过点C作CE⊥AD，CF⊥AB，垂足分别为E、F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CE=CF，根据（1）的结论有AC=AE+AF，然后再证明△CDE与△CBF全等，根据全等三角形对应边相等得到DE=BF，从而得到AB+AD=AE+AF，进而得解．【解答】（1）证明：∵∠B=∠D，∠B+∠D=180°，∴∠B=∠D=90°，∵∠DAB=120°，AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC=60°，∴∠ACD=∠ACB=90°﹣60°=30°，∴AC=2AD，AC=2AB，∴2AB+2AD=2AC，∴AB+AD=AC；（2）猜想：不会改变．理由如下：过点C作CE⊥AD，CF⊥AB，垂足分别为E、F，根据（1）的结论，AB+AD=AC，∵AC平分∠DAB，∴CE=CF，∵∠B+∠D=180°，∠ABC+∠CBF=180°，∴∠D=∠CBF，在△CDE与△CBF中，，∴△CDE≌△CBF（AAS），∴DE=BF，∴AD+AB=AE+DE+AB=AE+BF+AB=AE+AF，∴AD+AB=AC．即（1）中的结论没有发生改变．【点评】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，全等三角形的判定与性质，（2）中作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键．25．（6分）已知：如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D 是△ABC内的一点，且AD=AC，若∠DAC=30°，试探究BD与CD的数量关系并加以证明．【分析】作BE⊥BC，AE⊥AC，两线相交于点E，则四边形AEBC是正方形，由∠DAC=30°，得∠DAE=60°，由AD=AC，得AD=AE，所以，三角形AED是等边三角形，可得∠AED=60°，∠DEB=30°，所以，△ADC≌△EDB，可得BD=CD；【解答】解：BD=CD．证明：作BE⊥BC，AE⊥AC，两线相交于点E，∵△ABC是等腰直角三角形，即AC=BC，∴四边形AEBC是正方形，∵∠DAC=30°，∴∠DAE=60°，∵AD=AC，∴AD=AE，∴△AED是等边三角形，∴∠AED=60°，∴∠DEB=30°，在△ADC和△EDB中，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BD=CD．【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，作辅助线构建正方形，通过证明三角形全等得出线段相等，是解答本题的基本思路．。

北京市西城区初三2010——2011学年度第一学期期末数学试卷及答案(word版)

北京市西城区2010——2011学年度第一学期期末试卷九年级数学 2011.1考生须知 1．本试卷共5页，共五道大题，25道小题，满分120分。

考试时间120分钟。

2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

3．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. 抛物线()212y x =-+的对称轴为（）.A ．直线1x =B ．直线1x =-C ．直线2x =D ．直线2x =- 2. 如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠C =15°，则∠BOC =（）.A ．60°B ．45°C ．30°D ．15°3. 如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB 的值为（）.A ．1B ．13C ．12 D ． 224．用配方法将2611y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式为（）.A ．2(3)2y x =++错误！未找到引用源。

B ．2(3)2y x =-- 错误！未找到引用源。

C ．2(6)2y x =--错误！未找到引用源。

D ．2(3)2y x =-+错误！未找到引用源。

5．如图，将△ABC 的三边分别扩大一倍得到△111A B C （顶点均在格点上），若它们是以P 点为位似中心的位似图形，则P 点的坐标是（）. A ．(4,3)-- B ．(3,3)-- C ．(4,4)-- D ．(3,4)--6. 某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这种商品每天的销售量P （件）与每件的销售价x （元）满足关系：1002P x =-.若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，根据题意，下面所列方程正确的是（）.A ．(30)(1002)200x x --=B ．(1002)200x x -=C ．(30)(1002)200x x --=D ．(30)(2100)200x x --=7. 如图，△OAB 中，OA =OB ，∠A =30°，⊙O 与AB 相切，切点为E ，并分别交 OA ，OB 于C ，D 两点，连接CD .若CD 等于23，则扇形OCED 的面积等于（）. A ．23π错误！未找到引用源。

北京市西城区2010—2011学年第一学期期末测试七年级数学试卷(A卷)

北京市西城区2010—2011学年度第一学期期末试题（北区）七年级数学（A 卷）班级姓名成绩一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．14-的绝对值是（）A ．14 B ．14- C ．4 D ．－4 2．2010年11月12日至27日第16届亚运会在广州举行．广州亚运城的建筑面积约为358000平方米，将358000用科学记数法表示应为（） A ．435.810⨯ B ．53.5810⨯ C ．60.35810⨯ D ．63.5810⨯3．如果单项式213m x y 与432n x y +是同类项，那么m 、n 的值分别是（）A ．22m n =⎧⎨=-⎩B ．41m n =⎧⎨=⎩C ．21m n =⎧⎨=⎩D ．42m n =⎧⎨=-⎩4．下列各式中，去括号正确的是（）A ．2(1)21x y x y +-=+-B ．2(1)22x y x y --=++C ．2(1)22x y x y --=--D ．2(1)22x y x y --=-+5．M 地是海上观测站，从M 地发现两艘船A 、B 的方位如图所示，下列说法中，正确的是（） A ．船A 在M 的南偏东30°方向 B ．船A 在M 的南偏西30°方向 C ．船B 在M 的北偏东40°方向 D ．船B 在M 的北偏东50°方向6．如图，直角三角尺AOB 的直角顶点O 在直线CD 上，若∠AOC =35°，则∠BOD 的度数为（） A ．65° B ．55° C ．45° D ．35°7．如图，M 是线段AB 的中点，点N 在AB 上，若AB =10， NB =2，那么线段MN 的长为（）A ．5B ．4C ．3D ．28．某市场销售的一件衣服标价为600元，商场在开展促销活动中，该件衣服按8折销售仍可获利20元．设这件衣服的进价为x 元，根据题意，下面所列方程正确的是（）A ．600820x ⨯-=B ．6000.820x ⨯-=C ．600820x ⨯=-D ．6000.820x ⨯=-9．有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则下列结论中，错误的是（） A ．0a b << B ．||||a b >C ．a b ->D ．b a a b -<+10．图1表示一个无盖的正方体纸盒，它的下底面标有字母“M ”，沿图中的粗线将其剪开展成平面图形，这个平面展开图是（）二、填空题（本题共16分，每小题2分） 11．23的相反数是． 12．若2|2|(3)0x y ++-=，则xy = ．13．关于x 的方程2560x m +-=的解是2x =-，那么m 的值是．14．若一个角的补角比它的余角的4倍少15°，则这个角的度数为 °．15．如图，点B 在射线AE 上，∠D ＋∠ABC =180°，若∠CBE =80°，则∠D = °．16．如图，线段AB 表示一根对折以后的绳子，现从P 处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为40cm ，若AP =12PB ，则这条绳子的原长为 cm ．17．在数学活动课上，李老师要求同学们在边长为1的正方形格纸中，画出一个“风车”图案．小红同学的做法是：如图甲所示，把一个三角形按顺时针方向旋转90°，连续转三次，形成四个叶片的“风车”图案；类似地，把一个梯形按顺时针方向旋转90°，连续转三次，形成图乙所示的四个叶片的“风车”图案．请你仿照小红同学的做法，在备用图中，画一个新的四个叶片的“风车”图案，并使得“风车”的四个叶片的面积与图乙中四个叶片的面积相同．18．观察按下列顺序排列的等式： 91413⨯+=，92523⨯+=，93633⨯+=， 94743⨯+=， ……猜想：第n 个等式（n 为正整数）应表示为．三、解答题（本题共16分，每小题4分）19．计算：17(6)23(20)-+-+--． 20．计算：512.5()()168-÷-⨯-．21．计算：123()24834+-⨯． 22．计算：220102123(1)()3(0.5)23-+-÷--⨯-．四、解答题（本题共15分，每小题5分） 23．先化简下式，再求值：22223(2)(54)a b ab a b ab ---，其中2a =，1b =-．24．解方程：43(25)7x x x +-=-． 25．解方程：34721212x x+--=．五、按要求作图，并回答问题（本题4分）26．如图，B为射线OA上一点．①在射线OA的上方，画∠AOC=120°，∠OBD=90°；②画∠AOC的平分线OE，交射线BD于点P．测量点O、P之间的距离（精确到1cm）六、列方程解应用题（本题共9分，第27小题4分，第28小题5分）27．某校开展了向贫困山区学生捐书的活动，已知七年级、八年级与九年级学生共捐书1680本，其中九年级学生所捐图书数量比七年级学生所捐图书数量的3倍少270本；八年级学生所捐图书数量比七年级学生所捐图书数量的2倍多150本，在这次活动中，七年级学生捐了多少本书？28．某服装厂接到一批校服的生产加工任务，要求按计划天数加工完成．该厂如果每天加工20套校服，按计划时间交货时，比定货任务少加工100套；如果每天加工23套校服，按计划时间交货时，还能比定货任务多加工20套．这批校服的加工任务是多少套？原计划多少天加工完成？七、解答题（本题共10分，第29小题4分，第30小题6分）29．如图，O是直线AB上一点，OD平分∠BOC，∠COE=90°．（1）若∠AOC=40°，求∠DOE的度数；（2）若∠AOC=α，则∠DOE= （用含α代数式表示）．解：（1）（2）∠DOE= ．30．如图，已知A、B、C是数轴上三点，点C表示的数为6，BC=4，AB=12．（1）写出数轴上点A、B表示的数；（2）动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为AP的中点，点N在线段CQ上，且CN=13CQ．设运动时间为t（0t ）秒．①求数轴上点M、N表示的数（用含t的式子表示）；②t为何值时，原点O恰为线段PQ的中点．解：（1）数轴上点A表示的数为，点B表示的数为；（2）①②B 卷附加题：1．某厂2009年的生产总值为a 万元，2010年的生产总值比2009年增长了10%，那么该厂201年的生产总值是（）A ．10%a 万元B ．(10%)a +万元C ．(110%)a +万元D ．[(110%)]a a ++万元 2．延长线段AB 至C ，使得BC =12AB ，反向延长线段AC 至D ，使得AD =13AC ，则线段CD 的长等于（） A ．12AB B ．14AB C ．32AB D ．2AB3．小明同学设计了右图所示的正方体形状的包装纸盒，把下面四个表面展开图折叠（不计接缝），与小明设计的纸盒完全相同的是（）4．关于x 的方程2560x m +-=的解是2x m =，那么2410m m +的值是． 5．观察按下列顺序排列的等式：9033⨯+=，91413⨯+=， 92523⨯+=，93633⨯+=， 94743⨯+=， ……猜想：第n 个等式（n 为正整数）应表示为． 6．计算：23134(9)715544----． 7．计算：512.5()(4)168-÷⨯-÷-．8．计算：123(22)24834+-⨯． 9．计算：220112133(1)()(0.25)628-+-÷---⨯．10．O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）如图1，若∠AOC=40°，求∠DOE的度数；（2）在图1中，若∠AOC=α，直接写出∠DOE的度数（用含α的代数式表示）；（3）将图1中的∠COD按顺时针方向旋转至图2所示的位置．①探究∠AOC与∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；②在∠AOC的内部有一条射线OF，满足：2∠AOF＋∠BOE =12(∠AOC－∠AOF)，试确定∠AOF与∠DOE的度数之间的关系．解：（1）（2）∠DOE= ；（3）①②11．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上一点，且AB=10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（0t ）秒．（1）①写出数轴上点B表示的数，点P表示的数（用含t的代数式表示）；②M为AP的中点，N为PB的中点．点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长；（2）动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点R从点B出发，以每秒43个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若P、Q、R三动点同时出发，当点P追上点R后，立即返回向点Q运动，遇到点Q后则停止运动．那么点P从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？解：（1）①数轴上点B表示的数是，数轴上点P表示的数是（用含t的代数式表示）；②（2）。

