〖全国通用-名师推荐〗2018最新高考总复习数学(理)高考模拟训练试题及答案解析一
【新课改-全国通用】2018最新高考总复习数学(理)高考模拟仿真试题及答案解析二
2018届高三模拟考试数学理试题答案一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}1|||{〈=x x A ，|{x B =x 31log ＜0},则B A ⋂是A ．∅B ．（－1，1）C ．)21,0( D ．(0,1)【知识点】集合的运算【答案解析】A 解析：}1|{<=x x A {}11<<-=x x ，|{x B =x 31log ＜0}{}1>=x x ，所以B A ⋂=∅故选：A【思路点拨】解出不等式1<x 和0log 31<x 的解集，利用B A ⋂的定义即可解得结果。
2．若bi i ai -=+1)21(，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则=+||bi aA ．i +21 B ．5C ．25 D ．45 【知识点】复数相等的充要条件；复数的模【答案解析】C 由已知得：bi i a -=+-12，所以1,21-=-=b a ，则i bi a --=+21， 所以=+||bi a 2545)1()21(2122==-+-=--i ， 故选：C【思路点拨】把给出的等式左边化简，整理后运用复数相等的充要条件求得a 和b 的值，然后利用求模公式计算．3．已知实数,x y 满足11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =--1的最大值为A ．5B ．4C ．12D ． 3- 【知识点】简单的线性规划【答案解析】B 解析：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，如图：其中A （-1，-1），B （2，-1），C （21，21） 2z x y =--1可变形为：12--=z x y ，表示斜率为2，在y 轴上截距为1--z 的一组平行线，将直线l ：z=2x-y 进行平移，当直线经过点B 时，目标函数z 达到最大值 ， 所以41)1(22max =---⨯=z ，故选：B【思路点拨】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC 及其内部，再将目标函数z=2x-y-1对应的直线进行平移，可得当x=2，y=-1时，z 取得最大值。
【全国通用-2018高考推荐】最新高考总复习数学(理)一轮复习模拟试题及答案解析
2018年高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）复数z=（2﹣i）2在复平面内对应的点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：利用复数的运算、几何意义即可得出．【解析】：解：复数z=（2﹣i）2=3﹣4i在复平面内对应的点（3，﹣4）所在的象限是第四象限．故选：D．【点评】：本题考查了复数的运算、几何意义，属于基础题．2．（5分）已知双曲线离心率是，那么b等于（）A．1 B．2 C．D．【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：由双曲线离心率是，可得a=2，c=，即可求出b的值．【解析】：解：∵双曲线双曲线离心率是，∴a=2，c=，∴b==1，故选：A．【点评】：本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．3．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知M，N分别是A1B1，BB1的中点，过M，N，C1的截面截正方体所得的几何体，如图所示，那么该几何体的侧视图是（）A．B．C．D．【考点】：简单空间图形的三视图．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：根据题意，得出该几何体的侧视图是什么，从而得出正确的结论．【解析】：解：根据题意，得；该几何体的侧视图是点A、D、D1、A1在平面BCC1B1上的投影，且NC1是被挡住的线段，应为虚线；∴符合条件的是B选项．故选：B．【点评】：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目．4．（5分）设a=﹣1，b=2log3m，那么“a=b”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：集合．【分析】：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解析】：解：若a=b，则2log3m=﹣1，解得，当时，b=2log3m=2log3=log3=﹣1，此时a=b，即“a=b”是“”的充要条件，故选：C【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据对数的运算法则是解决本题的关键．5．（5分）已知函数f（x）=那么该函数是（）A．奇函数，且在定义域内单调递减B．奇函数，且在定义域内单调递增C．非奇非偶函数，且在（0，+∞）上单调递增D．偶函数，且在（0，+∞）上单调递增【考点】：分段函数的应用．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：运用函数的奇偶性和单调性的定义，注意函数的定义域的运用，加以判断即可得到．【解析】：解：函数f（x）=，定义域关于原点对称，当x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）=﹣2x=﹣f（x），当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）=2﹣x=﹣f（x），则有对于x∈{x|x∈R，x≠0}，都有f（﹣x）=﹣f（x），故f（x）为奇函数，又x＞0时，f（x）=2x递增，x＜0时，f（x）=﹣2﹣x递增，又x＜0时，f（x）＜0，x＞0时，f（x）＞0，由单调性的定义可得f（x）在定义域内为递增函数．故选：B．【点评】：本题考分段函数的奇偶性和单调性的判断，主要考查定义法的运用，属于中档题．6．（5分）将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可能是（）A．B．C．D．【考点】：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：由条件根据函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，可得结论．【解析】：解：将函数y=cos（x+）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得函数y=cos（x+）的图象；令x+=kπ，k∈z，求得x=2kπ，故所得函数的图象的一条对称轴方程为x=，故选：D．【点评】：本题主要考查函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．7．（5分）李江同学在某商场运动品专柜买一件运动服，获100元的代金券一张，此代金券可以用于购买指定的价格分别为18元、30元、39元的3款运动袜，规定代金券必须一次性用完，且剩余额不能兑换成现金．李江同学不想再添现金，使代金券的利用率超过95%，不同的选择方式的种数是（）A． 3 B．4 C． 5 D． 6【考点】：进行简单的合情推理．【专题】：综合题；推理和证明．【分析】：设3款运动袜分别为x，y，z个，则18x+30y+39z＞95，可得x=0，y=2，z=1或x=1，y=0，z=2或x=2，y=2，z=0，即可得出结论．【解析】：解：设3款运动袜分别为x，y，z个，则18x+30y+39z＞95，x=0，y=2，z=1或x=1，y=0，z=2或x=2，y=2，z=0，故不同的选择方式的种数是3种，故选：A．【点评】：本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．8．（5分）已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的一条曲线，若存在实数t，使得f（x+t）+tf（x）=0对任意x都成立，则称f（x）是“回旋函数”．给下列四个命题：①函数f（x）=x+1不是“回旋函数”；②函数f（x）=x2是“回旋函数”；③若函数f（x）=a x（a＞1）是“回旋函数”，则t＜0；④若函数f（x）是t=2时的“回旋函数”，则f（x）在[0，4030]上至少有2015个零点．其中为真命题的个数是（）A．1 B．2 C． 3 D． 4【考点】：抽象函数及其应用．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：①利用回旋函数的定义即可．②利用回旋函数的定义，令x=0，则必须有a=0；令x=1，则有a2+3a+1=0，故可判断；③若指数函数y=a x为阶数为t回旋函数，根据定义求解，得出结论．④由定义得到f（x+2）=﹣2f（x），由零点存在定理得，在区间（x，x+2）上必有一个零点令x=0，2，2×2，3×2，…，2015×2，即可得到【解析】：解：对于①函数f（x）=x+1为回旋函数，则由f（x+t）+tf（x）=0，得x+t+1+t （x+1）=0，t（x+2）=﹣1﹣x，∴t=﹣，故结论正确．对于．②函数f（x）=x2是“回旋函数”若（x+t）2+tx2=0对任意实数都成立，令x=0，则必须有t=0，令x=1，则有t2+3t+1=0，显然t=0不是这个方程的解，故假设不成立，该函数不是回旋函数，故结论不正确；对于③，若指数函数y=a x为阶数为t回旋函数，则a x+t+ta x=0，a t+t=0，∴t＜0，∴结论成立，对于④：若f（x）是t=2的回旋函数，则f（x+2）+2f（x）=0对任意的实数x都成立，即有f（x+2）=﹣2f（x），则f（x+2）与f（x）异号，由零点存在定理得，在区间（x，x+2）上必有一个零点，可令x=0，2，4，6，…，2015×2，则函数f（x）在[0，4030]上至少存在2015个零点．故结论正确故真命题为：①③④，故选：C．【点评】：本题考查新定义的理解和运用，考查函数的周期、函数的零点注意转化为函数的图象的交点个数，考查数形结合的能力，以及运算能力，属于中档题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上．9．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={1，3，m}，且B⊆A，那么实数m= 2或4 ．【考点】：集合的包含关系判断及应用．【专题】：集合．【分析】：利用元素与集合之间的关系即可得出．【解析】：解：∵集合A={1，2，3，4}，B={1，3，m}，且B⊆A，∴m∈A，∴m=2或4．故答案为：2或4．【点评】：本题考查了元素与集合之间的关系，属于基础题．10．（5分）已知数列{a n}中，a2=2，a n+1﹣2a n=0，那么数列{a n}的前6项和是63 ．【考点】：数列递推式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解析】：解：∵a2=2，a n+1﹣2a n=0，∴a n+1=2a n，∴2a1=2，解得a1=1．∴数列{a n}是等比数列，首项为1，公比为2，∴S6==63．故答案为：63．【点评】：本题考查了等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）已知某程序框图如图所示，那么执行该程序后输出的结果是0 ．【考点】：程序框图．【专题】：图表型；算法和程序框图．【分析】：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，i的值，当i=5时满足条件i ＞4，退出循环，输出a的值为0．【解析】：解：模拟执行程序框图，可得a=2，i=1不满足条件i＞4，a=，i=2不满足条件i＞4，a=1，i=3不满足条件i＞4，a=，i=4不满足条件i＞4，a=0，i=5满足条件i＞4，退出循环，输出a的值为0．故答案为：0．【点评】：本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的a，i的值是解题的关键，属于基础题．12．（5分）如图，已知PA是圆O的切线，切点为A，PC过圆心O，且与圆O交于B，C两点，过C点作CD⊥PA，垂足为D，PA=4，BC=6，那么CD= ．【考点】：相似三角形的判定；相似三角形的性质．【专题】：选作题；推理和证明．【分析】：利用切割线定理，求出PO，利用△OAP∽△CDP，求出CD．【解析】：解：由题意，利用切割线定理可得：42=PB•（PB+6），∴PB=2，∴PO=5，连接OA，则OA⊥PA，∵CD⊥PA，∴△OAP∽△CDP，∴，∴∴CD=．故答案为：．【点评】：本题考查切割线定理，考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．13．（5分）11位数的手机号码，前七位是1581870，如果后四位只能从数字1，3，7中选取，且每个数字至少出现一次，那么存在1与3相邻的手机号码的个数是16 ．【考点】：计数原理的应用．【专题】：应用题；排列组合．【分析】：分类讨论，利用列举法，即可得出结论．【解析】：解：若重复的是1，有1317，1371，1137，7131，1713，7113，共6个；1，3交换，重复1317，7131，有4个若重复是3，有1337，1373，3137，7133，3713，7313，共6个；1，3交换，重复3137，7313，有4个若重复是7，有1377，7137，7713，3177，7317，7731，共6个，共有10+10+6=26．故答案为：26．【点评】：本题考查计数原理的运用，考查列举法，比较基础．14．（5分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠ADC=120°，AD=DC=2，AB=4，动点M在△BCD内（含边界）运动，设=+μ，则λ+μ的取值范围是[1，] ．【考点】：简单线性规划的应用；平面向量的基本定理及其意义．【专题】：不等式的解法及应用；平面向量及应用．【分析】：建立空间坐标系，利用向量的基本定理，求出M的坐标，利用线性规划的知识进行求解．【解析】：解：将四边形ABCD放入坐标系中，则A（0，0），D（0，2），B（4，0），∵∠ADC=120°，AD=DC=2，∴∠DCA=30°，AC=，则C（），设M（x，y），∵=+μ，∴（x，y）=λ（4，0）+μ（0，2）=（4λ，2μ），即x=4λ，y=2μ，则λ=，μ=，则λ+μ=+，设z=+，则y=+2z，平移直线y=+2z，由图象知当直线y=+2z经过点B（4，0）时，截距最小，此时z最小，z=，当直线y=+2z经过点C（）时，截距最大，此时z最大，即z=，故1≤z≤，故λ+μ的取值范围是[1，]，故答案为：[1，]【点评】：本题主要考查平面向量基本定理的应用以及线性规划的综合应用，建立坐标系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知c=5，，△ABC的面积是．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求cos2A的值．【考点】：正弦定理；余弦定理．【专题】：解三角形．【分析】：（Ⅰ）由条件利用正弦定理求得a的值，再利用余弦定理求得b的值．（Ⅱ）由正弦定理求得sinA的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2A的值．【解析】：解：（Ⅰ）因为△ABC的面积是，c=5，，所以=，即=，求得a=3．由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得，求得b=7．（Ⅱ）由正弦定理，可得，∴．【点评】：本题主要考查正弦定理和余弦定理、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．16．（13分）随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已经成为人们越来越关注的话题，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组对某社区随机抽取了5人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：年龄在[25，30），[55，60）的被调查者中赞成人数分别是3人和2人，现从这两组的被调查者中各随机选取2人，进行跟踪调查．（Ⅰ）求年龄在[25，30）的被调查者中选取的2人都是赞成的概率；（Ⅱ）求选中的4人中，至少有3人赞成的概率；（Ⅲ）若选中的4人中，不赞成的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】：应用题；概率与统计．【分析】：（Ⅰ）利用古典概型的概率公式，求出年龄在[25，30）的被调查者中选取的2人都是赞成的概率；（Ⅱ）利用古典概型的概率公式，互斥事件的概率公式，求选中的4人中，至少有3人赞成的概率；（Ⅲ）由已知得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．【解析】：解：（Ⅰ）设“年龄在[25，30）的被调查者中选取的2人都是赞成”为事件A，所以．…（3分）（Ⅱ）设“选中的4人中，至少有3人赞成”为事件B，所以．…（7分）（Ⅲ）X的可能取值为0，1，2，3．所以，，，．…（11分）所以X的分布列是…（12分）所以EX=0×+1×+2×=．…（13分）【点评】：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．17．（14分）如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ACC1⊥底面ABC，且∠A1AC=，点O为AC的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥平面A1OB；（Ⅱ）求二面角B1﹣AC﹣B的余弦值；（Ⅲ）若点B关于AC的对称点是D，在直线A1A上是否存在点P，使DP∥平面AB1C．若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由．【考点】：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【专题】：综合题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】：（Ⅰ）连结A1C，证明A1O⊥AC，BO⊥AC，可得AC⊥平面A1OB；（Ⅱ）以O为坐标原点，分别以OB，OC，OA1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出平面AB1C的法向量、平面ABC的法向量，利用向量的夹角公式求二面角B1﹣AC﹣B的余弦值；（Ⅲ）设在直线A1A上存在点P符合题意，则点P的坐标设为（x，y，z），．由，得．求出λ，即可得出结论．【解析】：（Ⅰ）证明：连结A1C，因为AC=AA1，，AB=BC，点O为AC的中点，所以A1O⊥AC，BO⊥AC．因为A1O∩BO=O，所以AC⊥平面A1OB．…（4分）（Ⅱ）解：因为侧面A1ACC1⊥底面ABC，所以A1O⊥平面ABC．所以A1O⊥BO．…（5分）所以以O为坐标原点，分别以OB，OC，OA1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，所以A（0，﹣1，0），，C（0，1，0），，，所以，，．设平面AB1C的法向量为，所以即所以．…（7分）因为平面ABC的法向量为，所以＜．所以二面角B1﹣AC﹣B的余弦值是．…（9分）（Ⅲ）解：存在．因为点B关于AC的对称点是D，所以点．…（10分）假设在直线A1A上存在点P符合题意，则点P的坐标设为（x，y，z），．所以．所以．所以．…（12分）因为DP∥平面AB1C，平面AB1C的法向量为，所以由，得．所以λ=1．…（13分）所以在直线A1A上存在点P，使DP∥平面AB1C，且点P恰为A1点．…（14分）【点评】：本题考查线面垂直，考查二面角的余弦值，考查线面平行，正确运用向量法是关键．18．（13分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点是F（﹣1，0），上顶点是B，且|BF|=2，直线y=k（x+1）与椭圆C相交于M，N两点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若在x轴上存在点P，使得与k的取值无关，求点P的坐标．【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（Ⅰ）由椭圆C的左焦点是F（﹣1，0），且|BF|=2，可得c，a．再利用a2=b2+c2，得b2即可．（II）直线方程与椭圆方程联立可得根与系数的关系，利用数量积及其使得与k的取值无关，即可得出．【解析】：解：（Ⅰ）∵椭圆C的左焦点是F（﹣1，0），且|BF|=2，∴c=1，a=2．由a2=b2+c2，得b2=3．∴椭圆C的标准方程是．（Ⅱ）∵直线y=k（x+1）与椭圆C相交于M，N两点，联立方程组消去y，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0．∴△=144k2+144＞0．设点M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，0），∴，．∴=（x1﹣x0）•（x2﹣x0）+y1y2=====，∵与k的取值无关，∴．∴．∴点P的坐标是．【点评】：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19．（13分）已知函数f（x）=ae﹣x﹣x+1，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），f（x）＜0恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）当x∈（0，+∞）时，求证：2e﹣x﹣2＜x2﹣x．【考点】：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）当a=1时，求函数的导数，利用导数的几何意义即可求曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），f（x）＜0恒成立，利用导数研究函数的最值即可求a的取值范围；（Ⅲ）构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值即可证明不等式．【解析】：解：（Ⅰ）因为f（x）=ae﹣x﹣x+1，a=1，所以f（x）=e﹣x﹣x+1．所以f'（x）=﹣e﹣x﹣1．所以f（0）=2，f'（0）=﹣2．所以切线方程是y﹣2=﹣2x，即2x+y﹣2=0．（Ⅱ）由f（x）＜0可得ae﹣x﹣x+1＜0．所以a＜（x﹣1）e x．令g（x）=（x﹣1）e x．所以g'（x）=xe x＞0．所以g（x）在（0，+∞）上单调递增．所以﹣1＜g（x）＜0．所以a≤﹣1．（Ⅲ）令．所以h'（x）=﹣2e﹣x﹣x2+1．…（9分）由（Ⅱ）可知，当a=﹣2时，f（x）=﹣2e﹣x﹣x+1＜0．所以h'（x）＜0．所以h（x）在（0，+∞）上单调递减．所以h（x）＜h（0）=0．所以．【点评】：本题主要考查导数的几何意义以及导数的综合应用，要求熟练掌握函数单调性，最值和导数之间的关系，考查学生的运算和推理能力．20．（14分）设函数f（x）=，方程f（x）=x有唯一解，数列{a n}满足f（a n）=a n+1（n∈N*），且f（1）=数列{b n}满足b n=．（Ⅰ）求证：数列是等差数列；（Ⅱ）数列{c n}满足c n=，其前n项和为S n，若存在n∈N*，使kS n=成立，求k的最小值；（Ⅲ）若对任意n∈N*，使不等式成立，求实数t的最大值．【考点】：数列与不等式的综合；数列的求和．【专题】：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．【分析】：（Ⅰ）通过根的判别式为零可知=x有唯一解时，从而，计算可知，利用得a1=1；（Ⅱ）通过（Ⅰ）得b n=2n﹣1，通过拆项可知c n=（﹣），从而利用基本不等式解可得；（Ⅲ）对已知不等式变形及可知＞0，通过作商法可知g（n）是递增数列，计算即可．【解析】：解：（Ⅰ）∵，方程f（x）=x有唯一解，∴，即mx2+（2m﹣1）x=0（m≠0）有唯一解．∴△=4m2﹣4m+1=0．所以，∴，∴，∴a n a n+1+2a n+1﹣2a n=0，∴，∴，∵，∴，解得a1=1．所以数列首项为1，公差为的等差数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴．∵，∴b n=2n﹣1，∴，∴=，∵，∴，所以，当且仅当，即n=2时等号成立．所以k的最小值是；（Ⅲ）∵，∴．令，∵，∴g（n）＞0，∴=，∴g（n）是递增数列，从而，∴．所以t的最大值是．【点评】：本题是一道数列与不等式的综合题，涉及到基本不等式，数列的单调性，根的判别式等知识，考查分析、解决问题的能力以及计算能力，注意解题方法的积累，属于难题．。
