高三总复习讲义——集合、逻辑、推理与证明

集合、逻辑、推理与证明

南京市金陵中学张松年编写

一、考试说明要求：

二、应知应会知识和方法：

1．(1)已知集合S＝{1，2，3}，集合T＝{2，3，4，5}，则S∩T＝___________．

解：{2，3}．

(2)已知全集U＝R，集合A＝{x｜－2≤x≤3}，B＝{x｜x＜－1，或x＞4}，则集合A∪(∁U B)＝______________．

解：{x｜－2≤x≤4}，或写成[－2，4]．

(3)设集合M＝{m∈Z｜－3＜m＜2}，N＝{n∈Z｜－1≤n≤3}，则M∩N＝_________．解：{－1，0，1}．

(4)若集合A＝{x｜x≤2}，B＝{x｜x≥a}满足A∩B＝{2}，则实数a＝________．

解：2．

说明：考察集合的交、并、补运算．

2．(1)对于集合A，B，定义“A－B”的含义是：A－B＝{x｜x∈A，且x∈／B}．若A＝{x｜

－2＜x≤4}，B＝{x｜x≤1}，则集合A－B＝____________．

解：{x｜1＜x≤4}，或写成(－1，4]．

(2)设P，Q是两个非空集合，定义：P×Q＝{(a，b)｜a∈P，b∈Q}．若P＝{3，4}，Q＝{4，5，6，7}，则集合P×Q中的元素的个数为_________．

解：8．

(3)定义集合运算：A※B＝{z｜z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1，2}，B＝{0，3}，则集合A ※B中所有元素之和为___________．

解：9．

说明：考察新定义类型集合的运算．

3．(1)已知命题：“若x≥0，y≥0，则xy≥0”，则原命题，逆命题，否命题，逆否命题这四个命题中，正确的有_____个．

解：2，分别为原命题和逆否命题．

(2)命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题为_____________．

解：“若a≤b，则2a≤2b－1”．

(3)下列命题：①每一个二次函数的图象都开口向上；②对于任意非正数c，若a≤b，则a ≤b＋c；③存在一条直线与两个相交平面都垂直；④存在一个实数x，使不等式x2－3x＋6＜0成立．其中既是全称命题又是真命题的有____________．

解：②．

(4)命题“存在实数x，使x2－x＋1＝0”的否定为_____________．

解：“对任意实数x，满足x2－x＋1≠0”．

说明：考察命题的四种形式及其之间的关系；和全称性命题，存在性命题的否定形式．

4．(1)已知：p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q 的__________条件．(填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”) 解：充分不必要．

(2)设集合M＝{x｜0＜x≤3}，N＝{x｜0＜x≤2}，则“a∈M”是“a∈N”的_________条件．(填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”)

解：必要不充分．

(3)设M，N都是非空集合，若M N，则“a∈M或a∈N”是“a∈(M∩N)”的__________

条件．(填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”) 解：必要不充分．

(4)“方程ax 2＋by 2＝1表示椭圆”是“a ＞0，b ＞0”的___________条件．(填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”) 解：充分不必要．

(5)直线l 1：x ＋(m ＋3)y －2＝0，与直线l 2：mx ＋2y ＋8＝0互相垂直的充要条件为________． 解：m ＝－2．

说明：考察充分必要条件，及多知识点的综合运用能力．

5．(1)用反证法证明命题：“a ，b Z ，若ab 为奇数，则a ，b 全为奇数”时，应假设__________________． 解：“若a ，b 不全为奇数”．

(2)若△ABC 能剖分为两个与其自身相似的三角形，则此三角形必为_______三角形．(填“锐角”，“直角”，“钝角”) 解：直角．

说明：使用反证法证明时，应准确的做出反设(否定结论)；能利用反证法思想解决问题．

6．(1)下列推理：

正确的序号是 ． 解：④．

(2)对于平面几何中的命题：“夹在两条平行直线间的平行线段长度相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到_______________________________，这个类比命题为____命题．(填“真”，“假”)

解：“夹在两个平行平面间的平行线段长度相等”，真．

说明：熟悉演绎推理、类比推理的一般模式，并能判断推理的正误．

① 指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)是增函数， y ＝2x 是指数函数，

y ＝2x

是增函数． ② 二次函数y ＝ax 2(a ≠0)是偶函数，

y ＝(x ＋1)2是二次函数，

y ＝(x ＋1)2

是偶函数．

④ 对数函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的图象都过点(1，0)，

y ＝lg x 是对数函数，

y ＝lg x 的图象都过点(1，0)．

③ 减函数y ＝kx ＋b (k ＜0)是一次函数，

y ＝2x ＋1是一次函数， y ＝2x ＋1是减函数．

7．(1)32＞3＋12＋1，43＞4＋13＋1，54＞5＋14＋1，… ，由此可以得到的一个结论是 ．

解：

n ＋1n ＞n ＋1＋1

n ＋1

(n ≥2，且n ∈N*)． (2)数列{a n }中，a 1＝1，对任意n N*，a n ＋1＝2a n

2＋a n

，依次计算a 2，a 3，a 4后，归纳出a n 的通项公式为 ． 解：

2

n ＋1

． (3)有一正方体，六个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6，有三个人从不同的角度观察的

结果如图所示，如果记3的对面的数字为m ，4的对面的数字为n ，那么m ＋n 的值为________． 解：8．

(4)根据右图中5个图形及其相应点的个数变化规律，

试猜想第n 个图中有________个点． 解：n 2

－n ＋1．

说明：能灵活的使用类比、归纳及演绎推理解决简单问题．