北京市朝阳区2010～2011学年度九年级第一学期期末统一考试

1 / 5北京市朝阳区2010～2011学年度九年级第一学期期末统一考试数学试卷 2011．1学校班级姓名考号第Ⅰ卷（选择题32分）一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分） 1．下列各图中，是中心对称图形的是图2．如图，在ΔABC 中,D 、E 分别是AB 、AC 边上的中点，连接DE ，那么ΔADE 与ΔABC 的面积之比是A ．1:16B ．1:9C ．1:4D ．1:2 3．已知两圆的半径分别为3cm 和5cm ，如果它们的圆心距是10cm ，那么这两个圆的位置关系是A ．内切B ．相交C ．外切D ．外离4．如图，等边三角形ABC 内接于⊙O ，连接OB 、OC ，那么∠BOC 的度数是 A ．150° B ．120° C ．90° D ．60°5．把抛物线y=5x 2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得抛物线的解析式是 A ．y=5(x+3)2 -2 B ．y=5(x+3)2+2 C ．y=5(x-3)2 -2 D ．y=5(x-3)2+26．如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为（4,3）,那么cos α的值是 A ．35 B ．45C ．34D ．437．下列所给二次函数的解析式中，其图象不与x 轴相交的是 A ．y= 4x 2 +5 B ．y=－4x 2 C ．y=－x 2 －5x D ．y=2(x ＋1)2 －3 8．已知反比例函数xk y =的图象如图甲所示，那么二次函数222k x kx y +-=的图象大致是下面图乙中的, （第2题）（第4题）（第6题）图甲 B A D2 / 5图，接缝处不重叠），若圆锥底面半径为10cm ，那么这个圆锥的侧面积是 cm 2．10．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，P 为切点，如果AB=8cm ，小圆半径为3cm ，那么大圆半径为______cm ．11．将直角边为12cm 的等腰直角三角形ABC 绕点A 顺时针旋转15º后得到△A B′C′，那么图中阴影部分面积是_____cm 2．12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(-4,0)，B(0,3)，对△AOB 连续作旋转变换，依次得到三角形(1)、(2)、(3)、(4)、…，则第（7）个三角形的直角顶点．．．．的坐标是；第（2011）个三角形的直角顶点．．．．的坐标是__________．三、解答题（共13个小题，共72分） 13．（本小题5分）计算：︒︒︒︒+⋅-60tan 45sin 45cos 30sin ．14．（本小题5分）已知二次函数y2 ＋bx ＋c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：（1）求这个二次函数的解析式；（2）写出这个二次函数的顶点坐标． 15．（本小题5分）在如图所示的平面直角坐标系中，△OAB 的三个顶点坐标分别为O(0,0)，A(1,-3)，B(3,-2)．（1）将△OAB 绕原点O 逆时针旋转90°，画出旋转后的△OA ’ B ’；（第9题）10cm（第11题）（第10题）（第12题）（第15题）3 / 5（2）求出点B 到点B ’ 所走过的路径的长．16．（本小题5分）已知二次函数y = x 2 －4x ＋3．（1）用配方法将y = x 2 －4x ＋3化成y = a(x －h) 2 ＋ k 的形式；（2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；（3）根据图象回答：当自变量x 的取值范围满足什么条件时，y ＜0？ 17．（本小题5分）某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2008年投入1000万元，2010年投入了1210万元．若教育经费每年增长的百分率相同，（1）求每年平均增长的百分率；（2）按此年平均增长率，预计2011年该区教育经费应投入多少万元？18．（本小题5分）如图，在矩形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF ⊥AE 于点F ．（1）求证：ΔABE ∽ΔDFA ；（2）若AB=6，AD=12，BE=8，求DF 的长． 19．（本小题5分）如图，在奥林匹克公园的广场上空飘着一只汽球P ，A 、B 是地面上的两点，在A 处看汽球的仰角∠PAB=45°，在拴汽球的B 处看汽球的仰角∠PBA=60°，已知绳长PB=10米，求A 、B 两点之间的距（第18题）（第16题）（第19题）4 / 5离．(精确到0.11.73≈≈)20．（本小题5分）某网站出售一种毛绒兔玩具，试销中发现这种玩具每个获利x 元时，一天需销售（60－x ）个，如果要使一天出售该种玩具获得最大销售利润，那么每个玩具应获利多少元？ 21．（本小题5分）如图，在矩形ABCD 中，点O 在对角线AC 上，以 OA 长为半径的⊙O 与AD 、AC 分别交于点E 、F,且∠ACB=∠DCE ．（1）求证：CE 是⊙O 的切线；（2）若tan ∠ACB=43，AE=7，求⊙O 的直径．22．（本小题5分）如图，矩形ABCD 的长、宽分别为3和2，OB=2，点E 的坐标为(3，4) ，连接AE 、ED ．（1）求经过A 、E 、D 三点的抛物线的解析式；（2）以原点为位似中心，将五边形ABCDE 放大．① 若放大后的五边形的边长是原五边形对应边长的 2 倍，请在网格中画出放大后的五边形A 2B 2C 2D 2E 2，并直接写出经过A 2、E 2、D 2三点的抛物线的解析式：； ② 若放大后的五边形的边长是原五边形对应边长的 k 倍，请你直接写出经过A k 、E k 、D k 三点的抛物线的解析式：．(用含k 的字母表示)23．（本小题7分）如图,在平面直角坐标系中,A(-3,0)，点C 在y 轴的正半轴上，BC ∥x 轴，且BC=5,AB 交y 轴于点D ，OD=23．（第21题）（第22题）（第23题）5 / 5（1）求出点C 的坐标；（2）过A 、C 、B 三点的抛物线与x 轴交于点E ，连接BE ．若动点M 从点A 出发沿x 轴向x 轴正方向运动，同时动点N 从点E 出发，在直线EB 上作匀速运动，两个动点的运动速度均为每秒1个单位长度，请问当运动时间t 为多少秒时，△MON 为直角三角形? 24．（本小题7分）如图，在△ABC 中，∠A=90°，AB=8，AC=6，M 是AB 上的动点（不与A 、B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 中作内接矩形AMPN ．令AM=x ．（1）用含x 的代数式表示△MNP 的面积S ；（2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？（3）在点M 的运动过程中，设△MNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？ 25．（本小题8分）已知：在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，BE 交CD 于点G ，EF ⊥BE 交AB 于点F ．如图甲，当AC=BC ，且CE=EA 时，则有EF=EG ；（1）如图乙①，当AC=2BC ，且CE=EA 时，则线段EF 与EG 的数量关系是：EF EG ；（2）如图乙②，当AC=2BC ，且CE=2EA 时，请探究线段EF 与EG 的数量关系，并证明你的结论；（3）当AC=mBC ，且CE=nEA 时，请探究线段EF 与EG 的数量关系，直接写出你的结论（不必证明）．B （第24题）图乙②图乙①图甲（第25题）。

北京市西城区2010-2011学年度第一学期期末试卷八年级数学B卷(纯word版)

北京市西城区2010–2011学年度第一学期期末试卷（北区）八年级数学（B 卷） 2011.1一、精心选一选（本题共30分，每小题3分） 1．计算24-的结果是（）．A ．8-B ．18-C ．116- D ．116 2．下列说法中，正确的是（）．A ．5是25的算术平方根B ．9-的平方根是3-C ．4±是64的立方根D ．9的立方根是3 3．下列四个交通标志中，轴对称图形是（）．A ．B ．C ．D ．4．当0b <时，函数y x b =-+的图象不经过．．．（）． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5．下列各式中，正确的是（）．A ．1a b b ab b ++= B ．22x y x y-++=- C ． 23193x x x -=-- D ．222()x y x y x y x y --=++ 6．在△ABC 和△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，AB=A′B′，添加下列条件中的一个，不．能．使△ABC ≌△A′B′C′一定成立的是（）． A ．AC =A′C ′ B ．BC=B ′C ′ C ．∠B=∠B ′ D ．∠C=∠C ′7．点A （11y -，）和B （22y ，）都在直线3y x =-上，则1y 与2y 的关系是（）． A ．12y y < B ．12y y = C ．12y y > D ．212y y =8．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，且AB=AD=DC ，∠BAD=40°，则∠C 为（）．A ．25°B ．35°C ．40°D ．50°9．已知一次函数y kx b =+的图象如图所示，当0x >时，y 的取值范围是（）．A ．1y <B ．1y >C ．2y <-D ．2y >-10．如图所示，长方形ABCD 中，AB=4，点E是折线段A —D —C 上的一个动点（点E 与点A 不重合），点P 是点A 关于BE 的对称点．在点E 运动的过程中，能使△PCB 为等腰三角形．．．．．的点E 的位置共有（）．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、细心填一填（本题共16分，每小题2分） 11．当x __________时，分式11x-有意义． 12．如图，△ABC 是等边三角形，D 是BC 边的中点，点 E 在AC 的延长线上，且∠CDE=30°．若则DE=_________． 13．在0.6，27，π-_______________． 14．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ．若DE=1cm ，则BC =_______ cm ．15．如图，MN 是正方形ABCD 的一条对称轴，点P 是直线MN 上的一个动点，当PC+PD 最小时， ∠PCD=_________°．ABCDAB CDEPDAEBC DCBAEDAMNBCP16．已知直线(0)y kx b k =+≠与直线2y x =-平行，且经过点（1，1），则直线(0)y kx b k =+≠可以看作由直线2y x =-向_______平移_______个单位长度而得到．17．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=40°，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，则∠DBC=_________°．18．用长为4cm 的n 根火柴可以拼成如图1所示的x 个边长都为4cm 的平行四边形，还可以拼成如图2所示的2y 个边长都为4cm 的平行四边形，那么用含x 的代数式表示y ，得到______________________．三、耐心算一算（本题共19分，第19题6分，第20题3分，第21、22题每题5分） 19．因式分解：（1）224x y -；（2）22363a ab b ++．解：解：20+解：图1 图2 DAMNBC ………21．先化简，再求值：22211121x x x x x -÷+--+，其中5x =．解：22．解分式方程：21155x x x x =+++．解：四、认真做一做（共3个小题，第23、24题各6分，第25题5分，共17分）23．已知：如图，点A 、E 、F 、C 在同一条直线上，AD=CB ，∠B=∠D ，AD ∥BC ．求证： AE=CF ．证明：F D C B AE24．已知：平面直角坐标系xOy 中，直线b kx y +=（0k ≠）与直线mx y =（0m ≠）交于点A （2,4-）．（1）求直线mx y =（0m ≠（2）若直线b kx y +=（0k ≠直线x y 2=交于点B ，且点B 求△ABO 的面积．解：（1）（2）25．如图，已知△ABC ，求作一点P ，使P 到∠A 的两边的距离相等，且PA ＝PB ．要求：尺规．．作图，并保留作图痕迹．（不要求写作法）五、仔细想一想（共3个小题，每小题6分，共18分）26．已知：2x y +=，求22222()8()x y x y --+的值．解：C BA27．王鹏和李明沿同一条路同时从学校出发到图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是4千米．王鹏骑自行车，李明步行．当王鹏从原路回到学校时，李明刚好到达图书馆．图中折线O-A-B-C和线段OD分别表示两人离学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分钟)之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：(1) 王鹏在图书馆查阅资料的时间为_________分钟，王鹏返回学校的速度为___________千米/分钟；(2) 请求出李明离开学校的路程s(千米)与所经过的时间t(分钟)之间的函数关系式；(3) 当王鹏与李明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米?解：（2）（3）28．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，且60°<α<120°．P 为△ABC 内部一点，且PC=AC ，∠PCA=120°—α．（1）用含α的代数式表示∠APC ，得∠APC =_______________________；（2）求证：∠BAP=∠PCB ；（3）求∠PBC 的度数．证明：（2）解：（3）北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末试卷（北区）B C PA八年级数学（B 卷）参考答案及评分标准2011.1一、精心选一选（本题共30分，每小题3分）二、细心填一填（本题共16分，每小题2分）11．1≠； 12 13．π-（答对一个给1分）； 14．3； 15．45； 16．上，3（每空1分）； 17．30； 18．3155y x =-．三、耐心算一算（本题共19分，第19题6分，第20题3分，第21、22题每题5分） 19．（1）解：224x y -=(2)(2)x y x y +-．----------------2分（2）解：22363a ab b ++=223(2)a ab b ++ ----------------2分=23()a b +． ----------------4分20+----------------2分= ----------------3分 21．解：22211121xx x x x -÷+--+ =221(1)1(1)(1)x x x x x--⨯++- =211(1)x x x x --++ ----------------2分 =2(1)(1)x x x x --+=1x． ----------------4分当5x =时，原式=1x =15． ----------------5分22．解：去分母，得 5255x x x =++． ----------------2分移项，合并得 25x =-．系数化为1，得 52x =-． ----------------4分经检验，52x =-是原方程的解． ----------------5分所以，原方程的解为52x =-．四、认真做一做（本题共17分，第23、24题每题6分，第25题5分） 23．证明：如图1．∵ AD ∥BC ， ∴∠A=∠C ． ----------------1分在△ADF 与△CBE 中， ∠A=∠C ，AD=CB ， ∠D=∠B ，∴△ADF ≌△CBE ． ----------------4分 ∴ AF=CE ． ----------------5分 ∴ AF -EF=CE -EF ．∴AE=CF ． ----------------6分 24．解：（1）∵点A （2,4-）在直线mx y =（0m ≠）上，∴m 24-=2-=m ．∴x y 2-=． ----------------2分（2）解法一：作AM ⊥y 轴于M ，BN ⊥y 轴于N ∵点B 在直线x y 2=上，且点B 的横坐标为-∴点B 的坐标为B )84(--，． FD CBA E 图1∵MN BN)AM (21S ABNM ⋅+=梯形 1(24)(48)2=⨯+⨯+36=，------------4分 MO AM 21S AOM ⋅=∆=44221=⨯⨯，NO BN 21S BON⋅=∆=168421=⨯⨯， ------------5分 ∴BO N A O M A BN M A BO S S S S ∆∆∆--=梯形16436--=16=． ------------6分解法二：设直线b kx y +=(0k ≠)与x 轴交于点C （如图3）． ∵点B 在直线x y 2=上，且点B 的横坐标为-∴点B 的坐标为B )84(--，． ∵直线b kx y +=(0k ≠)经过点A （2,4-）和点B )84(--，， ∴⎩⎨⎧+-=-+-=.48,24b k b k 解得⎩⎨⎧==.16,6b k∴166+=x y ．令0=y ，可得38-=x ． ∴点C 的坐标为C )038(，-． ------------5分 ∴BO C A O C A BO S S S ∆∆∆+=8382143821⨯⨯+⨯⨯=16=． ------------6分阅卷说明：其他正确解法相应给分．25．答案如图4所示．阅卷说明：（1）画出∠CAB 的平分线AD ； ------------2分（2）画出AB 垂直平分线MN ； ------------4分（3）标出射线AD 与直线MN 的交点P ．D图3------------5分五、仔细想一想（本题共18分，每小题6分） 26．解法一：22222()8()x y x y --+)(8)()(2222y x y x y x +--+=． ------------1分∵2=+y x ，∴原式)(8)(4222y x y x +--= ------------2分 222288)2(4y x y xy x --+-=22484y xy x ---= ------------3分 2)(4y x +-= ------------5分 224⨯-=16-=． ------------6分解法二：由2=+y x ，得x y -=2． ------------1分则原式])2([8])2([22222x x x x -+---= ------------2分 )442(8)44(22+---=x x x ------------4分 32321616321622-+-+-=x x x x16-=． ------------6分27．（1）15，154．（每空1分） ------------2分（2）解：设线段OD 所在直线为)0(≠=k kt s ． ∵点D （45，4）在此直线上，则k 454=454=k ． ∴t s 454=． ------------3分 ∴当045t ≤≤时，t s 454=．（3）解：设线段BC 所在直线为)0(11≠+=k b t k s ．∵点B （30，4）和点C （45，0）在此直线上，则⎩⎨⎧+=+=.450,30411b k b k 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.12,1541b k∴12154+-=t s ． ------------4分 ∴当3045t ≤≤时，12154+-=t s ．由（2）知线段OD 所在直线为t s 454=，由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==.12154,454t s t s 解得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,4135s t ------------5分∴直线OD 与BC 的交点坐标为)3,4135(．答：当王鹏与李明迎面相遇时，他们离学校的路程是3千米．------------6分28．（1）∠APC 230α+=． ------------1分（2）证明：如图5．∵CA=CP ， ∴∠1=∠2=230α+．∴∠3=∠BAC －∠1=)230(αα+-=302-α． ------------2分∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB=2180α- =290α-．∴∠4=∠ACB －∠5=)120()290(αα---=302-α．∴∠3=∠4．即∠BAP=∠PCB ． ------------3分（3）解法一：在CB 上截取CM 使CM=AP ，连接PM （如图6）．------------4分 ∵PC=AC ，AB=AC ， ∴PC=AB ．在△ABP 和△CPM 中，AB=CP ， ∠3=∠4， AP=CM ， ∴△ABP ≌△CPM ．∴∠6=∠7， BP=PM ． ∴∠8=∠9． ∵∠6=∠ABC －∠8，∠7=∠9－∠4，∴∠ABC －∠8=∠9－∠4．即（290α-）－∠8=∠9－（302-α）．∴ ∠8＋∠9=60． ∴2∠8=60． ∴∠8= 30．即∠PBC= 30． ------------6分解法二：作点P 关于BC 的对称点N ，连接PN 、AN 、BN 和CN （如图7）． ------------4分则△PBC 和△NBC 关于BC 所在直线对称． ∴△PBC ≌△NBC ． ∴BP=BN ，CP=CN ， ∠4=∠6=302-α，∠7=∠8．∴∠ACN=∠5＋∠4＋∠621645378CBAP4521CP AB63987图6=)302(2)120(-⨯+-αα= 60．∵PC=AC ，∴AC=NC ．∴△CAN 为等边三角形． ∴AN=AC ，∠NAC=60． ∵AB=AC ，∴AN=AB ．∵∠PAN=∠PAC －∠NAC=（230α+）－60=302-α，∴∠PAN=∠3．在△ABP 和△ANP 中， AB=AN ， ∠3=∠PAN ， AP=AP ，∴△ABP ≌△ANP ．∴PB=PN ．∴△PBN 为等边三角形． ∴∠PBN=60． ∴∠7=21∠PBN =306021=⨯．即∠PBC=30． ------------6分阅卷说明：其他正确解法相应给分．。