〖全国卷-2018名师推荐〗高考总复习数学(理)毕业班调研测试卷及答案解析
2018届高中毕业生调研测试数学理科试卷数 学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)已知复数z ＝ii3223-+，则z 的共轭复数z = A ．1 B ．1- C ．i D ．i - (2) 已知条件1:≥x p ,条件11:<xq ，则p ⌝是q 的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件(3) 已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+,0,062,0321x y x y y x 则y x z -=的最小值为A ．1B ．1-C ．3D ．3-(4) 我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？” 现用程序框图描述，如图所示，则输出结果=nA ．4B ．5C ．2D ．3 (5) 若等比数列{}n a 的各项均为正数，3221=+a a ，62234a a a =，则=4aA ．83B ．524C ．163D ．169(6) 将向量()1,1=OA 绕原点O 逆时针方向旋转 60得到OB ,则=OBA ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-231,231 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+231,231 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---231,231 D ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-231,231(7) 15211⎪⎭⎫⎝⎛+x 的展开式中系数最大的项是A ．第4项B ．第5项C ．第6项D ．第7项 (8) 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A=｛两次的点数均为奇数｝，B=｛两次的点数之和为4｝，则P （B ∣A ）=A ．121 B ．41 C ．92 D ．32(9) 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．38B ．34C ．328 D ．324(10) 如图三对夫妻站成一排照相，则仅有一对夫妻相邻的站法总数是A ．72B ．144C ．240D ．288 (11) 函数()32211+++++++=x x x x x x x f 的对称中心为 A ．()6,4- B ．()3,2- C ．()3,4- D ．()6,2-(12) 已知椭圆134:22=+y x C 的右焦点为F ,不垂直于x 轴且不过F 点的直线l 与椭圆C 交于N M ,两点，若MFN ∠的外角平分线与直线MN 交于点P ，则P 点的横坐标为A ．32B ．34C ．3D ．4 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
『2018高考名师推荐-全国通用』高考总复习数学(理)第一次模拟考试试题及答案解析六
2018年高考数学一模试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合M={x|x＜3}，N={x|x＞﹣1}，全集U=R，则∁U（M∩N）=（）A．{x|x≤﹣1} B．{x|x≥3} C．{x|0＜x＜3} D．{x|x≤﹣1或x≥3}2．已知=1+i，则复数z在复平面上对应点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．给定下列两个命题：①“p∨q”为真是“¬p”为假的必要不充分条件；②“∃x∈R，使sinx＞0”的否定是“∀x∈R，使sinx≤0”．其中说法正确的是（）A．①真②假 B．①假②真 C．①和②都为假 D．①和②都为真4．下列函数中，既是偶函数，又在（0，+∞）上是单调减函数的是（）A．y=B．y=cosx C．y=ln|x+1| D．y=﹣2|x|5．一个多面体的三视图分别是正方形、等腰三角形和矩形，其尺寸如图，则该多面体的体积为（）A．48cm3B．24cm3C．32cm3D．28cm36．已知sinφ=，且φ∈（，π），函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f（）的值为（）A．﹣B．﹣C．D．7．阅读如图所示的程序框图，若输入a=，则输出的k值是（）A．9 B．10 C．11 D．128．过双曲线C：x2﹣的左顶点P作斜率为1的直线l，若l与双曲线C的两条渐近线分别相交于点Q，R，且，则双曲线C的离心率是（）A．B． C．D．9．若x，y满足且z=2x+y的最大值为4，则k的值为（）A． B．C． D．10．球O半径为R=13，球面上有三点A、B、C，AB=12，AC=BC=12，则四面体OABC的体积是（）A．60B．50C．60D．5011．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD．已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为（）A．B．C．D．12．函数f（x）=x3+x，x∈R，当时，f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（0，1）B．（﹣∞，0）C．D．（﹣∞，1）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值为．14．将序号为1，2，3，4的四张电影票全部分给3人，每人至少一张．要求分给同一人的两张电影票连号，那么不同的分法种数为．（用数字作答）15．设a=（cosx﹣sinx）dx，则二项式（x2+）6展开式中的x3项的系数为．16．已知数列{a n}满足a1=1，a n=（n≥2），其中S n为{a n}的前n项和，则S2016= ．三、解答题（本大题共计70分，解答应写出说明文字、证明过程或演算步骤）．17．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足++…+=1﹣，n∈N*，求{b n}的前n项和T n．18．某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段，[75，80），[80，85），[85，90），[90，95）[95，100]，（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（1）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率；（2）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记ξ为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ和方差Dξ．19．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．（Ⅰ）求证：AE⊥PD；（Ⅱ）若直线PB与平面PAD所成角的正弦值为，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．20．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F（0，1），过点F作直线l交抛物线C于A，B两点．椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率．（Ⅰ）分别求抛物线C和椭圆E的方程；（Ⅱ）经过A，B两点分别作抛物线C的切线l1，l2，切线l1与l2相交于点M．证明AB⊥MF．21．已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R．（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；（2）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；（3）当x∈（0，e]时，证明：．选考题（本题满分10分）．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-1，几何证明选讲] 22．如图所示，圆O的两弦AB和CD交于点E，作EF∥CB，并且交AD的延长线于点F，FG 切圆O于点G．（Ⅰ）求证：△DEF∽△EFA；（Ⅱ）如果FG=1，求EF的长．[选修4-4；坐标系与参数方程]23．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣1，2）的直线l的参数方程为（t是参数），直线l与曲线C分别交于M，N两点．（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．[选修4-5；不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣a|，其中a＞1．（1）当a=3时，求不等式f（x）≥4﹣|x﹣4|的解集；（2）若函数h（x）=f（2x+a）﹣2f（x）的图象与x、y轴围成的三角形面积大于a+4，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合M={x|x＜3}，N={x|x＞﹣1}，全集U=R，则∁U（M∩N）=（）A．{x|x≤﹣1} B．{x|x≥3} C．{x|0＜x＜3} D．{x|x≤﹣1或x≥3}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】先求出M∩N，从而求出M∩N的补集即可．【解答】解：集合M={x|x＜3}，N={x|x＞﹣1}，全集U=R，则M∩N={x|﹣1＜x＜3}，则∁U（M∩N）={x|x≤﹣1或x≥3}，故选：D．【点评】本题考查了集合的运算，熟练掌握集合的运算性质是解题的关键，本题是一道基础题．2．已知=1+i，则复数z在复平面上对应点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【专题】数形结合；转化思想；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：=1+i，∴=（3+i）（1+i）=2+4i，∴z=2﹣4i，则复数z在复平面上对应点（2，﹣4）位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．给定下列两个命题：①“p∨q”为真是“¬p”为假的必要不充分条件；②“∃x∈R，使sinx＞0”的否定是“∀x∈R，使sinx≤0”．其中说法正确的是（）A．①真②假 B．①假②真 C．①和②都为假 D．①和②都为真【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】①“p∨q”为真，则p，q中至少有一个为真，推不出“¬p”为假；反之成立，由充分必要条件即可判断；②由存在性命题的否定是全称性命题，即可判断．【解答】解：①“p∨q”为真，则p，q中至少有一个为真，推不出“¬p”为假；若“¬p”为假，则p为真，“p∨q”为真，故“p∨q”为真是“¬p”为假的必要不充分条件，故①正确；②“∃x∈R，使sinx＞0”的否定是“∀x∈R，使sinx≤0”．故②正确．故选：D．【点评】本题考查简易逻辑的基础知识：充分必要条件的判断和命题的否定，属于基础题．4．下列函数中，既是偶函数，又在（0，+∞）上是单调减函数的是（）A．y=B．y=cosx C．y=ln|x+1| D．y=﹣2|x|【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】运用常见函数的奇偶性和单调性以及定义，即可得到既是偶函数，又在（0，+∞）上是单调减函数的函数．【解答】解：对于A，为幂函数，定义域为[0，+∞），不关于原点对称，则不具奇偶性，则A不满足；对于B，为余弦函数，为偶函数，在（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）上递减，则B不满足；对于C，定义域为{x|x≠﹣1}不关于原点对称，则不具奇偶性，则C不满足；对于D，定义域为R，f（﹣x）=﹣2|﹣x|=f（x），为偶函数，x＞0时，y=﹣2x递减，则D满足．故选D．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查常见函数的奇偶性和单调性，考查运算和判断能力，属于基础题．5．一个多面体的三视图分别是正方形、等腰三角形和矩形，其尺寸如图，则该多面体的体积为（）A．48cm3B．24cm3C．32cm3D．28cm3【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由三视图可知该几何体是平放的直三棱柱，高为4，底面三角形一边长为6，此边上的高为4，利用柱体体积公式计算即可．【解答】解：由三视图可知该几何体是平放的直三棱柱，高为4，底面三角形一边长为6，此边上的高为4体积V=Sh==48cm3故选A【点评】本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键6．已知sinφ=，且φ∈（，π），函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f（）的值为（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】正弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由周期求出ω，由条件求出cosφ的值，从而求得f（）的值．【解答】解：根据函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，可得==，∴ω=2．由sinφ=，且φ∈（，π），可得cosφ=﹣，∴则f（）=sin（+φ）=cosφ=﹣，故选：B．【点评】本题主要考查正弦函数的周期性，同角三角函数的基本关系，属于基础题．7．阅读如图所示的程序框图，若输入a=，则输出的k值是（）A．9 B．10 C．11 D．12【考点】程序框图．【专题】操作型；等差数列与等比数列；算法和程序框图．【分析】根据程序框图的流程，计算运行n次的结果，根据输入a=，判断n满足的条件，从而求出输出的k值【解答】解：由程序框图知第一次运行s=0+，k=2；第二次运行s=0++，k=3；…∴第n次运行s=0+++…+=×[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=×（1﹣）=，当输入a=时，由n＞a得n＞9，程序运行了10次，输出的k值为11．故选：C【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，由程序框图判断程序运行的功能，用裂项相消法求和是解答本题的关键．8．过双曲线C：x2﹣的左顶点P作斜率为1的直线l，若l与双曲线C的两条渐近线分别相交于点Q，R，且，则双曲线C的离心率是（）A．B． C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先由双曲线线方程可得P的坐标和直线l的方程与双曲线的渐近线联立求得Q和R的横坐标，进而根据且，求得b的值，进而根据c=求得c，最后根据离心率公式答案可得．【解答】解：由题可知P（﹣1，0）所以直线L的方程为y=x+1，两条渐近线方程为y=﹣bx或y=bx联立y=x+1和y=﹣bx得Q的横坐标为x Q=﹣同理得R的横坐标为x R=，∵，∴（﹣1，0）+（，y R）=2（﹣，y Q），∴﹣1+=﹣⇒b=3，c==，∴e==，故选B．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生综合分析问题的能力．9．若x，y满足且z=2x+y的最大值为4，则k的值为（）A． B．C． D．【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；转化法；不等式．【分析】根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用目标函数的几何意义，求出求出直线2x+y=4与y=0相交于B（2，0），即可求解k值．【解答】解：先作出不等式组对应的平面区域，直线kx﹣y+3=0过定点（0，3），∵z=2x+y的最大值为4，∴作出直线2x+y=4，由图象知直线2x+y=4与y=0相交于B（2，0），同时B也在直线kx﹣y+3=0上，代入直线得2k+3=0，即k=，故选：A．【点评】本题考查的知识点是线性规划，考查画不等式组表示的可行域，考查数形结合求目标函数的最值．10．球O半径为R=13，球面上有三点A、B、C，AB=12，AC=BC=12，则四面体OABC的体积是（）A．60B．50C．60D．50【考点】球内接多面体．【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何．【分析】求出△ABC的外接圆的半径，可得O到平面ABC的距离，计算△ABC的面积，即可求出四面体OABC的体积．【解答】解：∵AB=12，AC=BC=12，∴cos∠ACB==﹣，∴∠ACB=120°，∴△ABC的外接圆的半径为=12，∴O到平面ABC的距离为5，∵S△ABC==36，∴四面体OABC的体积是=60．故选：A．【点评】本题考查四面体OABC的体积，考查学生的计算能力，正确求出△ABC的外接圆的半径是关键．11．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD．已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为（）A．B．C．D．【考点】扇形面积公式．【专题】应用题；数形结合；三角函数的求值．【分析】连接OC，由CD∥OA知∠CDO=60°，可由余弦定理得到OC的长度．【解答】解：设该扇形的半径为r米，连接CO．由题意，得CD=150（米），OD=100（米），∠CDO=60°，在△CDO中，CD2+OD2﹣2CD•OD•cos60°=OC2，即，150 2+1002﹣2×150×100×=r2，解得r=50（米）．故选：B．【点评】本题主要考查用余弦定理求三角形边长，解答的关键是构造三角形后利用余弦定理，属于基础题．12．函数f（x）=x3+x，x∈R，当时，f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（0，1）B．（﹣∞，0）C．D．（﹣∞，1）【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质；奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；压轴题．【分析】由f（x）=x3+x，可知f（x）为奇函数，增函数，得出msinθ＞m﹣1，根据sinθ∈[0，1]，即可求解．【解答】解：由f（x）=x3+x，∴f（x）为奇函数，增函数，∴f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，即f（msinθ）＞f（m﹣1），∴msinθ＞m﹣1，当时，sinθ∈[0，1]，∴，解得m＜1，故实数m的取值范围是（﹣∞，1），故选D．【点评】本题考查了函数恒成立的问题及函数的奇偶性与单调性，难度较大，关键是先判断函数的奇偶性与单调性．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值为﹣4 ．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】把圆的方程化为标准形式，求出弦心距，再由条件根据弦长公式求得a的值．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣2y+a=0 即（x+1）2+（y﹣1）2=2﹣a，故弦心距d=．再由弦长公式可得2﹣a=2+4，∴a=﹣4；故答案为：﹣4．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．14．将序号为1，2，3，4的四张电影票全部分给3人，每人至少一张．要求分给同一人的两张电影票连号，那么不同的分法种数为18 ．（用数字作答）【考点】计数原理的应用．【专题】计算题；方程思想；综合法；排列组合．【分析】根据题意，先将票分为符合题意要求的3份，可以转化为将1、2、3、4这4个数用2个板子隔开，用插空法易得其情况数目，再将分好的3份对应到3个人，由排列知识可得其情况数目，由分步计数原理，计算可得答案．【解答】解：先将票分为符合条件的3份，由题意，3人分4张票，且每人至少一张，至多两张，则2人一张，1人2张，且分得的票必须是连号，相当于将1、2、3、4这4个数用2个板子隔开，在3个空位插2个板子，共有C32=3种情况，再对应到3个人，有A33=6种情况，则共有3×6=18种情况．故答案为18【点评】本题考查排列、组合的应用，注意将分票的问题转化为将1、2、3、4这4个数用2个板子隔开，分为3部分的问题，用插空法进行解决．15．设a=（cosx﹣sinx）dx，则二项式（x2+）6展开式中的x3项的系数为﹣160 ．【考点】定积分．【专题】导数的概念及应用．【分析】根据微积分基本定理首先求出a的值，然后再根据二项式的通项公式求出k的值，问题得以解决．【解答】解：∵a=（cosx﹣sinx）dx=（sinx+cosx）=﹣2，∴（x2+）6=∵=•x12﹣3k∴12﹣3k=3解得，k=3∴==﹣160．故答案为：﹣160．【点评】本题主要考查了微积分基本定理和二项式的通项公式，培养了学生的计算能力．16．已知数列{a n}满足a1=1，a n=（n≥2），其中S n为{a n}的前n项和，则S2016= ．【考点】数列的求和．【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】通过对a n=（n≥2）变形可知2S n S n﹣1=S n﹣1﹣S n，进而可知数列{}是首项为1、公差为2的等差数列，计算即得结论．【解答】解：∵a n=（n≥2），∴2=2S n a n﹣a n，∴2﹣2S n a n=S n﹣1﹣S n，即2S n S n﹣1=S n﹣1﹣S n，∴2=﹣，又∵=1，∴数列{}是首项为1、公差为2的等差数列，∴S2016==，故答案为：．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题（本大题共计70分，解答应写出说明文字、证明过程或演算步骤）．17．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足++…+=1﹣，n∈N*，求{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】综合题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）设出等差数列的首项和公差，由已知列式求得首项和公差，则等差数列的通项公式可求；（2）由++…+=1﹣，求得b1，进一步求得=，得到{b n}的通项公式，再由错位相减法求得数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d．由S4=4S2，a2n=2a n+1，得，解得：a1=1，d=2．因此a n=2n﹣1；（2）由已知++…+=1﹣，n∈N*，当n=1时，；当n≥2时，++…+，∴=1﹣﹣（1﹣）=，∴=，n∈N*．由（1）知a n=2n﹣1，n∈N*，∴b n=，n∈N*．又T n=+++…+，∴T n=++…++，两式相减得T n=+2（）﹣=﹣﹣，∴T n=3﹣．【点评】本题考查数列递推式，考查了错位相减法求数列的通项公式，训练了等比数列前n项和的求法，是中档题．