人教版八年级数学上乘法公式应用举例
八年级上册数学乘法公式
八年级上册数学乘法公式一、乘法公式的基本内容。
（一）平方差公式。
1. 公式内容。
- (a + b)(a - b)=a^2-b^2。
2. 公式的几何解释（以人教版教材为例）- 我们可以通过一个边长为a的大正方形，在其中一角去掉一个边长为b的小正方形来理解。
- 大正方形的面积是a^2，小正方形的面积是b^2。
- 剩下的图形可以看作是一个长为(a + b)，宽为(a - b)的长方形，其面积为(a +b)(a - b)，所以(a + b)(a - b)=a^2-b^2。
3. 公式的应用示例。
- 例1：计算(3x+2y)(3x - 2y)。
- 解：这里a = 3x，b=2y，根据平方差公式(a + b)(a - b)=a^2-b^2，可得(3x+2y)(3x - 2y)=(3x)^2-(2y)^2=9x^2-4y^2。
- 例2：计算( - 5m+4n)( - 5m - 4n)。
- 解：a=-5m，b = 4n，则( - 5m+4n)( - 5m - 4n)=(-5m)^2-(4n)^2=25m^2-16n^2。
（二）完全平方公式。
1. 公式内容。
- (a + b)^2=a^2+2ab + b^2；(a - b)^2=a^2-2ab + b^2。
2. 公式的几何解释（人教版）- 对于(a + b)^2，可以看作边长为(a + b)的正方形的面积。
- 这个正方形的面积可以分成四部分：边长为a的正方形面积a^2，两个长为a宽为b的长方形面积2ab，边长为b的正方形面积b^2，所以(a + b)^2=a^2+2ab +b^2。
- 对于(a - b)^2，可以看作边长为a的正方形去掉两个长为a宽为b的长方形（这两个长方形有一个边长为b的公共部分）后再加上边长为b的正方形的面积，即(a - b)^2=a^2-2ab + b^2。
3. 公式的应用示例。
- 例1：计算(2x+3y)^2。
- 解：这里a = 2x，b = 3y，根据(a + b)^2=a^2+2ab + b^2，可得(2x+3y)^2=(2x)^2+2×(2x)×(3y)+(3y)^2=4x^2+12xy + 9y^2。
最新人教版初中八年级上册数学【第十四章 14.2乘法公式 运用乘法公式计算】教学课件
谢谢
(1) (2x + y + z) (2x – y – z) 解：原式 =[ 2x + ( y + z ) ] [ 2x – ( y + z ) ]
= (2x)2– (y + z)2 =4x2 –(y2+2yz+z2) =4x2 – y2–2yz–z2 =4x2 – y2–z2–2yz.
当堂练习
(2) (a + 2b – 1) 2 解：原式=[a + (2b – 1) ]2
ab
4.(x－2y－3)(x+2y－3). 解：原式=[(x－3)－2y] [(x－3)+2y].
例题讲解
例2 . 运用乘法公式计算:
(a + b +c ) 2.
解：原式 = [ (a+b) +c ]2
温馨提示：将(a+b)看作一个整体， 解题中渗透整体的思想.
= (a+b)2 +2 (a+b)c +c2
2.判断下列计算过程是否正确，若错误请把正 确答案修改在下面.
( 3a +2b－c ) 2 解：原式 = [ (3a + 2b )－c ]2 应该运用完全平方公式
= ( 3a + 2b )2 －c2 这是平方差 = 9a2 +12ab + 4b2－c2. 判断：错误.
易错点：混淆两个乘法公式而出错．
2.(2y－3)2= 4y2－12y + 9 .
温馨提示：将(2y – 3)看作一个整 体，解题中渗透整体的思想.
思考
一、去括号法则是什么？
14.2 乘法公式 课件 人教版数学八年级上册
(－3y－4x)(3y－4x)＝(－4x－3y)(－4x＋3y) ＝(－4x)2－(3y)2＝16x2－9y2.
知1－练
感悟新知
知1－练
1－1. 下列各式中，可以用平方差公式进行计算的是( B ) A. (a－1)(1－a) B. (－a＋2)(－a－2) C. (a＋2)(2＋a) D. (a－b)(－a＋b)
知2－练
(1)1022；
解：原式＝(100＋2)2＝10 000＋400＋4＝10 404；
(2)99.82；
原式＝(100－0.2)2＝10 000－40＋0.04＝9 960.04；
2
(3)
60
1 60
.
原式＝60＋6102＝3
600＋2＋3
6100＝3
6023
1 600.
感悟新知
知识点 3 添括号
为2 023.
2 022×2 024－2 0232＝(2 023－1)×(2 023＋1)－2 0232
＝2 0232－12－2 0232＝－1.