北京市西城区2010—2011学年度第一学期期末试卷及参考答案

北京市西城区2010—2011学年度第一学期期末试卷七年级历史 2011.1学校：班级：姓名：分数：第Ⅰ卷（闭卷部分）考生须知 1．闭卷部分考试时间为15分钟，满分为50分。

2．闭卷考试时，不得参考任何资料，必须独立作答。

一、选择题(本大题25小题，每小题2分，共50分。

在每小题列出的四个选项中，只有一项最符合题目要求，请将该选项前的字母代号填写在下面的表格中) 1．在历史学习中，许多同学化繁为简，把隋朝大运河的相关知识概括为“三点四段五河”，其中三点即指大运河的北端、中心和南端。

它们分别是 A ．涿郡、长安、余杭B ．涿郡、洛阳、江都C ．涿郡、长安、江都D ．涿郡、洛阳、余杭2．“朝为田舍郎，暮登天子堂。

将相本无种，男儿当自强。

”这首诗反映的是我国古代的 A ．禅让制B ．世袭制C ．科举制D ．分封制3．唐太宗的统治为唐朝进入全盛时期奠定了重要基础，历史上称之为 A ．“文景之治” B ．“开皇之治” C ．“开元盛世” D ．“贞观之题号闭卷开卷总分一二三(选做题)1—25 26—2930得分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第Ⅰ卷得分总计答案题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案题号 21 22 23 24 25答案2ABCD治”4．茶叶是现今世界著名饮料，也是我国对世界的一大贡献，饮茶之风在全国开始盛行是在A.隋朝B.唐朝C.明朝D.清朝5.“翻倒，翻倒，喝得醉来吐掉，转来转去自行，千匝万匝未停。

停未？停未？禾苗待我灌醉。

”这首《调笑令》反映的是下列哪种生产工具使用时的情景？6．某剧团要编演一部反映唐朝与少数民族友好关系的话剧，这部话剧可以取材于下列哪个史实？ A ．张骞出使西域B ．玄奘西游天竺C ．文成公主入藏D ．鉴真东渡日本7．世界上现存最早的、标有确切日期的雕版印刷品是《金刚经》卷子。

它印制于A. 隋朝B. 唐朝C. 明朝D. 清朝 8．我国古代经济重心南移，这一过程完成于A. 唐朝B. 北宋C. 南宋D.元朝 9．宋代饮食相当丰富，品种很多。