18．某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段，[75，80），[80，85），[85，90），[90，95）[95，100]，（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（1）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率；（2）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记ξ为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ和方差Dξ．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（1）分别求出参加社区服务时间在时间段[90，95）小时的学生人数和参加社区服务时间在时间段[95，100]小时的学生人数，由此能求出从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率．（2）从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为．由已知得，随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，ξ～，由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ和方差Dξ．【解答】解：（1）根据题意，参加社区服务时间在时间段[90，95）小时的学生人数为0.060×5×200=60（人），参加社区服务时间在时间段[95，100]小时的学生人数为0.020×5×200=20（人）．所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人．所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为．（2）由（1）可知，从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为．由已知得，随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3．所以，，．随机变量ξ的分布列为ξ0 1 2 3P因为ξ～，所以．Dξ=3×=．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．19．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．（Ⅰ）求证：AE⊥PD；（Ⅱ）若直线PB与平面PAD所成角的正弦值为，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的性质．【专题】计算题；证明题．【分析】（Ⅰ）先根据条件得到△ABC为正三角形，结合E为BC的中点以及BC∥AD得到AE⊥AD，再利用AD是PD在平面ABCD内的射影，从而得到AE与PD垂直．（Ⅱ）先根据条件建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，结合直线PB与平面PAD所成角的正弦值为，求出AP的长，进而求出两个半平面的法向量，代入向量的夹角计算公式即可求出结论．【解答】解：（Ⅰ）由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形．因为E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC ．又BC ∥AD ，因此AE ⊥AD ． 因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ， 所以PA ⊥AE ．而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，且PA ∩AD=A ， 所以AE ⊥平面PAD ， 又PD ⊂平面PAD ． 所以 AE ⊥PD ． (4)（Ⅱ）由（Ⅰ）知AE ，AD ，AP 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A ﹣xyz ，设AB=2，AP=a ，则A （0，0，0），B （，﹣1，0），C （，1，0），D （0，2，0），P （0，0，a ），E （，0，0），F （）．所以=（，﹣1，﹣a ），且=（，0，0）为平面PAD 的法向量，设直线PB 与平面PAD 所成的角为θ，由sin θ=|cos ＜，＞|===，解得a=2． (4)所以=（，0，0），=（，，1）．设平面AEF 的一法向量为=（x 1，y 1，z 1），则，因此，取z 1=﹣1，则=（0，2，﹣1）． 因为BD ⊥AC ，BD ⊥PA ，PA ∩AC=A ，所以BD ⊥平面AFC ，故为平面AFC 的一法向量．又=（﹣，3，0），所以cos ＜，＞=．因为二面角E ﹣AF ﹣C 为锐角，故所求二面角的余弦值为． (4)【点评】本题综合了直线与平面平行的判定、直线与平面垂直的性质和棱锥的体积等几个知识点，属于中档题．请同学们留意在解题过程中“空间问题平面化的思路”，是立体几何常用的数学思想．20．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F（0，1），过点F作直线l交抛物线C于A，B两点．椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率．（Ⅰ）分别求抛物线C和椭圆E的方程；（Ⅱ）经过A，B两点分别作抛物线C的切线l1，l2，切线l1与l2相交于点M．证明AB⊥MF．【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F（0，1）可得抛物线C的方程为x2=4y；由点椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率，求出a，b，椭圆方程可求．（Ⅱ）要证明AB⊥MF，只需证=0即可．设直线l的方程为y=kx+，1与双曲线方程联立，消去y，得到关于A，B点横坐标的一元二次方程，求两根的和与积，再用导数求过A，B点的切线方程，求出切点坐标，计算即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F（0，1）可得抛物线C的方程为x2=4y．设椭圆E的方程为，半焦距为c．由已知可得：，解得a=2，b=1．所以椭圆E的方程为：．…（Ⅱ）显然直线l的斜率存在，否则直线l与抛物线C只有一个交点，不合题意，…故可设直线l的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2），由，消去y并整理得x2﹣4kx﹣4=0，∴x1x2=﹣4．∵抛物线C的方程为，求导得，∴过抛物线C上A、B两点的切线方程分别是，，即，，解得两条切线l1，l2的交点M的坐标为，即M，=，∴AB⊥MF．…【点评】本题考查了抛物线，椭圆与直线导数等的综合应用，属于较难题型，做题适应认真分析，找到他们的联系点．21．已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R．（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；（2）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；（3）当x∈（0，e]时，证明：．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】计算题；综合题；压轴题．【分析】（1）先对函数f（x）进行求导，根据函数f（x）在[1，2]上是减函数可得到其导函数在[1，2]上小于等于0应该恒成立，再结合二次函数的性质可求得a的范围．（2）先假设存在，然后对函数g（x）进行求导，再对a的值分情况讨论函数g（x）在（0，e]上的单调性和最小值取得，可知当a=e2能够保证当x∈（0，e]时g（x）有最小值3．（3）令F（x）=e2x﹣lnx结合（2）中知F（x）的最小值为3，再令并求导，再由导函数在0＜x≤e大于等于0可判断出函数ϕ（x）在（0，e]上单调递增，从而可求得最大值也为3，即有成立，即成立．【解答】解：（1）在[1，2]上恒成立，令h（x）=2x2+ax﹣1，有得，得（2）假设存在实数a，使g（x）=ax﹣lnx（x∈（0，e]）有最小值3，=①当a≤0时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，（舍去），②当时，g（x）在上单调递减，在上单调递增∴，a=e2，满足条件．③当时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，（舍去），综上，存在实数a=e2，使得当x∈（0，e]时g（x）有最小值3．（3）令F（x）=e2x﹣lnx，由（2）知，F（x）min=3．令，，当0＜x≤e时，ϕ'（x）≥0，φ（x）在（0，e]上单调递增∴∴，即＞（x+1）lnx．【点评】本题主要考查导数的运算和函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．选考题（本题满分10分）．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-1，几何证明选讲] 22．如图所示，圆O的两弦AB和CD交于点E，作EF∥CB，并且交AD的延长线于点F，FG切圆O于点G．（Ⅰ）求证：△DEF∽△EFA；（Ⅱ）如果FG=1，求EF的长．【考点】相似三角形的判定．【专题】选作题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】（Ⅰ）由同位角相等得出∠BCE=∠FED，由圆中同弧所对圆周角相等得出∠BAD=∠BCD，结合公共角∠EFD=∠EFD，证出△DEF∽△EFA（Ⅱ）由（Ⅰ）得EF2=FA•FD，再由圆的切线长定理FG2=FD•FA，所以EF=FG=1【解答】（Ⅰ）证明：因为EF∥CB，所以∠BCE=∠FED，又∠BAD=∠BCD，所以∠BAD=∠FED，又∠EFD=∠EFD，所以△DEF∽△EFA．…（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，EF2=FA•FD．因为FG是切线，所以FG2=FD•FA，所以EF=FG=1．…【点评】本题考查与圆有关的角、比例线段，要善于寻找有关线段的数量关系，结合相关性质、定理求解．[选修4-4；坐标系与参数方程]23．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣1，2）的直线l的参数方程为（t是参数），直线l与曲线C分别交于M，N两点．（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；坐标系和参数方程．【分析】（1）把极坐标方程两边同时乘以ρ，代入y=ρsinθ，x=ρcosθ可得曲线的直角坐标方程；直接把直线参数方程中的参数t消去可得直线的普通方程；（2）把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，利用参数t的几何意义结合|PM|，|MN|，|PN|成等比数列求a的值．【解答】解：（1）由ρsin2θ=2acosθ（a＞0），得ρ2sin2θ=2aρcosθ，把y=ρsinθ，x=ρcosθ代入上式，得y2=2ax（a＞0）．由，得，消去得，y﹣2=﹣x﹣1，即x+y﹣1=0；（2）如图，把代入y2=2ax，得，即．∴，t1t2=4a+8，∵|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，∴|MN|2=|PM|•|PN|，即，∴，则，整理得：2a2+3a﹣2=0，解得a=﹣2或a=．∵a＞0，∴．【点评】本题考查简单曲线的参数方程，考查了极坐标与直角坐标得互化，考查直线参数方程中参数t的几何意义，是中档题．[选修4-5；不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣a|，其中a＞1．（1）当a=3时，求不等式f（x）≥4﹣|x﹣4|的解集；（2）若函数h（x）=f（2x+a）﹣2f（x）的图象与x、y轴围成的三角形面积大于a+4，求a的取值范围．【考点】分段函数的应用．【专题】分类讨论；分析法；不等式的解法及应用．【分析】（1）写成分段函数的形式，对x讨论，结合一次不等式的解法，即可得到所求解集；（2）记h（x）=f（2x+a）﹣2f（x），运用分段形式，求得h（x），由三角形的面积公式可得a2﹣2a﹣8＞0，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（1）当a=3时，f（x）+|x﹣4|=，当x≤3时，由f（x）≥4﹣|x﹣4|得，7﹣2x≥4，解得x≤；当3＜x＜4时，f（x）≥4﹣|x﹣4|无解；当x≥4时，f（x）≥4﹣|x﹣4|得，2x﹣7≥4，解得x≥．∴f（x）≥4﹣|x﹣4|的解集为{x|x≤或x≥}．（2）记h（x）=f（2x+a）﹣2f（x），则h（x）=，所以S=•2a•＞a+4，即为a2﹣2a﹣8＞0，（a＞1），解得a＞4．即有a的取值范围为（4，+∞）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．。
【全国通用-2018高考推荐】最新高考总复习数学(理)三轮复习模拟试题及答案解析二
2018年高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a 的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2] C．（2，+∞）D．[2，+∞）2．“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（）A．2 B．4 C．6 D．124．下列命题正确的是（）A．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题B．函数f（x）=x2﹣x﹣6的零点是（3，0）或（﹣2，0）C．对于命题p：∃x∈R，使得x2﹣x﹣6＞0，则￢p：∀x∈R，均有x2﹣x﹣6≤0 D．命题“若x2﹣x﹣6=0，则x=3”的否命题为“若x2﹣x﹣6=0，则x≠3”5．将函数f（x）=sin（+x）（cosx﹣2sinx）+sin2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x），则g（x）具有性质（）A．在（0，）上单调递增，为奇函数B．周期为π，图象关于（）对称C．最大值为，图象关于直线x=对称D．在（﹣）上单调递增，为偶函数6．已知f（x）=ax2+bx+c（a＞0），g（x）=f（f（x）），若g（x）的值域为[2，+∞），f（x）的值域为[k，+∞），则实数k的最大值为（）A．0 B．1 C．2 D．47．过双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若=2﹣，则双曲线的离心率为（）A． B．C．D．8．已知函数f（x）=x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共7小题，满分36分，9-12题每题6分，13-15题每题4分．）9．已知函数y=log a（x﹣1）+3，（a＞0且a≠1）的图象恒过点P，则P的坐标是______，若角α的终边经过点P，则sin2α﹣sin2α的值等于______．10．设定义域为R的函数f（x）=，则f（f（﹣1））=______；函数y=f（f（x））的零点共有______个．11．设变量x，y满足约束条件，则的取值范围是______．12．已知单调递增的等差数列{a n}的前n项和为S n，若S8=12，a3•a6=﹣18，则数列{a n}的通项公式为a n=______；若数列{b n}的通项公式为b n=2n，则数列{a bn}的前n项和T n=______．13．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为BB1的中点，则直线MC与平面ACD1所成角的正弦值为______．14．已知抛物线y2=4x的焦点为F，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，则3|AF|+4|BF|的最小值为______．15．已知，，是空间两两垂直的单位向量，=x+y+z，且x+2y+4z=1，则|﹣﹣|的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，满分74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为S=accosB．（1）若c=2a，求角A，B，C的大小；（2）若a=2，且≤A≤，求边c的取值范围．17．如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．（Ⅰ）求证：AD⊥BM；（Ⅱ）若=λ（0＜λ＜1），当二面角E﹣AM﹣D大小为时，求λ的值．18．已知函数f（x）=（x+a）（|x|+2）+b（a，b∈R）（1）若f（x）在R上不单调，求实数a的取值范围；（2）若a≤﹣4且y=f（x）在[﹣1，1]上有两个零点，求a2+（b﹣17）2的最小值．19．已知点是离心率为的椭圆C：上的一点．斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？20．已知数列{a n}满足a1=，a n+1=λa n2+a n．（1）若λ=，求证：a n＜1；（2）若λ=n，求证：++…+＜2．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a 的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2] C．（2，+∞）D．[2，+∞）【考点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；一元二次不等式的解法．【分析】当a＞1时，代入解集中的不等式中，确定出A，求出满足两集合的并集为R时的a的范围；当a=1时，易得A=R，符合题意；当a＜1时，同样求出集合A，列出关于a 的不等式，求出不等式的解集得到a的范围．综上，得到满足题意的a范围．【解答】解：当a＞1时，A=（﹣∞，1]∪[a，+∞），B=[a﹣1，+∞），若A∪B=R，则a﹣1≤1，∴1＜a≤2；当a=1时，易得A=R，此时A∪B=R；当a＜1时，A=（﹣∞，a]∪[1，+∞），B=[a﹣1，+∞），若A∪B=R，则a﹣1≤a，显然成立，∴a＜1；综上，a的取值范围是（﹣∞，2]．故选B．2．“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充要条件．【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．故选：B．3．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（）A．2 B．4 C．6 D．12【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为四棱锥，棱锥高为2，底面为梯形，代入体积公式计算．【解答】解：由三视图可知该几何体为四棱锥，棱锥的底面是直角梯形，棱锥的高是2，∴V==4．故选B．4．下列命题正确的是（）A．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题B．函数f（x）=x2﹣x﹣6的零点是（3，0）或（﹣2，0）C．对于命题p：∃x∈R，使得x2﹣x﹣6＞0，则￢p：∀x∈R，均有x2﹣x﹣6≤0 D．命题“若x2﹣x﹣6=0，则x=3”的否命题为“若x2﹣x﹣6=0，则x≠3”【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．根据复合命题的真假关系进行判断．B．函数的零点是横坐标x，不是点．C．根据特称命题的否定是全称命题进行判断．D．否命题是同时否定条件和结论．【解答】解：A．若p∧q为假命题，则p、q至少有一个为假命题，故A错误，B．由f（x）=x2﹣x﹣6=0得x=3或x=﹣2，则函数的零点为3和﹣2，故B错误，C．特称命题的否定是全称命题得￢p：∀x∈R，均有x2﹣x﹣6≤0，故C正确，D．命题“若x2﹣x﹣6=0，则x=3”的否命题为“若x2﹣x﹣6≠0，则x≠3”，故D错误，故选：C．5．将函数f（x）=sin（+x）（cosx﹣2sinx）+sin2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x），则g（x）具有性质（）A．在（0，）上单调递增，为奇函数B．周期为π，图象关于（）对称C．最大值为，图象关于直线x=对称D．在（﹣）上单调递增，为偶函数【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的周期性、单调性、以及它的图象的对称性，得出结论．【解答】解：将函数f（x）=sin（+x）（cosx﹣2sinx）+sin2x=﹣cosx （cosx﹣2sinx）+sin2x=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x）=sin[2（x+）﹣]=sin2x的图象，则g（x）为奇函数，且在（0，）上单调递增，故A正确、D不正确；由于当x=时，函数g（x）取得最大值为，故它的图象不关于（）对称，故排除B；当x=时，g（x）=0，故g（x）的图象不关于直线x=对称，故C不正确；故选：A．6．已知f（x）=ax2+bx+c（a＞0），g（x）=f（f（x）），若g（x）的值域为[2，+∞），f（x）的值域为[k，+∞），则实数k的最大值为（）A．0 B．1 C．2 D．4【考点】函数的值域．【分析】设t=f（x），即有g（x）=f（t），t≥k，可得函数y=at2+bt+c，t≥k的图象为y=f（x）的图象的部分，即有g（x）的值域为f（x）的值域的子集，即有k的范围，可得最大值为2．【解答】解：设t=f（x），由题意可得g（x）=f（t）=at2+bt+c，t≥k，函数y=at2+bt+c，t≥k的图象为y=f（x）的图象的部分，即有g（x）的值域为f（x）的值域的子集，即[2，+∞）⊆[k，+∞），可得k≤2，即有k的最大值为2．故选：C．7．过双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若=2﹣，则双曲线的离心率为（）A． B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设右焦点为F′，由=2﹣，可得E是PF的中点，利用O为FF'的中点，可得OE为△PFF'的中位线，从而可求PF′、PF，再由勾股定理得出关于a，c的关系式，最后即可求得离心率．【解答】解：设右焦点为F′，则∵=2﹣，∴+=2，∴E是PF的中点，∴PF′=2OE=a，∴PF=3a，∵OE⊥PF，∴PF′⊥PF，∴（3a）2+a2=4c2，∴e==，故选：C．8．已知函数f（x）=x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】函数单调性的性质．【分析】排除法：取a=﹣，由f（x+a）＜f（x），得（x﹣）|x﹣|+1＞x|x|，分x＜0，0≤x≤，x＞讨论，可得A，检验是否符合题意，可排除B、D；取a=1，由f（x+a）＜f（x），得（x+1）|x+1|+1＞x|x|，分x＜﹣1，﹣1≤x≤0，x＞0进行讨论，检验是否符合题意，排除C．【解答】解：取a=﹣时，f（x）=﹣x|x|+x，∵f（x+a）＜f（x），∴（x﹣）|x﹣|+1＞x|x|，（1）x＜0时，解得﹣＜x＜0；（2）0≤x≤时，解得0；（3）x＞时，解得，综上知，a=﹣时，A=（﹣，），符合题意，排除B、D；取a=1时，f（x）=x|x|+x，∵f（x+a）＜f（x），∴（x+1）|x+1|+1＜x|x|，（1）x＜﹣1时，解得x＞0，矛盾；（2）﹣1≤x≤0，解得x＜0，矛盾；（3）x＞0时，解得x＜﹣1，矛盾；综上，a=1，A=∅，不合题意，排除C，故选A．二、填空题（本题共7小题，满分36分，9-12题每题6分，13-15题每题4分．）9．已知函数y=log a（x﹣1）+3，（a＞0且a≠1）的图象恒过点P，则P的坐标是（2，3），若角α的终边经过点P，则sin2α﹣sin2α的值等于．