感悟新知
2－1. 运用平方差公式进行简便计算：
知1－练
(1)9.8×10.2；
解：原式＝(10－0.2)×(10＋0.2)＝；
(2)(－4a＋5b)2；
知2－练
括号不能漏掉.
(－4a＋5b)2 ＝(5b－4a)2 ＝(5b)2－2·(5b)·(4a)＋(4a)2 ＝25b2－40ab＋16a2；
不 能 漏 掉 “ 2ab” 项 且 符 号 与完全平方中的符号一致.
感悟新知
(3)(－2m－n)2；
知2－练
解：(－2m－n)2 ＝(2m＋n)2
感悟新知
知3－讲
特别解读 1. 添括号只是一个变形，不改变式子的值. 2. 添括号时，如果括号前面是负号，括号里的各项都要改
【精品讲义】人教版 八年级上册数学 乘法公式与因数分解 知识点讲解+练习题
讲 义(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2 ③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2 ⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m )=x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2)=x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2)=x 4-y 4 1、计算下列各式：(1)[(x ＋y)3]4 ； (2) (a 4n )n －1 ；(3) (－a 3)2＋(－a 2)3－(－a 2)·(－a)4 ；(4) x 3·x 2·x 4＋(－x 4)2＋4(－x 2)4例. 计算：()()53532222x y x y +-(二)、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。
例. 计算：()()()()111124-+++a a a a例. 计算：()()57857822a b c a b c +---+例.（1）已知a b ab -==45，，求a b 22+的值。
(2) 已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
(3) 已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
(4) 已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。
求x 2-z 2的值。
例：计算19992-2000×1998 例.已知13x x-=，求441x x +的值。
人教版数学八年级上册14.2乘法公式
添括号法则
• 注意：
• 添括号和去括号都不改变原式的值 • 添括号时，如果括号前面是负号，括号里
面的每一项都要变号，不只是第一项
动手做一做
在等号右边的括号里面填上适当的项，并 用去括号方法检验。
a+b−c=a+( b−c ) a−b+c=a−( b−c ) a−b−c=a−( b+c ) a+b+c=a+( b+c )
一个三项式的平方，可以添括号把其中两项看成 一个整体，然后利用完全平方公式计算。
学完本节课你应该知道
• 整式的加减运算和乘除运算，化简时应遵循先乘方、 再乘除、最后加减的顺序。
• 化简整式时，合理使用公式可以简化运算。 • 连续增长两次的表示方法：a(1−x%)2。 • 添括号法则及其应用：
a+b+c=a+(b+c) a−b−c=a−(b+c)
1. 通过逆向思考去括号法则，思考出填括号 法则，并能根据这一法则改写多项式。
2. 掌握整式的化简的运算顺序，综合运用之 前所学法则和乘法公式，完成整式的化简。
3. 能用完全平方公式解决连续增长率问题。
复习和回顾
利用完全平方公式计算下列各题
(−m−2n)2=
m2+4mn+4n2
(4x−3y)2 =
若在实际问题中用到整式的化简，则必须 注意各个字母的实际意义。
动手做一做
计算：(x+y)(−x+y)(x2−y2)
解：原式=(x+y)(−x+y)(x2−y2)
=(y2−x2)(x2−y2) =−(x2−y2)2
按运算顺序， 依次用公式
人教版初中数学八年级上册14.2乘法公式优秀教学案例示例
（一）知识与技能
1.学生能够掌握完全平方公式、平方差公式的概念及推导过程。
2.学生能够运用乘法公式解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.学生了解乘法公式的应用范围，熟练运用公式进行计算和证明。
（二）过程与方法
1.引导学生通过观察、分析、归纳、推理等方法发现乘法公式的规律。
2.培养学生运用数学符号表示乘法公式，提高符号表达能力。
4.课堂练习：设计具有梯度的练习题，巩固乘法公式的运用。
5.总结提升：引导学生总结乘法公式的运用规律，提高解题能力。
6.课后作业：布置适量作业，巩固所学知识，提高应用能力。
五、教学评价
1.学生对乘法公式的掌握程度，包括公式记忆、理解与应用。
2.学生在解决问题时的创新能力，能否灵活运用乘法公式。
3.学生合作交流的能力，以及在团队协作中发挥的作用。
2.学生尝试解答：让学生独立思考，尝试运用已学知识解决问题。
3.教师引导：总结学生解答过程中存在的问题，引出本节课要学习的内容——乘法公式。
（二）讲授新知
1.介绍完全平方公式、平方差公式的概念及推导过程。
2.举例说明：通过具体例题，展示乘法公式的应用。
3.公式总结：引导学生总结乘法公式的特点，明确其适用范围。
3.学生合作交流的能力，以及在团队协作中发挥的作用。
五、教学反思
本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学质量。同时，关注学生的个体差异，针对不同学生制定合适的辅导措施，确保每一位学生都能在数学学习中取得进步。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.创设生活情境：以商场打折促销为背景，引导学生关注乘法公式在实际问题中的应用。如：某商品原价为200元，现进行8折优惠，求优惠后的价格。
人教版八年级数学上册 14.2 乘法公式 课件
第（3）题（ − − ）2 = [−( + )]2 = ( + )2 ,
应选择“和”的完全平方公式计算，即（ − − ）2 = [−( + )]2 = ( + （ + 1）（ − 1） =
（2）（ + 2）2 =
（3）（ − 1）2 = （ − 1）( − 1) =
（4）（ − 2）2 =
教学新知
上面的几个运算都是形如( ∓ )2 的多项式相乘，由于
【结论】也就是说，两
(a b)2 (a b)(a b) a 2 ab ab b 2 a 2 2ab b 2
y 2 22 y 2 4 y 5
y 4 y 4 y 5 4 y 1;
(2) 102 98 (100 2)(100 2)
2
2
100 2 10000 4 9996.