2010-2011学年北京市海淀区高一(上)期末数学试卷

2010-2011学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项吕，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）已知集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={2，5，6}，则集合∁U（A∪B）是（）A．{2，4，6}B．{1，3，4}C．{1，2，3，5，6}D．{4}2．（4分）下列函数中，在其定义域上为奇函数的是（）A．B．f（x）=C．f（x）=（x﹣1）3D．f（x）=2x3．（4分）已知直线l：x+2y﹣2=0，则下列直线中，与l平行的是（）A．x+2y﹣1=0B．x﹣2y﹣1=0C．2x+y﹣1=0D．2x﹣y﹣1=0 4．（4分）直线y=ax+b的图象如图所示，则函数h（x）=（ab）x在R上（）A．为增函数B．为减函数C．为常数函数D．单调性不确定5．（4分）下列命题正确的是（）A．经过三点，有且仅有一个平面B．经过一条直线和一个点，有且仅有一个平面C．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D．四边形确定一个平面6．（4分）在三棱锥D﹣ABC中，AC=BC=CD=2，CD⊥平面ABC，∠ACB=90°．若其主视图、俯视图如图所示，则其左视图的面积为（）A．B．1C．D．7．（4分）已知平面α⊥平面β，下列命题①平面α内的直线一定垂直于平面β内的直线②平面α内的直线一定垂直于平面β的无数条直线③平面α内的任一条直线必垂直于平面β④过任意一点作平面α和平面β交线的垂线，则此垂线必垂直于平面β其中正确的命题序号是（）A．①②B．①③C．②D．④8．（4分）在棱长为1的正方体的表面上任取4个点构成一个三棱锥，则这个三棱锥体积的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．（0，]D．（0，1）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．9．（4分）幂函数f（x）=x a的图象经过点（8，2），则f（﹣1）=．10．（4分）一个球的体积在数值上等于其表面积的2倍，则该球半径为．11．（4分）已知函数，若x0是f（x）的零点，则x0的值为．12．（4分）二次函数f（x）满足f（0）=﹣3，f（1）=f（﹣3）=0，那么f（x）=．13．（4分）一个边长为10 cm的正方形铁片，把图中所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器．则这个容器侧面积S表示成x的函数为．当x=6时，这个容器的容积为cm3．14．（4分）已知函数f（x）=x3﹣2x，其中a﹣1≤x≤a+1，a∈R，设集合M={（m，f（n））|m，n∈[a﹣1，a+1]|}，若f（x）单调递增，则S的最小值为．三、解答题：本大题共4小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（10分）已知函数f（x）=log2（1+x）+log2（1﹣x）（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性；（3）求的值．16．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为平行四边形，其中O为坐标原点，且点B（4，4），C（1，3）．（1）求线段AC中点坐标；（2）过点C作CD垂直AB于点D，求直线CD的方程；（3）求四边形OABC的面积．17．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点．（1）求证：直线BD1∥平面PAC；（2）求证：平面PAC⊥平面BDD1；（3）求证：直线PB1⊥平面PAC．18．（10分）函数f（x）的定义域为R，且f（x）的值不恒为0，又对于任意的实数m，n，总有成立．（1）求f（0）的值；（2）求证：t•f（t）≥0对任意的t∈R成立；（3）求所有满足条件的函数f（x）．2010-2011学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项吕，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）已知集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={2，5，6}，则集合∁U（A∪B）是（）A．{2，4，6}B．{1，3，4}C．{1，2，3，5，6}D．{4}【分析】根据集合A，B先求出集合A∪B，然后全集U求出集合A∪B的补集即可．【解答】解析：∵A={1，3，5}，B={2，5，6}，∴A∪B={1，2，3，4，5，6}又U={1，2，3，4，5，6}，∴C U（A∪B）={4}，故选：D．【点评】此题考查了补集及并集的运算，是一道基础题，学生在求补集时应注意全集的范围．2．（4分）下列函数中，在其定义域上为奇函数的是（）A．B．f（x）=C．f（x）=（x﹣1）3D．f（x）=2x【分析】判断函数的奇偶性，先求定义域，判断定义域是否关于原点对称，然后再根据奇偶性的定义进行判断．【解答】解：对于A，定义域为R，且f（﹣x）=﹣f（x），则函数为奇函数对于B，定义域为{x|x≠1}不对称，从而是非奇非偶函数对于C，f（﹣x）=﹣（x+1）3≠﹣f（x）=﹣（x﹣1）3，故不是奇函数对于D，f（﹣x）=2﹣x≠﹣f（x）=﹣2x，故不是奇函数故选：A．【点评】本题考查了奇偶性的判断，要注意先判断定义域是否关于原点对称，然后再用奇偶性定义判断，属基础题．3．（4分）已知直线l：x+2y﹣2=0，则下列直线中，与l平行的是（）A．x+2y﹣1=0B．x﹣2y﹣1=0C．2x+y﹣1=0D．2x﹣y﹣1=0【分析】利用与直线l：x+2y﹣2=0 平行的直线方程为：x+2y+c=0 的形式，做出判断．【解答】解：由于与直线l：x+2y﹣2=0 平行的直线方程为：x+2y+c=0 的形式，故选：A．【点评】本题考查两直线平行的判定，利用了与直线l：x+2y﹣2=0 平行的直线方程为：x+2y+c=0 的形式．4．（4分）直线y=ax+b的图象如图所示，则函数h（x）=（ab）x在R上（）A．为增函数B．为减函数C．为常数函数D．单调性不确定【分析】根据图象的横截距和纵截距，判断出a和b的取值范围，得到底数ab 的范围，由指数函数的性质得到函数为减函数．【解答】解：由图可知x=﹣1时，y=b﹣a=0．∴a=b，当x=0时，y=b，0＜b＜1，∴0＜a，b＜1，根据指数函数的性质，∴h（x）=（ab）x，为减函数．故选：B．【点评】本题考查了观察、分析图形的能力，根据图形判断参数的取值情况．还考查了指数函数的单调性．属基础题．5．（4分）下列命题正确的是（）A．经过三点，有且仅有一个平面B．经过一条直线和一个点，有且仅有一个平面C．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D．四边形确定一个平面【分析】根据不共线的三点确定一个平面和定理的推论可以判断A，B，D在叙述时都说的不全面．缺少条件．只有C选项可以证明成立．【解答】解：对于A，须为不共线的三点才能确定平面．对于B，点须不在直线上才能确定平面对于D，四边形为空间四边形时，就不能确定平面，两两相交且交点不重合的三条直线共面，故选：C．【点评】本题考查平面的性质及其推论，本题解题的关键是理解并且会应用三点共面的判定定理和三个推论，本题是一个基础题．6．（4分）在三棱锥D﹣ABC中，AC=BC=CD=2，CD⊥平面ABC，∠ACB=90°．若其主视图、俯视图如图所示，则其左视图的面积为（）A．B．1C．D．【分析】三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是2，得到侧视图是一个直角三角形，根据底面是一个等腰直角三角形，做出侧视图的另一条直角边长，做出侧视图的面积．【解答】解：由题意知三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是2，得到侧视图是一个直角三角形，∵AC=BC=CD=2，∠ACB=90°∴侧视图的另一条直角边长是2×，∴侧视图如图=故选：D．【点评】本题考查有几何体看出三视图，并且求三视图的面积，本题解题的关键是看出侧视图是一个直角三角形，本题是一个基础题．7．（4分）已知平面α⊥平面β，下列命题①平面α内的直线一定垂直于平面β内的直线②平面α内的直线一定垂直于平面β的无数条直线③平面α内的任一条直线必垂直于平面β④过任意一点作平面α和平面β交线的垂线，则此垂线必垂直于平面β其中正确的命题序号是（）A．①②B．①③C．②D．④【分析】由题意①平面α内的直线一定垂直于平面β内的直线，可由两平面垂直两面内直线的位置关系判断；②平面α内的直线一定垂直于平面β的无数条直线，由两面内的直线的位置关系判断；③平面α内的任一条直线必垂直于平面β，由面面垂直的性质判断；④过任意一点作平面α和平面β交线的垂线，则此垂线必垂直于平面β，由面面垂直的性质判断．【解答】解：对于①，此命题是正确命题，因为两平面垂直，在β内作L垂直于α、β的交线，在β内平行于l的直线都垂直于α，故平面α内的直线一定垂直于平面β内的直线；对于②，此命题正确，在β内作L垂直于α、β的交线，在β内平行于l的直线都垂直于α，平面α内的直线一定垂直于平面β的无数条直线；对于③，此命题不正确，因为两平面垂直，在α内平行于两平面交线的直线一定平行于β，平面α内的任一条直线必垂直于平面β错误；对于④此命题不正确，因为此点需要在α内，而题设中的条件不能保证此点一定在α内综上①②是正确命题故选：A．【点评】本题考查平面与平面之间的位置关系，解题的关键是正确理解两平面垂直的性质以及有着较强的空间想像能力，能想像出两平面垂直时两平面内直线的位置关系情况，8．（4分）在棱长为1的正方体的表面上任取4个点构成一个三棱锥，则这个三棱锥体积的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．（0，]D．（0，1）【分析】在棱长为1的正方体的表面上任取4个点构成一个三棱锥，其体积的下界为0，要使三棱锥的体积最大，则这四个点一定得最在正方体的顶点处，分别讨论上下两个底面各取两个点和一个底面三个点，另一个底面一个点时，棱锥的体积，即可得到棱锥的最大值，进而得到答案．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设三棱锥的底面为α．在正方体的表面上，离三棱锥底面α最远的点，一定可以在正方体的顶点处取得．此时，三棱锥的体积最大．固定住这个点，以这个点为三棱锥底面的一个点，则三棱锥的顶点一定可以在正方体的顶点处取得，同理，三棱锥体积最大时，三个顶点必在正方体的顶点处取得．故正方体8个顶点中四个顶点形成三棱锥的体积最大的那个即为所求．由于三棱锥四个顶点不共面，故在面ABCD和面A1B1C1D1中，分别可能有三棱锥的（1，3），（2，2），（3，1）个顶点，其中（1，3）和（3，1）是对称的．故只需讨论（3，1）和（2，2）的情形．若为（3，1），在底面，不妨取A、B、D顶点可为A1、B1、C1、D1，三棱锥体积都为，若为（2，2）则在底面可取A、B或A、C．若为A、B，顶面可取（A1，C1），（A1，D1），三棱锥体积．若为A、C，则顶点可取B1D1此时∴∴∴故选：B．【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积，根据正方体的结构特征得到三棱锥的体积最大时，这四个点一定得最在正方体的顶点处，进而简单分类讨论的种类是解答本题的关键．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．9．（4分）幂函数f（x）=x a的图象经过点（8，2），则f（﹣1）=﹣1．【分析】将点代入解析式，求出a，再求f（4）即可．【解答】解：f（8）=2，∴8a=2．∴．∴．故答案为：﹣1．【点评】本题考查求幂函数的解析式、对幂函数求值，属基本运算的考查．10．（4分）一个球的体积在数值上等于其表面积的2倍，则该球半径为6．【分析】设出球的半径，求出球的体积和表面积，利用相等关系求出球的半径即可．【解答】解：设球的半径为r，则球的体积为：，球的表面积为：4πR2．∴R=6．故答案为：6【点评】本题考查球的体积与表面积的计算，解题的关键是对球的体积公式和表面积公式的掌握程度，是基础题．11．（4分）已知函数，若x0是f（x）的零点，则x0的值为1或﹣2．【分析】令f（x）=0，分x≥0和x＜0解方程即可求得结果．【解答】解：∵f（x）=0，∴x≥0时，即3x﹣3=0．∴x=1x＜0时，有∴2﹣x=4∴x=﹣2综上x0=1或﹣2．故答案为：1或﹣2．【点评】本题考查函数零点的求法，体现分类讨论的数学思想方法，解出方程后注意检验，属基础题．12．（4分）二次函数f（x）满足f（0）=﹣3，f（1）=f（﹣3）=0，那么f（x）=x2+2x﹣3．【分析】可设设f（x）=ax2+bx+c，利用已知条件可以求得a、b、c的值，问题解决．【解答】解：设f（x）=ax2+bx+c∴f（0）=c=﹣3由得a=1，b=2，c=﹣3，∴f（x）=x2+2x﹣3．故答案为：x2+2x﹣3．【点评】本题考查二次函数解析式的求法，方法是方程组法，属于容易题．13．（4分）一个边长为10 cm的正方形铁片，把图中所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器．则这个容器侧面积S表示成x的函数为S=10x（0＜x＜10）．当x=6时，这个容器的容积为48cm3．【分析】根据所给的数据写出白色三角形的面积，得到正四棱锥的面积，做出四棱锥的侧棱的长度，做出四棱锥的高，写出四棱锥的体积．【解答】解：如图所示，白色的三角形的面积为，正四棱锥=10x的侧面积为S=4S△如图所示，AB=6，OE=5∴，在直角三角形OO1B中，OO1=4，∴故答案为：s=10x（0＜x＜10）；48【点评】本题考查函数的模型的选择与应用，本题解题的关键是根据所给的数据，表示出四棱锥的表面积和体积，注意自变量的取值范围．14．（4分）已知函数f（x）=x3﹣2x，其中a﹣1≤x≤a+1，a∈R，设集合M={（m，f（n））|m，n∈[a﹣1，a+1]|}，若f（x）单调递增，则S的最小值为．【分析】先研究函数的性质，是奇函数且时，f（x）单调递增．再将面积表达出来，进而可求出S的最小值．【解答】解：f（x）=x3﹣2x=x（x2﹣2）=0∴或0或∵f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）为奇函数．∀0＜x1＜x2f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣x2）（x12+x1x2+x22﹣2）＞（x1﹣x2）（3x12﹣2）当时，f（x1）﹣f（x2）＞0，f（x）单调递增．由对称性画出草图n∈[a﹣1，a+1]∵，∴m∈[a﹣1，a+1]，f（n）为n∈[a﹣1，a+1]时的值域的长度d．要使f（n）的值域最小当时f（n）的值域最小，则，故答案为．【点评】本题求解的关键是利用具体函数，研究出函数所具有的性质，进而研究面积S的最小值三、解答题：本大题共4小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（10分）已知函数f（x）=log2（1+x）+log2（1﹣x）（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性；（3）求的值．【分析】（1）利用对数的真数大于0，列不等式组即可求得f（x）的定义域；（2）直接利用函数奇偶性的定义即可判断；（3）将直接代入函数表达式f（x）=log2（1+x）+log2（1﹣x），即可求得的值．【解答】解：（1）∵1+x＞0且1﹣x＞0∴x∈（﹣1，1），∴函数的定义域为（﹣1，1）；（2）∵f（﹣x）=log2（1﹣x）+log2（1+x）=f（x）∴f（x）为偶函数；（3）===﹣1．所以的值为：﹣1．【点评】本题考查对数函数的定义域，判断函数的奇偶性，考查学生解决问题的能力，属于中档题．16．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为平行四边形，其中O为坐标原点，且点B（4，4），C（1，3）．（1）求线段AC中点坐标；（2）过点C作CD垂直AB于点D，求直线CD的方程；（3）求四边形OABC的面积．【分析】（1）AC中点即为OB的中点，直接利用中点坐标公式计算．（2）求出AB的斜率（等于OC的斜率），利用两直线垂直斜率之积为﹣1，求出CD斜率，利用点斜式写出即可．=|OC|•|CD|，其中|CD|用点线距公式求出．代入计算即可．（3）S平行四边形OABC【解答】解：（1）设AC 中点为E．∵四边形OABC为平行四边形∴E为OB中点∴E点坐标为（2，2）（2）∵OC∥AB，∴k OC=k AB=3CD垂直AB于点D，∴k CD=﹣由直线方程的点斜式得直线CD的方程：y﹣3=（x﹣1）即x+3y﹣10=0（3）∵C（1，3）A、C关于y=x对称，∴A点坐标为（3，1）∴直线A的直线方程：y﹣1=3（x﹣3）即3x﹣y﹣8=0|CD|==∴S▱OABC=|OC|•|CD|=8【点评】本题考查直线与直线位置关系，直线方程的求解、点线距的计算．属于基础题目．17．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点．（1）求证：直线BD1∥平面PAC；（2）求证：平面PAC⊥平面BDD1；（3）求证：直线PB1⊥平面PAC．【分析】（1）利用三角形中位线的性质证明PO∥BD1，进而得到线BD1∥平面PAC．（2）由底面ABCD是正方形，则AC⊥BD，再由DD1⊥AC，得到AC⊥面BDD1，这样在平面PAC内找到了2条直线和平面BDD1垂直，问题得证．（3）△PB1C中，先求出三边的长度，使用勾股定理可得PB1⊥PC，同理可证PB1⊥PA，这样，PB1垂直于平面PAC的2条相交直线，所以直线PB1⊥平面PAC．【解答】解：（1）设AC和BD交于点O，连PO，由P，O分别是DD1，BD的中点，故PO∥BD1，所以直线BD1∥平面PAC．（2）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，底面ABCD是正方形，则AC⊥BD又DD1⊥面ABCD，则DD1⊥AC，所以AC⊥面BDD1，则平面PAC⊥平面BDD1（3）PC2=2，PB12=3，B1C2=5，所以△PB1C是直角三角形．PB1⊥PC，同理PB1⊥PA，所以直线PB1⊥平面PAC．（12分）【点评】本题考查直线和平面平行的证法，2个平面垂直的证法，以及直线和平面垂直的证法．18．（10分）函数f（x）的定义域为R，且f（x）的值不恒为0，又对于任意的实数m，n，总有成立．（1）求f（0）的值；（2）求证：t•f（t）≥0对任意的t∈R成立；（3）求所有满足条件的函数f（x）．【分析】（1）由已知中任意的实数m，n，总有成立，令m=n=0，易得f（0）的值；（2）由已知中任意的实数m，n，总有成立，令m=n，即可得到结论；（3）由已知中任意的实数m，n，总有成立，令m=2n=2x，即可得到结论．【解答】解：（1）令m=n=0∴f2（0）=0∴f（0）=0（2）令m=n∴∴对于任意的t∴即证（3）令m=2n=2x∴=f2（x）+xf（x）当f（x）=0时恒成立，当f（x）≠0时有，∴f2（2x）=[f（x）+x]2=4xf（x）∴f（x）=x．【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数恒成立问题，其中在解答抽象函数的关键是“凑”，如（1）中令m=n=0，（2）中令m=n，（3）中令m=2n=2x．。