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】令x﹣1=1求出x和y，可求出函数y=log a（x﹣1）+3图象过的定点P的坐标，由三角函数的定义求出sinα、cosα，由二倍角的正弦公式化简所求的式子，将数据代入计算即可．【解答】解：令x﹣1=1得，x=2，则此时y=log a1+3=3，∴函数y=log a（x﹣1）+3的图象过定点P（2，3），∵角α的终边经过点P，∴sinα==，cosα=，∴sin2α﹣sin2α=sin2α﹣2sinαcosα==，故答案为：（2，3）；．10．设定义域为R的函数f（x）=，则f（f（﹣1））= 0 ；函数y=f（f（x））的零点共有7 个．【考点】根的存在性及根的个数判断；分段函数的应用．【分析】利用分段函数的表达式直接代入即可求值，利用换元法令t=f（x），先求出函数f （x）的零点，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：f（﹣1）=﹣1+2=1，f（1）=|lg1|=0．故f（f（﹣1））=f（1）=0，若x＞0，则f（x）=|lgx|=0得x=1，由x≤0，则由f（x）=﹣x2﹣2x=0得x=0或x=﹣2，令t=f（x），则y=f（f（x））=f（t），由y=f（f（x））=f（t）=0，则t=1或t=0，或t=﹣2，作出函数f（x）的图象，以及t=1或t=0，或t=﹣2，则t=1时，两个函数有3个交点，当t=0时，两个函数有3个交点，当t=﹣2时，两个函数有一个交点，则共有7个交点，即函数y=f（f（x））的零点共有7个，故答案为：0，7；11．设变量x，y满足约束条件，则的取值范围是．【考点】简单线性规划．【分析】先画出满足条件的平面区域，结合的几何意义求出其范围即可．【解答】解：画出满足约束条件的平面区域，如图示：而的几何意义表示过平面区域内的点和A（﹣1，1）的直线的斜率，由图象得：K AB==﹣，故的取值范围是．12．已知单调递增的等差数列{a n}的前n项和为S n，若S8=12，a3•a6=﹣18，则数列{a n}的通项公式为a n= 3n﹣12 ；若数列{b n}的通项公式为b n=2n，则数列{a bn}的前n项和T n= 6•2n﹣12n﹣6 ．【考点】数列的求和．【分析】（1）设出等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，且q＞0．由已知列式求得等差数列的公差和等比数列的公比，代入等差数列和等比数列的通项公式得答案；（2）由c n=a bn结合数列{a n}和{b n}的通项公式得到数列{c n}的通项公式，结合等比数列的前n项和求得数列{c n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设单调递增的等差数列{a n}的首项为a1，公差为d（d＞0），由S8=12，a3•a6=﹣18，得解得d=3，d=﹣2（舍去），a1=﹣9，∴a n=﹣9+3（n﹣1）=3n﹣12，（2）由b n=2n，∴a bn=3×2n﹣12，∴T n=（3×21﹣12）+（3×22﹣12）+（3×23﹣12）+…+（3×2n﹣12）=3（21+22+…+2n）﹣12n=3×﹣12n=6•2n﹣12n﹣6；故答案为：3n﹣12，6•2n﹣12n﹣6．13．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为BB1的中点，则直线MC与平面ACD1所成角的正弦值为．【考点】直线与平面所成的角．【分析】以D为原点建立坐标系，设正方体边长为1，求出平面ACD1的法向量和的坐标，则|cos＜＞|即为所求．【解答】解：以D为原点，以DA，DC，DD1为坐标轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，如图所示：设正方体棱长为1，则A（1，0，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），M（1，1，）．∴=（﹣1，1，0），=（﹣1，0，1），=（﹣1，0，﹣）．设平面ACD1的法向量为=（x，y，z），则，∴，设x=1得=（1，1，1）．∴cos＜＞===﹣．∴直线MC与平面ACD1所成角的正弦值为|cos＜＞|=．故答案为：．14．已知抛物线y2=4x的焦点为F，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，则3|AF|+4|BF|的最小值为7+4．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设直线方程为x=my+1，联立方程组得出A，B两点坐标的关系，根据抛物线的性质得出3|AF|+4|BF|关于A，B两点坐标的式子，使用基本不等式得出最小值．【解答】解：抛物线的焦点F（1，0），设直线AB的方程为x=my+1．联立方程组，得x2﹣（4m2+2）x+1=0．设A（，y1），B（，y2），则=1．∴y22=．由抛物线的性质得|AF|=，|BF|==．∴3|AF|+4|BF|=+3++4=7++≥7+2=7+4．故答案为：．15．已知，，是空间两两垂直的单位向量，=x+y+z，且x+2y+4z=1，则|﹣﹣|的最小值为．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据题意设=（1，0，0），=（0，1，0），=（0，0，1），求出=（x，y，z），表示出|﹣﹣|，根据x+2y+4z=1表示一个平面，（x﹣1）2+（y﹣1）2+z 2的值表示空间中的点（x ，y ，z ）到点D （1，1，0）的距离，利用点D 到此平面的距离，即可求出|﹣﹣|的最小值．【解答】解：设=（1，0，0），=（0，1，0），=（0，0，1），则=x +y +z =（x ，y ，z ），且x+2y+4z=1，则﹣﹣=（x ﹣1，y ﹣1，z ），∴|﹣﹣|=；又 x+2y+4z=1表示一个平面，（x ﹣1）2+（y ﹣1）2+z 2的值表示空间中的点（x ，y ，z ）到点D （1，1，0）的距离， 这样的点在以点D （1，1，0）为球心的球面上，∴（x ﹣1）2+（y ﹣1）2+z 2的最小值是球与此平面相切时切点与D 点的距离平方， 即点D 到此平面的距离的平方；又点D （1，1，0）到平面x+2y+4z=1的距离是d===；∴|﹣﹣|的最小值是．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，满分74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且△ABC 的面积为S=accosB ．（1）若c=2a ，求角A ，B ，C 的大小；（2）若a=2，且≤A ≤，求边c 的取值范围．【考点】正弦定理；余弦定理． 【分析】（1）法一：根据正弦定理，建立条件关系，即可求出角A ，B ，C 的大小；法二：根据余弦定理，建立条件关系，即可求出角A ，B ，C 的大小．（2）根据正弦定理表示出c ，根据三角函数的图象和性质即可得到结论．【解答】解：由已知及三角形面积公式得S=acsinB=accosB ，化简得sinB=cosB ，即tanB=，又0＜B ＜π，∴B=．（1）解法1：由c=2a ，及正弦定理得，sinC=2sinA ， 又∵A+B=，∴sin（﹣A）=2sinA，化简可得tanA=，而0＜A＜，∴A=，C=．解法2：由余弦定理得，b2=a2+c2﹣2accosB=a2+4a2﹣2a2=3a2，∴b=，∴a：b：c=1：，知A=，C=．（2）由正弦定理得，即c=，由C=﹣A，得===+1又由≤A≤，知1≤tanA≤，故c∈[2，]．17．如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．（Ⅰ）求证：AD⊥BM；（Ⅱ）若=λ（0＜λ＜1），当二面角E﹣AM﹣D大小为时，求λ的值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）推导出BM⊥AM，从而BM⊥平面ADM，由此能证明AD⊥BM．（Ⅱ）法一：过点E作MB的平行线交DM于F，过点F作AM的垂线，垂足为H，连接HE，则∠EHF即为二面角E﹣AM﹣D的平面角，由此能求出当二面角E﹣AM﹣D大小为时λ的值．法二：以M为原点，MA，MB 所在直线为x 轴，y 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当二面角E﹣AM﹣D大小为时λ的值．【解答】证明：（Ⅰ）∵，∴BM⊥AM，又平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM，∴BM⊥平面ADM．又AD⊂平面ADM，∴AD⊥BM．解：（Ⅱ）（方法一）过点E作MB的平行线交DM于F，由BM⊥平面ADM，得EF⊥平面ADM，在平面ADM中过点F作AM的垂线，垂足为H，连接HE，则∠EHF即为二面角E﹣AM﹣D的平面角，大小为．设FM=x，则，在Rt△FHM 中，由∠EFH=90°，∠EHF=60°，则．由EF∥MB，MB=2，则，即，解得x=4﹣2．故当二面角E﹣AM﹣D 大小为时，，即．（方法二）以M为原点，MA，MB 所在直线为x 轴，y 轴，建立如图所示空间直角坐标系，M（0，0，0），，，，且，所以，，设平面EAM 的法向量为，则，，所以，．又平面DAM 的法向量为，所以，，解得，或（舍去）．所以，．18．已知函数f（x）=（x+a）（|x|+2）+b（a，b∈R）（1）若f（x）在R上不单调，求实数a的取值范围；（2）若a≤﹣4且y=f（x）在[﹣1，1]上有两个零点，求a2+（b﹣17）2的最小值．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】（1）由函数f（x）去掉绝对值，得f（x）=，又由f（x）在R上不单调，列出不等式组求解即可得答案；（2）由f（x）=，若a≤﹣4且y=f（x）在[﹣1，1]上有两个零点，且，可得，再由线性规划可得答案．【解答】解：（1）由函数f（x）=（x+a）（|x|+2）+b（a，b∈R），得f（x）=，若f（x）在R上不单调，得或，实数a的取值范围为：a＜﹣2或a＞2；（2）f（x）=，若a≤﹣4且y=f（x）在[﹣1，1]上有两个零点，且，则，即，a2+（b﹣17）2的几何意义为定点（0，17）与可行域内动点距离的平方，由，得a2+（b﹣17）2的最小值为=40．19．已知点是离心率为的椭圆C：上的一点．斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）根据点是离心率为的椭圆C上的一点，建立方程，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线方程代入椭圆方程，计算出三角形的面积，利用基本不等式，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵，，a2=b2+c2∴a=2，，∴椭圆方程为．…（Ⅱ）设直线BD的方程为由，消去y可得∴，，由△=﹣8b2+64＞0，可得∴，设d为点A到直线BD：的距离，∴∴，当且仅当b=±2时，△ABD的面积最大，最大值为．…20．已知数列{a n}满足a1=，a n+1=λa n2+a n．（1）若λ=，求证：a n＜1；（2）若λ=n，求证：++…+＜2．【考点】数列与不等式的综合；不等式的证明．【分析】（1）通过变形可知数列{a n}为正项递增数列，通过放缩、变形可知﹣≤﹣，进而并项相加即得结论；（2）通过放缩、变形可知﹣≥，进而并项相加即得结论．【解答】证明：（1）易知a n＞0，∵，∴，∴﹣≤=﹣，累加，得：﹣≤1﹣（n≥2），又∵a1＜1满足上式，∴∴a n＜1；（2）易知a n＞0，∵a n+1=na n+a n，∴=﹣，∴﹣=≥，累加，得：++…+＜﹣＜=2．2016年9月26日。
【2018新课标-全国通用】最新高考总复习数学(理)高考仿真模拟试题及答案解析三
2018年高考数学仿真模拟试卷（理科）（七）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|＞1}，N={x|x2+2x﹣3＜0}，则M∪N=（）A．（﹣∞，﹣3） B．（﹣∞，1）C．（﹣3，1）D．（﹣1，1）2．=（）A．﹣﹣B．﹣+C．﹣D．+3．若点A，B在圆O：x2+y2=4上，弦AB的中点为D（1，1），则直线AB的方程是（）A．x﹣y=0 B．x+y=0 C．x﹣y﹣2=0 D．x+y﹣2=04．在区间（0，1）上随机取两个实数m，n，则关于x的一元二次方程x2﹣2x+2n=0有实数根的概率为（）A．B．C．D．5．函数y=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所表示，A、B分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，则该函数的一条对称轴为（）A．B．C．x=1 D．x=26．设函数y=f（x）定义在实数集R上，则函数y=f（a﹣x）与y=f（x﹣a）的图象（）A．关于直线y=0对称B．关于直线x=0对称C．关于直线y=a对称D．关于直线x=a对称7．已知数列{a n}中，a1=﹣1，a n+1=a n+n，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第2016项，则判断框内的条件是（）A．n≤2014？B．n≤2015？C．n≤2016？D．n≤2017？8．已知方程x2+4ax+3a+1=0（a＞1）的两根为tanα，tanβ且，则tan=（）A．B．﹣2 C．D．或﹣29．已知不等式组，所表示的平面区域为D，若直线y=ax﹣2与平面区域D 有公共点，则实数a的取值范围为（）A．[﹣2，2] B．（﹣∞，﹣]∪[，+∞） C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．[﹣，] 10．已知直线l过抛物线E：y2=4x的焦点F，且依次交抛物线E及其准线于点A，B，C （点B在点A，C之间）若|BC|=2|BF|，则|AF|=（）A．B．4 C．6 D．1211．已知函数f（x）=2mx3﹣3nx2+10（m，n＞0）有两个不同零点，则5lg2m+9lg2n 的最小值是（）A．6 B．C．1 D．12．若某空间几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体的外接球的体积是（）A．πB．πC．π D．8π二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（+x）2n（n∈N*）的展开式中，只有第5项的系数最大，则其x2项的系数为______．14．设f（x）=，记f1（x）=f（x），若f k+1（x）=f（f k（x）），k=1，2，…，则f2016（x）=______．15．设||=||=，若函数f（x）=|+x|（x∈R）的最小值为1，则•=______．16．如图所示，扇形AOB中，圆心角∠AOB=，半径为2，在弧上有一动点P，过P引平行于OB的直线与OA交于点C，设∠AOP=θ，则△POC面积的最大值为______．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且对任意正整数n，点（a n+1，S n）在直线2x+y ﹣2=0上．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列{S n+λ•n+}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，则说明理由．18．如图1，在平行四边形ABCD中，AB=2AD，E，F分别为AB，CD的中点，沿EF 将四边形AEFD折起到新位置变为四边形A′EFD′，使A′B=A′F（如图2所示）．（1）证明：A′E⊥BF；（2）若∠BAD=60°，A′E=A'B=2，求二面角A′﹣EF﹣C的余弦值．19．一次测验共有4个选择题和2个填空题，每答对一个选择题得20分，每答对一个填空题得10分，答错或不答得0分，若某同学答对每个选择题的概率均为，答对每个填空题的概率均为，且每个题答对与否互不影响．（1）求该同学得80分的概率；（2）若该同学已经答对了3个选择题和1个填空题，记他这次测验的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望．20．已知离心率为的椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点A（1，）．（1）求椭圆E的方程；（2）若不过点A的直线l：y=x+m交椭圆E于B，C两点，求△ABC面积的最大值．21．已知函数f（x）=ln（ax+1）+a，g（x）=sin+bx，直线l与曲线y=f（x）切于点（0，f（0）），且与曲线y=g（x）切于点（1，g（1））．（1）求实数a，b的值；（2）证明：（ⅰ）＜f（x）﹣1＜x（x＞0）；（ⅱ）当n为正整数时，﹣1＜﹣lnn≤．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，直线PO与直径为4的圆O交于B，C两点，且PC=2，直线PA切圆O于点A（Ⅰ）证明：AB=AP；（Ⅱ）若AM⊥PB，延长MC交AP于点N，求证：MN⊥PA．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．以直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，且两坐标系相同的长度单位．已知点N的极坐标为（，），M是曲线C1：ρ=1上任意一点，点G满足=+，设点G的轨迹为曲线C2．（1）求曲线C2的直角坐标方程；（2）若过点P（2，0）的直线l的参数方程为（t为参数），且直线l与曲线C2交于A，B两点，求+的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＞0的解集；（2）若不等式|m+1|≥f（x）+3|x﹣2|有解，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|＞1}，N={x|x2+2x﹣3＜0}，则M∪N=（）A．（﹣∞，﹣3） B．（﹣∞，1）C．（﹣3，1）D．（﹣1，1）【考点】并集及其运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：集合M={x|0＜x＜1}，N={x|﹣3＜x＜1}，所以M∪N={x|﹣3＜x＜1}，故选：C．2．=（）A．﹣﹣B．﹣+C．﹣D．+【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：，故选：A．3．若点A，B在圆O：x2+y2=4上，弦AB的中点为D（1，1），则直线AB的方程是（）A．x﹣y=0 B．x+y=0 C．x﹣y﹣2=0 D．x+y﹣2=0【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据斜率公式求出直线OD的斜率，由垂径定理得直线AB的斜率，代入点斜式方程化为一般式方程即可．【解答】解：因为弦AB的中点为D（1，1），则直线OD的斜率为k OD=1，所以由垂径定理得直线AB的斜率为k AB=﹣1，直线AB的方程是y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0，故选：D．4．在区间（0，1）上随机取两个实数m，n，则关于x的一元二次方程x2﹣2x+2n=0有实数根的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（m，n）对应图形的面积，及满足条件“关于x的一元二次方程x2﹣2x+2n=0有实根”的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解．【解答】解：要使方程有实根，只需满足△=4m﹣8n≥0，即m≥2n，又m，n是从区间（0，1）上随机取两个数，则满足条件的m，n，如图所示，∴关于x的一元二次方程x2﹣2x+2n=0有实数根的概率为，故选B．5．函数y=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所表示，A、B分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，则该函数的一条对称轴为（）A．B．C．x=1 D．x=2【考点】余弦函数的对称性．【分析】函数y=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，求出φ，该函数的部分图象如图所表示，A、B分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，求出函数的周期，然后得到ω，求出对称轴方程即可．【解答】解：函数y=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，所以φ=，该函数的部分图象如图所表示，A、B分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，所以，所以T=4，ω=，所以函数的表达式为：y=﹣sin，显然x=1是它的一条对称轴方程．故选C6．设函数y=f（x）定义在实数集R上，则函数y=f（a﹣x）与y=f（x﹣a）的图象（）A．关于直线y=0对称B．关于直线x=0对称C．关于直线y=a对称D．关于直线x=a对称【考点】函数的图象．【分析】本选择题采用取特殊函数法．根据函数y=f（x）定义在实数集上设出一个函数，由此函数分别求出函数y=f（x﹣a）与y=f（a﹣x），最后看它们的图象的对称即可．【解答】解：令t=x﹣a，因为函数y=f（﹣t）与y=f（t）的图象关于直线t=0对称，所以函数y=f（a﹣x）与y=f（x﹣a）的图象关于直线x=a对称，故选：D．7．已知数列{a n}中，a1=﹣1，a n+1=a n+n，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第2016项，则判断框内的条件是（）A．n≤2014？B．n≤2015？C．n≤2016？D．n≤2017？【考点】程序框图．【分析】n=1，满足条件，执行循环体，依此类推，当n=2016，不满足条件，退出循环体，从而得到循环满足的条件．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=1，a1=1，满足条件，第1次循环，a2=a1+1，n=2；满足条件，第2次循环，a3=a2+2，n=3；…；满足条件，第2015次循环，a2016=a2015+2015，n=2016，此时，由题意，应该退出循环，输出该数列的第2016项，所以，n≤2015符合条件，故选：B．8．已知方程x2+4ax+3a+1=0（a＞1）的两根为tanα，tanβ且，则tan=（）A．B．﹣2 C．D．或﹣2【考点】两角和与差的正切函数；二倍角的正切．【分析】由题意可得tanα+tanβ=﹣4a＜0，tanα•tanβ=3a+1＞4，求得tan（α+β）=，tanα＜0，tanβ＜0．再由，可得∈，再由=tan（α+β）=，解得tan的值．【解答】解：∵已知方程x2+4ax+3a+1=0（a＞1）的两根为tanα，tanβ，∴tanα+tan β=﹣4a＜0，tanα•tanβ=3a+1＞4．∴tan（α+β）===，∴tanα＜0，tanβ＜0．再由，可得，故∈．再由=tan（α+β）=，解得tan=﹣2，或tan=（舍去），故选B．9．已知不等式组，所表示的平面区域为D，若直线y=ax﹣2与平面区域D有公共点，则实数a的取值范围为（）A．[﹣2，2] B．（﹣∞，﹣]∪[，+∞） C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．[﹣，]【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：画出可行域（如图阴影部分所示），直线y=ax﹣2恒过点A（0，﹣2），则直线与区域D有公共点时满足a≥k AB或a≤k AC．而，，则a≥2或a≤﹣2，故选：C10．已知直线l过抛物线E：y2=4x的焦点F，且依次交抛物线E及其准线于点A，B，C（点B在点A，C之间）若|BC|=2|BF|，则|AF|=（）A．B．4 C．6 D．12【考点】抛物线的简单性质．【分析】过B向准线做垂线垂足为D，过A点向准线做垂线垂足为E，准线与x轴交点为H，根据抛物线性质可知|BD|=|BF|，根据|BC|=2|BF|，判断∠C=30°，进而可知，∠EAC=60°，根据|AF|=|AE|进而判断三角形AEF为正三角形．