2
2
教学新知
探究2： 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
2 + 2 ; 第（4）题中的 − 2 − 3 = −（2 + 3），原式可变形为 −
（2 + 3）2 ，选择“和”的完全平方公式计算，即（2 + 3）（ − 2 − 3） =
− （2 + 3）2 = −（4 2 + 12 + 9） = −4 2 − 12 − 9.
知识梳理
(4) (2a +3b) (2a -3b) ; (5) (-2a -3b) (2a -3b); (6) (2a +3b) (-2a -3b).
人教版八年级数学上册第6讲第2课时技巧训练乘法公式解题的六种常用技巧
期末提分练案 6．已知(6x－3y)2＝(4x－3y)2，xy≠0，求xy的值．
解：由题意得(6x－3y)2－(4x－3y)2＝0， [(6x－3y)＋(4x－3y)][(6x－3y)－(4x－3y)]＝0， (10x－6y)·2x＝0， 20x2－12xy＝0， 20x2＝12xy. 因为 xy≠0，所以 x≠0. 所以xy＝53.
期末提分练案
7．计算：(1)1992； 解：原式＝(200－1)2＝2002－400＋12＝40 000－400＋1＝39 601 (2)982－101×99. 解：原式＝(100－2)2－(100＋1)×(100－1)＝1002－400＋4 －1002＋1＝－395.
期末提分练案
8．已知 x＋y＝3，xy＝－7，求下列各式的值： (1)x2＋y2； 解：x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝32－2×(－7)＝9＋14＝23
人教版 八年级上
期末提分练案
第6讲 乘法公式与因式分解
第2课时 技巧训练
乘法公式解题的六种常用技巧
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1 见习题
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答案显示
期末提分练案 1．(2018·江西)计算：(a＋1)(a－1)－(a－2)2. 解：原式＝a2－1－(a2－4a＋4)＝a2－1－a2＋4a－4＝4a－5.
(2)(3m－4n)(3m＋4n)(9m2＋16n2)． 解：原式＝(9m2－16n2)(9m2＋16n2)＝81m4－256n4.
期末提分练案
5．计算：(a2－b2)2－(a2＋b2)2； 解：原式＝[(a2－b2)＋(a2＋b2)][(a2－b2)－(a2＋b2)] ＝2a2·(－2b2)＝－4a2b2.
14.2.乘法公式 课件 人教版数学八年级上册
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去） 它们的积的2倍。
探究
你能根据图1和图2中的面积说明完全平方公式吗?
b
a
a
b
图1
b a
b a 图2
例题
(4m+n)2
(x-2y)2
练习
1022
992
扩展----贾宪三角
中国的数学发展到宋元时期，终于走到了它的高峰。在这个数学创 新的黄金时期中，各种数学成果层出不穷，令人目不暇接。其中特 别引人注目的，当首推北宋数学家贾宪创制的“贾宪三角”了。
其解法与现代通常使用的“霍纳法”（由英国数学家霍纳于1819年给 出）基本一致，但比霍纳法要早了五百多年。从贾宪到秦九韶逐步 发展完备起来的高次方程数值解法，是中国数学在宋元时期的一项 杰出的创造。
小结
1. 计算(x-y)(-y-x)的结果是（ ） A.-x2+y2 B. -x2-y2 C. x2-y2 D. x2+y2
观察上述算式，你能发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么 规律？
平方差公式
(a+b)(a－ b)=a2－ ab+ab－ b2= a2－ b2.