2010-2011学年北京市海淀区九年级(上)期末数学试卷

2010-2011 学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共8 小题，每小题4 分，满分32 分）1．（4 分）＝（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．92．（4 分）两圆的半径分别为2 和5，圆心距为7，则这两圆的位置关系为（）A．外离B．外切C．相交D．内切3．（4分）将一枚硬币抛掷两次，则这枚硬币两次正面都向上的概率为（）A． B． C． D．4．（4 分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠ABO＝30°，则∠ACB 的大小为（）A．60°B．30°C．45°D．50°5．（4 分）下列一元二次方程中没有实数根是（）A．x2+3x+4＝0 B．x2﹣4x+4＝0 C．x2﹣2x﹣5＝0 D．x2+2x﹣4＝0 6．（4 分）如图，有一枚圆形硬币，如果要在这枚硬币的周围摆放几枚与它完全相同的硬币，使得周围的硬币都和这枚硬币相外切，且相邻的硬币相外切，则这枚硬币周围最多可摆放（）A．4 枚硬币B．5 枚硬币C．6 枚硬币D．8 枚硬币7．（4 分）圆锥的底面直径是8，母线长为12，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是（）A．60°B．120°C．150°D．180°8．（4 分）如图，E，B，A，F 四点共线，点D 是正三角形ABC 的边AC 的中点，点P 是直线AB 上异于A，B 的一个动点，且满足∠CPD＝30°，则（）A．点P 一定在射线BE 上B．点P 一定在线段AB 上C．点P 可以在射线AF 上，也可以在线段AB 上D．点P 可以在射线BE 上，也可以在线段二、填空题（共4 小题，每小题4 分，满分16 分）9．（4 分）已知P 是⊙O 外一点，PA 切⊙O 于A，PB 切⊙O 于B．若PA＝6，则PB ＝．10．（4 分）使有意义的x 的取值范围是．11．（4 分）如图，圆形转盘中，A，B，C 三个扇形区域的圆心角分别为150°，120°和90°．转动圆盘后，指针停止在任何位置的可能性都相同（若指针停在分界线上，则重新转动圆盘），则转动圆盘一次，指针停在B 区域的概率是．12．（4 分）（1）如图一，等边三角形MNP 的边长为1，线段AB 的长为4，点M 与A 重合，点N 在线段AB 上．△MNP 沿线段AB 按A→B 的方向滚动，直至△MNP 中有一个点与点B 重合为止，则点P 经过的路程为；（2）如图三，正方形MNPQ 的边长为1，正方形ABCD 的边长为2，点M 与点A 重合，点N 在线段AB 上，点P 在正方形内部，正方形MNPQ 沿正方形ABCD 的边按A →B→C→D→A→…的方向滚动，始终保持M，N，P，Q 四点在正方形内部或边界上，直至正方形MNPQ 回到初始位置为止，则点P 经过的最短路程为．（注：以△MNP 为例，△MNP 沿线段AB 按A→B 的方向滚动指的是先以顶点N 为中心顺时针旋转，当顶点P 落在线段AB 上时，再以顶点P 为中心顺时针旋转，如此继续．多边形沿直线滚动与此类似．）三、解答题（共13 小题，满分0 分）13．（5 分）计算：．14．（5 分）某射击运动员在相同条件下的射击160 次，其成绩记录如下：（1）根据上表中的信息将两个空格的数据补全（射中9 环以上的次数为整数，频率精确到0.01）；（2）根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9 环以上”的概率（精确到0.1），并简述理由．15．（5 分）解方程：x2+x﹣1＝0．16．（5 分）如图，在△ABC 中，AB 是⊙O 的直径，⊙O 与AC 交于点D，AB＝，∠B ＝60°，∠C＝75°，求∠BOD 的度数．17．（5 分）如图，正方形ABCD 中，点F 在边BC 上，E 在边BA 的延长线上．（1）若△DCF 按顺时针方向旋转后恰好与△DAE 重合．则旋转中心是点；最少旋转了度；（2）在（1）的条件下，若AE＝3，BF＝2，求四边形BFDE 的面积．18．（5 分）随着人们节能意识的增强，节能产品的销售量逐年增加．某地区高效节能灯的年销售量2009 年为10 万只，预计2011 年将达到14.4 万只．求该地区2009 年到2011 年高效节能灯年销售量的平均增长率．19．（5 分）如图，在△ABC 中，∠C＝120°，AC＝BC，AB＝4，半圆的圆心O 在AB 上，且与AC，BC 分别相切于点D，E．（1）求半圆O 的半径；（2）求图中阴影部分的面积．20．（5 分）如图，O 为正方形ABCD 对角线AC 上一点，以O 为圆心，OA 长为半径的⊙O 与BC 相切于点M．（1）求证：CD 与⊙O 相切；（2）若⊙O 的半径为1，求正方形ABCD 的边长．21．（5 分）一个袋中有3 张形状大小完全相同的卡片，编号为1，2，3，先任取一张，将其编号记为m，再从剩下的两张中任取一张，将其编号记为n．（1）请用树状图或者列表法，表示事件发生的所有可能情况；（2）求关于x 的方程x2+mx+n＝0 有两个不相等实数根的概率．22．（5 分）如图一，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，直线EF 和⊙O 相切于点C，AD⊥EF，垂足为D．（1）求证：∠CAD＝∠BAC；（2）如图二，若把直线EF 向上移动，使得EF 与⊙O 相交于G，C 两点（点C 在点G 的右侧），连接AC，AG，若题中其他条件不变，这时图中是否存在与∠CAD 相等的角？若存在，找出一个这样的角，并证明；若不存在，说明理由．23．（7 分）以坐标原点为圆心，1 为半径的圆分别交x，y 轴的正半轴于点A，B．（1）如图一，动点P 从点A 处出发，沿x 轴向右匀速运动，与此同时，动点Q 从点B处出发，沿圆周按顺时针方向匀速运动．若点Q 的运动速度比点P 的运动速度慢，经过1 秒后点P 运动到点（2，0），此时PQ 恰好是⊙O 的切线，连接OQ．求∠QOP 的大小；（2）若点Q 按照（1）中的方向和速度继续运动，点P 停留在点（2，0）处不动，求点Q 再经过5 秒后直线PQ 被⊙O 截得的弦长．24．（7 分）已知关于x 的方程有实根．（1）求a 的值；（2）若关于x 的方程mx2+（1﹣m）x﹣a＝0 的所有根均为整数，求整数m 的值．25．（8 分）如图一，在△ABC 中，分别以AB，AC 为直径在△ABC 外作半圆O1 和半圆O2，其中O1 和O2 分别为两个半圆的圆心．F 是边BC 的中点，点D 和点E 分别为两个半圆圆弧的中点．（1）连接O1F，O1D，DF，O2F，O2E，EF，证明：△DO1F≌△FO2E；（2）如图二，过点A 分别作半圆O1 和半圆O2 的切线，交BD 的延长线和CE 的延长线于点P 和点Q，连接PQ，若∠ACB＝90°，DB＝5，CE＝3，求线段PQ 的长；（3）如图三，过点A 作半圆O2 的切线，交CE 的延长线于点Q，过点Q 作直线FA 的垂线，交BD 的延长线于点P，连接PA．证明：PA 是半圆O1 的切线．2010-2011 学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8 小题，每小题4 分，满分32 分）1．（4 分）＝（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．9【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可得出答案．【解答】解：原式＝（﹣）×（﹣）＝3，故选：A．【点评】本题主要考查了二次根式的乘法运算，属于基础题，掌握二次根式的运算法则：乘法法则＝．2．（4 分）两圆的半径分别为2 和5，圆心距为7，则这两圆的位置关系为（）A．外离B．外切C．相交D．内切【分析】根据数量关系来判断两圆的位置关系．设两圆的半径分别为R 和r，且R≥r，圆心距为d：外离，则d＞R+r；外切，则d＝R+r；相交，则R﹣r＜d＜R+r；内切，则d＝R﹣r；内含，则d＜R﹣r．【解答】解：∵两圆的半径分别为2 和5，圆心距为7，则2+5＝7，∴根据圆心距与半径之间的数量关系可知⊙O1 与⊙O2 的位置关系是外切．故选：B．【点评】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．3．（4 分）将一枚硬币抛掷两次，则这枚硬币两次正面都向上的概率为（）A． B． C． D．【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．【解答】解：列树状图可得，概率为，故选C．【点评】用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．4．（4 分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠ABO＝30°，则∠ACB 的大小为（）A．60°B．30°C．45°D．50°【分析】首先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠AOB 的度数，再利用圆周角与圆心角的关系求出∠ACB 的度数．【解答】解：△AOB 中，OA＝OB，∠ABO＝30°；∴∠AOB＝180°﹣2∠ABO＝120°；∴∠ACB＝∠AOB＝60°；故选A．【点评】此题主要考查了圆周角定理的应用，涉及到的知识点还有：等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．5．（4 分）下列一元二次方程中没有实数根是（）A．x2+3x+4＝0 B．x2﹣4x+4＝0 C．x2﹣2x﹣5＝0 D．x2+2x﹣4＝0【分析】利用一元二次方程的根的判别式△＝b2﹣4ac，分别计算各选项的△值，一元二次方程中没有实数根，即判别式的值是负数，即可判断根的情况．【解答】解：A、△＝b2﹣4ac＝9﹣16＝﹣7＜0，方程没有实数根．B、△＝b2﹣4ac＝16﹣16＝0，方程有两个相等的实数根．C、△＝b2﹣4ac＝4+20＝24＞0，方程有两个不相等的实数根．D、△＝b2﹣4ac＝4+16＝20，方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．6．（4 分）如图，有一枚圆形硬币，如果要在这枚硬币的周围摆放几枚与它完全相同的硬币，使得周围的硬币都和这枚硬币相外切，且相邻的硬币相外切，则这枚硬币周围最多可摆放（）A．4 枚硬币B．5 枚硬币C．6 枚硬币D．8 枚硬币【分析】要求摆放硬币最多，我们画出相应的图形，如图，我们只要求得过P 对⊙O 做切线夹角即可由360°÷夹角度数，得这枚硬币周围最多可摆放个数．【解答】解：如图，⊙P，⊙O，⊙M 分别代表一枚硬币．它们相切，连接PO，PM，OM，则PO＝PM＝OM．∴∠OPM＝60°N 是OM 中点，连接PN．则PN⊥OM．∴PN 与⊙O，⊙M 相切，PN 是∠OPM 的平分线．∴∠OPN＝30°，即过P 作⊙O 的切线与PO 夹角为30°，所以过P 作⊙O 的两切线，则切线夹角为60 °即对应的⊙P 的圆心角为60°，∴⊙P 周围摆放圆的个数为＝6．故选：C．【点评】这道题考查了相切圆的性质，以及同学们灵活应用它们，想象能力．7．（4 分）圆锥的底面直径是8，母线长为12，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是（）A．60°B．120°C．150°D．180°【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，要求这个扇形的圆心角，已知母线长为12，即已知扇形的半径是12，只要求出扇形的弧长就可以根据S＝lR 求出扇形的面积，进而根据扇形面积公式求出圆心角．【解答】解：扇形的弧长l＝8π，则扇形的面积是S＝lR＝×8π×12＝48π，根据扇形的面积公式S＝得到：48π＝∴n＝120°．故选：B．【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．8．（4 分）如图，E，B，A，F 四点共线，点D 是正三角形ABC 的边AC 的中点，点P 是直线AB 上异于A，B 的一个动点，且满足∠CPD＝30°，则（）A．点P 一定在射线BE 上B．点P 一定在线段AB 上C．点P 可以在射线AF 上，也可以在线段AB 上D．点P 可以在射线BE 上，也可以在线段【分析】连接BD、PC、PD，如图，由等腰三角形的性质可得∠CBD＝30°，而∠CPD ＝30°，可得B、C、D、P 四点共圆，于是可得P 点的位置．【解答】解：连接BD、PC、PD，如图，∵△ABC 等边三角形，∴∠CBD＝30°，又∠CPD＝30°，∴∠CBD＝∠CPD，∴B、C、D、P 四点共圆，又∠BDC＝90°，∴点P 在以BC 为直径的圆上，∴点P 一定在线段AB上．故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理及等边三角形的性质；利用四点共圆是正确解答本题的关键．二、填空题（共4 小题，每小题4 分，满分16 分）9．（4 分）已知P 是⊙O 外一点，PA 切⊙O 于A，PB 切⊙O 于B．若PA＝6，则PB＝6 ．【分析】根据切线长定理知：PA＝PB，由此可求出PB 的长．【解答】解：∵PA、PB 都是⊙O 的切线，且A、B 是切点；∴PA＝PB，即PB＝6．【点评】此题考查的是切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等．10．（4 分）使有意义的x 的取值范围是 x＞．【分析】二次根式有意义，被开方数大于或等于0，分式有意义，分母不为0．【解答】解：∵有意义，∴2x ﹣1≥0又∵分式有意义，∴2x ﹣1≠0 ∴2x ﹣1＞0，解得 x ＞．【点评】本题考查了二次根式的意义和分式的意义．11．（4 分）如图，圆形转盘中，A ，B ，C 三个扇形区域的圆心角分别为 150°，120°和 90°．转动圆盘后，指针停止在任何位置的可能性都相同（若指针停在分界线上，则重新转动圆盘），则转动圆盘一次，指针停在 B 区域的概率是．【分析】求出 B 区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率．【解答】解：∵B 扇形区域的圆心角为 120°，所以 B 区域所占的面积比例为＝，即转动圆盘一次，指针停在 B 区域的概率是．故答案为．【点评】本题将概率的求解设置于转动转盘游戏中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．12．（4 分）（1）如图一，等边三角形 MNP 的边长为 1，线段 AB 的长为 4，点 M 与 A 重合，点 N 在线段 AB 上．△MNP 沿线段 AB 按 A →B 的方向滚动，直至△MNP 中有一个点与点 B 重合为止，则点 P 经过的路程为；（2）如图三，正方形 MNPQ 的边长为 1，正方形 ABCD 的边长为 2，点 M 与点 A 重合，点 N 在线段 AB 上，点 P 在正方形内部，正方形 MNPQ 沿正方形 ABCD 的边按 A→B →C →D →A →…的方向滚动，始终保持 M ，N ，P ，Q 四点在正方形内部或边界上，直至正方形 MNPQ 回到初始位置为止，则点 P 经过的最短路程为2π ．（注：以△MNP 为例，△MNP 沿线段AB 按A→B 的方向滚动指的是先以顶点N 为中心顺时针旋转，当顶点P 落在线段AB 上时，再以顶点P 为中心顺时针旋转，如此继续．多边形沿直线滚动与此类似．）【分析】（1）点P 经过的路程是两段弧，半径为1，圆心角为120°，根据l＝计算即可；（2）点P 经过的路程是四段弧，半径为1，圆心角为90°，根据l＝计算即可．【解答】解：（1）点P 经过的路程是：2×＝；（2）点P 经过的最短路程：4×＝2π．故答案为：π；2π．【点评】本题是旋转问题，考查了弧长的计算、正方形的性质和等边三角形的性质，要熟练掌握弧长公式：l＝．三、解答题（共13 小题，满分0 分）13．（5 分）计算：．【分析】先进行括号里面的运算，然后再进行乘法运算．【解答】解：原式＝，＝，＝6．