进而可知∠FEC=30°，推断出|AF|=|AE|=EF|，根据|EF|=2|HF|求得|EF|答案可得．【解答】解：y2=4x的焦点F为（1，0），准线为x=﹣1，过B向准线作垂线垂足为D，过A点向准线做垂线垂足为E，准线与x轴交点为H，根据抛物线性质可知|BD|=|BF∵|BC|=2|BF|，∴|BC|=2|BD|，∴∠C=30°，∠EAC=60°又∵|AF|=|AE|，∴∠FEA=60°∴|AF|=|AE|=EF|，∵|EF|=2|HF|=4，即有|AF|=4．故选：B．11．已知函数f（x）=2mx3﹣3nx2+10（m，n＞0）有两个不同零点，则5lg2m+9lg2n 的最小值是（）A．6 B．C．1 D．【考点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理．【分析】由题意可得函数的极大值或极小值等于0，求得m、n的关系，再取对数得lgn=+lgm，即可将问题转化为二次函数求最小值解得结论．【解答】解：∵f（x）=2mx3﹣3nx2+10（m，n＞0）∴f′（x）=6mx2﹣6nx=6x（mx﹣n），∴由f′（x）=0得x=0或x=，∵f（x）=2mx3﹣3nx2+10（m＞0）有且仅有两个不同的零点，又f（0）=10，∴f（）=0，即2m•（）3﹣3n•（）2+10=0，整理得n3=10m2，两边取对数得3lgn=1+2lgm，∴lgn=+lgm，∴5lg2m+9lg2n=5lg2m+9（+lgm）2=9lg2m+4lgm+1=9（lgm+）2+，∴当lgm=﹣时，5lg2m+9lg2n有最小值为．故选D．12．若某空间几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体的外接球的体积是（）A．πB．πC．π D．8π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体是三棱锥，画出直观图，由图求出棱长、判断出线面的位置关系，由线面垂直的定义、判定定理证明出AC⊥CD，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出球的半径，由球的体积公式求出几何体的外接球的体积．【解答】解：由三视图知几何体是三棱锥A﹣BCD，直观图如图所示：取AD的中点M，连接BM，CM，其中底面△BCD是等腰直角三角形，，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，，∴BD==2，∵AB⊥CD，AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC，则AC⊥CD，∵AB⊥BD，且M是AD的中点，∴，则该几何体的外接球的半径是，∴该几何体的外接球的体积为，故选C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（+x）2n（n∈N*）的展开式中，只有第5项的系数最大，则其x2项的系数为70 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】由题意求得n=4，在二项式展开式的通项公式中，再令x的幂指数等于2，求得r 的值，即可求得展开式中的其x2项的系数．【解答】解：由题意，2n=8，n=4，则展开式的通项为，令，得r=4，故．故答案为：70．14．设f（x）=，记f1（x）=f（x），若f k+1（x）=f（f k（x）），k=1，2，…，则f2016（x）= x ．【考点】函数的值．【分析】利用函数的性质推导出f1（x），f2（x），f3（x），f4（x），由此能求出f2016（x）．【解答】解：∵f（x）=，记f1（x）=f（x），f k+1（x）=f（f k（x）），k=1，2，…，∴f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x））=f（）==x，f3（x）=f（f2（x））=f（x）=，f4（x）=f（f3（x））=f（x）=．…∴f n（x）=．∴f2016（x）=x．故答案为：x．15．设||=||=，若函数f（x）=|+x|（x∈R）的最小值为1，则•= ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量数量积的模长公式将条件进行化简，利用构造法，转化为一元二次函数进行求解即可．【解答】解：由于，函数（x∈R）的最小值为1，则，即的最小值为1，令，设g（x）=2x2+2tx+2，当且仅当时，g（x）取得最小值，因此，解得，所以．故答案为：16．如图所示，扇形AOB中，圆心角∠AOB=，半径为2，在弧上有一动点P，过P引平行于OB的直线与OA交于点C，设∠AOP=θ，则△POC面积的最大值为．【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【分析】由已知及正弦定理可得，解得，利用三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可得S△POC=sin（2）﹣，利用θ的范围及正弦函数的性质即可解得其最大值．【解答】解：由题意可知：，，在△POC中，由正弦定理得：，得：，所以，=，当时，S△POC的最大值为．故答案为：．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且对任意正整数n，点（a n+1，S n）在直线2x+y ﹣2=0上．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列{S n+λ•n+}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，则说明理由．【考点】数列递推式；等差关系的确定．【分析】（Ⅰ）由已知条件可得2a n+1+S n﹣2=0，可得n≥2时，2a n+s n﹣1﹣2=0，相减可得=（n≥2）．由此可得{a n}是首项为1，公比为的等比数列，由此求得数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）先求出s n=2﹣，若数列{S n+λ•n+}为等差数列，则由第二项的2倍等于第一项加上第三项，求出λ=2，经检验λ=2时，此数列的通项公式是关于n的一次函数，故满足数列为等差数列，从而得出结论．【解答】解：（Ⅰ）∵点（a n+1，S n）在直线2x+y﹣2=0上，∴2a n+1+S n﹣2=0．①n≥2时，2a n+s n﹣1﹣2=0．②①─②得2a n+1﹣2a n+a n=0，∴=（n≥2）．再由a1=1，可得a2=．∴{a n}是首项为1，公比为的等比数列，∴a n=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得s n==2﹣．若数列{S n+λ•n+}为等差数列，则s1+λ+，s2+2λ+，s3+3λ+成等差数列，∴2（s2+2λ+）=（s1+λ+）+（s3+3λ+），解得λ=2．又λ=2时，S n+λ•n+=2n+2，显然{2n+2}成等差数列，故存在实数λ=2，使得数列{S n+λ•n+}成等差数列．18．如图1，在平行四边形ABCD中，AB=2AD，E，F分别为AB，CD的中点，沿EF 将四边形AEFD折起到新位置变为四边形A′EFD′，使A′B=A′F（如图2所示）．（1）证明：A′E⊥BF；（2）若∠BAD=60°，A′E=A'B=2，求二面角A′﹣EF﹣C的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）根据线面垂直的性质定理证明BF⊥平面A'EO即可证明：A′E⊥BF；（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角A′﹣EF﹣C的余弦值．【解答】解：（1）证明：在图2中取BF的中点O，连接A'O，EO，因为A'B=A'F，所以BF⊥A'O，…又因为BE=EF，所以BF⊥EO，…因为A'O∩EO=O，所以BF⊥平面A'EO，…而A'E⊂平面A'EO，所以A'E⊥BF．…（2）由（1）知BF⊥A'O，BF⊥EO，因为BE=EF=2，∠BEF=60°，所以BF=2，因为，所以，所以△A'BF为等腰直角三角形，且A'O=1，，所以A'O⊥EO，…以O为原点，直线OE，OF，OA'分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，则O（0，0，0），，F（0，1，0），A'（0，0，1），所以，，可求得平面A'EF的一个法向量为，易知是平面BEF的一个法向量，…所以，…因为二面角A'﹣EF﹣C为锐角，故二面角A'﹣EF﹣C的余弦值为．…19．一次测验共有4个选择题和2个填空题，每答对一个选择题得20分，每答对一个填空题得10分，答错或不答得0分，若某同学答对每个选择题的概率均为，答对每个填空题的概率均为，且每个题答对与否互不影响．（1）求该同学得80分的概率；（2）若该同学已经答对了3个选择题和1个填空题，记他这次测验的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）记“该同学得80分”为事件A，利用n次独立重复试验概率计算公式能求出该同学得80分的概率．（Ⅱ）由题意知，ξ的可能取值为70、80、90、100，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）记“该同学得80分”为事件A，则…（Ⅱ）由题意知，ξ的可能取值为70、80、90、100，，，，，∴ξ的分布列为：ξ70 80 90 100P．…20．已知离心率为的椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点A（1，）．（1）求椭圆E的方程；（2）若不过点A的直线l：y=x+m交椭圆E于B，C两点，求△ABC面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）根据，设，c=n，则b=n，椭圆E的方程为，代入点A的坐标解出即可；（2）设B（x1，y1），C（x2，y2）．直线l：y=x+m代入椭圆方程并化简，再利用根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）因为，所以设，c=n，则b=n，椭圆E的方程为．代入点A的坐标得，n2=1，所以椭圆E的方程为．…（2）设点B，C的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由得，即，，…△=2m2﹣4（m2﹣1）＞0，m2＜2．…==，点A到直线l的距离，…△ABC的面积==…，当且仅当m2=2﹣m2，即m2=1时等号成立．所以当m=±1时，△ABC面积的最大值为．…21．已知函数f（x）=ln（ax+1）+a，g（x）=sin+bx，直线l与曲线y=f（x）切于点（0，f（0）），且与曲线y=g（x）切于点（1，g（1））．（1）求实数a，b的值；（2）证明：（ⅰ）＜f（x）﹣1＜x（x＞0）；（ⅱ）当n为正整数时，﹣1＜﹣lnn≤．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求得f（x），g（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线的方程，由斜率相等和截距相等，可得a=b=1；（2）（ⅰ）令，求得导数，判断单调性，可得＜f（x）﹣1；令φ（x）=ln（x+1）﹣x，求得导数，判断单调性可得f（x）﹣1＜x；（ⅱ）由（ⅰ），取x=得：＜ln（1+）＜，令x n=﹣lnn，判断单调性，可得﹣lnn≤；再由放缩法，可得﹣1＜﹣lnn．【解答】解：（1）由f（x）的导数，g（x）的导数，则f（0）=a，f'（0）=a，g（1）=1+b，g'（1）=b，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线为y=ax+a，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线为y=b（x﹣1）+1+b，即y=bx+1，依题意，得a=b=1；证明：（2）（ⅰ）f（x）﹣1=ln（x+1），令，所以，当x∈（0，+∞）时，h'（x）＜0，所以h（x）单调递减，所以h（x）＜h（0）=0；令φ（x）=ln（x+1）﹣x，则，所以φ（x）单调递减，故φ（x）＜φ（0）=0，所以成立；（ⅱ）由（ⅰ），取x=得：＜ln（1+）＜，令x n=﹣lnn，则x1=，当n≥2时，x n﹣x n﹣1=﹣ln（1+）＜﹣=﹣＜0．因此x n＜x n﹣1＜…＜x1=．又lnn=[lnk﹣ln（k﹣1）]+ln1=ln（1+），故x n=﹣ln（1+）=[﹣ln（1+）]+，所以当n为正整数时，成立．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，直线PO与直径为4的圆O交于B，C两点，且PC=2，直线PA切圆O于点A（Ⅰ）证明：AB=AP；（Ⅱ）若AM⊥PB，延长MC交AP于点N，求证：MN⊥PA．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）求出∠P=∠B=30°，即可证明：AB=AP ；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，∠M=∠B=30°=∠P ，利用AM ⊥PB ，证明：MN ⊥PA ．【解答】证明：（Ⅰ）∵直线PO 与直径为4的圆O 交于B ，C 两点，且PC=2，直线PA 切圆O 于点A ，∴PA 2=PC •PB=12，∴PA=2，∴∠P=30°，∠AOP=60°，∵OA=OB ，∴∠B=30°，∴∠P=∠B ，∴AB=AP ；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，∠M=∠B=30°=∠P ，∵AM ⊥PB ，∴MN ⊥PA ．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．以直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，且两坐标系相同的长度单位．已知点N 的极坐标为（，），M 是曲线C 1：ρ=1上任意一点，点G 满足=+，设点G 的轨迹为曲线C 2．（1）求曲线C 2的直角坐标方程；（2）若过点P （2，0）的直线l 的参数方程为（t 为参数），且直线l 与曲线C 2交于A ，B 两点，求+的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）由ρ=1，得x2+y2=1，可得曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=1．设G（x，y），M（x0，y0），利用向量坐标运算可得点M的坐标用点G的坐标表示，代入曲线C1的方程即可得出方程．（Ⅱ）把直线l（t为参数）的方程代入曲线C2的直角坐标方程可得：．利用一元二次方程的根与系数的关系即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由ρ=1，得x2+y2=1，∴曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=1，∵点N的直角坐标为（1，1），设G（x，y），M（x0，y0），又，即（x，y）=（x0，y0）+（1，1），∴，代入，得（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，∴曲线C2的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1．（Ⅱ）把直线l（t为参数）的方程代入曲线C2的直角坐标方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，得，即．设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则，易知t1＞0，t2＞0，∴．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＞0的解集；（2）若不等式|m+1|≥f（x）+3|x﹣2|有解，求实数m的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）不等式f（x）＞0，即|2x+1|﹣|x﹣2|＞0，由不等式|2x+1|＞|x﹣2|两边平方化简，即可求不等式f（x）＞0的解集；（2）若不等式|m+1|≥f（x）+3|x﹣2|有解，即|m+1|≥|2x+1|+|2x﹣4|有解．设g（x）=|2x+1|+|2x﹣4|，则问题可转化为|m+1|≥g（x）min，即可求实数m的取值范围．【解答】解：（1）不等式f（x）＞0，即|2x+1|﹣|x﹣2|＞0，由不等式|2x+1|＞|x﹣2|两边平方化简得：（3x﹣1）（x+3）＞0解得：x＜﹣3或，所以不等式f（x）＞0的解集为．…（2）由条件知，不等式|m+1|≥f（x）+3|x﹣2|有解，即|m+1|≥|2x+1|+|2x﹣4|有解．设g（x）=|2x+1|+|2x﹣4|，则问题可转化为|m+1|≥g（x）min，而g（x）=|2x+1|+|2x﹣4|≥|2x+1﹣2x+4|=5，由|m+1|≥5解得：m≤﹣6或m≥4，所以a的取值范围是（﹣∞，﹣6]∪[4，+∞）．…2016年9月19日。
【2018新课标-全国通用】最新高考总复习数学(理)高考模拟试题及答案解析五
2018高三数学模拟试题(考试时间:120分钟 满分100分本试题分第I 卷和第II 卷两部分)第I 卷 （选择题 45分）一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共45分）1．已知集合{}{}4),(,2),(=-==+=y x y x N y x y x M ，那么集合N M ⋂为 （ ）A ．1,3-==y xB ．)1,3(-C ．{}1,3-D ．{})1,3(-2．不等式321<-x 的解集是（ ）A ．{}1<x xB ．{}21<<-x xC ．{}2>x xD ．{}21>-<x x x 或3．下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）A ．2)1(1-=-=x y x y 与 B ．111--=-=x x y x y 与C ．2lg 2lg 4x y x y ==与D ．100lg 2lg xx y =-=与 4．函数12sin()23y x π=+的最小正周期是（ ）A.6π B.2π C.4πD.4π 5．函数2log (1)y x =+的图象经过（ ）A.（0, 1）B.（1，0）C.（0, 0）D.（2, 0） 6．过点(3,2)M 的抛物线方程是（ ）A.292x y =B 243y x = C. 243y x = 或 292x y = D.234y x = 或229x y =7 二次不等式02>++c bx ax 的解集为全体实数的条件是（ ）A ．⎩⎨⎧>∆>00aB ．⎩⎨⎧<∆>00aC ．⎩⎨⎧>∆<00aD ．⎩⎨⎧<∆<0a8 函数x x y 22-=的定义域为{}3,2,1,0，那么其值域为（）A ．{}3,0,1-B ．{}3,2,1,0C ．{}31≤≤-y yD ．{}30≤≤y y 9 已知函数228)(x x x f -+=，那么（）A ．)(x f 是减函数B ．)(x f 在]1,(-∞上是减函数C ．)(x f 是增函数D ．)(x f 在]1,(-∞上是增函数 10 若3log ,3lg ,2lg 2则b a ==等于（）A ．a b B ．ba C ．b a D ．a b 11. 已知83=-x ，那么x 等于（ ）A ．2B ．2-C ．2±D ．21 12 下列命题不正确的是A ．过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；B ．如果平面的一条斜线在平面内的射影与某直线垂直，则这条斜线必与这条直线垂直；C ．两异面直线的公垂线有且只有一条；D ．如果两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行。
〖全国卷-2018名师推荐〗高考总复习数学(理)第一次高考模拟试题及答案解析一
2018年高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={x||x﹣2|≤2，x∈R}，B={x|﹣1≤x≤2}，则∁R（A∩B）等于（）A．{x|﹣1＜x＜0} B．{x|2≤x＜4} C．{x|x＜0或x＞2} D．{x|x≤0或x≥2}2．在复平面内，复数z=的共轭复数对应的点所在的象限（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知x＞0，则“a=4“是“x+≥4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．执行如图所示的程序框图，若输出的n=6，则输入整数p的最小值是．（）A．17 B．16 C．18 D．195．在等差数列{a n}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则2a10﹣a12的值为（）A．6 B．12 C．24 D．606．已知O为坐标原点，双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F，以OF为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点O的两点A、B，若（+）•=0，则双曲线的离心率e为（）A．2 B．3 C．D．7．在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=k（x+3）与圆x2+y2=1相交的概率为（）A．B．C．D．8．有以下命题：①命题“∃x∈R，x2﹣x﹣2≥0”的否定是：“∀x∈R，x2﹣x﹣2＜0”；②已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）=0.79）则P（ξ≤﹣2）=0.21；③函数f（x）=﹣（）x的零点在区间（，）内；其中正确的命题的个数为（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个9．已知函数y=f（x）定义在实数集R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时xf′（x）＜﹣f（x）成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=f（），b=f（1），c=﹣2f（log2），则a，b，c的大小关系是（）A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b10．已知实数x，y满足：，则使等式（t+2）x+（t﹣1）y+2t+4=0成立的t取值范围为（）A．[﹣，）B．（﹣∞，﹣]∪（﹣，+∞）C．[﹣，1）D．[﹣，1）11．已知四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，又AB=3，BC=2，BD=4，且∠CBD=60°，则球O的表面积为（）A．12πB．16πC．20πD．25π12．如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD．若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中，下列判断正确的是（）A．满足λ+μ=2的点P必为BC的中点B．满足λ+μ=1的点P有且只有一个C．λ+μ的最大值为3D．λ+μ的最小值不存在二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．设a=dx，则二项式（ax2﹣）6展开式中的常数项为．14．寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E 五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有种．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中A=120°，b=1，且△ABC的面积为，则= ．16．对于问题：“已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），解关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0”，给出如下一种解法：解：由ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），得a（﹣x）2+b（﹣x）+c＞0的解集为（﹣2，1），即关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为（﹣2，1）．