即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 平方差公式的逆用： a2－b2 = (a+b)(a－b)
证明
请从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形，如图1，拼
贾宪最著名的数学成就，是他创制了 一幅数字图式，即“开方作法本源图” 。 这幅图现见于杨辉的书中，但杨辉在 引用了这幅图后特意说明：“贾宪用此 术”。所以过去我国数学界把这幅图称 为“杨辉三角”，实际上是不妥当的， 应该称为“贾宪三角”才最为恰当。
人教版初中数学八年级上册14.2乘法公式(教案)示例
此外，我发现学生们在解决具体问题时，对于何时使用平方差公式和立方和差公式还不够自信。这可能是因为他们在公式选择和应用上缺乏足够的练习。因此，我计划在下一节课中增加更多针对性的练习，特别是那些涉及公式选择和综合应用的题目。
2.培养学生的数学运算能力，使学生能够熟练运用乘法公式进行简便计算，解决实际问题，增强数学运算的准确性。
3.培养学生的空间想象力和抽象思维能力，通过乘法公式的学习，引导学生从具体实例中提炼出数学规律，提升对数学概念的理解。
4.培养学生的团队协作和交流表达能力，课堂上鼓励学生进行小组讨论，分享乘法公式的发现与应用，提高学生的沟通能力。
-灵活运用乘法公式：学生在解决问题时，可能难以判断何时使用哪个乘法公式，需要通过大量练习和讲解，让学生掌握乘法公式的应用场景。
-识别并分解问题中的乘法结构：学生在面对复杂问题时，可能难以识别其中的乘法结构，需要教师指导如何分解问题，找到适用的乘法公式。
举例：
-难点突破：通过展开(a+b)²和(a-b)²，让学生观察并发现完全平方公式的规律，理解平方差公式的来源。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了乘法公式的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对乘法公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
在小组讨论环节，我观察到学生们在讨论乘法公式在日常生活中的应用时，能够提出一些很有创意的想法。这表明他们能够将学到的知识应用到实际问题中。然而，我也发现有些小组在讨论时，成员之间的交流并不充分，导致部分学生的参与度不高。在未来的教学中，我需要更加注重引导学生之间的互动，确保每个学生都能积极参与讨论。
人教版八年级数学课件-乘法公式
去括弧法則： 去括弧時，如果括弧前是正號，去掉括弧後，
括弧裏各項不變號；如果括弧前是負號，去掉括 弧後，括弧裏的各項都變號.也Βιβλιοθήκη 是說，遇“加”不變，遇“減”都變．
*
∵4+5+2與4+（5+2）的值相等；4-5-2與4-（5+2） 的值相等．所以可以寫出下列兩個等式：
（1）4+5+2=4+（5+2） （2）4-5-2=4-（5+2）
(1) ( x +2y-3) (x- 2y +3) ; (2) (a + b +c ) 2.
解: (1) ( x +2y-3) (x- 2y +3)
= [ x+ (2y – 3 )] [ x- (2y-3) ] = x2- (2y- 3)2 = x2- ( 4y2-12y+9) = x2-4y2+12y-9. (2)(a + b +c ) 2
左邊沒括弧，右邊有括弧，也就是添了括弧， 同 學們可不可以總結出添括弧法則來呢？ 添括弧其實就是把去括弧反過來，所以添括弧法則是：
添括弧時，如果括弧前面是正號，括到括弧裏的各項 都不變符號； 如果括弧前面是負號，括到括弧裏的各 項都改變符號．
也是：遇“加”不變，遇“減”都變． *
例5 運用乘法公式計算:
2、我體會到了轉化思想的重要作用， 學數學 其實是不斷地利用轉化得到新知識，比如由繁 到簡的轉化，由難到易的轉化，由已知解決未 知的轉化等等
同學們總結得很好．在今後的學習中希望大家 繼續勇敢探索，一定會有更多發現
*
= [ (a+b) +c ]2 = (a+b)2 +2 (a+b)c +c2 = a2+2ab +b2 +2ac +2bc +c2 = a2+b2+c2 +2ab+2bc +2ac.
14.2乘法公式的综合运用课件八年级数学人教版上册
例题讲解
例 求代数式的值：
(1)已知a+b=2，a2− b2=6，求a− b的值； 解： ∵a 2−b 2=6，(a +b)(a−b ) =a 2−b 2，
∴(a+b)(a−b)=6， 又∵a+b=2， ∴a−b=3；
初中数学
初中数学
例题讲解
例 求代数式的值：
(2) 已知x−y=6，xy=−8，求x2＋y2的值.
当x=3，y=−2时， 原式= 6xy+18y2
= 6×3×(−2)+18×(−2)2
=36.