【点评】本题考查二次根式的混合运算，那难度不大，注意二次根式的乘除法则．14．（5 分）某射击运动员在相同条件下的射击160 次，其成绩记录如下：的次数射中九0.75 0.83 0.80 0.79 0.79 0.79 0.81 环以上的频率（1）根据上表中的信息将两个空格的数据补全（射中9 环以上的次数为整数，频率精确到0.01）；（2）根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9 环以上”的概率（精确到0.1），并简述理由．【分析】根据频数的计算方法计算即可．【解答】解：（1）48，0.81；（2）P（射中9 环以上）＝0.8从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.8 附近，所以这名运动员射击一次时“射中9 环以上”的概率是0.8．【点评】本题比较容易，考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．15．（5 分）解方程：x2+x﹣1＝0．【分析】观察原方程，可用公式法进行求解，首先确定a，b，c，再判断方程的解是否存在，若存在代入公式即可求解．【解答】解：a＝1，b＝1，c＝﹣1，b2﹣4ac＝1+4＝5＞0，x＝；∴x1＝，x2＝．【点评】此题主要考查一元二次方程的解法，主要有：因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法等，要针对不同的题型选用合适的方法．16．（5 分）如图，在△ABC 中，AB 是⊙O 的直径，⊙O 与AC 交于点D，AB＝，∠B ＝60°，∠C＝75°，求∠BOD 的度数．【分析】先根据三角形内角和定理求出∠A 的度数，再由圆周角定理即可求解．【解答】解：在△ABC 中，∵∠B＝60°，∠C＝75°，∴∠A＝45°．∵AB 是⊙O 的直径，⊙O 与AC 交于点D，∴∠DOB＝2∠A＝90°．故答案为：90°．【点评】本题考查的是三角形内角和定理及圆周角定理，比较简单．17．（5 分）如图，正方形ABCD 中，点F 在边BC 上，E 在边BA 的延长线上．（1）若△DCF 按顺时针方向旋转后恰好与△DAE 重合．则旋转中心是点 D ；最少旋转了 90 度；（2）在（1）的条件下，若AE＝3，BF＝2，求四边形BFDE 的面积．【分析】（1）△DCF 按顺时针方向旋转后恰好与△DAE 重合，DA 与DC 重合，这旋转角为∠CDA＝90°，根据旋转的定义得到旋转中心是点D；最少旋转了90°；（2）根据旋转的性质得△DCF≌△DAE，得AE＝CF＝3，则BC＝BF+CF＝5，并且S＝S△AED+S 四边形ABFD＝S△DCF+S 四边形ABFD＝S 正方形ABCD，利用正方形的面四边形BFDE积公式即可得到四边形BFDE 的面积．【解答】解：（1）∵△DCF 按顺时针方向旋转后恰好与△DAE 重合，∴DA 与DC 重合，这旋转角为∠CDA＝90°，∴旋转中心是点D；最少旋转了90°；（2）∵△DCF 旋转后恰好与△DAE 重合，∴△DCF≌△DAE，∴AE＝CF＝3，又∵BF＝2，∴BC＝BF+CF＝5，∴S 四边形BFDE＝S△AED+S 四边形ABFD＝S△DCF+S 四边形ABFD＝S 正方形ABCD＝BC2＝25．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了三角形全等的性质以及正方形的性质．18．（5 分）随着人们节能意识的增强，节能产品的销售量逐年增加．某地区高效节能灯的年销售量2009 年为10 万只，预计2011 年将达到14.4 万只．求该地区2009 年到2011 年高效节能灯年销售量的平均增长率．【分析】求该地区2009 年到2011 年高效节能灯年销售量的平均增长率，我们可以首先假设出增长率为x，这样2010 年的销售量为10（1+x），2011 年的销售量是在2010 年的基础上再增长x，即10（1+x）×（1+x）＝10（1+x）2．【解答】解：设该地区2009 年到2011 年高效节能灯年销售量的平均增长率为x，依据题意，列出方程10（1+x）2＝14.4，化简整理，得：（1+x）2＝1.44，解这个方程，得1+x＝±1.2，∴x1＝0.2，x2＝﹣2.2，∵该地区2009 年到2011 年高效节能灯年销售量的平均增长率不能为负数．∴x＝﹣2.2 舍去．∴x＝0.2＝20%．答：该地区2009 年到2011 年高效节能灯年销售量的平均增长率为20%．【点评】此题主要考查了如何求增长率问题，实际生活中这样的问题较多，也是中考中的一个热点问题．19．（5 分）如图，在△ABC 中，∠C＝120°，AC＝BC，AB＝4，半圆的圆心O 在AB 上，且与AC，BC 分别相切于点D，E．（1）求半圆O 的半径；（2）求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接 OC ，OD ，OE ，根据切线的性质得到 OD ⊥AC ，在直角△AOD 中，用 30°角所对的直角边等于斜边的一半，可以求出半圆的半径．（2）先在直角△AOC 中求出 OC 的长，计算出△ABC 的面积，然后用三角形的面积减去半圆的面积得到阴影部分的面积．【解答】（1）解：连接 OD ，OC ，OE ， ∵半圆与 AC ，BC 分别相切于点 D ，E ． ∴OD ⊥AC ，OE ⊥BC ， ∴OD ＝OE ，∴OC 是∠ACB 的角平分线， ∵AC ＝BC ，∴CO ⊥AB 且 O 是 AB 的中点． ∴．∵∠C ＝120°，∴∠DCO ＝60°． ∴∠A ＝30°． ∴在 Rt △AOD 中，．即半圆的半径为 1．（2）设 CO ＝x ，则在 Rt △AOC 中，因为∠A ＝30°，所以 AC ＝2x ，由勾股定理得： AC 2﹣OC 2＝AO 2 即（2x ）2﹣x 2＝22．∵半圆的半径为 1，∴半圆的面积为，解得（舍去）∴∴．【点评】本题考查的是扇形面积的计算，（1）根据切线的性质得到直角三角形，在直角三角形中用30°角所对的直角边等于斜边的一半求出半圆的半径．（2）先计算出三角形的面积，再用三角形的面积减去半圆的面积得到阴影部分的面积．20．（5 分）如图，O 为正方形ABCD 对角线AC 上一点，以O 为圆心，OA 长为半径的⊙O 与BC 相切于点M．（1）求证：CD 与⊙O 相切；（2）若⊙O 的半径为1，求正方形ABCD 的边长．【分析】（1）过O 作ON⊥CD 于N，连接OM，由切线的性质可知，OM⊥BC，再由AC 是正方形ABCD 的对角线可知AC 是∠BCD 的平分线，由角平分线的性质可知OM＝ON，故CD 与⊙O 相切；（2）先根据正方形的性质得出△MOC 是等腰直角三角形，由勾股定理可求出OC 的长，进而可求出AC 的长，在Rt△ABC 中，利用勾股定理即可求出AB 的长．【解答】（1）证明：过O 作ON⊥CD 于N，连接OM，∵⊙O 与BC 相切于点M，∴OM⊥BC，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠B＝90°，AB∥CD∴AB∥OM∥DC，∵AC 为正方形ABCD 对角线，∴∠NOC＝∠NCO＝∠MOC＝∠MCO＝45°，∵OM＝ON，∴CD 与⊙O 相切；（2）解：由（1）易知△MOC 为等腰直角三角形，OM 为半径，∴OM＝MC＝1，∴OC2＝OM2+MC2＝1+1＝2，∴．∴，在Rt△ABC 中，AB＝BC，有AC2＝AB2+BC2，∴2AB2＝AC2，∴＝．故正方形ABCD 的边长为．【点评】本题考查的是正方形的性质及勾股定理、切线的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．21．（5 分）一个袋中有3 张形状大小完全相同的卡片，编号为1，2，3，先任取一张，将其编号记为m，再从剩下的两张中任取一张，将其编号记为n．（1）请用树状图或者列表法，表示事件发生的所有可能情况；（2）求关于x 的方程x2+mx+n＝0 有两个不相等实数根的概率．【分析】（1）2 步实验，第一步是3 种情况，第2 步是2 种情况，据此列举出所有情况即可；（2）找到使△＞0 的m，n 的组数占总情况数的多少即可．【解答】解：（1）依题意画出树状图（或列表）如下（2）当m2﹣4n＞0 时，关于x 的方程x2+mx+n＝0 有两个不相等实数根，而使得m2﹣4n＞0 的m，n 有2 组，即（3，1）和（3，2）．则关于x 的方程x2+mx+n＝0 有两个不相等实数根的概率是．∴P（有两个不等实根）＝．【点评】考查概率问题；找到关于x 的方程x2+mx+n＝0 有两个不相等实数根的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．22．（5 分）如图一，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，直线EF 和⊙O 相切于点C，AD⊥EF，垂足为D．（1）求证：∠CAD＝∠BAC；（2）如图二，若把直线EF 向上移动，使得EF 与⊙O 相交于G，C 两点（点C 在点G 的右侧），连接AC，AG，若题中其他条件不变，这时图中是否存在与∠CAD 相等的角？若存在，找出一个这样的角，并证明；若不存在，说明理由．【分析】（1）连接OC，根据切线的性质定理以及等角的余角相等即可证明；（2）构造直径所对的圆周角，根据等弧所对的圆周角相等以及等角的余角相等，发现∠BAC＝∠GAD，再根据等式的性质即可证明∠BAG＝∠DAC．【解答】（1）证明：如图一，连接OC，则OC⊥EF，且OC＝OA，易得∠OCA＝∠OAC．∵AD⊥EF，∴OC∥AD．∴∠OCA＝∠CAD，∴∠CAD＝∠OAC．即∠CAD＝∠BAC．（2）解：与∠CAD 相等的角是∠BAG．证明如下：如图二，连接BG．∵四边形ACGB 是⊙O 的内接四边形，∴∠ABG+∠ACG＝180°．∵D，C，G 共线，∴∠ACD+∠ACG＝180°．∴∠ACD＝∠ABG．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠BAG+∠ABG＝90°∵AD⊥EF∴∠CAD+∠ACD＝90°∴∠CAD＝∠BAG．【点评】此题运用了切线的性质定理、圆周角定理的推论．注意根据等角的余角相等是证明角相等的一种常用方法．23．（7 分）以坐标原点为圆心，1 为半径的圆分别交x，y 轴的正半轴于点A，B．（1）如图一，动点P 从点A 处出发，沿x 轴向右匀速运动，与此同时，动点Q 从点B处出发，沿圆周按顺时针方向匀速运动．若点Q 的运动速度比点P 的运动速度慢，经过1 秒后点P 运动到点（2，0），此时PQ 恰好是⊙O 的切线，连接OQ．求∠QOP 的大小；（2）若点Q 按照（1）中的方向和速度继续运动，点P 停留在点（2，0）处不动，求点Q 再经过5 秒后直线PQ 被⊙O 截得的弦长．【分析】（1）利用切线性质定理，以及OQ 与OP 之间的关系，可得出∠QOP 的度数（2）关键是求出Q 点的运动速度，利用垂径定理，勾股定理可以解决．【解答】解：（1）如图一，连接AQ．由题意可知：OQ＝OA＝1．∵OP＝2，∴A 为OP 的中点．∵PQ 与⊙O 相切于点Q，∴△OQP 为直角三角形．∴．即△OAQ 为等边三角形．∴∠QOP＝60°．（2）由（1）可知点Q 运动1 秒时经过的弧长所对的圆心角为30°，若Q 按照（1）中的方向和速度继续运动，那么再过5 秒，则Q 点落在⊙O 与y 轴负半轴的交点处（如图二）．设直线PQ 与⊙O 的另外一个交点为D，过O 作OC⊥QD 于点C，则C 为QD 的中点．∵∠QOP＝90°，OQ＝1，OP＝2，∴QP＝．∵ ， ∴OC ＝＝．．∵OC ⊥QD ，OQ ＝1，OC ＝，∴QC ＝＝．∴QD ＝【点评】此题主要考查了圆中动点问题，以及切线的性质定理．勾股定理，综合性较强，题目比较新颖．24．（7 分）已知关于 x 的方程有实根．（1）求 a 的值；（2）若关于 x 的方程 mx 2+（1﹣m ）x ﹣a ＝0 的所有根均为整数，求整数 m 的值．【分析】（1）根据一元二次方程的定义及根的判别式求 a 的值；（2）利用（1）的结果，将关于 x 的方程 mx 2+（1﹣m ）x ﹣a ＝0 转化为方程 mx 2+（1﹣ m ）x ﹣1＝0，然后分类讨论：二次项系数的取值分两种情况：当 m ＝0 和 m ≠0 时的两种情况．【解答】解：（1）∵关于 x 的方程为一元二次方程，且有实根．故满足：整理得解得a＝1（2）∵mx2+（1﹣m）x﹣1＝0，∴（mx+1）（x﹣1）＝0；①当m≠0 时，∴x1＝﹣，x2＝1，∴整数m 的值为1 或﹣1；②当m＝0 时，x＝1；综上所述，整数m 的值是1、﹣1 或0．【点评】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系25．（8 分）如图一，在△ABC 中，分别以AB，AC 为直径在△ABC 外作半圆O1 和半圆O2，其中O1 和O2 分别为两个半圆的圆心．F 是边BC 的中点，点D 和点E 分别为两个半圆圆弧的中点．（1）连接O1F，O1D，DF，O2F，O2E，EF，证明：△DO1F≌△FO2E；（2）如图二，过点A 分别作半圆O1 和半圆O2 的切线，交BD 的延长线和CE 的延长线于点P 和点Q，连接PQ，若∠ACB＝90°，DB＝5，CE＝3，求线段PQ 的长；（3）如图三，过点A 作半圆O2 的切线，交CE 的延长线于点Q，过点Q 作直线FA 的垂线，交BD 的延长线于点P，连接PA．证明：PA 是半圆O1 的切线．【分析】（1）利用中位线定理可得∠BO1F＝∠CO2F，进而可得∠DO1F＝∠FO2E，易得O1F＝AO2＝O2E，O2F＝AO1＝O1D，可得：△DO1F≌△FO2E；（2）易得△ACE 和△ACQ，△ABD，△APD 均为等腰直角三角形，那么可得AB，AC 的长，利用勾股定理可得BC 的长，利用顶点A 及AB 边构造和△PAQ 全等的三角形AGB，利用勾股定理求得BG 的长即为PQ 的长；（3）需证∠6+∠8＝90°，那么证明∠5+∠7＝90°即可；利用四点共圆的性质可得△DBR≌△DAM，进而可得∠5＝∠9，即可求证．【解答】（1）证明：如图一，∵O1，O2，F 分别是AB，AC，BC 边的中点，∴O1F∥AC 且O1F＝AO2，O2F∥AB 且O2F＝AO1，∴∠BO1F＝∠BAC，∠CO2F＝∠BAC，∴∠BO1F＝∠CO2F∵点D 和点E 分别为两个半圆圆弧的中点，∴O1F＝AO2＝O2E，O2F＝AO1＝O1D，∠BO1D＝90°，∠CO2E＝90°，∴∠BO1D＝∠CO2E．∴∠DO1F＝∠FO2E．∴△DO1F≌△FO2E；（2）解：如图二，延长CA 至G，使AG＝AQ，连接BG、AE．∵点E 是半圆O2 圆弧的中点，∴AE＝CE＝3∵AC 为直径∴∠AEC＝90°，∴∠ACE＝∠EAC＝45°，AC＝＝，∵AQ 是半圆O2 的切线，∴CA⊥AQ，∴∠CAQ＝90°，∴∠ACE＝∠AQE＝45°，∠GAQ＝90°，∴AQ＝AC＝AG＝，同理：∠BAP＝90°，AB＝AP＝，∴CG＝，∠GAB＝∠QAP，∴△AQP≌△AGB．∴PQ＝BG，∵∠ACB＝90°，∴BC＝＝，∴BG＝＝，∴PQ＝；（3）如图三，设直线FA 与PQ 的垂足为M，过C 作CS⊥MF 于S，过B 作BR⊥MF 于R，连接DR、AD、DM．∵F 是BC 边的中点，∴S△ABF＝S△ACF．∴BR＝CS，由（2）已证∠CAQ＝90°，AC＝AQ，∴∠2+∠3＝90°∵FM⊥PQ，∴∠2+∠1＝90°，∴∠1＝∠3，同理：∠2＝∠4，∴△AMQ≌△CSA，∴AM＝CS，∴AM＝BR，同（2）可证AD＝BD，∠ADB＝∠ADP＝90°，∴∠ADB＝∠ARB＝90°，∠ADP＝∠AMP＝90°∴A、D、B、R 四点在以AB 为直径的圆上，A、D、P、M 四点在以AP 为直径的圆上，且∠DBR+∠DAR＝180°，∴∠5＝∠8，∠6＝∠7，∵∠DAM+∠DAR＝180°，∴∠DBR＝∠DAM∴△DBR≌△DAM，∴∠5＝∠9，∴∠RDM＝90°，∴∠5+∠7＝90°，∴∠6+∠8＝90°，∴∠PAB＝90°，∴PA⊥AB，又AB 是半圆O1 直径，∴PA 是半圆O1 的切线．【点评】综合考查了圆与全等的有关知识；利用中位线定理及构造三角形全等，利用全等的性质解决相关问题是解决本题的关键．。