参考上述解法，若关于x的不等式+＜0的解集为（﹣3，﹣1）∪（1，2），则关于x的不等式+＜0的解集为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．在等比数列{a n}中，a3=，S3=．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=log2，且{b n}为递增数列，若C n=，求证：C1+C2+C3+…C n＜．18．一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：，，f3（x）=2，，，f6（x）=xcosx．（Ⅰ）从中任意拿取2张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数．在此条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；（Ⅱ）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．19．已知某几何体直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，（Ⅰ）求证：BN⊥平面C1B1N；（Ⅱ）设θ为直线C1N与平面CNB1所成的角，求sinθ的值；（Ⅲ）设M为AB中点，在BC边上找一点P，使MP∥平面CNB1并求的值．20．定长为3的线段AB两端点A、B分别在x轴，y轴上滑动，M在线段AB上，且．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）设过且不垂直于坐标轴的动直线l交轨迹C于A、B两点，问：线段OF上是否存在一点D，使得以DA，DB为邻边的平行四边形为菱形？作出判断并证明．21．对于函数y=f（x）的定义域为D，如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]上是单调函数；②当f（x）的定义域为[m，n]时，值域也是[m，n]，则称区间[m，n]是函数f（x）的“Z区间”．对于函数f（x）=（a＞0）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）在（e，1﹣e）处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）存在“Z区间”，求a的取值范围．选做题：（考生从以下三题中选做一题）选修4-1：几何证明选讲22．如图，AB是⊙O的直径，C、F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB 的延长线于点D．连接CF交AB于点E．（1）求证：DE2=DB•DA；（2）若DB=2，DF=4，试求CE的长．选修4-4：坐标系与参数方程．23．已知曲线C的极坐标方程为ρ=，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；（Ⅱ）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．选修4-5：不等式选讲．24．设函数f（x）=|x+1|+|x﹣5|，x∈R．（1）求不等式f（x）≤2x的解集；（2）如果关于x的不等式log a2＜f（x）在R上恒成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={x||x﹣2|≤2，x∈R}，B={x|﹣1≤x≤2}，则∁R（A∩B）等于（）A．{x|﹣1＜x＜0} B．{x|2≤x＜4} C．{x|x＜0或x＞2} D．{x|x≤0或x≥2}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】集合A为绝对值不等式的解集，由绝对值的意义解出，求出其和集合B的交集，求出后进行集合的运算即可．【解答】解：A=[0，2]，B=[﹣1，2]，所以A∩B=[0，2]=A，∁R（A∩B）{x|x＜0或x＞2}，故选：C．【点评】本题考查对集合的认识以及集合的基本运算，属基本题．2．在复平面内，复数z=的共轭复数对应的点所在的象限（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【专题】计算题；规律型；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的除法化简复数，求出对应点的坐标，即可判断选项．【解答】解：复数z===﹣1﹣2i．复数z=的共轭复数对应的点（﹣1，2），所在的象限是第二象限．故选：B．【点评】本题考查复数的几何意义，复数的代数形式混合运算，考查计算能力．3．已知x＞0，则“a=4“是“x+≥4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】结合基本不等式的性质以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：若a=4，则根据基本不等式的性质可知x+=x+≥2=4，当且仅当x=，即x=2时取等号，即充分性成立．若a=16，x+=x+≥2=8，当且仅当x=，即x=4时取等号，此时满足x+≥4成立，但a=4不成立，即必要性不成立，故“a=4“是“x+≥4”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据基本不等式的性质是解决本题的关键．4．执行如图所示的程序框图，若输出的n=6，则输入整数p的最小值是．（）A．17 B．16 C．18 D．19【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；分析法；算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算累加器S≥p时的n值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环S n循环前/0 1第一圈是 1 2第二圈是 3 3第三圈是7 4第四圈是15 5第五圈是31 6第六圈否故当S值不大于16时继续循环，故p的最小整数值为16．故选：B【点评】处理此类问题时，一定要注意多写几步，从中观察得出答案；本题若将n=n+1与S=S+2n ﹣1的位置调换一下，则情况又如何呢？同学们可以考虑一下．算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．5．在等差数列{a n}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则2a10﹣a12的值为（）A．6 B．12 C．24 D．60【考点】等差数列的通项公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式求解．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，a4+a6+a8+a10+a12=120，∴5a1+35d=120，解得a1+7d=24，∴2a10﹣a12=2（a1+9d）﹣（a1+11d）=a1+7d=24．故选：C．【点评】本题考查等差数列的通项公式的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．6．已知O为坐标原点，双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F，以OF为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点O的两点A、B，若（+）•=0，则双曲线的离心率e为（）A．2 B．3 C．D．【考点】双曲线的简单性质；平面向量数量积的运算．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先画出图形，如图，设OF的中点为C，则+=，由题意得AC⊥OF，根据三角形的性质可得AC=AF，又AF=OF，从而得出△AOF是正三角形，即双曲线的渐近线的倾斜角为60°，得出a，b的关系式，即可求出双曲线的离心率e．【解答】解：如图，设OF的中点为C，则+=，由题意得，•=0，∴AC⊥OF，∴AO=AF，又c=OF，OA：y=，A的横坐标等于C的横坐标，所以A（，），且AO=，AO2=，所以a=b，则双曲线的离心率e为=．故选C．【点评】本题给出以双曲线右焦点F为圆心的圆过坐标原点，在已知若（+）•=0的情况下求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．7．在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=k（x+3）与圆x2+y2=1相交的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的k，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．【解答】解：圆x2+y2=1的圆心为（0，0）圆心到直线y=k（x+3）的距离为要使直线y=k（x+3）与圆x2+y2=1相交，则＜1，解得﹣＜k＜．∴在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使y=k（x+3）与圆x2+y2=1相交的概率为=．故选：C．【点评】本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题．8．有以下命题：①命题“∃x∈R，x2﹣x﹣2≥0”的否定是：“∀x∈R，x2﹣x﹣2＜0”；②已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）=0.79）则P（ξ≤﹣2）=0.21；③函数f（x）=﹣（）x的零点在区间（，）内；其中正确的命题的个数为（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】①根据特称命题的否定进行判断；②根据正态分布的定义和性质判断；③利用根的存在性判断．【解答】解：①根据特称命题的否定是全称命题知：命题“存在x∈R，使x2﹣x﹣2≥0”的否定是：“对任意的x∈R，都有x2﹣x﹣2＜0”；所以正确．②因为正态分布的对称轴为x=1，所以P（ξ≤﹣2）=P（ξ≥4）=1﹣P（ξ≤4）=1﹣0.79=0.21，所以正确．③因为f （）＜0，f （）＞0，所以根据根的存在性定理可知，正确． 故选A ．【点评】本题主要考查命题的真假判断，综合性较强，涉及的知识点较多．9．已知函数y=f （x ）定义在实数集R 上的奇函数，且当x ∈（﹣∞，0）时xf ′（x ）＜﹣f （x ）成立（其中f ′（x ）是f （x ）的导函数），若a=f （），b=f （1），c=﹣2f （log 2），则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c ＞a ＞bB ．c ＞b ＞aC ．a ＞b ＞cD ．a ＞c ＞b 【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质．【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用；导数的概念及应用．【分析】由f （x ）为奇函数得到f （﹣x ）=﹣f （x ），有xf ′（x ）+f （x ）＜0，由导数的积的运算得到[xf （x ）]′＜0，令F （x ）=xf （x ），则F （x ）为偶函数，且在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数，由c=﹣2f （﹣2）=2f （2）=g （2），a=f （）=g （），b=f （1）=g （1），即可得到所求大小关系．【解答】解：当x ∈（﹣∞，0）时，xf ′（x ）＜﹣f （x ）， 即xf ′（x ）+f （x ）＜0， ∴[xf （x ）]′＜0， ∴令F （x ）=xf （x ），由函数y=f （x ）是定义在R 上的奇函数， 则F （x ）为偶函数，且在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数， 由c=﹣2f （log 2）=﹣2f （﹣2）=2f （2）=g （2），a=f （）=g （），b=f （1）=g （1），由1＜＜2，可得b ＜a ＜c ．故选：A ．【点评】本题主要考查函数的性质及应用，考查奇偶函数的定义及应用，函数的单调性及应用，以及应用导数的运算法则构造函数的能力，是函数的综合题．10．已知实数x，y满足：，则使等式（t+2）x+（t﹣1）y+2t+4=0成立的t取值范围为（）A．[﹣，）B．（﹣∞，﹣]∪（﹣，+∞）C．[﹣，1）D．[﹣，1）【考点】简单线性规划．【专题】计算题；作图题；数形结合；转化思想；不等式．【分析】由题意作平面区域，从而化简可得t==1﹣，而几何意义是点A（﹣2，0）与阴影内的点的连线的斜率，从而结合图象解得．【解答】解：由题意作平面区域如下，，∵（t+2）x+（t﹣1）y+2t+4=0，∴t（x+y+2）+2x﹣y+4=0，∴t==1﹣，几何意义是点A（﹣2，0）与阴影内的点的连线的斜率，而k AB==，k AC==1，故≤＜1，故＜≤，故﹣≤1﹣＜﹣，故选：A．【点评】本题考查了数形结合的思想应用，同时考查了转化的思想应用，关键在于化简得到t=1﹣．11．已知四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，又AB=3，BC=2，BD=4，且∠CBD=60°，则球O的表面积为（）A．12πB．16πC．20πD．25π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；转化思想；综合法；球．【分析】由余弦定理求出CD=2，以AB、BC、CD、AB为长方体的长、宽、高构造长方体AGHF﹣BCDF，球O的半径R=，由此能求出球O的表面积．【解答】解：∵四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，又AB=3，BC=2，BD=4，且∠CBD=60°，∴CD==2，∴BC2+CD2=BD2，∴AB⊥平面BCD，BC⊥CD，∴以AB、BC、CD、AB为长方体的长、宽、高构造长方体AGHF﹣BCDF，则球O的半径R===，∴球O的表面积S=4=25π．故选：D．【点评】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．12．如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD．若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中，下列判断正确的是（）A．满足λ+μ=2的点P必为BC的中点B．满足λ+μ=1的点P有且只有一个C．λ+μ的最大值为3D．λ+μ的最小值不存在【考点】向量的加法及其几何意义．【专题】平面向量及应用．【分析】建立坐标系可得=（λ﹣μ，μ），A，B选项可举反例说明，通过P的位置的讨论，结合不等式的性质可得0≤λ+μ≤3，进而可判C，D的正误，进而可得答案．【解答】解：由题意，不妨设正方形的边长为1，建立如图所示的坐标系，则B（1，0），E（﹣1，1），故=（1，0），=（﹣1，1），所以=（λ﹣μ，μ），当λ=μ=1时，=（0，1），此时点P与D重合，满足λ+μ=2，但P不是BC的中点，故A错误；当λ=1，μ=0时，=（1，0），此时点P与B重合，满足λ+μ=1，当λ=，μ=时，=（0，），此时点P为AD的中点，满足λ+μ=1，故满足λ+μ=1的点不唯一，故B错误；当P∈AB时，有0≤λ﹣μ≤1，μ=0，可得0≤λ≤1，故有0≤λ+μ≤1，当P∈BC时，有λ﹣μ=1，0≤μ≤1，所以0≤λ﹣1≤1，故1≤λ≤2，故1≤λ+μ≤3，当P∈CD时，有0≤λ﹣μ≤1，μ=1，所以0≤λ﹣1≤1，故1≤λ≤2，故2≤λ+μ≤3，当P∈AD时，有λ﹣μ=0，0≤μ≤1，所以0≤λ≤1，故0≤λ+μ≤2，综上可得0≤λ+μ≤3，故C正确，D错误．故选C【点评】本题考查向量加减的几何意义，涉及分类讨论以及反例的方法，属中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．设a=dx，则二项式（ax2﹣）6展开式中的常数项为15 ．【考点】二项式定理的应用．【专题】转化思想；综合法；二项式定理．【分析】先利用定积分求出a的值，再利用二项展开式的通项公式求出展开式中的常数项．【解答】解：a=dx=lnx=2﹣1=1，则二项式（ax2﹣）6 =（x2﹣）6 的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•x12﹣3r，令12﹣3r=0，求得r=4，可得展开式中的常数项为=15，故答案为：15．【点评】本题主要考查定积分的计算，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．14．寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E 五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有45 种．【考点】计数原理的应用．【专题】计算题；整体思想；分析法；排列组合．【分析】设5名同学也用A，B，C，D，E来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法，设E同学坐在自己的座位上，则其他四位都不是自己的座位，一一列举，根据分步计算原理可得．【解答】解：设5名同学也用A，B，C，D，E来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法，设E同学坐在自己的座位上，则其他四位都不是自己的座位，则有BADC，CADB，DABC，BDAC，CDAB，DCAB，BCDA，DCBA，CDBA共9种坐法，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有5×9=45种，故答案为：45．【点评】本题考查错位排序法，需要分类讨论，列举要不重不漏，属于中档题．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中A=120°，b=1，且△ABC的面积为，则= 2．【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】先利用面积公式，求出边a=4，再利用正弦定理求解比值．【解答】解：由题意，=×c×1×sin120°∴c=4，∴a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣2×1×4×（﹣）=21．∴a=∴==2．故答案为：2．【点评】本题的考点是正弦定理，主要考查正弦定理的运用，关键是利用面积公式，求出边，再利用正弦定理求解．16．对于问题：“已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），解关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0”，给出如下一种解法：解：由ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），得a（﹣x）2+b（﹣x）+c＞0的解集为（﹣2，1），即关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为（﹣2，1）．参考上述解法，若关于x的不等式+＜0的解集为（﹣3，﹣1）∪（1，2），则关于x的不等式+＜0的解集为（﹣1，﹣）∪（，1）．【考点】类比推理．【专题】计算题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】观察发现ax2+bx+c＞0将x换成﹣x得a（﹣x）2+b（﹣x）+c＞0，则解集也相应变化，﹣x∈（﹣1，2），则x∈（﹣2，1），不等式+＜0可看成前者不等式中的x用代入可得，分析可得答案．【解答】解：由ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），得a（﹣x）2+b（﹣x）+c＞0的解集为（﹣2，1），发现﹣x∈（﹣1，2），则x∈（﹣2，1）若关于x的不等式+＜0的解集为（﹣3，﹣1）∪（1，2），则关于x的不等式+＜0可看成前者不等式中的x用代入可得，则∈（﹣3，﹣1）∪（1，2），∴x∈（﹣1，﹣）∪（，1），故答案为：（﹣1，﹣）∪（，1）．【点评】本题考查了类比推理，通过已知条件发现规律，属于基础题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．在等比数列{a n }中，a 3=，S 3=． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）记b n =log 2，且{b n }为递增数列，若C n =，求证：C 1+C 2+C 3+…C n ＜．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】分类讨论；作差法；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）讨论q=1，q ≠1，由等比数列的通项公式和求和公式，解方程即可得到q ，和a 1，进而得到通项公式；（Ⅱ）由对数的运算性质，求得b n =2n ，化C n ===（﹣），再由数列的求和方法：裂项相消求和，预计不等式的性质，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）∵a 3=，S 3=，∴当q=1时，S 3=3a 1=，满足条件，∴q=1．当q ≠1时，a1q2=， =，解得a 1=6，q=﹣．综上可得：a n =或a n =6•（﹣）n ﹣1；（Ⅱ）证明：由题意可得b n =log 2=log 2=log 222n =2n ，则C n ===（﹣），即有C 1+C 2+C 3+…C n =（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=﹣＜．故原不等式成立．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、前n 项和公式，考查了分类讨论方法、和不等式的证明，注意运用裂项相消求和和不等式的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．18．一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：，，f3（x）=2，，，f6（x）=xcosx．（Ⅰ）从中任意拿取2张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数．在此条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；（Ⅱ）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用．【专题】计算题；概率与统计．【分析】（Ⅰ）所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数，先求出基本事件总数为，满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，再求出满足条件的基本事件个数为，由此能求出结果．（Ⅱ）ξ可取1，2，3，4．分别求出对应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）为奇函数；为偶函数；f3（x）=2为偶函数；为奇函数；为偶函数；f6（x）=xcosx为奇函数…所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数；故基本事件总数为满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，故满足条件的基本事件个数为故所求概率为．…（Ⅱ）ξ可取1，2，3，4．…，；故ξ的分布列为ξ 1 2 3 4P…．∴ξ的数学期望为．…【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是历年高考的必考题型．