初中数学
例题讲解
例 求代数式的值： (1)已知a+b=2，a2− b2=6，求a− b的值； (2)已知x−y=6，xy=−8，求x2＋y2的值.
初中数学
例题讲解
例 求代数式的值： (1)已知a+b=2，a2− b2=6，求a− b的值；
=x2−(y−1)2 =x2−(y2−2y+1)
=x2−y2+2y−1．
初中数学
例题讲解
例 运用乘法公式计算：
(1) (x+y+1)(x+y−1); (2) (x+y−1)(x−y+1)．
=[(x+y)+1][(x+y)−1] =[x+(y−1)][x−(y−1)]
两个三项式相乘
添括号法则
乘法公式： (a+b)(a−b) =a2−b2；
分析： x−y , xy
x2＋y2
(x−y)2=x2−2xy+y2
x2+y2= (x−y)2+2xy
初中数学
例题讲解
例 求代数式的值： (2) 已知x−y=6，xy=−8，求x2＋y2的值. 解： ∵ ( x − y ) 2= x 2− 2 x y + y 2，
数学人教版八年级上册第14章第二节乘法公式(教案)
一、教学内容
本节课为人教版八年级上册第14章第二节乘法公式。教学内容主要包括以下两个方面：
1.完全平方公式：a² = (a+b)² = a² + 2ab + b²，以及(a-b)² = a² - 2ab + b²。通过实际例题，让学生掌握完全平方公式的应用，并能解决相关问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调完全平方公式和平方差公式这两个重点。对于难点部分，如公式的推导和应用，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与乘法公式相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如计算长方形和正方形的面积，演示乘法公式的基本原理。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解乘法公式的基本概念。乘法公式包括完全平方公式和平方差公式，它们可以帮助我们简化计算过程。这些公式在数学运算中具有重要意义。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过计算(3x+4y)²和(3x-4y)²，展示完全平方公式在实际中的应用，以及如何帮助我们解决问题。
2.培养学生通过观察、分析、归纳发现数学规律，增强逻辑思维和推理能力。
3.培养学生将乘法公式应用于解决实际问题，提高数学应用意识和解决实际问题的能力。
4.培养学生合作交流、探讨问题的习惯，发展团队协作能力和表达能力。
5.培养学生对数学美的鉴赏能力，激发学习兴趣，提高学习积极性。
三、教学难点与重点
1.教学重点
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《乘法公式》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算两个数的和与差的乘积的情况？”（如购物时计算找零）这个问题与我们将要学习的乘法公式密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索乘法公式的奥秘。
八年级数学上册 乘法公式 人教版
先将式子进行变形，再 利用平方差公式计算
解: （1）原式=(2 016+1)×(2 016-1)-2 0162
=2 0162-1-2 0162= -1.
（2）原式=
2
1
1 2
1
1 2
1
1 22
1
1 24
1
1 28
解: （1）原式=4(a2-2ab+b2)-[(2a)2-b2] =(4a2-8ab+4b2)-(4a2-b2)=5b2-8ab.
（2）原式=[(3x-y)-(2x+y)]2=(x-2y)2=x2-4xy+4y2.
方法点拨： 在计算前应先仔细观察式子的特点，如果出现平方
差公式的形式或完全平方公式的形式，那么就可以利用 公式进行计算，特别注意的是一定要将结果化成最简形 式.
例13 (湖北武汉中考)运用乘法公式计算(x+3)2的结果是
=40 000-800+4=39 204.
添括号的法则
例3 计算：（1）(x-2y+3z)(x+2y-3z) ;（2）(a+b-c)2.
解:（1）(x-2y+3z)(x+2y-3z)=[x-(2y-3z)][x+(2y-3z)] =x2-(2y-3z)2 =x2-(4y2-12yz+9z2) =x2-4y2+12yz-9z2.
（2）(a+b-c)2=[a+(b-c)]2 =a2+2a(b-c)+(b-c)2 =a2+2ab-2ac+b2-2bc+c2.