2010-2011学年北京市海淀区七年级(上)期末数学试卷

2010-2011学年北京市海淀区七年级（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）﹣9的相反数是（）A．9B．﹣9C．D．﹣2．（3分）下列各式正确的是（）A．﹣4＞5B．﹣7＜﹣8C．|﹣8|＜0D．﹣2＜03．（3分）2010年11月举办国际花卉博览会，其间展出约320000株新鲜花卉、珍贵盆景、罕见植株，320000这个数用科学记数法表示，结果正确的是（）A．0.32×106B．3.2×104C．3.2×105D．32×104 4．（3分）如图，把弯曲的河道改直，能够缩短航程．这样做根据的道理是（）A．两点之间，直线最短B．两点确定一条直线C．两点之间，线段最短D．两点确定一条线段5．（3分）若是关于x的方程3x﹣a=0的解，则a的值为（）A．5B．C．﹣5D．6．（3分）如图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的左视图是（）A．B．C．D．7．（3分）下列运算正确的是（）A．x+y=xy B．5x2y﹣4x2y=x2yC．x2+3x3=4x5D．5x3﹣2x3=38．（3分）如图，下列说法中不正确的是（）A．直线AC经过点AB．射线DE与直线AC有公共点C．点D在直线AC上D．直线AC与线段BD相交于点A9．（3分）若∠α与∠β互为余角，∠β是∠α的2倍，则∠α为（）A．20°B．30°C．40°D．60°10．（3分）在寻找北极星的探究活动中，天文小组的李佳同学使用了如图所示的半圆仪，则下列四个角中，最可能和∠AOB互补的角为（）A．B．C．D．11．（3分）如图，数轴上的点A所表示的数为k，化简|k|+|1﹣k|的结果为（）A．1B．2k﹣1C．2k+1D．1﹣2k 12．（3分）已知m、n为两个不相等的有理数，根据流程图中的程序，当输出数值y为48时，所输入的m、n中较大的数为（）A．48B．24C．16D．8二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）13．（3分）方程2x2﹣6x=9的一次项系数是．14．（3分）有理数5.614精确到百分位的近似数为．15．（3分）计算：42°48′+36°25′=．16．（3分）若有理数a、b满足|a+6|+（b﹣4）2=0，则a+b的值为．17．（3分）如图，将一副三角板的直角顶点重合，可得∠1=∠2，理由是等角（或同角）的；若∠3=50°，则∠COB=°．18．（3分）若使用竖式做有理数加法运算的过程如图所示，则代数式z﹣y的值为．19．（3分）如图，在每个“〇”中填入一个整数，使得其中任意四个相邻“〇”中所填整数之和都相等，可得d的值为．20．（3分）如图，是一个没有完全剪开的正方体，若再剪开一条棱，则得到的平面展开图可能是下列六种图中的．（填写字母）三、解答题（共7小题，满分40分）21．（8分）计算：（1）；（2）+（﹣1）21．22．（6分）解方程：．23．（7分）先化简，再求值：2（3x2+y）﹣（2x2﹣y），其中x=，y=﹣1．24．（5分）列方程解应用题．把一批图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本，如果每人分4本，则还缺25本．这个班有多少名学生？25．（4分）魔术师为大家表演魔术．他请观众想一个数，然后将这个数按以下步骤操作：魔术师立刻说出观众想的那个数．（1）如果小明想的数是﹣1，那么他告诉魔术师的结果应该是；（2）如果小聪想了一个数并告诉魔术师结果为93，那么魔术师立刻说出小聪想的那个数是；（3）观众又进行了几次尝试，魔术师都能立刻说出他们想的那个数，请你说出其中的奥妙．26．（4分）阅读：在用尺规作线段AB等于线段a时，小明的具体作法如下：已知：如图，线段a求作：线段AB，使得线段AB=a．作法：①作射线AM；②在射线AM上截取AB=a．∴线段AB为所求．解决下列问题：已知：如图，线段b．（1）请你仿照小明的作法，在上图中的射线AM上作线段BD，使得BD=b；（不要求写作法和结论，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，取AD的中点E．若AB=5，BD=3，求线段BE的长．（要求：第（2）问重新画图解答）27．（6分）小知识：如图，我们称两臂长度相等（即CA=CB）的圆规为等臂圆规．当等臂圆规的两脚摆放在一条直线上时，若张角∠ACB=x°，则底角∠CAB=∠CBA=（90﹣）°．请运用上述知识解决问题：如图，n个相同规格的等臂圆规的两脚依次摆放在同一条直线上，其张角度数变化如下：∠A1C1A2=160°，∠A2C2A3=80°，∠A3C3A4=40°，∠A4C4A5=20°，…（1）①由题意可得∠A1A2C1=°；②若A2M平分∠A3A2C1，则∠MA2C2=°；（2）∠A nA n C n=°（用含n的代数式表示）；+1（3）当n≥3时，设∠A nA n C n﹣1的度数为a，∠A n+1A n C n﹣1的角平分线A n N与A n C n﹣1构成的角的度数为β，那么a与β之间的等量关系是，请说明理由．（提示：可以借助下面的局部示意图）2010-2011学年北京市海淀区七年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）﹣9的相反数是（）A．9B．﹣9C．D．﹣【分析】理解相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．【解答】解：根据相反数的定义，得﹣9的相反数是9．故选：A．【点评】求一个数的相反数，即在这个数的前面加负号．2．（3分）下列各式正确的是（）A．﹣4＞5B．﹣7＜﹣8C．|﹣8|＜0D．﹣2＜0【分析】先根据绝对值的性质把|﹣8|化为8的形式，再根据有理数大小比较的法则进行比较．【解答】解：A、∵﹣4＜0，5＞0，∴﹣4＜5，故本选项错误；B、∵﹣7＜0，﹣8＜0，|﹣7|=7＜|﹣8|=8，∴﹣7＞﹣8，故本选项错误；C、|﹣8|=8＞0，故本选项错误；D、∵﹣2是负数，∴﹣2＜0，故本选项正确．故选：D．【点评】本题考查的是有理数比较大小的法则，即正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小．3．（3分）2010年11月举办国际花卉博览会，其间展出约320000株新鲜花卉、珍贵盆景、罕见植株，320000这个数用科学记数法表示，结果正确的是（）A．0.32×106B．3.2×104C．3.2×105D．32×104【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将320000用科学记数法表示为3.2×105．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）如图，把弯曲的河道改直，能够缩短航程．这样做根据的道理是（）A．两点之间，直线最短B．两点确定一条直线C．两点之间，线段最短D．两点确定一条线段【分析】此题为数学知识的应用，由题意弯曲的河道改直，肯定为了尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理．【解答】解：因为两点之间线段最短，把弯曲的河道改直，能够缩短航程．故选：C．【点评】此题为数学知识的应用，考查知识点两点之间线段最短．5．（3分）若是关于x的方程3x﹣a=0的解，则a的值为（）A．5B．C．﹣5D．【分析】根据方程的解的定义，把方程中的未知数x换成，再解关于a的一元一次方程即可．【解答】解：根据题意将代入得：5﹣a=0，解得：a=5．故选：A．【点评】本题考查方程解的含义，方程的解，就是能使等式成立的未知数的值．6．（3分）如图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的左视图是（）A．B．C．D．【分析】找到从左面看所得到的图形即可．【解答】解：从物体左面看，左边2列，右边是1列．故选A．【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项．7．（3分）下列运算正确的是（）A．x+y=xy B．5x2y﹣4x2y=x2yC．x2+3x3=4x5D．5x3﹣2x3=3【分析】利用合并同类项的法则；把系数相加作为结果的系数，字母及其指数完全不变，首先找出同类项，再进行合并同类项，找出计算正确．【解答】解：A、x与y不是同类项不能合并，故A选项错误；B、5x2y﹣4x2y=（5﹣4）x2y=x2y，故B选项正确，C、x2+3x3不是同类项不能合并，故C选项错误；D、5x3﹣2x3=（5﹣2）x3=3x3，故D选项错误．故选：B．【点评】此题主要考查了整式的运算中合并同类项的性质，注意正确把握合并同类项的法则．8．（3分）如图，下列说法中不正确的是（）A．直线AC经过点AB．射线DE与直线AC有公共点C．点D在直线AC上D．直线AC与线段BD相交于点A【分析】根据直线、线段、射线的定义，然后逐项进行判断即可选出答案．【解答】解：A、直线AC经过点A，正确，B、射线DE与直线AC有公共点，DE可延E点延长，AC可延C点延长，相交后有公共点，故正确，C、点D在线段BD和线DE上，不在直线AC上，故错误，D、直线AC与线段BD相交于点A正确，故选：C．【点评】本题主要考查了直线、线段、射线的定义，须仔细分析，比较简单．9．（3分）若∠α与∠β互为余角，∠β是∠α的2倍，则∠α为（）A．20°B．30°C．40°D．60°【分析】先用∠α表示出这个角的余角∠β为（90°﹣α），再根据∠β是∠α的2倍列方程求解．【解答】解：根据题意列方程的：90°﹣α=2α；解得：α=30°．故选：B．【点评】本题主要考查余角的概念，若两个角的和为90°，则这两个角互余．10．（3分）在寻找北极星的探究活动中，天文小组的李佳同学使用了如图所示的半圆仪，则下列四个角中，最可能和∠AOB互补的角为（）A．B．C．D．【分析】本题考查角互补的概念：和为180度的两个角互为补角．【解答】解：观察图形，由角互补的概念可知最可能和∠AOB互补的角为C．故选：C．【点评】此题属于基础题，较简单，结合半圆仪考查互为补角的两个角的和为180度．11．（3分）如图，数轴上的点A所表示的数为k，化简|k|+|1﹣k|的结果为（）A．1B．2k﹣1C．2k+1D．1﹣2k【分析】由数轴可知：k＞1，所以可知：k＞0，1﹣k＜0．计算绝对值再化简即可．【解答】解：由数轴可知：k＞1，∴k＞0，1﹣k＜0．∴|k|+|1﹣k|=k﹣1+k=2k﹣1．故选：B．【点评】此题主要考查了绝对值的定义，即正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值还是0．除此之外还考查了数轴的概念和整式的加减．12．（3分）已知m、n为两个不相等的有理数，根据流程图中的程序，当输出数值y为48时，所输入的m、n中较大的数为（）A．48B．24C．16D．8【分析】观察流程图中的程序知，输入的m、n的值分两种情况：①当m＞n时，x=m﹣n；②当m＜n时，x=n﹣m；然后将x代入y=x+m+n求值．