解题时要注意排列组合和概率知识的合理运用．19．已知某几何体直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，（Ⅰ）求证：BN⊥平面C1B1N；（Ⅱ）设θ为直线C1N与平面CNB1所成的角，求sinθ的值；（Ⅲ）设M为AB中点，在BC边上找一点P，使MP∥平面CNB1并求的值．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；直线与平面所成的角．【专题】计算题；转化思想；向量法；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）以BA，BB1，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BN ⊥平面C1B1N．（Ⅱ）求出平面NCB1的一个法向量，利用向量法能求出sinθ．（Ⅲ）设P（0，0，a）为BC上一点，利用向是琺能求出当PB=时，MP∥平面CNB1及此时的值．【解答】证明：（Ⅰ）∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，∴BA，BC，BB1两两垂直．…以BA，BB1，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则N（2，2，0），B1（0，4，0），C1（0，4，2），C（0，0，2），∵=4﹣4+0=0，=0，∴BN⊥NB1，BN⊥B1C1且NB1，∵B1C1相交于B1，∴BN⊥平面C1B1N．解：（Ⅱ）设=（x，y，z）为平面NCB1的一个法向量，则，取x=1，得=（1，1，2），∵=（2，﹣2，﹣2），∴sinθ===．（Ⅲ）∵M（1，0，0）．设P（0，0，a）为BC上一点，则=（﹣1，0，a），∵MP∥平面CNB1，∴，=﹣1+2a=0，解得a=，又PM⊄平面CNB1，∴MP∥平面CNB1，∴当PB=时，MP∥平面CNB1，∴=．…【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．定长为3的线段AB两端点A、B分别在x轴，y轴上滑动，M在线段AB上，且．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）设过且不垂直于坐标轴的动直线l交轨迹C于A、B两点，问：线段OF上是否存在一点D，使得以DA，DB为邻边的平行四边形为菱形？作出判断并证明．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【专题】综合题．【分析】（1）设A（x1，0），B（0，y1），M（x，y），则，由此能求出点M的轨迹C的方程．（2）设满足条件的点D（0，m），设l的方程为：，代入椭圆方程，得，设，．由以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，知，由此能导出存在满足条件的点D．【解答】解：（1）设A（x1，0），B（0，y1），M（x，y）则，|AB|=3==1（2）存在满足条件的D点．设满足条件的点D（0，m），则，设l的方程为：y=kx+，（k≠0），代入椭圆方程，得（k2+4）x2+2kx﹣1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，∴y1+y2=k（x1+x2）+2．∵以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，∴，=，的方向向量为（1，k），=0，∴﹣﹣2mk=0即m=∵k2＞0，∴m=，∴0＜m＜，∴存在满足条件的点D．【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．21．对于函数y=f（x）的定义域为D，如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]上是单调函数；②当f（x）的定义域为[m，n]时，值域也是[m，n]，则称区间[m，n]是函数f（x）的“Z区间”．对于函数f（x）=（a＞0）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）在（e，1﹣e）处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）存在“Z区间”，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】综合题；分类讨论；分类法；导数的概念及应用．【分析】（Ⅰ）若a=1，则f（x）=lnx﹣x，f′（x）=，求出切线斜率，代入点斜式方程，可得答案；（Ⅱ）结合函数f（x）存在“Z区间”的定义，分类讨论满足条件的a的取值范围，综合讨论结果，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）若a=1，x=e，则f（x）=lnx﹣x，f′（x）=，则切点坐标为（e，1﹣e），切线斜率k=f′（e）=﹣1，∴函数f（x）在（e，1﹣e）处的切线方程为y﹣（1﹣e）=（﹣1）（x﹣e），即（e﹣1）x+ey=0．（Ⅱ）∵f（x）=（a＞0）．∴f′（x）=（a＞0）．列表如下x （﹣∞，0）（0，a） a （a，+∞）f′（x）﹣﹣0 ﹣f（x）减增极大值减设函数f（x）存在“Z区间”是[m，n]，（1）当0＜m＜n时，由f′（x）≥0得：≥0，解得0＜x≤a，即0＜x≤a时函数f（x）为增函数，当x=n时，取得最大值，当x=m时，取最小值，即，即方程alnx﹣x=x有两个解，即方程a=有两个解，做出y=的图象，由图象以及函数的导数可知，当x＞1时，y=在x=e处取得最小值2e，在x=a时，y=，故方程a=有两个解，由a≤得：a≤e2，此时正数a的取值范围是（2e，e2]．由f′（x）＜0得：＜0，解得x＞a，即x＞a时，函数f（x）为单调减函数，则当x=m时，取得最大值，当x=n时，取得最小值，即，两式相减可得，alnm﹣alnn=0，即m=n，不符合；当x≤0时，函数f（x）为减函数，则当x=m时取最大值，当x=n时，取得最小值，即，两式相减，可以得到+=1，回代到方程组的第一个式子得到1﹣﹣a=n，整理得到1﹣﹣n=a，由图象可知，方程由两个解，则a∈（，1]，综上正数a的取值范围是（，1]∪（2e，e2]【点评】本题考查的知识点是曲线在某点处的切线方程，新定义，分类讨论思想，难度稍大，中档偏上．选做题：（考生从以下三题中选做一题）选修4-1：几何证明选讲22．如图，AB是⊙O的直径，C、F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB 的延长线于点D．连接CF交AB于点E．（1）求证：DE2=DB•DA；（2）若DB=2，DF=4，试求CE的长．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】计算题；证明题；选作题；转化思想；综合法．【分析】（1）连接OF，利用切线的性质及角之间的互余关系得到DF=DE，再结合切割线定理证明DE2=DB•DA，即可求出DE．（2）求出BE=2，OE=1，利用勾股定理求CE的长．【解答】（1）证明：连接OF．因为DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°．所以∠OFC+∠CFD=90°．因为OC=OF，所以∠OCF=∠OFC．因为CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°．所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE．因为DF是⊙O的切线，所以DF2=DB•DA．所以DE2=DB•DA．（2）解：∵DF2=DB•DA，DB=2，DF=4．∴DA=8，从而AB=6，则OC=3．又由（1）可知，DE=DF=4，∴BE=2，OE=1．从而在Rt△COE中，．【点评】本题主要考查了与圆有关的比例线段、圆的切线的性质定理的应用，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程．23．已知曲线C的极坐标方程为ρ=，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；（Ⅱ）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（1）利用即可得出直角坐标方程；（2）直线l的参数方程（t为参数，0≤α＜π）．可得l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），得到，得到直线l新的参数方程为（t为参数）．代入抛物线方程可得t+2=0，设A、B对应的参数分别为t1，t2，利用|AB|=即可得出．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程ρ=化为ρ2sin2θ=4ρcosθ，得到曲线C的直角坐标方程为y2=4x，故曲线C是顶点为O（0，0），焦点为F（1，0）的抛物线；（2）直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．故l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），则，∴直线l的参数方程为（t为参数）．代入y2=4x，得t+2=0设A、B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=﹣6，t1t2=2．|AB|=|t1﹣t2|===8．【点评】本题考查了极坐标方程和直角坐标方程的转换、直线的参数方程及其应用，考查了计算能力，属于中档题．．选修4-5：不等式选讲．。
〖全国卷-2018名师推荐〗高考总复习数学(理)高考仿真模拟试题及答案解析四
2017-2018学年高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={y|y=（）x，x≥﹣1}，B={y|y=e x+1，x≤0}，则下列结论正确的是（）A．A=B B．A∪B=R C．A∩（∁R B）=∅D．B∩（∁R A）=∅2．已知复数z满足z•i=2﹣i，i为虚数单位，则z的共轭复数等于（）A．2﹣i B．﹣1+2i C．1+2i D．﹣1﹣2i3．已知平面向量=（﹣2，m），=，且（﹣）⊥，则实数m的值为（）A．B．C．D．4．已知函数f（x）=sin2x﹣2cos2x，下面结论中错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期为πB．函数f（x）的图象关于x=对称C．函数f（x）的图象可由g（x）=2sin2x﹣1的图象向右平移个单位得到D．函数f（x）在区间[0，]上是增函数5．“a=2”是“函数f（x）=x2+2ax﹣2在区间（﹣∞，﹣2]内单调递减”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．x=B．x=C．x=D．x﹣=7．若执行如图的程序框图，输出S的值为﹣4，则判断框中应填入的条件是（）A．k＜14 B．k＜15 C．k＜16 D．k＜178．已知抛物线y2=8x的准线与双曲线=1相交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，△ABF 为直角三角形，则双曲线的离心率为（）A．3 B．2 C．D．9．若实数x、y满足xy＞0，则+的最大值为（）A．2﹣B．2C．4 D．410．若实数a，b，c，d满足（b+a2﹣3lna）2+（c﹣d+2）2=0，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．B．8 C．D．2二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（2x﹣1）（3﹣2x）5的展开式中，含x次数最高的项的系数是（用数字作答）．12．在约束条件下，当3≤m≤5时，目标函数z=3x+2y的最大值的取值范围是（请用区间表示）．13．以下四个命题：①若命题“¬p”与“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；②若x≠kπ（k∈Z），则；③∃x0∈R，使；④由曲线围成的封闭图形的面积为．其中真命题的序号是 （把你认为真命题的序号都填上）．14．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22×32，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为 ．15．已知在锐角△ABC 中，已知∠B=，|﹣|=2，则的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足（2a ﹣b ）cosC ﹣ccosB=0． （Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）若三边a ，b ，c 满足a+b=13，c=7，求△ABC 的面积．17．甲、乙两人进行定点投篮比赛，在距篮筐3米线内设一点A ，在点A 处投中一球得2分，不中得0分，在距篮筐3米线段外设一点B ，在点B 处投中一球得3分，不中得0分，已知甲乙两人在A 点投中的概率都是，在B 点投中的概率都是，且在A ，B 两点处投中与否相互独立，设定甲乙两人现在A 处各投篮一次，然后在B 处各投篮一次，总得分高者获胜． （Ⅰ）求甲投篮总得分ξ的分布列和数学期望； （Ⅱ）求甲获胜的概率．18．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1为矩形，AB=2，AA 1=2，D 是AA 1的中点，BD 与AB 1交于点O ，且CO ⊥ABB 1A 1平面． （1）证明：BC ⊥AB 1；（2）若OC=OA ，求直线CD 与平面ABC 所成角的正弦值．19．已知数列{a n}前n项和S n满足：2S n+a n=1（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜．20．已知函数．（Ⅰ）记函数，求函数F（x）的最大值；（Ⅱ）记函数若对任意实数k，总存在实数x0，使得H（x0）=k成立，求实数s的取值集合．21．已知椭圆离心率为，点P（0，1）在短轴CD上，且．（I）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点P的直线l与椭圆E交于A，B两点．（i）若，求直线l的方程；（ii）在y轴上是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={y|y=（）x，x≥﹣1}，B={y|y=e x+1，x≤0}，则下列结论正确的是（）A．A=B B．A∪B=R C．A∩（∁R B）=∅D．B∩（∁R A）=∅【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】对应思想；定义法；集合．【分析】化简集合A、B，求出∁R A，即可得出结论．【解答】解：集合A={y|y=（）x，x≥﹣1}={y|0＜y≤2}=（0，2]，B={y|y=e x+1，x≤0}={y|1＜y≤2}=（1，2]，∴∁R A=（﹣∞，0]∪（2，+∞），∴B∩（∁R A）=∅．故选：D．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2．已知复数z满足z•i=2﹣i，i为虚数单位，则z的共轭复数等于（）A．2﹣i B．﹣1+2i C．1+2i D．﹣1﹣2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数定义是法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：z•i=2﹣i，∴﹣i•z•i=﹣i（2﹣i），∴z=﹣1﹣2i，则z的共轭复数=﹣1+2i．故选：B．【点评】本题考查了复数定义是法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知平面向量=（﹣2，m），=，且（﹣）⊥，则实数m的值为（）A．B．C．D．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】平面向量及应用．【分析】由向量的坐标的加减运算求出，然后直接利用向量垂直的坐标表示列式求出m的值．【解答】解：由，所以=．再由（a﹣b）⊥b，所以=．所以m=．故选B．【点评】本题考查了数量积判断两个向量的垂直关系，考查了向量减法的坐标运算，是基础题．4．已知函数f（x）=sin2x﹣2cos2x，下面结论中错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期为πB．函数f（x）的图象关于x=对称C．函数f（x）的图象可由g（x）=2sin2x﹣1的图象向右平移个单位得到D．函数f（x）在区间[0，]上是增函数【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=2sin（2x﹣）﹣1，由三角函数的图象和性质，逐个选项验证可得．【解答】解：f（x）=sin2x﹣2cos2x=sin2x﹣1﹣cos2x=2sin（2x﹣）﹣1，由周期公式可得T==π，选项A正确；由2x﹣=kπ+可得x=+，k∈Z，故当k=0时，可得函数一条对称轴为x=，选项B正确；g（x）=2sin2x﹣1的图象向右平移个单位得到y=2sin2（x﹣）﹣1=2sin（2x﹣）﹣1的图象，而不是f（x）=2sin（2x﹣）﹣1的图象，选项C错误；由kπ﹣≤2x﹣≤kπ+可得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∴函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，显然f（x）在区间[0，]上是增函数，选项D正确．故选：C．【点评】本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的图象和性质，属中档题．5．“a=2”是“函数f（x）=x2+2ax﹣2在区间（﹣∞，﹣2]内单调递减”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】函数思想；综合法；简易逻辑．【分析】由二次函数单调性和充要条件的定义可得．【解答】解：当a=2时，f（x）=x2+2ax﹣2=（x+a）2﹣a2﹣2=（x+2）2﹣6，由二次函数可知函数在区间（﹣∞，﹣2]内单调递减；若f（x）=x2+2ax﹣2=（x+a）2﹣a2﹣2在区间（﹣∞，﹣2]内单调递减，则需﹣a≥﹣2，解得a≤2，不能推出a=2，故“a=2”是“函数f（x）=x2+2ax﹣2在区间（﹣∞，﹣2]内单调递减”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查充要条件的判定，涉及二次函数的单调性，属基础题．6．将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．x=B．x=C．x=D．x﹣=【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象对应的函数的解析式为y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+），当x=时，函数取得最大值，可得所得函数图象的一条对称轴的方程是x=，故选：C．【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．7．若执行如图的程序框图，输出S的值为﹣4，则判断框中应填入的条件是（）A．k＜14 B．k＜15 C．k＜16 D．k＜17【考点】程序框图．【专题】计算题；对应思想；试验法；算法和程序框图．【分析】根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=﹣4，可得出判断框内应填入的条件．【解答】解：执行如图的程序框图，运行结果如下：第1次循环S=log2=﹣1，k=2；第2次循环S=log2+log2=log2，k=3；第3次循环S=log2+log2=log2=﹣2，k=4；第4次循环S=log23+log2=log2，k=5；第5次循环S=log2+log2=log2，k=6；第6次循环S=log2+log2=log2，k=7；第7次循环S=log2+log24=log2=﹣3，k=8；…第14次循环S=log2+log2=log2，k=15；第15次循环S=log2+log2=log2=﹣4，•k=16；如果输出S=﹣4，那么只能进行15次循环，故判断框内应填入的条件是k＜16．故选：C．【点评】本题考查程序框图，尤其考查循环结构，对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律，是基础题．8．已知抛物线y2=8x的准线与双曲线=1相交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，△ABF 为直角三角形，则双曲线的离心率为（）A．3 B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先根据抛物线方程求得准线方程，代入双曲线方程求得y，根据双曲线的对称性可知△FAB 为等腰直角三角形，进而可求得A或B的纵坐标为4，进而求得a，利用a，b和c的关系求得c，则双曲线的离心率可得．【解答】解：依题意知抛物线的准线x=﹣2，代入双曲线方程得y=±•，不妨设A（﹣2，）．∵△FAB是等腰直角三角形，∴=p=4，求得a=，∴双曲线的离心率为e====3，故选：A．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是通过双曲线的对称性质判断出△FAB为等腰直角三角形，属于中档题．9．若实数x、y满足xy＞0，则+的最大值为（）A．2﹣B．2C．4 D．4【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】转化思想；换元法；不等式的解法及应用．【分析】运用换元法，设x+y=s，x+2y=t，由xy＞0，可得s，t同号．即有x=2s﹣t，y=t﹣s，则+=+=4﹣（+），再由基本不等式即可得到所求最大值．【解答】解：可令x+y=s，x+2y=t，由xy＞0，可得x，y同号，s，t同号．即有x=2s﹣t，y=t﹣s，则+=+=4﹣（+）≤4﹣2=4﹣2，当且仅当t2=2s2，取得等号，即有所求最大值为4﹣2．故选：C．【点评】本题考查最值的求法，注意运用换元法和基本不等式，考查运算求解能力，属于中档题．10．若实数a，b，c，d满足（b+a2﹣3lna）2+（c﹣d+2）2=0，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．B．8 C．D．2【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用；导数的概念及应用．【分析】化简得b=﹣（a2﹣3lna），d=c+2；从而得（a﹣c）2+（b﹣d）2=（a﹣c）2+（3lna ﹣a2﹣（c+2））2表示了点（a，3lna﹣a2）与点（c，c+2）的距离的平方；作函数图象，利用数形结合求解．【解答】解：∵（b+a2﹣3lna）2+（c﹣d+2）2=0，∴b=﹣（a2﹣3lna），d=c+2；∴（a﹣c）2+（b﹣d）2=（a﹣c）2+（3lna﹣a2﹣（c+2））2，其表示了点（a，3lna﹣a2）与点（c，c+2）的距离的平方；作函数y=3lnx﹣x2与函数y=x+2的图象如下，∵（3lnx﹣x2）′=﹣2x=；故令=1得，x=1；故切点为（1，﹣1）；结合图象可知，切点到直线y=x+2的距离为=2；故（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为8；故选：B．【点评】本题考查了函数的图象的作法及数形结合的思想应用，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（2x﹣1）（3﹣2x）5的展开式中，含x次数最高的项的系数是﹣64 （用数字作答）．【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理．【分析】利用二项式定理展开式的通项公式即可得出．【解答】解：（3﹣2x）5的展开式的通项公式：T r+1=35﹣r（﹣2x）r，令r=5，可得：（2x﹣1）（3﹣2x）5的展开式中，含x次数最高的项的系数为2×（﹣2）5=﹣64．