人教版八年级数学上册第十四章 专题训练 乘法公式的灵活应用
专题训练 乘法公式的灵活应用► 类型一 变形乘法公式巧求式子的值1．阅读：已知a ＋b ＝－4，ab ＝3，求a 2＋b 2的值．解：∵a ＋b ＝－4，ab ＝3，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝(－4)2－2×3＝10.已知a ＋b ＝6，ab ＝2，请你根据上述解题思路求下列各式的值．(1)a 2＋b 2；(2)(a －b )2；(3)a 2－ab ＋b 2.2．我们知道完全平方公式(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2.两式相加得(a ＋b )2＋(a －b )2＝2a 2＋2b 2，即a 2＋b 2＝12[(a ＋b )2＋(a －b )2]；两式相减得(a ＋b )2－(a －b )2＝4ab ，即ab ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]． 请利用以上性质完成下列问题：已知(x ＋y )2＝6，(x －y )2＝2，试求：(1)x 2＋y 2的值；(2)xy 的值．3．阅读下列解题过程：已知x ≠0，且满足x 2－3x ＝1，求x 2＋1x 2的值． 解：∵x 2－3x ＝1，∴x 2－3x －1＝0.又∵x ≠0，∴x －3－1x ＝0，即x －1x＝3. ∴x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋2＝32＋2＝11. 请根据上述解题思路解答下列问题：若a 2－5a －1＝0，且a ≠0，求a 2＋1a 2的值．► 类型二 巧用乘法公式简便计算4．利用乘法公式简便计算：(1)－992；(2)20192－2018×2020；(3)20817×19917.► 类型三 巧用乘法公式化简求值5．数学课上老师出了一道题：计算2962的值．喜欢数学的小亮举手回答这道题，他的解题过程如下：2962＝(300－4)2(第一步)＝3002－2×300×(－4)＋42(第二步)＝90000＋2400＋16(第三步)＝92416.(第四步)老师表扬小亮积极发言的同时，也指出了他解题过程中的错误．(1)你认为小亮的解题过程中，从第几步开始出错？(2)请你写出正确的解题过程．6．2018·江西 计算：(a ＋1)(a －1)－(a －2)2.7．先化简，再求值：(2a ＋b )(2a －b )－(3a －b )2＋6a (a －b )，其中a ＝37，b ＝1.►类型四逆用乘法公式8．观察下列等式：1×32×5＋4＝72＝(12＋4×1＋2)22×42×6＋4＝142＝(22＋4×2＋2)23×52×7＋4＝232＝(32＋4×3＋2)24×62×8＋4＝342＝(42＋4×4＋2)2…(1)根据你发现的规律，求12×142×16＋4是哪一个正整数的平方；(2)请把n(n＋2)2(n＋4)＋4(n是正整数)写成一个正整数的平方的形式．9．2018·武汉市江汉区校级月考阅读材料：若m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，求m，n的值．解：∵m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，∴(m2－2mn＋n2)＋(n2－8n＋16)＝0.∴(m－n)2＋(n－4)2＝0.∵(m－n)2≥0，(n－4)2≥0，∴(m－n)2＝0，(n－4)2＝0.∴n＝4，m＝4.根据你的观察，探究下面的问题：(1)已知x2＋2xy＋2y2＋2y＋1＝0，求2x＋y的值；(2)已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2＋b2－12a－16b＋100＝0，求△ABC的最大边长c的值．►类型五乘法公式与图形面积10．解放街幼儿园有一个游戏场和一个葡萄园，其所占地的形状都是正方形，面积也相同．后来重新改建，扩大了游戏场，缩小了葡萄园，扩大后的游戏场地仍为正方形，边长比原来增加了3米，缩小后的葡萄园也为正方形，边长比原来减少了2米，设它们原来的边长为x米，请求出扩大后的游戏场地比缩小后的葡萄园的面积多多少平方米，并计算当x＝12时式子的值．11．如图1①所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形(a＞b)，如图②所示是由图①中的阴影部分拼成的一个长方形．(1)设图①中阴影部分的面积为S1，图②中阴影部分的面积为S2，请直接用含a，b的式子表示S1，S2；(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式；(3)试利用这个公式计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1.图1详解详析1．解：(1)∵a ＋b ＝6，ab ＝2，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝62－2×2＝32.(2)∵a 2＋b 2＝32，ab ＝2，∴(a －b )2＝a 2＋b 2－2ab ＝32－4＝28.(3)∵a 2＋b 2＝32，ab ＝2，∴a 2－ab ＋b 2＝a 2＋b 2－ab ＝32－2＝30.2．