【解答】解：根据题意，知①当m＞n时，x=m﹣n，y=x+m+n，=m﹣n+m+n，=2m，∵输出数值y为48，∴2m=48，解得m=24；②当m＜n时，x=n﹣m，y=x+m+n，=n﹣m+m+n，=2n，∵输出数值y为48，∴2n=48，解得n=24；综合①②，符合条件是数是24；故选：B．【点评】本题考查了代数式的求值．解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）13．（3分）方程2x2﹣6x=9的一次项系数是﹣6．．【分析】一元二次方程的一般式：ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数），b叫一次项系数．把方程移项即可．【解答】解：移项得，2x2﹣6x﹣9=0，因此方程2x2﹣6x﹣9=0的一次项系数为﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查了一元二次方程的一般式：ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）．ax2叫二次项，a叫二次项系数；bx叫一次项，b叫一次项系数；c叫常数项．14．（3分）有理数5.614精确到百分位的近似数为 5.61．【分析】要精确到百分位，看看那个数字在百分位上，然后看看能不能四舍五入．【解答】解：5.614可看到1在百分位上，后面的4不能进．所以有理数5.614精确到百分位的近似数为5.61．故答案为：5.61．【点评】本题考查精确度，精确到哪一位，即对下一位的数字进行四舍五入．15．（3分）计算：42°48′+36°25′=79°13′．【分析】根据角的加法运算，直接将度分秒相应位置上的数相加，再按满60进一的原则，向前进位即可．【解答】解：42°48′+36°25′=78°73′=79°13′，故答案为79°13′．【点评】本题是进行度、分、秒的加法计算，相对比较简单，注意以60为进制以及运算顺序．16．（3分）若有理数a、b满足|a+6|+（b﹣4）2=0，则a+b的值为﹣2．【分析】根据|a+6|+（b﹣4）2=0可知a+6=0，b﹣4=0，故可求出a、b的值，再求出a+b的值即可．【解答】解：∵|a+6|+（b﹣4）2=0，∴a+6=0，b﹣4=0，∴a=﹣6，b=4，∴a+b=﹣6+4=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查的是非负数的性质，即几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．17．（3分）如图，将一副三角板的直角顶点重合，可得∠1=∠2，理由是等角（或同角）的余角相等；若∠3=50°，则∠COB=130°．【分析】根据等角（或同角）的余角相等即可发现：∠1=∠2．要求∠COB的度数，结合图形发现角之间的和差的关系，显然即是两个直角的和减去∠3的度数．【解答】解：（1）．∵∠3+∠1=90°=∠3+∠2，∴∠1=∠2（余角的性质）；（2）∵∠COB=∠1+∠2+∠3，=（∠1+∠3）+（∠2+∠3）﹣∠3，=90°+90°﹣50°，=130°．故答案为：余角相等，130°．【点评】考查了余角的概念，等角的余角相等这一性质；能够根据图形正确表示角之间的和差的关系．18．（3分）若使用竖式做有理数加法运算的过程如图所示，则代数式z﹣y的值为20．【分析】利用图形可以得出x+y+7+4+5=32，x+7+z+4+5=52，再结合实际问题，要求代数式z﹣y的值，所以我们应该出现z﹣y的形式，当前面两式相减时能出现这种形式，所以可以求出答案．【解答】解：由图形可以得出x+y+7+4+5=32，x+7+z+4+5=52，∵x+y+7+4+5=32，∴x+y=16；∵x+7+z+4+5=52，∴x+z=36，∴x+z﹣（x+y）=36﹣16=20，∴z﹣y=20；故答案为：20．【点评】此题主要考查了数的规律性问题，由图表得出x+y=16；x+z=36，由求z ﹣y的值，得出x+z与x+y相减即可得出，这种思想属于整体换元求法，在学习中经常用到．19．（3分）如图，在每个“〇”中填入一个整数，使得其中任意四个相邻“〇”中所填整数之和都相等，可得d的值为8．【分析】由题意得a+8+b﹣5=8+b﹣5+c=b﹣5+c+d=﹣5+c+d+4，然后转化成方程组的形式，求得d的值即可．【解答】解：∵a+8+b﹣5=8+b﹣5+c=b﹣5+c+d=﹣5+c+d+4，∴a+8+b﹣5=8+b﹣5+c①，8+b﹣5+c=b﹣5+c+d②，b﹣5+c+d=﹣5+c+d+4③，∴a﹣5=c﹣5，8+c=c+d，b﹣5=﹣5+4，∴b=4，d=8，a=c，故答案为8．【点评】本题是一道找规律的题目，考查了有理数的加法和方程组的思想，是中档题难度不大．20．（3分）如图，是一个没有完全剪开的正方体，若再剪开一条棱，则得到的平面展开图可能是下列六种图中的A、B、E．（填写字母）【分析】根据平面图形的折叠及正方体的展开图解题，注意分两种情况剪开【解答】解：沿后面下面剪开可得E，沿后面右面剪开可得A，沿下面右面剪开可得B．故答案为：A、B、E．【点评】本题考查了正方体的表面展开图．正方体共有11种表面展开图，注意分情况讨论．三、解答题（共7小题，满分40分）21．（8分）计算：（1）；（2）+（﹣1）21．【分析】按照有理数混合运算的顺序，先乘除后加减，有括号的先算括号里面的，计算过程中注意正负符号的变化．【解答】解：（1）解法一：原式=，=﹣12﹣16+20，=﹣8．解法二：原式=，=﹣8．（2）原式=，=2﹣1，=1．【点评】本题考查的是有理数的运算能力，要正确掌握运算顺序，在混合运算中要特别注意运算顺序：先三级，后二级，再一级；有括号的先算括号里面的；同级运算按从左到右的顺序．22．（6分）解方程：．【分析】此题只需先去分母，化为整式方程后再求出未知数的解即可．【解答】解：方程两边同时乘以6，得：3（1﹣x）=2（4x﹣1）﹣6，去括号得：3﹣3x=8x﹣2﹣6，移项得：8x+3x=3+2+6，合并同类项得：11x=11，系数化为1，得：x=1．【点评】本题考查了一元一次方程的解法，比较简单，同学们要好好掌握．23．（7分）先化简，再求值：2（3x2+y）﹣（2x2﹣y），其中x=，y=﹣1．【分析】做题时，注意按题目的要求：先化简再代入求值，化简时先去括号，合并同类项，计算时注意符号的处理．【解答】解：原式=6x2+2y﹣2x2+y=4x2+3y．当，y=﹣1时，原式===1+（﹣3）=﹣2．【点评】本题考查了整式的加减﹣化简求值；做题时要注意题目的要求，注意格式及符号的处理．24．（5分）列方程解应用题．把一批图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本，如果每人分4本，则还缺25本．这个班有多少名学生？【分析】可设有x名学生，根据总本数相等和每人分3本，剩余20本，每人分4本，缺25本可列出方程，求解即可．【解答】解：设有x名学生，根据书的总量相等可得：3x+20=4x﹣25，解得：x=45（名）．答：这个班有45名学生．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目中书的总量相等的等量关系列出方程，再求解．25．（4分）魔术师为大家表演魔术．他请观众想一个数，然后将这个数按以下步骤操作：魔术师立刻说出观众想的那个数．（1）如果小明想的数是﹣1，那么他告诉魔术师的结果应该是4；（2）如果小聪想了一个数并告诉魔术师结果为93，那么魔术师立刻说出小聪想的那个数是88；（3）观众又进行了几次尝试，魔术师都能立刻说出他们想的那个数，请你说出其中的奥妙．【分析】（1）利用已知条件，这个数按步骤操作，直接代入即可；（2）假设这个数，根据运算步骤，求出结果等于93，得出一元一次方程，即可求出；（3）结合（2）中方程，关键是发现运算步骤的规律．【解答】解：（1）（﹣1×3﹣6）÷3+7=4；故填：4；（2）设这个数为x，（3x﹣6）÷3+7=93；解得：x=88；（3）设观众想的数为a．．因此，魔术师只要将最终结果减去5，就能得到观众想的数了．【点评】此题主要考查了数的运算，以及运算步骤的规律性，题目比较新颖．26．（4分）阅读：在用尺规作线段AB等于线段a时，小明的具体作法如下：已知：如图，线段a求作：线段AB，使得线段AB=a．作法：①作射线AM；②在射线AM上截取AB=a．∴线段AB为所求．解决下列问题：已知：如图，线段b．（1）请你仿照小明的作法，在上图中的射线AM上作线段BD，使得BD=b；（不要求写作法和结论，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，取AD的中点E．若AB=5，BD=3，求线段BE的长．（要求：第（2）问重新画图解答）【分析】（1）在射线BM上截取线段BD，则BD′=b或BD=b即为所求；（2）由于点D与线段AB的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①点D在线段AB的延长线上，则BE=AB﹣AE=1；②点D在线段AB的延长线上，则BE=AB﹣AE=4．【解答】解：（1）（点D和点D′各1分）（2）∵E为线段AD的中点，∴．如图1，点D在线段AB的延长线上．∵AB=5，BD=3，∴AD=AB+BD=8．∴AE=4．∴BE=AB﹣AE=1．如图2，点D在线段AB上．∵AB=5，BD=3，∴AD=AB﹣BD=2．∴AE=1．∴BE=AB﹣AE=4．综上所述，BE的长为1或4．故答案为：1或4．【点评】本题考查的是两点间的距离，解答此类题目时要注意线段之间的和差关系及分类讨论的思想．27．（6分）小知识：如图，我们称两臂长度相等（即CA=CB）的圆规为等臂圆规．当等臂圆规的两脚摆放在一条直线上时，若张角∠ACB=x°，则底角∠CAB=∠CBA=（90﹣）°．请运用上述知识解决问题：如图，n个相同规格的等臂圆规的两脚依次摆放在同一条直线上，其张角度数变化如下：∠A1C1A2=160°，∠A2C2A3=80°，∠A3C3A4=40°，∠A4C4A5=20°，…（1）①由题意可得∠A1A2C1=10°；②若A2M平分∠A3A2C1，则∠MA2C2=35°；A n C n=°（用含n的代数式表示）；（2）∠A n+1（3）当n≥3时，设∠A nA n C n﹣1的度数为a，∠A n+1A n C n﹣1的角平分线A n N与A n C n﹣1构成的角的度数为β，那么a与β之间的等量关系是α﹣β=45°，请说明理由．（提示：可以借助下面的局部示意图）【分析】利用角的和差关系计算，注意利用等腰三角形的性质．【解答】解：（1）①10；②35；A n C n是△A n+1A n C n的底角，顶角是：=°，则（2）∠A n+1A n C n=°；（注：写成的不扣分，丢掉括号的不扣分））∠A n+1（3）α﹣β=45°；理由：不妨设∠C n=k．﹣1根据题意可知，．在△A n A n﹣1C n﹣1中，由小知识可知∠A n﹣1A n C n﹣1=A n C n﹣1=180°﹣α=．．∴∠A n+1在△A nA n C n中，由小知识可知∠A n+1A n C n=．+1∵A n N平分∠A n+1A n C n﹣1，A n C n﹣1=．∴∠1=∠A n+1A n C n=∠1+∠C n A n N，∵∠A n+1∴=．∴=45°+β．∴α=45°+β．∴α﹣β=45°．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等．。