故答案为：﹣64．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．在约束条件下，当3≤m≤5时，目标函数z=3x+2y的最大值的取值范围是[7，8] （请用区间表示）．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=3x+2y过区域内边界上的某些点时，z最大值即可．【解答】解：由⇒交点为A（2，0），B（4﹣m，2m﹣4），C（0，m），C'（0，4），当3≤m＜4时可行域是四边形OABC，此时，7≤z≤8当4≤m≤5时可行域是△OAC'此时，z max=8故答案为：[7，8]．【点评】本题主要考查了简单的线性规划．由于线性规划的介入，借助于平面区域，可以研究函数的最值或最优解；借助于平面区域特性，我们还可以优化数学解题，借助于规划思想，巧妙应用平面区域，为我们的数学解题增添了活力．13．以下四个命题：①若命题“¬p”与“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；②若x≠kπ（k∈Z），则；③∃x0∈R，使；④由曲线围成的封闭图形的面积为．其中真命题的序号是①（把你认为真命题的序号都填上）．【考点】定积分在求面积中的应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】综合题；数形结合；转化思想；简易逻辑．【分析】①若命题“¬p”与“p或q”都是真命题，则p是假命题，命题q一定是真命题，即可判断出正误；②取x=﹣，则sinx+=﹣1，即可判断出正误；③∀x∈R，使ln （x2+1）≥0，即可判断出正误；④联立，解得（1，1），（﹣1，﹣1）．由曲线围成的封闭图形的面积=2=2，解出即可判断出正误．【解答】解：①若命题“¬p”与“p或q”都是真命题，则p是假命题，命题q一定是真命题，正确；②若x≠kπ（k∈Z），取x=﹣，则sinx+=﹣1，不正确；③∀x∈R，使ln （x2+1）≥0，因此不正确；④联立，解得（1，1），（﹣1，﹣1）．由曲线围成的封闭图形的面积=2=2=3﹣2ln2，不正确．故答案为：①．【点评】本题考查了函数的性质、微积分基本定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22×32，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为465 ．【考点】进行简单的合情推理．【专题】规律型．【分析】这是一个类比推理的问题，在类比推理中，参照上述方法，200的所有正约数之和可按如下方法得到：因为200=23×52，所以200的所有正约数之和为（1+2+22+23）（1+5+52），即可得出答案．【解答】解：类比36的所有正约数之和的方法，有：200的所有正约数之和可按如下方法得到：因为200=23×52，所以200的所有正约数之和为（1+2+22+23）（1+5+52）=465．可求得200的所有正约数之和为465．故答案为：465．【点评】类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．15．已知在锐角△ABC中，已知∠B=，|﹣|=2，则的取值范围是（0，12）．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，得到C的坐标，找出三角形为锐角三角形的A的位置，得到所求范围．【解答】解：以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，因为∠B=，|﹣|=||=2，所以C（1，），设A（x，0）因为△ABC是锐角三角形，所以A+C=120°，∴30°＜A＜90°，即A在如图的线段DE上（不与D，E重合），所以1＜x＜4，则=x2﹣x=（x﹣）2﹣，所以的范围为（0，12）．故答案为：（0，12）．【点评】本题考查了向量的几何意义以及利用坐标法求数量积范围；属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a﹣b）cosC﹣ccosB=0．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若三边a，b，c满足a+b=13，c=7，求△ABC的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；解三角形．【分析】（Ⅰ）根据正弦定理与两角和的正弦公式，化简题中的等式可得sin（B+C）﹣2sinAcosC，结合三角函数的诱导公式算出cosC=，可得角C的大小；（Ⅱ）由余弦定理可得ab的值，利用三角形面积公式即可求解．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，ccosB=（2a﹣b）cosC，∴由正弦定理，可得sinCcosB=（2sinA﹣sinB）cosC，即sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosC，所以sin（B+C）=2sinAcosC，∵△ABC中，sin（B+C）=sin（π﹣A）=sinA＞0，∴sinA=2sinAcosC，即sinA（1﹣2cosC）=0，可得cosC=．又∵C是三角形的内角，∴C=．（Ⅱ）∵C=，a+b=13，c=7，∴由余弦定理可得：72=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=132﹣3ab，解得：ab=40，∴S△ABC=absinC=40×=10．【点评】本题求角C的大小并依此求三角形面积的最大值．着重考查了正余弦定理、两角和的正弦公式三角函数的图象性质，属于中档题．17．甲、乙两人进行定点投篮比赛，在距篮筐3米线内设一点A，在点A处投中一球得2分，不中得0分，在距篮筐3米线段外设一点B，在点B处投中一球得3分，不中得0分，已知甲乙两人在A点投中的概率都是，在B点投中的概率都是，且在A，B两点处投中与否相互独立，设定甲乙两人现在A处各投篮一次，然后在B处各投篮一次，总得分高者获胜．（Ⅰ）求甲投篮总得分ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）求甲获胜的概率．【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（Ⅰ）由已知得ξ的可能取值为0，2，3，5，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．（Ⅱ）由（Ⅰ）得乙投篮总得分X的分布列，由此能求出甲获胜的概率．【解答】解：（Ⅰ）由已知得ξ的可能取值为0，2，3，5，P（ξ=0）===，P（ξ=2）===，P（ξ=3）==，P（ξ=5）==，∴ξ的分布列为：ξ0 2 3 5PEξ==2．（Ⅱ）由（Ⅰ）得乙投篮总得分X的分布列为：X 0 2 3 5P∴甲获胜的概率p=++=．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．18．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=2，AA1=2，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO⊥ABB1A1平面．（1）证明：BC⊥AB1；（2）若OC=OA，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的性质．【专题】综合题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）要证明BC⊥AB1，可证明AB1垂直于BC所在的平面BCD，已知CO垂直于侧面ABB1A1，所以CO垂直于AB1，只要在矩形ABB1A1内证明BD垂直于AB1即可，可利用角的关系加以证明；（Ⅱ）分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，求出，平面ABC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可得出结论．【解答】（I）证明：由题意，因为ABB1A1是矩形，D为AA1中点，AB=2，AA1=2，AD=，所以在直角三角形ABB1中，tan∠AB1B==，在直角三角形ABD中，tan∠ABD==，所以∠AB1B=∠ABD，又∠BAB1+∠AB1B=90°，∠BAB1+∠ABD=90°，所以在直角三角形ABO中，故∠BOA=90°，即BD⊥AB1，又因为CO⊥侧面ABB1A1，AB1⊂侧面ABB1A1，所以CO⊥AB1所以，AB1⊥面BCD，因为BC⊂面BCD，所以BC⊥AB1．（Ⅱ）解：如图，分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣，0），B（﹣，0，0），C（0，0，），B1（0，，0），D（，0，0），又因为=2，所以所以=（﹣，，0），=（0，，），=（，，），=（，0，﹣），设平面ABC的法向量为=（x，y，z），则根据可得=（1，，﹣）是平面ABC的一个法向量，设直线CD与平面ABC所成角为α，则sinα=，所以直线CD与平面ABC所成角的正弦值为．…【点评】本题考查了直线与平面垂直的性质，考查线面角，考查向量方法的运用，属于中档题．19．已知数列{a n}前n项和S n满足：2S n+a n=1（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（I）利用递推式可得：．再利用等比数列的通项公式即可得出；（II）由（I）可得b n==，；利用“裂项求和”即可得出数列{b n}的前n项和为T n，进而得到证明．【解答】（I）解：∵2S n+a n=1，∴当n≥2时，2S n﹣1+a n﹣1=1，∴2a n+a n﹣a n﹣1=0，化为．当n=1时，2a1+a1=1，∴a1=．∴数列{a n}是等比数列，首项与公比都为．∴．（II）证明：b n====，∴数列{b n}的前n项和为T n=++…+=．∴T n＜．【点评】本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式、“裂项求和”、不等式的证明，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．已知函数．（Ⅰ）记函数，求函数F（x）的最大值；（Ⅱ）记函数若对任意实数k，总存在实数x0，使得H（x0）=k成立，求实数s的取值集合．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题．【专题】计算题；分类讨论；转化思想；分析法；综合法；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）化简函数，的表达式，求出函数的导数，求出极值点以及端点的函数值，然后求函数F（x）的最大值；（Ⅱ）求出函数H（x）的值域为R．求出在[s，+∞）单调递增，其值域为．然后求解函数的值域，通过（1）若s＞e，求解值域，（2）若0＜s≤e，函数的值域，判断是否满足题意，推出实数s的取值集合．【解答】解：（Ⅰ）函数．函数，F（x）=x2﹣lnx，x，令F′（x）=0，得．∴，F（2）=4﹣ln2，且，∴x=2时，函数F（x）取得最大值，最大值为4﹣ln2．…（Ⅱ）∵对任意实数k，总存在实数x0，使得H（x0）=k成立，∴函数H（x）的值域为R．函数在[s，+∞）单调递增，其值域为．函数，．当x=e时，y'=0．当x＞e时，y'＜0，函数在[e，+∞）单调递减，当0＜x＜e时，y'＞0，函数在（0，e）单调递增．…（1）若s＞e，函数在（0，e）单调递增，在（e，s）单调递减，其值域为，又，不符合题意；（2）若0＜s≤e，函数在（0，s）单调递增，其值域为，由题意得，即s2﹣2elns≤0；令u（s）=s2﹣2elns，．当时，u'（s）＞0，u（s）在单调递增；当，u'（s）＜0，u（s）在单调递减．∴时，u（s）有最小值，从而u（s）≥0恒成立（当且仅当时，u（s）=0）．由（1）（2）得，u（s）=0，所以．综上所述，实数s的取值集合为．…【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及分析问题解决问题的能力．21．已知椭圆离心率为，点P（0，1）在短轴CD上，且．（I）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点P的直线l与椭圆E交于A，B两点．（i）若，求直线l的方程；（ii）在y轴上是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【专题】转化思想；分析法；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）通过椭圆的离心率公式和向量的数量积的坐标表示，计算即得a=2、b=，进而可得结论；（Ⅱ）（i）设直线l：y=kx+1，代入椭圆方程x2+2y2=4，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，解方程可得斜率k，进而得到所求直线方程；（ii）通过直线l与x轴平行、垂直时，可得若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只能是（0，2）．然后分直线l的斜率不存在、存在两种情况，利用韦达定理及直线斜率计算方法，证明对任意直线l，均有即可．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，可得C（0，﹣b），D（0，b），又∵P（0，1），且，∴，解得a=2，b=，∴椭圆E的方程为：+=1；（Ⅱ）（i）设直线l：y=kx+1，代入椭圆方程x2+2y2=4，设A、B的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），消去y并整理得：（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=﹣，①由，可得（x2，y2﹣1）=（﹣x1，（1﹣y1）），即有x2=﹣x1，②②代入①，可得k=±，即有直线l的方程为y=±x+1：（ii）结论：存在与点P不同的定点Q（0，2），使得恒成立．理由如下：当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C、D两点，如果存在定点Q满足条件，则有==1，即|QC|=|QD|．∴Q点在直线y轴上，可设Q（0，y0）．当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M、N两点，则M、N的坐标分别为（0，）、（0，﹣），又∵=，∴=，解得y0=1或y0=2．∴若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只能是（0，2）．下面证明：对任意直线l，均有．当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立．当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y=kx+1，A、B的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），联立，消去y并整理得：（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，∵△=（4k）2+8（1+2k2）＞0，∴x1+x2=﹣，x1x2=﹣，∴+==2k，已知点B关于y轴对称的点B′的坐标为（﹣x2，y2），又k AQ===k﹣，k QB′===﹣k+=k﹣，∴k AQ=k QB′，即Q、A、B'三点共线，∴===．故存在与点P不同的定点Q（0，2），使得恒成立．【点评】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、向量共线和数量积的运算，直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，属于难题．。
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2018年高考模拟训练试题
理科数学(二)
本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页，满分150分．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米规格的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效.
4．保持卷面清洁，不折叠，不破损．
第I 卷(共50分)
一、选择题：本大题共10个小题。
每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合{}512,,1,1S x x x R T x
x Z S T x ⎧⎫=-≤∈=≥∈⋂⎨⎬+⎩⎭，则等于 A. {}03,x x x Z ≤≤∈ B. {}13,x x x Z -≤≤∈ C. {}14,x x x Z -≤≤∈
D. {}1,x x x Z -≤<0∈
2.已知复数221i z i
-=+，则z 的共轭复数的虚部等于 A.2i B. 2i -
C.2
D. 2-
3.已知11001,cos 1M dx N xdx x ==+⎰⎰，由图示程序框图输出
的S 为
A. 1
B. ln2
C. 2
π D. 0 4.为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定
规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为{}012,0,1i a a a a ∈()0,1,2i =，传输信息
为00121h a a a h ，其中00110,,h a a h h a =⊕=⊕⊕运算规则 为00⊕=0,011,101,110⊕=⊕=⊕=.例如原信息为111，则传输信息为01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接受信息出错，则下列接受信息一定有误的是
A.11010
B.01100
C.10111
D.00011
5.函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛
⎫=+>< ⎪⎝⎭
的图象如图
所示，为了得到()cos g x x ω=的图象，则只要将()f x 的
图象
A.向右平移
6
π个单位 B. 向右平移12π个单位 C. 向左平移6π个单位 D. 向左平移12π个单位 6.下列四个图中，函数10ln 11
x y x +=+的图象可能是
7.一个多面体的直观图和三视图如图所示，M 是AB 的中点.一只蝴蝶在几何体ADF BCE -内自由飞翔，它飞入几何体F AMCD -内的概率为
A. 34
B. 23
C. 13
D. 12
8.已知双曲线()22
122:10,0y x C a b a b
-=>>的离心率为2，若抛物线
()22:20C y px p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离是2，则抛物线2C 的方程是
A. 28y x =
B. 21633y x =
C. 2833
y x = D. 216y x = 9.设ABC ∆，AD 为内角A 的平分线，交BC 边于点,3,2,D AB AC BAC ==∠=uuu r uuu u r
60°，则AD BC ⋅=uuu r uu u r A. 85- B. 95 C. 95- D. 85
10.定义在R 上的函数()f x 满足()()()1,04f x f x f '+>=，则不等式()3x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为
A. ()0,+∞
B. ()(),03,-∞⋃+∞
C. ()(),00,-∞⋃+∞
D. ()3,+∞
第II 卷（非选择题 共100分）
注意事项：
将第II 卷答案用0.5mm 规格的黑色签字笔答在答题卡的相应位置上.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11.将一批工件的尺寸（在40~100mm 之间）分成六段：
[)40,50，[)[)50,60,,90,100⋅⋅⋅，得到如图的频率分布直
方图.则图中实数a 的值为__________.
12.若()5
234501234523x a a x a x a x a x a x -=+++++， 122a a +则345345a a a +++=___________.
13.椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右顶点分别是A,B ，左、右焦点分别是12,.F F 若
1121,,AF F F F B 成等比数列，则此椭圆的离心率为__________.
14.已知实数,x y 满足1,21,.y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩
如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等
于__________.
15.已知a R ∈，若关于x 的方程2104
x x a a ++-+=有实根，则a 的取值范围___________.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. （本小题满分12分）
在ABC ∆，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，且满足()2cos cos 0c a B b A --=. （I ）求角B 的大小；
（II ）求3sin sin 6A C π⎛⎫+-
⎪⎝⎭的取值范围.
17. （本小题满分12分）
在三棱柱111ABC A B C -中 ，已知
AB=AC=AA 1=15,4,BC A =在底面ABC 的射影是
线段BC 的中点O.
（I ）证明在侧棱1AA 上存在一点E ，使得OE ⊥平面
11BB C C ，并求出AE 的长；
（II ）求二面角111A BC C --的余弦值.
18. （本小题满分12分）
从集合{}1,2,4,8,16,32,64的所有非空真子集中等可能地取出一个.
（I ）求所取的子集中元素从小到大排列成等比数列的概率；
（II ）记所取的子集的元素个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望
.
19. （本小题满分12分）
已知各项均为正数的数列{}n a 中，11,n a S =是数列{}n a 的前n 项和，对任意n N *
∈，有2221n n n S a a =+-.函数()2f x x x =+，数列{}n b 的首项()1131,24
n n b b f b +==-. （I ）求数列{}n a 的通项公式；
（II ）令21log 2n n c b ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
，求证{}n c 是等比数列，并求{}n c 的通项公式； （III ）令n n n d a c =⋅（n 为正整数），求数列{}n d 的前n 项和n T .
20. （本小题满分13分）
已知函数()()32
ln 1f x ax x x ax =++--. （I ）若()23
x f x =为的极值点，求实数a 的值； （II ）若()[)1y f x =+∞在，上为增函数，求实数a 的取值范围；
（III ）若1a =-时，方程()()311b f x x x ---=
有实根，求实数b 的取值范围.
21. （本小题满分14分）
已知点()3,0H -，点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满
足30,2
HP PM PM MQ ⋅==-uu u r uuu r uuu r uuu r . （I ）当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C ；
（II ）过定点()(),00D m m >作直线交轨迹C 于A,B
两点，E 是D 点关于坐标原点O 的对称点，求证
AED BED ∠=∠；
（III ）在（II ）中，是否存在垂直于x 轴的直线l '，
被以AD 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，
求出l '的方程；若不存在，请说明理由.。