解：(1)x 2＋y 2＝12[(x ＋y )2＋(x －y )2]＝12×(6＋2)＝4. (2)xy ＝14[(x ＋y )2－(x －y )2]＝14×(6－2)＝1. 3．解：∵a 2－5a －1＝0且a ≠0，∴a －5－1a ＝0，即a －1a＝5. ∴a 2＋1a 2＝(a －1a)2＋2＝52＋2＝27. 4．解：(1)原式＝－(100－1)2＝－(10000－200＋1)＝－10000＋199＝－9801.(2)原式＝20192－(2019－1)(2019＋1)＝20192－(20192－12)＝20192－20192＋1＝1.(3)20817×19917＝(20＋817)×(20－817)＝202－(817)2＝400－64289＝399225289. 5．解：(1)从第二步开始出错．(2)正确的解题过程如下：2962＝(300－4)2＝3002－2×300×4＋42＝90000－2400＋16＝87616.6．解：原式＝a 2－12－(a －2)2＝a 2－1－(a 2－4a ＋4)＝a 2－1－a 2＋4a －4＝4a －5.7．解：原式＝4a 2－b 2－9a 2＋6ab －b 2＋6a 2－6ab ＝a 2－2b 2.当a ＝37，b ＝1时，原式＝949－2＝－14049. 8．解：(1)由题意，可得12×142×16＋4＝(122＋4×12＋2)2＝1942，所以12×142×16＋4是194的平方．(2)n (n ＋2)2(n ＋4)＋4＝(n 2＋4n ＋2)2(n 是正整数)．9．解：(1)∵x 2＋2xy ＋2y 2＋2y ＋1＝0，∴(x 2＋2xy ＋y 2)＋(y 2＋2y ＋1)＝0.∴(x ＋y )2＋(y ＋1)2＝0.∵(x ＋y )2≥0，(y ＋1)2≥0，∴(x ＋y )2＝0，(y ＋1)2＝0.∴y ＝－1，x ＝1.∴2x ＋y ＝2－1＝1.(2)∵a 2＋b 2－12a －16b ＋100＝0，∴(a 2－12a ＋36)＋(b 2－16b ＋64)＝0.∴(a －6)2＋(b －8)2＝0.∵(a －6)2≥0，(b －8)2≥0，∴(a －6)2＝0，(b －8)2＝0.∴a ＝6，b ＝8.∴8－6＜c ＜8＋6，即2＜c ＜14.又∵c ≥8，c 为正整数，∴8≤c ＜14，且c 为整数．∴△ABC 的最大边长 c 的值可能是8，9，10，11，12，13.10．解：(x ＋3)2－(x －2)2＝(x 2＋6x ＋9)－(x 2－4x ＋4)＝x 2＋6x ＋9－x 2＋4x －4＝(10x ＋5)米2.即扩大后的游戏场地比缩小后的葡萄园的面积多(10x ＋5)平方米．当x ＝12时，原式＝10×12＋5＝125.11．解：(1)S1＝a2－b2，S2＝(a＋b)(a－b)．(2)(a＋b)(a－b)＝a2－b2.(3)原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1 ＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1＝(24－1)(24＋1)(28＋1)＋1＝(28－1)(28＋1)＋1＝(216－1)＋1＝216.。
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乘法公式·要点全析
1．平方差公式（formula for the difference of squares ）
（1）表达式：（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2．
（2）语言叙述：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
（3）注意事项：
①运用公式要抓住公式的结构特征，左边是两个数的和与这两个数的差相乘，右边正好是这两个数的平方差，对于形如两数和与这两数差相乘，就可运用上述公式计算．
②公式中的字母可表示具体的数，也可表示单项式或多项式，只要符合公式的结构特征，就可运用该公式．
③在运用公式时，要求分清哪个数相当于公式中的a ，哪个数相当于公式中的b ，按公式的结构相乘．
例如：①（m ＋4）（m －4）＝
②（2a 2＋3b ）（2a 2－3b ）＝．
③（－43xy 3－32x 3）（43
xy 3－32x 3）
＝
2．完全平方公式（formula for the square of the sum ）
（1）字母表达式：
（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2，（a －b ）2＝a 2－2ab ＋b 2．
可合写为（a ±b ）2＝a 2±2ab ＋b 2．
（2）语言叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．右面可说为：“首平方，尾平方，首尾之积的2倍加减在中央”．
（3）注意事项：
①对于形如两数和（或差）的平方运算，可运用完全平方公式计算．利用公式计算时，首先确定将哪个数或式看作a ，将哪个看作b ，再按公式结构展开． ②这两个公式，是据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的． ③公式中的a 、b 可表示具体的一个数或其他的一个代数式． ④可推广：如（a ＋b ＋c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ．
（a ＋b ＋c ＋d ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋2ab ＋2ac ＋2ad ＋2bc ＋2bd ＋2cd ．……
3．平方差公式的灵活运用
有些式子在计算时，不能直接利用平方差公式，需要稍加变形或变式后，才能使用．常用的方法有如下几种：
（1）调换位置．
如：（1＋2a ）（－2a ＋1）＝（1＋2a ）（1－2a ）＝1－4a 2．
（2）提取－1或其他公因式．
如：（－a －b ）（a －b ）＝
又如：（6x ＋2y ）（3x －4y
）＝
（3）分组．
如：（a－b＋c－d）（a＋b－c－d）
＝
（4）运用积的乘方变形．
如：（a－b）2 （a＋b）2
＝
（5）将乘式同时乘以并且同时除以一个适当的因式．
如：（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）
＝
…
又如：（1－m）（1＋m2）（1＋m4）（m≠－1）
＝
（6）把一个因式适当变形．
如：3（22＋1）（24＋1）（28＋1）
＝
（7）将因式多项式拆项或添项．
如：（a－b）（a＋2b）
＝
4．完全平方公式的灵活运用
a2＋b2＝（a＋b）2－2ab，
a2＋b2＝（a－b）2＋2ab，
（a＋b）2＋（a－b）2＝2（a2＋b2），
（a＋b）2－（a－b）2＝4ab．
（1）恒等式a2＋b2＝（a＋b）2－2ab和a2＋b2＝（a－b）2＋2ab的应用．在此恒等式中，有三个量a2＋b2、（a＋b）2或（a－b）2、ab，若已知任意两个，则可求第三个，求得（a＋b）2或（a－b）2，也就求得a＋b或a－b．例如：①若a2＋b2＝3，ab＝1，可求（a＋b）2．
②若a－b＝3，ab＝4，则可求a2＋b2．
（2）恒等式（a＋b）2＋（a－b）2＝2（a2＋b2）的应用．
在恒等式（a＋b）2＋（a－b）2＝2（a2＋b2）中，有三个量a＋b、a－b、a2＋b2，若已知两个量，就可求第三个量．
例如：已知a－b＝－1，a2＋b2＝5．求a＋b．
解：
（3）恒等式（a＋b）2－（a－b）2＝4ab的应用．
在此等式中，有三个量a＋b，a－b，ab．若知任两个量，可求第三个量．例如：已知a－b＝1，ab＝2，求a＋b．
解：
（4）利用完全平方公式，求平方数．
如：152＝ 232＝
672＝．
79.22＝
（5）完全平方数是非负数．
任何一个完全平方数M都能化为n2的形式，即M＝n2，由偶次幂的性质得n2≥0．当n＝0时，n2的最小值是0，并且n2具有非负数的性质，即若n个非负数的和为0，则这几个非负数就同时为0．
因此，（a±b）2≥0．当a±b＝0时，（a±b）2的最小值为0．
例如：①已知（x＋y－1）2＋（x－2）2＝0，则x＝_______，y＝___________．解：
例如：②已知，a、b为自然数，且a＋b＝2，求ab的最大值及a、b的值．解：
5．完全平方公式的逆运用，即a2±2ab＋b2＝（a±b）2
把一个形如a2±2ab＋b2的二次三项式化为（a±b）2的形式，然后运用（a ±b）2的性质求解问题．
例如：已知x2＋4x＋y2－2y＋5＝0，求x、y的值．
解：
再如：已知a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，则a、b、c的关系为_______．
解：
也可以运用公式a2±2ab＋b2＝（a±b）2把一类二次三项式直接化为（a±b）2的形式．如4x2－4xy＋y2＝（2x）2－2×2x×y＋y2＝（2x－y）2．
6．完全平方式
因为a2±2ab＋b2能化成（a±b）2的形式，所以，形如a2±2ab＋b2的式子叫做完全平方式，其中a、b表示代数式．
例如：①已知x2＋4x＋k是完全平方式，求常数k的值．
解：
②已知x 2＋2kx ＋4是完全平方式，求常数k 的值．
解：
思考题；已知x 2＋M ＋4是一个完全平方式，求代数式M （提示：①当M 为常数项时；②当M 为乘积项，即“一次项式”时；③当M 为“二次项式”时．并分析在三种情况下，M 的值有多少个．）
注意：完全平方数是完全平方式的特例．
总之，完全平方公式，应用广泛，灵活，具有丰富的方法和技巧．
7．平方差公式可变形后运用
（1）可变形为a 2＝（a ＋b ）（a －b ）＋b 2，可快速求两位数的平方． 如：352＝（35＋5）（35－5）＋52＝1 225．
972＝（97＋3）（97－3）＋32＝100×94＋9＝9 409．
（2）在（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2中，有三个多项式，若已知任意两个的值，即可求第三个的值．
如：已知a ＋b ＝3，a 2－b 2＝4，则a －b ＝--------
．
（3）对公式（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2的逆运用，即利用公式a 2－b 2＝（a ＋b ）（a －b ）求解问题．（其实（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2和a 2－b 2＝（a ＋b ）（a －b ）都是平方差公式）
如：①x 2－4＝
②1－4a 2b 2＝
③（a ＋b ）2－（a －b ）2＝
④（1－221）（1－231）（1－241）…（1－2101
）
＝。